Ylinumeroituva joukko
Koska numeroituva joukko voi olla alkiomäärältään joko äärellinen tai ääretön, on näitä joukkoja mahtavampi joukko aina alkiomäärältään ääretön. Kansantajuisesti ilmaistuna: kun numeroituvasti ääretön joukko sisältää aina "yhtä monta alkiota" kuin luonnollisten lukujen joukko formula_1, ylinumeroituvassa joukossa on huomattavasti enemmän lukuja. Numeroituvuus voidaan todeta asettamalla tutkittavan joukon alkiot yksi kerrallaan pariksi luonnollisten lukujen alkioiden kanssa siten, että kaikki joukon alkiot tulevat käsiteltyä yhden kerran. Ylinumeroituvan joukon alkioita on niin paljon, ettei sen alkioita pystytä edes luettelemaan missään järjestyksessä, jotta parinmuodostusta voisi suorittaa.
Ylinumeroituva joukko
Tämän voi todistaa epäsuorasti. Olkoon formula_39 algebralliset luvut ja formula_28 transkendenttiluvut, jolloin formula_41. Koska formula_39 on numeroituva joukko, niin formula_29 tulisi olla numeroituva joukko, jos formula_28 on numeroituva. Koska formula_29 on kuitenkin ylinumeroituva, täytyy formula_28 olla myös ylinumeroituva.