Евклидово пространство
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство formula_1 с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.
Выпуклое метрическое пространство
Следует заметить, однако, что метрическая выпуклость, определённая таким образом, лишена одного из самых важных свойств евклидовых выпуклых множеств, а именно выпуклости пересечения двух выпуклых множеств. Действительно, как было указано в разделе примеров, окружность с расстоянием между двумя точками, измеряемое как длина кратчайшей дуги, их соединяющей, образует выпуклое и полное метрическое пространство.