Аксиома
Аксио́ма ( «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Арифметика
Логико-математическое построение носит название формальной арифметики. Переход к логике связан с подходом школы Гильберта, который рассматривал вместо чисел абстракции и полагал для них верными основные арифметические законы. Для обоснования арифметики было предложено несколько вариантов аксиоматики. Помимо системы аксиом Пеано, в которой определены и сложение, и умножение, существует система аксиом Пресбургера, в которой определено только сложение, а также аксиомы, в которых определены сложение, умножение и возведение в степень. Зачастую в качестве аксиом включают все свойства операций. Все эти аксиоматические теории основаны на множестве целых чисел и не включают в себя парадоксы теории множеств. Другие исследовательские подходы выводят арифметику из аксиом теории множеств или математической логики. Для удобства исследования аксиомы записывают на специальном формальном языке математической логики. Он содержит formula_136, числовые переменные, символы (formula_137) и логические связки (formula_138), постулатами являются постулаты предикатов исчисления. Аксиома индукции представляет собой бесконечный набор аксиом, который нельзя заменить никаким конечным множеством.