Geometri
Geometri (Yunani Kuno: γεωμετρία, geo-"bumi",-metron "pengukuran") adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran, posisi relatif gambar, dan sifat ruang. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebut ahli ilmu ukur. Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume, dengan unsur-unsur dari ilmu matematika formal yang muncul di Barat sedini Thales (abad 6 SM). Pada abad ke-3 SM geometri dimasukkan ke dalam bentuk aksiomatik oleh Euclid, yang dibantu oleh geometri Euclid, menjadi standar selama berabad-abad. Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan isi, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern. Bidang astronomi, terutama memetakan posisi bintang dan planet pada falak dan menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit, menjabat sebagai sumber penting masalah geometrik selama satu berikutnya dan setengah milenium. Kedua geometri dan astronomi dianggap di dunia klasik untuk menjadi bagian dari Quadrivium tersebut, subset dari tujuh seni liberal dianggap penting untuk warga negara bebas untuk menguasai.
Geometri diferensial
Geometri Riemannian mengkaji lipatan Riemannian, lipatan mulus dengan "metrik Riemannian". Ini adalah sebuah konsep tentang jarak yang disajikan dalam artian bentuk bilinear simetris definit positif mulus yang terdefinisi pada ruang tangen pada tiap-tiap titik. Geometri Riemannian memperumum geometri euklides kepada ruang-ruang yang tidak harus datar/rata (flat), meskipun mereka masih menyerupai ruang euklides pada tiap-tiap titik secara infinitesimal, yaitu dalam hampiran orde satu. Berbagai konsep yang didasarkan pada panjang, seperti panjang lengkungan suatu kurva, luas suatu bidang, dan volume suatu padatan; semuanya memiliki analogi natural dalam geometri Riemannian. Gagasan tentang turunan berarah suatu fungsi dari kalkulus peubah banyak diperluas dalam geometri Riemannian menjadi gagasan turunan kovarian suatu tensor. Ada banyak konsep dan teknik analisis dan persamaan diferensial yang telah diperumum untuk berurusan dengan lipatan Riemannian.