Чему равна сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике?
Теорема Пифагора
Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Медиана треугольника
В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:
Усечённая квадратная мозаика
В геометрии усечённая квадратная мозаика — это полуправильные мозаики из правильных многоугольников на евклидовой плоскости с одним квадратом и двумя восьмиугольниками в каждой вершине. Это единственная мозаика из правильных выпуклых многоугольников, содержащая соприкасающиеся сторонами восьмиугольники. Символ Шлефли мозаики равен "t{4,4}".
Латинский квадрат
Латинский квадрат называется диагональным, если в дополнение к требованиям уникальности элементов в строках и столбцах, свойственным для латинского квадрата, добавляются требования уникальности элементов на главной и побочной диагоналях. Аналитическая оценка числа диагональных латинских квадратов неизвестна, их число для размерностей N<10 было определено в 2016 г. в проекте добровольных распределенных вычислений Gerasim@Home ( и ). Для диагональных латинских квадратов, как и для просто латинских, возможно построение ортогональных пар, часть из которых (порядка 9 и 10) была найдена в проекте добровольных распределенных вычислений SAT@home с использованием SAT-подхода. В настоящее время поиск пар ортогональных диагональных латинских квадратов 10-го порядка производится в проекте добровольных распределенных вычислений Gerasim@Home с использованием трансверсалей, а также в BOINC-проектах ODLK и ODLK1.
25 апреля 2018 г. найден диагональный латинский квадрат 10-го порядка, имеющий 10 ортогональных диагональных латинских квадратов
. Это максимальное известное количество ортогональных диагональных квадратов у диагонального латинского квадрата 10-го порядка (). Открытой математической проблемой является существование тройки попарно ортогональных диагональных латинских квадратов порядка 10 (на текущий момент наилучшим приближением к ее решению является тройка квадратов, в которой две пары квадратов ортогональны, а третья частично ортогональна в 74 ячейках).
Решение треугольников
Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников:
Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.Пусть заданы длины всех трёх сторон formula_1. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:
Квадратный корень из 2
Половина formula_2 приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:
Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим formula_15. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен "r", а другой равен formula_16. То же самое верно для formula_17. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:
Квадратное пирамидальное число
В математике пирамида́льное число́ или квадра́тное пирамида́льное число́ — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в сетке .
Теорема Пифагора
Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны formula_1 и formula_2, а длина гипотенузы — formula_3, выполнено соотношение:
Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида.
Теорема о сумме углов многоугольника
Пусть formula_2 — данный выпуклый многоугольник и . Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам диагонали: formula_3. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на треугольника: formula_4. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть . Следовательно, сумма углов -угольника равна 180°. "Теорема доказана."
Линейная алгебра
Матрица с равным числом строк и столбцов называется квадратной, в зависимости от содержания они могут быть диагональными (все элементы — нули основного поля, кроме диагональных: formula_16), единичными (все диагональные элементы равны единице основного поля, а остальные — нулю), симметричными (все элементы симметричны относительно главной диагонали: formula_17), кососимметричными (formula_18), треугольными (все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю), ортогональными. Среди квадратных матриц вводится отношение подобия (formula_19), где formula_20 — матрица, обратная formula_21), такие характеристики матриц, как ранг (максимальное количество линейно независимых строк или столбцов) и характеристический многочлен инвариантны относительно подобия. Также одинаковы для подобных прямоугольных матриц такие характеристики, как след (взятие суммы элементов главной диагонали) и определитель.
Квадратная матрица
Следом квадратной матрицы A (tr(A)) называется сумма элементов главной диагонали. В то время как умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей:
Это непосредственно вытекает из определения произведения матриц:
Также след матрицы равен следу транспонированной к ней, то есть
Полупериметр
В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности на гипотенузе равен полупериметру. Полупериметр равен сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного радиуса описанной. Площадь прямоугольного треугольника равна formula_9, где "a" и "b" — катеты.
Рациональное число
Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна formula_137, то есть числу, квадрат которого равен 2.
265 (число)
Существует 265 возможных длин гипотенузы прямоугольного треугольника с целочисленными катетами, не превосходящих 28:
Иначе говоря, точка с целочисленными координатами внутри или на границе круга радиуса 28 может находиться на одном из 265 расстояний от начала координат.
Мезолябия
Извлечь кубический корень на этом приборе можно для числа "х", равного длине катетов треугольников (расстоянию между рельсами). Для этого требовалось расположить треугольники как на рисунке, а затем добиться, чтобы три точки, выделенные на рисунке, оказались на одной прямой. При этом левый и правый треугольник соприкасаются вершинами, а средний сдвигается до тех пор, пока упомянутые точки не лягут на одну прямую. Интересующий нас отрезок — часть вертикального катета среднего треугольника, лежащая ниже точки пересечения с правым треугольником. Его длина численно равна кубическому корню из "х".
Группа треугольника
Если заданы любые натуральные числа "l", "m", "n" > 1, в точности одна из классических двумерных геометрий (евклидова, сферическая или гиперболическая) допускает треугольник с углами (π/l, π/m, π/n) и пространство замощено отражениями этого треугольника. Сумма углов треугольника определяет тип геометрии по Формула Гаусса — Бонне: пространство евклидово, если сумма углов в точности равна π, сферическое, если превышает π и гиперболическое, если строго меньше π. Более того, любые два треугольника с заданными углами конгруэнтны. Каждая группа треугольника определяет замощение, которое обычно раскрашивается в два цвета, так что любые два соседних элемента мозаики имеют разные цвета.
Магический квадрат
Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица formula_1, заполненная formula_2 различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от formula_3 до formula_2. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна formula_5.
Прямоугольный треугольник
Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка "A" лежит на окружности диаметра "BC" (за исключением самих точек "B" и "C"), то △"ABC" представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом "A". Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.
Математика в Древнем Египте
Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Плутарх в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об Исиде и Осирисе» писал: «видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей.
Квадратное уравнение
Если в квадратном уравнении formula_22 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: formula_23, то его корнями являются formula_24 и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (formula_25).
В частности, если formula_28, то корень будет один: formula_29
Прямоугольный параллелепипед
Квадрат длины диагонали formula_3 прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:
Группа треугольника
В математике группа треугольника — это группа, которая может быть представлена геометрически при помощи последовательных отражений относительно сторон треугольника. Треугольником может служить обычный евклидов треугольник, треугольник на сфере или гиперболический треугольник. Любая группа треугольника является группой симметрии паркета конгруэнтных треугольников в двумерном пространстве, на сфере или на плоскости Лобачевского (см. также статью об ).
Треугольник Шварца
Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами ("p" "q" "r"), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение "n/d" означает, что угол в вершине треугольника равен "d"/"n" развёрнутого угла. "2" означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике "без" перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет .
Прямоугольник
В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников не существует.
Теорема Пифагора
Равенство площадей прямоугольника formula_40 и formula_35 устанавливается через конгруэнтность треугольников formula_46 и formula_47, площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников formula_40 и formula_35 соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при formula_50.
Теорема Пифагора
Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение: треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.
Целочисленный треугольник
Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающуюся на гипотенузу, не выражается целым числом. Однако существуют непримитивные пифагоровы треугольники такого вида. Все пифагоровы треугольники с катетами "a" и "b", гипотенузой "c", и целой высотой formula_20, опущенной на гипотенузу, которые необходимо будут удовлетворять равенствам formula_21 и formula_22, генерируются формулами
Треугольник Кеплера
Это математическое совпадение formula_12. Эти квадрат и окружность не могут иметь одинаковую длину периметра, поскольку в этом случае можно было бы решить классическую неразрешимую задачу о квадратуре круга. Другими словами, formula_13 поскольку formula_14 — трансцендентное число.
Полный квадрат
Сумма квадратов первых formula_1 натуральных чисел вычисляется по формуле:
formula_11
Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию. Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.
Квадратное уравнение
что и требовалось доказать.
Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: formula_48 - верное равенство, следовательно, единица - корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту - formula_49, ч.т.д.
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:
Здесь "r" — радиус вписанной окружности, "R" — радиус описанной окружности, "a" — катеты и "c" — гипотенуза треугольника.
Треугольник
Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон.
Треугольный паркет
Внутренний угол правильного треугольника равен 60 градусов, так что шесть треугольника в одной вершине дают вместе 360 градусов. Это одна из трёх правильных мозаик плоскости. Другие две мозаики — шестиугольный паркет и квадратный паркет.
Английский математик Конвей называл мозаику deltille (дельта-мозаикой), поскольку она имеет форму греческой буквы "дельта" (Δ). Треугольную мозаику можно также назвать кис-шестиугольной мозаикой, если применить операцию , которая добавляет центральную вершину и треугольники, разбивая грани шестиугольной мозаики.
Гиперболический треугольник
В гиперболическом треугольнике сумма углов "A", "B", "C" (соответствующих противоположным сторонам с тем же буквами) строго меньше развёрнутого угла. Разница между мерой развёрнутого угла и суммой мер углов треугольника называется дефектом треугольника. Площадь гиперболического треугольника равна его дефекту, умноженному на квадрат :
Треугольник
Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
Длину медианы formula_17 опущенной на сторону formula_18 можно найти по формулам:
Кутрит
При этом сумма коэффициентов равна 1:
Метод площадей
Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника formula_1 с прямым углом formula_2, квадратов над катетами formula_3 и formula_4 и квадрата над гипотенузой formula_5 строится высота formula_6 и продолжающий её луч formula_7, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника formula_8 и formula_9. Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника formula_8 с квадратом над катетом formula_11; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.
Число Пелля
Квадратное треугольное число — это число formula_41, которое является как formula_42-м треугольным числом так и formula_43-м квадратным. "Почти равнобедеренные пифагоровы тройки" являются целыми решениями formula_44, где formula_45.
Теорема косинусов
Для плоского треугольника со сторонами formula_1 и углом formula_2, противолежащим стороне formula_3,
справедливо соотношение:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:
Треугольник Шварца
Проще говоря, сумма углов треугольника в евклидовой плоскости равна π, в то время как на сфере сумма углов больше π, а на гиперболической плоскости сумма меньше π.
Вектор (геометрия)
Модуль суммы двух векторов можно вычислить, используя теорему косинусов:
Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку — между сторонами треугольника — что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в её прямой формулировке.
Катет
Длина катета равна произведению длины гипотенузы и синуса противолежащего угла:
Длина катета равна произведению длины другого катета и тангенса противолежащего угла, относительно искомого катета:
Длина катета равна произведению длины другого катета и котангенса прилежащего угла, относительно искомого катета.
Длина катета равна среднему геометрическому длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу:
Квадрат высоты, выходящей из прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:
Где
С катетами совпадают две из трёх высоты прямоугольного треугольника.
Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике
Поскольку шаг прогрессии квадратов равен четырём площадям пифагорова треугольника, а умножение на четыре не меняет, является ли число квадратом, существование квадратного шага в арифметической последовательности квадратов эквивалентно существованию пифагорова треугольника с площадью, равной квадрату целого числа. Это тот вариант, который рассматривал Ферма в своём доказательстве и в котором он показал, что таких треугольников не существует. На эту задачу Ферма натолкнул не Фибоначчи, а чтение книги Диофанта, изданной Клодом Гаспаром Баше. Эта книга описывает различные , площадь которых связана с квадратами, но не предполагается, что является квадратами.
Треугольник
В случае треугольника эйлерова характеристика χ=1. Углы φ — это внешние углы треугольника. Значение величины "K" (гауссовой кривизны) — это "K=0" для евклидовой геометрии, "K=1" для сферы, "K=-1" для плоскости Лобачевского.
Квадратное пирамидальное число
Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является .
Начертательная геометрия
Длину отрезка прямой по его проекциям определяют как гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций данного отрезка, а другим катетом — абсолютная величина алгебраической разности расстояний от концов другой проекции отрезка до оси проекций.
Решение треугольников
Пусть известны катет formula_32 и прилежащий к нему угол α.
Квадратный паркет
Квадра́тный парке́т, квадратный паркетаж, квадратная мозаика
или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется "4" квадрата.
Метод квадратичного решета
Таким образом, произведение всех 3-х уравнений есть квадрат (mod N).
Треугольник
Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются "вершинами" треугольника, а отрезки — "сторонами" треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется "внутренностью" треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).
Полный квадрат
Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.
Прямоугольный треугольник
Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырех описанных окружностей:
Треугольник Кеплера
Для положительных вещественных чисел а и b их среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое являются длинами сторон прямоугольного треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является треугольником Кеплера.
Пифагор
Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):
Число Пелля
Несмотря на то, что имеется столь мало квадратов и других степеней среди чисел Пелля, они имеют близкую связь с квадратными треугольными числами.
Эти числа возникают из следующего тождества:
Левая часть этого тождества даёт квадратное число, в то время как правая часть даёт треугольное число, так что в результате получим квадратное треугольное число.
Тождество четырёх квадратов
произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
Прямоугольный треугольник
Кроме того высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:
и
Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:
Прямоугольный треугольник
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами "a" и "b" и гипотенузой "c" равен:
Квадратное уравнение
Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (formula_41), то корнями такого уравнения являются formula_42 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (formula_43).
Квадратная матрица
В математике квадра́тная ма́трица — это матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.
Целочисленный треугольник
Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции) с заданной наибольшей стороной "c" равно числу троек ("a", "b", "c"), таких, что "a" + "b" > "c" и "a" ≤ "b" ≤ "c". Это значение равно Ceiling[] * Floor[]. Для чётных "c" это равно удвоенному треугольному числу ( + 1), а для нечётных "c" это равно квадрату . Это означает, что число целочисленных треугольников с наибольшей стороной "c" превышает число целочисленных треугольников с наибольшей стороной "c"−2 на "c". Последовательность числа неконгруэнтных целочисленных треугольников с наибольшей стороной "c", начиная с "c" = 1:
Тождество четырёх квадратов
Действительно:
Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если formula_4 и formula_5 — действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.
Полный квадрат
Полный квадрат или квадратное число — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень которого тоже целый. 
Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.
Метод прямоугольников
Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников равен 1).
Квадратура (математика)
Для квадратуры прямоугольника со сторонами "a" и "b" надо построить квадрат со стороной formula_3 (среднее геометрическое "a" и "b"). Для этого можно использовать следующий факт: если построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, то высота BH (см. рисунок), восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст их среднее геометрическое. Аналогичная геометрическая конструкция решает задачу квадратуры параллелограмма и треугольника. В общем виде задача квадратуры многоугольника решается в «Началах» Евклида (предложение 45 книги I и предложение 14 книги II).
Группа треугольника
Группы треугольников сохраняют паркетную укладку треугольниками, а именно фундаментальную область для действия (треугольника, определённого прямыми отражения), называемого треугольником Мёбиуса, и задаются тройкой "целых чисел" ("l","m","n"), соответствующих треугольникам (2"l",2"m",2"n") с общей вершиной. Существуют также паркеты, образованные треугольниками с наложением, которые соответствуют треугольникам Шварца с "рациональными" числами ("l"/"a","m"/"b","n"/"c"), где знаменатели взаимно просты с числителями. Это соответствует сторонам под углом "a"π/"l" (соотв.), что соответствует вращению на of 2"a"π/"l" (соотв.), которое имеет порядок "l" и потому идентично элементу абстрактной группы, но различается, когда представляется в виде отражений.
Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике
Если бы три квадрата formula_4, formula_5 и formula_6 образовали арифметическую прогрессию, у которой шаг является также квадратом formula_7, то эти числа удовлетворяли бы диофантовым уравнениям
В этом случае, по теореме Пифагора, они образовали бы два прямоугольных треугольника с целочисленными сторонами, в котором пара formula_10 были бы катетом и гипотенузой меньшего треугольника и та же самая пара была бы катетами большего треугольника. Но если (как показал Фибоначчи) не существует квадратного шага в арифметической последовательности квадратов, то не может существовать двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, у которых две стороны совпадают.
Высота треугольника
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.
Пусть formula_1 — произвольный треугольник. Проведём через вершину "B" прямую, параллельную прямой "AC". Отметим на ней точку "D" так, чтобы точки "A" и "D" лежали по разные стороны от прямой "BC". Углы "DBC" и "ACB" равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей "BC" с параллельными прямыми "AC" и "BD". Поэтому сумма углов треугольника при вершинах "B" и "С" равна углу "ABD". Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов "ABD" и "BAC". Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных "AC" и "BD" при секущей "AB", то их сумма равна 180°. "Что и требовалось доказать."
Ряд обратных квадратов
Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.
Магический треугольник
Магический треугольник (также известный под именем периметровый магический треугольник) это такая расстановка целых чисел от 1 до на сторонах треугольника с одинаковым количеством чисел на каждой стороне (называемым "порядком" данного треугольника), что сумма чисел на каждой стороне постоянна и называется "магической суммой" треугольника. В отличии от магических квадратов, существуют разные магические суммы для магических треугольников одного и того же порядка. У любого магического треугольника есть комплементарный треугольник, который можно получить заменив каждое число в треугольнике на .
Основное тригонометрическое тождество
Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.
Треугольник Кеплера
Тогда периметр квадрата (formula_10) и длина окружности (formula_11) совпадают с точностью до 0,1 %.
Прямоугольный треугольник
Пусть "h" и "s" ("h">"s") сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой "c". Тогда:
Список квадратурных формул
Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их formula_44:
Матрица коэффициентов определяется, как: formula_46, где
Пифагореизм
Из геометрических работ пифагорейцев на первом месте стоит знаменитая теорема Пифагора. Доказательство теоремы должно было явиться результатом потребовавших значительного промежутка времени работ как самого Пифагора, так и других математиков его школы. Член ряда нечётных чисел, всегда являющийся разностью между двумя соответствующими членами ряда квадратных чисел, мог быть сам числом квадратным: 9 = 25 — 16, 25 = 169—144, … Содержание пифагоровой теоремы было, таким образом, впервые обнаружено рациональными прямоугольными треугольниками с катетом, выражаемым нечётным числом. Вместе с тем должен был раскрыться и Пифагоров способ образования этих треугольников, или их формула (n — нечетное число, выражающее меньший катет; (n² — 1)/2 — больший катет; (n² — 1)/2 + 1 — гипотенуза).
Негипотенузное число
Негипотенузное число — это натуральное число, квадрат которого "не может" быть записан как сумма двух ненулевых квадратов. Название порождено фактом, что ребро с длиной, равной негипотенузному числу, "не могут" образовать гипотенузу прямоугольного треугольника с целыми сторонами.
Конфигурация прямых
Разделённая квадратная мозаика — это бесконечная конфигурация прямых, образующая периодическое замощение, которое напоминает мультисетку с четырьмя параллельными семействами, но в которой два семейства имеют большее расстояние между прямыми, чем в других двух, и в которых набор прямых является симплициальным, а не простым. Двойственной мозаикой является усечённая квадратная мозаика. Подобным образом, треугольный паркет является бесконечной симплициальной конфигурацией прямых с тремя семействами параллельных прямых, у которой двойственной мозаикой является шестиугольный паркет, а является бесконечной симплициальной конфигурацией прямых с шестью семействами параллельных прямых и двумя расстояниями между прямыми в семействах, которая двойственна .
Вектор (геометрия)
Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов formula_4 и formula_39 некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса formula_55, соответствующего этому правилу.
Для сложения двух векторов formula_4 и formula_39 по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Теорема Пифагора
Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника formula_13 с прямым углом formula_14, квадратов над катетами formula_35 и formula_36 и квадрата над гипотенузой formula_37 строится высота formula_17 и продолжающий её луч formula_39, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника formula_40 и formula_41. Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника formula_40 с квадратом над катетом formula_43; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.
Треугольник
Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через , и и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через formula_163, formula_164 и formula_165, тогда получим формулу:
что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка ("shoelace formula"), или геодезической формуле ("surveyor’s formula"), или формуле площади Гаусса.
Задача Келети о квадратах
Предположим formula_1 — объединение конечного числа единичных квадратов на плоскости. Верно ли, что
где formula_3 обозначает периметр, а formula_4 площадь formula_1.
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками "P" и "P". Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x,y), "P" и "P" (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно formula_8, что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: formula_9, где "b" — длина стороны, а "h" — высота на эту сторону из противолежащей вершины.
Катет
Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Противоположная прямому углу сторона называется гипотенузой. Для непрямоугольного треугольника катеты не существуют.
Гипотенуза
Гипотенуза (, натянутая) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Квадрат (алгебра)
Сумма квадратов первых formula_6 натуральных чисел вычисляется по формуле:
formula_16
Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:
Решение треугольников
Катеты определяются из соотношений
Октамино
Среди 369 свободных октамино есть 6 фигур с отверстиями («неодносвязные»). Из этого следует, что сплошное покрытие какого-либо прямоугольника площадью formula_2 квадратов полным набором октамино невозможно. Однако они могут быть уложены в некоторые прямоугольники площадью 2958 квадратов с шестью одноклеточными отверстиями. Поскольку число 2958 представляет собою произведение простых множителей 2×3×17×29, то можно поставить вопрос о составлении прямоугольников 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 и 51×58.
Томагавк (геометрия)
Если вершину угла обозначить буквой "A", точку касания лезвия буквой "B", центр полукруга буквой "C", основание ручки буквой "D", а вершину острия буквой "E", то треугольники "ACD" и "ADE" являются прямоугольными треугольниками с общей высотой и равными катетами при основании. Следовательно, эти треугольники равны. Поскольку стороны "AB" и "BC" треугольника "ABC" являются касательным отрезком и радиусом полуокружности, эти стороны равны "AD" и "DC" соответственно. Таким образом, треугольник "ACD" равен треугольникам "ACB" и "AED", что показывает, что углы при вершине угла "A" равны.
Триакистетраэдр
Триакистетра́эдр (от — «трижды», — «четыре» и — «грань»), также называемый тригон-тритетраэдром, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому тетраэдру. Составлен из 12 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен formula_1 а два других formula_2
Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники
Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади.
Квадратное треугольное число
И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трех квадратов: 2^2 (очевидно), (n(n+1))/2 (n-ое треугольное число – по предположению является квадратом) и (2n+1)^2 (очевидно).
Треугольник Кеплера
Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию. При этом соотношение длин сторон треугольника Кеплера связано с золотым сечением
Решение треугольников
Принято обозначать вершину прямого угла буквой C, а гипотенузу — formula_23. Катеты обозначаются formula_61 и formula_32, а величины противолежащих им углов — α и β соответственно.
Метод площадей
Равенство площадей прямоугольника formula_8 и formula_3 устанавливается через конгруэнтность треугольников formula_14 и formula_15, площадь каждого из которых равна половине площади квадратов formula_8 и formula_3 соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при formula_18.
Треугольник
Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n-мерной геометрии аналогом треугольника является n-й мерный симплекс.
Ряд обратных квадратов
Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть formula_58 Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появилась глубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.
Теорема Пифагора
Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников formula_40 и formula_41, равна сумме площадей квадратов над катетами.
Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике
Ещё одна формулировка той же проблемы использует конгруэнтные числа, числа, являющиеся площадями прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. Умножая обе стороны на общий знаменатель, можно любое конгруэнтное число преобразовать в площадь пифагорова треугольника, откуда следует, что конгруэнтные числа – это в точности числа, получаемые умножением шага в арифметической последовательности квадратов на квадрат рационального числа. Таким образом, не существует квадратного шага в арифметической последовательности квадратов тогда и только тогда, когда число 1 не является конгруэнтным. Эквивалентная формулировка: невозможно, чтобы квадрат (геометрическая фигура) и прямоугольный треугольник имели равную площадь и все стороны попарно соизмеримы (величины соизмеримы, если частное этих величин является рациональным числом).
Сферическая теорема Пифагора
Из сферической теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном сферическом треугольнике количество сторон, меньших 90 градусов, нечётно, а больших — чётно. Поэтому если оба катета прямоугольного сферического треугольника больше 90 градусов, то его гипотенуза меньше 90 градусов, то есть в этом случае гипотенуза короче каждого из двух катетов — положение, невозможное для прямоугольного треугольника на плоскости.