École pythagoricienne
Au témoignage de Platon dans "la République", Pythagore aurait été un maître influent et bien-aimé, fondateur d'un style de vie apte à garantir une heureuse destinée de l'âme dans l'au-delà. On entrevoit son enseignement à travers les maximes pythagoriciennes citées par Aristote et transmises en grande partie par Jamblique; elles ont été désignées par les termes d’"akousmata" (), "choses entendues" et de "symbola" (), "mots de passe ou choses à interpréter". D'après une indication de Jamblique qui remonterait à Aristote, l’enseignement pythagoricien a pu ainsi être divisé en deux parties : une partie pour les « acousmaticiens », (), les non encore initiés, et une pour les initiés, les « mathématiciens ». Mais cette distinction pourrait aussi être le signe du schisme que connurent les communautés pythagoriciennes en crise, les « acousmaticiens » restant attachés aux enseignements orphiques, et tenant pour fondamentales les prescriptions et les interdictions de la confrérie, tandis que les « mathématiciens », plaçant la doctrine du nombre au centre du pythagorisme, s'orientaient vers la science, comme on le voit pour le pythagorisme très vivant de Tarente et des colonies de Thèbes et de Phlionte. L'enseignement est oral ; était-il secret ? Isocrate dans son "Éloge de Busiris" rapporte que les pythagoriciens étaient réputés pour leur silence, sans qu'on sache s'il fait allusion à leur maîtrise de soi ou bien à une interdiction de parler faite aux néophytes. Ce qui est sûr, c'est qu'à toutes les questions qu'on leur posait, les initiés répondaient, en se référant à leur Maître : . Une partie au moins de la doctrine devait rester secrète, par exemple la division des animaux rationnels en trois groupes, tandis que pouvaient être divulguées les idées philosophiques et les démonstrations mathématiques qui furent en effet publiées par Philolaos ou Archytas. Quant à la transmission du savoir entre disciples, elle est indissociable du respect des règles morales de l'amitié fraternelle dans son ensemble : règle du silence, respect du grade d’initiation des disciples. L’école pythagoricienne est ainsi une confrérie tant religieuse que scientifique.
Quadrature du cercle
La démarche hypothético-déductive, qui substitua aux recueils de problèmes résolus des énoncés démontrés à partir de quelques propriétés prises comme axiomes, ne s'est imposée en mathématiques qu'à partir du , et encore uniquement dans le monde grec. Déjà apparente dans les raisonnements attribués à Thalès de Milet, elle est clairement élevée au rang de méthode avec Pythagore de Samos et l’École pythagoricienne. La découverte, au tournant du au , de segments incommensurables entre eux, attribuée au présumé pythagoricien Hippase de Métaponte, avait prouvé qu'il existe des objets constructibles qui ne sont pas une fraction simple d'entiers : par exemple, la diagonale d'un carré n'est pas une fraction simple du côté du carré. Il suivit de là que l'arithmétique fut reléguée chez les Grecs au second plan derrière la géométrie : pour décider de l'égalité de deux rapports de longueurs, on s'en remit désormais aux constructions géométriques, c'est-à-dire à la comparaison de figures, et à la décomposition des surfaces en triangles rectangles ou en carrés. Les trois grands problèmes classiques de construction géométriques naissent au : ce sont la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et le « problème délien » de la duplication du cube.