¿Cómo usar la geometría en la vida cotidiana?
Geometría sagrada
Fritjof Capra relaciona la geometría con las matemáticas de la complejidad para argumentar que la comprensión del patrón es fundamental para el entendimiento de la trama de la vida y que todas las cuestiones de patrón, orden y complejidad son esencialmente matemáticas.
Geometría sagrada
Teniendo en cuenta la geometría, la vida se inicia como un óvulo o esfera, pasa a convertirse en un tetraedro, después en una estrella tetraédrica y posteriormente en un cubo, a continuación en una nueva esfera y termina en un corpúsculo tubular.
Tangram
Hoy en día, el Tangram se usa como entretenimiento, en psicología, en educación física, en diseño, en filosofía y particularmente en pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se emplea para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños, pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.
Geometría euclidiana
En ocasiones los matemáticos usan las expresiones "geometría euclídea" o "geometría euclidiana" para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica.
Ágnes Heller
La vida cotidiana es el conjunto de actividades que realizamos en situaciones concretas para satisfacer nuestras necesidades y, en consecuencia, para seguir viviendo. Es lo común, lo habitual, lo que hacemos todos los días, y por hacerlo todos los días no lo registramos verdaderamente. La realidad que aparece como autoevidente, compartida con otros semejantes que la experimentan como yo y que constituye el basamento fundamental en el que se crea y se re-crea la sociedad como un mundo intersubjetivo. Para Heller, así como para otros sociólogos, la vida cotidiana es la dimensión fundamental de existencia social. Pero ella va más allá de la forma en que se manifiesta y agrega:
Geometría
Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos , uno de los libros más influyentes jamás escritos. Euclides introdujo ciertos axiomas o postulados que expresan propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante el razonamiento matemático. El rasgo característico de la aproximación de Euclides a la geometría fue su rigor, y ha llegado a conocerse como geometría axiomática o sintética . A principios del siglo XIX, el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y otros llevaron a un resurgimiento del interés por esta disciplina, y en el siglo XX, David Hilbert (1862 –1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría.
Historia de la geometría
Partiendo de la base de que la geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.
Geonomía
No obstante, la geonomía es una ciencia en sí misma, a la vez teórica y aplicada, que estudia los usos, el «consumo» y la reacción de los medios, que puede experimentar o preconizar determinadas acciones. A la vez descriptiva a partir de medidas, conceptual en términos de modelos y predictiva por la proyección de fenómenos observados, la geonomía permite conocer en qué condiciones se elaboran las transformaciones que tienen repercusiones en nuestra vida cotidiana. Permite sobre todo prever las consecuencias de nuestras decisiones por medio de los estudios de impacto. Puede mostrarnos cómo sobrevivir como especie en este planeta en continua transformación que habitamos y también lo que puede amenazar nuestra supervivencia. Desde 1953, en el marco de su curso sobre organización del espacio en la Escuela Práctica de Altos Estudios de Paris (E.P.H.E.), Maurice-François Rouge define así la geonomía: «"Es un conjunto de conocimientos científicos tomados de las ciencias y disciplinas de base (geografía física y humana, geología, pedología, climatología, ecología, demografía, sociología, economía...) que se aprovechan para describir la realidad de los espacios y las leyes y condiciones de sus posibles modificaciones; después una serie de combinaciones de estos aportes, con la ayuda de diferentes técnicas (matemáticas, cartográficas, estadísticas...) que constituyen los medios utilizados por el geonomista en su “arte” de buscar las mejores soluciones"».
Cuadrado greco-latino
Los cuadrados greco-latino se utilizan en el diseño de experimentos, la programación de torneos y la construcción de cuadrados mágicos. El escritor francés Georges Perec estructuró en 1978 su novela "La vida instrucciones de uso" en torno a un cuadrado ortogonal de 10×10.
François Viète
Así, la geometría parecía ser un instrumento seguro, y potente para resolver cuestiones algebraicas, pero la utilización del álgebra para resolver problemas geométricos parecía mucho más problemática. Y, sin embargo, esa era la propuesta de Viète.
Colinealidad
En cualquier geometría, un conjunto de puntos situados sobre una misma línea se dice que es colineal. En geometría euclidiana, esta relación se visualiza intuitivamente mediante puntos que se encuentran situados sobre una "línea recta". Sin embargo, en la mayoría de las geometrías (incluida la euclidiana), una recta suele ser un concepto básico, por lo que dichas visualizaciones no serán necesariamente apropiadas. Un modelo matemático de la geometría ofrece una interpretación de cómo los puntos, líneas y otros tipos de objetos se relacionan entre sí y una noción como la colinealidad debe interpretarse dentro del contexto riguroso de este modelo matemático. Por ejemplo, en geometría esférica, donde las líneas están representadas en el modelo estándar por los círculos máximos de una esfera, los conjuntos de puntos colineales se encuentran en el mismo círculo máximo. Tales puntos no se encuentran en una "línea recta" en el sentido euclidiano, y por lo tanto no se piensa que estén "en fila".
Ingeniería civil en geografía
El Ingeniero Civil en Geografía es un profesional capaz de aplicar los conocimientos de las matemáticas, ciencias naturales y ambientales, ciencias de la ingeniería, ciencias sociales y las metodologías de diagnóstico, planificación, diseño e implementación de sistemas territoriales que involucran bienes, información, recursos naturales y humanos en su dimensión espacial, para satisfacer cabalmente las necesidades de la sociedad y el mejoramiento de la calidad de vida, considerando las exigencias medio ambientales, económicas, tecnológicas, sociales y de calidad.
Geometría ordenada
La geometría ordenada es un tipo de geometría que presenta el concepto de intermediación pero, como la geometría proyectiva, omitiendo la noción básica de medición. La geometría ordenada es una geometría básica que forma un marco de trabajo común para las geometrías afín, euclidiana, absoluta e hiperbólica (pero no la geometría proyectiva).
Cartografía
La geometrización atravesó gran parte de la cultura visual de la ciencias modernas, afecto a las imágenes propiamente dichas y también a los modos de ver. El hombre creó métodos, que hacían que fenómenos que no podían ser conocidos, sino por medio del sentido del tacto, del gusto o del olfato, ahora podían ser visualizados, esa racionalización de la mirada reposaba en las producciones de los clásicos de la modernidad, y los mapas de la modernidad no resultaban ajenos a esa mirada, representando isomorfismos y proporcionalidad, inventando una nueva geometría de la representaciones geográficas. Esa proporcionalidad es la que busca definir a la miniatura geográfica. El filósofo francés Gastón Bachelard sostenía que, las miniaturas son objetos faltos de provistos de una objetividad psicológica real, y que miniaturizar el mundo, implicaba poseerlo.
Historia de la geometría
La civilización babilónica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría. La invención de la rueda abrió el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente al descubrimiento del número π (pi); También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 365 días, además implementaron una fórmula para calcular el área del trapecio rectángulo.
Historia de la geometría
En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática y constructiva, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en "Los Elementos".
Matemáticas y arte
Los artistas, sin embargo, no necesariamente asumen literalmente las propiedades de la geometría como ciencia. Como Douglas Hofstadter escribió en su reflexión de 1980 sobre el pensamiento humano, "", a través de (entre otras cosas) las matemáticas del arte: "La diferencia entre un dibujo de Escher y la geometría no euclidiana es que en esta última, se pueden encontrar interpretaciones comprensibles para los términos indefinidos, lo que resulta en un sistema total comprensible, mientras que para el primero, el resultado final no se puede reconciliar con la propia concepción del mundo, sin importar cuánto se mire a las imágenes". Hofstadter discute la aparentemente paradójica litografía "Print Gallery" obra de M. C. Escher, que representa una ciudad costera que a su vez contiene una galería de arte que parece contener una pintura de la ciudad costera, con un "bucle extraño o jerarquía entramada" entre los distintos niveles de realidad de la imagen. El propio artista, observa Hofstadter, no se ve; su realidad y su relación con la litografía no son paradójicas. El vacío central de la imagen también ha atraído el interés de los matemáticos Bart de Smit y Hendrik Lenstra, quienes proponen que podría contener una copia de sí misma, rotada y encogida mediante el efecto Droste; esta sería una ilustración más de la recursión más allá de lo señalado por Hofstadter.
Compás plano
Además de la facilidad de uso, el compás orienta el trabajo de la geometría hacia un concepto más práctico y las medidas de ángulos, trazos y círculos. Las líneas y curvas están orientados con respecto de los puntos cardinales del planeta y del nivel de agua su ubicación es más sencilla y funcional. El compás plano no solo traza curvas, líneas o ángulos, sino que además permite el trazo de cualquier polígono a partir de la longitud deseada de uno de sus lados.
Geodesia
La geodesia suministra, con sus teorías y los resultados de sus mediciones y cálculos, la referencia geométrica para las demás geociencias como también para la geomática, los sistemas de información geográfica, el catastro, la planificación, la ingeniería, la construcción, el urbanismo, la navegación aérea, marítima y terrestre, entre otros, e incluso para aplicaciones militares y programas espaciales.
Geodesia
La geodesia también se emplea en matemáticas para la medida y el cálculo en superficies curvas. Se usan métodos semejantes a los utilizados en la superficie curva de la Tierra.
Álgebra geométrica
En las matemáticas, álgebra geométrica es un término aplicado a la teoría de las álgebras de Clifford y teorías relacionadas, siguiendo un libro del mismo título por Emil Artin. Este término también ha tenido reciente uso en los tratamientos de la misma área en la literatura física. En David Hestenes "et al." álgebra geométrica es una reinterpretación de las álgebras de Clifford sobre los reales (lo que se afirma como una vuelta al nombre y a la interpretación originales previstos por William Clifford). Los números reales se utilizan como escalares en un espacio vectorial "V". Desde ahora en adelante, un vector es algo en "V" mismo. El producto externo (producto exterior, o producto cuña) ∧ se define tal que se genere el álgebra graduada (álgebra exterior de Hermann Grassmann) de Λ V de multivectores. El álgebra geométrica es el álgebra generada por el producto geométrico (el cual es pensado como fundamental) con (para todos los multivectores A, B, C)
Simetría especular (teoría de cuerdas)
Hay diferencias notables entre el mundo descrito por la teoría de cuerdas y el mundo cotidiano. En la vida diaria, hay tres dimensiones espaciales conocidas —arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás— y una dimensión de tiempo ―después/antes―. Así, en el lenguaje de la física moderna, se dice que el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones o cuatridimensional. Una de las características peculiares de la teoría de cuerdas es que requiere dimensiones adicionales para su consistencia matemática. En la versión que incorpora un planteamiento hipotético llamado supersimetría a la teoría de supercuerdas, hay seis dimensiones espaciales adicionales además de las cuatro conocidas, dando lugar a un espacio-tiempo de diez dimensiones.
Geometría hiperbólica
Podría muy bien suceder que la geometría hiperbólica fuera realmente verdadera en nuestro mundo a escala cosmológica. Sin embargo, la constante de proporcionalidad entre el déficit de ángulo para un triángulo y su área tendría que ser "extraodinariamente" pequeña en este caso, y la geometría euclídea sería una excelente aproximación a esta geometría para cualquier escala ordinaria.
Historia de la geometría
En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pregunta por el modelo que debe de seguir el espacio físico, el espacio en el que nos movemos, cuál es su dimensión, cuál es su geometría.
Geología económica
Los recursos minerales tienen una gran importancia en la vida diaria del hombre actual, ya que estos proveen muchos elementos básicos que ayudan a hacer más fácil la vida moderna y que nos permiten tener calefacción, electricidad, llenar el depósito de combustible de nuestros vehículos, hacer abonos para fertilizar nuestras tierras, obtener materiales para construir viviendas y edificios, producir medicamentos, accesorios, etc.
Introducción matemática a la relatividad general
El espacio euclídeo es el espacio ordinario. Fue el matemático griego, Euclides, quien en el siglo III a. C. sistematizó en su obra "Fundamentos" los conocimientos geométricos de la ciencia griega: En ella se realizaba un estudio minucioso y sistemático de las figuras geométricas y se establecían 5 postulados fundamentales. De ellos, el más importante era el quinto, denominado "[[quinto postulado de Euclides]]", cuyas proposiciones principales son las siguientes:[[Archivo:Sphere closed path.png|200px|miniatura|derecha|La superficie de la esfera es un paradigma de geometría elíptica. Como se puede contemplar en esta imagen, los ángulos de un triángulo trazado sobre dicha superficie suman más de 180 grados.]] Este esquema fue aceptado por los matemáticos de los siglos posteriores. Sin embargo, en el siglo VII DC, algunos matemáticos árabes, como [[Thábit ibn Qurra]], se dieron cuenta de que los postulados de Euclides no funcionaban en determinadas estructuras geométricas, como la superficie de una esfera. Se comenzó a desarrollar progresivamente el estudio de la llamada geometría elíptica, de "curvatura positiva", cuyas características principales eran (y aún siguen siendo) las siguientes:Otros matemáticos posteriores, como [[János Bolyai]] o [[Nikolai Ivanovich Lobachevski|Nikolai Lobachevski]] crearon otro modelo geométrico no euclídeo que sin embargo, tenía una configuración completamente opuesta a la de la geometría elíptica: Se trataba del espacio hiperbólico, o de "curvatura negativa", cuyas características principales son las siguientes:[[Archivo:Hyperbolic triangle.svg|200px|miniatura|izquierda|La superficie de una silla de montar tiene las propiedades de un espacio hiperbólico. Los ángulos de cualquier triángulo que se trace sobre ella suman menos de 180º. Las líneas paralelas no permanecen a una distancia constante sino que divergen progresivamente entre sí.]] Ahora bien, las geometrías elíptica e hiperbólica eran contempladas como simples casos especiales que no afectaban a la estructura del espacio en sí, que se consideraba plano y euclideo. Fue Carl Friedrich Gauss el primer matemático que intuyó la posibilidad de que nuestro espacio fuese curvo. Aunque incluso realizó experimentos al efecto, el genial matemático alemán no llegó a elaborar una teoría coherente en esta materia. Dicho honor le correspondería a su discípulo, Bernhard Riemann, cuyo trabajo, ""Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen."" revolucionaría el mundo de las matemáticas y la física. Unas décadas después, el matemático francés Henri Poincaré hacía la siguiente reflexión en uno de sus estudios: Si nuestro espacio es curvo, y dicha curvatura era capaz de afectar incluso a los rayos de la luz, provocando su difracción, nosotros experimentaríamos vivir en un espacio euclideo. Nada impediría, por tanto, concebir a nuestro espacio como intrínsecamente curvo.
Geometría
Si bien Euclides básicamente se restringió a conceptos geométricos representables mediante figuras (puntos, líneas, círculos, etc.) el desarrollo de otras ramas de las matemáticas no conectadas inicialmente con la geometría propiamente dicha, llevó a poder aplicar las herramientas de otras ramas a problemas propiamente geométricos así nacieron: . La geometría algebraica . La geometría analítica . La geometría descriptiva
Introducción a la relatividad general
Los objetos elementales de la geometría - puntos, curvas, triángulos - tradicionalmente se definen en un espacio tridimensional o en una superficie de dos dimensiones. Sin embargo, en 1907 el matemático Hermann Minkowski introdujo una formulación geométrica de la teoría especial de la relatividad de Einstein que incluye no sólo el espacio sino también el tiempo. La entidad básica de esta nueva geometría es el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Las órbitas de los cuerpos en movimiento son líneas en el espacio-tiempo; las órbitas de los cuerpos moviéndose a velocidad constante sin cambiar de dirección son líneas rectas.
Morfometría
La visualización de los cambios de la forma es el corazón mismo de la morfometría geométrica. Una ventaja de la morfometría geométrica es que las diferencias de la forma pueden ser visualizadas directamente como ilustraciones o animaciones computacionales. De hecho, es esta faciliad de visualización en comparación con la morfometría tradicional es parte de las razones por las que la morfometría geométrica se ha establecido como disciplina (Rohlf and Marcus 1993). Los diversos métodos de visualización pueden comunicar incluso los complejos cambios morfológicos de manera mucho más efectiva que las tablas de coeficientes que resultan de los análisis tradicionales morfométricos. Estas visualizaciones proporcionan información sobre los cambios morfológicos en su contexto anatómico inmediato. La visualización en morfometría geométrica está basada principalmente en dos principios: la visualización de los cambios en la forma mostrando los desplazamientos relativos de marcas en diferentes formas, y la visualización mostrando la deformación de una gradilla, un contorno o una superficie que es interpolada entre los cambios de la forma. Estos dos enfoques pueden ser usados combinadamente. Los avances en gráficos han permitido producir atractivas ilustraciones de los cambios de las formas en dos o tres dimensiones bajo estos enfoques.
Historia de la geometría
El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él quien descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada geometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina invariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera). Resumiendo, Klein define soterradamente una geometría como dar el subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo que uno admitirá como "grupo principal". Los "conceptos" o "definiciones" serán los invariantes por ese grupo principal, y los "teoremas" serán las relaciones entre los conceptos.
Matemáticas y arquitectura
Matemáticas y arquitectura están relacionadas, ya que los arquitectos (al igual que otros artistas) se sirven de las matemáticas en su actividad por varias razones: además de las matemáticas necesarias para el cálculo y el diseño estructural de la futura construcción, su trabajo está íntimamente relacionado con la geometría que se requiere para definir la forma espacial de un edificio. Ya desde la época de los pitagóricos (siglo VI a.C.), se consideraba que para crear formas armoniosas de los edificios y de su entorno, se debía recurrir a principios matemáticos, tanto por planteamientos estéticos como en ocasiones religiosos. También ha sido habitual decorar edificios con motivos geométricos, incluyendo todo tipo de teselados. Otro aspecto importante es la vinculación con el diseño arquitectónico de los cálculos precisos para optimizar la estructura de un edificio, ajustando las dimensiones de sus elementos constructivos (vigas, pilares, arcos, bóvedas, cúpulas, voladizos, muros...) a las distintas cargas que deberá soportar la edificación (peso propio, cargas y sobrecargas de uso, efectos del viento y de la nieve, seísmos, dilataciones térmicas...) de acuerdo con las características mecánicas de los materiales a utilizar (madera, sillería, mampostería, ladrillos, cal, cemento, hormigón, hormigón armado, hormigón pretensado, hierro, acero, vidrio...).
Plano proyectivo
Viendo sus dos principios (dos rectas se cortan en un punto y dos puntos definen una recta), la geometría proyectiva parece la más pobre de todas las geometrías, pues en sus enunciados sólo interviene el concepto de incidencia. No admite los conceptos de paralelismo, de perpendicularidad, distancia o ángulo. Solo permite enunciados de incidencia tales como:Sin embargo, según hemos visto, los enunciados geométricos en que además interviene el concepto de paralelismo (la llamada geometría afín) pueden reformularse en el plano proyectivo sin más que fijar una recta, recta que entonces recibe el nombre de «recta del infinito». Así, todo enunciado afín admite un enunciado proyectivo equivalente, y la geometría afín puede verse como una pequeña parte de la geometría proyectiva: es la geometría de un plano proyectivo con una recta prefijada (o un plano en el espacio proyectivo, etc.). Igualmente se vio que la geometría euclídea se obtiene al fijar dos puntos complejos conjugados en la recta del infinito (los puntos donde cortan todas las circunferencias), quedando así englobada en la Geometría proyectiva: es la geometría de un plano proyectivo donde se han fijado dos puntos complejos conjugados de una recta. Incluso la geometría hiperbólica, la primera de las geometrías no euclídeas, puede obtenerse fijando una cónica: los puntos de la geometría son los puntos interiores de la cónica, las rectas son las secciones del interior de la cónica con rectas, y la distancia entre dos puntos A, B es esencialmente su razón doble con los puntos de corte P, Q de la recta AB con la cónica dada:
Topología
Además de estas tres ramas, que podríamos decir propiamente topológicas, la implicación en mayor o menor medida en otras disciplinas matemáticas hacen que muchos consideren parte de la topología al análisis funcional, la teoría de la medida, la teoría de nudos (parte de la topología de dimensiones baja), la teoría de grupos topológicos, etc. Es fundamental su contribución a la teoría de grafos, análisis matemático, ecuaciones diferenciales, ecuaciones funcionales, variable compleja, geometría diferencial, geometría algebraica, álgebra conmutativa, estadística, teoría del caos, geometría fractal... Incluso tiene aplicaciones directas en biología, sociología, etc.
Geometría del espacio
La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.
Morfometría geométrica
Esta capacidad de extraer y comunicar información acerca de la localización espacial de variación morfológica (su magnitud, posición y extensión espacial en el organismo) es uno de los beneficios más importantes de la morfometría geométrica. Sin embargo, la morfometría geométrica no resuelve todos los problemas a los que se enfrentan los métodos tradicionales. Por ejemplo, la disposición de marcas no provee información respecto a las estructuras curvas en los organismos. La solución a este problema requiere del análisis de puntos en la curva que no son marcas. Actualmente se han desarrollado y utilizado métodos para analizar las curvas por lo que es probable que esta limitación de morfometría sea algo transitorio. La morfometría geométrica puede tener una limitación que no poseen los métodos tradicionales: la restricción a datos de dos dimensiones. Sin embargo, la teoría matemática desarrollada en morfometría geométrica no posee ningún obstáculo para analizar formas en tres dimensiones. Los obstáculos provienen del manejo de información en tres dimensiones: 1) el costo del equipo para obtener las coordenadas tridimensionales y 2) la dificultad de representar los resultados en un medio estático, como en páginas de una revista, artículos o algún medio impreso.
Geometría no euclidiana
Eso hace que la geometría no sea homogénea, y permite distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante en la teoría de la relatividad general, ya que en principio es posible hacer experimentos de medición de distancias y ángulos que permitan distinguir unos puntos del espacio de otros, tal como especifican numerosos experimentos mentales imaginados por Einstein y otros en los que un experimentador encerrado en una caja puede realizar experimentos para decidir la naturaleza del espacio-tiempo que le rodea.
Geometría constructiva de sólidos
En la concepción de la geometría constructiva las primitivas forman un conjunto cerrado y el usuario no puede crear nuevas primitivas, sino solamente modelar combinando las primitivas disponibles. En la práctica las aplicaciones GCS suelen proporcionar al usuario medios para expresar otras geometrías iniciales. El caso más común es la extrusión de una figura 2Dː el usuario genera una polígono 2D arbitrario con segmentos, y a usa como plantilla para generar un sólido, dándole espesor es una tercera dimensión. El usuario incorpora una primitiva a su modelo creando una instancia de ésta, con una serie de parámetros, algunos generales y otros específicos de la primitiva, por ejemploːEl modelado se realiza mediante la combinación de primitivas. Algunas operaciones sobre cuerposːEsta técnica de modelado encuentra su nicho en el modelado mecánico, específicamente en el diseño paramétrico, donde se diseñan piezas con dimensiones y especificaciones técnicas precisas. Este tipo de diseño contrasta con el diseño artístico, más intuitivo y espontáneo. Por este motivo esta técnica de modelado casi no se utiliza fuera de la ingeniería.
Geometría de las transformaciones
Una exploración de la geometría de las transformaciones a menudo comienza con un estudio de las simetrías que se encuentra en la vida diaria. La primera transformación real es la "reflexión respecto a una recta" o "reflexión respecto a un eje". La composición de dos reflexiones da como resultado un movimiento de rotación cuando las líneas se intersecan, o un traslación cuando son paralelas. Así a través de las transformaciones los alumnos aprenden sobre la isometría afín. Por ejemplo, si se considera la reflexión respecto a una línea vertical y a una línea inclinada a 45° con respecto a la horizontal, se puede observar que una composición produce un cuarto de giro en sentido antihorario (90°), mientras que la composición inversa produce un cuarto de giro en el sentido de las agujas del reloj. Tales resultados muestran que la geometría de las transformaciones incluye procesos conmutativos.
Wilhelm Jordan
Wilhelm Jordan, en su trabajo sobre topografía, usó el método de mínimos cuadrados de forma habitual. Este método es especialmente útil en disciplinas como la topografía, la geodesia o la astronomía, caracterizadas porque cuando se realizan observaciones existe una redundancia en medidas de ángulos y longitudes. No obstante, existen relaciones que conectan las medidas, y se pueden escribir como un sistema lineal sobre-determinado (más ecuaciones que incógnitas) al cual se le aplica el método. El propio Jordan participó en trabajos de geodesia a gran escala en Alemania, así como en la primera topografía del desierto de Libia. En 1873 fundó la revista alemana "Journal of Geodesy" y ese mismo año publicó la primera edición de su famoso "Handbuch".
Expansión métrica del espacio
Por ejemplo, considerando la medida de la distancia entre dos lugares en la superficie de la Tierra. Este es un ejemplo familiar sencillo de una geometría no euclidiana. Debido a que la superficie de la Tierra es bidimensional, los puntos en la superficie de la Tierra se pueden especificar mediante dos coordenadas, por ejemplo, la latitud y la longitud. La especificación de una métrica requiere que uno primero especifique las coordenadas utilizadas. En nuestro ejemplo sencillo de la superficie de la Tierra, podemos elegir cualquier tipo de sistema de coordenadas, por ejemplo latitud y longitud o coordenadas cartesianas (X-Y-Z). Una vez que hemos elegido un sistema de coordenadas específico, el valor numérico de las coordenadas de dos puntos cualesquiera de las coordenadas de dos puntos son determinados de forma unívoca y basándonos en las propiedades del espacio sobre el que se está discutiendo, la métrica apropiada también se establece matemáticamente. En la superficie curvada de la Tierra, podemos ver este efecto en vuelos de largo recorrido donde la distancia entre dos puntos es medida basándose en un gran círculo y no a lo largo de la línea recta que pasa a través de la Tierra. En teoría hay siempre un efecto debido a esta curvatura, incluso para pequeñas distancias, pero en la práctica para lugares "cercanos", la curvatura de la Tierra es tan pequeña que es despreciable para distancias cortas.
Historia de las matemáticas
La geometría diferencial se convirtió en objeto de estudio como tal cuando Einstein la utiliza en la relatividad general. Áreas enteramente nuevas de la matemática como la lógica matemática, la topología y la teoría de juegos de John von Neumann, cambian el tipo de preguntas a las cuales se podía dar respuesta con métodos matemáticos. Todo tipo de estructura fue reducido a un grupo de axiomas abstracto, y se les dio nombres como espacio métrico, espacio topológico, etc. Estos conceptos, a su vez fueron abstraídos hacia una teoría de categorías, como se suele ser el caso en matemáticas. Grothendieck y Serre relanzan la geometría algebraica utilizando teoría de haces. Grandes avances fueron hechos en el estudio cualitativo de la teoría de sistemas dinámicos que Poincaré había comenzado en los 1890's. La teoría de la medida fue desarrollada en los tardíos 1900´s y comienzos del siglo XX. Las aplicaciones de la medida incluyen la integral de Lebesgue, la axiomatización de Kolmogorov de la teoría de la probabilidad, y la teoría ergódica. La teoría de nudos también se amplió. La mecánica cuántica llevó al desarrollo del análisis funcional. Otras nuevas áreas incluyen la teoría de distribuciones de Laurent Schwartz, los teoremas de punto fijo, la teoría de la singularidad y la teoría de las catástrofes de René Thom, la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot. La teoría de Lie, constituida por los grupos de Lie y las álgebras de Lie se volvieron áreas de gran interés.
Geometría diferencial
La geometría diferencial tiene importantes aplicaciones en física, especialmente en el estudio de la teoría de la relatividad general, donde el espacio-tiempo se describe como una variedad diferenciable.
Historia de la geometría
Los puntos básicos de la conferencia de Riemann son, por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamente el número de dimensiones del espacio (el Álgebra y el Análisis están ya creando la maquinaria necesaria para poder operar en dimensión finita arbitraria, con lo que definitivamente se podrá estudiar Geometría más allá de su visualización gráfica), es decir, de estudiar espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los geómetras de un instrumento, el tensor curvatura, que les permite estudiar las propiedades intrínsecas de esos nuevos objetos, esos nuevos espacios, las variedades.
Historia de la geometría
El método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás —además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro—. Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aún mucho —siglo XX— en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.Exactamente en el siglo XIX
Historia de la geometría
La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes.
Matemática incaica
Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaron partes del cuerpo humano como referencia. Además, emplearon objetos adecuados o acciones que permitían apreciar el resultado de otra manera, pero pertinente y efectiva.
Jakob Steiner
En su "«Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander»" Steiner sentó las bases de la geometría pura moderna, donde presenta las formas geométricas y la correlación entre ellas, en lo que él mismo llamó "geometría proyectiva", presentando mediante la ayuda de líneas y puntos una nueva generación de secciones cónicas y superficies cuadráticas de rotación, que llevan más directamente que otros métodos anteriores a la naturaleza de las cónicas y revelan la conexión con las formas orgánicas. En este tratado, además, se analiza por primera vez el principio de dualidad, como consecuencia de las propiedades fundamentales del plano, la línea y el punto.
Orografía
La orografía sirve para comprender el relieve de una región o zona relativamente pequeña, por lo que su representación cartográfica en mapas a gran escala (1:100.000, 1:50.000 o mayor) sirve de manera efectiva para planear obras de infraestructura (por ejemplo, el estudio de pendientes en el trazado de una carretera o de una línea de ferrocarril, en el diseño de una represa o de un puente, etc.). Además, el estudio geomorfológico y topográfico del relieve permite conocer muchas de las características que tienen aplicaciones prácticas en el campo de la investigación del suelo y del subsuelo, de los recursos hidráulicos, minerales, agrícolas y económicos en general de la zona de que se trate.
Geometría egipcia
Al igual que la aritmética, la geometría era una ciencia eminentemente práctica que ofrecía soluciones concretas a diversos problemas. Gran parte fue desarrollada por los escribas, funcionarios instruidos y cultos del antiguo Egipto que recibían lecciones de cálculo y escritura. Registraban el nivel del río Nilo (nilómetros), la producción de las cosechas, su almacenamiento, realizaban censos de población y ganado, registros de importación y exportación, etc. La necesidad de volver a marcar los límites de los terrenos de cultivo al bajar el nivel del agua del Nilo, después de las inundaciones anuales, impulsó el desarrollo de la geometría y los instrumentos de medición para el cálculo de áreas, volúmenes e incluso del tiempo.
Geometría
El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la ciencia de la geometría misma. . Las formas simétricas como el círculo, los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un significado profundo para muchos filósofos antiguos y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides. Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y fueron representados artísticamente en una multitud de formas, incluyendo los gráficos de Leonardo da Vinci, MC Escher y otros. .En la segunda mitad del siglo XIX, la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio.
Geometría diferencial
En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. Las variedades no tienen por qué tener una interpretación geométrica natural, ni tampoco tienen por qué estar inmersas en un espacio circundante: por ejemplo, el grupo lineal general formula_1 tiene estructura de variedad diferenciable, pero no una interpretación geométrica intuitiva.
Historia de la geometría
De hecho, Klein afirma que la comprensión de "tener una geometría, entonces hay un "grupo principal"" es más bien al revés. Uno a priori dice qué tipo de transformaciones admitirá (es decir, da el grupo) y todo lo demás se puede reconstruir a partir de él. Se demuestra incluso, que si uno da un subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo isomorfo a algún grupo clásico (simetrías, translaciones, proyectividades) entonces todos los teoremas de esa geometría son válidos en este.
Áreas de las matemáticas
Geometría se ocupa de relaciones espaciales, usando calidades fundamentales o axiomas. Tales axiomas se pueden utilizar conjuntamente con las definiciones matemáticas para los puntos, las líneas rectas, las curvas, las superficies, y los sólidos para dibujar conclusiones lógicas. Vea también Lista de los asuntos de la geometría
Geometría esférica
En geometría plana los conceptos básicos son el punto y la línea. En la esfera, los puntos están definidos en el sentido usual. Los equivalentes de las líneas no están definidos en el sentido usual de la "línea recta" sino en el sentido de "las trayectorias más cortas entre los puntos", lo cual es llamado geodésica. En la esfera los geodésicos son los grandes círculos, así que los otros conceptos geométricos son definidos como en la geometría plana pero con las líneas sustituidas por los grandes círculos. Así, en geometría esférica los ángulos están definidos entre los grandes círculos, resultando en una trigonometría esférica que diferencie de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos (por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo excede los 180 grados).
Áreas de las matemáticas
El estudio de la geometría usando cálculo, y se relaciona muy de cerca con topología diferenciada. Cubre las áreas tales como Geometría de Riemannian, curvatura y geometría diferenciada de curvas. Vea también glosario de la geometría y de la topología diferenciadas.
Trigonometría racional
La trigonometría racional es una reformulación de la métrica del plano y de la geometría del espacio (que incluye la trigonometría) propuesta por el matemático canadiense Norman J. Wildberger, profesor asociado de matemáticas en la Universidad de Nueva Gales del Sur. Sus ideas se exponen en su libro de 2005 ""Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry" (Proporciones divinas: de la Trigonometría Racional a la Geometría Universal)". Según la revista "New Scientist", parte de su motivación para una alternativa a la trigonometría tradicional era evitar algunos problemas que afirma que ocurren cuando se usan series infinitas en matemáticas. La trigonometría racional evita el uso directo de funciones transcendentes como el seno y las funciones trigonométricas, sustituyéndolas por sus equivalentes al cuadrado. Wildberger se inspira en los matemáticos anteriores a la teoría de conjuntos infinitos de Georg Cantor, como Carl Friedrich Gauss y Euclides, quienes asegura que eran mucho más cautelosos al usar conjuntos infinitos que los matemáticos modernos. Hasta la fecha, la trigonometría racional no se menciona en la literatura matemática convencional.
Historia de la geometría
Pero es sin duda la aparición de la geometría analítica lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en geometría.
Diseño
Para el arquitecto Damiano Franco, el diseño se encuentra hasta en la parte más ínfima de la vida del ser humano. ¿Qué sería de la vida cotidiana sin un diseño apropiado para cada una de las cosas y objetos? Un caos...
Quinto postulado de Euclides
En la actualidad, la geometría utiliza métodos distintos al sintético (establecer una serie de axiomas y deducir de ellos las propiedades geométricas del objeto a estudiar), que ha sido sustituido por métodos de topología, análisis y álgebra. Cuando se estudia un espacio, ya no resulta "interesante" saber, si cumple, o no, el V postulado de Euclides (aunque normalmente es un resultado que se obtiene fácilmente como consecuencia del estudio de otras propiedades más interesantes en la actualidad, como es la de calcular el tensor curvatura del espacio en cuestión -indirectamente esto nos confirmará, o no, si el espacio cumple con el V postulado). La cuestión sobre el V postulado quedó relegada a un problema histórico, que contribuyó enormemente al desarrollo de la geometría, pero que actualmente parece ya no seguir contribuyendo en ese sentido, y es tomado como un tema introductorio en el estudio de la geometría.
Isomorfismo
Otro ejemplo: si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo así una aplicación f:E→R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³ consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio en términos de sucesiones de tres números reales, y este método de abordar los problemas geométricos es el núcleo de la llamada geometría analítica.
Matemáticas y arte
Las simetrías en el plano se han utilizado durante milenios en obras de arte como alfombras, celosías, textiles y todo tipo de adornos.
Historia de la geometría
La idea de la memoria, conocida como el "Programa de Erlangen", es bastante sencilla. Se trata de dar una definición formal de lo que es una geometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.
Geometría sagrada
Desde la fisiología la aplicación de la geometría se puede encontrar en el hombre vitruviano propuesto por Leonardo da Vinci y Luca Paccioli. Acorde al pentalfa y su correspondiente sección áurea: cuando las relaciones del perímetro son iguales, se produce la relación pi y el número Φ (véase también: Matila Ghyka). Para Fritjof Capra los tres criterios clave para la vida y sus teorías subyacentes son:Rupert Sheldrake postula la existencia de los campos morfogenéticos, como agentes causales del desarrollo y mantenimiento de la forma biológica.
Bivector
El álgebra geométrica se puede aplicar a la geometría proyectiva de una manera directa. El álgebra geométrica utilizada es , el álgebra del espacio vectorial real ℝ, que se utiliza para describir objetos en el espacio proyectivo real ℝℙ. Los vectores que no son cero en "C"ℓ(ℝ) o ℝ están asociados con puntos en el espacio proyectivo, por lo que los vectores que se diferencian solo por un factor de escala, su producto exterior es cero y se asignan al mismo punto. Los bivectores simples que no son cero en Λℝ representan líneas en ℝℙ, con bivectores que difieren solo por un factor de escala (positivo o negativo) que representa la misma recta.
Geometría elíptica
La geometría elíptica (llamada a veces riemanniana) es un modelo de geometría no euclidiana de curvatura constante que satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides pero no el quinto. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría elíptica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría hiperbólica es un modelo de geometría de curvatura constante, siendo la diferencia entre estos tres modelos el valor de la curvatura:
Historia de la geografía
Pero la geografía cuantitativa no solo incorporó nuevos métodos y un nuevo objeto de estudio (la explicación de la distribución de fenómenos sobre la superficie terrestre) sino que influyo también en la reformulación de la tradición ecológica y de la tradición regional que siguieron, por lo tanto, estando presentes en el trabajo geográfico desde estas nuevas posiciones y desde las concepciones tradicionales. Edward Ackerman en 1963 afirmaba que el problema fundamental de la geografía era «nada menos que la comprensión del enorme sistema de interacción que comprende toda la humanidad y su medio ambiente natural sobre la superficie terrestre», con lo que reafirmaba, de forma renovada, un campo de estudio tradicional. Asimismo dentro de la geografía física se explora la utilidad de nuevas concepciones como la de ecosistema, geosistema o ecología del paisaje. El estudio de la región también se replantea. Aparece, en estrecha relación con el desarrollo de una subdisciplina económica, la ciencia regional, el concepto de región polarizada o funcional. La región deja de considerarse un paisaje homogéneo para empezar a caracterizarse como un sistema de relaciones funcionales, donde sus distintos elementos y muy especialmente la metrópoli regional, aparecen cohesionados por flujos de todo tipo (de gentes, bienes, capitales, información…). En el campo de la geografía urbana se dejará notar el influjo de la escuela de ecología humana de Chicago liderada por Robert E. Park, especialmente por su atención a la organización espacial intraurbana (modelo de los anillos concéntricos de Ernest Burgess).
Geometría
El aprendizaje de la geometría implica el desarrollo de habilidades visuales y de argumentación. Para que el aprendizaje de la geometría no carezca de sentido, es importante que el grupo docente se preocupe por buscar un equilibrio entre la asociación de habilidades de visualización y argumentación, pues ambas habilidades son fundamentales dentro del proceso formativo del individuo. Es decir, no se trata solo de enseñar contenidos como una “receta” o por cumplir con lo estipulado en el currículo sino que se pretende que con la enseñanza de la geometría el estudiantado aprenda a pensar lógicamente. El ser humano, desde su infancia, crea representaciones del mundo físico que le rodea. Estas le generan una necesidad (teórica y práctica) para lograr el entendimiento de ese mundo. El hemisferio derecho del cerebro resulta ser el más beneficiado ante la presencia de estímulos visuales, a diferencia del hemisferio izquierdo, que tiene la responsabilidad de desarrollar las capacidades verbales. El estudio de la geometría contribuye significativamente al desarrollo de esas necesidades espaciales de visualización; sin embargo, hasta una época histórica reciente, que data a partir de la década de los años 50, es cuando educadores matemáticos se interesaron por el estudio de dicho campo, al vincular la capacidad matemática con la capacidad espacial. Respecto a las dificultades que las estudiantes y los estudiantes presentan al estudiar geometría se encuentran: resolver un problema algebraicamente; calcular perímetros, áreas y volúmenes, debido a que no identifican cuál fórmula aplicar y dificultad para interpretar qué es lo que dice un problema. Al realizar el análisis por nivel, se puede observar que en el ciclo diversificado (décimo y undécimo año) la principal dificultad que presentan es interpretar lo que dice un problema. La principal dificultad de las alumnas y alumnos de séptimo, octavo y noveno año, es, respectivamente, comprender las fórmulas del perímetro, áreas y volúmenes y aprender las definiciones; resolver una situación problema algebraicamente y dificultad para extraer información de un dibujo geométrico.
Geometría
Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente. , distinto del conjunto de puntos que se encuentran en él. En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos .
Historia de la geometría
Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidianas, parece lógico preguntarse qué es la Geometría, máxime cuando la propia idea de la geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de los métodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que la Geometría sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio Análisis Matemático (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Diferenciales) parece que también estudia tales objetos. Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las geometrías no euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las geometrías no euclidianas y la geometría euclidiana, por otro lado, la distinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico.
Historia de la geometría
El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación formula_9 en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera formula_10. La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma formula_21.
Geometría del espacio
La geometría del espacio (también llamada geometría espacial) es la rama de la geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los , convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.
Historia de la geometría
Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, la Geometría pasa ya definitivamente a ser el estudio de las variedades, dejando de ser definitivamente el estudio de triángulos, circunferencias, polígonos, etc.
Matemáticas y arquitectura
Le Corbusier propuso la antropometría como una relación de escala para establecer proporciones en arquitectura. Ideó el sistema denominado "Modulor", basado en la altura estimada de un hombre. La Capilla Notre Dame du Haut de 1955 de Le Corbusier utiliza curvas de forma libre, que no se pueden describir con fórmulas matemáticas. Se dice que las curvas evocan formas naturales como la proa de un barco o las manos en oración. La configuración solo se aplica a la escala más grande: no hay jerarquía de detalles a escalas más pequeñas y, por lo tanto, no se incorpora una dimensión fractal; lo mismo se aplica a otros edificios famosos del siglo XX, como la Ópera de Sídney, el Aeropuerto Internacional de Denver o el Museo Guggenheim Bilbao.
Geometría conforme
En matemática, la geometría conforme es el estudio de las transformaciones conformes (aquellas que preservan ángulos) en un espacio. En dos dimensiones reales, la geometría conforme es precisamente la geometría de las superficies de Riemann. En más de dos dimensiones, la geometría conforme puede referirse tanto al estudio de las transformaciones conformes en los espacios "planos" (como por ejemplo los espacios euclidianos o esferas), o más comúnmente, para el estudio de las variedades conformes que son variedades de Riemann dotadas de una clase de métrica definida a falta de escala. El estudio de esas estructuras se llama a veces geometría de Möbius, y es un tipo de geometría de Klein (disciplina llamada así en referencia al matemático alemán Felix Klein).
Álgebra multilineal
Todos ellos de uso cotidiano en la geometría diferencial, geometría algebraica, álgebra conmutativa, relatividad y cuántica, teorías de campo, QFT, TQFT y otras.
Geometría
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, este ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no solo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.
Geometría sintética
La geometría pura o sintética es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar y construir de manera sintética las formas y lugares geométricos.  Se dice que la geometría pura o sintética es aquella que puede construir axiomáticamente (con un sistema axiomático), con un tratamiento lógico-deductivo; es decir, a partir de una serie de axiomas o postulados (que se adopten a priori) se comienza a construir y demostrar proposiciones lógicas que se sustentan como en una especie de eslabones de una "cadena de razonamiento".
Historia de la geometría
El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una "subgeometría" de cual, por otro lado nos permite comprender qué es el estudio general de la Geometría (como disciplina matemática) y por último, pero no menos importante, es la confirmación de que los métodos sintético y algebraico no dan geometrías distintas, sino que realmente estudian la misma geometría en cada caso. Se pone fin así a la distinción entre el método sintético y el algebraico-analítico. En su época supuso la consagración de la Geometría proyectiva como la "Reina de las Geometrías".
La Géométrie
Se titula "Problemas que pueden construirse con círculos y rectas solamente." En este libro introduce la notación algebraica tal como la usamos actualmente. Las letras finales del alfabeto, , , , etc. para las incógnitas, y las primeras , , , etc. para las constantes. Introduce el uso la notación exponencial moderna para las potencias (excepto para los cuadrados, que sigue la vieja tradición de escribirlos con letras repetidas, esto es, ).
Geometría constructiva de sólidos
Con su nombre derivado del inglés CSG (Constructive Solid Geometry), la geometría constructiva de sólidos o GCS es una técnica usada para modelado sólido, que consiste en crear cuerpos complejos a partir de geometrías elementales (cubos, esferas, conos) combinándolos con operaciones booleanas como la unión y la intersección. La generación de geometrías elementales y su combinación con operaciones booleanas se suele expresar como código en un lenguaje de programación. Existen lenguajes ad hoc para esta técnica, y también numerosas bibliotecas para usar GCS con lenguajes populares. Se denominan primitivas las geometrías elementales disponibles para este tipo de modelado, que usualmente incluyenː
Geodesia
En la Geodesia matemática se formulan los métodos y las técnicas para la construcción y el cálculo de las coordenadas de redes de puntos de referencia para el levantamiento de un país o de una región. Estas redes pueden ser referenciadas para nuevas redes de orden inferior y para mediciones topográficas y registrales. Para los cálculos planimétricos modernos se usan tres diferentes sistemas de coordenadas, definidos como 'proyecciones conformes' de la red geográfica de coordenadas: "la proyección estereográfica" (para áreas de pequeña extensión), "la proyección 'Lambert"' (para países con grandes extensiones en la dirección oeste-este) y la "proyección Mercator" transversal o "proyección transversal de Gauss" (p.e. UTM), para áreas con mayores extensiones meridionales.
Realidad extendida
En Matemáticas hay aplicaciones que nos permiten aprender geometría con figuras en 3D, en las cuales se explican las partes que las componen y cómo se realizan los cálculos geométricos.
Sombreador de geometría
Algunos de los típicos usos del sombreador de geometría son, por ejemplo, la generación de un punto de "sprite", teselado geométrico, extrusión del volumen de sombra y el renderizado de un solo paso a .
Curvatura del espacio-tiempo
Esos intentos culminaron con la constatación por Bolyai y Gauss de que este axioma o postulado de las paralelas puede obviarse, y se pueden construir geometrías donde simplemente el postulado es falso, dando lugar a las geometrías no euclídeas. Así, además del espacio plano o euclídeo, podemos construir otros espacios de curvatura constante como:Las matemáticas para estudiar geometrías curvas totalmente generales se llamaron con el tiempo geometría de Riemann, y fueron desarrolladas por Bernhard Riemann, discípulo de Gauss. Durante todo el siglo XIX, la teoría de espacios curvos fue considerada una abstracción matemática que nada tenía que ver con la geometría del universo real. No fue hasta después de que Einstein desarrolló la teoría de la relatividad especial que las geometrías no euclídeas se hicieron notorias también fuera de las matemáticas.
Antropometría
En el presente, la antropometría cumple una función importante en el diseño industrial, en la industria de diseños de indumentaria, en la ergonomía, la biomecánica y en la arquitectura, donde se emplean datos sobre la distribución de medidas corporales de la población para optimizar los productos.
Geometría euclidiana
Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas eran tan sólo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas para describir, por ejemplo, el espacio-tiempo curvo.
Procesamiento geométrico
El procesamiento de geometría implica trabajar con una forma, generalmente en 2D o 3D, aunque la forma puede vivir en un espacio de dimensiones arbitrarias. El procesamiento de una forma implica tres etapas, lo que se conoce como su ciclo de vida. En su nacimiento una forma puede ser instanciada a través de uno de tres métodos: un modelo, una representación matemática o un escaneo. Después de que nace una forma, se puede analizar y editar repetidamente en un ciclo. Por lo general, esto implica la adquisición de diferentes medidas, como las distancias entre los puntos de la forma, la suavidad de la forma o su característica de Euler. La edición puede implicar eliminación de ruido, deformación o realizar transformaciones rígidas. En la etapa final de la "vida" de la forma se consume. Esto puede significar que es consumido por un espectador como un activo renderizado en un juego o película, por ejemplo. El final de la vida de una forma también puede definirse por una decisión sobre la forma, como si satisface o no algunos criterios. O incluso se puede fabricar en el mundo real, a través de un método como la impresión 3D o el corte por láser.
Objeto imposible
Los objetos y arquitectura convencional, no importa lo extravagante que sean, se manejan dentro de la geometría euclidiana, mientras que la arquitectura imposible utiliza atisbos de otras geometrías como la esférica, parabólica, hiperbólica, topológica, o bien distorsiones perspectivas, axonométricas, serialidades inversas, combinando rotaciones, funciones exponenciales, y logarítmicas, junto a reducciones seriales de tamaño o escala. El escultor y arquitecto Ibo Bonilla da una definición para arquitectura imposible, que es extensible a los objetos imposibles: “Son aquellas modelaciones de edificaciones, objetos y paisajes mediante técnicas de expresión, usadas en la arquitectura usual pero que utilizan extrapolaciones matemáticas y/o conceptuales, que se constituyen inconstruibles en un entorno de tres dimensiones”.
Historia de la geometría
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.
Historia de la geometría
Pero no son las únicas contribuciones de este genio al campo de la geometría. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la filología o a la matemática. A los 18 descubrió la manera de construir el polígono regular de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un polígono regular pueda construirse. Esto determinó su vocación.
Geometría de la suspensión
Estas geometrías para limitar los asientos en frenado y en aceleración son habituales en los automóviles. Sin embargo, en motocicletas son raramente utilizadas.
Geometría computacional
Es una disciplina constructiva, de carácter abstracto, que utiliza técnicas de la geometría clásica, la topología, la teoría de grafos, la teoría de conjuntos y el álgebra lineal. La geometría computacional es independiente de la tecnología de las máquinas de computación, si bien pone atención en proporcionar soluciones que se comporten de forma computacionalmente robusta.
Forma del universo
La geometría global cubre la geometría, en particular la topología, de todo el universo observable y más allá de él. Cuando la geometría local no logra determinar la geometría global completamente, esto limita las posibilidades, particularmente siendo una geometría de una curvatura constante. Para una geometría espacial plana, se pensaba que la escala de cualquier característica de la topología sería arbitraria, aunque una investigación más reciente sugiere que las tres dimensiones espaciales pueden tender a igualarse en longitud. La escala de la longitud de una geometría plana puede o no ser directamente detectada. Para las geometrías hiperbólicas y esféricas, la probabilidad de la detección de la topología por la observación directa depende de la curvatura espacial. Usando el radio de esa curvatura o su inverso multiplicativo como una escala, una curvatura pequeña de la geometría local, con un radio correspondiente a una curvatura mayor que el horizonte observable, hace la topología difícil o imposible de detectar si la curvatura es hiperbólica. Una geometría esférica con una pequeña curvatura (gran radio o curvatura) no hace difícil la detección.
Geometría sagrada
La expresión geometría sagrada hace referencia al conjunto de formas y patrones geométricos que se encuentran presentes en la naturaleza y en el diseño de ciertos sitios considerados sagrados; principalmente iglesias, catedrales y mezquitas, junto con los significados simbólicos y esotéricos que se les atribuyen basándose en sus propiedades. Debido a su trasfondo religioso y filosófico, su énfasis en la geometría y la matemática y su relación con la construcción de catedrales, la geometría sagrada es asociada con la masonería.
Geomatemáticas
La cristalografía es una de las áreas tradicionales de geología que usan las matemáticas. Los cristalógrafos utilizan el álgebra lineal utilizando la matriz métrica. La matriz métrica utiliza los vectores de base de las dimensiones de la celda unitaria para encontrar el volumen de una celda unitaria, los espacios d, el ángulo entre dos planos, el ángulo entre los átomos y la longitud del enlace. El índice de Miller también es útil en la aplicación de la matriz métrica. La ecuación de Brag también es útil cuando se utiliza un microscopio electrónico para poder mostrar la relación entre los ángulos de difracción de luz, la longitud de onda y los espacios-d dentro de una muestra.
Sistema diédrico
La geometría descriptiva es la rama de las matemáticas que estudia la representación de cuerpos tridimensionales sobre superficies bidimensionales, empleando para ello los principios y procedimientos de la geometría métrica y proyectiva, y usando como medio de expresión al Dibujo Técnico. Los teoremas propuestos por la Geometría Descriptiva apuntan a lograr una relación unívoca entre cada uno de los elementos geométricos que componen al objeto representado y su correspondiente representación bidimensional, así como a la verificación de la reversibilidad de la representación, esto es, que así como a partir de un objeto en el espacio es siempre posible obtener sus proyecciones sobre una superficie bidimensional, de igual manera, a partir    de las proyecciones de dicho objeto, es factible determinar la posición espacial de cualquiera de los puntos que componen a tal objeto. El sistema básico dentro de esta geometría es el sistema diédrico o de proyecciones diédricas ortogonales. Gaspard Monge, geómetra francés, fue quien codificó su estudio y mecanismo; para ello nos valemos de dos planos proyectantes que forman entre sí un ángulo recto (de 90º).
Álgebra lineal
Actualmente, la mayoría de los libros de texto introducen los espacios geométricos desde el álgebra lineal, y la geometría se presenta a menudo, a nivel elemental, como un subcampo del álgebra lineal. El álgebra lineal se utiliza en casi todas las áreas de las matemáticas, por lo que es relevante en casi todos los ámbitos científicos que utilizan las matemáticas. Estas aplicaciones pueden dividirse en varias categorías amplias. El modelo del espacio ambiental se basa en la geometría. Las ciencias que se ocupan de este espacio utilizan ampliamente la geometría. Es el caso de la mecánica y la robótica, para describir la dinámica de cuerpos rígidos; la geodesia para describir la forma de la Tierra; la perspectiva, la Visión artificial y los gráficos por ordenador, para describir la relación entre una escena y su representación en el plano; y muchos otros dominios científicos.
Historia de la geometría
El nuevo método analiza la geometría utilizando ecuaciones algebraicas. Se cambia la regla y compás clásicos por expresiones numéricas que se pueden representar mediante coordenadas cartesianas. Utilizando notación actual, dicho método se expresa así:
Simetría (geometría)
La simetría helicoidal es el tipo de simetría que se ve en objetos cotidianos como resortes, sacacorchos, brocas o barrenas. El concepto de simetría helicoidal se puede visualizar como el trazado en el espacio tridimensional que resulta de rotar un objeto a una velocidad angular constante mientras se desplaza simultáneamente a una velocidad lineal constante paralelamente a su eje de rotación. En cualquier instante, estos dos movimientos se combinan para dar un "ángulo de arrollamiento" que ayuda a definir las propiedades de la hélice recorrida. Cuando el objeto gira rápidamente y se traslada lentamente, el ángulo de enrollamiento estará cerca de 0°. A la inversa, si la rotación es lenta y la traslación es rápida, el ángulo de enrollamiento se aproximará a 90°.
Ecuación
Actualmente, la geometría analítica designa una rama activa de las matemáticas. Aunque sigue utilizando las ecuaciones para caracterizar las figuras, también emplea otras técnicas sofisticadas como el análisis funcional y el álgebra lineal. Un sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única en un plano por un par de numérico o coordenadas, que son las distancias desde el punto a dos líneas fijas perpendiculares dirigidas, que se marcan usando la misma unidad de longitud.
Cuadratura (geometría)
Para la cuadratura de un rectángulo con lados "a" y "b" es necesario construir un cuadrado de lado formula_1 (la media geométrica de "a" y "b"). Para este propósito es posible utilizar el procedimiento siguiente: si se dibuja un círculo cuyo diámetro sea la suma de dos segmentos de longitudes "a" y "b", entonces la altura ("BH" en el esquema) del segmento de línea trazado perpendicular al diámetro desde el punto de conexión de los segmentos al punto donde cruza el círculo, equivale a la media geométrica de "a" y "b". Una construcción geométrica similar soluciona los problemas de cuadratura de un paralelogramo y de un triángulo.