Scallop theorem
পদার্থবিজ্ঞানে, স্ক্যালপ উপপাদ্য বলে যে একজন সাঁতারু যিনি পারস্পরিক গতি সম্পাদন করেন তিনি নিম্ন-রেনল্ড সংখ্যা নিউটনিয়ান তরল পরিবেশে মোট স্থানচ্যুতি অর্জন করতে পারবেন না, অর্থাৎ। একটি তরল যা অত্যন্ত সান্দ্র। এই ধরনের সাঁতারু ক্রমানুসারে গতির মাধ্যমে তার শরীরকে একটি নির্দিষ্ট আকারে বিকৃত করে এবং তারপর বিপরীত ক্রমানুসারে গিয়ে মূল আকারে ফিরে আসে। সাঁতারু কত দ্রুত বা ধীর গতিতে ক্রমটি সম্পাদন করে তা বিবেচ্য নয়। কম রেনল্ডস সংখ্যায়, সময় বা জড়তা কাজে আসে না এবং সাঁতারের গতি বিশুদ্ধভাবে সাঁতারু যে আকার ধারণ করে তার ক্রম দ্বারা নির্ধারিত হয়। এডওয়ার্ড মিলস পার্সেল তাঁর 1977 সালের গবেষণাপত্রে লাইফ অ্যাট লো রেনল্ডস নাম্বারে এই উপপাদ্যটি উল্লেখ করেছেন যা জলজ গতিশীলতার ভৌত নীতিগুলি ব্যাখ্যা করে। উপপাদ্যটি একটি স্ক্যালপের গতির জন্য নামকরণ করা হয়েছে যা একটি সময়ের মধ্যে একটি সাধারণ কব্জি খোলে এবং বন্ধ করে দেয়। এই ধরনের গতি কম রেনল্ডস সংখ্যায় স্থানান্তর তৈরি করার জন্য যথেষ্ট নয়। স্ক্যালপ এমন একটি বস্তুর উদাহরণ যার গতির জন্য এক ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে। একক মাত্রার স্বাধীনতা সহ দেহগুলি পারস্পরিক পদ্ধতিতে বিকৃত হয় এবং পরবর্তীকালে, এক মাত্রার স্বাধীনতা সহ দেহগুলি অত্যন্ত সান্দ্র পরিবেশে গতি অর্জন করে না। পটভূমি স্ক্যালপ উপপাদ্যটি পার্শ্ববর্তী তরল থেকে সাঁতার কাটার সময় জীবের উপর প্রয়োগ করা পরবর্তী শক্তির একটি পরিণতি। ঘনত্ব এবং গতিশীল সান্দ্রতা সহ একটি অসংকুচিত নিউটনীয় তরলের জন্য, প্রবাহটি নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণকে সন্তুষ্ট করেঃ, যেখানে তরলের বেগ নির্দেশ করে। যাইহোক, নিম্ন রেনল্ডস সংখ্যা সীমাতে, বাম দিকের নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের জড় পদগুলি শূন্যের দিকে থাকে। নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলিকে অ-মাত্রিককরণের মাধ্যমে এটি আরও স্পষ্ট করা হয়েছে। একটি বৈশিষ্ট্যগত বেগ এবং দৈর্ঘ্য সংজ্ঞায়িত করে, এবং, আমরা আমাদের চলকগুলিকে মাত্রাহীন আকারে নিক্ষেপ করতে পারিঃ যেখানে উল্লেখযোগ্য সান্দ্র প্রভাব সহ প্রবাহের জন্য মাত্রাবিহীন চাপ যথাযথভাবে পরিমাপ করা হয়। এই পরিমাণগুলিকে নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণে যুক্ত করলে পাওয়া যায়ঃ এবং পদগুলি পুনর্বিন্যাস করে আমরা একটি মাত্রাবিহীন আকারে পৌঁছাইঃ, রেনল্ডস সংখ্যাটি কোথায়। নিম্ন রেনল্ডস সংখ্যা সীমাতে (এ. এস), এল. এইচ. এস শূন্যের দিকে থাকে এবং আমরা স্টোকস সমীকরণের একটি মাত্রাবিহীন আকারে পৌঁছাই। উৎপাদনের পুনর্বিন্যাসঃ বিবৃতি কম রেনল্ডস সংখ্যায় কোনও জড়তা শর্ত না থাকার পরিণতিগুলি হলঃ একটি পরিণতির অর্থ হল যে সাঁতারু কার্যত কোনও নেট বল বা টর্ক অনুভব করে না। একটি দ্বিতীয় পরিণতি আমাদের বলে যে বেগ বলের রৈখিকভাবে আনুপাতিক (কৌণিক বেগ এবং টর্ক সম্পর্কেও একই কথা বলা যেতে পারে)। স্টোকসের সমীকরণগুলি রৈখিক এবং সময়ের উপর নির্ভরশীল নয়। বিশেষত, একজন সাঁতারু নিম্ন রেনল্ডস সংখ্যা ব্যবস্থায় চললে, তার গতি সন্তুষ্ট হয়ঃ সময়ের উপর নির্ভর করেঃ একই গতি গতি বাড়ানো বা ধীর করা যেতে পারে, এবং এটি এখনও স্টোকস সমীকরণকে সন্তুষ্ট করবে। আরও জ্যামিতিকভাবে, এর অর্থ হল যে নিম্ন রেনল্ডস সংখ্যা ব্যবস্থায় একজন সাঁতারুর গতি সম্পূর্ণরূপে কনফিগারেশন স্পেসে তার গতিপথের আকার দ্বারা নির্ধারিত হয়। কাইনেমেটিক রিভার্সিবিলিটিঃ একই গতি বিপরীত হতে পারে। বস্তুর উপর কাজ করা শক্তির যে কোনও তাৎক্ষণিক বিপরীতকরণ তার চারপাশে তরল প্রবাহের প্রকৃতি পরিবর্তন করবে না, কেবল প্রবাহের দিক পরিবর্তন করবে। এই শক্তিগুলি গতি উৎপাদনের জন্য দায়ী। যখন কোনও বস্তুর মাত্র এক মাত্রার স্বাধীনতা থাকে, তখন শক্তির বিপরীতমুখী হওয়ার ফলে দেহটি পারস্পরিকভাবে বিকৃত হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্ক্যালপ তার কব্জি খুলে কেবল প্রপালশন অর্জনের চেষ্টা করার জন্য এটি বন্ধ করে দেবে। যেহেতু বলের বিপরীতমুখী প্রবাহে প্রবাহের প্রকৃতি পরিবর্তিত হয় না, তাই বস্তুটি ঠিক একই পদ্ধতিতে বিপরীত দিকে অগ্রসর হবে, যার ফলে কোনও নিট স্থানচ্যুতি হবে না। এইভাবে আমরা স্ক্যালপ উপপাদ্যের পরিণতির দিকে পৌঁছাই। স্কেলিং দ্বারা প্রমাণ এটি পার্সেলের দেওয়া প্রুফ স্কেচের কাছাকাছি। মূল ফলাফলটি দেখানো হয় যে স্টোকস তরলে একজন সাঁতারু সময়ের উপর নির্ভর করে না। অর্থাৎ, কোনও সাঁতারুর গতি মন্থর করা হয়েছে, গতি বাড়ানো হয়েছে বা বিপরীত হয়েছে কিনা তা কেউ সনাক্ত করতে পারে না। অন্যান্য ফলাফলগুলি তখন সহজ উপসংহার। তরলের স্ট্রেস টেনসর হল। ধরা যাক একটি অ-শূন্য বাস্তব ধ্রুবক। ধরুন আমাদের একটি সাঁতারের গতি আছে, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত স্কেলিং করতে পারিঃ এবং স্টোকস সমীকরণের আরেকটি সমাধান পেতে পারি। অর্থাৎ, আমরা যদি হাইড্রোস্ট্যাটিক চাপ, প্রবাহ-বেগ এবং স্ট্রেস টেনসরকে সমস্ত দ্বারা পরিমাপ করি, তবুও আমরা স্টোকস সমীকরণের একটি সমাধান পেতে পারি। যেহেতু গতি কম রেনল্ডস সংখ্যা ব্যবস্থায় হয়, তাই জড় শক্তি নগণ্য, এবং সাঁতারুর উপর তাৎক্ষণিক মোট বল এবং টর্ক উভয়কেই শূন্যের ভারসাম্য বজায় রাখতে হবে। যেহেতু সাঁতারুর উপর তাৎক্ষণিক মোট বল এবং টর্ক তার পৃষ্ঠের উপর স্ট্রেস টেনসরকে সংহত করে গণনা করা হয়, তাত্ক্ষণিক মোট বল এবং টর্কও বৃদ্ধি পায়, যা এখনও শূন্য। সুতরাং, সাঁতারুর গতি এবং পার্শ্ববর্তী তরল স্কেলের গতি উভয়কেই একই ফ্যাক্টর দ্বারা স্কেল করে, আমরা এখনও একটি গতি পাই যা স্টোকস সমীকরণকে সম্মান করে। ভেক্টর ক্যালকুলাস দ্বারা প্রমাণ স্ক্যালপ উপপাদ্যের প্রমাণ গাণিতিকভাবে মার্জিত উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আমাদের প্রথমে স্টোকস সমীকরণের রৈখিকতার গাণিতিক পরিণতিগুলি বুঝতে হবে। সংক্ষেপে বলতে গেলে, স্টোকস সমীকরণের রৈখিকতা আমাদের সাঁতারুর সাঁতারের বেগকে তার পৃষ্ঠের চারপাশে তরলের বেগ ক্ষেত্রের (সাঁতারের গ্যাট নামে পরিচিত) সাথে সম্পর্কিত করার জন্য পারস্পরিক উপপাদ্যটি ব্যবহার করার অনুমতি দেয়, যা এটি প্রদর্শিত পর্যায়ক্রমিক গতি অনুসারে পরিবর্তিত হয়। এই সম্পর্কটি আমাদের এই উপসংহারে আসতে সাহায্য করে যে গতিবিধি সাঁতারের হার থেকে স্বাধীন। পরবর্তীকালে, এটি আবিষ্কারের দিকে পরিচালিত করে যে পর্যায়ক্রমিক গতির বিপরীতমুখীতা প্রতিসাম্যের কারণে সামনের গতির অনুরূপ, যার ফলে আমরা এই উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে কোনও নিট স্থানচ্যুতি হতে পারে না। হার-স্বাধীনতা পারস্পরিক উপপাদ্যটি একই জ্যামিতিতে দুটি স্টোকের প্রবাহের মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করে যেখানে সান্দ্র প্রভাবের তুলনায় জড় প্রভাবগুলি নগণ্য। একটি তরল ভরাট অঞ্চল বিবেচনা করুন যা একটি একক স্বাভাবিক সহ পৃষ্ঠ দ্বারা বেষ্টিত। ধরুন আমাদের কাছে বেগ ক্ষেত্রের আকার ধারণকারী ডোমেনে স্টোকস সমীকরণের সমাধান রয়েছে এবং। বেগ ক্ষেত্রগুলি যথাক্রমে সংশ্লিষ্ট চাপ ক্ষেত্রগুলিকে আশ্রয় দেয়। তারপর নিম্নলিখিত সমতা ধারণ করেঃ পারস্পরিক উপপাদ্যটি আমাদের অন্য প্রবাহ থেকে তথ্য ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট প্রবাহ সম্পর্কে তথ্য পেতে সহায়তা করে। এটি স্টোকস সমীকরণগুলি সমাধান করার চেয়ে ভাল, যা একটি পরিচিত সীমানা শর্ত না থাকার কারণে কঠিন। এটি বিশেষভাবে কার্যকর যদি কেউ একই জ্যামিতিতে একটি সহজ সমস্যার প্রবাহ অধ্যয়ন করে একটি জটিল সমস্যা থেকে প্রবাহ বুঝতে চায়। একজন সাঁতারু তার সাঁতারের গতিপথের সাথে একটি বলের সাপেক্ষে তার সাঁতারের বেগকে সম্পর্কিত করতে পারস্পরিক উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে পারেনঃ এখন যেহেতু আমরা প্রতিষ্ঠিত করেছি যে শরীরের উপর সক্রিয় বলের দিকে তাৎক্ষণিক সাঁতারের বেগ এবং তার সাঁতারের চলনের মধ্যে সম্পর্ক সাধারণ রূপ অনুসরণ করে, যেখানে এবং সাঁতারুর পৃষ্ঠের পয়েন্টগুলির অবস্থান নির্দেশ করে, আমরা প্রতিষ্ঠিত করতে পারি যে গতিবেগ হার থেকে স্বাধীন। একজন সাঁতারুকে বিবেচনা করুন যিনি সময় এবং সময়ের মধ্যে গতির ক্রমের মাধ্যমে পর্যায়ক্রমিকভাবে বিকৃত হন। সাঁতারুদের মোট স্থানচ্যুতি হল। এখন সাঁতারু একই পদ্ধতিতে কিন্তু ভিন্ন হারে বিকৃত হওয়ার কথা বিবেচনা করুন। আমরা ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে এটি বর্ণনা করি। এই ম্যাপিং ব্যবহার করে আমরা তা দেখতে পাই। এই ফলাফলের অর্থ হল যে সাঁতারু যে মোট দূরত্ব অতিক্রম করেছেন তা যে হারে এটি বিকৃত হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে না, বরং শুধুমাত্র আকৃতির জ্যামিতিক ক্রমের উপর নির্ভর করে। এটি প্রথম মূল ফলাফল। সামনের এবং পিছনের গতির প্রতিসাম্য যদি একজন সাঁতারু পর্যায়ক্রমিক পদ্ধতিতে চলছেন যা সময় অপরিবর্তনীয়, আমরা জানি যে একটি সময়ের মধ্যে গড় স্থানচ্যুতি অবশ্যই শূন্য হতে হবে। প্রমাণটি ব্যাখ্যা করার জন্য, আসুন আমরা বিবেচনা করি যে একজন সাঁতারু এক সময়কালে বিকৃত হন যা মাঝে মাঝে শুরু হয় এবং শেষ হয়। তার মানে এর শুরু এবং শেষে আকৃতি একই, অর্থাৎ। । এরপরে, আমরা প্রথম গতির সময়-বিপরীত প্রতিসাম্য দ্বারা প্রাপ্ত গতি বিবেচনা করি যা সময়ে এবং সময়ে শুরু এবং শেষ হওয়ার সময়কালে ঘটে। পূর্ববর্তী বিভাগের মতো একই ম্যাপিং ব্যবহার করে, আমরা বিপরীত গতিতে আকৃতিটিকে সামনের গতির আকৃতির মতোই সংজ্ঞায়িত এবং সংজ্ঞায়িত করি। এখন আমরা এই দুটি ক্ষেত্রে নিট স্থানচ্যুতির মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে পাইঃ এটি দ্বিতীয় প্রধান ফলাফল। পূর্ববর্তী বিভাগ থেকে আমাদের প্রথম মূল ফলাফলের সাথে মিলিত হয়ে, আমরা তা দেখতে পাই। আমরা দেখতে পাই যে একজন সাঁতারু যে তার আকৃতি পরিবর্তনের ক্রমকে বিপরীত করে তার গতি বিপরীত করে তা বিপরীত দূরত্বের দিকে নিয়ে যায়। উপরন্তু, যেহেতু সাঁতারু দেহের পারস্পরিক বিকৃতি প্রদর্শন করে, তাই এবং এবং এর মধ্যে গতির ক্রম একই থাকে। সুতরাং, ভ্রমণ করা দূরত্বটি সময়ের দিক থেকে স্বাধীনভাবে একই হওয়া উচিত, যার অর্থ কম রেনল্ডস সংখ্যা পরিবেশে নেট গতির জন্য পারস্পরিক গতি ব্যবহার করা যাবে না। ব্যতিক্রম স্ক্যালপ উপপাদ্যটি ধারণ করে যদি আমরা ধরে নিই যে একজন সাঁতারু জড়তা এবং বাহ্যিক দেহ শক্তির অনুপস্থিতিতে একটি অসীম শান্ত নিউটনীয় তরলে পারস্পরিক গতির মধ্য দিয়ে যান। যাইহোক, এমন কিছু উদাহরণ রয়েছে যেখানে স্ক্যালপ উপপাদ্যের অনুমানগুলি লঙ্ঘন করা হয়েছে। একটি ক্ষেত্রে, সান্দ্র পরিবেশে সফল সাঁতারুদের অবশ্যই অ-পারস্পরিক দেহের গতিবিদ্যা প্রদর্শন করতে হবে। অন্য ক্ষেত্রে, যদি একজন সাঁতারু নন-নিউটোনিয়ান তরলে থাকেন, তবে গতিও অর্জন করা যেতে পারে। অ-পারস্পরিক গতির প্রকার তাঁর মূল গবেষণাপত্রে, পার্সেল অ-পারস্পরিক দেহ বিকৃতির একটি সহজ উদাহরণ প্রস্তাব করেছিলেন, যা এখন সাধারণত পার্সেল সাঁতারু হিসাবে পরিচিত। এই সাধারণ সাঁতারুটির গতির জন্য দুটি মাত্রার স্বাধীনতা রয়েছেঃ একে অপরের সাথে পর্যায়ক্রমে ঘূর্ণায়মান তিনটি অনমনীয় সংযোগের সমন্বয়ে গঠিত একটি দ্বি-শিংযুক্ত দেহ। যাইহোক, একাধিক মাত্রার গতির স্বাধীনতা সহ যে কোনও বস্তু চলাচলও অর্জন করতে পারে। সাধারণভাবে, ব্যাকটেরিয়ার মতো মাইক্রোস্কোপিক জীবগুলি অ-পারস্পরিক গতি সম্পাদনের জন্য বিভিন্ন প্রক্রিয়া বিকশিত করেছেঃ একটি ফ্ল্যাজেলামের ব্যবহার, যা আবর্তিত হয়, মাঝারিটিকে পিছনের দিকে ঠেলে দেয়-এবং কোষটিকে সামনের দিকে ঠেলে দেয়-অনেকটা একইভাবে যেমন একটি জাহাজের স্ক্রু একটি জাহাজকে সরিয়ে দেয়। এইভাবে কিছু ব্যাকটেরিয়া চলাচল করে; ব্যাকটেরিয়া কোষের পৃষ্ঠে দৃঢ়ভাবে ধরে রাখা একটি জটিল ঘূর্ণায়মান মোটরের এক প্রান্তে ফ্ল্যাজেলাম সংযুক্ত থাকে। নমনীয় বাহুর ব্যবহারঃ এটি বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, স্তন্যপায়ী শুক্রাণুর একটি ফ্ল্যাজেলাম থাকে যা চাবুকের মতো, কোষের শেষে ঝাঁপিয়ে পড়ে, কোষটিকে সামনের দিকে ঠেলে দেয়। সিলিয়া স্তন্যপায়ী ফ্লাজেলার অনুরূপ কাঠামো; তারা স্তন স্ট্রোকের মতো নয় এমন একটি জটিল গতিতে প্যারামেসিয়ামের মতো একটি কোষকে এগিয়ে নিয়ে যেতে পারে। জ্যামিতিকভাবে, ঘূর্ণায়মান ফ্ল্যাজেলাম একটি এক-মাত্রিক সাঁতারু, এবং এটি কাজ করে কারণ এর গতি একটি বৃত্তাকার বিন্যাস স্থানের চারপাশে চলছে, এবং একটি বৃত্ত একটি পারস্পরিক গতি নয়। নমনীয় বাহুটি একটি বহুমাত্রিক সাঁতারু, এবং এটি কাজ করে কারণ এর গতি একটি বর্গাকার আকৃতির কনফিগারেশন স্পেসে একটি বৃত্তের চারপাশে চলছে। লক্ষ্য করুন যে প্রথম ধরনের গতিতে নন-ট্রিভিয়াল হোমোটপি রয়েছে, কিন্তু দ্বিতীয় ধরনের তুচ্ছ হোমোটপি রয়েছে। অ-নিউটনীয় তরল একটি নিউটনীয় তরলের অনুমান অপরিহার্য কারণ স্টোকস সমীকরণগুলি জটিল যান্ত্রিক এবং রিওলজিকাল বৈশিষ্ট্যযুক্ত পরিবেশে রৈখিক এবং সময়-স্বাধীন থাকবে না। এটিও সাধারণ জ্ঞান যে অনেক জীবন্ত অণুজীব জটিল অ-নিউটনীয় তরলে বাস করে, যা জৈবিকভাবে প্রাসঙ্গিক পরিবেশে সাধারণ। উদাহরণস্বরূপ, ক্রলিং কোষগুলি প্রায়শই স্থিতিস্থাপক পলিমারিক তরলে স্থানান্তরিত হয়। অ-নিউটনীয় তরলগুলির বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা ছোট আকারের গতিবিধি তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রথমত, এই ধরনের একটি শোষণযোগ্য বৈশিষ্ট্য হল স্বাভাবিক চাপের পার্থক্য। এই পার্থক্যগুলি সাঁতারুর প্রবাহের দ্বারা তরলের প্রসারিত হওয়ার ফলে উদ্ভূত হবে। আরেকটি কাজে লাগানো যায় এমন বৈশিষ্ট্য হল মানসিক চাপ থেকে মুক্তি। এই ধরনের চাপের সময় বিবর্তনে একটি স্মৃতি শব্দ থাকে, যদিও এটি কতটা ব্যবহার করা যেতে পারে তা মূলত অনাবিষ্কৃত। সবশেষে, অ-নিউটনীয় তরলগুলিতে শিয়ার হারের উপর নির্ভরশীল সান্দ্রতা থাকে। অন্য কথায়, একজন সাঁতারু তার গতির হার পরিবর্তন করে একটি ভিন্ন রেনল্ডস সংখ্যার পরিবেশ অনুভব করবেন। অনেক জৈবিকভাবে প্রাসঙ্গিক তরল শিয়ার-থিন প্রদর্শন করে, যার অর্থ শিয়ার হারের সাথে সান্দ্রতা হ্রাস পায়। এমন পরিবেশে, একজন সাঁতারু যে হারে পারস্পরিক গতি প্রদর্শন করেন তা তাৎপর্যপূর্ণ হবে কারণ এটি আর সময় অপরিবর্তনীয় থাকবে না। এটি আমরা যা প্রতিষ্ঠিত করেছি তার সম্পূর্ণ বিপরীত যেখানে একজন সাঁতারু যে হারে চলাচল করে তা গতি প্রতিষ্ঠা করার জন্য অপ্রাসঙ্গিক। সুতরাং, একজন পারস্পরিক সাঁতারু একটি অ-নিউটনীয় তরলে ডিজাইন করা যেতে পারে। কিউ এবং অন্যান্য। (2014) একটি অ-নিউটনীয় তরলে একটি মাইক্রো স্ক্যালপ ডিজাইন করতে সক্ষম হয়েছিল। আরও দেখুন ব্যাকটেরিয়াল গতিশীলতা মাইক্রোসুইমার প্রোটিস্ট লোকোমোশন রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক ই. এম. পার্সেল। লাইফ অ্যাট লো রেনল্ডস নম্বর, আমেরিকান জার্নাল অফ ফিজিক্স ভলিউম 45, পি. 3-11 (1977) কাইনেমেটিক রিভার্সিবিলিটি অ্যান্ড দ্য স্ক্যালপ থিওরেম স্ক্যালপ থিওরেম ফিজিক্স থিওরেম ফ্লুইড ডায়নামিক্স ম্যাথমেটিকাল অ্যান্ড থিওরেটিক্যাল বায়োলজির কারণে একটি সাঁতারের রোবটের ভিডিও সান্দ্র তরলে চলতে অক্ষম।