Discrete Chebyshev polynomials
গণিতে, বিচ্ছিন্ন চেবিশেভ বহুপদী বা গ্রাম বহুপদী হল এক ধরনের বিচ্ছিন্ন অর্থোগোনাল বহুপদী যা আনুমানিক তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়, যা পাফনুটি চেবিশেভ দ্বারা প্রবর্তিত এবং গ্রাম দ্বারা পুনরায় আবিষ্কৃত হয়। এগুলি পরে ঘূর্ণন কৌণিক ভরবেগের বিভিন্ন বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য বলে প্রমাণিত হয়। প্রাথমিক সংজ্ঞা পৃথক চেবিশেভ বহুপদী হল x-এ n মাত্রার একটি বহুপদী, কারণ, এমনভাবে তৈরি করা হয়েছে যে অসম মাত্রার দুটি বহুপদী ওজন ফাংশনের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল এবং ডিরাক ডেল্টা ফাংশন। অর্থাৎ, বামে ইন্টিগ্রালটি আসলে ডেল্টা ফাংশনের কারণে একটি যোগফল, এবং আমাদের আছে, সুতরাং, যদিও এটি একটি পলিনোমিয়াল, শুধুমাত্র একটি বিচ্ছিন্ন বিন্দুতে এর মানগুলির কোনও তাৎপর্য নেই। তা সত্ত্বেও, যেহেতু এই বহুপদগুলিকে একটি অ-ঋণাত্মক ওজন ফাংশনের সাপেক্ষে অর্থোগোনালিটির পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, তাই অর্থোগোনাল বহুপদের পুরো তত্ত্বটি প্রযোজ্য। বিশেষত, বহুপদগুলি এই অর্থে সম্পূর্ণ যে চেবিশেভ স্বাভাবিককরণটি বেছে নিয়েছিলেন যাতে এটি সাইন কনভেনশনের সাথে বহুপদগুলিকে সম্পূর্ণরূপে স্থির করে। যদি স্বাধীন চলকটি রৈখিকভাবে স্কেল করা হয় এবং স্থানান্তরিত হয় যাতে শেষ বিন্দুগুলি মানগুলি ধরে নেয় এবং তারপর, একটি ধ্রুবক হিসাবে, লেজেন্ড্রে বহুপদী কোথায়। উন্নত সংজ্ঞা ধরা যাক একটি মসৃণ ফাংশন যা বন্ধ ব্যবধান [−1,1]-এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যার মানগুলি কেবলমাত্র বিন্দুগুলিতে স্পষ্টভাবে জানা যায়, যেখানে k এবং m পূর্ণসংখ্যা এবং। কাজটি হল f-কে n <m মাত্রার একটি বহুপদী হিসাবে অনুমান করা। একটি ধনাত্মক আধা-নির্দিষ্ট দ্বিমাত্রিক রূপ বিবেচনা করুন যেখানে এবং [−1,1]-এ অবিচ্ছিন্ন এবং একটি বিচ্ছিন্ন আধা-আদর্শ হতে দিন। যখনই সমান না হয় তখন একে অপরের সাথে অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের একটি পরিবার ধরা যাক। ধরে নিন যে সমস্ত বহুপদের একটি ধনাত্মক অগ্রগামী সহগ রয়েছে এবং সেগুলি এমনভাবে স্বাভাবিক করা হয়েছে যে সেগুলিকে বিচ্ছিন্ন চেবিশেভ (বা গ্রাম) বহুপদী বলা হয়। স্পিন বীজগণিতের সাথে সংযোগ বিচ্ছিন্ন চেবিশেভ বহুপদীগুলির ঘূর্ণনের বিভিন্ন বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্যের সাথে বিস্ময়কর সংযোগ রয়েছেঃ ঘূর্ণন রূপান্তর সম্ভাবনা, আইনস্টাইন-পডোলস্কি-রোজেন পরীক্ষার বোমের স্পিন-এস সংস্করণে ঘূর্ণনের পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনা এবং বিভিন্ন ঘূর্ণন অবস্থার জন্য উইগনার ফাংশন। বিশেষত, পলিনোমিয়ালগুলি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সের (উইগনার ডি-ম্যাট্রিক্স) পরম বর্গক্ষেত্রের আইগেনভেক্টর হিসাবে পরিণত হয়। সম্পর্কিত আইগেনভ্যালু হল লেজেন্ড্রে পলিনোমিয়াল, যেখানে ঘূর্ণন কোণ। অন্য কথায়, যদি স্বাভাবিক কৌণিক ভরবেগ বা ঘূর্ণন আইগেনস্টেটগুলি কোথায় থাকে, এবং তারপর আইগেনভেক্টরগুলি চেবিশেভ বহুপদের স্কেল এবং স্থানান্তরিত সংস্করণ হয়। এগুলি এমনভাবে স্থানান্তরিত করা হয় যাতে সংশ্লিষ্ট এবং সংশ্লিষ্ট পয়েন্টের পরিবর্তে পয়েন্টগুলিতে সমর্থন থাকে। উপরন্তু, অন্যান্য স্বাভাবিকীকরণ শর্ত মেনে চলার জন্য স্কেল করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কেউ তাদের সন্তুষ্ট করার দাবি করতে পারে। তথ্যসূত্র অর্থোগোনাল বহুপদী আনুমানিক তত্ত্ব