Pompeiu derivative
গাণিতিক বিশ্লেষণে, পম্পেইউ ডেরিভেটিভ হল একটি বাস্তব চলকের একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন যা সর্বত্র ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং যা একটি ঘন সেটের মধ্যে অদৃশ্য হয়ে যায়। বিশেষত, একটি পম্পেইউ ব্যুৎপত্তি প্রতিটি বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন যেখানে এটি 0 নয়। অ-অভিন্নভাবে শূন্য এই ধরনের ফাংশন বিদ্যমান থাকতে পারে কিনা তা 1900-এর দশকের গোড়ার দিকে কার্যকরী পার্থক্য এবং সংহতকরণের উপর গবেষণার প্রেক্ষাপটে উদ্ভূত একটি সমস্যা ছিল। একটি স্পষ্ট উদাহরণ তৈরি করে দিমিত্রি পম্পেইউ এই প্রশ্নের ইতিবাচক উত্তর দিয়েছিলেন; তাই এই ফাংশনগুলি তাঁর নামে নামকরণ করা হয়েছে। পম্পেইউর নির্মাণ এখানে বর্ণনা করা হয়েছে। প্রকৃত সংখ্যার প্রকৃত ঘনমূল নির্দেশ করা যাক। ধরা যাক একক ব্যবধানের মূলদ সংখ্যার একটি গণনা। এর সঙ্গে ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা ধরা যাক। দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন প্রতিটি ইন-এর জন্য, সিরিজের প্রতিটি পদ পরম মানের চেয়ে কম বা সমান, তাই সিরিজটি সমানভাবে ওয়েয়ারস্ট্রাস-টেস্ট দ্বারা একটি অবিচ্ছিন্ন, কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশনে একত্রিত হয়। উপরন্তু, এটি প্রমাণিত হয় যে ফাংশনটি ডিফারেনশিয়েবল, প্রতিটি বিন্দুতে যেখানে যোগফল সসীম; এছাড়াও, অন্যান্য সমস্ত বিন্দুতে, বিশেষ করে, প্রতিটি বিন্দুতে, একটি করে থাকে। যেহেতু এর চিত্রটি পছন্দ করা পর্যন্ত বাম প্রান্তবিন্দু সহ একটি বদ্ধ আবদ্ধ ব্যবধান, তাই আমরা ধরে নিতে পারি এবং একটি গুণক ফ্যাক্টরের পছন্দ পর্যন্ত আমরা ধরে নিতে পারি যে ব্যবধানটি নিজের উপর ম্যাপ করে। যেহেতু এটি কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে তাই এটি ইনজেকটিভ, এবং তাই একটি সমরূপতা; এবং বিপরীত ফাংশনের পৃথকীকরণের উপপাদ্য অনুসারে, এর বিপরীতটির প্রতিটি বিন্দুতে একটি সীমাবদ্ধ অন্তরজ রয়েছে, যা কমপক্ষে বিন্দুগুলিতে অদৃশ্য হয়ে যায়। বৈশিষ্ট্য এটি জানা যায় যে, যে কোনও সর্বত্র ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের (এবং আরও সাধারণভাবে, যে কোনও বেয়ার ক্লাস ওয়ান ফাংশনের) একটি ডেরিভেটিভের শূন্য-সেট হল বাস্তব রেখার একটি উপসেট। সংজ্ঞা অনুসারে, যে কোনও পম্পেইউ ফাংশনের জন্য, এই সেটটি একটি ঘন সেট; তাই এটি একটি অবশিষ্ট সেট। বিশেষ করে, এর অগণিত অনেক পয়েন্ট রয়েছে। পম্পেইউ ফাংশনের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ একটি অন্তরজ, এবং সেটের উপর অদৃশ্য হয়ে যায়, যা বেয়ার বিভাগ উপপাদ্য দ্বারা একটি ঘন সেট। এইভাবে, পম্পেইউ ফাংশনগুলি ফাংশনের একটি ভেক্টর স্থান গঠন করে। পম্পেইউ ব্যুৎপত্তিগুলির একটি অভিন্ন অভিসারী অনুক্রমের একটি সীমা ফাংশন হল পম্পেইউ ব্যুৎপত্তি। প্রকৃতপক্ষে, এটি একটি ডেরিভেটিভ, ডেরিভেটিভ চিহ্নের অধীনে সীমার উপপাদ্যের কারণে। উপরন্তু, এটি অনুক্রমের ফাংশনের শূন্য সেটগুলির ছেদস্থলে অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ যেহেতু এগুলি ঘন সেট, তাই সীমা ফাংশনের শূন্য সেটটিও ঘন। ফলস্বরূপ, একটি বিরতিতে সমস্ত আবদ্ধ পম্পেইউ ডেরিভেটিভের শ্রেণী হল অভিন্ন দূরত্বের অধীনে সমস্ত সীমাবদ্ধ ফাংশনের বানাচ স্থানের একটি বদ্ধ রৈখিক সাবস্পেস (তাই এটি একটি বানাচ স্থান)। পম্পেইউ-এর একটি ধনাত্মক ফাংশনের উপরের গঠনটি পম্পেইউ-এর ফাংশনের একটি অদ্ভুত উদাহরণ-ওয়েইলের একটি উপপাদ্য বলে যে সাধারণভাবে একটি পম্পেইউ ডেরিভেটিভ ঘন সেটগুলিতে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মানই ধরে নেয়, সুনির্দিষ্ট অর্থে যে এই ধরনের ফাংশনগুলি বানাচ স্থানের একটি অবশিষ্ট সেট গঠন করে। রেফারেন্স অ্যান্ড্রু এম ব্রুকনার, "বাস্তব ফাংশনের পার্থক্য"; সিআরএম মনোগ্রাফ সিরিজ, মন্ট্রিল (1994)। প্রকৃত বিশ্লেষণ