نابرابری میانگین حسابی-هندسی
"میانگین حسابی" فهرستی از "n" عدد است ("x"،  "x"،  .  .  .،  "x"). حالت کسری تقسیم مجموع اعداد بر عدد "n" برابر است با:
۰٫۹۹۹…
یکی از دلایلی که اعداد اعشاری متناوب یک شکل گسترش‌یافته اعداد اعشاری مختومند، نشان‌دادن کسرها می‌باشد. استفاده از تقسیم طولانی، یعنی تقسیم ساده اعداد صحیحی مانند عدد تناوبی ۰٫۱۱۱… را حاصل می‌کند که در آن، ارقام بدون پایان، تکرار می‌شوند. این اعداد اعشاری یک اثبات سریع برای ۰٫۹۹۹…=۱ را ثمر می‌دهد. ضرب عدد ۱ در ۹، برابر ۹ است، لذا ۹ ×۰٫۱۱۱… برابر ۰٫۹۹۹… و برابر ۱ است، لذا ۰٫۹۹۹…=۱.