Analisis matematis
Pada pertengahan abad, Riemann memperkenalkan teorinya mengenai integral. Pada akhir abad ke-19 melihat analisis aritmetika oleh Weierstrass, yang berikir bahwa ada kekeliruan pemahaman mengenai penalaran geometris, dan ia memperkenalkan definisi limit (ε, δ) dari limit. Hal ini mengakibatkan matematikawan khawatir bahwa mereka mengasumsikan adanya kontinum bilangan riil tanpa bukti. Dedekind kemudian menyusun bilangan riil dengan potongan dedekind, dimana bilangan irasional didefinisikan secara formal, yang berfungsi untuk mengisi "celah" di antara bilangan rasional, sehingga menciptakan satu set kontinum bilangan riil yang telah dikembangkan oleh Simon Stevin.
0,999...
Fakta bahwa sebuah bilangan real mungkin memiliki dua representasi desimal yang bebeda hanyalah merupakan refleksi dari fakta bahwa dua himpunan bilangan real yang berbeda dapat memiliki batas atas terkecil ("suprema") yang sama.
Beberapa pendekatan secara eksplisit mendefinisikan bilangan real sebagai struktur tertentu yang dibangun dari bilangan rasional menggunakan teori himpunan aksiomatik. Bilangan asli — 0, 1, 2, 3, dan seterusnya — dimulai dari 0 dan berlanjut ke atas, sehingga setiap bilangan mempunyai penerusnya. Kita dapat memperluas bilangan asli dengan nilai negatifnya, sehingga didapatkan bilangan bulat, lebih jauh lagi bisa diperluas menjadi pecahan, sehingga didapatkanlah bilangan rasional. Sistem bilangan ini diikuti oleh aritmetika penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Lebih rinci lagi, sistem ini melibatkan pengurutan, sehingga bilangan yang satu dapat dibandingkan dengan bilangan yang lain, sehingga terdapat hubungan lebih kecil, sama dengan, dan lebih besar.