Luku
Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän "i". Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa 
olevat luvut, missä "a" ja "b" ovat reaalilukuja. Merkinnässä "a + bi" lukua "a" sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua "b" sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan "puhtaasti imaginaariseksi". Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.
Kulman kolmiajako
Voidaan osoittaa, että jokainen kompleksiluku, jonka vastinpiste kompleksitasolla voidaan löytää pelkästään harpin ja viivoittimen avulla, kun pisteet 0 ja 1 on annettu, voidaan esittää jonkin toisen asteen yhtälön ratkaisuna, jonka kertoimet ovat rationaalilukuja. Tällaiset kompleksi­luvut muodostavat kunnan, joka on kompleksilukujen kunnan alikunta. On myös huomattava, että formula_2 radiaanin eli 60 asteen kulma voidaan piirtää harpilla ja viivoittimella, sillä tasa­sivuisen kolmion kulmat ovat sellaisia. Jos voidaan osoittaa, että 20°:n kulmaa ei voi samoilla välineillä piirtää, ei ole keinoa, jolla mieli­valtainen kulma voitaisiin jakaa kolmeen yhtä suureen osaan.