균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
평면의 결정군
오비폴드가 평면전체를 채우기 위하여 대칭으로 복제할 때,그것의 모양은 오일러 표수에 모순이 없는 꼭짓점, 모서리, 그리고 다각형 면의 구조를 이룬다. 그 과정을 역으로 하면, 우리는 오비폴드의 모양에 전체번호는 아니지만 부분적으로 번호를 매길 수 있다. 오비폴드 그 자체는 대칭군에 의한 전체 표면의 비율이므로, 오비폴드 오일러 표수는 대칭군의 순서에 의한 표면 오일러 표수의 비율이다. 오비폴드 오일러 표수는 2 빼기 다음수의 합이다, 그 합은 다음과 같이 계산된다.벽지군의 오일러 표수는 0이어야 한다. 따라서 위의 합은 2가 되어야 한다.