Modern triangle geometry
গণিতে, আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতি বা নতুন ত্রিভুজ জ্যামিতি হল ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষ চতুর্থাংশের শুরু থেকে আবিষ্কৃত এবং বিকশিত ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত জ্ঞানের সমষ্টি। অন্তত ইউক্লিডের সময় থেকেই ত্রিভুজ এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি তদন্তের বিষয় ছিল। প্রকৃতপক্ষে, ইউক্লিডের উপাদানগুলিতে একটি ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত চারটি বিশেষ বিন্দু-সেন্ট্রয়েড, ইন্সেন্টার, সার্কামসেন্টার এবং অর্থোসেন্টারের বিবরণ রয়েছে। যদিও সপ্তদশ শতাব্দীতে পাস্কাল এবং সেভা, অষ্টাদশ শতাব্দীতে অয়লার এবং ঊনবিংশ শতাব্দীতে ফয়েরবাখ এবং অন্যান্য অনেক গণিতবিদ ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার করেছিলেন, এটি 1873 সালে এমিল লেমোইন (1840-1912) দ্বারা "ত্রিভুজের একটি উল্লেখযোগ্য বিন্দুতে" শিরোনামে একটি গবেষণাপত্রের প্রকাশ ছিল যা নাথান আল্টসিলার-কোর্টের মতে, "সামগ্রিকভাবে ত্রিভুজের আধুনিক জ্যামিতি foundations.of স্থাপন করেছিল।" আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল মান্থলি, যেখানে লেমোইনের বেশিরভাগ কাজ প্রকাশিত হয়েছে, ঘোষণা করেছে যে "এমিল-মিশেল-হায়াসিন্থ লেমোইনের চেয়ে বেশি এই [জ্যামিতিগুলির] কারোরই আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতির এই গতিবিধি শুরু করার সম্মান প্রাপ্য নয়।" এই গবেষণাপত্রের প্রকাশ উনিশ শতকের শেষ চতুর্থাংশ এবং বিংশ শতাব্দীর প্রথম দিকের বছরগুলিতে ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যগুলি অনুসন্ধানে আগ্রহের একটি উল্লেখযোগ্য উত্থান ঘটায়। 1914 সালে প্রকাশিত ক্লেইনের এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেসে ত্রিভুজ জ্যামিতির উপর একশ পৃষ্ঠার একটি নিবন্ধ ত্রিভুজ জ্যামিতির প্রতি আগ্রহের এই উত্থানের সাক্ষ্য দেয়। প্রারম্ভিক দিনগুলিতে, "নতুন ত্রিভুজ জ্যামিতি" অভিব্যক্তিটি শুধুমাত্র লেমোইন বিন্দু, লেমোইন বৃত্ত, ব্রোকার্ড বৃত্ত এবং লেমোইন রেখার মতো ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত আকর্ষণীয় বস্তুর সেটকে বোঝায়। পরে চিঠিপত্রের তত্ত্ব যা জ্যামিতিক রূপান্তর তত্ত্বের একটি শাখা ছিল তা বিভিন্ন বিচ্ছিন্ন ফলাফলের সঙ্গতি দেওয়ার জন্য তৈরি করা হয়েছিল। এর বিকাশের সাথে সাথে, "নতুন ত্রিভুজ জ্যামিতি" অভিব্যক্তিটি কেবল একটি ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত অনেক উল্লেখযোগ্য বস্তুই নয়, এই বস্তুগুলি অধ্যয়ন ও শ্রেণিবদ্ধ করার জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলিও নির্দেশ করে। এখানে 1887 সাল থেকে ত্রিভুজ জ্যামিতির একটি সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছেঃ "ত্রিভুজের সমতলে একটি বিন্দু এম দেওয়া হওয়ায়, আমরা সর্বদা একটি দ্বিতীয় বিন্দু এম 'খুঁজে পেতে পারি যা একটি কল্পিত জ্যামিতিক আইন অনুসারে প্রথমটির সাথে মিলে যায়; এই দুটি বিন্দুর মধ্যে জ্যামিতিক সম্পর্ক রয়েছে যার সরলতা কমবেশি ভাগ্যবান পছন্দের উপর নির্ভর করে যা তাদের একত্রিত করে এবং প্রতিটি জ্যামিতিক আইন রূপান্তরের একটি পদ্ধতির জন্ম দেয় যা সংমিশ্রণের একটি পদ্ধতির জন্ম দেয় যা অধ্যয়ন করা বাকি থাকে।" (2009 সালে উপস্থাপিত পলিন রোমেরা-লেব্রেটের "ঊনবিংশ ও বিংশ শতাব্দীতে একটি প্রাচীন ব্যক্তিত্বের সাথে নতুন জ্যামিতিক পদ্ধতি শেখানোঃ ইউরোপ ও মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের পাঠ্যপুস্তকে নতুন ত্রিভুজ জ্যামিতি (1888-1952)" শীর্ষক সম্মেলনের কাগজটি দেখুন।) যাইহোক, আগ্রহের এই বৃদ্ধি শীঘ্রই ভেঙে পড়ে এবং বিংশ শতাব্দীর শেষ বছর পর্যন্ত ত্রিভুজ জ্যামিতি সম্পূর্ণরূপে অবহেলিত ছিল। এরিক টেম্পল বেল তাঁর "ডেভেলপমেন্ট অফ ম্যাথমেটিক্স" গ্রন্থে 1940 সালে আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতির অবস্থা সম্পর্কে তাঁর রায় প্রদান করেন এইভাবেঃ "বিংশ শতাব্দীর জ্যামিতিরা দীর্ঘকাল ধরে এই সমস্ত ধন জ্যামিতির জাদুঘরে সরিয়ে দিয়েছে যেখানে ইতিহাসের ধুলো দ্রুত তাদের উজ্জ্বলতা ম্লান করে দিয়েছে।" (দ্য ডেভেলপমেন্ট অফ ম্যাথমেটিক্স, পৃ. 323) ফিলিপ ডেভিস ত্রিভুজ জ্যামিতিতে আগ্রহ হ্রাসের বেশ কয়েকটি কারণের পরামর্শ দিয়েছেন। এর মধ্যে রয়েছেঃ এই অনুভূতি যে বিষয়টি প্রাথমিক এবং নিম্ন পেশাদার মর্যাদার। এর পদ্ধতিগত সম্ভাবনার অবসান। বিষয়টির তথাকথিত গভীর ফলাফলের চাক্ষুষ জটিলতা। বীজগাণিতিকের পক্ষে দৃশ্যের অবনতি। অন্যান্য ক্ষেত্রের সঙ্গে সংযোগের অভাব। টেসেলেশন, ফ্র্যাক্টাল, গ্রাফ তত্ত্ব ইত্যাদির মতো শক্তিশালী চাক্ষুষ বিষয়বস্তু সহ অন্যান্য বিষয়ের সাথে প্রতিযোগিতা। আধুনিক বৈদ্যুতিন কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে সাথে আগ্রহের আরও পুনরুজ্জীবন ঘটে। ত্রিভুজ জ্যামিতি আবার নিবেদিত জ্যামিতিগুলির একটি গোষ্ঠী দ্বারা অনুসৃত গবেষণার একটি সক্রিয় ক্ষেত্রে পরিণত হয়েছে। এই পুনরুজ্জীবনের প্রতীক হিসাবে, একটি "ত্রিভুজ কেন্দ্র" ধারণার গঠন এবং প্রায় 50,000 ত্রিভুজ কেন্দ্র এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলির একটি তালিকা সহ ত্রিভুজ কেন্দ্রগুলির একটি বিশ্বকোষের ক্লার্ক কিম্বার্লিংয়ের সংকলন এবং 1200 টিরও বেশি ত্রিভুজ ঘনক্ষেত্রের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের বিশদ বিবরণ সহ ত্রিভুজ ঘনক্ষেত্রের একটি ক্যাটালগ সংকলনের দিকে ইঙ্গিত করা যেতে পারে। 2001 সালে ফ্লোরিডা আটলান্টিক বিশ্ববিদ্যালয়ের পল ইউ দ্বারা প্রতিষ্ঠিত মুক্ত প্রবেশাধিকার জার্নাল ফোরাম জিওমেট্রিকোরামও ত্রিভুজ জ্যামিতির জন্য এই নতুন উত্সাহকে আরও এগিয়ে নিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে একটি অসাধারণ অনুপ্রেরণা প্রদান করে। দুর্ভাগ্যবশত, 2019 সাল থেকে জার্নালটি জমা গ্রহণ করছে না যদিও ব্যাক ইস্যুগুলি এখনও অনলাইনে পাওয়া যায়। লেমোইন জ্যামিতি লেমোইন বিন্দু সেন্ট্রয়েড জি সহ একটি প্রদত্ত ত্রিভুজ এবিসি-র জন্য, শীর্ষের মধ্য দিয়ে সিমমিডিয়ান হল কোণ এ-এর দ্বিখণ্ডকের এজি রেখার প্রতিফলন। প্রতিটি শীর্ষের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি ত্রিভুজের জন্য তিনটি সিমমিডিয়ান রয়েছে। তিনটি সিমমিডিয়ান সমবর্তী এবং সাধারণত কে দ্বারা চিহ্নিত সমান্তরাল বিন্দুটিকে লেমোইন বিন্দু বা সিমমিডিয়ান বিন্দু বা ত্রিভুজ এবিসির গ্রেব বিন্দু বলা হয়। যদি ত্রিভুজ ABC-র পার্শ্ব দৈর্ঘ্য a, b, c হয়, তাহলে লেমোইন বিন্দুর ব্যারিসেন্ট্রিক স্থানাঙ্ক হবে a2: b2: c2। এটিকে "আধুনিক জ্যামিতির অন্যতম মুকুট রত্ন" হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে। গাণিতিক সাহিত্যে এই বিষয়টির বেশ কয়েকটি পূর্ববর্তী উল্লেখ রয়েছে যার বিশদ বিবরণ জন ম্যাকের 'হিস্ট্রি অফ দ্য সিমমিডিয়ান পয়েন্ট'-এ পাওয়া যায়। প্রকৃতপক্ষে, সিমমিডিয়ানদের সমান্তরালতা আরও সাধারণ ফলাফলের একটি বিশেষ ক্ষেত্রেঃ ত্রিভুজ এ. বি. সি-র সমতলে যে কোনও বিন্দু পি-এর জন্য, এপি, বিপি, সিপি রেখার আইসোগোনালগুলি সমবর্তী, এপি-র আইসোগোনাল (যথাক্রমে বিপি, সিপি) কোণ এ-এর দ্বিখণ্ডনে (যথাক্রমে বি, সি) এপি রেখার প্রতিফলন। সমান্তরাল বিন্দুটিকে পি-এর আইসোগোনাল কনজুগেট বলা হয়। এই পরিভাষায়, লেমোইন বিন্দু হল কেন্দ্রকের আইসোগোনাল কনজুগেট। লেমোইন বৃত্ত ত্রিভুজের বাহুর সমান্তরালে একটি ত্রিভুজ এ. বি. সি-এর লেমোইন বিন্দুর মধ্য দিয়ে রেখাগুলির ছেদ বিন্দুগুলি ত্রিভুজ এ. বি. সি-এর প্রথম লেমোইন বৃত্ত নামে পরিচিত একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত। প্রথম লেমোইন বৃত্তের কেন্দ্র ত্রিভুজের পরিধি কেন্দ্র এবং লেমোইন বিন্দুর মাঝখানে অবস্থিত, ত্রিভুজ এ. বি. সি-র লেমোইন বিন্দুর মধ্য দিয়ে ত্রিভুজ এ. বি. সি-র পার্শ্বে সমান্তরালগুলির ছেদ বিন্দুগুলি দ্বিতীয় লেমোইন বৃত্ত বা ত্রিভুজ এ. বি. সি-র কোসাইন বৃত্ত নামে একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত। "কোসাইন সার্কেল" নামটি দ্বিতীয় লেমোইন বৃত্তের বৈশিষ্ট্যের কারণে যে ত্রিভুজের পার্শ্বে বৃত্ত দ্বারা আটকানো অংশগুলির দৈর্ঘ্য দিকগুলির বিপরীত কোণগুলির কোসাইনগুলির আনুপাতিক। দ্বিতীয় লেমোইন বৃত্তের কেন্দ্র হল লেমোইন বিন্দু। লেমোইন অক্ষ যে কোনও ত্রিভুজ ABC এবং এর স্পর্শক ত্রিভুজটি পরিপ্রেক্ষিতে থাকে এবং দৃষ্টিভঙ্গির অক্ষকে ত্রিভুজ ABC-এর লেমোইন অক্ষ বলা হয়। এটি ত্রিভুজ এ. বি. সি-র প্রতিসম বিন্দুর ত্রিমুখী মেরু এবং ত্রিভুজ এ. বি. সি-র বৃত্তের ক্ষেত্রে কে-এর মেরু। প্রারম্ভিক আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতি আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতির জগতে একটি দ্রুত দৃষ্টি যা লেমোইনের গবেষণাপত্র প্রকাশের পরে ত্রিভুজ জ্যামিতিতে আগ্রহের শীর্ষে থাকার সময় বিদ্যমান ছিল তা নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে। এই উপস্থাপনাটি মূলত 1910 সালে প্রকাশিত উইলিয়াম গ্যালাটলির বই এবং 1929 সালে প্রথম প্রকাশিত রজার এ জনসনের বইয়ে আলোচিত বিষয়গুলির উপর ভিত্তি করে। দুটি ত্রিভুজকে পোরিস্টিক ত্রিভুজ বলা হয় যদি তাদের একই অন্তঃবৃত্ত এবং বৃত্ত থাকে। কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ R সহ একটি বৃত্ত এবং কেন্দ্র I এবং ব্যাসার্ধ r সহ আরেকটি বৃত্তের পরিপ্রেক্ষিতে, বৃত্ত O (R) সহ অসীম সংখ্যক ত্রিভুজ ABC রয়েছে এবং বৃত্তের মতো I (r) রয়েছে যদি এবং শুধুমাত্র যদি। এই ত্রিভুজগুলি ত্রিভুজের একটি পোরিস্টিক সিস্টেম গঠন করে। রেফারেন্স ত্রিভুজ হিসাবে সেন্ট্রয়েডের মতো কিছু বিশেষ বিন্দুর অবস্থান বিভিন্ন ত্রিভুজকে চিহ্নিত করে এবং এটি বৃত্ত এবং বিন্দুতে পরিণত হয়। সিমসন রেখা ABC ত্রিভুজের বৃত্তের যে কোনও বিন্দু P-এর জন্য, P থেকে ত্রিভুজ ABC-এর পাশ পর্যন্ত লম্বের পাদগুলি সমরেখার এবং সমরেখার রেখা হল P-এর সুপরিচিত সিমসন রেখা। পেডাল এবং অ্যান্টিপেডাল ত্রিভুজ একটি বিন্দু P দেওয়া থাকলে, P থেকে ত্রিভুজ ABC-এর পাশ পর্যন্ত লম্বের পাদগুলি D, E, F হতে দিন। ত্রিভুজ DEF-কে P-এর প্যাডেল ত্রিভুজ বলা হয়। P-এর অ্যান্টিপেডাল ত্রিভুজ হল যথাক্রমে A, B, C থেকে PA, PB, PC-এর লম্বের মাধ্যমে গঠিত ত্রিভুজ। দুটি বিন্দু পি এবং কিউ-কে পাল্টা বিন্দু বলা হয় যদি পি-এর প্যাডেল ত্রিভুজটি কিউ-এর অ্যান্টিপেডাল ত্রিভুজের সমতুল্য হয় এবং কিউ-এর প্যাডেল ত্রিভুজটি পি-এর অ্যান্টিপেডাল ত্রিভুজের সমতুল্য হয়। অর্থোপোল যে কোনও রেখা দেওয়া হলে, পি, কিউ, আর ত্রিভুজের শীর্ষ এ, বি, সি থেকে এল পর্যন্ত লম্বের ফুট হতে পারে। পি. কিউ, আর-এর মধ্য দিয়ে যথাক্রমে বিসি, সিএ, এবি দিকে লম্বভাবে রেখাগুলি সমবর্তী হয় এবং সঙ্গতির বিন্দুটি ত্রিভুজ এবিসি-র সাপেক্ষে লাইনের অর্থোপোল হয়। আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতিতে অর্থোপোলের বৈশিষ্ট্য নিয়ে সাহিত্যের একটি বড় অংশ রয়েছে। ব্রোকার্ড পয়েন্টগুলি ত্রিভুজ ABC-র BC, CA, AB পার্শ্বে বৃত্তগুলি বর্ণনা করা হয়েছে যার বাহ্যিক অংশে যথাক্রমে C, A, B এবং B, C, A কোণের দুটি ত্রিভুজ রয়েছে। ত্রিভুজ কোণ দ্বারা নির্ধারিত বৃত্তের প্রতিটি ত্রিভুজ একটি সাধারণ বিন্দুতে ছেদ করে এইভাবে দুটি বিন্দু উৎপন্ন করে। এই বিন্দুগুলিকে ত্রিভুজ এ. বি. সি-র ব্রোকার্ড বিন্দু বলা হয় এবং সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যদি পি প্রথম ব্রোকার্ড বিন্দু হয় (যা বৃত্তের প্রথম ত্রয়ী দ্বারা নির্ধারিত ব্রোকার্ড বিন্দু) তবে পিবিসি, পিসিএ এবং পিএবি কোণগুলি একে অপরের সমান এবং সাধারণ কোণটিকে ত্রিভুজ এবিসির ব্রোকার্ড কোণ বলা হয় এবং সাধারণত এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় ব্রোকার্ড কোণটি ব্রোকার্ড পয়েন্ট দ্বারা দেওয়া হয় এবং ব্রোকার্ড কোণগুলির বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে। কিছু ছবি সমসাময়িক আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতি ত্রিভুজ কেন্দ্র বিংশ শতাব্দীর শেষ বছরগুলিতে ত্রিভুজ জ্যামিতিতে আগ্রহের পুনরুজ্জীবনের সময় উদ্ভূত সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য ধারণাগুলির মধ্যে একটি হল ত্রিভুজ কেন্দ্রের ধারণা। 1994 সালে ক্লার্ক কিম্বার্লিং দ্বারা প্রবর্তিত এই ধারণাটি একটি ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত অনেকগুলি বিশেষ এবং উল্লেখযোগ্য পয়েন্টকে এক ধারণায় একীভূত করে। এই ধারণাটি প্রবর্তনের পর থেকে, ত্রিভুজ কেন্দ্রের সাথে ফলাফলটি কীভাবে সংযুক্ত হয় সে সম্পর্কে আলোচনা ছাড়া ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত কোনও ফলাফল নিয়ে প্রায় কোনও আলোচনাই সম্পূর্ণ হয় না। ত্রিভুজ কেন্দ্রের সংজ্ঞা a, b, c তিনটি বাস্তব চলকের একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন f-এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য থাকতে পারেঃ সমরূপতাঃ f (ta, tb, tc) = tn f (a, b, c) কিছু ধ্রুবক n-এর জন্য এবং সমস্ত t> 0-এর জন্য। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় চলকের দ্বি-প্রতিসাম্যঃ f (a, b, c) = f (a, c, b)। যদি একটি অ-শূন্য f-এর এই দুটি বৈশিষ্ট্য থাকে তবে এটিকে ত্রিভুজ কেন্দ্র ফাংশন বলা হয়। যদি f একটি ত্রিভুজ কেন্দ্রের ফাংশন হয় এবং a, b, c একটি রেফারেন্স ত্রিভুজের পার্শ্ব-দৈর্ঘ্য হয় তবে যে বিন্দুর ত্রিকোণীয় স্থানাঙ্ক f (a, b, c): f (b, c, a): f (c, a, b) হয় তাকে ত্রিভুজ কেন্দ্র বলা হয়। ক্লার্ক কিম্বার্লিং ত্রিভুজ কেন্দ্রগুলির একটি সংকলনের জন্য নিবেদিত একটি ওয়েবসাইট বজায় রাখছেন। এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ট্রায়াঙ্গেল সেন্টারস নামে ওয়েবসাইটে প্রায় 50,000 ত্রিভুজ কেন্দ্রের সংজ্ঞা এবং বিবরণ রয়েছে। কেন্দ্রীয় রেখা সমসাময়িক আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতির আরেকটি ঐক্যবদ্ধ ধারণা হল একটি কেন্দ্রীয় রেখা। এই ধারণাটি একটি ত্রিভুজের সাথে যুক্ত বেশ কয়েকটি বিশেষ সরলরেখাকে একত্রিত করে। একটি কেন্দ্রীয় রেখার ধারণাটি একটি ত্রিভুজ কেন্দ্রের ধারণার সাথেও সম্পর্কিত। কেন্দ্রীয় রেখার সংজ্ঞা ধরা যাক, ABC একটি সমতল ত্রিভুজ এবং ধরা যাক (x: y: z) ত্রিভুজ ABC-র সমতলে একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দুর ত্রিকোণীয় স্থানাঙ্ক। ত্রিভুজ ABC-র সমতলে একটি সরলরেখা যার ত্রিকোণীয় স্থানাঙ্কে সমীকরণ f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0 যেখানে ত্রিকোণীয় স্থানাঙ্ক সহ বিন্দু (f (a, b, c): g (a, b, c): h (a, b, c) একটি ত্রিভুজ কেন্দ্র, ত্রিভুজ ABC-র সাপেক্ষে ত্রিভুজ ABC-র সমতলে একটি কেন্দ্রীয় রেখা। কেন্দ্রীয় রেখার জ্যামিতিক গঠন ধরা যাক X ত্রিভুজ ABC-এর যে কোনও ত্রিভুজ কেন্দ্র। যথাক্রমে এ, বি, সি শীর্ষে কোণগুলির অভ্যন্তরীণ দ্বিখণ্ডকগুলিতে এএক্স, বিএক্স এবং সিএক্স রেখা এবং তাদের প্রতিফলনগুলি আঁকুন। প্রতিফলিত রেখাগুলি সমবর্তী এবং সঙ্গতির বিন্দু হল এক্স-এর আইসোগোনাল কনজুগেট ওয়াই। আসুন কেভিয়ানরা যথাক্রমে এ ', বি', সি '-তে ত্রিভুজ এ. বি. সি-এর বিপরীত পার্শ্বে মিলিত হয়। ত্রিভুজ A 'B' C 'হল Y-এর সিভিয়ান ত্রিভুজ। ত্রিভুজ এ. বি. সি এবং সিভিয়ান ত্রিভুজ এ 'বি' সি 'পরিপ্রেক্ষিতে রয়েছে এবং ডি. ই. এফ-কে দুটি ত্রিভুজের দৃষ্টিভঙ্গির অক্ষ হতে দিন। ডিইএফ রেখাটি হল ওয়াই বিন্দুর ত্রিমুখী মেরু। ডিইএফ রেখাটি ত্রিভুজ কেন্দ্রের সাথে যুক্ত কেন্দ্রীয় রেখা এক্স ত্রিভুজ শঙ্কু একটি ত্রিভুজ শঙ্কু হল রেফারেন্স ত্রিভুজের সমতলে একটি শঙ্কু এবং কোনওভাবে এর সাথে যুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, রেফারেন্স ত্রিভুজের বৃত্ত এবং অন্তঃবৃত্ত হল ত্রিভুজ শঙ্কু। অন্যান্য উদাহরণ হল স্টেইনার উপবৃত্তাকার যা একটি উপবৃত্তাকার যা শীর্ষগুলির মধ্য দিয়ে যায় এবং রেফারেন্স ত্রিভুজের কেন্দ্রস্থলে তার কেন্দ্র থাকে, কিপার্ট হাইপারবোলা যা শীর্ষগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি শঙ্কু, রেফারেন্স ত্রিভুজের কেন্দ্র এবং অর্থোসেন্টার এবং আর্টজ্ট প্যারাবোলাস যা ত্রিভুজের শীর্ষে রেফারেন্স ত্রিভুজের দুটি পার্শ্বকে স্পর্শ করে। সম্প্রতি অধ্যয়ন করা কিছু ত্রিভুজ শঙ্কুগুলির মধ্যে রয়েছে হফস্ট্যাডার উপবৃত্তাকার এবং ওয়াইএফএফ শঙ্কু। যাইহোক, সাহিত্যে ত্রিভুজ শঙ্কু পরিভাষার কোনও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা নেই; অর্থাৎ, একটি শঙ্কু রেফারেন্স ত্রিভুজের সাথে যে সম্পর্ক থাকা উচিত যাতে এটিকে ত্রিভুজ শঙ্কু বলা যায় তা সঠিকভাবে প্রণয়ন করা হয়নি। ওল্ফ্রামম্যাথওয়ার্ল্ডের "ত্রিভুজ শঙ্কু" শিরোনামে একটি পৃষ্ঠা রয়েছে যা ত্রিভুজ শঙ্কু-এর সংজ্ঞা না দিয়ে 42টি বস্তুর (সবগুলি শঙ্কু নয়) একটি তালিকা দেয়। ত্রিভুজ ঘনক ঘনক বক্ররেখা ত্রিভুজ অধ্যয়নে স্বাভাবিকভাবেই উদ্ভূত হয়। উদাহরণস্বরূপ, রেফারেন্স ত্রিভুজ এ. বি. সি-র সমতলে একটি বিন্দু পি-এর অবস্থান এমন যে, যদি ত্রিভুজ এ. বি. সি-র পার্শ্বে পি-এর প্রতিফলনগুলি পিএ, পিবি, পিসি হয়, তবে এপিএ, বিপিবি এবং সিপিসি রেখাগুলি সমবর্তী হয় নিউবার্গ কিউবিক নামে একটি ঘন বক্ররেখা। এটি বার্নার্ড গিলবার্টের ক্যাটালগ অফ ট্রায়াঙ্গেল কিউবিকসে তালিকাভুক্ত প্রথম কিউবিক। এই ক্যাটালগটি প্রতিটি বক্ররেখার তথ্য সহ 1200 টিরও বেশি ত্রিভুজ ঘনক্ষেত্র তালিকাভুক্ত করে যেমন বক্ররেখার ব্যারিসেন্ট্রিক সমীকরণ, বক্ররেখার উপর অবস্থিত ত্রিভুজ কেন্দ্র, বক্ররেখার লোকাস বৈশিষ্ট্য এবং বক্ররেখার সাহিত্যের উল্লেখ। ত্রিভুজ জ্যামিতিতে কম্পিউটার বিংশ শতাব্দীর শেষ বছরগুলিতে এবং বর্তমান শতাব্দীর প্রথম বছরগুলিতে ত্রিভুজ জ্যামিতির প্রতি আগ্রহের কারণে কম্পিউটারের প্রবেশ উন্নয়নের গতিপথের উপর একটি সিদ্ধান্তমূলক প্রভাব ফেলেছিল। কম্পিউটারগুলি এই কোর্সকে যেভাবে প্রভাবিত করেছিল তার কয়েকটি ফিলিপ ডেভিস দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে। ত্রিভুজ জ্যামিতিতে নতুন ফলাফল তৈরি করতে কম্পিউটার ব্যবহার করা হয়েছে। 2015 সালে প্রকাশিত একটি সমীক্ষা নিবন্ধে কম্পিউটার প্রোগ্রাম "ডার্কওভারার" দ্বারা আবিষ্কৃত কিছু গুরুত্বপূর্ণ নতুন ফলাফলের বিবরণ দেওয়া হয়েছে। উপপাদ্যগুলির নিম্নলিখিত নমুনাটি আবিষ্কারকারীর দ্বারা আবিষ্কৃত নতুন ফলাফলগুলির একটি স্বাদ দেয়। উপপাদ্য 6.1 ধরা যাক, পি এবং কিউ বিন্দু, যা ত্রিভুজ এ. বি. সি-র পার্শ্বরেখায় অবস্থিত নয়। যদি এ. বি. সি-র সাপেক্ষে পি এবং কিউ আইসোগোনাল কনজুগেট হয়, তবে তাদের পরিপূরকের সেভা গুণফল কিপার্ট হাইপারবোলায় থাকে। উপপাদ্য 9.1। ইন্সেন্টারের প্যাডেল ত্রিভুজের সাপেক্ষে ওয়াইএফএফ কেন্দ্রটি অন্তঃবৃত্ত এবং বৃত্তের সাদৃশ্যের অভ্যন্তরীণ কেন্দ্র। লেস্টার বৃত্ত হল সেই বৃত্ত যা পরিধি কেন্দ্র, নয়-বিন্দু কেন্দ্র এবং বাইরের ও অভ্যন্তরীণ ফার্মাট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। একটি সাধারণীকৃত লেস্টার বৃত্ত হল এমন একটি বৃত্ত যা কমপক্ষে চারটি ত্রিভুজ কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। আবিষ্কারক বেশ কয়েকটি সাধারণ লেস্টার বৃত্ত আবিষ্কার করেছেন। সাভা গ্রোজদেব, হিরোশি ওকুমুরা, ডেকো ডেকভ ইউক্লিডীয় জ্যামিতির কম্পিউটার আবিষ্কৃত বিশ্বকোষের জন্য নিবেদিত একটি ওয়েব পোর্টাল বজায় রাখছেন। তথ্যসূত্র অতিরিক্ত পঠন ত্রিভুজ জ্যামিতি জ্যামিতির ইতিহাস