Open set condition
ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতিতে, ওপেন সেট কন্ডিশন (ও. এস. সি) হল স্ব-সমতুল্য ফ্র্যাক্টালগুলির উপর একটি সাধারণভাবে আরোপিত শর্ত। কিছু অর্থে, শর্তটি ফ্র্যাক্টাল নির্মাণে ওভারল্যাপের উপর বিধিনিষেধ আরোপ করে। বিশেষত, কন্ট্রাক্টিভ ম্যাপিং-এর একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশন সিস্টেম দেওয়া হলে, ওপেন সেট শর্তের জন্য দুটি শর্ত পূরণকারী একটি নন-এম্প্টি, ওপেন সেট ভি থাকতে হবেঃ সেটগুলি জোড়ার দিক থেকে বিচ্ছিন্ন। 1946 সালে পি. এ. পি মোরান দ্বারা প্রবর্তিত, ওপেন সেট শর্তটি নির্দিষ্ট স্ব-অনুরূপ ফ্র্যাক্টালগুলির মাত্রা গণনা করতে ব্যবহৃত হয়, বিশেষত সিয়েরপিনস্কি গ্যাসকেট। এটি প্যাকিং পরিমাপের গণনা সহজতর করতেও ব্যবহৃত হয়। ওপেন সেট শর্তের একটি সমতুল্য বিবৃতি হল সেটটির এস-মাত্রিক হাউসডর্ফ পরিমাপ শূন্যের চেয়ে বেশি হওয়া প্রয়োজন। গণনা হাউজডর্ফ মাত্রা যখন উন্মুক্ত সেটের অবস্থা ধরে থাকে এবং প্রতিটি একটি সাদৃশ্য (অর্থাৎ, একটি আইসোমেট্রি গঠন এবং কোনও বিন্দুর চারপাশে একটি বিস্তার) হয়, তখন এর অনন্য স্থির বিন্দু হল একটি সেট যার হাউজডর্ফ মাত্রা নিম্নলিখিতগুলির এস-এর জন্য অনন্য সমাধানঃ যেখানে আরআই হল সাদৃশ্যের প্রসারণের মাত্রা। এই উপপাদ্যের সাহায্যে সিয়েরপিনস্কি গ্যাসকেটের হাউজডর্ফ মাত্রা গণনা করা যেতে পারে। R2 সমতলে তিনটি অ-সমরেখীয বিন্দু a1, a2, a3 বিবেচনা করুন এবং এআই-এর চারপাশে অনুপাত 1/2-এর বিস্তার ধরা যাক। সংশ্লিষ্ট ম্যাপিংয়ের অনন্য অ-খালি স্থির বিন্দু হল একটি সিয়েরপিনস্কি গ্যাসকেট, এবং মাত্রা s হল উপরের সমীকরণের উভয় পক্ষের প্রাকৃতিক লগারিদম গ্রহণ করার অনন্য সমাধান, আমরা s-এর জন্য সমাধান করতে পারি, অর্থাৎঃ s = ln (3)/ln (2)। সিয়ারপিনস্কি গ্যাসকেট স্ব-অনুরূপ এবং ও. এস. সি-কে সন্তুষ্ট করে। স্ট্রং ওপেন সেট কন্ডিশন (এস. ও. এস. সি) হল ওপেন সেট কন্ডিশন-এর একটি এক্সটেনশন। একটি ফ্র্যাক্টাল এফ এস. ও. এস. সি-কে সন্তুষ্ট করে যদি, ও. এস. সি-কে সন্তুষ্ট করার পাশাপাশি, এফ এবং খোলা সেট ভি-এর মধ্যে ছেদটি খালি না হয়। দুটি শর্ত স্ব-সমতুল্য এবং স্ব-সামঞ্জস্যপূর্ণ সেটের জন্য সমতুল্য, তবে অন্যান্য সেটের নির্দিষ্ট শ্রেণীর জন্য নয়, যেমন অসীম ম্যাপিং সহ ফাংশন সিস্টেম এবং অ-ইউক্লিডীয় মেট্রিক স্পেসে। এই ক্ষেত্রে, এস. ও. সি. এস প্রকৃতপক্ষে একটি শক্তিশালী অবস্থা। আরও দেখুন ক্যান্টর সেট হাউসডর্ফ মাত্রা দ্বারা ফ্র্যাক্টালগুলির তালিকা মিনকোভস্কি-বুলিগ্যান্ড মাত্রা প্যাকিং মাত্রা রেফারেন্স ফ্র্যাক্টালস পুনরাবৃত্ত ফাংশন সিস্টেম ফ্র্যাক্টাল