Евклидово пространство
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство formula_1 с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.
Гладкое многообразие
Пусть formula_1 — хаусдорфово топологическое пространство. 
Если для каждой точки formula_2 найдется её окрестность formula_3, гомеоморфная открытому подмножеству пространства formula_4, то formula_1 называется "локально евклидовым пространством", или "топологическим многообразием" размерности formula_6.