代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、"x", "y" を実変数として ""x" + "ay" − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R の中の集合は "a" の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
概型
ピエール・ドリーニュ (Pierre Deligne) やデヴィッド・マンフォード (David Mumford) や (Michael Artin) による、本来はモジュライ問題であるやでのその後の仕事により、さらに現代代数幾何学の幾何学的柔軟性を拡大していった。グロタンディークは、スキームの一般化として、環付きトポスのあるタイプを提唱し、環付きトポスの次に彼が提唱したは、M.ハキム (M. Hakim) により開発された。最近のやホモトピックなは、さらに幾何学的直感の到達範囲を拡大する必要があり、ホモトピー理論に近い精神を代数幾何学へもたらす。