LOBPCG
স্থানীয়ভাবে সর্বোত্তম ব্লক প্রি-কন্ডিশন্ড কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট (এল. ও. বি. পি. সি. জি) হল একটি ম্যাট্রিক্স-মুক্ত পদ্ধতি যা জটিল হার্মিটিয়ান বা বাস্তব প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের একটি প্রদত্ত জুটির জন্য বৃহত্তম (বা ক্ষুদ্রতম) আইগেনভ্যালু এবং একটি প্রতিসম সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যার সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টরগুলি খুঁজে বের করার জন্য, যেখানে ম্যাট্রিক্সটিও ধনাত্মক-নির্দিষ্ট বলে ধরে নেওয়া হয়। পটভূমি 1948 সালে ক্যান্টোরোভিচ একটি স্কেলার প্রোডাক্টে একটি রেলে ভাগফলের স্কেল করা গ্রেডিয়েন্টের দিক ব্যবহার করে একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের ক্ষুদ্রতম আইগেনভ্যালু গণনা করার প্রস্তাব করেছিলেন, ভেক্টরের রৈখিক স্প্যানে রেলে ভাগফলকে ন্যূনতম করে ধাপের আকার গণনা করা হয় এবং, অর্থাৎ। স্থানীয়ভাবে সর্বোত্তম পদ্ধতিতে। সামোকিশ পূর্বশর্তযুক্ত দিক এবং উদ্ভূত অ্যাসিম্পটোটিক তৈরি করার জন্য অবশিষ্ট ভেক্টরের উপর একটি পূর্বশর্ত প্রয়োগের প্রস্তাব করেছিলেন, যেমন আইগেনভেক্টরের কাছে পৌঁছায়, অভিসরণ হারের সীমা। ডি 'ইয়াকোনভ বর্ণালী সমতুল্য পূর্বশর্ত এবং উদ্ভূত অ-উপসর্গমূলক অভিসরণ হারের সীমার পরামর্শ দেন। আইগেনভ্যালু সমস্যার জন্য স্থানীয়ভাবে সর্বোত্তম মাল্টি-স্টেপ স্টিপেস্ট ডিসেন্ট ব্লকের বর্ণনা দেওয়া হয়েছে। বর্তমান আনুমানিক দ্বারা বিস্তৃত সাবস্পেসে রেলে ভাগফলের স্থানীয় ন্যূনতমকরণ, বর্তমান অবশিষ্টাংশ এবং পূর্ববর্তী আনুমানিক, পাশাপাশি এর ব্লক সংস্করণ, উপস্থিত হয়েছিল। পূর্বশর্তযুক্ত সংস্করণটি এবং-এ বিশ্লেষণ করা হয়েছিল। প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি ম্যাট্রিক্স-মুক্ত, অর্থাৎ। সহগ ম্যাট্রিক্সটি স্পষ্টভাবে সংরক্ষণ করার প্রয়োজন হয় না, তবে ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর পণ্যগুলির মূল্যায়ন করে ম্যাট্রিক্সটি অ্যাক্সেস করতে পারে। ফ্যাক্টরাইজেশন-মুক্ত, অর্থাৎ। সাধারণ আইগেনভ্যালু সমস্যার জন্যও কোনও ম্যাট্রিক্স পচন প্রয়োজন হয় না। প্রতি পুনরাবৃত্তির খরচ এবং স্মৃতির ব্যবহার ল্যান্জস পদ্ধতির সাথে প্রতিযোগিতামূলক, যা একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের একক চরম আইগেনপেয়ার গণনা করে। রৈখিক অভিসরণ তাত্ত্বিকভাবে নিশ্চিত এবং ব্যবহারিকভাবে পর্যবেক্ষণ করা হয়। পরিবর্তনশীল এবং অসমমিতির পাশাপাশি স্থির এবং ধনাত্মক নির্দিষ্ট পূর্বশর্ত সহ ল্যান্জস পদ্ধতির বিপরীতে সরাসরি পূর্বশর্তের কারণে ত্বরান্বিত অভিসরণ। পূর্বশর্তের মাধ্যমে দক্ষ ডোমেন পচন এবং মাল্টিগ্রিড কৌশলগুলির তুচ্ছ অন্তর্ভুক্তির অনুমতি দেয়। উষ্ণ শুরু করে এবং প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে আইগেনভেক্টরের একটি আনুমানিক গণনা করে। ল্যান্জস পদ্ধতির তুলনায় সংখ্যার দিক থেকে আরও স্থিতিশীল, এবং কম নির্ভুল কম্পিউটার গাণিতিক পদ্ধতিতে কাজ করতে পারে। বাস্তবায়িত করা সহজ, অনেক সংস্করণ ইতিমধ্যে উপস্থিত হয়েছে। ব্লকিং অত্যন্ত দক্ষ ম্যাট্রিক্স-ম্যাট্রিক্স অপারেশন ব্যবহার করার অনুমতি দেয়, যেমন, বিএলএএস 3। প্রতিটি পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে সংযোগের গতি বনাম অর্থোগোনালাইজেশনের কম্পিউটার খরচ এবং রেলে-রিটজ পদ্ধতির মধ্যে ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য ব্লকের আকারটি সুর করা যেতে পারে। অ্যালগরিদম সিঙ্গল-ভেক্টর সংস্করণ প্রারম্ভিকঃ আইগেনভ্যালু সমস্যার জন্য গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট পদ্ধতিটি সাধারণীকৃত রেলে ভাগফলের একটি পুনরাবৃত্তিমূলক সর্বাধিককরণ (বা ন্যূনতমকরণ) সম্পাদন করে যার ফলে সবচেয়ে বড় (বা সবচেয়ে ছোট) আইগেনপেয়ার খুঁজে পাওয়া যায়। যদি একটি পূর্বশর্ত পাওয়া যায়, তবে এটি অবশিষ্টাংশের উপর প্রয়োগ করা হয় এবং ভেক্টর দেয় যাকে পূর্বশর্তযুক্ত অবশিষ্টাংশ বলা হয়। পূর্বশর্ত ছাড়াই, আমরা সেট করি এবং তাই। একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি বা, সংক্ষেপে, পূর্বশর্তযুক্ত খাড়া আরোহণ (বা অবতরণ) হিসাবে পরিচিত, যেখানে স্কেলারকে ধাপের আকার বলা হয়। সর্বোত্তম ধাপের আকার নির্ধারণ করা যেতে পারে রেলে ভাগফলকে সর্বাধিক করে, অর্থাৎ (অথবা ন্যূনতম করার ক্ষেত্রে), এই ক্ষেত্রে পদ্ধতিটিকে স্থানীয়ভাবে সর্বোত্তম বলা হয়। তিন-মেয়াদী পুনরাবৃত্তি স্থানীয়ভাবে সর্বোত্তম পূর্বশর্তযুক্ত খাড়া আরোহণের (বা অবতরণ) অভিসরণকে নাটকীয়ভাবে ত্বরান্বিত করতে, দুই-মেয়াদী পুনরাবৃত্তির সম্পর্কের সাথে একটি অতিরিক্ত ভেক্টর যুক্ত করা যেতে পারে যাতে এটি তিন-মেয়াদী হয়ঃ (ন্যূনতম করার ক্ষেত্রে ব্যবহার)। একটি ত্রিমাত্রিক সাবস্পেসে রেলে ভাগফলের সর্বাধিককরণ/ন্যূনতমকরণ রেলে-রিটজ পদ্ধতি দ্বারা সংখ্যাসূচকভাবে সম্পাদন করা যেতে পারে। আরও ভেক্টর যোগ করা, দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, রিচার্ডসন এক্সট্রপোলেশন, উল্লেখযোগ্য ত্বরণের ফলস্বরূপ হয় না তবে গণনার ব্যয় বাড়ায়, তাই সাধারণত সুপারিশ করা হয় না। সংখ্যাসূচক স্থায়িত্বের উন্নতি যেমন পুনরাবৃত্তিগুলি একত্রিত হয়, ভেক্টরগুলি প্রায় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়ে ওঠে, যার ফলে নির্ভুলতা হ্রাস পায় এবং রাউন্ড-অফ ত্রুটির উপস্থিতিতে রেলে-রিটজ পদ্ধতিটিকে সংখ্যাসূচকভাবে অস্থির করে তোলে। সাবস্পেস অপরিবর্তিত রেখে এবং অর্থোগোনালাইজেশন বা অন্য কোনও অতিরিক্ত ক্রিয়াকলাপ এড়ানোর সময়, ত্রিমাত্রিক সাবস্পেসের ভিত্তিতে ভেক্টরকে একটি ভেক্টর দিয়ে প্রতিস্থাপন করে নির্ভুলতার ক্ষতি এড়ানো যেতে পারে, যা আরও দূরে থাকতে পারে। উপরন্তু, স্থিতিশীলতা এবং অর্জনযোগ্য নির্ভুলতার উন্নতির জন্য অ-শর্তযুক্ত আইগেনভ্যালু সমস্যার জন্য ত্রিমাত্রিক সাবস্পেসের ভিত্তিকে অর্থোগোনালাইজ করার প্রয়োজন হতে পারে। ক্রাইলভ সাবস্পেস অ্যানালগ এটি এল. ও. বি. পি. সি. জি পদ্ধতির একটি একক-ভেক্টর সংস্করণ-প্রতিসম আইগেনভ্যালু সমস্যার ক্ষেত্রে পূর্বশর্তযুক্ত কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট রৈখিক সমাধানকারীদের সম্ভাব্য সাধারণীকরণের মধ্যে একটি। এমনকি তুচ্ছ ক্ষেত্রে এবং এর সাথে ফলাফলের অনুমান ল্যান্জস অ্যালগরিদম দ্বারা প্রাপ্ত তুলনায় আলাদা হবে, যদিও উভয় অনুমান একই ক্রাইলভ সাবস্পেসের অন্তর্গত হবে। ব্যবহারিক ব্যবহারের পরিস্থিতি এল. ও. বি. পি. সি. জি-র একক-ভেক্টর সংস্করণের চরম সরলতা এবং উচ্চ দক্ষতা এটিকে হার্ডওয়্যার সীমাবদ্ধতার অধীনে আইগেনভ্যালু-সম্পর্কিত অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য আকর্ষণীয় করে তোলে, যার মধ্যে রয়েছে বর্ণালী ক্লাস্টারিং ভিত্তিক রিয়েল-টাইম অসঙ্গতি সনাক্তকরণ থেকে শুরু করে এমবেডেড এ. এস. আই. সি বা এফ. পি. জি. এ-তে গ্রাফ পার্টিশনিংয়ের মাধ্যমে এক্সাস্কেল টপ 500 সুপারকম্পিউটারগুলিতে রেকর্ড কম্পিউটিং জটিলতার শারীরিক ঘটনাগুলির মডেলিং পর্যন্ত। ব্লক সংস্করণ সংক্ষিপ্তসার পরবর্তী আইগেনপেয়ারগুলি একক-ভেক্টর এল. ও. বি. পি. সি. জি-র মাধ্যমে এক-এক করে গণনা করা যেতে পারে যা একটি অর্থোগোনাল ডিফ্লেশন বা একই সাথে একটি ব্লক হিসাবে পরিপূরক করা যেতে পারে। পূর্ববর্তী পদ্ধতিতে, ইতিমধ্যেই গণনা করা আনুমানিক আইগেনভেক্টরগুলিতে ত্রুটিগুলি পরবর্তীকালে গণনা করা আইগেনভেক্টরগুলির নির্ভুলতাকে যোগাত্মকভাবে প্রভাবিত করে, এইভাবে প্রতিটি নতুন গণনার সাথে ত্রুটি বৃদ্ধি করে। এল. ও. বি. পি. সি. জি-র ব্লক সংস্করণে স্থানীয়ভাবে সর্বোত্তম পদ্ধতিতে একটি ব্লকে বেশ কয়েকটি আনুমানিক আইগেনভেক্টর একসঙ্গে পুনরাবৃত্তি করা। আইগেনভেক্টরগুলির দ্রুত, নির্ভুল এবং শক্তিশালী গণনার অনুমতি দেয়, যার মধ্যে প্রায় বহু-আইগেনভ্যালুগুলির সাথে সম্পর্কিত যেখানে একক-ভেক্টর এল. ও. বি. পি. সি. জি ধীর সংমিশ্রণে ভুগছে। ব্লকের আকারটি সংখ্যাসূচক স্থায়িত্ব বনাম কনভারজেন্স গতি বনাম অর্থোগোনালাইজেশনের কম্পিউটার খরচ এবং প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে রেলে-রিটজ পদ্ধতির মধ্যে ভারসাম্য বজায় রাখতে পারে। মূল নকশা এল. ও. বি. পি. সি. জি-তে ব্লক পদ্ধতি একক-ভেক্টর এবং ব্লক-ভেক্টরের সাথে প্রতিস্থাপন করে, অর্থাৎ। ম্যাট্রিক্স এবং, যেখানে, উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি কলাম আনুমানিক আইগেনভেক্টরগুলির মধ্যে একটি। সমস্ত কলাম একযোগে পুনরাবৃত্তি করা হয়, এবং আনুমানিক আইগেনভেক্টরের পরবর্তী ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্সের সমস্ত কলাম দ্বারা বিস্তৃত সাবস্পেসে রেলে-রিটজ পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয়। ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি কলামের জন্য পূর্বশর্তযুক্ত অবশিষ্টাংশ হিসাবে গণনা করা হয় ম্যাট্রিক্সটি এমনভাবে নির্ধারণ করা হয় যাতে এর এবং এর কলাম দ্বারা বিস্তৃত সাবস্পেসগুলি একই হয়। সংখ্যাসূচক স্থায়িত্ব বনাম দক্ষতা রেলে-রিটজ পদ্ধতির ফলাফল ম্যাট্রিক্সের সমস্ত কলাম দ্বারা বিস্তৃত সাবস্পেস দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং যেখানে সাবস্পেসের একটি ভিত্তি তাত্ত্বিকভাবে নির্বিচারে হতে পারে। যাইহোক, অসম্পূর্ণ কম্পিউটার গাণিতিক ক্ষেত্রে রেলে-রিটজ পদ্ধতিটি সংখ্যার দিক থেকে অস্থির হয়ে যায় যদি কিছু বেসিস ভেক্টর প্রায় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়। সংখ্যাসূচক অস্থিরতা সাধারণত ঘটে, উদাহরণস্বরূপ, যদি পুনরাবৃত্তিমূলক ব্লকের কিছু আইগেনভেক্টর ইতিমধ্যে প্রদত্ত কম্পিউটার নির্ভুলতার জন্য অর্জনযোগ্য নির্ভুলতায় পৌঁছায় এবং বিশেষত কম নির্ভুলতার ক্ষেত্রে বিশিষ্ট হয়, যেমন একক নির্ভুলতা। এল. ও. বি. পি. সি. জি-র একাধিক ভিন্ন বাস্তবায়নের শিল্প হল সাবস্পেসের একটি ভাল ভিত্তি বেছে নিয়ে ন্যূনতম কম্পিউটিং ব্যয়ে রেলে-রিটজ পদ্ধতির সংখ্যাসূচক স্থিতিশীলতা নিশ্চিত করা। গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া দ্বারা ভিত্তি ভেক্টরগুলিকে অর্থোগোনাল করার যুক্তিযুক্তভাবে সবচেয়ে স্থিতিশীল পদ্ধতিটিও সবচেয়ে গণনামূলক ব্যয়বহুল। উদাহরণস্বরূপ, এল. ও. বি. পি. সি. জি বাস্তবায়নে, স্বাভাবিক ম্যাট্রিক্সের অস্থিতিশীল কিন্তু দক্ষ কোলেস্কি পচন ব্যবহার করা হয়, যা পুরো সাবস্পেসের পরিবর্তে শুধুমাত্র পৃথক ম্যাট্রিক্সের উপর সঞ্চালিত হয়। কম্পিউটার মেমরির ক্রমাগত ক্রমবর্ধমান পরিমাণ আজকাল পরিসরে সাধারণ ব্লক আকারের অনুমতি দেয়, যেখানে গণনার সময়ের শতাংশ অর্থোগোনালাইজেশনে ব্যয় করে এবং রেলে-রিটজ পদ্ধতি আধিপত্য বিস্তার করতে শুরু করে। পূর্বে রূপান্তরিত আইগেনভেক্টর লক করা আইগেনভ্যালু সমস্যার জন্য ব্লক পদ্ধতি যা পুনরাবৃত্ত সাবস্পেসগুলিতে সাধারণত কিছু পুনরাবৃত্তিমূলক আইগেনভেক্টর অন্যদের তুলনায় দ্রুত রূপান্তরিত হয় যা ইতিমধ্যে রূপান্তরিত আইগেনভেক্টরগুলিকে লক করতে অনুপ্রাণিত করে, অর্থাৎ, অপ্রয়োজনীয় গণনাগুলি দূর করতে এবং সংখ্যাসূচক স্থিতিশীলতা উন্নত করার জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক লুপ থেকে তাদের অপসারণ করে। একটি আইগেনভেক্টরের সহজ অপসারণের ফলে সম্ভবত এখনও পুনরাবৃত্ত ভেক্টরগুলিতে এর প্রতিলিপি তৈরি হতে পারে। প্রতিসম আইগেনভ্যালু সমস্যার আইগেনভেক্টরগুলি জোড়া-ভিত্তিক অর্থোগোনাল হওয়ার বিষয়টি সমস্ত পুনরাবৃত্তিমূলক ভেক্টরগুলিকে লক ভেক্টরগুলির সাথে অর্থোগোনাল রাখার পরামর্শ দেয়। গণনার খরচ কমানোর পাশাপাশি সংখ্যাসূচক নির্ভুলতা এবং স্থিতিশীলতা বজায় রেখে লকিং ভিন্নভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এল. ও. বি. পি. সি. জি বাস্তবায়ন, অনুসরণ, হার্ড লকিং আলাদা করা, অর্থাৎ। সীমাবদ্ধতার দ্বারা একটি ডিফ্লেশন, যেখানে লক করা আইগেনভেক্টরগুলি একটি কোড ইনপুট হিসাবে কাজ করে এবং পরিবর্তিত হয় না, সফ্ট লকিং থেকে, যেখানে লক করা ভেক্টরগুলি অবশিষ্টাংশ গণনা করার সাধারণত সবচেয়ে ব্যয়বহুল পুনরাবৃত্তিমূলক ধাপে অংশ নেয় না, তবে, সম্পূর্ণরূপে রেলে-রিটজ পদ্ধতিতে অংশ নেয় এবং এইভাবে রেলে-রিটজ পদ্ধতি দ্বারা পরিবর্তন করার অনুমতি দেওয়া হয়। পরিবর্তন, এল. ও. বি. পি. সি. জি দ্বিতীয় এল. ও. বি. পি. সি. জি ম্যাট্রিক্সের সমস্ত কলাম এবং রেলে-রিটজ পদ্ধতিতে অন্তর্ভুক্ত করে যার ফলে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে গণনা করার জন্য একটি আপ-বাই-আইগেনভ্যালু সমস্যার সমাধান এবং ডট প্রোডাক্ট পর্যন্ত প্রয়োজন হয়, যেখানে ব্লকের আকার-কলামের সংখ্যা বোঝায়। বড় ব্লক আকারের জন্য এটি গণনা এবং আই/ও খরচের উপর আধিপত্য বিস্তার করতে শুরু করে এবং সমান্তরালকরণকে সীমাবদ্ধ করে, যেখানে একাধিক গণনা যন্ত্র একযোগে চলছে। মূল এল. ও. বি. পি. সি. জি গবেষণাপত্রে এল. ও. বি. পি. সি. জি 2 নামক একটি পরিবর্তনের বর্ণনা দেওয়া হয়েছে, যাতে প্রতিটি কাঙ্ক্ষিত আইগেনপেয়ারের জন্য এল. ও. বি. পি. সি. জি পদ্ধতির একক-ভেক্টর সংস্করণটি 3-বাই-3 প্রজেক্টেড আইগেনভ্যালু সমস্যার রেলে-রিটজ পদ্ধতির সমাধানের সাথে চলমান সমস্যার সমাধান করা যায়। সমস্ত আইগেনপেয়ারের জন্য বৈশ্বিক রেলে-রিটজ পদ্ধতি প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে কিন্তু শুধুমাত্র ম্যাট্রিক্সের কলামে হয়, এইভাবে প্রয়োজনীয় বিন্দু পণ্যের সংখ্যা এবং বৈশ্বিক প্রজেক্টেড আইগেনভ্যালু সমস্যার আকার প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে-বাই-বাই-বাই-এ হ্রাস পায়। রেফারেন্স আরও এগিয়ে যায় প্রতিটি আনুমানিক আইগেনভেক্টরের জন্য এল. ও. বি. পি. সি. জি অ্যালগরিদমকে আলাদাভাবে প্রয়োগ করে, অর্থাৎ, নির্দিষ্ট সংখ্যক পুনরাবৃত্তির জন্য প্রতিটি পছন্দসই আইগেনপেয়ারের জন্য এল. ও. বি. পি. সি. জি পদ্ধতির অবরুদ্ধ সংস্করণটি চালানো হয়। এই রানগুলিতে রেলে-রিটজ পদ্ধতির শুধুমাত্র 3×3 প্রজেক্টেড আইগেনভ্যালু সমস্যার একটি সেট সমাধান করতে হবে। সমস্ত কাঙ্ক্ষিত আইগেনপেয়ারের জন্য বিশ্বব্যাপী রেলে-রিটজ পদ্ধতি শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক অবরুদ্ধ এল. ও. বি. পি. সি. জি পুনরাবৃত্তির শেষে পর্যায়ক্রমে প্রয়োগ করা হয়। মূল এল. ও. বি. পি. সি. জি-র তুলনায় এই ধরনের পরিবর্তনগুলি কম শক্তিশালী হতে পারে। একক-ভেক্টর এল. ও. বি. পি. সি. জি-র স্বতন্ত্রভাবে চলমান শাখাগুলি এর পরিবর্তে ক্রমাগত পুনরাবৃত্তিমূলক পথগুলি অনুসরণ করতে পারে না এবং একই আইগেনভেক্টরের জন্য ডুপ্লিকেট আনুমানিক তৈরি করতে পারে। একক-ভেক্টর এল. ও. বি. পি. সি. জি গুচ্ছবদ্ধ আইগেনভ্যালুগুলির জন্য অনুপযুক্ত হতে পারে, তবে পৃথক ছোট-ব্লক এল. ও. বি. পি. সি. জি রানের জন্য পুনরাবৃত্তির প্রক্রিয়া চলাকালীন স্বয়ংক্রিয়ভাবে তাদের ব্লকের আকার নির্ধারণ করা প্রয়োজন কারণ আইগেনভ্যালুগুলির গুচ্ছের সংখ্যা এবং তাদের আকারগুলি একটি অগ্রাধিকার হিসাবে অজানা হতে পারে। কনভার্জেন্স তত্ত্ব এবং অনুশীলনের মাধ্যমে এল. ও. বি. পি. সি. জি নিশ্চিত করে যে রেলে ভাগফলকে হ্রাস করা হবে, যা ব্লক স্টিপেস্ট গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্টের চেয়ে ধীর নয়, যার একটি ব্যাপক কনভার্জেন্স তত্ত্ব রয়েছে। প্রতিটি আইগেনভেক্টর রেলে ভাগফলের একটি স্থির বিন্দু, যেখানে ঢাল অদৃশ্য হয়ে যায়। সুতরাং, যে কোনও আইগেনভেক্টরের আশেপাশে গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট ধীর হয়ে যেতে পারে, তবে, এটি একটি রৈখিক অভিসরণ হারের সাথে আইগেনভেক্টরের সাথে একত্রিত হওয়ার নিশ্চয়তা দেওয়া হয় বা, যদি এই আইগেনভেক্টরটি একটি স্যাডল পয়েন্ট হয়, তবে পুনরাবৃত্তিমূলক রেলে ভাগফলটি সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালুয়ের নিচে নেমে যাওয়ার সম্ভাবনা বেশি এবং নীচের পরবর্তী আইগেনভ্যালুতে রৈখিকভাবে একত্রিত হতে শুরু করে। রৈখিক অভিসরণ হারের সবচেয়ে খারাপ মান নির্ধারণ করা হয়েছে এবং আইগেনভ্যালু এবং ম্যাট্রিক্স বর্ণালীর বাকি অংশের মধ্যে আপেক্ষিক ব্যবধান এবং পূর্বশর্তের গুণমানের উপর নির্ভর করে, যদি থাকে। একটি সাধারণ ম্যাট্রিক্সের জন্য, স্পষ্টতই আইগেনভেক্টরগুলির পূর্বাভাস দেওয়ার কোনও উপায় নেই এবং এইভাবে প্রাথমিক অনুমান তৈরি করে যা সর্বদা ভাল কাজ করে। এল. ও. বি. পি. সি. জি দ্বারা পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধান প্রাথমিক আইগেনভেক্টরের আনুমানিকতার প্রতি সংবেদনশীল হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, মধ্যবর্তী আইগেনপেয়ারগুলি পাস করার সময় ধীরে ধীরে একত্রিত হতে বেশি সময় নেয়। উপরন্তু, তত্ত্বগতভাবে, কেউ অপরিহার্যভাবে ক্ষুদ্রতম আইগেনপেয়ারের সাথে একত্রীকরণের নিশ্চয়তা দিতে পারে না, যদিও মিসের সম্ভাবনা শূন্য। শূন্য গড় সহ একটি ভাল মানের এলোমেলো গাউসিয়ান ফাংশন সাধারণত প্রাথমিক অনুমান তৈরি করতে এল. ও. বি. পি. সি. জি-তে ডিফল্ট হয়। প্রাথমিক অনুমানগুলি ঠিক করার জন্য, এলোমেলো সংখ্যা উৎপাদকের জন্য একটি নির্দিষ্ট বীজ নির্বাচন করা যেতে পারে। ল্যান্জস পদ্ধতির বিপরীতে, এল. ও. বি. পি. সি. জি অনুশীলনে খুব কমই অ্যাসিম্পটোটিক সুপারলিনিয়ার কনভারজেন্স প্রদর্শন করে। আংশিক প্রধান উপাদান বিশ্লেষণ (পি. সি. এ) এবং একক মান পচন (এস. ভি. ডি) এল. ও. বি. পি. সি. জি-কে কয়েকটি বৃহত্তম একক মান এবং সংশ্লিষ্ট একক ভেক্টর (আংশিক এস. ভি. ডি) গণনার জন্য তুচ্ছভাবে অভিযোজিত করা যেতে পারে, যেমন, পি. সি. এ-র পুনরাবৃত্তিমূলক গণনার জন্য, শূন্য গড় সহ একটি ডেটা ম্যাট্রিক্সের জন্য, স্পষ্টভাবে কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা না করে, অর্থাৎ। ম্যাট্রিক্স-মুক্ত ফ্যাশনে। প্রধান গণনা হল কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং ব্লক-ভেক্টরের গুণফলের একটি ফাংশনের মূল্যায়ন যা কাঙ্ক্ষিত একক ভেক্টরকে পুনরাবৃত্তভাবে আনুমানিক করে। পি. সি. এ-র কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের বৃহত্তম আইগেনভ্যালু প্রয়োজন, যেখানে এল. ও. বি. পি. সি. জি সাধারণত ক্ষুদ্রতমগুলি গণনা করার জন্য প্রয়োগ করা হয়। একটি সহজ কাজ হল ফাংশনটিকে প্রত্যাখ্যান করা, প্রতিস্থাপিত করা এবং এইভাবে আইগেনভ্যালুগুলির ক্রমকে বিপরীত করা, যেহেতু এল. ও. বি. পি. সি. জি আইগেনভ্যালু সমস্যার ম্যাট্রিক্স ধনাত্মক নির্দিষ্ট কিনা তা নিয়ে চিন্তা করে না। পি. সি. এ এবং এস. ভি. ডি-র জন্য এল. ও. বি. পি. সি. জি প্রয়োগ করা হয়েছে সাইপিতে সংস্করণ 1.4.0 সাধারণ সফ্টওয়্যার বাস্তবায়নের পর থেকে এল. ও. বি. পি. সি. জি-র উদ্ভাবক অ্যান্ড্রু ক্নিয়াজেভ পি. ই. টি. এস. সি, হাইপার এবং সমান্তরাল হায়ারার্কিকাল অ্যাডাপটিভ মাল্টি লেভেল মেথড (পিএইচ. এ. এম. এল)-এর ইন্টারফেস সহ ব্লক লোকালি অপ্টিমাল প্রি-কন্ডিশন্ড আইগেনভ্যালু এক্সলভারস (বি. এল. ও. পি. ই. এক্স) নামে একটি রেফারেন্স বাস্তবায়ন প্রকাশ করেছেন। অন্যান্য প্রয়োগগুলি পাওয়া যায়, যেমন, জিএনইউ অক্টেভ, ম্যাটল্যাব (বিতরণ বা টাইলিং অ্যারে সহ), জাভা, আনাসাজি (ট্রিলিনোস), এসএলইপিসি, সাইপি, জুলিয়া, ম্যাগমা, পাইটর্চ, রাস্ট, ওপেনএমপি এবং ওপেনএসিসি, কিউপি (সিইউডিএ দ্বারা ত্বরান্বিত একটি ন্যাম্পাই-সামঞ্জস্যপূর্ণ অ্যারে লাইব্রেরি), গুগল জ্যাক্স এবং এনভিডিয়া এএমজিএক্স। এল. ও. বি. পি. সি. জি প্রয়োগ করা হয়েছে, কিন্তু টেনসরফ্লোতে অন্তর্ভুক্ত নয়। অ্যাপ্লিকেশন ডেটা মাইনিং সফ্টওয়্যার প্যাকেজ স্কিকিট-লার্ন এবং মেগাম্যান এল. ও. বি. পি. সি. জি ব্যবহার করে বর্ণালী ক্লাস্টারিং স্কেল করতে এবং ল্যাপলেসিয়ান আইগেনম্যাপের মাধ্যমে বড় ডেটা সেটে বহুগুণ শেখার জন্য। এনভিডিয়া সি. ইউ. ডি. এ 8-এ প্রবর্তিত তার এন. ভি. জি. আর. এ. পি. এইচ গ্রন্থাগারে এল. ও. বি. পি. সি. জি প্রয়োগ করেছে। স্ফিংক্স, একটি হাইব্রিড ডিস্ট্রিবিউটেড-এবং শেয়ারড-মেমোরি-সক্ষম সমান্তরাল গ্রাফ পার্টিশনার-প্রথম গ্রাফ পার্টিশনিং টুল যা ডিস্ট্রিবিউটেড-মেমরি সেটিংসে জিপিইউতে কাজ করে-গ্রাফ পার্টিশনিংয়ের জন্য বর্ণালী ক্লাস্টারিং ব্যবহার করে, আনাসাজি প্যাকেজ থেকে এলওবিপিসিজি ব্যবহার করে গ্রাফের ল্যাপলেসিয়ান ম্যাট্রিক্সে আইগেনভেক্টর গণনা করে। উপাদান বিজ্ঞান এল. ও. বি. পি. সি. জি এ. বি. আই. এন. আই. টি (সি. ইউ. ডি. এ সংস্করণ সহ) এবং অক্টোপাস-এ প্রয়োগ করা হয়। এটি জাপানের আর্থ সিমুলেটর সুপারকম্পিউটারে গর্ডন বেল পুরস্কারের চূড়ান্ত প্রতিযোগীদের দ্বারা বহু বিলিয়ন আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য ব্যবহৃত হয়েছে। সুপারকন্ডাক্টিভিটির পিছনের প্রক্রিয়াটি বোঝার জন্য দৃঢ়ভাবে-সহ-সম্পর্কিত ইলেক্ট্রন সিস্টেমের জন্য হাবার্ড মডেল কে কম্পিউটার এবং মাল্টি-জিপিইউ সিস্টেমে হ্যামিল্টনিয়ানের স্থল অবস্থা গণনা করতে এলওবিপিসিজি ব্যবহার করে। সমতল তরঙ্গ ভিত্তি ব্যবহার করে কোহন-শাম সমীকরণ এবং ঘনত্ব কার্যকরী তত্ত্বের (ডি. এফ. টি) জন্য এল. ও. বি. পি. সি. জি-র ম্যাটল্যাব এবং জুলিয়া সংস্করণ রয়েছে। সাম্প্রতিক বাস্তবায়নের মধ্যে রয়েছে টিটিপিওয়াই, প্ল্যাটিপাস-কিউএম, এমএফডিএন, এসিই-অণু, ল্যাকনিক। বি. এল. ও. পি. ই. এক্স থেকে যান্ত্রিক এবং তরল এল. ও. বি. পি. সি. জি মাল্টিলেভেল ব্যালেন্সিং ডোমেইন ডিকম্পোজিশন বাই কনস্ট্রেইন্টস (বি. ডি. ডি. সি) সলভার লাইব্রেরি বি. ডি. ডি. সি. এম. এল-এ পূর্বশর্ত স্থাপনের জন্য ব্যবহৃত হয়, যা ওপেন. এফ. টি. এল (ওপেন ফাইনাইট এলিমেন্ট টেমপ্লেট লাইব্রেরি) এবং ফ্লো123ডি সিমুলেটারে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। এল. ও. বি. পি. সি. জি এল. এস-ডি. ওয়াই. এন. এ-তে বাস্তবায়িত হয়েছে। ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ এল. ও. বি. পি. সি. জি হল পি. ওয়াই. এফ. ই. ম্যাক্স এবং উচ্চ কার্যকারিতা সম্পন্ন মাল্টিফিজিক্স সীমাবদ্ধ উপাদান সফ্টওয়্যার নেটজেন/এন. জি. সলভের মূল আইগেনভ্যালু সমাধানকারীগুলির মধ্যে একটি। হাইপার থেকে এল. ও. বি. পি. সি. জি সীমিত উপাদান পদ্ধতি এম. এফ. ই. এম-এর জন্য ওপেন সোর্স লাইটওয়েট স্কেলেবল সি + + লাইব্রেরিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যা ব্লাস্ট, এক্সব্রাইড, ভিজিট, এক্স. এস. ডি. কে, সাইডাচের ফাস্টম্যাথ ইনস্টিটিউট এবং এক্সাস্কেল কম্পিউটিং প্রকল্পে কো-ডিজাইন সেন্টার ফর এফিশিয়েন্ট এক্সাস্কেল ডিসক্রেটিজেশন (সি. ই. ই. ডি) সহ অনেক প্রকল্পে ব্যবহৃত হয়। ডিনাইজিং ইটারেটিভ এল. ও. বি. পি. সি. জি-ভিত্তিক আনুমানিক লো-পাস ফিল্টার ডিনাইজিংয়ের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে; দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, মোট বৈচিত্র্য ডিনাইজিংকে ত্বরান্বিত করতে। চিত্র বিভাজন বর্ণালী ক্লাস্টারিংয়ের মাধ্যমে চিত্র বিভাজন পিক্সেলগুলির মধ্যে একটি অ্যাফিনিটি ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে একটি নিম্ন-মাত্রার এম্বেডিং সম্পাদন করে, তারপরে নিম্ন মাত্রিক স্থানে আইগেনভেক্টরগুলির উপাদানগুলির ক্লাস্টারিং, যেমন, দ্বিপক্ষীয় ফিল্টারের জন্য গ্রাফ ল্যাপলেসিয়ান ব্যবহার করে। মাল্টিগ্রিড পূর্বশর্ত সহ এল. ও. বি. পি. সি. জি দ্বারা বর্ণালী গ্রাফ বিভাজনের মাধ্যমে চিত্র বিভাজন প্রথম প্রস্তাব করা হয়েছে এবং প্রকৃতপক্ষে এবং-এ পরীক্ষা করা হয়েছে। পরবর্তী পদ্ধতিটি পরে পাইথন স্কিকিট-লার্নে প্রয়োগ করা হয়েছে যা গ্রাফ ল্যাপলেসিয়ানের জন্য আইগেনভ্যালু সমস্যা সমাধানের জন্য বীজগাণিতিক মাল্টিগ্রিড পূর্বশর্ত সহ সাইপাই থেকে এলওবিপিসিজি ব্যবহার করে। তথ্যসূত্র বাহ্যিক লিঙ্ক ম্যাটল্যাবে এল. ও. বি. পি. সি. জি-তে এল. ও. বি. পি. সি. জি-তে অক্টেভ এল. ও. বি. পি. সি. জি-তে জাভাতে সাইপি এল. ও. বি. পি. সি. জি-তে গুগল কোডে এল. ও. বি. পি. সি. জি-তে ব্লক লোকালি অপটিমাল প্রি-কন্ডিশন্ড আইগেনভ্যালু এক্সলভারস (বি. এল. ও. পি. ই. এক্স)-এ গিটহাবে এবং গুগল কোডে আর্কাইভ করা সংখ্যাসূচক রৈখিক বীজগণিত বৈজ্ঞানিক সিমুলেশন সফ্টওয়্যার