Matematiikka
Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn perustuva formaali eli käsitteellinen tiede. Matematiikassa tutkitaan muun muassa lukuja, määriä, rakenteita, muutoksia ja avaruuksia. Matemaattisen formalismin mukaan matematiikka on aksiomaattisesti määriteltyjen abstraktien rakenteiden tutkimista symbolisen logiikan ja matemaattisen merkintäjärjestelmän keinoin. Matematiikkaa käytetään fysikaalisten ja käsitteellisten suhteiden ilmaisemisen "kielenä", jonka kielioppi ja käsitteistö on määritelty äärimmäisen tarkkaan. Tämä mahdollistaa asioiden ilmaisemisen yksikäsitteisesti, kun oletetaan loogisten rakenteiden pysyvän muuttumattomina.
Antiikin tiede
Miletoslaisten rinnalla eli Italiassa joonialaista alkuperää olevan matemaatikon Pythagoraan ympärille muodostunut koulukunta nimeltä pythagoralaisuus, jonka opit olivat tieteen, mystiikan ja filosofian sekoituksia. He omaksuivat myös ajatuksia persialaiselta Zarathustralta. Pythagoralaiset olivat ensimmäinen koulukunta, joka korosti matemaattisuutta luonnonfilosofiassa. He eivät kuitenkaan käyttäneet matematiikkaa niinkään luonnonilmiöiden kuvantamiseen – kuten nykyään tehdään ja vaikka heidän mukaansa kaikki oli ilmoitettavissa numeerisesti – vaan he pitivät lukuja maailmankaikkeuden perustana, vastaavina kuin miletoslaiset pitivät alkuaineita. He olivat tässä mielessä siis idealisteja, kun miletoslaiset olivat materialisteja. Pythagoralaisille maailma oli enemmän kuin oli päältä päin nähtävissä. Heillä oli ideaoppi, jonka perusperiaate oli samankaltainen kuin Platonillakin, joka oli saanut matemaattisen oppinsa pythagoralaisilta: ajatukset täydellisen suorasta viivasta ja kolmiosta ovat osa matematiikkaa, joita ei reaali maailmasta voi löytää. Tämä on perusta nykyiselle matemaattiselle idealismille. Ajatustensa hengessä he kehittivät matematiikan teoreettista ja abstraktia puolta siinä missä babylonialaiset ja egyptiläiset olivat jääneet pohtimaan matematiikan käytännön sovelluksia. Heidän saavutuksiin kuuluu nykyaikaisen matemaattisen vaiheittaisen todistuksen keksiminen, lukujen jaotteleminen (muun muassa parittomiin ja parillisiin), numerologian perustaminen, Pythagoraan lauseen todistaminen. Irrationaalisuuden havaitseminen oli niin suuri takaisku pythagoralaisten maailmankuvalle, että he pyrkivät pitämään koko seikan salassa kultin ulkopuolisilta. Aiemmin oli luultu, että kaikkien geometristen ongelmien ratkaisuna on kokonais- tai rationaaliluku. Pythagoralaisten mielestä Maa ei ollut kosmoksen keskipiste, kuten miletoslaiset väittivät, vaan kiersi jonkinlaista tulta (ei kuitenkaan Aurinko).