Matematiikka
Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn perustuva formaali eli käsitteellinen tiede. Matematiikassa tutkitaan muun muassa lukuja, määriä, rakenteita, muutoksia ja avaruuksia. Matemaattisen formalismin mukaan matematiikka on aksiomaattisesti määriteltyjen abstraktien rakenteiden tutkimista symbolisen logiikan ja matemaattisen merkintäjärjestelmän keinoin. Matematiikkaa käytetään fysikaalisten ja käsitteellisten suhteiden ilmaisemisen "kielenä", jonka kielioppi ja käsitteistö on määritelty äärimmäisen tarkkaan. Tämä mahdollistaa asioiden ilmaisemisen yksikäsitteisesti, kun oletetaan loogisten rakenteiden pysyvän muuttumattomina.
Matemaatikon apologia
Nämä sovelletun matematiikan kuvaukset tarkoittavat, että niiden sovellettuus ei tee alasta ”rumaa”, ”triviaalia” ja ”tylsää”, vaan se että useimmiten juuri "rumat", "triviaalit" ja "tylsät" matematiikan alat saavat käytännön sovelluksia. Hardy kuvailee matematiikan eri aloja näillä sanoilla riippuen siitä, miten alkuperäisiä, syviä ja kauniita niiden peruskäsitteet ovat Hardyn määritelmien mukaan. Hardy painottaa tätä kommentoidessaan Carl Friedrich Gaussin nimiin pantua lausahdusta: ”Jos matematiikka on tieteiden kuningatar, lukuteoria on matematiikan kuningatar.” Joidenkuiden mielestä syynä tähän on lukuteorian äärimmäinen hyödyttömyys sovellutusten kannalta, mikä sai Gaussin kuvaamaan lukuteoriaan edellä mainitulla tavalla. Hardy kuitenkin huomauttaa, että tämä ei ole oikea syy. Vaikka lukuteorian käytännön sovellutus löytyisi, kukaan ei siitä syystä pyrkisi syöksemään ”matematiikan kuningatarta” valtaistuimelta. Hardyn mukaan Gauss tarkoitti, että lukuteorian peruskäsitteet ovat muiden matematiikan haarojen peruskäsitteitä syvemmät ja elegantimmat. Matemaattisen käsitteen sovellettavuus ei siis ollut syynä siihen, että Hardy piti sovellettua matematiikkaa puhdasta matematiikkaa alhaisempana. Syynä oli sovelletun matematiikan yksinkertaisuus ja suorasanaisuus, minkä takia Hardy kuvasi kyseistä matematiikan haaraa edellä mainitulla tavalla. Hardyn mukaan esimerkiksi Rollen lausetta, vaikka se onkin differentiaalilaskennalle jossain määrin tärkeä, ei voi verrata Leonhard Eulerin, Évariste Galois'n ja muiden puhtaiden matemaatikkojen tuottaman matematiikan hienouteen ja paremmuuteen.