Schur algebra
গণিতে, ইসাই শুরের নামে নামকরণ করা শুর বীজগণিত হল সাধারণ রৈখিক এবং প্রতিসম গোষ্ঠীর মধ্যে শুর-ওয়েল দ্বৈততার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত কিছু নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বীজগণিত। এই দুটি গোষ্ঠীর উপস্থাপনা তত্ত্বগুলি সম্পর্কিত করতে এগুলি ব্যবহার করা হয়। তাদের ব্যবহার জে এর প্রভাবশালী মনোগ্রাফ দ্বারা প্রচারিত হয়েছিল। এ. গ্রিন প্রথম প্রকাশিত হয় 1980 সালে। "শুর বীজগণিত" নামটি সবুজ রঙের কারণে এসেছে। মডুলার ক্ষেত্রে (ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যের অসীম ক্ষেত্রের উপর) গর্ডন জেমস এবং কারিন এরডম্যান শুর বীজগণিত ব্যবহার করে দেখিয়েছিলেন যে সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী এবং প্রতিসম গোষ্ঠীর জন্য পচন সংখ্যা গণনা করার (এখনও উন্মুক্ত) সমস্যাগুলি আসলে সমতুল্য। সীমিত গোষ্ঠী পরিকল্পনার কোহোমোলজির সীমাবদ্ধ প্রজন্ম প্রমাণ করতে ফ্রিডল্যান্ডার এবং সুস্লিন শুর অ্যালজেব্রা ব্যবহার করেছিলেন। নির্মাণ যে কোনও বিনিময়যোগ্য বলয় এবং পূর্ণসংখ্যার জন্য শুর বীজগণিতকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। পরিবর্তনশীল পরিবহনের ক্ষেত্রে, 1 ≤ i, j ≤, বহুপদগুলির বীজগণিত (সহগ সহ) বিবেচনা করুন। ডিগ্রির সমজাতীয় বহুপদী দ্বারা চিহ্নিত করুন। এর উপাদানগুলি হল কে-রৈখিক সংমিশ্রণ যা জেনারেটরগুলির একসাথে গুণ করে গঠিত হয় (পুনরাবৃত্তির অনুমতি দেয়)। সুতরাং এখন, গুণিতক সহ একটি প্রাকৃতিক কোলজেব্রা কাঠামো রয়েছে এবং (ক্রোনেকারের ব-দ্বীপ) দ্বারা জেনারেটরের উপর প্রদত্ত বীজগণিত সমরূপতা গণনা করে। যেহেতু গুণন একটি বীজগণিত সমরূপতা, তাই এটি একটি দ্বি-বীজগণিত। প্রত্যেকে সহজেই পরীক্ষা করে দেখতে পারে যে, প্রতিটি r ≤ 0-এর জন্য এটি দ্বি-বীজগণিতের একটি উপ-কয়লা বীজগণিত। সংজ্ঞা. শুর বীজগণিত (মাত্রায়) হল বীজগণিত। অর্থাৎ, এর রৈখিক দ্বৈত। এটি একটি সাধারণ সত্য যে কোলজেব্রার রৈখিক দ্বৈত একটি প্রাকৃতিক উপায়ে একটি বীজগণিত, যেখানে কোলজেব্রার গুণিতককে দ্বিগুণ করে বীজগণিতে গুণ করা হয়। এটি দেখার জন্য, আসুন এবং, প্রদত্ত লিনিয়ার ফাংশনালগুলি, তাদের গুণফলকে লিনিয়ার ফাংশনাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন। প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি সবচেয়ে মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি সেন্ট্রালাইজার বীজগণিত হিসাবে প্রকাশ করা হয়। ধরা যাক র্যাঙ্ক কলাম ভেক্টরের স্থান, এবং টেনসর শক্তি গঠন করে তারপর অক্ষরের প্রতিসম গ্রুপ স্থান বিন্যাস দ্বারা টেনসর স্পেসে স্বাভাবিকভাবে কাজ করে, এবং একটির একটি আইসোমরফিজম রয়েছে অন্য কথায়, প্রতিসম গ্রুপের ক্রিয়ার সাথে যাতায়াতকারী টেনসর স্পেসের এন্ডোমর্ফিজমের বীজগণিত হিসাবে দেখা যেতে পারে। দ্বিপদী সহগ দ্বারা প্রদত্ত র্যাঙ্কের উপরে মুক্ত। এর বিভিন্ন ভিত্তি জানা যায়, যার মধ্যে অনেকগুলি অর্ধ-স্ট্যান্ডার্ড আকৃতির তরুণ ট্যাবলো দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়, যা বিভাজনের সেটের উপর নির্ভর করে একাধিক অংশে পরিবর্তিত হয়। যদি k একটি অসীম ক্ষেত্র হয়, তবে সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর ক্রিয়ার জন্য আবরণ বীজগণিতের (এইচ. ওয়েল অর্থে) সাথেও চিহ্নিত করা যেতে পারে (ম্যাট্রিক্স গুণ দ্বারা প্রদত্ত প্রাকৃতিক ক্রিয়া থেকে প্ররোচিত, টেনসরের উপর তির্যক ক্রিয়ার মাধ্যমে)। শুর বীজগণিতগুলি "পূর্ণসংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত" করা হয়। এর অর্থ হল যে তারা স্কেলারের বৈশিষ্ট্যের নিম্নলিখিত পরিবর্তনকে সন্তুষ্ট করেঃ যে কোনও বিনিময়যোগ্য বলয়ের জন্য। শুর বীজগণিতগুলি অর্ধ-বংশগত বীজগণিতের প্রাকৃতিক উদাহরণ প্রদান করে (ক্লাইন, পার্শাল এবং স্কট দ্বারা সংজ্ঞায়িত), এবং এইভাবে এর সুন্দর সমতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। বিশেষত, শুর বীজগণিতে সীমাবদ্ধ বৈশ্বিক মাত্রা রয়েছে। 1980-এর দশকে ডনকিন সাধারণীকরণ শুর বীজগণিত (যে কোনও হ্রাসকারী বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর সাথে যুক্ত) প্রবর্তন করেছিলেন। এগুলিও অর্ধ-বংশগত। প্রায় একই সময়ে, ডিপার এবং জেমস কোয়ান্টাইজড শুর অ্যালজেব্রা (বা সংক্ষেপে q-শুর অ্যালজেব্রা) প্রবর্তন করেন, যা উপরে বর্ণিত ধ্রুপদী শুর অ্যালজেব্রার এক ধরনের q-বিকৃতি, যেখানে প্রতিসম গ্রুপটি সংশ্লিষ্ট হেক বীজগণিত এবং সাধারণ রৈখিক গ্রুপটি একটি উপযুক্ত কোয়ান্টাম গ্রুপ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এছাড়াও সাধারণীকৃত কিউ-শুর বীজগণিত রয়েছে, যা ডিপার এবং জেমসের কাজকে সাধারণীকরণের মাধ্যমে পাওয়া যায়, ঠিক যেমন ডনকিন ধ্রুপদী শুর বীজগণিতকে সাধারণীকরণ করেছিলেন। আরও সাধারণীকরণ রয়েছে, যেমন অ্যাফিন কিউ-শুর অ্যালজেব্রা সম্পর্কিত অ্যাফিন কিউ-মুডি লাই অ্যালজেব্রা এবং অন্যান্য সাধারণীকরণ, যেমন সাইক্লোটোমিক কিউ-শুর অ্যালজেব্রা সম্পর্কিত আরিকি-কোইকে অ্যালজেব্রা (যা নির্দিষ্ট জটিল প্রতিফলন গোষ্ঠীর কিউ-বিকৃতি)। এই বিভিন্ন শ্রেণীর সাধারণীকরণের অধ্যয়ন সমসাময়িক গবেষণার একটি সক্রিয় ক্ষেত্র গঠন করে। স্টুয়ার্ট মার্টিন, শুর আলজেব্রাস অ্যান্ড রিপ্রেজেন্টেশন থিওরি, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস 1993., অ্যান্ড্রু ম্যাথাস, ইওয়াহোরি-হেকে আলজেব্রাস অ্যান্ড শুর আলজেব্রাস অফ দ্য সিমেট্রিক গ্রুপ, ইউনিভার্সিটি লেকচার সিরিজ, vol.15, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, 1999., হারমান ওয়েইল, দ্য ক্লাসিক্যাল গ্রুপ। তাদের পরিবর্তনশীল এবং প্রতিনিধিত্ব। প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, প্রিন্সটন, এন. জে., 1939., বীজগণিত উপস্থাপনা তত্ত্ব