Hypergraph regularity method
গণিতে, হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা পদ্ধতি চরম গ্রাফ তত্ত্বের একটি শক্তিশালী হাতিয়ার যা হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা লেমা এবং সংশ্লিষ্ট গণনা লেমার সম্মিলিত প্রয়োগকে বোঝায়। এটি গ্রাফ নিয়মিততা পদ্ধতির একটি সাধারণীকরণ, যা স্জেমেরডির নিয়মিততা এবং গণনা লেম্মার ব্যবহারকে বোঝায়। খুব অনানুষ্ঠানিকভাবে, হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা লেমা যে কোনও প্রদত্ত-ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফকে সীমাবদ্ধ অংশগুলির সাথে একটি এলোমেলো-মত বস্তুর মধ্যে বিভক্ত করে (একটি উপযুক্ত সীমাবদ্ধতা এবং এলোমেলো ধারণা সহ) যা সাধারণত কাজ করা সহজ। অন্যদিকে, হাইপারগ্রাফ গণনা লেম্মা এলোমেলো-সদৃশ অংশগুলির কিছু সংগ্রহে প্রদত্ত আইসোমরফিজম শ্রেণীর হাইপারগ্রাফগুলির সংখ্যা অনুমান করে। এটি স্জেমেরেডির নিয়মিততা লেম্মার একটি সম্প্রসারণ যা যে কোনও প্রদত্ত গ্রাফকে সীমাবদ্ধ সংখ্যার অংশে বিভক্ত করে যাতে অংশগুলির মধ্যে প্রান্তগুলি প্রায় এলোমেলোভাবে আচরণ করে। একইভাবে, হাইপারগ্রাফ গণনা লেম্মা হল গ্রাফ গণনা লেমার একটি সাধারণীকরণ যা একটি বৃহত্তর গ্রাফের উপগ্রাফ হিসাবে একটি নির্দিষ্ট গ্রাফের অনুলিপিগুলির সংখ্যা অনুমান করে। পদ্ধতির বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র সূত্র রয়েছে, যার সবগুলিই হাইপারগ্রাফ অপসারণ লেম্মা এবং অন্যান্য বেশ কয়েকটি শক্তিশালী ফলাফলকে বোঝায়, যেমন স্জেমেরডির উপপাদ্য, পাশাপাশি এর কিছু বহুমাত্রিক সম্প্রসারণ। নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ভি. রোডল, বি. নাগলে, জে. স্কোকান, এম. শ্যাচ এবং ওয়াই. কোহায়াকাওয়ার কারণে, বিকল্প সংস্করণের জন্য তাও (2006), এবং গাওয়ারস (2007) দেখুন। সংজ্ঞা হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা এবং গণনার লেম্মা আনুষ্ঠানিকভাবে বর্ণনা করার জন্য, ছদ্ম-যাদৃচ্ছিকতা (এলোমেলো-সাদৃশ্য) এবং সীমাবদ্ধতার যথাযথ ধারণাগুলি আনুষ্ঠানিক করার পাশাপাশি এলোমেলো-মত ব্লক এবং পার্টিশনগুলি বর্ণনা করার জন্য আমাদের বেশ কয়েকটি প্রযুক্তিগত পদ সংজ্ঞায়িত করতে হবে। স্বরলিপিটি শীর্ষে একটি-অভিন্ন চক্রকে বোঝায়। এটি ভার্টেক্স পার্টিশনে একটি-পার্টাইট-গ্রাফ। এটি সমস্ত-উপাদান ভার্টেক্স সেটের পরিবার যা ক্লিকে প্রসারিত করে। বিশেষ করে, এটি একটি সম্পূর্ণ-পার্টাইট-গ্রাফ। নিম্নলিখিতটি আপেক্ষিক ঘনত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করে, যা হাইপারগ্রাফ-এ থাকা-প্রান্ত দ্বারা বিস্তৃত-প্রান্তের ভগ্নাংশকে মোটামুটিভাবে বর্ণনা করে। উদাহরণস্বরূপ, যখন, পরিমাণটি 3-প্রান্তের সাবহাইপারগ্রাফ-এ 2-প্রান্ত দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ভগ্নাংশের সমান হয়। সংজ্ঞা [আপেক্ষিক ঘনত্ব]। কারণ, সঙ্গে কিছু শ্রেণী ঠিক করুন। ধরুন এটি একটি পূর্ণসংখ্যা। ইনডিউসড-পার্টাইট গ্রাফের একটি সাবহাইপারগ্রাফ ধরা যাক। আপেক্ষিক ঘনত্বের সংজ্ঞা দিন। নিয়মিততা পদ্ধতিটি যে ছদ্মবেশীতা ব্যবহার করবে তার উপযুক্ত ধারণাটি নিম্নরূপ। অনানুষ্ঠানিকভাবে, নিয়মিততার এই ধারণা অনুসারে,-প্রান্তের () উপর-প্রান্তের () কিছু নিয়ন্ত্রণ রয়েছে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এটি এমন একটি সেটিংকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে বড় সাবহাইপারগ্রাফগুলিতে প্রান্তের ঘনত্ব মোটামুটি একই রকম যা কেবল আপেক্ষিক ঘনত্বের উপর ভিত্তি করে কেউ আশা করবে। আনুষ্ঠানিকভাবে, সংজ্ঞা [()-নিয়মিততা]। ধরুন ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা এবং এটি একটি পূর্ণসংখ্যা। ()-যদি কোনও শ্রেণীর পছন্দ এবং সন্তোষজনক সাবহাইপারগ্রাফগুলির কোনও সংগ্রহের জন্য আমাদের কাছে থাকে তবে তার ক্ষেত্রে নিয়মিত। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, নিম্নলিখিতটি সিউডোরান্ডম ব্লকগুলি বর্ণনা করে যেখানে হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা লেম্মা যে কোনও বড় পর্যাপ্ত হাইপারগ্রাফকে বিচ্ছিন্ন করে দেয়। স্জেমেরাদি নিয়মিততায়, 2-প্রান্ত বনাম 1-প্রান্ত (শীর্ষ) নিয়মিত করা হয়। এই সাধারণ ধারণায়,-প্রান্তগুলি নিয়মিত বনাম-প্রান্তগুলি সকলের জন্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এটি-কমপ্লেক্স নামক নিয়মিত হাইপারগ্রাফের একটি ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করে, যেখানে-প্রান্তের অস্তিত্ব সমস্ত অন্তর্নিহিত-প্রান্তের অস্তিত্বকে বোঝায়, পাশাপাশি তাদের আপেক্ষিক নিয়মিততাও বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি 3-প্রান্ত হয়, এবং কমপ্লেক্সের 2-প্রান্ত হয়। উপরন্তু, 2-প্রান্ত দ্বারা তৈরি সমস্ত সম্ভাব্য ত্রিভুজের উপর 3-প্রান্তের ঘনত্ব subhypergraphs.Definition [-নিয়মিত-জটিল] প্রতিটি সংগ্রহে মোটামুটি একই। একটি-কমপ্লেক্স হল-পার্টাইট গ্রাফের একটি সন্তোষজনক ব্যবস্থা। ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার ভেক্টর এবং একটি পূর্ণসংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে আমরা বলি-জটিল হল-নিয়মিত যদি প্রতিটির জন্য, ঘনত্বের সাথে-নিয়মিত হয়। প্রত্যেকটির জন্য, হল ()-এর সাপেক্ষে নিয়মিত। নিম্নোক্তটি ন্যায়সঙ্গত বিভাজন বর্ণনা করে যা হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা লেম্মা প্ররোচিত করবে। বিভাজনের একটি-সমতুল্য পরিবার হল 1-প্রান্ত (শীর্ষ), 2-প্রান্ত (জোড়া), 3-প্রান্ত (ট্রিপল) ইত্যাদির বিভাজনের একটি ক্রম। এটি স্জেমেরেডির নিয়মিত লেম্মা দ্বারা প্রাপ্ত বিভাজন থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য, যেখানে শুধুমাত্র শীর্ষগুলি ভাগ করা হচ্ছে। প্রকৃতপক্ষে, গোয়ার্স দেখিয়েছেন যে শুধুমাত্র ভার্টেক্স পার্টিশন নিয়মিততার যথেষ্ট শক্তিশালী ধারণা দিতে পারে না যা হাইপারগ্রাফ গণনা লেম্মাকে বোঝায়। সংজ্ঞা [-সমতুল্য পার্টিশন]। ধরা যাক একটি বাস্তব সংখ্যা, একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ধনাত্মক বাস্তবতার ভেক্টর। ধরা যাক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি ভেক্টর এবং একটি-এলিমেন্ট ভার্টেক্স সেট। আমরা বলি যে পার্টিশনগুলির একটি পরিবার-সমতুল্য যদি এটি নিম্নলিখিতগুলি সন্তুষ্ট করেঃ এর ন্যায়সঙ্গত ভার্টেক্স পার্টিশন। সেটা তো বটেই। পার্টিশন যাতে যদি এবং তারপর বেশিরভাগ অংশে বিভক্ত করা হয়, যার সবগুলিই সদস্য। সর্বাধিক-টুপলগুলি ব্যতীত সকলের জন্য অনন্য-নিয়মিত-জটিল রয়েছে যেমন সদস্যদের হিসাবে বিভিন্ন পার্টিশন শ্রেণী রয়েছে এবং। পরিশেষে, নিম্নলিখিতটি একটি-ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফকে একটি বিভাজনের ক্ষেত্রে নিয়মিত হওয়ার অর্থ কী তা সংজ্ঞায়িত করে। বিশেষত, এটি প্রধান সংজ্ঞা যা হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা লেমা bellow.Definition [একটি পার্টিশনের ক্ষেত্রে নিয়মিততা]-এর আউটপুট বর্ণনা করে। আমরা বলি যে, বিভাজনের একটি পরিবারের ক্ষেত্রে একটি-গ্রাফ নিয়মিত হয়, যদি বেশিরভাগ প্রান্তে এমন বৈশিষ্ট্য থাকে যা এবং যদি অনন্য-জটিল হয়, যার ক্ষেত্রে এটি নিয়মিত হয়। বিবৃতি হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা লেম্মা সমস্ত ইতিবাচক বাস্তব, এবং ফাংশনের জন্য, কারণ বিদ্যমান এবং তাই নিম্নলিখিত ধারণ করে। শীর্ষে যে কোনও অভিন্ন হাইপারগ্রাফের জন্য, বিভাজন এবং একটি ভেক্টরের একটি পরিবার বিদ্যমান যাতে, সকলের জন্য এবং যেখানে, নিম্নলিখিতটি ধরে রাখে। এটি বিভাজনের একটি-সমতুল্য পরিবার এবং প্রত্যেকের জন্য। সম্পর্কে নিয়মিত। হাইপারগ্রাফ গণনা লেম্মা সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য নিম্নলিখিত ধারণ করেঃ এবং পূর্ণসংখ্যা রয়েছে এবং যাতে, সহ, এবং, যদি একটি-ভার্টেক্স পার্টিশন সহ নিয়মিত জটিল হয় এবং তারপর। অ্যাপ্লিকেশনগুলি বেশিরভাগ অন্যান্যরা যে প্রধান অ্যাপ্লিকেশনটি অনুসরণ করে তা হ 'ল হাইপারগ্রাফ অপসারণ লেম্মা, যা মোটামুটিভাবে বলে যে নির্দিষ্ট এবং বড়-ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফ দেওয়া হলে, যদি এর কয়েকটি অনুলিপি থাকে তবে এর সমস্ত অনুলিপিগুলি মুছে ফেলার জন্য কেউ কয়েকটি হাইপারএজ মুছে ফেলতে পারে। এটিকে আরও আনুষ্ঠানিকভাবে বলার জন্য, হাইপারগ্রাফ অপসারণ লেম্মা সকলের এবং প্রত্যেকের জন্য, বিদ্যমান এবং তাই নিম্নলিখিতটি ধারণ করে। ধরুন এটি শীর্ষে একটি-অভিন্ন হাইপারগ্রাফ এবং এটি শীর্ষে রয়েছে। যদি এর বেশিরভাগ অনুলিপি থাকে, তবে এটিকে মুক্ত করার জন্য হাইপারএজগুলি মুছে ফেলা যেতে পারে। গ্রাফ নিয়মিততা পদ্ধতির মূল অনুপ্রেরণাগুলির মধ্যে একটি ছিল স্জেমেরডির উপপাদ্য প্রমাণ করা, যা বলে যে এর প্রতিটি ঘন উপসেটে নির্বিচারে দৈর্ঘ্যের একটি গাণিতিক অগ্রগতি রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, ত্রিভুজ অপসারণ লেম্মার তুলনামূলকভাবে সহজ প্রয়োগের মাধ্যমে, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে ত্রিভুজের প্রতিটি ঘন উপসেটে দৈর্ঘ্য 3 এর গাণিতিক অগ্রগতি রয়েছে। হাইপারগ্রাফ নিয়মিততা পদ্ধতি এবং হাইপারগ্রাফ অপসারণ লেমা স্জেমেরডির উপপাদ্যের ঘনত্ব সংস্করণের উচ্চ-মাত্রিক এবং রিং অ্যানালগ প্রমাণ করতে পারে, যা মূলত ফারস্টেনবার্গ এবং কাটজনেলসন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। প্রকৃতপক্ষে, এই পদ্ধতিটি উপপাদ্যগুলির জন্য প্রথম পরিমাণগত সীমা প্রদান করে। এই উপপাদ্যটি মোটামুটিভাবে বোঝায় যে এর যে কোনও ঘন উপসেট এর কোনও সীমাবদ্ধ প্যাটার্ন ধারণ করে। যখন এবং প্যাটার্নটি কিছু দৈর্ঘ্যের গাণিতিক অগ্রগতি হয় তখন সেটি স্জেমেরডির উপপাদ্যের সমতুল্য। ফুরস্টেনবার্গ এবং কাটজনেলসন উপপাদ্য একটি সীমাবদ্ধ উপসেট হতে দিন এবং দেওয়া যাক। তারপরে একটি সীমাবদ্ধ উপসেট রয়েছে যাতে প্রতিটি সহের একটি সমজাতীয় অনুলিপি থাকে। (অর্থাৎ। রূপের সমষ্টি, কারো কারো জন্য এবং) উপরন্তু, যদি কারো কারো জন্য হয়, তবে এমন কিছু রয়েছে যার সকলের জন্য এই বৈশিষ্ট্য রয়েছে। আরেকটি সম্ভাব্য সাধারণীকরণ যা লেম্মা অপসারণের মাধ্যমে প্রমাণিত হতে পারে যখন মাত্রাটি বাড়তে দেওয়া হয়। টেনগান, টোকুশিগে, রোডল এবং স্ক্যাচ থিওরেম ধরা যাক একটি সসীম বলয়। প্রত্যেকটির জন্য, এমন একটি অস্তিত্ব রয়েছে, কারণ, সহ যে কোনও উপসেট একটি আইসোমরফিক অনুলিপির একটি কোসেট ধারণ করে (একটি বাম-মডিউল হিসাবে)। অন্য কথায়, এমন কিছু আছে যা, যেখানে, একটি ইনজেকশন। তথ্যসূত্র গ্রাফ তত্ত্ব