Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Проективная геометрия
Исторически, проективное пространство было впервые определено, как дополнение евклидова пространства идеальным элементом — бесконечно удалённой плоскостью. 
Каждая точка на этой плоскости соответствует направлению в пространстве и является местом пересечения всех прямых этого направления.