균등 비압축성 오일러 방정식
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 뷔르거르스 방정식()이라고 하며, 다음과 같다.
이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 formula_17는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_134는 formula_17의 초기 조건인 임의의 formula_136 함수이다.
오일러 변환
우선 수열 formula_9 에 이항 변환을 적용하여 formula_10을 구하면,
이 된다.(이는 재귀 관계를 조금만 생각해보면 명백하다. 파스칼 삼각형과 유사한 도식을 그리고, 맨 왼쪽 변과 그 바로 오른쪽 줄을 고려하면 된다) 따라서, formula_1 의 오일러 변환은,
이 되고, 맨 우변의 식은 물론 formula_18 가 된다.