Bayesian quadrature
বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ হল অপ্রয়োজনীয় সংহতকরণ সমস্যাগুলি আনুমানিক করার একটি পদ্ধতি। এটি সম্ভাবনাময় সংখ্যাসূচক পদ্ধতির শ্রেণীর মধ্যে পড়ে। বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ সংখ্যাসূচক সংহতকরণকে একটি বায়েসিয়ান অনুমান কাজ হিসাবে দেখে, যেখানে ফাংশন মূল্যায়নগুলি সেই ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়। এই কারণে, এটিকে কখনও কখনও "বায়েসিয়ান সম্ভাবনাময় সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন" বা "বায়েসিয়ান সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন" হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। "বায়েসিয়ান কিউবেচার" নামটি কখনও কখনও ব্যবহৃত হয় যখন ইন্টিগ্র্যাণ্ডটি বহুমাত্রিক হয়। এই পদ্ধতির একটি সম্ভাব্য সুবিধা হল যে এটি ইন্টিগ্রালের মানের জন্য সম্ভাব্য অনিশ্চয়তার পরিমাণ প্রদান করে। বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন ধরা যাক একটি ডোমেনে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন (যেখানে সাধারণত)। সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশনে, একটি পরিমাপের বিপরীতে এর ইন্টিগ্রাল অনুমান করতে বিভিন্ন স্থানে ফাংশন মূল্যায়ন ব্যবহার করা হয়ঃ ওজন দেওয়া হলে, একটি চতুর্ভুজ নিয়ম হল বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ রূপের একটি প্রাক্কলনকারী যা একটি পূর্ববর্তী বন্টন নির্দিষ্ট করে, একটি পশ্চাদবর্তী বন্টন পাওয়ার জন্য এটি আগে কন্ডিশনিং করে, তারপর অন্তর্নিহিত পশ্চাদবর্তী বন্টন গণনা করে। "চতুর্ভুজ" নামটি এই সত্য থেকে এসেছে যে পশ্চাৎ অর্থ কখনও কখনও একটি চতুর্ভুজ নিয়মের রূপ নেয় যার ওজন পূর্বের পছন্দ দ্বারা নির্ধারিত হয়। গাউসীয় প্রক্রিয়াগুলির সাথে বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ পূর্ববর্তী বন্টনের সবচেয়ে সাধারণ পছন্দ হল গাউসীয় প্রক্রিয়া কারণ এটি একটি বদ্ধ-রূপের পশ্চাদবর্তী বন্টনের জন্য সংযুক্ত অনুমানের অনুমতি দেয়। ধরুন আমাদের পূর্ববর্তী গড় ফাংশন এবং কোভ্যারিয়েন্স ফাংশন (বা কার্নেল ফাংশন) সহ একটি গাউসিয়ান প্রক্রিয়া রয়েছে। তারপর, পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন হল গড় এবং কার্নেল সহ একটি গাউসিয়ান প্রক্রিয়া যার দ্বারা দেওয়া হয়ঃ যেখানে, এবং। উপরন্তু, পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন হল একটি অভিন্ন গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন যার গড় এবং বৈচিত্র্য দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনটি হল কার্নেল গড় এম্বেডিং এবং উভয় ইনপুটের সাপেক্ষে এর ইন্টিগ্রালকে নির্দেশ করে। বিশেষত, লক্ষ্য করুন যে পোস্টেরিয়র গড় হল ওজন সহ একটি চতুর্ভুজ নিয়ম এবং পোস্টেরিয়র ভ্যারিয়েন্স এর মান সম্পর্কে ব্যবহারকারীর অনিশ্চয়তার একটি পরিমাণ প্রদান করে। আরও চ্যালেঞ্জিং ইন্টিগ্রেশন সমস্যায়, যেখানে পূর্ববর্তী বিতরণকে মহামারী সংক্রান্ত অনিশ্চয়তার অর্থবহ উপস্থাপনা হিসাবে নির্ভর করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ, সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান ব্যবহার করে কার্নেল হাইপারপ্যারামিটার সেট করার জন্য ডেটা ব্যবহার করা প্রয়োজন। কার্নেল হাইপারপ্যারামিটারের অনুমান বায়েসিয়ান চতুর্ভুজে অভিযোজনশীলতার প্রবর্তন করে। উদাহরণ মসৃণতা এবং পারস্পরিক সম্পর্কের দৈর্ঘ্যের ম্যাটার্ন কোভ্যারিয়েন্স ফাংশনের আগে শূন্য-অর্থ গাউসিয়ান প্রক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে একটি বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ নিয়ম ব্যবহার করে ইন্টিগ্রালের অনুমান বিবেচনা করুন। এই কোভ্যারিয়েন্স ফাংশনটি হল এটি গণনা করা সোজা (যদিও ক্লান্তিকর) যে বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ বিন্দুর অনুমান এবং পোস্টেরিয়র ভরের ঘনত্বের সংমিশ্রণ, যা দ্বারা পরিমাপ করা হয়, প্রকৃত ইন্টিগ্রালের চারপাশে যা আরও বেশি সংখ্যক পয়েন্টে মূল্যায়ন করা হয় তা সহগামী অ্যানিমেশনে প্রদর্শিত হয়। সুবিধা এবং অসুবিধাগুলি যেহেতু বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ সম্ভাবনাময় সংখ্যার একটি উদাহরণ, তাই এটি ঐতিহ্যবাহী সংখ্যাসূচক সংহতকরণ পদ্ধতির তুলনায় কিছু সুবিধা উত্তরাধিকার সূত্রে পেয়েছেঃ এটি সংখ্যাসূচক ত্রুটির প্রভাবকে স্পষ্টভাবে মডেল করার জন্য পরবর্তী সমস্ত গণনার মাধ্যমে অনিশ্চয়তার পরিমাণ নির্ধারণ এবং প্রচারের অনুমতি দেয়। এটি পূর্ববর্তী বিতরণগুলির একটি বিচক্ষণ পছন্দ ব্যবহার করে পূর্ববর্তী জ্ঞানকে অন্তর্ভুক্ত করার একটি নীতিগত উপায় প্রদান করে, যা সদ্য বর্ণিত স্ট্যান্ডার্ড গাউসিয়ান প্রক্রিয়ার তুলনায় আরও পরিশীলিত হতে পারে। এটি তথ্যের আরও দক্ষ ব্যবহারের অনুমতি দেয়, যেমন। আগ্রহের একাধিক সম্পর্কিত পরিমাণ যৌথভাবে অনুমান করা বা প্রয়োজনীয় পয়েন্টের সংখ্যা কমাতে সক্রিয় শিক্ষা ব্যবহার করা। এই গুণাবলী সত্ত্বেও, বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ পদ্ধতির নিম্নলিখিত সীমাবদ্ধতাগুলি রয়েছেঃ যদিও বায়েসিয়ান দৃষ্টান্ত অনিশ্চয়তার পরিমাণ নির্ধারণের একটি নীতিগত চিকিত্সার অনুমতি দেয়, তবে পরবর্তী অনুমান সর্বদা ট্র্যাক্টেবল হয় না, তাই দ্বিতীয় স্তরের অনুমানের প্রয়োজন হয়। ই. জি। গাউসিয়ান প্রক্রিয়াগুলির সাথে বায়েসিয়ান চতুর্ভুজের জন্য, কার্নেল গড় এম্বেডিংয়ের কোনও সাধারণ কার্নেল এবং পরিমাপের জন্য কোনও বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি নেই। গাউসীয় প্রক্রিয়াগুলির উপর ভিত্তি করে বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ পদ্ধতির গণনামূলক খরচ সাধারণভাবে বিপরীত ম্যাট্রিক্সের খরচের কারণে হয়, যা বড় আকারের সমস্যাগুলিতে তাদের প্রয়োগকে অস্বীকার করতে পারে। অ্যালগরিদমিক নকশা পূর্ববর্তী বিতরণ পূর্বে সর্বাধিক ব্যবহৃত হয় একটি গাউসিয়ান প্রক্রিয়া পূর্ববর্তী। এটি মূলত গাউসিয়ান কনজুগেসি দ্বারা প্রদত্ত সুবিধার কারণে এবং গাউসিয়ান প্রক্রিয়াগুলি পূর্ববর্তী কোভ্যারিয়েন্সের যত্নশীল পছন্দের মাধ্যমে মসৃণতা, পর্যায়ক্রমিকতা এবং স্পারসিটি সহ পূর্ববর্তী জ্ঞানের বিস্তৃত পরিসরকে এনকোড করতে পারে। তবে, আরও বেশ কয়েকটি পূর্ববর্তী বিতরণের প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে। এর মধ্যে রয়েছে মাল্টি-আউটপুট গাউসিয়ান প্রক্রিয়া, যা একযোগে বা ক্রমানুসারে একাধিক সম্পর্কিত সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন কাজগুলি মোকাবেলা করার সময় বিশেষভাবে কার্যকর, এবং গাছ-ভিত্তিক প্রাইওর যেমন বায়েসিয়ান অ্যাডিটিভ রিগ্রেশন ট্রি, যা বিচ্ছিন্নতার জন্য উপযুক্ত। উপরন্তু, একীকরণ পরিমাপের জন্য ডিরিচলেট প্রক্রিয়াগুলির অগ্রাধিকারও প্রস্তাব করা হয়েছে। পয়েন্ট নির্বাচন পয়েন্টগুলি হয় দেওয়া বলে মনে করা হয়, অথবা নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে পোস্টেরিয়র দ্রুত হারে মনোনিবেশ করে তা নিশ্চিত করা যায়। একটি পদ্ধতিতে অন্যান্য চতুর্ভুজ নিয়ম থেকে পয়েন্ট সেট ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, মন্টে কার্লোতে বায়েসিয়ান পদ্ধতির পুনরুদ্ধার থেকে স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণকৃত উপলব্ধি গ্রহণ করা, যেখানে নিম্ন-বৈষম্য ক্রম বা জালের মতো নির্দিষ্ট নির্ধারক বিন্দু সেট ব্যবহার করে আধা-মন্টে কার্লোর বিকল্প বায়েসিয়ান পুনরুদ্ধার করা হয়। অবশ্যই বায়েসিয়ান চতুর্ভুজের জন্য বিশেষভাবে পরিকল্পিত পয়েন্ট সেট ব্যবহার করা সম্ভব; উদাহরণস্বরূপ দেখুন স্কেলযোগ্য বায়েসিয়ান চতুর্ভুজের প্রাক্কলনকারী পেতে কে পয়েন্ট সেটগুলিতে প্রতিসাম্যকে কাজে লাগিয়েছে। বিকল্পভাবে, সক্রিয় শিক্ষা এবং বায়েসিয়ান পরীক্ষামূলক নকশা থেকে নীতিগুলি অনুসরণ করে অভিযোজিতভাবে পয়েন্টগুলি নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে বহু-আউটপুট গাউসিয়ান প্রক্রিয়া সহ পরবর্তী অনিশ্চয়তা সরাসরি হ্রাস করা যায়। কার্নেল গড় এবং প্রাথমিক ত্রুটি বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ প্রয়োগ করার সময় একটি চ্যালেঞ্জ হল ফাংশন এবং ধ্রুবক মূল্যায়ন করার প্রয়োজন। প্রথমটিকে সাধারণত কার্নেল গড় বলা হয় এবং এটি এমন একটি পরিমাণ যা কার্নেল-ভিত্তিক দূরত্ব যেমন সর্বাধিক গড় অসামঞ্জস্যের গণনার মূল চাবিকাঠি। পরেরটিকে সাধারণত প্রাথমিক ত্রুটি বলা হয় কারণ এটি কোনও ফাংশন মান পর্যবেক্ষণের আগে ইন্টিগ্রেশন ত্রুটির উপর একটি উপরের সীমা প্রদান করে। দুর্ভাগ্যবশত, কার্নেল গড় এবং প্রাথমিক ত্রুটি শুধুমাত্র অল্প সংখ্যক জোড়ার জন্য গণনা করা যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ টেবিল 1 দেখুন। তত্ত্ব বায়েসিয়ান চতুর্ভুজের জন্য বেশ কয়েকটি তাত্ত্বিক নিশ্চয়তা পাওয়া গেছে। এগুলির জন্য সাধারণত ইন্টিগ্র্যান্ডের সোবোলেভ মসৃণতা বৈশিষ্ট্যের প্রয়োজন হয়, যদিও সাম্প্রতিক কাজটি গাউসিয়ান কার্নেলের পুনরুত্পাদনকারী কার্নেল হিলবার্ট স্পেসে ইন্টিগ্র্যান্ড পর্যন্ত প্রসারিত হয়েছে। বেশিরভাগ ফলাফল মন্টে কার্লো বা নির্ধারক গ্রিড পয়েন্ট সেটের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তবে কিছু ফলাফল অভিযোজিত নকশাতেও প্রসারিত হয়। সফ্টওয়্যার প্রোবনুমঃ একটি বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ বাস্তবায়ন সহ পাইথনে সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি। ইমুকিটঃ পাইথনে অনিশ্চয়তার মধ্যে অনুকরণ এবং সিদ্ধান্ত গ্রহণ। কিউএমসিপাইঃ পাইথনে কিউএমসি পয়েন্ট সেট সহ বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ। তথ্যসূত্র সংখ্যাসূচক সংহতকরণ (চতুর্ভুজ) বায়েসিয়ান অনুমান