¿Quién fue Riemann y cuáles fueron sus aportes a las matemáticas?
Bernhard Riemann
Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, en las cuales fundó el campo de la geometría de Riemann. Lo ascendieron a profesor extraordinario en la universidad de Göttingen en 1857 y se hizo profesor ordinario en 1859. En 1862 se casó con Elise Koch. Murió de tuberculosis en su tercer viaje a Italia en Selasca.En nuestro idioma, existe una edición de escritos matemáticos, físicos y filosóficos de Riemann: "Riemanniana Selecta", editada por J. Ferreirós (Madrid, CSIC, 2000; colección Clásicos del Pensamiento). Se incluyen los tres últimos trabajos mencionados, además de otros materiales, precedidos por un estudio introductorio de unas 150 páginas.
Josip Plemelj
Su contribución más original es la solución elemental que proporcionó para el problema de Riemann-Hilbert "f" = "g" "f" sobre la existencia de una ecuación diferencial con monodromía dada. La solución, publicada en su artículo de 1908 "Clases riemannianas de funciones con grupo de monodromía dado", se basa en tres fórmulas que ahora llevan su nombre, que conectan los valores tomados por una función holomorfa en el límite de un arco Γ:
Integral de Riemann
La integral de Riemann es inadecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann se pueden remediar con la integral de Riemann-Stieltjes, y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue.
Josip Plemelj
Halló una fórmula con un sumatorio de la derivada direccional del potencial de una capa en la región intera o externa. Interesado también por el álgebra y la teoría de números, sin embargo solo había publicado algunas contribuciones de estos campos, como por ejemplo, un libro titulado ""Algebra in teorija števil" (Álgebra y Teoría de Números; SAZU, Ljubljana 1962, pp. xiv + 278)" que se publicó en el extranjero, al igual que su último trabajo ""Problemi v smislu Riemanna in Kleina" (Problemas en el sentido de Riemann y Klein; edición y traducción de JRM Radok, "Interscience Tract in Pure and Applied Mathematics", No. 16, Interscience Publishers: John Wiley & Sons, New York, Londres, Sídney 1964, pp VII + 175)". Este trabajo trata de cuestiones que eran de su mayor interés y examen. Su bibliografía incluye 33 unidades, de las cuales 30 son tratados científicos y han sido publicados entre otros en revistas como: "Monatshefte für Mathematik und Physik", "Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften"; en Viena, "Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung", "Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte" en Verhandlungen, "Bulletin des Sciences Mathematiques", "Obzornik za matematiko in fiziko" y "Publications mathiques de l'Universite de Belgrade". Cuando el matemático francés Charles Émile Picard calificó las obras de Plemelj como ""deux excellents memoires" (dos excelentes memorias)", Plemelj se hizo conocido en el mundo matemático.
Atle Selberg
Atle Selberg (14 de junio de 1917 - 6 de agosto de 2007) fue un matemático noruego, conocido por sus trabajos en la teoría analítica de los números y sobre la hipótesis de Riemann.
Hugo Riemann
Además de su trabajo como profesor y compositor de piezas pedagógicas, Riemann obtuvo reputación mundial como escritor sobre teoría y temas musicales. Entre sus obras más conocidas se incluyen "Teoría general de la música"; "Musiklexikon" ("Diccionario de Música"), un diccionario completo de música y músicos; "Katechismus der Harmonielehre" (Leipzig, 1890), también con el título "Handbuch der Harmonie und Modulationslehre" ("Manual de Armonía y Modulación"), editado en español simplemente con el título "Armonía y Modulación", y el "Lehrbuch des Contrapunkts" ("Libro de texto del Contrapunto"). La mayor parte de la obra de Riemann no está traducida a la lengua española.
Sistema axiomático
En matemáticas, sin embargo, el primer intento de axiomatización llegó en 1888, cuando Richard Dedekind propuso un conjunto de axiomas sobre los números. Al año siguiente, Giuseppe Peano retoma los trabajos de Dedekind y expone sus axiomas aritméticos.
Fórmula de Riemann–Siegel
En matemática, la fórmula de Riemann–Siegel es una fórmula asintótica para el error que se comete en la ecuación funcional aproximada de la función zeta de Riemann, una aproximación de la función zeta mediante las suma de dos series de Dirichlet finitas. Esta fue encontrada por en unos manuscritos no publicados de Bernhard Riemann alrededor de los años 1850s. Siegel convirtió esta en la fórmula integral de Riemann–Siegel, una expresión para la función zeta en la que intervienen integrales de contorno. Es a menudo usada para calcular valores de la fórmula de Riemann–Siegel, a veces en combinación con el algoritmo de Odlyzko–Schönhage, lo cual aumenta la velocidad de los cálculos considerablemente.
Historia de la notación matemática
En 1895 Giuseppe Peano publicó la primera edición de su "Formulario matemático", un esfuerzo para digerir las matemáticas en un texto breve sobre la base de símbolos especiales. Un ejemplar pasó a manos de Bertrand Russell en 1900 en una conferencia de París, tan impresionado quedó Russell que él también la tomó como la base para hacer las matemáticas más concisas. El resultado fue escrito en "Principia Mathematica", junto con Alfred North Whitehead. Este tratado marca un hito en la literatura moderna, donde se convirtió en símbolo dominante. El "Formulario" de Peano, aunque menos popular que el trabajo de Russell, continuó a través de cinco ediciones. La quinta apareció en 1908 e incluyó 4200 fórmulas y teoremas.
Lema de Riemann-Lebesgue
En matemáticas, el Lema de Riemann-Lebesgue recibe el nombre en honor a los matemáticos Bernhard Riemann y Henri Lebesgue, y es de importancia en análisis armónico y análisis asintótico.
Hipótesis de Riemann
Riemann mencionó la conjetura en 1859, que sería llamada la hipótesis de Riemann, en su tesis de doctorado "Sobre los números primos menores que una magnitud dada", al desarrollar una fórmula explícita para calcular la cantidad de primos menores que "x". Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración. Él sabía que los ceros no triviales de la función zeta están distribuidos en torno a la recta "s" = 1/2 + "i t", y sabía también que todos los ceros no triviales debían estar en el rango 0 ≤ Re("s") ≤ 1.
Aritmética
Diofanto de Alejandría (siglo III d. C.), es el autor de "Arithmetica", una serie de libros sobre ecuaciones algebraicas, donde por primera vez se reconoce a las fracciones como "números" y se utilizan símbolos y variables como parte de la notación matemática; redescubierto por Pierre de Fermat en el siglo XVII. Las hoy llamadas "ecuaciones diofánticas" condujeron a un gran avance en la teoría de números.
Hipótesis de Riemann
donde tr es la traza del operador (suma de sus valores propios), formula_6 es un número imaginario y formula_7 es la función de Chebyshov que nos suma el log(x) sobre los primos y sus potencias enteras, dicha fórmula es una conclusión de la 'fórmula explícita' de V. Mangoldt. Varios operadores propuestos por C. Perelman, J. Macheca y J. García, parecen corroborar los resultados de la conjetura de Hilbert sobre el operador, reproduciendo la parte imaginaria de los ceros.La Hipótesis de Riemann afirma que todos los otros ceros no triviales de la función formula_8 (zeta) se encuentran en la recta vertical que pasa por formula_9, es decir, son números complejos de la forma formula_10, formula_11.
Teorema de los números primos
Dada la conexión que hay entre la función zeta de Riemann ζ("s") y π("x"), la hipótesis de Riemann es muy importante en teoría de números, y por supuesto, en el teorema de los números primos.
Historia de las matemáticas
En este siglo se desarrollan dos formas de geometría no euclidiana, en las que el postulado de las paralelas de la geometría euclídea ya no es válido. El matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y su rival, el matemático húngaro János Bolyai, independientemente definen y estudian la geometría hiperbólica. La geometría elíptica fue desarrollada más tarde por el matemático alemán Bernhard Riemann, quien también introduce el concepto de variedad (matemática) (y la hoy llamada "Geometría de Riemann").
Hermann Weyl
Weyl mostró también la manera de usar sumatorios exponenciales en la aproximación diofántica, con su criterio para distribución uniforme modo 1, que fue un paso fundamental para la teoría analítica de números. Este trabajó se aplicaba tanto a la función zeta de Riemann como a la teoría aditiva de números. La desarrollaron muchos otros.
Carl Gottfried Neumann
Carl Gottfried Neumann ( 7 de mayo de 1832 - 27 de marzo de 1925) fue un matemático alemán.
Gravedad cuántica de bucles
En los años 1920 el matemático francés Élie Cartan formuló la teoría de Einstein en el lenguaje de fibrados y conexiones, una generalización de la geometría de Riemann a la cual Cartan hizo contribuciones importantes. La así llamada teoría de Einstein-Cartan de la gravedad no solamente reformuló sino también generalizó la relatividad general, y permitió espacio-tiempos con torsión así como con curvatura. En la geometría de Cartan de fibrados el concepto de transporte paralelo es más fundamental que el de distancia, la pieza central de la geometría de Riemann. Un similar desplazamiento conceptual ocurrió entre el intervalo invariante de la relatividad general de Einstein y el transporte paralelo en la teoría Einstein-Cartan.
Función zeta de Riemann
La ecuación tiene un polo simple en "s"=1 con residuo 1 y fue demostrada por Bernhard Riemann en 1859 en su ensayo "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada". Una relación equivalente fue conjeturada por Euler para la función formula_12.
Geometría no euclidiana
A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría. En su tesis, Riemann considera las posibles geometrías que infinitesimalmente (es decir, en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyo estudio se conoce hoy en día como geometrías riemannianas. Estas geometrías resultan en general no-homogéneas: algunas de las propiedades del espacio pueden diferir de un punto a otro, en particular el valor de la curvatura.
Hermann Grassmann
En 1861 Grassmann expuso la primera formulación axiomática de la aritmética, usando ampliamente el principio de inducción. Giuseppe Peano y sus seguidores citaron ampliamente este trabajo a partir de 1890.
Hermann Grassmann
El único matemático que valoró en su justa medida las ideas Grassmann en vida de este fue Hermann Hankel. En su obra "Theorie der complexen Zahlensysteme" (1867) ayudó a que se conocieran mejor las ideas de Grassmann. Este trabajo: Se tardó en adoptar los métodos matemáticos de Grassmann pero influyeron directamente en Felix Klein y Élie Cartan. La primera monografía de A. N. Whitehead, "Universal Algebra" de 1898, incluía la primera exposición sistemática en inglés de la teoría de la extensión y del álgebra exterior. La teoría de la extensión se aplicó al estudio de las formas diferenciales y en las aplicaciones de dichas formas al análisis y a la geometría. La geometría diferencial usa el álgebra exterior. Para una introducción sobre la importancia del trabajo de Grassmann en la física matemática ver Penrose (2004: caps. 11, 12).
Introducción matemática a la relatividad general
Todas estas ideas fueron recogidas por [[Albert Einstein]], quien empleando las herramientas matemáticas creadas por [[Bernhard Riemann]], [[Tullio Levi-Civita]], [[Gregorio Ricci-Curbastro]] y Erwin Bruno Christoffel, logró construir la "teoría geométrica de la gravedad" que hoy en día conocemos con el nombre de Teoría de la Relatividad General.
Al-Kirmani
Fue introductor de las ideas matemáticas de la escuela masarrí, difundidas en la "Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza" ("Ikhwan al-Safa"), cuyos artículos, influidos por corrientes neoplatónicas, tendrán una gran importancia en la formación filosófica de los intelectuales zaragozanos de las postrimerías del siglo XI, y particularmente en Avempace.
Holonomía
El estudio de holonomía Riemann ha dado lugar a una serie de acontecimientos importantes. La holonomía fue introducida por Cartan para estudiar y clasificar los espacios simétricos. No fue hasta mucho más tarde que los grupos holonomía se utilizarían para estudiar la geometría de Riemann en un contexto más general. En 1952 Georges de Rham demostró el teorema de descomposición de Rham, un principio de la división de una variedad de Riemann en un producto cartesiano de variedades de Riemann, dividiendo el fibrado tangente en espacios irreducibles bajo la acción de los grupos de holonomía locales. Más tarde, en 1953, M. Berger clasifica las posibles holonomias irreductibles. La descomposición y la clasificación de holonomía Riemann tiene aplicaciones a la física, y en particular a la teoría de cuerdas.
Esfera de Riemann
En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como formula_1 ó formula_2, (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo formula_3 para representar el infinito.
Función zeta de Riemann
donde el producto infinito es sobre todos los números primos y "s" un número complejo con Re("s") > 1. Esta expresión es llamada producto de Euler, en honor a su descubridor. La fórmula es consecuencia de dos resultados simples pero fundamentales en Matemática: la fórmula para las series geométricas y el teorema fundamental de la aritmética.
Hermann Grassmann
En 1844, Grassmann publica su obra maestra, "Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik", más conocido como "Ausdehnungslehre", que se puede traducir como "teoría de la extensión" o "teoría de las magnitudes extensivas". Después de proponer en "Ausdehnungslehre" nuevas bases para todas las matemáticas, el trabajo empieza con definiciones de naturaleza más bien filosófica. Grassmann demostró además que si la geometría se hubiese expresado en forma algebraica como él proponía, el número tres no hubiese desempeñado el papel privilegiado que tiene como número que expresa la dimensiones espaciales; de hecho, el número de posibles dimensiones de interés para la geometría es ilimitado.
Carl Gottfried Neumann
Neumann trabajó en el problema de Dirichlet, y puede ser considerado como uno de los padres de la teoría de las ecuaciones integrales. La serie de Neumann - mostrada abajo - que es análoga a la serie geométrica pero para matrices infinitas, es llamada en su honor.
Louis de Branges de Bourcia
En junio de 2004, de Branges anunció que tenía una prueba de la hipótesis de Riemann, a menudo llamado el mayor problema sin resolver en matemáticas, y publicó la prueba de 124 páginas en su sitio web.
(4167) Riemann
Designado provisionalmente como 1978 TQ7. Fue nombrado Riemann en honor al matemático alemán Bernhard Riemann.
Jorge Riechmann
Jorge Riechmann Fernández (Madrid, 24 de marzo de 1962) es un poeta, traductor, ensayista, matemático, filósofo, ecologista y doctor en ciencias políticas español. Como autor de una extensa obra poética, está vinculado con el grupo de poetas de la poesía de la conciencia y de la generación de los ochenta o postnovísimos.
Octavo problema de Hilbert
Hilbert pide una solución a la hipótesis de Riemann, que durante mucho tiempo se ha considerado el problema abierto más profundo de las matemáticas. Dada la solución, pide una investigación más exhaustiva sobre la función zeta y el teorema de los números primos de Riemann.
Función zeta de Riemann
Aunque los matemáticos consideran que la función zeta tiene un interés principal en la «más pura» de las disciplinas matemáticas, la teoría de números, lo cierto es que también tiene aplicaciones en estadística y en física.  En algunos cálculos realizados en física, se debe evaluar la suma de los números enteros positivos. Paradójicamente, por motivos físicos se espera una respuesta finita. Cuando se produce esta situación, hay normalmente un enfoque riguroso con un análisis en profundidad, así como un «atajo», usando la función zeta de Riemann. El argumento es el siguiente: La suma "S" parece tomar la forma de formula_35. Sin embargo, −1 sale fuera del dominio de convergencia de la serie de Dirichlet para la función zeta. Sin embargo, una serie divergente con términos positivos como ésta a veces puede  ser representada de forma razonable por el método de sumación de Ramanujan. Este método de suma implica la aplicación de la fórmula de Euler-Maclaurin, y cuando se aplica a la función zeta, su definición se extiende a todo el plano complejo. En particular,
Variedad (matemáticas)
El "teorema de inmersión de Whitney" muestra que toda variedad abstracta de dimensión "n" puede realizarse como subvariedad de un espacio de dimensión suficientemente grande ("2n"). Así, la botella de Klein no puede representarse en el espacio de tres dimensiones, pero forma una subvariedad del espacio de cuatro dimensiones. Bernhard Riemann fue el primer matemático que extendió sistemáticamente la noción de superficie a los objetos de mayores dimensiones, a los que llamó "Mannigfaltigkeit". De este término procede el inglés "manifold". Riemann ofrece una descripción intuitiva de variedad, considerando una variedad de dimensión "n" como un "apilamiento" continuo de variedades de dimensión "n-1". En la acepción moderna de variedad, esta descripción intuitiva sólo es válida localmente, es decir, en el entorno de cada punto de la variedad. Riemann utiliza este concepto para describir el conjunto de valores de una variable sometida a ciertas restricciones, como el conjunto de los parámetros que describen la posición de una figura en el espacio.
Carl Friedrich Gauss
Gauss también hizo importantes contribuciones a la teoría de los números con su libro de 1801 "Disquisitiones Arithmeticae" (latín, Investigaciones Aritméticas), que, entre otras cosas, introdujo el símbolo de la «triple barra» para la congruencia y lo utilizó en una presentación limpia de la aritmética modular, contenía las dos primeras pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática, desarrollaba las teorías de las formas cuadráticas binarias y ternarias, enunciaba el problema del número de clase para ellas, y demostraba que un heptadecágono regular (polígono de 17 lados) puede ser construido con regla y compás. Parece que Gauss ya conocía la "fórmula del número de clase" en 1801.
Hipótesis de Riemann
En 1896, Hadamard y de la Vallée-Poussin probaron independientemente, que ningún cero podía estar sobre la recta Re("s") = 1. Junto con las otras propiedades de los ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la banda crítica 0 < Re("s") < 1. Este fue un paso fundamental para las primeras demostraciones del teorema de los números primos.
Geometría de Riemann
Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometría elíptica y geometría hiperbólica) de geometría No-Euclidiana, así como la geometría euclidiana misma. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.
Matemáticas
Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman propuso la integral de caminos como fundamento de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía, no se ha logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Igualmente, la teoría de cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.
Historia de las matemáticas
Durante el siglo XIX las matemáticas se vuelven más abstractas. El trabajo revolucionario de Carl Friedrich Gauss (1777–1855) en matemática pura, incluye la primera prueba satisfactoria del «teorema fundamental de la aritmética» y de la «ley de reciprocidad cuadrática», además de numerosas contribuciones en "función matemática, variable compleja, geometría, convergencia de series..."
Leonhard Euler
Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.
Martin Knutzen
De Knutzen se dijo que cuando era estudiante no se acercó a los aristotélicos sino “a los hombres que tenían la suficiente preparación para poder instruirlo en la filosofía más reciente, en la matemática”. Knutzen estudió por sí mismo el cálculo y parece ser que estudió el álgebra con la obra en latín de Wolf (Buck, 1768). Aunque quizás la aportación más importante de Knutzen a la matemática o más en concreto a la teoría de números, tal vez, sea de naturaleza histórica. En efecto, Knutzen en su preclaro ensayo titulado: “Von dem Wahren Auctore der Arithmeticae Binariae, …” en español “Del verdadero autor de la Aritmética Binaria, también llamada Diádica Leibniziana” (Knutzen, 1742), afirma, con razón, que el sistema binario de numeración atribuido por muchos, incluido el mismo, a Leibniz, era debida al obispo español Juan Caramuel de Lobkowitz (Caramuel, 1670). Concretamente en la “Meditatio Proemialis” de su obra titulada en el barroco estilo de la época: “Mathesis bíceps vetrus et nova. In ómnibus, et singulis veterum, et recientorum placita examinantur; interdum corriguntur, semper dilucidantur…”.
Richard Dedekind
Durante los siguientes años, estudió teoría de números y otras materias con Gustav Dirichlet, al que le uniría una gran amistad. Para ampliar sus conocimientos, abordó el estudio de las funciones abelianas y elípticas de la mano del genial Bernhard Riemann. Sólo tras estas experiencias, en su formación, encontró al fin sus campos de trabajo principales: el álgebra y la teoría de números algebraicos. Se dice de él que fue el primero en impartir clases universitarias sobre la teoría de las ecuaciones de Galois. Fue además el primero en comprender el significado fundamental de las nociones de grupo, cuerpo, Ideal en el campo del álgebra, la teoría de números y la geometría algebraica.
Hipótesis generalizada de Riemann
Existen varios objetos geométricos y aritméticos que pueden ser descritos por las llamadas funciones-L globales, las cuales son similares de manera formal a la función zeta de Riemann. Por lo tanto uno puede hacerse la misma pregunta sobre los ceros de estas funciones-"L", lo que conduce a varias generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen que estas generalizaciones de la hipótesis de Riemann son verdaderas. Los únicos casos de estas conjeturas que se han podido demostrar ocurren en el caso del cuerpo de funciones (no en el caso del cuerpo de números).  Las funciones-"L" globales pueden estar asociadas a curvas elípticas, cuerpos numéricos (en cuyo caso se las llama funciones zeta de Dedekind), formas de onda de Maass, y caracteres de Dirichlet (en cuyo caso se las llama funciones L de Dirichlet). Cuando la hipótesis de Riemann se formula para funciones zeta de Dedekind, se la conoce por el nombre de hipótesis extendida de Riemann y cuando se la fórmula para funciones-"L" de Dirichlet, se la conoce por el nombre de hipótesis generalizada de Riemann. Estas dos situaciones son analizadas con mayor detalle en las siguientes secciones. (Muchos matemáticos utilizan el nombre "hipótesis generalizada de Riemann" para referirse a la extensión de la hipótesis de Riemann a todas las funciones-"L" globales, no solo para el caso especial de las funciones-"L" de Dirichlet.)
Jacqueline Ferrand
Ferrand tenía casi 100 publicaciones matemáticas, incluidos diez libros, y participó activamente en la investigación matemática en sus 70 años. Uno de sus logros, en 1971, fue demostrar la compacidad del grupo de mapeos conformes de una variedad compacta de Riemann, resolviendo una conjetura de André Lichnerowicz. y sobre la base de este trabajo se convirtió en oradora invitada en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1974 en Vancouver.
Thomas Kirkman
Thomas Penyngton Kirkman (31 de marzo de 1806 – 3 de febrero de 1895) fue un matemático británico, que se destacó la teoría de grupos en Inglaterra y que es recordado principalmente por un problema de combinatoria que lleva su nombre, el "problema de las colegialas de Kirkman". En términos de la matemática actual, lo que probó fue un teorema de existencia del triple sistema de Steiner S(2,3,"n").
Richard Arenstorf
Después del primer aterrizaje lunar, Arenstorf se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Vanderbilt, donde se especializó en mecánica celeste y teoría analítica de números. En teoría de números, su especialidad eran las propiedades de la función zeta de Riemann, que permite hacer generalizaciones sobre la naturaleza de los números primos.
Suma de Riemann
Para la suma de Riemann izquierda, la aproximación de la función por su valor en el punto del extremo izquierdo proporciona múltiples rectángulos con base formula_46 y altura formula_47. Haciendo esto para formula_48 y sumando las áreas
Suma de Riemann
formula_65
Johannes Widmann
Johannes Widmann (c. 1460 – después de 1498) fue un matemático alemán. Los signos aritméticos + y - aparecieron impresos por primera vez en su obra "Aritmética Mercantil o Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft", referidos a los superávit y déficit en los problemas mercantiles.
Historia de la geometría
Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad.
Historia de las matemáticas
Las matemáticas se inclinan sobre aspectos físicos y técnicos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz crean el cálculo infinitesimal, con lo que se inaugura la era del análisis matemático, la derivada, la integración y las ecuaciones diferenciales. Esto fue posible gracias al concepto de límite, considerado la idea más importante de la matemática. No obstante, la formulación precisa del concepto de límite no se produjo hasta el siglo XIX con Cauchy.
Paul Bernays
La colaboración de Bernays con Hilbert culminó en la obra en dos volúmenes "Grundlagen der Mathematik" (Fundamentos de Matemáticas) de Hilbert y Bernays (1934, 1939), discutida en Sieg y Ravaglia (2005). En siete artículos, publicados entre 1937 y 1954 en el "Journal of Symbolic Logic", reeditado en , Bernays expuso una teoría de conjuntos axiomáticos cuyo punto de partida era una teoría relacionada que John von Neumann había expuesto en la década de 1920. La teoría de Von Neumann tomó las nociones de función y argumento como primitivas; Bernays reformó la teoría de von Neumann para que las clases y los conjuntos fueran primitivos. La teoría de Bernays, con algunas modificaciones de Kurt Gödel, se conoce ahora como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel. Una prueba de "Grundlagen der Mathematik" de que una teoría suficientemente fuerte y consistente no puede contener su propio funtor de referencia es ahora conocida como la paradoja de Hilbert-Bernays.
Historia de la geometría
Los puntos básicos de la conferencia de Riemann son, por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamente el número de dimensiones del espacio (el Álgebra y el Análisis están ya creando la maquinaria necesaria para poder operar en dimensión finita arbitraria, con lo que definitivamente se podrá estudiar Geometría más allá de su visualización gráfica), es decir, de estudiar espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los geómetras de un instrumento, el tensor curvatura, que les permite estudiar las propiedades intrínsecas de esos nuevos objetos, esos nuevos espacios, las variedades.
John von Neumann
Una de sus famosas aportaciones a la Teoría de Números fue la definición de Número ordinal (teoría de conjuntos).
Historia de las matemáticas
La geometría diferencial se convirtió en objeto de estudio como tal cuando Einstein la utiliza en la relatividad general. Áreas enteramente nuevas de la matemática como la lógica matemática, la topología y la teoría de juegos de John von Neumann, cambian el tipo de preguntas a las cuales se podía dar respuesta con métodos matemáticos. Todo tipo de estructura fue reducido a un grupo de axiomas abstracto, y se les dio nombres como espacio métrico, espacio topológico, etc. Estos conceptos, a su vez fueron abstraídos hacia una teoría de categorías, como se suele ser el caso en matemáticas. Grothendieck y Serre relanzan la geometría algebraica utilizando teoría de haces. Grandes avances fueron hechos en el estudio cualitativo de la teoría de sistemas dinámicos que Poincaré había comenzado en los 1890's. La teoría de la medida fue desarrollada en los tardíos 1900´s y comienzos del siglo XX. Las aplicaciones de la medida incluyen la integral de Lebesgue, la axiomatización de Kolmogorov de la teoría de la probabilidad, y la teoría ergódica. La teoría de nudos también se amplió. La mecánica cuántica llevó al desarrollo del análisis funcional. Otras nuevas áreas incluyen la teoría de distribuciones de Laurent Schwartz, los teoremas de punto fijo, la teoría de la singularidad y la teoría de las catástrofes de René Thom, la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot. La teoría de Lie, constituida por los grupos de Lie y las álgebras de Lie se volvieron áreas de gran interés.
Murray S. Klamkin
Klamkin era conocido internacionalmente como un prolífico proponente y editor profesional de problemas y retos matemáticos. Trabajó como editor de problemas para la "Revista de la SIAM", el "American Mathematical Monthly" y muchas otras revistas. También fue conocido por su labor en concursos matemáticos de alto nivel, como la Olimpiada Matemática de EE. UU., la Olimpiada Internacional de Matemática y la Competición Putnam. En 1988, la Asociación Matemática de América le otorgó su máxima distinción, el Premio al Servicio Distinguido de Matemáticas. En 1992, la Federación Mundial de Concursos Nacionales de Matemáticas le otorgó a Klamkin el Premio David Hilbert por sus contribuciones a los concursos de matemáticas.
Fórmula explícita
En matemática, la fórmula explícita para funciones L son un conjunto de ecuaciones que relacionan sumas sobre «ceros complejos» o «no triviales» de una función L con sumas sobre potencias de primos, introducida por primera vez por Bernhard Riemann para la función zeta de Riemann. Tales fórmulas explícitas también han sido aplicadas a otras ramas de la matemática como pueden ser cuestiones sobre los límites de discriminantes del campo de los números algebraicos. Es cuando la variable dependiente o función está despejada
Función zeta de Riemann
Uno puede prolongar analíticamente estas funciones a un espacio complejo "n"-dimensional. Los valores especiales de estas funciones han sido utilizados para conectar diferentes ramas de las matemáticas y la física.El profesor Rodolfo A. Nieves Rivas, matemático venezolano, junto con el doctor Pedro Fernández Navarrete, asesor conceptual; el profesor Maximiliano Bandrés Díaz, asesor metodológico. y el Ingeniero Zollner Castellano Pabón, encargado de la validación tecnológica, han presentado para su evaluación y dictamen a la Academia de Ciencias Físicas Matemáticas y Naturales de Venezuela un contraejemplo ideado por Nieves Rivas, que resuelve la Hipótesis de Riemann, un problema sin solución, que desde hace más de un siglo grandes matemáticos del mundo han intentado resolver.
Mathias Ringmann
Ringmann inició sus estudios en la escuela latina de Sélestat, que había sido fundada por Louis Dringenberg, el introductor del humanismo en Alsacia. En la Universidad de Heidelberg estudió teología y matemáticas, entablando contactos con otros humanistas de su generación como Jakob Wimpheling o Gregor Reisch quien por entonces, se encontraba trabajando sobre su obra "Margarita Philosophica". Más adelante, Ringmann prosiguió en París su formación en estas disciplinas de la mano del teólogo Jacques Lefèvre d'Étaples y de Faustus Andrelinus, poeta del rey y especialista en la obra de Erasmo de Róterdam, iniciándose también en la cosmografía y aprendiendo griego.
Variedad de Riemann
De hecho, como se sigue del teorema de inmersión de Nash, todas las variedades de Riemann se pueden considerar subvariedades diferenciables de formula_7, para algún "D". En particular se puede definir una variedad de Riemann como un espacio métrico que es isométrico a una subvariedad diferenciable de R con la métrica intrínseca inducida. Esta definición puede no ser teóricamente suficientemente flexible, pero es muy útil al construir las primeras intuiciones geométricas en la geometría de Riemann.
Georg Wilhelm Richmann
Georg Wilhelm Richmann (Ruso: Георг Вильгельм Рихман) (22 de julio de 1711 - 6 de agosto de 1753), fue un físico ruso, de origen alemán del Báltico, perteneciente a la Academia de Ciencias de San Petersburgo donde estaba a cargo del observatorio astronómico.
Economía matemática
John von Neumann, trabajando con Oskar Morgenstern en la teoría de juegos creó una nueva área matemática en 1944 a través de la extensión de los métodos del análisis funcional relacionados con los conjuntos complejos y a la teoría topológica del punto fijo al análisis económico. De esta manera, su trabajo evitó el cálculo diferencial tradicional, para el cual el máximo-operador no aplicada a las funciones no diferenciables. Continuando con el trabajo de von Neumann en la teoría del juego cooperativo, los teóricos Lloyd S. Shapley, Martin Shubik, Hervé Moulin, Nimrod Megiddo y Bezalel Peleg influenciaron la investigación económica en la política y la economía. Por ejemplo la investigación en los precios justos de los juegos cooperativos y los valores justos para los juegos de votos llevaron al cambio de las reglas de legislación al voto y para la contabilidad de los proyectos con costo público. Por ejemplo, la teoría del juego cooperativo era usada para diseñar el sistema de distribución de agua de Suecia del Sur y para fijar tasas para líneas telefónicas dedicadas en los Estados Unidos.
Hipótesis generalizada de Riemann
La hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes de las matemáticas. Es un postulado sobre los ceros de la función zeta de Riemann.
Teorema de Riemann (series)
En matemáticas, el Teorema de Riemann sobre la reordenación de series convergentes, llamado así en honor al matemático alemán Riemann, dice que si una serie infinita de números reales es condicionalmente convergente, entonces sus términos pueden ser permutados de modo que la nueva serie converja a un número real arbitrario, o diverja.
Aritmética
La teoría de conjuntos y en particular diversas paradojas relacionadas con los conjuntos infinitos, así como los problemas derivados de la noción de cantidad infinitesimal, entre otros, llevaron a la llamada «crisis de los fundamentos» de la matemática, a principios del siglo XX. En ese contexto, David Hilbert y otros matemáticos colaboradores propusieron el llamado programa de Hilbert como respuesta al problema de los fundamentos. Dicho programa pretendía librar de paradojas el trabajo matemático mediante la formalización y la axiomatización explícita de diversas ramas de la matemática. En el caso de la aritmética, ya Giuseppe Peano había propuesto los llamados «axiomas de Peano» para la aritmética. Estos axiomas, en la forma propuesta por Peano, no podían ser formalizados en un sistema lógico de primer orden, aunque al principio no se pensó que eso constituyera un problema, por lo que por algún tiempo se trabajó en la fundamentación de la aritmética y la teoría de conjuntos usando lenguajes formales de primer orden; sin embargo, el programa de Hilbert sufriría un revés importante cuando Kurt Gödel probó que la formalización de la aritmética mediante un sistema de primer orden en el más puro estilo del programa de Hilbert era problemático.
David Hilbert
David Hilbert (Königsberg, Prusia Oriental; 23 de enero de 1862-Gotinga, Alemania; 14 de febrero de 1943) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando y/o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas abiertos que incidió en el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.
Carl Louis Ferdinand von Lindemann
Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover, 12 de abril de 1852 - Múnich, 6 de marzo de 1939) fue un matemático alemán. Es conocido por la demostración en 1882 de que el número π es un número trascendental, es decir, no es cero de algún polinomio con coeficientes racionales.
Gottfried Leibniz
Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la de la matemática. De manera independiente al trabajo de Newton (quien lo había desarrollado 10 años antes pero no lo había publicado debido a su trauma por la crítica que una vez le hiciera Hooke) desarrolló el cálculo infinitesimal y su notación que es la que se emplea desde entonces. También inventó el sistema binario, fundamento virtual de todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Fue uno de los primeros intelectuales europeos que reconocieron el valor y la importancia del pensamiento chino y de China como potencia desde todos los puntos de vista.
Johannes Riemann
Johannes Riemann (31 de mayo de 1888 - 30 de septiembre de 1959) fue un actor teatral y cinematográfico alemán, intérprete a partir de 1916 de más de 90 papeles para la gran pantalla. A partir del año 1934 también trabajó como director y guionista cinematográfico.
Mujeres matemáticas
Ya en los inicios del siglo XX encontramos en Centro Europa matemáticas brillantes, como Mileva Marić (1875-1948). Sin ella no habría visto la luz la Teoría de la Relatividad, por lo menos en el momento en el que lo fizo, al haber sido ella pieza imprescindible en la elaboración de los fundamentos matemáticos de la misma. Trabajo que posteriormente, una vez que Mileva se separó de Einstein, continuó Emmy Noether (1882-1935). Esta mujer, considerada la persona más brillante en el campo de las matemáticas durante el siglo XX, tuvo que luchar primero para poder estudiar y, una vez titulada, trabajar durante muchos años sin sueldo, impartiendo clases en nombre de otros, hasta que consiguió un puesto de trabajo en la Universidad de Gotinga con un pequeño salario, muy inferior no solo al de sus compañeros sino incluso inferior al de sus propios discípulos varones. Y cuando ya tenía consolidada su posición profesional en la Universidad de Gotinga, tuvo que huir del país por su origen judía. Destaca por sus aportaciones en física teórica y álgebra abstracta, área de las matemáticas que revolucionó totalmente.
Geometría de Riemann
Toda variedad suave admite una métrica de Riemann, que a menudo ayuda a resolver problemas de topología diferencial. También sirve como nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-riemannianas, que (en cuatro dimensiones) son los principales objetos de la teoría de la relatividad general. Otras generalizaciones de la geometría riemanniana son la geometría de Finsler.
Grete Hermann
Margarethe Grete (Henry-) Hermann (Bremen, 2 de marzo de 1901 - Bremen, 15 de febrero de 1984) fue una matemática y filósofa alemana conocida por su trabajo en matemática, física, filosofía y educación. Se hizo notar por primera vez por su obra filosófica sobre los fundamentos de la mecánica cuántica; y, en la actualidad es más conocida por una refutación de un teorema de John von Neumann sobre la ausencia de variables ocultas. Este teorema tuvo una fuerte influencia en el desarrollo de la mecánica cuántica, y la refutación por Hermann permaneció casi desconocida durante décadas.
Richard Feynman
Richard Phillips Feynman (Queens, Nueva York; 11 de mayo de 1918-Los Ángeles, California; 15 de febrero de 1988) fue un físico teórico estadounidense conocido por sus trabajos en la formulación por integrales de camino en la mecánica cuántica, la teoría de la electrodinámica cuántica y la física de la superfluidez del helio líquido subenfriado, así como en la física de partículas, campo en el que propuso el modelo Partón. Por sus contribuciones al desarrollo de la electrodinámica cuántica, Feynman, junto con Julian Schwinger y Sin-Itiro Tomonaga, recibió el Premio Nobel de Física en 1965.
Historia de las matemáticas
Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass reformularon el cálculo de manera más rigurosa. El rápido crecimiento de la matemática provoca una crisis derivada de la necesidad de revisar todos sus fundamentos para obtenerlos de forma rigurosa a partir de estructuras algebraicas y topológicas. A finales del siglo XIX nace la matemática actual con las obras de Dedekind y Kronecker.
Integración
Tras la creación del cálculo integral a partir del , y su desarrollo más o menos intuitivo durante un par de siglos, la noción de integración fue analizada con mayor rigor durante el . Así la primera noción rigurosa de integración es el concepto de integral de Riemann, así como su generalización conocida como integral de Riemann-Stieltjes. A principios del , el desarrollo de la teoría de la medida llevó al concepto más general y cualitativamente más avanzado de integral de Lebesgue. Más tarde el desarrollo de la noción de proceso estocástico dentro de la teoría de la probabilidad llevó a la formulación de la integral de Itō hacia el final de la primera mitad del , y posteriormente a su generalización conocida como integral de Skorohod (1975). Asimismo desde los años 1960, se ha buscado definición matemáticamente rigurosa de integral de caminos cuánticos.
John von Neumann
En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, David Hilbert presentó su famosa lista de 23 problemas considerada central para el desarrollo de las matemáticas del nuevo siglo: el sexto problema era la axiomatización de las teorías físicas. Entre las nuevas teorías físicas del siglo la única que tenía todavía que recibir tal tratamiento para finales de la década de 1930 era la mecánica cuántica. De hecho, la mecánica cuántica se encontraba, en ese momento, en una condición de crisis de fundamentos, similar a aquella que pasó la teoría de conjuntos a comienzos de siglo, enfrentando problemas tanto de naturaleza filosófica como técnica; por otra parte, su aparente indeterminismo no había sido reducido, como Albert Einstein creía que debía ser a fin de que la teoría se hiciera satisfactoria y completa, a una explicación de forma determinista; además, todavía existían dos formulaciones heurísticas distintas, pero equivalentes: la supuesta "mecánica matricial" de Werner Heisenberg y la "mecánica ondulatoria" de Erwin Schrödinger, pero no había todavía una formulación teórica unificada satisfactoria.
Matemática islámica
Es de notar que, en su mayor parte, estos hombres abordaron simultáneamente varias ramas de las ciencias y las artes. Sus contribuciones y trascendencia son en muchos casos comparables (y en algunos casos superiores) a las de las grandes figuras del Renacimiento europeo, como Leonardo da Vinci o Galileo. Un ejemplo de ello es al-Biruni (973-1048), el primer gran experimentador sistemático, cuyas obras comprenden 13000 folios (bastante más que las de Galileo y Newton reunidas). Al-Biruni hizo contribuciones fundamentales en matemáticas, filosofía, astronomía, física, química, geografía, geodesia y geología; su determinación del diámetro de la Tierra tiene una precisión tal que no sería alcanzada en Occidente hasta cinco siglos más tarde; a él se debe el principio de conservación de la masa (atribuido a Lavoisier, científico francés del siglo XVIII); fue pionero de la ciencia de la geología, junto con ibn Sina, a partir de sus observaciones de los fósiles hallados en las montañas, y observó (también contemporáneamente con ibn Sina, con quien mantuvo profusa correspondencia) el carácter aluvional de los valles. Estos avances científicos se atribuyen en Occidente, respectivamente, a Leonardo da Vinci (reconocido lector de las traducciones latinas de libros árabes) en el siglo XVI, y Nicolas Desmarest en 1756.
Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss ; (Braunschweig, 30 de abril de 1777-Gotinga, 23 de febrero de 1855) fue un matemático, astrónomo, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos ámbitos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado ya en vida como "Princeps Mathematicorum", príncipe de los matemáticos, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de las matemáticas y de la ciencia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos además de los números enteros.
Wilhelm Ackermann
Escribió "Grundzüge der Theoretischen Logik" ("Fundamentos de la lógica teórica") junto con David Hilbert, enfrentándose al Entscheidungsproblem (problema de decisión) también construyó pruebas de la consistencia para la teoría de conjuntos ( 1937 ), la aritmética completa ( 1940 ), la lógica tipo-libre ( 1952 ) y una nueva axiomatización de la teoría de conjuntos ( 1956 ). Escribió el libro "los casos solubles del problema de la decisión" (Holanda del norte, 1954 ).Él fue un matemático destacado de ese siglo .
Teoría analítica de números
Riemann analizó esta función para valores complejos de "s" y mostró que esta función puede ser extendida a una función meromórfica en todo el plano con un polo simple en "s" = 1. Esta función es denominada la función Zeta de Riemann y se la representa como "ζ"("s"). Existe abundante literatura sobre esta función y la función es un caso especial de las funciones L de Dirichlet. El libro de Edwards, "The Riemann Zeta Function" es una buena fuente para estudiar la función ya que Edwards analiza en detalle el escrito original de Riemann y utiliza técnicas básicas de primero y segundo año de la universidad. Una comprensión básica del análisis complejo y análisis de Fourier es preciso para esta lectura.
Historia de las ecuaciones diferenciales
"¿Qué es la hipótesis de Riemann?"
Bertrand Russell
En matemáticas su gran contribución es la indudablemente importante "Principia Mathematica" con Alfred North Whitehead, libro en tres volúmenes en donde a partir de ciertas nociones básicas de la lógica y la teoría de conjuntos se pretendía deducir la totalidad de las matemáticas. Kurt Gödel echó abajo la pretendida demostración, mostrando así el poder de los lenguajes formales, la posibilidad de modelar las matemáticas y la fertilidad de la lógica. Un libro profundamente influyente e importante que contribuyó al desarrollo de la lógica, la teoría de conjuntos, la inteligencia artificial y la computación, así como a la formación de pensadores de la talla de David Hilbert, Ludwig Wittgenstein, Alan Turing, Willard Van Orman Quine y Kurt Gödel.
Historia de las ecuaciones diferenciales
El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XIX. Hace aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y magnetismo, óptica, geometría, ecuación hipergeométrica.
Teoría de Einstein-Cartan
En 1922 Élie Cartan conjeturó que la relatividad general debe ser extendida incluyendo la torsión afín, que permite un tensor de Ricci asimétrico. La extensión de la geometría de Riemann para incluir torsión afín ahora se conoce como geometría de Riemann-Cartan. Una geometría de Riemann-Cartan se determina unívocamente por:Una geometría de Riemann es una geometría de Riemann-Cartan con la torsión cero, así que es determinada unívocamente por un tensor métrico.
James R. Newman
En 1955 escribió "What is Science" y en 1956 publicó "The World of Mathematics", una biblioteca de cuatro volúmenes sobre la literatura de las matemáticas de A'h-mosé el Escriba a Albert Einstein, presentado con comentarios y notas (1956). La serie de cuatro volúmenes cubre muchas ramas de las matemáticas y representa un esfuerzo de 15 años de Newman para recopilar lo que consideró que eran los ensayos más importantes en el campo. Con ensayos que van desde una biografía de Srinivasa Ramanujan por Newman hasta la "Definición de número de" Bertrand Russell, la serie a menudo se elogia como adecuada para cualquier nivel de habilidad matemática.
René Descartes
La influencia de René Descartes en las ciencias y matemáticas es igualmente evidente. Hizo contribuciones en física y óptica. El sistema de coordenadas cartesianas recibió su nombre. Se le acredita como el padre de la geometría analítica, el puente entre el álgebra y la geometría, utilizado en el descubrimiento del cálculo infinitesimal.
Integral de Daniell
En matemáticas, la integral Daniell es un tipo de integración que generaliza el concepto de versiones más elementales tales como la integral de Riemann a la que típicamente se introducen por primera vez los estudiantes. Una de las principales dificultades con la formulación tradicional de la integral de Lebesgue es que requiere el desarrollo inicial de una teoría de la medida viable antes de que se puedan obtener resultados útiles para la integral. Sin embargo, un enfoque alternativo está disponible, desarrollado por Percy J. Daniell (1918) que no sufre de esta deficiencia, y tiene algunas ventajas significativas sobre la formulación tradicional, especialmente como la integral se generaliza a espacios de dimensiones superiores y otras generalizaciones tales como la integral de Stieltjes. La idea básica consiste en la axiomatización de la integral.
Geometría de Riemann
Cualquier variedad diferenciable admite una métrica de Riemann y esta estructura adicional ayuda a menudo a solucionar problemas de topología diferencial. También sirve como un nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-Riemann, las cuales (en el caso particular de tener dimensión 4) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general.
Hans Hahn
Las contribuciones de Hahn a la matemática incluyen el famoso teorema de Hahn–Banach y (con independencia de Banach y Steinhaus), el principio de acotación uniforme. ""... forma parte de un gran avance en la Teoría de las funciones reales y una gran influencia en el desarrollo futuro de esta teoría"". También fue coautor del libro "Set Functions",
Stanisław Zaremba (matemático)
Stanisław Zaremba (3 de octubre de 1863 - 23 de noviembre de 1942) fue un matemático e ingeniero polaco. Sus investigaciones sobre las ecuaciones diferenciales parciales, la matemática aplicada y el análisis clásico, en particular sobre las funciones armónicas, le valieron un amplio reconocimiento. Fue uno de los matemáticos que contribuyó al éxito de la Escuela Polaca de Matemáticas gracias a su capacidad docente y organizativa, así como a sus investigaciones. Además de sus trabajos de investigación, Zaremba escribió muchos libros de texto y monografías universitarias.
Integración
Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el "dx" sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de «medida» de maneras mucho más flexibles. Así, la notación
Ludwig Schläfli
Mientras tanto, Riemann sostuvo su famosa "Habilitationsvortrag" «"Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen"» en 1854, e introdujo el concepto de variedad "n"-dimensional. El concepto de espacios de mayores dimensiones comenzaba a florecer. No se sabe si Riemann estaba familiarizado con la obra de Schläfli.
Formalismo matemático
Uno de los estudiantes más conocidos de Hilbert fue John von Neumann quien, en 1931, buscó presentar el formalismo como una síntesis dialéctica de la tesis logicista y la antítesis intuicionista. Von Neumann promovió el uso de modelos matemáticos que, explícitamente, buscan ser coherentes con el conjunto de axiomas de la teoría, cualquiera sean esos axiomas (ver Teoría de juegos). Estos trabajos resultaron de mayor importancia para desarrollos científicos contemporáneos, desde la economía a la mecánica cuántica. (ver Postulados de la mecánica cuántica).
Hermann Grassmann
Fue sobre esta época cuando realizó sus dos primeros descubrimientos matemáticos significativos, que estaban destinados a llevarlo a las importantes ideas que desarrollaría años después. En la premisa de su "Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik" (Teoría de la extensión lineal, una nueva rama de las matemáticas, 1844), Grassmann describe cómo había ido llegando a estas ideas ya alrededor del año 1832.
Geometría no euclidiana
Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea, la geometría hiperbólica y la geometría elíptica son casos particulares de geometrías riemanninanas, caracterizadas por valores constantes del tensor de curvatura. En una geometría riemanninana general, el tensor de curvatura tendrá valores variables a lo largo de diferentes puntos de dicha geometría.
Eugene Paul Wigner
Las matemáticas asociadas con las matrices-R y las funciones-R fascinaban a Wigner más allá de su aplicación directa a las reacciones de resonancia. A pesar de que a lo largo de su vida fue un físico profundamente comprometido con la comprensión de la naturaleza, también lo seducían las matemáticas. Al contemplar la naturaleza de los elementos de matriz pequeños aleatorios involucrados en la gran cantidad de compuestos encontrados de los niveles nucleares, por ejemplo, en la absorción de neutrones lentos por el uranio para producir la fisión lenta, Wigner introduce una matriz infinita hermitiano que poseía elementos aleatorios en la matriz. En este caso los elementos de matriz al azar estaban relacionados con los anchos de nivel involucrados en el problema. Utilizó ideas que había obtenido de von Neumann, que fue capaz de demostrar que una distribución estadística de niveles espaciados aún persisten en medio de la aleatoriedad absoluta. Esta "distribución de Wigner" de separación de niveles se convirtió en una piedra angular de la teoría cuántica del caos.
Teoría analítica de números
En 1859 Bernhard Riemann utilizó análisis complejo y una función especial meromorfa actualmente conocida como función zeta de Riemann para obtener una expresión analítica para los números primos menores o iguales que un número real "x". En forma notable, el término principal de la fórmula de Riemann era exactamente la integral indicada previamente, lo cual contribuyó a aumentar la sospecha sobre la validez de la conjetura de Gauss. Riemann descubrió que los términos de error en esta expresión y, por lo tanto la forma en que los primos se encuentran distribuidos, están estrechamente relacionados con los ceros complejos de la función zeta. Utilizando las ideas de Riemann y obteniendo información adicional sobre los ceros de la función zeta, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin tuvieron éxito en completar la demostración de la conjetura de Gauss. En particular, ellos demostraron que si π("x") = { número de primos ≤ "x" } entonces
Marcel Grossmann
Marcel Grossman fue en su juventud compañero de estudios de Albert Einstein. Einstein recurrió a los sólidos conocimientos matemáticos de Grossmann, quien lo introdujo en el cálculo tensorial iniciado por Elwin Bruno Christoffel en 1864 y desarrollado en la Universidad de Padua por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita en 1901. La colaboración entre Grossmann y Einstein está documentada en su artículo de 1913 "Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation" in Zeit, fur Mathem. und Phys. 62, 3.
Freeman Dyson
Dyson también trabajó en una variedad de temas en matemáticas, como topología, análisis, teoría de números y matrices aleatorias. Hay una historia interesante que involucra matrices aleatorias. En 1973, el teórico del número Hugh Lowell Montgomery visitaba el Instituto de Estudios Avanzados y acababa de hacer su conjetura de correlación de pares sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann. Mostró su fórmula al matemático Atle Selberg, quien dijo que se parecía a algo en física matemática y que debería mostrarlo a Dyson, y así lo hizo. Dyson reconoció la fórmula como la función de correlación de pares del conjunto unitario gaussiano, que ha sido ampliamente estudiado por los físicos. Esto sugirió que podría haber una conexión inesperada entre la distribución de números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...) y los niveles de energía en los núcleos de elementos pesados como el uranio.
Adolf Remane
Adolf Remane ( Krotoszyn, 10 de agosto de 1898 - Plön, 22 de diciembre de 1976) fue un zoólogo alemán. Junto con Rupert Riedl, Remane fue el morfólogo más influyente en los países de habla germana.