Analisis matematis
Pada pertengahan abad, Riemann memperkenalkan teorinya mengenai integral. Pada akhir abad ke-19 melihat analisis aritmetika oleh Weierstrass, yang berikir bahwa ada kekeliruan pemahaman mengenai penalaran geometris, dan ia memperkenalkan definisi limit (ε, δ) dari limit. Hal ini mengakibatkan matematikawan khawatir bahwa mereka mengasumsikan adanya kontinum bilangan riil tanpa bukti. Dedekind kemudian menyusun bilangan riil dengan potongan dedekind, dimana bilangan irasional didefinisikan secara formal, yang berfungsi untuk mengisi "celah" di antara bilangan rasional, sehingga menciptakan satu set kontinum bilangan riil yang telah dikembangkan oleh Simon Stevin.
Integral Riemann
Integral Riemann, dalam cabang matematika yang dikenal sebagai analisis riil, merupakan definisi ketat pertama integral sebuah fungsi dalam sebuah selang. Meskipun integral Riemann tidak cocok untuk banyak kegunaan teoretis, integral ini merupakan salah satu integral yang paling mudah untuk didefinisikan. Sebagian kekurangan teknis ini dapat diperbaiki oleh integral Riemann-Stieltjes, dan kebanyakan tidak ada lagi pada integral Lebesgue.