Arcsine laws (Wiener process)
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, আর্ক্সাইন আইনগুলি এক-মাত্রিক এলোমেলো হাঁটা এবং ব্রাউনিয়ান গতির (উইনার প্রক্রিয়া) ফলাফলের একটি সংগ্রহ। এগুলির মধ্যে সর্বাধিক পরিচিতদের কৃতিত্ব দেওয়া হয়। তিনটি আইনই উইনার প্রক্রিয়ার পথের বৈশিষ্ট্যকে আর্কসাইন বিতরণের সাথে সম্পর্কিত করে। [0,1]-এর উপর একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-কে আর্কসাইন-ডিস্ট্রিবিউটেড করা হয় যদি আইনের বিবৃতি জুড়ে আমরা ধরে নিই যে (Wt) 0 ≤ t ≤ 1 ω R হল [0,1]-এর এক-মাত্রিক উইনার প্রক্রিয়া। স্কেল ইনভ্যারিয়েন্স নিশ্চিত করে যে ফলাফলগুলি টি ω [0, φ]-এর জন্য চালিত উইনার প্রক্রিয়াগুলিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। প্রথম (লেভির) আর্কসাইন সূত্র প্রথম আর্কসাইন সূত্রটি বলে যে এক-মাত্রিক উইনার প্রক্রিয়াটি যে অনুপাতের সময় ধনাত্মক হয় তা একটি আর্কসাইন বন্টনকে অনুসরণ করে। [0,1] সময়ের সেটের পরিমাপ হিসাবে ধরা যাক যেখানে উইনার প্রক্রিয়াটি ধনাত্মক। তারপর আর্কসিন বিতরণ করা হয়। দ্বিতীয় আর্কসাইন সূত্র দ্বিতীয় আর্কসাইন সূত্রটি উইনার প্রক্রিয়াটি শেষবার সাইন পরিবর্তন করার বিতরণ বর্ণনা করে। ধরা যাক শেষ শূন্যের সময়। তারপর L হল আর্কসিন বিতরণ। তৃতীয় আর্কসাইন সূত্র তৃতীয় আর্কসাইন সূত্রে বলা হয়েছে যে কোনও উইনার প্রক্রিয়া যে সময়ে তার সর্বোচ্চ অর্জন করে তা হল আর্কসাইন বিতরণ। আইনের বিবৃতিটি এই সত্যের উপর নির্ভর করে যে উইনার প্রক্রিয়ার প্রায় অবশ্যই একটি অনন্য ম্যাক্সিমা রয়েছে এবং তাই আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এম সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা সেই সময় যেখানে ম্যাক্সিমা অর্জন করা হয়। অর্থাৎ। অনন্য এম এমন যে তারপর এম আর্কসাইন বিতরণ করা হয়। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সূত্রের সমতুল্যতা উইনার প্রক্রিয়ার চলমান সর্বাধিক প্রক্রিয়া এম. টি-কে সংজ্ঞায়িত করলে এক্স. টি = এম. টি-ডব্লিউ. টি-র আইনের একটি প্রতিফলিত উইনার প্রক্রিয়া <আই. ডি1>।-এর মতো একই আইন রয়েছে (যেখানে বি. টি একটি উইনার প্রক্রিয়া যা ডব্লিউ. টি-র থেকে স্বাধীন)। যেহেতু বি এবং |B।-এর শূন্যগুলি মিলে যায়, তাই এক্স-এর শেষ শূন্যের বন্টন এল-এর সমান, যা উইনার প্রক্রিয়ার শেষ শূন্য। X-এর শেষ শূন্য ঠিক তখনই ঘটে যখন W তার সর্বোচ্চ অর্জন করে। এর ফলে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সূত্রগুলি সমতুল্য। উদ্ধৃতি উইনার প্রক্রিয়া পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান