Paradoja de Bertrand
Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2).
Tetraedro
Un tetraedro ("no necesariamente regular") se define en ℝ conociendo las coordenadas de sus cuatro vértices, por ejemplo formula_14. Cualquiera de sus cuatro caras se define por el triángulo formado por los tres vértices de la misma, cada una de las caras define un plano ("plano por tres puntos") base de la altura que forma con el vértice opuesto, siendo dicho vértice opuesto el punto restante que no se usó al definir la cara. Se puede imaginar un tetraedro pensando en que su base está definida por el triángulo formado por tres vértices cualquiera del mismo a los que llamaremos formula_15 y formula_16 y que existe un vértice opuesto a esa base al que llamaremos formula_17 .