代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、"x", "y" を実変数として ""x" + "ay" − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R の中の集合は "a" の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
アーベル–ルフィニの定理
代数方程式の可解性について初めて考察を加えたのはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュである。それ以前は三次、四次の解法について散発的な新証明が見つかるばかりで、五次以上の方程式については全く分かっていなかった。代数学の基本定理により、五次以上の方程式にも次数と等しいだけの根があること自体は明らかであったので、五次方程式は「解けるに違いないが非常に難しい問題」と捉えられていた。