Евклидово пространство
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство formula_1 с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.
Вещественная проективная плоскость
Проективную плоскость нельзя вложить (без пересечений) в трёхмерное евклидово пространство. Доказательство этого делается примерно так: Предположим, что плоскость вложена, тогда проективная плоскость ограничивает компактную область трёхмерного евклидова пространства согласно обобщённой теореме Жордана. Направленное вовне единичное векторное поле задаёт тогда ориентацию границы многообразия, однако границей многообразия служит проективная плоскость, которая не ориентируема. Получили противоречие.