apakah karya terbesar Archimedes untuk bidang matematika?
Pierre de Fermat
Pierre di Fermat meninggal pada tahun 1665. Dewasa ini kita mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2.
Abstraksi (matematika)
Abstraksi adalah proses yang sinambung di dalam matematika dan pengembangan bersejarah dari banyak topik matematika yang memamerkan kemajuan dari hal yang konkret ke hal yang abstrak. Sebagai contoh, pengembangan bernilai sejarah dari geometri adalah; langkah pertama di dalam abstraksi geometri dibuat oleh orang Yunani kuno, dengan Elemen Euklides menjadi dokumentasi terdini dari aksioma-aksioma geometri bidang—meskipun Proclus berpendapat bahwa aksiomatisasi yang lebih dini dilakukan oleh Hippocrates dari Chios. Pada abad ke-17, Descartes memperkenalkan koordinat Kartesian yang mengikuti pengembangan geometri analitis. Langkah-langkah yang lebih jauh mengenai abstraksi dilakukan oleh Lobachevsky, Bolyai, Riemann, dan Gauss yang memperumum konsep-konsep geometri untuk mengembangkan Geometri non-Euclid. Kemudian pada abad ke-19, para matematikawan memperumum geometri lebih luas lagi, mengembangkan wilayah-wilayah itu sebagai geometri pada dimensi "n", geometri projektif, geometri afin, dan geometri hingga. Akhirnya "Program Erlangen" karya Felix Klein mengidentifikasi tema-tema geometri ini, medefinisikan tiap-tiap mereka sebagai penelaahan sifat-sifat invarian di bawah grup-grup simetri yang diberikan. Jenjang abstraksi ini menyibak keterkaitan yang mendalam di antara geometri dan aljabar abstrak.
Konjektur
Teorema ini pertama kali diungkapkan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637 di bagian tepi salinan "Arithmetica" dimana dia mengklaim bahwa ia memiliki bukti yang terlalu panjang untuk dituliskan di bagian pinggir tulisan itu. Pembuktian pertama yang paling berhasil diumumkan pada tahun 1994 oleh Andrew Wiles, dan dipublikasikan secara formal pada tahun 1995, setelah 358 tahun para matematikawan berusaha memecahkannya. Masalah yang belum terpecahkan ini mendukung perkembangan teori bilangan aljabar pada abad ke-19 dan pembuktian teorema modularitas pada abad ke-20. Teorema ini adalah salah satu teorema paling penting dalam sejarah matematika dan sebelum berhasil dibuktikan, teorema ini tercatat di "Guinness Book of World Records" untuk "problema matematika paling sulit".
Matematika dan arsitektur
Matematika dan arsitektur saling terkait seperti halnya seni lainnya, arsitek menggunakan matematika untuk beberapa alasan. Selain matematika yang dibutuhkan dalam teknik bangunan, para arsitek menggunakan geometri untuk menentukan bentuk ruang bangunan. Dari Pythagoras di abad ke-6 SM, hingga seterusnya; menciptakan bentuk-bentuk yang dianggap harmonis, dalam menyusun bangunan dan lingkungannya yang sesuai dengan prinsip matematika, estetika dan kadang-kadang juga aspek-aspek religius. Menghiasi bangunan dengan benda-benda matematis seperti tesselasi; dan memenuhi fungsi lingkungan, seperti meminimalkan kecepatan angin di sekitar basis bangunan tinggi.
Matematika Yunani
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmetika, buku karangan pertama tentang sistem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmetika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama. Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, Aljabar, dan Geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi. Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.
Matematika Yunani
Tokoh-tokoh terkenal di dalam matematika Yunani di antaranya Pythagoras, seorang tokoh buram dari pulau kecil, Samos sebagian berserikat dengan kemistikan bilangan dan numerologi, tetapi lebih terkenal melalui teorema yang dihasilkannya, Teorema Pythagoras, dan Euklides, yang dikenal melalui bukunya "Elemen Euklides", sebuah tulisan rujukan geometri selama berabad-abad.
Manava
Manava pasti bukan seorang matematikawan dalam arti bahwa kita akan memahaminya hari ini. Ia juga bukan juru tulis yang hanya menyalin manuskrip seperti Ahmes. Ia pasti akan menjadi orang yang sangat banyak belajar tapi mungkin tidak tertarik dengan matematika untuk kepentingannya sendiri, hanya tertarik menggunakannya untuk tujuan keagamaan. Tidak diragukan lagi ia menulis "Sulbasutra" untuk menyediakan peraturan bagi ritus keagamaan dan akan muncul kepastian bahwa Manava sendiri adalah seorang imam Vedisme.
Matematika Yunani
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Juga menemukan perhitungan π ("pi") dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga karya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.
0,999...
Beberapa pembuktian 0,999… = 1 bergantung pada sifat-sifat Archimedes bilangan real standar, yakni tidaklah ada bilangan kecil tak hingga (infinitesimal) bukan nol. Terdapat struktur aljabar yang tidak mengikuti sifat Archimedes, meliputi berbagai alternatif real standar. Arti 0,999… bergantung pada struktur mana yang kita gunakan. Sebagai contoh, bilangan dual memasukkan sebuah unsur kecil tak terhingga baru ε, yang beranalogi dengan satuan imajiner "i" dalam bilangan kompleks, kecuali bahwa ε² = 0. Struktur ini sangat berguna dalam diferensiasi automatik. Bilangan dual dapat diberikan urutan leksikografis, sehingga perkalian ε menjadi unsur non-Archimedes. Namun, sebagai perluasan bilangan real, bilangan dual masih memiliki identitas 0,999…=1. Selain itu, manakala ε terdapat dalam bilangan dual, begitu pula dengan ε/2, sehingga ε bukanlah "bilangan dual positif paling kecil yang memungkinkan". Dalam bilangan real, tidak terdapat bilangan seperti itu.
Matematika ekonomi
Matematisasi ekonomi mulai digalakkan pada abad ke-19. Sebagian besar analisis ekonomi dari waktu yang kemudian akan disebut ekonomi klasik. Mata pelajaran yang dibahas dan dibagikan dengan melalui aljabar, kalkulus tidak digunakan. Lebih penting lagi, sampai "Terisolasi Negara" karya Johann Heinrich von Thünen pada tahun 1826, ekonom tidak berkembang eksplisit dan abstrak model untuk perilaku dalam rangka untuk menerapkan alat-alat matematika. Thünen model penggunaan lahan pertanian merupakan contoh pertama dari analisis marginal. Thünen pekerjaan sebagian besar teoretis, tetapi ia juga ditambang data empiris dalam rangka upaya untuk mendukung generalisasi. Dibandingkan dengan orang-orang sezamannya, Thünen membangun model ekonomi dan alat-alat, daripada menerapkan alat-alat sebelumnya untuk masalah-masalah baru.
Vitruvius
Vitruvius memberi kita kisah terkenal tentang Archimedes dan deteksi oplosan emas di royal crown. Ketika Archimedes menyadari bahwa volume mahkota dapat diukur dengan tepat oleh perpindahan yang ada di dalam bak air, dia berlari ke jalan dengan teriakan" Eureka!," dan penemuan yang memungkinkan dia untuk membandingkan kepadatan mahkota dengan emas murni. Dia menunjukkan bahwa mahkota yang telah dicampur dengan perak, dan raja tertipu.
Matematika
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.
Bilangan riil
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik
Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.. Misalkan "x","y" dan "z" merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi "x+y" merupakan penjumlahan, serta "xy" merupakan perkalian. Maka:Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.
Archibald Hill
Guru besar fisiologi di Universitas Manchester (1920-1923) dan University College, London (1923-1925), ia menjabat sebagai guru besar riset Foulerton Royal Society dari 1926 sampai pengunduran dirinya pada 1951. Karya tulisnya termasuk Aktivitas Otot (1926), Gerakan Otot pada Manusia (1927), dan Mesin Kehidupan (1927). Hill juga menurunkan lambing matematika-dikenal sebagai "persamaan Hill".
Hipparkhos
Hipparkhos dilahirkan di Nicea (sekarang Iznik, Turki), dan kemungkinan meninggal di Pulau Rhodes. Hipparkhos dianggap sebagai astronom terbesar pada era klasik. Dia adalah orang pertama yang membangun model akurat dan kuantitatif gerakan Matahari dan Bulan. Untuk perkerjaan ini ia menggunakan hasil pengamatan dan pengetahuan yang telah dikumpulkan selama berabad-abad oleh bangsa Chaldea dari Babylonia. Ia juga yang pertama mengompilasi tabel trigonometri, yang membuatnya dapat memecahkan masalah-masalah segitiga. Dengan teori Matahari dan bulan dan trigonometri numerik miliknya, ia berhasil membangun metode dalam memperkirakan gerhana Matahari. Pencapaiannya yang lain termasuk penemuan presesi, kompilasi katalog bintang yang pertama, dan kemungkinan, pencipta astrolabe. Claudius Ptolemaeus, tiga abad kemudian sangat bergantung pada pekerjaan Hipparkhos. Risalah astronomi Ptolemaeus ini selanjutnya malah menggantikan karya-karya Hipparkhos. Meskipun Hipparkhos menulis setidaknya 14 buku, hanya komentarnya pada puisi astronomis populer karya Aratus yang terselamatkan oleh para penyalin masa itu. Konsekuensinya kita hanya tahu sedikit mengenai kehidupan dan karya Hipparkhos.
Kalkulus
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
René Descartes
Meski paling dikenal karena karya-karya filosofinya, dia juga telah terkenal sebagai pencipta sistem koordinat Kartesius, yang memengaruhi perkembangan kalkulus modern.
Teorema Heron
Formulasi Heron mungkin telah dikenal sebelumnya oleh Archimedes, yang mungkin membuktikan hal itu, tetapi catatan terawal adalah dari tulisan Heron dari Iskandariah, "Metrica". Heron dijelaskan sebagai ahli matematika yang bukan-klasik. Dia lebih melibatkan terkait pemaktrikan matematika dari teori dan layanan matematika sebagai suatu sains dan kesenian. Jadi, dia juga dikatakan sebagai pencipta sejenis mesin uap, berbagai mainan, sebuah mesin api yang memompa air, sebuah api altar yang menyala lalu menyebabkan pintu kuil terbuka, sebuah organ tiup, dan berbagai alat mekanik lain berbasis sifat cairan dan peraturan pada mekanik mudah.
Keketatan matematika
Keketatan matematika sering dimaksudkan sebagai standar emas pembuktian matematika. Keketatan matematika memiliki sejarah surut sampai Matematika Yunani, tepatnya di dalam karya Euklides. Kekakuan matematika merujuk pada metode aksioma. Keketatan yang lengkap, begitulah yang sering dikatakan, hadir di dalam matematika sejak permulaan abad ke-20.
Alfred North Whitehead
Tidak banyak yang diketahui tentang sumbangsih dari Whitehead. Yang dikenal dari Whitehead justru adalah karya kolaborasi bersama Bertrand Russell. Karya-karya matematika pra-kolaborasi banyak berisik rangkuman karya-karya matematikawan Inggris.
Algoritme Gauss-Newton
Di dalam Ilmu Matematika, algoritme Gauss-Newton digunakan untuk memecahkan masalah-masalah kuadrat terkecil. Algoritme ini merupakan sebuah modifikasi dari metode Newton untuk mengoptimalkan sebuah fungsi. Tidak seperti metode Newton, algoritme Gauss-Newton hanya bisa digunakan untuk mengoptimumkan jumlah dari nilai fungsi kuadrat.
Metode ini merupakan kemahsyuran dari matematikawan Carl Friedrich Gauss.
Michael Artin
Pada awal 1960-an, Artin bekerja di IHÉS di Perancis. Ia turut berkontribusi dalam Séminaire de géométrie algébrique volume SGA4 di bidang teori topos dan kohomologi étale. Karyanya dalam masalah karakterisasi fungtor terwakilkan di kategori skema menjadi awal dari kemunculan teorema aproksimasi Artin di aljabar lokal. Karya tersebut juga melahirkan pemikiran ruang aljabar dan tumpukan aljabar, dan terbukti sangat memengaruhi teori moduli. Selain itu, ia berkontribusi pada teori deformasi variasi aljabar. Ia sedang meneliti cincin nonkomutatif, termasuk aspek-aspek geometrinya.
A Mathematician's Apology
Karena Hardy ateis, dia mengajukan pembenarannya bukan kepada Tuhan tetapi kepada sesama manusia. Salah satu tema buku ini adalah keindahan yang dimiliki matematika, yang dibandingkan Hardy dengan lukisan dan puisi. Bagi Hardy, matematika yang paling indah adalah matematika yang tidak memiliki penerapan di luar dunia matematika murni, dan khususnya, bidang yang ditekuni Hardy sendiri, yaitu teori bilangan. Dia membenarkan pencarian matematika murni dengan argumen bahwa ketidakbergunaannya itulah yang menyebabkan matematika murni tidak dapat disalahgunakan buat menimbulkan kerusakan.
Theaetetus
Theaetetus dari Athena (; ; skt. 417 – 368 SM), diduga putra Eufronius dari Athena deme Sounion, merupakan seorang matematikawan Yunani. Kontribusi utamanya adalah ukuran-ukuran irasional, yang termasuk di dalam "Buku X" dari Euklides "Elemen", dan yang tepatnya merupakan lima polihendra cembung biasa. Seorang sahabat Socrates dan Plato, ia adalah tokoh utama di dalam dialog eponimus Socrates Plato.
Geometri non-Euklides
Meskipun geometri Euklides, dinamai sesuai matematikawan Yunani Euklides, meliputi beberapa matematika tertua yang terkenal, geometri non-Euklides tidak diterima secara luas dan sah sampai abad ke-19.
Zenodorus
Zenodorus adalah nama dari seorang ahli Matematika yang berkebangsaan Yunani. Ia hidup sekitar 180 Sebelum Masehi. Namun, ia diperkirakan lahir sekitar 200 Sebelumm Masehi dan meninggal sekotar 140 Sebelum Masehi. Ia mempelajari tentang isometri yang memiliki bentuk berbeda beda tetapi dengan ukuran keliling yang sama. Nama Zenodorus diketahui dari sebuah text Arab yang bernama "Diocles". Dalam tulisan tersebut, hanya dapat diketahui sedikit tentang kehidupan Zenodorus. Dalam Diocles dikatakan bahwa Zenodorus datang ke suatu tempat bernama Arcadia. Saat itu, Zenodorus memperlihatkan kepada orang-orang bagaimana sinar matahari dapat menimbulkan api melalui sebuah cermin. Dalam pemahaman Isometri Zenodorus, ia dipengaruhi oleh beberapa tokoh yaitu Archimedes dan Euclid. Ia bahkan mengutip pemikiran Archimedes dalam salah satu risalahnya yang berjudul "measurement of a circle". Pemikiran Zenodorus tentang lingkarang juga turut mempengaruhi tokoh-tokoh matematik lain seperti Theon dari Alexandria dan Pappus. Theon dari Alexandria menggunakan pemikiran Zenodorus untuk mengkritik pemikiran tokoh lain yang bernama Ptolemei.
Archimedes
Penemuan yang lain adalah tentang prinsip matematis tuas, sistem katrol yang didemonstrasikannya dengan menarik sebuah kapal sendirian saja. Ulir penak, yaitu rancangan model planetarium yang dapat menunjukkan gerak matahari, bulan, planet-planet, dan kemungkinan rasi bintang di langit.
Almagest
Almagest adalah bentuk Latin dari nama dalam bahasa Arab (الكتاب المجسط "al-kitabu-l-mijisti", yaitu "Buku Besar") dari sebuah risalah astronomi yang mengemukakan gerakan kompleks bintang-bintang dan lintasan planet, semula ditulis dalam bahasa Yunani sebagai "μαθηματικἠ σύνταξις" ("Mathematike Syntaxis", "Risalah Matematika"); kemudian diberi judul "Ή Μεγάλη Σύνταξις" ("Hè Megalè Syntaxis", "Risalah Besar") oleh Ptolomeus dari Alexandria, Mesir. Ptolomeus mempersembahkannya kepada umum di Canopus, Mesir pada 147/148. Model geosentriknya diakui sebagai kebenaran selama lebih dari seribu tahun di Arab dan masyarakat Eropa. "Almagest" adalah sumber terpenting mengenai informasi tentang astronomi Yunani kuno.
Arithmetica Universalis
"Arithmetica" membahas notasi aljabar, aritmetika, hubungan antara geometri dan aljabar, dan solusi persamaan. Newton juga menerapkan aturan tanda Descartes pada akar imajiner. Ia juga tanpa bukti mengusulkan aturan untuk menentukan jumlah akar imajiner dari persamaan polinomial. Bukti kuat rumus perhitungan Newton baru ditemukan oleh James Joseph Sylvester 150 tahun kemudian dan diterbitkan tahun 1865.
Matematika Yunani
Thales dianggap telah menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan tinggi piramida menurut panjang bayangannya, dan jarak perahu dari pantai. Dia juga dihargai dengan tradisi yang telah dibuat, yakni bukti pertama teorema geometri - "Teorema Thales" yang dijelaskan di atas. Pythagoras dihargai dengan pengakuan dasar matematika pada harmoni musik, dan menurut tanggapan Proclus terhadap Euklides dia menemukan teori kesetaraan dan padatan beraturan. Beberapa sejarawan modern telah mempertanyakan apakah dia benar-benar membangun kelima-lima padatan beraturan itu, alih-alih para sejarawan itu lebih menganggap masuk akal bahwa Pythagoras hanya membuat tiga dari lima yang diakui. Beberapa sumber kuno menerakan temuan teorema Pythagoras bagi Pythagoras, padahal sumber lain mengakuinya sebagai bukti dari teorema yang dia temukan. Sejarawan modern percaya bahwa prinsip itu sendiri sudah diketahui oleh bangsa Babilonia dan mungkin saja diperoleh dari sana. Mazhab Pythagoras memandang numerologi dan geometri sebagai hal yang paling mendasar untuk memahami sift-sifat semesta dan oleh karenanya menjadi kiblat bagi gagasan-gagasan filsafat dan keagamaan mereka. Mazhab Pythagoras dihargai dengan beberapa pengembangan matematika tingkat lanjut, seperti penemuan bilangan irasional. Sejarawan menghargai mereka atas peran utamanya di dalam pengembangan matematika Yunani (khususnya teori bilangan dan geometri) ke dalam sistem logika utuh menurut definisi-definisi yang jelas dan teorema-teorema yang terbuktikan, yang dianggap sebagai subjek yang pantas dari pengkajian di dalam kebenarannya sendiri, tanpa memandang terapan praktis yang menjadi perhatian utama bagi bangsa Mesir dan Babilonia.
Alfred North Whitehead
Disertasi Whitehead adalah melakukan pembahasan teori Maxwell tentang teori elektrisiti dan magnetisme memenangkan perlombaan pada tahun 1884. Thomson dan Forsyth yang menjadi juri terkejut dengan hasil ini, karena Whitehead sekali lagi memenangkan salah satu dari lima beasiswa yang disediakan. Menjadi pengajar Setelah mendapat beasiswa, Whitehead diwajibkan menjadi pengajar dan tugas pertama adalah menjadi asisten dosen. Memberi kuliah matematika, namun sampai lima tahun kontraknya sebagai pengajar selesai, belum ada satupun makalah yang menjadi karyanya. Tidak diketahui apakah Whitehead melakukan penelitian matematika selama periode tersebut. Yang diketahui hanya bahwa dirinya suka menyendiri dan jarang melakukan komunikasi dengan sesama matematikawan. Setelah mengajar selama 12 tahun, Whitehead mengeluarkan 2 makalah secara bersamaan pada tahun 1889 tentang gerak tekanan pada zat cair. Rupanya topik yang menarik hatinya ini terpengaruhi oleh kuliah Stokes tentang materi tersebut.
Florentin Smarandache
Dalam matematika dia menciptakan banyak sekuens dan fungsi dalam teori nomor. Dia memperkenalkan tingkatan negasi sebuah aksioma atau sebuah prinsip matematis dalam geometri (lihat geometri Smarandache yang dapat sebagian bersifat Euclidean dan sebagian non-Euclidean, 1969), multi-struktur (lihat n-struktur Smarandache, di mana struktur lemah mengandung sebuah pulau struktur yang lebih kuat), dan multi-space (sebuah kombinasi dari ruang angkasa heterogen).
Untuk informasi selanjutnya lihat di: www.gallup.unm.edu/~smarandache/
Arithmetica Universalis
Arithmetica Universalis adalah teks matematika karya Isaac Newton. Ditulis dalam bahasa Latin, teks ini disunting dan diterbitkan oleh William Whiston, pengganti Newton selaku Lucasian Professor of Mathematics di Universitas Cambridge. "Arithmetica" didasarkan pada catatan-catatan kuliah Newton.
Paul Erdős
Dia adalah satu-satunya anak dari kedua orangtuanya yang bertahan hidup, setelah kedua kakaknya meninggal dunia pada usia yang sangat dini. Kedua orangtua Erdos adalah pemeluk Yahudi, dan berprofesi sebagai guru matematika. Dari kedua orangtuanya inilah Erdos mulai menyenangi matematika. Banyak yang diajarkan orangtuanya kepada Erdos. Di usia 3 tahun, Paul Erdos mampu menemukan sendiri bilangan-bilangan negatif dan sudah mampu mengalikan bilangan-bilangan 3 digit di kepala. Menurut Erdos, kedua orangtuanya memberi dampak yang besar dalam karier matematikanya. Pada usia 16 tahun, Erdos mendapatkan suatu subjek dari ayahnya yang menjadi subjek paling Ia senangi, yaitu deret tak hingga dan teori himpunan.
Andrew Wiles
Hasil kerja Andrew Wiles yang paling terkenal adalah membuktikan teorema terakhir Fermat dengan cara membuktikan teorema Taniyama-Shimura. Ia mengenal teorema terakhir Fermat sejak umur 10 tahun, dan berusaha membuktikannya dengan menggunakan buku-buku sekolah, dan akhirnya mempelajari karya-karya matematikawan yang berusaha membuktikan teorema tersebut. Saat ia memulai kuliah doktornya, ia berhenti bekerja dalam teorema ini, dan beralih ke bidang kurva elips di bawah bimbingan John Coates.
Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī
Karya terbesarnya dalam matematika, astronomi, astrologi, geografi, kartografi, sebagai fondasi dan kemudian lebih inovatif dalam aljabar, trigonometri, dan pada bidang lain yang dia tekuni. Pendekatan logika dan sistematisnya dalam penyelesaian linear dan notasi kuadrat memberikan keakuratan dalam disiplin aljabar, nama yang diambil dari nama salah satu bukunya pada tahun 830 M, "al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala" (Arab الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) atau: ""Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan"”, buku pertamanya yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12.
Ruang (matematika)
Di dalam matematika kuno, "ruang" adalah abstraksi geometri ruang berdimensi-tiga yang dapat diamati dalam kehidupan sehari-hari. Metode aksiomatik telah menjadi alat penelitian utama sejak Euklides (kira-kira 300 SM). Metode koordinat (geometri analitik) diangkat oleh René Descartes pada tahun 1637. Pada masa itu, teorema-teorema geometri diperlakukan sebagai kebenaran objektif mutlak yang dapat diketahui melalui intuisi dan nalar, serupa dengan objek-objek pada ilmu alam; dan aksioma-aksioma diperlakukan sebagai implikasi yang jelas dari definisi yang ada.
Sejarah pemikiran evolusi
Aristoteles, filsuf Yunani paling berpengaruh di Eropa, adalah murid Plato dan juga sejarawan alam terawal yang karyanya disajikan dalam penjelasan sebenarnya. Tulisan-tulisannya tentang biologi dihasilkan dari risetnya dalam sejarah alam di atas dan sekitaran pulau Lesbos, dan dicantumkan dalam bentuk empat buku, biasanya dikenal dengan nama Latinnya, "De anima" ("Tentang Jiwa"), "Historia animalium" ("Sejarah Hewan"), "De generatione animalium" ("Generasi Para Hewan"), dan "De partibus animalium" ("Tentang Bagian-bagian Para Hewan"). Karya-karya Aristoteles berisi pengamatan-pengamatan akurat, terdiri dari teorinya sendiri tentang mekanisme tubuh. Namun, bagi Charles Singer, "Tak ada yang lebih dikenang ketimbang upaya [Aristoteles] untuk [memamerkan] hubungan makhluk hidup sebagai sebuah "scala naturae"." "scala naturae", yang dideskripsikan dalam "Historia animalium", mengklasifikasikan organisme-organisme dalam hubungan dengan "Tangga Kehidupan" hierarkhikal namun statis atau "rantai keberadaan", menempatkan mereka berdasarkan pada kompleksitas struktur dan fungsi mereka, dengan organisme yang menunjukkan vitalitas dan kemampuan yang lebih besar untuk pergerakan yang disebut sebagai "organisme yang lebih tinggi". Aristoteles meyakini bahwa fitur-fitur organisme kehidupan menampilkan jelas bahwa mereka memiliki apa yang ia sebut sebab akhir, yang menyatakan bahwa bentuk mereka menyesuaikan fungsi mereka. Ia secara jelas menolak pandangan Empedokles bahwa para makhluk hidup bermula dari perubahan.
Stefano Chiesa Suryanto
Banyak sekali prestasi yang sudah diraih Stefano, baik dalam kompetisi matematika tingkat nasional maupun internasional. Prestasi paling gemilang Stefano adalah saat berhasil meraih medali emas sekaligus penghargaan sebagai “The Best Theory” dalam Olimpiade Matematika dan Sains Internasional (nama resmi: International Mathematics and Science Olympiad for Primary School atau IMSO) ke-4 tahun 2007 di Jakarta. Disamping itu, Ia tercatat sebagai peserta termuda. Museum Rekor-Dunia Indonesia (MURI) kemudian mencatatkan prestasinya sebagai peserta termuda yang meraih medali emas dalam IMSO.
James Gregory
Dua karya besarnya ini, yang isinya merupakan temuan, secara serempak terbit di Perancis, Italia, Belanda dan Inggris. Buku pertamanya merombak Kartesian yang masih membedakan antara kurva-kurva “geometrikal: dan “mekanikal”. Gregory lebih suka membagi matematika ke dalam kelompok theorema ‘umum’ dan theorema ’spesial’, bukan dipilah menjadi fungsi-fungsi aljabar dan transendental.
Paradoks Zeno
Paradoks Zeno merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematika. Achilles dan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks Zeno yang paling terkenal. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Walau sekarang terkesan tidak terlalu sulit, tetapi butuh waktu ribuan tahun sebelum matematikawan dapat menjelaskannya. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini :
Matematika dan arsitektur
Arsitek Michael Ostwald dan Kim Williams, mempertimbangkan hubungan antara arsitektur dan matematika. Perlu diperhatikan bahwa bidang yang umum dipahami mungkin tampak hanya terhubung sedikit; di mana arsitek adalah profesi yang berkaitan dengan masalah praktis dalam membuat bangunan, sedangkan matematika murni mempelajari jumlah dan benda abstrak lainnya. Tapi, mereka berpendapat bahwa kedua bidang ini sudah sangat terhubung sejak zaman dahulu. Di Romawi Kuno, Vitruvius menggambarkan seorang arsitek adalah orang yang mengenal berbagai disiplin ilmu lainnya, terutama geometri; yang memungkinkannya mengawasi perajin terampil di semua area yang diperlukan, seperti tukang batu dan tukang kayu. Hal yang sama diterapkan pula di Abad Pertengahan, di mana para lulusan belajar aritmetika, geometri dan estetika di samping silabus dasar tata bahasa, logika, dan retorika (trivium) di aula elegan yang dibuat oleh ahli bangunan yang telah membimbing banyak pengrajin. Seorang ahli rancang bangun berada di puncak profesinya, dan diberi gelar arsitek atau insinyur. Di masa Renaisans, quadrivium yang terdiri dari aritmetika, geometri, musik dan astronomi menjadi silabus ekstra yang diharapkan dari generasi Renaisans seperti Leon Battista Alberti. Demikian pula di Inggris, Sir Christopher Wren, yang dikenal saat ini sebagai arsitek pertama, yang juga seorang astronom terkenal.
Matematika Yunani
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.
Paul Erdős
Paul Erdos pernah bekerja di Manchester, Inggris. Setelah selesai dari Manchester, Erdos tidak dapat kembali ke Hongaria karena kondisi politik ketika itu tidak memungkinkan dirinya untuk kembali. Akhirnya Erdos memutuskan untuk imigrasi ke Amerika Serikat. Saat itulah, Erdos memulai perjalanannya menuju kampus ke kampus untuk terus berkontribusi di dunia matematika, bahkan sampai Erdos meninggal dunia. Sepertinya Paul Erdos tidak mencintai uang dan wanita seperti pria lainnya. Paul Erdos hanya mencintai angka dan matematika. Erdos pernah memenangi hadiah $50000 dari Wolf Prize, sebuah ajang paling bergengsi di bidang matematika. Namun, dari $50000 itu, Erdos hanya menyimpan $720 untuk dirinya, sisanya didonasikan ke sebuah yayasan di Israel. Uang $720 bersama satu koper berisi baju-bajunya menjadi bekal dirinya untuk berkelana menuju universitas-universitas di dunia ini. Paul Erdos menetap di tempat matematikawan di dunia ini, kemudian berdiskusi, kemudian menghasilkan karya. Setidaknya itu menjadi bukti bahwa Paul Erdos tidak mencari kesuksesan berupa uang, tetapi Paul Erdos mencari sebuah kesempurnaan dalam hidupnya. Kesempurnaan itu yang mengantarkan dirinya menuju kesuksesan melalui karya-karyanya.
Pierre de Fermat
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat.
Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .
Matematika Yunani
1. Thales (624-550 SM)
Joseph-Louis de Lagrange
Berpaling pada matematika dengan membaca sebuah esai tentang kalkulus, dengan cepat ia menguasai subyek tersebut. Pada usia 19, ia memulai karyanya-mungkin yang terbesar, "Mécanique analitique", meski tak diterbitkan sampai ia berusia 52. Karena tiadanya diagram yang lengkap, komposisi terpadu, William Rowan Hamilton menyebut bukunya sebagai "sajak ilmiah".
Tomasso Ceva
Ia adalah profesor matematika di Kolese Yesuit Brera di Milan dan muridnya yang paling terkenal adalah Giovanni Girolamo Saccheri. Satu-satunya karya matematikanya, diterbitkan tahun 1699, adalah "Opuscula Mathematica" yang membahas geometri, gravitasi dan aritmetika. Ia juga seorang penulis dan pembaca puisi terkemuka dan mengabdikan banyak waktunya untuk bidang ini. Ia meninggal di Milan pada tahun 1737.
Kalkulus
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Salah satu karya perdana yang paling lengkap mengenai analisis finit dan infinitesimal ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
A Mathematician's Apology
Tema lain yang dibahas adalah matematika adalah "permainan anak muda", sehingga siapa pun yang memiliki bakat matematika seharusnya mengembangkan dan menggunakan bakat itu selagi mereka muda, sebelum kemampuan untuk menciptakan matematika orisinil berkurang di usia pertengahan. Pandangan ini mencerminkan depresi yang semakin meningkat, yang dialami Hardy karena kemerosotan daya matematikanya sendiri. Untuk Hardy, matematika yang sebenarnya adalah kegiatan penciptaan, bukan penjelasan atau pendedahan.
Matematika murni
Euclid dari Alexandria, ketika ditanya oleh salah seorang siswaya tentang apa kegunaan untuk belajar mengenai geometri lalu Euclid meminta kepada pelayannya untuk memberikan "threepence" kepada siswa tersebut sambil mengatakan bahwa karena siswa tersebut mempunyai kebutuhan yang dapat membuat keuntungan dari apa yang siswa tersebut pelajari sedangkan seorang matematikawan Yunani yang bernama Apollonius dari Perga ketika ditanya tentang manfaat atas bagian dari kaidahnya di dalam Buku IV Conics dengan bangga ia menegaskan sebagai berikut 
They are worthy of acceptance for the sake of the demonstrations themselves, in the same way as we accept many other things in mathematics for this and for no other reason.
And since many of his results were not applicable to the science or engineering of his day, Apollonius further argued in the preface of the fifth book of "Conics" that the subject is one of those that "...seem worthy of study for their own sake."
Sejarah matematika
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, perbagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Al-Kindi
Yang paling utama dari seluruh cakupan matematika di sini adalah ilmu bilangan atau aritmetika karena jika bilangan tidak ada, maka tidak akan ada sesuatu apapun.
Lewis Carroll
Selama musim panas tahun 1855, Carroll mengajari di sekolah ayahnya di Croft dan pada bulan Oktober dia kembali ke Oxford untuk menjadi dosen matematika. Hingga tahun 1881, Carroll tetap bekerja di Christ Church, Oxford sebagai dosen dan menulis panduan untuk siswa. Sebagai matematikawan, Carroll merupakan pribadi yang agak konservatif namun teliti dan berhati-hati. Selama hidupnya, dia telah menulis beberapa buku matematika, yaitu:
Dari semua buku tersebut, hanya "Euclid and his modern rivals" (1879) yang dianggap penting karena berisi tentang penggunaan elemen euclid sebagai alat pengajaran geometri. Selain buku tersebut, buku matematika lainnya yang ditulis Carroll tidak dapat bertahan lama.
Thomas Hobbes
Selain kaum agamawan, grup lain yang merasa terganggu dengan buku "Leviathan" adalah kaum akademisi dari universitas-universitas. Hal itu menyebabkan Hobbes mendapat kritik dari kalangan akademisi. Salah satu akademisi yang mengkritik Hobbes adalah John Wallis. Mereka terlibat di dalam polemik dalam bidang matematika selama hampir dua puluh tahun.
Maria Gaetana Agnesi
Maria Gaetana Agnesi (),) () adalah seorang filsuf dan matematikawati Italia. Anak tertua dari 21 bersaudara, ia dilahirkan dalam keluarga Italia kaya dan terpelajar dan mempunyai ayah seorang matematikawan. Ia menguasai bahasa Latin, bahasa Yunani, bahasa Ibrani, dan beberapa bahasa lainnya dalam usia 9 tahun. Pada usia 20 tahun ia memulai sebuah karyanya yang terpenting, sebuah buku ajar kalkulus. Pada masanya, karyanya sungguh-sungguh mengagumkan dan merupakan buku ajar kalkulus luas yang pertama sejak karya dini dari I'Hospital. Buku itu telah menerima banyak penghormatan, termasuk pengakuan dari Kaisar Maria Theresa dan Paus Benediktus XIV.
Matematika
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Pertengahan Mesir, Lembaran Matematika Rhind.
Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi. Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.
Selama Zaman keemasan Islam, khususnya abad ke-9 dan abad ke-10, matematika mendapatkan banyak inovasi penting yang dibangun diatas landasan matematika Yunani: kebanyakan dari inovasi ini termasuk kontribusi dari matematikawan Persia seperti Al-Khwarizmi, Omar Khayyam dan Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.
Roda gigi
Ilmuwan Yunani Kuno Archimedes pertama kali mengembangkan roda gigi dalam ilmu mekanika di sekolah Aleksandria pada abad ketiga sebelum masehi. Mekanisme Antikythera adalah contoh aplikasi roda gigi yang rumit yang pertama, yang didesain untuk menghitung posisi astronomi. Waktu pengerjaan mekanisme ini diperkirakan antara 150 dan 100 SM .
Mekanisme Antikythera
Mekanisme Antikythera adalah sebuah kalkulator mekanik yang diyakini sebagai salah satu cikal bakal komputer mekanik di dunia. Alat ini ditemukan (bukan diciptakan) oleh arkeolog Valerios Stais pada tahun 1901 di sebuah kapal karam di lepas pantai Antikythera, sebuah pulau di antara Kreta dan Peloponnesos, Yunani. Alat ini ditelusuri umur penggunaannya melalui temuan koin yang juga terdapat di bangkai kapal tersebut. Ada koin dari Pergamon, diprediksi diciptakan antara 86 dan 67 SM, dan koin dari Efesus, diciptakan antara 70 SM dan 60 SM. Ini berarti kapal tenggelam antara 70 dan 60 SM. Perangkat ini adalah perangkat paling kompleks yang dikenal di zaman purbakala. Baru pada abad ke-14 manusia memiliki pengetahuan untuk membangun perangkat serupa.
Elemen Euklides
"Elemen" adalah buku yang paling sukses dan berpengaruh yang pernah ditulis. Buku ini adalah buku pertama yang diketik setelah penemuan mesin tik dan yang kedua setelah Alkitab dalam jumlah edisi yang diterbitkan (hampir mencapai seribu). Selama beratus-ratus tahun "Elemen" menjadi buku pelajaran wajib yang diajarkan di berbagai perguruan tinggi. Sebelum memasuki abad ke-20 isi buku ini tak diajarkan lagi karena semua orang terdidik dianggap telah membaca dan isinya ditransfer ke buku sekolah.
Adrien-Marie Legendre
Kebanyakan karyanya disempurnakan oleh lainnya: karyanya pada akar polinomial mengilhami teori Galois; karya Abel pada fungsi elips dibangun pada Legendre punya; beberapa karya Gauss dalam statistik dan teori bilangan melengkapi teori Legendre.
Aljabar
Matematikawan periode Hellenistik, Heron dari Iskandariyah dan Diofantus, juga Matematikawan India seperti Brahmagupta meneruskan tradisi-tradisi Mesir dan Babilonia, meskipun "Arithmetica"-nya Diophantus dan "Brāhmasphuṭasiddhānta"-nya Brahmagupta berada pada tingkatan yang lebih tinggi. Misalnya, solusi aritmetika lengkap pertama (termasuk solusi nol dan negatif) untuk persamaan kuadrat, seperti yang dijelaskan oleh Brahmagupta dalam bukunya "Brahmasphutasiddhanta". Kemudian, Matematikawan Persia dan Arab mengembangkan metode-metode aljabar untuk mencapai derajat kecanggihan yang lebih tinggi. Meskipun Diofantus dan bangsa Babilonia seringkali menggunakan metode "ad hoc" istimewa untuk menyelesaikan persamaan-persamaan, sumbangsih Al-Khwarizmi adalah mendasar. Dia menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tanpa simbolisme aljabar, bilangan negatif, atau nol, dengan demikian dia harus membedakan beberapa jenis persamaan.
Yannis Xenakis
Beberapa di antara karyanya yang bepengaruh adalah Metastaseis (1953–54) untuk [[orkestra]], yang diperkenalkannya untuk para musisi orkestra: karya di bidang musik perkusi seperti Psappha (1975) dan Pléïades (1979); komposisi yang memperkenalkan spasialisasi dengan menyebarkan musisi di antara para audiens, seperti Terretektorh (1966); karya musik elektronik dengan menggunakann sistem UPIC Xenakis; dan penampilan multimedia secara massif yang dinamai Xenakis dengan polytopes. Di antara sejumlah tulisan teoritisnya, buku Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition (edisi bahasa Perancis terbit tahun1963, terjemahan bahasa Inggris terbit tahun 1971) disebut sebagai salah satu karyanya yang penting. Sebagai seorang arsitek, karyanya yang paling terkenal adalah Sainte Marie de La Tourette, di bawah pengawasan [[Le Corbusier]].
Geometri
Geometri (Yunani Kuno: γεωμετρία, geo-"bumi",-metron "pengukuran") adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran, posisi relatif gambar, dan sifat ruang. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebut ahli ilmu ukur. Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume, dengan unsur-unsur dari ilmu matematika formal yang muncul di Barat sedini Thales (abad 6 SM). Pada abad ke-3 SM geometri dimasukkan ke dalam bentuk aksiomatik oleh Euclid, yang dibantu oleh geometri Euclid, menjadi standar selama berabad-abad. Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan isi, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern. Bidang astronomi, terutama memetakan posisi bintang dan planet pada falak dan menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit, menjabat sebagai sumber penting masalah geometrik selama satu berikutnya dan setengah milenium. Kedua geometri dan astronomi dianggap di dunia klasik untuk menjadi bagian dari Quadrivium tersebut, subset dari tujuh seni liberal dianggap penting untuk warga negara bebas untuk menguasai.
Matematika Yunani
Adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan Pythagoras menemukan √2 sebagai bilangan irrasional
Al-Karaji
Dedikasinya yang tinggi dalam bidang matematika dan mesin membuatnya banyak menghasilkan karya yang monumental. Carl Brockelman dalam karyanya Geschichte der Arabischen Litteratur, menyebutkan, al-Karaji berhasil menulis Kitab Inbat al-Miyah al-Khafiya (Book on the Extraction of Hidden Waters).
Hans-Georg Gadamer
Pada saat itulah ia menyelesaikan "adi karyanya" "Truth and Method" ("Kebenaran dan Metode") (1960) dan terlibat dalam perdebatannya yang terkenal dengan Jürgen Habermas megnenai kemungkinan dalam mentransendensikan sejarah dan kebudayaan guna menemukan posisi yang benar-benar obyektif yang daripadanya orang dapat mengkritik masyarakat. Perdebatan ini tidak menemukan kesimpulannya, tetapi merupakan awal dari hubungan yang hangat antara kedua orang ini. Gadamerlah yang pertama-tama membuka jalan bagi Habermas untuk mendapatkan gelar profesornya di Heidelberg. Upaya yang lain untuk melibatkan Jacques Derrida ternyata kurang memberikan hasil karena kedua pemikir tidak banyak memiliki kesamaan. Setelah kematian Gadamer, Derrida menyebut kegagalan mereka untuk menemukan titik temu sebagai salah satu kegagalan terburuk dalam hidupnya dan mengungkapkan, dalam obituari utama untuk Gadamer, rasa hormatnya yang besar baik secara pribadi maupun filosofis.
Sejarah matematika
Archimedes (kira-kira 287 SM sampai 212 SM) dari Syracuse menggunakan metode kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur parabola dengan penjumlahan barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi. Dia juga mengkaji spiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda putar, dan sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar.
Mehmed II
Pada masa kekuasaannya, Mehmed mengumpulkan para ulama dan turut menyaksikan diskusi mereka terkait permasalahan agama. Ilmu matematika, astronomi, dan agama mencapai titik puncak pada masanya. Mehmed mengundang ilmuwan dan astronom Muslim di istananya, seperti Ali Qusyji, mulai membangun universitas, masjid (salah satunya Masjid Fatih, air mancur, dan Istana Topkapı. Di sekitar Masjid Fatih, Mehmed memerintahkan pembangunan delapan madrasah (Sahn-ı Seman Medrese) yang selama seabad menjadi lembaga pendidikan Islam tertinggi di kekaisaran.
Mehmed juga menghimpun berbagai seniman Italia, humanis, dan cendekiawan Yunani di istananya. Salah satu seniman itu adalah Gentile Bellini, pelukis Italia alumnus Venesia, yang diperintahkan untuk membuat lukisan Mehmed, juga lukisan dinding Sang Sultan yang sekarang telah lenyap.
Matematika dan arsitektur
Arsitek menggunakan matematika karena beberapa alasan, salah satunya menjauhi penggunaan penting matematika dalam rekayasa bangunan. Pertama, mereka menggunakan geometri karena geometri dapat mendefinisikan bentuk ruang bangunan. Kedua, mereka menggunakan matematika untuk merancang bentuk yang dianggap cantik atau serasi. Sejak zaman Pythagoras dengan falsafah angka religius mereka, arsitek di Yunani Kuno, Romawi Kuno, dunia Islam dan Renaisans Italia telah memilih proporsi binaan lingkungan, yaitu bangunan dan rancangan lingkungannya—yang disesuaikan dengan prinsip matematika dan estetika, serta kadang-kadang juga aspek-aspek religius. Ketiga, mereka menggunakan benda matematis seperti tesselasi untuk menghias bangunan. Keempat, mereka juga menggunakan matematika dalam bentuk pemodelan komputer untuk memenuhi tujuan lingkungan, seperti meminimalkan arus putaran udara di dasar bangunan tinggi.
Euklides
Euclides menulis 13 jilid buku tentang geometri. Dalam buku-bukunya ia menyatakan aksioma (pernyataan-pernyataan sederhana) dan membangun semua dalil tentang geometri berdasarkan aksioma-aksioma tersebut. Contoh dari aksioma Euclides adalah, "Ada satu dan hanya satu garis lurus garis lurus, di mana garis lurus tersebut melewati dua titik". Buku-buku karangannya menjadi hasil karya yang sangat penting dan menjadi acuan dalam pembelajaran Ilmu Geometri.
De Architectura
Vitruvius menjelaskan konstruksi sekrup Archimedes dalam Pasal 10, meskipun tidak menyebutkan Archimedes dengan nama. Ini adalah perangkat yang banyak digunakan untuk menaikkan air untuk mengairi sawah dan pengeringan tambang. Mesin pengangkat lainnya yang disebutkan di "De architectura" termasuk rantai tak berujung dari ember dan aliran terbalik keluar roda air. Sisa-sisa roda air yang digunakan untuk mengangkat air telah ditemukan di tambang tua seperti di Rio Tinto di Spanyol dan Dolaucothi di barat Wales. Salah satu dari roda-roda Rio Tinto sekarang berada di British Museum, dan salah satu dari yang terakhir berada di National Museum of Wales. Sisa-sisa roda air yang ditemukan saat ini, ditemukan saat tambang dibuka kembali pada usaha pertambangan modern. Alat ini telah digunakan dalam urutan vertikal, dengan 16 seperti pabrik-pabrik yang mampu menaikkan air setidaknya dari dasar air. Setiap roda akan telah bekerja dengan penambang menginjak perangkat di atas roda, dengan menggunakan cleat pada tepi luar. Bahwa mereka menggunakan perangkat tersebut di tambang dengan jelas menyiratkan bahwa mereka sepenuhnya mampu menggunakan alat ini sebagai roda air untuk mengembangkan daya untuk berbagai kegiatan, tidak hanya untuk menggiling gandum, tapi juga mungkin untuk menggergaji kayu, menghancurkan bijih, fulling, dan sebagainya.
Matematika Yunani
Sejarawan biasanya menempatkan permulaan matematika Yunani pada masa hidup Thales dari Miletus (kira-kira 624-548 SM). Hanya sedikit yang diketahui tentang hidup dan karya Thales, tipis kepastian bahwa kelahiran dan kematiannya berdekatan dengan gerhana pada tahun 585 SM, yang mungkin muncul ketika dia masih dalam usia produktif. Meskipun demikian, umumnya disepakati bahwa Thales adalah orang pertama dari tujuh pria bijak dari Yunani. Teorema Thales, yang menyatakan bahwa sudut-sentuh-busur yang dilukiskan di dalam setengah-lingkaran adalah sudut siku-siku, mungkin dipelajari oleh Thales pada saat dia berada di Babilonia, tetapi tradisi yang melekat pada Thales adalah peragaan teorema itu. Dengan alasan inilah Thales seringkali dielu-elukan sebagai bapak organisasi deduktif matematika dan sebagai matematikawan sejati pertama. Thales juga dianggap sebagai orang terdini di dalam sejarah, yang kepadanya temuan-temuan khusus matematika disematkan. Meskipun tidak diketahui apakah Thales atau bukan yang pertama memperkenalkan struktur logika ke dalam matematika, yang saat ini menjadi hal yang berlaku di manapun, tetapi diketahui bahwa di dalam dua ratus tahun sesudah kematian Thales bangsa Yunani memperkenalkan struktur logika dan gagasan pembuktian ke dalam matematika.
Pi
Algoritme paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani Archimedes. Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes". Archimedes menghitung batas atas dan bawah dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa  Ptolemaeus dalam Almagest-nya, memberikan nilai sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari Apollonius dari Perga. Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.
Alfred North Whitehead
Sang ayah mengajarinya bahasa latin pada umur 10 tahun disusul dengan bahasa Yunani begitu usianya 12 tahun. Meskipun tidak dapat dikatakan mahir, namun penguasaan Whitehead terdapat kedua bahasa ini tidaklah terlalu buruk. Sampai usia ini tidak ada gejala bahwa Whitehead kelak menjadi orang jenius. Mempelajari matematika lewat sang ayah, namun tidak diketahui alasan apa yang membuat dirinya sangat tertarik dengan matematika. Baru pada tahun 1875, dia meninggalkan tempat tinggal ayahnya dan masuk Sherbourne Independent School. Setahun kemudian, 1876, kakaknya menjadinya pengajar di sekolah ini, ketika Whitehead sudah menginjak tahun kedua. Bakat matematika Masuk di sekolah dengan mutu standar ini, Whitehead tidak mempunyai banyak pilihan jurusan sehingga semua murid belajar subyek-subyek mayor seperti: bahasa Latin, bahasa Yunani dan bahasa Inggris, dan subyek-subyek minor seperti: matematika, fisika, sejarah, geographi dan bahasa-bahasa modern yang kurang mendapat perhatian. Ternyata Whitehead menunjukkan bakat di bidang matematika dan bahkan belajar matematika setelah lulus sekolah, mengabaikan pelajaran komposisi pada bahasa dan membaca puisi bahasa Latin hanya untuk menekuni matematika.
Sejarah matematika
Aryabhata, pada tahun 499, memperkenalkan fungsi versinus, menghasilkan tabel trigonometri India pertama tentang sinus, mengembangkan teknik-teknik dan algoritme aljabar, infinitesimal, dan persamaan diferensial, dan memperoleh solusi seluruh bilangan untuk persamaan linear oleh sebuah metode yang setara dengan metode modern, bersama-sama dengan perhitungan astronomi yang akurat berdasarkan sistem heliosentris gravitasi. Sebuah terjemahan bahasa Arab dari karyanya "Aryabhatiya" tersedia sejak abad ke-8, diikuti oleh terjemahan bahasa Latin pada abad ke-13. Dia juga memberikan nilai π yang bersesuaian dengan 62832/20000 = 3,1416. Pada abad ke-14, Madhava dari Sangamagrama menemukan rumus Leibniz untuk pi, dan, menggunakan 21 suku, untuk menghitung nilai π sebagai 3,14159265359.
Isaac Newton
Kebanyakan ahli sejarah percaya bahwa Newton dan Leibniz mengembangkan kalkulus secara terpisah. Keduanya pula menggunakan notasi matematika yang berbeda pula. Menurut teman-teman dekat Newton, Newton telah menyelesaikan karyanya bertahun-tahun sebelum Leibniz, namun tidak mempublikasikannya sampai dengan tahun 1693. Dia baru menjelaskannya secara penuh pada tahun 1704, manakala pada tahun 1684, Leibniz sudah mulai mempublikasikan penjelasan penuh atas karyanya. Notasi dan "metode diferensial" Leibniz secara universal diadopsi di Daratan Eropa, sedangkan Kerajaan Britania baru mengadopsinya setelah tahun 1820.
Ruang (matematika)
Ruang asli yang diselidiki oleh Euklides adalah kini dikenal sebagai "ruang euklides berdimensi-tiga". Aksiomatisasinya, dimulai oleh Euklides 23 abad lalu, dan dilengkapkan pada abad ke-20 oleh David Hilbert, Alfred Tarski, dan George Birkhoff. Pendekatan ini menjelaskan ruang melalui primitif-primitif yang tidak terdefinisi (seperti "titik", "antara", "kongruen") yang dibatasi oleh sejumlah aksioma. Definisi yang "berasal dari corat-coret" ini kini jarang digunakan, karena tidak menyibak hubungan ruang yang satu dengan ruang lainnya. Pendekatan modern mendefinisikan ruang euklidean berdimensi-tiga secara lebih aljabaris, melalui ruang linear dan bentuk kuadratik, yakni, sebagai ruang afin yang ruang selisihnya adalah ruang hasil kali dalam berdimensi-tiga.
Bilangan prima terbesar yang diketahui
Bilangan prima terbesar yang diketahui adalah bilangan bulat terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima. Perlu diketahui bahwa tidak ada bilangan prima terbesar karena bilangan prima berjumlah tak terhingga, sebagaimana telah dibuktikan Euclides. Hal ini berarti untuk bilangan prima terbesar yang diketahui saat ini, pasti ada bilangan prima yang lebih besar daripada bilangan tersebut. Hingga 2013, bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan penemuan dari komputasi terdistribusi ("distributed computing") dari proyek "Great Internet Mersenne Prime Search" (Pencarian Internet Besar Bilangan Prima Mersenne) (GIMPS), yaitu 2 − 1, yang memiliki panjang 17,425,170 digit.
Al-Kindi
Di antaranya ia sangat menghargai matematika. Hal ini disebabkan karena matematika, bagi al-Kindi, adalah mukaddimah bagi siapa saja yang ingin mempelajari filsafat. Mukaddimah ini begitu penting sehingga tidak mungkin bagi seseorang untuk mencapai keahlian dalam filsafat tanpa terlebih dulu menguasai matematika. Matematika di sini meliputi ilmu tentang bilangan, harmoni, geometri dan astronomi.
Thomas Hobbes
Selama periode 1640-an, Hobbes lebih banyak memberikan perhatian kepada fisika, metafisika, dan teologi ketimbang filsafat politik. Pada tahun 1642-1643, Hobbes menulis karya yang melawan pandangan seorang filsuf Aristotelian Katolik yang bernama Thomas White Kemudian pada tahun 1645, Hobbes berpolemik dengan seorang teolog Gereja Anglikan yang juga bernama John Bramhall mengenai hakikat kehendak bebas. Polemik yang terjadi cukup panjang dan memakan waktu yang cukup lama.
Pada tahun 1646, Hobbes diminta untuk menjadi pengajar matematika bagi Pangeran Charles II, anak dari Raja Charles I. Pekerjaan tersebut membawa Hobbes berhubungan lebih intensif dengan para politisi, pejabat istana, dan pejabat-pejabat gerejawi, yang semuanya merupakan pihak-pihak yang pro-monarki. Situasi tersebut membuat Hobbes kembali memasuki bidang politik. Karya Hobbes yang berjudul "Leviathan" diterbitkan di Inggris dengan bantuan seorang temannya, pada bulan April 1651.
Sistem aksioma
Euklides dari Iskandariyah menulis presentasi aksioma yang pertama pada geometri Euklides dan teori bilangan. Banyak sistem aksiomatik yang dikembangkan pada abad ke-19. Metode matematis telah berkembang secara baik dalam Mesir kuno, Babilonia, India, dan Cina.a. Jelas, tepat , dan mempunyai satu makna.
b. Hanya menggunakan istilah dasar atau yang telah ada sebelumnya
c. Konsisten, dalam setiap kasus mempunyai arti yang sama.
d. Jangkauannya cukup luas untuk dapat memuat sebanyak mungkin objek dari sistem.
The Parrot's Theorem
Rumah tangga tersebut menyiapkan penjelajahan matematika sendiri untuk memecahkan kode dari pesan terakhir dari teman lama Pak Ruche, yang sekarang tampaknya telah dibunuh. Topik matematika yang dibahas dalam buku ini yaitu bilangan prima dan faktor; bilangan irasional; penemuan Pythagoras, Archimedes, dan Euclid, dan masalah mengkuadratkan lingkaran dan menggandakan kubus.
Algoritme
Analisis dan kajian algoritme adalah bidang dari ilmu komputer, dan biasanya dilakukan secara abstrak tanpa menggunakan bahasa pemrograman tertentu atau implementasi.
Dalam artian, analisis algoritme mirip dengan bidang matematika lainnya yang mana fokus pada properti yang mendasari algoritme dan bukan pada implementasi tertentu.
Biasanya pseudokode digunakan pada analisis karena merupakan representasi paling umum dan sederhana.
Namun, pada akhirnya, kebanyakan algoritme diimplementasikan di perangkat keras / lunak tertentu dan efisiensi algoritmik mereka akhirnya diuji menggunakan kode yang sebenarnya.
Untuk solusi dari sebuah masalah, efisiensi dari algoritme tertentu mungkin tidak terlalu berpengaruh (kecuali n sangat besar) tetapi bagi algoritme yang dirancang untuk kecepatan interaktif, komersial, atau penggunaan ilmiah jangka panjang ia bisa saja kritikal.
Meningkatkan n dari kecil ke n yang besar biasanya menunjukan ketak efisienan algoritme yang tidak berbahaya.
Abu Nashr Mansur
Kebanyakan karya Abu Nashr berfokus pada matematika, namun beberapa karyanya pada astronomi. Dalam matematika, ia memiliki banyak tulisan penting pada trigonometri, yang dikembangkan dari tulisan Ptolomeus. Ia juga memelihara karya Menelaus dari Alexandria dan mengerjakan kembali banyak teorema Yunani.
God Created the Integers
God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History adalah sebuah antologi yang disunting Stephen Hawking dan berisi "kutipan dari tiga puluh satu karya terpenting dalam sejarah matematika." Judul buku ini mengacu pada kutipan dari matematikawan Leopold Kronecker yang pernah menulis bahwa ""Tuhan menciptakan bilangan bulat; sisanya ciptaan manusia"." Karya-karya tersebut disusun berdasarkan nama penulis dan zamannya. Masing-masing bagian diawali dengan catatan masa hidup dan karier matematikawan. Antologi ini terdiri dari karya-karya matematikawan berikut:
Yuktibhasa
"Yuktibhasa" adalah karya yang unik, karena berisikan pembuktian dan derivasi dari berbagai teorema yang disajikan; sesuatu yang tidak biasanya dilakukan oleh matematikawan manapun pada zaman itu. Beberapa perkembangan penting yang terdapat dalam analisisnya antara lain meliputi: ekspansi deret takterhingga dari suatu fungsi, deret pangkat, deret Taylor, deret trigonometri untuk sinus, kosinus, tangen, dan arc tangen, hampiran orde kedua dan ketiga deret Taylor dari sinus dan kosinus, deret pangkat untuk π, π/4, θ, jari-jari, diameter dan lingkar dan uji kovergensi.
Matematika Yunani
Archimedes mampu menggunakan infinitesimal di dalam cara yang sama dengan kalkulus integral modern. Dengan mengasumsikan proposisi sebagai benar dan menunjukkan bahwa langkah-langkah berikutnya menunjukkan kontradiksi, dia dapat memberikan jawaban untuk soal-soal sampai sembarang derajat keakuratan, pada saat yang sama menspesifikasi limit-limit tempat beradanya jawaban. Teknik ini dikenal sebagai metode kelelahan, dan dia memanfaatkannya untuk menghampiri nilai π (Pi). Di dalam "Kuadratur Parabola", Archimedes membuktikan bahwa luas yang dilingkupi parabola dan garis lurus adalah sama dengan kali luas segitiga yang alas dan tingginya sama panjang. Dia menyatakan solusi untuk soal itu sebagai barisan geometri tak-hingga, yang jumlahnya sama dengan . Di dalam "penghisap pasir", Archimedes berupaya menghitung banyaknya butir pasir yang dapat dimuat oleh semesta. Untuk melakukannya, dia menantang gagasan bahwa banyaknya butir pasir terlalu banyak untuk dihitung, dengan merancang skema penghitungan sendiri berdasarkan myriad, yang dilambangkan oleh 10.000.
Matematika
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan , "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."
Algoritme
Walau algoritme Nicomachus sama dengan Euclid, bila kedua bilangan prima maka menghasilkan angka "1" untuk bilangan pembagi terbesar.
Jadi untuk lebih jelasnya algoritme berikut adalah algoritme Nicomachus.
Hipparkhos
Karya-karya utama Hipparkhos telah hilang. Satu-satunya karya yang terselamatkan adalah "Toon Aratou kai Eudoxou Fainomenoon exegesis" ("Komentar pada Fenomena Eudoxus dan Aratus"). Ini adalah sebuah komentar kritis dalam dua buku mengenai puisi populer Aratus yang mendasarkan diri pada pekerjaan Eudoxus. Hipparkhos juga membuat daftar karya-karya besarnya, yakni berjumlah sekitar 14 buku, tetapi hanya diketahui pengarang-pengarang sesudahnya dari referensi-referensi. Katalog bintang miliknya yang terkenal kemungkinan digabungkan menjadi satu oleh Ptolemaeus. Diketahui bahwa ia juga membuat globe langit; sebuah tiruan dari tiruan karyanya adalah globe langit tertua yang ada menggambarkan rasi-rasi dengan cukup akurat.
Galenus
Karya terbesarnya adalah tujuh belas buku dari "On the Usefulness of the Parts of the Human Body". Ia juga menulis tentang filsafat dan anatomi.
Tuas
Pada awalnya tulisan mengenai tuas (pengungkit) ada sejak abad ke-3 SM dan dicetuskan oleh Archimedes. “Beri aku tempat untuk berdiri, dan aku akan menggerakkan bumi” adalah catatan dari Archimedes yang secara resmi menyatakan kebenaran prinsip matematika dari tuas (dikutip oleh Pappus of Alexandria).
Yohanes Tzetzes
Salah satu karya terpenting Yohanes adalah "Book of Histories", biasanya disebut "Khiliades" ("ribuan"). Buku tersebut merupakan kumpulan hal-hal mengenai sastra, sejarah, dan teologi.
Teori segala sesuatu
Archimedes mungkin merupakan ilmuwan pertama yang diketahui telah menggambarkan alam dengan aksioma (atau prinsip) dan kemudian menyimpulkan hasil baru dari aksioma tersebut. Dengan demikian dia mencoba untuk menggambarkan "segalanya" mulai dari beberapa aksioma. Setiap "teori segala sesuatu" juga diharapkan memiliki dasar sebuah aksioma dan bisa menyimpulkan semua fenomena yang dapat diamati dari aksioma-aksioma tersebut./sup> detik setelah dentuman besar), empat gaya fundamental pernah menyatu menjadi satu gaya fundamental. Menurut teori dawai, setiap partikel di alam semesta, pada tingkat yang paling mikroskopik (Panjang Planck), terdiri dari berbagai kombinasi dawai bergetar (atau helai) yang masing-masing memiliki pola getaran tersendiri. Teori dawai selanjutnya mengklaim bahwa melalui pola osilasi khusus dari dawai, sebuah partikel massa dan muatan gaya yang unik terbentuk (artinya, elektron adalah jenis dawai yang bergetar satu arah, sedangkan up-quark adalah Jenis string bergetar dengan cara lain, dan sebagainya).
Mesir Kuno
Perhitungan matematika tertua yang ditemukan berasal dari periode Naqada, yang juga menunjukkan bahwa bangsa Mesir ketika itu telah mengembangkan sistem bilangan. Nilai penting matematika bagi seorang intelektual kala itu digambarkan dalam sebuah surat fiksi dari zaman Kerajaan Baru. Pada surat itu, penulisnya mengusulkan untuk mengadakan kompetisi antara dirinya dan ilmuwan lain berkenaan masalah penghitungan sehari-hari seperti penghitungan tanah, tenaga kerja, dan padi. Teks seperti Papirus Matematika Rhind dan Papirus Matematika Moskwa menunjukkan bahwa bangsa Mesir Kuno dapat menghitung empat operasi matematika dasar — penambahan, pengurangan, pengalian, dan pembagian — menggunakan pecahan, menghitung volume kubus dan piramid, serta menghitung luas kotak, segitiga, lingkaran, dan bola. Mereka memahami konsep dasar aljabar dan geometri, serta mampu memecahkan persamaan simultan.
Bilangan Erdős
Konsep ini dinamai atas nama matematikawan terkemuka berkebangsaan Hungaria, Paul Erdős. Sepanjang sejarah perkembangan penelitian, Paul Erdős merupakan matematikawan yang menghasilkan publikasi ilmiah terbanyak, yakni sekitar 1525 publikasi. Selain itu, Paul Erdős dikenal sebagai salah satu matematikawan yang sangat berpengaruh pada abad keduapuluh dengan melakukan banyak sekali kolaborasi dengan ratusan matematikawan terkemuka di dunia. Alhasil, banyak para kolaborator Erdős yang kemudian menjadi orang-orang kunci dalam penelitian berbagai disiplin ilmu matematika.
Bilangan irasional
Gauss juga memberikan kontribusi sangat penting bagi teori bilangan. Di dalam bukunya pada tahun 1801, "Disquisitiones Arithmeticae" (bahasa Latin:, Investigasi Aritmetika), yang mana, dalam banyak hal, Gauss memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk kekongruenan dan menggunakannya dalam presentasi yang baik di dalam aritmetika modular.
Sistem koordinat polar
Konsep sudut dan jari-jari sudah digunakan oleh manusia sejak zaman purba, paling tidak pada milenium pertama SM. Astronom dan astrolog Yunani, Hipparchus, (190–120 SM) menciptakan tabel fungsi dengan menyatakan panjang chord bagi setiap sudut, dan ada rujukan mengenai penggunaan koordinat polar olehnya untuk menentukan posisi bintang-bintang.
Dalam karyanya "On Spirals", Archimedes menyatakan Archimedean spiral, suatu fungsi yang jari-jarinya tergantung dari sudut. Namun, karya-karya Yunani tidak berkembang sampai ke suatu sistem koordinat sepenuhnya.
Matematika
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu yang berisi aritmetika dasar, jika "suara" (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka "tak-lengkap" (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan "di dalam sistem itu").
Teorema Terakhir Fermat
Pada tahun 1637, Fermat menulis teorema tersebut pada pinggiran salah satu halaman bukunya. Ia mengklaim telah menemukan bukti dari teori tersebut, hanya saja ia tidak bisa menuliskannya karena pinggiran halaman bukunya tidak muat lagi. Akan tetapi, selama 357 tahun berikutnya, para matematikawan dunia tidak dapat membuktikannya, dan teorema ini menjadi salah satu teka-teki terbesar dalam matematika. Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris bernama Andrew Wiles berhasil membuktikan kebenaran teorema ini.