Narrow escape problem
সংকীর্ণ পালানোর সমস্যা জীববিজ্ঞান, জৈব পদার্থবিজ্ঞান এবং কোষীয় জীববিজ্ঞানের একটি সর্বব্যাপী সমস্যা। গাণিতিক সূত্রটি নিম্নরূপঃ একটি ব্রাউনিয়ান কণা (আয়ন, অণু বা প্রোটিন) একটি প্রতিফলিত সীমানা দ্বারা একটি সীমাবদ্ধ ডোমেনে (একটি বিভাগ বা একটি কোষ) সীমাবদ্ধ থাকে, একটি ছোট উইন্ডো ব্যতীত যার মাধ্যমে এটি পালাতে পারে। সংকীর্ণ পালানোর সমস্যা হল গড় পালানোর সময় গণনা করা। উইন্ডোটি সঙ্কুচিত হওয়ার সাথে সাথে এই সময়টি বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়, এইভাবে গণনাটিকে একটি একক বিশৃঙ্খলা সমস্যা হিসাবে উপস্থাপন করে। পালানোর জায়গায় তীব্র জ্যামিতিক বিধিনিষেধের কারণে যখন পালানো আরও কঠোর হয়, তখন সংকীর্ণ পালানোর সমস্যাটি মারাত্মক স্ট্রেইট সমস্যায় পরিণত হয়। সংকীর্ণ পালানোর সমস্যাটি জীববিজ্ঞান এবং জৈব পদার্থবিজ্ঞানের প্রসঙ্গে ডি. হোলকম্যান এবং জেড. শুস দ্বারা এবং পরে A.Singer দিয়ে প্রস্তাব করা হয়েছিল এবং প্রয়োগমূলক গণিত এবং গণনামূলক জীববিজ্ঞানে সংকীর্ণ পালানোর তত্ত্বের দিকে পরিচালিত করেছিল। গঠন একটি কণার গতি ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণের স্মোলুচোভস্কি সীমা দ্বারা বর্ণনা করা হয়ঃ যেখানে কণার বিচ্ছুরণ সহগ হল ভরের প্রতি একক ঘর্ষণ সহগ, ভরের প্রতি একক বল এবং এটি একটি ব্রাউনিয়ান গতি। গড় প্রথম উত্তরণ সময় এবং ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ একটি সাধারণ প্রশ্ন হল সীমানায় একটি ছোট শোষণকারী জানালা দিয়ে পালানোর আগে একটি সীমাবদ্ধ ডোমেনে ছড়িয়ে থাকা একটি কণার গড় অস্থায়ী সময় অনুমান করা। সময় সীমাতে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে অনুমান করা হয় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (পিডিএফ) হল সময়ে অবস্থানে কণাটি খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা। পিডিএফ ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণকে সন্তুষ্ট করেঃ প্রাথমিক অবস্থা এবং মিশ্র ডিরিচলেট-নিউম্যান সীমানা শর্তের সাথে () ফাংশনটি প্রাথমিক অবস্থানের উপর শর্তযুক্ত কণার গড় অস্থায়ী সময়কে উপস্থাপন করে। এটি সীমানা মান সমস্যার সমাধান সমাধানটি ডোমেনের মাত্রার উপর নির্ভর করে। একটি দ্বি-মাত্রিক ডিস্কে ছড়িয়ে থাকা একটি কণার জন্য যেখানে ডোমেনের পৃষ্ঠ। অ্যাসিম্পটোটিক ফর্মের কারণে শোষণকারী সীমানার কাছে একটি ছোট সীমানা স্তর ব্যতীত ফাংশনটি প্রাথমিক অবস্থানের উপর নির্ভর করে না। প্রথম ক্রমের শব্দটি মাত্রা 2-এ গুরুত্বপূর্ণঃ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার ডিস্কের জন্য, কেন্দ্রে শুরু হওয়া একটি কণার গড় পালানোর সময় হল কণার অভিন্ন প্রাথমিক বন্টনের সাপেক্ষে পালানোর গড় সময়টি দ্বারা দেওয়া হয় ছোট খোলার জ্যামিতি পালানোর সময়কে প্রভাবিত করতে পারেঃ যদি শোষণকারী উইন্ডোটি কোণের একটি কোণে অবস্থিত থাকে, তবেঃ আরও বিস্ময়কর, দ্বিমাত্রিক ডোমেনে একটি কুস্পের কাছে, পালানোর সময় লগারিথমেটিকভাবে না হয়ে বীজগাণিতিকভাবে বৃদ্ধি পায়ঃ দুটি স্পর্শক বৃত্তের মধ্যে আবদ্ধ ডোমেনে, পালানোর সময়টি হলঃ ব্যাসার্ধের অনুপাত কোথায়? পরিশেষে, যখন ডোমেনটি একটি অ্যানুলাস হয়, তখন অভ্যন্তরীণ বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি ছোট খোলার পালানোর সময়টিতে একটি দ্বিতীয় পরামিতি জড়িত থাকে যা অভ্যন্তরীণ এবং বাইরের ব্যাসার্ধের অনুপাত, পালানোর সময়, একটি অভিন্ন প্রাথমিক বন্টনের সাপেক্ষে গড়, হলঃ এই সমীকরণে অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণের দুটি পদ রয়েছে এবং এটি শোষণকারী সীমানার কোণ। 1-এর কাছাকাছি কেসটি খোলা থাকে এবং সাধারণ ডোমেনের জন্য, পালানোর সময়ের অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ একটি উন্মুক্ত সমস্যা হিসাবে রয়ে গেছে। ত্রিমাত্রিক ডোমেনে একটি কাস্প পয়েন্টের কাছাকাছি পালানোর সময় গণনা করার সমস্যাও তাই করে। বলের ক্ষেত্রে ব্রাউনিয়ান গতির জন্য প্রথম এবং দ্বিতীয় আইগেনভ্যালুগুলির মধ্যে বর্ণালীর ব্যবধান অগত্যা ছোট নয়, ছোট গর্তের আপেক্ষিক আকার এবং বলের বাধাগুলির উপর নির্ভর করে, পালানোর জন্য কণাটিকে অতিক্রম করতে হয়। পালানোর প্রবাহটি অবশ্যই পয়সোনীয় নয়। বিশ্লেষণাত্মক ফলাফল একটি উপপাদ্য যা ব্রাউনিয়ান গতি পালানোর সমস্যাকে একটি (নির্ধারক) আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমস্যার সাথে সম্পর্কিত করে তা হল নিম্নলিখিত। উপরন্তু, বৈকল্পিকের গড় সূত্র থেকে গণনা করা যেতে পারে উপপাদ্যটির প্রথম অংশটি একটি ধ্রুপদী ফলাফল, যেখানে গড় বৈকল্পিকতা 2011 সালে ক্যারি ক্যাজিনাল্প এবং জিনফু চেন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। ছোট গেটকে অ্যাসিম্পটোটিক্যালি ছোট প্যারামিটার হিসাবে ব্যবহার করে পালানোর সময়টি বেশ কয়েকটি গবেষণার বিষয় হয়ে দাঁড়িয়েছে। নিম্নলিখিত বদ্ধ ফর্ম ফলাফলটি একটি সঠিক সমাধান দেয় যা এই অ্যাসিম্পটোটিক সূত্রগুলিকে নিশ্চিত করে এবং এগুলিকে এমন গেটগুলিতে প্রসারিত করে যা অগত্যা ছোট নয়। ফলাফলের আরেকটি সেট প্রস্থানের অবস্থানের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের সাথে সম্পর্কিত। অর্থাৎ, যে কোনও (বোরেল সেট)-এর জন্য, একটি কণা, উৎপত্তিস্থল থেকে শুরু করে বা অভিন্নভাবে বিতরণ করে, ব্রাউনিয়ান গতি প্রদর্শন করে, যখন এটি আঘাত করে তখন প্রতিফলিত হয় এবং একবার আঘাত করলে পালিয়ে যায়, যেখানে এট-এর পৃষ্ঠ উপাদানটি রয়েছে। ব্রাউনিয়ান গতি পালানোর সিমুলেশন সিমুলেশনে পরিসংখ্যানগত নমুনা প্রক্রিয়াটির কারণে একটি এলোমেলো ত্রুটি রয়েছে। কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের কাছে আবেদন করে এবং প্রচুর সংখ্যক নমুনা ব্যবহার করে এই ত্রুটিটি সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে। ব্রাউনীয় গতির আনুমানিক আকারে ধাপের আকারের সীমাবদ্ধ আকারের আনুমানিকতার কারণে একটি বিচক্ষণকরণ ত্রুটিও রয়েছে। ধাপের আকার এবং গেটের আকার পরিবর্তিত হওয়ায় কেউ তখন পরীক্ষামূলক ফলাফল পেতে পারে। বৃত্তের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে উপরে উদ্ধৃত সঠিক ফলাফল ব্যবহার করে, সংখ্যাসূচক সমাধানের সাথে সঠিক সমাধানের যত্ন সহকারে তুলনা করা সম্ভব। এটি সসীম ধাপ এবং অবিচ্ছিন্ন বিস্তারের মধ্যে পার্থক্যকে আলোকিত করে। এই সমস্যার জন্য সিমুলেশনের মাধ্যমে প্রস্থান স্থানগুলির একটি বিতরণও প্রাপ্ত হয়েছিল। জৈব প্রয়োগ মাইক্রোডোমেইনে স্টোকাস্টিক রাসায়নিক প্রতিক্রিয়া রাসায়নিক প্রতিক্রিয়াগুলির অগ্রবর্তী হার সংকীর্ণ পালানোর সময়ের পারস্পরিক, যা একটি অসীম মাধ্যমে অবস্থিত ব্রাউনিয়ান কণাগুলির জন্য শাস্ত্রীয় স্মোলুচোভস্কি সূত্রকে সাধারণীকরণ করে। একটি মার্কভ বিবরণ অল্প সংখ্যক সাইটের বাইন্ডিং এবং আনবাইন্ডিং অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স অ্যান্ড কম্পিউটশনাল বায়োলজি ইন ইকোল নর্মাল সুপারিয়র, প্যারিস কেরি ক্যাগিনালপ প্রকাশনা এবং বক্তৃতা http://www.pitt.edu ~ কেরিক্যাগ/কম্পটেস রেন্ডাস পেপার http://www.pitt.edu ~ কেরিক্যাগ/পেপার1. পিডিএফ এআরএমএ পেপার http://www.pitt.edu ~ কেরিক্যাগ/পেপার2. পিডিএফ ডিফ্যুশন গাণিতিক এবং তাত্ত্বিক জীববিজ্ঞান স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া