Pythagore
Aristote : « Les Pythagoriciens s'appliquèrent tout d'abord aux mathématiques… Trouvant que les choses [dont les sons musicaux] modèlent essentiellement leur nature sur tous les nombres et que les nombres sont les premiers principes de la nature entière, les Pythagoriciens conclurent que les éléments des nombres sont aussi les éléments de tout ce qui existe, et ils firent du monde une harmonie et un nombre… Les éléments du nombre sont le pair et l'impair ; et l'un [impair] est fini [limité, structurant, comme une figure géométrique], tandis que l'autre [le pair] est infini [illimité, désordonné, comme l'air]. » Il y a « similitude du pair et du féminin, de l'impair et du mâle ».
Pythagore
Dès Hippase (vers 450 ?), il semble qu'il y ait eu rivalité entre deux tendances idéologiques (et non plus degrés initiatiques) chez les pythagoriciens : les « acousmaticiens » et les « mathématiciens ». Il ne s'agit plus de la hiérarchie novice/initié, mais de la polarité moraliste/scientifique. D'un côté, les acousmaticiens insistent sur les paroles (« acousmates ») léguées par Pythagore et privilégient la morale, les prescriptions rituelles, le « mode de vie pythagoricien » ; entre 420 et 350, les auteurs de comédies (Cratinos, Mnésimaque, etc.) décrivent des « pythagoristes », dès Diodore d'Aspendos (vers -380) et Lycon d'Iasos, végétariens et buveurs d'eau, chevelus et barbus, pieds nus, vêtus d'un simple manteau ("tribôn"), un bâton à la main, faisant vœu de silence et ne se lavant pas. De l'autre côté, les « Mathématiciens » (Hippase, Philolaos, Archytas, Eurytos, Eudoxe de Cnide), au sens de savants, insistent sur les démonstrations et privilégient la science.