Ylinumeroituva joukko
Ylinumeroituva joukko on matematiikassa joukko-opin termi ja se tarkoittaa joukkoa, joka ei ole numeroituva. Siinä on silloin merkittävästi enemmän alkioita kuin numeroituvassa joukossa eli se on mahtavampi joukko.
Arkhimedeen lause
Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla "E" ja jotain sen ylärajaa kirjaimella "r". Tällöin joukko "E" määritellään seuraavasti "E" =: {m kuuluu kokonaislukuihin | "m" ≤ "r"} ("r" reaaliluku). Koska joukko "E" on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman mukaan pienin yläraja eli supremum, "G" =: sup "E". Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon "E" alkio "x" siten että "x" > "G" - 1/2. Tällöin "x" on joukon "E" maksimi. Jos "x" ei olisi joukon "E" maksimi, olisi olemassa joukon "E" alkio "y" siten, että "y" ≥ "x" + 1 > "G" , mikä taasen olisi ristiriita, koska "G" (= sup "E") ≥ "x", kaikilla "x" kuuluu joukkoon "E".