مبدأ أرخميدس
ولد أرخميدس في مدينة سرقوسة في جزيرة صقلية حوالي عام 287 قبل الميلاد. ودرس العلوم الفيزيائية والرياضيات في مدرسة كان قد أنشأها اقليدس من قبله ، وكان له العديد من الإنجازات والاختراعات التي يذكرها التاريخ منها: قاعدة أرخميدس و التي بني على أساسها نظرية الطفو. وقد ذهب إلى مدينة الاسكندرية مثل باقي الشباب طلباً للعلم ثم إلى اليونان ومات سنة 212 قبل الميلاد وقتل على يد الرومان. كان ملك سرقوسة قد كلف صائغه بأن يصوغ له تاجاً من الذهب الخالص و شرع الصائغ يصنع التاج و انتهى منه و سلمه للملك. شك الملك في أمر الصائغ ظنا منه أنه قد غشه، فأسند إلى أرخميدس أمر الكشف عن صحة التاج . وجد أرخميدس صعوبة في التحقق من الأمر إذ لم يكن من المعروف أيامه أمر التحليل الكيميائي، و لكن كما لعب القدر دوره مع أحد أعظم علماء التاريخ، كان أرخميدس ذات يوم في حوض الاستحمام العمومي و إذ به يلاحظ أن الماء يرفع رجله إلي أعلى كلما دفع رجليه إلى الأسفل و أن هناك قدرا من الماء يُزاح نتيجة لذلك .
خاصية أرخميدس
خاصية أرخميدس:
بمعرفتك لمجموعة الأعداد الحقيقية R وتصورك لخط الأعداد الحقيقية قد يبدو واضحاً أن مجموعة الأعداد الطبيعية N غير محدودة في مجموعة الأعداد الحقيقية R كيف نستطيع اثبات ذلك ؟ 
في الحقيقة لا نستطيع ان نفعل ذلك باستخدام الجبر وخصائص النظام , في الواقع يجب أن نستخدم completeness propertyفي R إضافة إلى خاصية الإستقراء في N حيث أن ( اذا كان n∈N فإن n+1 ∈N ) 
عند عدم وجود الحد العلوي لمجموعة الاعداد الطبيعية N يعني ذلك أن أي عدد حقيقي x يوجد عدد طبيعي n (يعتمد على x) بحيث xn
اذن x تمثل حداً علوياً للمجموعة N ومنها :
اذن يوجد u∈R بحيث أن u=sup N
يعنيu-1 ليس حد علوي 
اذن يوجد m∈N بحيث u-10 خاصية أرخميدس تعني أنه يوجد n∈N بحيث :
ε<1/nاذن n>1/ε نجد أن لدينا:
0≤w≤1/n 0 فإن w=0
اذا كانت t>0 يوجد nt∈N بحيث:
0<1/nt0 اذا t ليس حد سفلي للمجموعه {1/n حيث n∈N} وبالتالي يوجد nt∈N بحيث 0<1/nt0 يوجد nyN بحيث : 
ny-1≤ y ≤ny
اثبات:
خاصية أرخميدس يضمن المجموعة {Ey={m∈N : y√(2x+ 1/4)+1/2≥n
أو
أو