Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Выпуклое метрическое пространство
Следует заметить, однако, что метрическая выпуклость, определённая таким образом, лишена одного из самых важных свойств евклидовых выпуклых множеств, а именно выпуклости пересечения двух выпуклых множеств. Действительно, как было указано в разделе примеров, окружность с расстоянием между двумя точками, измеряемое как длина кратчайшей дуги, их соединяющей, образует выпуклое и полное метрическое пространство.