ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน ใช่หรือไม่?
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
แฟกทอเรียล
เมื่อ "n" มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า "n"! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี "n" ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)
รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม
ลอการิทึมและเลขชี้กำลัง (แอนติลอการิทึม) ที่อยู่ฐานเดียวกันจะยกเลิกฟังก์ชันนั้นด้วยกันเอง ซึ่งเป็นความจริงเพราะลอการิทึมและเลขชี้กำลังเป็นตัวดำเนินการย้อนกลับ (คล้ายกับการคูณกับการหาร หรือ การบวกกับการลบ)
จำนวนจริง
ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงมีบทบาทเป็นหลักการพื้นฐานของความรู้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ดังเช่นในนิยามของสมสัณฐาน (isomorphism) รวมทั้งแนวคิดอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องเช่น สมานสัณฐาน (homeomorphism) และอนุพันธสัณฐาน (diffeomorphism), กรุปเรียงสับเปลี่ยน (permutation group), การแปลงเชิงภาพฉาย (projective map) และอื่น ๆ อีกมากมาย
การยกกำลัง
เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น "กำลัง" ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5
การยกกำลัง
ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม "a" ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ "a" ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" และทำนองเดียวกัน "e" ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" ดังนั้น ln ("a") ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ "a" ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ "a" สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ "a")
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
การยกกำลังเชิงซ้อน "a" สามารถนิยามได้จากการแปลง "a" เป็นพิกัดเชิงขั้วและการใช้เอกลักษณ์ ("e") = "a" นั่นคือ
การแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลงเชิงปริพันธ์ที่มีประโยชน์นั้นมีอยู่หลายชนิด ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสองตัวแปร "K" ที่เลือกใช้ ฟังก์ชัน "K" นี้เรียกว่า เคอร์เนลของการแปลง () หรือ นิวเคลียส ของการแปลง
อนุพันธ์
ฟังก์ชันกำลังสอง หาอนุพันธ์ได้ที่ และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ เมื่อ เข้าใกล้ศูนย์:
ฟังก์ชันเครื่องหมาย
ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน "z" ใดๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้
ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ "z" มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ
โดยที่ arg "z" คืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ "z"
เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย
การยกกำลัง
กำลังของจำนวนจริงบวก "a" ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ "m"/"n" ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ
เมื่อ "m" เป็นจำนวนเต็มและ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ "f"("x") ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นั่นคือ "e" เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ "ce" ซึ่ง "c" เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้ "k" เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน "f" : R→R จะสอดคล้องกับเงื่อนไข "f" ′ = "kf" ก็ต่อเมื่อ "f"("x") = "ce" สำหรับค่าคงตัว "c" บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านขวาของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต คล้ายกัน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นจุดเชื่อมด้านซ้าย
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็อาจหมายถึงลิมิตดังนี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในตอนต้น
ฟังก์ชันแกมมา
สัญกรณ์ Γ ("z") กำหนดขึ้นโดยอาเดรียง-มารี เลอช็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) ซึ่งใช้อักษรกรีก แกมมา ตัวใหญ่ (Γ) แทนชื่อฟังก์ชัน โดยนิยามไว้ว่า ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน "z" เป็นค่าบวก (ℜ{"z"} > 0) ดังนั้นปริพันธ์นี้
จะลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยการหาปริพันธ์เป็นส่วนจะสามารถแสดงได้ว่า
สมการเชิงฟังก์ชันนี้เป็นข้อสรุปทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ "n"! = "n" ("n" − 1) ! ของฟังก์ชันแฟกทอเรียล เราสามารถวิเคราะห์การประเมินค่าของ Γ (1) ได้ว่า
โดยการรวมความสัมพันธ์ข้างต้นสองประการ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลเป็นกรณีพิเศษอันหนึ่งของฟังก์ชันแกมมา ดังนี้
สำหรับทุกค่า "n" ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น Γ (5) = 4! เป็นต้น
ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถจัดเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนค่า "x" โดยมี "โพล" อยู่บน "x" = −"n" (เมื่อ "n" = 0, 1, 2, 3, ...) และมี "ส่วนตกค้าง" อยู่ที่ formula_7 ดังนั้นเราจะสามารถขยาย Γ ("z") ไปเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิกโดยนิยามให้มีค่าสำหรับทุกๆ ค่า "z" ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อ "z" = 0, −1, −2, −3, ... ตามการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ซึ่งส่วนขยายดังกล่าวมักเป็นการอ้างถึงฟังก์ชันแกมมาโดยปกติ
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นที่มีค่าคงตัวประกอบในเลขชี้กำลัง
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่า "c" ทุกจำนวน แต่ผลลัพธ์ของอนุพันธ์เมื่อ "c" < 0 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน
การยกกำลัง
ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น "n" สิ่งอันดับ ("n"-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น "S" จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก "N" ไปยัง "S" ในกรณีนี้
สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |"S"| = |"S"| เมื่อ |"X"| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ "X"; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2| = 2 เมื่อ 2 ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P ("X") คือเซตกำลังของ "X"; เซตย่อย "Y" แต่ละเซตของ "X" สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน "X" ที่ให้ค่า 1 สำหรับ "x" ∈ "Y" และค่า 0 สำหรับ "x" ∉ "Y"
ฟังก์ชันเครื่องหมาย
สำหรับจำนวนจริง "x" ใดๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย
จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ "x" ไม่เท่ากับ 0
ฟังก์ชันเครื่องหมาย
ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดยกเว้นจุด 0 แต่สำหรับการหาอนุพันธ์ในทฤษฎีการกระจาย อนุพันธ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายมีค่าเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
จึงเป็นที่มาว่าเหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงสามารถเขียนในรูปแบบ "e" ได้
อนุพันธ์
ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ คือ :
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
กราฟของฟังก์ชัน "y" = "e" มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน "x" เสมอ แต่เมื่อ "x" เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน "x" ดังนั้นแกน "x" จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด "y" ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln("x") ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น "แอนติลอการิทึม" (antilogarithm)
อนุพันธ์
ซึ่ง เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น ใด ๆ
พหุนาม
พหุนามสามารถนำไปใช้ในสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ได้อย่างกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น สมการพหุนาม ซึ่งสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างกว้างขวาง จากโจทย์ปัญหาพื้นฐาน ไปจนถึงปัญหาที่ซับซ้อนทางวิทยาศาสตร์ และยังใช้ในการนิยาม ฟังก์ชันพหุนาม ซึ่งนำไปใช้ตั้งแต่พื้นฐานของเคมีและฟิสิกส์ ไปจนถึงเศรษฐศาสตร์และสังคมศาสตร์ รวมถึงการนำไปใช้ในแคลคูลัส และการวิเคราะห์เชิงตัวเลข ซึ่งคล้ายคลึงกับฟังก์ชันต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงนั้น พหุนามยังใช้ในการสร้างวงล้อพหุนาม และความหลากหลายทางพีชคณิต และเป็นแนวคิดสำคัญในพีชคณิต และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอีกด้วย
การบวก
การบวกมีสมบัติที่สำคัญหลายประการ การบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าลำดับไม่สำคัญ และมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ หมายความว่าเมื่อจำนวนหนึ่งบวกกับจำนวนมากกว่าสองจำนวน ลำดับในการบวกก่อนหลังนั้นไม่สำคัญ (ดู "ผลรวม") การบวก 1 ซ้ำ ๆ มีความหมายเหมือนการนับ การบวกด้วย 0 จะไม่ทำให้จำนวนเปลี่ยนแปลง การบวกยังสามารถคล้อยตามกฎที่ทำนายได้ของการดำเนินการอื่น ๆ ได้แก่ การลบ และการคูณ
อนุพันธ์
และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า "x" ที่เป็นบวก ไม่ใช่ เมื่อ กฎนี้จะให้ค่า "f"′("x") เป็นศูนย์สำหรับ ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่
จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้อนุพันธ์ของ
การยกกำลัง
ลอการิทึมธรรมชาติ ln ("x") เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" ซึ่งนิยามไว้สำหรับ "b" > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข
ถ้า "b" ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า
สำหรับจำนวนจริง "x" แต่ละจำนวน
อนุพันธ์
ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป
การยกกำลัง
การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป "a" ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ "ฐาน" "a" และ "เลขชี้กำลัง" (หรือ "กำลัง") "n" การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ "a" คูณกันเป็นจำนวน "n" ตัว เมื่อ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน
ภาวะคู่หรือคี่ของ 0
ผลลัพธ์นับไม่ถ้วนในทฤษฎีจำนวนยกทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตและคุณสมบัติพีชคณิตของจำนวนคู่ ฉะนั้นทางเลือกข้างต้นจึงมีผลกระทบกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนบวกมีการแยกตัวประกอบเฉพาะตัว หมายความว่า บุคคลสามารถระบุว่าจำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะจำนวนคู่หรือคี่ เนื่องจาก 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือมีตัวประกอบเฉพาะ จึงเป็นผลลัพธ์ของจำนวนเฉพาะแตกต่างกัน 0 จำนวน ส่วน 0 เป็นจำนวนคู่ 1 จึงมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะแตกต่างกันเป็นคู่ ดังนี้ส่อความว่าฟังก์ชันเมอบีอุสได้ค่า ซึ่งจำเป็นสำหรับการเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ และสูตรผกผันเมอบีอุสให้ใช้ได้
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ในวิทยาศาสตร์ เรามักจะต้องเผชิญหน้ากับฟังก์ชันที่ไม่ได้กำหนดขึ้นจากสูตร เช่นอุณหภูมิบนพื้นผิวโลกในเวลาใดเวลาหนึ่ง นี่เป็นฟังก์ชันที่มีสถานที่และเวลาเป็นอาร์กิวเมนต์ และให้ผลลัพธ์เป็นอุณหภูมิของสถานที่และเวลานั้นๆ
พหุนามกำลังสอง
สัมประสิทธิ์ของพหุนามกำลังสองมักเป็นจำนวนจริง หรือจำนวนเชิงซ้อน แต่ในความเป็นจริงแล้วพหุนามสามารถนิยามบนริงใด ๆ ได้
ฟังก์ชันบ่งชี้
ฟังก์ชันบ่งชี้ () หรือบางครั้งเรียกว่า "ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ" คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต "X" ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย "A" ใน "X" หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต "A" หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต "A" แต่ยังคงอยู่ในเซต "X"
การบวก
เมื่อใช้การบวกร่วมกับการดำเนินการอื่น ๆ ลำดับของการดำเนินการจะเป็นสิ่งสำคัญ สำหรับลำดับมาตรฐานของการดำเนินการ การบวกจะสำคัญน้อยกว่าการยกกำลัง รากที่ n การคูณ และการหาร แต่สำคัญเท่ากับการลบ
ฟังก์ชันบ่งชี้
ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0, 1] หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า ฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
สังเกตว่าเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างสองเซต "X" และ "Y" มักจะแสดงด้วยเซตย่อยของ "X"×"Y" นิยามอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันนั้นระบุฟังก์ชัน "f" ด้วยกราฟของมันชนิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มักใช้กันเช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร พหุนาม เลขยกกำลัง ลอการิทึม ราก อัตราส่วน และตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่คำนี้จะมีความหมายต่างออกไปตามสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่เป็นพื้นฐาน (ฟังก์ชันพิเศษ) เช่น ฟังก์ชันเบสเซิล และฟังก์ชันแกมมา
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สัญกรณ์ , , ฯลฯ ซึ่งเสนอโดยจอห์น เฮอร์เชล ในปี ค.ศ. 1813 กฏเกณฑ์นี้ใช้สัญกรณ์ด้วยเพราะความที่เป็นฟังก์ชันผกผัน โดยอาจทำให้เกิดความสับสนกับระบบการแสดงสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่ง เช่น ซึ่งสื่อถึงการยกกำลังมากกว่าการที่จะเป็นฟังก์ชันคอมโพสิท ดังนั้น การใช้สัญกรณ์เช่นนี้อาจทำให้เกิดความสับสนระหว่างตัวผกผันการคูณกับฟังก์ชันผกผัน ความสับสนนี้จะน้อยลง เนื่องด้วยความจริงที่ว่าตัวผกผันการคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นได้มีชื่อของมันอยู่แล้ว เช่น = แม้กระนั้น ผู้เขียนบางคนแนะนำว่าการใช้สัญกรณ์นั้นมีความกำกวม
การยกกำลัง
การทำความเข้าใจ "e" สำหรับจำนวนจริง "x" ต้องทราบถึงการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการบนจำนวนเชิงซ้อน และนิยามกำลังของ "e" ดังที่กล่าวไว้แล้วข้างต้น พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับจำนวน "n" ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีลักษณะเข้าใกล้เซกเตอร์ของรูปวงกลมมากยิ่งขึ้น โดยมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ "x"/"n" เรเดียน และรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายร่วมกันสำหรับ "k" ทุกค่า เพราะฉะนั้น สำหรับจำนวน "n" ขนาดใหญ่ จุดที่เป็นขอบเขตของ ก็คือจุดที่อยู่บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมุมที่วัดจากแกนจำนวนจริงบวกเท่ากับ "x" เรเดียน พิกัดเชิงขั้วของจุดนี้คือ และพิกัดคาร์ทีเซียนคือ ดังนั้นในท้ายที่สุด เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ ซึ่งเชื่อมโยงพีชคณิตกับตรีโกณมิติด้วยความหมายของจำนวนเชิงซ้อน
แฟกทอเรียล
อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ "p" ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ "n"! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น
ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ "p" ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง "n"; จำนวนพหุคูณของ "p" ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง "n" สามารถพิจารณาได้จากสูตร formula_16 อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ "p" เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน formula_17 ตัวของ "p" ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก "p" สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "n" สำหรับ "i" หลายค่าอย่างจำกัด และฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ "p" > "n"
ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่
ฟังก์ชันคู่ (even functions) และฟังก์ชันคี่ (odd functions) คือ ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเกี่ยวกับความสมมาตร ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่มีความสำคัญในคณิตวิเคราะห์หลายสาขา โดยเฉพาะเรื่องอนุกรมกำลัง และอนุกรมฟูรีเย
อนุพันธ์
"การหาอนุพันธ์" เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ของตัวแปร คืออัตราที่ค่า ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เรียกว่า "อนุพันธ์"ของ เทียบกับ ถ้า และ เป็นจำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน ลงจุดเทียบกับ อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด
กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ ซึ่งหมายถึงกราฟของ จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ สำหรับจำนวนจริง และ และความชัน ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ ดังสมการ
เมื่อสัญลักษณ์ (เดลตา) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า
เพราะฉะนั้น จะได้
ทำให้ได้
การยกกำลัง
กำลังของจำนวนจริงลบนั้นไม่ได้ถูกนิยามเสมอไป และไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะได้นิยามแล้ว ดังนั้นเมื่อพบกับจำนวนเชิงซ้อน ควรใช้การดำเนินการสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแทน
การยกกำลัง
จำนวน "e" คือรากปฐมฐานที่ "n" ที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นบวกน้อยที่สุด (บางครั้งอาจเรียกว่า รากปฐมฐานที่ "n" "มุขสำคัญ" ถึงแม้ว่าการใช้คำนี้จะไม่แพร่หลายและอาจทำให้สับสนกับ ค่ามุขสำคัญของรากที่ "n" ของ 1 ซึ่งหมายถึงค่า 1 )
ตัวคูณตัวเลข IUPAC
ตัวคูณของ IUPAC () เป็นส่วนหนึ่งของระบบการเรียกชื่อสารเคมีของ IUPAC ซึ่งทำหน้าที่บอกให้เราทราบถึงจำนวนของอะตอมหรือหมู่ฟังก์ชันที่ต่ออยู่กับจุดใดจุดหนึ่งในโมเลกุล โดยที่ตัวคูณได้ดัดแปลงจากจำนวนนับทั้งในภาษาละตินและภาษากรีก
ปกติแล้ว ตัวคูณที่ให้ไว้นี้จะใช้สำหรับเป็นคำอุปสรรค ในการระบุจำนวนอะตอมหรือหมู่ฟังก์ชันในสารเคมีได้เลย แต่
ว่าถ้าต้องการตัวเลขที่ไม่มีตัวคูณในตาราง เราต้องประกอบขึ้นเอง โดยการเรียกตัวคูณของหลักหน่วย ต่อด้วยหลักสิบ
หลักร้อย หลักพัน... ไปเรื่อย ๆ โดยคำนึงถึงค่าของตัวเลขตัวนั้น ๆ ขณะอยู่ประจำหลักของตัวเอง ดังตัวอย่าง
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
แนวความคิดพื้นฐานของสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ โดยทั่วไปจะเขียนตัวเลขให้อยู่ในพจน์ (Term) ของเลขยกกำลังฐานสิบ นั่นคือ
("a" คูณ 10 ยกกำลัง "b") โดยที่เลขชี้กำลัง "b" เป็นจำนวนเต็ม และสัมประสิทธิ์ "a" เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่งสามารถเรียกว่า "ซิกนิฟิแคนด์ (significand) " หรือ "แมนทิสซา (mantissa) "
พหุนาม
ฟังก์ชันพหุนาม คือฟังก์ชันที่นิยามด้วยพหุนาม ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน "f" นิยามด้วย "f" ("x") = "x"−"x" เป็นฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันเรียบประเภทหนึ่งที่สำคัญ นั่นคือ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุก ๆ อันดับที่จำกัด
ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
หมายความว่า formula_73 และ formula_74 และ formula_75 และ formula_76. ตัวยกเป็นดัชนีของ contravariant indices ในส่วนนี้มากกว่าจะเป็นเลขชี้กำลังเว้นเสียแต่ว่าเมื่อมันหมายถึงยกกำลังสอง ส่วนตัวห้อยเป็น covariant indices ซึ่งเรียงจากศูนย์ไปถึงสามเมื่อใช้กับ spacetime gradient ของสนาม φ:
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
การดำเนินการ ก็เป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรชนิดหนึ่ง ในพีชคณิตนามธรรม
ตัวดำเนินการเช่น "*" นั้นนิยามจากฟังก์ชันทวิภาค เมื่อเราเขียนสูตรเช่น "x"*"y" ในสาขานี้ เสมือนกับว่าเราเรียกใช้ฟังก์ชัน * ("x","y") โดยปริยาย เพียงแต่เขียนในรูปสัญกรณ์เติมกลาง (infix notation) ซึ่งสะดวกกว่า
อนุพันธ์
ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ คือ
พหุนามเลอจองดร์
ส่วนในทางคณิตศาสตร์แล้วนั้นฟังก์ชันเลอจองดร์จะเป็นผลเฉลยของสมการอนุพันธ์ของเลอจองดร์ :
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นคือ
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง
พหุนามกำลังสอง
ในทางคณิตศาสตร์ พหุนามกำลังสอง คือพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ 2 นั่นคือ เลขชี้กำลังของตัวแปรทุกตัวมีค่าไม่เกิน 2 เช่น เป็นพหุนามกำลังสอง แต่ ไม่เป็นพหุนามกำลังสอง
ความเสี่ยงมหันตภัยทั่วโลก
แม้ว่าจะไม่ค่อยมีบทความที่โต้แย้งความคิดเช่นนี้ แต่อาจจะมีนักวิชาการบางพวกที่ไม่เห็นด้วย
เพราะว่า อรรถประโยชน์ที่ลดลงโดยฟังก์ชันแบบเลขชี้กำลัง (Exponential discounting) อาจทำให้ประโยชน์ที่คาดหมายมีความสำคัญน้อยมาก
แต่ว่าก็มีนักวิชาการที่อ้างว่า การใช้ฟังก์ชันเช่นนั้นไม่เหมาะสม เมื่อประเมินผลที่จะได้จากการลดระดับความเสี่ยงต่อการอยู่รอด
ฟังก์ชันเครื่องหมาย
การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันเครื่องหมายสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนคือ "csgn" ซึ่งนิยามโดย
ซึ่งเราจะได้สมบัติดังนี้ (ยกเว้นค่า "z" = 0)
การยกกำลัง
คำตอบของสมการ "e" = 1 คือพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π"i"
ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ e = "a" ดังนั้นคำตอบของสมการ "e" = "a" หาได้โดยการบวก "b" เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π"i"
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2π"i"
การดำเนินการทวิภาค
การดำเนินการทวิภาคหลายอย่างในพีชคณิตและตรรกศาสตร์มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่และสมบัติการสลับที่ และหลายอย่างก็มีสมาชิกเอกลักษณ์และสมาชิกผกผัน ตัวอย่างการดำเนินการที่มีคุณสมบัติทั้งหมดนี้เช่น การบวก (+) และการคูณ (*) บนจำนวนและเมทริกซ์ หรือการประกอบฟังก์ชัน (function composition) บนเซตเซตหนึ่ง ส่วนการดำเนินการที่ไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ยกตัวอย่างเช่น การลบ (−) และ "การดำเนินการบางส่วน" ที่ไม่มีสมบัตินี้เช่น การหาร (/) การยกกำลัง (^) และการยกกำลังซ้อน (tetration) (↑↑)
ฟังก์ชันแกมมา
ฟังก์ชันแกมมา (, "G ตัวใหญ่") เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเชิงซ้อน หรือสามารถกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นการเติมเต็มฟังก์ชันแฟกทอเรียลของค่า "n" ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "z" ซึ่งส่วนจริงเป็นค่าบวก ได้นิยามไว้ว่า
นิยามดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์สามารถขยายไปได้ถึงระนาบจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มลบ สำหรับกรณีถ้า "z" มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้
ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแฟกทอเรียล
กลศาสตร์แฮมิลตัน
เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2
เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ formula_14 เราจะได้
formula_15
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย formula_16 ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ formula_17 ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ formula_18 เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
formula_19
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
formula_20
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
formula_21
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์
เครื่องหมายบวกและลบ
เครื่องหมายบวก (+) เป็นตัวดำเนินการทวิภาคที่บ่งบอกการบวก เช่น 2 + 3 = 5 เครื่องหมายนี้เป็นตัวดำเนินการเอกภาคที่ทำให้ตัวดำเนินการไม่เปลี่ยน (+"x" มีความหมายเหมือนกับ "x") สัญลักษณ์นี้ใช้เน้นความเป็นบวกของจำนวน โดยเฉพาะเมื่อแสดงความแตกต่างกับจำนวนลบ (+5 กับ −5)
ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม
ปัญหาการมีอยู่ของหยาง-มิลล์ และมวลพื้น เป็นปัญหาสำคัญทางฟิสิกส์ อยู่ภายใต้ความพยายามสร้างทฤษฎีการรวมแรงครั้งใหญ่และทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง ในขณะนี้ ทฤษฎีหยาง-มิลส์ ได้รวบรวมคุณสมบัติทางฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติทางทฤษฎีสนามควอนตัม ไว้จำนวนมาก แต่ทฤษฎีหยาง-มิลส์ยังอธิบายคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับการสังเกตไม่ได้ เช่น คุณสมบัติ Renormalization บน 4 มิติ คุณสมบัติของอนุภาคที่เกี่ยวพันกับมวล-พลังงาน คุณสมบัติของอนุภาคในนิวเคลียสของอะตอม
เครื่องหมายบวกและลบ
ในคณิตศาสตร์และภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ กฎลำดับการดำเนินการหมายความว่า −5 เท่ากับ −25 เลขชี้กำลังมีความสำคัญมากกว่าตัวดำเนินการลบแบบเอกภาค ที่สำคัญกว่าการคูณหรือการหาร อย่างไรก็ตามในภาษาโปรแกรมบางภาษาและไมโครซอฟท์ เอกซ์เซล ตัวดำเนินการเอกภาคสำคัญที่สุด ดังนั้น −5^2 คือ 25 แต่ 0−5^2 คือ −25
ฮิวริสติกในการประเมินและการตัดสินใจ
การตั้งหลักและการปรับ (Anchoring and adjustment) เป็นฮิวริสติกที่ใช้ในการประมาณตัวเลขในเหตุการณ์หลายอย่าง 
ตามคำพรรณนาดั้งเดิมของคาฮ์นะมันและทเวอร์สกี้ เป็นการประมาณตัวเลขที่เริ่มจากตัวเลขที่มีอยู่แล้ว ซึ่งเรียกว่าหลัก (anchor)
แล้วปรับจากเลขนั้นขึ้นหรือลงเพื่อจะได้คำตอบที่อาจเป็นไปได้ 
แต่ว่าในการทดลองของนักวิจัยทั้งสอง ผู้ร่วมการทดลองไม่ได้ปรับคำตอบให้ไปไกลจากหลักพอ ที่ค่าจะไปตรงกับความจริง 
ดังนั้น หลักเลขนั้นจริง ๆ แล้ว อาจทำการประมาณค่าให้เสียหาย แม้ว่าค่าของหลักจะปรากฏอย่างชัดเจนว่าไม่มีความเกี่ยวข้อง 
ในงานทดลองหนึ่ง มีการให้ผู้ร่วมการทดลองดูหมายเลขที่ใช้กงล้อหมุนเลือก (ทำนองเดียวกับล้อรูเล็ตต์)
แล้วให้บอกว่า ค่าของอะไรอีกอย่างหนึ่งที่ไม่ได้เกี่ยวข้องกัน มากหรือน้อยกว่าตัวเลขนั้น
ยกตัวอย่างเช่น อาจจะมีการถามว่า "เปอร์เซ็นต์ของประเทศในแอฟริกาซึ่งเป็นสมาชิกของสหประชาชาติ น้อยหรือมากกว่า 65%" (โดย 65 เป็นตัวเลขที่หมุนล้อถูก)
หลังจากนั้นก็จะให้ทายค่าเปอร์เซ็นต์ที่ถูกต้อง
แต่ว่า ค่าที่ให้เป็นคำตอบ กลับมีสหสัมพันธ์ในระดับสูง กับค่าสุ่มที่ได้จากล้อหมุน 
แต่การปรับออกจากหลักที่ไม่เพียงพอ ไม่ใช่เป็นคำอธิบายอย่างเดียวที่เสนอในปรากฏการณ์นี้
ทฤษฎีสำหรับใช้อธิบายอีกอย่างหนึ่งก็คือ เราจะทำการประเมินอาศัยหลักฐานที่คิดได้สืบเนื่องจากหลักนั้น
ปรากฏการณ์ตั้งหลักเห็นได้ในงานทดลองแบบต่าง ๆ มากมายทั้งในห้องแล็บทั้งในเหตุการณ์จริง ๆ 
และไม่สามารถกำจัดได้ แม้ว่า ผู้ร่วมการทดลองจะมีแรงจูงใจเช่นจะได้รางวัลเพราะการประเมินค่าที่แม่นยำ
หรือว่าแม้แต่มีการบอกอย่างชัดแจ้งไม่ให้ตั้งค่าประเมินสืบเนื่องกับเลขที่เป็นหลัก 
ปรากฏการณ์นี้มีกำลังเพิ่มขึ้นเมื่อต้องทำการตัดสินใจอย่างรวดเร็ว 
และผู้ร่วมการทดลองในงานทดลองเหล่านี้ จะไม่มีความเข้าใจเกี่ยวการทำงานของจิตใจของตนที่ใช้ฮิวริสติก และจะปฏิเสธว่า เลขหลักนั้นมีอิทธิพลต่อการประมาณค่าตัวเลขของตน
การยกกำลัง
กำลังจำนวนตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนต้องเป็นคำตอบของสมการเชิงพีชคณิตสมการหนึ่ง ดังนั้นมันจึงมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น "w" = "z" ต้องเป็นคำตอบของสมการ "w" = "z" แต่เมื่อ "w" เป็นคำตอบแล้ว −"w" ก็เป็นคำตอบด้วยเช่นกันเพราะว่า (−1) = 1 คำตอบเพียงหนึ่งเดียวที่ถูกเลือกโดยค่อนข้างปราศจากเหตุผลเรียกว่าค่ามุขสำคัญ (principal value) สามารถเลือกโดยใช้กฎทั่วไปซึ่งใช้กับกำลังที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะด้วย
การยกกำลัง
กำลังจำนวนอตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนมีคำตอบที่เป็นไปได้ไม่จำกัด เพราะธรรมชาติของลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีคำตอบได้หลายค่า ค่ามุขสำคัญคือค่าค่าหนึ่งที่ถูกเลือกด้วยกฎอย่างหนึ่งท่ามกลางคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้แน่ใจว่า กำลังของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จะมีค่าเหมือนกับกำลังของจำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง
การยกกำลัง
ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 0 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
โดยทั่วไปตัวแปร "x" สามารถเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือแม้แต่วัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ต่างชนิดกันอย่างสิ้นเชิงก็ได้ ดูรายละเอียดที่ นิยามเชิงรูปนัย
แคลคูลัส
ความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตัน และไลบ์นิซ ซึ่งเป็นกุญแจนำไปสู่ การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อย่างมากมายหลังจากงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก.
ความเชื่อมโยงนี้ ทำให้เราสามารถย้อนความเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง จากอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง โดยการหาปริพันธ์ของส่วนหลัง.
ทฤษฎีบทมูลฐานนี้ยังให้วิธีในการคำนวณหา ปริพันธ์จำกัดเขต ด้วยวิธีทางพีชคณิตเป็นจำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้วิธีการหาลิมิต ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์.
ทฤษฎีบทนี้ยังอนุญาตให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งคือสมการที่เกี่ยวข้องกันระหว่าง ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของมัน.
สมการเชิงอนุพันธ์นั้นมีอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
การยกกำลัง
และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น และ แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "2 ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 8 หรือเท่ากับ แต่ "2 ยกกำลัง 3" จะได้ผลลัพธ์เป็น 2 หรือ ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ formula_16 ส่วนแรก "e" จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม formula_17 ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้
การยกกำลัง
การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น
การยกกำลัง
กำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เพราะว่าตัวแปรฐานสองขนาด "n" บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2 ค่า
การยกกำลัง
ในทางคณิตศาสตร์ เราอาจทำให้การคำนวณสะดวกขึ้นโดยนิยาม "a" ให้เป็นค่ามุขสำคัญของราก ถ้า "a" เป็นจำนวนจริงบวก จะสามารถเลือกคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเป็นค่ามุขสำคัญได้อย่างง่ายดาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป รากที่ "n" ที่มีอาร์กิวเมนต์น้อยที่สุดมักจะถูกเลือกเป็นค่ามุขสำคัญของราก เช่นเดียวกับค่ามุขสำคัญของรากของ 1
สมการกำลังสอง
สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร
ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่
ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ
การยกกำลัง
กำหนดให้ "a" เป็นจำนวนจริงบวก และ "z" เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง "a" นิยามโดย "e" เมื่อ "x" = ln ("a") เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ "e" = "a" ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น
ฟังก์ชันเมอบีอุส
ฟังก์ชันเมอบีอุส () คลาสสสิก "' เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณสำคัญในทฤษฎีจำนวนและคณิตศาสตร์เชิงการจัด นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ออกุส เฟอร์ดีนันด์ เมอบีอุสเป็นผู้ริเริ่มในปี 1832 เป็นกรรีพิเศษของวัตถุทั่วไปกว่าในคณิตศาสตร์เชิงการจัด
การยกกำลัง
การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็นการยกกำลังในรูปแบบเชิงขั้ว จำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วดังนี้
เมื่อ "r" คือจำนวนจริงไม่เป็นลบและ θ คืออาร์กิวเมนต์ของ "z" (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) รูปแบบเชิงขั้วมีการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตว่า ถ้าจำนวนเชิงซ้อน "u" + "iv" แทนได้ด้วยจุด ("u", "v") บนระนาบเชิงซ้อนโดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น ("r", θ) ก็คือจุดเดียวกันในระบบพิกัดเชิงขั้ว นั่นหมายความว่า "r" คือ "รัศมี" ที่มีค่าตาม "r" = "u" + "v" และ θ คือ "มุม" ที่มีค่าตาม θ = atan2 ("v", "u") (ฟังก์ชัน atan2 มาจากฟังก์ชัน arctan ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม) มุมเชิงขั้ว θ มีความกำกวมเนื่องจาก θ สามารถบวกด้วยพหุคูณใด ๆ ของ 2π แล้วไม่ทำให้จุดเปลี่ยนตำแหน่งไปจากเดิม ตัวเลือกแต่ละค่าของ θ โดยทั่วไปจะให้ผลการยกกำลังที่แตกต่างกัน ส่วนตัดกิ่งส่วนหนึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อเลือกค่าที่เจาะจง ค่ามุขสำคัญ (ส่วนตัดกิ่งที่สามัญที่สุด) สอดคล้องกับ θ ที่ถูกเลือกในช่วงค่า (−π, π] สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ซึ่งใช้ค่ามุขสำคัญเช่นนั้น จะให้ผลลัพธ์เดียวกับการใช้จำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง
การยกกำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนิยามขึ้นสำหรับ "x" ที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นอกจากนี้ก็สามารถขยายการยกกำลังไปบนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่จำนวนได้เช่นเมทริกซ์จัตุรัส อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์การยกกำลังที่ยกมาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ "x" และ "y" สามารถสลับที่กันได้เท่านั้น
แคลคูลัส
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน กล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้น ๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุด และจุดต่ำสุด ของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน (Newton's Method) ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชัน โดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถาม ซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจคิดว่า ไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้
การยกกำลัง
แต่หากฐาน "a" มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ
ดูเพิ่มในกำลังของ "e"
เฟอร์มิออน
นิยามของเฟอร์มิออนที่แท้จริงคืออนุภาคที่กระจายตัวแบบแฟร์มี-ดิแรก แต่เฟอร์มิออนที่รู้จักในปัจจุบันจะมีเลขสปินเป็นจำนวนครึ่งเท่า กล่าวคือเมื่อสลับสปินของเฟอร์มิออน ฟังก์ชันคลื่นของเฟอร์มิออนจะกลับเครื่องหมายด้วย พฤติกรรมฟังก์ชันคลื่นแบบปฏิสมมาตรนี้ทำให้เฟอร์มิออนเป็นไปตามกฎการกีดกันของเพาลี กล่าวคือ เฟอร์มิออนสองตัวจะมีสถานะเชิงควอนตัมเดียวกันในเวลาเดียวกันไม่ได้ ทำให้เฟอร์มิออนมีลักษณะแข็งเกร็ง และคงทน ด้วยคุณสมบัติดังกล่าว เฟอร์มิออนจึงเป็นองค์ประกอบสำคัญของสสาร 
เพราะทำให้อะตอมอยู่ตัวและมีความแตกต่างจากอะตอมอื่น และกฎการกีดกันของเพาลีก็ยังเป็นปัจจัยสำคัญในการกำหนดค่ามอดูลัสของยังซึ่งแสดงความยืดหยุ่นของสสารนั้นๆ
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
เนื่องจากเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ไม่สามารถนำเสนอตัวเลขให้อยู่ในรูปแบบ " " ซึ่งใช้ตัวยก (superscript) บนเลขชี้กำลัง จึงมีการใช้สัญกรณ์อักษรอีแสดงผลแทน โดยใช้ "E" หรือ "e" (มาจาก "exponent" ที่แปลว่าเลขชี้กำลัง) แทนความหมายของ " " และเขียนเลขยกกำลังไว้บนบรรทัดเดียวกัน ซึ่งเลขชี้กำลังที่เป็นบวกอาจใส่หรือไม่ใส่เครื่องหมายก็ได้ ตัวอย่างเช่น
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง และนำไปสู่จำนวน "e" ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว
ฟังก์ชันเชิงการคูณ
ในทฤษฎีจำนวน ฟังก์ชันเชิงการคูณ () หมายถึงฟังก์ชันเลขคณิต "f"("n") สำหรับจำนวนเต็มบวก "n" ที่มีสมบัติดังนี้
สมการเชิงอนุพันธ์
สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation) หมายถึง สมการที่มีอนุพันธ์ต่างๆของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า (unknown function) หนึ่งฟังก์ชันหรือมากกว่าหนึ่งฟังก์ชันปรากฏอยู่ คำว่า Differential equation (aequatio differentialis) เริ่มใช้โดย ไลน์นิตซ์ ในปี ค.ศ. 1676
เป็นรูปแบบสมการหนึ่งในคณิตศาสตร์ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในทางวิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ เพราะว่ากฎเกณฑ์และปัญหาต่างๆ ในสาขาวิขาเหล่านี้ล้วนพิจารณาเป็นสมการคณิตศาสตร์ที่อยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์แทบทั้งสิ้น เช่นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปัญหาของการนำความร้อนในแท่งโลหะ การหาปะจุหรือกระแสในวงจรไฟฟ้า เหล่านี้เป็นต้น
ช่วง (คณิตศาสตร์)
แต่สัญกรณ์อาจทำให้เกิดความสับสนในเรื่องของการใช้วงเล็บและวงเหลี่ยมในทางคณิตศาสตร์ได้ ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ มักใช้เพื่อบ่งบอกคู่อันดับในทฤษฎีเซต, หรือพิกัดของจุดหรือเวกเตอร์ในเรขาคณิตวิเคราะห์และพีชคณิตเชิงเส้น, หรือจำนวนเชิงซ้อนในพีชคณิต นี่จึงเป็นสาเหตุว่าทำไม Bourbaki จึงเสนอสัญกรณ์ เพื่อแทนช่วงเปิด ส่วนสัญกรณ์ ก็ใช้เป็นครั้งคราวเพื่อใช้แทนคู่อันดับ โดยเฉพาะในวิทยาการคอมพิวเตอร์
การยกกำลัง
เลขยกกำลัง "a" อาจนิยามให้ "n" เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า "a" ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง "a" กับ "n" ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน "a" เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน "a" สามารถนิยามเลขชี้กำลัง "n" ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้
สัญกรณ์คณิตศาสตร์
สัญกรณ์คณิตศาสตร์เป็นระบบของสัญลักษณ์สำหรับการแสดงสิ่งต่างๆ รวมถึงความคิดเชิงคณิตศาสตร์ ที่รวมสัญลักษณ์พื้นฐาน เช่น เลขโดด 0,1 และ 2 สัญลักษณ์เชิงฟังก์ชัน เช่น + - sin สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงความคิดทางคณิตศาสตร์ เช่น lim dy/dx ตัวแปร และ สมการ สัญกรณ์คณิตศาสตร์ มักถูกใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ เคมี ฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ และ เศรษฐศาสตร์
สมการกำลังสาม
ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ
เมื่อ "a" ≠ 0 (ถ้า "a" = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว formula_2 คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N
อนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ () คือรูปแบบของการเขียนตัวเลขอย่างหนึ่ง มักใช้โดยนักวิทยาศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ หรือวิศวกร เพื่อให้สามารถเขียนหรือนำเสนอจำนวนที่มีขนาดใหญ่มากหรือเล็กมาก ให้ง่ายและสะดวกขึ้น
ลำดับการดำเนินการ
ตัวอย่างการดำเนินการทั่วไปในคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการอธิบายลำดับความสำคัญได้แก่ เลขยกกำลัง(^n หรือ ) วงเล็บ(() หรือ [])การหาร (÷) การคูณ (×) การลบ (−) และ การบวก (+) 
เป็นที่ตกลงกันโดยนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกว่าลำดับของการดำเนินการต้องเป็นความเข้าใจที่ตรงกัน เพื่อให้การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีการดำเนินการมากกว่าหนึ่งครั้งเป็นไปอย่างถูกต้อง ไม่เช่นนั้นคำตอบที่ได้จะผิดเพี้ยนไป
การยกกำลัง
เพื่อความถูกต้องยิ่งขึ้น พิจารณาฟังก์ชัน "f" ("x", "y")  = "x" ที่นิยามบนโดเมน "D" = { ("x", "y")  ∈ R : "x" > 0} ดังนั้น "D" อาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของ (นั่นคือเซตของคู่อันดับ ("x", "y") ทั้งหมด ซึ่ง "x", "y" อยู่บนเส้นจำนวนจริงขยาย  = [−∞,  +∞] โดยสร้างขึ้นจากทอพอโลยีผลคูณ) ซึ่งจะรวมจุดต่าง ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชัน "f" มีลิมิต
ตะแกรงกำลังสอง
ซึ่งจากดังกล่าวก็มาถึงปัญหาที่ว่าถ้าให้ set ของจำนวนเต็มมาหนึ่งจำนวน จะทราบได้อย่างไรว่าผลคูณของตัวเลขใน set เหล่านั้น จะมีบางกลุ่มที่สามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มได้ ซึ่งจากดังกล่าวจะอาศัยการเขียนอยู่ในรูปแบบของ เวกเตอร์หรือที่เรียกกันว่าเวกเตอร์ชี้กำลัง exponent vector ยกตัวอย่างเช่น ในการแยกตัวประกอบของจำรวนเต็มที่ทำให้อยู่ในรูปยกกำลังของจำนวนเฉพาะของ 504 คือ 2357 นั่นคือสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ชี้กำลัง (exponent vector) (3,2,0,1) ซึ่งเป็นค่าของเลขชี้กำลังของ 2, 3, 5, 7 ตามลำดับ ในกรณีของ 490 ก็สามารถเขียนได้ในทำนองเดียวกันโดยสามารถเขียนเป็นเวกเตอร์ชี้กำลังได้เป็น (1,0,1,2) โดยเมื่อพิจารณาการคูณกันของ (504) (490) ก็เปรียบเสมือนการนำค่าในเวกเตอร์ชี้กำลังมาบวกกันในแต่ละสมาชิกที่มีดัชนีตรงกัน ซึ่งจะบวกได้เป็น (4,2,1,3) ทั้งนี้มาจากทฤษฎีบทที่ว่า "a" = "a""a"
แคลคูลัสแลมบ์ดา
ฟังก์ชันที่คำนวณได้เป็นแนวคิดพื้นฐานในวิทยาการคอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ แคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นอรรถศาสตร์ที่เรียบง่ายสำหรับการคำนวณ ส่งผลให้สามารถศึกษาคุณสมบัติของการคำนวนได้อย่างเป็นรูปนัย อรรถศาสตร์ที่เรียบง่ายของแคลคูลัสแลมบ์ดามาจากคุณลักษณะ 2 ประการ ประการแรก แคลคูลัสแลมบ์ดาไม่มีการกำหนดชื่อให้กับฟังก์ชัน กล่าวคือ มองฟังก์ชันต่าง ๆ อย่างไร้ชื่อ (ฟังก์ชันนิรนาม) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน
สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบนิรนามว่า
(ความหมายคือ "คู่อันดับ x และ y ถูกส่งไปยัง formula_3") อีกตัวอย่างคือ
สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบนิรนามว่า formula_5, นั่นคือ ข้อมูลนำเข้าของฟังก์ชันถูกส่งไปยังตัวเอง
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ฟังก์ชันที่เราใช้ส่วนมักจะเป็น ฟังก์ชันหลายตัวแปร ค่าที่ได้จะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆกัน
จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ตัวแปรทั้งหมดต้องแสดงอย่างชัดแจ้งเพื่อที่จะเกิดความสัมพันธ์แบบฟังก์ชัน - ไม่มีปัจจัย "ซ่อนเร้น" อยู่
และเช่นกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่มีความแตกต่างเชิงคุณภาพระหว่างฟังก์ชันตัวแปรเดียวกับฟังก์ชันหลายตัวแปร
ฟังก์ชันสามตัวแปรจำนวนจริงนั้นก็คือฟังก์ชันของ "triple" (("x","y","z")) ของจำนวนจริง
บทนำทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
ความสมมูลระหว่างมวลกับพลังงาน ดังที่แสดงโดยสูตร "E" = "mc" เป็นผลลัพธ์ที่โด่งดังที่สุดของสัมพัทธภาพพิเศษ ในสัมพัทธภาพ มวลและพลังงานเป็นสองวิธีการที่ต่างกันในการอธิบายปริมาณทางกายภาพหนึ่ง หากระบบกายภาพหนึ่งมีพลังงาน ระบบนั้นจะมีมวลสมนัย และกลับกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติทั้งหมดของเทห์ที่สัมพันธ์กับพลังงาน เช่น อุณหภูมิหรือพลังงานยึดเหนี่ยวของระบบ เช่น นิวเคลียสหรือโมเลกุล ประกอบเป็นมวลของเทห์นั้น ฉะนั้นจึงประพฤติตนเป็นแหล่งของความโน้มถ่วง
ไอแซก นิวตัน
นิวตันได้รับยกย่องโดยทั่วไปเนื่องจากทฤษฎีบททวินามที่ใช้ได้สำหรับเลขยกกำลังใดๆ เขาเป็นผู้ค้นพบ Newton's identities, Newton's method, เส้นโค้งบนระนาบลูกบาศก์ (โพลีโนเมียลอันดับสามของตัวแปรสองตัว), เขามีส่วนอย่างสำคัญต่อทฤษฎี finite differences, และเป็นคนแรกที่ใช้เศษส่วนเลขชี้กำลัง (fractional indices) และนำเรขาคณิตเชิงพิกัดมาใช้หาคำตอบจากสมการไดโอแฟนทีน เขาหาค่าผลบวกย่อยโดยประมาณของอนุกรมฮาร์โมนิกได้โดยใช้ลอการิทึม (ก่อนจะมีสมการผลรวมของออยเลอร์) และเป็นคนแรกที่ใช้อนุกรมกำลัง งานของนิวตันเกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ได้รับแรงบันดาลใจจากเลขทศนิยมของไซมอน สเตวิน (Simon Stevin)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
"e" อาจถูกนิยามให้เป็นคำตอบ "y" ของสมการนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบได้น้อยกว่า