Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
গাণিতিক অগ্রগতির শক্তির সমষ্টি গণনাকারী বহুপদগুলি একটি চলকের বহুপদ যা নির্দিষ্ট গাণিতিক অগ্রগতির উপর নির্ভর করে যা সমষ্টিগত শক্তির ভিত্তি গঠন করে এবং ধ্রুবক সূচক, অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা, উভয়ের উপর নির্ভর করে। তাদের ডিগ্রি সর্বদা একটি একক দ্বারা ধ্রুবক সূচককে অতিক্রম করে এবং এই বৈশিষ্ট্যটি থাকে যে যখন বহুপদী পরিবর্তনশীল যোগফলের সংখ্যার সাথে মিলে যায়, তখন বহুপদী ফাংশনের ফলাফলও যোগফলের সাথে মিলে যায়। তাই সমস্যাটি হল খুঁজে বের করা। যোগসূত্রের সমষ্টি গণনার একটি ফাংশন হিসাবে বহুপদীঃ ধনাত্মক সহ এবং পূর্ণসংখ্যা, একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম পদ এবং সাধারণ পার্থক্য। দুটি পরামিতি শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যাই নয়, যুক্তিসঙ্গত, বাস্তব এবং এমনকি জটিলও হতে পারে। ইতিহাস প্রাচীনকাল সমস্যাটির ইতিহাস প্রাচীনকালে শুরু হয় এবং এর কিছু বিশেষ ঘটনার সাথে মিলে যায়। কেসটি গাণিতিক সিরিজের গণনার সাথে মিলে যায়, যা একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম মানগুলির যোগফল। এই সমস্যাটি বেশ সহজ কিন্তু ত্রিভুজাকার সংখ্যার সাথে সংযোগের জন্য পিথাগোরীয় মতবাদ দ্বারা ইতিমধ্যে পরিচিত ঘটনাটি ঐতিহাসিকভাবে আকর্ষণীয়ঃ প্রথম প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল গণনা করা বহুপদী। গণিতের ইতিহাসে প্রথম যে ঘটনাগুলির সম্মুখীন হতে হয় সেগুলি হলঃ একটি বর্গ গঠনকারী প্রথম ধারাবাহিক প্রতিকূলতার যোগফল গণনা করা বহুপদী। সম্ভবত পিথাগোরীয়রা নিজেরাই এমন একটি বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে সুপরিচিত, যাদের নিজেদের অঙ্কিত সংখ্যা তৈরি করার সময়, পরবর্তী নিখুঁত বর্গক্ষেত্র পেতে প্রতিবার একটি বিজোড় সংখ্যক পয়েন্টের সমন্বয়ে একটি গনোমন যোগ করতে হত। বহুপদী পর্যায়ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার বর্গের যোগফল গণনা করে। সম্পত্তি যা আমরা আর্কিমিডিসের একটি কাজ সর্পিলগুলিতে প্রদর্শিত দেখতে পাই; ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার কিউবগুলির যোগফল গণনা করে বহুপদী। গেরাসার নিকোমাকাসের একটি উপপাদ্যের উপপাদ্য। পূর্ববর্তী দুটি বহুপদী যে ক্ষেত্রে অন্তর্ভুক্ত, তার ল 'ইনসিয়েম ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার শক্তির ধ্রুপদী সমস্যা গঠন করে। সময়ের সাথে সাথে, অন্যান্য গণিতবিদরা এই সমস্যার প্রতি আগ্রহী হয়ে ওঠেন এবং এর সমাধানে বিভিন্ন অবদান রাখেন। এর মধ্যে রয়েছে আর্যভট্ট, আল-করাজি, ইব্ন আল-হায়থাম, থমাস হ্যারিয়ট, জোহান ফাউলহেবার, পিয়েরে ডি ফার্মাট এবং ব্লেইজ পাস্কাল, যিনি পূর্ববর্তী পূর্ণসংখ্যাগুলির জ্ঞানের একটি বহুপদী প্রাপ্তির অনুমতি দেয় এমন একটি পরিচয় বিবেচনা করে ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার শক্তির যোগফলের সমস্যাটি পুনরাবৃত্তভাবে সমাধান করেছিলেন। 1713 খ্রিষ্টাব্দে জ্যাকব বার্নৌলির পরিবার মরণোত্তর তাঁর "আর্টিস কনজেক্টেন্ডি" প্রকাশ করে যেখানে এই অসীম সিরিজের প্রথম 10টি বহুপদী তাঁর নামে নামকরণ করা নির্দিষ্ট সংখ্যার উপর নির্ভরশীল একটি সাধারণ সূত্রের সাথে একসাথে উপস্থিত হয়। পরিবর্তে সূত্রটি জোহান ফাউলহেবারকে তাঁর যোগ্য অবদানের জন্য দায়ী করা হয়েছিল যা বার্নুলি নিজেই স্বীকৃতি দিয়েছিলেন। এটিও অবিলম্বে স্পষ্ট হয়ে গিয়েছিল যে শূন্য থেকে শুরু হওয়া ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার শক্তির যোগফল গণনা করা বহুপদগুলি এক থেকে শুরু হওয়াগুলির সাথে খুব মিল ছিল। এর কারণ হল এটি স্পষ্ট যে এবং তাই ফর্মের ডিগ্রির পলিনোমিয়ালগুলি মনোমিয়াল পার্থক্যকে বিয়োগ করে। যাইহোক, ফাউলহেবারের সূত্রের একটি প্রমাণ অনুপস্থিত ছিল, যা এক শতাব্দীরও বেশি সময় পরে কার্ল জি জ্যাকোবি দিয়েছিলেন, যিনি বার্নৌলি সংখ্যা তৈরি করে একটি সূচকীয় ফাংশনের অসীম সিরিজের বিকাশ ব্যবহার করে গাণিতিক বিশ্লেষণের অগ্রগতি থেকে উপকৃত হয়েছিলেন। আধুনিক যুগ 1982 সালে এ. ডব্লিউ. এফ এডওয়ার্ডস একটি নিবন্ধ প্রকাশ করেছেন যেখানে তিনি দেখিয়েছেন যে প্যাসকেলের পরিচয় প্রতিটি লাইনের শেষ উপাদান থেকে বঞ্চিত প্যাসকেলের ত্রিভুজযুক্ত ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ উদাহরণটি পঞ্চম অর্ডার ম্যাট্রিক্সের পছন্দ দ্বারা সীমাবদ্ধ তবে সহজেই উচ্চতর অর্ডারগুলিতে প্রসারিত হয়। সমীকরণটি এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ এবং সমীকরণের বাম দিকের দুটি দিককে ম্যাট্রিক্স এ-এর বিপরীত দ্বারা গুণ করলে, আমরা পাই যা সরাসরি বার্নৌলি সংখ্যা ব্যবহার না করে সরাসরি বহুপদী সহগগুলিতে পৌঁছানোর অনুমতি দেয়। এডওয়ার্ডসের পরে অন্যান্য লেখকরা পাওয়ার সাম সমস্যার বিভিন্ন দিক নিয়ে ম্যাট্রিক্স পথ গ্রহণ করেন এবং ভ্যান্ডারমন্ডে ভেক্টরের মতো দরকারী সরঞ্জামগুলিতে সমস্যার দিকগুলি অধ্যয়ন করেন। অন্যান্য গবেষকরা ঐতিহ্যগত বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির মাধ্যমে অনুসন্ধান চালিয়ে যাচ্ছেন এবং যে কোনও জ্যামিতিক অগ্রগতির জন্য ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার যোগফলের সমস্যাটিকে সাধারণীকরণ করছেন বহুপদগুলির সহগগুলি পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্রের মাধ্যমে পাওয়া যায় এবং অন্যান্য উপায়ে যা সংখ্যা তত্ত্বের জন্য আকর্ষণীয় যা বার্নৌলি বহুপদগুলির একটি ফাংশন হিসাবে যোগফলের অভিব্যক্তি হিসাবে বা স্টার্লিং সংখ্যা এবং প্রথম ও দ্বিতীয় ধরণের আর-হুইটনি সংখ্যার সাথে জড়িত সূত্রগুলি অবশেষে, এডওয়ার্ডসের ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিকে যে কোনও গাণিতিক অগ্রগতির জন্যও সাধারণীকরণ করা হয়েছিল ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি দ্বারা সমাধান সম্প্রতি দ্বিপদী সহগ এবং পাস্কাল জেনে সহজেই গঠনযোগ্য দ্বিপদী ম্যাট্রিক্স ব্যবহারের মাধ্যমে সাধারণ সমস্যার সমাধান করা হয়েছে। এটি দেখানো হয়েছে যে, পরামিতিগুলি বেছে নেওয়ার পরে এবং যা গাণিতিক অগ্রগতি এবং একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নির্ধারণ করে আমরা নিম্নলিখিত শক্তির যোগফলের সাথে সম্পর্কিত বহুপদগুলি খুঁজে পাইঃ ক্রমের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের সারির বহুপদী সহগ উপাদানগুলির সাথে। এখানে নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে সমাধানের সূত্রটি দেওয়া হয়েছে যা 0 থেকে 3 পর্যন্ত সূচক সহ প্রদত্ত গাণিতিক অগ্রগতির বহুপদী দেয়ঃ যে সমীকরণটি সহজেই m (অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা)-এর বিভিন্ন মানগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে তা নিম্নরূপ সংক্ষিপ্ত এবং সাধারণীকরণ করা হয়ঃ অথবা এর সাথে রেখেও ম্যাট্রিক্স এবং ভ্যান্ডারমন্ডে ভেক্টরের কঠোর সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছেঃ কারণ এর ফলাফল ম্যাট্রিক্স এ হ 'ল এডওয়ার্ডস যা ইতিমধ্যে দেখা গেছে, একটি নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স যা পুনরুত্পাদন করে, অ-শূন্য উপাদানগুলিতে, প্রতিটি সারির শেষ উপাদান থেকে বঞ্চিত পাস্কেলের ত্রিভুজ। অন্যদিকে এর উপাদানগুলি হল পাওয়ার ডেভেলপমেন্টের মনোমিয়াল। কলাম গুণফল দ্বারা সারির নিরপেক্ষ উপাদান যাতে এই ক্ষেত্রে সাধারণ সমীকরণটি হয়ে যায়ঃ এটিই এডওয়ার্ডস দ্বারা আবিষ্কৃত সাধারণটি প্রমাণ করার জন্য এই নির্দিষ্ট কেস থেকে আসার জন্য, নীচের পরিচয়টি নিশ্চিত করার পরে ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণের দুটি সদস্যকে বাম দিকে গুণ করা যথেষ্ট ক্রমানুসারে বিজোড় সংখ্যার শক্তির যোগফল আমরা ক্রমানুসারে প্রতিকূলতার শক্তি যোগ করার সমস্যা সমাধানের জন্য পূর্ববর্তী সূত্রটি ব্যবহার করিঃ অসমতা প্রথম উপাদানের সঙ্গে গাণিতিক অগ্রগতির সাথে মিলে যায় এবং কারণ হিসাবে আমরা বিজোড় শক্তির যোগফল গণনা করে প্রথম পাঁচটি বহুপদ খুঁজে বের করার জন্য m = 4 নির্ধারণ করি। গণনা করলে আমরা পাইঃ অতএব আমাদের কাছে সাধারণ সমীকরণ এবং কৃত ক্ষতির গুণফল রয়েছেঃ শেষ লাইন () ব্যবহার করে আমরা পাই এবং অন্যান্য সারি ব্যবহার করেঃ 1 দিয়ে শুরু হওয়া ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার যোগফল বেছে নেওয়া এবং গণনা করা এবং টি (1,1) যা পাস্কেলের ত্রিভুজের সাথে মিলে যায়ঃ 0 দিয়ে শুরু হওয়া ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার যোগফল বেছে নেওয়া এবং গণনা করা এবং টি (0,1) একক ম্যাট্রিক্সঃ অগ্রগতি-1,3,7,11,15। আবার নির্বাচিত, গণনা করা হয়েছে, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ এবং সহযোগী বৈশিষ্ট্যের ফলাফলকে কাজে লাগানো হয়েছেঃ ফাউলহেবারের সূত্রের সাধারণীকরণ ম্যাট্রিক্সকে নিম্নলিখিত উপায়ে বার্নৌলি বহুপদীর একটি ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যা থেকে সাধারণীকৃত ফাউলহেবার সূত্রটি উদ্ভূত হয়ঃ এবং সুপরিচিত বিশেষ ক্ষেত্রেওঃ যেখানে 0-তে গণনা করা বার্নৌলি বহুপদগুলি বার্নৌলি সংখ্যা এবং 1-এ গণনা করা চিহ্ন পরিবর্তিত সহ এর বৈকল্পিক। বার্নৌলির বহুপদীগুলির অনুবাদের বৈশিষ্ট্য হিসাবে, সাধারণীকৃত ফাউলহাবের সূত্রটি সাহিত্যে অন্যটির মতো নয়, খুব বিস্তৃত হতে পারে। তাই দুটি বিশেষ ক্ষেত্রেওঃ তথ্যসূত্র আরও দেখুন গাণিতিক অগ্রগতি ফাউলহাবারের সূত্র প্যাসকেলের ত্রিভুজ দ্বিপদী উপপাদ্য বার্নৌলি বহুপদী