Quantization of the electromagnetic field
তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের পরিমাণ নির্ধারণের অর্থ হল একটি তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্র ফোটন নামক বিচ্ছিন্ন শক্তির অংশ নিয়ে গঠিত। ফোটনগুলি নির্দিষ্ট শক্তি, নির্দিষ্ট গতিবেগ এবং নির্দিষ্ট ঘূর্ণনের ভরহীন কণা। আলোক-বৈদ্যুতিক প্রভাব ব্যাখ্যা করার জন্য, আলবার্ট আইনস্টাইন 1905 সালে অনুসন্ধানমূলকভাবে ধরে নিয়েছিলেন যে একটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্র hν পরিমাণের শক্তির কণা নিয়ে গঠিত, যেখানে h হল প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক এবং ν হল তরঙ্গ ফ্রিকোয়েন্সি। 1927 সালে পল এ. এম. ডিরাক নতুন কোয়ান্টাম মেকানিক্সের ফ্যাব্রিকে ফোটন ধারণাটি বুনতে এবং পদার্থের সাথে ফোটনের মিথস্ক্রিয়া বর্ণনা করতে সক্ষম হন। তিনি একটি কৌশল প্রয়োগ করেছিলেন যা এখন সাধারণত দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশন নামে পরিচিত, যদিও এই শব্দটি তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের জন্য কিছুটা ভুল নাম, কারণ এগুলি ধ্রুপদী ম্যাক্সওয়েল সমীকরণের সমাধান। ডিরাকের তত্ত্বে ক্ষেত্রগুলি প্রথমবারের জন্য পরিমাপ করা হয় এবং এটিও প্রথমবার যে প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক অভিব্যক্তিগুলিতে প্রবেশ করে। তাঁর মূল রচনায়, ডিরাক বিভিন্ন তড়িৎচুম্বকীয় মোড (ক্ষেত্রের ফুরিয়ার উপাদান) এবং মোড শক্তির পর্যায়গুলিকে পরিমাপ করার জন্য গতিশীল পরিবর্তনশীল হিসাবে গ্রহণ করেছিলেন (অর্থাৎ, তিনি সেগুলিকে অপারেটর হিসাবে পুনরায় ব্যাখ্যা করেছিলেন এবং তাদের মধ্যে প্রচলিত বিনিময় সম্পর্ক)। বর্তমানে ভেক্টর সম্ভাবনার ফুরিয়ার উপাদানগুলির পরিমাণ নির্ধারণ করা বেশি প্রচলিত। নীচে এটিই করা হয়েছে। মোডের অন্তর্গত একটি কোয়ান্টাম যান্ত্রিক ফোটন অবস্থা নীচে প্রবর্তিত হয়েছে এবং এটি দেখানো হয়েছে যে এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছেঃ এই সমীকরণগুলি যথাক্রমে বলেঃ একটি ফোটনের শূন্য বিশ্রাম ভর রয়েছে; ফোটন শক্তি হল hν = hc|k। (k হল তরঙ্গ ভেক্টর, c হল আলোর গতিবেগ); এর বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ভরবেগ হল ꯘꯥk [ꯘꯥ = h/(2π)]; মেরুকরণ μ = ±1 হল ফোটন ঘূর্ণনের z-উপাদানটির আইগেন মান। দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশন দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশন একটি স্কেলার বা ভেক্টর ক্ষেত্রের (বা তরঙ্গ ফাংশন) সম্প্রসারণের সাথে শুরু হয় যা ফাংশনের একটি সম্পূর্ণ সেট নিয়ে গঠিত। এই সম্প্রসারণ ফাংশনগুলি একটি একক কণার স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে। বেসিস ফাংশনগুলিকে গুণকারী সহগগুলিকে অপারেটর হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় এবং এই নতুন অপারেটরদের মধ্যে (অ্যান্টি) কমিউটেশন সম্পর্ক আরোপ করা হয়, বোসোনের জন্য কমিউটেশন সম্পর্ক এবং ফার্মিয়নের জন্য অ্যান্টিকমিউটেশন সম্পর্ক (বেসিস ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে কিছুই ঘটে না)। এটি করার মাধ্যমে, প্রসারিত ক্ষেত্রটি একটি ফার্মিয়ন বা বোসন অপারেটর ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হয়। সম্প্রসারণ সহগগুলিকে সাধারণ সংখ্যা থেকে অপারেটর, ক্রিয়েশন এবং অ্যানহিলেশন অপারেটরগুলিতে উন্নীত করা হয়েছে। একটি ক্রিয়েশন অপারেটর সংশ্লিষ্ট বেসিস ফাংশনে একটি কণা তৈরি করে এবং একটি অ্যানিহিলেশন অপারেটর এই ফাংশনে একটি কণা ধ্বংস করে দেয়। ই. এম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে ক্ষেত্রের প্রয়োজনীয় সম্প্রসারণ হল ফুরিয়ার সম্প্রসারণ। বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্র এবং ভেক্টর সম্ভাব্যতা যেমন শব্দটি থেকে বোঝা যায়, একটি ই. এম ক্ষেত্র দুটি ভেক্টর ক্ষেত্র নিয়ে গঠিত, একটি বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র এবং একটি চৌম্বক ক্ষেত্র। উভয়ই সময়-নির্ভর ভেক্টর ক্ষেত্র যা ভ্যাকুয়ামে তৃতীয় ভেক্টর ক্ষেত্রের (ভেক্টর সম্ভাব্যতা) উপর নির্ভর করে, সেইসাথে একটি স্কেলার ক্ষেত্র যেখানে ρ × A হল A-এর কার্ল। কুলম্ব গেজ বেছে নেওয়ার জন্য, যার জন্য এ = 0, এ-কে একটি আড়াআড়ি ক্ষেত্রে পরিণত করে। ভলিউম V = L3-এর একটি সীমাবদ্ধ ঘন বাক্সে আবদ্ধ ভেক্টর সম্ভাবনার ফুরিয়ার সম্প্রসারণ তখন হয় যেখানে এর জটিল সংমিশ্রণকে বোঝায়। তরঙ্গ ভেক্টর k, A (r, t)-এর সংশ্লিষ্ট ফুরিয়ার উপাদানের (একটি মেরুকৃত একবর্ণ তরঙ্গ) প্রসারণের দিক নির্দেশ করে; তরঙ্গ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য ν মোডের ফ্রিকোয়েন্সি সহ। এই সংকলনে k ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় পূর্ণসংখ্যার উপর চলে। (ফুরিয়ার ভিত্তির উপাদানটি বাস্তব হিসাবে উপাদানটির জটিল সংমিশ্রণ।) ভেক্টর k-এর উপাদানগুলির পৃথক মান রয়েছে (সীমানা শর্তের ফলস্বরূপ যে বাক্সের বিপরীত দেওয়ালে A-এর একই মান রয়েছে): দুটি e (μ) ("মেরুকরণ ভেক্টর") বাম এবং ডান হাতের বৃত্তাকার মেরুকৃত (এলসিপি এবং আরসিপি) ই. এম তরঙ্গের জন্য প্রচলিত একক ভেক্টর (জোনস ক্যালকুলাস বা জোনস ভেক্টর, জোনস ক্যালকুলাস দেখুন) এবং k-এর লম্ব। এগুলি এককেন্দ্রিক রূপান্তরের মাধ্যমে অর্থোনর্মাল কার্টেসিয়ান ভেক্টর ex এবং i-এর সাথে সম্পর্কিত, A-এর k-তম ফুরিয়ার উপাদানটি k-এর লম্ব ভেক্টর এবং তাই এটি e (1) এবং e (−1)-এর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। সুপারস্ক্রিপ্ট μ, e (μ) বরাবর একটি উপাদান নির্দেশ করে। স্পষ্টতই, ফুরিয়ার সহগের (বিচ্ছিন্ন অসীম) সেট এবং ভেক্টর সম্ভাব্যতাকে সংজ্ঞায়িত করে এমন চলক। নিম্নলিখিত সময়ে তাদের অপারেটর পদে উন্নীত করা হবে। উপরের এবং এর পরিপ্রেক্ষিতে ক্ষেত্র সমীকরণ ব্যবহার করে, বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বক ক্ষেত্রগুলি হল পরিচয় ব্যবহার করে (এবং ভেক্টর) এবং প্রতিটি মোডের একক ফ্রিকোয়েন্সি নির্ভরতা রয়েছে। ই. এম ক্ষেত্রের কোয়ান্টাইজেশন কোয়ান্টাইজেশনের সর্বাধিক পরিচিত উদাহরণ হল একটি কণার সময়-নির্ভর রৈখিক ভরবেগকে নিয়ম দ্বারা প্রতিস্থাপন করা। লক্ষ্য করুন যে প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক এখানে প্রবর্তিত হয়েছে এবং কোয়ান্টাম যান্ত্রিক অপারেটরের মধ্যে শাস্ত্রীয় অভিব্যক্তিটির সময়-নির্ভরতা গ্রহণ করা হয় না (এটি তথাকথিত শ্রোডিঞ্জার ছবিতে সত্য)। ই. এম ক্ষেত্রের জন্য আমরা অনুরূপ কিছু করি। পরিমাণটি হল বৈদ্যুতিক ধ্রুবক, যা বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় এস. আই একক ব্যবহারের কারণে এখানে প্রদর্শিত হয়। কোয়ান্টাইজেশনের নিয়মগুলি হ 'লঃ বোসন বিনিময় সম্পর্ক সাপেক্ষে বর্গাকার বন্ধনীগুলি একটি বিনিময়কারীকে নির্দেশ করে, যে কোনও দুটি কোয়ান্টাম যান্ত্রিক অপারেটর এ এবং বি দ্বারা সংজ্ঞায়িত। ধ্রুপদী থেকে কোয়ান্টাম তত্ত্বে রূপান্তরের জন্য প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবকের প্রবর্তন অপরিহার্য। হ্যামিল্টনিয়ান (শক্তি অপারেটর) কে একটি সহজ রূপ দেওয়ার জন্য ফ্যাক্টরটি চালু করা হয়েছে, নীচে দেখুন। পরিমাপকৃত ক্ষেত্রগুলি (অপারেটর ক্ষেত্রগুলি) নিম্নরূপ যেখানে ω = c |k। = ck। ক্ষেত্রের হ্যামিল্টনিয়ান ধ্রুপদী হ্যামিল্টনিয়ান ফর্মটি রয়েছে ডান দিকটি সহজেই প্রথমে ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যায় (অয়লার সমীকরণ এবং ত্রিকোণমিতিক অর্থোগোনালিটি থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে) যেখানে k হল উপরে বর্ণিত V = L × L × L বাক্সের মধ্যে সীমাবদ্ধ তরঙ্গের জন্য তরঙ্গ সংখ্যা এবং দ্বিতীয়টি ω = kc ব্যবহার করে। ধ্রুপদী হ্যামিল্টনিয়ানে ফিল্ড অপারেটরগুলির প্রতিস্থাপন হ্যামিল্টন অপারেটরকে ই. এম ক্ষেত্র দেয়, দ্বিতীয় সমতাটি k′ = k এবং μ′ = μ এর সাথে উপর থেকে বোসন বিনিময় সম্পর্কের তৃতীয়টি ব্যবহার করে অনুসরণ করে। আবার লক্ষ্য করুন যে γω = hν = γ c|k। এবং মনে রাখবেন যে ω নির্ভর করে k-এর উপর, যদিও এটি স্বরলিপিতে স্পষ্ট নয়। ω (k) স্বরলিপি চালু করা যেতে পারত, কিন্তু এটি সাধারণ নয় কারণ এটি সমীকরণগুলিকে বিশৃঙ্খল করে তোলে। ডিগ্রেশনঃ হারমোনিক অসিলেটর এক-মাত্রিক কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজড ট্রিটমেন্ট কোয়ান্টাম মেকানিক্যাল কোর্সের একটি সুপরিচিত বিষয়। আমরা এটি সম্পর্কে কিছু কথা বলি এবং বলি। হারমোনিক দোলক হ্যামিল্টনিয়ানের এমন একটি রূপ রয়েছে যেখানে ω ষ্ণ2πν হল দোলকের মৌলিক কম্পাঙ্ক। দোলকের স্থল অবস্থা দ্বারা মনোনীত করা হয়; এবং "ভ্যাকুয়াম অবস্থা" হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এটি দেখানো যেতে পারে যে এটি একটি উত্তেজনা অপারেটর, এটি একটি n ভাঁজ উত্তেজিত অবস্থা থেকে একটি n + 1 ভাঁজ উত্তেজিত অবস্থায় উত্তেজিত করেঃ বিশেষতঃ এবং যেহেতু সুরেলা দোলক শক্তি সমান দূরত্বে থাকে, তাই n-ভাঁজ উত্তেজিত অবস্থা; সমস্ত শক্তি hν সহ n কণা (কখনও কখনও ভাইব্রন বলা হয়) ধারণকারী একক অবস্থা হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই কণাগুলি হল বোসন। সুস্পষ্ট কারণে উত্তেজনা অপারেটরকে ক্রিয়েশন অপারেটর বলা হয়। বিনিময় সম্পর্ক থেকে দেখা যায় যে হার্মিশিয়ান সংলগ্ন ডি-এক্সাইটঃ বিশেষত যাতে সুস্পষ্ট কারণে ডি-এক্সাইটশন অপারেটরকে অ্যানহিলেশন অপারেটর বলা হয়। গাণিতিক প্রবর্তন দ্বারা নিম্নলিখিত "পৃথকীকরণের নিয়ম", যা পরে প্রয়োজন হবে, সহজেই প্রমাণিত হয়, ধরুন এখন আমাদের বেশ কয়েকটি অ-মিথস্ক্রিয়াশীল (স্বাধীন) এক-মাত্রিক সুরেলা দোলক রয়েছে, যার প্রত্যেকটির নিজস্ব মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সি ωi রয়েছে। যেহেতু দোলকগুলি স্বাধীন, তাই হ্যামিল্টনিয়ান একটি সহজ যোগফলঃ এর পরিবর্তে আমরা দেখতে পাই যে, ই. এম ক্ষেত্রের হ্যামিল্টনিয়ানকে শক্তির স্বাধীন দোলকগুলির হ্যামিল্টনিয়ান হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে ω = |k |c যা e (μ)-এর দিকে μ = ±1-এর সাথে দোলায়। ফোটন সংখ্যা বলে (ফক বলে) কোয়ান্টাইজড ই. এম ক্ষেত্রের একটি ভ্যাকুয়াম (কোনও ফোটন নেই) অবস্থা রয়েছে। এর প্রয়োগ, ধরুন, মোডে (k, μ) m ফোটন এবং মোডে (k′, μ′) n ফোটনের একটি কোয়ান্টাম অবস্থা দেয়। আনুপাতিকতার প্রতীকটি ব্যবহার করা হয় কারণ বাম হাতের অবস্থাটি ঐক্যের জন্য স্বাভাবিক করা হয় না, যেখানে ডান হাতের অবস্থাটি স্বাভাবিক করা যেতে পারে। অপারেটর হল নম্বর অপারেটর। কোয়ান্টাম যান্ত্রিক ফোটন সংখ্যা অবস্থার উপর কাজ করার সময়, এটি মোডে ফোটনের সংখ্যা (কে, মাইক্রো) প্রদান করে। এই মোডে ফোটনের সংখ্যা যখন শূন্য হয়, তখন নম্বর অপারেটর শূন্য ফেরত দেয়। এক-ফোটন কেটে নম্বর অপারেটরের ক্রিয়া দেখানোর জন্য, আমরা বিবেচনা করি, অর্থাৎ, মোডের একটি নম্বর অপারেটর (কে, এমইউ) শূন্য প্রদান করে যদি মোডটি খালি থাকে এবং মোডটি এককভাবে দখল করা থাকলে একক প্রদান করে। একই মোডের একটি এন-ফোটন কেটে মোডের সংখ্যা অপারেটরের (কে, এমইউ) ক্রিয়া বিবেচনা করার জন্য, আমরা সূচক কে এবং এমইউ বাদ দিই এবং বিবেচনা করি আগে প্রবর্তিত "পার্থক্য নিয়ম" ব্যবহার করুন এবং এটি অনুসরণ করে যে একটি ফোটন সংখ্যা অবস্থা (বা একটি ফক অবস্থা) সংখ্যা অপারেটরের একটি আইগেনস্টেট। এই কারণেই এখানে বর্ণিত আনুষ্ঠানিকতাকে প্রায়শই পেশা সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব হিসাবে উল্লেখ করা হয়। ফোটন শক্তি পূর্বে হ্যামিল্টনিয়ান চালু করা হয়েছিল। শক্তির শূন্যকে স্থানান্তরিত করা যেতে পারে, যা সংখ্যা অপারেটরের পরিপ্রেক্ষিতে একটি অভিব্যক্তির দিকে পরিচালিত করে, একক-ফোটন অবস্থার উপর H-এর প্রভাব স্পষ্টতই, একক-ফোটন অবস্থা হল H-এর একটি আইগেনস্টেট এবং γω = hν হল সংশ্লিষ্ট শক্তি। একইভাবে ফোটনের ঘনত্বের উদাহরণ একটি 100 কিলোওয়াট রেডিও ট্রান্সমিটিং স্টেশন দ্বারা সৃষ্ট তড়িৎচুম্বকীয় শক্তির ঘনত্ব তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ সম্পর্কিত নিবন্ধে গণনা করা হয়েছে (কোথায়?) স্টেশন থেকে 5 কিলোমিটার দূরে শক্তির ঘনত্বের অনুমান ছিল 2.1 × 10−10 জে/মি3। স্টেশনের সম্প্রচার বর্ণনা করার জন্য কি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের প্রয়োজন? যখন ফোটনের সংখ্যা আয়তনের এককের তুলনায় অনেক বেশি হয়, যেখানে λ হল বেতার তরঙ্গের দৈর্ঘ্য, তখন ই. এম. বিকিরণের ধ্রুপদী আনুমানিক মান ভালো হয়। সেক্ষেত্রে কোয়ান্টামের ওঠানামা নগণ্য এবং শোনা যায় না। ধরুন রেডিও স্টেশনটি ν = 100 মেগাহার্টজে সম্প্রচার করে, তাহলে এটি νh = 1 × 108 × 6.6 × 10−34 = 6.6 × 10−26 J শক্তির উপাদান সহ ফোটন পাঠাচ্ছে, যেখানে h হল প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক। স্টেশনটির তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ = c/ν = 3 মিটার, যাতে λ/(2π) = 48 সেমি এবং আয়তন 0.109 m3 হয়। এই আয়তন উপাদানটির শক্তির পরিমাণ হল 2.1 × 10−10 × 0.109 = 2.3 × 10−11 J, যার পরিমাণ প্রতি ফোটনে 3.4 × 1014 ফোটন স্পষ্টতই, 3.4 × 1014> 1 এবং তাই কোয়ান্টাম প্রভাবগুলি কোনও ভূমিকা পালন করে না; এই স্টেশন দ্বারা নির্গত তরঙ্গগুলি শাস্ত্রীয় সীমা দ্বারা ভালভাবে বর্ণনা করা হয় এবং কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের প্রয়োজন হয় না। ফোটন ভরবেগ ধ্রুপদী আকারে তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের ফুরিয়ার সম্প্রসারণের প্রবর্তন ফলন পরিমাণ প্রদান করে। 1/2 শব্দটি বাদ দেওয়া যেতে পারে, কারণ যখন অনুমোদিত k-এর উপরে যোগ করা হয়, তখন k-k দিয়ে বাতিল হয়। একক-ফোটন অবস্থার উপর পি. ই. এম-এর প্রভাব স্পষ্টতই, একক-ফোটন অবস্থা হল ভরবেগ অপারেটরের একটি আইগেনস্টেট, এবং γk হল আইগেনভ্যালু (একক ফোটনের ভরবেগ)। ফোটন ভর অ-শূন্য রৈখিক ভরবেগের ফোটন, কেউ কল্পনা করতে পারে যে এটির একটি অ-বিলুপ্ত বিশ্রাম ভর m0 রয়েছে, যা শূন্য গতিতে এর ভর। যাইহোক, আমরা এখন দেখাব যে এই ক্ষেত্রে নয়ঃ m0 = 0। যেহেতু ফোটন আলোর গতিতে প্রসারিত হয়, তাই বিশেষ আপেক্ষিকতার প্রয়োজন হয়। শক্তি এবং ভরবেগ বর্গের আপেক্ষিক অভিব্যক্তিগুলি হল, p2/E2 থেকে, ব্যবহার করুন এবং এটি অনুসরণ করে যাতে m0 = 0 হয়। ফোটন ঘূর্ণন ফোটনকে ঘূর্ণন কোয়ান্টাম সংখ্যা এস = 1 সহ একটি ত্রিগুণ ঘূর্ণন বরাদ্দ করা যেতে পারে। এটি 14N আইসোটোপের পারমাণবিক ঘূর্ণনের অনুরূপ, তবে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল যে MS = 0 সহ অবস্থাটি শূন্য, শুধুমাত্র MS = ±1 সহ অবস্থাগুলি অ-শূন্য। স্পিন অপারেটরদের সংজ্ঞায়িত করুনঃ দুটি অর্থোগোনাল একক ভেক্টরের মধ্যে দুটি অপারেটর হল ডাইডিক পণ্য। একক ভেক্টরগুলি প্রসারণের দিক k (z অক্ষের দিক, যা স্পিন কোয়ান্টাইজেশন অক্ষ)-এর লম্ব। স্পিন অপারেটররা স্বাভাবিক কৌণিক ভরবেগ বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে প্রকৃতপক্ষে, ডাইডিক পণ্য বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে কারণ ez একক দৈর্ঘ্যের। এই পদ্ধতিতে, পরিদর্শন দ্বারা এটি অনুসরণ করে এবং তাই অণু ফোটন স্পিনকে লেবেল করে, কারণ ভেক্টর সম্ভাব্যতা এ একটি আড়াআড়ি ক্ষেত্র, ফোটনের কোনও সামনের (μ = 0) ঘূর্ণন উপাদান নেই। আরও দেখুন নির্বিচারে ঘূর্ণন ক্ষেত্রের কিউইডি ভ্যাকুয়াম জেনারেলাইজড পোলারাইজেশন ভেক্টর। রেফারেন্স গেজ তত্ত্ব গাণিতিক পরিমাণায়ন