Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Гладкое многообразие
Пусть formula_1 — хаусдорфово топологическое пространство. 
Если для каждой точки formula_2 найдется её окрестность formula_3, гомеоморфная открытому подмножеству пространства formula_4, то formula_1 называется "локально евклидовым пространством", или "топологическим многообразием" размерности formula_6.