École pythagoricienne
La doctrine pythagoricienne du nombre est avant tout une symbolique numérique, qui a subi l'influence à la fois de la pseudo-science des Chaldéens et du symbolisme mathématique de la philosophie milésienne de la nature. Il ne s'agit pas d'une simple théorie arithmétique. Elle trouverait son origine dans la découverte par Pythagore des lois naturelles établissant un rapport entre la longueur de la corde de la lyre et la hauteur de la note émise par elle ; par extrapolation, il généralisa ces lois en déclarant que tout, dans la vie humaine comme dans le cosmos, était soumis au nombre, en tant qu'essence "qualitative" des choses, et non comme moyen d'exprimer des "quantités" mesurables. Le nombre est le principe de toute chose, et chaque nombre est associé à une figure ; toutes les choses créées ont chacune un nombre pour symbole, ainsi Aristote cite la formule pythagoricienne suivante : , en grec : , formule ayant pour clef les notions de moyenne proportionnelle et de médiation au sens théologique, d’où la restriction à l’étude des nombres entiers positifs :
Algèbre géométrique
Otto Neugebauer apporte, dans les années 1940, des arguments en faveur de la thèse de Zeuthen et Tannery. Ses études sur d'autres cultures mathématiques montrent que les Grecs de l'époque de Pythagore ont importé des techniques mésopotamiennes. Ce savoir se fonde sur des méthodes et des procédures de calcul (appartenant à la même famille que les fractions continues) permettant d'approximer des racines ou encore des méthodes de résolution de questions du second degré. Cette culture est "algébrique", au sens où elle se fonde sur des équivalents d'algorithmes (le mot sera inventé plus tard) dont l'objectif est calculatoire. À l'image de la construction de la section d'extrême et de moyenne raison, de nombreux travaux de l'école de Pythagore sont des traductions de résultats mésopotamiens dans le langage géométrique ionien. Le concept d"'algèbre géométrique" s'étend à cette branche de savoir, maintenant couverte par l'algèbre et qui se démontre chez les Grecs à l'aide de la mesure des aires. On y trouve la théorie des proportions, présente dans les livres V et VI qui décrivent des résultats maintenant contenus dans les axiomes d'un corps commutatif, des méthodes de résolution et d'analyse de la nature d'une solution d'une question de degré 2 présentes dans le livre II, ou encore l'application de l'algorithme d'Euclide à des proportions, dans le livre X, pour démontrer leur incommensurabilité. Elle contient aussi des démonstrations, déjà archaïques à l'époque d'Euclide, comme la théorie du pair et de l'impair.