Neuberg cubic
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, নিউবার্গ ঘন হল একটি বিশেষ ঘন সমতল বক্ররেখা যা একটি রেফারেন্স ত্রিভুজের সাথে যুক্ত যার বেশ কয়েকটি উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে। লুক্সেমবুর্গের গণিতবিদ জোসেফ জিন ব্যাপটিস্ট নিউবার্গের (30 অক্টোবর 1840-22 মার্চ 1926) নামে এর নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1884 সালে প্রকাশিত একটি গবেষণাপত্রে প্রথম বক্ররেখাটি প্রবর্তন করেছিলেন। বার্নার্ড গিলবার্টের ক্যাটালগ অফ ট্রায়াঙ্গেল কিউবিকসে চিহ্নিতকরণ নম্বর K001 সহ বক্ররেখাটি প্রথম আইটেম হিসাবে উপস্থিত হয় যা 1200 টিরও বেশি ত্রিভুজ কিউবিক সম্পর্কে বিস্তৃত তথ্যের সংকলন। সংজ্ঞা নিউবার্গ ঘনকে বিভিন্ন উপায়ে লোকাস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি উপায় হল এটিকে রেফারেন্স ত্রিভুজের সমতলে একটি বিন্দুর লোকাস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যাতে, ত্রিভুজের পার্শ্বের প্রতিফলনগুলি যদি হয়, তবে রেখাগুলি সমবর্তী হয়। যাইহোক, এটি প্রমাণ করা দরকার যে এইভাবে সংজ্ঞায়িত লোকাস প্রকৃতপক্ষে একটি ঘন বক্ররেখা। দ্বিতীয় উপায় হল এটিকে বিন্দুর স্থান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যাতে ত্রিভুজের পরিধিগুলি সমবর্তী হয়। আরেকটি উপায় হল এটিকে চতুর্ভুজ অনৈচ্ছিক হিসাবে পরিচিত নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করার স্থান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা (এই পদ্ধতিতে নিউবার্গ বক্ররেখাটি প্রবর্তন করেছিলেন): সমীকরণটি রেফারেন্স ত্রিভুজের পার্শ্ব দৈর্ঘ্য হতে দিন। তারপর ব্যারিসেন্ট্রিক স্থানাঙ্কের নিউবার্গ ঘনক্ষেত্রের সমীকরণ হল অন্যান্য পরিভাষাঃ 21-বিন্দু বক্ররেখা, 37-বিন্দু বক্ররেখা প্রাচীন সাহিত্যে নিউবার্গ বক্ররেখা সাধারণত 21-বিন্দু বক্ররেখা হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এই পরিভাষাটি নিউবার্গের দ্বারা আবিষ্কৃত বক্ররেখার বৈশিষ্ট্যকে বোঝায় যে এটি রেফারেন্স ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত কিছু বিশেষ 21টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। রেফারেন্স ত্রিভুজটি ধরে নিলে, 21টি বিন্দু নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। শীর্ষগুলি বিপরীত পার্শ্বে শীর্ষগুলির প্রতিফলন অর্থোসেন্টার বৃত্তকেন্দ্র তিনটি বিন্দু যেখানে সংযুক্ত রেখায় এ-এর প্রতিফলন এবং যেখানে এর সাথে লম্ব দ্বিখণ্ডকের ছেদ এবং যা এর সাথে লম্ব দ্বিখণ্ডকের ছেদ; এবং একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সমবাহু ত্রিভুজের ছয়টি শীর্ষ ত্রিভুজের পাশে নির্মিত দুটি আইসোগোনিক কেন্দ্র (ত্রিভুজ কেন্দ্রগুলির বিশ্বকোষের এক্স (13) এবং এক্স (14) বিন্দু) দুটি আইসোডাইনামিক বিন্দু (ত্রিভুজ কেন্দ্রগুলির বিশ্বকোষের এক্স (15) এবং এক্স (16) বিন্দু) সংযুক্ত চিত্রটি ত্রিভুজের নিউবার্গ ঘনকে দেখায় যার সাথে সমস্ত ত্রিভুজ রয়েছে। 1925 সালে প্রকাশিত একটি গবেষণাপত্রে, বি. এইচ. ব্রাউন নিউবার্গ কিউবিকের উপর 16টি অতিরিক্ত বিশেষ বিন্দুর আবিষ্কারের কথা উল্লেখ করেন যা কিউবিকের উপর তখনকার পরিচিত বিশেষ বিন্দুর মোট সংখ্যা 37 করে তোলে। এই কারণে, নিউবার্গ ঘনকে কখনও কখনও 37-বিন্দু ঘন হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। বর্তমানে, নিউবার্গ ঘনক্ষেত্রে বিপুল সংখ্যক বিশেষ বিন্দু রয়েছে বলে জানা যায়। গিলবার্টের ক্যাটালগের একটি বিশেষ পৃষ্ঠা রয়েছে যা এই জাতীয় বিশেষ পয়েন্টগুলির তালিকার জন্য নিবেদিত যা ত্রিভুজ কেন্দ্রও। বৃত্তাকার ঘন হিসাবে নিউবার্গ কিউবিকের কিছু বৈশিষ্ট্য রেফারেন্স ত্রিভুজের সমতলে অসীমের রেখার ত্রিকোণীয় স্থানাঙ্কে সমীকরণটি হল এই রেখার দুটি বিশেষ বিন্দু রয়েছে যাকে অনন্তের বৃত্তাকার বিন্দু বলা হয়। ত্রিভুজের সমতলের প্রতিটি বৃত্ত এই দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং প্রতিটি শঙ্কু যা এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায় তা একটি বৃত্ত। এই বিন্দুগুলির ত্রিকোণীয় স্থানাঙ্ক কোথায় অবস্থিত। যে কোনও ঘন বক্ররেখা যা অনন্ততায় দুটি বৃত্তাকার বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় তাকে বৃত্তাকার ঘন বলা হয়। নিউবার্গ ঘন একটি বৃত্তাকার ঘন। একটি মূল আইসোগোনাল কিউবিক হিসাবে নিউবার্গ কিউবিক একটি ত্রিভুজের সাপেক্ষে একটি বিন্দুর আইসোগোনাল কনজুগেট হল যথাক্রমে কোণ দ্বিখণ্ডক সম্পর্কে রেখাগুলির প্রতিফলনের সঙ্গতি বিন্দু। এর আইসোগোনাল কনজুগেটকে কখনও কখনও দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এর আইসোগোনাল কনজুগেট হল। একটি স্ব-সমস্থানিক ঘন হল একটি ত্রিভুজ ঘন যা সমস্থানিক সংযোগের অধীনে অপরিবর্তনীয়। একটি মূল আইসোগোনাল কিউবিক হল একটি কিউবিক যেখানে কিউবিকের উপর অবস্থিত বিন্দুগুলি এবং তাদের আইসোগোনাল কনজুগেটগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু সহ ক্যুবিকের পিভট পয়েন্ট হিসাবে পরিচিত। নিউবার্গ কিউবিক একটি গুরুত্বপূর্ণ আইসোগোনাল কিউবিক যার পিভট ইউলার রেখার ছেদস্থলে এবং অসীম রেখার সাথে রয়েছে। কিম্বার্লিং-এর এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ট্রায়াঙ্গেল সেন্টারে এই বিন্দুটিকে এক্স (30) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। একটি পিভোটল অর্থোকুবিক হিসাবে নিউবার্গ কিউবিক ত্রিভুজের সমতলে একটি বিন্দু হতে হবে। লম্ব রেখাগুলি যথাক্রমে ছেদ করে এবং এই বিন্দুগুলি একটি রেখার উপর অবস্থিত। ত্রিভুজাকার মেরুটিকে হতে দিন। একটি আইসোপিভোটাল কিউবিক হল একটি ত্রিভুজ কিউবিক যার বৈশিষ্ট্য হল যে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু রয়েছে যাতে, কিউবিকের যে কোনও বিন্দু এম-এর জন্য, বিন্দুগুলি কলিনিয়ার হয়। স্থির বিন্দুটিকে ঘনক্ষেত্রের অর্থোপিভট বলা হয়। নিউবার্গ কিউবিক হল একটি অর্থোপিভোটাল কিউবিক যার ত্রিভুজের পরিধি কেন্দ্রে অর্থোপিভোট রয়েছে। অতিরিক্ত পাঠ আবদিকাদির আলটিন্টাস, অন সাম প্রোপার্টিজ অফ নিউবার্গ কিউবিক রেফারেন্স ত্রিভুজ জ্যামিতি