代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、"x", "y" を実変数として ""x" + "ay" − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R の中の集合は "a" の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
代数曲面
曲面のリーマン・ロッホの定理 は最初に、(Max Noether)により定式化された。曲面の上の曲線の族は、ある意味で分類することができ、豊かな興味深い幾何学をもたらす。