Bilangan riil
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik
Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.. Misalkan "x","y" dan "z" merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi "x+y" merupakan penjumlahan, serta "xy" merupakan perkalian. Maka:Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.
Paritas (matematika)
Himpunan dari bilangan genap dan ganjil dapat didefinisikan sebagai berikut:
Sebuah bilangan (dalam hal ini bilangan bulat) yang dinyatakan dalam sistem bilangan desimal adalah ganjil atau genap tergantung dari apakah angka terakhirnya genap atau ganjil.
Artinya, jika angka terakhirnya adalah 1, 3, 5, 7, atau 9, berarti bilangan tersebut ganjil; jika bukan, bilangan tersebut genap. Ide yang sama dapat berlaku dalam dasar genap manapun.
Secara khusus, sebuah bilangan yang dinyatakan dalam sistem bilangan biner adalah ganjil jika angka terakhirnya adalah 1 dan genap jika angka terakhirnya adalah 0. Dalam dasar ganjil, sebuah bilangan adalah genap tergantung dari jumlah angka-angkanya – bilangan tersebut adalah genap jika dan hanya jika jumlah angkanya adalah genap.