대수학
대수학이란 용어는 학생 또는 전문 수학자에 따라, 다음 2가지 중 하나의 의미를 가진다. 학교 대수는 중학교와 고등학교에서 배우는 대수를 말하는 것으로, "산술"이라고도 하며, 문자를 이용해 수의 관계, 수의 법칙등을 연구하는 학문이며, 방정식이나 함수, 그래프등이 포함된다. 그러나 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이, 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구와 관련해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.
콰리즈미
대수학은 알콰리즈미의 가장 중요한 업적이다. 대수학에서 알콰리즈미의 가장 큰 업적은 복원과 대비의 계산(‘al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala)이라는 책의 출판이다. 이 책은 최대 이차까지의 다항식에서 양수인 해를 구하는 계산 방법을 제시하고 있다. 즉, 이차방정식 및 여러 다른 문제들을 푸는 방법들을 취합해놓은 편집물로서 현대 대수학의 시초로 여겨진다. 이 책은 12세기 중반에 라틴어로 번역되었는데, 그 책 제목에서 현재의 대수학라는 용어가 유래했다. 또한, 이 책에 나오는 여러가지 문제 풀이 방법을 제시한 사람들에 대한 언급이 없어 누가 어떤 내용을 연구했는지에 대한 내용이 잘 알려져 있지 않다. 그리고 현대의 수학 역사학자들은 이 내용들이 다른 책들은 분석한 내용과 동시대의 이슬람 세계에 퍼져있던 인도-아라비아 숫자 체계에 기반한 수학적 지식들을 취합한 것이라는 의견을 내놓았다. 그리고 이 책은 이차방정식을 여섯 가지 기본적인 타입으로 나누고 있는데, 각각을 풀기 위한 대수적이고 기하학적인 방법을 제시하고 있다. 여섯 가지 타입의 2차식은 다음과 같다:
(현대수학에서는 제곱이 x, 근은 x, 숫자는 일상적으로 사용되는 숫자를 의미한다.)