De Bruijn–Erdős theorem (incidence geometry)
আপতন জ্যামিতিতে, ডি ব্রুইজন-এর্ডোস উপপাদ্য, মূলত দ্বারা প্রকাশিত, একটি প্রজেক্টিভ সমতলে n পয়েন্ট দ্বারা নির্ধারিত রেখার সংখ্যার উপর একটি নিম্ন সীমা উল্লেখ করে। দ্বৈততা দ্বারা, এটি রেখার বিন্যাস দ্বারা নির্ধারিত ছেদ বিন্দুর সংখ্যার উপরও একটি সীমাবদ্ধতা। যদিও ডি ব্রুইন এবং এরদোস দ্বারা প্রদত্ত প্রমাণটি সমন্বিত, ডি ব্রুইন এবং এরদোস তাদের গবেষণাপত্রে উল্লেখ করেছেন যে সাদৃশ্যপূর্ণ (ইউক্লিডীয়) ফলাফলটি সিলভেস্টার-গ্যালাই উপপাদ্যের একটি পরিণতি, পয়েন্টের সংখ্যার উপর একটি আনয়ন দ্বারা। উপপাদ্যের বিবৃতি ধরা যাক পি একটি প্রজেক্টিভ সমতলে এন পয়েন্টের একটি বিন্যাস, সমস্ত একটি লাইনে নয়। ধরা যাক, টি হল পি দ্বারা নির্ধারিত রেখার সংখ্যা। তারপর, টি ≤ এন, এবং যদি টি = এন হয়, যে কোনও দুটি রেখার ঠিক একটি বিন্দুতে পি-এর মিল রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, পি হয় একটি প্রজেক্টিভ প্লেন বা পি একটি নিকটবর্তী পেন্সিল, যার অর্থ হল ঠিক এন-1 পয়েন্টগুলি কোলিনিয়ার। ইউক্লিডীয় প্রমাণ উপপাদ্যটি তিনটি অ-সমরেখীয বিন্দুর ক্ষেত্রে স্পষ্টভাবে সত্য। আমরা ইন্ডাকশনের মাধ্যমে এগিয়ে যাই। ধরে নিন n> 3 এবং উপপাদ্যটি n − 1-এর জন্য সত্য। ধরা যাক P হল n বিন্দুর একটি সেট, সবগুলিই সমরেখার নয়। সিলভেস্টার-গাল্লাই উপপাদ্য বলে যে, পি-এর ঠিক দুটি বিন্দু সম্বলিত একটি রেখা রয়েছে। এই দুটি বিন্দু রেখাকে সাধারণ রেখা বলা হয়। ধরা যাক a এবং b একটি সাধারণ রেখায় P-এর দুটি বিন্দু। যদি 'a' বিন্দুর অপসারণের ফলে সমরেখার বিন্দুর একটি সেট তৈরি হয়, তাহলে 'P' n রেখার কাছাকাছি একটি পেন্সিল তৈরি করে ('a' যোগের মাধ্যমে n-1 সাধারণ রেখা যা অন্য n-1 বিন্দু ধারণ করে)। অন্যথায়, a অপসারণের ফলে n-1 বিন্দুর একটি সেট, P 'উৎপন্ন হয় যা সমস্ত সমরেখার নয়। ইন্ডাকশন হাইপোথিসিস অনুসারে, পি 'কমপক্ষে এন-1 লাইন নির্ধারণ করে। a এবং b দ্বারা নির্ধারিত সাধারণ রেখাটি এগুলির মধ্যে নেই, তাই P কমপক্ষে n রেখা নির্ধারণ করে। জে. এইচ. কনওয়ের প্রমাণ জন হর্টন কনওয়ের একটি বিশুদ্ধ সংমিশ্রণ প্রমাণ রয়েছে যা ফলস্বরূপ জটিল সংখ্যা, চতুর্ভুজ এবং অষ্টকোণের উপর পয়েন্ট এবং রেখার জন্যও ধারণ করে। তথ্যসূত্র উৎস। প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে উপপাদ্য ইউক্লিডীয় সমতল জ্যামিতি বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে উপপাদ্য ঘটনা জ্যামিতি পল এরদোস