Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Псевдоевклидово пространство
По своим геометрическим свойствам каждая из двух «половин» гиперсферы мнимого радиуса в formula_37-мерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры formula_38 представляет собой formula_18-мерное пространство Лобачевского. Подпространства размерности formula_40 (от formula_41 до formula_42) в этом пространстве Лобачевского соответствуют подпространствам размерности formula_43 исходного псевдоевклидова пространства, проходящим через начало координат и пересекающим гиперсферу мнимого радиуса, а его движения — преобразованиям Лоренца.