Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Евклидово пространство
Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора formula_27 на подпространство formula_37 — это вектор formula_38 ортогональный formula_39 такой что formula_27 представим в виде formula_41 где formula_42 Расстояние между концами векторов formula_15 и formula_27 является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора formula_27 до подпространства formula_46 Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.