Analisis riil
Analisis riil merupakan cabang dari analisis matematika yang membahas himpunan bilangan riil dan fungsi-fungsi dalam bilangan riil. Analisis riil dapat dianggap sebagai kalkulus yang lebih mendalam, dan juga pembahasan secara lebih mendalam mengenai konsep barisan dan limit, kekontinuan, turunan, integral, dan barisan dari fungsi-fungsi.
Bilangan alef
formula_2 adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu "bilangan transfinit" atau "kardinal tak terhingga". Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω, mempunyai kardinalitas formula_2. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas formula_2 jika dan hanya jika bilangan itu , yaitu, ada (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan semacam itu adalah:formula_3 adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung, disebut ω atau (kadang-kadang) Ω. ω sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu . Jadi, formula_3 berbeda dari formula_2. Definisi formula_3 menyiratkan (dalam ZF, "tanpa" aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara formula_2 dan formula_3.
Kardinalitas suatu himpunan bilangan real () adalah formula_15. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ( dengan ) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis continuum ("continuum hypothesis"), CH, ekuivalen dengan persamaan identitas