대수학의 의미는 무엇인가?
대수학
대수학이란 용어는 학생 또는 전문 수학자에 따라, 다음 2가지 중 하나의 의미를 가진다. 학교 대수는 중학교와 고등학교에서 배우는 대수를 말하는 것으로, "산술"이라고도 하며, 문자를 이용해 수의 관계, 수의 법칙등을 연구하는 학문이며, 방정식이나 함수, 그래프등이 포함된다. 그러나 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이, 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구와 관련해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.
무한소
수학에서, 무한소(無限小, infinitesimal)란 일반적으로 모든 양수보다 작지만 0보다는 큰 상태를 가리킨다.
산술
'arithmetic'은 '계산하다'라는 뜻인 그리스어 arithmeein 또는 '수'를 뜻하는 arithmos에서 유래하였다. 산술은 2개 이상의 수를 결합하는 모든 법칙을 다룬다. 대개 수학자들이 말하는 기초 산술은 초등학교 과정에서 배운 내용을 말한다. 이를테면 가장 많이 사용하는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 비롯하여 분수, 기하학과 측정, 비와 비율, 간단한 확률, 보다 고급 수준에서 다루는 대수학이 기초 산술에 해당한다. 좀 더 성취수준이 높은 학생들은 합동식 계산, 제곱근 및 거듭제곱 계산, 어려운 인수분해 같은 산술 내용을 다루기도 한다. 수학자들은 보다 전문적인 분야인 수론을 '산술'이라고 부르기도 한다. 덧셈과 뺄셈에 대한 산술은 가감산(加減算)이라고 부른다.
수학
공간에 대한 연구는 기하학에서 시작되었고, 특히 유클리드 기하학에서 비롯되었다. 삼각법은 공간과 수들을 결합하였고, 잘 알려진 피타고라스의 정리를 포함한다. 현대에 와서 공간에 대한 연구는, 이러한 개념들은 더 높은 차원의 기하학을 다루기 위해 비유클리드 기하학(상대성이론에서 핵심적인 역할을 함)과 위상수학으로 일반화되었다. 수론과 공간에 대한 이해는 모두 해석 기하학, 미분기하학, 대수기하학에 중요한 역할을 한다. 리 군도 공간과 구조, 변화를 다루는데 사용된다. 위상수학은 20세기 수학의 다양한 지류속에서 괄목할만한 성장을 한 분야이며, 푸앵카레 추측과 인간에 의해서 증명되지 못하고 오직 컴퓨터로만 증명된 4색정리를 포함한다.
응용수학
응용수학(應用數學, )는 순수수학의 수학적인 기교를 이용하여 다른 학문의 문제를 해결하는 수학의 분과학문을 일컫는다. 이는 해석학, 정수론, 집합론, 대수학 등의 세부분야를 통해서 논리적인 완결성을 바탕으로 연산작용을 연구하는 순수수학과는 구분된다. 이러한 정의에 따르면 응용수학에 해당하는 범위는 상당히 넓다. 특히 일부 대학에서는 물리학을 응용수학과 같이 연구하며 (이론)물리학 자체를 응용수학의 한 부분으로 간주하는 경우도 있다.
응용수학의 확실한 특징은 수치계산까지 해낼 수 있도록 추론해 가는 것이다. 특히 수치계산을 주로 하는 것을 응용수학이라고 한다. 응용수학으로서는 오차론·최소제곱법·보간법·수치계산법·도식계산법 등이 있다. 이 외에도 기하학, 기호논리학 등도 응용수학에 포함되게 되었다.
이 응용수학은 근래 과학의 발전과 더불어 거의 수학 전반의 이론이 응용되고 있으므로 응용수학과 일반적인 수학과의 구별은 점차 사라지고 있는 실정이다.
대수기하학
대수기하학은 초기에는 직교 좌표계 위에 유한개의 대수방정식들을 만족하는 해들의 자취로 표현되는 대상, 이른바 대수다양체를 연구하는 기하학 분야였다. 그러나 시간이 지날수록 급격한 발달을 거치면서, 그 연구 대상이 점점 확대되다가 20세기 중반 이후 알렉산더 그로텐디크에 의해서 굉장히 일반화 된 스킴이 탄생하면서부터 전통적인 복소대수기하학에서부터 정수론까지 폭넓은 분야를 연구하는 기본적인 도구로 사용되고 있다.
대수적 수
대수적 수의 표수는 0이며, 유리수체의 대수적 폐포이다. 모든 대수적 수는 어떤 대수적 수체에 속한다. 즉, 대수적 수의 집합은 (복소수체로의 매장을 부여한) 모든 대수적 수체들의 합집합과 같다.
대수적 순환
이 용어는 1950년~60년대 몇가지 근본적인 추측이 이루어지기 시작하여 대수적 순환은 대수기하학의 주요 목표가 되었다. 문제의 본질은 매우 설명하기 쉬워 대수적 순환의 존재를 예측하긴 쉽지만, 현재 그것들을 구성하는 게 무엇인지는 불확실하다. 이러한 대수적 순환의 주요 추측으로는 호지 추측 및 테이트 추측이 있다. 또한, 대수적 순환은 대수적 K이론과도 밀접하게 연관되어 있는 것으로 추측된다.
대수학의 기본 정리
대수학의 기본정리에 의해 formula_19 차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 formula_19개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.
삼각함수
수학에서, 삼각함수(三角函數, )는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.
수 (수학)
수에 관한 중요한 점으로, 더하거나 빼거나, 곱하거나 나누는 등의 여러가지 연산을 수행할 수 있다는 점을 들 수 있다. (사칙연산 참조) 이런 연산에 대해서는 수학의 한 분야인 추상대수학에서 군, 환, 체 등의 형태로 일반화되어 논의되고 있다.
대수학
대수학은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 «알 자브르 왈 무카발라»라는 책 제목에 그 기원을 두고 있다. 이 책에서 그는 대수적 방법들의 근거에 대해서 설명하고 있으며, 책의 제목은 "이항과 약분"으로 번역되기도 한다.
콰리즈미
대수학은 알콰리즈미의 가장 중요한 업적이다. 대수학에서 알콰리즈미의 가장 큰 업적은 복원과 대비의 계산(‘al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala)이라는 책의 출판이다. 이 책은 최대 이차까지의 다항식에서 양수인 해를 구하는 계산 방법을 제시하고 있다. 즉, 이차방정식 및 여러 다른 문제들을 푸는 방법들을 취합해놓은 편집물로서 현대 대수학의 시초로 여겨진다. 이 책은 12세기 중반에 라틴어로 번역되었는데, 그 책 제목에서 현재의 대수학라는 용어가 유래했다. 또한, 이 책에 나오는 여러가지 문제 풀이 방법을 제시한 사람들에 대한 언급이 없어 누가 어떤 내용을 연구했는지에 대한 내용이 잘 알려져 있지 않다. 그리고 현대의 수학 역사학자들은 이 내용들이 다른 책들은 분석한 내용과 동시대의 이슬람 세계에 퍼져있던 인도-아라비아 숫자 체계에 기반한 수학적 지식들을 취합한 것이라는 의견을 내놓았다. 그리고 이 책은 이차방정식을 여섯 가지 기본적인 타입으로 나누고 있는데, 각각을 풀기 위한 대수적이고 기하학적인 방법을 제시하고 있다. 여섯 가지 타입의 2차식은 다음과 같다:
(현대수학에서는 제곱이 x, 근은 x, 숫자는 일상적으로 사용되는 숫자를 의미한다.)
정수
수학에서, 정수(整數, )는 양의 정수(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... , n) 및 음의 정수(-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8...) 및 0으로 이루어진 수 체계이다. 수론의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수의 집합의 기호는 formula_1.
대수학의 기본 정리
즉, 복소계수 다항식
해석기하학
해석기하학(解析幾何學, analytic geometry)이란 여러 개의 수로 이뤄진 순서쌍(또는 좌표)을 기하학적으로 나타내는 방법인 좌표기하학 또는 카테시안 기하학을 달리 부르는 이름이다. n개의 수를 사용하여 나타낸 n-순서쌍의 수를 미지수로 하는 방정식의 형태로 도형의 성질을 설명한다. 이때 2차원 좌표계 평면에서는 n=2이고, 3차원 좌표계 공간에서는 n=3이다. 일반적으로 수학자들은 해석기하학에서 방정식을 대수적으로 나타내어 다룸으로써 도형의 위치 및 형태를 결정하거나 분류한다. 해석기하학은 수학에서 2가지 뜻으로 해석된다. 현대적인 의미에서는 해석적 다양체의 기하학을 가리킨다. 이 글은 고전적이고 기초적인 의미 위주로 설명한다.
추상대수학
역사적으로 볼 때, 대수 구조는 처음에는 수학의 몇몇 다른 영역에서 생겨난 것으로, 공리적으로 상술된 후에서야 추상대수학에서 제자리를 찾아 연구되기 시작하였다. 이 때문에 추상대수학은 수학의 다른 모든 분야와 수많은 관련성을 낳게 되었다.
대수기하학
그보다 작은 두 대수 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 대수 집합을 기약 대수 집합(irreducible algebraic set)이라 하며, 이를 또한 대수다양체라고도 부른다. 대수 집합이 대수다양체가 될 필요충분조건은 그 집합을 정의하는 다항식들의 집합이 다항식환 내에서 소 아이디얼을 생성한다는 것이다.
대수적 수체
대수적 수체 formula_2는 대역체이므로, 다음과 같은 곱 공식()이 성립한다.
여기서 formula_34는 formula_2의 모든 자리에 대한 곱이며, formula_36는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수
의 경우
이므로
이다.
기하적 대수학
기하적 대수학()은 수학에서 클리퍼드 대수의 기하학적 해석이며 3차원 공간에서 직접적으로 공간과 시간을 벡터 미적분보다 간단하게 표현하고 해석할 수있다.
인수분해
대수론과 대수학에서, 인수분해(因數分解, )는 곱이 정의된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로 표현하는 것을 가리킨다. 특히, 정수집합에서 어떤 주어진 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 것은 소인수 분해라고 부른다. 따라서 소인수 분해는 인수분해의 일종이 된다. 일반적으로는 한 다항식을 두 개 이상의 인수(factor)의 곱으로 분해하는 것을 말한다. 즉, 전개의 역이다. 이러한 관계를 표현한 것은 곱셈 공식이 되겠다.
셈
셈()은 물체의 개수를 헤아리는 행동이다. “수를 센다”고 한다. 수를 세는 가장 전통적인 방법은 한 집단에 포함된 물체들을 차례대로 가리키며 마음 속으로, 또는 말로서 수를 계속 늘려나가는 것이다. 마지막 물체를 가리킬 때 최종적으로 물체의 수를 얻게 된다. 숫자의 개념이 없던 고대 사회에서는 양 한 마리에 돌 하나를 대응시키는 것과 같이 두 집단을 비교함으로써 셈을 하였는데, 이렇게 하면 실제의 숫자를 몰라도 양의 수가 줄어들었는가 아닌가 등을 알 수 있었다. 이것은 현대의 유럽 언어에서 ‘계산하다’는 의미의 calculate가 라틴어로 ‘조약돌’을 의미하는 단어인 calculus과 유사한 것에서도 드러난다.
수 (수학)
수(數)는 양을 기술하기 위해 사용해 온 추상적인 개념이다. 컴퓨터 등의 특정 분야에서는 수치(數値)라고도 한다.
소수 (기수법)
수학에서, 소수(小數, )는 각각의 자리에 놓인 숫자와 소수점을 통해 나타낸 실수이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.
복소수
대수학의 기본 정리에 따르면, 복소수 계수 다항식의 근은 모두 복소수이다. 예를 들어,
는 여전히 복소수이다. 따라서, 복소수는 다항식의 가상의 근을 새로운 원소로서 첨가하는 방식으로는 더 이상 확장되지 않는다. 추상대수학의 용어를 사용하면, 복소수체는 대수적으로 닫힌 체이다.
대수기하학
formula_15의 부분 집합이 적당한 formula_28에 대해 formula_31와 일치할 경우, 이를 대수적 집합이라 한다. 여기에서 formula_37는 아래에서 설명할 특수한 종류의 대수적 집합인 대수다양체()의 첫 글자를 딴 것이다.
대수학의 기본 정리
가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 formula_5 에 대해 formula_6 라고 가정하자. 그러면 formula_7 는 전해석함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여
모티브 (수학)
모티브(, )는 대수기하학의 연구대상 중 한가지로, 직관적으로 말하자면, '대수다양체의 궁극적인 성질들을 가지고 있는 대상'을 뜻한다. 좀 더 수학적으로 엄밀하게 말하자면, '모티브 이론'이란 '대수다양체에 관한 범용 코호몰로지 이론(universal cohomology theory)'이다.
마그눔 오푸스
마그눔 오푸스()는 중세 유럽의 연금술에서 유래한 낱말로 납과 같은 비금속(卑金屬)을 금으로 변형하거나 철학자의 돌을 만드는 일을 성공적으로 완수하는 것 또는 그 일 자체를 의미한다. 마그눔 오푸스의 문자 그대로의 뜻은 영어로 "Great Work"인데, 한글 번역으로는 "위대한 일위대한 학문위대한 공부큰 일큰 학문큰 공부" 등의 의미가 된다.
수학
수학(數學)은 양, 구조, 공간, 변화 등의 개념을 다루는 학문이다. 현대 수학은 형식 논리를 이용해서 공리로 구성된 추상적 구조를 연구하는 학문으로 여겨지기도 한다. 수학은 그 구조와 발전 과정에서는 자연과학에 속하는 물리학을 비롯한 다른 학문들과 깊은 연관을 맺고 있다. 하지만, 어느 과학의 분야들과는 달리, 자연계에서 관측되지 않는 개념들에 대해서까지 이론을 일반화 및 추상화시킬 수 있다는 차이가 있다고 한다. 수학자들은 그러한 개념들에 대해서 추측을 하고, 적절하게 선택된 정의와 공리로부터의 엄밀한 연역을 통해서 추측들의 진위를 파악한다.
이산수학
이산수학에서는 실수 같이 연속적인 성질이 있는 대상이 아니라 주로 정수, 그래프, 논리 연산 같이 서로 구분되는 값을 가지는 대상을 연구한다. 따라서 이산수학에서는 미분적분학이나 수치 해석같이 '연속적'인 분야에서 다루는 주제는 다루지 않는다. 이산적인 대상은 정수로 개수가 열거되는 경우가 많다. 공식적으로, 이산수학은 가산집합을 다루는 수학의 한 부류로 특징지을 수 있다. 하지만 이산수학이라는 용어에 대해 정확한 정의는 내려져 있지 않다. 사실, 이산수학은 포함된 주제에 의해서 정의되기 보다는, 이산수학이 다루는 주제가 아닌 것들에 의해서 정의된다.
프랑수아 비에트
이러한 계산에서 문자와 결과에 작용하는 연산은 최종계산에서 미지수를 원하는 결과값으로 간단히 바꿔 놓음으로써, 현대 대수적 방법의 핵심인 접근 방식의 기본 단계를 보여주었다. 이것으로 비에트는 중세 대수학의 끝에서 근대 대수학의 장을 열었다.이것은 원에 내접하는 정사각형과 삼각형에 기반한 무한한 다각형의 확장이 원에 수렴하는 표현식이다.
대수 곡선
대수기하학에서, 대수 곡선(對數曲線, )은 1차원의 대수다양체이다. 대수기하학에서 다루는 대상 중 가장 간단한 대상에 속한다.
무한
수학에서 무한대(無限大)는 어떤 실수나 자연수보다도 더 큰 상태를 뜻한다.
콰리즈미
수학, 지리학, 천문학 등의 분야에서 알콰리즈미의 업적은 대수학과 삼각법을 혁신하는데 기반을 제공하였다. 일차방정식 또는 이차방정식을 푸는 것에 대한 그의 체계적인 접근은 대수학이라는 학문을 이끌어냈다. 825년에 그가 쓴 인도 수학에 의한 계산법이라는 책은 인도-아라비아 숫자 체계가 중동과 유럽에 퍼지는데 주요한 역할을 했다. 이 책은 라틴어로 번역되었는데, 번역된 책 제목에서 알고리즘이라는 용어가 유래했다. 몇몇 그의 활동은 페르시아 및 바빌로니아 천문학, 인도-아라비아 숫자, 그리고 그리스 수학에 기반한 것이었다. 그는 아프리카와 중동 지역에 관한 프톨레마이오스의 자료를 체계화하고 고쳤다. 그의 또 다른 유명한 저서인 지구의 표면은 프톨레마이오스의 지리학에 기반하여 장소들의 좌표를 나타내고 있는데 주로 지중해, 아시아, 아프리카를 중심으로 작성되었다. 또한 그는 아스트롤라베(고대 천문 관측 장치)와 해시계와 같은 기계적인 장치에 대해서도 연구했다. 그는 지구의 둘레를 재는 프로젝트와 70명의 지리학자들을 감독하는 칼리프 알 마문을 위한 지도 제작을 도왔다. 12세기에 그의 업적은 라틴어 번역을 통해 유럽으로 퍼져나갔고, 이는 유럽 수학의 발전에 엄청난 영향을 미쳤다. 그는 소수점 체계를 기반으로 한 인도-아라비아 숫자를 서라틴에 소개하였다.
소수 (수론)
산술의 기본 정리의 '1보다 큰 모든 자연수는 그 자체가 소수이거나, 순서를 무시하고 유일한 소인수의 조합을 갖는다'는 내용을 바탕으로 정수론에서는 매우 중요한 주제로 다루어진다. 또한 현대에는 암호 분야에서의 기술적 사용으로 그 중요성이 부각되고 있다.
상수
상수(常數)란 수식에서 변하지 않는 값을 뜻한다. 이것은 변하는 값 변수와 반대이다.
수학
오늘날 수학은 자연과학, 공학, 의학뿐만 아니라, 경제학 등의 사회과학에서도 중요한 도구로서도 사용된다. 수학을 이런 분야들에 적용한 응용수학은 그 결과로써 수학 자체의 발전을 이끌고 새로운 분야들을 낳았다. 응용이 아닌 수학 자체의 아름다움과 재미를 추구하며 연구하는 것을 순수수학이라 하는데, 긴 시간이 지난 뒤에 순수수학적 연구를 다른 분야에 응용할 방법이 발견된 경우도 많았다고 한다.
괴델의 불완전성 정리
힐베르트는 연역적인 체계를 형식화하려고 했다. 여기서 "형식화"란 체계 내의 표현식들의 '의미'를 제거하고 기호들의 연쇄체로 표시하는 것이다. 이 작업을 위해 힐베르트는 "수학"과 "초수학"을 구분했다. "초수학적 진술"이란, 메타 수학, 즉, 수학에 대한, 수학을 설명하는 언어에 속하는 것이다. 체계 안에서 사용된 부호에 대한 진술일 수도 있고, 체계 그 자체에 대한 진술일 수도 있다. 예를 들어 "1+1=2"는 수학에 속하는 것이지만, "'1+1=2'는 산술 공식이다."는 초수학에 속한다. "산술에 대한 이론 체계가 무모순이다." 또는 괴델의 불완전성 정리의 함축 같은 것도 모두 초수학에 속하는 것들이다.
대수학자
또한 이 책은 웅장한 스케일에도 불구하고 과학적으로 탄탄한 배경을 가지고 있어, 과학 기술의 다양한 가능성을 탐구하여 과학 소설의 선구자라 할 수 있는 쥘 베른의 전통을 이어받았다는 평가를 받고 있다. 인간이 거대 가스 행성에서 호흡할 수 있도록 폐와 호흡 기관에 주입하는 액체인 '아가미액'의 개념이 흥미롭다. 특히 중력에 관한, 이미 널리 알려져 있으나 사람들이 실제 문제 해결에 적용하기는 어려워 하는 흥미로운 물리학 이론들은 줄거리를 이끌고 있으며 작품 속 수수께끼의 단서가 된다.
논리학의 역사
현대 논리학은 불을 기원으로 해 퍼스, 제본즈, 슈뢰더, 존 벤을 포함한 이른바 '대수학파'에 시작한다. 그들의 목적은 클래스, 명제, 확률의 영역에서 추론을 형식적으로 나타낼 수 있도록 계산을 발달시키는 것이었다. 이 학파는 1847년에 발표되어 매우 강한 영향력을 미친 불의 작품 '논리학의 수학적 분석' (영: Mathematical Analysis of Logic)과 함께 시작되었지만, 극히 가까운 선구자로서 드 몰간 (1847생)이 있다. 불의 체계의 기본적인 발상은, 대수학 수식은 논리적 관계를 나타내는 데 사용할 수 있다는 것이었다. 불은 이를 10대의 무렵에 생각나, 링컨의 사립학교 시절에 선도로서 이용했다. 예를 들면, x와 y에 클래스를 나타내게 해 "="에 클래스가 같은 성원을 가지는 것을 나타내게 해 xy에 x와 y의 모든 성원을, 그리고 x와 y의 성원만을 나타내게 해 등. 불은 이것들을 '선택 기호' 즉 고찰하기 위해서 어느 대상을 선택하는 기호라고 불렀다. 선택적 기호가 이용된 표현은 '선택 함수'라고 불려 선택적 함수를 포함하는 분 정도식은 '선택 방정식'이다. 선택 함수의 이론과 선택 함수의 '발전'은 진리 함수와 그 가법 표준형에 의한 표현이라는 본질적으로 현대적인 관념이다.
역경
팔괘를 서로 겹쳐서 이루어지는 64괘를 대성괘(大成卦또는 중괘重卦)라고 하며, 주역의 본문을 구성하는 괘이다. 제1번 건괘에서 제30번 이괘까지가 상경이고, 우주의 선천적인 생성 원리를 상징한다. 제31번 함괘에서 제64번 미제괘까지는 하경이고, 인간의 후천적인 변화와 순환 과정을 상징한다. 아래는 이진법 순서에따른 64괘의 중복배열이다.
추상대수학
추상대수학(抽象代數學, )은 대수 구조를 다루는 여러 수학적 대상을 연구하는 분야이다. 이들 대수 구조들로는 군, 환, 체가 있으며, 이들 대상을 다루는 각 영역에는 가환대수와 호몰로지대수가 포함된다. 또 선형대수와 기초 수론을 추상대수학에 포함시키기도 한다. 추상대수학은 군, 환, 체, 가군, 벡터 공간, 그리고 대수학에 대해서 공부한다. "추상대수학"이란 이름은 20세기에 처음 만들어졌다. 그 이전까지 추상대수학과 사칙연산, 방정식 풀기, 그리고 실수, 복소수 계산을 다루는 "기초대수학"은 함께 뭉뚱그려서 대수학이라 불렀다. 이에 수학을 전공하지 않은 사람들이 대수학에 대해 일반적으로 떠올리는 기초대수학과 추상대수학이 다루는 분야는 다르다는 사실을 확실히 하기 위하여, 새로이 추상대수학이라는 용어를 만들었다. 그러나 최근의 저작물에서는 그 구분이 다시 모호해지고 있다.
가환대수학
추상대수학의 한 분야인 가환대수학(可換代數學, )은 가환환과 그 아이디얼 및 가환환상의 가군을 연구한다. 대수기하학과 대수적 수론은 둘 다 가환대수학을 기초로 한다. 가환환의 주요한 예로는 다항식환, 대수적 정수의 환(여기에는 정수의 환 Z가 포함된다) 및 p진 정수의 환이 있다. 또한, 가환대수학은 스킴의 국소적 연구에 있어 주요한 도구가 된다.
대수적 수
대수적 수의 집합은 체를 이룬다. 즉, 대수적 수들의 합 · 곱 · 역수는 대수적 수이다. 또한, 임의의 대수적 수 formula_23 및 유리수 formula_24에 대하여, formula_25는 (만약 정의된다면) 대수적 수이다. 그러나 formula_26가 무리수일 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다 (겔폰트-슈나이더 정리).
대수학
대수학(代數學, 독일어,영어: Algebra)은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 반군•군•환•가군•체•벡터 공간•격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.
기하적 대수학
가 된다.
대홍수
대홍수(大洪水)는 비가 많이 내려 홍수가 크게 생긴 것을 말한다.
중심 (대수학)
추상대수학에서, 중심(中心, )은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.
카를 프리드리히 가우스
가우스는 변의 개수가 페르마 소수인 정다각형은 자와 컴퍼스만으로 작도가 가능하다는 것을 보였다. 가우스는 정수론을 수학의 중요한 분야로 만들었다. 가우스는 모든 자연수는 3개의 삼각수들로 나타날 수 있음을 증명해 보였다. 가우스는 아르키메데스, 아이작 뉴턴과 함께 세계 3대 수학자들 중 한 명이 됐고, 오늘날에는 "수학의 왕자"라는 타이틀로 굉장히 유명하다.
수학자
수학자(數學者)는 수학을 주로 연구하고, 발전시켜 나가는 사람을 말한다. 수학자는 수학적 지식을 증진시키기 위한 연구 업무를 수행하며, 생명과학, 물리학, 사회학, 보험학 및 공학 분야의 문제를 해결하기 위해서 기술을 개발•응용하는데 관련된 수학적 업무를 수행하기도 한다. 전문 연구 분야에 따라서 순수수학자, 응용수학자로 구분된다. 수학이 관련되지 않은 분야가 거의 없는 21세기에서는 수학자들의 역할도 더욱 중요해지고 있다. 또, 4차산업혁명에서 중요한 부분을 차지하고 있기 때문에 수학자들이 관여하는 분야도 늘어나고 있다.
수학
산술은 자연수와 정수 및 이에 대한 사칙연산에 대한 연구로서 시작했다. 수론은 이런 주제들을 보다 깊게 다루는 학문으로, 그 결과로는 페르마의 마지막 정리 등이 유명하다. 또한 쌍둥이 소수 추측과 골드바흐 추측 등을 비롯해 오랜 세월 동안 해결되지 않고 남아있는 문제들도 여럿 있다.
절댓값 (대수학)
대수학 및 대수적 수론에서, 절댓값(絶對값, )은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.
함수
사상은 보통 함수의 동의어로 쓰이나, 추상대수학에서는 더 좁은, 범주론에서는 더 넓은 뜻을 갖는다.
덧셈
덧셈은 산술의 기본 연산 중의 하나이다. 두 개 이상의 수를 받아 한 수를 계산하는 이항 연산이다. 반대의 연산은 뺄셈이다. 현대 수학에서는 덧셈을 나타내는 기호로 더하기표(+)를 쓴다.
수학
변화에 대한 이해와 묘사는 자연과학에 있어서 일반적인 주제이며, 미적분학은 변화를 탐구하는 강력한 도구로서 발전되었다. 함수는 변화하는 양을 묘사함에 있어서 중추적인 개념으로써 떠오르게 된다. 실수와 실변수로 구성된 함수의 엄밀한 탐구가 실해석학이라는 분야로 알려지게 되었고, 복소수에 대한 이와 같은 탐구 분야는 복소해석학이라고 한다. 함수해석학은 함수의 공간(특히 무한차원)의 탐구에 주목한다. 함수해석학의 많은 응용분야 중 하나가 양자역학이다. 많은 문제들이 자연스럽게 양과 그 양의 변화율의 관계로 귀착되고, 이러한 문제들이 미분방정식으로 다루어진다. 자연의 많은 현상들이 동역학계로 기술될 수 있다. 혼돈 이론은 이러한 예측 불가능한 현상을 탐구하는 데 상당한 기여를 한다.
미적분학
급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.
급수는 유한 급수와 무한급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.formula_258
정수론
정수론(整數論, ) 또는 수론(數論)은 수학의 한 분야로, 각종 수의 성질을 대상으로 한다. 정수론은 수학의 왕자라고 불리는 카를 프리드리히 가우스 덕분에 크게 발전되어서 현재는 기하학, 대수학, 해석학과 함께 수학의 주요한 분야들 중 하나이다.
일반점
대수기하학과 일반위상수학에서, 일반점(一般點, )은 공간 전체에 대하여 조밀한 점이다. 대수기하학에서, 어떤 대수다양체의 "거의 모든 점들"을 나타낼 때 쓰인다.
대수학의 기본 정리
대수학의 기본 정리에 의해 formula_24인 점 formula_25이 존재하므로
기하적 대수학
기하적 대수학에서는 기하적 곱(geometric product)이 임의의 벡터 formula_1에 대하여 다음과 같은 성질을 가질 것을 요구한다.여기서 formula_6는 벡터 formula_7의 크기라 불리며, 양의 값을 가지는 스칼라이다.
수학 상수
수학에서 상수란 그 값이 변하지 않는 불변량으로, 변수의 반대말이다. 물리 상수와는 달리, 수학 상수는 물리적 측정과는 상관없이 정의된다.
환 (수학)
가환환은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 가환대수학이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학 및 대수적 수론과 깊은 관련이 있다. 1980년대 이후에는 비가환 기하학과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다.
대수학
기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 한 분야라고 볼 수 있다.
소수 (수론)
소수(素數, 발음: [소쑤], , )는 자신보다 작은 두 개의 자연수를 곱하여 만들 수 없는 1보다 큰 자연수이다. 예를 들어, 5는 1x5 또는 5x1로 수를 곱한 결과를 적는 유일한 방법이 그 수 자신을 포함하기 때문에 5는 소수이다. 그러나 6은 자신보다 작은 두 숫자(2×3)의 곱이므로 소수가 아닌데, 이렇듯 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 것은 합성수라고 한다. 1과 그 수 자신 이외의 자연수로는 나눌 수 없는 자연수로 정의하기도 한다.
대수 구조
추상대수학에서, 대수 구조(代數構造, )는 일련의 연산들이 주어진 집합이다. 추상대수학은 다루는 대수 구조에 따라서 구분되며, 일반적인 대수 구조를 추상적으로 연구하는 분야를 보편 대수학이라고 한다. 자주 쓰이는 일부 대수 구조들은 특별한 이름을 붙이는데, 군, 환, 모노이드, 반군, 가군 등이 있다.
아이디얼 몫
가환대수학에서, 아이디얼 몫()은 같은 가환환 속의 두 아이디얼에 대하여 정의되는 이항 연산이다. 이는 아이디얼에 대한, 나눗셈의 일반화이다. 대수기하학에서, 이는 두 부분 대수다양체의 ‘차집합’에 해당한다. (대수기하학에서 아이디얼의 곱셈은 대략 부분 대수다양체의 ‘합집합’에 해당하며, 이는 그 역연산에 ‘가장 가까운’ 연산이다.)
가법성
가법성(加法性,Additivity,덧셈 사상,가산 사상)은 정의역의 두 함수들에 대한 함수와 항상 각 함수의 값 합계가 서로 같은 값을 반환한다는 함수의 성질을 말한다.
대수학 수이론 에서 덧셈 사상 또는 Z-선형사상 또는 가산함수는 가산 연산을 보존하는 함수이다.
수학 상수
수학 상수는 대개 실수체나 복소수체의 원소이다. 우리가 이야기할 수 있는 상수는 (거의 대부분 계산 가능한) 정의가능한 수이다.
은 비율
수론및 대수학에서 큰 경우의 양(formula_8)에대한 작은 경우의 양(formula_9)과의 두 비율이 작은 양과 큰 양의 두 배가 더하여진 경우에대한 큰 양의 비율과 같으면 이것은 백은 비율 (백은비 평균 또는 백은비 상수)이 된다. 이것으로 백은 비율을 무리수인 수학 상수로 정의하며,
원소 (수학)
수학은 수를 다루는 학문이기 때문에,집합의 원소는 주로 숫자이다. 따라서 집합의 원소가 집합인 경우는 따로 부분집합ᆞ진부분집합과 같은 개념을 정의하여 원소의 정의를 구체화시켰다.
측도
수학에서, 측도(測度, )는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, )이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, )이라고 한다.
수학
대부분 자료를 보면, "mathematics"는 "수리적인"이라는 뜻을 가진 라틴어 mathmaticus와 그리스어 mathematikos에서 유래되었거나, "학식있는"을 뜻하는 mathema와 "배우다"를 뜻하는 manthanein에서 유래되었다고 한다.줄여서 "math"라고도 포함된다.
카를 프리드리히 가우스
1799년 박사 학위 논문으로, "대수방정식의 근의 존재 증명"을 저술하였다. 1변수의 모든 유리정함수(integral rational algebraic function)는 1차 또는 2차의 소인수로 분해된다는 것을 보였다. 요한 카를 프리드리히 가우스는 복잡한 숫자들을 넘어서, 모든 일정하지 않은 하나의 변수 다항식은 적어도 하나의 근을 가진다는 대수학의 기본 정리를 증명했다. 장 르 롱 달랑베르를 비롯한 수학자들은 요한 카를 프리드리히 가우스에 앞서 잘못된 증명들을 내놓았는데, 가우스는 논문에서 달랑베르의 증명을 비판하였다. 오늘날의 관점에서는 조르당 곡선 정리를 증명 없이 사용한 가우스의 증명 역시 엄밀하지 못했지만, 요한 카를 프리드리히 가우스는 그 뒤에 세 개의 다른 증명들을 내놓았다. 1849년의 마지막 증명은 오늘날에도 엄밀하게 여겨지며, 가우스의 증명들을 통해서 복소수의 개념이 명확하게 정의되었다.
대수함수
대수함수(代數函數, algebraic function)는 수학에서 다항식의 근으로 정의할 수 있는 함수이다. 대체적으로 대수함수는 한정된 수를 사용하는 대수식이고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 대수적 연산만을 동반한다. 이러한 함수의 예는 다음과 같다:
가환대수학
가환대수학에서는 대수적 수론과 대수기하학에서 등장하는 환들을 공통적으로 다룬다. 대수적 수론에서 등장하는 환들은 대수적 수체의 대수적 정수환이며, (유리) 정수환 formula_1 · 가우스 정수 환 formula_2 · 아이젠슈타인 정수 환 formula_3 등이 있다. 대수기하학에서 등장하는 환들은 대수다양체 위의 정칙함수들의 환이며, 이들은 formula_4의 꼴이다 (formula_5는 체, formula_6는 아이디얼).
환 (수학)
추상대수학에서, 환(環, )은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙을 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 추상대수학의 분야를 환론(環論, )이라고 한다.
수리고고학
수리고고학(數理考古學, mathematical archeology)이란 수학을 이용하여 고고학을 연구하는 학문을 말한다. 주로 당시의 건축물, 유물 또는 부조의 각도나 길이(높이, 폭)와 관련된 의미를 천문학적인 사실을 바탕으로하여 연구하는 학문이다. 특히 길이와 관련된 연구에는 그 당시에 쓰였던 도량형을 통하여 당시의 각 나라 간의 문화적 교류를 알 수 있다.
호몰로지 대수학
호몰로지 대수학(homology代數學, )이란 수학의 한 분야로 대수적 위상수학에서 비롯된 호몰로지와 코호몰로지를 더 일반적인 상황에서 연구하는 것을 말한다.
대수기하학
역으로, 대수적 집합 formula_38가 주어졌을 때 이로부터 formula_39가 되는 집합 formula_28를 찾아내는 문제를 생각해 보자. formula_38가 임의의 formula_15의 부분집합일 때, formula_43를 영점이 formula_38를 포함하는 다항식들의 집합으로 정의한다. 여기에서 formula_45는 ideal(아이디얼)의 첫 글자이다. 다항식 formula_46와 formula_47가 formula_38에서 0이 될 경우, formula_49도 formula_38에서 0이 되며, 임의의 다항식 formula_51에 대해 formula_52도 formula_38에서 0이 되므로, formula_43는 언제나 formula_27의 아이디얼이 되기 때문이다.
타원곡선
대수기하학에서, 타원곡선(橢圓曲線, )은 간단히 말해 formula_1 형태의 방정식으로 정의되는 대수 곡선으로서, 첨점이나 교차점 등의 특이점이 없는 것이다. (계수체(coefficient field)의 표수가 2나 3인 경우 이 정의는 모든 비특이 3차 곡선들의 동형류를 포함하지 않는다.) 이는 대수기하학과 수론의 중요한 연구 대상이다.
수리철학
수리철학(數理哲學)은 수학에 대한 철학이다. 수학의 기초(토대)에 대한 메타수학적인 탐구, 수학적 지식에 대한 인식론적 논의, 수학 언어의 진리이론 등 수학이라는 특수한 학문 분야의 문제로부터 일반적인 철학(형이상학, 인식론 등)적 문제로 확장될 수 있는 주제들을 다룬다. 철학적 사조에 따라 접근법이 다르지만 크게 플라톤주의와 반플라톤주의로 나눌 수 있다.
람다 대수
함수는 컴퓨터 과학과 수학의 기초를 이루는 개념이다. 람다 대수는 함수를 단순하게 표현할 수 있도록 하여 '함수의 계산'이라는 개념을 더 깊이 이해할 수 있게 돕는다.
큰 수의 법칙
큰 수의 법칙(큰 數의 法則, ) 또는 대수의 법칙, 라플라스의 정리는 큰 모집단에서 무작위로 뽑은 표본의 평균이 전체 모집단의 평균과 가까울 가능성이 높다는 통계와 확률 분야의 기본 개념이다.
선형성
선형대수학은 이러한 선형의 변환과 이로써 확보되는 공간의 성질에 대하여 연구를 하는 학문이다. 벡터 및 벡터 공간, 행렬을 이용하여 표시되는 선형사상 또는 선형방정식 계열에서 취급된다.
수학적 대상
일반적으로 조우하는 수학적 대상으로 수, 순열, 분할, 행렬, 집합, 함수, 및 관계 등을 들 수 있다. 수학의 분과로서의 기하학은 육각형, 점, 선, 삼각형, 원, 구, 다면체, 위상 공간, 및 다양체와 같은 대상을 가진다. 다른 분과의 대수학은 군, 환, 체, 격자, 및 속 등의 대상을 가진다. 범주은 수학적 대상을 일제히 생기게 하는 것과 동시에, 그 자체가 하나의 수학적 대상이다.
논리학의 역사
불 이후, 다음 큰 발전은 독일의 수학자 고틀로프 프레게에 의해서 되었다. 프레게의 목적은 논리주의의 계획, 즉 산술은 논리와 완전히 동일하다고 나타내 보이는 것에 있었다. 논리학에 대한 엄밀하고 형식적인 접근에 대해 프레게는 그 분야의 선배의 아득히 처를 실시하고 있어 또 그의 계산법, 이른바 개념 표기법은 중요하다. 프레게는 수의 개념이 순수하게 논리학적인 수법으로 나타내지는 것을 나타내려고 시도해 그 결과 (그가 올바르면) 계산이나 계산에 환원할 수 있는 모든 수학의 분야는 논리학에 포함 되게 되었다. 그는 이를 제안한 최초의 저술가는 아니다. 그의 선구적 작품 '산술의 기초' (15장-17장)에서, 그는 라이프니츠, 밀, 제본즈의 실적을 인정하고 있어 제본즈의 '대수학은 고도로 발달한 논리학, 즉 논리적 구별이 부족한 수이다'라는 주장을 당기고 있다.
극한
극한(極限, )은 수학에서 변수가 일정한 법칙에 따라 어떤 정해진 값에 한없이 가까워질 때의 값이다. 함수의 값이 어떠한 값으로 가까워지거나, 또는 점점 멀어지는 움직임을 나타낸다. 이와 같은 개념은 미분과 연속을 정의하는 데에 필요하다.
불가사의
불가사의(不可思議)는 한자 문화권에서 사용되는 수의 단위이다. 본래 불교에서 말로 표현하거나 마음으로 생각할 수 없는 오묘한 이치 또는 가르침을 뜻하며, 언어로 표현할 수 없는 놀라운 상태를 일컫기도 한다. 한자 문화권에서 사용되는 수의 단위 중 그 값이 무량대수보다 적은 수이기도 하다. 수리적으로는 10을 뜻한다.
소승불교에서도 불가사의해탈을 중시하는지는 모르겠지만, 대승불교에서는 깨달음이란 불가사의해탈(不可思議解脫)이라고 하여 매우 중시한다. 부사의해탈(不思議解脫)이라고도 한다. 
화엄경은 대부사의해탈경(大不思議解脫經)이라고도 불린다. 대승불교의 아버지 용수존자가 용궁에서 화엄경을 보았고, 그것을 외운 다음에, 화엄경을 편찬했다고 한다. 용궁에는 항본 대본 상본 중본 하본이 있었는데, 방대한 분량이라 하본만을 가지고 육지로 나왔고, 그것도 너무 방대해 용수존자가 화엄경 약본을 썼다고 한다. 오늘날의 화엄경은 이 용수존자의 화엄경 약본이라고 한다.
다각수
다각수는 수학 용어로, 점이나 조약돌로 표현 했을 때, 정다각형 모양으로 배열되는 수를 의미한다. 점들은 하나의 단위로 다뤄진다. 이것들은 이차원 도형수의 한 종류이다.
비에트 정리
대수학에서, 비에트 정리() 또는 근과 계수의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 방정식의 계수의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.
탁월한 가환환
가환대수학과 대수기하학에서, 탁월한 가환환(卓越한可換環, )은 차원의 개념이 잘 정의되며(즉, 현수환이며), 완비화가 ‘잘 작동하며’, 거의 모든 점들이 특이점이 아니며 (즉, 특이점의 집합이 닫힌집합이며), 이 성질들이 가환대수학의 주요 연산(국소화, 다항식환, 몫환 등)에 대하여 보존되는 뇌터 가환환이다. 즉, 이러한 가환환은 대수기하학이나 대수적 수론에 등장하는 주요 가환환들과 유사한 성질을 갖는다.
대수학
대수학은 대수(代數, 수를 대신함)라는 명칭 그대로, 수를 대신해서 문자를 사용하는 방법으로, 방정식을 푸는 방법을 연구하는 학문에서 시작되었다. 대수(algebra)의 어원은 9세기의 페르시아의 수학자 콰리즈미의 저서인 《약분·소거 계산론》(, 820년)에서 비롯되었다. 이 책의 원 제목에 있는 는 (흩어진 것을) 묶음을 의미하며, 방정식에서 항들을 묶어서 소거함을 뜻한다. 이 책은 체스터의 로버트 또는 배스의 아델라드()가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》()란 제목으로 라틴어로 번역하여, 이후 500년 간에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"()와 "알무카발라"()는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다.
큰 수
편성 함수는 통계역학에서 다루어지는 대수를 생성하기 위해서 사용되는 일이 있다. 통계역학의 분야에서 사용되는 수는 일반적으로 로그를 이용해 나타내진다.
일상의 용어로서 사용되는 '천문학적 (수)'에 비해 (별로 일반적이지 않지만) '조합론적 (수)'이라는 말이 있다.
가우스 정수
대수적 수론에서, 가우스 정수(Gauß整數, )는 실수부와 허수부가 모두 정수인 수이다. 허수 이차 수체 formula_1의 대수적 정수환이다.
수학사
수학의 역사는 인류의 역사와 더불어 시작되었다고 할 만큼 오래 되었다. 수학사(數學史)로 알려진 학문 분야는 본래 수학의 새로운 발견에 대한 기원을 탐구하는 것이며, 더 작게는, 과거의 표준적인 수학 방법과 용어에 대한 탐구이다. 교역 ·분배 ·과세 등 인류의 사회 생활에 필요한 모든 계산을 수학이 담당해 왔고, 농경생활에 필수적인 천문 관측과 달력의 제정, 토지의 측량 또한 수학이 직접적으로 관여한 분야이다. 고대 수학을 크게 발전시킨 나라로는 이집트, 인도, 그리스, 중국 등이 있다.
대수적 순환
대수기하학에서, 대수적 순환(代數的循環, )은 어떤 대수다양체 "V"의 부분 다양체들의 선형 결합으로 나타내어지는 호몰로지류이다. 이를 이용하여, 대수적 위상수학과 대수기하학을 연관시킬 수 있다.
대입 (수학)
수학에서, 대입(代入, )은 식의 변수에 상숫값이나 다른 식을 넣어 푸는 일이다. 예를 들어, 함수 공식 formula_1에 formula_2을 대입시킨 결과는 formula_3이다.
대칭 대수
추상대수학에서, 대칭 대수(對稱代數, )는 벡터 공간(또는 가군)으로부터 생성되는 가환 결합 대수이다. 대칭 대수의 원소는 벡터 공간(또는 가군)의 벡터들의 형식적 곱의 합이며, 벡터들의 곱의 경우 (텐서 대수와 달리) 교환 법칙이 성립한다. (만약 교환 법칙을 부여하지 않으면 대신 텐서 대수의 개념을 얻는다. 마찬가지로, 대신 반교환 법칙을 부여하면 외대수의 개념을 얻는다.)
대수적 위상수학
대수적 위상수학(代數的位相數學, )은 추상대수학적 도구를 사용하여 위상 공간과 다양체들을 다루는 위상수학의 분야다.
체 (수학)
체(體, , , )는 추상대수학에서 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수 구조이다. 모든 체는 가환환이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 체를 연구하는 추상대수학의 분야를 체론(體論, , ,)이라고 한다.