Paradoja de Bertrand
Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2).
Problema de Lambert
forman un triángulo en el plano definido por los vectores formula_9y formula_11 como se muestra en en figura 1. La distancia entre los puntos formula_14 y formula_15 es formula_16, la distancia entre los puntos formula_14 y formula_18 es formula_19 y la distancia entre los puntos formula_15 y formula_18 es formula_22. El valor de formula_23 es positivo o negativo dependiendo de cuál de los puntos formula_14 y formula_15 está más alejado del punto formula_18. El problema geométrico a solucionar consiste en encontrar todas las elipses que pasan por los puntos formula_14y formula_15 y tienen un foco en el punto formula_18.