균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
소수의 역수의 합의 발산성
먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.
오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.
여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다.