Von Neumann–Morgenstern utility theorem
সিদ্ধান্ত তত্ত্বে, ভন নিউম্যান-মরগেনস্টার্ন (ভি. এন. এম) ইউটিলিটি উপপাদ্য দেখায় যে, যুক্তিসঙ্গত আচরণের কিছু স্বতঃসিদ্ধতার অধীনে, বিভিন্ন পছন্দের ঝুঁকিপূর্ণ (সম্ভাব্য) ফলাফলের মুখোমুখি একজন সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী এমন আচরণ করবে যেন তারা ভবিষ্যতের কোনও নির্দিষ্ট সময়ে সম্ভাব্য ফলাফলের উপর সংজ্ঞায়িত কোনও ফাংশনের প্রত্যাশিত মানকে সর্বাধিক করে তুলছে। এই ফাংশনটি ভন নিউম্যান-মরগেনস্টার্ন ইউটিলিটি ফাংশন নামে পরিচিত। এই উপপাদ্যটি প্রত্যাশিত উপযোগিতা তত্ত্বের ভিত্তি। 1947 সালে, জন ভন নিউম্যান এবং অস্কার মরগেনস্টার্ন প্রমাণ করেছিলেন যে যে কোনও ব্যক্তির পছন্দগুলি চারটি স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করে তার একটি ইউটিলিটি ফাংশন রয়েছে; এই জাতীয় ব্যক্তির পছন্দগুলি একটি ব্যবধান স্কেলে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে এবং ব্যক্তি সর্বদা এমন ক্রিয়াকলাপ পছন্দ করবে যা প্রত্যাশিত উপযোগিতা সর্বাধিক করে। অর্থাৎ, তাঁরা প্রমাণ করেছেন যে কোনও প্রতিনিধি (ভি. এন. এম-) যুক্তিসঙ্গত হয় যদি এবং শুধুমাত্র সম্ভাব্য ফলাফল দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন বিদ্যমান থাকে যেমন এজেন্টের প্রতিটি পছন্দ ইউ-এর প্রত্যাশিত মানকে সর্বাধিক করে চিহ্নিত করা হয়, যা তখন এজেন্টের ভি. এন. এম-উপযোগিতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (এটি একটি ধ্রুবক যোগ করা এবং একটি ধনাত্মক স্কেলার দ্বারা গুণ করা পর্যন্ত অনন্য)। কোনও দাবি করা হয় না যে এজেন্টের ইউ-কে সর্বাধিক করার "সচেতন ইচ্ছা" রয়েছে, শুধুমাত্র ইউ-এর অস্তিত্ব রয়েছে। প্রত্যাশিত উপযোগিতা অনুমানটি হল যে যৌক্তিকতাকে একটি প্রত্যাশিত মান সর্বাধিক হিসাবে মডেল করা যেতে পারে, যা উপপাদ্যটি দেওয়া হয়েছে, "যৌক্তিকতা হল ভি. এন. এম-যৌক্তিকতা" হিসাবে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে। যাইহোক, স্বতঃসিদ্ধগুলি নিজেই বিভিন্ন ভিত্তিতে সমালোচিত হয়েছে, যার ফলে স্বতঃসিদ্ধগুলিকে আরও ন্যায্যতা দেওয়া হয়েছে। ভি. এন. এম-ইউটিলিটি একটি সিদ্ধান্তের উপযোগিতা যেখানে এটি সিদ্ধান্তের পছন্দগুলি বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। এটি সম্পর্কিত কিন্তু তথাকথিত ই-ইউটিলিটির (অভিজ্ঞতার উপযোগিতা) সমতুল্য নয়, যা বেন্থামের সর্বশ্রেষ্ঠ সুখ নীতির মতো সুখ পরিমাপ করার উদ্দেশ্যে উপযোগিতার ধারণা। সেট-আপ উপপাদ্যটিতে, একজন পৃথক প্রতিনিধি লটারি নামক বিকল্পগুলির মুখোমুখি হন। কিছু পারস্পরিক একচেটিয়া ফলাফলের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি লটারি এমন একটি পরিস্থিতি যেখানে প্রতিটি ফলাফল একটি প্রদত্ত সম্ভাবনার সাথে ঘটবে, সমস্ত সম্ভাবনার সমষ্টি এক। উদাহরণস্বরূপ, দুটি ফলাফলের জন্য এ এবং বি, এমন একটি দৃশ্যকে বোঝায় যেখানে পি (এ) = 25 শতাংশ হল এ ঘটার সম্ভাবনা এবং পি (বি) = 75 শতাংশ (এবং তাদের মধ্যে ঠিক একটি ঘটবে)। আরও সাধারণভাবে, অনেক সম্ভাব্য ফলাফল সহ একটি লটারির জন্য, আমরা লিখিঃ 1 এর সমান s এর যোগফল সহ। একটি লটারির ফলাফল নিজেই অন্যান্য ফলাফলের মধ্যে লটারি হতে পারে এবং প্রসারিত অভিব্যক্তিটিকে সমতুল্য লটারি হিসাবে বিবেচনা করা হয়ঃ 0.5 (0.5এ + 0.5বি) + 0.5সি = 0.25A + 0.25B + 0.50C। যদি লটারি এল-এর চেয়ে লটারি এম-কে অগ্রাধিকার দেওয়া হয়, তাহলে আমরা লিখি, বা সমতুল্য। যদি প্রতিনিধি এল এবং এম-এর মধ্যে উদাসীন হয়, তাহলে আমরা উদাসীনতা সম্পর্কটি লিখি যদি এম-কে এল-এর তুলনায় বেশি পছন্দ করা হয় বা উদাসীনতার সাথে দেখা হয়, তাহলে আমরা স্বতঃসিদ্ধগুলি লিখি। সম্পূর্ণতা ধরে নেয় যে একজন ব্যক্তির সুনির্দিষ্ট পছন্দ রয়েছেঃ স্বতঃসিদ্ধ 1 (সম্পূর্ণতা) যে কোনও লটারির জন্য এল, এম, নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি ধারণ করেঃ, (ব্যক্তিকে অবশ্যই কিছু পছন্দ বা উদাসীনতা প্রকাশ করতে হবে)। লক্ষ্য করুন যে এটি রিফ্লেক্সিভিটি বোঝায়। ট্রানজিটিভিটি ধরে নেয় যে পছন্দগুলি যে কোনও তিনটি বিকল্পের মধ্যে সামঞ্জস্যপূর্ণঃ স্বতঃসিদ্ধ 2 (ট্রানজিটিভিটি) যদি এবং, তারপর। ধারাবাহিকতা ধরে নেয় যে একটি প্রদত্ত মধ্য বিকল্পের চেয়ে ভাল এবং খারাপ হওয়ার মধ্যে একটি "টিপিং পয়েন্ট" রয়েছেঃ স্বতঃসিদ্ধ 3 (ধারাবাহিকতা): যদি, তবে এমন একটি সম্ভাবনা বিদ্যমান থাকে যে যেখানে বাম দিকের স্বরলিপিটি এমন একটি পরিস্থিতিকে বোঝায় যেখানে L সম্ভাবনা p সহ প্রাপ্ত হয় এবং N সম্ভাবনা (1-p) সহ প্রাপ্ত হয়। ধারাবাহিকতার পরিবর্তে, একটি বিকল্প স্বতঃসিদ্ধ অনুমান করা যেতে পারে যা সুনির্দিষ্ট সমতার সাথে জড়িত নয়, যাকে আর্কিমিডিয়ান সম্পত্তি বলা হয়। এটি বলে যে পছন্দের যে কোনও পৃথকীকরণ সম্ভাবনার যথেষ্ট ছোট বিচ্যুতির অধীনে বজায় রাখা যেতে পারেঃ স্বতঃসিদ্ধ 3′ (আর্কিমিডিয়ান সম্পত্তি): যদি, এমন একটি সম্ভাবনা বিদ্যমান থাকে যে (3) বা (3′) এর মধ্যে কেবল একটি অনুমান করা প্রয়োজন, এবং অন্যটি উপপাদ্য দ্বারা বোঝানো হবে। অপ্রাসঙ্গিক বিকল্পগুলির স্বাধীনতা ধরে নেয় যে একটি পছন্দ অন্য ফলাফলের সম্ভাবনা থেকে স্বাধীনভাবে ধারণ করেঃ স্বতঃসিদ্ধ 4 (স্বাধীনতা): যে কোনওটির জন্য এবং, মনে রাখবেন যে উপপাদ্যটি কাজ করার জন্য "শুধুমাত্র যদি" দিকটি প্রয়োজনীয়। এটি ছাড়া, আমাদের কাছে এই পাল্টা উদাহরণ রয়েছেঃ শুধুমাত্র দুটি ফলাফল রয়েছে, এবং প্রতিনিধি উদাসীন, এবং কঠোরভাবে সেগুলির সবকটিকে পছন্দ করে। "শুধুমাত্র যদি" নির্দেশের সাথে, আমরা যুক্তি দিতে পারি যে এটি বোঝায়, এইভাবে এই পাল্টা উদাহরণটি বাদ দেয়। স্বাধীন স্বতঃসিদ্ধটি যৌগিক লটারি হ্রাসের স্বতঃসিদ্ধটিকে বোঝায়ঃ স্বতঃসিদ্ধ 4′ (যৌগিক লটারি হ্রাস): যে কোনও লটারি এবং যে কোনওটির জন্য, স্বতঃসিদ্ধ 4 কীভাবে স্বতঃসিদ্ধ 4 'বোঝায় তা দেখতে, স্বতঃসিদ্ধ 4-এর অভিব্যক্তিতে সেট করা, এবং প্রসারিত। যে কোনও ভি. এন. এম-যুক্তিসঙ্গত এজেন্টের জন্য উপপাদ্য (অর্থাৎ। একটি ফাংশন u রয়েছে যা প্রতিটি ফলাফলকে একটি বাস্তব সংখ্যা u (A) বরাদ্দ করে যাতে যে কোনও দুটি লটারির জন্য, যেখানে E (u (L), বা আরও সংক্ষেপে Eu (L) দ্বারা দেওয়া হয়। বিপরীতভাবে, কোনও ফাংশন u-এর প্রত্যাশা সর্বাধিক করার জন্য কাজ করা যে কোনও এজেন্ট 1-4 স্বতঃসিদ্ধগুলি মেনে চলবে। এই ধরনের ফাংশনকে এজেন্টের ভন নিউম্যান-মরগেনস্টার্ন (ভিএনএম) ইউটিলিটি বলা হয়। প্রমাণ স্কেচ প্রমাণ গঠনমূলকঃ এটি দেখায় কিভাবে কাঙ্ক্ষিত ফাংশন তৈরি করা যেতে পারে। এখানে আমরা সেই ক্ষেত্রে নির্মাণ প্রক্রিয়ার রূপরেখা তৈরি করি যেখানে নির্দিষ্ট ফলাফলের সংখ্যা সীমাবদ্ধ। ধরুন নিশ্চিত ফলাফল আছে। মনে রাখবেন যে প্রতিটি নিশ্চিত ফলাফলকে লটারি হিসাবে দেখা যেতে পারেঃ এটি একটি অধঃপতিত লটারি যেখানে সম্ভাবনা 1 দিয়ে ফলাফল নির্বাচন করা হয়। অতএব, সম্পূর্ণতা এবং ক্ষণস্থায়ী স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা, ফলাফলগুলি সবচেয়ে খারাপ থেকে সর্বোত্তমের দিকে সাজানো সম্ভবঃ আমরা ধরে নিই যে বৈষম্যগুলির মধ্যে অন্তত একটি কঠোর (অন্যথায় ইউটিলিটি ফাংশনটি তুচ্ছ-একটি ধ্রুবক)। তাই। আমরা এই দুটি চরম ফলাফল-সবচেয়ে খারাপ এবং সেরা-আমাদের ইউটিলিটি ফাংশনের স্কেলিং ইউনিট হিসাবে ব্যবহার করি এবং সংজ্ঞায়িত করিঃ এবং প্রতিটি সম্ভাবনার জন্য, এমন একটি লটারি সংজ্ঞায়িত করুন যা সম্ভাব্যতা সহ সর্বোত্তম ফলাফল এবং অন্যথায় সবচেয়ে খারাপ ফলাফল নির্বাচন করেঃ লক্ষ্য করুন যে এবং। ধারাবাহিকতা স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা, প্রতিটি নিশ্চিত ফলাফলের জন্য, একটি সম্ভাবনা রয়েছে যেঃ এবং প্রত্যেকের জন্য, ফলাফলের জন্য ইউটিলিটি ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে প্রতিটি লটারির উপযোগিতা হল আপনার প্রত্যাশাঃ কেন এই ইউটিলিটি ফাংশনটি অর্থপূর্ণ তা দেখতে, একটি লটারি বিবেচনা করুন, যা সম্ভাব্যতা সহ ফলাফল নির্বাচন করে। কিন্তু, আমাদের অনুমান অনুযায়ী, সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী নিশ্চিত ফলাফল এবং লটারির মধ্যে উদাসীন। সুতরাং, হ্রাস স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা, তিনি লটারি এবং নিম্নলিখিত লটারির মধ্যে উদাসীনঃ লটারি আসলে এমন একটি লটারি যেখানে সম্ভাবনার সাথে সেরা ফলাফল জিতে নেওয়া হয় এবং অন্যথায় সবচেয়ে খারাপ ফলাফল হয়। সুতরাং, যদি একজন যুক্তিসঙ্গত সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী লটারির চেয়ে লটারি পছন্দ করেন, কারণ এটি তাকে সেরা ফলাফল জেতার একটি বড় সুযোগ দেয়। অতএবঃ যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিক্রিয়া ভন নিউম্যান এবং মরগেনস্টার্ন তাদের উপসংহারের শক্তিতে বিস্ময়ের পূর্বাভাস দেয়। কিন্তু তাদের মতে, তাদের ইউটিলিটি ফাংশনটি কাজ করার কারণ হল এটি এমন কিছুর ভূমিকা পূরণ করার জন্য সুনির্দিষ্টভাবে তৈরি করা হয়েছে যার প্রত্যাশা সর্বাধিকঃ "অনেক অর্থনীতিবিদ অনুভব করবেন যে আমরা অনেক বেশি অনুমান করছি। আমরা কি খুব বেশি কিছু দেখাইনি? যতদূর আমরা দেখতে পাচ্ছি, আমাদের স্বীকার্যগুলি যুক্তিসঙ্গত। আমরা ব্যবহারিকভাবে সংখ্যাসূচক উপযোগকে এমন জিনিস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছি যার জন্য গাণিতিক প্রত্যাশার ক্যালকুলাস বৈধ। - VNM 1953, § 3.1.1 p. 16 এবং § 3.7.1 p. 28 সুতরাং, উপপাদ্যটির বিষয়বস্তু হল যে u-এর নির্মাণ সম্ভব, এবং তারা এর প্রকৃতি সম্পর্কে খুব কমই দাবি করে। পরিণতি ঝুঁকি পরিহারের স্বয়ংক্রিয় বিবেচনা প্রায়শই এমন হয় যে কোনও ব্যক্তি, অর্থ নিয়ে বাস্তব-বিশ্বের জুয়াখেলার মুখোমুখি হয়ে, তাদের ডলার সম্পদের প্রত্যাশিত মূল্য সর্বাধিক করার জন্য কাজ করে না। উদাহরণস্বরূপ, একজন ব্যক্তি যার কাছে মাত্র 1000 ডলার সঞ্চয় রয়েছে, তিনি 20,000 ডলার জেতার 20 শতাংশ সম্ভাবনার জন্য সমস্ত ঝুঁকি নিতে অনিচ্ছুক হতে পারেন, যদিও, ব্যক্তিটি যদি ভিএনএম-যুক্তিসঙ্গত হয়, তবে এই জাতীয় তথ্যগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে তাদের ইউটিলিটি ফাংশনে হিসাব করা হয়। এই উদাহরণে, আমরা এই উপসংহারে আসতে পারি যে এখানে ডলারের পরিমাণ প্রকৃতপক্ষে ফলাফলের প্রতিনিধিত্ব করে (সিএফ। "মান"), ব্যক্তিটি যে তিনটি সম্ভাব্য পরিস্থিতির মুখোমুখি হতে পারে। বিশেষ করে, আপনি ভি. এন. এম-যুক্তিসঙ্গততার কোনও বিরোধিতা না করে u ($1) + u ($1)  ঒ত্ত u ($2)-এর মতো বৈশিষ্ট্য প্রদর্শন করতে পারেন। এটি আর্থিক ঝুঁকি পরিহারের একটি পরিমাণগত তত্ত্বের দিকে পরিচালিত করে। প্রত্যাশিত উপযোগিতা অনুমানের প্রভাব 1738 সালে, ড্যানিয়েল বার্নৌলি একটি গ্রন্থ প্রকাশ করেন যেখানে তিনি মনে করেন যে যুক্তিসঙ্গত আচরণকে একটি ফাংশন ইউ-এর প্রত্যাশার সর্বাধিককরণ হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে, যা বিশেষত আর্থিক-মূল্যবান হওয়ার প্রয়োজন নেই, এইভাবে ঝুঁকি বিদ্বেষের জন্য অ্যাকাউন্টিং। এটি হল প্রত্যাশিত উপযোগিতা অনুমান। যেমন বলা হয়েছে, অনুমানটি একটি সাহসী দাবি বলে মনে হতে পারে। প্রত্যাশিত উপযোগিতা উপপাদ্যের লক্ষ্য হল "পরিমিত শর্ত" প্রদান করা (অর্থাৎ। স্বতঃসিদ্ধ) বর্ণনা করে যখন প্রত্যাশিত উপযোগিতা অনুমানটি ধারণ করে, যা সরাসরি এবং স্বজ্ঞাতভাবে মূল্যায়ন করা যেতে পারেঃ "স্বতঃসিদ্ধগুলি খুব বেশি হওয়া উচিত নয়, তাদের পদ্ধতি যতটা সম্ভব সহজ এবং স্বচ্ছ হতে হবে, এবং প্রতিটি স্বতঃসিদ্ধের একটি তাৎক্ষণিক স্বজ্ঞাত অর্থ থাকতে হবে যার দ্বারা তার উপযুক্ততা সরাসরি বিচার করা যেতে পারে। আমাদের মতো পরিস্থিতিতে এই শেষ প্রয়োজনীয়তাটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ, এর অস্পষ্টতা সত্ত্বেওঃ আমরা একটি স্বজ্ঞাত ধারণাকে গাণিতিক চিকিৎসার উপযোগী করে তুলতে চাই এবং এর জন্য কী অনুমানের প্রয়োজন তা যতটা সম্ভব স্পষ্টভাবে দেখতে চাই। - ভি. এন. এম 1953 § 3.5.2, পৃ. 25 এইভাবে, দাবি করে যে প্রত্যাশিত উপযোগিতা অনুমান যৌক্তিকতার বৈশিষ্ট্য নয়, অবশ্যই ভি. এন. এম স্বতঃসিদ্ধগুলির একটি প্রত্যাখ্যান করতে হবে। বিভিন্ন সাধারণ প্রত্যাশিত উপযোগিতা তত্ত্বের উদ্ভব হয়েছে, যার বেশিরভাগই স্বাধীনতা স্বতঃসিদ্ধিকে বাদ দেয় বা শিথিল করে। নৈতিকতা এবং নৈতিক দর্শনের প্রভাব যেহেতু উপপাদ্যটি জুয়ার সম্ভাব্য ফলাফলের প্রকৃতি সম্পর্কে কিছুই অনুমান করে না, সেগুলি নৈতিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ ঘটনা হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ অন্যের জীবন, মৃত্যু, অসুস্থতা বা স্বাস্থ্যের সাথে জড়িত। একজন ভন নিউম্যান-মরগেনস্টার্ন যুক্তিসঙ্গত প্রতিনিধি এই ধরনের ঘটনাগুলির জন্য অত্যন্ত উদ্বেগের সাথে কাজ করতে সক্ষম, অনেক ব্যক্তিগত সম্পদ বা সুস্থতা ত্যাগ করতে সক্ষম, এবং এই সমস্ত ক্রিয়া এজেন্টের ভিএনএম-ইউটিলিটি ফাংশনের নির্মাণ/সংজ্ঞায় ফ্যাক্টর করবে। অন্য কথায়, যা স্বাভাবিকভাবেই "ব্যক্তিগত লাভ" হিসাবে বিবেচিত হয় এবং যা স্বাভাবিকভাবেই "পরার্থপরতা" হিসাবে বিবেচিত হয়, উভয়ই একটি ভিএনএম-যুক্তিসঙ্গত ব্যক্তির ভিএনএম-ইউটিলিটি ফাংশনে অন্তর্নিহিতভাবে ভারসাম্যপূর্ণ। অতএব, এজেন্ট-কেন্দ্রিক থেকে এজেন্ট-নিরপেক্ষ আচরণের সম্পূর্ণ পরিসীমা হল। যদি এর উপযোগিতা হয়, তবে একটি ভন নিউম্যান-মরগেনস্টার্ন যুক্তিসঙ্গত এজেন্টকে অবশ্যই এবং এর মধ্যে উদাসীন হতে হবে। একজন প্রতিনিধি-কেন্দ্রিক ভন নিউম্যান-মরগেনস্টার্ন যুক্তিসঙ্গত প্রতিনিধি তাই তার নিজস্ব সম্ভাব্য ভবিষ্যতের মধ্যে উপযোগিতার আরও সমান বা "ন্যায্য" বিতরণের পক্ষে থাকতে পারে না। উপযোগিতার অন্যান্য ধারণার থেকে পার্থক্য কিছু উপযোগবাদী নৈতিক তত্ত্ব সমষ্টির "মোট উপযোগিতা" এবং "গড় উপযোগিতা" নামে পরিচিত পরিমাণের সাথে সম্পর্কিত, এবং নিজের প্রতি অবজ্ঞার সাথে অন্যের উপযোগিতা বা সুখের পক্ষে থাকার ক্ষেত্রে নৈতিকতাকে চিহ্নিত করে। এই ধারণাগুলি ভি. এন. এম-ইউটিলিটির সাথে সম্পর্কিত হতে পারে, তবে এর থেকে আলাদাঃ 1) ভি. এন. এম-ইউটিলিটির একটি সিদ্ধান্তের উপযোগিতা রয়েছেঃ এটি সেই অনুযায়ী যা কেউ সিদ্ধান্ত নেয়, এবং তাই সংজ্ঞা অনুসারে এমন কিছু হতে পারে না যা কেউ উপেক্ষা করে। 2) ভি. এন. এম-উপযোগিতা একাধিক ব্যক্তির মধ্যে প্রামাণিকভাবে যোগাত্মক নয় (সীমাবদ্ধতা দেখুন), তাই "মোট ভি. এন. এম-উপযোগিতা" এবং "গড় ভি. এন. এম-উপযোগিতা" অবিলম্বে অর্থপূর্ণ নয় (কিছু ধরণের স্বাভাবিককরণ অনুমান প্রয়োজন)। "অভিজ্ঞতার উপযোগিতা"-র জন্য ই-ইউটিলিটি শব্দটি বেন্থামের সর্বশ্রেষ্ঠ সুখ নীতির মতো "ভোগবাদী" উপযোগের প্রকারগুলিকে বোঝাতে তৈরি করা হয়েছে। যেহেতু নৈতিকতা সিদ্ধান্তগুলিকে প্রভাবিত করে, তাই একজন ভি. এন. এম-যুক্তিসঙ্গত প্রতিনিধির নৈতিকতা তার নিজস্ব উপযোগিতা ফাংশনের সংজ্ঞাকে প্রভাবিত করবে (উপরে দেখুন)। সুতরাং, একটি ভি. এন. এম-যুক্তিসঙ্গত এজেন্টের নৈতিকতাকে অন্যান্য উপায়ের মধ্যে ভি. এন. এম-উপযোগিতা, ই-উপযোগিতা, বা অন্যদের "সুখ"-এর সাথে এজেন্টের ভি. এন. এম-উপযোগিতার পারস্পরিক সম্পর্ক দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে, তবে এজেন্টের নিজস্ব ভি. এন. এম-উপযোগের প্রতি অবজ্ঞা দ্বারা নয়, যা শর্তে একটি দ্বন্দ্ব। যেহেতু এল এবং এম লটারি হয়, তাহলে পিএল + (1−পি) এম কেবল "প্রসারিত" হয় এবং নিজেই একটি লটারি হিসাবে বিবেচিত হয়, ভিএনএম আনুষ্ঠানিকতা "নেস্টেড জুয়া" হিসাবে অভিজ্ঞ হতে পারে তা উপেক্ষা করে। এটি এলসবার্গ সমস্যার সাথে সম্পর্কিত যেখানে লোকেরা ঝুঁকি সম্পর্কে ঝুঁকি সম্পর্কে ধারণা এড়াতে পছন্দ করে। ভন নিউম্যান এবং মরগেনস্টার্ন এই সীমাবদ্ধতাকে স্বীকৃতি দিয়েছেনঃ ". জুয়ার একটি নির্দিষ্ট উপযোগের মতো ধারণাগুলি এই স্তরে দ্বন্দ্ব ছাড়াই প্রণয়ন করা যায় না। এটি একটি বৈপরীত্যপূর্ণ দাবি বলে মনে হতে পারে। কিন্তু যে কেউ গুরুতরভাবে এই অধরা ধারণাকে স্বতঃসিদ্ধ করার চেষ্টা করেছে, সে সম্ভবত এর সাথে একমত হবে। - ভি. এন. এম 1953 § 3.7.1, পৃ. 28। যেহেতু যে কোনও দুটি ভিএনএম-এজেন্ট এক্স এবং ওয়াই-এর জন্য, তাদের ভিএনএম-ইউটিলিটি ফাংশন ইউএক্স এবং ইউওয়াই শুধুমাত্র যোগাত্মক ধ্রুবক এবং গুণিতক ধনাত্মক স্কেলার পর্যন্ত নির্ধারিত হয়, তাই উপপাদ্যটি দুটির তুলনা করার কোনও প্রামাণিক উপায় সরবরাহ করে না। তাই ইউএক্স (এল) + ইউওয়াই (এল) এবং ইউএক্স (এল)-ইউওয়াই (এল)-এর মতো অভিব্যক্তিগুলি ক্যানোনিকালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, এবং ইউএক্স (এল) <ইউওয়াই (এল)-এর মতো তুলনাও ক্যানোনিকালভাবে সত্য বা মিথ্যা নয়। বিশেষ করে, একটি জনসংখ্যার পূর্বোক্ত "মোট ভি. এন. এম-উপযোগিতা" এবং "গড় ভি. এন. এম-উপযোগিতা" স্বাভাবিককরণ অনুমান ছাড়া প্রামাণিকভাবে অর্থপূর্ণ নয়। অর্থনীতিতে প্রয়োগযোগ্যতা প্রত্যাশিত উপযোগিতা অনুমানের গবেষণাগার ভিত্তিক পরীক্ষামূলক পরীক্ষার একটি সেটে সীমিত ভবিষ্যদ্বাণীমূলক নির্ভুলতা রয়েছে, যেমন অ্যালেইস প্যারাডক্স। যা কিছু লোককে প্রমাণ হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পরিচালিত করে যে মানুষ সবসময় যুক্তিসঙ্গত নয়, বা ভিএনএম-যৌক্তিকতা যৌক্তিকতার উপযুক্ত বৈশিষ্ট্য নয়, বা উভয়ের কিছু সংমিশ্রণ নয়, বা মানুষ ভিএনএম-যুক্তিসঙ্গতভাবে আচরণ করে তবে ইউ-এর উদ্দেশ্যমূলক মূল্যায়ন এবং ইউ-এর গঠন জটিল সমস্যা। রেফারেন্স এবং আরও পড়া আনন্দ, পল। ফাউন্ডেশনস অফ রেশনাল চয়েস আন্ডার রিস্ক অক্সফোর্ড, অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। 1993 সালে ফিশবার্ন, পিটার সি. ইউটিলিটি থিওরি ফর ডিসিশন মেকিং-এর পুনর্মুদ্রণ করেন। হান্টিংটন, নিউইয়র্ক। রবার্ট ই. ক্রিগার পাবলিশিং কোং. 1970। সিক্সটো রিওস (1998) সিদ্ধান্ত বিজ্ঞানের কিছু সমস্যা এবং উন্নয়ন, রেভিস্তা ম্যাটেম্যাটিকা কমপ্লুটেন্স 11 (1): 113-41। পিটারসন, মার্টিন (2009)। সিদ্ধান্ত তত্ত্বের একটি ভূমিকা (কেমব্রিজ দর্শনশাস্ত্রের ভূমিকা)। কেমব্রিজঃ কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস। উপপাদ্য গেম তত্ত্ব ইউটিলিটি জন ভন নিউম্যান