Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Псевдоевклидово пространство
Важнейшим частным случаем псевдоевклидова пространства является пространство Минковского, используемое в специальной теории относительности в качестве пространства-времени, в котором метрика сигнатуры (1,3) лоренц-инвариантна (только псевдоевклидова метрика может быть лоренц-инвариантной), а для времениподобности пары событий длина (в смысле такой метрики) кривой, соединяющей эти события и тоже всюду времениподобной, есть время между ними, измеренное по часам, движение которых описывается в пространстве-времени этой кривой. Изотропные направления являются направлениями распространения света и называются также нулевыми или светоподобными.