Евклидово пространство
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство formula_1 с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.
Риманово многообразие
Риманово многообразие или риманово пространство ("M","g") — это вещественное дифференцируемое многообразие "M", в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением "g" — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Метрика "g" есть положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор. Другими словами, риманово многообразие это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.