代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、"x", "y" を実変数として ""x" + "ay" − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R の中の集合は "a" の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
ジョヴァンニ・ジェローラモ・サッケーリ
サッケーリが自分の論文の中で鋭角仮定から導き出した定理は19世紀にドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウス、ロシアのニコライ・ロバチェフスキーやハンガリーのボーヤイ・ヤーノシュによって再発見され双曲幾何学の定理として認識されるようになる。サッケーリと彼らの大きな違いはサッケーリがユークリッド幾何の完全性を信じ、それに反する公理から導き出されたこれらの定理を反証されるべき誤った定理と考えていたのに対し、ガウスらは鋭角仮定を含む5つの公準から導かれたユークリッド幾何学とはまた別の新しい幾何学の定理と認識していたことである。サッケーリがこれらの定理を新しい幾何学の定理と考えて書いていたら彼が非ユークリッド幾何学の創始者と言われていたことだろう。当時はサッケーリのようにこのようなユークリッド幾何学の絶対性を信じていた者がほとんどであった。これはちょうど同じ時代を生きたドイツのイマヌエル・カントの啓蒙思想にも反映されており、彼の認識論では人間には外部からの情報によって創り上げられる概念とは別に絶対的な真理として空間と時間の概念をすでに持っているということがいわれている。この考えは長らく人々に支持され続け、ロバチェフスキーやボーヤイ、それにもう一つの非ユークリッド幾何学である楕円幾何学を考案しガウスの微分幾何学を使って楕円幾何学と双曲幾何学とを曲率に関係付けまとめたリーマン幾何学の創始者であるベルンハルト・リーマンらの業績が認められるのに大きな障壁ともなった。