Matematiikan historia
700-luvulta eaa. lähtien kreikkalaiset olivat alkaneet perustaa siirtokuntia Välimeren ja Mustanmeren rannikolle. Tämä toi lisää yhteyksiä myös vanhoihin matematiikan keskuksiin, Babyloniaan ja Egyptiin, ja oli ilmeisesti yksi syy nopeaan matematiikan kehittymiseen. Ensimmäiset nimeltä tunnetut kreikkalaiset matemaatikot olivat Thales (noin 624–548 eaa.) ja Pythagoras (noin 580–500 eaa.). Heidän teoksistaan yksikään ei ole säilynyt, mutta monet myöhemmät matemaatikot viittaavat heihin teoksissaan. On kuitenkin kiistanalaista, mitkä kaikki heidän nimiinsä yleensä laitettavista keksinnöistä olivat todella heidän itsensä kehittämiä. Thaleen ansioksi lasketaan yleensä geometrisen deduktiivisen päättelyn kehittäminen. Pythagoras ja hänen seuraajansa perustivat koulukunnan, jonka mukaan kaikki oli esitettävissä kokonaislukujen ja niiden suhteiden avulla. He olivat siis ensimmäisiä, jotka pyrkivät kuvaamaan luontoa säännönmukaisesti matematiikan avulla. Pythagoras havainnoi, kuinka värähtelevän kielen pituus vaikuttaa sävelkorkeuteen ja tutki, missä suhteessa kielten pituuksien tulee olla, jotta saadaan tuotettua yhteen oktaavialaan kuuluvat sävelet. He myös ottivat käyttöön alkuluvun ja kultaisen leikkauksen käsitteet. Pythagoralainen lukujen palvonta johti erilaisten lukujonojen tutkimiseen, ja tiettyjä lukuja pidettiin ”arvokkaampina” kuin toisia. Tämä johti siihen, että he erottivat toisistaan puhtaan matematiikan ja laskutekniikkaan keskittyvän "logistiikan". Tämä saattoi hidastaa lukujen merkintätavan kehittymistä, kun käytännön laskemista pidettiin alempiarvoisena. Kreikkalaiset merkitsivät lukuja aluksi roomalaisia numeroita muistuttavalla järjestelmällä. Viimeistään 400-luvulla eaa. siirryttiin joonialaiseen merkintätapaan, joka muistutti paikkajärjestelmää. Täydellistä paikkajärjestelmää ei alettu koskaan käyttää, eikä joonialaista merkintää käytetty murtolukuihin. Pythagoralaiset pitivät niitä kahden kokonaisluvun suhteena eikä suuruudeltaan kokonaislukujen väliin sijoittuvina erillisinä lukuina.
Matematiikan historia
Intian varhaisen matemaattisen kehityksen tarkastelu on vaikeaa lähteiden puutteen ja muinaisen hindulaisen ajanlaskun kuvitteellisuuden vuoksi. Alueen varhaisimman Indus-kulttuurin ajalta ei ole olemassa mitään lähteitä. Ensimmäinen säilynyt kirjallinen tuote on geometrisen tiedon kokoelma Sulvasutra, jonka synty ajoitetaan vuosiin 700 eaa.–100 jaa. Se käsittelee lähinnä maanmittaukseen liittyvää tasogeometriaa ja siinä on babylonialaisia vaikutteita. Seuraavat lähteet ovat Gupta-valtakunnan ajalta 300–500-luvuilta peräisin olevat Siddhantat. Ne ovat eeppisten säkeiden muotoon kirjoitettuja todistamattomien matemaattisten sääntöjen kokoelmia, jotka sisältävät myös virheellisiä kaavoja esimerkiksi kappaleiden tilavuuksille. Todistamattomuus ja intuitiivisuus ovat intialaiselle matematiikalle tyypillisiä piirteitä myöhemminkin. Siddhantoissa on havaittavissa kreikkalaisia vaikutteita, mutta intialaiset matemaatikot ovat muuttaneet ne itselleen ominaiseen muotoon. Hyvä esimerkki tästä on teosten merkittävin anti, nykymuotoiset trigonometriset funktiot. Kreikkalaiset olivat käyttäneet ympyrän jänteen suhdetta keskuskulmaan, mutta intialaiset ottivat käyttöön jänteen puolikkaan verrattuna keskuskulman puolikkaaseen.
Merkittävä matemaatikko Aryabhata laajensi vuonna 499 julkaistussa teoksessaan Aryabhatiya trigonometristen funktioiden käyttöä. Teoksen merkittävin osa on kuitenkin sen intialaista lukujärjestelmää käsittelevä osa. Se osoittaa intialaisten ottaneen ensimmäisinä käyttöön modernin kokonaislukujen merkintätavan, jota nykyään kutsutaan arabialaisiksi numeroiksi. Hellä oli täydellinen paikkajärjestelmä, jonka kantaluku oli 10 ja jonka numeroiden merkintään käytettiin vain kymmentä merkkiä. Mikään näistä kolmesta ominaisuudesta ei ollut kehittynyt Intiassa, mutta siellä ne yhdistettiin ensimmäisen kerran. Kreikkalaisten joonialaiseen merkintätapaan nähden merkittävin muutos oli nollan lisääminen, lisäksi paikkajärjestelmän takia tarpeettomat omat merkit kymmenille ja sadoille jätettiin pois. Nollan synnyn tarkka ajoittaminen on mahdotonta, ja ilmeisesti sitä aluksi merkittiin vain tyhjällä paikalla. Varhaisin kiistaton nolla on löydetty vuodelta 876 olevasta kaiverruksesta. Intialaiset käyttivät paikkajärjestelmää kuitenkin vain kokonaislukujen merkintään.