త్రిభుజం
త్రిభుజాలకు సంబంధించి ఈ లక్షణము ముఖ్యమైనది. దీనిని త్రికోణీయ అసమత అంటారు. దీని ప్రాముఖ్యత ఏమిటంటే, a, b, c అనే మూడు ధన సంఖ్యలు ఇస్తే, ఇవి భుజాల కొలతలుగా గల త్రిభుజాన్ని నిర్మించాలంటే, ఈ మూడు సంఖ్యలు త్రికోణీయ అసమతను పాటించాలి. అంటే, వీటిలో ఏ రెండింటి మొత్తమైనా మూడవ దానికన్న ఎక్కువ అయి ఉండాలి.
అంటే, a < b + c, b < c + a, c < a + b జరగాలి. ఇది జరిగితే, a, b, c కొలతలుగా గల త్రిభుజాన్ని నిర్మించగలము. విపర్యయంగా, ఈ త్రికోణీయ అసమతను పాటించని ధన సంఖ్యలు a, b, c లు భుజముల కొలతలుగా గల త్రిభుజాన్ని నిర్మించలేము. ఉదాహరణకు, a = 1, b = 2, c = 3 అయితే, 1, 2, 3 లు త్రికోణీయ అసమతను (3 = 2 + 1) పాటించడము లేదు. కనుక, 1, 2, 3 కొలతలుగా గల త్రిభుజాన్ని నిర్మించలేము. ఇలాంటి మరియొక త్రికము (3, 6, 9). 
ఈ ధర్మమును త్రికోణీయ అసమత నుంచి రాబట్టవచ్చు.
కాని, మూడు కోణములు తెలిస్తే, ఆమూడూ కోణాలుగా కలిగిన త్రిభుజాలు చాలా ఉంటాయి; వాటి భుజాల కొలతలు తేడాగాఉంటాయి.
ఇలాంటి త్రిభుజాలను సరూప త్రిభుజములు అంటారు.
ఆర్కిమెడిస్
ఆర్కిమెడిస్ ను ¸యంత్ర సంబంధమైన పరికరాల రూపకల్పన చేయడంలో గౌరము లభించెను, ఆయన గణిత శాస్త్రంలో కూడా కొంత తోడ్పాటును అందించారు. ప్లుటర్చ్ ఇలా రాసేను:"ఎక్కడ అయితే గ్రంయమిన అవసరాలకు సరిపడా జీవితం సూచించడానికి వీలు కాదో ఆయన మొత్తం ప్రేమ మరియు ఆశతో అందులోని సుద్ధమైన చింతతో అక్కడ పనిచేసారు."
ఆర్కిమెడిస్ అతిసూక్ష్మమైన విలువను ఉపయోగించేవారు అది అధునాతన సమాకలన కలనానికి సమానమైనది. విరుద్ధమైన ఋజువు ద్వారా, (reductio ad absurdum) ఆయన ప్రశ్నలకు సమాధానములు నిబంధనలు లేని డిగ్రీలకు కచ్చితమైన విలువలు ఇచ్చెను,విలువల యొక్క పరిమితి ని వివరించి అవి వాటి మధ్యన ఉండేలా చెప్పెను. ఈ కిటుకుని సోషనము యొక్క పద్ధతి అని అంటారు, ఆయన ఈ పనిలో ఉంది ఫై (TT)కి ఉజయింపు విలువ ఇచ్చెను. ఆయన దీని కోసము ఒక్క పెద్ద భహుబుజము వృత్తము బయట మరియు ఒక్క చిన్న బహుబుజము వృత్తము లోపల గీసెను. బహుభుజము యొక్క ప్రక్కలు పెరుగుతున్న కొద్ది వృత్తము యొక్క కచ్చితమైన విలువ తెలుస్తుంది. బహుభుజములు 96 ప్రక్కలు ఉన్నట్టు అయితే ఆయన ప్రక్కలు యొక్క పొడవును లెక్కించి మరియు ఫై యొక్క విలువ 3 1/7 (ఇంచుమించు 3.1429 )మరియు 3 10 /71 (ఇంచుమించు 3.1408 )కి మధ్యన ఉంటుంది అని,దాని స్థిరమైన నిజమైన విలువ ఇంచుమించుగా 3.1416 . ఆయన ఋజువు చేసినది ఏమనగా వృత్తము యొక్క వైశాల్యము π ని గుణించి వృత్తము యొక్క వ్యసార్ధమును వర్గము రెట్టింపు విలువ వచ్చును అది రెండింటికి సమానమైనవి అని నిర్దారించెను. "గోళము మరియు వర్తులస్తంభాకరం మీద" ఆర్కిమెడిస్ సిద్ధాంతం ప్రకారము ఏదో ఒక స్తులత్వము యొక్క విలువను కలసినని సార్లు కలుపుతూ పోతుంటే ఇచ్చిన స్తులత్వము యొక్క విలువ పెరుగుతుంది. దీనిని ఆర్కిమెడిస్ యొక్క నిజసంఖ్య ధర్మం అంటారు.