École pythagoricienne
La doctrine pythagoricienne du nombre est avant tout une symbolique numérique, qui a subi l'influence à la fois de la pseudo-science des Chaldéens et du symbolisme mathématique de la philosophie milésienne de la nature. Il ne s'agit pas d'une simple théorie arithmétique. Elle trouverait son origine dans la découverte par Pythagore des lois naturelles établissant un rapport entre la longueur de la corde de la lyre et la hauteur de la note émise par elle ; par extrapolation, il généralisa ces lois en déclarant que tout, dans la vie humaine comme dans le cosmos, était soumis au nombre, en tant qu'essence "qualitative" des choses, et non comme moyen d'exprimer des "quantités" mesurables. Le nombre est le principe de toute chose, et chaque nombre est associé à une figure ; toutes les choses créées ont chacune un nombre pour symbole, ainsi Aristote cite la formule pythagoricienne suivante : , en grec : , formule ayant pour clef les notions de moyenne proportionnelle et de médiation au sens théologique, d’où la restriction à l’étude des nombres entiers positifs :
Orthogonalité
De nombreux théorèmes géométriques utilisent le théorème de Pythagore et donc l'orthogonalité pour pouvoir être démontrés. Le fait que les trois bissectrices d'un triangle soient concourantes et que leur point commun soit le centre du cercle inscrit dans le triangle provient de la propriété d'orthogonalité de la bissectrice déjà rencontrée pour construire deux droites perpendiculaires. De même, les trois hauteurs d'un triangle d'un triangle sont concourantes. Le point d'intersection s'appelle l'orthocentre. Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Un autre résultat précise que les trois médianes sont aussi concourantes. Le point d'intersection est le centre de gravité. Ce qui signifie que si un triangle est matérialisé en un solide homogène, il est en équilibre sur une pointe posée exactement sur ce point d'intersection. Leonhard Euler trouve une droite remarquable. Le centre de gravité, le centre du cercle inscrit et l'orthocentre sont alignés. Cette droite passe par le centre d'un cercle étonnant appelé cercle d'Euler. Il passe par neuf points remarquables du triangle. Karl Wilhelm Feuerbach établit son théorème affirmant que le cercle d'Euler est tangent aux trois cercles exinscrits du triangle. Tous ces théorèmes utilisent les propriétés de l'orthogonalité pour pouvoir être démontrés.