균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
평면의 결정군
이제 모든 벽지군을 찾는 문제가 앞서 설명한 값들의 합을 구하는 간단한 덧셈으로 바뀌었다. 이외의 값은 평면의 타일링이 아니므로 여기서 다루지 않는다. 오비폴드 오일러 표수가 음수인 경우는 초월적, 오비폴드 오일러 표수가 양수인 경우는 구면적이라 한다.