Reeb sphere theorem
গণিতে, জর্জ রিবের নামে নামকরণ করা রিব গোলক উপপাদ্য বলে যে, একটি বদ্ধমুখী সংযুক্ত বহুগুণিত M n যা শুধুমাত্র কেন্দ্রযুক্ত একটি একক ফোলিওশনকে স্বীকার করে, তা গোলক Sn-এর সমরূপ এবং ফোলিওশনের ঠিক দুটি এককত্ব রয়েছে। মোর্স ফলিয়েশন একটি ফলিয়েশন এফ-এর এককত্ব মোর্স ধরনের হয় যদি তার ছোট পাড়ায় ফলিয়েশনের সমস্ত পাতা একটি মোর্স ফাংশনের স্তর সেট হয়, এককত্ব ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু। এককত্ব একটি কেন্দ্র যদি এটি ফাংশনের একটি স্থানীয় চরম হয়; অন্যথায়, এককত্ব একটি স্যাডল হয়। কেন্দ্রের সংখ্যা সি এবং স্যাডলের সংখ্যা, বিশেষত, বহুগুণিত টপোলজির সাথে দৃly়ভাবে সংযুক্ত। আমরা একটি এককত্বের সূচককে নির্দেশ করি, যেখানে k হল একটি মোর্স ফাংশনের সংশ্লিষ্ট সমালোচনামূলক বিন্দুর সূচক। বিশেষ করে, একটি কেন্দ্রের সূচক 0 থাকে, একটি স্যাডলের সূচক কমপক্ষে 1 হয়। একটি ম্যানিফোল্ড এম-এর উপর একটি মোর্স ফোলিয়েশন এফ হল একটি একক ট্রান্সভার্সলি ওরিয়েন্টেড কোডিমেনশন যা পৃথক এককত্ব সহ শ্রেণীর একটি ফোলিয়েশন যেমনঃ এফ-এর প্রতিটি এককত্ব মোর্স ধরনের, প্রতিটি একক পাতা এল-এ একটি অনন্য এককত্ব পি থাকে; উপরন্তু, যদি তা সংযুক্ত না থাকে। রিব গোলক উপপাদ্য এই ক্ষেত্রে, স্যাডল ছাড়া ক্ষেত্রে। উপপাদ্যঃ ধরা যাক একটি বদ্ধ অভিমুখী সংযুক্ত মাত্রিক। ধরে নিন যে একটি-ট্রান্সভার্সলি ওরিয়েন্টেড কোডিমেনশন স্বীকার করে একটি ফোলিয়েশন এককত্বের একটি খালি সেট সহ তাদের সবগুলিই কেন্দ্র করে। তারপর এর একবচন সেট দুটি বিন্দু নিয়ে গঠিত এবং গোলকের সমরূপ। এটি রিব স্থায়িত্ব উপপাদ্যের একটি ফলাফল। সাধারণীকরণ আরও সাধারণ উদাহরণ হল 1978 সালে, এডওয়ার্ড ওয়াগনিউর রিব গোলক উপপাদ্যকে স্যাডল সহ মোর্স পাতার জন্য সাধারণীকরণ করেছিলেন। তিনি দেখিয়েছেন যে স্যাডলের সংখ্যার তুলনায় কেন্দ্রের সংখ্যা খুব বেশি হতে পারে না, বিশেষ করে। সুতরাং ঠিক দুটি ঘটনা রয়েছে যখনঃ (1) (2) তিনি বহুগুণের একটি বিবরণ পেয়েছিলেন যা এককত্বের সাথে একটি ফোলিয়েশন স্বীকার করে যা সন্তুষ্ট করে (1)। উপপাদ্যঃ কেন্দ্র এবং স্যাডলগুলির সাথে একটি মোর্স ফোলিওশন স্বীকার করে একটি কম্প্যাক্ট সংযুক্ত ম্যানিফোল্ড হতে দিন। তারপর। যদি সমরূপ হয়, তবে সমস্ত স্যাডলের সূচক 1 থাকে, প্রতিটি নিয়মিত পাতার সূচক ভিন্ন হয়। অবশেষে, 2008 সালে, সিজার কামাচো এবং ব্রুনো স্কার্দুয়া মামলাটি বিবেচনা করেন (2)। এটি অল্প সংখ্যক নিম্ন মাত্রায় সম্ভব। উপপাদ্যঃ ধরা যাক একটি কম্প্যাক্ট সংযুক্ত ম্যানিফোল্ড এবং একটি মোর্স ফোলিয়েশন চালু। যদি, তাহলে বা, একটি ইলস-কুইপার বহুগুণ। তথ্যসূত্র টপোলজিতে পর্ণসমূহ উপপাদ্য