Аксиома
Аксио́ма ( «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Парадокс Рассела
Самым известным подходом к аксиоматизации математики является теория множеств Цермело — Френкеля (ZF), которая возникла как расширение (1908).
В отличие от Рассела, Цермело сохранил логические принципы, а изменил только аксиомы теории множеств.
Идея этого подхода заключается в том, что допускается использовать только множества, построенные из уже построенных множеств при помощи определённого набора аксиом.
Так, например, одна из аксиом Цермело говорит, что можно построить множество всех подмножеств данного множества (аксиома булеана).
Другая аксиома () говорит, что из каждого множества можно выделить подмножество элементов, обладающих данным свойством.
В этом состоит главное отличие теории множеств Цермело от наивной теории множеств: в наивной теории множеств можно рассмотреть множество всех элементов, обладающих данным свойством,
а в теории множеств Цермело — только выделить подмножество из уже построенного множества.
В теории множеств Цермело нельзя построить множество всех множеств. Таким образом и расселовское множество там построить нельзя.