균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
오일러의 곱셈 공식
일반적으로, 다음과 같은 형태의 디리클레 급수가 있다고 하자.
여기서 formula_2는 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 이 급수는 다음과 같이 쓰일 수 있다.
여기서 formula_4는 다음 급수가 된다.
이는 산술의 기본 정리 때문에 성립하는 것이다. 특히, formula_2이 완전 곱셈적(totally multiplicative)일 경우 formula_4는 무한등비급수(geometric series)가 되므로 다음 등식이 성립하게 된다.
리만 제타 함수의 경우 formula_9이 된다.