Ylinumeroituva joukko
Koska numeroituva joukko voi olla alkiomäärältään joko äärellinen tai ääretön, on näitä joukkoja mahtavampi joukko aina alkiomäärältään ääretön. Kansantajuisesti ilmaistuna: kun numeroituvasti ääretön joukko sisältää aina "yhtä monta alkiota" kuin luonnollisten lukujen joukko formula_1, ylinumeroituvassa joukossa on huomattavasti enemmän lukuja. Numeroituvuus voidaan todeta asettamalla tutkittavan joukon alkiot yksi kerrallaan pariksi luonnollisten lukujen alkioiden kanssa siten, että kaikki joukon alkiot tulevat käsiteltyä yhden kerran. Ylinumeroituvan joukon alkioita on niin paljon, ettei sen alkioita pystytä edes luettelemaan missään järjestyksessä, jotta parinmuodostusta voisi suorittaa.
Hyperreaaliluku
Luonnollisten lukujen joukkoa voidaan laajentaa ottamalla lähtökohdaksi vaikkapa yhtälön ratkaisun. Yhtälö formula_39 ei ratkea aina luonnollisten lukujen formula_40 joukossa, vaan se täytyy laajentaa kokonaislukujen joukoksi formula_41, jossa yhtälö ratkeaa aina. Ja edelleen yhtälö formula_42 ei ratkea aina kokonaislukujen joukossa, vaan se on laajennettava rationaalilukujen formula_43 joukoksi. Konstruktiot voidaan tehdä tarkasti ekvivalenssirelaation avulla, mutta yksityiskohdat sivuutetaan.