Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
মিরিফিকি লগারিদমোরাম ক্যানোনিস ডিস্ক্রিপ্টিও (ডিস্ক্রিপশন অফ দ্য ওয়ান্ডারফুল ক্যানন অফ লগারিদমস, 1614) এবং মিরিফিকি লগারিদমোরাম ক্যানোনিস কনস্ট্রাক্টিও (কনস্ট্রাকশন অফ দ্য ওয়ান্ডারফুল ক্যানন অফ লগারিদমস, 1619) হল ল্যাটিন ভাষায় লেখা জন নেপিয়ারের দুটি বই যা লগারিদমের পদ্ধতি ব্যাখ্যা করে। যদিও অন্যরা লগারিদমের ধারণার দিকে এগিয়ে গিয়েছিলেন, বিশেষত জোস্ট বার্গি, নেপিয়ারই প্রথম তাঁর মিরিফিকি লগারিদমোরাম ক্যানোনিস ডিস্ক্রিপ্টিওতে সহজেই ব্যবহৃত প্রাক-সংগণিত টেবিলগুলির সাথে ধারণাটি প্রকাশ করেছিলেন। লগারিদম প্রবর্তনের আগে, গুণ, বিভাজন এবং মূল উত্তোলনের সাথে জড়িত উচ্চ নির্ভুল সংখ্যাসূচক গণনাগুলি শ্রমসাধ্য এবং ত্রুটি প্রবণ ছিল। লগারিদম এই ধরনের গণনাকে ব্যাপকভাবে সহজতর করে। নেপিয়ার যেমন বলেছিলেনঃ "..................................................................................................। এই টেবিলগুলি গোলাকার ত্রিকোণমিতিতে গণনাগুলিকে ব্যাপকভাবে সরলীকৃত করে, যা জ্যোতির্বিজ্ঞান এবং মহাজাগতিক দিকনির্দেশনার কেন্দ্রবিন্দু এবং যার মধ্যে সাধারণত সাইন, কোসাইন এবং অন্যান্য ক্রিয়াকলাপের পণ্য অন্তর্ভুক্ত থাকে। নেপিয়ার অন্যান্য ব্যবহারগুলিও বর্ণনা করে, যেমন একটি সমাধান অনুপাত সমস্যা। জন নেপিয়ার টেবিলগুলি গণনা করতে 20 বছর ব্যয় করেছিলেন। তিনি কীভাবে তাঁর টেবিল তৈরি করেছিলেন তা বর্ণনা করে একটি পৃথক খণ্ড লিখেছিলেন, তবে তাঁর প্রথম বইটি কীভাবে গ্রহণ করা হবে তা দেখার জন্য প্রকাশনা বন্ধ করে দিয়েছিলেন। 1617 খ্রিষ্টাব্দে জন মারা যান। তাঁর পুত্র রবার্ট 1619 সালে হেনরি ব্রিগস দ্বারা সংযোজন সহ তাঁর পিতার বই মিরিফিকি লগারিদমোরাম ক্যানোনিস কনস্ট্রাক্টিও প্রকাশ করেন। সাইন ফাংশনের লগারিদম গণনার সুবিধার্থে নেপিয়ার কীভাবে জ্যামিতিক অগ্রগতির তিনটি সারণি তৈরি এবং ব্যবহার করেছিলেন তা কনস্ট্রাক্টিও বিশদভাবে বর্ণনা করে। নেপিয়ারের সময়ে, ইউরোপে ব্যবহৃত দশমিক স্বরলিপি শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করত। সাইমন স্টিভিন একটি দশমিক সংখ্যা সহ একটি ভগ্নাংশ অংশ অন্তর্ভুক্ত করার প্রস্তাব করেছিলেন তবে তাঁর স্বরলিপিটি বিশ্রী ছিল। একটি দশমিক সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা অংশকে ভগ্নাংশ অংশ থেকে আলাদা করার জন্য একটি পর্যায়কাল ব্যবহার করার ধারণাটি নেপিয়ার নিজেই তাঁর কনস্ট্রিক্টিও বই, ধারা 5-এ প্রস্তাব করেছিলেন, "সংখ্যায় তাদের মধ্যে একটি সময়কাল দ্বারা আলাদা করা হয়েছে, সময়ের পরে যা কিছু লেখা হয় তা একটি ভগ্নাংশ, যার বিভাজক তার পরে যতগুলি সাইফারের সাথে ঐক্য হয় যতগুলি সময়ের পরে পরিসংখ্যান রয়েছে।" তিনি টেবিলগুলির আরও সঠিক গণনার সুবিধার্থে ধারণাটি ব্যবহার করেছিলেন, তবে মুদ্রিত টেবিলে নয়। সুতরাং তার সারণিতে প্রকাশিত একটি কোণের সাইন মান হল একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা যা 10,000,000 ইউনিটের হাইপোটেনুজ সহ একটি সমকোণের বিপরীত কোণের পাশের দৈর্ঘ্যের প্রতিনিধিত্ব করে। তবে, টেবিলের লগারিদমের সাইন মানকে 10,000,000 দ্বারা ভাগ করা হয়। লগারিদম আবার 10,000,000 এর একটি অন্তর্নিহিত হর সহ একটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে উপস্থাপিত হয়। টেবিলটি 45 জোড়া মুখোমুখি পৃষ্ঠা নিয়ে গঠিত। প্রতিটি জোড়কে 0 থেকে 44 ডিগ্রি এবং নীচে 90 থেকে 45 ডিগ্রি কোণ দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। (44-45 ডিগ্রি পাতাটি একটি দিক।) টেবিলের প্রতিটি পৃষ্ঠার প্রথম কলামটি মিনিটের মধ্যে একটি কোণ বৃদ্ধি, যা পৃষ্ঠার শীর্ষে ডিগ্রি মানের সাথে যুক্ত করা হবে। একেবারে ডানদিকের কলামটি প্রতিটি পৃষ্ঠার নীচে ডিগ্রি মানের সাথে যোগ করার মিনিট। এই বিন্যাসটি এমন যে কোনও পৃষ্ঠার প্রতিটি লাইনের জন্য, 7 নম্বর কলাম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা পূর্ণ কোণটি 1 নম্বর কলামের সহ-কোণ (90°-কলাম _ 1)। প্রতিটি কোণ কলামের সংলগ্ন অভ্যন্তরে সরানো হল সেই কোণের সাইন, তারপরে সেই সাইনটির নেপিয়েরিয়ান লগের পরম মান। পৃষ্ঠা জুড়ে 5 নম্বর কলামটি পড়ে সহজেই 1 নম্বর কলামের জন্য লগ-কোসিন পাওয়া যায় এবং এর বিপরীতও হতে পারে। মাঝের কলামটি দুটি লগের মধ্যে পার্থক্য দেখায়, যা স্পর্শক ফাংশনের নেপিয়ারিয়ান লগ (যদি আপনি লক্ষণগুলি বিপরীত করেন তবে কোট্যাঞ্জেন্ট)। সারণিগুলি একের চেয়ে কম ধনাত্মক সংখ্যার জন্য নেপিয়েরিয়ান লগারিদমের একটি সারণি হিসাবেও ব্যবহার করা যেতে পারে, যুক্তি হিসাবে সাইন মান (কলাম 2 এবং 6) এবং ফলস্বরূপ লগ সাইন মান (কলাম 3 এবং 5) ব্যবহার করে। পদ্ধতিটি বিপরীত করলে অ্যান্টি-লগারিদম পাওয়া যায়। নীচের টেবিলের প্রথম তিনটি সারি নেপিয়ারের টেবিলের বাম দিকের 19 ডিগ্রি পৃষ্ঠার শিরোনাম এবং প্রথম দুটি ডেটা সারি পুনরুত্পাদন করে, ছবি দেখুন। একই কোণের জন্য আধুনিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করে গণনা করা মানগুলি তাদের অনুসরণ করে। এগুলি 8-সংখ্যার নির্ভুলতায় কাটা হয়, যা নেপিয়ারের টেবিলের নামমাত্র 7-সংখ্যার নির্ভুলতার চেয়ে একটি বেশি। স্পষ্টতার জন্য কলাম সংখ্যা দেখানো হয়। বর্ণনামূলক পাঠ্য নেপিয়ার্স ডিস্ক্রিপ্টিও দুটি বইয়ে বিভক্ত। প্রথমটি তাঁর উদ্ভাবন এবং কিছু প্রয়োগের বর্ণনা দেয় এবং টেবিলগুলি অন্তর্ভুক্ত করে। দ্বিতীয়টি ত্রিকোণমিতির প্রয়োগ নিয়ে আলোচনা করে। প্রথম অধ্যায়ের বইটিতে একাধিক সংজ্ঞা এবং প্রস্তাব রয়েছে যা নেপিয়ারের লগারিদমের ধারণাটি ব্যাখ্যা করে। তিনি গতির দুটি মডেলের পরিপ্রেক্ষিতে লগারিদমের ধারণা করেছিলেন। প্রথমটিতে, একটি কণা একটি বিন্দু থেকে শুরু হয় এবং একটি সরলরেখা বরাবর স্থির গতিতে চলে। দ্বিতীয়টিতে, একটি কণা একটি সরলরেখা বরাবর চলে, যা একই প্রাথমিক গতিতে শুরু হয়, কিন্তু তার গতি প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে তার দূরত্বের অনুপাতে হ্রাস পায়। একটি সংখ্যার লগারিদম, a, তখন ধ্রুবক গতির মডেলে একটি কণা দ্বারা ভ্রমণ করা দূরত্ব, দ্বিতীয়, বিপরীত আনুপাতিক মডেলে কণাটিকে a-তে পৌঁছাতে যে সময় লাগে। তিনি 10,000,000-এর লগারিদমকে শূন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন এবং এর চেয়ে কম মানের লগারিদমকে ধনাত্মক বলে সংজ্ঞায়িত করেছেন, যেখানে বৃহত্তর সংখ্যার একটি ঋণাত্মক লগারিদম রয়েছে, যা আধুনিক লগারিদম থেকে চিহ্নের বিপরীত। (এই চিহ্ন পরিবর্তন কখনও কখনও এই বলে প্রকাশ করা হয় যে নেপিয়ার বেস 1/ই সহ লগারিদম ব্যবহার করেছেন।) তিনি উল্লেখ করেছেন যে শূন্য লগ থাকার জন্য যে কোনও মান বেছে নেওয়ার স্বাধীনতা তাঁর রয়েছে, আধুনিক ভাষায় বেস, তবে গণনার সহজতার জন্য 10,000,000 বেছে নেন কারণ এটি তাঁর সাইন টেবিলের "মোট সাইন" (হাইপোটেনুজ) এর সাথে মেলে। নেপেরিয়ান লগারিদম দেখুন। দ্বিতীয় অধ্যায়ে লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করা হয়েছে এবং অনুপাতের সাথে কাজ করার জন্য কিছু সূত্র (পাঠ্য আকারে) দেওয়া হয়েছে। এটি একটি নোট দিয়ে শেষ হয় যে তিনি লগারিদম নির্মাণের উপর তাঁর কাজের প্রকাশনা বিলম্বিত করছেন যতক্ষণ না তিনি দেখেন যে তাঁর আবিষ্কারটি কীভাবে গ্রহণ করা হয়। অধ্যায় 3 টেবিল এবং তাদের সাতটি কলাম বর্ণনা করে, উপরে দেখুন। চতুর্থ অধ্যায়টি টেবিলগুলি কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা ব্যাখ্যা করে এবং সাইন স্পর্শক এবং সিক্যান্টগুলির জন্য কার্যকর উদাহরণ দেয়। তিনি আরও ব্যাখ্যা করেছেন যে কীভাবে সাইন মানগুলিকে যুক্তি হিসাবে এবং ফলস্বরূপ লগ-সাইন মানগুলি ব্যবহার করে সরাসরি সংখ্যার লগারিদম পাওয়া যায় এবং তদ্বিপরীত। তিনি দশের বিভিন্ন গুণিতক নিয়ে আলোচনা করেন এবং একটি স্বরলিপির প্রবর্তন করেন, যা আধুনিক বৈজ্ঞানিক স্বরলিপির অনুরূপ, যেখানে তিনি কয়েক দশক ধরে সংশোধনের প্রয়োজনীয়তা নির্দেশ করার জন্য একটি পরিমাণের লগারিদমের পরে বেশ কয়েকটি শূন্য যুক্ত করেন। তিনি বিভিন্ন ক্ষেত্রে যোগ বা বিয়োগ করার জন্য নির্দিষ্ট লগারিদম পরিমাণ দেনঃ 23025842 + 0 বা 46051684 + 00, বা 69077527 + 000, বা 92103369 + 0000, বা 115129211 + 00000 এগুলি 10,000,000 * ln (10), 10,000,000 * ln (100), ইত্যাদির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। 5ম অধ্যায়ে নেপিয়ারের লগারিদম ব্যবহার করে আনুপাতিকতার চারটি সমস্যা এবং তাদের সমাধান উপস্থাপন করা হয়েছে। তিনি এই প্রশ্ন দিয়ে শেষ করেন, "এই লগারিদমগুলির দ্বারা কতটা বড় সুবিধা পাওয়া যায়ঃ যেহেতু গুণনের জন্য এগুলির যোগ, বিভাগীয় জন্য বিয়োগ, বর্গমূল উত্তোলনের জন্য দুটি দ্বারা বিভাজন এবং ঘনমূলের জন্য তিনটি দ্বারা. গণনার সমস্ত ভারী কাজ এড়ানো হয়।" দ্বিতীয় বইটি "সেই মহৎ ধরনের জ্যামিতি, যাকে ত্রিকোণমিতি বলা হয়" নিয়ে আলোচনা করে। প্রথম অধ্যায়ে সমতল ত্রিকোণমিতিতে ডান ত্রিভুজ এবং বিশেষত ছোট কোণের সমস্যা সমাধানের জন্য লগারিদম ব্যবহার করা হয়েছে, যেখানে তার ত্রিকোণমিতির লগারিদম বড় হয়ে যায়। পরবর্তী অধ্যায়ে সমতল তির্যক ত্রিভুজ রয়েছে। অবশিষ্ট অধ্যায়গুলি গোলাকার ত্রিকোণমিতিকে অন্তর্ভুক্ত করে, যা চতুর্ভুজ দিয়ে শুরু হয়। তিনি তাঁর পেন্টাগ্রামমা মিরিফিকামকেও বর্ণনা করেছেন, গোলকের উপর একটি পাঁচ-পয়েন্টযুক্ত তারা যার কোণগুলি 90 ডিগ্রি। মিরিফিকি লগারিদমোরাম ক্যানোনিস কনস্ট্রাকটিও [[ফাইলঃ কনস্ট্রাকটিওর ইংরেজি অনুবাদের বিস্ময়কর ক্যাননের নির্মাণ Logarithms-0025.jpg |thumb |Title পৃষ্ঠা] নেপিয়ার তাঁর ধারণাগুলির উপর গণিত সম্প্রদায়ের প্রতিক্রিয়া মুলতুবি রেখে কীভাবে তিনি তাঁর লগারিদমের টেবিল তৈরি করেছিলেন তার তত্ত্ব এবং বিশদ প্রকাশ করতে অনিচ্ছুক ছিলেন এবং ডিস্ক্রিপ্টিও প্রকাশের পরেই তিনি মারা যান। তাঁর পুত্র রবার্ট 1619 সালে কনস্ট্রাকটিও প্রকাশ করেন। খণ্ডটিতে রবার্টের একটি ভূমিকা এবং বেশ কয়েকটি পরিশিষ্ট রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে গোলাকার ত্রিভুজগুলি আরও সহজে সমাধান করার জন্য জন নেপিয়ারের পদ্ধতির একটি বিভাগ এবং হেনরি বিগসের "অন্য এবং আরও ভাল ধরনের লগারিদম"-এর একটি বিভাগ, যথা বেস 10 বা সাধারণ লগারিদম। উইলিয়াম রে ম্যাকডোনাল্ডের একটি ইংরেজি অনুবাদ 1889 সালে টীকাসহ প্রকাশিত হয়। নেপিয়ার্স বিভিন্ন গতির প্রোফাইলের অধীনে চলমান দুটি বিন্দুর মধ্যে একটি চিঠিপত্রের মাধ্যমে লগারিদম বর্ণনা করে। প্রথম বিন্দু, পি, একটি সীমাবদ্ধ রেখা বিভাগ পি0 থেকে কিউ বরাবর চলে, একটি প্রাথমিক গতিবেগ সহ যা পি-এর দূরত্বের সাথে কিউ-এর আনুপাতিকভাবে হ্রাস পায়। দ্বিতীয় বিন্দু, এল, পি হিসাবে একই সময়ে এল 0 থেকে শুরু করে এবং একই প্রাথমিক গতিতে একটি সীমাহীন লাইন বিভাগ বরাবর চলে, কিন্তু পরিবর্তন ছাড়াই সেই গতি বজায় রাখে। পি-এর প্রতিটি সম্ভাব্য অবস্থানের জন্য, কিউ থেকে তার দূরত্ব দ্বারা পরিমাপ করা হয়, এল-এর একটি সংশ্লিষ্ট যুগপৎ অবস্থান রয়েছে। নেপিয়ার পি থেকে কিউ-এর দূরত্বের লগারিদমকে এল0 থেকে সেই এল-এর দূরত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। গণনা পদ্ধতির নেপিয়ার তার লগারিদমের সারণী গণনা করার জন্য বেশ কয়েকটি অন্তর্দৃষ্টির উপর নির্ভর করে। উচ্চ নির্ভুলতা অর্জনের জন্য তিনি 10,000,000 এর একটি বড় ভিত্তি দিয়ে শুরু করেন। কিন্তু তারপরে তিনি একটি স্বরলিপিতে দশমিক ভগ্নাংশ ব্যবহার করে অতিরিক্ত নির্ভুলতা অর্জন করেন যা তিনি উদ্ভাবন করেছিলেন, কিন্তু এখন সর্বজনীনভাবে পরিচিত, যথা একটি দশমিক বিন্দু ব্যবহার করে। তিনি কিছু উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করেন যে তাঁর স্বরলিপি কীভাবে কাজ করে। তিনি তাঁর গণনায় যে কোনও ত্রুটি ঘটতে বাধ্য করার জন্য ব্যবধান গাণিতিকের একটি রূপও প্রবর্তন করেছেন। এখন তিনি আরেকটি পরিচিত তথ্য লক্ষ্য করেছেন যে, 10-এর ঘাত বিশিষ্ট হরের ভগ্নাংশগুলি দশমিক বিন্দুর সাপেক্ষে সংখ্যাটি স্থানান্তর করে দশমিক স্বরলিপিতে সহজেই গণনা করা যেতে পারে। তিনি যেমন বলেনঃ "আমরা একটি সংখ্যার সহজ অংশ বলি, যে কোনও অংশের হরগুলি একক দ্বারা গঠিত এবং বেশ কয়েকটি সাইফার, যেমন অংশগুলি মূল সংখ্যার শেষে যতগুলি সংখ্যা প্রত্যাখ্যান করে প্রাপ্ত হয় যেমন হরটিতে সাইফার রয়েছে।" তিনি উল্লেখ করেছেন যে গাণিতিক অগ্রগতি গণনা করা সহজ কারণ এগুলিতে কেবল যোগ এবং বিয়োগ জড়িত থাকে তবে জ্যামিতিক অগ্রগতি গণনা করা সাধারণভাবে কঠিন কারণ এগুলিতে গুণ, বিভাজন এবং সম্ভবত মূল জড়িত থাকে। তবে তিনি লক্ষ্য করেছেন যে জ্যামিতিক অগ্রগতিগুলি ফর্মের গুণকগুলির সাথে জড়িত (অর্থাৎ। ফর্মের 0.99.9, এম নাইন সহ) প্রতি পর্যায়ে মাত্র একটি শিফট এবং একটি বিয়োগ ব্যবহার করে নির্বিচারে নির্ভুলতায় গণনা করা যেতে পারে। একইভাবে, ফর্মের গুণক (অর্থাৎ। 0.99.95)-এর জন্য শুধুমাত্র একটি শিফট প্রয়োজন, পূর্ণ নির্ভুলতার জন্য প্রতি পর্যায়ে দুই দ্বারা একটি বিভাগ এবং একটি বিয়োগ, যা তিনি "সহনীয়ভাবে সহজ" বলে অভিহিত করেন। নেপিয়ার আরও লক্ষ্য করেছেন যে, একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির লগারিদম প্রতিটি পর্যায়ে একটি ধ্রুবক মান দ্বারা পৃথক হয়, যথা গুণকের লগারিদম। সুতরাং যদি কেউ জ্যামিতিক অগ্রগতির প্রাথমিক মান এবং গুণকের লগারিদম জানেন, তবে গুণকের লগারিদমের পুনরাবৃত্তি যোগ করে অগ্রগতির প্রতিটি সদস্যের লগারিদম গণনা করা যেতে পারে। প্রথম লগারিদম গণনা তার দুই রেখার মডেল ব্যবহার করে, নেপিয়ার 0.9999999 এর লগারিদমের জন্য নিম্ন এবং উপরের সীমা খুঁজে পান। তার নিম্ন সীমা ধরে নেয় যে পি বিন্দুটি ধীর হয় না, সেক্ষেত্রে এল 1-0.9999999 দূরত্ব অতিক্রম করবে। তার উপরের সীমাটি ধরে নেয় যে পি তার চূড়ান্ত গতিতে 0.9999999 দিয়ে শুরু হয়েছিল, সেক্ষেত্রে এল (1-0.9999999)/0.9999999 এর দূরত্ব সরিয়ে ফেলবে। তার ব্যাসার্ধ 10,000,000 দ্বারা স্কেল করা, নিম্ন সীমা হল 1 এবং তার উপরের সীমা হল 1.0000001। তিনি পরামর্শ দেন যে যেহেতু এই মানগুলির মধ্যে পার্থক্য ক্ষুদ্র, তাই তাদের মধ্যে যে কোনও মান 10 মিলিয়নের মধ্যে এক অংশেরও কম একটি "অসংবেদনশীল ত্রুটি" উপস্থাপন করবে, তবে তিনি খুব বেশি ব্যাখ্যা ছাড়াই, মধ্যবিন্দু, 1.00000005 বেছে নেন। এই পছন্দটি তাকে তার অনুবাদক উইলিয়াম রে ম্যাকডোনাল্ড হিসাবে অনেক বেশি নির্ভুলতা দেয়। একটি পরিশিষ্টে উল্লেখ করা হয়েছে যে,. 9999999-এর লগারিদমের জন্য নেপিয়ারের স্কেল আপ মান সঠিক মান, 1.00000005 00000033333583-এর খুব কাছাকাছি, এবং লগারিদমের পরবর্তী সমস্ত গণনা 1.00000005 মান থেকে উদ্ভূত। ম্যাকডোনাল্ড পরামর্শ দেন যে মধ্যবিন্দু বেছে নেওয়ার জন্য নেপিয়ারের অবশ্যই আরও ভাল কারণ ছিল। সহায়ক টেবিল নেপিয়ার তিনটি টেবিল তৈরি করতে এই অন্তর্দৃষ্টি ব্যবহার করে। প্রথম সারণিতে, আধুনিক স্বরলিপিতে, 0 থেকে 100 পর্যন্ত n-এর জন্য 10000000 * (0.9999999) n সংখ্যা রয়েছে। দ্বিতীয়টিতে 0 থেকে 50 পর্যন্ত n-এর জন্য 100000 * (0.99999) n সংখ্যা রয়েছে। তারপরে তিনি তার প্রথম টেবিলের সমস্ত এন্ট্রির জন্য লগারিদম পূরণ করতে. 9999999-এর লগের জন্য তার মান প্রয়োগ করেন। তিনি. 99999-এর লগ গণনা করতে শেষ এন্ট্রিটি ব্যবহার করতে পারেন, যেহেতু. 9999999100.99999-এর খুব কাছাকাছি। তারপরে তিনি তাঁর দ্বিতীয় টেবিলটি ব্যবহার করেন, যা মূলত. 99999-এর লগারিদম গণনা করতে. 99999-এর 50 ঘাত। ম্যাকডোনাল্ড আরও উল্লেখ করেছেন যে নেপিয়ারের দ্বিতীয় টেবিলের গণনায় একটি ত্রুটি দেখা দিয়েছে; নেপিয়ারের পঞ্চাশতম মান হল 9995001.222927, তবে এটি 9995001.22480 হওয়া উচিত। ম্যাকডোনাল্ড তাঁর পরিশিষ্টে এই ত্রুটির পরিণতি নিয়ে আলোচনা করেছেন। র্যাডিক্যাল টেবিল নেপিয়ার তারপর 69টি কলাম এবং 21টি সারি সহ অনুপাতের একটি তৃতীয় টেবিল তৈরি করে, যাকে তিনি তাঁর "র্যাডিক্যাল টেবিল" বলে অভিহিত করেন। 1 দিয়ে শুরু হওয়া উপরের সারিগুলির অনুপাত হল 0.99। প্রতিটি কলামে এন্ট্রিগুলি 0.9995 অনুপাতে রয়েছে। (লক্ষ্য করুন যে 0.9995 = 1-1/2000, অর্ধেক, স্থানান্তর এবং বিয়োগের মাধ্যমে "সহনীয়ভাবে সহজ" গুণনের অনুমতি দেয়।) নেপিয়ার. 99-এর লগারিদম গণনা করার জন্য প্রথম কলামটি ব্যবহার করেন,. 9995-এর লগ ব্যবহার করে, যা তার কাছে ইতিমধ্যেই রয়েছে। তিনি এখন তৃতীয় সারণিতে প্রতিটি এন্ট্রির লগারিদম পূরণ করতে পারেন কারণ আনুপাতিকতা অনুসারে, এন্ট্রির মধ্যে লগারিদমের পার্থক্য স্থির থাকে। তৃতীয় টেবিলটি এখন 1,449টি মানের একটি সেটের জন্য লগারিদম সরবরাহ করে যা মোটামুটিভাবে 5,000,000 থেকে 10,000,000 পর্যন্ত পরিসীমা জুড়ে থাকে, যা 10,000,000 ব্যাসার্ধ ধরে নিয়ে 30 থেকে 90 ডিগ্রি পর্যন্ত সাইন ফাংশনের মানগুলির সাথে মিলে যায়। নেপিয়ার তখন ব্যাখ্যা করেন যে কীভাবে সেই পরিসরে লগারিদমের জন্য একটি সীমানা ব্যবধান গণনা করতে টেবিলগুলি ব্যবহার করা যায়। প্রকাশিত টেবিলগুলি তৈরি করার পরে নেপিয়ার তার প্রকাশিত টেবিলগুলি পুনরুত্পাদন করার নির্দেশ দেয়, তাদের সাতটি কলাম এবং প্রতিটি মিনিটের বৃত্তের কভারেজ সহ। তিনি নিজে সাইনগুলি গণনা করেন না, যার জন্য মানগুলি ইতিমধ্যে উপলব্ধ টেবিল থেকে পূরণ করতে হবে। "রেইনহোল্ডের সাইনগুলির সাধারণ টেবিল, বা অন্য যে কোনও আরও সঠিক, আপনাকে এই মানগুলি সরবরাহ করবে।" 30 ডিগ্রি থেকে 90 ডিগ্রি কোণের জন্য সাইনগুলির লগারিদমগুলি র্যাডিকাল টেবিল এবং এর লগারিদমের নিকটতম সংখ্যাটি খুঁজে বের করে এবং রৈখিক ইন্টারপোলেশন দ্বারা পছন্দসই সাইনটির লগারিদম গণনা করে গণনা করা হয়। তিনি 30 ডিগ্রির কম কোণের সাইনগুলির জন্য লগারিদম গণনা করার বিভিন্ন উপায়ের পরামর্শ দেন। উদাহরণস্বরূপ, 0.00-এর কম একটি সাইনকে দুই বা দশের কিছু ঘাত দ্বারা গুণ করে [0.5,1] পরিসরে আনা যেতে পারে। র্যাডিকেল টেবিলে সেই লগারিদম খুঁজে পাওয়ার পর, প্রয়োজনীয় লগারিদম পেতে দুই বা দশের শক্তির লগারিদম যোগ করা হয় (তিনি একটি ছোট টেবিল দেন)। নেপিয়ার শেষ করেন এই বলে যে তাঁর টেবিল প্রসারিত করার দুটি পদ্ধতি সামান্য পার্থক্য সহ ফলাফল দেয়। তিনি প্রস্তাব করেন যে অন্যরা "যাদের প্রচুর ছাত্র এবং কম্পিউটার থাকতে পারে" একই পদ্ধতিতে 10,000,000,000 এর বৃহত্তর স্কেল ফ্যাক্টর সহ একটি নতুন টেবিল তৈরি করে, তবে কেবল 35 টি কলাম সহ একটি র্যাডিকাল টেবিল ব্যবহার করে, যা 45 থেকে 90 ডিগ্রি পর্যন্ত ফেরেশতাদের আচ্ছাদন করার জন্য যথেষ্ট। একটি পরিশিষ্টে, নেপিয়ার "আরেকটি এবং আরও ভাল ধরনের লগারিদম" নির্মাণের বিষয়ে আলোচনা করেছেন যেখানে একটির লগারিদম শূন্য এবং দশটির লগারিদম 10,000,000,000, সূচক। এটি মূলত লার্জ স্কেল ফ্যাক্টর সহ বেস 10 লগারিদম। তিনি এই ধরনের একটি সারণী গণনা করার বিভিন্ন উপায় নিয়ে আলোচনা করেন এবং 2-এর লগারিদমকে 210,000,000-এ সংখ্যার সংখ্যা হিসাবে বর্ণনা করে শেষ করেন, যা তিনি 301029995 হিসাবে গণনা করেন। পরিশিষ্টের পরে নেপিয়ারের ধারণা এবং বেস-10 লগারিদম সম্পর্কে হেনরি ব্রিগস মন্তব্য করেছেন। পরবর্তী অংশে নেপিয়ারের 12 পৃষ্ঠার একটি প্রবন্ধ রয়েছে যার শিরোনাম হল "বিস্ময়কর সহজতার সাথে গোলাকার ত্রিভুজের সমাধানের জন্য কিছু খুব উল্লেখযোগ্য প্রস্তাবনা", যেখানে তিনি বর্ণনা করেছেন যে কীভাবে তাদের দুটি সমকোণ ত্রিভুজে বিভক্ত না করে সমাধান করা যায়। এই বিভাগটি ব্রিগস-এর ভাষ্য দ্বারাও অনুসরণ করা হয়। অনুবাদক, ম্যাকডোনাল্ড, এই মুহুর্তে কিছু নোট অন্তর্ভুক্ত করেছেন, নেপিয়ারের নামের বানান, দ্বিতীয় খণ্ড প্রকাশের বিলম্বের উল্লেখ, দশমিক গাণিতিক বিকাশ, নেপিয়ারের দ্বিতীয় সারণিতে ত্রুটি এবং নেপিয়ারের পদ্ধতির নির্ভুলতা এবং বেস-10 লগারিদম গণনা করার পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করেছেন। শেষ অংশটি হল পাবলিক লাইব্রেরিতে নেপিয়ারের কাজের ম্যাকডোনাল্ডের একটি ক্যাটালগ, যার মধ্যে ধর্মীয় কাজ, বিভিন্ন ভাষার সংস্করণ রয়েছে। এবং জন নেপিয়ার এবং লগারিদমের কাজ সম্পর্কিত অন্যান্য বই। রিসেপশন নেপিয়ারের গণনার অভিনব পদ্ধতি ব্রিটেন এবং বিদেশে দ্রুত ছড়িয়ে পড়ে। কেপলার তাঁর 1620 সালের এফেরেরিসকে নেপিয়ারকে উৎসর্গ করেছিলেন, একটি চিঠির মাধ্যমে তাঁর আবিষ্কার এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানে এর সুবিধার জন্য তাঁকে অভিনন্দন জানিয়ে। কেপলার ছোট কোণে কিছু ত্রুটি ছাড়া কোনও প্রয়োজনীয় ত্রুটি খুঁজে পাননি। সেলেস্টিয়াল নেভিগেশনের একজন কর্তৃপক্ষ এডওয়ার্ড রাইট 1615 সালে নেপিয়ারের ল্যাটিন বর্ণনা ইংরেজিতে অনুবাদ করেন, যদিও রাইটের মৃত্যুর কারণে প্রকাশনা বিলম্বিত হয়েছিল। ব্রিগস ধারণাটিকে আরও সুবিধাজনক ভিত্তি 10, বা সাধারণ লগারিথমে প্রসারিত করেছিলেন। উরসিনস নেপিয়ারকে "একজন সমান গণিতবিদ" বলে অভিহিত করেছিলেন। তিনশো বছর পর, 1914 সালে, ই. ডব্লিউ. হবসন লগারিদমকে "বিশ্বের সবচেয়ে বড় বৈজ্ঞানিক আবিষ্কারগুলির মধ্যে একটি" বলে অভিহিত করেন। 1620 খ্রিষ্টাব্দে এডমন্ড গুন্টার লগারিদমিক স্কেল সহ একটি শাসক তৈরি করেছিলেন; এক জোড়া বিভাজক দিয়ে এটি গুণ এবং ভাগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। 1622 খ্রিষ্টাব্দে উইলিয়াম ওউট্রেড দুটি হ্যান্ডহেল্ড গুন্টার নিয়মকে একত্রিত করে একটি গণনার যন্ত্র তৈরি করেন যা মূলত প্রথম স্লাইড নিয়ম ছিল। লগারিদম ফাংশন গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি প্রধান অংশ হয়ে ওঠে, তবে বিংশ শতাব্দীতে যান্ত্রিক ক্যালকুলেটরকে গুণ করার সাথে সাথে লগারিদমের মুদ্রিত সারণির গুরুত্ব ধীরে ধীরে হ্রাস পায় এবং পরে, বৈদ্যুতিন কম্পিউটারগুলি উচ্চ নির্ভুলতার গণনার প্রয়োজনীয়তা গ্রহণ করে। 1970-এর দশকে হাতে ধরা বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর প্রবর্তনের ফলে স্লাইড নিয়মের যুগের অবসান ঘটে। দ্য আমেরিকান প্র্যাকটিক্যাল ন্যাভিগেটর (বোডিচ)-এর বর্তমান, 2002 সংস্করণে এখনও ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লগারিদম এবং লগারিদমের সারণি রয়েছে। আরও দেখুন লগারিদম গুণন চিহ্নের ইতিহাস তথ্যসূত্র লগারিদম গণিতের ইতিহাস