대수학
대수학이란 용어는 학생 또는 전문 수학자에 따라, 다음 2가지 중 하나의 의미를 가진다. 학교 대수는 중학교와 고등학교에서 배우는 대수를 말하는 것으로, "산술"이라고도 하며, 문자를 이용해 수의 관계, 수의 법칙등을 연구하는 학문이며, 방정식이나 함수, 그래프등이 포함된다. 그러나 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이, 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구와 관련해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.
대수기하학
역으로, 대수적 집합 formula_38가 주어졌을 때 이로부터 formula_39가 되는 집합 formula_28를 찾아내는 문제를 생각해 보자. formula_38가 임의의 formula_15의 부분집합일 때, formula_43를 영점이 formula_38를 포함하는 다항식들의 집합으로 정의한다. 여기에서 formula_45는 ideal(아이디얼)의 첫 글자이다. 다항식 formula_46와 formula_47가 formula_38에서 0이 될 경우, formula_49도 formula_38에서 0이 되며, 임의의 다항식 formula_51에 대해 formula_52도 formula_38에서 0이 되므로, formula_43는 언제나 formula_27의 아이디얼이 되기 때문이다.