미적분학
급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.
급수는 유한 급수와 무한급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.formula_258
비 해석적 매끄러운 함수
위에서 정의한 매끄러운 전이 함수 g를 사용하여 정의 하면ː
이 함수 "h"역시 매끄럽다; 이 함수는 닫힌 구간 [−1,1]에서는 1이고 열린 구간 (−2,2)의 외부에서는 사라진다. "h"를 사용하여 0을 포함한 모든 자연수에 대하여 매끄러운 함수를 정의한다ː
이는 구간 [−1,1]에서 단항식 "x"과 일치하고 구간 (−2,2) 외부에서는 사라진다. 따라서 원점에서 "ψ"의 "k"차 미분계수는 다음을 만족한다
그리고 최대 최소 정리는 "ψ"과 "ψ"의 모든 도함수들이 유계함수라는 것을 내포한다. 따라서 상수
of "ψ"의 균등 수렴 위상과 그것의 첫번째 "n" 도함수를 포함해서 잘 정의된 실수이다. 크기를 조절한 함수를 정의한다ː
연쇄 법칙을 반복적으로 적용한다
이전에 계산한 0에서 "ψ"의 "k"차 미분계수를 사용하면
우리가 구하고자 하는 함수는 다음과 같다ː
이것은 잘 정의되어 있고, 순차적으로 무한히 미분할 수 있다. 이를 위해 모든 "k"에 대해서 보자
남은 무한급수는 비판정법에 의해 수렴한다