గణితము
త్రికోణమితి ముఖ్యముగా త్రిభుజములు వాటి సూత్రములు ఆధారముగా భుజాలను, కోణాలను కొలుచుటకు ఉపయోగించు శాస్త్రము. త్రికోణమితి యొక్క ఉపయోగాలు ఖగోళ శాస్త్రములోను, నిజజీవితములోను ఎన్నో చోట్ల ఉన్నాయి. నక్షత్రములు, గ్రహముల మధ్య దూరము లను అంచనా వేయడానికి త్రికోణమితిని ఉపయోగిస్తారు. త్రికోణమితిలో ప్రమేయాలు లంబ కోణ త్రిభుజము (లం.కో.త్రి.) ఆధారముగా నిర్వచించబడినవి. ఒక త్రిభుజములో 90 డిగ్రీలు ఉన్న కోణాన్ని లంబ కోణమనీ, 90 డిగ్రీలకంటె ఎక్కువ ఉంటే గురుకోణమనీ, 90 డిగ్రీలకంటె తక్కువ ఉంటే లఘుకోణమనీ అంటాము. ఒక త్రిభుజము లోని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు. త్రిభుజములో ఒక కోణము 90 డిగ్రీలు ఉంటే ఆ త్రిభుజాన్ని లంబ కోణ త్రిభుజము అంటాము; ఒక కోణము గురు కోణమైతే దానిని గురు కోణ త్రిభుజము అంటాము; మూడు కోణాలూ లఘు కోణాలైతే దానిని లఘుకోణ త్రిభుజము అంటాము. ఒక త్రిభుజములో ఒక కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజాన్ని ఎదురు భుజము అనీ, కోణానికి ఇరు ప్రక్కలా ఉండే భుజాలను ఆసన్నభుజములనీ అంటాము. లంబ కోణ త్రిభుజములో, లంబ కోణము కాని మిగిలిన రెండు కోణాలూ లఘుకోణా లని గమనిద్దాం.లంబకోణ త్రిభుజములో లంబకోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణాన్ని కర్ణము అని కూడా అంటాము.మొదటి సారిగా George Boole గణిత సంజ్ఞలంటే ఏమిటో నిర్వచించాడు."ఒక స్థిరమైన అర్ధాన్ని సూచించేందుకు యాద్ధృచ్చికంగా ఏర్పాటై అట్లాగే ఏర్పడిన మిగతావాటితో నిర్ణీరన్యాయానుసారంగా సంయోగంపొందే గుర్తులు సంజ్ఞలు". Boole, Russel కంటే శతాబ్దాల క్రితమే గణిత సంజ్ఞలను నిర్వచించపోయినప్పటికీ, గణిత శాస్త్రానికి సంజ్ఞలకూగల సాన్నిహిత్యాన్ని శాస్త్రవేత్తలు గుర్తించారు.రాసులను వాటిమధ్య నిర్వచిత ప్రక్రియలను పరస్ప సంబంధాలను అరూప పద్ధతిలో ప్రస్ఫుటంగా, సంక్షిప్తంగా వివరించేందుకు సంజ్ఞలని వాడవలెనని, ఈలాంటి సంజ్ఞలతో వికసించే గణితాన్ని ఒక భాషగా ఎంచవచ్చునని ప్రాచీన శాస్త్రజ్ఞలు బాగా గుర్తించారు.
అంతరాళం
===యూక్లిడ్-యేతర జ్యామితి
యూక్లిడ్ యొక్క "మూలకాలు" ఐదు ప్రతిపాదనలు కలిగివుంటాయి, ఇవి యూక్లిడ్ జ్యామితికి ఆధారభూతాలుగా ఉన్నాయి. వీటిలో ఒకటైన, సమాంతర ప్రతిపాదన అనేక శతాబ్దాలుగా గణిత శాస్త్రజ్ఞుల మధ్య చర్చనీయాంశంగా ఉంది. ఏదైనా సమతలంపై "L" అనే సరళ రేఖ మరియు "L" సరళ రేఖపై లేని "P" అనే బిందువుతోపాటు, ఈ సమతలంపై "P" బిందువు గుండా ప్రయాణించే ఒకేఒక్క సరళ రేఖ "L" ఉన్నట్లయితే, అది "L"కి సమాంతరంగా ఉంటుంది. 19వ శతాబ్దం వరకు, ఈ ప్రతిపాదనలో నిజంపై కొద్ది మంది సందేహాలు వ్యక్తం చేశారు; దీనిని ప్రత్యక్ష ప్రమాణంగా లేదా ఇతర ప్రత్యక్ష ప్రమాణాల నుంచి స్వీకరించిన ఒక సిద్ధాంతంగా గుర్తించాల్సిన అవసరం ఉందా అనేదానిపై చర్చ జరిగేది. సమారుగా 1830 కాలంలో, హంగేరీకి చెందిన జానోస్ బోల్యాయ్ మరియు రష్యాకు చెందిన నికోలాయ్ ఇవనోవిచ్ లాబోచెవ్‌స్కీ వేర్వేరుగా సమాంతర ప్రతిపాదనను పక్కనబెట్టిన ఒక రకమైన జ్యామితిని అతివలయ జ్యామితి (హైపర్‌బోలిక్ జ్యామెట్రీ) పేరుతో ప్రతిపాదించారు. "P" బిందువు గుండా వెళ్లే సరళ రేఖలు అనంత సంఖ్యలో ఉంటాయి. ఒక త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తం 180 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టకొలత దాని యొక్క వ్యాసం మధ్య నిష్పత్తి pi కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందని ఈ జ్యామితిలో ప్రతిపాదించారు. 1850వ దశకంలో, బెర్న్‌హార్డ్ రీమాన్ దీర్ఘవృత్త జ్యామితి (ఎలిప్టికల్ జ్యామెట్రీ) యొక్క ఒక సమాన సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేశారు, దీనిలో "P" గుండా ప్రయాణించే ఎటువంటి సమాంతర రేఖలు ఉండవు. ఈ జ్యామితిలో త్రిభుజాలు 180 కంటే ఎక్కువ కోణాన్ని మరియు వృత్తాలకు చుట్టుకొలత మరియు వ్యాసం నిష్పత్తి pi కంటే తక్కువ విలువను కలిగివుంటాయి.