Limit (mathematics)
গণিতে, একটি সীমা হল সেই মান যা একটি ফাংশন (বা ক্রম) ইনপুট (বা সূচক) কিছু মানের কাছে পৌঁছানোর সাথে সাথে আসে। ক্যালকুলাস এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের জন্য সীমা অপরিহার্য, এবং ধারাবাহিকতা, ডেরিভেটিভস এবং ইন্টিগ্রাল সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়। একটি ক্রমের সীমার ধারণাটি একটি টপোলজিকাল নেটের সীমার ধারণার সাথে আরও সাধারণীকরণ করা হয় এবং বিভাগ তত্ত্বের সীমা এবং সরাসরি সীমার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। সূত্রগুলিতে, একটি ফাংশনের একটি সীমা সাধারণত হিসাবে লেখা হয় (যদিও কয়েকজন লেখক "লিম" এর পরিবর্তে "এল. টি" ব্যবহার করেন) এবং "পদ্ধতির সমান হিসাবে সীমা" হিসাবে পড়া হয়। কোনও ফাংশন যত কাছে পৌঁছায় তত সীমার কাছে পৌঁছায় যা কখনও কখনও একটি ডান তীর (→ বা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেমনটি পড়ে "এর প্রবণতা যেমন থাকে"। ইতিহাস গ্রেগোয়ার ডি সেন্ট-ভিনসেন্ট তাঁর রচনা ওপাস জ্যামিতিক (1647)-এ জ্যামিতিক সিরিজের সীমা (টার্মিনাস)-এর প্রথম সংজ্ঞা দিয়েছেনঃ "একটি অগ্রগতির টার্মিনাস হল সিরিজের শেষ, যা কোনও অগ্রগতি পৌঁছাতে পারে না, এমনকি যদি তা অনন্ত অবস্থায় অব্যাহত থাকে, তবে যা তিনি একটি প্রদত্ত বিভাগের কাছাকাছি পৌঁছাতে পারেন।" একটি সীমার আধুনিক সংজ্ঞা বার্নার্ড বলজানো থেকে শুরু হয়, যিনি 1817 সালে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার জন্য এপসাইলন-ডেল্টা কৌশলের মৌলিক বিষয়গুলি তৈরি করেছিলেন। তবে, তাঁর মৃত্যুর ত্রিশ বছর পর পর্যন্ত তাঁর কাজ অন্যান্য গণিতবিদদের কাছে অজানা ছিল। 1821 সালে অগাস্টিন-লুই কাউচি, কার্ল ওয়েয়ারস্ট্রাস দ্বারা অনুসরণ করা, একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞাটি আনুষ্ঠানিক করে যা (ε, δ)-সীমার সংজ্ঞা হিসাবে পরিচিত হয়ে ওঠে। তীরটিকে সীমা চিহ্নের নিচে রাখার আধুনিক স্বরলিপি জি. এইচ. হার্ডির কারণে, যিনি 1908 সালে তাঁর এ কোর্স অফ পিওর ম্যাথমেটিক্স বইয়ে এটি প্রবর্তন করেছিলেন। সীমার প্রকার-প্রকৃত সংখ্যা অভিব্যক্তি 0.999.-কে 0.9,0.99,0.999, ইত্যাদির সীমার সীমা হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত। এই ক্রমটি কঠোরভাবে সীমা 1 হিসাবে দেখানো যেতে পারে এবং তাই এই অভিব্যক্তিটি অর্থবহভাবে মান 1 হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, ধরুন এটি বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রম। যখন ক্রমের সীমা বিদ্যমান থাকে, তখন বাস্তব সংখ্যাটি এই ক্রমের সীমা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য এমন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা থাকে যা আমাদের সকলের জন্য থাকে। সাধারণ স্বরলিপিটি এইভাবে পড়া হয়ঃ "n-এর অসীমের কাছে পৌঁছনোর সীমা L-এর সমান" অথবা "n-এর অসীমের কাছে পৌঁছনোর সীমা L-এর সমান"। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটির স্বজ্ঞাত অর্থ হল যে অবশেষে, ক্রমের সমস্ত উপাদান নির্বিচারে সীমার কাছাকাছি চলে যায়, যেহেতু পরম মান হল এবং এর মধ্যে দূরত্ব। প্রতিটি ক্রমের একটি সীমা থাকে না। একটি সীমা সহ একটি ক্রমকে অভিসারী বলা হয়; অন্যথায় এটিকে বিচ্যুত বলা হয়। কেউ দেখাতে পারে যে একটি অভিসারী ক্রমের কেবল একটি সীমা থাকে। একটি অনুক্রমের সীমা এবং একটি ফাংশনের সীমা ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। একদিকে, একটি অনুক্রমের অসীমের কাছে পৌঁছানোর সীমাটি কেবল একটি ফাংশনের অনন্তের সীমা-প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত। অন্যদিকে, যদি X একটি ফাংশনের ডোমেইন হয় এবং যদি X − x0-এ পয়েন্টগুলির প্রতিটি নির্বিচারে ক্রমের জন্য সীমাটি অসীমের কাছে পৌঁছায়, যা মিলিত হয়, তবে পদ্ধতির হিসাবে ফাংশনের সীমা সমান। এরকম একটি ক্রম হবে। একটি সীমা হিসাবে অনন্ত একটি সীমাবদ্ধ মানের পরিবর্তে একটি সীমা "অনন্তের দিকে প্রবণতা" থাকার ধারণাও রয়েছে। একটি ক্রমকে "অনন্তের দিকে প্রবণতা" বলা হয়, যদি প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য, যা বাউন্ড নামে পরিচিত, এমন একটি পূর্ণসংখ্যা বিদ্যমান থাকে যে প্রত্যেকটির জন্য, অর্থাৎ প্রতিটি সম্ভাব্য বাউন্ডের জন্য, ক্রমটি শেষ পর্যন্ত বাউন্ড অতিক্রম করে। এটি প্রায়শই লিখিত বা সহজভাবে করা হয়। একটি ক্রম ভিন্ন হতে পারে, কিন্তু অনন্ত হতে পারে না। এই ধরনের ক্রমকে দোলক বলা হয়। দোলক অনুক্রমের একটি উদাহরণ হল। ঋণাত্মক অনন্তের দিকে প্রবণ হওয়ার একটি সংশ্লিষ্ট ধারণা রয়েছে, যা উপরের সংজ্ঞায় অসমতা পরিবর্তন করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যার সাথে একটি ক্রমকে সীমাহীন বলা হয়, জটিল সংখ্যার ক্রমের জন্য বা যে কোনও মেট্রিক স্পেসে সমানভাবে বৈধ একটি সংজ্ঞা। যে ক্রমগুলি অনন্তের দিকে ঝোঁক রাখে না সেগুলিকে আবদ্ধ বলা হয়। যে ক্রমগুলি ধনাত্মক অনন্তের দিকে ঝোঁক দেখায় না সেগুলিকে উপরে আবদ্ধ বলা হয়, অন্যদিকে যেগুলি ঋণাত্মক অনন্তের দিকে ঝোঁক দেখায় না সেগুলিকে নীচে আবদ্ধ করা হয়। মেট্রিক স্থান উপরের ক্রমগুলির আলোচনা বাস্তব সংখ্যার ক্রমের জন্য। মেট্রিক স্পেসের মতো আরও বিমূর্ত জায়গাগুলিতে মূল্যবান ক্রমের জন্য সীমার ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যদি দূরত্ব ফাংশন সহ একটি মেট্রিক স্থান হয়, এবং এটি একটি ক্রম হয়, তবে ক্রমের সীমা (যখন এটি বিদ্যমান থাকে) এমন একটি উপাদান যে, প্রদত্ত, এমন একটি বিদ্যমান যে প্রত্যেকের জন্য, আমাদের একটি সমতুল্য বিবৃতি রয়েছে যে যদি বাস্তব সংখ্যার ক্রম হয়। উদাহরণস্বরূপঃ Rn একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হল-মাত্রিক বাস্তব ভেক্টরের স্থান, যেখানে প্রতিটি উপাদান বাস্তব, একটি উপযুক্ত দূরত্ব ফাংশনের উদাহরণ হল ইউক্লিডীয় দূরত্ব, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। কিছু অর্থে সর্বাধিক বিমূর্ত স্থান যেখানে সীমা নির্ধারণ করা যেতে পারে তা হল টপোলজিকাল স্থান। যদি টপোলজি সহ একটি টপোলজিকাল স্থান হয়, এবং এটি একটি ক্রম হয়, তবে ক্রমের সীমা (যখন এটি বিদ্যমান থাকে) এমন একটি বিন্দু হয় যে, একটি (উন্মুক্ত) প্রতিবেশী দেওয়া হলে, এমন একটি বিদ্যমান থাকে যা প্রত্যেকের জন্য সন্তুষ্ট হয়। এই ক্ষেত্রে, সীমা (যদি এটি বিদ্যমান থাকে) অনন্য নাও হতে পারে। তবে এটি অবশ্যই অনন্য হতে হবে যদি এটি একটি হাউসডর্ফ স্থান হয়। ফাংশন স্পেস এই বিভাগটি ফাংশনের ক্রমের সীমার ধারণা নিয়ে আলোচনা করে, নীচে আলোচিত ফাংশনের সীমার ধারণার সাথে বিভ্রান্ত হবেন না। কার্যকরী বিশ্লেষণের ক্ষেত্রটি আংশিকভাবে ফাংশন স্পেসে অভিসারের দরকারী ধারণাগুলি সনাক্ত করতে চায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ সেট থেকে ফাংশনের স্থান বিবেচনা করুন। ফাংশনের একটি ক্রম দেওয়া হয়েছে যাতে প্রতিটি একটি ফাংশন হয়, ধরুন যে এমন একটি ফাংশন রয়েছে যাতে প্রত্যেকটির জন্য, তারপর ক্রমটিকে পয়েন্টওয়াইজ কনভারজ বলা হয়। যাইহোক, এই ধরনের ক্রম অপ্রত্যাশিত আচরণ প্রদর্শন করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের একটি ক্রম তৈরি করা সম্ভব যার একটি বিচ্ছিন্ন পয়েন্টওয়াইজ সীমা রয়েছে। অভিসারের আরেকটি ধারণা হল অভিন্ন অভিসরণ। দুটি ফাংশনের মধ্যে অভিন্ন দূরত্ব হল দুটি ফাংশনের মধ্যে সর্বাধিক পার্থক্য কারণ যুক্তিটি বৈচিত্র্যময়। অর্থাৎ, তারপর বলা হয় যে ক্রমটি অভিন্নভাবে একত্রিত হয় বা এই দূরত্বের সাপেক্ষে যদি এর একটি অভিন্ন সীমা থাকে। অভিন্ন সীমার পয়েন্টওয়াইজ সীমার চেয়ে "সুন্দর" বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের একটি ক্রমের অভিন্ন সীমা অবিচ্ছিন্ন। অভিসারের বিভিন্ন ধারণাকে ফাংশন স্পেসে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এটি কখনও কখনও স্থানের নিয়মিততার উপর নির্ভর করে। অভিসারের কিছু ধারণা সহ ফাংশন স্পেসের বিশিষ্ট উদাহরণ হল এলপি স্পেস এবং সোবোলেভ স্পেস। ফাংশনে ধরুন এটি একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন এবং এটি একটি বাস্তব সংখ্যা। স্বজ্ঞাতভাবে বলতে গেলে, অভিব্যক্তিটির অর্থ হল যথেষ্ট কাছাকাছি করে যতটা ইচ্ছা ততটা কাছাকাছি করা যেতে পারে। সেক্ষেত্রে, উপরের সমীকরণটিকে এইভাবে পড়া যেতে পারে "এর সীমা, যতটা কাছে আসছে, ততটাই"। আনুষ্ঠানিকভাবে, "পন্থা হিসাবে সীমা"-র সংজ্ঞা নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে। সীমাটি একটি বাস্তব সংখ্যা যাতে, একটি স্বেচ্ছাচারী বাস্তব সংখ্যা ("ত্রুটি" হিসাবে বিবেচিত) দেওয়া হলে, এমন একটি সংখ্যা থাকে যা যে কোনও সন্তোষজনকের জন্য এটি ধরে রাখে। এটি (ε, δ)-সীমার সংজ্ঞা হিসাবে পরিচিত। বৈষম্য বিবেচনাধীন পয়েন্টগুলির সেট থেকে বাদ দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয়, তবে কিছু লেখক এটিকে তাদের সীমার সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত করেন না, সহজভাবে প্রতিস্থাপন করেন। এই প্রতিস্থাপন অতিরিক্তভাবে অবিরত থাকার প্রয়োজনের সমতুল্য। এটি প্রমাণিত হতে পারে যে একটি সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে যা ক্রমের সীমা এবং ফাংশনের সীমার মধ্যে সংযোগ প্রকাশ করে। সমতুল্য সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে। প্রথমে লক্ষ্য করুন যে ডোমেনের প্রতিটি ক্রমের জন্য, একটি সম্পর্কিত ক্রম রয়েছে, নীচের ক্রমটির চিত্র। সীমাটি একটি বাস্তব সংখ্যা যাতে, সমস্ত ক্রমের জন্য, সংশ্লিষ্ট ক্রম। একতরফা সীমা একটি "বাঁ-হাতি" সীমা ("নীচে থেকে") এবং একটি "ডান-হাতি" সীমা ("উপরে থেকে") থাকার ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। এগুলোর সঙ্গে একমত হওয়ার প্রয়োজন নেই। একটি উদাহরণ ধনাত্মক সূচক ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়, যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয় যে, যদি, এবং যদি। এ, ফাংশনের একটি "বাঁ-হাতের সীমা" 0, একটি "ডান-হাতের সীমা" 1, এবং এর সীমা বিদ্যমান নেই। প্রতীকীভাবে, এটি বলা যেতে পারে, এই উদাহরণের জন্য, এবং, এবং এটি থেকে অনুমান করা যেতে পারে যে এটি বিদ্যমান নেই, কারণ। ফাংশনের সীমার মধ্যে অনন্ত এই ক্ষেত্রে "অনন্তের দিকে প্রবণতা" ধারণার সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব, এই অভিব্যক্তিতে, অনন্তকে স্বাক্ষরিত বলে মনে করা হয়ঃ হয় বা। "x ধনাত্মক অনন্তের দিকে ঝোঁক হিসাবে f-এর সীমা" নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি এমন একটি বাস্তব সংখ্যা যে, যে কোনও বাস্তব দেওয়া হলে, একটি বিদ্যমান থাকে যাতে, সমতুল্যভাবে, যে কোনও ক্রমের জন্য, আমাদের আছে। এর মানের মধ্যে "অনন্তের দিকে প্রবণতা" ধারণার সংজ্ঞা দেওয়াও সম্ভব, সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে। যে কোনও বাস্তব সংখ্যা দেওয়া হলে, একটি থাকে যাতে, ফাংশনের পরম মান। সমতুল্যভাবে, যে কোনও ক্রমের জন্য, ক্রম। অ-মানক বিশ্লেষণে (যার মধ্যে সংখ্যা পদ্ধতির একটি অতি বাস্তব সম্প্রসারণ জড়িত), একটি ক্রমের সীমা একটি অসীম অতিপ্রাকৃত সূচক n = H-এ ক্রমের প্রাকৃতিক সম্প্রসারণের মানের মানক অংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। সুতরাং, এখানে, স্ট্যান্ডার্ড পার্ট ফাংশন "স্ট" প্রতিটি সসীম হাইপাররিয়াল সংখ্যাকে নিকটতম বাস্তব সংখ্যার দিকে ঘুরিয়ে দেয় (তাদের মধ্যে পার্থক্য অসীম)। এটি স্বাভাবিক অন্তর্দৃষ্টিকে আনুষ্ঠানিক করে তোলে যে সূচকের "খুব বড়" মানগুলির জন্য, ক্রমের পদগুলি ক্রমের সীমা মানের "খুব কাছাকাছি"। বিপরীতভাবে, একটি কৌচি ক্রম দ্বারা অতিশক্তি নির্মাণে প্রতিনিধিত্ব করা একটি হাইপাররিয়ালের আদর্শ অংশটি কেবল সেই ক্রমের সীমাঃ এই অর্থে, সীমা গ্রহণ এবং আদর্শ অংশ গ্রহণ সমতুল্য পদ্ধতি। একটি ক্রমের সীমা সেট ধরা যাক একটি টপোলজিকাল স্পেসে একটি ক্রম। সুনির্দিষ্টতার জন্য, হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে, কিন্তু সংজ্ঞাগুলি আরও সাধারণভাবে ধরে রাখে। সীমা সেট হল পয়েন্টের সেট যাতে যদি এর সাথে একটি অভিসারী ধারাবাহিকতা থাকে তবে তা সীমা সেটের অন্তর্গত। এই প্রসঙ্গে, এই ধরনের একটি কখনও কখনও একটি সীমা বিন্দু বলা হয়। এই ধারণার একটি ব্যবহার হল দোলক অনুক্রমের "দীর্ঘমেয়াদী আচরণ" চিহ্নিত করা। উদাহরণস্বরূপ, ক্রমটি বিবেচনা করুন। n = 1 থেকে শুরু করে, এই ক্রমের প্রথম কয়েকটি পদ হল। এটি পরীক্ষা করা যেতে পারে যে এটি দোলক, তাই এর কোনও সীমা নেই, তবে এর সীমা পয়েন্ট রয়েছে। একটি গতিপথের সীমাবদ্ধ সেট এই ধারণাটি গতিশীল সিস্টেমে, গতিপথের সীমা অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হয়। একটি গতিপথকে একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে, বিন্দুটিকে "সময়"-এ গতিপথের "অবস্থান" হিসাবে বিবেচনা করা হয়। একটি গতিপথের সীমা সেট নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়। ক্রমবর্ধমান সময়ের যে কোনও ক্রমের জন্য, অবস্থানের একটি সম্পর্কিত ক্রম রয়েছে। যদি ক্রমের সীমা সেটটি ক্রমবর্ধমান সময়ের যে কোনও ক্রমের জন্য হয়, তবে এটি গতিপথের একটি সীমা সেট। প্রযুক্তিগতভাবে, এটি-সীমা সেট। হ্রাসমান সময়ের ক্রমের জন্য নির্ধারিত সংশ্লিষ্ট সীমাকে-সীমা সেট বলা হয়। একটি দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ হল বৃত্তের গতিপথঃ এর কোনও অনন্য সীমা নেই, তবে প্রত্যেকের জন্য, পয়েন্টটি সময়ের ক্রম দ্বারা প্রদত্ত একটি সীমা বিন্দু। কিন্তু ট্র্যাজেক্টোরিতে সীমা পয়েন্টগুলি অর্জন করার দরকার নেই। গতিপথটির সীমা নির্ধারণ হিসাবে একক বৃত্তও রয়েছে। ব্যবহারের সীমা বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়। আগ্রহের একটি নির্দিষ্ট অভিব্যক্তি যা একটি ক্রমের সীমা হিসাবে আনুষ্ঠানিক করা হয় তা হল অসীম সিরিজের যোগফল। এগুলি বাস্তব সংখ্যার "অসীম যোগফল", সাধারণত এইভাবে লেখা হয় এটি সীমার মাধ্যমে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রম দেওয়া হলে, আংশিক যোগফলের ক্রম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি ক্রমের সীমা বিদ্যমান থাকে, তবে অভিব্যক্তিটির মানকে সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অন্যথায়, সিরিজটি ভিন্ন বলে মনে করা হয়। একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল বাসেল সমস্যা, যেখানে। যাইহোক, সিকোয়েন্সের ক্ষেত্রে মূলত কনভারজেন্সের একটি অনন্য ধারণা রয়েছে, সিরিজের ক্ষেত্রে কনভারজেন্সের বিভিন্ন ধারণা রয়েছে। এর কারণ হল অভিব্যক্তিটি ক্রমের বিভিন্ন ক্রমের মধ্যে পার্থক্য করে না, অন্যদিকে আংশিক যোগফলের ক্রমের অভিসারের বৈশিষ্ট্যগুলি ক্রমের ক্রমের উপর নির্ভর করতে পারে। একটি সিরিজ যা সমস্ত ক্রমের জন্য একত্রিত হয় তাকে শর্তহীনভাবে অভিসারী বলা হয়। এটি পরম অভিসারের সমতুল্য হিসাবে প্রমাণিত হতে পারে। এটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। একটি সিরিজ সম্পূর্ণরূপে অভিসারী হয় যদি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উপরন্তু, সমস্ত সম্ভাব্য অর্ডার একই মান দেয়। অন্যথায়, সিরিজটি শর্তাধীনভাবে অভিসারী। শর্তাধীনভাবে অভিসারী সিরিজের জন্য একটি বিস্ময়কর ফলাফল হল রিম্যান সিরিজ উপপাদ্যঃ ক্রমের উপর নির্ভর করে, আংশিক যোগফল যে কোনও বাস্তব সংখ্যার সাথে একত্রিত করা যেতে পারে, পাশাপাশি। পাওয়ার সিরিজ পাওয়ার সিরিজের জন্য সিরিজের যোগফল তত্ত্বের একটি দরকারী প্রয়োগ। এগুলি প্রায়শই একটি জটিল সংখ্যা হিসাবে বিবেচিত হয় এবং জটিল ক্রমগুলির সম্মিলনের একটি উপযুক্ত ধারণা প্রয়োজন। যে মানগুলির জন্য সিরিজের যোগফল একত্রিত হয় তা হল একটি বৃত্ত, যার ব্যাসার্ধ অভিসারের ব্যাসার্ধ হিসাবে পরিচিত। একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা একটি বিন্দুতে ধারাবাহিকতার সংজ্ঞা সীমার মাধ্যমে দেওয়া হয়। একটি সীমার উপরের সংজ্ঞাটি সত্য, যদিও। প্রকৃতপক্ষে, ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করারও প্রয়োজন নেই। যাইহোক, যদি সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং সমান হয়, তবে ফাংশনটিকে বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন বলা হয়। সমতুল্যভাবে, ফাংশনটি যদি হিসাবে, বা ক্রমের পরিপ্রেক্ষিতে, যখনই, তখন অবিচ্ছিন্ন থাকে। একটি সীমার উদাহরণ যেখানে সংজ্ঞায়িত করা হয় না তা নীচে দেওয়া হয়েছে। বিবেচনা করুন যে ফাংশনটি তখন সংজ্ঞায়িত করা হয় না (অনির্দিষ্ট ফর্মটি দেখুন), তবুও নির্বিচারে 1-এর কাছাকাছি চলে যাওয়ার সাথে সাথে 2-এর কাছাকাছি চলে যায়ঃ সুতরাং, ইচ্ছাকৃতভাবে 2-এর সীমার কাছাকাছি করা যেতে পারে-কেবল যথেষ্ট কাছাকাছি করে। অন্য কথায়, এটি বীজগাণিতিকভাবেও গণনা করা যেতে পারে, যেমন সমস্ত বাস্তব সংখ্যার জন্য। এখন, যেহেতু 1-এ কন্টিনিউয়াস, তাই আমরা এখন 1-এর জন্য প্লাগ ইন করতে পারি, যা সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটি বিবেচনা করুন যেখানেঃ যেহেতু অত্যন্ত বড় হয়ে যায়, পদ্ধতির মান এবং এর মান একজন যতটা চাইতে পারে তার কাছাকাছি করা যেতে পারে-পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় করে। সুতরাং এই ক্ষেত্রে, অসীমের কাছে পৌঁছানোর সীমা হল, বা গাণিতিক স্বরলিপিতে, কন্টিনিউয়াস ফাংশন সীমা বিবেচনা করার সময় ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী হল কন্টিনিউয়াস ফাংশন। এগুলি সুনির্দিষ্টভাবে সেই ফাংশনগুলি যা সীমা বজায় রাখে, এই অর্থে যে যদি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয়, তবে যখনই এর ডোমেনে থাকে, তখন সীমা বিদ্যমান থাকে এবং আরও বেশি হয়। টপোলজিকাল স্পেসের সবচেয়ে সাধারণ সেটিংয়ে, নীচে একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দেওয়া হয়েছেঃ টপোলজিকাল স্পেস এবং এর মধ্যে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হতে দিন। সংজ্ঞা অনুসারে, প্রতিটি খোলা সেটের জন্য, প্রিমেজটি খোলা থাকে। এখন ধরুন এটি একটি সীমা সহ একটি ক্রম। তারপর একটি ক্রম, এবং কিছু বিন্দু। একটি প্রতিবেশী বেছে নিন। তারপর একটি খোলা সেট (ধারাবাহিকতা দ্বারা) যা বিশেষভাবে ধারণ করে, এবং তাই এর একটি প্রতিবেশী। এর সম্মিলন দ্বারা, এমন একটি অস্তিত্ব রয়েছে যার জন্য, আমাদের আছে। তারপর উভয় পক্ষের কাছে আবেদন করলে তা পাওয়া যায়, একই জন্য, আমাদের প্রত্যেকের জন্য। মূলত একটি স্বেচ্ছাচারী প্রতিবেশী ছিল, তাই। এটাই প্রমাণের সমাপ্তি ঘটায়। বাস্তব বিশ্লেষণে, একটি উপসেটে সংজ্ঞায়িত বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের আরও সুনির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, অর্থাৎ, একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনকে এমন একটি ফাংশন হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা তার ডোমেনের প্রতিটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন। সীমা বিন্দু টপোলজিতে, সীমা একটি টপোলজিকাল স্থানের উপসেটের সীমা বিন্দু সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যা ফলস্বরূপ বদ্ধ সেটগুলির একটি দরকারী বৈশিষ্ট্য প্রদান করে। একটি টপোলজিকাল স্পেসে, একটি উপসেট বিবেচনা করুন। একটি বিন্দুকে সীমা বিন্দু বলা হয় যদি তার মধ্যে একটি ক্রম থাকে। কেন ন্যায়সঙ্গত হওয়ার পরিবর্তে ভিতরে থাকা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তা নিম্নলিখিত উদাহরণ দ্বারা চিত্রিত করা হয়েছে। নিন এবং। তারপর, এবং তাই ধ্রুবক ক্রমের সীমা। কিন্তু এটা কোনও সীমাবদ্ধতা নয়। একটি বদ্ধ সেট, যা একটি খোলা সেটের পরিপূরক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, সমতুল্য যে কোনও সেট যা তার সমস্ত সীমা পয়েন্ট ধারণ করে। ডেরিভেটিভকে আনুষ্ঠানিকভাবে একটি সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বাস্তব বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে, ডেরিভেটিভ প্রথমে একটি উপসেটে সংজ্ঞায়িত বাস্তব ফাংশনের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এট-এর ব্যুৎপত্তি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। যদি সীমাটি বিদ্যমান থাকে, তবে এট-এ ডেরিভেটিভ হল এই সীমা। সমতুল্যভাবে, এটি সীমা হিসাবে যদি ডেরিভেটিভ বিদ্যমান থাকে তবে এটি সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। বাস্তব সংখ্যার ক্রম বাস্তব সংখ্যার ক্রমের জন্য বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা যেতে পারে। ধরুন এবং দুটি ক্রম যথাক্রমে এবং এর সাথে মিলিত হচ্ছে। সীমার যোগফল যোগফলের সীমার সমান সীমার গুণফলের সীমার সমান সীমার বিপরীত বিপরীত সীমার সমান (যতক্ষণ পর্যন্ত) সমতুল্যভাবে, ফাংশনটি প্রায় শূন্যেতর থাকে। কৌচি সিকোয়েন্স বাস্তব সংখ্যার অভিসারী সিকোয়েন্সের একটি বৈশিষ্ট্য হল যে সেগুলি কৌচি সিকোয়েন্স। একটি কাউচি অনুক্রমের সংজ্ঞা হল যে, প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য এমন একটি ব্যবধান থাকে যে, যখনই, অনানুষ্ঠানিকভাবে, কোনও নির্বিচারে ছোট ত্রুটির জন্য, ব্যাসের একটি ব্যবধান খুঁজে পাওয়া সম্ভব হয় যাতে শেষ পর্যন্ত ক্রমটি ব্যবধানের মধ্যে থাকে। কচি সিকোয়েন্সগুলি কনভারজেন্ট সিকোয়েন্সের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। প্রকৃতপক্ষে, বাস্তব সংখ্যার ক্রমের জন্য এগুলি সমতুল্যঃ যে কোনও কাউচি ক্রম অভিসারী। সাধারণ মেট্রিক স্পেসে, এটি ধরে রাখে যে অভিসারী ক্রমগুলিও কৌচি। কিন্তু বিপরীতটি সত্য নয়ঃ প্রতিটি কাউচি ক্রম একটি সাধারণ মেট্রিক স্পেসে অভিসারী নয়। একটি ক্লাসিক পাল্টা উদাহরণ হল স্বাভাবিক দূরত্ব সহ মূলদ সংখ্যা। দশম দশমিক স্থানে কাটা দশমিক সন্নিকটের ক্রমটি একটি কচি ক্রম, তবে এতে একত্রিত হয় না। একটি মেট্রিক স্থান যেখানে প্রতিটি কচি ক্রমও অভিসারী, অর্থাৎ কচি ক্রমগুলি অভিসারী ক্রমের সমতুল্য, একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান হিসাবে পরিচিত। কনভার্জেন্ট সিকোয়েন্সের তুলনায় কচি সিকোয়েন্সগুলি "কাজ করা সহজ" হতে পারে তার একটি কারণ হ 'ল এগুলি কেবলমাত্র সিকোয়েন্সের একটি বৈশিষ্ট্য, যেখানে কনভার্জেন্ট সিকোয়েন্সের জন্য কেবল সিকোয়েন্স নয়, সিকোয়েন্সের সীমাও প্রয়োজন। একটি ক্রম একটি সীমার সাথে মিলিত হয় কি না তার বাইরে, একটি ক্রম কত দ্রুত একটি সীমার সাথে মিলিত হয় তা বর্ণনা করা সম্ভব। এটি পরিমাপ করার একটি উপায় হল একটি ক্রমের অভিসারের ক্রম ব্যবহার করা। অভিসারের ক্রমের একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা নিম্নরূপ বলা যেতে পারে। ধরুন এটি বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রম যা সীমার সাথে অভিসারী। উপরন্তু, সবার জন্য। যদি ধনাত্মক ধ্রুবক এবং বিদ্যমান থাকে তবে বলা হয় যে অভিসারের ক্রমের সাথে মিলিত হয়। ধ্রুবকটি অ্যাসিম্পটোটিক ত্রুটি ধ্রুবক হিসাবে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ, ত্রুটি বিশ্লেষণে সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রটি অভিসারের ক্রম হিসাবে ব্যবহৃত হয়। গণনাযোগ্যতার সীমা গণনা করা কঠিন হতে পারে। এমন সীমা অভিব্যক্তি রয়েছে যার অভিসারের মডুলাস অনিবার্য। পুনরাবৃত্তি তত্ত্বে, সীমা লেম্মা প্রমাণ করে যে সীমা ব্যবহার করে অনির্ধারিত সমস্যাগুলিকে এনকোড করা সম্ভব। বেশ কয়েকটি উপপাদ্য বা পরীক্ষা রয়েছে যা নির্দেশ করে যে সীমাটি বিদ্যমান কিনা। এগুলি কনভারজেন্স টেস্ট নামে পরিচিত। উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে অনুপাত পরীক্ষা এবং স্কুইজ উপপাদ্য। তবে তারা হয়তো বলতে পারে না কিভাবে সীমা গণনা করতে হয়। অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণও দেখুনঃ সীমিত আচরণ বর্ণনা করার একটি পদ্ধতি বিগ ও স্বরলিপিঃ একটি ফাংশনের সীমিত আচরণ বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয় যখন যুক্তিটি একটি নির্দিষ্ট মান বা বনাচ স্পেসে সংজ্ঞায়িত অনন্ত বানাচ সীমার দিকে যায় যা স্বাভাবিক সীমা প্রসারিত করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কনভার্জেন্স বিভাগ তত্ত্বে কনভার্জেন্ট ম্যাট্রিক্স সীমা সরাসরি সীমা বিপরীত সীমা একটি ফাংশনের সীমা একতরফা সীমাঃ একটি বাস্তব পরিবর্তনশীল x-এর ফাংশনের দুটি সীমার মধ্যে যে কোনও একটি, যখন x উপরে বা নীচে থেকে একটি বিন্দুর কাছে পৌঁছায় সীমার তালিকাঃ সাধারণ ফাংশনের জন্য সীমার তালিকা স্কুইজ উপপাদ্যঃ অন্য দুটি ফাংশনের সাথে তুলনা করে একটি ফাংশনের সীমা খুঁজে বের করে উচ্চতর এবং নিকৃষ্টতর কনভার্জেন্সের মোড সীমাবদ্ধ করুন একটি টীকাকৃত সূচক নোট রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক কনভার্জেন্স (গণিত) প্রকৃত বিশ্লেষণ উপসর্গহীন বিশ্লেষণ ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস সাধারণ টপোলজি