Евклидово пространство
Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.
Теорема Адамара — Картана
Теорема Картана — Адамара утверждает, что пространство универсального накрытия связного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны диффеоморфно евклидову пространству.
Более того, экспоненциальное отображение в любой точке является диффеоморфизмом.
Предположение о неположительной кривизны может быть ослаблено.
Назовём метрическое пространство "X" выпуклым, если для любых двух геодезических "a"("t") и "b"("t") функция
является выпуклой функцией от "t". Метрическое пространство называется "локально выпуклым", если каждая его точка имеет окрестность, которая является выпуклой в этом смысле.
Теорема Картана — Адамара для локально выпуклых пространств формулируется следующим образом: