代数学
ペルシャの数学者ウマル・ハイヤームは代数幾何学の創始者とされており、三次方程式の一般解を見出したことで知られる。同じくペルシャの数学者は様々な三次方程式の代数解や数値解を求めた。彼は関数の概念も生み出した。インドの数学者マハーヴィーラとバースカラ2世、ペルシャの数学者、中国の数学者朱世傑は、三次、四次、五次などの高次多項式方程式を数値的手法で解いた。13世紀にはフィボナッチの三次方程式の解法に代表されるように、ヨーロッパにおける代数学の復興がなされた。一方でイスラム世界では数学が衰退し、それと入れ替わるようにヨーロッパで数学が盛んになっていった。その後、代数学はヨーロッパを中心として発展していった。
理論
ユークリッド幾何学を確立した古代ギリシアの数学者であるエウクレイデスは『原論』においてまず点と線についての定義を示し、これらの概念を用いて自明であるとされる五つの公理系をも示す。そしてその公理系に従って500もの仮説を証明して定理を導き出した。こうして構築されたユークリッド幾何学は現在でも完成された数学理論として高く評価されている。ただしこのような理論は演繹的な方法論により構築された理論であり、帰納的な方法論によって導き出されたものであってもその論理性が認められれば妥当である。例えば、政治学や社会学、生物学や実験物理学など帰納的または統計学的な手法に基づいた自然科学的または社会科学的な理論は数多い。