Аксиома
Аксио́ма ( «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Экзистенциальная теория вещественных чисел
В математической логике «теория» — это формальный язык, состоящий из множества предложений, записанных с использованием фиксированного набора символов. имеет следующие символы:
Последовательность этих символов образует предложение, которое принадлежат теории первого порядка вещественных чисел, если грамматически правильно построено, все его переменные имеют соответствующие кванторы и (когда интерпретируется как математическое утверждение о вещественных числах) является верным утверждением. Как показал Тарский, эта теория может быть описана и процедурой принятия решений, которая является полной и эффективной, это: для любого грамматически верного утверждения с полным набором кванторов либо само утверждение, либо его отрицание (но не оба) может быть выведено из аксиом. Та же самая теория описывает любое , не просто вещественные числа. Существуют, однако, другие числовые системы, которые не описываются этими аксиомами точно. Теория, определённая тем же образом для целых чисел вместо вещественных чисел, согласно теореме Матиясевича, является неразрешимой даже для утверждений существования для диофантовых уравнений.