균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
균등 비압축성 오일러 방정식
그렇다면, 여기에는 formula_60 위의 양의 정부호 쌍선형 형식
으로부터 자연스러운 이차 형식
을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.
여기서
구체적으로, 이 방정식은 formula_95에 정의된다. 이를 formula_96 위에 제약()을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, formula_97인 임의의 1차 미분 형식 formula_89에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_100은 formula_17의 제약을 위한 보정항이다.