Lebih besar
Suatu bilangan cacah bisa didefinisikan oleh suatu kelas ekuivalensi berisi sekumpulan himpunan-himpunan yang berhingga dan yang berukuran sama.
Pada khususnya kelas ekuivalensi yg memuat himpunan kosong menyatakan bilangan nol dan para matematikawan di dunia sepakat untuk menulis bilangan cacah ini dengan lambang
Sedangkan kelas ekuivalensi yg memuat kedua himpunan
dan himpunan
mendefinisikan sebuah bilangan cacah yang biasanya secara tertulis diberi lambang
Kedua himpunan {a, x, y} dan {ayam, bebek, kecoa} yang mewakili kelas ekuivalensi tersebut kita katakan "berukuran" 3.
0,999...
Pendekatan konstruksi bilangan real lainnya adalah dengan menggunakan pengurutan bilangan rasional secara tidak langsung. Pertama-tama, jarak antara "x" dan "y" didefinisikan sebagai nilai mutlak |"x" − "y"| dengan nilai mutlak |"z"| didefinisikan sebagai nilai terbesar "z" dan −"z", sehingga ia tidak pernah negatif. Sehingga bilangan real didefinisikan sebagai barisan bilangan rasional yang mempunyasi sifat barisan Cauchy dengan menggunakan jarak ini, yakni barisan ("x", "x", "x", …). Dalam barisan ("x", "x", "x", …) yang merupakan pemetaan bilangan asli ke bilangan rasional ini, untuk bilangan rasional positif δ apapun terdapat "N" sedemikian rupanya |"x" − "x"| ≤ δ untuk semua "m", "n" > "N". (Jarak antara setiap suku menjadi lebih kecil dari bilangan rasional positif apapun.)