Paradoja de Bertrand
Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2).
Vértice hidrográfico
Un vértice o tripunto hidrográfico, también a veces menos precisamente tripunto hidrológico, es un punto en la superficie de la tierra donde se encuentran tres cuencas hidrográficas, es decir, donde se cruzan dos líneas divisorias de agua. Los tripuntos van desde picos de montañas prominentes hasta picos menores y simples cambios de pendiente en una cresta que de otra manera no serían notables. La altitud de un vértice hidrográfico puede ser de miles de metros hasta apenas estar sobre el nivel del mar. Los tripuntos son una característica hidrográfica común de cualquier terreno que tenga ríos, arroyos y/o lagos.