Alhazen's problem
আলহাজেনের সমস্যা, যা আলহাজেনের বিলিয়ার্ড সমস্যা নামেও পরিচিত, জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানের একটি গাণিতিক সমস্যা যা টলেমি 150 খ্রিষ্টাব্দে প্রথম প্রণয়ন করেছিলেন। এটি 11শ শতাব্দীর আরব গণিতবিদ আলহাজেন (ইব্ন আল-হায়থাম)-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি তাঁর বুক অফ অপটিক্স-এ একটি জ্যামিতিক সমাধান উপস্থাপন করেছিলেন। বীজগাণিতিক সমাধানটি কোয়ার্টিক সমীকরণের সাথে জড়িত এবং 1965 সালে আবিষ্কৃত হয়। জ্যামিতিক গঠন সমস্যাটি দুটি বিন্দু থেকে রেখা অঙ্কন নিয়ে গঠিত, একটি বৃত্তের পরিধির তৃতীয় বিন্দুতে মিলিত হয় এবং সেই বিন্দুতে স্বাভাবিকের সাথে সমান কোণ তৈরি করে (স্পেকুলার প্রতিফলন)। সুতরাং, আলোকবিজ্ঞানে এর প্রধান প্রয়োগ হল সমস্যাটি সমাধান করা, "একটি গোলাকার উত্তল আয়নায় সেই বিন্দুটি খুঁজে বের করুন যেখানে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে আসা আলোর রশ্মি অন্য বিন্দুতে প্রতিফলিত হওয়ার জন্য আঘাত করতে হবে।" এটি চতুর্থ মাত্রার সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়। (আলহাজেন নিজে কখনও সমস্যার এই বীজগাণিতিক পুনর্লিখন ব্যবহার করেননি) আলহাজেনের সমাধান ইব্ন আল-হায়থাম শঙ্কু বিভাগ এবং একটি জ্যামিতিক প্রমাণ ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করেছিলেন। বীজগাণিতিক সমাধান পরবর্তীকালে গণিতবিদরা যেমন ক্রিস্টিয়ান হিউজেন্স, জেমস গ্রেগরি, গুইলাউম ডি ল 'হপিটাল, আইজাক ব্যারো এবং আরও অনেকে জ্যামিতি এবং জটিল সংখ্যা দ্বারা উদ্ভূত বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি সহ বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার একটি বীজগাণিতিক সমাধান খুঁজে বের করার চেষ্টা করেছিলেন। অবশেষে 1965 সালে জ্যাক এম এলকিন (একজন অ্যাকচুয়ারিয়ান) একটি কোয়ার্টিক বহুপদীর মাধ্যমে সমস্যার একটি বীজগাণিতিক সমাধান খুঁজে পান। অন্যান্য সমাধানগুলি পরে পুনরায় আবিষ্কৃত হয়েছিলঃ 1989 সালে, হ্যারাল্ড রিডে দ্বারা; 1990 সালে (1988 সালে জমা দেওয়া), মিলার এবং ভেঘ দ্বারা; এবং 1992 সালে, জন ডি স্মিথ এবং জর্গ ওয়াল্ডভোগেল দ্বারা। 1997 সালে, অক্সফোর্ডের গণিতবিদ পিটার এম. নিউম্যান প্রমাণ করেছিলেন যে আলহাজেনের সমস্যার সাধারণ সমাধানের জন্য কোনও শাসক-ও-বিস্তৃত নির্মাণ নেই (যদিও 1965 সালে এলকিন ইতিমধ্যে ইউক্লিডীয় নির্মাণের একটি পাল্টা উদাহরণ দিয়েছিলেন)। সম্প্রতি, মিত্সুবিশি ইলেকট্রিক রিসার্চ ল্যাবসের গবেষকরা আলহাজেনের সমস্যার সম্প্রসারণ হাইপারবোলিক, প্যারাবলিক এবং উপবৃত্তাকার আয়না সহ সাধারণ ঘূর্ণনগতভাবে প্রতিসম চতুর্ভুজ আয়নাগুলিতে সমাধান করেছেন। তারা দেখিয়েছেন যে সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রে একটি অষ্টম ডিগ্রি সমীকরণ সমাধান করে আয়না প্রতিফলন বিন্দু গণনা করা যেতে পারে। যদি ক্যামেরাটি (চোখ) আয়নার অক্ষের উপর স্থাপন করা হয়, তবে সমীকরণের মাত্রা কমে ছয় হয়ে যায়। আলহাজেনের সমস্যা একটি গোলাকার বল থেকে একাধিক প্রতিসরণ পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। একটি আলোর উৎস এবং নির্দিষ্ট প্রতিসরণ সূচকের একটি গোলাকার বল দেওয়া হলে, গোলাকার বলের নিকটতম বিন্দু যেখানে পর্যবেক্ষকের চোখের কাছে আলো প্রতিসরণ করা হয়, একটি দশম ডিগ্রি সমীকরণ সমাধান করে পাওয়া যেতে পারে। তথ্যসূত্র মধ্যযুগীয় ইসলামী বিশ্বে গাণিতিক সমস্যা জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞান ইব্ন আল-হায়থাম