Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Геометрия Лобачевского
Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии.
Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия.
Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от formula_13; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от formula_22, и т. п.
Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии.
Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.