Luku
Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän "i". Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa 
olevat luvut, missä "a" ja "b" ovat reaalilukuja. Merkinnässä "a + bi" lukua "a" sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua "b" sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan "puhtaasti imaginaariseksi". Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.
Kompleksiluku
Kompleksilukujen potenssit voidaan laskea käyttäen De Moivren kaavaa. Tällöin saadaan, että kompleksiluvun formula_20 formula_21:s potenssi on formula_22, missä formula_23 tarkoittaa kompleksiluvun formula_20 moduulia. Kompleksilukun formula_20 formula_26:s juuri saadaan seuraavasti: merkitään formula_27. Tällöin formula_28. Tällöin formula_26:s juuri on formula_30, missä formula_23 tarkoittaa kompleksiluvun formula_20 moduulia.