Derivation of the conjugate gradient method
সংখ্যাসূচক রৈখিক বীজগণিতে, কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি হল রৈখিক ব্যবস্থাকে সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করার জন্য একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি যেখানে প্রতিসম ধনাত্মক-নির্দিষ্ট। কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতিটি বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে উদ্ভূত হতে পারে, যার মধ্যে অপ্টিমাইজেশনের জন্য কনজুগেট দিকনির্দেশনার পদ্ধতির বিশেষীকরণ এবং আইগেনভ্যালু সমস্যার জন্য আর্নল্ডি/ল্যাঙ্কজোস পুনরাবৃত্তির বৈচিত্র্য রয়েছে। এই নিবন্ধটির উদ্দেশ্য হল এই ব্যুৎপত্তিগুলির গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপগুলি নথিভুক্ত করা। কনজুগেট দিকনির্দেশ পদ্ধতি থেকে উদ্ভূত কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতিকে দ্বিঘাত ক্রিয়াকে ন্যূনতম করার জন্য প্রয়োগ করা কনজুগেট দিকনির্দেশনার পদ্ধতির একটি বিশেষ কেস হিসাবে দেখা যেতে পারে কনজুগেট দিকনির্দেশ পদ্ধতি কনজুগেট দিকনির্দেশনার পদ্ধতিতে একটি প্রাথমিক অনুমান এবং সংশ্লিষ্ট অবশিষ্টাংশ দিয়ে শুরু হয় এবং সূত্র দ্বারা পুনরাবৃত্তি এবং অবশিষ্টাংশ গণনা করে যেখানে পারস্পরিক কনজুগেট দিকনির্দেশের একটি সিরিজ রয়েছে, অর্থাৎ যে কোনওটির জন্য। কনজুগেট দিকনির্দেশ পদ্ধতিটি এই অর্থে অস্পষ্ট যে দিকনির্দেশনার নির্বাচনের জন্য কোনও সূত্র দেওয়া হয় না। নির্দিষ্ট পছন্দগুলি কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি এবং গাউসিয়ান নির্মূল সহ বিভিন্ন পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। আর্নল্ডি/ল্যানকজোস পুনরাবৃত্তি থেকে উদ্ভূত কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতিটিকে রৈখিক পদ্ধতি সমাধানে প্রয়োগ করা আর্নল্ডি/ল্যানকজোস পুনরাবৃত্তির একটি রূপ হিসাবেও দেখা যেতে পারে। সাধারণ আর্নল্ডি পদ্ধতি আর্নল্ডি পুনরাবৃত্তিতে, একটি ভেক্টর দিয়ে শুরু হয় এবং ধীরে ধীরে ক্রাইলভ সাবস্পেসের একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি তৈরি করে যেখানে অন্য কথায়, গ্রাম-শ্মিট অর্থোগোনালাইজিং দ্বারা পাওয়া যায় যার পরে স্বাভাবিককরণ হয়। ম্যাট্রিক্স আকারে রাখুন, পুনরাবৃত্তিটি সমীকরণ দ্বারা ধরা হয় যেখানে রৈখিক সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য আর্নল্ডি পুনরাবৃত্তি প্রয়োগ করার সময়, একটি প্রাথমিক অনুমানের সাথে সম্পর্কিত অবশিষ্টাংশ দিয়ে শুরু হয়। পুনরাবৃত্তির প্রতিটি ধাপের পরে, একটি গণনা করা হয় এবং নতুন পুনরাবৃত্তি করা হয়। সরাসরি ল্যানকজোস পদ্ধতি বাকি আলোচনার জন্য, আমরা ধরে নিই যে এটি প্রতিসম ধনাত্মক-নির্দিষ্ট। এর প্রতিসাম্য সহ, উপরের হেসেনবার্গ ম্যাট্রিক্স প্রতিসাম্য হয়ে যায় এবং এইভাবে ত্রিভুজাকার হয়। এরপরে এটি আরও স্পষ্টভাবে দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে এটি পুনরাবৃত্তির জন্য একটি সংক্ষিপ্ত তিন-মেয়াদী পুনরাবৃত্তি সক্ষম করে এবং আর্নল্ডি পুনরাবৃত্তি ল্যান্সজোস পুনরাবৃত্তিতে হ্রাস করা হয়। যেহেতু প্রতিসম ধনাত্মক-নির্দিষ্ট, তাই হয়। অতএব, এবং এর জন্য সুবিধাজনক পুনরাবৃত্তির সাথে আংশিক পিভটিং ছাড়াই এলইউ ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারেঃ এটি এখন পর্যবেক্ষণ করা গুরুত্বপূর্ণ যে প্রকৃতপক্ষে, এবং এর জন্যও সংক্ষিপ্ত পুনরাবৃত্তি রয়েছেঃ এই গঠনের সাথে, আমরা একটি সহজ পুনরাবৃত্তিতে পৌঁছেছিঃ উপরের সম্পর্কগুলি সরাসরি সরাসরি ল্যান্জস পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে, যা কিছুটা জটিল হয়ে ওঠে। অর্থোগোনালিটি এবং কনজুগেসি চাপিয়ে দেওয়ার থেকে কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি যদি আমরা ধ্রুবক ফ্যাক্টরের স্কেলিংকে স্কেল এবং ক্ষতিপূরণ দেওয়ার অনুমতি দিই, তবে আমরা সম্ভাব্যভাবে ফর্মটির সহজ পুনরাবৃত্তি করতে পারিঃ সরলীকরণের প্রাঙ্গণ হিসাবে, আমরা এখন অর্থোগোনালিটি এবং কনজুগেসি অর্জন করি, অর্থাৎ, কারণ, অবশিষ্টাংশগুলি পারস্পরিক অর্থোগোনাল কারণ মূলত এর জন্য একাধিক, কারণ, এর কনজুগেসি দেখতে, এটি তির্যক দেখানোর জন্য যথেষ্টঃ একই সাথে প্রতিসম এবং নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং এইভাবে অবশ্যই তির্যক হতে হবে। এখন আমরা শুধুমাত্র এর অর্থোগোনালিটি এবং কনজুগেসি চাপিয়ে দিয়ে স্কেলের সাপেক্ষে ধ্রুবক ফ্যাক্টরগুলি বের করতে পারি। এর অর্থোগোনালিটির কারণে, এটি প্রয়োজনীয়। ফলস্বরূপ, একইভাবে, এর সংযোগের কারণে, এটি প্রয়োজনীয়। ফলস্বরূপ, এটি ব্যুৎপত্তি সম্পূর্ণ করে। তথ্যসূত্র সংখ্যাসূচক রৈখিক বীজগণিত অপ্টিমাইজেশন অ্যালগরিদম এবং পদ্ধতি গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ