Analisis matematis
Pada pertengahan abad, Riemann memperkenalkan teorinya mengenai integral. Pada akhir abad ke-19 melihat analisis aritmetika oleh Weierstrass, yang berikir bahwa ada kekeliruan pemahaman mengenai penalaran geometris, dan ia memperkenalkan definisi limit (ε, δ) dari limit. Hal ini mengakibatkan matematikawan khawatir bahwa mereka mengasumsikan adanya kontinum bilangan riil tanpa bukti. Dedekind kemudian menyusun bilangan riil dengan potongan dedekind, dimana bilangan irasional didefinisikan secara formal, yang berfungsi untuk mengisi "celah" di antara bilangan rasional, sehingga menciptakan satu set kontinum bilangan riil yang telah dikembangkan oleh Simon Stevin.
Bilangan alef
formula_2 adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu "bilangan transfinit" atau "kardinal tak terhingga". Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω, mempunyai kardinalitas formula_2. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas formula_2 jika dan hanya jika bilangan itu , yaitu, ada (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan semacam itu adalah:formula_3 adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung, disebut ω atau (kadang-kadang) Ω. ω sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu . Jadi, formula_3 berbeda dari formula_2. Definisi formula_3 menyiratkan (dalam ZF, "tanpa" aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara formula_2 dan formula_3.
Kardinalitas suatu himpunan bilangan real () adalah formula_15. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ( dengan ) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis continuum ("continuum hypothesis"), CH, ekuivalen dengan persamaan identitas