Luku
Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän "i". Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa 
olevat luvut, missä "a" ja "b" ovat reaalilukuja. Merkinnässä "a + bi" lukua "a" sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua "b" sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan "puhtaasti imaginaariseksi". Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.
Cauchyn–Riemannin yhtälö
Kompleksifunktio on analyyttinen jossain kompleksitason pisteessä tai alueessa, jos se voidaan kirjoittaa muodossa formula_4 ja jos funktiot "u" ja "v" toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt (1a) ja (1b). Osittaisdifferentiaaliyhtälöt esitetään useissa oppikirjoissa myös muodossa formula_5 ja formula_6.
Cauchyn–Riemannin yhtälöt ovat välttämätön ehto sille, että kompleksifunktiolla on derivaatta. Voidaan myös osoittaa, että jos ensimmäinen derivaatta on olemassa, funktiolla on samalla kaikkien kertalukujen derivaatat.