Kompleksiluku
Kompleksilukujen joukko ℂ on reaalilukujen luonnollinen laajennus. Kompleksiluku "z" on muotoa
Luonnollinen logaritmi
Eksponenttifunktio voidaan laajentaa kompleksilukujen joukkoon niin, että jokaiselle kompleksiluvuille "z" saadaan funktion arvo "e" samalla Taylorin sarjalla kuin reaaliluvuillekin. Tämän laajennetun funktion käänteisfunktiona voidaan kompleksi­luvuille määritellä myös luonnollinen logaritmi, jolla pätevät useimmat reaalisen luonnollisen logaritmin ominaisuudet. Kaksi seikkaa aiheuttaa kuitenkin vaikeuksia: ensinnäkään millekään luvulle "z" ei ole "e" = 0, ja toiseksi osoittauutuu, että "e" = 1 = "e". Koska kerto­lasku­ominaisuus kuitenkin toimii kompleksisellakin eksponentti­funktiolla, on
kaikilla kompleksiluvuilla "z" ja kokonaisluvuilla "n".