Spectral submanifold
গতিশীল সিস্টেমে, একটি বর্ণালী সাবম্যানিফোল্ড (এসএসএম) হল অনন্য মসৃণতম অপরিবর্তনীয় ম্যানিফোল্ড যা অরৈখিকতা যোগের অধীনে একটি রৈখিক গতিশীল সিস্টেমের বর্ণালী সাবস্পেসের অরৈখ সম্প্রসারণ হিসাবে কাজ করে। এস. এস. এম তত্ত্ব একটি রৈখিক গতিশীল ব্যবস্থার আইগেনস্পেসের অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি একটি অরৈখিক ব্যবস্থায় প্রসারিত করার জন্য শর্ত প্রদান করে এবং তাই অরৈখিক মাত্রা হ্রাসে এস. এস. এম-এর ব্যবহারকে অনুপ্রাণিত করে। সংজ্ঞা ধ্রুবক ম্যাট্রিক্স এবং মসৃণ ফাংশনে থাকা অরৈখিকতা সহ ফর্মের একটি অরৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন। ধরে নিন যে সমস্ত আইগেনভ্যালুগুলির জন্য, অর্থাৎ, উৎসটি একটি অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্থিতিশীল স্থির বিন্দু। এখন আইগেনভেক্টরের একটি স্প্যান নির্বাচন করুন। তারপর, আইগেনস্পেস হল রৈখিক ব্যবস্থার একটি অপরিবর্তনীয় সাবস্পেস। রৈখিক ব্যবস্থায় অরৈখিকতা যোগ করার ফলে, সাধারণত অসীম সংখ্যক অপরিবর্তনীয় ম্যানিফোল্ডে পরিণত হয়। এই অপরিবর্তনীয় ম্যানিফোল্ডগুলির মধ্যে, অনন্য মসৃণটিকে বর্ণালীয় সাবম্যানিফোল্ড হিসাবে উল্লেখ করা হয়। অস্থিতিশীল এসএসএম-এর জন্য একটি সমতুল্য ফলাফল রয়েছে। অস্তিত্ব উৎপত্তির বর্ণালীয় সাবম্যানিফোল্ড স্পর্শকের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেওয়া হয় যদি কিছু অ-অনুরণন শর্ত বর্ণালীর আইগেনভ্যালু দ্বারা সন্তুষ্ট হয়। বিশেষত, বর্ণালী সাবস্পেসের বাইরের আইগেনভ্যালুগুলির মধ্যে একটির সমান কোনও রৈখিক সংমিশ্রণ থাকতে পারে না। যদি এই ধরনের বাইরের অনুরণন থাকে, তবে অনুরণন মোডকে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে এবং বিশ্লেষণটিকে বর্ধিত বর্ণালী সাবস্পেস সম্পর্কিত একটি উচ্চ-মাত্রিক এসএসএম-এ প্রসারিত করা যেতে পারে। অ-স্বায়ত্তশাসিত সম্প্রসারণ বর্ণালী সাবম্যানিফোল্ডের তত্ত্বটি একটি আধা-পর্যায়ক্রমিক বল প্রয়োগকারী শব্দ সহ ফর্মের অরৈখিক অ-স্বায়ত্তশাসিত সিস্টেমে প্রসারিত হয়। তাৎপর্য স্পেকট্রাল সাবম্যানিফোল্ডগুলি গতিশীল সিস্টেমে কঠোর অরৈখিক মাত্রা হ্রাসের জন্য কার্যকর। একটি উচ্চ-মাত্রিক পর্যায়ের স্থানকে নিম্ন-মাত্রিক বহুগুণে হ্রাস করার ফলে সিস্টেমের প্রধান অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের সঠিক বিবরণের অনুমতি দিয়ে বড় সরলীকরণ হতে পারে। একটি পরিচিত গতিশীল ব্যবস্থার জন্য, অপরিবর্তনীয় সমীকরণগুলি সমাধান করে এস. এস. এমগুলি বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যেতে পারে এবং বলপ্রয়োগের প্রতিক্রিয়ার পূর্বাভাসের জন্য এস. এস. এমগুলিতে হ্রাসকৃত মডেলগুলি নিযুক্ত করা যেতে পারে। উপরন্তু এই ম্যানিফোল্ডগুলি মেশিন লার্নিং অ্যালগরিদম ব্যবহার করে একটি গতিশীল সিস্টেমের ট্র্যাজেক্টোরি ডেটা থেকে সরাসরি বের করা যেতে পারে। আরও দেখুন ইনভ্যারিয়েন্ট ম্যানিফোল্ড নন-লিনিয়ার ডাইমেনশনালিটি রিডাকশন ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান কোহেরেন্ট স্ট্রাকচার রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্কস টুল ফর অটোমেটেড এস. এস. এম. কম্পিউটশন ডায়নামিক্যাল সিস্টেম