Functional renormalization group
তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে, কার্যকরী পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠী (এফ. আর. জি) হল পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠী (আর. জি) ধারণার একটি বাস্তবায়ন যা কোয়ান্টাম এবং পরিসংখ্যানগত ক্ষেত্র তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়, বিশেষত যখন দৃঢ়ভাবে মিথস্ক্রিয়াশীল সিস্টেমগুলির সাথে মোকাবিলা করা হয়। পদ্ধতিটি কেনেথ জি উইলসনের স্বজ্ঞাত পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠী ধারণার সাথে কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের কার্যকরী পদ্ধতিগুলিকে একত্রিত করে। এই কৌশলটি পরিচিত মাইক্রোস্কোপিক আইন এবং ভৌত ব্যবস্থায় জটিল ম্যাক্রোস্কোপিক ঘটনাগুলির মধ্যে মসৃণভাবে ইন্টারপোলেট করার অনুমতি দেয়। এই অর্থে, এটি মাইক্রোফিজিক্সের সরলতা থেকে ম্যাক্রোফিজিক্সের জটিলতায় রূপান্তরকে সেতুবন্ধন করে। রূপকভাবে বলতে গেলে, এফআরজি একটি পরিবর্তনশীল রেজোলিউশন সহ একটি অণুবীক্ষণ যন্ত্র হিসাবে কাজ করে। একটি পরিচিত মাইক্রোফিজিক্যাল আইনগুলির একটি উচ্চ-রেজোলিউশনের ছবি দিয়ে শুরু হয় এবং পরবর্তীকালে ম্যাক্রোস্কোপিক সমষ্টিগত ঘটনার একটি মোটা-দানাদার ছবি পাওয়ার জন্য রেজোলিউশনটি হ্রাস করে। পদ্ধতিটি ননপারটার্ভেটিভ, যার অর্থ এটি একটি ছোট কাপলিং কনস্ট্যান্টের সম্প্রসারণের উপর নির্ভর করে না। গাণিতিকভাবে, এফ. আর. জি একটি স্কেল-নির্ভর কার্যকরী ক্রিয়ার জন্য একটি সঠিক কার্যকরী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উপর ভিত্তি করে তৈরি। কার্যকরী ক্রিয়ার জন্য প্রবাহ সমীকরণ কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, কার্যকরী ক্রিয়া হল শাস্ত্রীয় ক্রিয়া কার্যকারিতার একটি অনুরূপ এবং একটি প্রদত্ত তত্ত্বের ক্ষেত্রের উপর নির্ভর করে। এর মধ্যে সমস্ত কোয়ান্টাম এবং তাপীয় ওঠানামা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। উৎপাদনের তারতম্য সঠিক কোয়ান্টাম ক্ষেত্রের সমীকরণ, উদাহরণস্বরূপ মহাজাগতিক বা অতিপরিবাহীর তড়িৎগতিবিদ্যার জন্য। গাণিতিকভাবে, এক-কণা অপরিবর্তনীয় ফাইনম্যান চিত্রের উৎপাদন কার্যকরী। আকর্ষণীয় পদার্থবিজ্ঞান, প্রচারকারী এবং মিথস্ক্রিয়ার জন্য কার্যকর সংযোগ হিসাবে, সরাসরি এটি থেকে বের করা যেতে পারে। একটি সাধারণ আন্তঃক্রিয়াশীল ক্ষেত্র তত্ত্বে অবশ্য কার্যকর ক্রিয়া অর্জন করা কঠিন। এফআরজি পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠী ধারণাটি ব্যবহার করে গণনা করার জন্য একটি ব্যবহারিক সরঞ্জাম সরবরাহ করে। এফ. আর. জি-র কেন্দ্রীয় বস্তু হল একটি স্কেল-নির্ভর কার্যকরী ক্রিয়া যা প্রায়শই গড় ক্রিয়া বা প্রবাহিত ক্রিয়া নামে পরিচিত। আরজি স্লাইডিং স্কেলের উপর নির্ভরতা সম্পূর্ণ বিপরীত প্রবক্তিতে একটি নিয়ন্ত্রক (ইনফ্রারেড কাটঅফ) যোগ করে চালু করা হয়। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, নিয়ন্ত্রক একটি বড় ভর দিয়ে মোমেন্টা দিয়ে ধীর মোডগুলিকে বিচ্ছিন্ন করে দেয়, যখন উচ্চ গতিবেগ মোডগুলি প্রভাবিত হয় না। সুতরাং, মোমেন্টা সহ সমস্ত কোয়ান্টাম এবং পরিসংখ্যানগত ওঠানামা অন্তর্ভুক্ত করে। প্রবাহিত ক্রিয়াটি 1993 সালে ক্রিস্টফ ওয়েটেরিচ এবং টিম আর মরিস দ্বারা প্রাপ্ত সঠিক কার্যকরী প্রবাহ সমীকরণ মেনে চলে। এখানে ক্ষেত্রগুলির নির্দিষ্ট মানগুলিতে আরজি স্কেলের সাপেক্ষে একটি ডেরিভেটিভ বোঝানো হয়েছে। উপরন্তু, সমীকরণের টেনসর কাঠামোর কারণে যথাক্রমে বাম-দিক এবং ডান-দিক থেকে এর কার্যকরী অন্তরজকে বোঝায়। এই বৈশিষ্ট্যটি প্রায়শই কার্যকর ক্রিয়ার দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তি দ্বারা সরলীকৃত দেখানো হয়। এর জন্য কার্যকরী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি অবশ্যই প্রাথমিক অবস্থার সাথে পরিপূরক হতে হবে, যেখানে "শাস্ত্রীয় ক্রিয়া" অণুবীক্ষণিক অতিবেগুনী স্কেলে পদার্থবিজ্ঞানকে বর্ণনা করে। গুরুত্বপূর্ণভাবে, ইনফ্রারেড সীমার মধ্যে সম্পূর্ণ কার্যকর পদক্ষেপ পাওয়া যায়। ওয়েটেরিচ সমীকরণে একটি সুপারট্রেস বোঝানো হয়েছে যা মোমেন্টা, ফ্রিকোয়েন্সি, অভ্যন্তরীণ সূচক এবং ক্ষেত্রের (একটি যোগ সহ বোসন এবং একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ ফার্মিয়ন গ্রহণ করে) সমষ্টি। সঠিক প্রবাহ সমীকরণের একটি এক-লুপ কাঠামো রয়েছে। বিশৃঙ্খলা তত্ত্বের তুলনায় এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সরলীকরণ, যেখানে মাল্টি-লুপ রেখাচিত্র অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত করতে হবে। দ্বিতীয় কার্যকরী অন্তরজ হল নিয়ন্ত্রকের উপস্থিতি দ্বারা পরিবর্তিত পূর্ণ বিপরীত ক্ষেত্র প্রচারক। এর পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠীর বিবর্তন তত্ত্বের ক্ষেত্রে চিত্রিত করা যেতে পারে, যা সমস্যার প্রতিসাম্য দ্বারা অনুমোদিত সমস্ত সম্ভাব্য চলমান সংযোগের একটি বহুমাত্রিক স্থান। চিত্রটিতে পরিকল্পিতভাবে যেমন দেখানো হয়েছে, মাইক্রোস্কোপিক অতিবেগুনী স্কেলে প্রাথমিক অবস্থা দিয়ে শুরু হয়। স্লাইডিং স্কেলটি হ্রাস করার সাথে সাথে কার্যকরী প্রবাহ সমীকরণ অনুসারে তত্ত্বের স্থানে প্রবাহিত ক্রিয়াটি বিকশিত হয়। নিয়ন্ত্রকের পছন্দ অনন্য নয়, যা পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠী প্রবাহে কিছু পরিকল্পনার নির্ভরতা প্রবর্তন করে। এই কারণে, নিয়ন্ত্রকের বিভিন্ন পছন্দগুলি চিত্রের বিভিন্ন পথের সাথে মিলে যায়। ইনফ্রারেড স্কেলে, তবে, কাট-অফের প্রতিটি পছন্দের জন্য সম্পূর্ণ কার্যকর ক্রিয়া পুনরুদ্ধার করা হয় এবং সমস্ত গতিপথ তত্ত্ব স্থানের একই বিন্দুতে মিলিত হয়। আগ্রহের বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ওয়েটেরিচ সমীকরণটি কেবল আনুমানিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে। সাধারণত কিছু ধরনের সম্প্রসারণ সঞ্চালিত হয়, যা তারপর সসীম ক্রমে কাটা হয় যা সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সসীম ব্যবস্থার দিকে পরিচালিত করে। বিভিন্ন পদ্ধতিগত সম্প্রসারণ পরিকল্পনা (যেমন ব্যুৎপত্তিগত সম্প্রসারণ, শীর্ষ সম্প্রসারণ ইত্যাদি) উন্নয়ন করা হয়েছে। উপযুক্ত পরিকল্পনার পছন্দটি শারীরিকভাবে অনুপ্রাণিত হওয়া উচিত এবং একটি প্রদত্ত সমস্যার উপর নির্ভর করে। সম্প্রসারণগুলি অগত্যা একটি ছোট পরামিতি (যেমন একটি মিথস্ক্রিয়া সংযুক্তি ধ্রুবক) জড়িত করে না এবং তাই এগুলি সাধারণভাবে অ-বিক্ষিপ্ত প্রকৃতির। তবে লক্ষ্য করুন যে, (প্রিফ্যাক্টর-) নিয়মাবলী এবং কার্যকর ক্রিয়ার সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা সম্পর্কিত একাধিক পছন্দের কারণে, সাহিত্যে ওয়েটেরিচ সমীকরণের অন্যান্য (সমতুল্য) সংস্করণ খুঁজে পাওয়া যায়। কার্যকরী পুনর্নবীকরণের দিকগুলি ওয়েটেরিচ প্রবাহ সমীকরণ একটি সঠিক সমীকরণ। যাইহোক, বাস্তবে, কার্যকরী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি অবশ্যই কাটা উচিত, অর্থাৎ। এটি অবশ্যই কয়েকটি চলকের ফাংশনে বা এমনকি কিছু সীমাবদ্ধ-মাত্রিক উপ-তত্ত্বের জায়গায় অভিক্ষিপ্ত হতে হবে। প্রতিটি অ-বিক্ষিপ্ত পদ্ধতির মতো, কার্যকরী পুনর্বিন্যাসে ত্রুটি অনুমানের প্রশ্নটি তুচ্ছ নয়। এফ. আর. জি-তে ত্রুটি অনুমান করার একটি উপায় হল ধারাবাহিক ধাপে ছাঁটাইয়ের উন্নতি করা, অর্থাৎ। আরও বেশি করে চলমান সংযোগগুলি অন্তর্ভুক্ত করে উপ-তত্ত্বের স্থানকে প্রসারিত করা। বিভিন্ন ছাঁটাইয়ের জন্য প্রবাহের পার্থক্য ত্রুটির একটি ভাল অনুমান দেয়। বিকল্পভাবে, একটি প্রদত্ত (স্থির) ছাঁটাইয়ে বিভিন্ন নিয়ন্ত্রক ফাংশন ব্যবহার করা যেতে পারে এবং সংশ্লিষ্ট নিয়ন্ত্রক পছন্দগুলির জন্য ইনফ্রারেডে আরজি প্রবাহের পার্থক্য নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি বোসোনাইজেশন ব্যবহার করা হয়, তবে বিভিন্ন বোসোনাইজেশন পদ্ধতির ক্ষেত্রে চূড়ান্ত ফলাফলের অসংবেদনশীলতা পরীক্ষা করা যেতে পারে। এফআরজিতে, সমস্ত আরজি পদ্ধতির মতো, আরজি প্রবাহের টপোলজি থেকে একটি ভৌত ব্যবস্থা সম্পর্কে প্রচুর অন্তর্দৃষ্টি পাওয়া যায়। বিশেষত, পুনর্বিন্যাস গোষ্ঠী বিবর্তনের নির্দিষ্ট বিন্দুগুলির সনাক্তকরণ অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। স্থির বিন্দুর কাছাকাছি চলমান সংযোগগুলির প্রবাহ কার্যকরভাবে বন্ধ হয়ে যায় এবং আরজি-ফাংশনগুলি শূন্যের কাছাকাছি চলে যায়। (আংশিকভাবে) স্থিতিশীল ইনফ্রারেড স্থির বিন্দুর উপস্থিতি সর্বজনীনতার ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত। সর্বজনীনতা এই পর্যবেক্ষণে নিজেকে প্রকাশ করে যে কিছু খুব স্বতন্ত্র ভৌত ব্যবস্থার একই সমালোচনামূলক আচরণ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ভাল নির্ভুলতার জন্য, জলে তরল-গ্যাস পর্যায়ের রূপান্তর এবং চৌম্বকগুলিতে ফেরোম্যাগনেটিক পর্যায়ের রূপান্তরের সমালোচনামূলক সূচকগুলি একই। পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠী ভাষায়, একই সর্বজনীনতা শ্রেণী থেকে বিভিন্ন ব্যবস্থা একই (আংশিক) স্থিতিশীল ইনফ্রারেড স্থির বিন্দুতে প্রবাহিত হয়। এইভাবে ম্যাক্রোফিজিক্স নির্দিষ্ট ভৌত মডেলের মাইক্রোস্কোপিক বিবরণ থেকে স্বাধীন হয়ে ওঠে। বিশৃঙ্খলা তত্ত্বের তুলনায়, কার্যকরী পুনর্নবীকরণ পুনর্নবীকরণযোগ্য এবং অপ্রচলিত সংযোগের মধ্যে একটি কঠোর পার্থক্য করে না। সমস্যার প্রতিসাম্য দ্বারা অনুমোদিত সমস্ত চলমান কাপলিং এফআরজি প্রবাহের সময় তৈরি হয়। যাইহোক, নন-নর্মালাইজেবল কাপলিং ইনফ্রারেডের দিকে বিবর্তনের সময় খুব দ্রুত আংশিক স্থির বিন্দুর কাছে পৌঁছায় এবং এইভাবে প্রবাহটি কার্যকরভাবে পুনর্নবীকরণযোগ্য কাপলিংয়ের সংখ্যা দ্বারা প্রদত্ত মাত্রার একটি হাইপারসার্ফেসে ভেঙে যায়। অ-অস্বাভাবিক সংযোগগুলি বিবেচনায় নিলে অ-সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার অনুমতি দেয় যা মাইক্রোস্কোপিক ক্রিয়ার সুনির্দিষ্ট পছন্দ এবং সীমাবদ্ধ অতিবেগুনী কাটঅফের প্রতি সংবেদনশীল। 1984 সালে জোসেফ পোলচিনস্কি দ্বারা উদ্ভূত পোলচিনস্কি কার্যকরী সমীকরণের কিংবদন্তি রূপান্তর থেকে ওয়েটেরিচ সমীকরণটি পাওয়া যায়। তবে, এফ. আর. জি-তে ব্যবহৃত কার্যকর গড় ক্রিয়ার ধারণাটি পোলচিনস্কি সমীকরণে প্রবাহিত খালি ক্রিয়ার চেয়ে বেশি স্বজ্ঞাত। উপরন্তু, এফ. আর. জি পদ্ধতি ব্যবহারিক গণনার জন্য আরও উপযুক্ত বলে প্রমাণিত হয়েছে। সাধারণত, দৃঢ়ভাবে মিথস্ক্রিয়াশীল ব্যবস্থাগুলির নিম্ন-শক্তি পদার্থবিজ্ঞানকে ম্যাক্রোস্কোপিক ডিগ্রি অফ ফ্রিডম দ্বারা বর্ণনা করা হয় (অর্থাৎ। কণা উত্তেজনা) যা মাইক্রোস্কোপিক উচ্চ-শক্তির স্বাধীনতার মাত্রা থেকে খুব আলাদা। উদাহরণস্বরূপ, কোয়ান্টাম ক্রোমোডাইনামিক্স হল আন্তঃক্রিয়াশীল কোয়ার্ক এবং গ্লুয়নের একটি ক্ষেত্র তত্ত্ব। তবে, কম শক্তিতে, সঠিক মাত্রার স্বাধীনতা হল ব্যারিয়ন এবং মেসন। আরেকটি উদাহরণ হল ঘনীভূত পদার্থবিজ্ঞানে বিইসি/বিসিএস ক্রসওভার সমস্যা। মাইক্রোস্কোপিক তত্ত্বটি দ্বি-উপাদান অ-আপেক্ষিক ফার্মিয়নের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হলেও, কম শক্তিতে একটি যৌগিক (কণা-কণা) ডাইমার অতিরিক্ত মাত্রায় স্বাধীন হয়ে যায় এবং এটিকে মডেলে স্পষ্টভাবে অন্তর্ভুক্ত করার পরামর্শ দেওয়া হয়। আংশিক বোসোনাইজেশন (হাবার্ড-স্ট্র্যাটোনোভিচ রূপান্তর) পদ্ধতির মাধ্যমে বর্ণনায় স্বাধীনতার নিম্ন-শক্তির যৌগিক মাত্রাগুলি প্রবর্তন করা যেতে পারে। যাইহোক, এই রূপান্তরটি ইউভি স্কেলে একবার এবং চিরকালের জন্য করা হয়। এফ. আর. জি-তে ম্যাক্রোস্কোপিক ডিগ্রি অফ ফ্রিডম অন্তর্ভুক্ত করার একটি আরও কার্যকর উপায় চালু করা হয়েছিল, যা ফ্লোয়িং বোসোনাইজেশন বা রিবোসনাইজেশন নামে পরিচিত। স্কেল-নির্ভর ক্ষেত্র রূপান্তরের সাহায্যে, এটি হুবার্ড-স্ট্র্যাটোনোভিচ রূপান্তরকে সমস্ত আরজি স্কেলে অবিচ্ছিন্নভাবে সম্পাদন করার অনুমতি দেয়। উইক-অর্ডারড কার্যকরী মিথস্ক্রিয়ার জন্য কার্যকরী পুনর্নবীকরণ-গোষ্ঠী কার্যকরী ক্রিয়ার জন্য প্রবাহ সমীকরণের বিপরীতে, এই স্কিমটি কার্যকর মিথস্ক্রিয়ার জন্য প্রণয়ন করা হয়েছে যা এন-কণার মিথস্ক্রিয়া শীর্ষগুলি তৈরি করে, খালি প্রচারক দ্বারা কেটে ফেলা হয়; এন-কণার সবুজ ফাংশনের জন্য কার্যকরী "মান" তৈরি করে। গ্রিন ফাংশনের ক্ষেত্রে কার্যকরী মিথস্ক্রিয়ার উইক ক্রম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ফিল্ড স্পেসে ল্যাপলেসিয়ান কোথায়? এই ক্রিয়াটি স্বাভাবিক ক্রমের অনুরূপ এবং সংশ্লিষ্ট সবুজ ফাংশন ডি-এর সাথে উৎস ক্ষেত্রগুলির সংমিশ্রণ দ্বারা গঠিত সমস্ত সম্ভাব্য পদগুলি মিথস্ক্রিয়া থেকে বাদ দেয়। কিছু কাটঅফ প্রবর্তন করে পোলচিনস্কি সমীকরণটি উইক-অর্ডার সমীকরণের রূপ নেয় যেখানে প্রয়োগ পদ্ধতিটি পদার্থবিজ্ঞানের অসংখ্য সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছিল, যেমন। : পরিসংখ্যানগত ক্ষেত্র তত্ত্বে, এফ. আর. জি বিভিন্ন মাত্রায় শাস্ত্রীয় রৈখিক-প্রতিসম স্কেলার তত্ত্বগুলিতে পর্যায় পরিবর্তনের একটি একীভূত চিত্র সরবরাহ করেছে, যার মধ্যে রয়েছে সমালোচনামূলক সূচক এবং বেরেজিনস্কি-কোস্টারলিটজ-থাউলেস ফেজ ট্রানজিশন। গেজ কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, এফআরজি ব্যবহার করা হয়েছিল, উদাহরণস্বরূপ, কিউসিডির কাইরাল ফেজ ট্রানজিশন এবং ইনফ্রারেড বৈশিষ্ট্য এবং এর বড়-স্বাদ সম্প্রসারণগুলি তদন্ত করতে। ঘনীভূত পদার্থবিজ্ঞানে, পদ্ধতিটি জালের মডেলগুলির (যেমন। হাবার্ড মডেল বা হতাশ চুম্বকীয় সিস্টেম), বিকর্ষণকারী বোস গ্যাস, দ্বি-উপাদান ফার্মি গ্যাসের জন্য বিইসি/বিসিএস ক্রসওভার, কন্ডো প্রভাব, বিশৃঙ্খল সিস্টেম এবং ননকুইলিব্রিয়াম ঘটনা। মাধ্যাকর্ষণের ক্ষেত্রে এফ. আর. জি-র প্রয়োগ চারটি স্থান-সময়ের মাত্রায় কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণের অ-বিচ্যুতিমূলক পুনঃঅভিনয়যোগ্যতার পক্ষে যুক্তি সরবরাহ করে, যা অ্যাসিম্পটোটিক সুরক্ষা পরিস্থিতি হিসাবে পরিচিত। গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে এফ. আর. জি বিভিন্ন ক্ষেত্র তত্ত্বের পুনর্নবীকরণযোগ্যতা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়েছিল। আরও দেখুন রেনোর্মালাইজেশন গ্রুপ রেনোর্মালাইজেশন ক্রিটিক্যাল ফেনোমেনন স্কেল ইনভ্যারিয়েন্স অ্যাসিম্পটোটিক সেফটি ইন কোয়ান্টাম গ্রাভিটি রেফারেন্স পেপারস পেডাগজিক রিভিউ স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স রেনোর্মালাইজেশন গ্রুপ স্কেলিং সিমেট্রি ফিক্সড পয়েন্টস (গণিত)