ఆవర్తన పట్టిక
పరమణు సంఖ్య 1 (హైడ్రోజన్ నుండి 118 (అననోక్టియం) వరకు గల అన్ని మూలకాలలో కొన్ని కనుగొనబడినవి మరికొన్ని కృత్రిమంగా తయారుచేయబడినవి. పరమాణు సంఖ్యలు 113,115,117 మరియు 118 గా గల మూలకాలు యిప్పటికీ నిర్ధారింపబడలేదు. ఆవర్తన పట్టికలో మొదటి 98 మూలకాలు ప్రకృతిలో సహజంగా గలవి. మరికొన్ని మూలకాలు వాటిలో కొన్ని మూలకాలు ప్రయోగశాలలో కృత్రిమంగా కనుగొనబడినవి. పరమాణు సంఖ్యలు 99 నుండి 118 వరకు గల మూలకాలను కృత్రిమంగా సృష్టించారు.అధిక పరమాణు సంఖ్యలు కలిగిన మూలకాలు ఉత్పత్తి ఆవర్తన పట్టికలో కొనసాగుతున్న చర్చనీయాంశంగానే ఉండటం అటువంటి చేర్పులు స్థానం కల్పించే మార్పు అవసరం అనేది ప్రశ్నార్థకంగా మారింది. అనేక కృత్రిమ రేడియోన్యూక్లైడ్ సహజంగా మూలకాలులు కూడా ప్రయోగశాలల్లో ఉత్పత్తి చేయబడ్డాయి.
ప్రస్తారణ
కాంబినేటరిక్స్‌లో ప్రస్తారణ యొక్క రెండో కోణం కొన్నిసార్లు విస్తృతంగా ఉంటుంది. ప్రాథమిక కాంబినేటరిక్స్‌లో, ప్రస్తారణలు మరియు మేళనాలు అనే పేరు రెండు సంబంధిత సమస్యలను సూచిస్తుంది, "n" మూలకాలు ఉన్న ఒక సమితి నుంచి "k" విశిష్ట మూలకాలను ఎంపిక చేసే సంభావ్యతలను లెక్కించడాన్ని ఇది సూచిస్తుంది, ఇక్కడ "k" -ప్రస్తారణలకు ఎంపిక క్రమాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు, అయితే "k" -మేళనాలకు మాత్రం దీనిని విస్మరిస్తారు. వాస్తవానికి "k" -ప్రస్తారణలను లెక్కించడాన్ని "k" -మేళనాలు సంఖ్యను formula_1 లెక్కించే చర్యగా మరియు ఒక సమితి ప్రస్తారణల యొక్క సంఖ్య "n" !ను లెక్కించే చర్యగా ఉపయోగిస్తారు (పైన పేర్కొన్న రెండు అర్థాల విషయంలో). అయితే "k" = "n" అయితేనే "k" -ప్రస్తారణలు అటువంటి ప్రస్తారణలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, అంటే, అందుబాటులోని అన్ని మూలకాల ప్రమేయం ఉన్న ఎంపిక సందర్భంలోనే ఇది వర్తిస్తుంది. ప్రస్తారణ భావన యొక్క ఒక భిన్నమైన విస్తృత కోణంలో, "S" అనే సమితితో కాకుండా, ఒక పరిమిత బహుళసమితి "M"తో ప్రారంభించవచ్చు, దీనిలో కొన్ని విలువలు ఒకసారి కంటే ఎక్కువసార్లు ఉండవచ్చు. "M"లో పునరావృతమైన మూలకాలకు సమానమైన సంఖ్యలో మూలకాలు కలిగివున్న "M" యొక్క మూలకాల శ్రేణిని "M" యొక్క (బహుళసమితి) ప్రస్తారణగా నిర్వచించవచ్చు. అంటే "M" =[1,1,1,2,3,3]కు [3,1,2,1,1,3] అనే శ్రేణి "M" యొక్క ఒక బహుళసమితి ప్రస్తారణ అవుతుంది, [3,1,2,1,2,3,1] దాని ప్రస్తారణ కాదు.