Paradoja de Bertrand
Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2).
Grafos sin triángulos
Un conjunto independiente de v"n" vértices en un grafo sin triángulos de n vértices es fácil de encontrar: o bien hay un vértice con mayor que v"n" vecinos (en cuyo caso los vecinos son un conjunto independiente ) o todos los vértices tienen menos de v"n" vecinos (en cuyo caso cualquier conjunto independiente maximal debe tener al menos v"n" vértices). Esta cota se pueden mejorar ligeramente: en cada grafo sin triángulos existe un conjunto independiente de formula_1 vértices, y en algunos grafos sin triángulos cada conjunto independiente tiene formula_2 vértices. Una forma de generar grafos sin triángulos en el que todos los conjuntos independientes son pequeños es el proceso de eliminación de triángulos " en el que se genera un grafo sin triángulos maximal añadiendo iterativamente aristas elegidas al azar que no completen un triángulo. Con probabilidad muy alta, este proceso produce un grafo con el número de independencia formula_2. También es posible encontrar un Grafo regular con las mismas propiedades.