Kiepert conics
ত্রিভুজ জ্যামিতিতে, কিপার্ট শঙ্কু হল রেফারেন্স ত্রিভুজের সাথে যুক্ত দুটি বিশেষ শঙ্কু। এর মধ্যে একটি হাইপারবোলা, যাকে কিপার্ট হাইপারবোলা বলা হয় এবং অন্যটি একটি প্যারাবোলা, যাকে কিপার্ট প্যারাবোলা বলা হয়। কিপার্ট শঙ্কুগুলিকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ যদি তিনটি ত্রিভুজ, এবং, একটি ত্রিভুজের পার্শ্বে ভিত্তি হিসাবে নির্মিত, একই রকম, সমদ্বিবাহু এবং একইভাবে অবস্থিত হয়, তবে ত্রিভুজগুলি এবং পরিপ্রেক্ষিতে থাকে। যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলির ভিত্তি কোণ এবং এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, ত্রিভুজগুলির দৃষ্টিভঙ্গির কেন্দ্রের স্থানটি একটি হাইপারবোলা যাকে কিপার্ট হাইপারবোলা বলা হয় এবং তাদের দৃষ্টিভঙ্গির অক্ষের খামটি একটি প্যারাবোলা যাকে কিপার্ট প্যারাবোলা বলা হয়। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে কিপার্ট হাইপারবোলা হল রেফারেন্স ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু এবং অর্থোসেন্টারের মধ্য দিয়ে যাওয়া হাইপারবোলা এবং কিপার্ট প্যারাবোলা হল রেফারেন্স ত্রিভুজে খোদাই করা প্যারাবোলা যেখানে ইউলার রেখাটি ডাইরেক্ট্রিক্স এবং ত্রিভুজ কেন্দ্র X110 ফোকাস হিসাবে রয়েছে। ত্রিভুজ জ্যামিতি অধ্যয়নে কিপার্ট শঙ্কুবিদ্যার গুরুত্ব প্রতিষ্ঠার জন্য আর. এইচ. এডি এবং আর. ফ্রিটসের একটি গবেষণাপত্র থেকে নিম্নলিখিত উদ্ধৃতিটি যথেষ্ট প্রমাণ দেয়ঃ "মঙ্গল গ্রহের কোনও দর্শনার্থী যদি ত্রিভুজের জ্যামিতি শিখতে চান কিন্তু পৃথিবীর তুলনামূলকভাবে ঘন বায়ুমণ্ডলে কেবল একটি পাঠের জন্য যথেষ্ট দীর্ঘ সময় থাকতে পারেন, তবে পৃথিবীর গণিতবিদরা নিঃসন্দেহে এই অনুরোধটি পূরণ করার জন্য কঠোর চাপের সম্মুখীন হবেন। এই গবেষণাপত্রে আমরা বিশ্বাস করি যে, আমাদের কাছে সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান রয়েছে। কিপার্ট শঙ্কু। কিপার্ট হাইপারবোলা 1868 সালে এমিল লেমোইন দ্বারা প্রস্তাবিত নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান অনুসন্ধানের সময় লুডভিগ কিপার্ট কিপার্ট হাইপারবোলা আবিষ্কার করেছিলেনঃ "একটি ত্রিভুজ তৈরি করুন, পাশে নির্মিত সমবাহু ত্রিভুজের শিখরগুলি দেওয়া।" সমস্যাটির একটি সমাধান লুডভিগ কিপার্ট 1869 সালে প্রকাশ করেছিলেন এবং সমাধানটিতে একটি মন্তব্য ছিল যা কার্যকরভাবে কিপার্ট হাইপারবোলার লোকাস সংজ্ঞাটি আগে উল্লেখ করেছিল। মৌলিক তথ্যগুলি রেফারেন্স ত্রিভুজের পার্শ্ব দৈর্ঘ্য এবং শীর্ষ কোণগুলি ধরা যাক। সমীকরণ ব্যারি-সেন্ট্রিক স্থানাঙ্কে কিপার্ট হাইপারবোলার সমীকরণ হল কেন্দ্র, অ্যাসিম্পটোটস কিপার্ট হাইপারবোলার কেন্দ্র হল ত্রিভুজ কেন্দ্র এক্স (115)। কেন্দ্রের ব্যারি-সেন্ট্রিক স্থানাঙ্কগুলি হল। কিপার্ট হাইপারবোলার অ্যাসিম্পটোটগুলি হল বৃত্তের সাথে ব্রোকার্ড অক্ষের ছেদগুলির সিমসন রেখা। কিপার্ট হাইপারবোলা একটি আয়তক্ষেত্রাকার হাইপারবোলা এবং তাই এর উৎকেন্দ্রিকতা হল। বৈশিষ্ট্য কিপার্ট হাইপারবোলার কেন্দ্রটি নয়-বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত। কেন্দ্রটি ত্রিভুজের আইসোগনিক কেন্দ্রগুলির সাথে যুক্ত রেখা বিভাগের মধ্যবিন্দু যা ত্রিভুজ কেন্দ্রগুলির এনসাইক্লোপিডিয়ার এক্স (13) এবং এক্স (14) ত্রিভুজ কেন্দ্র। আইসোগোনাল রূপান্তরের অধীনে কিপার্ট হাইপারবোলার চিত্রটি ত্রিভুজের ব্রোকার্ড অক্ষ যা সিমমিডিয়ান বিন্দু এবং পরিধি কেন্দ্রের সাথে যুক্ত রেখা। একটি চতুষ্কোণীয় ত্রিভুজের সমতলে একটি বিন্দু ধরা যাক এবং এর সাপেক্ষে ত্রিভুজাকার মেরু হতে দিন। ইউলার রেখার লম্ব বিন্দুগুলির স্থান হল কিপার্ট হাইপারবোলা। কিপার্ট প্যারাবোলা 1888 সালে জার্মান গণিতের শিক্ষক অগাস্টাস আর্টজ্ট দ্বারা একটি "স্কুল প্রোগ্রাম"-এ প্রথম অধ্যয়ন করা হয়েছিল। মৌলিক তথ্য ব্যারি-সেন্ট্রিক স্থানাঙ্কে কিপার্ট প্যারাবোলার সমীকরণ হল কোথায়। কিপার্ট প্যারাবোলার কেন্দ্রবিন্দু হল ত্রিভুজ কেন্দ্র এক্স (110)। ফোকাসের ব্যারি-সেন্ট্রিক স্থানাঙ্কগুলি হল কিপার্ট প্যারাবোলার ডাইরেক্ট্রিক্স হল ত্রিভুজের অয়লার লাইন। ছবি আরও দেখুন ত্রিভুজ শঙ্কু আধুনিক ত্রিভুজ জ্যামিতি বাহ্যিক সংযোগ রেফারেন্স ত্রিভুজ জ্যামিতি