代数学
ペルシャの数学者ウマル・ハイヤームは代数幾何学の創始者とされており、三次方程式の一般解を見出したことで知られる。同じくペルシャの数学者は様々な三次方程式の代数解や数値解を求めた。彼は関数の概念も生み出した。インドの数学者マハーヴィーラとバースカラ2世、ペルシャの数学者、中国の数学者朱世傑は、三次、四次、五次などの高次多項式方程式を数値的手法で解いた。13世紀にはフィボナッチの三次方程式の解法に代表されるように、ヨーロッパにおける代数学の復興がなされた。一方でイスラム世界では数学が衰退し、それと入れ替わるようにヨーロッパで数学が盛んになっていった。その後、代数学はヨーロッパを中心として発展していった。
環論
より詳細には、ウィリアム・ローワン・ハミルトンが四元数および複四元数 を発見し、ジェームズ・クックルがテッサリン および双対四元数 を提案し、ウィリアム・キングドン・クリフォードは「代数的運動子」(algebraic motors) と彼自身は呼んだ分解型複四元数を熱狂的に信奉した。これらの非可換環および非結合的リー環は、かつてはそれぞれ特定の数学的構造として別々の主題として扱われたけれども、普遍代数学のもとで一貫した研究が進められた。こうした再編の証の一つは、これらの代数的構造を記述するのに、直和分解を考えるのが有効なことである。