Paradoja de Bertrand
Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2).
Triángulo sagrado egipcio
Podemos relacionar un triángulo semejante al triángulo sagrado egipcio con cualquier parábola. El vértice correspondiente a la reunión de la hipotenusa con el cateto proporcional a 4 está en el foco de la parábola. El punto medio de ese cateto es un punto de la parábola, donde culmina el lado recto. Si trazamos un segmento de recta perpendicular al otro extremo del cateto -opuesto al foco- y marcamos un punto distante tres cuartas partes de la longitud de este mismo cateto en el sentido de apertura de la curva, estamos sobre otro punto de la curva. El vértice de la parábola dista del foco una distancia igual a una cuarta parte de la longitud de este cateto proporcional a 4 del triángulo descrito. Para la parábola y = x² los puntos que definen al triángulo son: (0, ¼), (1, ¼) y (1, 1). Este triángulo es ¼ (3, 4, 5). Dado que todas las parábolas tienen la misma forma, siempre se podrá ubicar un triángulo semejante en diferentes escalas. Por la simetría axial de la parábola hay dos triángulos idénticos en cada parábola y un tercero, isósceles, con base proporcional a 8 y altura proporcional a 3, con las hipotenusas de los dos primeros como lados iguales.