Ylinumeroituva joukko
Koska numeroituva joukko voi olla alkiomäärältään joko äärellinen tai ääretön, on näitä joukkoja mahtavampi joukko aina alkiomäärältään ääretön. Kansantajuisesti ilmaistuna: kun numeroituvasti ääretön joukko sisältää aina "yhtä monta alkiota" kuin luonnollisten lukujen joukko formula_1, ylinumeroituvassa joukossa on huomattavasti enemmän lukuja. Numeroituvuus voidaan todeta asettamalla tutkittavan joukon alkiot yksi kerrallaan pariksi luonnollisten lukujen alkioiden kanssa siten, että kaikki joukon alkiot tulevat käsiteltyä yhden kerran. Ylinumeroituvan joukon alkioita on niin paljon, ettei sen alkioita pystytä edes luettelemaan missään järjestyksessä, jotta parinmuodostusta voisi suorittaa.
Arkhimedeen lause
Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla "E" ja jotain sen ylärajaa kirjaimella "r". Tällöin joukko "E" määritellään seuraavasti "E" =: {m kuuluu kokonaislukuihin | "m" ≤ "r"} ("r" reaaliluku). Koska joukko "E" on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman mukaan pienin yläraja eli supremum, "G" =: sup "E". Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon "E" alkio "x" siten että "x" > "G" - 1/2. Tällöin "x" on joukon "E" maksimi. Jos "x" ei olisi joukon "E" maksimi, olisi olemassa joukon "E" alkio "y" siten, että "y" ≥ "x" + 1 > "G" , mikä taasen olisi ristiriita, koska "G" (= sup "E") ≥ "x", kaikilla "x" kuuluu joukkoon "E".