Luku
Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän "i". Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa 
olevat luvut, missä "a" ja "b" ovat reaalilukuja. Merkinnässä "a + bi" lukua "a" sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua "b" sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan "puhtaasti imaginaariseksi". Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.
Kompleksiluku
Kompleksilukujen historia alkaa kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavojen keksimisestä. Italialainen matemaatikko Girolamo Cardano esitteli nämä kaavat vuonna 1545 julkaisemassaan "Ars Magnassa". Cardano ei keksinyt ratkaisukaavoja itse, vaan sai kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan Niccolo Tartaglialta, jolle Cardano oli vakuuttanut ettei paljasta tämän salaisuutta, sillä tämä aikoi julkaista ratkaisun itse. Tartaglia katkeroitukin Cardanolle pahan kerran tämän petettyä lupauksensa. Tartagliakaan ei tosin ollut ratkaisukaavan alkuperäinen keksijä, vaan sen keksi ilmeisesti ensimmäisenä Scipione dal Ferro. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavan taas keksi Cardanon apulainen Ludovico Ferrari.