نابرابری میانگین حسابی-هندسی
"میانگین حسابی" فهرستی از "n" عدد است ("x"،  "x"،  .  .  .،  "x"). حالت کسری تقسیم مجموع اعداد بر عدد "n" برابر است با:
شماره استاندارد بین‌المللی کتاب
رایج‌ترین اشتباه در وارد کردن شابک‌ها آن است که یک رقم پس و پیش شود یا یکی از ارقام کلاً اشتباه نوشته شود. اثبات ریاضی وجود دارد که نشان می‌دهد که در مجموعهٔ تمام شابک‌های ده‌رقمی معتبر، هیچ کدامشان کمتر از دو رقم متفاوت با هم ندارند؛ بنابراین اگر اشتباه در یکی از ارقام رخ بدهد، محصول کار قطعاً یک شابک نامعتبر خواهد بود و این امر با استفاده از عدد کنترل قابل تشخیص خواهد بود.