Guderley–Landau–Stanyukovich problem
গুডেরলি-ল্যান্ডাউ-স্ট্যানিয়ুকোভিচ সমস্যা রূপান্তরিত শক তরঙ্গের সময় বিবর্তন বর্ণনা করে। 1942 সালে জি. গুডেরলি এবং 1944 সালে স্বাধীনভাবে লেভ ল্যান্ডাউ ও কে. পি. স্ট্যানিয়ুকোভিচ এই সমস্যা নিয়ে আলোচনা করেন, যেখানে পরবর্তী লেখকদের বিশ্লেষণ 1955 সালে প্রকাশিত হয়। গাণিতিক বিবরণ একটি গোলাকার রূপান্তরকারী শক তরঙ্গ বিবেচনা করুন যা একটি রেডিয়াল অবস্থানে কোনও উপায়ে শুরু হয়েছিল এবং কেন্দ্রের দিকে পরিচালিত হয়েছিল। শক ওয়েভ উৎসের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে এর শক্তি বৃদ্ধি পায় কারণ শক ওয়েভ প্রসারিত হওয়ার সাথে সাথে কম এবং কম পরিমাণে ভরকে সংকুচিত করে। এইভাবে শক ওয়েভের অবস্থান সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়। বর্ণনা করা স্ব-অনুরূপ সমাধানটি এই অঞ্চলের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ, শক ওয়েভ প্রাথমিক অবস্থার কথা ভুলে যাওয়ার জন্য যথেষ্ট ভ্রমণ করেছে। যেহেতু স্ব-অনুরূপ অঞ্চলে শক ওয়েভ শক্তিশালী, তাই তরঙ্গের সামনের চাপের তুলনায় তরঙ্গের পিছনের চাপ খুব বেশি। র্যাঙ্কিন-হিউগনিয়ট পরিস্থিতি অনুসারে, শক্তিশালী তরঙ্গের জন্য, যদিও, যেখানে গ্যাসের ঘনত্ব প্রতিনিধিত্ব করে; অন্য কথায়, শক তরঙ্গ জুড়ে ঘনত্ব লাফ সীমাবদ্ধ। বিশ্লেষণের জন্য, কেউ এইভাবে অনুমান করতে পারে এবং, যা পরবর্তীকালে থেকে সেট করে বেগ স্কেলটি সরিয়ে দেয়। এই মুহুর্তে, এটি লক্ষণীয় যে অনুরূপ সমস্যা যেখানে একটি শক্তিশালী শক তরঙ্গ বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ে টেলর-ভন নিউম্যান-সেডভ বিস্ফোরণ তরঙ্গ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে বলে জানা যায়। টেলর-ভন নিউম্যান-সেডভ বিস্ফোরণ তরঙ্গের বিবরণ একটি স্ব-অনুরূপ সমাধান বিকাশের জন্য প্রবাহের মোট শক্তির পরিমাণ ব্যবহার করে। এই সমস্যার বিপরীতে, প্রস্ফুটিত শক ওয়েভ সমগ্র অঞ্চল জুড়ে স্ব-অনুরূপ নয় (কাছাকাছি প্রবাহ ক্ষেত্রটি শক ওয়েভ তৈরি করার পদ্ধতির উপর নির্ভর করে) এবং এইভাবে গুডেরলি-ল্যান্ডাউ-স্ট্যানিয়ুকোভিচ সমস্যাটি স্ব-অনুরূপ পদ্ধতিতে বর্ণনা করার চেষ্টা করে, প্রবাহ ক্ষেত্রটি কেবল এই স্ব-অনুরূপ অঞ্চলে, শক্তি ধ্রুবক নয় এবং প্রকৃতপক্ষে, সময়ের সাথে হ্রাস পাবে (সমগ্র অঞ্চলের মোট শক্তি এখনও ধ্রুবক)। যেহেতু শক ওয়েভ অঞ্চলের প্রাথমিক আকারের তুলনায় স্ব-সমতুল্য অঞ্চলটি ছোট, তাই মোট শক্তির একটি ছোট অংশই স্ব-সমতুল্য অঞ্চলে জমা হয়। এইভাবে সমস্যাটিতে স্ব-সমতুল্য বর্ণনা খুঁজে বের করার জন্য মাত্রিক আর্গুমেন্ট ব্যবহার করার জন্য কোনও দৈর্ঘ্যের স্কেল নেই অর্থাৎ, শুধুমাত্র মাত্রিক আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ভরশীলতা নির্ধারণ করা যায় না। এই ধরনের সমস্যাগুলি দ্বিতীয় ধরনের স্ব-অনুরূপ সমাধান দ্বারা বর্ণনা করা হয়। সুবিধার জন্য, সময়টি এমনভাবে পরিমাপ করুন যাতে রূপান্তরকারী শক ওয়েভ সময়মতো উৎসে পৌঁছায়। কারণ, রূপান্তরকারী শকটি উৎপত্তির কাছাকাছি চলে আসে এবং কারণ, প্রতিফলিত শক ওয়েভটি উৎপত্তিস্থল থেকে উদ্ভূত হয়। শক ওয়েভের অবস্থানটি সেই ফাংশন দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয় যেখানে সাদৃশ্য সূচক এবং একটি ধ্রুবক। প্রতিফলিত শক একই সাদৃশ্য সূচকের সাথে উদ্ভূত হয়। এর মান এই শর্ত থেকে নির্ধারিত হয় যে একটি স্ব-অনুরূপ সমাধান বিদ্যমান, যেখানে স্ব-অনুরূপ বিশ্লেষণ থেকে ধ্রুবকটি বর্ণনা করা যায় না; ধ্রুবকটি অঞ্চল থেকে তথ্য ধারণ করে এবং তাই কেবল তখনই নির্ধারণ করা যেতে পারে যখন প্রবাহের পুরো অঞ্চলটি সমাধান করা হয়। এর মাত্রা শুধুমাত্র সমাধান করার পরেই পাওয়া যাবে। টেলর-ভন নিউম্যান-সেডভ বিস্ফোরণ তরঙ্গের জন্য, মাত্রিক যুক্তিগুলি প্রাপ্ত করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে শক-তরঙ্গ বেগ দ্বারা দেওয়া হয় র্যাঙ্কিন-হিউগনিয়ট শর্ত অনুসারে শক্তিশালী শক ফ্রন্টের ঠিক পিছনে গ্যাসের বেগ, চাপ এবং ঘনত্ব, একটি আদর্শ গ্যাসের জন্য দেওয়া হয়। এগুলি শক ফ্রন্টের পিছনের প্রবাহের সীমানা শর্ত হিসাবে কাজ করবে। স্ব-সমতুল্য সমাধান নিয়ন্ত্রক সমীকরণগুলি হল যেখানে ঘনত্ব, চাপ, এনট্রপি এবং রেডিয়াল বেগ। চাপের পরিবর্তে, আমরা সম্পর্ক ব্যবহার করে শব্দের গতি ব্যবহার করতে পারি। স্ব-সমতুল্য সমীকরণগুলি পেতে, আমরা নোট প্রবর্তন করি যে যেহেতু উভয়ই ঋণাত্মক,। আনুষ্ঠানিকভাবে রেঞ্জের জন্য সমাধান খুঁজে বের করতে হবে। সীমানার শর্তগুলি দ্বারা দেওয়া হয় সীমানার শর্তগুলি পতনের সময় পর্যবেক্ষণ থেকে উদ্ভূত হতে পারে, যা অসীম হয়ে যায়। পতনের মুহূর্তে, উৎস থেকে যে কোনও দূরত্বে প্রবাহের চলকগুলি অবশ্যই সীমাবদ্ধ হতে হবে, অর্থাৎ, এবং এর জন্য অবশ্যই সীমাবদ্ধ হতে হবে। এটি কেবল তখনই সম্ভব যদি স্ব-সমতুল্য চলকগুলিকে নিয়ন্ত্রক সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করা যায়। এখান থেকে, আমরা সহজেই দুটি সমীকরণের জন্য সমাধান করতে পারি এবং (বা,) খুঁজে পেতে পারি। তৃতীয় সমীকরণ হিসাবে, আমরা পরিবর্তনশীলকে বাদ দিয়ে দুটি সমীকরণ করতে পারি। ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি হল কোথায় এবং। এটি সহজেই দেখা যায় একবার তৃতীয় সমীকরণটি সমাধান হয়ে গেলে, প্রথম দুটি সমীকরণকে সহজ চতুর্ভুজ ব্যবহার করে সংহত করা যেতে পারে। তৃতীয় সমীকরণটি হল শক ফ্রন্টের পিছনের অবস্থার সাথে সম্পর্কিত সীমানা শর্ত সহ ফাংশনের জন্য প্রথম-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। কিন্তু আরেকটি সীমানা শর্ত রয়েছে যা পূরণ করা প্রয়োজন, অর্থাৎ, পাওয়া শর্তের সাথে সম্পর্কিত। এই অতিরিক্ত শর্তটি কোনও নির্বিচারে মানের জন্য সন্তুষ্ট করা যায় না, তবে কেবল একটি মান রয়েছে যার জন্য দ্বিতীয় শর্তটি সন্তুষ্ট করা যেতে পারে। এইভাবে একটি আইগেনভ্যালু হিসাবে পাওয়া যায়। এই আইগেনভ্যালু সংখ্যাসূচকভাবে পাওয়া যেতে পারে। যে শর্তটি নির্ধারণ করে তা একটি কঠিন বক্ররেখা হিসাবে চিত্রে দেখানো অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখাটি অঙ্কন করে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। বিন্দুটি হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রাথমিক শর্ত, অর্থাৎ। অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা অবশ্যই বিন্দুতে শেষ হতে হবে। একই চিত্রে, অবস্থার সাথে সম্পর্কিত প্যারাবোলাটিও একটি বিন্দুযুক্ত বক্ররেখা হিসাবে অঙ্কিত হয়। এটি সহজেই দেখানো যেতে পারে যে বিন্দুটি সর্বদা এই প্যারাবোলাটির উপরে থাকে। এর মানে হল যে অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখাটি বিন্দুতে পৌঁছানোর জন্য প্যারাবোলাকে ছেদ করতে হবে। তিনটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে, অনুপাতটি বোঝায় যে এই অনুপাতটি সেই বিন্দুতে অদৃশ্য হয়ে যায় যেখানে অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা প্যারাবোলাটিকে ছেদ করে। ফাংশনগুলির জন্য শারীরিক প্রয়োজনীয়তা হল যে একটি অনন্য সমাধান পেতে তাদের অবশ্যই একক-মূল্যবান ফাংশন হতে হবে। এর মানে হল যে ফাংশন এবং ডোমেনের ভিতরে কোথাও চরম সীমা থাকতে পারে না। কিন্তু এই মুহুর্তে, অদৃশ্য হয়ে যেতে পারে, যা নির্দেশ করে যে পূর্বোক্ত ফাংশনগুলির চরম সীমা রয়েছে। এই পরিস্থিতি এড়ানোর একমাত্র উপায় হল অনুপাতকে সীমাবদ্ধ করা। অর্থাৎ, শূন্য হয়ে যাওয়ার সাথে সাথে আমাদেরও এমনভাবে শূন্য হতে হবে যাতে তা অর্জন করা যায়। এ, তৃতীয় সমীকরণের সংখ্যাসূচক সংহতকরণের জন্য এবং জন্য প্রদান করে। এই মানগুলি ল্যান্ডাউ এবং স্ট্যানিয়ুকোভিচ দ্বারা উদ্ভূত একটি আনুমানিক সূত্রের সাথে তুলনা করা যেতে পারে। এটি প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে যে,। সাধারণভাবে, সাদৃশ্য সূচক একটি অযৌক্তিক সংখ্যা। আরও দেখুন টেলর-ভন নিউম্যান-সেডভ বিস্ফোরণ তরঙ্গ জেলডোভিচ-টেলর প্রবাহ রেফারেন্স প্রবাহ শাসন তরল গতিবিদ্যা দহন লেভ ল্যান্ডাউ