Ylinumeroituva joukko
Koska numeroituva joukko voi olla alkiomäärältään joko äärellinen tai ääretön, on näitä joukkoja mahtavampi joukko aina alkiomäärältään ääretön. Kansantajuisesti ilmaistuna: kun numeroituvasti ääretön joukko sisältää aina "yhtä monta alkiota" kuin luonnollisten lukujen joukko formula_1, ylinumeroituvassa joukossa on huomattavasti enemmän lukuja. Numeroituvuus voidaan todeta asettamalla tutkittavan joukon alkiot yksi kerrallaan pariksi luonnollisten lukujen alkioiden kanssa siten, että kaikki joukon alkiot tulevat käsiteltyä yhden kerran. Ylinumeroituvan joukon alkioita on niin paljon, ettei sen alkioita pystytä edes luettelemaan missään järjestyksessä, jotta parinmuodostusta voisi suorittaa.
Korkeasti yhdistetty luku
Korkeasti yhdistettyjä lukuja on ääretön määrä, mikä on helppo todistaa seuraavasti:
Oletetaan, että on olemassa jokin n, joka on suurin korkeasti yhdistetty luku. Tarkastellaan lukua 2n. Luku 2n on itsensä jakaja ja sen jakajia ovat myös kaikki luvun n jakajat, joten sillä on ainakin yksi jakaja enemmän. Niinpä ei voi olla olemassa suurinta korkeasti yhdistettyä lukua n.