Bilangan riil
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik
Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.. Misalkan "x","y" dan "z" merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi "x+y" merupakan penjumlahan, serta "xy" merupakan perkalian. Maka:Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.
Deret (matematika)
Untuk setiap urutan formula_2 bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata
Urutan jumlah parsial formula_4 bersangkutan dengan suatu deret formula_5 didefinisikan bagi setiap formula_6 sebagai jumlah urutan formula_2 dari formula_8 sampai formula_9
Berdasarkan definisi, deret formula_11 converges menjadi suatu limit formula_12 jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial formula_4 converges menjadi formula_12. Definisi ini biasanya ditulis sebagai