نظریه اعداد
اعداد صحیح را می‌توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله‌ای) در نظر گرفت. سوالات حوزهٔ نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می‌شوند. می‌توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله‌ای).
مسئله دهم هیلبرت
هرچند هیلبرت این مسئله را برای اعداد گویای صحیح مطرح کرد، اما مطرح کردن آن برای خیلی از حلقه‌ها می‌تواند مفید باشد (مخصوصاً برای هر حلقه‌ای که اعضای آن قابل فهرست کردن باشد). مثال‌های واضح آن حلقه‌های اعداد صحیح در میدان‌های اعداد جبری و همچنین اعداد گویا هستند. یک الگوریتیم مانند چیزی که وی به دنبال آن بود می‌تواند برای پوشاندن دامنه‌های دیگر بسط داده شود. به عنوان مثال معادله زیر: وقتی که formula_31 یک چندجمله‌ای با درجه d باشد، در اعداد گویای غیر منفی قابل حل است اگر و تنها اگر:formula_32 در اعداد طبیعی قابل حل باشد. (اگر کسی یک الگوریتیم داشته باشد تا بتواند قابل حل بودن در اعداد گویای غیر منفی را نشان دهد، به راحتی می‌تواند قابل حل بودن آن را در اعداد گویا نیز نشان دهد) به هر حال دانستن اینکه چنین الگوریتیمی که هیلبرت آرزویش را داشت وجود ندارد، چیزی پیرامون زمینه‌های دیگر نمی‌گوید. کارهای بسیاری پیرامون مسئله دهم هیلبرت برای حلقه‌های صحیح از میدان‌های اعداد جبری انجام گرفته‌است. بر اساس کارهای اولیهٔ جان دنف و لئونارد لیپسچیتز و با استفاده از نظریهٔ class field هارولد ان شاپیرو و الکساندر شاپینتاخ توانستند اثبات کنند: "مسئله دهم هیلبرت برای حلقه‌های صحیح از هر میدان اعداد جبری که گروه گالوا روی اعداد گویا آبلی اند غیرقابل حل‌اند." شلاپینتاخ و ثاناسیس فیداس (مستقل از یکدیگر) به نتیجه یکسانی در زمینهٔ میدان‌های اعداد جبری دست یافتند و آن پذیرفتن یک زوج مزدوج مختلط تعبیه شده‌است. مسئله حلقه اعداد صحیح از میدان‌های اعداد جبری به غیر از نتایجی که در بالا مطرح شد هنوز برای پاسخ گویی باز است. همچنین با وجود تلاش‌های بسیار، مسئله معادلات در اعداد گویا نیز هنوز برای پاسخ گویی باز است. باری مازور حدس زده که برای هر متغیری در اعداد گویا، بستار توپولوژیکی روی اعداد حقیقی از مجموعه جواب‌ها، دارای مؤلفه‌های زیاد اما متناهی است. این حدس می‌گوید که اعداد صحیح روی اعداد گویا دیوفانتی نیستند و همچنین اگر این حدس درست باشد، پاسخ منفی به مسئلهٔ دهم هیلبرت مستلزم رویکردی متفاوت برای حلقه‌های دیگر است.