Analisis matematis
Pada pertengahan abad, Riemann memperkenalkan teorinya mengenai integral. Pada akhir abad ke-19 melihat analisis aritmetika oleh Weierstrass, yang berikir bahwa ada kekeliruan pemahaman mengenai penalaran geometris, dan ia memperkenalkan definisi limit (ε, δ) dari limit. Hal ini mengakibatkan matematikawan khawatir bahwa mereka mengasumsikan adanya kontinum bilangan riil tanpa bukti. Dedekind kemudian menyusun bilangan riil dengan potongan dedekind, dimana bilangan irasional didefinisikan secara formal, yang berfungsi untuk mengisi "celah" di antara bilangan rasional, sehingga menciptakan satu set kontinum bilangan riil yang telah dikembangkan oleh Simon Stevin.
0,999...
Pada formalisme ini, identitas 1 = 0,999… dan 1 = 1,000… merefleksikan fakta bahwa 1 berada di baik interval [0 , 1] maupun [1 , 2], sehingga seseorang dapat memilih salah satu subinterval tersebut untuk menemukan digitnya. Untuk memastikan notasi ini tidak menyalahgunakan tanda "=", seseorang perlulah menemukan cara untuk merekonstruksi sebuah bilangan real tunggal untuk setiap desimal. Hal ini dapat dilakukukan dengan menggunakan limit, namun terdapat pula cara-cara lainnya.