代数幾何学
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
ベクトル空間
1857年にアーサー・ケイリーは、線型写像とよく馴染み記述を簡素化できる、行列記法を導入した。同じ頃、ヘルマン・グラスマンはメビウスの「重心計算」() を研究していて、算法を伴う抽象的対象の成す集合を構想していた。グラスマンの研究には、線型独立性や次元あるいはスカラー積などの概念が含まれている。実際、グラスマンは1844年に、考案した乗法を以ってベクトル空間の枠組みを推し進め、今日では「多元環」と呼ばれる概念に到達している。ジュゼッペ・ペアノはベクトル空間と線型写像の現代的な定義を与えた最初の人で、それは1888年のことである。