Ковариантность и контравариантность (математика)
Если в линейном пространстве введено скалярное произведение formula_48 — билинейная форма (или в тензорной терминологии — "дважды ковариантный тензор"), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют "евклидовыми" (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы formula_49) или "псевдоевклидовым" (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют "метрическим тензором". Компоненты этого тензора в данном базисе formula_50. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).
Вещественная проективная плоскость
Проективную плоскость нельзя вложить (без пересечений) в трёхмерное евклидово пространство. Доказательство этого делается примерно так: Предположим, что плоскость вложена, тогда проективная плоскость ограничивает компактную область трёхмерного евклидова пространства согласно обобщённой теореме Жордана. Направленное вовне единичное векторное поле задаёт тогда ориентацию границы многообразия, однако границей многообразия служит проективная плоскость, которая не ориентируема. Получили противоречие.