Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Двойственное преобразование
Чтобы сделать этот процесс взаимным преобразованием, евклидово пространство (не являющееся проективной плоскостью) необходимо расширить до расширенной евклидовой плоскости путём добавления и , которые лежат на этой бесконечно удалённой прямой. На этой расширенной плоскости мы определяем поляру точки "O" как прямую на бесконечности (и "O" является полюсом на бесконечности), и полюсы прямых, проходящих через "O" как точки на бесконечности, где, если прямая имеет угловой коэффициент "s" (≠ 0), её полюс является бесконечно удалённой точкой, соответствующей классу параллельных прямых с наклоном "-1/s". Полюс для оси x — это точка на бесконечности вертикальных прямых, а полюс оси y — точка на бесконечности горизонтальных прямых.