Lógica proposicional
La lógica es conocida como una de las ciencias más antiguas, tanto es así que se le atribuye a Aristóteles la paternidad de esta disciplina. Partiendo de que corresponde a Aristóteles haber sido el primero en tratar con todo detalle la lógica, se le considera su fundador. En un principio se llamó Analítica, en virtud del título de las obras en que trató los problemas lógicos. Más tarde los escritos de Aristóteles relativos a estos eventos fueron recopilados por sus discípulos con el título de Órganon, por considerar que la lógica era un instrumento para el conocimiento de la verdad.
Lógica de segundo orden
Una lógica de segundo orden incluye cuantificadores de varios tipos (formula_7), además de cuantificadores de primer orden que requieren variables como las de la lógica de primer orden, existen cuantificadores para subconjuntos o propiedades, que no pueden aparecer en una lógica de primer orden. De la misma manera en la lógica de primer orden, la lógica de segundo orden puede contener signos no-lógicos para construir un lenguaje de segundo orden específico. La lógica de segundo orden contine fórmulas de primer orden y fórmulas de segundo orden. Una fórmula de lógica de segundo orden se llama fórmula de primer orden (y se considera un elemento del conjunto formula_8 o del conjunto formula_9) si todos sus cuantificadores cuantifcan variables de primer orden (pudiendo contener además variables de segundo orden libres). Una fórmula de segundo orden existencial es una fórmula del conjunto formula_10 que contiene además algunos cuantificadores existenciales sobre variables de segundo orden, es decir, formula_11, donde formula_12 es una fórmula de primer orden. El conjunto de fórmulas existenciales de segundo orden que contiene solo existenciales formula_13 se designa como formula_10 o incluso ∃SO. Las fórmulas de formula_15 se definen dualmente, son el conjunto de fórmulas de segundo orden que contienen solo cuantificadores formula_16. Pueden formarse conjuntos más complicados definidos recursivamente para cualquier "k" > 0, como formula_17 formado por fórmulas de la forma formula_18, donde formula_12 es una fórmula del tipo formula_20. (Ver jerarquía analítica para una construcción análoga de la aritmética de segundo orden.)