미적분학
급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.
급수는 유한 급수와 무한급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.formula_258
번분수
번분수의 분자나 분모 역시 번분수일 수 있다. 유한 연분수는 번분수의 특수한 경우이다. 유한 연분수 formula_5는 다음과 같이 정의된다.
예를 들어 다음과 같은 번분수는 연분수이다. 가장 안쪽의 번분수부터 차례대로 정리하여 일반적인 분수 꼴이 되게 할 수 있다.
무한 연분수 formula_9는 이를 확장한 개념이며, 다음과 같이 극한으로 정의된다.
예를 들어, formula_11를 취하면, 황금비의 연분수 표현을 얻는다. 이는 (1, 1, 1, ...)을 유한 연분수의 정의에 대입한 뒤 극한을 취하면, 이 무한 연분수가 방정식 formula_12의 양의 실수 해임을 알 수 있기 때문이다.