Paradoja de Bertrand
Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2).
Parábola (matemática)
Para trisecar formula_73, colocar su cateto formula_74 en el eje "x" de manera que el vértice formula_75 esté en el origen del sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas también contiene la parábola formula_76. El círculo unitario con radio 1 alrededor del origen se cruza con el otro cateto del ángulo formula_77 y, desde este punto de intersección, se debe dibujar la perpendicular sobre el eje "y". El paralelo al eje "y" que pasa por el punto medio de esa perpendicular y la tangente en el círculo unitario en formula_78 se intersecan en formula_56. El círculo alrededor de formula_56 con radio formula_81 se cruza con la parábola en formula_82. La perpendicular de formula_82 al eje "x" interseca el círculo unitario en formula_84, y formula_85 es exactamente un tercio de formula_73.