Curvature of Space and Time, with an Introduction to Geometric Analysis
স্থান ও সময়ের বক্রতা, জ্যামিতিক বিশ্লেষণের একটি ভূমিকা সহ গণিত ও পদার্থবিজ্ঞানের শিক্ষার্থীদের জন্য ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির উপর একটি স্নাতক স্তরের পাঠ্যপুস্তক, যা সাধারণ আপেক্ষিকতার প্রয়োগের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। 2013 সালের পার্ক সিটি ম্যাথমেটিক্স ইনস্টিটিউট এবং পরবর্তীকালে লুইস অ্যান্ড ক্লার্ক কলেজে পড়ানো একটি কোর্সের উপর ভিত্তি করে ইভা স্টাভরভ এটি লিখেছিলেন এবং 2020 সালে আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি তাদের স্টুডেন্ট ম্যাথমেটিকাল লাইব্রেরি বই সিরিজের অংশ হিসাবে প্রকাশ করেছিল। স্থান এবং সময়ের বক্রতা পাঁচটি অধ্যায়ে সাজানো হয়েছে যার মোট 14টি বিভাগ রয়েছে, প্রতিটি বিভাগে একটি একক বক্তৃতার উপাদান রয়েছে। বার্নহার্ড রিম্যান এবং অন্যান্যদের মূল উৎস উপাদানের প্রসঙ্গে এর বিষয়গুলি গাণিতিক এবং ঐতিহাসিক উভয় ক্ষেত্রেই অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। যাইহোক, এটি ইচ্ছাকৃতভাবে ডিফারেনশিয়াল টপোলজি থেকে কিছু বিষয় এড়িয়ে চলে যা ঐতিহ্যগতভাবে ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি কোর্সে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যার মধ্যে বিমূর্ত ম্যানিফোল্ড এবং স্পর্শক ভেক্টর রয়েছে। পরিবর্তে, এটি স্থানাঙ্ক-ভিত্তিক জ্যামিতির মাধ্যমে বিষয়টির কাছে পৌঁছায়, স্থানাঙ্কের পরিবর্তনের অধীনে অপরিবর্তনীয় পরিমাণের উপর জোর দেয়। এর লক্ষ্যগুলির মধ্যে রয়েছে শিক্ষার্থীদের আইনস্টাইনের গণিত বোঝার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত পথ প্রদান করা এবং আকৃতি ও জ্যামিতি বর্ণনা করার কেন্দ্রীয় উপায় হিসাবে বক্রতা প্রচার করা। প্রথম অধ্যায়ে রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডকে বিমূর্ত স্থানের পরিবর্তে ইউক্লিডীয় স্থানের অন্তর্নির্মিত উপসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলি ব্যবহার করে ভৌগলিক সমীকরণগুলির সমাধান সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি প্রণয়ন করে এবং কোসজুল সূত্র এবং শক্তি কার্যকরী উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে ইউক্লিডীয় মেট্রিক, গোলাকার জ্যামিতি, প্রজেক্টিভ জ্যামিতি এবং হাইপারবোলিক সমতলের পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেল। দ্বিতীয় অধ্যায়ে ভেক্টর ক্ষেত্র, গ্রেডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স, ডাইরেকশনাল ডেরিভেটিভস, টেনসর ক্যালকুলাস, লাই বন্ধনী, গ্রীনের পরিচয়, সর্বাধিক নীতি এবং লেভি-সিভিটা সংযোগ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এটি বক্রতা এবং রিম্যান বক্রতা টেনসরের আলোচনা শুরু করে যা 3য় অধ্যায়ে অব্যাহত রয়েছে, "বইয়ের কেন্দ্র", যার বিষয়গুলির মধ্যে রয়েছে জ্যাকোবি ক্ষেত্র, রিচি বক্রতা, স্কেলার বক্রতা, মায়ার্সের উপপাদ্য, বিশপ-গ্রোমভ বৈষম্য এবং সমান্তরাল পরিবহন। এই গাণিতিক প্রিলিমিনারিগুলির পরে, শেষ দুটি অধ্যায় আরও ভৌত, বিশেষ আপেক্ষিকতা, সাধারণ আপেক্ষিকতা, শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক এবং ক্রুস্কাল-সেকেরেস স্থানাঙ্ক সম্পর্কিত চতুর্থ অধ্যায় সহ। চূড়ান্ত অধ্যায়ের বিষয়গুলির মধ্যে রয়েছে জ্যামিতিক বিশ্লেষণ, আধান বিতরণের সম্ভাব্য ক্ষেত্রগুলির জন্য পয়সনের সমীকরণ এবং সাধারণ আপেক্ষিকতায় ভর। দর্শক এবং অভ্যর্থনা একটি পাঠ্যপুস্তকের জন্য যথারীতি, কারভেচার অফ স্পেস অ্যান্ড টাইম-এ এমন অনুশীলন রয়েছে যা তার বিষয়গুলির পরিধি প্রসারিত করে এবং স্নাতক কোর্সের পাঠ্য হিসাবে উপযুক্ত করে তোলে। যদিও ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির উপর একাধিক স্নাতক-স্তরের পাঠ্যপুস্তক রয়েছে, তারা সাধারণত বিষয়টির একটি বিমূর্ত গাণিতিক দৃষ্টিভঙ্গি নিয়েছে এবং কারভেচার অফ স্পেস অ্যান্ড টাইম প্রকাশের সময়, এই উপাদানের উপর ভিত্তি করে কোর্সগুলি কিছুটা ফ্যাশনের বাইরে চলে গিয়েছিল। পদার্থবিজ্ঞানের সাথে সবচেয়ে প্রাসঙ্গিক বিষয়গুলির অংশগুলিতে আরও সরাসরি দৃষ্টিভঙ্গি নেওয়ার ক্ষেত্রে এই বইটি অস্বাভাবিক। যাইহোক, যদিও এটি একটি স্বয়ংসম্পূর্ণ উপায়ে এই উপাদানটি কভার করার চেষ্টা করে, পর্যালোচক মার্ক হুনাসেক সতর্ক করেছেন যে এটি সাধারণ গণিতের শিক্ষার্থীদের জন্য খুব উন্নত হতে পারে, এবং সম্ভবত সম্মানের শিক্ষার্থীদের পাশাপাশি "গাণিতিকভাবে পরিশীলিত পদার্থবিজ্ঞানের মেজরদের" জন্য আরও ভাল সংরক্ষিত। তিনি অন্যান্য বিষয়ে গবেষকদের জন্য এই ক্ষেত্রের একটি ভূমিকা হিসাবে বইটির পরামর্শ দেন। পর্যালোচক হ্যান্স-বার্ট রাডেমাকার এটিকে "অসাধারণ অনুপ্রেরণা এবং অন্তর্দৃষ্টি" সহ একটি "উল্লেখযোগ্য বই" বলে অভিহিত করেছেন, তবে এই উপাদানটি শেখানোর মূল ভিত্তি হিসাবে নয়, বরং মানক পাঠ্য এবং কোর্সের পরিপূরক হিসাবে পরামর্শ দিয়েছেন। এবং যদিও কয়েকটি বিবরণে ত্রুটি খুঁজে পেয়েছেন, পর্যালোচক জাস্টিন করভিনো পরামর্শ দিয়েছেন যে, এই রুক্ষ জায়গাগুলির উপর অনুষদের দিকনির্দেশনার সাথে বইটি স্বাধীন অধ্যয়ন বা একটি উন্নত বিষয় কোর্স এবং আইনস্টাইনের তত্ত্বগুলির পিছনে গণিত শেখার জন্য উত্সাহী শিক্ষার্থীদের জন্য "প্রয়োজনীয় পাঠ" উভয়ের জন্যই উপযুক্ত হবে। তথ্যসূত্র গণিতের পাঠ্যপুস্তক ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি 2020 নন-ফিকশন বই আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির প্রকাশনা