کارآیی پارتو
کارایی پارتو یا بهینگی پارتو یک مفهوم در علم اقتصاد است با کاربردهایی در مهندسی و علوم اجتماعی. این مفهوم حالتی از تخصیص منابع است که در آن امکان بهتر کردن وضعیت یک فرد بدون بدتر کردن وضعیت فردی دیگر وجود ندارد. این اصطلاح پس از ویلفردو پارتو به این نام نامیده شد. یک مهندس و اقتصاد دان ایتالیایی که از این مفهوم در مطالعاتش در زمینه کارایی اقتصادی و توزیع درآمد استفاده کرد. این مفهوم در زمینه‌های دانشگاهی مانند اقتصاد، مهندسی و علوم زیستی کاربرد دارد. در یک تخصیص اولیه از منابع در بین مجموعه‌ای از افراد، تغییر در این تخصیص که باعث گردد شرایط فردی بدون تغییر منفی در شرایط فردی دیگر رخ دهد، ارتقا پارتو نامیده می‌شود. تخصیصی «بهینه پارتو» نامیده می‌شود که نتوان ارتقا پارتو را در آن اعمال کرد.
نظریه مقدار حدی
برای هر دو روش ذکر شده در نظریه مقدار حدی تعدادی توزیع وجود دارد که طبق دو قضیه معروف این نظریه مورد استفاده قرار می‌گیرند. اولی قضیه فیشر تیپت ندنکو است که طبق آن با استفاده از روش حداکثر بلوک توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته می‌تواند برای داده‌های بدست آمده مورد استفاده قرار بگیرد و آنها را توصیف کند. البته این بدان معنی نیست که این روش حتماً ما را به توزیع ذکر شده می‌رساند بلکه در عمل توزیع‌های زیادی وجود دارند که می‌توانند انتخاب شوند. همچنین برای روش فراتر از آستانه نیز طبق قضیه پیکندز بالکما هان برای داده‌های به دست آمده تابع توزیع پارتو تعمیم یافته می‌تواند مورد استفاده قرارگیرد. تابع توزیع تجمعی مقدار حدی تعمیم یافته به صورت زیر است: