균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
오일러의 다면체 정리
위의 식에서 formula_5는 오일러 지표라고 하는데, 구면과 동상인 3차원 도형의 경우에는 항상 2로 나타나지만, 2차원의 도형, 즉, 평면도형인 경우에는 오일러 지표는 2가 아닌 1이 되며, 원의 경우는 0, 원판의 경우는 1이 된다. 이 정리는 위상수학의 기본개념이 된다.