Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Риманово многообразие
Риманово многообразие или риманово пространство ("M","g") — это вещественное дифференцируемое многообразие "M", в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением "g" — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Метрика "g" есть положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор. Другими словами, риманово многообразие это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.