代数学
ペルシャの数学者ウマル・ハイヤームは代数幾何学の創始者とされており、三次方程式の一般解を見出したことで知られる。同じくペルシャの数学者は様々な三次方程式の代数解や数値解を求めた。彼は関数の概念も生み出した。インドの数学者マハーヴィーラとバースカラ2世、ペルシャの数学者、中国の数学者朱世傑は、三次、四次、五次などの高次多項式方程式を数値的手法で解いた。13世紀にはフィボナッチの三次方程式の解法に代表されるように、ヨーロッパにおける代数学の復興がなされた。一方でイスラム世界では数学が衰退し、それと入れ替わるようにヨーロッパで数学が盛んになっていった。その後、代数学はヨーロッパを中心として発展していった。
可微分多様体
はっきりした分野としての微分幾何学の出現は一般にカール・フリードリヒ・ガウスとベルンハルト・リーマンによるものとされている。リーマンはゲッティンゲン大学の有名な教授就任講演で初めて多様体を記述した。彼は多様体のアイデアを与えられた対象を新しい方向に変える直観的な過程によって動機付け、続くフォーマルな発展において座標系とチャートの役割を先見の明を持って記述した：