Ковариантность и контравариантность (математика)
Если в линейном пространстве введено скалярное произведение formula_48 — билинейная форма (или в тензорной терминологии — "дважды ковариантный тензор"), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют "евклидовыми" (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы formula_49) или "псевдоевклидовым" (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют "метрическим тензором". Компоненты этого тензора в данном базисе formula_50. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).
Планковская длина
Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения: чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидову. Степень отклонения formula_3 геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала formula_4 и квадрата скорости света formula_5 : formula_6. Когда formula_7, геометрия близка к евклидовой; при formula_8 всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба formula_9 равна formula_10 (formula_11 — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой formula_12, на такой длине есть formula_13, где formula_14 — постоянная всемирного тяготения. Вместо formula_12 следует подставить массу, которой, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергия formula_16 (formula_17). Получаем formula_18. Разделив это выражение на formula_19, получим величину отклонения formula_20. Приравняв formula_21, найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине formula_22 м.