균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
유클리드의 정리
레온하르트 오일러는 유클리드의 정리를 조화 급수를 사용하여 다음과 같이 증명하였다. 산술의 기본 정리에 따라, 모든 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 가지므로, 분배 법칙을 사용하여 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.
우변은 조화급수이며, 이는 발산한다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 좌변은 유한한 수들의 곱이므로, 만약 formula_1가 유한 집합이라고 하면 좌변은 유한하게 되고, 등식이 성립할 수 없다. 따라서, formula_1는 무한 집합이다.