Что такое Евклидовое пространство?
Евклидово пространство
Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.
Четвёртое измерение в изобразительном искусстве
Сегодня учёные больше не ограничивают себя тремя измерениями Евклида. И художники, что совершенно естественно (хотя кто-то и скажет, что только благодаря интуиции), привлекли новые возможности пространственных измерений, что на языке современных студий стало называться четвёртым измерением. Существуя в сознании образом пластики предмета, четвёртое измерение зарождается благодаря трём известным измерениям: оно представляет собой необъятность пространства во всех направлениях в каждый данный момент. Это само пространство, само измерение бесконечности; четвёртое измерение одаряет предметы пластичностью.
Открытое множество
Пусть formula_1 есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда formula_2 называется открытым, если formula_3 такое что formula_4, где formula_5 — ε-окрестность точки formula_6
Псевдоевклидово пространство
Важнейшим частным случаем псевдоевклидова пространства является пространство Минковского, используемое в специальной теории относительности в качестве пространства-времени, в котором метрика сигнатуры (1,3) лоренц-инвариантна (только псевдоевклидова метрика может быть лоренц-инвариантной), а для времениподобности пары событий длина (в смысле такой метрики) кривой, соединяющей эти события и тоже всюду времениподобной, есть время между ними, измеренное по часам, движение которых описывается в пространстве-времени этой кривой. Изотропные направления являются направлениями распространения света и называются также нулевыми или светоподобными.
Конформно-евклидова модель
Аналогично, для конформно-евклидовой модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.
Равноугольные прямые
В геометрии множество прямых в евклидовом пространстве называется равноугольным, если угол между любыми двумя прямыми из этого множества один и тот же.
Неархимедова геометрия
Значение неархимедовой геометрии определяется её ролью в исследовании независимости и непротиворечивости системы аксиоматики Гильберта евклидова пространства.
Реализация на числовой модели групп аксиом инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности доказывает как их независимость от аксиом полноты, так и непротиворечивость самой неархимедовой геометрии.
С другой стороны, выясняется и роль аксиом непрерывности в построении евклидовой геометрии на основе аксиом Гильберта.
В частности, без аксиом непрерывности невозможно доказать эквивалентность евклидовой аксиомы параллельности предложению о равенстве суммы внутренних углов любого треугольника двум прямым углам.
Неевклидова геометрия
Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. 
Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — совпадающим по локальным свойствам сферической или геометрии Римана, отрицательная — геометрии Лобачевского.
Поверхность Боя
Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.
Псевдоевклидово пространство
Пара чисел formula_13 (задающая количество базисных векторов вещественной и чисто мнимой длины, соответственно) не зависит от выбора ортонормированного базиса или репера (закон инерции Сильвестра) и называется "сигнатурой" псевдоевклидова пространства.
Задача Штейнера о минимальном дереве
Приведем несколько современных формулировок проблемы Штейнера. В качестве объемлющего пространства вместо евклидовой плоскости рассмотрим произвольное метрическое пространство.
Конечномерное пространство
Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.
Перестановочный многогранник
В математике перестановочный многогранник порядка "n" — это ("n" − 1)-мерный выпуклый многогранник, вложенный в "n"-мерное евклидово пространство, который является выпуклой оболочкой всех "n"! точек, получающихся перестановками координат вектора (1, 2, 3, …, "n").
Пространство-время
В космологии и релятивистской физике вообще концепция пространства-времени объединяет пространство и время в одну абстрактную Вселенную. Математически она является многообразием, состоящим из «событий», описанных системой координат. Обычно требуется три пространственных измерения (длина, ширина, высота) и одно временное измерение (время). Измерения — это независимые составляющие координатной сетки, необходимые для локализации точки в некотором ограниченном «пространстве». Например, на Земле широта и долгота — это две независимые координаты, которые вместе однозначно определяют положение. В пространстве-времени координатная сетка, которая простирается в 3+1 измерениях, локализует события (вместо просто точки в пространстве), то есть время добавляется как ещё одно измерение в координатной сетке. Таким образом, координаты определяют где и когда происходят события. Однако единая природа пространства-времени и его независимость от выбора координат позволяют предположить, что чтобы выразить временную координату в одной системе координат, необходимы как временная, так и пространственная координаты в другой системе координат. В отличие от обычных пространственных координат, в пространстве-времени возникает понятие светового конуса, накладывающее ограничения на допустимые координаты, если одна из них везде должна быть временной. Эти ограничения жёстко связаны с особой математической моделью, которая отличается от Евклидова пространства с его очевидной симметрией.
Расстояние Фреше
Если две кривые вложены в метрическое пространство, отличное от евклидова, такое как , или вложены в евклидово пространство с препятствиями, расстояние между двумя точками на кривых естественно определить как длину кратчайшего пути между ними. Поводок в этом случае является геодезической, соединяющей две точки. Получившаяся метрика между кривыми называется геодезическим расстоянием Фреше. Кук и Венк описали алгоритм полиномиального времени вычисления геодезического расстояния Фреше между двумя ломаными в простом многоугольнике.
Евклидова метрика
Евклидова метрика — наиболее естественная функция расстояния, возникающая в геометрии, отражающая интуитивные свойства расстояния между точками. При этом существуют и другие метрики в евклидовых пространствах, применяемые как в геометрии, так и в приложениях; параметрическое расстояние Минковского обобщает ряд таких метрик, при параметре со значением 2 оно обращается в евклидову метрику.
Неравенство Фридрихса
Пусть Ω — ограниченное подмножество евклидова пространства R с диаметром "d". Предположим, что "u" : Ω → R принадлежит пространству Соболева formula_1 (то есть formula_2 и tr "u" = 0). Тогда
Задача о 1-центре
Простой частный случай, когда объекты размещения и точки потребления находятся на плоскости, а стоимостью доставки является евклидово расстояние (планарная минимаксная евклидова задача размещения объектов, евклидова задача о 1-центре на плоскости), известна также как задача о наименьшей окружности. Её обобщение на многомерные евклидовы пространства известно как задача о наименьшей ограничивающей сфере. В дальнейшем обобщении (взвешенная евклидова задача размещения) точкам потребления приписаны веса и цена транспортировки является суммой расстояний, умноженных на соответствующие веса. Другой частный случай — , когда входом задачи служит строка, а расстояние измеряется как расстояние Хэмминга.
Конформно-евклидова модель
Соответственно, в конформно-евклидовой модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.
Пространство-время
В евклидовом пространстве (имеющем только пространственные размеры) множество точек, эквидистантных (с использованием евклидовой метрики) из некоторой точки, образуют круг (в двух измерениях) или сферу (в трех измерениях). В пространстве-времени Минковского (имеющем одно временное и одно пространственное измерение) точки с постоянным пространственно-временным интервалом от начала координат (с использованием метрики Минковского) образуют кривые, задаваемые двумя уравнениями:
Определитель Грама
Пусть в евклидовом пространстве formula_6 система векторов formula_1 порождает подпространство formula_8. Зная скалярные произведения вектора formula_9 из formula_6 с каждым из этих векторов, найти расстояние от formula_9 до formula_8.
Радиус-вектор
Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается formula_1 или просто formula_2) — вектор, задающий положения точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.
Метод площадей
Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.
Алгоритм динамической трансформации временной шкалы
Измерение расстояния между двумя временными рядами нужно для того, чтобы определить их подобие и классификацию. Таким эффективным измерением является евклидова метрика. Для двух временных последовательностей это просто сумма квадратов расстояний от каждой n-ой точки одной последовательности до n-ой точки другой. Однако использование евклидова расстояния имеет существенный недостаток: если два временных ряда одинаковы, но один из них незначительно смещен во времени (вдоль оси времени), то евклидова метрика может посчитать, что ряды отличаются друг от друга. DTW-алгоритм был введён для того, чтобы преодолеть этот недостаток и предоставить наглядное измерение расстояния между рядами, не обращая внимание как на глобальные, так и на локальные сдвиги на временной шкале.
Линейная комбинация
Пусть поле  — множество formula_1 вещественных чисел, а пространство векторов  — евклидово пространство formula_9. Любой вектор в formula_9 является линейной комбинацией единичных векторов formula_11. Например, вектор formula_12 можно записать:
Псевдоевклидово пространство
Выбрав подходящий базис векторного псевдоевклидова пространства formula_1, всегда можно добиться того, чтобы индефинитное скалярное произведение этого пространства имело вид
где formula_3 и formula_4 — векторы пространства
formula_1. В частности, скалярный квадрат вектора имеет вид
и может быть как положительным, так и отрицательным числом, а также нулём (даже для ненулевого вектора formula_7). Соответственно, длина вектора formula_7, определённая равенством
является либо вещественным положительным, либо чисто мнимым числом, либо нулём.
Псевдоевклидово пространство
Важной особенностью пространств с индефинитной метрикой является наличие ненулевых векторов, имеющих нулевую длину. Такие векторы (а также прямые, направляющими векторами которых они являются) называются "изотропными" или "светоподобными" (последнее наименование чаще используется в физике, оно связано с пространством Минковского). Подпространство векторного псевдоевклидова пространства называется "изотропным", если оно целиком состоит из изотропных векторов.
Линейное пространство (геометрия)
Линейное пространство — это базовая структура геометрии инцидентности. Линейное пространство состоит из множества элементов, называемых точками, и множества элементов, называемых прямыми. Каждая прямая является различным подмножеством точек. Говорят, что точки прямой инцидентны прямой. Любые две прямые могут иметь не более одной общей точки. Интуитивно, это правило можно продемонстрировать как две прямые на евклидовой плоскости, которые никогда не пересекаются более чем в одной точке.
Теорема Адамара — Картана
Теорема Картана — Адамара утверждает, что пространство универсального накрытия связного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны диффеоморфно евклидову пространству.
Более того, экспоненциальное отображение в любой точке является диффеоморфизмом.
Предположение о неположительной кривизны может быть ослаблено.
Назовём метрическое пространство "X" выпуклым, если для любых двух геодезических "a"("t") и "b"("t") функция
является выпуклой функцией от "t". Метрическое пространство называется "локально выпуклым", если каждая его точка имеет окрестность, которая является выпуклой в этом смысле.
Теорема Картана — Адамара для локально выпуклых пространств формулируется следующим образом:
Движение (математика)
В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.
Окружность
Обобщённую окружность можно определить для любой математической структуры, где задано понятие расстояния. В частности, обобщением для многомерного евклидова пространства является гиперсфера; в трёхмерном пространстве это обычная сфера. В сферической геометрии важную роль играют окружности на сфере, центр которых совпадает с центром сферы («большие круги»).
Евклидово отношение
Евклидово отношение — бинарное отношение formula_1 на множестве formula_2, для которого из нахождения элемента formula_3 в отношении с двумя элементами formula_4 (в том числе могут совпадать с formula_5) следует, что эти два элемента formula_6 тоже находятся в отношении formula_1 друг друга.
Топология Зарисского
Как и в классической алгебраической геометрии, спектр является компактным пространством. Этот факт плохо согласуется с нашей интуицией: мы не ожидаем, что целое аффинное пространство (например, евклидово пространство) будет компактным. Гротендик также ввёл понятие , которое гораздо более абстрактно, но свойства этой топологии больше напоминают свойства стандартной топологии на евклидовом пространстве.
Однородная мозаика
Единственной возможной фундаментальной областью в евклидовом пространстве, не являющейся симплексом, является прямоугольник (∞ 2 ∞ 2) с диаграммой Коксетера . Из этой области становятся получаются только квадратные паркеты.
Евклидово кольцо
Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.
Евклидово кольцо — область целостности formula_1, для которой определена евклидова функция ("евклидова норма") formula_2, такая, что возможно деление с остатком по норме меньшим делителя, то есть для любых formula_3 имеется представление formula_4, для которого formula_5 или formula_6.
Плектон
На сегодняшний день нет никаких доказательств, что подобные частицы действительно могут существовать в трёхмерном пространстве. Это объясняется топологическими свойствами пространства. Евклидову пространству с размерностью сопоставляется фундаментальная группа (группа Пуанкаре), которая содержит набор всех возможных преобразований пространства. При formula_1 эта группа является циклической группой formula_2, которая допускает только два типа перестановки. Соответственно, могут существовать только два типа частиц — фермионы и бозоны.
Выпуклое метрическое пространство
Следует заметить, однако, что метрическая выпуклость, определённая таким образом, лишена одного из самых важных свойств евклидовых выпуклых множеств, а именно выпуклости пересечения двух выпуклых множеств. Действительно, как было указано в разделе примеров, окружность с расстоянием между двумя точками, измеряемое как длина кратчайшей дуги, их соединяющей, образует выпуклое и полное метрическое пространство.
Гильберт, Давид
С 1902 года Гильберт — редактор самого авторитетного математического журнала «"Mathematische Annalen"». В 1910-х годах Гильберт создал в современном виде функциональный анализ, введя понятие, получившее название гильбертова пространства, которое обобщает евклидово пространство на бесконечномерный случай. Эта теория оказалась исключительно полезной не только в математике, но и во многих естественных науках — квантовой механике, кинетической теории газов и других.
Гильбертово пространство
Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность.
Названо в честь Давида Гильберта.
Жадное вложение графа
В евклидовых пространствах более высоких размерностей больше графов могут иметь жадное вложение. Так, "K" имеет жадное вложение в трёхмерном евклидовом пространстве — располагаем внутренний узел в начале координат, а остальные узлы (листья) располагаем на единичном расстоянии по осям координат. Однако для любого евклидового пространства фиксированной размерности существуют графы, которые не имеют в нём жадного вложения — если число "n" больше контактного числа пространства, граф "K" не имеет жадного вложения.
Изопериметрическая задача
Изопериметрическая теорема обобщается для поверхностей трёхмерного евклидова пространства. Среди всех простых замкнутых поверхностей с заданной площадью поверхности сфера заключает область максимального объёма. Аналогичные утверждения выполняются в евклидовых пространствах любой размерности.
Псевдоевклидово пространство
По своим геометрическим свойствам каждая из двух «половин» гиперсферы мнимого радиуса в formula_37-мерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры formula_38 представляет собой formula_18-мерное пространство Лобачевского. Подпространства размерности formula_40 (от formula_41 до formula_42) в этом пространстве Лобачевского соответствуют подпространствам размерности formula_43 исходного псевдоевклидова пространства, проходящим через начало координат и пересекающим гиперсферу мнимого радиуса, а его движения — преобразованиям Лоренца.
Категория Бэра
Это делает удобным её применение в пространствах без естественно определённой меры.
Например, используя категорию, можно придать точный смысл таким понятиям, как «почти все компактные выпуклые подмножества евклидова пространства».
Двойственное преобразование
Чтобы сделать этот процесс взаимным преобразованием, евклидово пространство (не являющееся проективной плоскостью) необходимо расширить до расширенной евклидовой плоскости путём добавления и , которые лежат на этой бесконечно удалённой прямой. На этой расширенной плоскости мы определяем поляру точки "O" как прямую на бесконечности (и "O" является полюсом на бесконечности), и полюсы прямых, проходящих через "O" как точки на бесконечности, где, если прямая имеет угловой коэффициент "s" (≠ 0), её полюс является бесконечно удалённой точкой, соответствующей классу параллельных прямых с наклоном "-1/s". Полюс для оси x — это точка на бесконечности вертикальных прямых, а полюс оси y — точка на бесконечности горизонтальных прямых.
Преобразования Лоренца
Аналогично, преобразование Лоренца ("лоренцево преобразование") псевдоевклидова аффинного пространства — это аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками этого пространства (это расстояние определяется как длина вектора, соединяющего данные точки, с помощью индефинитного скалярного произведения).
Математическая формулировка общей теории относительности
Лоренцев характер многообразия formula_20 обеспечивает, таким образом, то, что касательные к formula_20 в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:
Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве
Четырёхмерное евклидово пространство допускает экзотические гладкие структуры, то есть не диффеоморфные четырёхмерному евклидову пространству.
В размерностях, отличных от 4, экзотических гладких структур на евклидовом пространстве не существует.
Единичный квадрат
Единичный квадрат является единицей измерения площади фигуры. Измерить площадь фигуры — значит найти отношение площади фигуры к площади единичного квадрата, то есть сказать, сколько раз единичный квадрат может быть уложен в данной фигуре. Есть все основания предполагать, что так определяли площадь математики Древнего Вавилона.
В «Началах» Евклида не было единицы измерения длины, а значит, не было понятия единичный квадрат. Евклид не измерял площади числами, вместо этого он рассматривал отношения площадей друг к другу.Неизвестно (на 2011 год), существует ли точка на плоскости такая, что расстояние до любой вершины единичного квадрата является рациональным числом. Однако известно, что такой точки не существует на границе квадрата.
Преобразования Лоренца
Преобразование Лоренца представляет собой естественное обобщение понятия ортогонального преобразования (то есть преобразования, сохраняющего скалярное произведение векторов) с евклидовых на псевдоевклидовы пространства. Различие между ними состоит в том, что скалярное произведение предполагается не положительно определённым, а знакопеременным и невырожденным (так называемое "индефинитное" скалярное произведение).
Объём Малера
Выпуклое тело в Евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью.
Тело сечений
Тело сечений — конструкция, дающая тело для данного тела евклидова пространства.
Теорема Евклида
где
Пространство-время
В конвенциональных взглядах Пуанкаре существенными критериями, согласно которым следует выбрать евклидову или неевклидову геометрию, является экономичность и простота. Реалист сказал бы, что Эйнштейн обнаружил, что пространство-время было неевклидовым. Традиционалист сказал бы, что Эйнштейн просто счел "более удобным" использовать неевклидову геометрию. Традиционалист утверждал бы, что анализ Эйнштейна ничего не сказал о том, какая "действительно" геометрия пространства-времени.
Однородная система координат
В вычислительной геометрии однородные координаты применяются, чтобы вычислений операции на евклидовой плоскости. Плоскость Евклида временно дополняется до проективной, к декартовым координатам точек добавляется однородная координата 1, затем производятся операции, затем в самом конце производится деление на однородную координату, чтобы получить декартовы координаты, а бесконечно удалённые точки обрабатываются особо. Такой подход даёт возможность быстро и безошибочно закодировать операции с объектами на плоскости. Прямая, проходящая через две точки, и точка на пересечении двух прямых, — обе операции кодируются, используя векторное произведение. Также нередко расширение евклидовой плоскости до проективной позволяет избежать рассмотрения частных случаев в промежуточных построениях, например, пересекающиеся или параллельные прямые, и провести анализ только в самом конце.
Векторное пространство
Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.
Ортогональное преобразование
Ортогональное преобразование — линейное преобразование formula_1 евклидова пространства formula_2, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов formula_3 выполняется равенство
где треугольными скобками обозначено скалярное произведение formula_5
в пространстве formula_2.В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол formula_19, и его матрица в "любом" ортонормированном базисе имеет вид
Теорема Пифагора
Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек formula_126-мерного пространства formula_166 и formula_167 расстояние formula_168 между ними определяется следующим образом:
Евклидово пространство
Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора formula_27 на подпространство formula_37 — это вектор formula_38 ортогональный formula_39 такой что formula_27 представим в виде formula_41 где formula_42 Расстояние между концами векторов formula_15 и formula_27 является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора formula_27 до подпространства formula_46 Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.
Четырёхмерное пространство
Сегодня учёные больше не ограничивают себя тремя измерениями Евклида. И художники, что совершенно естественно (хотя кто-то и скажет, что только благодаря интуиции), привлекли новые возможности пространственных измерений, что на языке современных студий стало называться четвёртым измерением. Существуя в сознании образом пластики предмета, четвёртое измерение зарождается благодаря трём известным измерениям: оно представляет собой необъятность пространства во всех направлениях в каждый данный момент. Это само пространство, само измерение бесконечности; четвёртое измерение одаряет предметы пластичностью.
Псевдоевклидово пространство
С точки зрения геометрии псевдоевклидовой плоскости, окружностями произвольного ненулевого (вещественного или чисто мнимого) радиуса являются гиперболы. Аналогично, в трёхмерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры formula_28 сферами ненулевого вещественного радиуса являются однополостные гиперболоиды, а сферами ненулевого чисто мнимого радиуса — двуполостные гиперболоиды. Аналогично в пространствах большего количества измерений, например, в четырёхмерном сигнатуры (3,1).
Минковский, Герман
В 1907 году Минковский предложил геометрическое представление кинематики теории относительности, введя четырёхмерное псевдоевклидово пространство (известное сейчас как пространство Минковского). В этой модели время и пространство представляют собой не различные сущности, а взаимосвязанные измерения единого пространства-времени. Все релятивистские эффекты получили наглядное геометрическое истолкование. Минковский провозгласил:
Аффинное пространство
Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».
Ковариантность и контравариантность (математика)
Координаты евклидового (псеводоевклидового) могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат — полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае координатные базисы formula_60 можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остаётся выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: formula_68. В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом, он представляет собой тензорное поле — каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.
Ограничивающая сфера
В статистике и исследовании операций объекты являются типичными точками, и в общем случае сфера, представляющая интерес, является минимальной ограничивающей сферой (), то есть сферой с минимальным радиусом среди всех ограничивающих сфер. Проблема вычисления центра минимальной ограничивающей сферы известна как «невзвешенная Эвклидова проблема 1-центра».
Алгебра
Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп.
Неравенство Минковского
Рассмотрим Евклидово пространство formula_23 или formula_24. formula_25-норма в этом пространстве имеет вид:
и тогда
Конформно плоское многообразие
Конформно плоское многообразие — риманово многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область евклидова пространства.
Плотная упаковка равных сфер
Можно рассмотреть аналогичную задачу плотной упаковки гиперсфер (или окружностей) в евклидовом пространстве размерности, отличной от 3. В частности, двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружён шестью другими. Именно из таких слоёв построены ГЦК и ГП упаковки. Плотность данной упаковки:
Целочисленная решётка
В целочисленная решётка грубо эквивалентна евклидову пространству.
Риманово многообразие
Риманово многообразие или риманово пространство ("M","g") — это вещественное дифференцируемое многообразие "M", в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением "g" — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Метрика "g" есть положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор. Другими словами, риманово многообразие это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.
Проективная геометрия
Исторически, проективное пространство было впервые определено, как дополнение евклидова пространства идеальным элементом — бесконечно удалённой плоскостью. 
Каждая точка на этой плоскости соответствует направлению в пространстве и является местом пересечения всех прямых этого направления.
Квадрика
Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность "n" = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм.
Из них 5 являются невырожденными (то есть соответствующая им билинейная форма formula_3 является невырожденной). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.
Пространство-время
В четырёхмерном пространстве-времени аналогом расстояния является «интервал». Хотя время входит в четвёртое измерение, оно трактуется иначе, чем пространственные измерения и поэтому пространство Минковского существенно отличается от четырехмерного евклидова пространства. Основная причина слияния пространства и времени в пространство-время состоит в том, что пространство и время не являются инвариантными, то есть в соответствующих условиях разные наблюдатели будут не согласны относительно промежутка времени (из-за замедления времени) или расстояния (из-за лоренцева сокращения длины) между двумя "событиями". Но специальная теория относительности обеспечивает новый инвариант, называемый "интервалом пространства-времени", который объединяет расстояния в пространстве и во времени. Все наблюдатели, которые измеряют время и расстояние, получат один и тот же интервал пространства-времени между любыми двумя событиями. Предположим, что наблюдатель измеряет два события, разделенные во времени на formula_4 и в пространстве на formula_5. Тогда интервал пространства-времени formula_6 между двумя событиями, разделенными расстоянием formula_7 в пространстве и formula_8 в formula_9-координате:
Планковская длина
Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения: чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидову. Степень отклонения formula_3 геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала formula_4 и квадрата скорости света formula_5 : formula_6. Когда formula_7, геометрия близка к евклидовой; при formula_8 всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба formula_9 равна formula_10 (formula_11 — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой formula_12, на такой длине есть formula_13, где formula_14 — постоянная всемирного тяготения. Вместо formula_12 следует подставить массу, которой, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергия formula_16 (formula_17). Получаем formula_18. Разделив это выражение на formula_19, получим величину отклонения formula_20. Приравняв formula_21, найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине formula_22 м.
Вещественная проективная плоскость
Проективную плоскость нельзя вложить (без пересечений) в трёхмерное евклидово пространство. Доказательство этого делается примерно так: Предположим, что плоскость вложена, тогда проективная плоскость ограничивает компактную область трёхмерного евклидова пространства согласно обобщённой теореме Жордана. Направленное вовне единичное векторное поле задаёт тогда ориентацию границы многообразия, однако границей многообразия служит проективная плоскость, которая не ориентируема. Получили противоречие.
Конформно-евклидова модель
Конформно-евклидова модель или модель Пуанкаре́ — модель пространства Лобачевского.
Пространство Минковского
Квадрат интервала аналогичен квадрату расстояния в евклидовом пространстве. В отличие от последнего квадрат интервала не всегда положителен, также между различными событиями интервал может быть равен нулю.Это пространство было рассмотрено Анри Пуанкаре в 1905 и Германом Минковским в 1908 году.
Специальная теория относительности
По своей форме интервал (особенно в первоначальной записи) напоминает расстояние в евклидовом пространстве, однако он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события. Следуя Минковскому и более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-координатами formula_157. В простейшем случае плоского пространства метрика, определяющая расстояние между двумя бесконечно близкими точками, может быть евклидовой или псевдоевклидовой. Последний случай соответствует специальной теории относительности. Говорят, что интервал задаёт расстояние в псевдоевклидовом четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем Минковского.
Пространство-время
Математически пространство-время является "многообразием", то есть локально «плоским» рядом с каждой точкой так же, как при достаточно малых масштабах глобус кажется плоским. Очень большой масштабный коэффициент formula_1 (обычно называемый "скоростью света") соотносит расстояния, измеренные в пространстве, с расстояниями, измеренными во времени. Величина этого масштабного коэффициента (почти 300 000 км в пространстве, что эквивалентно 1 секунде во времени), а также тот факт, что пространство-время является многообразием, означает, что при обычных, нерелятивистских скоростях и на обычных расстояниях на человеческом уровне мало кто может заметить отличия от евклидового пространства. Только с появлением высокоточных научных измерений в середине 1800-х годов, таких как эксперимент опыт Физо и эксперимент Майкельсона, возникли загадочные расхождения между наблюдениями и прогнозами на основе неявного предположения о евклидовом пространстве.
Кривизна пространства-времени
В рамках общей теории относительности и других метрических теорий гравитации рассматривается неевклидово пространство-время, искривленное гравитацией. В этом пространстве-времени уже нельзя ввести Галилеевы координаты, мировые линии свободно движущихся тел расходятся или сходятся по отношению друг к другу. Скалярная гауссова кривизна такого пространства-времени получается сверткой метрического тензора с тензором Риччи.
Выпуклый многогранник
Обычно выпуклый многогранник определяется как пересечение конечного числа замкнутых полупространств Евклидова пространства.
Псевдоевклидово пространство
В частности, псевдоевклидова векторная плоскость обладает ровно двумя изотропными направлениями. В ортонормированном базисе, где скалярный квадрат вектора принимает вид formula_22
изотропные направления — прямые formula_23 и изотропный конус состоит из объединения этих двух прямых.
Теорема Дворецкого
Tеорема дворецкого утверждает, что каждое нормированное векторное пространство достаточно высокой размерности содержит подпространство почти изометричное Евклидовому. 
Другими словами, каждое центрально-симметричное выпуклое множество достаточно высокой размерности, имеет сечение, близкое к эллипсоиду.
Многогранник
Простейшим примером многогранника является выпуклый многогранник, то есть граница такого ограниченного подмножества евклидова пространства, которое является пересечением конечного числа полупространств.
Псевдоевклидово пространство
Важнейшим примером псевдоевклидова пространства является пространство Минковского.
Конфигурационное пространство
Например, конфигурационным пространством материальной точки в трёхмерном евклидовом пространстве является пространство formula_1. Для системы из formula_2 материальных точек конфигурационным пространством будет formula_3. Конфигурационное пространство системы formula_2 материальных точек, движущихся на многообразии formula_5, есть formula_6. При наличии между точками жёстких связей размерность конфигурационного пространства уменьшается.
Гладкое многообразие
Пусть formula_1 — хаусдорфово топологическое пространство. 
Если для каждой точки formula_2 найдется её окрестность formula_3, гомеоморфная открытому подмножеству пространства formula_4, то formula_1 называется "локально евклидовым пространством", или "топологическим многообразием" размерности formula_6.
Псевдоевклидово пространство
Множество всех изотропных векторов псевдоевклидова векторного пространства называется "изотропным конусом" (или световым конусом) этого пространства. Световой конус пространства сигнатуры formula_21 не содержит «граней», то есть изотропных подпространств размерности больше 1.
Геометрия Лобачевского
Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии.
Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия.
Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от formula_13; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от formula_22, и т. п.
Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии.
Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.
Перпендикулярность
Пусть задано n-мерное евклидово пространство formula_33(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство formula_34, а прямая "l" с направляющим векторным пространством formula_35 и гиперплоскость formula_36 с направляющим векторным пространством formula_37 (где formula_38, formula_39) принадлежат пространству formula_33.
Двумерное пространство
Примером двумерного пространства является плоскость (двумерное евклидово пространство). Точки данного пространства возможно задать всего двумя числами. Например, любую точку можно задать парой чисел: ("x", "y"). Плоские объекты характеризуются не только длиной, но и шириной.
Задача Нелсона — Эрдёша — Хадвигера
Задача Нелсона — Эрдёша — Хадвигера ставит вопрос о минимальном числе цветов, в которые можно раскрасить "n"-мерное евклидово пространство так, чтобы не было одноцветных точек, отстоящих друг от друга на расстоянии 1.
Это число называется "хроматическим числом" "n"-мерного евклидова пространства.
Пространство в физике
Одним из постулатов любой физической теории (Ньютона, ОТО и т. д.) является постулат о реальности того или иного математического пространства (например, Евклидова у Ньютона).
Точка (геометрия)
В выбранной системе координат любую точку двумерного евклидова пространства можно представить как упорядоченную пару действительных чисел. Аналогично, точку "n"-мерного евклидова пространства (а также векторного или аффинного пространства) можно представить как кортеж из "n" чисел.
Унитарное пространство
Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением.
Круговая плоскость
Примером круговой плоскости является евклидова плоскость дополненная одной идеальной точкой (formula_1).
Обобщёнными окружностями являются обычные окружности, а также обычные прямые, дополненные точкой formula_1, отношение инцидентности — отношение принадлежности.
Круговая плоскость это структура инцидентности formula_3,
где formula_4 — множество точек, formula_5 — множество обобщённых окружностей и 
formula_6 — симметричное отношение инцидентности между formula_4 и formula_5, удовлетворяющая следующим аксиомам:
Двумерное пространство
Другие поверхности трёхмерного евклидова пространства могут быть рассмотрены как двумерные неевклидовы пространства.
Перпендикулярность
В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).
Фундаментальная область
Например, если "X" является евклидовым пространством R размерности "n" и "G" — решётка Z, действующая на ней как параллельный перенос, фактор-пространством "X"/"G" будет "n"-мерный тор. Можно взять в качестве фундаментальной области "D" [0,1), что отличается от открытого множества (0,1) на множество нулевой меры, или замкнутый единичный куб [0,1], граница которого состоит из точек, орбиты которых имеют более одного представителя в "D".
Стягиваемое пространство
Стягиваемы formula_13-мерное вещественное пространство formula_14, любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — formula_13-мерный шар.
Криволинейная система координат
Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты, — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты не противопоставляются "прямолинейным", последние являются частным случаем первых. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n.
Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.