Binet equation
জ্যাক ফিলিপ মারি বিনেট দ্বারা উদ্ভূত বিনেট সমীকরণটি সমতল মেরু স্থানাঙ্কে কক্ষীয় গতির আকার দেওয়া একটি কেন্দ্রীয় বলের রূপ প্রদান করে। সমীকরণটি একটি প্রদত্ত বল আইনের জন্য কক্ষপথের আকৃতি অর্জনের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে এতে সাধারণত দ্বিতীয় ক্রমের অরৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান জড়িত থাকে। বলের কেন্দ্র সম্পর্কে বৃত্তাকার গতির ক্ষেত্রে একটি অনন্য সমাধান অসম্ভব। সমীকরণ একটি কক্ষপথের আকৃতি প্রায়শই কোণের ফাংশন হিসাবে আপেক্ষিক দূরত্বের পরিপ্রেক্ষিতে সুবিধাজনকভাবে বর্ণনা করা হয়। বিনেট সমীকরণের জন্য, কক্ষীয় আকৃতিটি পরিবর্তে পারস্পরিক দ্বারা একটি ফাংশন হিসাবে আরও সংক্ষিপ্তভাবে বর্ণনা করা হয়। নির্দিষ্ট কৌণিক ভরবেগকে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে কৌণিক ভরবেগ এবং ভর। পরবর্তী বিভাগে প্রাপ্ত বিনেট সমীকরণটি ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে বল দেয়ঃ বিশুদ্ধ কেন্দ্রীয় বলের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটি হল কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণের জন্য সময়ের সাথে সম্পর্কিত ডেরিভেটিভগুলিকে কোণের সাথে সম্পর্কিত ডেরিভেটিভ হিসাবে পুনর্লিখন করা প্রয়োজনঃ উপরের সমস্তগুলির সংমিশ্রণে, আমরা পৌঁছাই সাধারণ সমাধানটি হল যেখানে কণার প্রাথমিক স্থানাঙ্ক রয়েছে। উদাহরণ কেপলার সমস্যা ধ্রুপদী বিপরীত বর্গ সূত্রের কক্ষপথ গণনা করার ঐতিহ্যবাহী কেপলার সমস্যাটিকে বিনেট সমীকরণ থেকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান হিসাবে পড়া যেতে পারে যদি কোণটি পেরিয়াপসিস থেকে পরিমাপ করা হয়, তবে (পারস্পরিক) মেরু স্থানাঙ্কে প্রকাশিত কক্ষপথের সাধারণ সমাধানটি হল উপরের মেরু সমীকরণটি অর্ধ-ল্যাটাস মলদ্বার (সমান) এবং কক্ষীয় উৎকেন্দ্রিকতা সহ শঙ্কু বিভাগগুলি বর্ণনা করে। Schwarzschild স্থানাঙ্কের জন্য প্রাপ্ত আপেক্ষিক সমীকরণ হল যেখানে আলোর গতিবেগ এবং এটি Schwarzschild ব্যাসার্ধ। এবং রেইসনার-নর্ডস্ট্রম মেট্রিকের জন্য আমরা পাব যে বৈদ্যুতিক চার্জ কোথায় এবং ভ্যাকুয়াম পারমিটিভিটি কোথায়। বিপরীত কেপলার সমস্যা বিপরীত কেপলার সমস্যা বিবেচনা করুন। কোন ধরনের বল সূত্র উপবৃত্তাকারের কেন্দ্রস্থলের চারপাশে একটি অ-বৃত্তাকার উপবৃত্তাকার কক্ষপথ (বা আরও সাধারণভাবে একটি অ-বৃত্তাকার শঙ্কু বিভাগ) তৈরি করে? একটি উপবৃত্তাকার জন্য উপরের মেরু সমীকরণের দ্বিগুণ পার্থক্য করলে বল সূত্রটি পাওয়া যায় যা প্রত্যাশিত বিপরীত বর্গ সূত্র। নিউটনের সার্বজনীন মাধ্যাকর্ষণের সূত্র বা কুলম্বের সূত্রের মতো ভৌত মানগুলির সাথে কক্ষপথের মিল করা বা পুনরুত্পাদন করা হয়। শোয়ার্জসচাইল্ড স্থানাঙ্কের জন্য কার্যকর বল হল যেখানে দ্বিতীয় পদটি একটি বিপরীত-কোয়ার্টিক বল যা চতুর্ভুজ প্রভাবের সাথে সম্পর্কিত যেমন পেরিয়াপসিসের কৌণিক স্থানান্তর (এটি প্রতিবন্ধী সম্ভাবনার মাধ্যমেও প্রাপ্ত করা যেতে পারে)। প্যারামিটারাইজড পোস্ট-নিউটনীয় ফর্মালিজমে আমরা সাধারণ আপেক্ষিকতার জন্য এবং শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রে কোথায় পাব। কোটস সর্পিল একটি বিপরীত ঘনক বল আইনের রূপ একটি বিপরীত ঘনক আইনের কক্ষপথের আকার কোটস সর্পিল হিসাবে পরিচিত। বিনেট সমীকরণ দেখায় যে কক্ষপথগুলি অবশ্যই সমীকরণের সমাধান হতে হবে কেপলার সমস্যার বিভিন্ন শঙ্কু বিভাগের সাদৃশ্য হিসাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তিন ধরনের সমাধান রয়েছে। কখন, সমাধানটি এপিসোডাল, একটি সরলরেখার প্যাথোলজিকাল কেস সহ যখন। কখন, সমাধানটি হল হাইপারবোলিক সর্পিল। যখন সমাধানটি পয়েনসটের সর্পিল হয়। যদিও বাইনেট সমীকরণ বলের কেন্দ্র সম্পর্কে বৃত্তাকার গতির জন্য একটি অনন্য বল আইন দিতে ব্যর্থ হয়, তবে সমীকরণটি একটি বল আইন প্রদান করতে পারে যখন বৃত্তের কেন্দ্র এবং বলের কেন্দ্র মিলে না যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তাকার কক্ষপথের কথা বিবেচনা করুন যা সরাসরি বলের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। ব্যাসের এই ধরনের বৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য একটি (পারস্পরিক) মেরু সমীকরণ দুইবার পৃথকীকরণ করে এবং পাইথাগোরীয় পরিচয় ব্যবহার করলে বল সূত্রটি পাওয়া যায়। একটি আকর্ষণীয় বল আইনের কক্ষপথ তৈরি করা, একটি উল্লেখযোগ্যভাবে আরও কঠিন সমস্যা কারণ এটি সমাধানের সমতুল্য যা একটি দ্বিতীয় ক্রমের অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। আরও দেখুন ধ্রুপদী কেন্দ্রীয়-বল সমস্যা সাধারণ আপেক্ষিকতায় দ্বি-বস্তু সমস্যা বার্ট্রান্ডের উপপাদ্য রেফারেন্স ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান পদার্থবিজ্ঞানের সমনামযুক্ত আইন