Analisis matematis
Pada pertengahan abad, Riemann memperkenalkan teorinya mengenai integral. Pada akhir abad ke-19 melihat analisis aritmetika oleh Weierstrass, yang berikir bahwa ada kekeliruan pemahaman mengenai penalaran geometris, dan ia memperkenalkan definisi limit (ε, δ) dari limit. Hal ini mengakibatkan matematikawan khawatir bahwa mereka mengasumsikan adanya kontinum bilangan riil tanpa bukti. Dedekind kemudian menyusun bilangan riil dengan potongan dedekind, dimana bilangan irasional didefinisikan secara formal, yang berfungsi untuk mengisi "celah" di antara bilangan rasional, sehingga menciptakan satu set kontinum bilangan riil yang telah dikembangkan oleh Simon Stevin.
Paritas nol
Dengan pengenalan perkalian, paritas dapat didekati dengan cara yang lebih formal menggunakan ekspresi aritmetika. Setiap bilangan bulat adalah salah satu dari bentuk (2 × ▢) + 0 atau (2 × ▢) + 1; mantan angka-angka yang genap dan yang terakhir adalah ganjil. Misalnya, 1 adalah ganjil karena 1 = (2 × 0) + 1, dan 0 adalah karena bahkan 0 = (2 × 0) + 0. Membuat meja dari fakta-fakta ini kemudian memperkuat garis bilangan gambar di atas.