Bilangan riil
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik
Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.. Misalkan "x","y" dan "z" merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi "x+y" merupakan penjumlahan, serta "xy" merupakan perkalian. Maka:Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.
Bilangan alef
formula_2 adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu "bilangan transfinit" atau "kardinal tak terhingga". Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω, mempunyai kardinalitas formula_2. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas formula_2 jika dan hanya jika bilangan itu , yaitu, ada (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan semacam itu adalah:formula_3 adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung, disebut ω atau (kadang-kadang) Ω. ω sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu . Jadi, formula_3 berbeda dari formula_2. Definisi formula_3 menyiratkan (dalam ZF, "tanpa" aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara formula_2 dan formula_3.
Kardinalitas suatu himpunan bilangan real () adalah formula_15. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ( dengan ) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis continuum ("continuum hypothesis"), CH, ekuivalen dengan persamaan identitas