균등 비압축성 오일러 방정식
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 뷔르거르스 방정식()이라고 하며, 다음과 같다.
이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 formula_17는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_134는 formula_17의 초기 조건인 임의의 formula_136 함수이다.
유클리드의 정리
레온하르트 오일러는 유클리드의 정리를 조화 급수를 사용하여 다음과 같이 증명하였다. 산술의 기본 정리에 따라, 모든 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 가지므로, 분배 법칙을 사용하여 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.
우변은 조화급수이며, 이는 발산한다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 좌변은 유한한 수들의 곱이므로, 만약 formula_1가 유한 집합이라고 하면 좌변은 유한하게 되고, 등식이 성립할 수 없다. 따라서, formula_1는 무한 집합이다.