École pythagoricienne
Au témoignage de Platon dans "la République", Pythagore aurait été un maître influent et bien-aimé, fondateur d'un style de vie apte à garantir une heureuse destinée de l'âme dans l'au-delà. On entrevoit son enseignement à travers les maximes pythagoriciennes citées par Aristote et transmises en grande partie par Jamblique; elles ont été désignées par les termes d’"akousmata" (), "choses entendues" et de "symbola" (), "mots de passe ou choses à interpréter". D'après une indication de Jamblique qui remonterait à Aristote, l’enseignement pythagoricien a pu ainsi être divisé en deux parties : une partie pour les « acousmaticiens », (), les non encore initiés, et une pour les initiés, les « mathématiciens ». Mais cette distinction pourrait aussi être le signe du schisme que connurent les communautés pythagoriciennes en crise, les « acousmaticiens » restant attachés aux enseignements orphiques, et tenant pour fondamentales les prescriptions et les interdictions de la confrérie, tandis que les « mathématiciens », plaçant la doctrine du nombre au centre du pythagorisme, s'orientaient vers la science, comme on le voit pour le pythagorisme très vivant de Tarente et des colonies de Thèbes et de Phlionte. L'enseignement est oral ; était-il secret ? Isocrate dans son "Éloge de Busiris" rapporte que les pythagoriciens étaient réputés pour leur silence, sans qu'on sache s'il fait allusion à leur maîtrise de soi ou bien à une interdiction de parler faite aux néophytes. Ce qui est sûr, c'est qu'à toutes les questions qu'on leur posait, les initiés répondaient, en se référant à leur Maître : . Une partie au moins de la doctrine devait rester secrète, par exemple la division des animaux rationnels en trois groupes, tandis que pouvaient être divulguées les idées philosophiques et les démonstrations mathématiques qui furent en effet publiées par Philolaos ou Archytas. Quant à la transmission du savoir entre disciples, elle est indissociable du respect des règles morales de l'amitié fraternelle dans son ensemble : règle du silence, respect du grade d’initiation des disciples. L’école pythagoricienne est ainsi une confrérie tant religieuse que scientifique.
Analogies et correspondances
Le premier théoricien, en Occident, est Pythagore, vers 530 av. J.-C. Il pose le principe : Autrement dit, on retrouve les mêmes forces aux divers niveaux de la nature, avec équivalences. Pythagore établit des correspondances ("omoiômata" ὁμοιὠματα) entre nombres et choses, par exemple un et essence, deux et opinion, trois et tout, quatre et justice, cinq et mariage (Aristote, "Métaphysique", 985b27, 990a23, 1078b22). Surtout il établit des corrélations entre nombres et figures, lorsqu'il parle de nombres linéaires, triangulaires, carrés, rectangulaires, cubiques ; cette analogie entre nombres et figures, donc entre arithmétique et géométrie, pose les correspondances entre trois et triangle, quatre et carré, sept et rectangle, huit et cube. Les néo-pythagoriciens vont plus loin : Dans ses dialogues, Platon va faire correspondre ("prosphérein") l'âme et la société. La cité est l'image agrandie de l'âme. Il y a donc "nécessité à accorder en chacun de nous les mêmes formes, les mêmes dispositions morales qui justement existent dans l'État" ("La République", IV, 435a) : les trois fonctions de l'âme correspondent aux trois fonctions sociales : désir/travailleurs, ardeur/guerriers, raison/philosophes. "S'il y a cinq espèces d'États [monarchie, timocratie, oligarchie, démocratie, tyrannie], il doit y avoir aussi, chez les simples particuliers, cinq comportements de l'âme" ("La République", VIII, ) : la monarchie va de pair avec un homme bon et juste, la timocratie avec un homme soucieux d'honneurs, l'oligarchie avec un homme avide de richesses, la démocratie avec un homme plein de désirs, la tyrannie avec un homme rempli de violences. La cosmologie de Platon pose que "la nature entière est d'une même famille" ("Ménon", 81d), et "le Ciel et la Terre, les dieux et les hommes sont liés entre eux par une communauté, faite d'amitié et de bon arrangement, de sagesse et d'esprit de justice" ("Gorgias", 508a). - Dans son enseignement oral ésotérique, Platon établit des analogies entre les nombres de la Décade pythagoricienne (1, 2, 3, 4, dont la somme fait 10), les dimensions géométriques (unité, ligne, surface, volume), les niveaux de réalité (l'Un, les Idées, l'Âme avec les êtres mathématiques, les choses sensibles), les connaissances (esprit, science, opinion, sensation), les Éléments (Feu, Air, Eau, Terre), de sorte qu'il y a correspondances entre un/unité/Nombres idéaux/connaissance par l'esprit/Élément Feu, puis deux/ligne/Idées particulières/connaissance par la science/Élément Air, ensuite trois/surface/Âme du monde et êtres mathématiques/connaissance par l'opinion droite/Élément Eau, enfin quatre/volume/monde sensible/connaissance par la sensation/Élément Terre. Les platoniciens de l'ancienne Académie (Speusippe, Xénocrate) ont systématisé les correspondances entre les quatre dimensions géométriques (points, lignes, surfaces, volumes) et les quatre modes de connaissance (intellect, science, opinion, sensation). Aristote : "Platon [dans son enseignement oral ésotérique] s'exprime autrement : l'intellect est l'un [le point, aussi], la science est le deux car elle s'avance d'une direction unique vers un seul point [la ligne], le nombre de la surface est l'opinion, et celui du volume est la sensation" ("De l'âme", I, 2).