Klein–Kramers equation
পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিতে, ক্লেইন-ক্র্যামার সমীকরণ বা কখনও কখনও ক্র্যামার-চন্দ্রশেখর সমীকরণ হিসাবে উল্লেখ করা হয় একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা ফেজ স্পেসে একটি ব্রাউনিয়ান কণার সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন বর্ণনা করে। এটি ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণের একটি বিশেষ উদাহরণ। একটি স্থানিক মাত্রায়, তিনটি স্বাধীন চলকের একটি ফাংশনঃ স্কেলার, এবং। এই ক্ষেত্রে, ক্লেইন-ক্র্যামার্স সমীকরণটি হল যেখানে বাহ্যিক সম্ভাব্যতা, কণার ভর, ঘর্ষণ (টান) সহগ, তাপমাত্রা, এবং বোল্টজম্যান ধ্রুবক। স্থানিক মাত্রায়, সমীকরণটি এখানে এবং এবং এর সাপেক্ষে গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর, এবং এর সাপেক্ষে ল্যাপলেসিয়ান। ভগ্নাংশ ক্লেইন-ক্র্যামার সমীকরণ হল একটি সাধারণীকরণ যা ভগ্নাংশ ক্যালকুলাসের মাধ্যমে ব্যতিক্রমী বিস্তারকে অন্তর্ভুক্ত করে। ভৌত ভিত্তি ক্লেইন-ক্র্যামার্স সমীকরণের অন্তর্নিহিত ভৌত মডেলটি একটি আন্ডারড্যাম্পড ব্রাউনিয়ান কণার। স্ট্যান্ডার্ড ব্রাউনিয়ান গতির বিপরীতে, যা ওভারড্যাম্প করা হয়, আন্ডারড্যাম্পড ব্রাউনিয়ান গতি ঘর্ষণকে সীমাবদ্ধ বলে মনে করে, এই ক্ষেত্রে ভরবেগ একটি স্বাধীন মাত্রায় থাকে। গাণিতিকভাবে, একটি কণার অবস্থা তার অবস্থান এবং ভরবেগ দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যা ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণ অনুসারে সময়ের সাথে বিবর্তিত হয় এখানে-মাত্রিক গাউসিয়ান সাদা শব্দ, যা তাপমাত্রার পটভূমির মাধ্যমের তাপীয় ওঠানামা মডেল করে। এই সমীকরণগুলি নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্রের অনুরূপ, তবে গোলমালের কারণে শব্দটি নির্ণায়কের পরিবর্তে যাদৃচ্ছিক (এলোমেলো)। গতিবিদ্যাকে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতেও বর্ণনা করা যেতে পারে, যা সময়ে, অবস্থানে এবং ভরবেগ সহ একটি কণা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা দেয়। ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণ থেকে স্টোকাস্টিক ট্র্যাজেক্টরিগুলির গড় দ্বারা, ক্লেইন-ক্র্যামার সমীকরণ মেনে চলতে দেখানো যেতে পারে। মুক্ত স্থানে সমাধান-মাত্রিক মুক্ত-স্থান সমস্যা বলকে শূন্যের সমান নির্ধারণ করে এবং সেই ক্ষয়ের সমাধানকে অনন্ততায় 0 হিসাবে বিবেচনা করে, অর্থাৎ। বিন্দু-উৎস প্রাথমিক অবস্থার সাথে 1ডি মুক্ত-স্থান সমস্যার জন্য, যে সমাধানটি একটি দ্বি-বৈকল্পিক গাউসিয়ান এবং 1943 সালে সুব্রহ্মণ্যন চন্দ্রশেখর দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল (যিনি একটি সম্ভাবনার উপস্থিতিতে সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সাধারণ পদ্ধতিও তৈরি করেছিলেন): যেখানে এই বিশেষ সমাধানটি গ্রীনের ফাংশন নামেও পরিচিত, এবং সাধারণ সমাধান তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, অর্থাৎ, সাধারণ প্রাথমিক অবস্থার সমাধানঃ একইভাবে, বিন্দু-উৎস প্রাথমিক অবস্থার সাথে 3ডি মুক্ত-স্থান সমস্যার সমাধান রয়েছে, এবং 1ডি সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। উপসর্গহীন আচরণ নির্দিষ্ট কিছু পরিস্থিতিতে, মুক্ত-স্থান ক্লেইন-ক্র্যামার সমীকরণের সমাধান একটি বিচ্ছুরণ প্রক্রিয়ার মতো উপসর্গহীনভাবে আচরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি ঘনত্ব সন্তুষ্ট হয় তবে বিচ্ছুরণ সমীকরণের জন্য মুক্ত-স্থান সবুজের ফাংশন কোথায়। সীমানার কাছাকাছি সমাধান ক্লেইন-ক্র্যামার সমীকরণের 1ডি, সময়-স্বাধীন, বল-মুক্ত () সংস্করণটি একটি আধা-অসীম বা সীমাবদ্ধ ডোমেনে চলকগুলির পৃথকীকরণের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে। সমাধানটি সাধারণত একটি সীমানা স্তর তৈরি করে যা স্থানের মধ্যে দ্রুত পরিবর্তিত হয় এবং সীমানায় নিজেই অ-বিশ্লেষণাত্মক হয়। একটি সুনির্দিষ্ট সমস্যা ডোমেনের শুধুমাত্র অর্ধেক অংশে সীমানা তথ্য নির্ধারণ করেঃ বাম সীমানায় ধনাত্মক অর্ধেক () এবং ডানদিকে ঋণাত্মক অর্ধেক ()। একটি আধা-অসীম সমস্যার জন্য, সীমানা শর্তগুলি দেওয়া যেতে পারেঃ কিছু ফাংশনের জন্য। একটি বিন্দু-উৎস সীমানা শর্তের জন্য, অসীম যোগফল এবং গুণফলের পরিপ্রেক্ষিতে সমাধানটির একটি সঠিক অভিব্যক্তি রয়েছেঃ এখানে, ক্লেইন-ক্র্যামার সমীকরণের অ-মাত্রিক সংস্করণের জন্য ফলাফলটি উল্লেখ করা হয়েছেঃ এই উপস্থাপনায়, দৈর্ঘ্য এবং সময়কে এবং এর এককে পরিমাপ করা হয়, যেমন এবং উভয়ই মাত্রাবিহীন। যদি সীমানা শর্তটি হয়, কোথায়, তবে সমাধানটি হল যেখানে এই ফলাফলটি উইনার-হপ পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে। যাইহোক, অভিব্যক্তিটির ব্যবহারিক ব্যবহার সিরিজের ধীর অভিসারের দ্বারা সীমাবদ্ধ, বিশেষত 0 এর কাছাকাছি মানগুলির জন্য। আরও দেখুন ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ অরনস্টাইন-উহলেনবেক প্রক্রিয়া উইনার প্রক্রিয়া রৈখিক পরিবহন তত্ত্ব নিউট্রন পরিবহন রেফারেন্স আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ