Quaternion estimator algorithm
কোয়াটারনিয়ন এস্টিমেটর অ্যালগরিদম (কিউইউইএসটি) একটি অ্যালগরিদম যা ওয়াহবার সমস্যা সমাধানের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, যা যথাক্রমে প্রতিটি সিস্টেমে নমুনা করা পর্যবেক্ষণের দুটি সেট থেকে দুটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের মধ্যে একটি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করে। অ্যালগরিদমের পিছনে মূল ধারণাটি হল কাইলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য এবং নিউটন-রাফসন পদ্ধতি ব্যবহার করে আইগেনভ্যালু সমস্যার দক্ষতার সাথে সমাধান এবং সমাধানের একটি সংখ্যাসূচকভাবে স্থিতিশীল উপস্থাপনা তৈরি করে ওয়াহবার সমস্যার জন্য একটি দ্বিঘাত রূপ হিসাবে লস ফাংশনের একটি অভিব্যক্তি খুঁজে বের করা। 1981 সালে কম্পিউটার সায়েন্সেস কর্পোরেশনে কাজ করার সময় ম্যালকম ডি. শুস্টার অ্যালগরিদমটি চালু করেছিলেন। যদিও নীতিগতভাবে ডেভেনপোর্টের কিউ পদ্ধতি বা একক মান পচনের মতো অন্যান্য পদ্ধতির তুলনায় কম শক্তিশালী, অ্যালগরিদমটি ব্যবহারিক প্রয়োগগুলিতে উল্লেখযোগ্যভাবে দ্রুত এবং নির্ভরযোগ্য এবং এটি রোবোটিক্স এবং এভিওনিক্সের মতো ক্ষেত্রে মনোভাব নির্ধারণের সমস্যার জন্য ব্যবহৃত হয়। ওয়াহবার সমস্যার গঠনে একটি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করা হয় যা ক্ষতি ফাংশনকে হ্রাস করে যেখানে রেফারেন্স ফ্রেমে ভেক্টর পর্যবেক্ষণগুলি, বডি ফ্রেমে ভেক্টর পর্যবেক্ষণগুলি, দুটি ফ্রেমের মধ্যে একটি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স এবং ওজনের একটি সেট। এটিকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত লাভ ফাংশনের সর্বাধিক সমস্যা হিসাবে পুনর্লিখন করা সম্ভব যাতে সর্বাধিক হলে ক্ষতি ন্যূনতম হয়। লাভটি আবার পুনর্লিখন করা যেতে পারে যেখানে এটি মনোভাব প্রোফাইল ম্যাট্রিক্স হিসাবে পরিচিত। চলকের সংখ্যা হ্রাস করার জন্য, ভেক্টর অংশ এবং স্কেলার অংশের সাথে একক কোয়াটারনিয়ন হিসাবে ঘূর্ণনকে প্যারামিট্রাইজ করে সমস্যাটি পুনর্গঠন করা যেতে পারে, যা একটি অক্ষের চারপাশে কোণের ঘূর্ণনকে উপস্থাপন করে যার দিক ভেক্টর দ্বারা বর্ণনা করা হয়, ঐক্য সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে। কোয়াটারনিয়ন প্যারামিট্রিসেশনের পরিপ্রেক্ষিতে তির্যক-প্রতিসম ম্যাট্রিক্স কোথায় রয়েছে তা এখন প্রকাশ করা সম্ভব। কোয়াটারনিয়ন উপস্থাপনার সাথে প্রতিস্থাপিত করে এবং ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিটিকে সহজতর করে, লাভ ফাংশনটিকে একটি দ্বিঘাত রূপ হিসাবে লেখা যেতে পারে যেখানে ম্যাট্রিক্সকে পরিমাণ থেকে সংজ্ঞায়িত করা হয় এই দ্বিঘাত রূপটি একটি ল্যাগ্রাঞ্জ গুণক যোগ করে ঐক্য সীমাবদ্ধতার অধীনে অনুকূলিত করা যেতে পারে, একটি অনিয়ন্ত্রিত লাভ ফাংশন অর্জন করে যা কখন সর্বাধিক অর্জন করে। এটি বোঝায় যে সর্বোত্তম ঘূর্ণন কোয়াটারনিয়ন দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয় যা এর বৃহত্তম আইগেনভ্যালুয়ের সাথে যুক্ত আইগেনভেক্টর। বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণের সমাধান সর্বোত্তম কোয়াটারনিয়নটি সবচেয়ে বড় আইগেনভ্যালুয়ের বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণ সমাধান করে এবং আইগেনভেক্টর তৈরি করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। এর সংজ্ঞা থেকে, দুটি সমীকরণের একটি পদ্ধতি হিসাবে পুনর্লিখন করা সম্ভব যেখানে রদ্রিগেজ ভেক্টর রয়েছে। দ্বিতীয় সমীকরণে প্রথমটির সঙ্গে প্রতিস্থাপন করলে, চরিত্রগত সমীকরণের একটি অভিব্যক্তি পাওয়া সম্ভব। যেহেতু, এটি অনুসরণ করে এবং তাই একটি সর্বোত্তম সমাধানের জন্য (যখন ক্ষতি কম হয়)। এটি রদ্রিগেজ ভেক্টর প্রতিস্থাপন করে সর্বোত্তম চতুর্ভুজ গঠনের অনুমতি দেয়। ভেক্টরটি অবশ্য একবচন। রদ্রিগেজ ভেক্টর জড়িত নয় এমন সমাধানের একটি বিকল্প অভিব্যক্তি কেলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে। একটি ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণ হল যেখানে কাইলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য বলে যে একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর যে কোনও বর্গ ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, তাই কোথায় এবং এর জন্য সর্বোত্তম ভেক্টরের একটি নতুন নির্মাণ প্রদান করে যা সর্বোত্তম ঘূর্ণনের কনজুগেট কোয়াটারনিয়ন উপস্থাপনা দেয়। এর মান চরিত্রগত সমীকরণের একটি সংখ্যাসূচক সমাধান হিসাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে। পূর্বে প্রাপ্ত চরিত্রগত সমীকরণের মধ্যে প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে। নিউটন-রাফসন পদ্ধতিতে কার মূলকে দক্ষতার সাথে আনুমানিক করা যেতে পারে তা দেয়, সমাধানের প্রাথমিক অনুমান হিসাবে 1 গ্রহণ করে সর্বোচ্চ আইগেনভ্যালুতে একত্রিত হওয়ার জন্য (উপরে দেখানো সত্যটি ব্যবহার করে, যখন কোয়াটারনিয়নটি সর্বোত্তম সমাধানের কাছাকাছি থাকে)। আরও দেখুন ট্রায়াড পদ্ধতি ওয়াহবার সমস্যা রেফারেন্স উৎস বাহ্যিক লিঙ্ক তিন মাত্রায় ঘূর্ণন মহাকাশযান মনোভাব নিয়ন্ত্রণ