سقوط آزاد
با وجود اصطکاک دو نیروی مخالف هم به جسم وارد می‌شوند اولی گرانش و دیگری اصطکاک. نیروی گرانش ثابت و برابر formula_1 رو به پایین است ولی نیروی اصطکاک متغیر و وابسته به سرعت جسم و رو به بالاست و برابر: که در آن: بنابرین برآیند نیروها برابر است با: پس اندازه شتاب در راستای عمود برابر است با: از آنجایی که formula_19 این معادله تبدیل به یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول می‌شود که با حل آن سرعت به صورت زیر بدست می‌آید:
سیاره دوگانه
آیزاک آسیموف، دانشمند روس‌تبار آمریکایی نظریه‌ای تحت عنوان مقدار نسبت کشش (نسبت طناب‌کشی) را برای ایجاد تمایز بین منظومهٔ «سیارهٔ دوگانه» و منظومهٔ سیاره-قمر ارائه کرد که بستگی به اندازهٔ نسبی دو جسم ندارد. این مقدار به سادگی میزان نیروی وارده از جسم بزرگ‌تر به جسم کوچک‌تر را به نسبت میزان نیروی وارده از خورشید به جسم کوچک‌تر محاسبه می‌کند. این مقدار با فرمول زیر به دست می‌آید: