推理规则
命题逻辑中推理规则的显著例子是肯定前件和否定后件规则。对于一阶谓词逻辑，推理规则需要处理逻辑量词。对这种论证的更详细的描述请参见有效性。在一阶谓词逻辑中把所有推理规则作为一个单一规则来统一处理请参见一阶归结。
勒文海姆–斯科伦定理
在数理逻辑中，经典 Löwenheim–Skolem 定理声称对于标识(signature)为 formula_1 的任何可数一阶逻辑语言 "L" 和 "L"-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 "N" formula_2 ' 这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 "L"-理论都有可数的模型。
命题逻辑
基础步骤证实了对于任何G，来自G的最简单的可证明的语句都被G所蕴涵。（这是简单的，因为集合蕴涵它的任何一个成员，是個平凡的语义事實）。归纳步骤将有系统的覆盖所有的进一步的可证明的命题--通过考虑我们能够使用推理规则达成逻辑结论的每种情况--并展示如果一个新命题是可证明的，它也是在逻辑上被蕴涵的。（例如，可能有一个規則，使得从φ可以推导出“φ或ψ”。在III.（a）中我们假定如果φ是可证明的则它也是被蕴涵的。我们也知道如果φ是可证明的，则“φ或ψ”是可证明的。接着，我们必须验证“φ或ψ”也是被蕴涵的。我们求助于语义的定义和我们所做的假定来完成。我们假定了φ是可以从G证明出来的，所以它也被G所蕴涵。所以任何使G全部为真的指派，都使φ为真。此外通过“或”的语义定义，使φ为真的任何指派都使“φ或ψ”为真。所以任何使G的全部为真的指派，都使“φ或ψ”为真。所以“φ或ψ”被蕴涵了。）一般的，归纳步骤的證明會較長，但不過是對所有推论规则按例分析，去展示每个規則都能“保持”语义蕴涵。
推理规则
前提#1  前提#2  ...  前提#n    结论
悖论
在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难（所谓的悖论）的发现的影响， 特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础。这些难题涉及基本概念以及定义和推理的​​基本方法，这些以前通常被认为是没有问题的。从那时起，悖论在当代逻辑中获得了新的作用：确实，它们导致了新定理的发现(通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性)。逻辑的几个基本概念发展过程,  之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试。对于集合(set)和类(collection)的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念（给定顺序的逻辑语言，可满足性，可定义性的概念）出现而言，尤其如此。研究悖论解决方案的副产品包括：集合论的公理化，类型论的系统发展，语义学的基础，形式系统的理论。
一阶逻辑
公理模式(A7)可以稍加延伸成以下的元定理 更進一步，有以下元定裡 (GEN)可以稍加修飾，以套用在含有存在量詞的公式上
邏輯語義學
我们在论证中可能遇到的各种句子/判决的有效性条件依赖于它们的意义，所以负责任的逻辑学家不能完全避免提供某种处理这些句子的意义的需求。逻辑的语义指称逻辑学家已经介入来理解和确定他们感兴趣的意义部分的方式；逻辑学家在传统上只对是命题的句子感兴趣，它是适合逻辑操纵的理想的句子。
邏輯語文法
逻辑语的词类和大部分自然语言的词类不同。根据现行标准，它可分为三个主要类别：
实质条件
在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本，学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的，这通常包括实质条件、析取、合取、否定和（经常的）双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。
谓词逻辑
在数理逻辑中，谓词逻辑（）是符号形式系统的通用术语，比如一阶逻辑，二阶逻辑、多类逻辑或无穷逻辑等等。
自然演绎
这里的每个 formula_4 都是一个判断，而推理规则被命名为“name”。横线上的判断叫做前提，而横线下的判断叫做结论。其他常见的逻辑命题是析取(formula_5)，否定(formula_6)，蕴涵(formula_7)，和逻辑永真(formula_8) 和永假(formula_9)。它们的形成规则如下。
自然演绎
作为推理规则的使用例子，考虑合取的交换律。如果 "A ∧ B" 为真，则 "B ∧ A" 为真；这可以通过以底下推理的前提匹配上面推理的结论的方式构成推理规则来完成这种推导。
关系语义
语义对于逻辑(就是推理系统)研究是有用的，条件是在语义"蕴涵"关系忠实的反映语法对应物 -- "推论"关系 ("可推导性")。所以知道哪个模态逻辑关于哪类克里普克框架是可靠的和完备的，并为它们确定这种类是关键性的。
外延公理
上面给出的公理假定等号是谓词逻辑的基本符号。某些公理化集合论的做法是不做这个假定：有的不把上述陈述作为公理，而是作为对等号的定义。那么，就必須連同来自谓词逻辑中有關等式的公理，作為关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理仍能从这个定义得出；余下的一个是 而這就成为了所謂的外延性公理。
逻辑语
邏輯語語法為基於邏輯語之"語法"。作为一门人工语言，逻辑语的语法相当严谨。它有严密的词法、构词法和句法以及言文一致的标点系统，可以精确表达许多自然语言难以准确表达的意义。此外，它是一种可以通过计算机程序对文字的语法进行自动检查的语言，在《逻辑语大全》一书最后一章用YACC和EBNF两种文法描述语言对其语法进行了定义。
逻辑和谐
逻辑学家格哈德·根岑提议了逻辑连结词的意义可以用把它们介入到论述中的规则给出。例如，如果你相信“天是蓝的”并且还相信“草是绿的”，则你可以如下这样介入逻辑连接词“与”: “天是蓝的 AND 草是绿的”。Gentzen 的想法是拥有这样的规则就是对你的词语，至少对特定词语的给出意义的东西。这个想法也关联于维特根斯坦的格言，在很多情况下我们可以说意义是使用。多数当代逻辑学家偏好认为介入规则和除去规则对于表达是同等重要的。在这种情况下，“与”被如下规则所特征化:
泛函谓词
很多谓词逻辑系统不允许泛函谓词，只允许关系谓词。这是有用的，例如在证明元逻辑定理(比如哥德尔不完备定理)的上下文中，这里你不希望允许介入新的函数符号(或任何其他新符号)。但是有一个方法只要前者可以存在就把函数符号替代为关系符号；进一步的，这是算法性的因此适合于应用多数元定理于这个结果。
组合范畴语法
组合规则给多个标记(token)赋予主要类型(principled types)，并基于输入符号的范畴来限制组合的类型。由于组合规则与Curry等(1958)的组合子(combinators)之间紧密相关(close relationship)，每个组合规则都有一个语义解释，这在语法分析过程中，允许语法派生同时构建谓词-论元结构(predicate-argument structure)。
相继式演算
这个推导还强调了语法演算的严格形式结构。例如，上述定义的右逻辑规则总是作用于右相继式的第一个公式，这使得formula_103的应用在形式上是需要的。这种非常严格的推理开始时可能难于理解，但是它形成了在形式逻辑中语法和语义之间非常核心的区别。尽管我们知道formula_104和formula_105有相同的意义，对后者的推导将不等价于上面给出的那个。但是，你可以通过介入引理而使语法推理更加方便些，就是说，预定义完成特定标准推导的方案。作为一个例子，你可以证明下列是一个合法的变换：
归结原理
一阶逻辑归结把传统的逻辑推理的直言三段论浓缩成了一个单一的规则。
分析-綜合區別
在《純粹理性批判》的導論中，康德認為要理解認識分析命題是可能的這點是沒問題的。康德主張，要知道一個分析命題並不需要去參照經驗，只需要檢視主詞，並「依據矛盾律，自主詞的概念中抽繹所需的謂詞」。在分析命題裡，謂詞的概念是包含在主詞的概念裡的。因此，要知道一個分析命題是否為真，只需要檢視主詞的概念。若可找到謂詞包含在主詞之中，此一句子即為真。
结构规则
最著名的结构规则叫做切。证明论理论家花了相当的努力来证实切规则在各种逻辑中是多余的。更严格的说，证实了切只是(某种意义上)简化证明的工具，不能增加可以证明的定理。成功消除了切规则叫做切消定理，直接有关于规范化计算(参见lambda 演算)的哲学；它经常对给定逻辑的判定的复杂性给出好的指示。
传统逻辑
衰落的最终原因是新逻辑在数学推理上的优势，它就是为此设计的。例如，词项逻辑不能解说从“所有轿车都是交通工具”到“所有轿车的主人都是交通工具的主人”的推理，而这对于谓词逻辑是很基本的事情。它被限制于三段论论证，并且不能解说涉及到多重普遍性的推理。关系和同一性必须被作为主词-谓词关系来处理，这使得数学的同一性陈述难于处理，当然还有单称项和单称命题，它们对于现代谓词逻辑是基本性的，根本就不能适当的描述。
推理小說十誡
推理小说十誡（Ten Commandments of Detection）或稱推理十誡，是天主教蒙席，資深編輯暨作家於1928年定下的推理小说原则。十誡內容主要環繞故事脈胳的舖排、角色類型和性格。其中不乏有些錯誤的認知，但在古典推理的黃金期時曾被奉為圭臬。不過隨著推理小說寫作方式與風格的演變，有作者會刻意違背十誡的內容來寫，而目前推理小說作家在寫作時都不會刻意遵守十誡的內容。
命题逻辑
我们通过如下规则定义这种真值指派A在什么时候满足特定公式：
推理规则
第一个规则声称0是自然数，第二个声称s（n）是自然数，如果"n"是自然数。在这个证明系统中，下列规则示范了自然数的第二个后继者也是自然数，是可推导的：
传统逻辑
在理论背后的基本假定是命题由两项组成 - 这是名称“二项理论”或“詞项逻辑”的来源–而推理过程依次建造自命题:命题可以是全称的（universal）或特称的（particular），并且可以是肯定的或否定的。所以有四种命题:这叫做命题的“四重方案”。（字母A、I、E和O的起源请见下面的“三段论”格言）。亚里士多德用对立四边形总结了这四种命题之间的联系。三段论是解释那些真前提的组合产生真结论的形式理论。
推理规则
在证明论中，推理规则在逻辑演算比如相继式演算和自然演绎的规定中扮演了关键角色。
推理规则
或者用更少的技术术语：
模态逻辑
要建立模态逻辑的可用系统，必须向命题逻辑的增加什么公理是非常有争议的主题。得名于Saul Kripke的K，只向经典命题逻辑公理体系增加了如下规则：但K是一个弱模态逻辑。特别是留下了一个公开的问题，命题是必然的但只偶尔是必然的。如果formula_33为真则formula_34为真不是K的定理，它是说，必然的真理必然是必然的。这可能不是K的大缺陷，因为这些好像是十分奇怪的问题，而试图解答它们的任何尝试都把我们卷入混乱的难题中。无论如何，对这种问题的不同解决方式生成了不同的模态逻辑系统。
存在图
推理规则:
非标准分析
使用句法學方法做非標準分析時，需要非常小心地應用集合構成原理（通常叫做概括公理，或分類公理模式）；數學家們常常想當然地認為此原理成立。但正如納爾遜指出，一個常見的推理謬誤正是在於非法構成集合。例如，在IST中不存在恰由所有標準整數構成的集合。為了避免非法構成集合，必須只使用ZFC中的謂詞來定義子集。
可及关系
现在，使用 "p"、"q" "等"来表示我们语言的语句，"x"、"y" "等"来表示对象，而 P、Q "等"来表示谓词，我们可以写出几乎所有模态逻辑的六个基本公理:
邏輯語文法
有趣的是逻辑语的标点系统。逻辑语的“标点符号”实际上就是一些特殊的結構詞(cmavo)，例如「.i」就用来表示句子之间的间隔，相当于句号。当只有一个句子的时候，是不需要句号的，因此上面的句子就没有。另外，上面的句子如果要添加「.i」的话，应该放在句子的前面而不是后面。
自然演绎
判断“"A" prop”定义了 "A" 的有效证明的结构，它们进而定义了命题的结构。出于这个原因，判断的推理规则有时叫做形成规则。作为展示，如果我们有两个命题 "A" 和 "B" (就是说，判断“"A" prop” 和“"B" prop”是显然的)，则我们形成了复合命题 "A 与 B"，符号化写为 "formula_1"。我们可以用推理规则的形式把它写为: 这个推理规则是“模式性”的: "A" 和 "B" 可以示例任何表达式。推理规则的一般形式为:
逻辑语
邏輯語音系為邏輯語之音系。逻辑语力求言文一致，即书写与发音一致，为此订立了严格的发音规则。
严格条件
在逻辑中，严格条件是遵照来自模态逻辑的必然性算子行事的实质条件。对于任何两个命题 formula_1 和 formula_2，公式 formula_3 说 formula_1 实质上蕴涵 formula_2，而 formula_6 说 formula_1 严格蕴涵 formula_2。严格条件是 Clarence Irving Lewis 尝试为充分的表达直陈条件而找出的条件。比如这种条件一般的要避免实质蕴涵悖论。比如下列陈述，没有被实质蕴涵正确的形式化。
推理规则
证明系统形成自一组规则，它们可以被链接在一起形成证明或"推导"。任何推导都只有一个最终结论，它是要证明或推导的陈述。如果在推导中留下了未满足的前提，则推导就是"假言"陈述：""如果"前提成立，"那么"结论成立"。
邏輯語文法
合成词(lujvo)。它们使用根詞(gismu)和結構詞(cmavo)组合而成。组合的时候可以分开为独立的单词，也可以利用缩写形式进行组合。合成詞(lujvo)也可以充当謂詞(selbri)。在汉语中相当于多字词。借用词(fu'ivla)。为了吸收来自各种专业领域或者不同文化背景的词汇，中文许多外来词往往在后面添加字词表示其类别，例如“厄尔尼诺现象”。逻辑语也有类似的机制，在借用词的前面添加一个与该词的意义有关联的根词、用来提示它的含义。
直觉主义逻辑
可以证实为了识别有效的公式，考虑其元素是实平面"R"的开集的一个单一的海廷代数就足够了。在这种代数中，∧和∨算子对应于集合的交集和并集，并且指派给公式"A"→"B"的值是 ("A" ∪ B)，它是B的值和A的值的补集的并集的内部。底元素是ø，顶元素是整个平面"R"。¬"A"定义为"A"→ø，所以指派给它的值是"A"，这是"A"的值的补集的内部。通过这些指派，直觉上有效的公式正好就是被指派为整个平面的值的公式。
一元谓词演算
向一元逻辑增加一个单一二元谓词字母将导致一个有完全谓词演算表达能力的系统。所以缺乏多元谓词严格的限定了在一元谓词演算中都能表达什么。不像完全谓词演算，这个演算是如此的弱，这个演算的一个给定公式是否有效（对于非空论域为真）是可判定性的。 因为一元谓词演算是可判定性的，它不胜任一般的数学推理，比如叫做皮亚诺算术的微型数学片段就已知是不可判定性的。
直接推理
直言命题的四种类型的谓词逻辑表示： 依据全称量词和存在量词之间的对偶关系（对立四边形中矛盾关系）可以直接得出： 上面加粗表述是亞里士多德《解釋篇》中採用的形式。
肯定前件
在元逻辑中肯定前件是切规则。切消定理声称切是在某些逻辑演算（相继式演算）中有效的（可容纳规则）。
普遍化
普遍化是谓词演算的一个推理规则，它声称： "普遍化"可以缩写为GEN，而推理规则可以被总结为相继式 但是这引起了一个重要的限制：不能应用演绎定理（DT）于它而推导出 但这是不正确的。比如，如果 P(x) 意味着 ""x" 是素数" 而域是自然数集合，则 明显不是真的，因为从它和 "7 是素数"，可以通过肯定前件推出 "所有自然数都是素数"，这是个矛盾，所以反证法得出这个公式是错的。
矛盾
即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的，它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。
泵引理
这些引理可以用来确定特定语言不在给定语言类中。但是它们不能被用来确定一个语言在给定类中，因为满足引理是类成员关系的必要条件，但不是充分条件。
LL剖析器
我们有两条规则可以选择： 为了提高分析的效率，分析器必须能够尽可能确切地、无回溯地进行规则的选择。对于一些文法，它可以透過偷看不回推（即读取之后不将它退回输入流）的输入符号来做到这点。在我们的例子中，如果分析器知道下一个无回推符号是 formula_8 ，那么唯一正确可用的就是规则 2。
推理规则
它的推导只是上述后继规则的两次使用的复合。下列规则断言任何非零自然数有前驱者存在，只是可接纳的：
泛函谓词
此外，你可以在证明了适当的定理之后定义泛函谓词。(如果你在证明了定理之后不允许介入新符号的形式系统下工作，那么你必须使用关系符号来处理，详见下一个章节)。特别是，如果你能够证明对于所有 "x" (或特定类型的所有 "x")，存在一个唯一的 "y" 满足某个条件 "P"，则你可以介入一个新的函数符号 "F" 来指示它。注意 "P" 自身是涉及 "x" 和 "y" 二者的关系谓词。所以如果有这样的一个谓词 "P" 和定理: 则可以介入一个新的域类型 T 和陪域类型 U 的函数符号 "F" 满足:
相继式演算
上面的规则可以被分成两个主要群组：逻辑规则和结构规则。每个逻辑规则都在十字转门formula_8的左边或右边介入一个新的逻辑公式。相反的，结构规则操作在相继式的结构上，忽略公式的准确形状。这个一般模式的两个例外是同一性公理formula_61和规则切formula_62。
演绎推理
例如扬·武卡谢维奇(，1878年-1956年)版本的公理化命题逻辑有接受如下公理的公理集合 A: 并且它有有一个规则的推理规则的集合 R，这个规则就是下面的肯定前件:
邏輯語文法
逻辑语的句法源自谓词逻辑，謂語句(bridi)由 謂詞(selbri)和詞項(sumti)两种组成部分组成。以下是一个例句：
有效性
在逻辑中，如果一个论证不能从真前提中得出假结论，则论证的形式是完全有效的。一个论证若被称为是有效的，则如果在其中所有前提都为真的每个模型中，结论也是真的。例如：“所有A是B；有些A是C；所以有些B是C”是有效形式。考虑下列论证形式，其中P、Q和A表示未分析的或未解释的句子。
自然演绎
现在我们讨论“"A" 为真(是真理)”判断。在本文余下部分中，我们将在已被理解的地方省略“prop”判断。在结论中介入逻辑连结词的推理规则叫做介入规则。要介入合取，就是说从命题 "A" 和 "B" 推导出“"A and B" 为真” ，你需要“"A" 为真和 "B" 为真”的证据。作为一个推理规则: 上述规则实际上是省略命题判断的简写。
逻辑与
合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或联言推理的分解式，是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。
定理
逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰ 这个定理（或这个命题集合）我们记作formula_10，这些建立于语言集合formula_8上的命题必须符合如下属性： 比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合formula_8上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理formula_10的扩展（extension），前提是该定理包含定理formula_10。 有一个命题集合formula_19，我们將一个包含formula_19的集合记作formula_21，那麽formula_22 。显而易见formula_23，所以formula_21是一个定理。比如我们有一个集合formula_25，formula_25有三个基于语言formula_8上的命题，其中formula_28，formula_29是常数符号，formula_30是函数符号。三个命题如下： 那么如果有formula_34，則formula_35是formula_25的定理。当然，如果formula_19和formula_38是两个命题集合且满足formula_39，那么formula_40。 我们说一个定理formula_10是完整的（Complete），当且仅当对于和formula_10一样构建在同样语言集合上的所有命题formula_13，要么formula_15，要么formula_45。 不是所有的定理是完整的。比如formula_48一个空集合formula_49的定理是所有真命题集合，但是formula_48不是完整的。假如有命題formula_51，对于formula_52来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说formula_53且formula_54。因此formula_55，所以我们说formula_48不是完整的。 一个定理formula_10称作是稳健的（Consistante），当且仅当formula_58。我们说对所有的解释（Interpretation）formula_59，formula_60是一个定理，并且formula_60既是稳健的又是完整的。
演绎定理
在公理化版本的命题逻辑中，通常有着公理模式和推理规则(这里的 P、Q 和 H 可以被替换为任何命题)： 从这些公理和推理规则你可以快速的演绎出定理模式 P→P (参见命题演算)。选择这些公理模式使你能够容易的从它们推导出演绎定理。可以通过使用真值表验证来证实它们为重言式，而肯定前件保持真理。
非經典邏輯
经典逻辑基于公理化的四个基本原理：同一律、排中律、无矛盾律（也被称为矛盾律）和充足理由律。经典逻辑也被特征化为下面一些性质： 非经典逻辑是缺乏上面这其中的某一个或多个特性的逻辑系统。
多重普遍性问题
有能力处理这种推理的第一个逻辑演算是弗雷格的概念文字，它是现代谓词逻辑的祖先，它通过变量约束的方式处理量词。弗雷格的逻辑比现有的逻辑演算更富有表达力，评论家认为这是他的关键性成就。
逻辑
经典逻辑: 经典逻辑的逻辑系统基于公理化的传统逻辑的四个基本原理：同一律, 排中律, 无矛盾律(也被称为矛盾律),和充足理由律，和其它经典逻辑特有的特征(见:经典逻辑#特征）。 经典逻辑 是19 和 20 世纪的创新, 它比亚里士多德的传统逻辑具有更广泛的应用，并且能够将亚里士多德的传统逻辑表述为一个特例。
逻辑运算符
基本的操作符有：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“条件”（→）以及“双条件”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。
命题逻辑
若形式系統會作為一個邏輯系統，其表示式會被解釋成數學陳述，且其規則，被稱之為「推理規則」，則一般會是保真的。在此設定下，規則（可能也包括公理）可以被用來，從給定為真的陳述的公式中，推導出表示真的陳述的公式來。
数学原理
使用的符号：该组是开始集合，其它符号可以出现，而是仅由从这些开始码的定义。起始组可能是Kleene从中导出的以下一组：逻辑符号“→”（意味着，IF-THEN“⊃”），“＆”（和）中，“V”（或），“¬”（不） “∀”（所有），“∃”（存在）;谓词符号“=”（等于）;函数符号“+”（算术加法），“∙”（算术乘法），“'”（继任者）;个别符号“0”（零）;变量“一”，“B”，“C”等;和括号“（”和“）”。 符号串：该理论将通过串联（并列）建立这些符号的“弦”. 形成规则：理论指定的语法规则（语法规则），通常为以“0”开头，并指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”（Wff）递归定义这包括对于所谓的“变量”（相对于其他符号类型）中的符号串的规则对“替代”。 变换规则（S）：指定符号和符号序列的行为的公理。 推理，支队规则，肯定前件：允许理论从“前提”，导致到了“分离”一个“结论”的规则，并随后放弃“处所”（符号到行的左边│或符号线之上，如果水平）。如果不是这种情况，那么取代会导致在必须进行前向越来越长的字符串。事实上，假言推理的应用程序后，没有什么是离开，但结论，剩下的永远消失。 当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”： A，A⊃乙│乙 符号“│”通常写为水平线，这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”（即，有一种特殊形式的符号可以采取可数）。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别：给定的符号串IF A和A蕴涵B，那么B（并保留进一步使用仅B）。但符号都没有“解释”（例如，没有“真值表”或“真值”或“真理功能”）和假言推理机制上进行，由单独的语法。
传统逻辑
每个词表示一个有效的语气公式并依据下列规则来解释:有一些与三段论有关的格言和韵文。它们的作者不得而知。例如：
存在概括
存在概括(英语:Existential generalization，简称EG)是谓词逻辑有效推理规则之一。该规则允许论者从一项具体陈述演绎至一项量化概括论述，或存在量化。一阶逻辑中，作为存在量词的规则常用于正式证明。
归结原理
当外加上完备的搜索算法的时候，归结规则生成一个可靠的和完备的算法来决定命题公式的"可满足性"，并且经过扩展，决定句子在一组公理下的有效性。
命题逻辑
其推理規則為肯定前件（即可由p和(p → q)導出q）。而a ∨ b和a ∧ b則是分別被定義為¬a → b和¬(a → ¬b)。
分类公理
在二阶逻辑中，我们可以在谓词上作量化，而概括公理模式成为简单的公理。这使用了同前面章节 NBG 公理一样的技巧，把谓词替代为一个类并接着量化于其上。
结构规则
在证明论中，结构规则是不提及任何逻辑连结词的推理规则，它直接操作于判断或相继式。结构规则通常模仿逻辑的元理论性质。拒绝一个或多个结构规则的逻辑被归类为亚结构逻辑。没有任何上述结构规则的逻辑将把相继式解释为纯粹的序列；带有交换规则它们就是多重集；带有紧缩和交换规则二者它们就是集合。
逻辑和谐
和谐指称的是一个证明论必须使其在介入和除去规则之间成立的特定约束，这样它才有意义，换句话说，它的推理规则是有意义建立的。
一阶逻辑
下面列出了一些重要的元逻辑定理。
可废止逻辑
有疏漏性逻辑是Donald Nute提出的用来形式化有疏漏性推理的非单调逻辑。在缺省逻辑中，有三种不同类型的命题：可以在有疏漏性规则和废止者上给出优先级。在演绎期间，硬性规则总是使用，而有疏漏性规则只能在没有更高优先级的废止者指定它不能用的时候使用。
直陈条件
另一个问题是实质条件被不是意图处理在“如果-那么”推理中常见的反事实和其他情况。这促使人们开发了模态逻辑。
谓词变量
在一阶逻辑中，谓词变量是表示(在项之间的)一个关系的谓词字母，这个关系还没有被特殊的指派任何特定的关系(或意义(内涵))。在一阶逻辑(FOL)中它们可以被更合适的到叫做"元变量"。在高阶逻辑中谓词变量对应于"命题变量"，它可以表示同一个逻辑中的合式公式，而这种变量可以被通过(至少)二阶量词的方式来量化。
相继式演算
这个规则系统可以被证明关于一阶逻辑是可靠的和完备的，就是说，从前提的集合Γ语义上得到的一个陈述formula_112，当且仅当相继式formula_113可以用上述规则推导出来。
一阶逻辑
詞彙表中存在若干個邏輯符號，通常包括：注意並非所有的符號都需要，比如說比較極端的理論，因謝費爾豎線(或異或)的布林代數完備性使得所有不含量詞的邏輯公理可以以謝費爾豎線表述，而大幅減少基礎的邏輯聯結詞。
辩证逻辑
下文中的词汇解释：
推理规则
在形式逻辑的设置（和很多有关领域）中，推理规则通常用如下形式给出：
逻辑
邏輯（；；；；意大利语、西班牙语: logica；葡萄牙语: lógica），又稱理則、論理、推理、推論，是有效（或正确）推論的研究。更广泛地说，逻辑是对论证的分析和评估。
一元谓词演算
在词项逻辑中的推理都可以在一元谓词演算中表示。例如三段论 可以在一元谓词演算中符号表示为 这里的 formula_5, formula_6 和 formula_7 分别指示存在事物的谓词，这里是狗（dog）、哺乳动物（mammal）和草食动物（herbivore）。
蕴涵
定义：A逻辑蕴涵B，如果通过假定所有A中所有的句子并通过对它们应用一个有限序列的推理规则（比如来自命题演算的），你可以推导出B中的所有句子。
一阶逻辑
一階邏輯的標準語義源於波蘭邏輯學家Alfred Tarski所著《On the Concept of Truth in Formal Languages》。根據上面語法一節，公式是由原子公式遞迴地添加邏輯連結詞而來的，而原子公式是由斷言符號與項所構成的。所以要檢驗一條公式在特定的論域下正不正確，就要規定項的取值，然後檢驗這樣的取值會不會落在斷言符號所對應的關係裡。由此延伸出所有公式的＂真假值＂。
相干逻辑
在相干逻辑中的本质新颖是以有效的论证的前提必须有关于结论。在命题演算中，这包括了要求前提和结论共享原子句子；和特定的真值泛函规则，比如增加律（对于任何q的从p到p或q的推论）是受限的，这样"无关"信息不能带入。在谓词演算中，相关性要求在前提和结论之间共享变量和常量。
辩证逻辑
用數理逻辑运算推理符号則可表述為：
元对象机制
另一个相关的标准是OCL，一种用谓词逻辑定义模型的限制条件的正式语言。
逻辑和谐
Arthur Prior 指出了它的一个明显的问题: 为什么不能有一个表达(称它为"tonk")，它的介入规则是 OR 形式的(从 "p" 到 "p tonk q") 而它的除去规则是 AND 形式的(从 "p tonk q" 到 "q")? 这让我们根本上从任何起点演绎任何东西。Prior 建议这意味着推理规则不能确定意义。Nuel Belnap 回答说，即使介入和除去规则不能建立意义，任何一对这种规则不能确定一个有意义的表达--它们必须满足特定约束，比如不允许我们在旧的词汇表中演绎出任何新真理。这种约束就是 Dummett 所提及的。
演绎推理
在 E.J. Lemmon 提出的我们称为系统 L 的一个版本的自然演绎逻辑中，我们首先没有任何公理。我们只有支配证明的语法的九个基本规则。
命题逻辑
设formula_43，这里的formula_34定义如下： 在此命題演算的例子中，轉換規則被解釋為所謂的「自然演繹系統」下之推理規則。这里表述的特定系统没有起始点，这意味着它對邏輯應用的解釋是從空公理集合中推導出其定理的。 此命题演算有十个推理规则。这些规则允许我们从给定的一组假定为真的公式中推导出其他为真的公式。前九个只是簡單地指我们可以从其他合式公式推论出特定的合式公式。但是最后一个规则使用了假言（hypothetical）推理，这意味着在规则的前提中，我们可以临时的假定一个（未证明的）假设作为推导出的公式集合的一部分，来查看我们是否能推导出一个特定的其他公式。因为前九个规则不是这样而通常被描述为“非假言”规则，而最后一个則被稱為“假言”规则。以下推导将用编号后的行的列表來表示，在每行之上有一个单一的公式和一个理由（justification）。論證的各個前提會在列表的首行給出。结论将在最后一行。一個推导稱為完备的，若所有行都是通过正确的应用一个规则而从前面的行得出的。
相干逻辑
标准的证明论（比如Fitch式的自然演绎）适合提供相关性，通过在每行推导的末端介入指示“相关”前提的标记。根岑式的演算可以为此做出修改，就是除去允许在相继式右手端的介入任意公式的弱化规则。
相继式演算
尽管是以形式方式陈述的，上述规则允许用经典逻辑的方式非常直觉的读出来。比如，考虑规则formula_63。它陈述了如果你能证明formula_34可以从包含formula_31的公式序列推导出来，则你也能证明formula_34自更强的假定，也就是formula_67成立。类似的，规则formula_68陈述了如果formula_33和formula_31足够推导出formula_34，则从单独的formula_33你可以要么仍然推导出formula_34要么formula_31必然为假，就是说formula_75成立。所有规则都可以用这种方式来解释。
SNOMED CT
理论上而言，为了评估其究竟是早已在世界范围内分发的那370,000个先组配型概念之中的任何一个已有概念的父概念、先祖概念、子概念或者其他后裔概念，还是在语义上与之等价，可以将描述逻辑推理应用于任何新的候选后组配型表达式。不过，部分随着与CTV3之间合并产物的不断沉降，2007年SNOMED的内容之中依然含有未被发现的语义重复性原初型概念和定义型概念。此外，许多概念依然归属原初型，但同时它们的语义却又可以利用同时存在于该系统之中的其他原初型概念和"作用关系"（）加以合理合法的定义。正是因为语义内容之中的这些疏漏之处以及实际或可能存在的冗余，各种用来推导归类关系或语义等价关系的算法在实际当中的性能必将不够完善，但程度却无法预知。
自由逻辑
在经典逻辑中，有些定理明确的假定在论域中必须有东西。考虑下列经典的有效定理。
相干逻辑
甚至在除去了实质蕴涵悖论之后还有另一个问题。Anderson和Belnap（见后）枚举了一些“严格蕴涵悖论”：例如，矛盾仍蕴涵任何事物，任何事物都蕴涵重言式。反直觉的蕴涵－在我们使用这个术语的时候－需要在前提和结论之间有某种在主旨上的联系。
直觉主义逻辑
直觉逻辑的公式的语法类似于命题逻辑或一阶逻辑。但是直覺邏輯的連結詞不像經典邏輯那樣是可互定義的，因此它們的選擇是重要的。在直覺命題邏輯中通常使用 →, ∧, ∨, ⊥ 作為基本連結詞，把 ¬ 作為 的簡寫處理。在直覺一階邏輯中量詞 ∃, ∀ 都是需要的。
二階邏輯
当谓词逻辑被弗雷格（独立的和更有影响力的皮尔士，他提出了术语“二阶逻辑”）介绍给数学社区的时候，他确实使用不同的变量来区分在物体上量化和在属性和集合上的量化；但是他自己没有去区分出两类不同的逻辑。在发现罗素悖论之後，认识到了他的系统有些毛病。最终逻辑学家建立了以各种方式做限制的弗雷格逻辑—现在叫做一阶逻辑—除去了这个问题：集合和谓词在一阶逻辑中不能被单独量化。现在标准的逻辑的阶数等级就是从那时开始的。
一阶逻辑
单一参数斷言可以用来在合适的地方实现类型的概念。例如： 斷言Man(x)可以被认为是一类“类型断言”（就是说，x必须是男人）。 斷言还可以同指示类型的“存在”量词一起使用，但这通常应当转而与逻辑合取算子一起来做，比如： 容易写成formula_242，但这将等价与formula_243（“存在不是男人的事物或者存在是人类的事物”），这通常不是想要的。类似的，可以做一个类型是另一个类型的子类型的断言，比如：
推理规则
A→B  A     B
实质条件
这些有爭議的真值推理陳述句出现，是因为自然口语的人經常易受诱惑，而把实质条件和直陈条件或其他条件陈述如反事实条件，混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 "A → B"读做“要么不是情况 formula_27 要么是情况 formula_28（或二者）”，或更简单的“要么 formula_27为假 要么 formula_28为真（或二者）”。（當 formula_27为假，此式即已被淺薄的（trivial）滿足。这种陈述等价的自然口語方式，即是使用否定和析取(或)的逻辑符号 formula_32而获得的。）
公理
在一個語言中存在著某些普遍有效的公式，亦即被每個變數賦值函數的每個結構所滿足的公式。口語上來說，是存在著在任一可能的論域、可能的解釋和賦值上都是「正確」的陳述。通常將邏輯公理視為能充分證明所有此語言中重言式的一套「最小」的重言式；在謂詞邏輯中有更多的邏輯公理是需要的，為了證明那些在嚴格意義上不是重言式的邏輯事實。
推理规则
在规则的集合中，一个推理规则可能是多余的，在它是“可接纳的”或“可推导的”的意义上。一个可推导规则是可以使用其他规则从它的前提推导出它的结论的规则。可接纳规则是只要前提成立结论就成立的规则。所有可推导规则都是可接纳规则。要鉴别它们的区别，考虑定义自然数的下列规则集合（判断formula_1断言formula_2是自然数的事实）:
弗雷格命题演算
推理规则