균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
균등 비압축성 오일러 방정식
마찬가지로, 만약 formula_14이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 formula_114이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 formula_107 및 임의의 다항식 formula_116에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
이 역시 마찬가지로 실수 값 함수
를 정의한다.