几何学
欧几里得所提出的抽象概念，进而使得《几何原本》列入了最有影响力的书籍之一，欧几里得提出五大公理和公设，揭示了点线面的自可证的基本性质，他一直试图通过其他数学理论来严谨性推导其他性质，而这也是欧几里得陈述的最特色的地方，并使得几何更加公理化和。19世纪初，尼古拉·罗巴切夫斯基 (1792–1856), 鲍耶·亚诺什 (1802–1860), 卡爾·弗里德里希·高斯 (1777–1855)对非欧几里得几何的探索使得几何学领域又得以重新发展，而在20世纪初，大卫希尔伯特把公理性证明的引入成就了现代几何学的出现。
数学史
在19世纪期间，数学的抽象程度显著增加了。卡尔·弗里德里希·高斯是这股浪潮的缩影。姑且不谈他对科学的贡献，他在复变函数、几何学和收敛级数上做出了革命性的工作。它也是给出代数基本定理和二次互反律令人满意的证明的第一人。 在这个世纪，发展出两种形式的非欧几里得几何，欧几里得的平行公设在这种几何中就不再成立了。俄罗斯数学家尼古拉·罗巴切夫斯基和他的竞争对手匈牙利数学家鲍耶·亚诺什，都独自的定义并研究了双曲几何。在双曲几何中，过一点可做的平行线不再是唯一了，而三角形的内角和小于180度。椭圆几何随后在19世纪由德国数学家波恩哈德·黎曼建立，在椭圆几何中，平行线一条也不能做了，而三角形的内角和大于180度。黎曼也将这三种几何学加以一般化并统一，发展出了黎曼几何。黎曼定义了“流形”的概念，从而将曲线和平面的概念推广了。