Евклидово пространство
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция formula_5 обладающая следующими тремя свойствами:
Псевдоевклидово пространство
Выбрав подходящий базис векторного псевдоевклидова пространства formula_1, всегда можно добиться того, чтобы индефинитное скалярное произведение этого пространства имело вид
где formula_3 и formula_4 — векторы пространства
formula_1. В частности, скалярный квадрат вектора имеет вид
и может быть как положительным, так и отрицательным числом, а также нулём (даже для ненулевого вектора formula_7). Соответственно, длина вектора formula_7, определённая равенством
является либо вещественным положительным, либо чисто мнимым числом, либо нулём.