几何学
欧几里得所提出的抽象概念，进而使得《几何原本》列入了最有影响力的书籍之一，欧几里得提出五大公理和公设，揭示了点线面的自可证的基本性质，他一直试图通过其他数学理论来严谨性推导其他性质，而这也是欧几里得陈述的最特色的地方，并使得几何更加公理化和。19世纪初，尼古拉·罗巴切夫斯基 (1792–1856), 鲍耶·亚诺什 (1802–1860), 卡爾·弗里德里希·高斯 (1777–1855)对非欧几里得几何的探索使得几何学领域又得以重新发展，而在20世纪初，大卫希尔伯特把公理性证明的引入成就了现代几何学的出现。
数学史
同时，数学的局限性也第一次被发现了。挪威人尼尔斯·阿贝尔和法国人埃瓦里斯特·伽罗瓦证明了高于四次的多项式方程不存在通行的代数解法，也就是阿贝尔-鲁菲尼定理。其它19世纪的数学家应用了这个定理，从而证明了仅靠尺规作图将三等分任意角、将一个立方体扩大两倍，或者构造一个和正方形面积相等的圆，都是不可能的。而自古希腊以来数学家就在尝试解决这三个难题了。在另一方面，几何学仅有三维的局限性，因参数空间和超复数的提出而被克服了。