Invariant decomposition
অপরিবর্তনীয় পচন হল গোষ্ঠীগুলির উপাদানগুলির অর্থোগোনাল কমিউটিং উপাদানগুলিতে পচন। এটি তাদের উপগোষ্ঠীতেও বৈধ, যেমন। অর্থোগোনাল, সিউডো-ইউক্লিডিয়ান, কনফরমাল এবং শাস্ত্রীয় গোষ্ঠী। যেহেতু পিন গোষ্ঠীর উপাদানগুলি ভিত্তিক প্রতিফলনের গঠন, তাই অপরিবর্তনীয় পচন উপপাদ্যটি পড়ে-প্রতিটি-প্রতিফলনকে যাতায়াতের কারণগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে। এটিকে অপরিবর্তনীয় পচন বলা হয় কারণ এই কারণগুলি-প্রতিবিম্বের অপরিবর্তনীয়। একটি সুপরিচিত বিশেষ উদাহরণ হল চ্যাসলেসের উপপাদ্য, যেখানে বলা হয়েছে যে কোনও অনমনীয় বস্তুর গতি একটি ঘূর্ণনে বিভক্ত করা যেতে পারে, তারপরে বা তার আগে একটি একক লাইন বরাবর অনুবাদ করা যেতে পারে। ঘূর্ণন এবং অনুবাদ উভয়ই দুটি রেখা অপরিবর্তনীয় রেখে যায়ঃ ঘূর্ণনের অক্ষ এবং অনুবাদের অর্থোগোনাল অক্ষ। যেহেতু ঘূর্ণন এবং অনুবাদ উভয়ই দ্বি-প্রতিফলন, তাই উপপাদ্যটির আরও বিমূর্ত বিবৃতিটি পড়ে "প্রতিটি চতুর্ভুজ প্রতিফলনকে যাতায়াতকারী দ্বি-প্রতিফলনে বিভক্ত করা যেতে পারে"। এই আকারে বিবৃতিটি যেমন-এর জন্যও বৈধ। স্পেসটাইম বীজগণিত, যেখানে যে কোনও লরেঞ্জ রূপান্তরকে যাতায়াতের ঘূর্ণন এবং বুস্টে বিভক্ত করা যেতে পারে। বাইভেক্টর পচন মোট মাত্রার জ্যামিতিক বীজগণিতে যে কোনও বাইভেক্টরকে অর্থোগোনাল কমিউটিং সহজ বাইভেক্টরগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে যা সন্তুষ্ট করে সংজ্ঞায়িত করে, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি (কোনও যোগফল নেই) হিসাবে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে। এর মানগুলি পরবর্তীকালে এই অভিব্যক্তিটি বর্গ করে এবং পুনর্বিন্যাস করে পাওয়া যায়, যা বহুপদ উৎপন্ন করে জটিল মানগুলিকে অনুমতি দিয়ে, মার্সেল রিসের পাল্টা উদাহরণটি আসলে সমাধান করা যেতে পারে। অপরিবর্তনীয় পচনের জন্য এই বদ্ধ ফর্ম সমাধানটি শুধুমাত্র 1 এর বীজগাণিতিক গুণিতক সহ আইগেনভ্যালুগুলির জন্য বৈধ। অবক্ষয়ের জন্য অপরিবর্তনীয় পচন এখনও বিদ্যমান, তবে বদ্ধ ফর্ম সমাধান ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া যায় না। এক্সপোনেনশিয়াল মানচিত্র এ-প্রতিফলনকে বাইভেক্টর হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং এইভাবে একটি ফ্যাক্টরাইজেশনের অনুমতি দেয় অপরিবর্তনীয় পচন তাই এক্সপোনেনশিয়ালগুলির জন্য একটি বদ্ধ ফর্ম সূত্র দেয়, কারণ প্রতিটি বর্গ একটি স্কেলারের সাথে এবং এইভাবে অয়লারের সূত্র অনুসরণ করেঃ সীমাটি যত্ন সহকারে মূল্যায়ন করা দেয় এবং এইভাবে অনুবাদগুলিও অন্তর্ভুক্ত করা হয়। রটার ফ্যাক্টরাইজেশন একটি-প্রতিফলন দেওয়া হলে আমরা ফ্যাক্টরাইজেশন খুঁজে বের করতে চাই। সহজ বাইভেক্টর কোথায় তা সংজ্ঞায়িত করা হচ্ছে। এই বাইভেক্টরগুলি সরাসরি বাইভেক্টরের জন্য উপরের সমাধানটি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে যেখানে গ্রেড অংশটি নির্বাচন করে। বাইভেক্টরগুলি খুঁজে পাওয়ার পরে, সরাসরি প্রধান লগারিদম হিসাবে পাওয়া যায় ইনটু-এর পচন খুঁজে পাওয়ার পরে, প্রতিটি সাধারণ রটারের প্রধান লগারিদম দ্বারা দেওয়া হয় এবং এইভাবে এর লগারিদম সাধারণ পিন গ্রুপ উপাদান দ্বারা দেওয়া হয়। অপরিবর্তনীয় পচনকে a-প্রতিফলনে প্রসারিত করতে, আমরা ব্যবহার করি যে ভেক্টর অংশটি একটি প্রতিফলন যা ইতিমধ্যে-প্রতিফলনের সাথে বিনিময় করে এবং এর সাথে অর্থোগোনাল। সমস্যাটি তখন উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করার পচন খুঁজে পেতে হ্রাস পায়। অপরিবর্তনীয় বাইভেক্টর বাইভেক্টরগুলি সংশ্লিষ্টের অপরিবর্তনীয় কারণ তারা এটির সাথে যাতায়াত করে এবং এইভাবে গ্রুপ কনজুগেশনের অধীনে ভূমিকায় দেওয়া চ্যাসলসের উপপাদ্যের উদাহরণে ফিরে গেলে, 3ডি-তে স্ক্রু গতি দুটি রেখাকে অপরিবর্তিত রাখে এবং যা ঘূর্ণনের অক্ষ এবং দিগন্তে অনুবাদের অর্থোগোনাল অক্ষের সাথে মিলে যায়। যদিও পুরো স্থানটি একটি স্ক্রু গতির মধ্য দিয়ে যায়, এই দুটি অক্ষ এটির দ্বারা অপরিবর্তিত থাকে। ইতিহাস বাইভেক্টর সম্পর্কে মার্সেল রিসের একটি বিবৃতিতে অপরিবর্তনীয় পচনের শিকড় পাওয়া যায়ঃ কোনও বাইভেক্টরকে কি পারস্পরিক অর্থোগোনাল সরল বাইভেক্টরের সরাসরি যোগফলের মধ্যে বিভক্ত করা যেতে পারে? গাণিতিকভাবে, এর অর্থ হবে যে একটি মাত্রিক জ্যামিতিক বীজগণিতে প্রদত্ত বাইভেক্টরের জন্য সর্বাধিক বাইভেক্টর খুঁজে পাওয়া সম্ভব, যেমন, যেখানে সন্তুষ্ট হয় এবং একটি স্কেলারের বর্গ হওয়া উচিত। মার্সেল রিজ কিছু উদাহরণ দিয়েছেন যা এই অনুমানের দিকে পরিচালিত করে, তবে একটি (আপাতদৃষ্টিতে) বিপরীত উদাহরণও দিয়েছেন। জ্যামিতিক বীজগণিতে অনুমানের প্রথম আরও সাধারণ সমাধান ডেভিড হেস্টেনেস এবং গ্যারেট সোবজিক দিয়েছিলেন। যাইহোক, এই সমাধান বিশুদ্ধভাবে ইউক্লিডীয় স্থানের মধ্যে সীমাবদ্ধ ছিল। 2011 সালে সমাধানটি (3ডিসিজিএ) লিও ডর্স্ট এবং রবার্ট জ্যান ভালকেনবার্গ দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল এবং এটি লরেঞ্জিয়ান স্বাক্ষরের প্রথম সমাধান ছিল। এছাড়াও 2011 সালে, চার্লস গান প্রথম ডিজেনারেট মেট্রিকের সমাধান দেন। এটি একটি প্রথম আভাস দেয় যে নীতিটি মেট্রিক স্বাধীন হতে পারে। তারপর, 2021 সালে, মার্টিন রোলফস তাঁর পিএইচডি থিসিসে পূর্ণ মেট্রিক এবং মাত্রা স্বাধীন বদ্ধ ফর্ম সমাধান দিয়েছিলেন। এবং যেহেতু একটি জ্যামিতিক বীজগণিতে বাইভেক্টর লাই বীজগণিত গঠন করে, তাই থিসিসটি প্রথম ব্যবহার করা হয়েছিল গোষ্ঠীর উপাদানগুলিকে অর্থোগোনাল কমিউটিং ফ্যাক্টরগুলিতে বিভক্ত করতে যা প্রতিটি অয়লারের সূত্র অনুসরণ করে এবং এই গোষ্ঠীগুলির জন্য ক্লোজড ফর্ম এক্সপোনেনশিয়াল এবং লগারিদমিক ফাংশন উপস্থাপন করতে। পরবর্তীকালে মার্টিন রোলফস এবং স্টিভেন ডি কেনিঙ্কের একটি গবেষণাপত্রে অপরিবর্তনীয় পচনকে কেবলমাত্র নয়, উপাদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছিল এবং এর মধ্য দিয়ে না গিয়ে উপাদানগুলির সরাসরি পচন পাওয়া গিয়েছিল। তথ্যসূত্র গোষ্ঠী তত্ত্ব