Cyclic polytope
গণিতে, একটি চক্রাকার পলিটোপ, যাকে সি (এন, ডি) বলা হয়, একটি উত্তল পলিটোপ যা আরডি-তে একটি মূলদ স্বাভাবিক বক্ররেখার উপর এন স্বতন্ত্র বিন্দুর উত্তল কাঠামো হিসাবে গঠিত, যেখানে এন ডি-এর চেয়ে বড়। এই পলিটোপগুলি কনস্ট্যান্টিন কারাথিওডোরি, ডেভিড গেল, থিওডোর মটজকিন, ভিক্টর ক্লি এবং অন্যান্যরা অধ্যয়ন করেছিলেন। পলিহেড্রাল কম্বিনেটরিকে এগুলি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেঃ পিটার ম্যাকমুলেন এবং রিচার্ড স্ট্যানলি দ্বারা প্রমাণিত উচ্চ আবদ্ধ উপপাদ্য অনুসারে, চক্রাকার পলিটোপ সি (এন, ডি)-এর সীমানা Δ (এন, ডি) n শীর্ষ সহ মাত্রা ডি-1-এর সমস্ত সরল গোলকের মধ্যে আই-মাত্রিক মুখের সংখ্যা ফাই-কে সর্বাধিক করে। সংজ্ঞা মোমেন্ট কার্ভ ইন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। শীর্ষবিন্দু সহ-মাত্রিক চক্রাকার পলিটোপ হল মুহূর্তের বক্ররেখার সাথে স্বতন্ত্র বিন্দুর উত্তল কাঠামো। এই পলিটোপের সমন্বিত কাঠামো নির্বাচিত বিন্দুগুলির থেকে স্বাধীন এবং ফলস্বরূপ পলিটোপের মাত্রা d এবং n শীর্ষবিন্দু রয়েছে। এর সীমানা হল একটি (d−1)-মাত্রিক সরল পলিটোপ যা α (n, d) দ্বারা চিহ্নিত। গলের সমতা অবস্থা একটি চক্রাকার পলিটোপের একটি দিক নির্ধারণের জন্য গলের সমতা অবস্থা একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত প্রদান করে। যাক। তারপর, একটি-উপসেট আই. এফ. এফ-এর একটি দিক গঠন করে যে কোনও দুটি উপাদান ক্রম থেকে জোড় সংখ্যক উপাদান দ্বারা পৃথক করা হয়। প্রতিবেশী চক্রাকার পলিটোপগুলি প্রতিবেশী পলিটোপগুলির উদাহরণ, যাতে সর্বাধিক ডি/2 শীর্ষের প্রতিটি সেট একটি মুখ গঠন করে। এগুলি ছিল পরিচিত প্রথম প্রতিবেশী পলিটোপ, এবং থিওডোর মোতজকিন অনুমান করেছিলেন যে সমস্ত প্রতিবেশী পলিটোপগুলি চক্রাকার পলিটোপগুলির সমতুল্য, তবে এটি এখন মিথ্যা বলে জানা যায়। মুখের সংখ্যা চক্রাকার পলিটোপ α (n, d)-এর i-মাত্রিক মুখের সংখ্যা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় এবং ডেহন-সমারভিল সমীকরণের মাধ্যমে সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করা হয়। উচ্চ আবদ্ধ উপপাদ্য উপরের আবদ্ধ উপপাদ্যটি বলে যে, একটি প্রদত্ত মাত্রা এবং শীর্ষের সংখ্যার জন্য চক্রাকার পলিটোপগুলির সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা রয়েছেঃ যদি n শীর্ষ সহ d−1 মাত্রার একটি সরল গোলক হয়, তবে সরল পলিটোপগুলির জন্য উপরের আবদ্ধ অনুমানটি 1957 সালে থিওডোর মটজকিন দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল এবং 1970 সালে পিটার ম্যাকমুলেন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। ভিক্টর ক্লি পরামর্শ দিয়েছিলেন যে সমস্ত সরল ক্ষেত্রের জন্য একই বিবৃতি থাকা উচিত এবং এটি প্রকৃতপক্ষে 1975 সালে রিচার্ড পি স্ট্যানলি দ্বারা স্ট্যানলি-রেইজনার রিং এবং সমতাত্ত্বিক পদ্ধতির ধারণা ব্যবহার করে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। আরও দেখুন কম্বিনেটরিয়াল কমিউটেটিভ বীজগণিত রেফারেন্স পলিহেড্রাল কম্বিনেটরিকস