استدلال
تمثیل سرایت دادن حکم یک موضوع به موضوع دیگر به دلیل مشابهت آن دو به یکدیگر است. واژهٔ تمثیل در این بافت به معنای تشبیه کردن یا مانند کردن چیزی به چیزی دیگر به‌کار رفته‌است. در استدلال تمثیلی می‌کوشیم تا براساس همانندی بین دو چیز، حُکمی را که برای یکی از آن‌ها درست می‌دانیم برای دیگری هم درست بدانیم. نکتهٔ درخورِ توجه در این استدلال آن است که این استدلال برپایهٔ همانندی است نه محتوا. استدلال تمثیلی برپایهٔ وجه‌شبه بین دو چیز است؛ برای نمونه گُمان می‌کنیم شخصی به‌نام حسین تیزهوش است. حسین برادری به‌نام حسن دارد. وجه‌شبه حسین و حسن برادری آن‌ها نسبت به یکدیگر است؛ ازهمین‌رو، می‌گوییم چون حسن برادر حسین است، حسن هم تیزهوش است. چنین استدلالی تنها براساس برادری بین حسین و حسن پایه‌گذاری شده‌است.
قضایای ناتمامیت گودل
در این‌جا، «نظریه» به معنای تعدادی قواعد استنتاج، تعدادی علائم و مجموعه‌ای نامتناهی از گزاره‌ها است، که تعدادی متناهی از این گزاره‌ها بدون اثبات پذیرفته می‌شوند (که اصول موضوع خوانده می‌شوند)، و برخی دیگر از گزاره‌ها از اصول موضوع به دست می‌آیند؛ به این گزاره‌ها که با کمک قواعد استنتاج از اصول موضوع به دست می‌آیند قضیه می‌گوییم. «اثبات پذیر بودن در نظریه» یعنی «اشتقاق‌پذیر بودن از اصول موضوع نظریه به کمک قواعد استنتاج نظریه». یک نظریه «سازگار» است، در صورتی که هیچ‌گاه یک تناقض را اثبات نکند. بنا بر قضیه ناتمامیت اول گودل، هیچ نظریه اصل موضوعی که حداقل قضایای اساسی حساب را بتواند اثبات کند وجود ندارد که همه قضایا را اثبات یا رد کند. به عبارتی در هر نظام اصل موضوعی ریاضی جملاتی تصمیم ناپذیر وجود دارند. طبق منطق کلاسیک و منطق ارسطویی هر گزاره‌ای یا صادق است یا کاذب. قضیه ناتمامیت اول می‌گوید که نظام‌های اصل موضوعی که قابلیت نشان دادن توابع بازگشتی را داشته باشند نمی‌توانند چنین تصمیمی دربارهٔ گزاره‌های حساب بگیرند. یعنی جملاتی در این نظام‌ها وجود دارند که نه اثبات‌پذیرند و نه انکارپذیر. می‌توان نشان داد که اگر G را به K بیفزاییم و مجموعهٔ جدیدی تولید کنیم، باز هم می‌توانیم یک گزارهٔ جدید گودل برای مجموعهٔ فعلی ارائه کنیم که در نظریه جدید نه اثبات پذیر باشد و نه انکارپذیری و جامع بودن آن را نقض کنیم.