Miten algebrallinen struktuuri määritellään?
Reaaliluku
Tarkastellaan abstraktia joukkoa formula_7, jossa on määritelty abstrakti yhteenlasku formula_8, abstrakti kertolasku formula_9 (missä piste jätetään usein kirjoittamatta) ja abstrakti järjestysrelaatio formula_10. Algebrallinen struktuuri formula_11 on "täydellinen järjestetty kunta" eli "reaalilukujen kunta", jos sillä on seuraavassa mainitut "algebralliset ominaisuudet", "järjestysominaisuudet" ja "täydellisyysominaisuus".
Tekijäavaruus (lineaarialgebra)
Olkoon "T" : "V" → "W" lineaarikuvaus. "T":n "ydin" (kernel), jolle käytetään merkintää ker("T") on niiden alkioiden "x" ∈ "V" joukko, joilla "Tx" = 0. Ydin on "V":n aliavaruus. Lineaarialgebran ensimmäisen isomorfialauseen mukaan tekijäavaruus "V"/ker("T") on isomorginen "V":n kuva-avaruuden kanssa, joka on "W":n aliavaruus. Äärellisulotteisten avaruuksien tapauksessa tästä seuraa myös, että "V":n dimensio on sama kuin "T":n ytimen kuva-avaruuden dimensioiden summa: