균등 비압축성 오일러 방정식
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 뷔르거르스 방정식()이라고 하며, 다음과 같다.
이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 formula_17는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_134는 formula_17의 초기 조건인 임의의 formula_136 함수이다.
소수의 역수의 합의 발산성
먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.
오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.
여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다.