오일러의 방정식은 무엇인가?
오일러 방정식
유체 동역학에서, 오일러 방정식()은 유체의 비점성() 흐름을 다루는 미분방정식이다. 레온하르트 오일러의 이름을 따라 명명되었다.
오일러의 연분수 공식
이 복소 연분수이고 어느 b 도 0이 아니라면, 그 비의 열 {r}은 다음과 같이 정의할 수 있다.
오일러 각
레온하르트 오일러는 1748년 《무한해석 개론》 을 출간하였다. 이 책에서 주로 다루는 것은 무한소의 개념이었으며 오일러 공식과 함께 오일러 각에 대해서도 수록하였다.
오일러의 다면체 정리
formula_8이다. 여기서 점을 찍을 때 마다, formula_9의 비로 증가하므로, 어떤 경우에서든지 2차원에서는 formula_10이 성립한다.
오일러 특성류
대수적 위상수학에서, 오일러 특성류(Euler特性類, )는 유향 실수 벡터 다발에 의하여 정의되는 특성류이다. 벡터 다발이 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는 것의 방해물이다. 접다발의 오일러 특성류는 오일러 지표와 같다.
균등 비압축성 오일러 방정식
리만 계량을 갖춘 경계다양체 formula_1이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장
과 시간 의존 벡터장
에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.
여기서
formula_11는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 formula_11의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 formula_31에 대하여 formula_32와 같이 치환하더라도 formula_33의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 formula_33가 주어지면), formula_11는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.
오일러의 정리 (기하학)
삼각형 ABC에 대하여, 외심을 O, 내심을 I라 하고, IO와 외접원의 두 교점을 X,Y라 하고,
오일러 항등식
수학에서, 오일러 항등식()은 자연 로그의 밑과 허수 단위, 원주율의 간명한 관계를 나타내는 등식이다.
오일러 방정식
운동량 보존 방정식
오일러의 연분수 공식
오일러의 연분수 공식(-連分數 公式, Euler's continued fraction formula)은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 해석학의 공식이다. 기본적으로 어떠한 급수를 연분수로 전개하는 방법을 정리한 것이다. 이 공식을 이용하여 멱급수로 전개 가능한 함수를 연분수 꼴로 표현하는 것도 가능하다.
오일러의 곱셈 공식
이 되며 우변의 분모에서 formula_22의 배수가 모두 사라진다. 이 작업을 모든 소수 formula_23에 대하여 계속 반복하면
오일러의 곱셈 공식
오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)은 디리클레 급수(Dirichlet series)를 모든 소수에 대한 무한곱으로 표현한 것이다. 리만 제타 함수의 경우를 증명한 오일러의 이름을 딴 것으로 오일러 곱(Euler product)이라고도 한다.
변분법
오일러-라그랑주 방정식은 함수 formula_11의 함수인 범함수 formula_12를 최소나 최대로 하는 함수 formula_13를 찾기 위한 것이다. 여기서 formula_12는
오일러 수
홀수 차수의 오일러 수 formula_4은 모두 0이다. formula_5의 꼴은 모두 양의 정수이고, formula_6의 꼴은 모두 음의 정수다.
오일러의 오각수 정리
formula_1
오일러 방법
를 얻는다. 이때, (1)에 의해,
오일러의 연분수 공식
또는 이를 조금 보기 좋게 쓰면 다음과 같다.
오일러 공식
오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.
반-암시적 오일러 방법
일반적인 오일러 방법과의 차이는 오일러 방법은 "x"의 방정식에서 "v"을 사용하는 반면에 반-암시적 오일러 방법은 v을 사용한다는 점이다.
오일러 직선
증명은 다음과 같다.
오일러 방정식
3차원에 대한 질량 보존(연속) 방정식
정수론
레온하르트 오일러는 1729년부터 수론에 관심을 갖기 사작하였다. 오일러는 페르마의 소정리를 증명하였고, 또 페르마의 마지막 정리를 formula_4인 경우 증명하였다. 또한 펠 방정식을 명명하였고 연구하였다. 또한, 오일러의 오각수 정리 등을 증명하는 과정에서 최초로 해석적 수론의 기법들을 도입하였다.
오일러 공식
여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, formula_2는 제곱하여 -1이 되는(formula_3) 허수단위, formula_4은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.
역 오일러 방법
대신에 뉴턴 방법(의 일부 변형)을 이용하여 대수방정식을 풀 수 있다.
오일러 방법
이 formula_12에 있는 어떤 formula_13에 대해 성립한다. 우리는 formula_14라는 것을 알고 있기 때문에,
오일러 수 (조합론)
낮은 차수의 오일러 수는 다음과 같다. 이러한 표를 오일러 삼각형이라고 하며, 파스칼 삼각형과 여러 유사한 성질을 가진다. "n"번째 행의 수들의 합은 formula_16이다.
오일러 방정식
위의 식들은 질량, 운동량 3개 성분 및 에너지의 보존을 나타낸다. 따라서 방정식은 5개이고 미지수는 6개이다. 이 문제를 닫힌 문제로 만들기 위해서는 방정식이 하나 더 필요한데, 이것이 상태 방정식이라고 불리는 식이다.
오일러의 정리 (기하학)
따라서 formula_8이 나오고, 이를 정리하면
오일러 힘
오일러 힘은 각가속도에 대한 반응으로 느껴지는 가상의 접선력이다. 그 반응 가속도는 방위각 가속도 또는 횡 가속도라고도 하는 오일러 가속도(Leonhard Euler의 이름을 따서 명명됨)이다. 이것은 비 균일하게 회전하는 기준 프레임이 동작 분석에 사용되고 기준 프레임의 축의 각속도에 변동이있을 때 나타나는 가속이다. 이 기사는 고정 된 축을 중심으로 회전하는 참조 프레임으로 제한된다.
오일러 변환
오일러 변환을 이용해 고전적인 교대급수 formula_8 의 값을 구해 보자.
역 오일러 방법
미분방정식 formula_1을 formula_20formula_21
적분을 직사각형이 하나뿐인 우측 직사각형 방법으로 오른쪽에서 적분을 근사하자:
마지막으로 formula_24은 formula_25를 근사하고 역 오일러 방법의 공식은 다음을 따른다.
E (상수)
오일러의 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 복소수를 복소평면 위의 한 점으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터 였다.
오일러의 연분수 공식
이것은 단순히 자연수에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 항등식이다. 이러한 공식은 무한 항까지 자연스럽게 확장될 수 있는데, 만약 좌변이 수렴하는 무한급수라면 우변도 역시 수렴하는 무한 연분수가 된다.
룽게-쿠타 방법의 목록
오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.
소수의 역수의 합의 발산성
먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.
오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.
여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다.
오일러 수 (조합론)
오일러 다항식 formula_12은 오일러 수를 계수로 하는 다항식이다.
힐베르트 변환
[[오일러 공식]]에 의해,
오일러의 다면체 정리
위의 식에서 formula_5는 오일러 지표라고 하는데, 구면과 동상인 3차원 도형의 경우에는 항상 2로 나타나지만, 2차원의 도형, 즉, 평면도형인 경우에는 오일러 지표는 2가 아닌 1이 되며, 원의 경우는 0, 원판의 경우는 1이 된다. 이 정리는 위상수학의 기본개념이 된다.
오일러 공식
cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다.
이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.
오일러의 다면체 정리
따라서, formula_16
오일러 각
오일러 각(Euler角, )은 강체가 놓인 방향을 3차원 공간에 표시하기 위해 레온하르트 오일러가 도입한 세 개의 각도이다. 즉, 3차원 회전군 SO(3)의 한 좌표계다. 3차원 공간에 놓인 강체의 방향은 오일러 각도를 사용하여 세 번의 회전을 통해 얻을 수 있다.
균등 비압축성 오일러 방정식
오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.
리만 가설
레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하면서 제타 함수를 처음으로 사용하였다. 바젤 문제란 스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야코프 베르누이와 요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다. 오일러는 이 급수가 formula_51로 수렴함을 증명하였다.
또한 오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 다음과 같은 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 급수의 수렴값, 즉 닫힌 형식을 구할 수 있는 방법을 제시하였다.
오일러 변환
우선 수열 formula_9 에 이항 변환을 적용하여 formula_10을 구하면,
이 된다.(이는 재귀 관계를 조금만 생각해보면 명백하다. 파스칼 삼각형과 유사한 도식을 그리고, 맨 왼쪽 변과 그 바로 오른쪽 줄을 고려하면 된다) 따라서, formula_1 의 오일러 변환은,
이 되고, 맨 우변의 식은 물론 formula_18 가 된다.
오일러 운동 방정식
3차원 공간에서 한 점이 고정된 강체에 돌림힘 formula_1가 가해진다고 하자.
편의상, 관성 모멘트 텐서의 고유기저로 직교좌표계를 잡자. 즉, 관성 모멘트 텐서는 다음과 같은 꼴이다.
그렇다면 강체의 운동은 오일러 운동 방정식이라 불리는 다음 세 방정식을 만족한다.
여기서 formula_6은 강체의 각운동량, formula_7은 강체의 각속도, formula_8은 강체에 가해진 돌림힘이다.
오일러 치환
오일러 치환은 다음과 같은 적분을 구할 때 사용된다.
여기서 formula_4는 2변수 유리 함수이며, formula_5이다. 오일러 치환은 이 적분을 유리 함수의 적분으로 만들며, 이는 다음과 같은 세 가지 경우로 나뉜다. 같은 함수가 여러 가지 경우에 속할 수 있음에 주의하자.
균등 비압축성 오일러 방정식
그렇다면, 여기에는 formula_60 위의 양의 정부호 쌍선형 형식
으로부터 자연스러운 이차 형식
을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.
여기서
구체적으로, 이 방정식은 formula_95에 정의된다. 이를 formula_96 위에 제약()을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, formula_97인 임의의 1차 미분 형식 formula_89에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_100은 formula_17의 제약을 위한 보정항이다.
오일러 수 (조합론)
오일러 수는 다음과 같다.
이를 formula_2이나 formula_3으로 쓰기도 한다.
오일러 공식
이로부터
일차 독립인 두 해가 발생한다.
평면의 결정군
오비폴드가 평면전체를 채우기 위하여 대칭으로 복제할 때,그것의 모양은 오일러 표수에 모순이 없는 꼭짓점, 모서리, 그리고 다각형 면의 구조를 이룬다. 그 과정을 역으로 하면, 우리는 오비폴드의 모양에 전체번호는 아니지만 부분적으로 번호를 매길 수 있다. 오비폴드 그 자체는 대칭군에 의한 전체 표면의 비율이므로, 오비폴드 오일러 표수는 대칭군의 순서에 의한 표면 오일러 표수의 비율이다. 오비폴드 오일러 표수는 2 빼기 다음수의 합이다, 그 합은 다음과 같이 계산된다.벽지군의 오일러 표수는 0이어야 한다. 따라서 위의 합은 2가 되어야 한다.
오일러의 거듭제곱의 합 추측
수학에서, 오일러의 거듭제곱의 합 추측()은 페르마의 마지막 정리와 관련된 미해결 추측 문제이다. 레온하르트 오일러가 1769년 제안했었다.
오일러의 곱셈 공식
양변에 formula_13를 곱하면 formula_14이라는 지수법칙에 의해
오일러 방법
다시 말해 미지의 곡선이 주어졌을 때, 시작점(초기값) formula_1를 알고 있다면, 미분 방정식에서 formula_1지점의 접선과 그 기울기를 구할 수 있다. (오른쪽 그림을 참고)
오일러의 연분수 공식
그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다.
관성 좌표계
이것을 이용하여 오일러 방정식에 적용하면 다음과 같은 결과가 나온다.
오일러 수
수론에서, 오일러 수()는 정수열의 하나다. 레온하르트 오일러의 이름을 땄다.
삼각함수
오일러의 공식 formula_21에 formula_22를 대입하면,
양력
1754년 레온하르트 오일러는 뉴턴 운동 법칙의 제2법칙을 응용하여 아래와 같은 압력차 계산 공식을 정리하였다.
오일러 지표
위상 공간 formula_8의 오일러 지표 formula_9는 그 특이 사슬 복합체의 오일러 지표이다. CW 복합체 formula_8의 오일러 지표는 세포 사슬 복합체의 오일러 지표이다. 특히, 그래프나 다면체는 자연스럽게 CW 복합체를 이루므로, 오일러 지표를 조합론적으로 계산할 수 있다.
오일러 방법
를 얻는다. 이때 오일러 방법은 formula_17에 대한 추정치(formula_18로 표기하자)로 다음과 이 나머지 부분을 없앤 값을 사용하는 것이다.
오일러 공식
함수 formula_34 를 다음과 같이 정의한다.
오일러 힘
오일러 힘은 오일러 가속도와 관계가 있으며, 여기서 a는 오일러 가속도이고, m은 몸체의 질량이다.
유클리드의 정리
레온하르트 오일러는 유클리드의 정리를 조화 급수를 사용하여 다음과 같이 증명하였다. 산술의 기본 정리에 따라, 모든 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 가지므로, 분배 법칙을 사용하여 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.
우변은 조화급수이며, 이는 발산한다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 좌변은 유한한 수들의 곱이므로, 만약 formula_1가 유한 집합이라고 하면 좌변은 유한하게 되고, 등식이 성립할 수 없다. 따라서, formula_1는 무한 집합이다.
평면의 결정군
이제 모든 벽지군을 찾는 문제가 앞서 설명한 값들의 합을 구하는 간단한 덧셈으로 바뀌었다. 이외의 값은 평면의 타일링이 아니므로 여기서 다루지 않는다. 오비폴드 오일러 표수가 음수인 경우는 초월적, 오비폴드 오일러 표수가 양수인 경우는 구면적이라 한다.
오일러의 부등식
오일러의 부등식(, Euler's inequality, -不等式)은 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 부등식이다. 이는 임의의 삼각형 ABC에 대하여 각각 R과 r을 그 외접원과 내접원의 반지름의 길이라고 할 때, 다음 부등식을 이른다. 등식이 성립할 필요충분조건은 ABC가 정삼각형인 것이다.이와 동치인 형태로, a, b, c가 ABC의 세 변의 길이이며 formula_2 라고 할 때, 다음 부등식을 오일러의 부등식이라 하기도 한다.이 두 식이 동치임은 쉽게 보일 수 있다. 아래 부등식의 우변은 헤론의 공식과 R과 r에 대해 formula_4 과 formula_5 가 성립함을 이용하여 이를 대입하고 정리하기만 하면 된다.
중간점 방법
중간점 방법은 다음의 오일러 방법의 구체화이다.
그리고 중간점 방법은 같은 방식으로 도출된다. 오일러 방법을 유도하는 핵심은 근사적으로 같은것이다.
이것은 기울기의 수식에서 얻은 것이다.
formula_21인 것을 기억하자.
오일러의 연분수 공식
유한 복소수항 급수에 대해 오일러의 연분수 공식은 다음과 같다. 이 형태는 오일러가 입안한 초기의 형태이다.
오일러 수 (조합론)
조합론에서, 오일러 수(Euler數, )는 주어진 개수의 역행을 가지는 순열을 세는 수이다.
분자동역학
제일 단순한 방법은 오일러 방법을 두번쓰는 것이겠지만 실제로 오차가 너무 심하기 때문에 사용되지 않는다. 단순하면서 오차가 심하지 않는 방법으로 널리 사용되는 것으로 벌렛(Verlet)방법이 있다. 벌렛방법은 또 위치 벌렛방법과 속도 벌렛방법이 있다. 벌렛방법이 많이 쓰이고 또 단순하기 때문에 여러 가지 변형이 있는데 대표적인 것으로 비만(Beeman)방법과 청개구리(Leap-frog)방법이 있다. 이들 방법 외에도 기어(Gear)가 고안한 예측자-수정자 형태의 기어방법도 있다.
호인의 방법
오일러 방법은 호인의 방법의 기초가 된다. 오일러의 방법은 구간의 시작점에서의 함수의 접선을 구간 전체의 평균 기울기로 사용한다. 단계 크기가 충분히 작다고 가정하면 오차도 작을 것이다. 하지만 단계 크기가 극한으로 작다 하더라도 많은 단계에서는 오차는 축적되기 시작하고 추정값은 실제 함수값과 차이가 생긴다.
오일러의 곱셈 공식
이므로, 이 결과를 위 식에서 빼면
오일러 방법
오일러 방법(Euler's Method)은 수치해법을 통해서 미분방정식을 푸는 방법이다. 테일러 급수에서 유도된 방법으로, 비교적 오차가 크게 나는 방법이다.
형태가 알려지지 않은 미지의 곡선을 계산하는 문제를 생각해보자. 우리는 시작점(초기값)을 알고, 이 미지의 곡선이 주어진 미분 방정식을 만족한다고 가정한다. 이때, 이 미분 방정식은 미지의 곡선의 어떤 점에서도 접선의 기울기를 구할 수 있는 공식으로 생각할 수 있다.
오일러 공식
지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 대수학 원론(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.
모스 이론
특히, 만약 formula_87일 경우
이 된다. 여기서 formula_89은 오일러 지표이다. (만약 formula_4가 모스 함수일 때, 이 사실은 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.)
오일러의 연분수 공식
만약
함수
레온하르트 오일러는 1734년에 오늘날 쓰이는 표기법 formula_14를 도입하였다. 또한, 오일러는 1748년에 저서 《무한 해석 도입》()에서 함수를 변수와 상수로 구성된 임의의 해석적 수식으로 정의하였으며, 1775년에 저서 《미분학 도입》()에서 변수에 의존하며 그 변화에 따라 변화하는 또 다른 변수로 정의하였다.
오일러의 부등식
이것을 증명하기 위해 먼저 a, b, c가 삼각형의 세 변의 길이이므로 적당한 양의 실수 formula_9 가 존재하여 formula_10 로 치환할 수 있다. 그러면 이 부등식은 다음과 같이 된다.
오일러 방정식
밀도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적이라면 (), 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.
오일러 공식
테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.
이때 formula_5가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면
가 된다.
오일러의 정리 (기하학)
formula_4(길이가 같은 두 호 BM,CM의 원주각)
균등 비압축성 오일러 방정식
마찬가지로, 만약 formula_14이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 formula_114이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 formula_107 및 임의의 다항식 formula_116에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
이 역시 마찬가지로 실수 값 함수
를 정의한다.
오일러의 정리 (기하학)
기하학에서 오일러의 정리란, 삼각형의 외접원의 반지름 R, 내접원의 반지름 r이라 할 때, 외심과 내심의 거리 formula_1 이라는 정리이다.
로그
오일러의 공식에 의해
오일러 방법
이 방법의 목적은 다음과 같은 조건이 주어졌을 때 함수 formula_7의 값을 추정하는 것이다.
오일러 공식
곧,
오일러의 곱셈 공식
이 성립한다. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 좌변은 formula_16로 정리되고 우변에는 홀수의 formula_17제곱 항만이 남게 되므로
오일러의 오각수 정리
오각수의 수열은 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176로 주어지고, n 번째의 오각수는 formula_3로 주어지는데, 이 때문에 오각수 정리라 불린다.
오일러 수 (조합론)
오일러 수와 오일러 다항식은 1755년에 레온하르트 오일러의 책 《미분학의 기초 및 유한 해석과 급수에 대한 응용》() 에 최초로 등장한다. 여기서 등장하는 다항식 formula_14, formula_15 등은 오늘날 오일러 다항식와 약간의 차이를 보이지만 기본적으로 같은 대상이다.
호인의 방법
오일러의 방법은 대략적으로 솔루션의 다음 점의 위치를 계산하는데 사용되고 이 지식을 바탕으로 원래의 예측을 재-예측하거나 "수정"한다. 방정식의 오른쪽에 있는 양 formula_8formula_9, 이것은 다음 점의 오일러 예측과 결합하여 오른쪽 끝 접선의 기울기를 얻을 수 있다. 다음으로 두 기울기의 평균은 구간의 오른쪽 끝의 위치를 교정하는데 사용된다.
올뭉치
밑 formula_2가 경로 연결 공간인 올다발 formula_28의 올이 formula_31라면, 전체 공간 formula_1의 오일러 지표는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다.
이는 세르 스펙트럼 열을 통해 보일 수 있다.
수학적 미
어느 결과가 심원한 통찰에 의할 것인지 어떤지라는 것에 대하여 일반적인 동의를 얻는 것은 어렵지만, 몇 개의 예가 자주 인용된다. 그 하나는 오일러의 등식,
이며, 일견 무관계하다고 생각되고 있던 네이피어 상수 (자연대수의 바닥) e, 허수 단위 i, 원주율 π의 사이에 곱셈 단위원의 1와 곱셈령원 (가법 단위원)의 0만을 이용한 단순한 관계를 주었다.
미국의 물리학자 리처드 파인만은 이 등식을 '수학에서 가장 특필해야 할 식' ("The most remarkable formula in mathematics")으로 칭했다.
오일러의 오각수 정리
formula_2
오일러 공식
이므로
오일러의 정리 (기하학)
우선 방멱정리와 곱셈공식에 의해
오일러의 정리
오일러의 정리(Euler's theorem, -定理)는, 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 만들어 낸 오일러 파이 함수와 관련된 정리이다. 다음과 같이 쓸 수 있다.여기서 φ(n)는 오일러 파이 함수이다.
균등 비압축성 오일러 방정식
유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, )은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다.
오일러 프로젝트
오일러 프로젝트(Project Euler)는 컴퓨터 프로그램으로 수학 문제를 풀기 위해 만들어진 웹사이트이다. 이 프로젝트는 수학과 컴퓨터 프로그래밍에 흥미를 돋우기 위해 만들어졌다. 2009년 5월, 이 프로젝트는 250개 이상의 다양한 난이도의 문제를 포함하고 있다. 각 문제는 효율적인 알고리즘이라면 현대의 컴퓨터로 1분 내에 풀 수 있다. 새 문제를 2001년부터 주기적으로 추가하고 있다. 문제에 바른 답을 제출한 사용자는 각 문제에 딸린 포럼을 볼 수 있다.로그인 한 사용자는 문제를 푼 수에 따른 고득점자 순위를 볼 수 있다. 25문제를 풀 때마다 레벨이 올라가며, 독특한 앰블럼이 주어진다. 특정 조합의 문제들을 풀면 '상'을 얻을 수도 있다.
오일러의 곱셈 공식
일반적으로, 다음과 같은 형태의 디리클레 급수가 있다고 하자.
여기서 formula_2는 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 이 급수는 다음과 같이 쓰일 수 있다.
여기서 formula_4는 다음 급수가 된다.
이는 산술의 기본 정리 때문에 성립하는 것이다. 특히, formula_2이 완전 곱셈적(totally multiplicative)일 경우 formula_4는 무한등비급수(geometric series)가 되므로 다음 등식이 성립하게 된다.
리만 제타 함수의 경우 formula_9이 된다.
오일러 방법
접선을 타고 조금 이동한 점을 formula_3이라고 하자. 만약 formula_3이 여전히 곡선 위에 있다고 가정한다면, formula_1에서와 같은 추론을 이용할 수 있다. 이렇게 몇차례를 반복하면, 다각형곡선 formula_6을 구할 수 있다. 일반적으로 이 곡선은 원래의 미지의 곡선에서 너무 멀리 발산하지 않는다. 그리고 두 곡선사이의 오차는 단계의 크기를 작게 하고, 구하고자 하는 범위는 유한으로 했을 때 줄일 수 있다.
오일러의 부등식
그런데 산술-기하 평균 부등식에 의해 formula_12 가 성립하므로, 이 세 식을 변변 곱하면 위 부등식이 성립한다.
오일러 변환
오일러 변환은 수열 formula_1에 이항 변환 formula_2을 적용하여, 다음과 같이 정의된다.