Degrees of freedom (physics and chemistry)
পদার্থবিজ্ঞান এবং রসায়নে, ডিগ্রি অফ ফ্রিডম একটি ভৌত ব্যবস্থার অবস্থার আনুষ্ঠানিক বর্ণনায় একটি স্বাধীন ভৌত পরামিতি। একটি সিস্টেমের সমস্ত অবস্থার সেটকে সিস্টেমের ফেজ স্পেস বলা হয় এবং সিস্টেমের ডিগ্রি অফ ফ্রিডম হল ফেজ স্পেসের মাত্রা। ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি কণার অবস্থান নির্ধারণের জন্য তিনটি অবস্থান স্থানাঙ্ক প্রয়োজন। একইভাবে, একটি কণা যে দিকে এবং গতিতে চলাচল করে তা তিনটি বেগ উপাদানের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যেতে পারে, প্রতিটি স্থানের তিনটি মাত্রার প্রসঙ্গে। সুতরাং, যদি ব্যবস্থাটির সময় বিবর্তন নির্ণায়ক হয় (যেখানে এক মুহূর্তে অবস্থাটি সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে তার অতীত এবং ভবিষ্যতের অবস্থান এবং বেগকে অনন্যভাবে নির্ধারণ করে), তবে এই ধরনের ব্যবস্থাটির ছয় ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে। যদি কণার গতি কম মাত্রায় সীমাবদ্ধ থাকে-উদাহরণস্বরূপ, কণাটি অবশ্যই একটি তারের সাথে বা একটি নির্দিষ্ট পৃষ্ঠের উপর চলতে হবে-তবে সিস্টেমটির ছয় ডিগ্রিরও কম স্বাধীনতা রয়েছে। অন্যদিকে, একটি বর্ধিত বস্তু সহ একটি সিস্টেম যা ঘোরাতে বা কম্পন করতে পারে তার ছয় ডিগ্রির বেশি স্বাধীনতা থাকতে পারে। শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানে, যে কোনও নির্দিষ্ট সময়ে একটি বিন্দু কণার অবস্থা প্রায়শই ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ফর্মালিজমে অবস্থান এবং বেগ স্থানাঙ্কের সাথে বা হ্যামিল্টনিয়ান ফর্মালিজমে অবস্থান এবং ভরবেগ স্থানাঙ্কের সাথে বর্ণনা করা হয়। পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে, ডিগ্রি অফ ফ্রিডম হল একটি একক স্কেলার সংখ্যা যা একটি সিস্টেমের মাইক্রোস্টেট বর্ণনা করে। একটি সিস্টেমের সমস্ত মাইক্রোস্টেটের নির্দিষ্টকরণ হল সিস্টেমের ফেজ স্পেসের একটি বিন্দু। রসায়নের 3ডি আদর্শ শৃঙ্খল মডেলে, প্রতিটি মনোমারের অভিযোজন বর্ণনা করার জন্য দুটি কোণ প্রয়োজন। স্বাধীনতার দ্বিঘাত মাত্রা নির্দিষ্ট করা প্রায়শই কার্যকর। এগুলি স্বাধীনতার ডিগ্রি যা সিস্টেমের শক্তিতে একটি দ্বিঘাত ফাংশনে অবদান রাখে। কোনটি গণনা করা হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে, স্বাধীনতার ডিগ্রিগুলি সংজ্ঞায়িত করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে, যার প্রত্যেকটির আলাদা মান রয়েছে। গ্যাসের জন্য তাপগতিবিদ্যার ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সম বিভাজন উপপাদ্য অনুসারে, গ্যাসের প্রতি মোল অভ্যন্তরীণ শক্তি সমান, যেখানে পরম তাপমাত্রা এবং ধ্রুবক আয়তনে নির্দিষ্ট তাপ cv = (f) (R/2)। R = 8.314 J/(Kmol) হল সর্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, এবং "f" হল তাপগতিবিদ্যার (দ্বিঘাত) স্বাধীনতার মাত্রার সংখ্যা, যা শক্তি ঘটতে পারে এমন উপায়ের সংখ্যা গণনা করে। যে কোনও পরমাণু বা অণুর x, y এবং z অক্ষের সাপেক্ষে ভর কেন্দ্রের ট্রান্সলেশনাল গতির (গতিশক্তি) সঙ্গে যুক্ত তিনটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম থাকে। এগুলি একটি মনোআটোমিক প্রজাতির জন্য স্বাধীনতার একমাত্র মাত্রা, যেমন নোবল গ্যাস পরমাণু। দুই বা ততোধিক পরমাণু সমন্বিত একটি কাঠামোর জন্য, পুরো কাঠামোর ঘূর্ণন গতিশক্তিও রয়েছে, যেখানে পুরো কাঠামোটি একটি অক্ষের চারপাশে ঘুরতে থাকে। একটি রৈখিক অণু, যেখানে সমস্ত পরমাণু একটি একক অক্ষ বরাবর থাকে, যেমন যে কোনও দ্বিপরমাণবিক অণু এবং কার্বন ডাই অক্সাইড (সিও2)-এর মতো কিছু অন্যান্য অণুর দুটি ঘূর্ণন ডিগ্রি অফ ফ্রিডম থাকে, কারণ এটি আণবিক অক্ষের লম্বভাবে দুটি অক্ষের যে কোনও একটিতে ঘোরাতে পারে। একটি অরৈখিক অণু, যেখানে পরমাণুগুলি জলের (H2O) মতো একটি অক্ষ বরাবর থাকে না, সেখানে তিনটি ঘূর্ণন ডিগ্রি অফ ফ্রিডম থাকে, কারণ এটি তিনটি লম্ব অক্ষের যে কোনও একটির চারপাশে ঘোরাতে পারে। বিশেষ ক্ষেত্রে, যেমন অধিশোষিত বড় অণুতে, স্বাধীনতার ঘূর্ণন মাত্রা শুধুমাত্র একটির মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকতে পারে। দুই বা ততোধিক পরমাণু নিয়ে গঠিত একটি কাঠামোর কম্পন শক্তিও থাকে, যেখানে পৃথক পরমাণু একে অপরের সাপেক্ষে চলাচল করে। একটি দ্বিপরমাণবিক অণুর একটি আণবিক কম্পন মোড থাকেঃ দুটি পরমাণু তাদের মধ্যে রাসায়নিক বন্ধনের সাথে পিছনে পিছনে দোলায় যা একটি স্প্রিং হিসাবে কাজ করে। পরমাণু সহ একটি অণুর আণবিক কম্পনের আরও জটিল মোড রয়েছে, একটি রৈখিক অণুর জন্য কম্পন মোড এবং একটি অরৈখিক অণুর জন্য মোড রয়েছে। নির্দিষ্ট উদাহরণ হিসাবে, রৈখিক সিও2 অণুর 4টি দোলন পদ্ধতি রয়েছে এবং অরৈখিক জল অণুর 3টি দোলন পদ্ধতি রয়েছে প্রতিটি কম্পন পদ্ধতির দুটি শক্তি পদ রয়েছেঃ গতিশীল পরমাণুর গতিশক্তি এবং স্প্রিং-সদৃশ রাসায়নিক বন্ধনের (গুলি) সম্ভাব্য শক্তি। অতএব, কম্পন শক্তির পদগুলির সংখ্যা একটি রৈখিক অণুর জন্য মোড এবং একটি অরৈখিক অণুর জন্য মোড। ঘূর্ণন এবং কম্পন উভয় মোডই পরিমাপ করা হয়, যার জন্য ন্যূনতম তাপমাত্রা সক্রিয় করা প্রয়োজন। অনেক গ্যাসের জন্য ঘূর্ণন ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সক্রিয় করার জন্য "ঘূর্ণন তাপমাত্রা" 100 কেলভিন-এর কম। N2 এবং O2-এর জন্য, এটি 3 কেলভিন-এর কম। যথেষ্ট কম্পনের জন্য প্রয়োজনীয় "কম্পনশীল তাপমাত্রা" হল 103 কেলভিন থেকে 104 কেলভিন, N2-এর জন্য 3521 কেলভিন এবং O2-এর জন্য 2156 কেলভিন। সাধারণ বায়ুমণ্ডলীয় তাপমাত্রা এন2 এবং ও2-এ কম্পন সক্রিয় করার জন্য যথেষ্ট বেশি নয়, যা বায়ুমণ্ডলের বেশিরভাগ অংশ নিয়ে গঠিত। (পরবর্তী চিত্রটি দেখুন।) যাইহোক, অনেক কম প্রাচুর্যযুক্ত গ্রিনহাউস গ্যাসগুলি পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে ইনফ্রারেড শোষণ করে ট্রপোস্ফিয়ারকে উষ্ণ রাখে, যা তাদের কম্পনশীল মোডগুলিকে উত্তেজিত করে। এই শক্তির বেশিরভাগই "গ্রিনহাউস প্রভাব"-এর মাধ্যমে ইনফ্রারেডের পৃষ্ঠে পুনরায় বিকিরণ করা হয়। যেহেতু ঘরের তাপমাত্রা (≈ 298 কেলভিন) সাধারণ ঘূর্ণন তাপমাত্রার উপরে থাকে কিন্তু সাধারণ কম্পন তাপমাত্রার চেয়ে কম হয়, তাই শুধুমাত্র ট্রান্সলেশনাল এবং ঘূর্ণন ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সমান পরিমাণে তাপ ক্ষমতার অনুপাতে অবদান রাখে। এই কারণেই ঘরের তাপমাত্রায় মনোটোমিক গ্যাসের জন্য ≈ এবং ডায়টোমিক গ্যাসের জন্য ≈। যেহেতু বায়ু ডায়াটমিক গ্যাস দ্বারা প্রভাবিত (নাইট্রোজেন এবং অক্সিজেন প্রায় 99 শতাংশ অবদান রাখে), তাই এর মোলার অভ্যন্তরীণ শক্তি = (5/2) এর কাছাকাছি, যা ডায়াটমিক গ্যাস দ্বারা প্রদর্শিত 5 ডিগ্রি স্বাধীনতা দ্বারা নির্ধারিত হয়। ডানদিকে গ্রাফটি দেখুন। 140 কে <380 কে-এর জন্য, সিভি (5/2) ডি থেকে 1 শতাংশেরও কম দ্বারা পৃথক হয়। শুধুমাত্র ট্রপোস্ফিয়ার এবং স্ট্র্যাটোস্ফিয়ারের তাপমাত্রার উপরে তাপমাত্রায় কিছু অণুর এন2 এবং ও2-এর কম্পনশীল মোড সক্রিয় করার জন্য পর্যাপ্ত শক্তি থাকে। তাপমাত্রা টি = 400 কেলভিন-এর উপরে বাড়লে স্থির আয়তনে নির্দিষ্ট তাপ, সিভি, ধীরে ধীরে (7/2)-এর দিকে বৃদ্ধি পায়, যেখানে সিভি হল (5/2) ডি = 717.5 জে/(কে কেজি)-এর উপরে 1.3%। একটি অবস্থান নির্দিষ্ট করার জন্য ন্যূনতম স্থানাঙ্কের সংখ্যা গণনা করা একটি অবস্থান নির্দিষ্ট করার জন্য প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্কের ন্যূনতম সংখ্যা ব্যবহার করে স্বাধীনতার মাত্রাও গণনা করা যেতে পারে। এটি নিম্নরূপ করা হয়ঃ একটি একক কণার জন্য আমাদের 2-ডি সমতলে তার অবস্থান নির্দিষ্ট করার জন্য 2টি স্থানাঙ্ক এবং 3-ডি স্থানে 3টি স্থানাঙ্ক প্রয়োজন। সুতরাং একটি 3-ডি স্পেসে এর স্বাধীনতার মাত্রা হল 3। 2টি কণা নিয়ে গঠিত একটি বস্তুর জন্য (উদা. একটি দ্বিপরমাণবিক অণু) একটি 3-ডি স্থানে তাদের মধ্যে ধ্রুবক দূরত্ব সহ (ধরা যাক ঘ) আমরা (নীচে) তার স্বাধীনতার মাত্রা 5 দেখাতে পারি। ধরা যাক এই বস্তুর একটি কণার স্থানাঙ্ক রয়েছে এবং অন্যটির অজানা কণার স্থানাঙ্ক রয়েছে। দুটি স্থানাঙ্কের মধ্যে দূরত্বের জন্য সূত্রটির প্রয়োগের ফলে একটি অজানা সমীকরণের ফলাফল পাওয়া যায়, যার জন্য আমরা সমাধান করতে পারি। এর মধ্যে একটি,,,, বা অজানা হতে পারে। ধ্রুপদী সম বিভাজন উপপাদ্যের বিপরীতে, কক্ষ তাপমাত্রায়, অণুগুলির কম্পনমূলক গতি সাধারণত তাপ ক্ষমতাতে নগণ্য অবদান রাখে। এর কারণ হল স্বাধীনতার এই মাত্রাগুলি হিমায়িত হয় কারণ শক্তির আইগেনভ্যালুগুলির মধ্যে ব্যবধান পরিবেষ্টিত তাপমাত্রার () সাপেক্ষে শক্তির চেয়ে বেশি হয়। ইন্ডিপেন্ডেন্ট ডিগ্রি অফ ফ্রিডম একটি সিস্টেমের ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সেট স্বাধীন হয় যদি সেটের সাথে সম্পর্কিত শক্তি নিম্নলিখিত আকারে লেখা যায়ঃ যেখানে একমাত্র চলকের একটি ফাংশন। উদাহরণস্বরূপঃ যদি এবং দুটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম হয়, এবং এটি সম্পর্কিত শক্তিঃ যদি, তবে দুটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম স্বাধীন। যদি, তাহলে স্বাধীনতার দুটি মাত্রা স্বাধীন নয়। এবং এর গুণফলের সাথে জড়িত শব্দটি একটি সংযুক্তি শব্দ যা স্বাধীনতার দুটি মাত্রার মধ্যে মিথস্ক্রিয়া বর্ণনা করে। 1 থেকে, স্বাধীনতার তম ডিগ্রির মান বোল্টজম্যান ডিস্ট্রিবিউশন অনুসারে বিতরণ করা হয়। এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি নিম্নরূপঃ, এই বিভাগে এবং নিবন্ধ জুড়ে বন্ধনীগুলি তাদের আবদ্ধ পরিমাণের গড় নির্দেশ করে। সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তি হল স্বাধীনতার প্রতিটি ডিগ্রির সাথে যুক্ত গড় শক্তির সমষ্টিঃ স্বাধীনতার চতুর্ভুজ ডিগ্রি একটি ডিগ্রি দ্বিঘাত হয় যদি স্বাধীনতার এই ডিগ্রির সাথে যুক্ত শক্তির পদগুলিকে এইভাবে লেখা যায়, যেখানে স্বাধীনতার অন্যান্য দ্বিঘাত ডিগ্রির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। উদাহরণস্বরূপঃ যদি এবং দুটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম হয়, এবং এটি সম্পর্কিত শক্তিঃ যদি, তবে দুটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম স্বাধীন এবং অ-চতুর্ভুজ নয়। যদি, তবে স্বাধীনতার দুটি মাত্রা স্বাধীন এবং অ-চতুর্ভুজ। যদি, তাহলে স্বাধীনতার দুটি মাত্রা স্বাধীন নয় বরং দ্বিঘাত। যদি, তাহলে স্বাধীনতার দুটি মাত্রা স্বাধীন এবং দ্বিঘাত। উদাহরণস্বরূপ, নিউটনীয় বলবিজ্ঞানে, দ্বিঘাত মাত্রার স্বাধীনতা ব্যবস্থার গতিবিদ্যা ধ্রুবক সহগ সহ সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সেট দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। চতুর্ভুজ এবং স্বাধীন ডিগ্রি অফ ফ্রিডম হল দ্বিঘাত এবং স্বাধীন ডিগ্রি অফ ফ্রিডম, যদি তারা যে সিস্টেমের প্রতিনিধিত্ব করে তার একটি মাইক্রোস্টেটের সাথে সম্পর্কিত শক্তিকে এইভাবে লেখা যায়ঃ সমীকরণ উপপাদ্য পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানের শাস্ত্রীয় সীমাতে, তাপগতিবিদ্যার ভারসাম্যে, দ্বিঘাত এবং স্বাধীন ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের একটি সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তি হলঃ এখানে, ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে সম্পর্কিত গড় শক্তি হলঃ যেহেতু ডিগ্রি অফ ফ্রিডম স্বাধীন, তাই সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তি প্রতিটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে সম্পর্কিত গড় শক্তির যোগফলের সমান, যা ফলাফল প্রদর্শন করে। সাধারণীকরণ একটি সিস্টেমের অবস্থার বর্ণনা তার পর্যায় স্থানের একটি বিন্দু হিসাবে, যদিও গাণিতিকভাবে সুবিধাজনক, মৌলিকভাবে ভুল বলে মনে করা হয়। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, গতির ডিগ্রি অফ ফ্রিডম তরঙ্গ ফাংশনের ধারণার সাথে প্রতিস্থাপিত হয় এবং অন্যান্য ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ অপারেটরদের পৃথক বর্ণালী থাকে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ইলেক্ট্রন বা ফোটনের জন্য অভ্যন্তরীণ কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের (যা ঘূর্ণন স্বাধীনতার সাথে মিলে যায়) মাত্র দুটি আইগেনভ্যালু থাকে। এই অসঙ্গতি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যখন ক্রিয়ার প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবকের মাত্রার ক্রম থাকে এবং স্বতন্ত্র মাত্রার স্বাধীনতা আলাদা করা যায়। তথ্যসূত্র ভৌত পরিমাণ