Sobolev mapping
গণিতে, সোবোলেভ ম্যাপিং হল ম্যানিফোল্ডগুলির মধ্যে একটি ম্যাপিং যার কিছু অর্থে মসৃণতা রয়েছে। সোবোলেভ ম্যাপিং স্বাভাবিকভাবেই বৈচিত্র্য এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্যালকুলাসে বহুগুণ-সীমাবদ্ধ সমস্যায় প্রদর্শিত হয়, যার মধ্যে সুরেলা মানচিত্রের তত্ত্বও রয়েছে। সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড এবং, যা ন্যাশের মসৃণ এম্বেডিং উপপাদ্য দ্বারা সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আইসোমেট্রিকভাবে প্রথম-ক্রম হিসাবে এম্বেড করা হয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয় () সোবোলেভ ম্যাপিং মেট্রিক স্পেসের প্রসঙ্গেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। আনুমানিক দৃঢ় আনুমানিক সমস্যাটি সাধারণ টপোলজির ক্ষেত্রে মসৃণ ম্যাপিং ঘন কিনা তা নির্ধারণ করে। যখন, মোরেরির অসমতা বোঝায় যে সোবোলেভ ম্যাপিং অবিচ্ছিন্ন এবং এইভাবে মসৃণ মানচিত্র দ্বারা দৃঢ়ভাবে অনুমান করা যেতে পারে। কখন, সোবোলেভ ম্যাপিংয়ে গড় দোলন অদৃশ্য হয়ে যায় এবং এইভাবে মসৃণ মানচিত্র দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে। কখন, ঘনত্বের প্রশ্নটি বাধা তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিতঃ যদি এবং কেবল তখনই ঘন হয় যদি একটি-মাত্রিক ত্রিভুজ থেকে একটি-এর উপর প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিং একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের সীমাবদ্ধতা হয়। মানচিত্রের দুর্বল অনুমানের ক্রম খুঁজে বের করার সমস্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যা না হলে শক্তিশালী অনুমানের সমতুল্য। একটি পূর্ণসংখ্যা কখন হয়, একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল যে একটি-মাত্রিক ত্রিভুজ থেকে প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের একটি-মাত্রিক ত্রিভুজের সীমাবদ্ধতা একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের সীমাবদ্ধতার সাথে মিলে যায়। যখন, এই শর্তটি যথেষ্ট হবে, এই শর্তটি যথেষ্ট নয়। হোমোটপি হোমোটপি সমস্যাটি আদর্শ টপোলজিতে সমৃদ্ধ স্থানের পথ-সংযুক্ত উপাদানগুলির বর্ণনা এবং শ্রেণিবদ্ধকরণ নিয়ে গঠিত। কখন এবং, তারপর এর পথ-সংযুক্ত উপাদানগুলি মূলত পথ-সংযুক্ত উপাদানগুলির মতোইঃ দুটি মানচিত্র একটি পথ দ্বারা সংযুক্ত থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা একটি পথ দ্বারা সংযুক্ত থাকে, কোনও পথ-সংযুক্ত উপাদান এবং কোনও পথ-সংযুক্ত উপাদান যা বিচ্ছিন্নভাবে ছেদ করে না। যখন, দুটি মানচিত্র একটি অবিচ্ছিন্ন পথ দ্বারা সংযুক্ত থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি সাধারণ-মাত্রিক ত্রিভুজের উপর তাদের সীমাবদ্ধতা সমস্থানিক হয়। ট্রেসের সম্প্রসারণ ধ্রুপদী ট্রেস তত্ত্ব বলে যে কোনও সোবোলেভ মানচিত্রে একটি ট্রেস থাকে এবং কখন, ট্রেস অপারেটর উপরে থাকে। সার্জেক্টিভিটির প্রমাণ একটি গড় যুক্তির উপর ভিত্তি করে, ফলাফলটি সোবোলেভ ম্যাপিংয়ে সহজেই প্রসারিত হয় না। ট্রেস অপারেটর কখন বা কখন, সীমাবদ্ধ এবং অনটু হিসাবে পরিচিত। ট্রেস অপারেটরের সারজেক্টিভিটি ব্যর্থ হয় যদি বা কারো জন্য অসীম হয়। উত্তোলন একটি আচ্ছাদন মানচিত্রের পরিপ্রেক্ষিতে, উত্তোলন সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে কোনও মানচিত্র কারো জন্য লেখা যেতে পারে কিনা, কারণ এটি অবিচ্ছিন্ন বা মসৃণ এবং কখন শাস্ত্রীয় উত্তোলন তত্ত্বে সহজভাবে সংযুক্ত করা হয়। যদি ডোমেইনটি সহজভাবে সংযুক্ত থাকে, তবে যে কোনও মানচিত্র কখন, কখন এবং কখন কম্প্যাক্ট হয় এবং কখন হয় তার জন্য লেখা যেতে পারে। কখন উত্তোলন করা হয় তার জন্য একটি টপোলজিক্যাল বাধা রয়েছে এবং কখন একটি বিশ্লেষণাত্মক বাধা রয়েছে। তথ্যসূত্র আরও পড়া https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds ম্যানিফোল্ডস ম্যাপস অফ ম্যানিফোল্ডস সোবোলেভ স্পেসস হোমোটোপি তত্ত্ব