代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、"x", "y" を実変数として ""x" + "ay" − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R の中の集合は "a" の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
行列式
ヨーロッパにおいても、行列式の理論は日本の場合と同じく（一次ではなく）高次の代数方程式の変数消去の研究のために発展した。1748年にマクローリンの（死後に刊行された）代数学の著作において4つの未知数に関する4つの方程式の系の解が正しい形で述べられ、行列式の研究が再開されることになった。1750年にクラメルは（証明抜きで）N個の変数に関するN個の方程式からなる方程式の解を求める規則を定式化した。この行列式の計算方法は順列の符号にもとづく繊細なものだった。