Unit hyperbola
জ্যামিতিতে, একক হাইপারবোলা হল কার্টেসিয়ান সমতলে বিন্দুগুলির সেট (x, y) যা অন্তর্নিহিত সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে অনির্দিষ্ট অর্থোগোনাল গোষ্ঠীগুলির অধ্যয়নে, একক হাইপারবোলা একটি বিকল্প রেডিয়াল দৈর্ঘ্যের ভিত্তি তৈরি করে যেখানে একক বৃত্তটি তার কেন্দ্রকে ঘিরে রাখে, একক হাইপারবোলার সমতলে পরিপূরক হওয়ার জন্য কনজুগেট হাইপারবোলার প্রয়োজন হয়। হাইপারবোলার এই জুটি y = x এবং y = −x অ্যাসিম্পটোটগুলি ভাগ করে নেয়। যখন একক হাইপারবোলার কনজুগেট ব্যবহার করা হয়, তখন বিকল্প রেডিয়াল দৈর্ঘ্য হয় একক হাইপারবোলা একটি নির্দিষ্ট অভিযোজন, অবস্থান এবং স্কেল সহ আয়তক্ষেত্রাকার হাইপারবোলার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। যেমন, এর উৎকেন্দ্রিকতা সমান একক হাইপারবোলা এমন প্রয়োগ খুঁজে পায় যেখানে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির উদ্দেশ্যে বৃত্তটিকে হাইপারবোলা দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে। একটি বিশিষ্ট উদাহরণ হল একটি ছদ্ম-ইউক্লিডীয় স্থান হিসাবে স্থানকালের বর্ণনা। সেখানে একক হাইপারবোলার অ্যাসিম্পটোটগুলি একটি হালকা শঙ্কু গঠন করে। উপরন্তু, গ্রেগোয়ার ডি সেন্ট-ভিনসেন্ট দ্বারা হাইপারবোলিক সেক্টরের ক্ষেত্রগুলিতে মনোযোগ লগারিদম ফাংশন এবং সেক্টর অঞ্চল দ্বারা হাইপারবোলার আধুনিক প্যারামিট্রাইজেশনের দিকে পরিচালিত করে। যখন কনজুগেট হাইপারবোলাস এবং হাইপারবোলিক কোণের ধারণাগুলি বোঝা যায়, তখন একক বৃত্তের চারপাশে নির্মিত শাস্ত্রীয় জটিল সংখ্যাগুলিকে একক হাইপারবোলার চারপাশে নির্মিত সংখ্যা দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। অ্যাসিম্পটোটস সাধারণত একটি বক্ররেখার অ্যাসিম্পটোটিক রেখাগুলি বক্ররেখার দিকে একত্রিত হয় বলে বলা হয়। বীজগাণিতিক জ্যামিতি এবং বীজগাণিতিক বক্ররেখা তত্ত্বে অ্যাসিম্পটোটের একটি ভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। বক্ররেখাটি প্রথমে প্রজেক্টিভ সমতলে সমজাতীয় স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা হয়। তারপর অ্যাসিম্পটোটগুলি হল এমন রেখাগুলি যা অনন্তের একটি বিন্দুতে প্রজেক্টিভ বক্ররেখার স্পর্শক, এইভাবে দূরত্বের ধারণা এবং অভিসারের যে কোনও প্রয়োজনীয়তাকে এড়িয়ে চলে। একটি সাধারণ কাঠামোতে (x, y, z) সমীকরণ z = 0 দ্বারা নির্ধারিত অসীম রেখার সমজাতীয় স্থানাঙ্ক। উদাহরণস্বরূপ, সি. জি. গিবসন লিখেছেনঃ R2-এ আদর্শ আয়তক্ষেত্রাকার হাইপারবোলার জন্য, সংশ্লিষ্ট প্রজেক্টিভ বক্ররেখা হল যা P = (1:1:0) এবং Q = (1:1:0) বিন্দুতে z = 0-এর সাথে মিলিত হয়। পি এবং কিউ উভয়ই এফ-এ সরল, যার স্পর্শক x + y = 0, x − y = 0; এইভাবে আমরা প্রাথমিক জ্যামিতির পরিচিত 'অ্যাসিম্পটোটস' পুনরুদ্ধার করি। মিনকোভস্কি রেখাচিত্রটি একটি স্থানকালীন সমতলে আঁকা হয়েছে যেখানে স্থানিক দিকটি একটি মাত্রায় সীমাবদ্ধ করা হয়েছে। এই ধরনের সমতলে দূরত্ব এবং সময়ের একক হল 30 সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্য এবং ন্যানোসেকেন্ড, বা জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক একক এবং 8 মিনিট এবং 20 সেকেন্ডের ব্যবধান, বা আলোকবর্ষ এবং বছর। স্থানাঙ্কের এই স্কেলগুলির প্রত্যেকটির ফলে ঢাল যোগ বা বিয়োগ এক-এর তির্যক রেখা বরাবর ঘটনাগুলির ফোটন সংযোগ হয়। পাঁচটি উপাদান হারমান মিনকোভস্কির রেখাচিত্র গঠন করে যা আপেক্ষিকতার রূপান্তর বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়ঃ একক হাইপারবোলা, এর কনজুগেট হাইপারবোলা, হাইপারবোলার অক্ষ, একক হাইপারবোলার একটি ব্যাস এবং কনজুগেট ব্যাস। অক্ষ সহ সমতলটি রেফারেন্সের একটি বিশ্রাম কাঠামোকে বোঝায়। একক হাইপারবোলার ব্যাস দ্রুততার সাথে গতির একটি রেফারেন্স ফ্রেমকে উপস্থাপন করে যেখানে তানহ a = y/x এবং (x, y) একক হাইপারবোলার ব্যাসের শেষ বিন্দু। কনজুগেট ব্যাস দ্রুততার a-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একযোগে স্থানিক হাইপারপ্লেনকে উপস্থাপন করে। এই প্রসঙ্গে একক হাইপারবোলা একটি ক্রমাঙ্কন হাইপারবোলা সাধারণত আপেক্ষিকতা অধ্যয়নে উল্লম্ব অক্ষ সহ হাইপারবোলাকে প্রাথমিক হিসাবে নেওয়া হয়ঃ সময়ের তীরটি চিত্রের নীচে থেকে উপরে যায়-রিচার্ড ফাইনম্যান তাঁর বিখ্যাত রেখাচিত্রে এই ধারাটি গ্রহণ করেছিলেন। স্থানটি সময় অক্ষের লম্ব সমতল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এখানে এবং এখন মাঝখানে একটি এককত্ব। উল্লম্ব সময় অক্ষের ধারাটি 1908 সালে মিনকোভস্কি থেকে উদ্ভূত হয়েছিল এবং এডিংটনের দ্য নেচার অফ দ্য ফিজিক্যাল ওয়ার্ল্ডের (1928) 48 পৃষ্ঠায়ও চিত্রিত হয়েছে। প্যারামিট্রাইজেশন একক হাইপারবোলাকে প্যারামিটারাইজ করার একটি সরাসরি উপায় এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন দিয়ে প্যারামিটারাইজড হাইপারবোলা xy = 1 দিয়ে শুরু হয়ঃ এই হাইপারবোলা ম্যাট্রিক্সযুক্ত রৈখিক ম্যাপিং দ্বারা একক হাইপারবোলায় রূপান্তরিত হয় এই প্যারামিটার টি হল হাইপারবোলিক কোণ, যা হাইপারবোলিক ফাংশনের যুক্তি। ডব্লিউ. কে. ক্লিফোর্ডের এলিমেন্টস অফ ডায়নামিক (1878)-এ প্যারামিট্রাইজড ইউনিট হাইপারবোলার একটি প্রাথমিক অভিব্যক্তি পাওয়া যায়। তিনি একটি হাইপারবোলায় আধা-সুরেলা গতির বর্ণনা নিম্নরূপঃ এই গতির উপবৃত্তাকার সুরেলা গতির সাথে কিছু কৌতূহলী সাদৃশ্য রয়েছে। । এইভাবে ত্বরণ সর্বদা কেন্দ্র থেকে দূরত্বের সাথে আনুপাতিক, যেমন উপবৃত্তাকার সুরেলা গতিতে, কিন্তু কেন্দ্র থেকে দূরে পরিচালিত হয়। একটি নির্দিষ্ট শঙ্কু হিসাবে, একটি শঙ্কুতে বিন্দু যোগ করার প্রক্রিয়া দ্বারা হাইপারবোলাকে প্যারামিট্রাইজ করা যেতে পারে। রাশিয়ান বিশ্লেষকরা নিম্নলিখিত বিবরণ দিয়েছেনঃ শঙ্কুতে একটি বিন্দু E স্থির করুন। এবি-র সমান্তরালে ই-এর মধ্য দিয়ে টানা সরলরেখাটি যে বিন্দুতে দ্বিতীয়বার শঙ্কুটিকে ছেদ করে তা এ এবং বি বিন্দুর যোগফল হিসাবে বিবেচনা করুন। নির্দিষ্ট বিন্দু E = (1,0) সহ হাইপারবোলার জন্য পয়েন্টগুলির যোগফল এবং এটি প্যারামিট্রাইজেশনের অধীনে বিন্দু এবং এই সংযোজনটি প্যারামিটার t যোগ করার সাথে মিলে যায়। জটিল সমতল বীজগণিত যেখানে একক বৃত্তটি জটিল সংখ্যার সাথে যুক্ত, একক হাইপারবোলাটি z = x + yj সমন্বিত বিভক্ত-জটিল সংখ্যার সমতলের মূল চাবিকাঠি, যেখানে j2 = + 1। তারপর jz = y + xj, তাই সমতলে j-এর ক্রিয়া হল স্থানাঙ্কগুলি অদলবদল করা। বিশেষত, এই ক্রিয়াটি একক হাইপারবোলাকে তার কনজুগেটের সাথে অদলবদল করে এবং হাইপারবোলার কনজুগেট ব্যাসের জোড়া অদলবদল করে। হাইপারবোলিক কোণ পরামিতি a-এর পরিপ্রেক্ষিতে, একক হাইপারবোলা বিন্দু নিয়ে গঠিত, যেখানে j = (0,1)। একক হাইপারবোলার ডান শাখাটি ধনাত্মক সহগের সাথে মিলে যায়। প্রকৃতপক্ষে, এই শাখাটি জে-অক্ষের উপর কাজ করা সূচকীয় মানচিত্রের চিত্র। সুতরাং এই শাখাটি হল বক্ররেখা a-তে বক্ররেখার ঢাল ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয় যে কোনও a,) এর জন্য হাইপারবোলিক-অর্থোগোনাল হয়। এই সম্পর্কটি এক্সপ (এ. আই) এবং আই এক্সপ (এ. আই)-এর লম্বতার অনুরূপ যখন আই2 = −1 হয়। যেহেতু, শাখাটি গুণনের অধীনে একটি গোষ্ঠী। সার্কেল গ্রুপের বিপরীতে, এই একক হাইপারবোলা গ্রুপটি কম্প্যাক্ট নয়। সাধারণ জটিল সমতলের মতো, তির্যক নয় এমন একটি বিন্দুর একক হাইপারবোলার প্যারামিট্রাইজেশন এবং বিকল্প রেডিয়াল দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে মেরু পচন ঘটে। রেফারেন্স এফ. রিস হার্ভে (1990) স্পিনর্স অ্যান্ড ক্যালিব্রেশন, চিত্র 4.33, পৃষ্ঠা 70, অ্যাকাডেমিক প্রেস,। শঙ্কু বিভাগ 1 (সংখ্যা) বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠী