几何学
欧几里得所提出的抽象概念，进而使得《几何原本》列入了最有影响力的书籍之一，欧几里得提出五大公理和公设，揭示了点线面的自可证的基本性质，他一直试图通过其他数学理论来严谨性推导其他性质，而这也是欧几里得陈述的最特色的地方，并使得几何更加公理化和。19世纪初，尼古拉·罗巴切夫斯基 (1792–1856), 鲍耶·亚诺什 (1802–1860), 卡爾·弗里德里希·高斯 (1777–1855)对非欧几里得几何的探索使得几何学领域又得以重新发展，而在20世纪初，大卫希尔伯特把公理性证明的引入成就了现代几何学的出现。
几何拓扑学
1960年代初开始的许多研究成果导致几何拓扑学本身变化了。1961年史提芬·斯梅爾解决了高维中的庞加莱猜想，这使得三维和四维显得尤其困难。事实上这些困难的解决需要新的技术，而与此同时高维提供的自由度使得换球术的问题也成为可计算的问题了。威廉·瑟斯顿在1970年代末提出的几何化猜想提供了在低维中几何与拓扑之间的关系的理论基础。瑟斯顿使用过去在数学中只是很弱地互相关联的分支的不同技术解决了Haken流体的几何化问题。1980年代初沃恩·琼斯发现的琼斯多项式为扭结理论提供了新的方向，同时也给数学物理与低维拓扑学之间至今为止依然不明了的关系提供了新的推动。