Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Ортогональное преобразование
Ортогональное преобразование — линейное преобразование formula_1 евклидова пространства formula_2, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов formula_3 выполняется равенство
где треугольными скобками обозначено скалярное произведение formula_5
в пространстве formula_2.В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол formula_19, и его матрица в "любом" ортонормированном базисе имеет вид