Complex hyperbolic space
গণিতে, হাইপারবোলিক জটিল স্থান হল একটি হার্মিশিয়ান ম্যানিফোল্ড যা জটিল ম্যানিফোল্ডের প্রসঙ্গে বাস্তব হাইপারবোলিক স্থানের সমতুল্য। জটিল হাইপারবোলিক স্থানটি একটি কেলার ম্যানিফোল্ড, এবং এটি একমাত্র সহজভাবে সংযুক্ত কেলার ম্যানিফোল্ড হিসাবে চিহ্নিত করা হয় যার হোলোমরফিক বিভাগীয় বক্রতা-1 এর সমান ধ্রুবক। এর অন্তর্নিহিত রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের অ-ধ্রুবক নেতিবাচক বক্রতা রয়েছে, যা-1 এবং-1/4 (বা-4 এবং-1, মেট্রিকের স্বাভাবিকীকরণের পছন্দ অনুসারে) এর মধ্যে পিন করা থাকেঃ বিশেষত, এটি একটি সিএটি (-1/4) স্থান। জটিল হাইপারবোলিক স্পেসগুলিও লাই গ্রুপের সাথে যুক্ত প্রতিসম স্পেস। এগুলি বাস্তব এবং কোয়াটার্নিয়নিক হাইপারবোলিক স্পেস সহ অ-কম্প্যাক্ট ধরনের র্যাঙ্ক এক প্রতিসম স্থানের তিনটি পরিবারের মধ্যে একটি গঠন করে, যার শ্রেণিবিন্যাসে অবশ্যই একটি ব্যতিক্রমী স্থান যোগ করতে হবে, কেলি সমতল। জটিল হাইপারবোলিক স্পেস প্রজেক্টিভ মডেলের নির্মাণ জটিল ভেক্টর স্পেসে স্বাক্ষরের একটি ছদ্ম-হার্মিটিয়ান রূপ হতে দিন। জটিল হাইপারবোলিক স্পেসের প্রজেক্টিভ মডেল হল এই ফর্মের জন্য সমস্ত নেতিবাচক ভেক্টরের প্রজেক্টিভাইজড স্পেসঃ জটিল প্রজেক্টিভ স্পেসের একটি উন্মুক্ত সেট হিসাবে, এই স্থানটি একটি জটিল বহুগুণ কাঠামো দিয়ে সমৃদ্ধ। এটি একক বলের বাইহোলোমর্ফিক, যেমনটি লক্ষ্য করা যায় যে একটি ঋণাত্মক ভেক্টরের অবশ্যই অ-শূন্য প্রথম স্থানাঙ্ক থাকতে হবে এবং প্রজেক্টিভ স্পেসে 1 এর সমান প্রথম স্থানাঙ্ক সহ একটি অনন্য প্রতিনিধিত্বকারী থাকতে হবে। শর্তটি যখন এর সমতুল্য। একক বলের বিন্দুটিকে প্রজেক্টিভ স্পেসের বিন্দুতে পাঠানোর মানচিত্রটি এইভাবে প্রয়োজনীয় বায়োলোমরফিজমকে সংজ্ঞায়িত করে। এই মডেলটি পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের সমতুল্য। প্রকৃত হাইপারবোলিক স্থানের বিপরীতে, জটিল প্রজেক্টিভ স্থানটিকে হাইপারবোলয়েডের একটি শীট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না, কারণ প্রজেক্টিভ মডেলের উপর এই হাইপারবোলয়েডের অভিক্ষেপ ফাইবারকে সংযুক্ত করেছে (ফাইবারটি বাস্তব ক্ষেত্রে রয়েছে)। একটি হার্মিশিয়ান মেট্রিককে নিম্নলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যদি শঙ্কু সম্পর্কিত হয়, তবে অর্থোগোনাল স্থানের সীমাবদ্ধতা এই স্থানের একটি নির্দিষ্ট ধনাত্মক হার্মিশিয়ান পণ্যকে সংজ্ঞায়িত করে এবং যেহেতু বিন্দুর স্পর্শক স্থানটি স্বাভাবিকভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে, এটি একটি হার্মিশিয়ান অভ্যন্তরীণ পণ্যকে সংজ্ঞায়িত করে। গণনার মাধ্যমে দেখা যায়, এই অভ্যন্তরীণ গুণফল প্রতিনিধিত্বকারীর পছন্দের উপর নির্ভর করে না। হোলোমরফিক বিভাগীয় বক্রতা-1-এর সমান এবং-4-এর সমান না হওয়ার জন্য, একটি ফ্যাক্টর দ্বারা এই মেট্রিককে পুনরায় স্বাভাবিক করতে হবে। এই মেট্রিকটি একটি কেলার মেট্রিক। সিগেল মডেল জটিল হাইপারবোলিক স্থানের সিগেল মডেল এমন একটি উপসেট যে এটি অসীম সীমায় কেলি রূপান্তর সীমানার মাধ্যমে একক বলের বাইহোলোমর্ফিক প্রজেক্টিভ মডেলে, জটিল হাইপারবোলিক স্থানটি মাত্রার জটিল একক বলের সাথে চিহ্নিত করা হয় এবং এর সীমানা বলের সীমানা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা বাস্তব মাত্রার গোলকের সাথে ডিফিয়োমোর্ফিক। এটি সংজ্ঞায়িত করার সমতুল্যঃ একটি সিএটি (0) স্থান হিসাবে, জটিল হাইপারবোলিক স্থানেরও অনন্ততায় একটি সীমানা রয়েছে। এই সীমানাটি ঠিক সংজ্ঞায়িত সীমানার সাথে মিলে যায়। জটিল হাইপারবোলিক স্থানের সীমানা স্বাভাবিকভাবেই একটি সিআর কাঠামো বহন করে। এই কাঠামোটি (বিজোড় মাত্রিক) গোলকের মানক যোগাযোগ কাঠামোও। হোলোমর্ফিক আইসোমেট্রি এবং প্রতিসম স্থানের গ্রুপ জটিল হাইপারবোলিক স্থানের হোলোমর্ফিক আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপ হল লাই গ্রুপ। এই গ্রুপটি জটিল হাইপারবোলিক স্পেসে ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে এবং একটি বিন্দুর স্থিতিশীলকারী একক গোষ্ঠীর সমরূপ। জটিল হাইপারবোলিক স্থানটি এইভাবে সমজাতীয় স্থানের সমরূপ। স্টেবিলাইজার হল এর সর্বাধিক কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠী। ফলস্বরূপ, জটিল হাইপারবোলিক স্থানটি রিমানিয়ান প্রতিসম স্থান, যেখানে ছদ্ম-একক গোষ্ঠী। জটিল হাইপারবোলিক স্থানের হোলোমরফিক আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপও এই স্থানের সীমানায় কাজ করে এবং বন্ধ ডিস্কে হোমিওমরফিজম দ্বারা কাজ করে। ব্রাউয়ারের স্থির বিন্দু উপপাদ্য অনুসারে, জটিল হাইপারবোলিক স্থানের যে কোনও হোলোমরফিক আইসোমেট্রি কমপক্ষে একটি বিন্দু স্থির করতে হবে। সমমিতিকে তিন ভাগে ভাগ করা হয়ঃ একটি সমমিতিকে উপবৃত্তাকার বলা হয় যদি এটি জটিল হাইপারবোলিক স্পেসে একটি বিন্দু স্থির করে। একটি আইসোমেট্রি প্যারাবলিক বলে মনে করা হয় যদি এটি জটিল হাইপারবোলিক স্পেসে একটি বিন্দু স্থির না করে এবং সীমানায় একটি অনন্য বিন্দু স্থির করে। একটি আইসোমেট্রি হাইপারবোলিক (বা লক্সোড্রোমিক) বলা হয় যদি এটি জটিল হাইপারবোলিক স্পেসে একটি বিন্দু স্থির না করে এবং সীমানায় ঠিক দুটি বিন্দু স্থির করে। এর ইওয়াসাওয়া পচন হল পচন, যেখানে একক গোষ্ঠী হল বাস্তব সংখ্যার যোগাত্মক গোষ্ঠী এবং বাস্তব মাত্রার হাইজেনবার্গ গোষ্ঠী। এই ধরনের পচন নির্ভর করে নিচের বিষয়গুলির পছন্দের উপরঃ জটিল হাইপারবোলিক স্থানের সীমানায় একটি বিন্দু (তারপর স্থিরকরণের একক ক্ষমতাসম্পন্ন প্যারাবোলিক উপাদানগুলির গোষ্ঠী) একটি অভিমুখী জিওডেসিক রেখা যা অনন্ততায় যায় (তারপর এই জিওডেসিক বরাবর অনুবাদ হিসাবে কাজ করার হাইপারবোলিক উপাদানগুলির গোষ্ঠী এবং এর চারপাশে কোনও ঘূর্ণন অংশ নেই) এর জন্য একটি উৎসের পছন্দ, অর্থাৎ। একটি একক গতির পরামিতি যার চিত্র হল (তারপর স্থিরকরণের উপবৃত্তাকার উপাদানগুলির গোষ্ঠী) এই ধরনের যে কোনও পচনের জন্য, উপগোষ্ঠীর ক্রিয়া মুক্ত এবং ক্ষণস্থায়ী, তাই একটি ডিফিয়োমরফিজমকে প্ররোচিত করে। এই ডিফিয়োমরফিজমকে সিগেল মডেলের সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। বক্রতা হলোমর্ফিক আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপ হাইপারবোলিক জটিল স্থানের স্পর্শক জটিল রেখাগুলিতে ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে। এই কারণেই এই স্থানটির ধ্রুবক হোলোমর্ফিক বিভাগীয় বক্রতা রয়েছে, যা-4 এর সমান হিসাবে গণনা করা যেতে পারে (মেট্রিকের উপরের স্বাভাবিককরণের সাথে)। এই বৈশিষ্ট্যটি হাইপারবোলিক জটিল স্থানকে চিহ্নিত করেঃ আইসোমেট্রিক বায়োলোমর্ফিজম পর্যন্ত, প্রদত্ত ধ্রুবক হোলোমর্ফিক বিভাগীয় বক্রতার কেবল একটি সহজভাবে সংযুক্ত সম্পূর্ণ কহলার ম্যানিফোল্ড রয়েছে। উপরন্তু, যখন একটি হার্মিশিয়ান ম্যানিফোল্ডের সমতুল্য ধ্রুবক হোলোমরফিক বিভাগীয় বক্রতা থাকে, তখন প্রতিটি বাস্তব স্পর্শক সমতলের বিভাগীয় বক্রতা সম্পূর্ণরূপে এই সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়ঃ যেখানে এবং এর মধ্যে কোণ, অর্থাৎ একটি ভেক্টর এবং একটি ভেক্টরের মধ্যে কোণগুলির অসীম। এই কোণটি 0-এর সমান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি জটিল রেখা হয়, এবং সমান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সম্পূর্ণ বাস্তব হয়। এইভাবে জটিল হাইপারবোলিক স্থানের বিভাগীয় বক্রতা-4 (জটিল রেখার জন্য) থেকে-1 (সম্পূর্ণ বাস্তব সমতলের জন্য) পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। জটিল মাত্রা 1-এ, স্পর্শক স্থানের প্রতিটি বাস্তব সমতল একটি জটিল রেখাঃ সুতরাং মাত্রা 1-এর হাইপারবোলিক জটিল স্থানের ধ্রুবক বক্রতা-1-এর সমান, এবং ইউনিফর্মাইজেশন উপপাদ্য অনুসারে, এটি বাস্তব হাইপারবোলিক সমতলের আইসোমেট্রিক। এইভাবে হাইপারবোলিক জটিল স্থানগুলিকে হাইপারবোলিক সমতলের আরেকটি উচ্চ-মাত্রিক সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা প্রকৃত হাইপারবোলিক স্থানগুলির তুলনায় কম মানসম্মত। তৃতীয় সম্ভাব্য সাধারণীকরণ হল সমজাতীয় স্থান, যা আবার হাইপারবোলিক সমতলের সাথে মিলে যায়, কিন্তু যখন 1 এর চেয়ে বেশি র্যাঙ্কের প্রতিসম স্থান হয়ে যায়। সম্পূর্ণরূপে জিওডেসিক সাবস্পেস n মাত্রার জটিল হাইপারবোলিক স্পেসের প্রতিটি সম্পূর্ণ জিওডেসিক সাবম্যানিফোল্ড নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটিঃ ছোট মাত্রার একটি জটিল হাইপারবোলিক স্পেসের একটি অনুলিপি বাস্তব মাত্রার বাস্তব হাইপারবোলিক স্পেসের একটি অনুলিপি। একক বলের জটিল হাইপারবোলিক মেট্রিক কিছু স্কেলার পুনর্নবীকরণ পর্যন্ত বার্গম্যান মেট্রিকের সাথে মিলে যায়। এর থেকে বোঝা যায় যে বলের প্রতিটি বায়োলোমরফিজম আসলে জটিল হাইপারবোলিক মেট্রিকের একটি আইসোমেট্রি। জটিল হাইপারবোলিক মেট্রিকও কোবায়শি মেট্রিকের সাথে মিলে যায়। পুনর্নবীকরণ পর্যন্ত, জটিল হাইপারবোলিক মেট্রিক হল কেলার-আইনস্টাইন, যার অর্থ হল এর রিচি বক্রতা মেট্রিকের একটি গুণিতক। আরও দেখুন হাইপারবোলিক স্পেস কোয়াটারনিওনিক হাইপারবোলিক স্পেস রেফারেন্স ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি রিমানিয়ান জ্যামিতি লাই গ্রুপ সমজাতীয় স্পেস