Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Математическая формулировка общей теории относительности
Лоренцев характер многообразия formula_20 обеспечивает, таким образом, то, что касательные к formula_20 в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда: