عدد صحیح
عدد صحیح یا عدد درست، عددی است که می‌تواند بدون جزء کسری نوشته شود. برای مثال، ۲۱، ۴، ۰، و ۴− عدد صحیح هستند، در حالی که ۹٫۷۵، و عدد صحیح نیستند؛ مجموعه اعداد صحیح از صفر (۰)، اعداد طبیعی مثبت (۱، ۲، ۳، ...)، که همچنین "اعداد شمارشی" نیز گفته می‌شوند، و وارون جمعیشان (اعداد صحیح منفی، یعنی، ۱−، ۲−، ۳−، ...) تشکیل شده‌است.
مسئله دهم هیلبرت
واژه‌های "فرایند" و "تعداد متناهی عملگرهاً برای توضیح سؤال هیلبرت درمورد الگوریتم به کار رفته‌است. واژه " عدد صحیح" به اعدادی بر می‌گردد که صحیح، مثبت یا منفی یا صفر باشند مثل: ۰، ±۱، ±۲، …. پس هیلبرت به دنبال یک الگوریتم کلی است تا بتواند ادعا کند که داده‌های چندجمله‌ای دیوفانتی با ضرایب صحیح در اعداد صحیح جواب دارند. اکنون پاسخ به این مسئله منفی است: چنین الگوریتمی به‌طور کلی نمی‌تواند وجود داشته باشد، بر خلاف هیلبرت که به امکان وجود آن معتقد بود. قبل از رفتن به سراغ لیست مسائل، وی چنین اظهار می‌دارد: " گاهی ما با داشتن فرضیه‌های غلط به دنبال پاسخ به مسائل هستیم و به خاطر همین موفق نمی‌شویم و مسئلهٔ اثبات غیرممکن بودن حل، تحت فرضهای داده شده ظاهر می‌شود ." کار بر روی این مسئله برای یافتن راه حل بر اساس اعداد طبیعی بوده‌است نه تمام اعداد صحیح، اما به سادگی می‌توان دریافت که الگوریتم درهر دو حالت می‌تواند برای دیگری به کار رود. اگر مشخص شود یکی از الگوریتم‌ها با اعداد طبیعی قابل حل است، این می‌تواند برای مشخص کردن اینکه آیا معادلهٔ n مجهولی با قراردادن الگوریتم مفروض در 2 معادله دارای پاسخ صحیح است. برعکس، یک الگوریتم برای تست کردن حل پذیری، با اعداد صحیح دلخواه، با به کارگیری الگوریتم مفروض برای معادلهٔ حاصل از جایگزینی هر مجهول در معادلهٔ داده شده به وسیلهٔ مجموع مربعات چهار مجهول جدیدمی تواند برای اینکه معادلهٔ داده شده با اعداد طبیعی حل پذیر است استفاده شود. این کار بر اساس قضیه چهار مجذور لاگرانژ است تا نشان دهد که تمام اعداد طبیعی می‌توانند به صورت مجموع چهار مجذور نوشته شود.