Fenotyyppi
Fenotyyppi eli yksilön ilmiasu on kehittyvän tai kehittyneen yksilön kaikkien havaittavien ominaisuuksien (anatomisten, fysiologisten, biokemiallisten ja käyttäytymisen) kokonaisuus. Jo 1880-luvulla biologit huomasivat, että perinnöllisyysaine ja eliön ruumis olivat eri asia. Tämä jako selkiytyi, kun varhaiset perinnöllisyystieteilijät ottivat käyttöönsä käsitteet genotyyppi ja fenotyyppi. Fenotyyppi on ympäristön ja geenien vuorovaikutuksen tulos. Näennäisesti samankaltaiset fenotyypit voivat kätkeä geenien tasolla sisäänsä huomattavaa geneettistä muuntelua. Jos ympäristössä ei tapahdu suuria muutoksia, on todennäköisesti fenotyyppikin hyvin samankaltainen kuin aikaisemmissa sukupolvissa ja yksi laji voi kukoistaa miljooniakin vuosia. Jotkut fenotyypin osat voivat kehittyä nopeammin kuin toiset, yksilö ei kehity yhtenä yksikkönä.
Yleinen lukukuntaseula
Koska "m" on sekä "f":n, että "g":n juuri modulo "n", on olemassa homomorfismit renkailta Z[r1] ja Z[r2] renkaalle Z/nZ, joka kuvaa r1:n ja r2:n "m":lle, ja nämä homomorfismit kuvaavat saadut "neliöjuuret" (joita ei esitetä tyypillisesti rationaalilukuina) niiden kokonaislukuesityksille. Nyt tulo muotoa "a-m*b" mod "n" olevista tekijöistä voidaan esittää kahdella tapaa neliönä, joista kumpikin homomorfismi antaa toisen. Siten löydetään kaksi lukua "x" ja "y", joille "x-y" on jaollinen "n":llä ja vähintään 50 %:n todennäköisyydellä saadaan selville jokin "n":n tekijä laskemalla "n":n ja "x-y":n suurin yhteinen tekijä.