Paradoja de Bertrand
Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2).
Triángulo
Euclides había demostrado este resultado en sus "Elementos" (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice "C" es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.