Elliptical distribution
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানে, উপবৃত্তাকার বন্টন হল সম্ভাব্যতা বণ্টনের একটি বিস্তৃত পরিবারের যে কোনও সদস্য যা বহুমাত্রিক স্বাভাবিক বণ্টনের সাধারণীকরণ করে। স্বজ্ঞাতভাবে, সরলীকৃত দ্বিমাত্রিক এবং ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে, যৌথ বন্টন আইসো-ঘনত্বের সমতলে যথাক্রমে একটি উপবৃত্তাকার এবং একটি উপবৃত্তাকার গঠন করে। পরিসংখ্যানে, স্বাভাবিক বন্টন শাস্ত্রীয় বহু-বৈচিত্র্য বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়, অন্যদিকে উপবৃত্তাকার বন্টনগুলি সাধারণ বহু-বৈচিত্র্য বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়, মাল্টিভ্যারিয়েট টি-বন্টন বা হালকা (স্বাভাবিক বন্টনের তুলনায়) ভারী লেজের সাথে প্রতিসম বন্টনের অধ্যয়নের জন্য। কিছু পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি যা মূলত স্বাভাবিক বণ্টনের অধ্যয়নের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, সাধারণ উপবৃত্তাকার বণ্টনের জন্য (সীমাবদ্ধ বৈচিত্র্য সহ), বিশেষত গোলাকার বণ্টনের জন্য (যা নীচে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে) ভাল কার্যকারিতা রয়েছে। প্রস্তাবিত বহুমাত্রিক-পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির মূল্যায়নের জন্য শক্তিশালী পরিসংখ্যানেও উপবৃত্তাকার বিতরণ ব্যবহার করা হয়। সংজ্ঞা উপবৃত্তাকার বিতরণগুলি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বৈশিষ্ট্যমূলক ক্রিয়াকলাপের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ইউক্লিডীয় স্থানে একটি এলোমেলো ভেক্টরের একটি উপবৃত্তাকার বন্টন থাকে যদি তার বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন কিছু অবস্থান পরামিতি, কিছু অ-ঋণাত্মক-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স এবং কিছু স্কেলার ফাংশনের জন্য নিম্নলিখিত কার্যকরী সমীকরণকে (প্রতিটি কলাম-ভেক্টরের জন্য) সন্তুষ্ট করে। বাস্তব র্যান্ডম-ভেক্টরগুলির জন্য উপবৃত্তাকার বিতরণের সংজ্ঞাটি জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে র্যান্ডম ভেক্টরগুলিকে সামঞ্জস্য করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে, যাতে সময়-সিরিজ বিশ্লেষণে প্রয়োগগুলি সহজতর হয়। উপবৃত্তাকার বিতরণ থেকে ছদ্ম-এলোমেলো ভেক্টর তৈরির জন্য গণনামূলক পদ্ধতি পাওয়া যায়, উদাহরণস্বরূপ মন্টে কার্লো সিমুলেশনে ব্যবহারের জন্য। কিছু উপবৃত্তাকার বিতরণ বিকল্পভাবে তাদের ঘনত্ব ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ঘনত্ব ফাংশন f সহ একটি উপবৃত্তাকার বন্টনের রূপ রয়েছেঃ যেখানে স্বাভাবিককরণ ধ্রুবক, মধ্যমা ভেক্টর সহ একটি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেক্টর (যা পরেরটি বিদ্যমান থাকলে গড় ভেক্টরও হয়), এবং একটি ধনাত্মক নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স যা সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্সের সাথে আনুপাতিক যদি পরেরটি বিদ্যমান থাকে। উদাহরণস্বরূপ নিম্নলিখিত মাল্টিভ্যারিয়েট সম্ভাব্যতা বিতরণগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছেঃ মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বন্টন মাল্টিভ্যারিয়েট টি-বন্টন সিমেট্রিক মাল্টিভ্যারিয়েট স্থিতিশীল বন্টন সিমেট্রিক মাল্টিভ্যারিয়েট ল্যাপ্লাস বন্টন মাল্টিভ্যারিয়েট লজিস্টিক বন্টন মাল্টিভ্যারিয়েট সিমেট্রিক জেনারেল হাইপারবোলিক বন্টন বৈশিষ্ট্য 2-মাত্রিক ক্ষেত্রে, যদি ঘনত্ব বিদ্যমান থাকে, প্রতিটি আইসো-ঘনত্ব লোকাস (x1, x2 জোড়ার সেট যা একটি নির্দিষ্ট মান দেয়) একটি উপবৃত্তাকার বা উপবৃত্তাকারের একটি ইউনিয়ন (তাই নাম উপবৃত্তাকার বন্টন)। আরও সাধারণভাবে, নির্বিচারে এন-এর জন্য, আইসো-ঘনত্বের লোকাই হল উপবৃত্তাকারের মিলন। এই সমস্ত উপবৃত্তাকার বা উপবৃত্তাকারগুলির সাধারণ কেন্দ্র রয়েছে এবং এগুলি একে অপরের স্কেল করা অনুলিপি (হোমোথেটস)। মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন হল বিশেষ ক্ষেত্রে। যদিও মাল্টিভ্যারিয়েট নর্মাল সীমাহীন (এর প্রতিটি উপাদান অ-শূন্য সম্ভাবনার সাথে নির্বিচারে বড় ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মান গ্রহণ করতে পারে, কারণ সমস্ত অ-ঋণাত্মকের জন্য), সাধারণ উপবৃত্তাকার বিতরণগুলি সীমাবদ্ধ বা সীমাহীন হতে পারে-এই ধরনের বিতরণ সীমাবদ্ধ যদি কোনও মানের চেয়ে বড় হয়। উপবৃত্তাকার বন্টন রয়েছে যার অনির্ধারিত গড় রয়েছে, যেমন কচি বন্টন (এমনকি অভিন্ন ক্ষেত্রেও)। যেহেতু পরিবর্তনশীল x ঘনত্ব ফাংশনে চতুর্ভুজভাবে প্রবেশ করে, তাই সমস্ত উপবৃত্তাকার বিতরণগুলি প্রায় প্রতিসম হয় যদি একটি যৌথ উপবৃত্তাকার র্যান্ডম ভেক্টরের দুটি উপসেট অসংলগ্ন হয়, তবে যদি তাদের মাধ্যম বিদ্যমান থাকে তবে তারা একে অপরের থেকে স্বাধীন (প্রতিটি উপভেক্টরের গড় অন্য উপভেক্টরের মানের উপর শর্তযুক্ত শর্তহীন গড়ের সমান)। যদি এলোমেলো ভেক্টর এক্স উপবৃত্তাকারভাবে বিতরণ করা হয়, তবে পূর্ণ সারি র্যাঙ্ক সহ যে কোনও ম্যাট্রিক্স ডি-এর জন্য ডিএক্সও তাই। সুতরাং এক্স-এর উপাদানগুলির যে কোনও রৈখিক সংমিশ্রণ উপবৃত্তাকার (যদিও একই উপবৃত্তাকার বণ্টনের সাথে অগত্যা নয়), এবং এক্স-এর যে কোনও উপসেট উপবৃত্তাকার। প্রয়োগ উপবৃত্তাকার বিতরণ পরিসংখ্যান এবং অর্থনীতিতে ব্যবহৃত হয়। গাণিতিক অর্থনীতিতে, উপবৃত্তাকার বন্টনগুলি গাণিতিক অর্থায়নের পোর্টফোলিওগুলি বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়েছে। পরিসংখ্যানঃ সাধারণীকৃত বহুমাত্রিক বিশ্লেষণ পরিসংখ্যানে, বহুমাত্রিক স্বাভাবিক বন্টন (গাউসের) শাস্ত্রীয় বহুমাত্রিক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়, যেখানে অনুমান এবং অনুমান-পরীক্ষার বেশিরভাগ পদ্ধতি স্বাভাবিক বন্টনের জন্য অনুপ্রাণিত হয়। ধ্রুপদী মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণের বিপরীতে, সাধারণীকৃত মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণ স্বাভাবিকতার সীমাবদ্ধতা ছাড়াই উপবৃত্তাকার বিতরণের উপর গবেষণাকে বোঝায়। উপযুক্ত উপবৃত্তাকার বিতরণের জন্য, কিছু শাস্ত্রীয় পদ্ধতির ভাল বৈশিষ্ট্য অব্যাহত রয়েছে। সীমাবদ্ধ-বৈচিত্র্য অনুমানের অধীনে, কোচরানের উপপাদ্যের একটি সম্প্রসারণ (দ্বিঘাত রূপের বণ্টনের উপর) ধারণ করে। একটি উপবৃত্তাকার বন্টন যেখানে আইডেন্টিটি-ম্যাট্রিক্স রয়েছে সেই আকারে শূন্য গড় এবং বৈকল্পিকতা সহ একটি উপবৃত্তাকার বন্টনকে গোলাকার বন্টন বলা হয়। গোলাকার বিতরণের জন্য, প্যারামিটার-অনুমান এবং হাইপোথিসিস-টেস্টিং হোল্ডের উপর শাস্ত্রীয় ফলাফল বাড়ানো হয়েছে। রৈখিক মডেলের ক্ষেত্রেও অনুরূপ ফলাফল পাওয়া যায়, এবং প্রকৃতপক্ষে জটিল মডেলের ক্ষেত্রেও (বিশেষ করে বৃদ্ধি বক্ররেখা মডেলের ক্ষেত্রে)। মাল্টিভ্যারিয়েট মডেলগুলির বিশ্লেষণে মাল্টিলিনিয়ার বীজগণিত (বিশেষত ক্রোনেকার পণ্য এবং ভেক্টরাইজেশন) এবং ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাস ব্যবহার করা হয়। শক্তিশালী পরিসংখ্যানঃ অ্যাসিম্পটোটিক্স উপবৃত্তাকার বিতরণের আরেকটি ব্যবহার হল শক্তিশালী পরিসংখ্যান, যেখানে গবেষকরা আরও সাধারণ সমস্যাগুলির উপর পদ্ধতির কার্যকারিতা সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি অর্জনের জন্য উপবৃত্তাকার বিতরণের শ্রেণিতে পরিসংখ্যানগত পদ্ধতিগুলি কীভাবে সম্পাদন করে তা পরীক্ষা করে, উদাহরণস্বরূপ পরিসংখ্যানের সীমাবদ্ধ তত্ত্ব ("অ্যাসিম্পটোটিক্স") ব্যবহার করে। পোর্টফোলিও তত্ত্বে অর্থনীতি এবং অর্থ উপবৃত্তাকার বিতরণ গুরুত্বপূর্ণ কারণ, যদি পোর্টফোলিও গঠনের জন্য উপলব্ধ সমস্ত সম্পদের রিটার্ন যৌথভাবে উপবৃত্তাকারভাবে বিতরণ করা হয়, তবে সমস্ত পোর্টফোলিও তাদের অবস্থান এবং স্কেল দ্বারা সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করা যেতে পারে-অর্থাৎ, অভিন্ন অবস্থান এবং পোর্টফোলিও রিটার্নের স্কেল সহ যে কোনও দুটি পোর্টফোলিও পোর্টফোলিও রিটার্নের অভিন্ন বিতরণ করে। পোর্টফোলিও বিশ্লেষণের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য, যার মধ্যে রয়েছে মিউচুয়াল ফান্ড সেপারেশন থিওরেম এবং ক্যাপিটাল অ্যাসেট প্রাইসিং মডেল, যা সমস্ত উপবৃত্তাকার বণ্টনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। নোটস রেফারেন্স মূলত আরও পড়া গবেষণাপত্রের একটি সংগ্রহ। সম্ভাব্যতা বিতরণের প্রকার অবস্থান-স্কেল পারিবারিক সম্ভাব্যতা বিতরণ বহুবিধ পরিসংখ্যান সাধারণ বিতরণ