Arithmetic progression topologies
সাধারণ টপোলজি এবং সংখ্যা তত্ত্ব, গণিতের শাখাগুলিতে, গাণিতিক অগ্রগতির একটি উপযুক্ত সংগ্রহ, ফর্মের ক্রম বা একটি ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করে পূর্ণসংখ্যার সেট বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটের উপর বিভিন্ন টপোলজি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। তিনটি উদাহরণ হল ফার্স্টেনবার্গ টপোলজি অন, এবং গোলম্ব টপোলজি ও কির্চ টপোলজি অন। নিচে সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা দেওয়া হল। হিলেল ফারস্টেনবার্গ মৌলিক সংখ্যার সেটের অসীমতার একটি "টপোলজিকাল" প্রমাণ প্রদানের জন্য প্রথম টপোলজি প্রবর্তন করেছিলেন। দ্বিতীয় টপোলজিটি সলোমন গোলম্ব দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং একটি গণনাযোগ্য অসীম হাউজডর্ফ স্থানের একটি উদাহরণ প্রদান করে যা সংযুক্ত। তৃতীয় টপোলজি, এ. এম. কির্চ দ্বারা প্রবর্তিত, একটি গণনাযোগ্য অসীম হাউসডর্ফ স্থানের একটি উদাহরণ যা সংযুক্ত এবং স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত উভয়ই। এই টপোলজিগুলির আকর্ষণীয় পৃথকীকরণ এবং সমজাতীয় বৈশিষ্ট্যও রয়েছে। গাণিতিক অগ্রগতির টপোলজির ধারণাকে নির্বিচারে ডেডেকাইন্ড ডোমেনে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। গঠন দ্বিমুখী গাণিতিক অগ্রগতি হল সেই ফর্মের উপসেট যেখানে এবং এই ধরনের দুটি গাণিতিক অগ্রগতির ছেদ হয় খালি, অথবা একই ফর্মের আরেকটি গাণিতিক অগ্রগতিঃ যেখানে এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক এবং একইভাবে, একমুখী গাণিতিক অগ্রগতি হল এবং সহ ফর্মের উপসেট। এই ধরনের দুটি গাণিতিক অগ্রগতির ছেদ হয় খালি, অথবা একই রূপের আরেকটি গাণিতিক অগ্রগতিঃ যা ছেদকারী ক্ষুদ্রতম উপাদানের সমান। এটি দেখায় যে সসীম সংখ্যক গাণিতিক অগ্রগতির প্রতিটি অকার্যকর ছেদ আবার একটি গাণিতিক অগ্রগতি। তারপরে কেউ গাণিতিক অগ্রগতির একটি সংগ্রহ বেছে নিয়ে, সমস্ত উপাদানকে উন্মুক্ত সেট হিসাবে ঘোষণা করে এবং তাদের দ্বারা উত্পন্ন টপোলজি গ্রহণ করে একটি টপোলজিকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। যদি দুটি উপাদানের কোনও অ-খালি ছেদ আবার একটি উপাদান হয়, তবে সংগ্রহটি টপোলজির জন্য একটি ভিত্তি হবে। সাধারণভাবে, এটি টপোলজির জন্য একটি উপ-ভিত্তি হবে এবং সমস্ত গাণিতিক অগ্রগতির সেট যা এর উপাদানগুলির অ-খালি সীমাবদ্ধ ছেদগুলি টপোলজির জন্য একটি ভিত্তি হবে। তিনটি বিশেষ কেস অনুসরণ করে। পূর্ণসংখ্যার সেটে ফারস্টেনবার্গ টপোলজি, বা সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত পূর্ণসংখ্যা টপোলজি, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটে সমস্ত এবং তুলনামূলকভাবে মৌলিকের সংগ্রহকে ভিত্তি হিসাবে নিয়ে প্রাপ্ত করা হয়। সমতুল্যভাবে, অতিরিক্ত শর্ত সহ এই ধরনের সেটগুলির উপ-সংগ্রহও টপোলজির জন্য একটি ভিত্তি তৈরি করে। সংশ্লিষ্ট টপোলজিকাল স্থানটিকে বলা হয় গোলম্ব স্থান। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটে কির্চ টপোলজি বা মৌলিক পূর্ণসংখ্যা টপোলজি পাওয়া যায় একটি সাববেস হিসাবে সমস্ত এবং মৌলিক সমতুল্যভাবে ভাগ না করে, একটি সাববেস হিসাবে নেওয়া যেতে পারে মৌলিক এবং মৌলিক সহ সমস্ত সংগ্রহের। টপোলজির জন্য একটি ভিত্তি তুলনামূলকভাবে মৌলিক এবং বর্গ মুক্ত (বা অতিরিক্ত শর্তের সাথে একই) সহ সমস্ত নিয়ে গঠিত। সংশ্লিষ্ট টপোলজিকাল স্থানটিকে কির্চ স্থান বলা হয়। তিনটি টপোলজি এই অর্থে সম্পর্কিত যে, কির্চ টপোলজির প্রতিটি উন্মুক্ত সেট গোলম্ব টপোলজিতে উন্মুক্ত এবং গোলম্ব টপোলজির প্রতিটি উন্মুক্ত সেট ফারস্টেনবার্গ টপোলজিতে (সাবস্পেসে সীমাবদ্ধ) উন্মুক্ত। সেটটিতে, কির্চ টপোলজি গোলম্ব টপোলজির চেয়ে মোটা, যা নিজেই ফারস্টেনবার্গ টপোলজির চেয়ে মোটা। বৈশিষ্ট্য গোলম্ব টপোলজি এবং কির্চ টপোলজি হল হাউজডর্ফ, কিন্তু নিয়মিত নয়। ফার্স্টেনবার্গ টপোলজি হল হাউসডর্ফ এবং নিয়মিত। এটি পরিমাপযোগ্য, কিন্তু সম্পূর্ণ পরিমাপযোগ্য নয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি বাস্তব রেখা থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত সাবস্পেস টপোলজি সহ মূলদ সংখ্যার সমরূপ। ব্রোয়ান দেখিয়েছেন যে ফারস্টেনবার্গ টপোলজি মূলদ সংখ্যার-অ্যাডিক সমাপ্তির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। সংযোগের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে, ফারস্টেনবার্গ টপোলজি সম্পূর্ণরূপে বিচ্ছিন্ন। গোলম্ব টপোলজি সংযুক্ত, কিন্তু স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত নয়। কির্চ টপোলজি সংযুক্ত এবং স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত উভয়ই। ফারস্টেনবার্গ টপোলজির সাথে পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি সমজাতীয় স্থান গঠন করে, কারণ এটি একটি টপোলজিকাল বলয়-কিছু অর্থে, একমাত্র টপোলজি যার জন্য এটি একটি বলয়। বিপরীতে, গোলম্ব স্থান এবং কির্চ স্থান টপোলজিক্যালি অনমনীয়-একমাত্র স্ব-সমরূপতা হল তুচ্ছ। মৌলিক সংখ্যার অসীমের সাথে সম্পর্ক ফারস্টেনবার্গ এবং গোলম্ব টপোলজি উভয়ই প্রমাণ করে যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। প্রমাণের একটি স্কেচ নিম্নরূপঃ একটি মৌলিক সংখ্যা স্থির করুন এবং লক্ষ্য করুন যে (ধনাত্মক, গোলম্ব স্থানের ক্ষেত্রে) পূর্ণসংখ্যাগুলি সীমাবদ্ধভাবে অনেক অবশিষ্টাংশ শ্রেণীর মডুলোর একটি ইউনিয়ন। প্রতিটি অবশিষ্টাংশ শ্রেণী একটি গাণিতিক অগ্রগতি, এবং এইভাবে ক্লোপেন। প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার গুণিতক বিবেচনা করুন। এই গুণিতকগুলি একটি অবশিষ্টাংশ শ্রেণী (তাই বন্ধ), এবং এই সেটগুলির মিলন একক ব্যতীত সমস্ত (গোলম্বঃ ধনাত্মক) পূর্ণসংখ্যা। যদি সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি মৌলিক সংখ্যা থাকে, তবে সেই ইউনিয়নটি একটি বদ্ধ সেট, এবং তাই এর পরিপূরক (}) খোলা থাকে। কিন্তু প্রতিটি নন-এম্প্টি ওপেন সেট অসীম, তাই} ওপেন হয় না। সাধারণকরণ ফারস্টেনবার্গ টপোলজি হল একটি গোষ্ঠীর প্রোফাইনাইট টপোলজির একটি বিশেষ উদাহরণ। বিস্তারিতভাবে, এটি অন্তর্ভুক্তি দ্বারা অনুপ্রাণিত টপোলজি, যেখানে তার অসীম টপোলজি সহ অসীম পূর্ণসংখ্যা বলয়। একটি গাণিতিক অগ্রগতির ধারণাটি নির্বিচারে-মডিউলগুলিতে বোধগম্য, তবে তাদের উপর একটি টপোলজি নির্মাণ ছেদনের অধীনে বন্ধের উপর নির্ভর করে। পরিবর্তে, সঠিক সাধারণীকরণ একটি ডেডেকাইন্ড ডোমেনের আদর্শ থেকে একটি টপোলজি তৈরি করে। এই পদ্ধতিটি গণনাযোগ্যভাবে অসীম, হাউজডর্ফ, সংযুক্ত সেট তৈরি করে, তবে বিভিন্ন ডেডেকাইন্ড ডোমেন হোমিওমরফিক টপোলজিকাল স্পেস তৈরি করতে পারে কিনা তা বর্তমান গবেষণার একটি বিষয়। উল্লেখগুলি উল্লেখ করুন। টপোলজিকাল স্পেস গাণিতিক সিরিজ