Yhteenlasku
Yhteenlaskun tulosta kutsutaan summaksi.
Arkhimedeen lause
Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla "E" ja jotain sen ylärajaa kirjaimella "r". Tällöin joukko "E" määritellään seuraavasti "E" =: {m kuuluu kokonaislukuihin | "m" ≤ "r"} ("r" reaaliluku). Koska joukko "E" on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman mukaan pienin yläraja eli supremum, "G" =: sup "E". Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon "E" alkio "x" siten että "x" > "G" - 1/2. Tällöin "x" on joukon "E" maksimi. Jos "x" ei olisi joukon "E" maksimi, olisi olemassa joukon "E" alkio "y" siten, että "y" ≥ "x" + 1 > "G" , mikä taasen olisi ristiriita, koska "G" (= sup "E") ≥ "x", kaikilla "x" kuuluu joukkoon "E".