Ковариантность и контравариантность (математика)
Если в линейном пространстве введено скалярное произведение formula_48 — билинейная форма (или в тензорной терминологии — "дважды ковариантный тензор"), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют "евклидовыми" (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы formula_49) или "псевдоевклидовым" (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют "метрическим тензором". Компоненты этого тензора в данном базисе formula_50. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).
Плотная упаковка равных сфер
Можно рассмотреть аналогичную задачу плотной упаковки гиперсфер (или окружностей) в евклидовом пространстве размерности, отличной от 3. В частности, двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружён шестью другими. Именно из таких слоёв построены ГЦК и ГП упаковки. Плотность данной упаковки: