Welch bounds
গণিতে, ওয়েল্চ সীমা হল ভেক্টর স্পেসে একক ভেক্টরের একটি সেট সমানভাবে ছড়িয়ে দেওয়ার সমস্যার সাথে প্রাসঙ্গিক বৈষম্যের একটি পরিবার। টেলিযোগাযোগ প্রকৌশলের নির্দিষ্ট কিছু পদ্ধতির নকশা ও বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে, বিশেষ করে কোডিং তত্ত্বের ক্ষেত্রে, সীমা হল গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার। সীমানা মূলত এল. আর. ওয়েলচ দ্বারা 1974 সালের একটি গবেষণাপত্রে প্রকাশিত হয়েছিল। গাণিতিক বিবৃতি যদি একক ভেক্টর হয়, সংজ্ঞায়িত করুন, স্বাভাবিক অভ্যন্তরীণ গুণফল কোথায় থাকে। তারপর নিম্নলিখিত বৈষম্যগুলি থাকেঃ ওয়েল্চ সীমানা কখনও কখনও ভেক্টরের সেটের মধ্যে গড় বর্গাকার ওভারল্যাপের পরিপ্রেক্ষিতেও বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, একজনের অসমতা প্রয়োগযোগ্যতা রয়েছে যদি, তখন ভেক্টরগুলি একটি অর্থোনর্মাল সেট তৈরি করতে পারে। এই ক্ষেত্রে, এবং সীমানা শূন্য। ফলস্বরূপ, সীমার ব্যাখ্যা কেবল তখনই অর্থপূর্ণ হয় যদি। এই নিবন্ধের বাকি অংশ জুড়ে এটি অনুমান করা হবে। k = 1-এর প্রমাণ "ফার্স্ট ওয়েলচ বাউন্ড", যার সাথে সম্পর্কিত, প্রয়োগগুলিতে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়। এর প্রমাণ দুটি ধাপে এগিয়ে যায়, যার প্রতিটি আরও মৌলিক গাণিতিক বৈষম্যের উপর নির্ভর করে। প্রথম ধাপটি কচি-শোয়ার্জ বৈষম্যকে আহ্বান করে এবং ভেক্টরগুলির গ্রাম ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করে শুরু হয়; অর্থাৎ, এর ট্রেস তার আইগেনভ্যালুগুলির যোগফলের সমান। কারণ এর র্যাঙ্ক সর্বাধিক, এবং এটি একটি ধনাত্মক সেমিডিফাইনাইট ম্যাট্রিক্স, এর সর্বাধিক ধনাত্মক আইগেনভ্যালু রয়েছে যার অবশিষ্ট আইগেনভ্যালুগুলি শূন্যের সমান। এর অ-শূন্য আইগেনভ্যালুগুলি সহ হিসাবে লেখা এবং একটি ভেক্টরের সাথে একটি-ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ উৎপাদনে কচি-শোয়ার্জ বৈষম্য প্রয়োগ করা যার উপাদানগুলি এই আইগেনভ্যালুগুলি সন্তুষ্ট করে এর ফ্রোবেনিয়াস আদর্শের বর্গ (হিলবার্ট-শ্মিট আদর্শ) এটিকে পূর্ববর্তী বৈষম্যের সাথে একত্রে নিলে পাওয়া যায় কারণ প্রত্যেকটির একক দৈর্ঘ্য রয়েছে, প্রধান তির্যকের উপাদানগুলি এক, এবং তাই এর ট্রেস হল। সুতরাং, বা প্রমাণের দ্বিতীয় অংশে একটি অসমতা ব্যবহার করা হয়েছে যা সহজ পর্যবেক্ষণকে অন্তর্ভুক্ত করে যে অ-ঋণাত্মক সংখ্যার একটি সেটের গড় সেটের বৃহত্তম সংখ্যার চেয়ে বেশি হতে পারে না। গাণিতিক স্বরলিপিতে, যদি জন্য হয়, তাহলে পূর্ববর্তী অভিব্যক্তিটির যোগফল অ-ঋণাত্মক পদ রয়েছে, যার মধ্যে সবচেয়ে বড়টি হল। সুতরাং, বা যা ঠিক সেই ক্ষেত্রে ওয়েলচ দ্বারা প্রদত্ত বৈষম্য। ওয়েল্চ সীমা অর্জন নির্দিষ্ট কিছু টেলিযোগাযোগ প্রয়োগে, সমতার সাথে ওয়েল্চ সীমা পূরণ করে এমন ভেক্টরের সেট তৈরি করা কাম্য। বাউন্ডের জন্য ভেক্টরের তথাকথিত ওয়েলচ বাউন্ড ইকুয়ালিটি (ডাব্লুবিই) সেট পাওয়ার জন্য বেশ কয়েকটি কৌশল চালু করা হয়েছে। উপরে দেওয়া প্রমাণটি দেখায় যে দুটি পৃথক গাণিতিক অসমতা ওয়েল্চ বাউন্ডে অন্তর্ভুক্ত করা হয় যখন। কচি-শোয়ারজ বৈষম্য সমতার সাথে পূরণ করা হয় যখন জড়িত দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হয়। উপরের প্রমাণটিতে এটি যেভাবে ব্যবহার করা হয়েছে, তা তখনই ঘটে যখন গ্রাম ম্যাট্রিক্সের সমস্ত অ-শূন্য আইগেনভ্যালু সমান হয়, যা ঠিক তখনই ঘটে যখন ভেক্টরগুলি একটি টাইট ফ্রেম গঠন করে। প্রমাণের অন্যান্য বৈষম্য সমতার সাথে সন্তুষ্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি পছন্দের জন্য একই হয়। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টরগুলি সমকোণী। সুতরাং এই ওয়েলচ বাউন্ড সমতা পূরণ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ভেক্টরের সেটটি একটি সমকোণী টাইট ফ্রেম হয়। একইভাবে, গড় বর্গাকার ওভারল্যাপের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণিত ওয়েল্চ সীমানা সকলের জন্য স্যাচুরেটেড হয় যদি এবং শুধুমাত্র জটিল প্রজেক্টিভ স্পেসে ভেক্টরের সেটটি একটি-ডিজাইন হয়। আরও দেখুন গোলাকার নকশা কোয়ান্টাম টি-নকশা ইকুইয়াংগুলার লাইন রেফারেন্স বৈষম্য