Lie point symmetry
লাই পয়েন্ট প্রতিসাম্য উন্নত গণিতে একটি ধারণা। ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে, সোফাস লাই সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের (ওডিই) সমাধান অধ্যয়নের জন্য লাই গ্রুপের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। তিনি নিম্নলিখিত প্রধান বৈশিষ্ট্যটি দেখিয়েছেনঃ একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রমকে এক দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে যদি এটি বিন্দু রূপান্তরের এক-পরামিতি লাই গ্রুপের অধীনে অপরিবর্তনীয় হয়। এই পর্যবেক্ষণটি উপলব্ধ একীকরণ কৌশলগুলিকে একীভূত ও প্রসারিত করে। লাই তাঁর গাণিতিক কর্মজীবনের অবশিষ্ট সময় এই অবিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীগুলির বিকাশের জন্য উৎসর্গ করেছিলেন যা এখন গাণিতিক ভিত্তিক বিজ্ঞানের অনেক ক্ষেত্রে প্রভাব ফেলেছে। ডিফারেনশিয়াল সিস্টেমে লাই গ্রুপের প্রয়োগগুলি মূলত লাই এবং এমি নোইথার দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল এবং তারপরে এলি কার্টান দ্বারা সমর্থিত হয়েছিল। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, একটি সিস্টেমের লাই পয়েন্ট প্রতিসাম্য হল রূপান্তরগুলির একটি স্থানীয় গোষ্ঠী যা সিস্টেমের প্রতিটি সমাধানকে একই সিস্টেমের অন্য সমাধানের সাথে ম্যাপ করে। অন্য কথায়, এটি সিস্টেমের সমাধান সেটটিকে নিজের কাছে ম্যাপ করে। লাই গ্রুপের প্রাথমিক উদাহরণ হল অনুবাদ, আবর্তন এবং স্কেলিং। মিথ্যা প্রতিসাম্য তত্ত্ব একটি সুপরিচিত বিষয়। এতে উদাহরণস্বরূপ, বিচ্ছিন্ন প্রতিসাম্যের বিপরীতে অবিচ্ছিন্ন প্রতিসাম্য নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। এই তত্ত্বের সাহিত্য অন্যান্য স্থানের মধ্যে এই নোটগুলিতে পাওয়া যায়। সংক্ষিপ্ত বিবরণ প্রতিসাম্যের প্রকারগুলি মিথ্যা গোষ্ঠী এবং তাই তাদের অসীম জেনারেটরগুলি স্বাভাবিকভাবেই স্বাধীন চলক, অবস্থার চলক (নির্ভরশীল চলক) এবং যে কোনও সীমাবদ্ধ ক্রম পর্যন্ত অবস্থার চলকগুলির ডেরিভেটিভের স্থানের উপর কাজ করার জন্য "প্রসারিত" হতে পারে। আরও অনেক ধরনের প্রতিসাম্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যোগাযোগ রূপান্তরগুলি অসীম জেনারেটরের সহগগুলিকে স্থানাঙ্কের প্রথম ডেরিভেটিভের উপরও নির্ভর করতে দেয়। লাই-ব্যাক্লুন্ড রূপান্তরগুলি তাদের একটি নির্বিচারে ক্রম পর্যন্ত ডেরিভেটিভগুলিকে জড়িত করতে দেয়। এই ধরনের প্রতিসাম্যের অস্তিত্বের সম্ভাবনা নোইথার দ্বারা স্বীকৃত হয়েছিল। লাই পয়েন্ট প্রতিসাম্যের জন্য, অসীম জেনারেটরের সহগগুলি শুধুমাত্র স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে, যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য লাই দ্বারা লাই প্রতিসাম্য চালু করা হয়েছিল। প্রতিসাম্য পদ্ধতির আরেকটি প্রয়োগ হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেমগুলি হ্রাস করা, সহজতর ফর্মের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমতুল্য সিস্টেমগুলি খুঁজে বের করা। একে বলা হয় হ্রাস। সাহিত্যে, কেউ শাস্ত্রীয় হ্রাস প্রক্রিয়া এবং চলমান ফ্রেম-ভিত্তিক হ্রাস প্রক্রিয়া খুঁজে পেতে পারেন। এছাড়াও প্রতিসাম্য গোষ্ঠীগুলি সমাধানের বিভিন্ন প্রতিসাম্য শ্রেণীর শ্রেণীবিভাগের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। জ্যামিতিক কাঠামো অসীম পদ্ধতির লাই-এর মৌলিক উপপাদ্যগুলি নির্দেশ করে যে লাই গোষ্ঠীগুলিকে অসীম জেনারেটর নামে পরিচিত উপাদান দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। এই গাণিতিক বস্তুগুলি অসীম জেনারেটরের একটি লাই বীজগণিত গঠন করে। প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর বদ্ধ রূপ এবং এইভাবে সম্পর্কিত অসীম জেনারেটরগুলি খুঁজে বের করার জন্য হ্রাসকৃত "অসীম প্রতিসাম্য শর্তগুলি" (প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সমীকরণগুলি সংজ্ঞায়িত করা) স্পষ্টভাবে সমাধান করা যেতে পারে। ধরা যাক স্থানাঙ্কের সেট যার উপর একটি সিস্টেম সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে এর কার্ডিনালিটি। ক্ষেত্রের একটি অসীম জেনারেটর হল একটি রৈখিক অপারেটর যার কার্নেল রয়েছে এবং যা লাইবনিজ নিয়মকে সন্তুষ্ট করেঃ প্রাথমিক ব্যুৎপত্তিগুলির প্রামাণিক ভিত্তিতে, এটি এইভাবে লেখা হয়ঃ যেখানে সকলের জন্য রয়েছে। লাই গ্রুপ এবং অসীম জেনারেটরের লাই অ্যালজেব্রা লাই অ্যালজেব্রা উপরে বর্ণিত হিসাবে অসীম জেনারেটরের একটি উৎপাদনকারী সেট দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে। প্রতিটি লাই গ্রুপের সাথে একটি লাই বীজগণিত সংযুক্ত করা যেতে পারে। মোটামুটিভাবে, একটি লাই বীজগণিত হল একটি বীজগণিত যা অতিরিক্ত অপারেশন হিসাবে লাই বন্ধনী দিয়ে সজ্জিত একটি ভেক্টর স্পেস দ্বারা গঠিত। একটি লাই বীজগণিতের ভিত্তি ক্ষেত্র অপরিবর্তনীয় ধারণার উপর নির্ভর করে। এখানে শুধুমাত্র সসীম-মাত্রিক লাই অ্যালজেব্রা বিবেচনা করা হয়। একটি গতিশীল ব্যবস্থা (বা প্রবাহ) হল একটি একক-পরামিতি গোষ্ঠী ক্রিয়া। আসুন আমরা এই ধরনের একটি গতিশীল ব্যবস্থা দ্বারা নির্দেশ করি, আরও সুনির্দিষ্টভাবে, একটি বহুগুণের উপর একটি গোষ্ঠীর একটি (বাম-) ক্রিয়াঃ এমন যে সমস্ত বিন্দুর জন্যঃ নিরপেক্ষ উপাদানটি কোথায়; সকলের জন্য,। একটি অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থা এমন একটি গোষ্ঠীর উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় যা চিহ্নিত করা যেতে পারে। গোষ্ঠী উপাদানগুলি অবিচ্ছিন্ন। একটি অপরিবর্তনীয়, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এমন একটি উপাদান যা রূপান্তরের অধীনে পরিবর্তিত হয় না। মিথ্যা বিন্দুর প্রতিসাম্যের সংজ্ঞা এই অনুচ্ছেদে আমরা সুনির্দিষ্টভাবে প্রসারিত মিথ্যা বিন্দুর প্রতিসাম্য বিবেচনা করি। আমরা একটি প্রসারিত স্থানে কাজ করি যার অর্থ স্বাধীন পরিবর্তনশীল, অবস্থার পরিবর্তনশীল এবং পরামিতিগুলির মধ্যে পার্থক্য যতটা সম্ভব এড়ানো হয়। একটি সিস্টেমের প্রতিসাম্য গ্রুপ হল একটি অবিচ্ছিন্ন গতিশীল সিস্টেম যা একটি স্থানীয় লাই গ্রুপের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় যা একটি ম্যানিফোল্ডের উপর কাজ করে। স্বচ্ছতার জন্য, আমরা নিজেদেরকে এন-ডাইমেনশনাল রিয়েল ম্যানিফোল্ডের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি যেখানে সিস্টেম স্থানাঙ্কের সংখ্যা। আসুন আসন্ন প্রতিসাম্য সংজ্ঞায় ব্যবহৃত বীজগাণিতিক পদ্ধতিগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি। বীজগাণিতিক পদ্ধতিগুলি ধরা যাক ক্ষেত্রের উপর যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ সেট যেখানে এবং বহুপদী অর্থাৎ। সহগ সহ চলকগুলিতে। এর সাথে সম্পর্কিত একটি বীজগাণিতিক ব্যবস্থা নিম্নলিখিত সমতা এবং অসমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি বীজগাণিতিক ব্যবস্থা নিয়মিত (এ. কে. এ। মসৃণ) যদি সিস্টেমটি সর্বাধিক র্যাঙ্কের হয়, যার অর্থ জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স সংশ্লিষ্ট আধা-বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের প্রতিটি সমাধানে র্যাঙ্কের হয়। মিথ্যা বিন্দু প্রতিসাম্যের সংজ্ঞা নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি দেখুন। 2 এর ch2-এ 2.8) প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত দেয় যাতে একটি স্থানীয় লাই গ্রুপ একটি বীজগাণিতিক সিস্টেমের একটি প্রতিসাম্য গ্রুপ হয়। উপপাদ্য। ধরা যাক এন-ডাইমেনশনাল স্পেসে কাজ করা একটি অবিচ্ছিন্ন গতিশীল সিস্টেমের একটি সংযুক্ত স্থানীয় লাই গ্রুপ। আসুন বীজগাণিতিক সমীকরণের একটি নিয়মিত ব্যবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করা যাকঃ তাহলে এই বীজগাণিতিক ব্যবস্থার একটি প্রতিসাম্য গোষ্ঠী হবে যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, লাই বীজগণিতে প্রতিটি অসীম জেনারেটরের জন্য। উদাহরণ 6টি চলকের স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত বীজগাণিতিক পদ্ধতির কথা বিবেচনা করুন, যথাঃ অসীম জেনারেটর এক-পরামিতি প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সাথে যুক্ত। এটি 4টি চলকের উপর কাজ করে, যথা এবং। কেউ সহজেই তা যাচাই করতে পারে। এইভাবে যে কোনও ক্ষেত্রে সম্পর্কগুলি সন্তুষ্ট হয় যা বীজগাণিতিক ব্যবস্থাকে বিলুপ্ত করে দেয়। গতিশীল ব্যবস্থার বিন্দু প্রতিসাম্য ধরা যাক আসন্ন প্রতিসাম্য সংজ্ঞায় ব্যবহৃত প্রথম-ক্রমের ও. ডি. ই-র পদ্ধতিগুলি সংজ্ঞায়িত করা যাক। ODEs এবং সংশ্লিষ্ট অসীম জেনারেটরের সিস্টেমগুলি W. r. t. থেকে উদ্ভূত। অবিচ্ছিন্ন স্বাধীন পরিবর্তনশীল। আমরা দুটি সেট এবং বিবেচনা করি। সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক সেটটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এর মূলটি হল। এই স্বরলিপির সঙ্গে, প্রথম-ক্রমের ও. ডি. ই-র একটি ব্যবস্থা হল এমন একটি ব্যবস্থা যেখানেঃ এবং সেটটি ও. ডি. ই-র স্থিতি চলকের বিবর্তন নির্দিষ্ট করে। স্বাধীন পরিবর্তনশীল। সেটের উপাদানগুলিকে স্টেট ভেরিয়েবল বলা হয়, এগুলিকে প্যারামিটার বলা হয়। একটি অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থাকে তার সমীকরণগুলি সমাধান করে ও. ডি. ই-র একটি ব্যবস্থার সঙ্গেও যুক্ত করা যেতে পারে। একটি অসীম জেনারেটর হল এমন একটি ব্যুৎপত্তি যা ও. ডি. ই-র ব্যবস্থার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত (আরও সুনির্দিষ্টভাবে অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থার সাথে)। ও. ডি. ই-এর একটি সিস্টেম, সংশ্লিষ্ট ভেক্টর ক্ষেত্র এবং অসীম জেনারেটরের মধ্যে যোগসূত্রের জন্য, এর বিভাগ 1.3 দেখুন। উপরে বর্ণিত ও. ডি. ই-এর একটি পদ্ধতির সঙ্গে যুক্ত অসীম জেনারেটরকে নিম্নরূপ একই স্বরলিপি দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ লাই পয়েন্ট প্রতিসাম্যের সংজ্ঞা এখানে এই ধরনের প্রতিসাম্যের একটি জ্যামিতিক সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে। ধরা যাক একটি অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থা এবং এর অসীম জেনারেটর। একটি অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থা হল একটি লাই পয়েন্ট প্রতিসাম্য যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, প্রতিটি কক্ষপথকে একটি কক্ষপথে পাঠায়। অতএব, অসীম জেনারেটর লাই বন্ধনীর উপর ভিত্তি করে নিম্নলিখিত সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করেঃ যেখানে এর কোন ধ্রুবক এবং অর্থাৎ। । এই জেনারেটরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। তার প্রতিসাম্যের অসীম জেনারেটর গণনা করার জন্য স্পষ্ট সূত্রের প্রয়োজন হয় না। উদাহরণস্বরূপ, পিয়েরে ফ্রাঁসোয়া ভারহুলস্টের লজিস্টিক গ্রোথ মডেলটি রৈখিক প্রিডেশনের সাথে বিবেচনা করুন, যেখানে স্টেট ভেরিয়েবল একটি জনসংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে। প্যারামিটারটি হল বৃদ্ধি এবং শিকারের হারের মধ্যে পার্থক্য এবং প্যারামিটারটি পরিবেশের গ্রহণযোগ্য ক্ষমতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণঃ ওডিই-র এই ব্যবস্থার সাথে যুক্ত অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থাটি হলঃ স্বাধীন পরিবর্তনশীল ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়; এইভাবে সম্পর্কিত গোষ্ঠীটিকে চিহ্নিত করা যেতে পারে। ও. ডি. ই-র এই পদ্ধতির সঙ্গে যুক্ত অসীম জেনারেটরটি হলঃ নিম্নলিখিত অসীম জেনারেটরগুলি 2-মাত্রিক প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর অন্তর্গতঃ সফ্টওয়্যার এই ক্ষেত্রে অনেকগুলি সফ্টওয়্যার প্যাকেজ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাপেলের প্যাকেজ লাইসিম পি. ডি. ই-র জন্য কিছু লাই প্রতিসাম্য পদ্ধতি প্রদান করে। এটি নির্ধারণকারী সিস্টেম এবং ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির সংহতকরণকে পরিচালনা করে। ছোট সিস্টেমে সাফল্য সত্ত্বেও, স্বয়ংক্রিয়ভাবে নির্ধারণকারী সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য এর সংহতকরণ ক্ষমতা জটিলতার সমস্যাগুলির দ্বারা সীমাবদ্ধ। ডি. ই. টি. টুলস প্যাকেজটি ও. ডি. ই-র লাই প্রতিসাম্য অনুসন্ধানের জন্য ভেক্টর ক্ষেত্রের দীর্ঘায়িতকরণ ব্যবহার করে। সাধারণ ক্ষেত্রে, ও. ডি. ই-গুলির জন্য লাই প্রতিসাম্য খুঁজে পাওয়া মূল পদ্ধতিটি সমাধান করার মতোই জটিল হতে পারে। তথ্যসূত্র মিথ্যা গোষ্ঠী সমমিতি