Fair allocation of items and money
পণ্য ও অর্থের ন্যায্য বরাদ্দ হল ন্যায্য পণ্য বরাদ্দের সমস্যার একটি শ্রেণী যেখানে বরাদ্দ প্রক্রিয়া চলাকালীন কিছু অংশগ্রহণকারীর কাছ থেকে অর্থ দেওয়া বা নেওয়া সম্ভব। অর্থ ছাড়া, অবিভাজ্য জিনিসগুলি ন্যায্যভাবে বরাদ্দ করা অসম্ভব হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি জিনিস এবং দু 'জন লোক থাকে এবং জিনিসটি অবশ্যই তাদের মধ্যে একজনকে দিতে হয়, তবে বরাদ্দটি অন্যটির প্রতি অন্যায় হবে। আর্থিক অর্থপ্রদান ন্যায্যতা অর্জন করা সম্ভব করে তোলে, যেমনটি নীচে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। দুটি এজেন্ট এবং একটি আইটেম দুটি এজেন্ট এবং একটি আইটেম সহ, নিম্নলিখিত সহজ অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করে ন্যায্যতা অর্জন করা সম্ভব (যা কাট এবং চয়েসের একটি বৈকল্পিক): অ্যালিস একটি মূল্য পি বলে যে সে আইটেমের জন্য অর্থ প্রদান করতে ইচ্ছুক। জর্জ বেছে নেয় যে জিনিসটি নিয়ে 'পি' দিতে হবে, নাকি জিনিসটি অ্যালিসের কাছে ছেড়ে দিতে হবে যাতে অ্যালিস 'পি' প্রদান করে। এই অ্যালগরিদমটি ধরে নেয় যে এজেন্টদের কোয়াসিলিনিয়ার ইউটিলিটি রয়েছে, অর্থাৎ, তাদের ইউটিলিটি হল আইটেমের মূল্য এবং তাদের কাছে থাকা অর্থের পরিমাণ। যদি জর্জ মনে করে যে অ্যালিসের দাম কম (সে পি এর চেয়ে বেশি দিতে ইচ্ছুক), তাহলে সে জিনিসটি নেয় এবং পি দেয়, এবং তার উপযোগিতা ইতিবাচক, তাই সে অ্যালিসকে ঈর্ষা করে না। অ্যালিসও জর্জকে ঈর্ষা করে না কারণ তার উপযোগিতা-তার চোখে-0। একইভাবে, যদি জর্জ মনে করে যে অ্যালিসের দাম বেশি (সে পি বা তার বেশি দিতে ইচ্ছুক), তবে সে জিনিসটি অ্যালিসের কাছে ছেড়ে দেয় এবং ঈর্ষা করে না, কারণ তার চোখে অ্যালিসের উপযোগিতা নেতিবাচক। প্রদত্ত অর্থ পি পরে খেলোয়াড়দের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা যেতে পারে, কারণ সমান আর্থিক স্থানান্তর আপেক্ষিক উপযোগিতাকে প্রভাবিত করে না। তারপর, কার্যকরীভাবে, ক্রয়কারী প্রতিনিধি বিক্রয় প্রতিনিধি কে পি/2 প্রদান করে। প্রতিটি এজেন্টের মোট উপযোগিতা পণ্যটির জন্য তার/তার উপযোগিতার কমপক্ষে এক-তৃতীয়াংশ। যদি এজেন্টদের বিভিন্ন অধিকার থাকে, তবে প্রদত্ত অর্থ অংশীদারদের মধ্যে তাদের অধিকারের অনুপাতে ভাগ করা উচিত। এই সহজ ধারণাটি দু 'জনেরও বেশি খেলোয়াড় এবং আরও জটিল সেটিংসে প্রসারিত করার বিভিন্ন কাজ রয়েছে। এই কাজগুলির প্রধান ন্যায্যতার মানদণ্ড হল ঈর্ষা-স্বাধীনতা। উপরন্তু, কিছু কাজ এমন একটি সেটিং বিবেচনা করে যেখানে একজন পরোপকারী তৃতীয় পক্ষ বরাদ্দের ভর্তুকি দিতে ইচ্ছুক, কিন্তু ঈর্ষা-স্বাধীনতা সাপেক্ষে ভর্তুকির পরিমাণ হ্রাস করতে চায়। এই সমস্যাটিকে ন্যূনতম ভর্তুকি ঈর্ষাহীন বরাদ্দ বলা হয়। একক-চাহিদা এজেন্ট একক-চাহিদা এজেন্টরা সর্বাধিক একটি আইটেমে আগ্রহী। ভাড়া সামঞ্জস্য এই সেটিং-এর একটি বিশেষ উদাহরণ হল যখন ভাড়াটিয়াদের মধ্যে একটি অ্যাপার্টমেন্টের ঘরগুলি ভাগ করা হয়। এটি তিনটি প্রয়োজনীয়তা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়ঃ (ক) এজেন্টের সংখ্যা আইটেমের সংখ্যার সমান, (খ) প্রতিটি এজেন্টকে অবশ্যই ঠিক একটি আইটেম (রুম) পেতে হবে, (গ) এজেন্টদের দ্বারা প্রদত্ত মোট অর্থের পরিমাণ অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবকের সমান হতে হবে, যা মোট অ্যাপার্টমেন্ট ভাড়ার প্রতিনিধিত্ব করে। এটি ভাড়া সম্প্রীতির সমস্যা হিসাবে পরিচিত। আরও সাধারণ সেটিংস সাধারণভাবে, অর্থনীতি সাহিত্যে, এটি ধরে নেওয়া সাধারণ যে প্রতিটি এজেন্টের বান্ডিলগুলিতে একটি ইউটিলিটি ফাংশন রয়েছে (একটি বান্ডিল হল একটি বস্তুর জোড়া এবং একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থ)। ইউটিলিটি ফাংশন ক্রমাগত এবং অর্থ বৃদ্ধি করা উচিত। এটি অর্থের ক্ষেত্রে রৈখিক হতে হবে না, তবে "আর্কিমিডিয়ান" হতে হবে, অর্থাৎ, কিছু মান V রয়েছে যাতে, প্রতিটি দুটি বস্তুর জন্য j এবং k, বস্তুর উপযোগিতা k বস্তুর উপযোগিতার চেয়ে বড় হওয়া উচিত (বিকল্পভাবে, বিনামূল্যে বস্তুর জন্য j পাওয়ার উপযোগিতা বস্তু k পাওয়ার এবং V প্রদানের উপযোগিতার চেয়ে বড়)। কোয়াসিলিনিয়ার ইউটিলিটি আর্কিমিডিয়ান ইউটিলিটির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যেখানে ভি হল দুটি বস্তুর মধ্যে বৃহত্তম মান-পার্থক্য (একই এজেন্টের জন্য)। স্ভেনসন প্রথম প্রমাণ করেছিলেন যে, যখন সমস্ত প্রতিনিধি আর্কিমিডিয়ান হয়, তখন একটি ঈর্ষাহীন বরাদ্দ বিদ্যমান এবং এটি পারেটো-সর্বোত্তম। ডিমাঞ্জ, গেল এবং সোটোমেয়র একটি প্রাকৃতিক আরোহণকারী নিলাম দেখিয়েছেন যা ইউনিট ডিমান্ড এজেন্টদের জন্য আর্থিক অর্থ প্রদান ব্যবহার করে একটি ঈর্ষাহীন বরাদ্দ অর্জন করে। মাস্কিন একটি পেরেটো-সর্বোত্তম হিংসা-মুক্ত বরাদ্দের অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন যখন মোট অর্থ দান (এন-1) ভি এর চেয়ে বেশি হয়। প্রমাণগুলি প্রতিযোগিতামূলক ভারসাম্য ব্যবহার করে। মনে রাখবেন যে (এন-1) ভি-এর ভর্তুকির প্রয়োজন হতে পারেঃ যদি সমস্ত প্রতিনিধি একটি বস্তুকে ভি-তে এবং অন্যান্য বস্তুকে 0-তে মূল্য দেয়, তবে ঈর্ষা-স্বাধীনতার জন্য প্রতিটি এজেন্টের জন্য ভি-এর ভর্তুকির প্রয়োজন হয় যারা বস্তুটি গ্রহণ করে না। টাডেনুমা এবং থমসন ঈর্ষামুক্ত বরাদ্দের নিয়মের বেশ কয়েকটি সামঞ্জস্যপূর্ণ বৈশিষ্ট্য অধ্যয়ন করেন। আরাগোন্স ঈর্ষা-স্বাধীনতার জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম ভর্তুকির পরিমাণকে চিহ্নিত করে। যে বরাদ্দ এই ন্যূনতম ভর্তুকি অর্জন করে তা প্রায় অনন্যঃ এজেন্টদের সাথে বস্তুগুলিকে একত্রিত করার একমাত্র উপায় রয়েছে এবং সমস্ত এজেন্ট সমস্ত ন্যূনতম ভর্তুকি বরাদ্দের মধ্যে উদাসীন। এটি আলকান, ডিমাঞ্জ এবং গেলের "মানি-রাওলসিয়ান সলিউশন" নামক সমাধানের সাথে মিলে যায়। সর্বাধিক ওজনের মিল খুঁজে বের করে এবং তারপর একটি নির্দিষ্ট প্ররোচিত আলেখ্যে সংক্ষিপ্ততম পথ খুঁজে বের করে এটি বহুপদী সময়ে পাওয়া যেতে পারে। ক্লিজন একই সেটিং-এর জন্য আরেকটি পলিনোমিয়াল-টাইম অ্যালগরিদম উপস্থাপন করে। তাঁর অ্যালগরিদম পার্শ্ব-অর্থপ্রদানের পলিটোপ ব্যবহার করে যা প্রদত্ত বরাদ্দের ঈর্ষাহীন করে তোলেঃ এই পলিটোপটি খালি নয় যদি মূল বরাদ্দের পরিমাণ পারেটো-দক্ষ হয়। অনির্দিষ্ট ঈর্ষা গ্রাফের সংযোগ এই পলিটোপের চরম বিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করে। এটি চরম ঈর্ষাহীন বরাদ্দ খুঁজে বের করার একটি পদ্ধতি বোঝায়। অ্যাডিটিভ এজেন্টগুলি বেশ কয়েকটি বস্তু পেতে পারে, তাই বরাদ্দ সমস্যা আরও জটিল হয়ে ওঠে-আরও অনেক সম্ভাব্য বরাদ্দ রয়েছে। জিনিসপত্র ও অর্থের ন্যায্য বরাদ্দের প্রথম পদ্ধতিটি উদ্ভাবন করেছিলেন ব্রোনিস্লা নাস্টার এবং প্রকাশ করেছিলেন হুগো স্টেইনহাউস। এই নিলামটি প্রতিটি পণ্যের জন্য আলাদাভাবে নিম্নরূপ কাজ করেঃ প্রতিটি প্রতিনিধি পণ্যটির উপর একটি দরপত্র জমা দেয়। পণ্যটি সর্বোচ্চ দরদাতাকে দেওয়া হয় (নির্বিচারে বন্ধন ভেঙে)। বিজয়ী তার দরপত্রের (এন-1)/এন প্রদান করে; অন্যান্য এজেন্টদের প্রত্যেকে তার দরপত্রের 1/এন পায়; যেহেতু বিজয়ী সর্বোচ্চ দরদাতা, তাই একটি অ-নেতিবাচক উদ্বৃত্ত থাকে; উদ্বৃত্ত এজেন্টদের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা হয়। প্রতিটি এজেন্টের উপযোগিতা বস্তুর পুরো সেটের জন্য নির্ধারিত মানের কমপক্ষে 1/এন হয়, তাই বরাদ্দটি আনুপাতিক। উপরন্তু, বরাদ্দ ইউটিলিটিগুলির সমষ্টি সর্বাধিক করে, তাই এটি পারেটো দক্ষ। নাস্টারের নিলাম কৌশলগত নয়। কিছু গবেষক এর কার্যকারিতা বিশ্লেষণ করেছেন যখন এজেন্টরা কৌশলগতভাবে খেলেঃ এসেন প্রমাণ করেছেন যে ভারসাম্য বরাদ্দ এখনও পেরেটো-দক্ষ, তবে আনুপাতিক এক্স-পোস্ট নাও হতে পারে। তবে, এজেন্টরা গড়ে একই ফলাফল পায় যেন সবাই সত্যবাদী। অর্থাৎ, প্রক্রিয়াটি আনুপাতিক এক্স-এন্টে। ফ্রাগনেল্লি এবং মেরিনা দেখান যে, এমনকি অসীম ঝুঁকি-বিরোধী এজেন্টরাও, অন্যান্য এজেন্টদের ঘোষণা নির্বিশেষে, তাদের মূল্যায়নের যৌথ ভুল প্রতিবেদনের মাধ্যমে একটি নিরাপদ লাভ হতে পারে। নাস্টারের নিলামটি বেতার চ্যানেলগুলির ন্যায্য বরাদ্দের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়া হয়েছে। রাইথের নিলাম ম্যাথিয়াস জি. রাইথ নাস্টারের নিলামে একটি বৈকল্পিক উপস্থাপন করেছিলেন, যা তিনি "অ্যাডজাস্টেড নাস্টার" নামে অভিহিত করেছিলেন। নাস্টারের নিলামের মতো, প্রতিটি পণ্য সর্বোচ্চ দরদাতাকে দেওয়া হয়। যাইহোক, পেমেন্ট ভিন্ন। অর্থ প্রদান নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়ঃ একটি পণ্য জয়ী প্রতিটি প্রতিনিধি এই পণ্যের জন্য তার দরপত্র প্রদান করে; এজেন্টদের দ্বারা প্রদত্ত মোট অর্থ তাদের দরপত্রের অনুপাতে তাদের মধ্যে ভাগ করা হয়। নাস্টারের নিলাম এবং রাইথের নিলামের মধ্যে পার্থক্য ব্যাখ্যা করার জন্য, নিম্নলিখিত মান সহ দুটি আইটেম এবং দুটি এজেন্ট সহ একটি সেটিং বিবেচনা করুনঃ উভয় নিলামে, জর্জ উভয় আইটেম জিতেছে, তবে অর্থ প্রদান আলাদাঃ নাস্টারের নিলামে, জর্জ 90 প্রদান করে, অ্যালিস 10 পায় এবং 80 এর পার্থক্য সমানভাবে ভাগ করা হয়, তাই নেট ইউটিলিটিগুলি 50,130। রাইথের নিলামে, জর্জ 180 টাকা দেয় এবং এটি 20:180 = 1:9 অনুপাতে ভাগ করা হয়, অর্থাৎ, অ্যালিস 18 এবং জর্জ 162 পায়। মনে রাখবেন যে পেমেন্টগুলি একবারে সমস্ত আইটেমের জন্য গণনা করা হয়-প্রতিটি আইটেমের জন্য আলাদাভাবে নয়। মানব বিষয়গুলির সাথে পরীক্ষায় দেখা গেছে যে অংশগ্রহণকারীরা ডিভাইড-অ্যান্ড-চুজ এবং প্রপোর্শনাল নাস্টারের চেয়ে রাইথের নিলাম (অ্যাডজাস্টেড নাস্টার) পছন্দ করে (একটি বৈকল্পিক যেখানে প্রতিটি বিজয়ী প্রতিটি পরাজিতকে জয়ের 1/এন প্রদান করে; উপরের উদাহরণে, জর্জ অ্যালিসকে 90 প্রদান করে এবং নেট ইউটিলিটি 90,90 হয়)। ক্ষতিপূরণ পদ্ধতি হাক্কে, রাইথ এবং সু ক্ষতিপূরণ পদ্ধতি উপস্থাপন করে। তাদের পদ্ধতি আইটেমগুলির বান্ডিলগুলিতে নির্বিচারে সীমাবদ্ধতার অনুমতি দেয়, যতক্ষণ না তারা বেনামী হয় (তাদের পরিচয়ের ভিত্তিতে অংশীদারদের মধ্যে পার্থক্য করবেন না)। উদাহরণস্বরূপ, "প্রতিটি অংশীদারকে অবশ্যই কমপক্ষে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক আইটেম গ্রহণ করতে হবে" বা "কিছু আইটেম অবশ্যই একসাথে বান্ডিল করতে হবে" (যেমন, কোনও বাধা বা সীমাবদ্ধতা থাকতে পারে না। কারণ এগুলি স্থল-প্লট যা অবশ্যই সংযুক্ত থাকতে হবে) ইত্যাদি। "আইটেম"-গুলির ইতিবাচক বা নেতিবাচক উভয় উপযোগিতা থাকতে পারে। একজন অংশীদারের জন্য একটি "যোগ্যতার প্রয়োজনীয়তা" রয়েছেঃ তার দরপত্রের সমষ্টি কমপক্ষে মোট খরচ হতে হবে। পদ্ধতিটি নিম্নলিখিত ধাপগুলিতে কাজ করে। একটি সর্বাধিক (উপযোগিতামূলক) বরাদ্দ খুঁজে বের করুন-এমন একটি বরাদ্দ যা সর্বোচ্চ পরিমাণের উপযোগিতার সঙ্গে পণ্যের বান্ডিলের সীমাবদ্ধতা পূরণ করে। যদি কোনও সীমাবদ্ধতা না থাকে, তবে একটি বরাদ্দ যা সর্বোচ্চ মূল্যায়নের অংশীদারকে প্রতিটি আইটেম দেয় তা হল ম্যাক্সাম। যদি সীমাবদ্ধতা থাকে (যেমন "অংশীদার প্রতি কমপক্ষে একটি আইটেম"), তাহলে একটি সর্বাধিক বরাদ্দ খুঁজে পাওয়া আরও কঠিন হতে পারে। প্রতিটি অংশীদারের কাছ থেকে তাকে বরাদ্দ করা বান্ডিলের মূল্য ধার্য করুন। এটি অর্থের প্রাথমিক পুল তৈরি করে। প্রাথমিক পুল থেকে খরচ পরিশোধ করুন। যদি সমস্ত অংশীদার যোগ্যতার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে, তবে পুলের অর্থ যথেষ্ট, এবং কিছু উদ্বৃত্ত অবশিষ্ট থাকতে পারে। ঈর্ষান্বিত অংশীদারদের ক্ষতিপূরণ দেওয়ার মাধ্যমে ঈর্ষা দূর করুন। ক্ষতিপূরণের বেশিরভাগ পর্যায় রয়েছে। পদ্ধতিটি সম্পূর্ণরূপে বর্ণনামূলক এবং স্পষ্টভাবে বলে যে কোন ক্ষতিপূরণ দেওয়া উচিত এবং কোন ক্রমে। উপরন্তু, এটি কম্পিউটার সমর্থন ছাড়া সম্পন্ন করা যথেষ্ট সহজ। সমস্ত পর্যায়ে ক্ষতিপূরণের সমষ্টি হল সবচেয়ে ছোট পরিমাণ যা ঈর্ষা দূর করার জন্য প্রয়োজন হয় এবং এটি কখনই উদ্বৃত্ত পরিমাণ অতিক্রম করে না। যদি কিছু উদ্বৃত্ত অবশিষ্ট থাকে, তবে এটি এমন কোনও উপায়ে ভাগ করা যেতে পারে যা হিংসা সৃষ্টি করে না, উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি অংশীদারকে সমান পরিমাণ দিয়ে (কাগজটি অন্যান্য বিকল্পগুলি নিয়ে আলোচনা করে যা "ন্যায্য" হিসাবে বিবেচিত হতে পারে)। যখন অনেক আইটেম এবং জটিল সীমাবদ্ধতা থাকে, তখন প্রাথমিক পদক্ষেপ-একটি সর্বাধিক বরাদ্দ খুঁজে পাওয়া-কম্পিউটার ছাড়া গণনা করা কঠিন হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, ক্ষতিপূরণ পদ্ধতি একটি নির্বিচারে বরাদ্দ দিয়ে শুরু হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, পদ্ধতিটি একটি বরাদ্দ দিয়ে শেষ হতে পারে যার মধ্যে ঈর্ষা-চক্র রয়েছে। ঈর্ষা-গ্রাফ পদ্ধতির মতো চক্র বরাবর বান্ডিলগুলি সরিয়ে এই চক্রগুলি অপসারণ করা যেতে পারে। এটি কঠোরভাবে উপযোগিতার মোট যোগফল বৃদ্ধি করে। অতএব, সীমিত সংখ্যক পুনরাবৃত্তির পরে, একটি সর্বাধিক বরাদ্দ পাওয়া যাবে, এবং একটি ঈর্ষাহীন বরাদ্দ তৈরি করার জন্য পদ্ধতিটি উপরের মতো চালিয়ে যেতে পারে। ক্ষতিপূরণ পদ্ধতি কিছু অংশীদারকে নেতিবাচক অর্থ প্রদান করতে পারে (অর্থাৎ, অংশীদারদের একটি ইতিবাচক পরিমাণ অর্থ প্রদান)। লেখকরা বলেনঃ "আমরা এই সম্ভাবনাকে বাধা দিচ্ছি না যে একজন ব্যক্তিকে অন্যরা একগুচ্ছ পণ্য নেওয়ার জন্য অর্থ প্রদান করতে পারে। ন্যায্য বিভাজনের প্রেক্ষাপটে, আমরা এটিকে মোটেও সমস্যাযুক্ত মনে করি না। প্রকৃতপক্ষে, যদি কোনও গোষ্ঠী তার কোনও সদস্যকে বাদ দিতে না চায়, তবে কোনও অযাচিত প্যাকেজ পাওয়ার জন্য গোষ্ঠীর কোনও সদস্যকে ভর্তুকি না দেওয়ার কোনও কারণ নেই। উপরন্তু, যোগ্যতার প্রয়োজনীয়তা নিশ্চিত করে যে ভর্তুকি কখনই কোনও খেলোয়াড়ের বিতরণ করা সম্পূর্ণ বস্তুর অপর্যাপ্ত মূল্যায়নের ফল নয়। ন্যূনতম ভর্তুকি পদ্ধতি কিছু কাজ ধরে নেয় যে কোনও পরোপকারী তৃতীয় পক্ষ বরাদ্দে ভর্তুকি দিতে ইচ্ছুক, তবে ঈর্ষা-স্বাধীনতা সাপেক্ষে ভর্তুকির পরিমাণ হ্রাস করতে চায়। এই সমস্যাটিকে ন্যূনতম ভর্তুকি ঈর্ষাহীন বরাদ্দ বলা হয়। হ্যাল্পার্ন এবং শাহ সাধারণ আইটেম-বরাদ্দ ব্যবস্থায় ভর্তুকি ন্যূনতমকরণ নিয়ে গবেষণা করেন। তারা দুটি বিষয় বিবেচনা করেঃ বরাদ্দ অগ্রিম দেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে, এটি "ঈর্ষা-মুক্ত" হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি এজেন্টদের কাছে তার বান্ডিলগুলির সমস্ত পুনর্বিন্যাস জুড়ে উপযোগিতার সমষ্টি সর্বাধিক করে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ঈর্ষা-গ্রাফের কোনও চক্র না থাকে। ন্যূনতম ভর্তুকি সহ একটি হিংসা-মুক্ত মূল্য শক্তিশালী বহুপদী সময়ে গণনা করা যেতে পারে, ওজনযুক্ত ঈর্ষা-গ্রাফ তৈরি করে এবং প্রতিটি প্রতিনিধি i কে, i থেকে উদ্ভূত একটি পথের সর্বোচ্চ ওজনের সমান মূল্য দিয়ে। প্রতিটি পথের ওজন সর্বাধিক m পদের যোগফল, যার প্রত্যেকটিই কোনও ভালের জন্য কোনও এজেন্টের মান। বিশেষত, যদি প্রতিটি এজেন্টের জন্য প্রতিটি পণ্যের মান সর্বাধিক ভি হয়, তবে প্রতিটি পথের ওজন সর্বাধিক এমভি হয়। যেহেতু আমরা সবসময় দাম কমাতে পারি যাতে একজন এজেন্ট শূন্য ভর্তুকি পায়, তাই সর্বাধিক (এন-1) এমভি ভর্তুকির সাথে সর্বদা একটি ঈর্ষাহীন বরাদ্দ থাকে। এই ভর্তুকির প্রয়োজন হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ যখন সমস্ত পণ্য অভিন্ন হয় এবং একজন প্রতিনিধি সেগুলি পায়। বরাদ্দ নির্বাচন করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে (এন-1) ভি-এর ভর্তুকি যথেষ্টঃ যখন এজেন্টদের মূল্যায়ন বাইনারি (0 বা 1) হয়। তারপরে, যে কোনও সর্বোচ্চ-পণ্য বরাদ্দ বা লেক্সিমিন-সর্বোত্তম বরাদ্দের জন্য সর্বাধিক (এন-1) ভি ভর্তুকি প্রয়োজন, এবং এটি বহুপদী সময়ে পাওয়া যেতে পারে। ই. এফ অর্জনের জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম ভর্তুকি গণনা করা টুরিং-এর সমতুল্য একটি ঈর্ষাহীন বরাদ্দের অস্তিত্ব পরীক্ষা করার সমতুল্য, যা অ-অপচয়মূলক বরাদ্দের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলে এন. পি-হার্ড হয়। যখন সমস্ত এজেন্টের একই অ্যাডিটিভ ভ্যালুয়েশন থাকে। তারপর, প্রতিটি বরাদ্দ ঈর্ষা-মুক্ত। সর্বাধিক (এন-1) ভি ভর্তুকির প্রয়োজন এমন একটি বরাদ্দ বহুপদী সময়ে পাওয়া যেতে পারে। একটি বরাদ্দ ভর্তুকিকে ন্যূনতম করে দেয় যদি এটি কোনও এজেন্টের সর্বাধিক উপযোগিতা হ্রাস করে। এই ধরনের বরাদ্দ গণনা করা এনপি-হার্ড, এবং ম্যাক্স-প্রোডাক্ট অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। যখন দুটি এজেন্ট থাকে, একটি নির্দিষ্ট এজেন্ট অর্ডারের সাথে রাউন্ড-রবিন আইটেম বরাদ্দ এমন একটি বরাদ্দ খুঁজে পায় যা সর্বাধিক ভর্তুকির সাথে ঈর্ষাহীন-মুক্ত। ভি. ব্রাস্টল, ডিপেল, নারায়ণ, সুজুকি এবং ভেট্টা প্রয়োজনীয় ভর্তুকির উপরের সীমা উন্নত করেঃ যোগাত্মক মূল্যায়নের সাথে, এজেন্ট প্রতি সর্বাধিক ভি এবং সাধারণভাবে সর্বাধিক (এন-1) ভি ভর্তুকি সর্বদা যথেষ্ট। উপরন্তু, এই সীমা অর্জনের জন্য একটি বরাদ্দ রয়েছে যা ইএফ1 এবং ভারসাম্যপূর্ণ (বরাদ্দকৃত বান্ডিলগুলির মূল বিষয়গুলি সর্বাধিক একটি ভাল দ্বারা পৃথক হয়)। এটি একটি সহজ অ্যালগরিদম দ্বারা বহুপদী সময়ে গণনা করা যেতে পারেঃ পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে এজেন্ট-অবজেক্ট দ্বিদলীয় গ্রাফে সর্বাধিক ওজনের মিল খুঁজে বের করুন। সাধারণ মনোটোন মূল্যায়নের ক্ষেত্রে, এজেন্ট প্রতি সর্বাধিক 2 (এন-1) ভি এবং সর্বাধিক ও (এন2ভি) ভর্তুকি সর্বদা যথেষ্ট। বিশেষ করে, প্রয়োজনীয় ভর্তুকি বস্তুর সংখ্যার উপর নির্ভর করে না। এই সীমা অর্জনের জন্য একটি বরাদ্দ বহুপদী সময়ে মান-প্রশ্ন ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। কারাজিয়ানিস এবং আইওনিডিস ভর্তুকি হ্রাস করার গণনামূলক সমস্যা অধ্যয়ন করেনঃ ধ্রুবক সংখ্যক এজেন্টের জন্য, তারা একটি অ্যালগরিদম উপস্থাপন করেন যা যে কোনও প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার মধ্যে ন্যূনতম পরিমাণ ভর্তুকি অনুমান করে। যে কোনও ε> 0-এর জন্য, এটি সর্বাধিক ভর্তুকি সহ একটি বরাদ্দ খুঁজে পায়, যেখানে S হল সর্বোচ্চ মূল্য যা একজন প্রতিনিধি সমস্ত বস্তুর জন্য বরাদ্দ করেন। অ্যালগরিদমটি গতিশীল প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে এবং সময়মতো চলে। পরিবর্তনশীল সংখ্যক এজেন্টের জন্য, একটি তুচ্ছ আনুমানিক অ্যালগরিদম অর্জন করে। যাইহোক, এন থেকে স্বাধীন একটি আনুমানিক ফ্যাক্টর অর্জন করা কঠিনঃ সর্বাধিক ভর্তুকি দিয়ে বরাদ্দ গণনা করা এনপি-কঠিন। প্রমাণটি হল সর্বাধিক ত্রিমাত্রিক মিলনের একটি সীমাবদ্ধ রূপ থেকে হ্রাস, যেখানে প্রতিটি শীর্ষ ঠিক দুবার প্রদর্শিত হয়। মনে রাখবেন যে ভর্তুকির সঙ্গে একটি ঈর্ষাহীন বরাদ্দ ঈর্ষাহীন থাকে যদি প্রতিটি এজেন্টের কাছ থেকে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ নেওয়া হয়। অতএব, ভর্তুকি দেওয়া হয় না এমন বরাদ্দ খুঁজে বের করার জন্য অনুরূপ পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারেঃ প্রতিটি এজেন্টকে গড় অর্থ প্রদানের জন্য চার্জ করলে ঈর্ষাহীন বরাদ্দ পাওয়া যায় যা বাজেট-ভারসাম্যপূর্ণও হয়। ভর্তুকি হ্রাস করা যে কোনও পৃথক এজেন্টকে যে সর্বাধিক পরিমাণ অর্থ প্রদান করতে হয় তা হ্রাস করার সমতুল্য। সমস্ত এজেন্টদের যে মোট পরিমাণ অর্থ প্রদান করতে হয় তা হ্রাস করার পাশাপাশি নেতিবাচক ভর্তুকি (কর) ব্যবহার করাও সম্ভব। অতিরিক্ত পদ্ধতি আলকান, ডিমাঞ্জ এবং গেল দেখিয়েছেন যে, যখন অর্থের পরিমাণ যথেষ্ট বেশি হয় তখন একটি ঈর্ষাহীন বরাদ্দ সর্বদা বিদ্যমান থাকে। জিনিসগুলির নেতিবাচক মূল্যায়ন থাকলেও এটি সত্য। মেরটেনস, পটার্স এবং রেইজনিয়ার্স মূল্যায়নের উপর খুব হালকা অনুমানের অধীনে হিংসা-মুক্ত এবং পেরেটো-সর্বোত্তম বরাদ্দের অস্তিত্ব প্রমাণ করে (অগত্যা আধা-রৈখিক নয়)। ক্যাভালো ঈর্ষা-স্বাধীনতা, আনুপাতিকতা এবং দক্ষতা (কল্যাণ)-এর ঐতিহ্যবাহী বাইনারি মানদণ্ডকে 0 থেকে 1-এর মধ্যে মাত্রার পরিমাপের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করেছেন। ক্যানোনিকাল ফেয়ার ডিভিশন সেটিংসে, যে কোনও বরাদ্দ-দক্ষ ব্যবস্থার অধীনে সবচেয়ে খারাপ-কেস কল্যাণ হার 0 এবং অসামঞ্জস্যের হার 1; অন্য কথায়, সবচেয়ে খারাপ-কেস ফলাফল যতটা সম্ভব খারাপ। তিনি এমন একটি প্রক্রিয়া খুঁজছেন যা ন্যায্য বিভাজন সেটিংসের একটি বর্ণালী জুড়ে উচ্চ কল্যাণ, কম ঈর্ষা এবং প্রত্যাশার ক্ষেত্রে কম অসামঞ্জস্যতা অর্জন করে। ভি. সি. জি প্রক্রিয়াটি সন্তোষজনক নয়, তবে বেইলি এবং ক্যাভালোর পুনর্বণ্টন প্রক্রিয়াটি সন্তোষজনক। সম্পর্কিত সমস্যা ঈর্ষাহীন মূল্য ক্রেতাদের কাছে পণ্য বিক্রি করার সময়, অর্থপ্রদানের পরিমাণ আগে থেকে নির্ধারণ করা হয় না এবং লক্ষ্য হল বিক্রেতার রাজস্ব বা সামাজিক কল্যাণকে ঈর্ষাহীনতার সাপেক্ষে সর্বাধিক করা। উপরন্তু, বস্তুর সংখ্যা এজেন্টের সংখ্যার থেকে আলাদা হতে পারে এবং কিছু বস্তু ফেলে দেওয়া হতে পারে। এটি হিংসা-মুক্ত মূল্য সমস্যা হিসাবে পরিচিত। বহুমাত্রিক উদ্দেশ্যগুলি প্রায়শই ন্যায্যতার পাশাপাশি আরও কিছু লক্ষ্য অর্জন করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, এজেন্টদের কাজ বরাদ্দ করার সময়, ঈর্ষা এড়ানো এবং মেকস্প্যান (-শেষ এজেন্টের সমাপ্তির সময়) উভয়ই হ্রাস করা প্রয়োজন। মু 'আলেম ঈর্ষা-স্বাধীনতার গ্যারান্টি সহ অপ্টিমাইজেশান সমস্যার জন্য একটি সাধারণ কাঠামো উপস্থাপন করে যা স্বাভাবিকভাবেই আর্থিক অর্থ প্রদানের মাধ্যমে ন্যায্য আইটেম বরাদ্দ প্রসারিত করে। আজিজের লক্ষ্য হল আর্থিক স্থানান্তর ব্যবহার করে এমন একটি বরাদ্দ অর্জন করা যা ঈর্ষামুক্ত এবং ন্যায়সঙ্গত উভয়ই। তিনি শুধুমাত্র অ্যাডিটিভ পজিটিভ ইউটিলিটিগুলিই নয়, যে কোনও সুপারঅ্যাডিটিভ ইউটিলিটিগুলির জন্যও অধ্যয়ন করেন, তা ইতিবাচক বা নেতিবাচক যাই হোক না কেনঃ সুপারঅ্যাডিটিভ ইউটিলিটিগুলির জন্য, একটি বহুপদী-সময় অ্যালগরিদম রয়েছে যা ঈর্ষা-স্বাধীনতা, সমতা এবং বাজেটের ভারসাম্য অর্জন করে (ভর্তুকির সাথে বাজেট-ভারসাম্য বিনিময় করা সহজ)। যদি কোনও বরাদ্দ ই. এফ. ই. কিউ-রূপান্তরযোগ্য হয়, তবে এটিকে ই. এফ + ই. কিউ করার জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম ভর্তুকি রৈখিক সময়ে পাওয়া যেতে পারে। ন্যূনতম ভর্তুকির সঙ্গে ই. এফ. ই. কিউ-রূপান্তরযোগ্য একটি বরাদ্দ খুঁজে পাওয়া এন. পি-হার্ড, এবং কোনও ইতিবাচক ফ্যাক্টরের মধ্যে আনুমানিক করা যায় না। এর কারণ হল একটি ই. এফ বরাদ্দের অস্তিত্ব পরীক্ষা করা (যার জন্য 0 ভর্তুকির প্রয়োজন) এন. পি-হার্ড। সর্বাধিক (এন-1) এমভি-র ভর্তুকি সবসময়ই যথেষ্ট, এবং বরাদ্দ দেওয়া হোক বা না হোক তা প্রয়োজনীয় হতে পারে। ঈর্ষাহীন পণ্য বরাদ্দ-আর্থিক স্থানান্তর ছাড়া সেটিং-ও দেখুন। তথ্যসূত্র ন্যায্য পণ্য বরাদ্দ