Ylinumeroituva joukko
Koska numeroituva joukko voi olla alkiomäärältään joko äärellinen tai ääretön, on näitä joukkoja mahtavampi joukko aina alkiomäärältään ääretön. Kansantajuisesti ilmaistuna: kun numeroituvasti ääretön joukko sisältää aina "yhtä monta alkiota" kuin luonnollisten lukujen joukko formula_1, ylinumeroituvassa joukossa on huomattavasti enemmän lukuja. Numeroituvuus voidaan todeta asettamalla tutkittavan joukon alkiot yksi kerrallaan pariksi luonnollisten lukujen alkioiden kanssa siten, että kaikki joukon alkiot tulevat käsiteltyä yhden kerran. Ylinumeroituvan joukon alkioita on niin paljon, ettei sen alkioita pystytä edes luettelemaan missään järjestyksessä, jotta parinmuodostusta voisi suorittaa.
Analyyttinen lukuteoria
Muodostamme näiden kokonaislukujen numeroinnin siten, että valitsemme numerointiin vuorotellen alkuluvun ja yhdistetyn luvun niiden esiintymisjärjestyksessä. Näin saamme lukujonon
Näin saadusta lukujonosta toteamme helposti, että:
Tämän perusteella voitaisiin helposti vetää se johtopäätös, että lukua 1 suurempien luonnollisten lukujen joukossa esiintyisi alkulukuja tiheydellä 1/2, eli todennäköisyys sille, että joukosta "satunnaisesti" valittu luku on alkuluku, olisi 50%.