Coordenadas trilineales
Dado un triángulo de vértices "ABC", la posición del vértice "B" se puede expresar en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas, que se representa algebraicamente como un vector "B", con el vértice "C" como origen. Así mismo, se define el vector de posición del vértice "A" como "A". Entonces cualquier punto "P" asociado con el triángulo de referencia "ABC" puede definirse en un sistema cartesiano como un vector "P" = "k'A" "k'B". Si este punto "P" tiene coordenadas trilineales "x: y: z" entonces la fórmula de conversión de los coeficientes de "k" y "k" en la representación cartesiana a las coordenadas trilineales es, para las longitudes de los lados del triángulo "a", "b", "c" opuestos a los vértices "A", "B", "C",
Sin pérdida de generalidad
¿Por qué se puede suponer eso? Porque el caso general de un triángulo arbitrario podemos deducirlo usando el "caso rectángulo" como sigue: Llamamos "a" al ángulo mayor y "b", "c" a los otros dos. Trazamos la altura del triángulo por el ángulo a, que lo divide en dos ángulos a1 y a2 (con a1+a2=a). Tenemos dos triángulos rectángulos. Uno de ellos tiene un ángulo recto, otro vale b y otro a1, de modo que b+a1=recto. El otro tiene un ángulo recto, otro vale c y otro vale a2, de modo que c+a2=recto. Los ángulos del triángulo inicial suman entonces:  a+b+c = (a1+a2)+b+c = (b+a1)+(c+a2) = recto+recto = llano