代数学
ペルシャの数学者ウマル・ハイヤームは代数幾何学の創始者とされており、三次方程式の一般解を見出したことで知られる。同じくペルシャの数学者は様々な三次方程式の代数解や数値解を求めた。彼は関数の概念も生み出した。インドの数学者マハーヴィーラとバースカラ2世、ペルシャの数学者、中国の数学者朱世傑は、三次、四次、五次などの高次多項式方程式を数値的手法で解いた。13世紀にはフィボナッチの三次方程式の解法に代表されるように、ヨーロッパにおける代数学の復興がなされた。一方でイスラム世界では数学が衰退し、それと入れ替わるようにヨーロッパで数学が盛んになっていった。その後、代数学はヨーロッパを中心として発展していった。
数学の哲学
形式主義を唱えた初期の最も有名な人物はダフィット・ヒルベルトであった。ヒルベルトのプログラムとは、数学全体を完全かつな仕方で公理化しようとするものであった。ここで無矛盾とは、体系上いかなる矛盾も生じないということである。ヒルベルトは、「有限算術」（通常の算術の下位体系で、自然数について哲学的に議論しようもないよう選ばれたもの）は無矛盾であるという仮定条件のもとで、数学の体系的無矛盾性を示そうとしたのである。しかし、完全かつ無矛盾な数学体系を作りだそうというヒルベルトの目標は、ゲーデルの第2不完全性定理によって完全に潰えた。不完全性定理によれば、十分な表現力を持つ無矛盾な公理体系は自身の無矛盾性を決して証明できないからである。このような公理体系はかならず有限算術を下位体系として含むことになるから、ゲーデルの定理は、有限算術に関する体系の無矛盾性が証明不可能であることも含意している（自己の無矛盾性を証明することになるが、ゲーデルによってそれが不可能であることが証明されている）。それゆえ、無矛盾であると証明しようとしている体系よりもある意味で強力な無矛盾性を数学体系が備えているのだということをまず前提しておかなければ、数学のどんな公理体系も実際に無矛盾であることを示すことはできないことになる。
初期のヒルベルトは演繹主義者であったが、上記のように、メタ数学的方法が本質的に有意味な結果を生み出すと考え、有限算術に関して実在論の立場に立っていた。後年には、どんな解釈を取ろうとも有意味な数学は他に一切ありえないという見解をもつようになった。
ルドルフ・カルナップ、アルフレト・タルスキ、ハスケル・カリーら他の形式主義者たちは、数学とは形式公理系の研究のことであると考えた。数理論理学者は形式体系を研究しているが、形式主義の立場に立つ研究者も実在論の立場に立つ研究者も同程度にいる。
形式主義の信奉者は、論理学や非標準的数系、新しい集合論などといった新たなアプローチに対して比較的寛容であり、これらのアプローチを推進している。われわれが研究するゲームが多ければ多くほどよい。もっとも、例に挙げたこの3つのアプローチの動機づけになっているのは、すべて現在の数学的ないし哲学的関心である。「ゲーム」は通常恣意的なものではないのである。
形式主義に対する主要な批判は、数学者たちの念頭にある現在の数学的概念は、前述した記号列操作ゲームとは縁もゆかりもないということである。例えば形式主義はどんな公理系を研究すべきかという問いに対しては沈黙する。形式主義的観点からはどの公理系も同等に有意味だからである。
近年では、形式主義の立場に立つ数学者たちの中には、われわれの「形式的」な数学知識のすべてをコンピュータ読み取り可能な形態で体系的にコード化することを提案した者たちもいる。これによって数学的証明の自動検証が容易に行えるようになり、数学理論とコンピュータ・ソフトウェアの発展のために双方向定理証明を用いることができるようになるというのである。 この考え方はコンピュータサイエンスと密接に結びついているので、「計算可能性」研究の流れのもとで数学的直観主義と数学的構築主義を擁護することにもなった（後述）。概略はQEDプロジェクトを参照。
数学における直観主義とは、「非経験的な数学的真理はありえない」（L・E・J・ブラウワー）をモットーとする方法論的改革のプログラムである。直観主義の信奉者はこのモットーを出発点に、彼らが矯正可能であると考えた数学の一部分について、存在、生成、直観、知識といったカント的概念に従って再構築しようとした。運動の創始者であるブラウワーは、数学的対象は「アプリオリ」な形式の意思作用から生じるのであり、この意思作用が経験的対象の知覚を活気づけるのだとした（CDP, 542）。
レオポルト・クロネッカーは「自然数は神に由来し、他のすべては人間の産物である」と述べている。直観主義擁護派の主要人物は、いかなる種類の形式化された論理学も数学にとって有益でないとしたブラウワーであった。彼の学生であったアレン・ハイティングは直観論理を定式化した。これは、古典的なアリストテレス論理学とは異なるものである。直観論理は排中律を含まず、従って背理法を認めない。また直観主義的集合論の多くにおいては、若干の例外を除いて選択公理も斥けられている。直観主義に基づいて後年行われた重要な研究としてはエレット・ビショップによるものがある。ビショップは実解析の主要公理を直観主義的観点から定義し直し、その証明を行おうとした。
直観主義の「明白な構成」という用語の定義は曖昧であり、批判を浴びた。この欠陥を補うため チューリングマシーンや計算可能関数といった概念を用いることが試みられ、有限なアルゴリズムのふるまいに関する問題だけが有意味であり、数学的研究の対象であるべきであるといった主張がなされた。アラン・チューリングによって提案された計算可能数の研究も行われた。従って、直観主義のアプローチがしばしばコンピュータサイエンスの理論と結びついているのも不思議なことではない。