Aljabar
Karya François Viète mengenai aljabar baru pada penutupan abad ke-16 adalah sebuah langkah penting menuju aljabar modern. Pada tahun 1637, René Descartes menerbitkan "La Géométrie", menemukan geometri analitis dan memperkenalkan notasi aljabar modern. Peristiwa penting lainnya dalam pengembangan aljabar lebih lanjut adalah penyelesaian aljabar umum untuk persamaan kubik dan kuartik, yang dikembangkan pada pertengahan abad ke-16. Gagasan mengenai determinan dikembangkan oleh matematikawan Jepang Seki Kōwa pada abad ke-17, diikuti secara mandiri oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, untuk tujuan memecahkan sistem persamaan linear simultan dengan menggunakan matriks. Gabriel Cramer juga melakukan beberapa pekerjaan mengenai matriks dan determinan pada abad ke-18. Permutasi dipelajari oleh Joseph-Louis de Lagrange dalam karyanya pada tahun 1770 yang berjudul "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (Refleksi pada resolusi aljabar suatu persamaan), dikhususkan untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan aljabar, di mana dia memperkenalkan resolven Lagrange. Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori dari grup permutasi, dan seperti pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar.
Niels Henrik Abel
Pada tahun 1815 Abel masuk ke sekolah katedral di Christiansand. Pada tahun ketiga sekolahnya Abel berhasil membuktikan teorema binomial berlaku untuk semua bilangan, memperbaiki hasil kerja Euler yang hanya membuktikan teorema binomial berlaku untuk bilangan rasional. Gurunya, Bernt Michael Holmboe yang terkesan oleh kebrilianan Abel merekomendasikan beasiswa baginya ke universitas Christiania. Pada tahun 1821, aplikasi beasiswa Abel diterima. Pada tahun pertamanya di universitas Christiania, Abel berhasil menunjukkan tidak ada solusi umum untuk akar dari persamaan kuintik, atau polinomial umum yang derajat persamaannya lebih besar dari empat, dalam hal operasi aljabar eksplisit. Untuk pembuktian ini, Abel menciptakan (terlepas dari Galois) cabang matematika yang sangat penting yaitu teori grup. Teori grup ini sangat berharga bukan hanya dalam bidang matematika, tetapi bagi bidang fisika juga.