బంగారం
బంగారం (Gold), ఒక విలువైన లోహము, మరియు రసాయనిక మూలకము. నగల్లో, అలంకారాల్లో విరివిగా వాడతారు, ఆయుర్వేద వైద్యములో కూడా వాడతారు. బంగారం ఆవర్తన పట్టికలో 11 వ సమూహం (గ్రూప్ ) కు చెందిన మూలకం. బంగారం యొక్క పరమాణు సంఖ్య 79. బంగారం యొక్క సంకేత అక్షర Au (లాటిన్ లో బంగారాన్ని Aurun అంటారు). రసాయనికంగా బంగారం ఒక పరావర్తన మూలకం. స్వచ్ఛమైన బంగారం కొద్దిగా ఎరుపు చాయ కల్గిన పసుపుపచ్చ వన్నె కలిగిన ఎక్కువ సాంద్రత కలిగిన, మెత్తగా ఉండే లోహం.
ప్రధాన సంఖ్యలలో జంటలు
ఇప్పుడు మే నెల 2013 లో ఈటాంగ్ జాంగ్ () ఈ దిశలో అధిరోహించిన శిఖరం గురించి తెలుసుకుందాం. ఈయన ఆవిష్కరించిన కొత్త విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా "ప్రధాన సంఖ్యలు 'వాటి మధ్య కనిపించే విరామం (gap) ఒక పరిమితమైన అవధి దాటకుండా' అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయి" అని. ఎన్నిట? అనంతమైనన్ని! (ఈ ఫలితాన్ని ఇంగ్లీషులో, The number of prime pairs that are less than a bound apart is infinite అని రాయవచ్చు.) దీని సారాంశం అర్థం కావాలంటే గణిత శాస్త్రపు లోతులలోకి కొద్దిగానైనా వెళ్లాలి. సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయి అన్న విషయం మనందరికీ తెలిసిన విషయమే. ఇప్పుడు జాంగ్ వచ్చి “ఒక ప్రధాన సంఖ్యకి, దాని తరువాత కనిపించే ప్రధాన సంఖ్యకి మధ్య వచ్చే విరామం నియమితం” (bounded) అని అన్నారు. అంటే, ఎంత దూరం వెళ్లినా ఆ ఖాళీ విలువ ఒక అవధి దాటకుండా పరిమితంగానే ఉంటుంది కాని ఎప్పటికీ అనంతం కాదు. ఇంకా నిర్ధిష్టంగా చెప్పాలంటే, ఆ విరామం విలువ 70,000,000 దాటదు.” (There are infinitely many pairs of prime numbers that differ by 70 million or less.) ఇది సామాన్యులకి అందుబాటు కాని విషయమే అయినా గణిత ప్రపంచంలో పతాక శీర్షిక అయి కూర్చుంది.
జాంగ్ చూపించిన దారి వెంట తర్కించుకుంటూ వెళితే మరొక ఉపయుక్తమైన ఫలితం వెంటనే దొరికింది. పైన చెప్పిన అనంతమైన శ్రేఢిలో వచ్చే ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య వచ్చే విరామానికి ఒక గరిష్ఠ అధో అవధి (greatest lower bound లేదా infimum) ఉందిట. అది 70,000,000 కంటె ఖచ్చితంగా తక్కువేనట. (అనగా, ఇంగ్లీషులో చెప్పాలంటే the number of prime pairs that are less than 70 million units apart is infinite.) ఇదే విషయాన్ని గణిత పరిభాషలో మళ్లా చెబుతాను. p, p అనేవి ఒకదాని తరువాత మరొకటి వచ్చేవి అయిన రెండు ప్రధాన సంఖ్యలు అనుకుందాం. అప్పుడు p – p = g అనేది ఈ రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య ఉండే విరామం (gap). ఈ విరామం విలువ అనంతం కాదు అన్నది మొదటి ఫలితం. ఈ విరామం విలువ 70 మిలియన్లు కంటె తక్కువ అన్నది విశేషాంశం. ఈ సందర్భంలో ఈ 70,000,000 ని అవధి (bound) అంటారు. ఇదే విషయాన్ని గణిత పరిభాషలో ఈ దిగువ అసమీకరణం (inequality) ద్వారా చెప్పవచ్చు: limit as n goes to infinity of the infimum of g is less than 70 million. ఇదే విషయాన్ని సంప్రదాయిక గణిత పరిభాషలో రాసినప్పుడు ఈ దిగువ అసమీకరణంలో చూపినట్లు ఉంటుంది: