Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative
অবিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন উভয় ক্ষেত্রেই বিভিন্ন সীমানা শর্ত সহ দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরের জন্য স্পষ্ট সূত্র সরবরাহ করা হয়। বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের স্ট্যান্ডার্ড কেন্দ্রীয় পার্থক্য আনুমানিক একটি অভিন্ন গ্রিডে ব্যবহৃত হয়। এই সূত্রগুলি চলকগুলির পৃথকীকরণের ক্ষেত্রে ল্যাপলেসিয়ানের আইগেনফাংশনের জন্য অভিব্যক্তিগুলি বের করতে ব্যবহৃত হয়, পাশাপাশি একটি নিয়মিত গ্রিডে বহুমাত্রিক বিচ্ছিন্ন ল্যাপলেসিয়ানের আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরগুলি খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়, যা এক-মাত্রায় বিচ্ছিন্ন ল্যাপলেসিয়ানদের ক্রোনেকার যোগফল হিসাবে উপস্থাপিত হয়। অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে সূচক জে জেথ আইগেনভ্যালু বা আইগেনভেক্টরকে উপস্থাপন করে এবং 1 থেকে 1 পর্যন্ত চলে। ধরে নেওয়া যাক সমীকরণটি ডোমেনে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, নিম্নলিখিতগুলি হল আইগেনভ্যালু এবং স্বাভাবিক আইগেনভেক্টর। আইগেনভ্যালুগুলি অবরোহী ক্রমে সাজানো হয়। বিশুদ্ধ ডিরিচলেট সীমানা শর্ত বিশুদ্ধ নিউম্যান সীমানা শর্ত পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্ত (অর্থাৎঃ একটি সাধারণ আইগেনভ্যালু এবং আরও সমস্ত আইগেনভ্যালু দ্বারা দেওয়া হয়, প্রতিটি গুণিতক 2 সহ)। মিশ্র ডিরিচলেট-নিউম্যান সীমানা শর্ত মিশ্র নিউম্যান-ডিরিচলেট সীমানা শর্ত পৃথক কেস নোটেশনঃ সূচক জে জেথ আইগেনভ্যালু বা আইগেনভেক্টরকে উপস্থাপন করে। সূচক i একটি আইগেনভেক্টরের ith উপাদানকে উপস্থাপন করে। i এবং j উভয়ই 1 থেকে n পর্যন্ত যায়, যেখানে ম্যাট্রিক্সের আকার n x n। আইগেনভেক্টরগুলি স্বাভাবিক করা হয়। আইগেনভ্যালুগুলি অবরোহী ক্রমে সাজানো হয়। বিশুদ্ধ ডিরিচলেট সীমানা শর্ত বিশুদ্ধ নিউম্যান সীমানা পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্ত (লক্ষ্য করুন যে 0 ব্যতীত আইগেনভ্যালুগুলি পুনরাবৃত্তি করা হয় এবং n জোড় হলে বৃহত্তমটি)। মিশ্র ডিরিচলেট-নিউম্যান সীমানা শর্তাবলী মিশ্র নিউম্যান-ডিরিচলেট সীমানা শর্তাবলী ডিসক্রিট কেস ডিরিচলেট ক্ষেত্রে আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরের উৎপত্তি 1ডি ডিসক্রিট ক্ষেত্রে ডিরিচলেট সীমানা শর্তাবলী সহ, আমরা পুনর্বিন্যাস শর্তাবলী সমাধান করছি, আমরা এখন পেতে পারি। এছাড়াও, ধরে নিই, আমরা যে কোনও শূন্যেতর স্কেলার দ্বারা আইগেনভেক্টরকে স্কেল করতে পারি, যাতে স্কেল করা যায়। তারপর আমরা একটি অনির্দিষ্ট হিসাবে বিবেচনা করে পুনরাবৃত্তি খুঁজে পাই, যেখানে 2য় ধরনের kth চেবিশেভ বহুপদী রয়েছে। যেহেতু, আমরা তা পাই। এটা স্পষ্ট যে আমাদের সমস্যার আইগেনভ্যালু হবে দ্বিতীয় ধরনের nতম চেবিশেভ পলিনোমিয়ালের শূন্য, এই সম্পর্কের সাথে। এই শূন্যগুলি সুপরিচিত এবং এগুলি হলঃ এগুলিকে সূত্রের সাথে যুক্ত করা, এবং সহজ করার জন্য একটি ট্রিগ সূত্র ব্যবহার করে, আমরা নিউম্যান কেস খুঁজে পাই নিউম্যান ক্ষেত্রে, আমরা সমাধান করছি স্ট্যান্ডার্ড ডিসক্রিটাইজেশনে, আমরা প্রবর্তন করি এবং সংজ্ঞায়িত করি সীমানা শর্তগুলি তখন সমতুল্য হয় যদি আমরা চলকগুলির পরিবর্তন করি, আমরা নিম্নলিখিতগুলি অর্জন করতে পারিঃ সীমানা শর্ত সহ। এটি অভ্যন্তরীণ গ্রিড পয়েন্ট এবং গ্রিড ব্যবধান সহ সুনির্দিষ্টভাবে ডিরিচলেট সূত্র। আমরা উপরে যা দেখেছি তার অনুরূপ, ধরে নিই, আমরা পাই এটি আমাদের আইগেনভ্যালু দেয় এবং আছে। যদি আমরা এই ধারণাটি বাদ দিই যে, আমরা এর সাথে একটি সমাধানও খুঁজে পাই এবং এটি আইগেনভ্যালুয়ের সাথে মিলে যায়। উপরের সূত্রে সূচকগুলিকে পুনরায় লেবেল করা এবং শূন্য আইগেনভ্যালু সহ একত্রিত করে, আমরা পাই, ডিরিচলেট-নিউম্যান কেস ডিরিচলেট-নিউম্যান কেসের জন্য, আমরা সমাধান করছি, যেখানে আমাদের সহায়ক ভেরিয়েবলগুলি প্রবর্তন করতে হবে পুনরাবৃত্তি বিবেচনা করুন। এছাড়াও, আমরা জানি এবং ধরে নিই, আমরা স্কেল করতে পারি যাতে আমরা লিখতেও পারি এই তিনটি সমীকরণের সঠিক সংমিশ্রণ নিয়ে, আমরা পেতে পারি এবং এইভাবে আমাদের নতুন পুনরাবৃত্তি আমাদের আইগেনভ্যালু সমস্যার সমাধান করবে যখন সমাধান করার জন্য আমরা পাই আমাদের নতুন পুনরাবৃত্তি দেয় যেখানে আবার 2য় ধরনের kth চেবিশেভ বহুপদী। এবং আমাদের নিউম্যান সীমানা শর্তের সাথে মিলিত হয়ে, আমাদের একটি সুপরিচিত সূত্র রয়েছে যা প্রথম ধরনের চেবিশেভ বহুপদগুলিকে দ্বিতীয় ধরনের বহুপদের সাথে সম্পর্কিত করে। (এন + 1) তম মানটি আমাদের আইগেনভেক্টর হিসাবে শূন্য ভেক্টর দেয় যার আইগেনভ্যালু 0, যা তুচ্ছ। মূল পুনরাবৃত্তিতে ফিরে এসে এটি দেখা যায়। সুতরাং আমরা এই মানগুলির মধ্যে শুধুমাত্র প্রথম n কে ডিরিচলেট-নিউম্যান সমস্যার n আইগেনভ্যালু হিসাবে বিবেচনা করি। রেফারেন্স অপারেটর তত্ত্ব ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব সংখ্যাসূচক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সীমাবদ্ধ পার্থক্য