Евклидово пространство
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство formula_1 с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.
Псевдоевклидово пространство
Выбрав подходящий базис векторного псевдоевклидова пространства formula_1, всегда можно добиться того, чтобы индефинитное скалярное произведение этого пространства имело вид
где formula_3 и formula_4 — векторы пространства
formula_1. В частности, скалярный квадрат вектора имеет вид
и может быть как положительным, так и отрицательным числом, а также нулём (даже для ненулевого вектора formula_7). Соответственно, длина вектора formula_7, определённая равенством
является либо вещественным положительным, либо чисто мнимым числом, либо нулём.