త్రిభుజం
త్రిభుజము లోని ఒక కోణము 90 డిగ్రీల కన్న తక్కువ ఉంటే, ఆకోణాన్ని లఘు కోణము అంటారు; ఆ కోణము 90 డిగ్రీ లకన్న ఎక్కువ ఉంటే, దానిని గురు కోణము అంటారు; ఆ కోణము సరిగా 90 డిగ్రీలు ఉంటే, దానిని సమకోణము లేదా లంబకోణము అంటారు.
కోణముల కొలతలు ఆధారంగా త్రిభుజాలు మూడురకములు :
త్రిభుజమునకు సంబంధించి ఆరు కొలతలు ఉంటాయి. అవి : భుజముల కొలతలు మూడు, కోణముల కొలతలు మూడు. ఒక త్రిభుజము లోని మూడు భుజముల కొలతలు, మూడుకోణముల కొలతలు వరుసగా మరియొక త్రిభుజము లోని మూడు భుజములు, మూడు కోణముల కొలతలకు సమానమైనచో ఆ రెండు త్రిభుజములను సర్వసమములు అంటారు. రెండు త్రిభుజములు సర్వసమములు అగుటకు నియమలు:
ఒక త్రిభుజంలోని మూడు భుజాల కొలతలు, రెండవ త్రిభుజంలోని మూడు భుజాల కొలత లకు సమానంగా ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమములు.
ఒక త్రిభుజము లోని రెండు భుజాలు, వాటి మధ్య కోణం, రెండవ త్రిభుజము లోని రెండు భుజాలు, వాటి మధ్య కోణం నకు సమానంగా ఉన్నచో అవి సర్వసమములు.
ఒక త్రిభుజములోని ఒక భుజం, దాని రెండు ఆసన్న కోణాలు, రెండవ త్రిభుజములోని ఒక భుజం దాని రెండు అసన్న కోణాలకు సమానమైతే అవి సర్వసమములు.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము, భుజము, వేరొక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము, భుజము లకు సమానమైన అవి సర్వ సమములు.
అంతరాళం
===యూక్లిడ్-యేతర జ్యామితి
యూక్లిడ్ యొక్క "మూలకాలు" ఐదు ప్రతిపాదనలు కలిగివుంటాయి, ఇవి యూక్లిడ్ జ్యామితికి ఆధారభూతాలుగా ఉన్నాయి. వీటిలో ఒకటైన, సమాంతర ప్రతిపాదన అనేక శతాబ్దాలుగా గణిత శాస్త్రజ్ఞుల మధ్య చర్చనీయాంశంగా ఉంది. ఏదైనా సమతలంపై "L" అనే సరళ రేఖ మరియు "L" సరళ రేఖపై లేని "P" అనే బిందువుతోపాటు, ఈ సమతలంపై "P" బిందువు గుండా ప్రయాణించే ఒకేఒక్క సరళ రేఖ "L" ఉన్నట్లయితే, అది "L"కి సమాంతరంగా ఉంటుంది. 19వ శతాబ్దం వరకు, ఈ ప్రతిపాదనలో నిజంపై కొద్ది మంది సందేహాలు వ్యక్తం చేశారు; దీనిని ప్రత్యక్ష ప్రమాణంగా లేదా ఇతర ప్రత్యక్ష ప్రమాణాల నుంచి స్వీకరించిన ఒక సిద్ధాంతంగా గుర్తించాల్సిన అవసరం ఉందా అనేదానిపై చర్చ జరిగేది. సమారుగా 1830 కాలంలో, హంగేరీకి చెందిన జానోస్ బోల్యాయ్ మరియు రష్యాకు చెందిన నికోలాయ్ ఇవనోవిచ్ లాబోచెవ్‌స్కీ వేర్వేరుగా సమాంతర ప్రతిపాదనను పక్కనబెట్టిన ఒక రకమైన జ్యామితిని అతివలయ జ్యామితి (హైపర్‌బోలిక్ జ్యామెట్రీ) పేరుతో ప్రతిపాదించారు. "P" బిందువు గుండా వెళ్లే సరళ రేఖలు అనంత సంఖ్యలో ఉంటాయి. ఒక త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తం 180 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టకొలత దాని యొక్క వ్యాసం మధ్య నిష్పత్తి pi కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందని ఈ జ్యామితిలో ప్రతిపాదించారు. 1850వ దశకంలో, బెర్న్‌హార్డ్ రీమాన్ దీర్ఘవృత్త జ్యామితి (ఎలిప్టికల్ జ్యామెట్రీ) యొక్క ఒక సమాన సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేశారు, దీనిలో "P" గుండా ప్రయాణించే ఎటువంటి సమాంతర రేఖలు ఉండవు. ఈ జ్యామితిలో త్రిభుజాలు 180 కంటే ఎక్కువ కోణాన్ని మరియు వృత్తాలకు చుట్టుకొలత మరియు వ్యాసం నిష్పత్తి pi కంటే తక్కువ విలువను కలిగివుంటాయి.