Ylinumeroituva joukko
Koska numeroituva joukko voi olla alkiomäärältään joko äärellinen tai ääretön, on näitä joukkoja mahtavampi joukko aina alkiomäärältään ääretön. Kansantajuisesti ilmaistuna: kun numeroituvasti ääretön joukko sisältää aina "yhtä monta alkiota" kuin luonnollisten lukujen joukko formula_1, ylinumeroituvassa joukossa on huomattavasti enemmän lukuja. Numeroituvuus voidaan todeta asettamalla tutkittavan joukon alkiot yksi kerrallaan pariksi luonnollisten lukujen alkioiden kanssa siten, että kaikki joukon alkiot tulevat käsiteltyä yhden kerran. Ylinumeroituvan joukon alkioita on niin paljon, ettei sen alkioita pystytä edes luettelemaan missään järjestyksessä, jotta parinmuodostusta voisi suorittaa.
Georg Cantor
Cantorin onnistui osoittaa, että reaalilukujen joukon kardinaaliluku on yhtä suuri kuin luonnollisten lukujen joukon kaikkien osajoukkojen kokoelman kardinaaliluku. Pyrkiessään osoittamaan tämän ensimmäiseksi ylinumeroituvaksi kardinaaliluvuksi hän päätyi esittämään niin sanotun kontinuumihypoteesin. Hypoteesin mukaan ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus olisi suurempi kuin luonnollisten lukujen joukon numeroituva äärettömyys, mutta pienempi kuin sen osajoukkojen kokoelman. Lukuisista yrityksistä huolimatta kontinuumihypoteesia ei onnistuttu todistamaan eikä kumoamaan. Sen sijaan nykyisin tiedetään (Gödel, 1938, ja Cohen, 1963), että kumpikaan vaihtoehto ei ole ristiriidassa joukko-opin aksioomien kanssa. Näin ollen kontinuumihypoteesia ei voida joukko-opin aksioomien perusteella todistaa eikä kumota. Se on niistä riippumaton.