Analisis matematis
Pada pertengahan abad, Riemann memperkenalkan teorinya mengenai integral. Pada akhir abad ke-19 melihat analisis aritmetika oleh Weierstrass, yang berikir bahwa ada kekeliruan pemahaman mengenai penalaran geometris, dan ia memperkenalkan definisi limit (ε, δ) dari limit. Hal ini mengakibatkan matematikawan khawatir bahwa mereka mengasumsikan adanya kontinum bilangan riil tanpa bukti. Dedekind kemudian menyusun bilangan riil dengan potongan dedekind, dimana bilangan irasional didefinisikan secara formal, yang berfungsi untuk mengisi "celah" di antara bilangan rasional, sehingga menciptakan satu set kontinum bilangan riil yang telah dikembangkan oleh Simon Stevin.
Kalkulus diferensial
Misalkan "x" dan "y" adalah bilangan real di mana "y" adalah fungsi dari "x", yaitu "y" = "f"("x"). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, "y" = "f"("x") = "m" "x" + "c", di mana "m" dan "c" adalah bilangan real yang tergantung pada garis mana grafik tersebut ditentukan. "m" disebut sebagai kemiringan dengan rumus:
di mana simbol Δ (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena
Diikuti pula Δ"y" = "m" Δ"x".