Feferman–Vaught theorem
মডেল তত্ত্বে ফেফারম্যান-ভোট উপপাদ্য হল সলোমন ফেফারম্যান এবং রবার্ট লসন ভোট-এর একটি উপপাদ্য যা দেখায় যে কীভাবে একটি অ্যালগরিদমিক উপায়ে, প্রথম-ক্রম কাঠামোর একটি পণ্যের প্রথম-ক্রম তত্ত্বকে উপাদানগুলির প্রথম-ক্রম তত্ত্বের মধ্যে হ্রাস করা যায়। এই উপপাদ্যটিকে মডেল তত্ত্বের অন্যতম আদর্শ ফলাফল হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এই উপপাদ্যটি তত্ত্বের সরাসরি উৎপাদনের উপর আন্দ্রেজ মোস্টোভস্কির পূর্ববর্তী ফলাফলকে প্রসারিত করে। এটি সার্বজনীন বীজগণিতে যে বৈশিষ্ট্যগুলি (পরিচয়) বীজগাণিতিক কাঠামোর সরাসরি পণ্যগুলিতে বহন করে (যা বারখফের উপপাদ্যের একটি দিকের ফল) সেটিকে (নির্বিচারে পরিমাপক সহ সূত্রগুলিতে) সাধারণীকরণ করে। কাঠামোর ডাইরেক্ট প্রোডাক্ট একটি ফার্স্ট-অর্ডার লজিক সিগনেচার এল বিবেচনা করুন। পণ্য কাঠামোর সংজ্ঞাটি কিছু সূচক সেট I-এর জন্য এল-কাঠামোর একটি পরিবার নেয় এবং পণ্য কাঠামোকে সংজ্ঞায়িত করে, যা একটি এল-কাঠামোও, সমস্ত ফাংশন এবং সম্পর্কগুলি পয়েন্টওয়াইজ সংজ্ঞায়িত করে। সংজ্ঞাটি সর্বজনীন বীজগণিতে সরাসরি পণ্যকে সম্পর্কমূলক প্রথম-ক্রম কাঠামোর ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করে, যার মধ্যে কেবল ফাংশন প্রতীকই নয়, সম্পর্ক প্রতীকও থাকে। যদি L-এ আর্গুমেন্ট সহ একটি সম্পর্ক প্রতীক হয় এবং কার্টেসিয়ান পণ্যের উপাদান হয়, তবে আমরা এর দ্বারা ব্যাখ্যাটি সংজ্ঞায়িত করি যখন একটি কার্যকরী সম্পর্ক, এই সংজ্ঞাটি সর্বজনীন বীজগণিতে সরাসরি পণ্যের সংজ্ঞায় হ্রাস পায়। সরাসরি পণ্যের জন্য উপপাদ্যের বিবৃতি মুক্ত চলক সহ স্বাক্ষর এল-এ প্রথম ক্রমের যুক্তি সূত্রের জন্য, এবং চলকগুলির ব্যাখ্যার জন্য, আমরা সূচকগুলির সেটকে সংজ্ঞায়িত করি যার জন্য মুক্ত চলক সহ প্রথম ক্রমের সূত্র দেওয়া হয়েছে, তার সমতুল্য গেম স্বাভাবিক রূপ গণনা করার জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে, যা পারস্পরিক পরস্পরবিরোধী সূত্রের একটি সীমাবদ্ধ বিচ্ছিন্নতা। ফেফারম্যান-ভোট উপপাদ্য একটি অ্যালগরিদম দেয় যা একটি প্রথম-ক্রমের সূত্র গ্রহণ করে এবং একটি সূত্র তৈরি করে যা পণ্যের মধ্যে যে শর্তটি ধারণ করে তা সূচকগুলির সেটগুলির ব্যাখ্যায় ধারণ করে এমন শর্তে হ্রাস করেঃ সূত্রটি এইভাবে মুক্ত সেট ভেরিয়েবল সহ একটি সূত্র, উদাহরণস্বরূপ, সেটগুলির বুলিয়ান বীজগণিতের প্রথম-ক্রম তত্ত্বে। প্রারম্ভিক সূত্রের কাঠামো অনুসরণ করে প্রুফ আইডিয়া সূত্র তৈরি করা যেতে পারে। কখন কোয়ান্টিফায়ার মুক্ত হয়, তার উপরের ডাইরেক্ট প্রোডাক্টের সংজ্ঞা অনুসারে, ফলস্বরূপ, আমরা সেটগুলির বুলিয়ান বীজগণিতের ভাষায় সমতা গ্রহণ করতে পারি (সমতুল্যভাবে, সেটগুলির ক্ষেত্র)। শর্তটিকে পরিমাপকৃত সূত্রে প্রসারিত করাকে পরিমাপকারী নির্মূলের একটি রূপ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যেখানে পণ্য উপাদানগুলির উপর পরিমাপকে এর উপসেটগুলির উপর পরিমাপে হ্রাস করা হয়। সাধারণীকৃত পণ্য সরাসরি পণ্য কাঠামোর উপ-কাঠামো বিবেচনা করা প্রায়শই আগ্রহের বিষয়। যদি সাবস্ট্রাকচারের অন্তর্গত পণ্য উপাদানগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে এমন সীমাবদ্ধতা সূচক উপাদানগুলির সেটগুলিতে একটি শর্ত হিসাবে প্রকাশ করা যায়, তবে ফলাফলগুলি সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। একটি উদাহরণ হল পণ্য উপাদানগুলির উপ-কাঠামো যা একেবারেই স্থির কিন্তু সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি সূচক। ধরে নিন যে এল ভাষায় একটি ধ্রুবক প্রতীক রয়েছে এবং কেবলমাত্র সেই পণ্য উপাদানগুলি ধারণকারী সাবস্ট্রাকচারটি বিবেচনা করুন যার জন্য সেটটি সীমাবদ্ধ। উপপাদ্যটি তখন সেটগুলির বুলিয়ান বীজগণিতে একটি সূত্রে এই ধরনের সাবস্ট্রাকচারের সত্য মানকে হ্রাস করে, যেখানে নির্দিষ্ট সেটগুলি সীমাবদ্ধ হতে সীমাবদ্ধ থাকে। সাধারণীকৃত পণ্যগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার একটি উপায় হল সেই সাবস্ট্রাকচারগুলি বিবেচনা করা যেখানে সেটগুলি সূচকগুলির সেটগুলির কিছু বুলিয়ান বীজগণিতের (পাওয়ারসেট সেট বীজগণিতের একটি উপসেট) অন্তর্গত এবং যেখানে পণ্য সাবস্ট্রাকচারটি গ্লুয়িং স্বীকার করে। এখানে গ্লুয়িং স্বীকার করা নিম্নলিখিত ক্লোজার শর্তকে বোঝায়ঃ যদি দুটি গুণফল উপাদান হয় এবং এটি বুলিয়ান বীজগণিতের উপাদান হয়, তবে "গ্লুয়িং" দ্বারা সংজ্ঞায়িত উপাদানটিও তাই এবং এই অনুসারেঃ ফলস্বরূপ ফেফারম্যান-ভোট উপপাদ্যটি গণিতের মৌলিক উপপাদ্যের মাধ্যমে, প্রেসবার্গার গাণিতিক কাঠামোর একটি সাধারণীকৃত গুণফল (শক্তি) হিসাবে গুণন সহ প্রাকৃতিক সংখ্যার কাঠামো দেখার মাধ্যমে স্কোলেম গাণিতিকের নির্ণয়যোগ্যতা বোঝায়। মডেল তত্ত্ব রেফারেন্স