균등 비압축성 오일러 방정식
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
수학적 미
어느 결과가 심원한 통찰에 의할 것인지 어떤지라는 것에 대하여 일반적인 동의를 얻는 것은 어렵지만, 몇 개의 예가 자주 인용된다. 그 하나는 오일러의 등식,
이며, 일견 무관계하다고 생각되고 있던 네이피어 상수 (자연대수의 바닥) e, 허수 단위 i, 원주율 π의 사이에 곱셈 단위원의 1와 곱셈령원 (가법 단위원)의 0만을 이용한 단순한 관계를 주었다.
미국의 물리학자 리처드 파인만은 이 등식을 '수학에서 가장 특필해야 할 식' ("The most remarkable formula in mathematics")으로 칭했다.