代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、"x", "y" を実変数として ""x" + "ay" − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R の中の集合は "a" の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
代数学の基本定理
1799年にカール・フリードリヒ・ガウスが学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の完全な証明を与えた。後年ガウスはこの定理に3つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。