Luku
Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän "i". Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa 
olevat luvut, missä "a" ja "b" ovat reaalilukuja. Merkinnässä "a + bi" lukua "a" sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua "b" sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan "puhtaasti imaginaariseksi". Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.
Filosofisia tutkimuksia
Ei voida myöskään sanoa, että jokin, esimerkiksi shakkilauta, on ”selvästi ja ehdottomasti kompleksinen” (§47). Jotta sen voitaisiin sanoa olevan absoluuttisen kompleksinen, täytyisi olla yksi kompleksisuuden standardi ylitse muiden. Shakkilautaa voidaan kuitenkin sanoa kompleksiseksi esimerkiksi sen värin, sen sisältämien neliömäärän tai kuviokaavion suhteen. Filosofin esittämään, mihinkään tiettyyn kielipeliin kuulumattomaan kysymykseen, onko jokin olio kompleksinen, onkin Wittgensteinin mukaan vastattava: ”Tämä riippuu siitä, mitä ymmärrät kompleksisella.” (§47) Tällöin kysymykseen ei vastata, vaan se torjutaan.