Евклидово пространство
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство formula_1 с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.
Ортогональное преобразование
Ортогональное преобразование — линейное преобразование formula_1 евклидова пространства formula_2, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов formula_3 выполняется равенство
где треугольными скобками обозначено скалярное произведение formula_5
в пространстве formula_2.В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол formula_19, и его матрица в "любом" ортонормированном базисе имеет вид