离散几何学
离散几何和组合几何是研究离散几何对象的组合性质和构造方法的几何学的分支。离散几何的大多数问题涉及到基本几何对象的有限集合或离散空间，比如点，线，平面，圆，球，多边形和四维空间。这个主题集中在这些对象的组合属性上，比如他们怎样与另一个相交，或者，它们如何被安排来涵盖一个更大的对象。
微分流形
微分幾何（differential geometry）作為一個獨特的學科的出現一般歸功於高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的著名的康復講座中描述了多個面向。他通過在一個新的方向上改變給定對象的直觀過程激發了多方面的想法，並且預先描述了協調系統和圖表在隨後形式發展中的作用：
几何原本
第一卷至第六卷的内容主要為平面幾何。
解析几何
十一世纪波斯帝国数学家欧玛尔·海亚姆发现了几何与代数之间的密切联系，在求三次方程使用了代数和几何，取得了巨大进步。但最关键的一步由笛卡儿完成。
几何学
解析幾何是歐幾里德幾何的現代版本，從1950年代末到1970年代中有大幅的進展，主要是因為讓-皮埃爾·塞爾及亚历山大·格罗森迪克的貢獻，這也產生了概形以及代數拓撲學一些方法的重視，包括許多的。千禧年大獎難題中的霍奇猜想就是解析幾何學的問題。
流形
流形有很多种。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧几里得空间。其他的种类包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。
带状发展
带状发展（）是一类地理学概念，指人类聚落辐射方向，呈狭长带状发展或是指文化产业空间布局突破传统区域环状分布而代之以线性带状分布。这类发展在1920年英国和1930年其他国家引起了巨大关注。
范畴论
同调代数由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在代数几何的公理化过程中得到发展。代数几何与罗素-怀特海德的关于数学统一性基础的观点相抵触。广义范畴论随后产生，且更容纳了语意灵活性和高阶逻辑等多种新特征的泛代数，现在被运用到数学的所有分支。
弦拓扑
最近二十多年来的数学，特别是几何，拓扑，和代数的发展，非常深刻地受到量子场论和弦理论的影响。在几何拓扑领域，四维流形的杨-米尔斯理论，Seiberg-Witten理论，辛流形的Gromov-Witten理论，三维流形的陈省身-西蒙斯理论，还有镜像对称等等，都与量子场论有着深刻的联系。量子场论给数学家的印象，就像一把万能钥匙，运用到任何一个领域，都能够开启一个新的研究的大门，从而开辟一个广阔的研究空间。量子场论有力地促动了数学的发展，数学家们也从物理学家那里获得了很多灵感和启发。
嘉当联络
嘉当几何有下列部分组成。一个光滑n维流形M，一个r维李群H,其李代数为formula_11，一个M上的主H丛P，一个n+r维李群G，其李代数为formula_1，H为G子群。嘉当联络是P上的formula_1-值的1-形式满足嘉当联络的曲率为formula_1-值的2-形式
行向量與列向量
在1963年时 McGraw-Hill 公布的 "差别几何" 由 Heinrich Guggenheimer 的 明尼苏达大学，他使用的行向量《公约》第5章，"导言转化群体"(均衡。 7a，9b和12至15条)。当H.S.M.考克斯特的审查 "直线的几何学" 的 Rafael Artzy，他写道， 「 [Artzy]是要祝贺他选择的左到右《公约》，这使他方面一点作为行矩阵，而不是笨拙的柱，许多作者。 」 J.W.P.Hirschfeld使用正确的乘法的行向量的矩阵中他描述的projectivities在 伽罗瓦的几何形状 PG(1，q)。
微分几何
微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分，formula_1-形式在formula_1维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。
幾何圖形
幾何圖形可以根據其幾何性質分成多種類別，例如其可以根據對稱性的高低分成正幾何圖形、半正幾何圖形、不規則幾何圖形等類別。
嘉当联络
在根源上，几何由空间的不同物体间的"相似性"的概念组成。在19世纪晚期，相似性的概念通常由李群在空间上的作用给出。李群的作用通常是非常刚性的，所以嘉当几何是这种相似概念的一个推广使得曲率得以出现。当然，一个"平坦"的嘉当几何是没有曲率的几何。从平坦的情况开始，我们用一般性的形式化数学术语描述"嘉当几何"是什么意思。
几何学
欧几里得所提出的抽象概念，进而使得《几何原本》列入了最有影响力的书籍之一，欧几里得提出五大公理和公设，揭示了点线面的自可证的基本性质，他一直试图通过其他数学理论来严谨性推导其他性质，而这也是欧几里得陈述的最特色的地方，并使得几何更加公理化和。19世纪初，尼古拉·罗巴切夫斯基 (1792–1856), 鲍耶·亚诺什 (1802–1860), 卡爾·弗里德里希·高斯 (1777–1855)对非欧几里得几何的探索使得几何学领域又得以重新发展，而在20世纪初，大卫希尔伯特把公理性证明的引入成就了现代几何学的出现。
解析几何
通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程formula_13对应整个平面，方程formula_14只对应formula_15一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程formula_16代表了是半径为r且圆心在formula_15上的所有圆。 在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡儿坐标系时，两点formula_18和formula_19之间的距离 "formula_20" (又写作"formula_21"，被定义为 上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为
分形
分形发展的一个里程碑在 1904 年，当时海里格·馮·科赫不滿意魏爾施特拉斯那抽象和基于分析的定義，它扩展了庞加莱的定义，給出了更加幾何化的定義并附上了一個類似函數的手绘图形，今天稱之為科赫雪花。 另一个里程碑在十年之后， 1905 年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基构造出了謝爾賓斯基三角形；隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯。1918 年，两名法国数学家和通过各自独立的工作，基本上同时得出了描述複數映射以及函数迭代相关分形行为的结果，并由此引出了之后关于奇异吸引子的想法。吸引子理论之后在分形理论中占有十分重要的地位 。 在这项巩固走发表之后不久，1918年3月，费利克斯·豪斯多夫扩展了“维数”的定义，允许几何具有非整数维数，这对分型定义的发展意义重大。 1938年，保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《平面、空间曲线和由与整体自相似部件组成的曲面》中將自相似曲線的概念更進一步地推進，他在文中描述了一個新的碎形曲線－萊維C形曲線。
射影几何
這個時期的幾何學多集中在以擴展現有技術及運用不變量理論來研究一般代數曲線，主要幾何學家有阿爾弗雷德·克萊布希、波恩哈德·黎曼及馬克思·諾特（Max Noether）等人。到了18世紀末，代數幾何義大利學派突破傳統的研究題材，進入需要更高深技術之領域。
射影几何
雖然這些想法很早以前便已存在，但投影幾何的發展主要還是到19世紀才開始。大量的研究使得投影幾何變成那時幾何的代表學科。當使用複數的坐標（齊次坐標）時，即為研究之理論。一些更抽象的數學（包括不變量理論、代數幾何義大利學派，以及菲利克斯·克萊因那導致古典群誕生的愛爾蘭根綱領）都建立在投影幾何之上。此一學科亦吸引了許多學者，在綜合幾何（）的旗幟之下。另一個從投影幾何之公理化研究誕生的領域為有限幾何。
线性代数
不過除了這些早期的文献以外．线性代数主要是在二十世纪发展的。在抽象代数的环论开发之前，矩阵只有模糊不清的定義。随着狭义相对论的到来，很多开拓者發現线性代数的微妙。进一步的，解偏微分方程的克莱姆法则的例行应用导致大学的标准教育中包括线性代数。例如，E.T. Copson写到：
流形
一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如，当一个多项式在 formula_1 区间的取值确定了，则其在整个实数范围的值都被固定，可见局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。
计算几何
1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。这3个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂，要求特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。
几何处理
几何处理的应用领域包括从多媒体、娱乐、传统的计算机辅助设计到生物医学计算、逆向工程及计算科学等等。
分形
通常认为，理论分型是无限迭代、自相似的、具有分形维数的详细数学结构。人们创造了许多分型图形并进行了充分的研究。 分形并不限于几何图形，它也可以描述时间序列。 雖然碎形是一個數學構造，它們同樣可以在自然界中被找到，這使得它們被劃入藝術作品的範疇。碎形在醫學、土力學、地震学和技术分析中都有应用。 在自然 、技术、艺术、建筑和法律等领域，人们对图形、结构和音频中不同程度自相似的分形图形进行了研究，并反过来利用分形理论取生成图形、结构和音频。分形和混沌理论密切相关，因为混沌过程的图形大多数都是分形。
發展地理學
發展地理學（Development geography）是研究人類發展-{zh-tw:水準; zh-hant:水山;zh-hans: 水平}-和生活品質的地理學。發展雖然可以提高人類的生活品質，但也會導致地區差異等問題。發展地理學研究發展的空間格局，並試圖尋找發展與經濟、政治和社會等要素的關係。此外，他們也對發達國家和發展中國家進行比較探究。而國家內部的發展差距（如意大利的南北問題）也是研究的對象。可持續發展也屬於發展地理學的研究範圍之內。
几何拓扑学
几何拓扑学是数学中研究流形以及它们的嵌入的分支，俱代表性的主题有紐結理論和辫子群。紐結理論和辫子群是几何拓扑学研究范围的典型例子。随着时间的变迁几何拓扑学几乎等同于考虑二维、三维、或者四维的低维拓扑学。
几何平均数
幾何平均數比算術平均數更適合用於 指數增長 (恒定的比例增長) 和變化的增長值；在商業中，幾何平均數的增長率被稱為複合年均增長率(CAGR)。隨著週期的增長，幾何平均數會產生相等的恒定增長率，從而得出相同的最終數量。
代数几何
代数几何（）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。
芬斯勒流形
芬斯勒流形(Finsler manifold)或芬斯勒几何(Finsler geometry)由瑞士數學家保羅·芬斯勒(Paul Finsler)在1918年的博士论文中提出。芬斯勒几何是一种没有二次型限制的黎曼几何，与变分学密切相关。芬斯勒几何分為實數芬斯勒几何与複數芬斯勒几何，且在生物、工程、物理等领域有广泛应用。
离散几何学
离散几何与凸几何和计算几何有很大的重叠部分，与下列学科密切相关，如有限几何，组合优化，数字几何， 离散微分几何，几何图论，复曲面几何和组合拓扑。
几何学
幾何學有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何基於一組公設和定義，人們在公設的基礎上運用基本的邏輯推理構做出一系列的命題。可以說，《幾何原本》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。
几何化猜想
几何化猜想（）指的是任取一个紧致（可能带边）的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面割开得到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。该猜想由威廉·瑟斯顿提出。
增长极理论
佩鲁在研究区域经济空间时，首先将经济空间划分为三种类型，即： 佩鲁研究的经济空间主要指“作为力场的空间”，“经济空间由那些能产生离心力和向心力的中心构成”。佩鲁从抽象的经济空间出发，认为经济空间存在着若干中心、力场或极，产生类似“磁极”作用的各种离心力和向心力，从而产生相互联合的一定范围的“场”，并总是处于非平衡状况的极化过程之中。 “作为力场的空间”的区域空间结构随着区域发展而演变，一般包括四个阶段：
解析几何
对代数几何学者来说，解析几何也指（实或者複）流形，或者更广义地通过一些複變數（或實變數）的解析函数为零而定义的解析空间理论。这一理论非常接近代数几何，特别是通过让-皮埃尔·塞尔在《代数几何和解析几何》领域的工作。这是一个比代数几何更大的领域，不过也可以使用类似的方法。
立体几何
较高级的研究有：解析几何和向量技术通过允许系统的使用线性方程组和矩阵代数带来了重大的冲击；这在高维变得更为重要。研究这个主题的一个重要应用是计算机图形学，这意味着算法变得重要起来。
數學符號
初期幾何的數學觀念未借用數字的概念。事實上，由自然數到分數，再由分數建構出連續的實數，這個發展過程經歷了一個世紀更久的時間。直至笛卡尔發展了解析幾何，幾何裡才常常用到數字和符號。一些符號開始出現在幾何證明的正式發表裡，用以簡略地表示數學概念。除此之外，幾何定理和證明的結構也大大地影響了非幾何的領域，比如是牛頓所著的《自然哲學的數學原理》。
几何拓扑学
这些发展使得几何拓扑学被更好地引用于数学的其它领域了。
几何学
幾何學（英语：，）簡稱幾何。几何学是數學的一个基础分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間区域關係以及空间形式的度量。
凹凸性 (幾何)
在几何学中，一个幾何圖形可分为凸或凹的。例如多邊形和多面體。其中，凸的多邊形稱為凸多邊形、凹的多邊形則可稱為凹多邊形或非凸多邊形，多面體與多胞體亦然。然而在三維或更高維度的空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形幾何圖形，因此在三維或更高維度的空間中較常分為凸與非凸。
米哈伊尔·格罗莫夫
格罗莫夫最具影响力的工作包括：黎曼几何方面，系统地考察了黎曼流形的收敛性，他在这方面的一系列结果奠定了现代整体黎曼几何研究的基础；几何群论方面，描述了多项式增长群和双曲群，为离散群的研究带来全新的观点；辛几何方面，引入的概念，由此形成了理论；偏微分方程方面，他提出的构成偏微分方程几何理论的基础。
几何学
許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度、面積及體積的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中，是中古世紀西方大學教授的內容之一。
联合国地理区划列表
此外，联合国统计司为了衡量千年发展目标的进展，将世界各个国家和地区进行地理上的分组，除了依照该机构自己制定的“联合国地理方案”，还同时参考了2002年联合国名义上的下属机构世界银行把世界上各个国家和地区按照人均国民收入分为高、中高、中低和低四个等级的分组，把世界分为发达地区及属于发展中地区的高加索和中亚、北非（不含苏丹）、撒哈拉以南非洲、拉丁美洲和加勒比地区、东亚（不含日本）、南亚、东南亚、西亚（不含以色列和高加索三国）、大洋洲（不含澳大利亚和新西兰）共10组。千年发展指标地区分组在“联合国地理方案”的基础上做了一些必要修改，以尽可能使基于国家分组的分析更具意义。
分体拓扑学
雖然分體拓撲學是數學理論，不過我們將之後的發展歸功於邏輯學家與理論計算機科學家。盧卡斯(2000年: chpt. 10)、卡塞迪與瓦力(1999年: chpts. 4,5)論述中提到分體拓撲學的有關引介，說到只要修過一阶逻辑的課程任何人都可以理解分體拓撲學的理論。更多進一步分體拓撲學的論述包含孔(Cohn)及瓦力(Varzi)(2003年)的著作，而以複雜數學來論述的有羅艾伯(Roeper)(1997年)的著作。關於懷特黑德無點幾何學的數學論述，參見葛拉(Gerla)(1995年)的著述。
几何原本
歐几里得所著的《幾何原本》共分13卷。
几何数论
在数论中，几何数论（）研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在泛函分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题。
离散几何学
主题延伸：
非欧几里得几何
如果完全去掉第五公设，就得到更加一般化的。这种几何不仅可以囊括前面提到的三种几何，而且允许空间的不同位置有不同的曲率。黎曼几何是描述任意维数任意弯曲的绝对几何空间的一种微分解析几何学。
几何学
幾何一詞源於《幾何原本》的翻譯。《幾何原本》是世界數學史上影響最為久遠，最大的一部數學教科书。《幾何原本》傳入中國，首先應歸功於明末科學家徐光啟。徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻是確定了研究圖形的這一學科中文名稱為「幾何」，並確定了幾何學中一些基本術語的譯名。「幾何」的原文是「geometria」（英文geometry），徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取「geo」的音為「幾何」（明朝音：gi-ho），而「幾何」二字中文原意又有「衡量大小」的意思。用「幾何」譯「geometria」（英文geometry），音義兼顧，確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡到漢字文化圈的日本、朝鮮等國（越南語則使用獨自翻譯的越製漢語「（）」一詞），影響深遠。
焦點 (幾何)
在几何学上，焦點是指建構曲線中的一些特殊點。例如用一個或二個焦點可以定義圓錐曲線，分別為圓（一個焦點）、橢圓（二個焦點）、拋物線（一個焦點和一條線）及雙曲線（二個焦點），此外，有二個焦點可以定義卡西尼卵形线及，二個以上的焦點可以定義。
几何拓扑学
1945年后拓扑学发展迅速，逐渐地数学家将这个学科分为三个分支： 这些分支的基础是研究一般的拓扑空间的点集拓扑学。但是随着时间的发展这些区分又越来越显得是人为的区分了。
相空间表述
相空间表述所基于的一些概念目前已在数学领域得到了进一步发展，如代数以及非交换几何。
曲线的微分几何
曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。
低維拓撲
在三维情况，拓扑流形、分段线性流形、光滑流形三个范畴都等价，因此很少会刻意区分三维流形是属于哪一类。三维流形中的现象和其他维度的现象有着巨大的差别，因此有许多研究方法专门适用于三维流形，而不能被推广至更高的维度。三维流形的特殊性，导致了三维流形和许多领域有着密切的联系，例如：纽结理论、、双曲几何、数论、拓扑量子场论、规范场论、、偏微分方程。三维流形理论被划分为低维拓扑或几何拓扑学的一部分。
三上义夫
《中日数学的发展》一书是三上义夫的代表作，于1913年以英文出版。全书47章，分为两部分；第一部中国数学史21章，内容包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、刘徽割圆术、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、杨辉、秦九韶 、《数书九章》、李冶、朱世杰、 《四元玉鉴》、 《数理精蕴》等。
群
在更新近的應用中，影響已經被倒轉過來，由群論背景來激發幾何結構了。在類似的脈絡下，幾何群論采用了幾何概念，比如在雙曲群的研究中。其他一些大量应用群论的数学分支包括代數幾何和數論。例如，典型群和Picard群在代数几何上有重要应用；參見
物理学的进化
该书分为四章内容，标题分别为：《机械观的兴起》、《机械观的衰落》、《场，相对论》和《量子》。每一章所包含的小节都有各自的小标题。
几何学
歐幾里德在所著的《幾何原本》中作了更抽象化的處理。歐幾里德引入了一些公理來說明點、線和面一些基本的或是可自證的性質。接著再用數學的思考再去推導其他的性質。幾何原本中的推導以其嚴謹性著稱，稱為公理化幾何。在十九世紀初時，尼古拉·罗巴切夫斯基（1792–1856）、鮑耶·亞諾什（1802–1860）及卡爾·弗里德里希·高斯（1777–1855）發展了非歐幾何，其他數學家開始再度對此一領域有興趣。二十世紀的大卫·希尔伯特試圖用公理化的理解為幾何學提供現代的基礎。
几何学
几何学可見的特性讓它比代數、數論等數學領域更容易讓人接觸，不過一些几何語言已經和原來傳統的、欧几里得几何下的定義越差越遠，例如碎形幾何及解析幾何等。
微分几何
微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。
传统数学
按照20世纪早期的传统顺序，代数或几何应该保留到高中，而统计在大学才开始学，但是新标准很早就引入这些分支中的基本定理。例如，现在大多数美国标准要求孩子在幼儿园学会识别和扩展模式。这个非常基本的代数形式推理在小学扩展成对函数和算术运算中模式的识别，如分配律是做高中代数的重要原则。今天的大多数课程鼓励孩子在小学思考几何形状及其属性，以准备在中学几何课程的更高级的推理。目前的标准要求孩子学基本统计思想，如条形图组织数据。更复杂的概念，如：包含数字和字母的代数表达式、几何表面积、统计方法、中位数等出现在了最新标准的六年级课本中。
数学领域
数学的传统分支被分类到纯数学，主要研究其内在的逻辑性；而应用数学可以直接应用以解决现实问题。这种分类方法并不十分清晰，许多主题是按照纯数学发展的，但后来就发现了意想不到的应用。宽泛的分类方法，例如离散数学和计算数学，就是最近才出现的。
计算几何
计算几何是一门兴起于二十世纪七十年代末的计算机科学的一个分支，主要研究解决几何问题的算法。
离散几何学
主题延伸：
射影几何
投影幾何的領域又可細分成許多的研究領域，其中的兩個例子為投影代數幾何（研究投影簇）及投影微分幾何（研究投影變換的微分不變量）。
分布元件电路
分形已被用作电路的组成部分包括科赫雪花 ， Minkowski岛 ， Sierpiński曲线 ， Hilbert曲线和Peano曲线 。 前三个是闭合曲线，适用于贴片天线。后两个是开放的曲线，在分形的相对侧具有终结点。这使得它们适用于需要级联连接的场合。
嘉当联络
黎曼几何可以看作是欧氏几何的"变形",伪黎曼流形是闵可夫斯基空间的变形，配置了共形结构的微分流形（Weyl流形）可以视为共形几何的变形，一个配置了仿射联络的微分流形（但没有黎曼度量）可以视为仿射几何的变形，等等。
点集拓扑学
虽然还有其它一些更加复杂的术语，但这些术语通常都直接与这些基本术语相关，并且这些更加复杂的术语不在其他数学分支中广泛采用。其它的一些拓扑学主要分支有代数拓扑学、几何拓扑学、微分拓扑学。从这些名称中也可以看出，点集拓扑为这些领域提供了共通的基础。
黎曼几何
微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。
爱尔兰根纲领
克莱因的观点实际上将几何视为两个群（通常是李群）的商G/H，上节提到相关的各种几何的同构的自同构群也就是同构的H。因而，上述的爱尔兰根纲领的局限性可以通过引入附加的结构来弥补。换而言之，没有考虑空间的不均匀性，因而只有齐性空间得到了处理。如果在此基础上引入联络，则就像引入度量将欧几里得几何推广为黎曼几何一样，我们将推广到了嘉当几何。细节可以参看嘉当联络。这是一本便宜而且不太难的书，里面有大量引用索菲斯·李、克莱因和埃利·嘉当的话。 "Mathematische Annalen", 43 (1893) pp. 63-100（Also: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, pp. 460-497).由Mellen Haskell翻译的一个英译本可见于"Bull. N. Y. Math. Soc" 2 (1892-1893): 215--249. 本纲领的德文版可在美国密歇根大学的在线收集站上阅读：
微分音音樂
設計了一種準確、靈活的新方法。C音以0表示，在一個八度音階裡，以連續的數目來表示音。例如半音音階可以0~11來表示，四分之一音的音階可以0~23表示。Joseph Yasser在他的著作《發展調性的理論》（"A Theory of Evolving Tonality"）中，反對以機械化的方式分割音，提倡在音樂演進的過程中擴展音階。他認為音樂的發展是從五聲音階到七聲音階，再從七聲音階到十二聲音階。根據這個發展過程，下一階段應該是十九聲音階，其中原先的十二音是正音，新的七個音是副音（相當於七音階的半音）。
汤璪真
汤璪真的研究涉及代数、几何、数理逻辑、分析领域。汤璪真是中国研究微分几何的开拓者之一。在武汉大学任职期间，汤璪真先后发表《新几何学》（即《扩大几何学》）、《微分学的几个根本问题》、《数理玄形学》、《绝对微分学的一个难关》等著述，还翻译了《集合理论几何学》等书。1931年，汤璪真在翻译罗马大学教授莱维·齐维塔（T．Levi-Civita，1873年—1941年）所著的《绝对微分学》时，多次与莱维·齐维塔就书中问题进行讨论。1935年2月，汤璪真在填写《研究专门学术人员调查表》时，在“本人工作心得与兴趣趋向或其他感想”一栏中写道，他“曾与数学界名流韦尔（Weyl）、施乌顿（Schouten）、莱维-齐维塔、杜斯切克（Duschek）等屡次讨论绝对微分学，其结果作成《绝对微分学的一个难关》一文，登在武汉大学理科季刊上，此可算为本人心得且为比较有兴趣之事。”
几何处理
几何处理，亦称网格处理，是一个以应用数学、计算机科学、工程学等领域理论为基础，以设计高效获取、重建、分析、处理、模拟及传输复杂三维模型算法为目标的快速成长的新兴研究领域。作为计算机图形学的分支之一，几何处理关注对几何形体本身的建模，处理，分析及应用，常见操作包括表面重建，噪点过滤，几何分析，形状简化以及交互设计。在概念与方法层面上，几何处理可以被理解为信号处理（一维）和图像处理（二维）的三维类比。
科学
《几何原本》为古希腊数学家欧几里得（约公元前365年－公元前300年）所著。此书最早的中文译本由利玛窦（1552年－1610年）和徐光启（1562年－1633年）合译。他们依据克拉维乌斯（1538年－1612年）校订增补的十五卷拉丁文本, 但只译出前六卷。该译本第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国。几何的中文名称，以及几何学中点、线、平行线、三角形和四边形等术语的中文翻译，都是由此译本定名，沿用至今，并传播到日、韩等国。此书为明清时期中国士人研习西学的重要书籍。《西洋新法历书》此书原名为《崇禎历书》本书较有系统地介绍歐洲天文学知识，主要讨论历法，以及作为历法基础的天文学理论与计算方法等议题，其中采用丹麥天文学家第谷的宇宙体系，且介绍哥白尼、伽利略与克卜勒等人的天文数据与科学成果。
欧几里得
《几何原本》共有13卷，雖然其中的許多內容是來自早期的數學家，但欧几里得的貢獻是將這些資料整理成單一的，有邏輯架構的作品，容易使用也容易參考，其中有嚴謹的數學證明系統，是後來2300年數學的基礎。
欧几里得
几何原本对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何原本》的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题，例如著名的欧几里得引理和求最大公因數的欧几里得算法。几何原本也說明完全數和梅森質數的關係（歐幾里得-歐拉定理）、質數有無限多個（欧几里得定理）、有關因式分解的欧几里得引理（導出了算术基本定理及整數分解的唯一性）等。
几何学
幾何學起源於一些實務上有關量測、面積及體積的科學。在許多方面都已找到相當的公式，例如畢氏定理、圓的周長及面積、三角形的面積、圓柱、球及四角錐的體積等。泰勒斯發展了以幾何物件的相似為基礎，計算一些無法直接量測的高度或距離的方法。天文學的發展也帶來三角學及球面三角學的誕生，也有一些對應的計算技巧。
算术几何
算术几何原指从法尔廷斯（Faltings,G.）、奎伦（Quillen,D.G.）等的算术曲面上黎曼-罗赫定理开始的一系列研究工作，现在一般指所有以数论为背景或目的的代数几何。在算术几何中许多学科起着重要作用，并且相互交叉和渗透，包括数论、模形式、表示论、代数几何、代数数论、李群、多复变函数论、黎曼面、K理论等，所以，它是典型的边缘学科。丢番图方程是算术几何的一个重要课题，其中的问题可以自然地用几何语言表达。在许多著名问题如莫德尔猜想、费马大定理等的研究中，都表明几何方法的必要性。这正是算术几何的生命力所在。
非欧几里得几何
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作裡，以附录的形式发表了研究结果。
拓扑学
幾何拓撲學是拓撲學的一個分支，主要側重於低維流形及其與幾何之互動的研究，但亦包括部分較高維拓撲。幾何拓撲學的研究主題包括可定向性、柄分解、局部平坦與平面及高維商弗力士定理。
上半平面
在微分几何中常見的擴展是 H，最大对称，單連通，截面曲率為-1的n維黎曼流形。此表示方式下，上半平面為H因為其實維度為2。
曲线的微分几何
与
克木语支
Ilia Peiros (Peiros 2004:39)的分类方案如下：基于原始克木语*aː₁的演化过程，保罗·西德维尔 (2014)将克木语支分类如下。据Sidwell (2014)，原始克木语*aː₁的发展是：
分形
我们可以从这些年来正式发表的文献中追踪分形概念的发展史。 从 17 世纪有了递归的概念开始，到 19 世纪，伯納德·波爾查諾、波恩哈德·黎曼和卡尔·魏尔斯特拉斯对连续不可微函数开创性的研究，这些严谨的数学概念推动着分形的发展。20 世纪时，人们创造了wikt:分形这个词，随之而来的是人们对分形和计算机建模和兴趣的迅速增长。1975 年本華·曼德博首次提出“分形(fractal)”这个术语。分型的拉丁文词源"" 有“破坏”、“破碎”的意思，曼德博将分型的概念从理论分形维数拓展到自然界中的几何图形。
数学史
而随着计算机的发展和不断进步，从最初的机械模拟计算机到随后的电子数字计算机，让工业界可以处理越来越大量的数据，来帮助规划大规模生产、配给和通讯，新的数学领域也因此发展出来：艾伦·图灵的可计算性理论、计算复杂性理论；德里克·亨利·莱默使用ENIAC促进了数论发展，提出卢卡斯-莱默检验法；克劳德·香农的信息论、信号处理、数据分析、最优化和其它运筹学的研究；在过去的世纪中，数学在很大程度上注重微积分和连续函数，但因为计算机和通讯网络的崛起，使离散概念也越发重要，还导致了组合数学，包括图论的扩张发展；数据处理速度和能力的提升，也让人们可以去研究那些过去需要大量时间进 行纸笔计算的数学问题，引出了数值分析和符号计算。而20世纪最重要的数学方法和算法包括：单纯形法、快速傅立叶变换、错误校验码、源自控制论的卡尔曼滤波，以及公钥密码学的RSA算法。
鲍耶·亚诺什
然而鲍耶坚持了自己的研究，他最终得出结论，如果把欧氏几何的其他公理和公设（即现在所称的绝对几何部分），加上平行公设，即成为欧氏几何，而如果加上“过某一直线外一点可以引最少兩条平行线”的新公设，就可以创立出一种新几何学，即现在所称的双曲几何，而前者可以看作后者的特殊情况。从1823年亚诺什给父亲的信中，可以推断此时他已经有了基本的思路，他写道：“我已经决定对现在的研究写一篇论文，但我还在准备之中……我从虚无中创立了一个新的世界，但现在寄给你的部分比起我心中的钟楼而言，只不过的是个纸牌搭的房子。” 1832年亚诺什的论文作为他父亲用拉丁文所写的数学书的附录发表。法尔科斯把书寄给了自己的朋友卡尔·弗里德里希·高斯，高斯读到这篇附录后，回信说：“如果我一上来就说我不能赞赏这项工作，你一定会大吃一惊，但我不得不这么说，因为赞赏这篇附录就等于赞赏我自己。实际上这篇附录的方法和结果，都和我三十年来的某些工作极其类似……我认为这位你的儿子有着第一流的天赋。”这封信让法尔科斯很是满意，却激怒了亚诺什，他怀疑高斯是在争夺对非欧几何发现的优先权。1848年鲍耶惊奇地读到了罗巴切夫斯基著作的德文译本，发现对方在1829年已然出版了和自己类似的工作。他最先怀疑罗巴切夫斯基是否有剽窃嫌疑，但很快就转为赞扬对方了。
本華·曼德博
曼德博还强调了碎形思想可用于构造实际可行的模型，来模拟真实世界中的很多“粗糙的”现象。自然界中的分形集有山脉，海岸线，河流流域的形状；植物，血管和肺部的结构；星系团；还有布朗运动。碎形几何在人类艺术和娱乐中亦有出现，如音乐，艺术，建筑和股票市场的价格走势。曼德博相信，碎形几何不但不是非自然的，相反在很多方面都比人类创造出的欧氏几何中各种光滑的研究对象更加直观和自然：云不是球体，山不是圆锥体，海岸线不是圆，树皮不是光滑的，闪电传播的路径也不是直线。  —曼德博，《大自然的碎形几何学》绪论
几何学
点作为欧几里得空间的基本构成，通过很多方式定义，包括欧几里得所定义的“点不占据空间”以及在代数与嵌套空间的引用。在几何学的众多领域，包括分析几何，微分几何，以及拓扑学，所有的单元都是点构造出来的，然而，有些几何学的研究缺乏对点这个元素的参照。
离散几何学
主题延伸：
分形
细节性的概念和分形的另一个特征——分形维数有关。分形维数不需要数学背景，也很容易理解：分形的分形维数大于它的拓扑维数，通过将分形尺度与普通的几何形状相比较，我们便能感受到他们的差别。举个例子，通常认为直线是是一维的，如果直线被分为三部分，每部分都是原来的 1/3 长，你会得到相等的三部分。相比之下，科赫雪花的拓扑维数是 1，和普通的直线一样，但它的分形维数大于 1，因为它有很多的细节。雪花曲线被分为原长的 1/3，得到的是 4 条原始雪花曲线重组组合的结果。这种与众不同的关系是分形维数的基础。
几何处理
变形是涉及将一些几何形状转换为新几何形状的问题。通常，这些变换是连续的，不会改变形状的拓扑性质。现代基于网格的变形方法能在满足用户在网格上选定的顶点或区域的变形约束的同时，将这些操控位置的变形平滑地传播到其余形状区域，而不会移除或扭曲细节。常见的交互式变形有基于点，基于骨架和基于网箱的形式。在基于点的变形中，用户可以在形状上的一小组点上施加位置变换。基于骨架的变形定义了形状的骨架，允许用户移动骨架并旋转关节。基于网箱的变形需要围绕全部或部分形状绘制网箱，以便用户在操纵网箱上的点时，其包围的体积相应地发生改变。
几何处理
不同于数学，在计算机科学中，几何处理的模型通常是离散的。这些离散模型需要具有几何和拓扑性质：几何性质与模型的维度，空间位置，切线，法线和曲率有关；拓扑性质并不会随着平滑的空间变化而发生改变，比如空洞和边界的数量，以及模型的可定向性。有名的不可定向的模型是莫比乌斯带和克莱因瓶。
曲率
在数学中，率（）是描述几何体弯曲程度的量，例如曲面偏离平面的程度，或者曲线偏离直线的程度。在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。
解析几何
古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)的解题、证明方式与现在使用坐标系十分相似，以至于有时会认为他是解析几何的鼻祖。 阿波罗尼奥斯在《论切触》中解题方式在现在被称之为单维解析几何；他使用直线来求得一点与其它点之间的比例。阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中进一步发展了这种方式，这种方式与解析几何十分相似，比起笛卡儿早了1800多年。他使用了参照线、直径、切线与现进所使用坐标系没有本质区别，即从切点沿直径所量的距离为横坐标，而与切线平行、并与数轴和曲线向交的线段为纵坐标。他进一步发展了横坐标与纵坐标之间的关系，即两者等同于夸张的曲线。然而，阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何，但它没能完成它，因为他没有将负数纳入系统当中。在此，方程是由曲线来确定的，而曲线不是由方程得出的。坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了。
几何拓扑学
1960年代初开始的许多研究成果导致几何拓扑学本身变化了。1961年史提芬·斯梅爾解决了高维中的庞加莱猜想，这使得三维和四维显得尤其困难。事实上这些困难的解决需要新的技术，而与此同时高维提供的自由度使得换球术的问题也成为可计算的问题了。威廉·瑟斯顿在1970年代末提出的几何化猜想提供了在低维中几何与拓扑之间的关系的理论基础。瑟斯顿使用过去在数学中只是很弱地互相关联的分支的不同技术解决了Haken流体的几何化问题。1980年代初沃恩·琼斯发现的琼斯多项式为扭结理论提供了新的方向，同时也给数学物理与低维拓扑学之间至今为止依然不明了的关系提供了新的推动。
数学
空間的研究源自於幾何－尤其是欧几里得几何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾里得幾何（其在廣義相對論中扮演著核心的角色）及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的微積分等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在已久的龐加萊猜想，以及有爭議的四色定理。龐加萊猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼證明，而四色定理已在1976年由凱尼斯·阿佩爾和沃夫岡·哈肯用電腦證明，而從來沒有由人力來驗證過。
幾何級數
几何级数在微积分的早期发展中起到了重要作用，在整个数学中都有使用，并且在物理学、工程学、生物学、经济学、计算机科学和金融学中都有重要的应用。
解析几何
虽然本讨论仅限于formula_41平面上，但它可以很容易地衍生为更高维的空间中。两个几何对象formula_62和formula_63指代formula_64和formula_65，其交集是所有点formula_3的集合。 例如，formula_62可以是半径为1的圆，圆心在formula_15: formula_69 , formula_63可以是半径为1的圆，圆心在formula_71。两圆的交叉点是满足方程的所有点的集合。点formula_15是否满足方程呢？将formula_15带入formula_3，formula_63便成为formula_76或formula_77，结论为真，因此formula_15在formula_63上。换句话来说，接着将formula_15带入formula_3，方程 formula_62 成为 formula_83 或 formula_84，结论为假。formula_15 不在 formula_62 上，因此不是它的集合。
几何处理
几何形体在几何处理中通常是多维的，尤其以2D和3D最为常见。关于几何形体的处理，通常涉及三个阶段：建模，分析与编辑，使用。这三种阶段统称为几何形体的生命周期。
安东尼奥·路易吉·高登齐奥·朱塞佩·克雷莫纳
克雷莫纳因对意大利几何学发展所发挥的重要作用而闻名。十九世纪初，意大利数学发展水平尚属落后，但到本世纪末，很大程度上得益于他的研究，意大利几何学已处于世界领先地位。他在推进意大利中学改革中产生过很大的影响，并成为数学教育及知识进步相关领域的领导者。自十九世纪中叶以来，在克雷莫纳，布里奥斯基和贝尔特拉米等人的领引下，意大利的数学研究水平取得了长足的进步。
几何学
几何学开始的最早记录可以追踪到公元前2世纪的古代埃及和美索不达米亚。早期的几何学是有关长度、角度、面积和体积的经验性定律的收集，这些都是因为实际需要（比如勘探、建筑、天文和一些手工业）而发展的。最早的已知有关几何学的文本是埃及的莱因德纸草书（公元前2000-1800年）和莫斯科数学纸草书（约公元前1890年），以及古巴比伦的泥石板（比如“普林頓 322”（公元前1900年）)。比如，莫斯科纸草书上给出了如何计算棱台体积的公式。埃及南部的古代努比亚人曾经建立了一套几何学系统，包括有太阳钟的早期版本。
廣義相對論入門
几何的基本对象是点、线、三角形，它们通常被定义在三维空间裏或者二维曲面上。1907年，数学家赫尔曼·闵可夫斯基为狭义相对论创建了一种新的公式化的几何，因为狭义相对论中的几何不仅包括空间，还包括时间。这種新的几何的基本实体是四维时空。移动物体的轨迹是四维时空中的曲线，物体在四维时空中的轨迹总是做匀速直线运动。