代数幾何学
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
代数曲面
代数曲面の理論は、代数曲線（コンパクトリーマン面で、実次元が 2 の純粋な曲面）と比較して非常に複雑である。しかしながら、およそ 100年前の(Italian school of algebraic geometry)以来、多くの結果が得られている。