Bilangan riil
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik
Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.. Misalkan "x","y" dan "z" merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi "x+y" merupakan penjumlahan, serta "xy" merupakan perkalian. Maka:Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.
0,999...
Dalam pendekatan potongan Dedekind, setiap bilangan real "x" didefinisikan sebagai himpunan takhingga dari semua bilangan rasional yang lebih kecil daripada "x". Secara spesifik, bilangan real 1 adalah himpunan semua bilangan rasional yang lebih kecil dari 1. Setiap ekspansi desimal positif dapat dengan mudah menentukan potongan Dedekind, yakni himpunan bilangan rasional yang lebih kecil dari beberapa tahap ekspansi. Sehingga bilangan real 0,999… adalah himpunan bilangan rasional "r" sedemikian rupanya "r" < 0, atau "r" < 0,9, atau "r" < 0,99, atau "r" lebih kecil dari bilangan lainnya yang berbentuk formula_14. Setiap unsur 0,999… adalah lebih kecil dari 1, sehingga ia adalah unsur dari bilangan real 1. Kebalikannya, bilangan 1 adalah bilangan rasional formula_15, yang mengimplikasikan formula_16. OLeh karena 0,999… dan 1 mengandung bilangan rasional yang sama, 0,999… dan 1 adalah himpunan yang sama, sehingga 0,999… = 1.