École pythagoricienne
La doctrine pythagoricienne du nombre est avant tout une symbolique numérique, qui a subi l'influence à la fois de la pseudo-science des Chaldéens et du symbolisme mathématique de la philosophie milésienne de la nature. Il ne s'agit pas d'une simple théorie arithmétique. Elle trouverait son origine dans la découverte par Pythagore des lois naturelles établissant un rapport entre la longueur de la corde de la lyre et la hauteur de la note émise par elle ; par extrapolation, il généralisa ces lois en déclarant que tout, dans la vie humaine comme dans le cosmos, était soumis au nombre, en tant qu'essence "qualitative" des choses, et non comme moyen d'exprimer des "quantités" mesurables. Le nombre est le principe de toute chose, et chaque nombre est associé à une figure ; toutes les choses créées ont chacune un nombre pour symbole, ainsi Aristote cite la formule pythagoricienne suivante : , en grec : , formule ayant pour clef les notions de moyenne proportionnelle et de médiation au sens théologique, d’où la restriction à l’étude des nombres entiers positifs :
Analogies et correspondances
Le premier théoricien, en Occident, est Pythagore, vers 530 av. J.-C. Il pose le principe : Autrement dit, on retrouve les mêmes forces aux divers niveaux de la nature, avec équivalences. Pythagore établit des correspondances ("omoiômata" ὁμοιὠματα) entre nombres et choses, par exemple un et essence, deux et opinion, trois et tout, quatre et justice, cinq et mariage (Aristote, "Métaphysique", 985b27, 990a23, 1078b22). Surtout il établit des corrélations entre nombres et figures, lorsqu'il parle de nombres linéaires, triangulaires, carrés, rectangulaires, cubiques ; cette analogie entre nombres et figures, donc entre arithmétique et géométrie, pose les correspondances entre trois et triangle, quatre et carré, sept et rectangle, huit et cube. Les néo-pythagoriciens vont plus loin : Dans ses dialogues, Platon va faire correspondre ("prosphérein") l'âme et la société. La cité est l'image agrandie de l'âme. Il y a donc "nécessité à accorder en chacun de nous les mêmes formes, les mêmes dispositions morales qui justement existent dans l'État" ("La République", IV, 435a) : les trois fonctions de l'âme correspondent aux trois fonctions sociales : désir/travailleurs, ardeur/guerriers, raison/philosophes. "S'il y a cinq espèces d'États [monarchie, timocratie, oligarchie, démocratie, tyrannie], il doit y avoir aussi, chez les simples particuliers, cinq comportements de l'âme" ("La République", VIII, ) : la monarchie va de pair avec un homme bon et juste, la timocratie avec un homme soucieux d'honneurs, l'oligarchie avec un homme avide de richesses, la démocratie avec un homme plein de désirs, la tyrannie avec un homme rempli de violences. La cosmologie de Platon pose que "la nature entière est d'une même famille" ("Ménon", 81d), et "le Ciel et la Terre, les dieux et les hommes sont liés entre eux par une communauté, faite d'amitié et de bon arrangement, de sagesse et d'esprit de justice" ("Gorgias", 508a). - Dans son enseignement oral ésotérique, Platon établit des analogies entre les nombres de la Décade pythagoricienne (1, 2, 3, 4, dont la somme fait 10), les dimensions géométriques (unité, ligne, surface, volume), les niveaux de réalité (l'Un, les Idées, l'Âme avec les êtres mathématiques, les choses sensibles), les connaissances (esprit, science, opinion, sensation), les Éléments (Feu, Air, Eau, Terre), de sorte qu'il y a correspondances entre un/unité/Nombres idéaux/connaissance par l'esprit/Élément Feu, puis deux/ligne/Idées particulières/connaissance par la science/Élément Air, ensuite trois/surface/Âme du monde et êtres mathématiques/connaissance par l'opinion droite/Élément Eau, enfin quatre/volume/monde sensible/connaissance par la sensation/Élément Terre. Les platoniciens de l'ancienne Académie (Speusippe, Xénocrate) ont systématisé les correspondances entre les quatre dimensions géométriques (points, lignes, surfaces, volumes) et les quatre modes de connaissance (intellect, science, opinion, sensation). Aristote : "Platon [dans son enseignement oral ésotérique] s'exprime autrement : l'intellect est l'un [le point, aussi], la science est le deux car elle s'avance d'une direction unique vers un seul point [la ligne], le nombre de la surface est l'opinion, et celui du volume est la sensation" ("De l'âme", I, 2).