Ковариантность и контравариантность (математика)
Если в линейном пространстве введено скалярное произведение formula_48 — билинейная форма (или в тензорной терминологии — "дважды ковариантный тензор"), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют "евклидовыми" (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы formula_49) или "псевдоевклидовым" (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют "метрическим тензором". Компоненты этого тензора в данном базисе formula_50. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).
Псевдоевклидово пространство
Выбрав подходящий базис векторного псевдоевклидова пространства formula_1, всегда можно добиться того, чтобы индефинитное скалярное произведение этого пространства имело вид
где formula_3 и formula_4 — векторы пространства
formula_1. В частности, скалярный квадрат вектора имеет вид
и может быть как положительным, так и отрицательным числом, а также нулём (даже для ненулевого вектора formula_7). Соответственно, длина вектора formula_7, определённая равенством
является либо вещественным положительным, либо чисто мнимым числом, либо нулём.