Luku
Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän "i". Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa 
olevat luvut, missä "a" ja "b" ovat reaalilukuja. Merkinnässä "a + bi" lukua "a" sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua "b" sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan "puhtaasti imaginaariseksi". Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.
Kompleksiluku
Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan "liittoluvun" eli "konjugaatin" avulla. Kompleksiluvun formula_14 liittoluku on formula_15. Määritellään kompleksiluvun "moduuli" eli "itseisarvo" formula_16. Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon neliö, joka on reaaliluku: