K-stability of Fano varieties
গণিতে, এবং বিশেষত বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, কে-স্থিতিশীলতা হল প্রজেক্টিভ বীজগাণিতিক প্রকার এবং জটিল ম্যানিফোল্ডের জন্য একটি অ্যালজেব্রো-জ্যামিতিক স্থিতিশীলতা শর্ত। কে-স্থিতিশীলতা ফানো জাতের ক্ষেত্রে বিশেষ গুরুত্ব বহন করে, যেখানে মডুলি স্পেস গঠনের অনুমতি দেওয়ার জন্য এটি সঠিক স্থিতিশীলতা শর্ত এবং যেখানে এটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্বকে সঠিকভাবে চিহ্নিত করে। কে-স্থিতিশীলতা প্রথম 1997 সালে গ্যাং তিয়ান দ্বারা ফানো ম্যানিফোল্ডের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল 1993 সাল থেকে শিং-টুং ইয়াউয়ের একটি অনুমানের প্রতিক্রিয়ায় যে একটি স্থিতিশীলতা শর্ত থাকা উচিত যা একটি ফানো ম্যানিফোল্ডে কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্বকে চিহ্নিত করে। এটি পূর্বে তোশিকি মাবুচি দ্বারা প্রবর্তিত কে-শক্তি কার্যকারিতার প্রসঙ্গে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। টিয়ানের কে-স্থিতিশীলতার সংজ্ঞাটি 2001 সালে সাইমন ডোনাল্ডসন বিশুদ্ধভাবে অ্যালজেব্রো-জ্যামিতিক উপায়ে সংস্কার করেছিলেন। কে-স্থিতিশীলতা ফানো জাতের অধ্যয়ন এবং শ্রেণিবিন্যাসে একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা হয়ে উঠেছে। 2012 সালে শিউক্সিওং চেন, ডোনাল্ডসন, এবং সং সান এবং স্বাধীনভাবে গ্যাং তিয়ান প্রমাণ করেছিলেন যে একটি মসৃণ ফ্যানো ম্যানিফোল্ড কে-পলিস্টেবল যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক গ্রহণ করে। বার্মান-বুকসম-জনসন এবং অন্যান্যদের কাজের কারণে এটি পরে একক কে-পলিস্টেবল ফ্যানো জাতগুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। কে-স্থিতিশীলতা ফানো জাতের মডুলি স্পেস তৈরিতে গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্বের মূল বিকাশে ফিরে যাওয়া পর্যবেক্ষণগুলি দেখায় যে ভাল মডুলি গঠনের জন্য স্থিতিশীল বস্তুর একটি শ্রেণীতে সীমাবদ্ধ থাকা প্রয়োজন। এটি এখন চেনইয়াং জু এবং অন্যদের কাজের মাধ্যমে জানা যায় যে সীমাবদ্ধ ধরনের কে-পলিস্টেবল ফ্যানো জাতের একটি প্রজেক্টিভ মোটা মডুলি স্থান রয়েছে। এই কাজটি কওচার বিরকারের ফানো জাতের সীমাবদ্ধতার প্রমাণের উপর নির্ভর করে, যার জন্য তাকে 2018 সালের ফিল্ডস পদক প্রদান করা হয়েছিল। ফুজিতা-লি এবং ওডাকা দ্বারা কে-স্থিতিশীলতার অবস্থার সংস্কারের কারণে, ফ্যানো জাতের কে-স্থিতিশীলতা অনুশীলনে স্পষ্টভাবে গণনা করা যেতে পারে। কোন ধরনের ফ্যানো কে-স্থিতিশীল তা মাত্রা এক, দুই এবং তিন-এ ভালভাবে বোঝা যায়। সংজ্ঞা এবং চরিত্রায়ন ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের জন্য কে-স্থিতিশীলতার ধারণাটি মূলত তিয়ানের ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা হয়েছিল, যিনি ভেক্টর ক্ষেত্রের ফুটাকি অপরিবর্তনীয়তার বিশুদ্ধ বিশ্লেষণাত্মক ধারণাকে কক্ষপথের এককত্ব সহ নির্দিষ্ট স্বাভাবিক জাতের ক্ষেত্রে প্রসারিত করেছিলেন। এটি পরে ডোনাল্ডসন দ্বারা বিশুদ্ধভাবে অ্যালজেব্রো-জ্যামিতিক আকারে সংস্কার করা হয়েছিল, তবে এই সাধারণ সংজ্ঞাটি সমস্ত প্রজেক্টিভ জাতের বিস্তৃত শ্রেণীর জন্য অর্থবোধের পরিবর্তে ফানো জাতের জ্যামিতির সাথে সরাসরি সংযোগ হারিয়েছিল। তিয়ানের কাজ দেখায় যে ডোনাল্ডসন-ফুটাকি অপরিবর্তনীয় একটি পরীক্ষা বিন্যাসের কেন্দ্রীয় তন্তুতে-ক্রিয়ার ওজন নির্দিষ্ট করে নির্দিষ্ট ছেদ সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে গণনা করা যেতে পারে (তথাকথিত সিএম লাইন বান্ডেলে একটি ক্রিয়ার ওজনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)। ফানো ক্ষেত্রে এই ছেদ সংখ্যাগুলি, যা বৈচিত্র্যের অ্যান্টিক্যানোনিকাল বিভাজক এবং এর পরীক্ষার বিন্যাসের সাথে জড়িত, ফানো বৈচিত্র্যের বীজগাণিতিক এবং জন্মগত জ্যামিতির পরিপ্রেক্ষিতে শক্তিশালী বিকল্প বৈশিষ্ট্য দেওয়া যেতে পারে। এইভাবে ফ্যানো জাতের ক্ষেত্রে, কে-স্থিতিশীলতার অনেকগুলি ভিন্ন কিন্তু সমতুল্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে কয়েকটি স্পষ্ট গণনা বা ফলাফলের সহজ প্রমাণের জন্য নিজেদের ধার দেয়। এই বিভাগে সমস্ত সংজ্ঞা একটি-ফ্যানো জাতের সাধারণতায় বর্ণিত হয়েছে, যা একটি প্রচুর-কার্টিয়ার অ্যান্টিক্যানোনিকাল বিভাজক এবং সবচেয়ে খারাপ কাওয়ামাটা লগ টার্মিনাল (কেএলটি) এককত্ব সহ একটি ফ্যানো জাত। কে-স্থিতিশীলতার সংজ্ঞা যে কোনও-গোরেনস্টাইন ফ্যানো বৈচিত্র্যের জন্য তৈরি করা যেতে পারে (অর্থাৎ, যে কোনও ফ্যানো বৈচিত্র্য যেখানে অ্যান্টিক্যানোনিকাল বিভাজক-কার্টিয়ার), তবে ওডাকা দ্বারা এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে প্রতিটি কে-সেমিস্টেবল ফ্যানো বৈচিত্র্যের সবচেয়ে খারাপ কেএলটি এককত্ব রয়েছে, তাই কে-স্থিতিশীলতা অধ্যয়নের উদ্দেশ্যে এটি সবচেয়ে খারাপ কেএলটি এককত্ব ধরে নেওয়ার জন্য যথেষ্ট। প্রতিটি সংজ্ঞাকে সোজাসুজি ভাবে------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ - ঐতিহ্যগত সংজ্ঞা একটি ফ্যানো ম্যানিফোল্ড বা আরও সাধারণভাবে একটি-ফ্যানো বৈচিত্র্যের জন্য কে-স্থিতিশীলতার সংজ্ঞা বিভিন্ন রূপে দেওয়া যেতে পারে। পরীক্ষার বিন্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে কে-স্থিতিশীলতার সাধারণ সংজ্ঞা (আরও বিশদ বিবরণের জন্য কে-স্থিতিশীলতা দেখুন) সরলীকৃত করা যেতে পারে যদি পরীক্ষার বিন্যাসের ধরণটি সরলীকৃত করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, টরিক জাতের ক্ষেত্রে, কেউ সর্বদা পরীক্ষার কনফিগারেশনগুলি নিতে পারে যা টরিকও হয় এবং এটি টরিক জাতের পলিটোপ মুহুর্তে উত্তল ফাংশনের ক্ষেত্রে কে-স্থিতিশীলতার পুনর্বিন্যাসের দিকে পরিচালিত করে, যেমনটি ডোনাল্ডসন কে-স্থিতিশীলতার উপর তাঁর প্রথম গবেষণাপত্রে পর্যবেক্ষণ করেছিলেন। ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের ক্ষেত্রে, এটি ইতিমধ্যে তিয়ানের কাজে অন্তর্নিহিত ছিল যে কেউ একটি সরলীকৃত কেন্দ্রীয় তন্তু দিয়ে কনফিগারেশন পরীক্ষা করতে সীমাবদ্ধ থাকতে পারে, সেই ক্ষেত্রে যেখানে কেন্দ্রীয় তন্তু একটি স্বাভাবিক প্রকার। এই ক্ষেত্রে একটি সাধারণ পরীক্ষার বিন্যাসের ডোনাল্ডসন-ফুটাকি অপরিবর্তনীয়ের জন্য একটি ছেদ-তাত্ত্বিক সূত্র বিদ্যমান। স্পষ্টতই, কেউ জটিল প্রজেক্টিভ লাইনের উপর একটি পরীক্ষার কনফিগারেশনে বিন্দুতে তুচ্ছভাবে প্রসারিত করে, একজনের একটি সূত্র রয়েছে এই অপরিবর্তনীয়ের ক্ষেত্রে, যদি এটি একটি-ফ্যানো বৈচিত্র্য হয়, আমরা বলি যে কোনও স্বাভাবিক পরীক্ষার কনফিগারেশনের জন্য কে-সেমিস্টেবল। কে-স্থিতিশীল যদি কোনও স্বাভাবিক পরীক্ষার বিন্যাসের জন্য যা কোডিমেনশন 2-এর একটি সেটের বাইরে তুচ্ছ পরীক্ষার বিন্যাসের সমরূপ নয়। অভিন্নভাবে কে-স্থিতিশীল যদি কোনও স্বাভাবিক পরীক্ষার বিন্যাসের জন্য, যেখানে পরীক্ষার বিন্যাসের ন্যূনতম মান এবং শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে একটি অভিন্ন ধ্রুবক। কে-স্থিতিশীল যদি কে-সামঞ্জস্যপূর্ণ না হয়। উপরের সংজ্ঞা অনুসারে, এর প্রভাব রয়েছে অভিন্নভাবে কে-স্থিতিশীল কে-স্থিতিশীল কে-সমতুল্য উপরের সংজ্ঞাগুলি এমন পরিস্থিতির জন্য উপযুক্ত নয় যেখানে ফ্যানোর বৈচিত্র্যের অটোমরফিজম রয়েছে। যখন অটোমরফিজমের স্থানটি ধনাত্মক-মাত্রিক হয়, তখন আকিটো ফুটাকি পর্যবেক্ষণ করেছিলেন যে অটোমরফিজমগুলি থেকে নির্মিত কিছু পরীক্ষার কনফিগারেশন রয়েছে যার মধ্যে কে-স্থিতিশীলতা পরীক্ষার দৃষ্টিকোণের জন্য "তুচ্ছ"। এই ক্ষেত্রে একজনের সেই পরীক্ষার বিন্যাসগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকা উচিত যা সর্বাধিক টরাসের ক্রিয়ার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং এটি কে-পলিস্টেবিলিটি বা হ্রাস কে-স্থিতিশীলতার ধারণার দিকে পরিচালিত করে। আমরা বলি যে কে-পলিস্টেবল যদি কোনও পরীক্ষার জন্য বিন্যাস এবং সমতা সঠিকভাবে ধরে থাকে যখন কোডিমেনশন 2-এর একটি সেটের বাইরে আইসোমরফিক হয়। পরীক্ষার বিন্যাসের হ্রাস-মান কোথায় থাকলে অভিন্নভাবে কে-স্থিতিশীল হ্রাস করা হয়। যেখানে অটোমরফিজম গ্রুপটি ধনাত্মক-মাত্রিক নয়, সেখানে আমাদের প্রভাব রয়েছে অভিন্নভাবে কে-স্থিতিশীল কে-পলিস্টেবল কে-সেমিস্টেবল স্থিতিশীলতা স্থিতিশীলতার চেয়ে একটি অগ্রাধিকার শক্তিশালী, কারণ এটি পরীক্ষার বিন্যাসের ডোনাল্ডসন-ফুটাকি অপরিবর্তনীয়ের জন্য শূন্যের উপরে একটি ইউনিফর্ম বাউন্ড ধরে নেয়। যাইহোক, এটি প্রমাণিত হয়-ফানো জাতের ক্ষেত্রে অভিন্ন স্থায়িত্ব আসলে স্থায়িত্বের সমতুল্য। অভিন্ন কে-স্থায়িত্বের জন্য অনেক ফলাফল আরও সহজে প্রমাণিত হতে পারে কারণ একটি অভিন্ন বন্ধন একটি অভিন্ন নয় এমন বন্ধনের চেয়ে শক্তিশালী, তাই প্রায়শই ঐতিহ্যবাহী কে-(পলি) স্থায়িত্বের বিপরীতে এই সংজ্ঞাটি নিয়ে কাজ করে। কে-স্থিতিশীলতার নিবন্ধে বিবেচিত মেরুকৃত বৈচিত্র্যের আরও সাধারণ ক্ষেত্রে এটি এখনও একটি উন্মুক্ত এবং গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা যে কীভাবে (হ্রাসপ্রাপ্ত) অভিন্ন কে-স্থিতিশীলতা কে-(পলি) স্থিতিশীলতার সাথে সম্পর্কিত। বিশেষ পরীক্ষার বিন্যাস যেমন উপরে উল্লেখ করা হয়েছে, কখনও কখনও যে ধরনের পরীক্ষার বিন্যাস বিবেচনা করা হবে তা সরলীকৃত করা যেতে পারে। ফানো জাতের ক্ষেত্রে, একটি বিশেষ পরীক্ষার বিন্যাস হল একটি পরীক্ষার বিন্যাস যাতে আমাদের কাছে কয়েকটির জন্য বিভাজকের যুক্তিসঙ্গত সমতুল্যতা থাকে এবং কেন্দ্রীয় তন্তুটিও একটি-ফানো প্রকার। কেউ প্রমাণ করতে পারে যে যে কোনও পরীক্ষার বিন্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি বিশেষ পরীক্ষার বিন্যাস রয়েছে যা বোঝায় যে এর কে-স্থিতিশীলতা পরীক্ষার উদ্দেশ্যে, এটি বিশেষ পরীক্ষার বিন্যাসের জন্য কে-স্থিতিশীলতার উপরের সংজ্ঞাগুলি দেখার মধ্যে সীমাবদ্ধ। যে বিষয়টি কেউ ধরে নিতে পারে যে পরীক্ষার বিন্যাসের কেন্দ্রীয় তন্তুও ফ্যানো, তা নিম্নোক্ত বিভাগগুলিতে বর্ণিত কে-স্থিতিশীলতার বেশ কয়েকটি বিকল্প বৈশিষ্ট্য প্রদান করে জন্মগত জ্যামিতি এবং ন্যূনতম মডেল প্রোগ্রামের সাথে দৃঢ় সংযোগের দিকে পরিচালিত করে। প্রধান বিকল্প বৈশিষ্ট্য হল ডিং স্থিতিশীলতার একটি ভিন্ন ধারণার পরিপ্রেক্ষিতে, যা ডিং অপরিবর্তনীয়ের জন্য কে-স্থিতিশীলতার অবস্থার একটি বৈচিত্র্য যেখানে কেউ পরীক্ষার বিন্যাসের লগ ক্যানোনিকাল প্রান্তিকে যোগ করে। ডিং অপরিবর্তনীয় শুধুমাত্র ফানো জাতের বিন্যাসে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। পরিবর্তে এই নতুন অপরিবর্তনীয় ব্যবহার করে, ডিঙের স্থায়িত্বের প্রতিটি ধারণাকে ঠিক উপরের মতোই সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা ডিঙের (আধা/পলি) স্থায়িত্ব এবং অভিন্ন সংস্করণের দিকে পরিচালিত করে। ডোনাল্ডসন-ফুটাকি অপরিবর্তনীয়ের তুলনায় বীজগাণিতিক জ্যামিতির ক্ষেত্রে ডিং অপরিবর্তনীয়ের আরও ভাল আনুষ্ঠানিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এটা জানা যায় যে যখন একটি পরীক্ষার বিন্যাস বিশেষ হয়, তখন ডিং অপরিবর্তনীয় একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর পর্যন্ত ডোনাল্ডসন-ফুটাকি অপরিবর্তনীয়ের সাথে একমত হয় এবং তাই ফানো জাতের জন্য ডিং স্থিতিশীলতা কে-স্থিতিশীলতার সমতুল্য। আলফা অপরিবর্তনীয় কে-স্থিতিশীলতার জন্য পরীক্ষার জন্য প্রথম পরিচিত কার্যকর মানদণ্ড টিয়ান দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। মূলত তিয়ানের কাজটি একটি ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের উপর একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্বের জন্য সরাসরি একটি মানদণ্ড সরবরাহ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছিল এবং পরবর্তী কাজের দ্বারা এটি জানা যায় যে প্রতিটি কেলার-আইনস্টাইন ফ্যানো ম্যানিফোল্ড কে-পলিস্টেবল। তিয়ানের আলফা অপরিবর্তনীয়ের মূল সংজ্ঞাটি বিশ্লেষণাত্মক প্রকৃতির ছিল, তবে বাস্তবে একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্ব যাচাই করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তিয়ানের আলফা অপরিবর্তনীয়কে অটোমরফিজমের একটি গোষ্ঠীর সাপেক্ষে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং আলফা অপরিবর্তনীয়টি উপরের হ্রাসকৃত কে-স্থিতিশীলতা বা কে-পলিস্টেবিলিটি ধারণার সাথে মিলে যায়। একটি ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের উপর একটি-অপরিবর্তনীয় কেলার মেট্রিক স্থির করুন। এই অপরিবর্তনীয়তার গুরুত্ব নিম্নরূপঃ পরে ওডাকা-সানো দ্বারা এটি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল যে আলফা অপরিবর্তনীয়কে ভিতরে থাকা সমস্ত-অপরিবর্তনীয় রৈখিক ব্যবস্থার উপর লগ ক্যানোনিকাল প্রান্তিকের অসীমের পরিপ্রেক্ষিতে একটি বিশুদ্ধ অ্যালজেব্রো-জ্যামিতিক সংজ্ঞা দেওয়া যেতে পারে। সুনির্দিষ্টভাবে, ডেমেল্লি দেখিয়েছেন যে এটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্বের বিশুদ্ধ আলজেব্রো-জ্যামিতিক প্রমাণের অনুমতি দেয়। বিটা অপরিবর্তনীয় বিটা অপরিবর্তনীয় জন্মগত জ্যামিতির সাথে ঘনিষ্ঠ যোগাযোগ করে। ফ্যানো বৈচিত্র্যের বিভাজক বা মূল্যায়নের পরিপ্রেক্ষিতে কে-স্থিতিশীলতার একটি বৈশিষ্ট্য আবিষ্কারের প্রয়াসে ফুজিটা এবং লি এই অপরিবর্তনীয় উদ্ভাবন করেছিলেন। এই কাজটি রস-থমাসের পূর্ববর্তী ধারণাগুলি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল যা বৈচিত্র্যের সাবসিমেম থেকে বেরিয়ে আসা বীজগাণিতিক অপরিবর্তনীয়তার পরিপ্রেক্ষিতে কে-স্থিতিশীলতা বর্ণনা করার চেষ্টা করেছিল। যদিও এটি দেখানো সম্ভব নয় যে এই "ঢাল" কে-স্থায়িত্ব কে-স্থায়িত্বের সমতুল্য, কেবল ভিতরের বিভাজকগুলিতে নয়, যে কোনও জন্মগত মডেলের অভ্যন্তরে বিভাজকগুলিতে পাস করে, কেউ কে-স্থায়িত্বের জন্য সঠিকভাবে পরীক্ষা করার জন্য "পর্যাপ্ত" বস্তু অর্জন করে। বিশেষত ফুজিতা বুঝতে পেরেছিলেন যে রস-থমাসের ঢাল কে-স্থিতিশীলতার ধারণাটি কেবল সাবসিমেমের শেষাদ্রি ধ্রুবক পর্যন্ত সংহত করে সীমাবদ্ধ ছিল, যেখানে ব্লো-আপের প্রাকৃতিক বিভাজক যথেষ্ট হয়ে যায়। চুক্তির মাধ্যমে-ইনভ্যারিয়েন্ট সিউডো-ইফেক্টিভ থ্রেশহোল্ড পর্যন্ত সংহত হয় যেখানে প্রাকৃতিক বিভাজকের ধনাত্মক আয়তন থাকে (যেহেতু প্রতিটি পর্যাপ্ত বিভাজকের ধনাত্মক আয়তন থাকে, সিউডো-ইফেক্টিভ থ্রেসহোল্ড শেষাদ্রি ধ্রুবকের বাইরে চলে যায়)। এই অতিরিক্ত তথ্য ফুজিটা এবং লি-এর মূল্যসূচক মানদণ্ডকে কে-স্থিতিশীলতাকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করার জন্য যথেষ্ট তথ্য দেয়। ধরুন-কার্টিয়ার ক্যানোনিকাল বিভাজক সহ একটি স্বাভাবিক বৈচিত্র্য। একটি বলে যে একটি বিভাজক যদি কোনও স্বাভাবিক বৈচিত্র্যের মধ্যে এমন একটি বিভাজক থাকে যাতে একটি যথাযথ জন্মগত অঙ্গসংস্থান বিদ্যমান থাকে (উদাহরণস্বরূপ একটি ব্লো আপ দ্বারা দেওয়া হয়)। একটি বিভাজকের লগ অসামঞ্জস্যকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে জন্মগত জ্যামিতির অর্থে বিভাজকের অসামঞ্জস্য রয়েছে (ক্যানোনিকাল সিঙ্গুলারিটি দেখুন)। একটি বিভাজকের অসঙ্গতি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়। জন্মগত রূপবাদের ব্যতিক্রমী স্থান থেকে দূরে, ক্যানোনিকাল বিভাজক এবং একমত। অতএব, তাদের পার্থক্য ব্যতিক্রমী লোকাসে থাকা মৌলিক বিভাজকের কিছু যোগফল দ্বারা দেওয়া হয়। সেটা হল, কোথায়। সংজ্ঞা অনুসারে এবং কখন ব্যতিক্রমী লোকাসের প্রধান বিভাজকগুলির মধ্যে একটি নয়। লগের অসামঞ্জস্য ফ্যানো বৈচিত্র্যের এককত্ব পরিমাপ করে। বিশেষ করে এক্স হল কাওয়ামাটা লগ টার্মিনাল যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনও ওভারের জন্য হয়। বিটা অপরিবর্তনীয়কে সংজ্ঞায়িত করার জন্য, একটি ভলিউম শব্দও প্রয়োজন। এখানে একটি বিভাজকের আয়তন পরিমাপ করে যে হারে তার বিভাগগুলির স্থান প্রত্যাশিত মাত্রার তুলনায় বৃদ্ধি পায়। অর্থাৎ, কোথায়। অবশেষে, বিটা অপরিবর্তনীয়কে ফুজিটা এবং লি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল জটিল সংজ্ঞা সত্ত্বেও, জন্মগত জ্যামিতির শক্তিশালী সরঞ্জামগুলির কারণে, এই অপরিবর্তনীয়টি স্পষ্টভাবে বহু শ্রেণীর ফানো জাতের জন্য অনুশীলনে গণনা করা যেতে পারে যেখানে তাদের জন্মগত মডেলগুলিতে বিভাজকের কাঠামো জানা যায়। এটি প্রায়শই গণনামূলক বীজগাণিতিক জ্যামিতি বা হাতে-হাতে গণনা ব্যবহার করে অর্জন করা যেতে পারে। - ইনভ্যারিয়েন্টের প্রাসঙ্গিকতা কে-স্থিতিশীলতার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যের মধ্যে রয়েছে যা ফুজিতা এবং লি স্বাধীনভাবে প্রথম পর্যবেক্ষণ করেছিলেন (এক দিকে)। ডেল্টা অপরিবর্তনীয় ডেল্টা অপরিবর্তনীয়কে "যোগাত্মক" বিটা অপরিবর্তনীয়ের "গুণিতক" সংস্করণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি বিভাজকের ডেল্টা অপরিবর্তনীয় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এর ডেল্টা অপরিবর্তনীয় তারপর সমস্ত বিভাজকের ডেল্টা অপরিবর্তনীয়গুলির একটি অভিন্ন পরিমাপ দ্বারা দেওয়া হয়। একটি বিভাজকের ডেল্টা অপরিবর্তনীয় ধারণাগতভাবে বিটা অপরিবর্তনীয়ের অনুরূপ, তবে ফুজিটা-ওডাকা দ্বারা এটি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল যে ডেল্টা অপরিবর্তনীয়কে "কোয়ান্টাইজড" ডেল্টা অপরিবর্তনীয়ের সীমা হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। কোয়ান্টাইজড ডেল্টা অপরিবর্তনীয়গুলি এম-বেস টাইপ বিভাজকের পরিপ্রেক্ষিতে গণনা করা যেতে পারে যা নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে ঘাঁটির পছন্দ দ্বারা দেওয়া হয়। এইভাবে ডেল্টা অপরিবর্তনীয় সাধারণত তার পূর্বসূরীদের তুলনায় আরও গণনাযোগ্য এবং তাত্ত্বিকভাবে আরও শক্তিশালী, এবং ফানো জাতের জন্য কে-স্থিতিশীলতার স্পষ্ট গণনার ক্ষেত্রে অনেক অগ্রগতি হয়েছে, এবং ফানো জাতের মডুলি তত্ত্বের ক্ষেত্রে এর প্রবর্তনের পর থেকে ঘটেছে। কে-স্থিতিশীলতা তত্ত্বের ক্ষেত্রে এর প্রাথমিক গুরুত্ব নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিতে ধরা পড়েছে। বীজগাণিতিক-অপরিবর্তনীয় কেলার-আইনস্টাইন পরিমাপের স্পষ্ট বিশ্লেষণাত্মক বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে যোগাযোগ করতে পারে। বিশেষত, কেউ সর্বশ্রেষ্ঠ রিচির নিম্ন সীমাকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারে যে, এমন একটি কেলার মেট্রিক বিদ্যমান। কেলার-আইনস্টাইন সমীকরণটি সমাধান করার জন্য প্রাকৃতিক ধারাবাহিকতা পদ্ধতিটি কতদূর অতিক্রম করতে পারে তার সীমা এটি। যদি সর্বশ্রেষ্ঠ রিচি নিম্ন সীমা মান গ্রহণ করে তবে একজন কাহলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্ব অর্জনের জন্য ধারাবাহিকতা পদ্ধতিটি সম্পূর্ণ করতে পারে। দেখা যাচ্ছে যে, এই ধারাবাহিকতা পদ্ধতি, সবচেয়ে বড় রিচি নিম্ন সীমা, দিয়ে আপনি ঠিক কতদূর যেতে পারেন, তা ঠিক-ইনভ্যারিয়েন্ট দ্বারা দেওয়া হয়েছে। অর্থাৎ, টরিক ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের ক্ষেত্রে ব-দ্বীপ অপরিবর্তনীয়ের আরও বেশি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা লি দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল। এই ধরনের টরিক ফ্যানোর জন্য, উৎপত্তি সর্বদা পলিতোপের অভ্যন্তরে থাকে। যদি পলিটোপের ব্যারিসেন্টার নির্দেশ করে এবং রশ্মি ছেদকারী পলিটোপের সীমানার বিন্দু নির্দেশ করে, তাহলে লি দেখায় যে সবচেয়ে বড় রিচি নিম্ন সীমা অনুপাত দ্বারা দেওয়া হয়। বিশেষত টরিক ফ্যানোর যদি এবং কেবল তখনই থাকে যদি এর ব্যারি সেন্টারই এর উৎস হয়। ডেল্টা অপরিবর্তনীয় ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা হয়েছে (এবং প্রকৃতপক্ষে পূর্ববর্তী ফলাফলগুলি ব্যবহার করে), কেউ এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে একটি টরিক ফ্যানো ম্যানিফোল্ড কে-স্থিতিশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার পলিটোপের ব্যারিসেন্টারটি মূল হয়। কেলার-আইনস্টাইন পরিমাপের অস্তিত্ব এর প্রাথমিক পরিচয় থেকে, কে-স্থিতিশীলতার ধারণাটি ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের উপর কেলার-আইনস্টাইন পরিমাপের অস্তিত্বের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত হয়েছে। এখন এমন অনেক উপপাদ্য রয়েছে যা নির্দিষ্ট কে-স্থিতিশীলতা অনুমানকে সমাধানের অস্তিত্বের সাথে সম্পর্কিত করে। এই অনুমানগুলি বিস্তৃতভাবে ইয়াউ-তিয়ান-ডোনাল্ডসন অনুমানের শিরোনামে পড়ে। ফানো জাতের ক্ষেত্রে এই অনুমানটি দাবি করেঃ ফানো ম্যানিফোল্ডের জন্য এই অনুমানটি মূলত ইয়াউ এবং তিয়ান দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল এবং আরও সাধারণ রূপটি ডোনাল্ডসন দ্বারা বর্ণিত হয়েছিল যা কেবল ফানো ম্যানিফোল্ডের ক্ষেত্রে প্রসারিত হয়েছিল। তা সত্ত্বেও, ফ্যানোসের ক্ষেত্রেও এই অনুমানটি ইয়াউ-তিয়ান-ডোনাল্ডসন অনুমান নামে পরিচিত। সাধারণ অনুমানের আরও আলোচনার জন্য কে-স্থিতিশীলতা দেখুন। ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের ক্ষেত্রে, ওয়াইটিডি অনুমানটি মসৃণ বৈচিত্র্যের বাইরে সাধারণীকরণগুলি স্বীকার করে এবং অনুমানের রূপগুলি এখন একক ফ্যানোস এবং লগ ফ্যানোসের জন্য পরিচিত। সহজ ফ্যানোর বৈচিত্র্য অনুমানের সামনের দিক, যে কেহলার-আইনস্টাইন মেট্রিক সহ একটি ফ্যানো ম্যানিফোল্ড কে-পলিস্টেবল, টিয়ান তার মূল গবেষণাপত্রে প্রমাণ করেছিলেন যখন ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের একটি বিচ্ছিন্ন অটোমরফিজম গ্রুপ ছিল, অর্থাৎ। অটোমরফিজম গ্রুপটি বিচ্ছিন্ন ছিল এই ধারণাটি সরিয়ে বারম্যান এই দিকটি সম্পূর্ণ সাধারণভাবে প্রমাণ করেছিলেন। ইয়াউ-তিয়ান-ডোনাল্ডসন অনুমানের বিপরীত দিকটি প্রথমে মসৃণ ক্ষেত্রে সমাধান করা হয়েছিল যা উপরে চেন-ডোনাল্ডসন-সান এবং একই সময়ে তিয়ান দ্বারা বর্ণিত হয়েছে। চেন, ডোনাল্ডসন এবং সান অভিযোগ করেছেন যে প্রমাণের জন্য সমান অগ্রাধিকারের তিয়ানের দাবি ভুল, এবং তারা তাকে একাডেমিক অসদাচরণের জন্য অভিযুক্ত করেছে। তিয়ান তাদের দাবির বিরোধিতা করেছেন। চেন, ডোনাল্ডসন এবং সানকে আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির মর্যাদাপূর্ণ 2019 ভেব্লেন পুরস্কার দ্বারা এই অনুমানের সমাধান হিসাবে স্বীকৃতি দেওয়া হয়েছিল। ব্রেকথ্রু পুরস্কার ডোনাল্ডসনকে গণিতের ব্রেকথ্রু পুরস্কার এবং সানকে নিউ হরাইজন্স ব্রেকথ্রু পুরস্কার দিয়ে স্বীকৃতি দিয়েছে, আংশিকভাবে চেন-ডোনাল্ডসন-সান এবং তিয়ানের conjecture.The প্রমাণের উপর চেনের সাথে তাদের কাজের উপর ভিত্তি করে রিচি বক্রতা সীমানার সাথে ফানো ম্যানিফোল্ডের গ্রোমভ-হাউসডর্ফ সীমার একটি সূক্ষ্ম অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছিল। আরও সম্প্রতি, "ধ্রুপদী" ধারাবাহিকতা পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে একটি প্রমাণ বেদ দাতার এবং গাবোর স্জকেলহিদি দ্বারা সরবরাহ করা হয়েছিল, তারপরে চেন, সান এবং বিং ওয়াং কেলার-রিচি প্রবাহ ব্যবহার করে একটি প্রমাণ দিয়েছিলেন। রবার্ট বারম্যান, সেবাস্টিয়েন বুকসম এবং ম্যাটিয়াস জনসনও একটি নতুন বৈচিত্র্যমূলক পদ্ধতির প্রমাণ দিয়েছেন, যা অ-আর্কিমিডিয়ান জ্যামিতির পরিপ্রেক্ষিতে কে-স্থিতিশীলতাকে ব্যাখ্যা করে। বিশেষ আগ্রহের বিষয় হল যে বারম্যান-বুকসম-জনসনের প্রমাণ একটি মসৃণ লগ ফ্যানো জুটির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, এবং কে-পলিস্টেবিলিটি ধারণাটি ব্যবহার করে না, তবে ডারভান এবং বুকসম-হিসামোটো-জনসনের দ্বারা প্রবর্তিত অভিন্ন কে-স্থিতিশীলতার ধারণাটি ব্যবহার করে। এটি এখন জানা যায় যে অভিন্ন কে-স্থিতিশীলতা কে-স্থিতিশীলতার সমতুল্য এবং তাই বিবিজে-এর প্রমাণ সম্পূর্ণ ওয়াইটিডি অনুমানের একটি নতুন প্রমাণ প্রদান করে। বৈচিত্র্যময় কৌশল বারম্যান-বুকসম-জনসন এবং ফুজিটা-ওডাকার তথাকথিত কোয়ান্টাইজড ডেল্টা ইনভ্যারিয়েন্টের উপর ভিত্তি করে, ঝাং মসৃণ ফানো ম্যানিফোল্ডের জন্য ওয়াইটিডি অনুমানের একটি সংক্ষিপ্ত কোয়ান্টাইজেশন-ভিত্তিক প্রমাণ তৈরি করেছিলেন। সম্পূর্ণরূপে অন্যান্য কৌশল ব্যবহার করে, বারম্যান ইউনিফর্ম গিবস স্থায়িত্ব নামে একটি তাপগতিবিদ্যার পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ওয়াইটিডি-ধরনের অনুমানের প্রমাণ তৈরি করেছেন, যেখানে একটি এলোমেলো বিন্দু প্রক্রিয়ার মাধ্যমে একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক তৈরি করা হয়। একক ফ্যানোর জাত এবং দুর্বল কাহলার-আইনস্টাইন মেট্রিক্স বৈচিত্র্যময় কৌশল ব্যবহার করে বারম্যান-বুকসম-জনসনের ইয়াউ-তিয়ান-ডোনাল্ডসন অনুমানের নতুন প্রমাণ একক ফ্যানোর জাতের জন্য কে-স্থিতিশীলতা এবং কাহলার-আইনস্টাইন মেট্রিক্সের সম্ভাব্য অধ্যয়নের সূচনা করে। ব্যবহৃত বৈচিত্র্যময় কৌশলগুলি উপরে বর্ণিত অভিন্ন কে-স্থিতিশীলতার উপর নির্ভর করে। বারম্যানের ফল যে একটি ফ্যানো ম্যানিফোল্ড একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিককে কে-পলিস্টাবল স্বীকার করে, একটি-লগ ফ্যানো জুটির সম্পূর্ণ সাধারণতায় প্রমাণিত হয়েছিল, একটি দুর্বল কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিককে স্বীকার করে। একটি-ফ্যানো বৈচিত্র্যের উপর একটি দুর্বল কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক হল একটি ধনাত্মক-স্রোত যা একটি মসৃণ লোকাসের উপর একটি মসৃণ কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক দিতে সীমাবদ্ধ। একটি বিভাজকের সাথে সামঞ্জস্যের প্রয়োজন হলে, এই সংজ্ঞাটি একটি জোড়ের উপর একটি দুর্বল কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। এই সাধারণতায়, ওয়াইটিডি অনুমানের বিপরীত দিকটি লি-তিয়ান-ওয়াং দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল যেখানে অটোমরফিজম গ্রুপটি বিচ্ছিন্ন, এবং সম্পূর্ণ সাধারণতায় Li.By দ্বারা লিউ-জু-ঝুয়াং দ্বারা সীমাবদ্ধ প্রজন্মের অনুমানের রেজোলিউশন দ্বারা জানা যায় যে হ্রাসকৃত অভিন্ন কে-স্থিতিশীলতা কে-পলিস্টেবিলিটির সমতুল্য, তাই বারম্যানের ফলাফলের সাথে মিলিত হয়ে ইয়াউ-তিয়ান-ডোনাল্ডসন অনুমানটি একক ফানো জাতের জন্য সম্পূর্ণ সাধারণতায় সত্য। কে-স্থিতিশীল ফ্যানো প্রকারের মডুলি স্পেস বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে মডুলি স্পেসের নির্মাণ একটি কেন্দ্রীয় সমস্যা। বীজগাণিতিক বক্ররেখার মডুলির নির্মাণ জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব, স্ট্যাক এবং বীজগাণিতিক পৃষ্ঠের শ্রেণিবিন্যাসের বিকাশকে অনুপ্রাণিত করেছে যা বীজগাণিতিক জ্যামিতি জুড়ে ফলাফলকে অনুপ্রাণিত করেছে। কোল্লার-শেফার্ড-ব্যারন দ্বারা ন্যূনতম মডেল প্রোগ্রাম থেকে উদ্ভূত কৌশলগুলি ব্যবহার করে ক্যানোনিকাল মেরুকৃত জাতের মডুলি স্পেসের ক্ষেত্রে নিষ্পত্তি করা হয়েছিল যা সাধারণ ধরণের তথাকথিত কেএসবি মডুলি স্পেসের দিকে পরিচালিত করে। সাধারণ ধরনের বৈচিত্র্যের একটি মূল বৈশিষ্ট্য যা মডুলি নির্মাণের অনুমতি দেয় তা হল এই ধরনের বৈচিত্র্যের অটোমরফিজমের অভাব। এটি ফানো জাতের জন্য প্রযোজ্য নয়, যার প্রায়শই খুব বড় অটোমরফিজম গ্রুপ থাকতে পারে, তাই ন্যূনতম মডেল প্রোগ্রামটি ফানো জাতের মডুলি নির্মাণের জন্য সরাসরি প্রয়োগ খুঁজে পায়নি এবং এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে কে-স্থিতিশীলতা সঠিক আলজেব্রো-জ্যামিতিক ধারণা ছিল যা এই ক্ষেত্রে মডুলি গঠনের অনুমতি দেয়। কে-স্থিতিশীল জাতের মডুলি স্পেস কে-মডুলি নামে পরিচিত। মসৃণ ক্ষেত্রে মসৃণ ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের ক্ষেত্রে, বিশ্লেষণাত্মকভাবে মডুলি স্পেস তৈরি করতে কেউ ইয়াউ-তিয়ান-ডোনাল্ডসন অনুমান থেকে উদ্ভূত কৌশলগুলি ব্যবহার করতে পারে। ওয়াইটিডি অনুমানের প্রমাণ হিসাবে ব্যবহৃত কেলার-আইনস্টাইন ফ্যানোসের গ্রোমভ কম্প্যাক্টনেসের ধারণার উপর ভিত্তি করে ওডাকা এবং ডোনাল্ডসনের বিশেষ কাজটি বিচ্ছিন্ন অটোমরফিজম গ্রুপগুলির সাথে মসৃণ ফ্যানো কেলার-আইনস্টাইনের বহুবিধ মডুলি স্পেসের অস্তিত্বকে বোঝায়। এই মডুলি স্থানগুলি হল হাউজডর্ফ এবং এর এককত্বের পরিমাণ সবচেয়ে খারাপ। ওয়াইটিডি অনুমান অনুসারে এগুলি বিকল্পভাবে স্বতন্ত্র অটোমরফিজম গ্রুপ সহ মসৃণ কে-পলিস্টেবল ফ্যানো জাতের মডুলি স্পেস। যাইহোক, মসৃণ ফ্যানো কেলার-আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ডের একটি গ্রোমভ-হাউসডর্ফ সীমা একটি একক-ফ্যানো বৈচিত্র্যের দিকে নিয়ে যেতে পারে, তাই ওডাকা এবং ডোনাল্ডসন দ্বারা বর্ণিত মডুলি স্পেসগুলি কম্প্যাক্ট নয়, একটি মানদণ্ড যা মডুলি স্পেস গঠনে প্রায়শই কাম্য। মসৃণ কে-পলিস্টেবল ফ্যানোসের মডুলি স্পেসকে সংক্ষিপ্ত করার একটি পদ্ধতি হল একক কে-পলিস্টেবল ফ্যানোসের মডুলি স্পেসে পাস করা এবং তার প্রজেক্টিভিটি প্রমাণ করতে বীজগাণিতিক জ্যামিতি ব্যবহার করা। একক ফ্যানো জাতের জন্য ইয়াউ-তিয়ান-ডোনাল্ডসন অনুমান এই সংহতকরণকে একটি বিকল্প দৃষ্টিভঙ্গি দেবে কারণ এটি দুর্বল কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক সহ একক ফ্যানো জাতের সমন্বয়ে গঠিত। সাধারণ ক্ষেত্রে মডুলি স্পেস নির্মাণের জন্য আদর্শ বীজগাণিতিক কৌশল জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব ব্যবহার করে। সাধারণত মডুলি গঠনের জন্য মমফোর্ডের জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব প্রয়োগ করতে, একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ-মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্থানের মধ্যে বিভিন্ন প্রজাতির একটি পরিবার এম্বেড করতে হবে। এই ধরনের একটি পরিবার তখন প্রজেক্টিভ স্পেসের সংশ্লিষ্ট হিলবার্ট স্কিমে পয়েন্টের একটি লোকাসকে সংজ্ঞায়িত করে, যা একটি প্রজেক্টিভ স্কিম যার উপর প্রজেক্টিভ অটোমরফিজমের গ্রুপ কাজ করে। এই রৈখিককরণের ক্ষেত্রে জিআইটি স্থায়িত্বকে হিলবার্ট স্থায়িত্ব বলা হয়। যদি এই লোকাস একটি খোলা সেট গঠন করে, তবে জিআইটি একটি ভাগফল তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা এই বস্তুগুলিকে পরামিতি করে। ভালো পরিস্থিতিতে এই ভাগফল সঠিক এবং প্রক্ষিপ্ত হতে পারে। একটি নির্দিষ্ট প্রজেক্টিভ স্পেসের মধ্যে জাতের একটি পরিবারকে এম্বেড করা সবসময় সম্ভব নয় এবং তাই তাদের মডুলিকে জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্বের সাথে বর্ণনা করা সম্ভব নয় এবং এই বিশেষ বৈশিষ্ট্যটিকে সীমানা বলা হয়। ফানো জাতের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল যে তারা সীমাবদ্ধ হতে ব্যর্থ হয় এবং এইভাবে তাদের স্থায়িত্ব কোনও সীমাবদ্ধ-মাত্রিক জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব দ্বারা যুক্তিসঙ্গতভাবে ধরা যায় না। এটি ব্যাখ্যা করে যে কেন কে-স্থিতিশীলতার জন্য পরীক্ষার কনফিগারেশনগুলি বিবেচনা করা প্রয়োজন যার জন্য তুলনামূলকভাবে পর্যাপ্ত লাইন বান্ডিলটি নির্বিচারে বড় হওয়ার জন্য কিছু শক্তির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে। যাইহোক, কাউচার বিরকারের ফলাফলগুলি দেখায় যে ফানো জাতের কিছু পরিবার যার আয়তন সীমাবদ্ধ পরিবারের নিচে সীমাবদ্ধ, যা পরামর্শ দেয় যে মডুলি স্পেস গঠনের জন্য ফানো জাতের আয়তন-সীমাবদ্ধ পরিবারের স্থিতিশীলতা অধ্যয়ন করা সম্ভব হতে পারে। এই কাজের জন্য বিরকারকে 2018 সালে ফিল্ডস পদক প্রদান করা হয়। জিয়াং দ্বারা এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে কে-সেমিস্টেবল-ফ্যানো জাতগুলি একটি আবদ্ধ পরিবার গঠন করে যার আয়তন নীচে সীমাবদ্ধ। সুতরাং একটি প্রদত্ত ভলিউমের জন্য একটি অভিন্ন পূর্ণসংখ্যা রয়েছে যাতে প্রতিটি কে-সেমিস্টেবল-ফ্যানো যার অ্যান্টিক্যানোনিকাল ভলিউম নির্দিষ্ট প্রজেক্টিভ স্পেসের ভিতরে একটি এম্বেডিং গ্রহণ করে। কে-সেমিষ্টেবল ফ্যানোসের এই অবস্থানের উন্মুক্ততা ব্লাম-লিউ-জু এবং জু দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। এটি সীমাবদ্ধ ধরনের একটি আর্টিন স্ট্যাকের অস্তিত্বকে বোঝায় যা নীচে দ্বারা আবদ্ধ আয়তন সহ প্যারামিট্রাইজিং কে-সেমিস্টেবল-ফ্যানো জাতগুলি নির্দেশ করে। প্রজেক্টিভ ভ্যারাইটি বা স্কিম হিসাবে একটি প্রকৃত মডুলি স্পেস খুঁজে বের করার জন্য, স্ট্যাকের ভিতরে কে-সেমিষ্টেবল ফ্যানোসের এস-পূর্ণতা এবং-রিডাক্টিভিটি সম্পর্কে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করতে হবে। কে-পলিস্টেবিলিটির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, মডুলি স্ট্যাকের এই বৈশিষ্ট্যগুলি সত্য এবং স্ট্যাকের জন্য একটি মোটা মডুলি স্থান রয়েছে যা কে-পলিস্টেবল-ফ্যানো জাতগুলিকে নীচে সীমাবদ্ধ আয়তনের সাথে পরামিতি করে। এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে এটি সঠিক এবং সিএম-লাইনের বান্ডিলটি যথেষ্ট, যার অর্থ মোটা মডুলি স্থানটিও প্রক্ষিপ্ত। কে-মডুলির অস্তিত্বের ফলাফলটি কে-পলিস্টেবল ফ্যানোসের মডুলি স্থানের নিম্নলিখিত theorem.The নির্মাণে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে যা লগ ফ্যানো জাতের সেটিংয়ে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। একক-ফ্যানো জাতের ক্ষেত্রে যা মসৃণ (অর্থাৎ তারা মসৃণ কে-পলিস্টেবল ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের বীজগাণিতিক পরিবারের সীমা) এর আগে লি-ওয়াং-জু বিশ্লেষণাত্মক কৌশলগুলির সংমিশ্রণ ব্যবহার করে সমাধান করেছিলেন, এছাড়াও ওডাকা, ডোনাল্ডসন এবং কোডগনি-পাটাকফালভির পূর্ববর্তী কাজের উপর নির্ভর করে। সেখানে মোটা মডুলি স্থানটিকে একটি পরিকল্পনা হিসাবে দেখানো হয়েছে, তবে সাধারণভাবে কে-মডুলির অস্তিত্বের ফলাফল শুধুমাত্র একটি বীজগাণিতিক স্থানের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। ফানো জাতের স্পষ্ট কে-স্থিতিশীলতা কে-স্থিতিশীলতার বীজগাণিতিক ধারণার আগে কে-স্থিতিশীল ফানো জাতের স্পষ্ট অধ্যয়ন, এবং নিম্ন মাত্রায় আগ্রহের বিষয় ছিল সম্পূর্ণরূপে কেলার-আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ডের অধ্যয়নের কারণে। উদাহরণস্বরূপ, স্পষ্ট গঠন বা তিয়ানের আলফা অপরিবর্তনীয় ব্যবহারের মাধ্যমে, কে-স্থিতিশীলতার সংজ্ঞা প্রবর্তনের আগে 1 এবং 2 মাত্রার সমস্ত মসৃণ কেলার-আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ড জানা ছিল। 3য় মাত্রায় এবং কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের উচ্চতর সুস্পষ্ট গঠন আরও কঠিন হয়ে ওঠে, তবে কে-স্থিতিশীলতার বীজগাণিতিক অধ্যয়ন থেকে উদ্ভূত অগ্রগতি কে-পলিস্টেবল ফ্যানো থ্রিফোল্ড এবং উচ্চ মাত্রিক বৈচিত্র্যের নির্দিষ্ট পরিবারের স্পষ্ট গণনাকে সক্ষম করেছে এবং পরবর্তীকালে নতুন কেলার-আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ডের আবিষ্কার করেছে। মাত্রা 1 প্রথম মাত্রায় একটি অনন্য মসৃণ ফ্যানো বৈচিত্র্য রয়েছে, যা জটিল প্রজেক্টিভ লাইন। ফুবিনি-স্টাডি মেট্রিকের অস্তিত্বের কারণে এই বৈচিত্র্যকে সহজেই কে-স্থিতিশীল হিসাবে দেখা যায়, যা একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক, যা এর কে-পলিস্টেবিলিটি বোঝায়। মসৃণ রিম্যান পৃষ্ঠের কে-স্থিতিশীলতার একটি বিশুদ্ধ আলজেব্রো-জ্যামিতিক প্রমাণ কে-স্থিতিশীলতার ঢালের উপর রস-থমাসের কাজ থেকে পাওয়া যায়, যা প্রথম মাত্রায় কে-স্থিতিশীলতার সমতুল্য। এই ক্ষেত্রে কেউ বক্ররেখার উপর পয়েন্টগুলির সংগ্রহ থেকে পরীক্ষার কনফিগারেশন তৈরি করতে পারে এবং যখন বক্ররেখা মসৃণ হয় তখন কোনও পয়েন্ট অস্থিতিশীল হয় না। ডাইমেনশন 2 ডাইমেনশন দুই-এ যে জায়গাগুলি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক্স গ্রহণ করে সেগুলি টিয়ান দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছিল। দ্বিতীয় মাত্রায় মসৃণ ফ্যানো জাতের 10টি বিকৃতি পরিবার রয়েছে, ডেল পেজো পৃষ্ঠতল। আলফা অপরিবর্তনীয় ব্যবহার করে, তিয়ান দেখিয়েছেন যে একটি মসৃণ ফ্যানো পৃষ্ঠ একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক গ্রহণ করে এবং কে-পলিস্টাবল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি এক বা দুটি পয়েন্টে জটিল প্রজেক্টিভ সমতলের বিস্ফোরণ না হয়। এইভাবে এই 10টি শ্রেণীর মধ্যে 8টি কে-পলিস্টেবল ফ্যানো পৃষ্ঠতল নিয়ে গঠিত। ফানো পৃষ্ঠের কে-মডুলি তিয়ান এবং মাবুচি-মুকাই দ্বারা স্পষ্ট উদাহরণে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। কেলার-আইনস্টাইন ফ্যানো পৃষ্ঠতলের কম্প্যাক্ট মডুলি স্পেসের সুস্পষ্ট নির্মাণ ওডাকা-স্পটি-সান দ্বারা অর্জন করা হয়েছিল। এই স্থানগুলি গ্রোমভ-হাউসডর্ফ কম্প্যাক্টিফিকেশন হিসাবে নির্মিত হয়েছিল তবে লগ ফ্যানো পৃষ্ঠের স্পষ্ট বীজগাণিতিক স্থানগুলির সাথে চিহ্নিত করা হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, ওডাকা-স্পটি-সান দ্বারা প্রমাণিত হয়েছে যে মসৃণ কেলার-আইনস্টাইন পৃষ্ঠের চতুর্থ মাত্রার কম্প্যাক্ট মডুলি স্থানটি লোকাসের সাথে সম্পর্কিত চতুর্থ মাত্রার মসৃণ কেলার-আইনস্টাইন পৃষ্ঠের সাথে ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্থান দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এমন বিন্দুগুলির সমন্বয়ে একটি পর্যাপ্ত বিভাজক রয়েছে। মাত্রা 3 বিশুদ্ধ বীজগাণিতিক কৌশলগুলি কে-স্থিতিশীল ফ্যানো জাতের উদাহরণ খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক্স গ্রহণ করার জন্য পরিচিত একটি অগ্রাধিকার নয়। মসৃণ ফ্যানো থ্রিফোল্ডের ইস্কোভস্কিখ-মোরি-মুকাই শ্রেণিবিন্যাস কে-স্থিতিশীল ফ্যানো থ্রিফোল্ডগুলি তার উপাদানগুলিতে অধ্যয়নের সমস্যাটিকে ভেঙে ফেলার একটি প্রাকৃতিক উপায় সরবরাহ করে। এটি জানা যায় যে মসৃণ ফ্যানো থ্রিফোল্ডের 105 টি বিকৃতি পরিবার রয়েছে এবং ফুজিটা-লি-এর বিটা অপরিবর্তনীয় এবং ফুজিটা-ওডাকার ডেল্টা অপরিবর্তনীয় ব্যবহার করে স্পষ্ট গণনাগুলি কোন বিকৃতি পরিবারগুলিতে কে-স্থিতিশীল প্রতিনিধি রয়েছে তা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রতিটি বিকৃতি পরিবারের জন্য এটি জানা যায় যে পরিবারের সাধারণ উপাদানটি কে-(পলি) স্থিতিশীল কিনা। বিশেষত এটি জানা যায় যে 105টি পরিবারের মধ্যে 78টিতে তাদের বিকৃতি শ্রেণীতে একটি কে-পলিস্টেবল প্রতিনিধি রয়েছে। 105টি পরিবারের মধ্যে 71টি পরিবারের জন্য, এটি কে-পলিস্টেবল হোক বা না হোক, বিকৃতি শ্রেণীর প্রতিটি একক সদস্যের জন্য পরিচিত। 105 টি বিকৃতি পরিবারের অনেক উদাহরণের জন্য, প্রতিনিধিত্বমূলক থ্রিফোল্ডের কে-স্থিতিশীলতাকে একটি প্রাকৃতিক জিআইটি সমস্যার পরিপ্রেক্ষিতে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা সেই পরিবারকে বর্ণনা করে এবং তাই ফানো থ্রিফোল্ডের কে-মডুলির স্পষ্ট উদাহরণও জিআইটি ভাগ হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। ফানো থ্রিফোল্ডের কিছু শ্রেণীর জন্য শ্রেণিবিন্যাস সমস্যা উন্মুক্ত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, এটি জানা যায় যে বিকৃতি শ্রেণীর মুকাই-উমেমুরা একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিককে তিনগুণ স্বীকার করে এবং তাই ডোনাল্ডসনের কাজ দ্বারা কে-পলিস্টাবল, যিনি উপরের মানদণ্ডটি স্পষ্টভাবে ব্যবহার করে তিয়ানের আলফা অপরিবর্তনীয় গণনা করেছিলেন। এই ম্যানিফোল্ডের অ-বিচ্ছিন্ন অটোমরফিজম গ্রুপ রয়েছে এবং নিকটবর্তী কোন বিকৃতিগুলি কে-পলিস্টাবল তাও জানা যায় না। এটি অনুমান করা হয় যে ভার্সাল বিকৃতি স্থানের মধ্যে জিআইটি-পলিস্টেবল পয়েন্টগুলির সাথে সম্পর্কিত বিকৃতিগুলি নিকটবর্তী কে-পলিস্টেবল জাতের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়া উচিত। যে কোনও মাত্রায় কে-পলিস্টেবল ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের প্রথম এবং সহজতম উদাহরণ হল জটিল প্রজেক্টিভ স্পেস, যা সর্বদা ফুবিনি-স্টাডি মেট্রিককে স্বীকার করে যা যে কোনও মাত্রায় কেলার-আইনস্টাইন এবং তাই সমস্ত প্রজেক্টিভ স্পেস কে-পলিস্টেবল। সাধারণভাবে উচ্চতর মাত্রায় এরকম অনেক "সুস্পষ্ট" কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক নেই এবং উদাহরণ খুঁজে বের করার জন্য একজনকে অবশ্যই স্থিতিশীলতার সাম্প্রতিক কৌশলগুলি ব্যবহার করতে হবে। ফানো জাতের নির্দিষ্ট কিছু পরিবারের জন্য, কে-স্থিতিশীলতা উচ্চ মাত্রায় আলফা অপরিবর্তনীয় বা বিটা বা ডেল্টা অপরিবর্তনীয় সহ বিশুদ্ধভাবে অ্যালজেব্রো-জ্যামিতিক কৌশলগুলির মাধ্যমে বিশ্লেষণাত্মক কৌশল ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ফার্মাট হাইপারসার্ফেস হল বিভিন্ন ধরনের রূপ এই হাইপারসার্ফেসগুলি স্বতন্ত্র অটোমরফিজম গ্রুপের সাথে মসৃণ ফ্যানো ম্যানিফোল্ড, এবং এটি টিয়ান দ্বারা আলফা অপরিবর্তনীয় ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়েছিল যা বোঝায় যে একটি কেলার-আইনস্টাইনকে স্বীকার করে, এবং আরও বিস্তারিত যুক্তি ব্যবহার করে টিয়ান একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন যখন। অন্যদিকে, ডেল্টা অপরিবর্তনীয় ঝুয়াং ব্যবহার করে একটি সম্পূর্ণ বীজগাণিতিক প্রমাণ দেওয়া হয়েছে যা কে-স্থিতিশীল এবং তাই এই ক্ষেত্রে একটি কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক স্বীকার করে। অভিন্ন কে-স্থিতিশীলতা এবং কে-সামঞ্জস্যতার জন্য উন্মুক্ততার ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, এটি থেকে কেউ এই সিদ্ধান্তে আসতে পারেন যে ডিগ্রির সাধারণ মসৃণ হাইপারসার্ফেসটি কে-স্থিতিশীল। কিছু কিছু ক্ষেত্রে এটি জানা যায় যে সমস্ত ডিগ্রি হাইপারসার্ফেস কে-স্থিতিশীল, যেমন সমস্ত মসৃণ হাইপারসার্ফেস। নির্দিষ্ট ফ্যানোর জাতের অধ্যয়নের পাশাপাশি, নির্দিষ্ট কিছু ক্ষেত্রে কে-মডুলিকে স্পষ্টভাবে উচ্চতর মাত্রায় বর্ণনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যখন কে-মডুলি একটি "সুস্পষ্ট" জিআইটি ব্যাখ্যা স্বীকার করে, তখন বিটা বা ডেল্টা অপরিবর্তনীয় বীজগাণিতিক সরঞ্জামগুলি যাচাই করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে জিআইটি স্থায়িত্ব সেই নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য কে-স্থায়িত্বের সমতুল্য। উদাহরণস্বরূপ, লিউ দেখিয়েছেন যে কিউবিক ফোরফোল্ড হাইপারসার্ফেসগুলির জন্য, (সম্ভবত একক) কিউবিক ফোরফোল্ডের জিআইটি মডুলি স্থানটি কে-মডুলি স্থানের সমরূপ, এবং এইভাবে কেউ কে-স্থিতিশীল, কে-পলিস্টেবল এবং কে-সেমিস্টেবল কিউবিক ফোরফোল্ডগুলির একটি স্পষ্ট বিবরণ তাদের জিআইটি স্থায়িত্ব এবং একক কাঠামোর পরিপ্রেক্ষিতে অর্জন করে। বিশেষ করে প্রতিটি মসৃণ ঘন চারগুণ কে-স্থিতিশীল। রেফারেন্স নোটস বীজগাণিতিক জ্যামিতি