スーパー素数
スーパー素数（スーパーそすう、英：super prime）は、素数の数列における素数番目の素数のことである。例えば11は5番目の素数であり、5は素数であることから、11はスーパー素数となる。最も小さいスーパー素数は、最小の素数は2であることから、2番目の素数3が当てはまる。また、1は素数でないことから、1番目の素数2はスーパー素数ではない。スーパー素数は無限に存在する。3から順にスーパー素数を並べると
となる。
算術の基本定理
定理の反例となる「素数の積で表せないような自然数 ≧2 」の存在を仮定すると、自然数の整礎性により、そのような数には最小の数（最小の反例）があるはずである。定義より素数は既に素数の積に表されているので、最小の反例 は合成数であり、適当な自然数 , をとれば とできるが、 かつ ゆえ、 の最小性から右辺の各因子 は素数の積として表され、 も素数の積で表せることとなり、矛盾する。ゆえに、任意の自然数 ≧2 は素数の積に表される。∎
素数 が自然数の積 を割り切るならば、 は または の少なくとも一方を割り切ることに注意しよう。この補題はユークリッドの補題と呼ばれる。
実際、 が を割り切らないならば、 と は互いに素であり、ユークリッドの互除法を用いて となる整数 の存在が示される（この等式はベズーの等式と呼ばれる）。両辺に を掛ければ
が得られるが、仮定より左辺の および は で割り切れるから、 が を割り切ることが示される。 が を割り切らないときも同様にして を割り切ることが示せる。∎
少なくとも 2 通りの「素数の積」として表すことができる自然数 ≧2 が存在すると仮定し、そのような自然数のうち最小のもの が
と異なる「素数の積」に表されるとする。先の注意から は の少なくともいずれか 1 つを割り切るが、 の最小性から に対してはいずれも素因数分解が一意であるので、 となるような が取れる ()。このとき、
が異なる「素数の積」としての表示であるとすると の最小性に反する（並べ替えて一致するならば、 に 2 通りの表示を考えたことに反する）。∎