Bohemian matrices
একটি বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স পরিবার ম্যাট্রিক্সের একটি সেট যার বিনামূল্যে এন্ট্রিগুলি ম্যাট্রিক্স তালিকা দ্বারা চিহ্নিত একক বিচ্ছিন্ন, সাধারণত সীমাবদ্ধ জনসংখ্যা থেকে আসে। এই নির্দিষ্ট বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স পরিবার থেকে যে কোনও ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি ইনপুট সেটের একটি উপাদান হতে হবে। এই বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণকারী এই ধরনের ম্যাট্রিক্সগুলিকে বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সের অন্যান্য কাঠামোও থাকতে পারে, যেমন একটি টোপ্লিটজ ম্যাট্রিক্স বা একটি উচ্চ হেসেনবার্গ ম্যাট্রিক্স। সাধারণত, একটি নির্দিষ্ট জনসংখ্যার সাথে শুধুমাত্র একটি বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স পরিবার অধ্যয়ন করা হয়, এবং তাই উল্লেখযোগ্য অস্পষ্টতা ছাড়াই যে কোনও প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সকে বোহেমিয়ান হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। অ্যাপ্লিকেশন সফ্টওয়্যার টেস্টিং বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সের একটি সাধারণ প্রয়োগ হল রৈখিক বীজগণিতে প্রয়োগ করা সফ্টওয়্যার পরীক্ষা করা। বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সগুলি (সাধারণত) একটি কম্পিউটারে স্পষ্টভাবে উপস্থাপিত হয় এবং কেউ সম্পূর্ণ অনুসন্ধান (ছোট মাত্রার জন্য), এলোমেলো নমুনা সংগ্রহ বা অপ্টিমাইজেশান কৌশল দ্বারা চরম আচরণের জন্য সনাক্ত করতে পারে। একটি বিশিষ্ট উদাহরণ হল স্টিভেন ই. থর্নটন, যিনি দুই ট্রিলিয়নেরও বেশি আইগেনভ্যালু সমস্যার সমাধান করেছিলেন। এটি করার মাধ্যমে, তিনি কিছু জনপ্রিয় সফ্টওয়্যার সিস্টেমে কনভারজেন্স ব্যর্থতার উদাহরণ উন্মোচন করেছিলেন। একটি এনিম্যাট্রিক্স হল একটি এক্সটেনসিবল ম্যাটল্যাব ম্যাট্রিক্স সংগ্রহ যা বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সের সর্বোত্তম শ্রেণীর একটি সেট ধারণ করে। ম্যাটল্যাব গ্যালারিতে বোহেমিয়ান ম্যাট্রিসিস নিয়ে ক্লিভ মোলারের ব্লগ পোস্টটিও দেখুন। 2018 বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশনস ওয়ার্কশপে দেওয়া এক বক্তৃতায়, নিক হাইয়াম ব্যাখ্যা করেছিলেন যে কীভাবে তিনি বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সের উপর জনসংখ্যার সাথে জিনগত অ্যালগরিদম ব্যবহার করেছিলেন যাতে রুক পিভটিংয়ের জন্য সর্বাধিক বৃদ্ধির ফ্যাক্টরের উপর নিম্ন সীমা তীক্ষ্ণ করা যায়। র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স অন্যান্য ক্ষেত্রের সাথে সংযোগগুলি র্যান্ডম স্যাম্পলিংয়ের মাধ্যমে অধ্যয়ন করা যেতে পারে; যেখানে, এই ধরনের গবেষণাগুলি র্যান্ডম ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রের অংশ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। যাইহোক, আজ অবধি র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স অধ্যয়নের বেশিরভাগ ফোকাস বাস্তব প্রতিসম বা হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্সের উপর, বা ম্যাট্রিক্সের অধ্যয়নের উপর ছিল যার এন্ট্রিগুলি একটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণ থেকে নেওয়া হয়, যেমন গাউসিয়ান এনসেম্বল। উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রমগুলির মধ্যে রয়েছে টেরেন্স তাও এবং ভ্যান ভু-এর কাজ। বার্নৌলি এবং হাদামার্ড ম্যাট্রিক্স শুধুমাত্র থেকে এন্ট্রি সহ ম্যাট্রিক্সকে কখনও কখনও বার্নৌলি ম্যাট্রিক্স বলা হয়, যা তাই বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ। একটি হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্স হল একটি বার্নৌলি ম্যাট্রিক্স যা আরও একটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ এর নির্ধারক সর্বাধিক। অতএব, হাদামার্ড ম্যাট্রিক্সগুলিও বোহেমিয়ান। হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্স (এবং প্রকৃতপক্ষে বার্নৌলি ম্যাট্রিক্স) অবশ্যই "বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স" নামের অস্তিত্বের চেয়ে অনেক বেশি সময় ধরে অধ্যয়ন করা হয়েছে। তবে হাদামার্ড ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে যে ধরনের প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে (মূল প্রশ্নটি ছিল কোন ম্যাট্রিক্সের সর্বাধিক নির্ধারক রয়েছে) অন্যান্য বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স সম্পর্কেও জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে। হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্সের প্রথম সাধারণীকরণগুলির মধ্যে একটি ছিল যা এখন কখনও কখনও বুটসন-টাইপ হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্স নামে পরিচিত, যার এন্ট্রিগুলি একতার মূল। এগুলি প্রোটোটাইপিক্যাল বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স হিসাবেও বিবেচিত হতে পারে। গ্রাফ তত্ত্ব, বিশেষত আপতন ম্যাট্রিক্স সহ ম্যাট্রিসগুলি গ্রাফ তত্ত্ব বোঝার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। গ্রাফ তত্ত্বের ফলাফল বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স পরীক্ষায় সম্মুখীন হওয়া কিছু ঘটনা ব্যাখ্যা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিপরীতভাবে, বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স কর্মীদের দ্বারা সমর্থিত শৈলীতে পরিচালিত কিছু পরীক্ষা গ্রাফের জন্য তথ্যমূলক হতে পারে। বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সের অধীনে এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্সসে তালিকাভুক্ত উল্লেখযোগ্য সংখ্যক উন্মুক্ত সমস্যাগুলি সমন্বিত প্রকৃতির। উদাহরণস্বরূপ, এ306782 বার্নৌলি ম্যাট্রিক্সের (অর্থাৎ জনসংখ্যার সাথে বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স) জন্য মাত্রা 5 পর্যন্ত এবং সহ স্বতন্ত্র ন্যূনতম বহুপদের সংখ্যার একটি সারণী তালিকাভুক্ত করে। উচ্চতর মাত্রার সংখ্যা জানা যায় না। 6 মাত্রার বার্নৌলি ম্যাট্রিক্সের সংখ্যা হল; যদিও এই সেটটি সম্ভবত সম্পূর্ণভাবে অনুসন্ধান করা যেতে পারে (এটি আনন্দদায়কভাবে সমান্তরাল), ম্যাট্রিক্সের সংখ্যার বৃহত্তর-ব্যতিক্রমী বৃদ্ধি শীঘ্রই ব্রুট বলকে পরাজিত করে। এমন কিছু প্রতিসাম্য রয়েছে যার সুবিধা নেওয়া যেতে পারে, যেমন শূন্য-এক ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে করা হয়, তবে এগুলির জন্য পরিশীলিত সমন্বয়মূলক জ্ঞানের প্রয়োজন বলে মনে হয়। সংখ্যা তত্ত্ববিদরা খুব দীর্ঘ সময় ধরে সীমাবদ্ধ সহগ সহ বহুপদগুলির উপর কাজ করেছেন। উদাহরণস্বরূপ, লিটলউড পলিনোমিয়ালগুলির সহগ থাকে যখন মনোমিয়াল ভিত্তিতে প্রকাশ করা হয়। কার্ট মাহলার সমস্যাটি নিয়ে উদ্বিগ্ন ছিলেন, যেমন অ্যান্ড্রু ওডলিজকো, ব্যোর্ন পুনেন এবং পিটার বোরউইন। সহগামী ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে, এই সীমাবদ্ধ-সহগ বহুপদী সমস্যাগুলির প্রত্যেকটিকে বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। যাইহোক, একটি বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সের চরিত্রগত বহুপদের সহগ থাকতে পারে যা মাত্রায় তাত্পর্যপূর্ণভাবে বড়, তাই বিপরীতটি সত্য নয় এবং অধ্যয়নের এই ক্ষেত্রগুলি সমতুল্য নয়। উদাহরণস্বরূপ ম্যাজিক স্কোয়ারের সাথে অন্যান্য সংযোগ রয়েছে। ডি. ব্রির সঙ্গে ক্যাথলিন ওলেরেনশ-এর বইটি দেখুন। নিম্নলিখিত গবেষণাপত্রটি স্পষ্টভাবে বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্সকে দ্বিঘাত রূপের সাথে সংযুক্ত করে। বহুপদী সমীকরণের সমাধান বহুপদী মূলগুলি খুঁজে বের করার জন্য একটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত কৌশল হল এর জন্য একটি সহচর ম্যাট্রিক্স তৈরি করা এবং আইগেনভ্যালুগুলি খুঁজে বের করার জন্য সংখ্যাসূচক আইগেনভ্যালু সমাধানকারী ব্যবহার করা, যা তখন মূল বহুপদীর মূল। এটি করা বিপরীতমুখী এবং অপচয় বলে মনে হয়, তবে এটি বেশ ব্যবহারিক হতে পারে। এটি ন্যাম্পাই-এর পলিনোমিয়াল প্যাকেজের ডিফল্ট পদ্ধতি। পদ্ধতিটি প্রায়শই সংখ্যাসূচকভাবে স্থিতিশীল, তবে কখনও কখনও যদি বহুপদী সহগগুলি বড় হয় বা বহুপদী অন্যথায় অ-শর্তযুক্ত হয় তবে এটি ভালভাবে কাজ করে না। কখনও কখনও বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স পরিবারে বহুপদের জন্য ন্যূনতম উচ্চতার সহচর ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করে পরিস্থিতির উন্নতি করা যেতে পারে। তবে এর জন্য কোনও কার্যকর সাধারণ-উদ্দেশ্য কৌশল জানা যায় না। ইতিহাস "বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স" নামটি, এই ধারণার সাথে যে এটি এইভাবে সমস্যাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করতে কার্যকর হতে পারে, আইএসএসএসি 2016 দ্বারা মুদ্রিত হয়েছিল। নামটি নিমোনিক বুন্ডেড হাইট ম্যাট্রিক্স অফ ইন্টিজারস (বোহেমি) থেকে উদ্ভূত হয়েছে, যদিও শ্রেণিবিন্যাসটি তখন থেকে অ-পূর্ণসংখ্যা জনসংখ্যা (উদাহরণস্বরূপ গাউসিয়ান পূর্ণসংখ্যা সহ) সহ অন্যান্য বিচ্ছিন্ন জনসংখ্যার মধ্যে প্রসারিত হয়েছে। এই শ্রেণীবিভাগ করার ধারণার বিস্তৃতি এবং উপযোগিতা ক্রমবর্ধমানভাবে স্পষ্ট হয়ে উঠছেঃ প্রথম উল্লেখযোগ্য জার্নাল প্রকাশনাটি ছিল যদিও তার আগে ছোট প্রকাশনা প্রকাশিত হয়েছিল। 2022 সালের মার্চ পর্যন্ত, এই নিবন্ধে অন্যত্র উদ্ধৃত বিষয়গুলি বাদ দিয়ে স্পষ্টভাবে নামটি ব্যবহার করা প্রকাশনাগুলির মধ্যে রয়েছে এই বিষয়ে প্রথম কর্মশালাটি 2018 সালে ম্যানচেস্টার বিশ্ববিদ্যালয়ে অনুষ্ঠিত হয়েছিল এবং এর শিরোনাম ছিল বোহেমিয়ান ম্যাট্রিসেস অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশনস। এই ধারণাটিকে জর্জ পোলিয়ার অর্থে একটি বিশেষত্ব হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, কারণ বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স পরিবারগুলি নির্দিষ্ট প্রবেশের মধ্যে সীমাবদ্ধ এবং তাই বিশেষ ম্যাট্রিক্স। ধারণাটিকে একটি সাধারণীকরণ হিসাবেও বিবেচনা করা যেতে পারে, কারণ একটি গ্রাফের আপতন ম্যাট্রিক্স হিসাবে কেবল 0 বা 1 অথবা লিটলউড বহুপদের সহচর ম্যাট্রিক্স হিসাবে-1 এবং 1-এর পরিবর্তে, বোহেমিয়ান পরিবারে এমন এন্ট্রি থাকতে পারে যা অন্যথায় আবদ্ধ, বিচ্ছিন্ন বা (সাধারণত) উভয়ই হতে পারে। ধারণাটি সাইন প্যাটার্ন ম্যাট্রিক্সের সাথে কিছুটা মিল, যেখানে প্রকৃত এন্ট্রি সহ দুটি ম্যাট্রিক্সকে সমতুল্য হিসাবে বিবেচনা করা হয় যদি সংশ্লিষ্ট এন্ট্রিগুলির একই চিহ্ন থাকে এবং সেই তত্ত্বটি সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলির সন্ধান করে। জনসংখ্যার সাথে একটি বোহেমিয়ান ম্যাট্রিক্স একটি সাইন প্যাটার্ন ম্যাট্রিক্সের একটি উদাহরণ, এবং তাই এটির এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে এর বোহেমিয়ান প্রকৃতির কারণে এটির বিশেষ বৈশিষ্ট্যও থাকতে পারে। রেফারেন্স ম্যাট্রিক্স