Ковариантность и контравариантность (математика)
Если в линейном пространстве введено скалярное произведение formula_48 — билинейная форма (или в тензорной терминологии — "дважды ковариантный тензор"), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют "евклидовыми" (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы formula_49) или "псевдоевклидовым" (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют "метрическим тензором". Компоненты этого тензора в данном базисе formula_50. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).
Пространство-время
В конвенциональных взглядах Пуанкаре существенными критериями, согласно которым следует выбрать евклидову или неевклидову геометрию, является экономичность и простота. Реалист сказал бы, что Эйнштейн обнаружил, что пространство-время было неевклидовым. Традиционалист сказал бы, что Эйнштейн просто счел "более удобным" использовать неевклидову геометрию. Традиционалист утверждал бы, что анализ Эйнштейна ничего не сказал о том, какая "действительно" геометрия пространства-времени.