ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณเป็นสาขาหนึ่งของอะไร?
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ () เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีการคำนวณ ที่มุ่งเน้นไปในการวิเคราะห์เวลาและเนื้อที่สำหรับการแก้ปัญหาหนึ่ง ๆ โดยปกติแล้วคำว่า "เวลา" ที่เราพูดถึงนั้น จะเป็นการนับจำนวนขั้นตอนที่ใช้ในการแก้ปัญหา ส่วนในเรื่องของ "เนื้อที่" เราจะพิจารณาเนื้อที่ ๆ ใช้ในการทำงานเท่านั้น (ไม่นับเนื้อที่ ๆ ใช้ในการเก็บข้อมูลป้อนเข้า). ในบางกรณีเราอาจจะสนใจการวิเคราะห์ปริมาณอื่น ๆ ที่นอกเหนือไปจากพื้นที่กับเวลา ยกตัวอย่างเช่น ในการประมวลผลแบบขนาน เราอาจจะวิเคราะห์ว่าต้องใช้หน่วยประมวลผลกี่ตัวในการแก้ปัญหาที่กำหนด. ทฤษฎีความซับซ้อนต่างจาก ทฤษฎีการคำนวณได้ ที่จะเน้นไปในการวิเคราะห์ว่าปัญหาสามารถแก้ได้หรือไม่ โดยไม่สนใจทรัพยากรที่ใช้ในการแก้ปัญหา
ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับทรัพยากรทางการคำนวณที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาหนึ่งๆ ได้สร้างแบบจำลองของขั้นตอนวิธีแบบสุ่มให้เป็น"เครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น" ทั้งขั้นตอนวิธีลาสเวกัสและมอนติคาร์โลได้ถูกนำมาพิจารณา รวมถึง "คลาสของความซับซ้อน" หลายๆคลาสก็ได้ถูกนำมาศึกษา คลาสของความซับซ้อนแบบสุ่มแบบที่เป็นพื้นฐานที่สุดคือแบบอาร์พี ซึ่งเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจที่มีขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (หรือเครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น) ที่มีประสิทธิภาพ (ทำงานได้ได้ในเวลาโพลิโนเมียล) ที่สามารถตอบว่า "ไม่" ได้ถูกต้องเสมอ และสามารถตอบว่า "ใช่" ได้ โดยมีโอกาสถูกต้องอย่างน้อย 1/2 คลาสส่วนกลับ (complement) ได้แก่โค-อาร์พี และคลาสของปัญหาซึ่งทั้งคำตอบ "ใช่" และ "ไม่" สามารถมีค่าความน่าจะเป็นได้ทั้งคู่ (นั่นคือ ไม่ได้บังคับให้ต้องตอบถูกต้องเสมอ) เรียกว่าซีพีพี (ZPP) สำหรับปัญหาซึ่ง (เชื่อกันว่า) อยู่นอกคลาสนี้ เช่นปัญหาเอ็นพีแบบยาก (ซึ่งแม้แต่ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มก็ไม่สามารถแก้ได้) จำเป็นต้องแก้ด้วยขั้นตอนวิธีการประมาณ
ตรรกศาสตร์คลุมเครือ
การดำเนินการทางตรรก เช่น AND(และ) OR(หรือ) NOT(ไม่) นั้นก็มีใช้สำหรับตรรกศาสตร์คลุมเครือ สำหรับการสร้างเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ซับซ้อน เช่นเดียวกับตรรกศาสตร์แบบฉบับ โดยปกติแล้วจะนิยาม AND=minimum OR=maximum และ NOT=complement ซึ่งการนิยามตามแบบนี้เรียกว่า "ตัวดำเนินการซาเดห์" (Zadeh operator) เนื่องจากเป็นไปตามลักษณะนิยามที่ ซาเดห์ ใช้ในบทความดั้งเดิมของเขา ดังนั้นหากเรามีตัวแปรฟัซซี x และ y:
แคลคูลัสเวกเตอร์
แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหาและสูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรมและฟิสิกส์
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
เราเรียกปัญหาที่สามารถหาคำตอบได้ ในเชิงทฤษฎี แต่ไม่สามารถนำมาใช้ได้จริง ว่าเป็นปัญหาที่ยาก (intractable) โดยมากแล้วเราจะแทนความง่ายของปัญหาด้วยการที่มีขั้นตอนวิธีที่ทำงานใช้เวลาเป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต ปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ ถูกเชื่อว่าเป็นปัญหาที่ยาก (ที่ใช้คำว่า "เชื่อ" ก็เพราะว่าการที่ปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์จะยากหรือไม่นั้นขึ้นกับว่าพีเท่ากับเอ็นพีหรือไม่ หากว่าพีเท่ากับเอ็นพี เอ็นพีบริบูรณ์ทั้งหมดก็เป็นปัญหาที่ง่าย แต่หากไม่เท่ากัน เอ็นพีบริบูรณ์ก็เป็นตัวแทนของปัญหายากที่อยู่ภายในเอ็นพี) ส่วนปัญหาที่สามารถพีสูจน์ได้แน่นอนว่ายาก ก็คือปัญหา อีเอกซ์พีบริบูรณ์ (EXP-complete) (เนื่องมาจาก ทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา)
แฟกทอเรียล
เนื่องจากการคำนวณ log "n"! มีประสิทธิภาพเป็น Θ("n" log "n") สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)
การวิเคราะห์ขั้นตอนวิธี
การวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีเป็นส่วนที่มีความสำคัญของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณที่กว้างขึ้น ซึ่งเอื้ออำนวยสำหรับการประมาณการเชิงทฤษฎีสำหรับทรัพยากรที่จำเป็นต้องใช้โดยขั้นตอนวิธีใด ๆ สำหรับใช้ไขปัญหาที่ต้องการคำนวณ การประมาณการนี้ช่วยให้เข้าใจอย่างลึกซึ้งถึงคำสั่งที่มีเหตุผลของการค้นหาประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธี
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
สำหรับหลักการของ ความบริบูรณ์นั้น เราจะกล่าวว่าเซต X บริบูรณ์ สำหรับเซต Y เมื่อ: 
เช่นเดียวกันกับเรื่องของความยาก เซตบริบูรณ์ที่สำคัญที่สุดก็คือ เซตเอ็นพีบริบูรณ์
ทฤษฎีจำนวน
ทฤษฎีจำนวน () โดยธรรมเนียมเดิมเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนเต็ม สาขานี้มีผลงานและปัญหาเปิดมากมายที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แม้กระทั่งผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่ในปัจจุบัน สาขานี้ยังได้สนใจกลุ่มของปัญหาที่กว้างขึ้น ซึ่งมักเป็นปัญหาที่ต่อยอดมาจากการศึกษาจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสาขานี้เรียกว่า นักทฤษฎีจำนวน
เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์
คณิตศาสตร์
องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่น ๆ
ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม
ปัญหาพีและเอ็นพีเป็นปัญหาสำคัญทางวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีการคำนวณ ซึ่งศึกษาความซับซ้อนในการคำนวณ ระหว่างกลุ่มความซับซ้อนพี (P) ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่สามารถ "ค้นหา" (search) คำตอบได้ในเวลาพหุนาม กับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี (NP) ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่สามารถ "ตรวจสอบ" (verify) คำตอบได้ในเวลาพหุนาม
กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี
ในทฤษฎีดังกล่าว กลุ่ม พี (P) คือประกอบไปด้วยปัญหาการตัดสินใจที่สามารถหาคำตอบได้โดยเครื่องจักรเชิงลำดับแบบกำหนด (deterministic sequential machine) ในเวลาที่เป็นพหุนามของขนาดของข้อมูลป้อนเข้า กลุ่มปัญหา เอ็นพี (NP) ประกอบไปด้วยปัญหาการตัดสินใจที่ในกรณีที่คำตอบคือ 'ใช่' สามารถตรวจสอบได้ถ้าให้ข้อมูลที่เหมาะสม หรือพูดในอีกทางหนึ่งที่เหมือนกันว่า เป็นกลุ่มของปัญหาที่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาพหุนามบนเครื่องจักรเชิงไม่กำหนด อาจกล่าวได้ว่าปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีนั้น เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ของกลุ่มปัญหาทั้งสองนี้:
ในปี 2545 มีการสำรวจความเชื่อของนักวิจัย 100 คน 61 คนเชื่อว่าพีไม่เท่ากับเอ็นพี 9 คนเชื่อว่าเท่ากัน 22 คนตอบว่าไม่แน่ใจ ส่วนที่เหลือเชื่อว่าจะไม่สามารถหาบทพิสูจน์ได้
แคลคูลัส
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ (อินทิกรัล, Integral) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ปัญหาการตัดสินใจสามารถแบ่งออกได้เป็นหลายๆกลุ่ม โดยที่แต่ละกลุ่มจะประกอบไปด้วยปัญหาที่มีความยากเท่าเทียมกัน
กรุป (คณิตศาสตร์)
ภายใต้กรุปยังมีโครงสร้างเชิงพีชคณิตอีกมาก เช่นฟิลด์ และปริภูมิเวกเตอร์ กรุปยังเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาสมมาตรในรูปแบบต่างๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใดๆก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ด้วยเหตุผลเหล่านี้ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาที่สำคัญในคณิตศาสตร์ยุดใหม่ และยังเป็นหนึ่งในบทประยุกต์ของ ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ อีกด้วย (ตัวอย่างเช่น ฟิสิกส์อนุภาค)
ปัญหาการตัดสินใจ
ปัญหาการตัดสินใจ () เป็นปัญหาในทฤษฎีการคำนวณได้และทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ ซึ่งพิจารณาค่าอินพุตและตอบเพียงว่า "ใช่" หรือ "ไม่ใช่" เท่านั้น เช่นปัญหาที่ถามว่าจำนวนเต็ม x เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
หลายครั้งเราจะกล่าวถึงความซับซ้อนด้านเวลาว่าเป็น "เวลาที่ใช้ในการแก้ปัญหา" หรือ "เวลาที่ใช้ในการทำงาน"
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ค่อนข้างจะชัดเจนว่าเนื้อที่ที่ใช้ในการแก้ปัญหา FACTORIZE จะไม่มากไปกว่าเนื้อที่ที่ใช้ในการแก้ปัญหา HAS-FACTOR นัก (สำหรับค่า formula_7 แต่ละค่าเราสามารถคืนหน่วยความจำที่ใช้ในการทำงานของค่า formula_7 ก่อนหน้าได้) สำหรับเวลาที่ใช้ก็เช่นกัน ในการหาตัวประกอบแต่ละตัวเราจะเรียกใช้ HAS-FACTOR ไม่เกิน formula_15 ครั้ง และจำนวนของตัวประกอบเฉพาะของ formula_1 ที่เป็นไปได้ก็ไม่เกิน formula_15 จำนวน
แคลคูลัสแลมบ์ดา
แคลคูลัสแลมบ์ดา (หรือ λ-calculus) เป็นระบบรูปนัยในคณิตตรรกศาสตร์ที่ใช้ในการคำนวณ พื้นฐานของระบบประกอบไปด้วยการสร้างฟังก์ชันและการเรียกใช้ฟังก์ชันโดยใช้การโยงของตัวแปรและการแทนที่ตัวแปร นักคณิตศาสตร์อลอนโซ เชิร์ชได้คิดค้นแคลคูลัสแลมบ์ดาขึ้นมาในช่วงปี 1930 เพื่อสำรวจหารากฐานของคณิตศาสตร์ แคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นแบบจำลองสากลในการคำนวณเทียบเท่ากับเครื่องจักรทัวริง (ความเท่าเทียมกันของาองระบบทั้งสองรู้จักได้รับการพิสูจน์ในแนวคิดหลักของเชิร์ช–ทัวริงในปี 1937) คำว่า "แลมบ์ดา" ซึ่งเป็นอักขระกรีก (λ) ปรากฏในพจน์แลมบ์ดา (หรืออาจจะเรียกว่านิพจน์แลมบ์ดา) ซึ่งใช้ในการแสดงถึงการโยงตัวแปรในฟังก์ชัน
ทฤษฎีการคำนวณ
ตารางด้านล่างแสดงกลุ่มของปัญหา (หรือภาษา หรือไวยากรณ์) ที่พิจารณาในทฤษฎีการคำนวณได้. ถ้ากลุ่ม X เป็นซับเซ็ตแท้ของ Y เราจะแสดง X ด้านล่าง Y และมีเส้นทึบเชื่อมระหว่างสองกลุ่ม. ถ้า X เป็นซับเซ็ตแต่ไม่ทราบแน่นอนว่าจะเท่ากันหรือไม่ เราจะเชื่อมด้วยเส้นที่บางกว่าและเป็นเส้นประ.
การพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยคอมพิวเตอร์
แนวคิดของวิธีการนี้ คือการให้คอมพิวเตอร์รับหน้าที่ทำการคำนวณอันยืดยาว โดยใช้เทคนิคเลขคณิตเชิงช่วงในการควบคุม ไม่ให้มีความผิดพลาดมากเกินไป นั่นคือ เราสามารถมองการคำนวณที่ซับซ้อน เป็นลำดับของการคำนวณพื้นฐาน (เช่น +, -, *, /) ผลที่ได้จากการคำนวณพื้นฐานแต่ละขั้นนี้ เป็นผลโดยประมาณเนื่องจากคอมพิวเตอร์มีความแม่นยำจำกัด อย่างไรก็ตาม เราสามารถสร้างช่วงของคำตอบที่ถูกต้องได้จากผลโดยประมาณนี้ จากนั้นเราสามารถดำเนินการขั้นตอนต่อๆไป โดยการทำการคำนวณระหว่างช่วงของตัวเลขแต่ละตัวที่ได้มา
วิศวกรรมเครื่องกล
กลศาสตร์ คือการศึกษาแรงและผลกระทบของมันบนวัตถุ สำหรับกลศาสตร์วิศวกรรมแล้ว กลศาสตร์ถูกใช้เพื่อการวิเคราะห์และคำนวณความเร่งและการเปลี่ยนรูป (ทั้งบนวัสดุอีลาสติก และพลาสติก) บนวัสดุที่ทราบแรงที่เข้ากระทำ (หรือที่เรียกว่าภาระ) หรือทราบความเค้น สาขาย่อยของกลศาสตร์มีดังนี้
วิศวกรเครื่องกลมักจะใช้กลศาสตร์ในขั้นตอนการออบแบบและวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่นในการออกแบบรถยนต์ สถิตยศาสตร์อาจจะถูกใช้ในการออกแบบโครงรถเพื่อหาว่าบริเวณใดท่ได้รับความเครียดสูงที่สุด พลศาสตร์อาจจะถูกใช้ในการออกแบบเครื่องยนต์เช่นคำนวณแรงในลูกสูบ ความแข็งแรงของวัสดุจะถูกใช้เพื่อการเลือกวัสดุที่มีความเหมาะสม ส่วนกลศาสตร์ของไหลอาจจะถูกใช้เพื่อการวิเคราะห์ระบบระบาบอากาศ หรือระบบดูดอากาศเข้าเครื่องยนต์
เคมีการคำนวณ
เคมีการคำนวณ () เป็นสาขาหนึ่งของเคมีทฤษฎี (theoretical chemistry) มีความคาบเกี่ยวกันระหว่างวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (computer science) วิชาเคมี (chemistry) วิชาฟิสิกส์ และวิชาคณิตศาสตร์วัตถุประสงค์หลักก็คือการใช้แนวคิดทางทฤษฎีที่พิสูจน์ได้ทางฟิสิกส์และเคมีมาออกแบบหรือสร้างระบบจำลองที่มีประสิทธิภาพ ยกตัวอย่างเช่น ระบบจำลองของแข็ง ระบบจำลองดีเอ็นเอ ระบบจำลองโปรตีน เป็น้ตน ซึ่งในการประมาณการ (approximation) ทางคณิตศาสตร์จะใช้โปรแกรมการคำนวณ (computer program) มาคำนวณ เนื่องจากมีความซับซ้อนและความยุ่งยากทางคณิตศาสตร์มากเกินกว่าที่มนุษย์จะกระทำได้ ซึ่งคอมพิวเตอร์สมรรถนะสูงนี้เองที่เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้นักเคมีคำนวณลดระยะเวลาในการ simulation ลงอย่างมากอีกด้วย สำหรับสิ่งที่ต้องการจะศึกษาก็มีปลายรูปแบบแตกต่างกันไป ขึ้นกับระบบนั้น ๆ โดยส่วนมากจะใช้คำนวณหรือศึกษาคุณสมบัติของโมเลกุล (molecule) เช่น
การแบ่งกลุ่มข้อมูลแบบเคมีน
เมื่อกล่าวถึงความซับซ้อนเชิงคำนวณ (computational complexity) การหาคำตอบที่เหมาะสม ในการแบ่งข้อมูลแบบเคมีนสำหรับข้อมูลการสังเกต ใน "d" มิติ จะเป็น
ดังนั้น ประเภทของขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก เช่น ขั้นตอนวิธีของ Lloyds จึงถูกใช้อย่างแพร่หลาย
เวลาที่ใช้ในการทำงานของขั้นตอนวิธีของ Lloyds จะอยู่ในรูป formula_7 โดยที่ค่า "n" เป็นจำนวนของเวกเตอร์ข้อมูล ใน "d" มิติ ค่า "k" เป็นจำนวนของคลัสเตอร์ และค่า "i" เป็นจำนวนของการวนซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์ลู่เข้าและไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับข้อมูลที่มีโครงสร้างเป็นกลุ่มก้อน การวนซ้ำในจำนวนรอบน้อยๆก็มักจะเห็นการลู่เข้า และผลลัพธ์จะดีขึ้นเพียงเล็กน้อยเท่านั้นหลังจากการวนซ้ำสิบกว่าครั้ง ดังนั้นขั้นตอนวีธีของ Lloyds ในทางปฏิบัติจะระบุว่ามีความซับซ้อนแบบเชิงเส้น
วิศวกรรมเครื่องกล
วิศวกรรมเครื่องกล () เป็นวิชาเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์และกฎทางฟิสิกส์เพื่อการประดิษฐ์ การผลิต และการดูแลรักษาระบบเชิงกล วิศวกรรมเครื่องกลเป็นหนึ่งในสาขาทางวิศวกรรมที่เก่าแก่ที่สุดและมีขอบข่ายกว้างขวางที่สุด
ทฤษฎีการคำนวณได้
ทฤษฎีการคำนวณได้ คือส่วนหนึ่งของการศึกษาในทฤษฎีการคำนวณที่สนใจกับปัญหาที่ว่า ปัญหาใดที่สามารถหาคำตอบได้ด้วยขั้นตอนวิธี (หรือ—ในความหมายที่เหมือนกัน—โดยเครื่องจักรทัวริง) ภายใต้ข้อจำกัดและข้อเพิ่มเติมหลายๆ แบบ ทฤษฎีการคำนวณได้ศึกษาปัญหาหลักๆ สี่ปัญหาดังต่อไปนี้
เอ็นพี (ความซับซ้อน)
ในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ กลุ่มปัญหา เอ็นพี (NP: Non-deterministic Polynomial time) สามารถนิยามได้สองวิธี ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากนักว่านิยามทั้งสองแบบนี้สมมูลกันคำว่า "ตรวจคำตอบ" ในที่นี้มีความหมายค่อนข้างจะคลุมเครือ ซึ่งรายละเอียดในส่วนนี้จะถูกอธิบายในไม่ช้า
การเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน
การเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันมีรากฐานมาจากแคลคูลัสแลมบ์ดาซึ่งเป็นระบบรูปนัยที่พัฒนาในคริสต์ทศวรรษ 1930 เพื่อค้นEntscheidungsproblem นิยามของฟังก์ชัน การประยุกต์ฟังก์ชัน และการเรียกซ้ำ ภาษาการใส่รายละเอียดเพิ่มจากแคลคูลัสแลมบ์ดา กระบวนทัศน์การเขียนโปรแกรมเชิงประกาศที่เป็นที่รู้จักอื่น ๆ "การเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะ" มีพื้นฐานอยู่บนความสัมพันธ์เชิงตรรกะ
เศรษฐมิติ
เศรษฐมิติ () เป็นสาขาหนึ่งของเศรษฐศาสตร์ โดยมีการนำ ทฤษฏีทางเศรษฐศาสตร์ สถิติศาสตร์ แคลคูลัส เทคโนโลยีและเทคโนโลยีสารสนเทศ. (ใช้สำหรับการเขียนโปรแกรม) มาประยุกต์ใช้เข้ากับข้อมูลทางเศรษฐกิจในการตอบปัญหาทางเศรษฐศาสตร์ เศรษฐมิติเป็นการวิเคราะห์เชิงปริมาณกับปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจจริงที่ตั้งอยู่พื้นฐานทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ เศรษฐมิติถูกจัดเป็นสาขาหนึ่งของเศรษฐศาสตร์ซึ่งมีจุดมุ่งหมายที่จะสร้างเนื้อหาที่เป็นหลักฐานเชิงประสบการณ์เกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงเศรษฐศาสตร์ การประยุกต์ใช้เครื่องมือทางเศรษฐมิติได้แก่ การประเมินและพัฒนาทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ การประเมินผลหรือคาดการณ์ผลกระทบของโครงการภาครัฐ การพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ
ทฤษฎีจำนวน
ปัญหาบางอย่างในสาขานี้ดูแล้วเหมือนกับว่าจะง่าย แต่แท้จริงแล้วต้องใช้ความเข้าใจอย่างมากในการแก้ปัญหา เช่น
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเกาส์เป็นอีกหนึ่งความก้าวหน้าอันยิ่งใหญ่ในวงการคณิตศาสตร์สมัยนั้น เมื่อเกาส์เป็นผู้แรกที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต (fundamental theorem of algebra) ซึ่งกล่าวคร่าวๆ ว่าทุกสมการพหุนามอันดับใดๆ จะมีคำตอบอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้วงการคณิตศาสตร์เข้าใจว่าจำนวนเชิงซ้อนมีบทบาทสำคัญมากเพียงใด และยังเป็นทฤษฎีบทที่นักคณิตศาสตร์เช่น ดาลองแบร์, ออยเลอร์, ลากรองช์ หรือ ลาปลาส ต่างได้เคยพยายามพิสูจน์แล้ว ยิ่งไปกว่านั้นในช่วงชีวิตของเกาส์ เขาได้ให้บทพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ถึง 4 รูปแบบที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง ซึ่งทำให้เกิดความเข้าใจในคุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนมากขึ้นเรื่อย ๆ
ทฤษฎีการคำนวณ
นอกจากโมเดลในการคำนวณทั่วไปแล้ว ยังมีรูปแบบในการคำนวณอื่นๆ ที่ง่ายกว่านั้น เช่น โมเดลของนิพจน์ปรกติ ที่เป็นวิธีที่ใช้กำหนดรูปแบบของสตริงในยูนิกซ์ และในบางภาษาคอมพิวเตอร์ เช่น ภาษาเพิร์ล โดยมีโมเดล เช่น เครื่องจักรสถานะจำกัดที่มีความสามารถเทียบเท่ากัน โมเดลที่มีความสามารถกว่าโมเดลนิพจน์ regular เช่น โมเดลที่อธิบายการคำนวณผ่านทางไวยากรณ์ที่ไม่ขึ้นกับสภาพรอบข้าง () ใช้สำหรับระบุไวยากรณ์ของภาษาโปรแกรม โดยที่มีเครื่องจักรกดลง () เป็นอีกรูปแบบที่เทียบเท่ากัน ฟังก์ชันเวียนบังเกิดพื้นฐานก็เป็นโมเดลย่อยของฟังก์ชันเวียนบังเกิด
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
คำถามใดๆ คำถามหนึ่งจะถูกเรียกว่า "ตัวอย่างปัญหา" (instance) ในกรณีนี้ เราจะเรียก "จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 15" ว่าเป็นตัวอย่างปัญหาของปัญหาแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีกราฟ
ทฤษฎีกราฟ () เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ที่ศึกษาถึงคุณสมบัติต่าง ๆ ของกราฟ
เซลล์ประสาท
โดยประวัติแล้ว เชื่อว่า นิวรอนเป็นชิ้นส่วนที่ไม่ซับซ้อนและสมรรถภาพในการคำนวณของสมองมาจากการมีนิวรอนเป็นจำนวนมาก
และจริง ๆ แล้ว งานศึกษาในเรื่อง[[ปัญญาประดิษฐ์]]ได้ดำเนินไปตามแนวทางนี้
แต่ปัจจุบันนี้ชัดเจนแล้วว่า นิวรอนเดี่ยว ๆ สามารถทำการคำนวณที่ซับซ้อน[[หมวดหมู่:เซลล์ประสาท]]
[[หมวดหมู่:เซลล์]]
[[หมวดหมู่:ระบบประสาท]]
[[หมวดหมู่:คำศัพท์แพทย์]]
[[หมวดหมู่:ประสาทวิทยา]]
เอ็นพี (ความซับซ้อน)
เริ่มจากปัญหาที่เข้าใจได้ง่าย พิจารณาปัญหา "จำนวน x เป็นจำนวนประกอบหรือไม่?" ปัญหานี้จะตอบว่า "ใช่" ถ้าจำนวนที่กำหนดให้เป็นจำนวนประกอบ สำหรับปัญหานี้เราสามารถออกแบบเครื่องจักรทัวริงเชิงไม่กำหนดให้ทำงานดังต่อไปนี้
พี (ความซับซ้อน)
พี เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่นักวิจัยเรียกว่า "ง่าย" แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วปัญหาที่ใช้เวลาในการหาคำตอบ formula_1 ไม่น่าจะถือว่าง่ายก็ตาม
พีชคณิตเชิงเส้น
การประยุกต์ใช้อย่างหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นคือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อมีจำนวนที่ไม่ทราบค่า (ตัวแปร) เท่ากับจำนวนของสมการ ดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้น "n" สมการ สำหรับจำนวนที่ไม่ทราบค่า "n" ตัว 
ประวัติของ พีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ เริ่มต้นในช่วงยุคปี ค.ศ. 1840 โดยในปี ค.ศ. 1843 วิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) ได้เสนอแนวคิดเรื่อง ควาเทอร์เนียน (quaternion) เพื่อใช้ในการอธิบายกลศาสตร์ในปริภูมิสามมิติ ต่อมาในปี ค.ศ. 1844 เฮอร์มาน กราสมาน (Hermann Grassmann) ได้ตีพิมพ์หนังสือของเขาในชื่อ "Die lineale Ausdehnungslehre" หลังจากนั้นในปี ค.ศ. 1857 อาเทอร์ เคลเลย์ (Arthur Cayley) ก็ได้เสนอแนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ ซึ่งเป็นหนึ่งในพื้นฐานสำคัญของแนวความคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้น แม้แนวความคิดเหล่านี้จะถูกนำเสนอตั้งแต่ในช่วงเวลานั้น แต่การพัฒนาพีชคณิตเชิงเส้นอย่างจริงจังนั้นเริ่มต้นในช่วงหลังปี ค.ศ. 1900 และกลายเป็นหัวข้อที่ได้รับการสนใจจากกลุ่มนักคณิตศาสตร์นานาชาติ จนกลายเป็นสมาคม ควาเทอร์เนียน โซไซตี (Quanternion Society (ค.ศ. 1899-1913)) ซึ่งถือเป็น สมาคมคณิตศาสตร์นานาชาติ กลุ่มแรก ๆ โดยสนใจศึกษาแนวความคิดในเรื่อง "allied systems of mathematics".
เศรษฐศาสตร์
ทฤษฎีอุปสงค์และอุปทานเป็นหนึ่งในทฤษฎีการวิเคราะห์ข้างต้น นอกจากนี้ เศรษฐศาสตร์จุลภาคยังวิเคราะห์ถึงโครงสร้างของตลาด เช่น ตลาดแข่งขันสมบูรณ์และตลาดผูกขาด เพื่อทราบถึงพฤติกรรมและประสิทธิภาพของระบบเศรษฐกิจ การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงในตลาดหนึ่ง ๆ มักเริ่มต้นจากสมมติฐานให้ตลาดอื่น ๆ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง ทั้งนี้เพื่อง่ายต่อความเข้าใจ ดังนี้ เรียกว่าการวิเคราะห์ดุลยภาพบางส่วน (partial-equilibrium analysis) ขณะที่ทฤษฎีดุลยภาพทั่วไปจะอนุญาตให้มีการเปลี่ยนแปลงในตลาดอื่น ๆ และใช้วิธีคำนวณปริมาณโดยรวมในทุกตลาด รวมไปถึงความเคลื่อนไหวของปริมาณดังกล่าวและปฏิสัมพันธ์เพื่อเข้าสู่จุดดุลยภาพ
แคลคูลัส
ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า
เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์
รัสเซลมีความคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาสืบเนื่องจากตรรกวิทยา เพราะฉะนั้น ต้องอาศัยความรู้เบื้องต้นของตรรกวิทยาเอาไปคิดต่อเป็นจำนวนเลข
การลดรูป (ความซับซ้อน)
การลดรูปที่กล่าวมาทั้งหมดเป็นการลดรูปจากปัญหาหนึ่งไปอีกปัญหาหนึ่ง นอกจากนี้ยังมีการลดรูประหว่างปัญหาเดียวกันที่เรียกว่า การลดรูปตัวเอง (Self-reduction) และการลดรูปตัวเองแบบสุ่ม (Random self-reduction) ซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในการศึกษาทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณเช่นกัน
การเรียนรู้เชิงลึก
การเรียนรู้เชิงลึก () เป็นสาขาของการเรียนรู้ของเครื่อง พื้นฐานของการเรียนรู้เชิงลึกคือ อัลกอริทึมที่พยายามจะสร้างแบบจำลองเพื่อแทนความหมายของข้อมูลในระดับสูงโดยการสร้างสถาปัตยกรรมข้อมูลขึ้นมาที่ประกอบไปด้วยโครงสร้างย่อยๆหลายอัน และแต่ละอันนั้นได้มาจากการแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้น
เอ็นพีบริบูรณ์
ในทางทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ เอ็นพีบริบูรณ์ () เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่ยากที่สุดในเอ็นพี กล่าวคือปัญหาใด ๆ ในกลุ่มปัญหา "เอ็นพี" สามารถลดรูป (Reduce) มาเป็นปัญหาใน เอ็นพีบริบูรณ์ ได้ แม้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์แต่เชื่อกันว่าเป็นกลุ่มปัญหาที่ไม่น่าจะมีขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพใช้แก้ไขได้ ปัญหาในกลุ่มเอ็นพีบริบูรณ์สามารถเปลี่ยนแปลงไปมาเป็นปัญหาอื่นในกลุ่มเดียวกันได้ด้วย polynomial time ดังนั้นการที่มีขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาใดปัญหาหนึ่งในเอ็นพีบริบูรณ์ ส่งผลให้เราสามารถแก้ปัญหาทั้งหมดในกลุ่มเอ็นพีได้อย่างมีประสิทธิภาพ กลุ่มความซับซ้อนเอ็นพีบริบูรณ์ในบางครั้งถูกเรียกสั้น ๆ ว่า NP-C
ทฤษฎีการคำนวณ
ทฤษฎีการคำนวณศึกษาโมเดลการคำนวณ พร้อมๆกับขีดจำกัดของการคำนวณ เช่น ปัญหาใดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่สามารถแก้ได้ด้วยคอมพิวเตอร์? (ดู ปัญหาการยุติการทำงาน หรือ ปัญหาความสัมพันธ์ของโพสต์) ปัญหาใดบ้างที่สามารถแก้ไขได้ด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ต้องการเวลามหาศาลจนทำให้การหาคำตอบนั้นเป็นไปไม่ได้ (ดู ) การหาคำตอบยากกว่าการตรวจคำตอบของปัญหาหรือไม่ (ดู กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี) ศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเวลาและเนื้อที่ที่ต้องการสำหรับปัญหาต่างๆ คือ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
เศรษฐศาสตร์
เศรษฐศาสตร์จะให้ความสนใจกับตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้เท่านั้น โดยสาขาของวิชาเศรษฐศาสตร์จะถูกจำแนกออกตามเนื้อหาเป็นสองสาขาใหญ่ ๆ คือ
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใด ๆ จากโลกภายนอก นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อย ๆ หลาย ๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน
วิทยาการคอมพิวเตอร์
วิทยาการคำนวณ (Computational Science) เป็นศาสตร์ด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ผสมผสานกับการนำคณิตศาสตร์ไปใช้จำลองและแก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพ การคำนวณที่แม่นยำและรวดเร็วทำให้สามารถนำผลลัพธ์ไปใช้ประโยชน์ได้ทันการในการพัฒนาเศรษฐกิจ สังคม และสิ่งแวดล้อมที่ต้องการเทคโนโลยีขั้นสูง
สัจพจน์ของความน่าจะเป็น
นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็นปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด.
คณิตศาสตร์ประกันภัย
"คณิตศาสตร์ประกันภัย (actuarial science)" เป็นสาขาวิชาที่เกี่ยวเนื่องกับวิชาต่างๆหลายด้าน เช่น คณิตศาสตร์ (mathematics), ทฤษฎีความน่าจะเป็น (probability), สถิติศาสตร์ (statistics), การเงิน (finance), เศรษฐศาสตร์ (economics), เศรษฐศาสตร์การเงิน (financial economics), และการโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (computer programming) เป็นต้น มหาวิทยาลัยในประเทศไทยมีเปิดหลักสูตรนี้น้อยมากเนื่องจากต้องศึกษาวิชาในหลายๆด้าน แต่ปัจจุบันสาขาวิชานี้กำลังเป็นที่นิยมและต้องการ ของตลาดทั้งในและต่างประเทศ
การคำนวณ
การคำนวณ หรือ การคณนา สามารถนิยามได้ว่าเป็นการหาคำตอบของปัญหาจากข้อมูลป้อนเข้าโดยการใช้ขั้นตอนวิธี ศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องนี้คือ "ทฤษฎีการคำนวณ" ซึ่งเป็นสาขาย่อยของวิทยาการคอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ เป็นเวลากว่าพันปีที่การคำนวณนั้นกระทำด้วยปากกาและกระดาษ หรือชอล์กและกระดานชนวน หรือด้วยการใช้สมอง โดยบางครั้งมีการใช้ตารางประกอบด้วย
พี (ความซับซ้อน)
พี ประกอบด้วย ปัญหาที่สำคัญหลายอย่างที่มีประโยชน์ในชีวิต เช่น ปัญหาการหาตัวหารร่วมมากระหว่างจำนวนสองจำนวน ปัญหาการจับคู่มากที่สุด (Maximum Matching) ปัญหาจำนวนเฉพาะ ปัญหากำหนดการเชิงเส้น (Linear program)
เอ็นพี (ความซับซ้อน)
ลองมาดูตัวอย่างเดียวกันแต่ใช้นิยามของเอ็นพีแบบที่สองในการพิสูจน์ดูบ้าง เริ่มจากปัญหาจำนวนประกอบก่อน เราสามารถออกแบบ V ได้ดังนี้
แคลคูลัส
แคลคูลัส เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ และสังคมศาสตร์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
แนวคิดของ ฟังก์ชัน ที่เป็นกฎในการคำนวณ แทนที่เป็นความสัมพันธ์ชนิดพิเศษนั้น อยู่ในคณิตตรรกศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ด้วยหลายระบบ รวมไปถึง แคลคูลัสแลมบ์ดา ทฤษฎีฟังก์ชันเวียนเกิด และเครื่องจักรทัวริง
ทฤษฎีการคำนวณได้
ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มของปัญหา สามารถดูได้ในบทความเกี่ยวกับทฤษฎีการคำนวณ
วิศวกรรมคอมพิวเตอร์
วิทยาศาสตร์และวิศวกรรมทางการคำนวณเป็นสาขาวิชาที่ค่อนข้างใหม่ สอดคล้องกับศูนย์ Sloan Career Cornerstone, บุคคลที่ทำงานในพื้นที่นี้ "วิธีการคำนวณจะถูกนำไปใช้ในการกำหนดรูปแบบและการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนด้านวิศวกรรมและด้านฟิสิกข์และสังคมศาสตร์ . ตัวอย่าง รวมถึงการออกแบบอากาศยาน, การประมวลผลแบบพลาสม่าของคุณสมบัตินาโนเมตร บนเวเฟอร์เซมิคอนดักเตอร์, การออกแบบวงจร VLSI, ระบบตรวจจับเรดาร์, การขนส่งไอออนผ่านช่องทางชีวภาพและอื่น ๆ อีกมาก"
แคลคูลัส
แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปริพันธ์ (หรืออินทิเกรต) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร
แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน
เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสมันตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ "ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่" () [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า A1 และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง "Ausdehnungslehre," ซึ่งแปลว่า "ทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ" เนื่องจาก A1 เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสมันก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด
ปัญหาการปกคลุมเซต
ปัญหาการปกคลุมเซต () เป็นปัญหาในทฤษฎีความซับซ้อน วิทยาการคอมพิวเตอร์ และคณิตศาสตร์เชิงการจัด และได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ในพ.ศ. 2515
กรุป (คณิตศาสตร์)
หลายสิ่งที่ศึกษากันในคณิตศาสตร์เป็นกรุป รวมไปถึงระบบจำนวนที่คุ้นเคย เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ภายใต้การบวก เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ ภายใต้การคูณ ตัวอย่างที่สำคัญอีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน ภายใต้การคูณ และฟังก์ชันที่หาฟังก์ชันผกผันได้ ภายใต้ การประกอบฟังก์ชัน ทฤษฎีกรุปรองรับคุณสมบัติของระบบเหล่านี้และระบบอื่นๆอีกมากมายในรูปแบบทั่วไป ผลลัพธ์ยังสามารถประยุกต์ได้หลากหลาย ทฤษฎีกรุปยังเต็มไปด้วยทฤษฎีบทในตัวมันเองอีกมากเช่นกัน
วารสารศาสตร์เชิงคำนวณ
วารสารศาสตร์เชิงคำนวณ สามารถนิยามได้ว่าเป็นการประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์เพื่อกิจกรรมทางวารสารศาสตร์ เช่น การรวบรวมข้อมูล การจัดระเบียบข้อมูล การทำความเข้าใจข้อมูล การสื่อสารและแพร่กระจายข้อมูลข่าวสาร โดยรักษาคุณค่าของวารสารศาสตร์ เช่น ความเป็นธรรม ความแม่นยำ และภววิสัย สาขาดังกล่าวได้ดึงเอาแง่มุมเทคนิคต่าง ๆ จากวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ซึ่งรวมถึงปัญญาประดิษฐ์, การวิเคราะห์เนื้อหา (การประมวลผลภาษาธรรมชาติ, คอมพิวเตอร์วิทัศน์, การได้ยิน), การสร้างภาพ, การทำให้เป็นลักษณะส่วนบุคคล, และระบบแนะนำ รวมไปถึงแง่มุมจากการใช้คอมพิวเตอร์เชิงสังคมและสารสนเทศศาสตร์
ความลำบากใจของนักโทษ
ความลำบากใจของนักโทษ () เป็นปัญหาพื้นฐานในทฤษฎีเกมซึ่งแสดงให้เห็นว่าเหตุใดคนสองคนจึงอาจไม่ร่วมมือกันแม้ว่าทั้งสองจะได้รับผลประโยชน์มากที่สุดในการร่วมมือกันนั้น เดิมปัญหาดังกล่าวคิดขึ้นโดยเมอร์ริลล์ ฟลัด และเมลวิน เดรชเชอร์ ซึ่งกำลังทำงานอยู่ที่ RAND ในปี ค.ศ. 1950 อัลเบิร์ต ดับเบิลยู. ทักเกอร์ทำให้เกมดังกล่าวเป็นระเบียบแบบแผนด้วยการกำหนดโทษจำคุกและให้ชื่อว่า "ความลำบากใจของนักโทษ"
การแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม () ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง
การลดรูป (ความซับซ้อน)
พิจารณาตัวอย่าง ...
พี (ความซับซ้อน)
ในเชิงของ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ พี เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจที่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต (polynomial time)
คณิตศาสตร์เชิงการจัด
คณิตศาสตร์เชิงการจัด () คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ที่ศึกษากลุ่มของวัตถุจำนวนจำกัดที่มีคุณสมบัติสอดคล้องกับเงื่อนไขบางประการ และมักสนใจเป็นพิเศษที่จะ "นับ" จำนวนวัตถุในกลุ่มนั้น ๆ ("ปัญหาการแจกแจง") หรืออาจหาคำตอบว่า วัตถุที่มีคุณสมบัติที่ต้องการนั้นมีอยู่หรือไม่ ("ปัญหาสุดขอบ") การศึกษาเกี่ยวกับการนับวัตถุ บางครั้งถูกจัดให้อยู่ในสาขาการแจกแจงแทน
นักคณิตศาสตร์ประกันภัย
ความสามารถของนักคณิตศาสตร์ประกันภัย (Actuary-แอคชัวรี) ที่กล่าวมาได้กลายเป็นสิ่งที่จำเป็นยิ่งยวดสำหรับธุรกิจประกันชีวิตและประกันวินาศภัย โดยใช้พื้นฐานของหลักการทางคณิตศาสตร์ สถิติประยุกต์ เศรษฐศาสตร์มหภาค เศรษฐศาสตร์จุลภาค ทฤษฎีการเงิน ทฤษฎีดอกเบี้ย การโมเดลความเสี่ยงในรูปแบบต่างๆ การสร้างสมการถดถอย หรือแม้กระทั่งวิชาที่ว่าด้วยธุรกิจประเภทต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์ประกันภัย (Actuary-แอคชัวรี) ต้องเอาไปใช้ประยุกต์ เช่น ธุรกิจประกันชีวิต ธุรกิจประกันวินาศภัย ธุรกิจประกันกลุ่ม ธุรกิจประกันอุบัติเหตุและสุขภาพ การจัดการความเสี่ยงในด้านการเงิน การประกันต่อ และการจัดการกองทุนบำเน็จบำนาญ เป็นต้น
พีชคณิตนามธรรม
พีชคณิตนามธรรม (อังกฤษ: abstract algebra) คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงพีชคณิต เช่น กรุป, ริง และฟิลด์. คำว่า "พีชคณิตนามธรรม" ถูกใช้เพื่อแยกแยะสาขาออกจาก พีชคณิตพื้นฐาน หรือ "พีชคณิตในโรงเรียน" ที่สอนเกี่ยวกับกฎสำหรับการจัดการสูตรและนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน
ปัญหาการตัดสินใจ
การพิจารณาว่าปัญหาการตัดสินใจหนึ่งๆ เป็นปัญหาที่แก้ได้หรือไม่เป็นประเด็นที่สำคัญในทฤษฎีการคำนวณได้ ทฤษฎีการคำนวณได้ จึงได้นิยามศัพท์คำว่า การตัดสินได้ และ การรับรองได้ โดยนิยามไว้ดังนี้
จะสังเกตเห็นว่า ปัญหาที่ตัดสินได้ย่อมเป็นปัญหาที่รับรองได้ไปด้วยและปัญหาที่ตัดสินไม่ได้อาจเป็นปัญหาที่รับรองได้ก็ได้ ยกตัวอย่างปัญหาที่ตัดสินไม่ได้แต่รับรองได้เช่น ปัญหาการยุติการทำงาน เป็นต้น
พีชคณิตเชิงเส้น
แมทริกซ์ ถูกให้ความหมายไว้ไม่ชัดเจนนักในยุคก่อนหน้าที่จะมีการพัฒนา ทฤษฏีริง (ring theory) ในพีชคณิตนามธรรม (abstract algebra) และด้วยการเข้ามาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ก็ทำให้มีการเพิ่มเติมรายละเอียดของพีชคณิตเชิงเส้นอีกมาก ตัวอย่างเช่นในปี ค.ศ. 1914 ลุดวิค ซิลเบอร์สไตน์ Ludwik Silberstine ได้รวมเอา แมทริกซ์ ไว้เป็นหนึ่งใน List of important publications in physis หลังจากนั้นไม่นาน ในสาขาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็ได้นำเอาการประยุกต์ของ Cramer's rule เข้ามาเป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหา partial differential equations จนถือได้ว่าเป็นเรื่องปกติ และด้วยเหตุนี้เองจึงได้มีการบรรจุ วิชาพีชคณิตเชิงเส้น เข้าอยู่ในหลักสูตรมาตรฐานของมหาวิทยาลัยต่าง ๆ ถึงขนาดที่ เอ็ดวาร์ด โทมัส คอบสัน Edward Thomas Copson ได้เขียนเอาไว้ว่า
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ปัญหาของพีและเอ็นพีนั้น ทำให้เกิดการสร้างแนวความคิดที่สำคัญมากในการวิจัยสาขานี้ขึ้นมา ซึ่งก็คือแนวความคิดเกี่ยวกับ "ความยาก (hardness)" และ "ความบริบูรณ์ (completeness)" เราจะเรียกเซตของปัญหา X ว่ายากสำหรับเซตของปัญหา Y เมื่อปัญหาทุกปัญหาใน Y สามารถลดรูปอย่างง่ายไปเป็นปัญหาบางปัญหาใน X ได้ (สำหรับรายละเอียดการลดรูป ขอละไว้ในที่นี้) สำหรับคำว่า "ง่าย" ในการลดรูปนั้นจะมีความหมายแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับบริบทที่สนใจ เซตที่เป็น "เซตยาก" ที่เราสนใจมากที่สุดนั้นก็คือเซต เอ็นพีแบบยาก (NP-hard) และคำว่า "ง่าย" ในการลดรูปที่มักจะเป็นที่สนใจก็คือการลดรูปที่ใช้เวลาเป็นฟังก์ชันพหุนามของขนาดของข้อมูลป้อนเข้า
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ทฤษฎีบทที่สำคัญอันหนึ่งในด้านทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณก็คือ ไม่ว่าปัญหาของเราจะยากขนาดไหน เราจะมีปัญหาที่ยากกว่าเสมอ หากเราพิจารณาเฉพาะปัญหาที่สามารถแก้ได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของข้อมูลป้อนเข้า เราสามารถอธิบายในจุดนี้ได้ด้วยทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา () ที่กล่าวไว้ว่า หากเราให้คอมพิวเตอร์ของเราทำงานด้วยเวลาที่มากขึ้น ปัญหาที่เราสามารถแก้ได้ก็จะเพิ่มขึ้น (นั่นก็คือ มีปัญหาที่แก้ไม่ได้ถ้าไม่มีการเพิ่มเวลา) ทฤษฎีลำดับชั้นของเนื้อที่ (space hierarchy theorem) ก็จะกล่าวในเชิงคล้ายกัน เพียงแต่มุ่งความสนใจในเรื่องของเนื้อที่ที่อนุญาตให้มีการใช้งานได้
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับโครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง และปริภูมิ กล่าวคร่าว ๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์
ทฤษฎีระบบควบคุม
ทฤษฎีระบบควบคุม () เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ในที่นี้ การควบคุมหมายถึง การควบคุมระบบพลศาสตร์ ให้มีค่าเอาต์พุตที่ต้องการ โดยการป้อนค่าอินพุตที่เหมาะสมให้กับระบบ ตัวอย่างที่เห็นได้ทั่วไป เช่น ระบบควบคุมอุณหภูมิห้องของเครื่องปรับอากาศ หรือ แม้แต่ลูกลอยในโถส้วม ที่เปิดน้ำปิดน้ำโดยอัตโนมัติเมื่อน้ำหมดและน้ำเต็ม
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์
ออยเลอร์มีผลงานในแทบทุกสาขาของวิชาคณิตศาสตร์ เช่น เรขาคณิต แคลคูลัส ตรีโกณมิติ พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน เป็นต้น เช่นเดียวกับแวดวงฟิสิกส์ เช่น ผลงานเรื่องกลศาสตร์ความต่อเนื่อง ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ เป็นต้น ออยเลอร์ถือว่าเป็นบุคคลสำคัญคนหนึ่งในประวัติศาสตร์แห่งคณิตศาสตร์
คณิตตรรกศาสตร์
คณิตตรรกศาสตร์ ..ฝ() คือสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์ที่ศึกษาระบบรูปนัย และคุณลักษณะที่ระบบดังลฝฝกล่าวจะสามารถใช้เพื่อแสดงมโนทัศน์ของบทพิสูจน์ และการคำนวณในส่วนที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์
สถิติศาสตร์
สถิติศาสตร์ () เป็นการศึกษาการเก็บ การวิเคราะห์ การตีความ การนำเสนอและการจัดระเบียบข้อมูล ในการประยุกต์สถิติศาสตร์กับปัญหาทางวิทยาศาสตร์ อุตสาหกรรมหรือสังคม ฯลฯ จำเป็นต้องเริ่มด้วยประชากรหรือกระบวนการที่จะศึกษา ประชากรเป็นได้หลากหลาย เช่น "ทุกคนที่อาศัยอยู่ในประเทศหนึ่ง" หรือ "ทุกอะตอมซึ่งประกอบเป็นผลึก" สถิติศาสตร์ว่าด้วยทุกแง่มุมของข้อมูลซึ่งรวมการวางแผนการเก็บข้อมูลในแง่การออกแบบการสำรวจและการทดลอง
ทฤษฎีความผูกพัน
เริ่มตั้งแต่ปลายคริสต์ทศวรรษ 1980 ทฤษฎีความผูกพันและจิตวิเคราะห์ก็ได้สัมพันธ์ใกล้ชิดกันยิ่งขึ้น โดยเหตุความคิดที่มีร่วมกันกับนักทฤษฎีและนักวิจัยเรื่องความผูกพัน และความเปลี่ยนแปลงสำคัญที่เกิดในจิตวิเคราะห์
คือ แบบจำลองทางจิตวิเคราะห์คือ Object relations ซึ่งเน้นความสำคัญของความสัมพันธ์กับคนอื่นโดยเฉพาะ ได้กลายเป็นทฤษฎีหลัก ซึ่งเชื่อมกับความเข้าใจที่กำลังเพิ่มขึ้นในวงจิตวิเคราะห์ ถึงความสำคัญของพัฒนาการของทารกโดยความสัมพันธ์และโดยเครื่องหมายภายในที่เป็นตัวแทนสิ่งภายนอก
คือ วงการจิตวิเคราะห์ได้ยอมรับสภาพแวดล้อมในชีวิตเบื้องต้นว่าเป็นตัวการในพัฒนาการของเด็ก รวมถึงปัญหาการบอบช้ำทางจิตใจในวัยเด็กด้วย
ดังนั้น จึงเกิดคำอธิบายทางจิตวิเคราะห์ในเรื่องระบบความผูกพันและวิธีการรักษา โดยเกิดขึ้นพร้อมกับความเข้าใจว่าจำเป็นต้องมีการวัดผลของการรักษา
คณิตศาสตร์ประกันภัย
คณิตศาสตร์ประกันภัย () เป็นศาสตร์ที่ผสมผสานระหว่างสถิติศาสตร์และคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับการคาดคะเนความเสี่ยงที่อาจเกิดขึ้นในอนาคต โดยทำให้เหตุการณ์ในอนาคตเป็นเหตุเป็นผลในรูปของการเงิน โดยการพัฒนาตัวแบบทางคณิตศาสตร์มาประเมินสถานการณ์ทางธุรกิจ โดยคิดถึงความไม่แน่นอนของเหตุการณ์ และสามารถที่จะวิเคราะห์เหตุการณ์ในอดีต ประเมินความเสี่ยงในปัจจุบัน และสร้างโมเดลคาดการณ์เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นได้ในอนาคต ซึ่งก็ทำงานได้ในองค์กรที่แตกต่างกัน คือ บริษัทประกันชีวิต, บริษัทให้คำปรึกษา, บริษัทประกันวินาศภัย และบริษัททางการเงินอื่นๆ
สัญกรณ์โอใหญ่
ในวิชาทฤษฎีความซับซ้อนและคณิตศาสตร์ สัญกรณ์โอใหญ่ () เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ที่ใช้บรรยายพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชัน โดยระบุเป็นขนาด (magnitude) ของฟังก์ชันในพจน์ของฟังก์ชันอื่นที่โดยทั่วไปซับซ้อนน้อยกว่า สัญกรณ์โอใหญ่เป็นหนึ่งในสัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ หรืออาจเรียกว่า สัญกรณ์ของลันเดา หรือ สัญกรณ์ของบัคแมนน์-ลันเดา (ตั้งชื่อตามเอ็ดมุนด์ ลานเดาและเพาล์ บาคมันน์) สัญกรณ์โอใหญ่ใช้ในการเขียนเพื่อประมาณพจน์ในคณิตศาสตร์ ประยุกต์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อใช้อธิบายความเร็วประมาณในการทำงานของโปรแกรมในกรณีต้องประมวลผลข้อมูลจำนวนมาก และใช้เพื่ออธิบายประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีหรือโครงสร้างข้อมูลนั้น ๆ
ทฤษฎีการคำนวณ
นอกจากนี้ ยังเป็นที่เชื่อกันอีกว่า ทุกๆ โมเดลการคำนวณที่ "สมเหตุสมผล" จะมีความสามารถเทียบเท่ากับเครื่องจักรทัวริ่ง ซึ่งความเชื่อนี้เรียกว่า ข้อปัญหาของเชิร์ช-ทัวริง () ศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับขอบเขตของปัญหาที่คำนวณได้ด้วยโมเดลของเครื่องจักรแบบต่างๆนั้นคือ ทฤษฎีการคำนวณได้
ปัญหาการตัดสินใจ
การพิจารณาว่าปัญหาการตัดสินใจหนึ่งๆ เป็นปัญหาที่มีความซับซ้อนอย่างไรเมื่อเทียบกับปัญหาการตัดสินใจอื่นๆ เป็นประเด็นที่สำคัญในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ จึงได้นิยามศัพท์คำว่าความบริบูรณ์ของปัญหา โดยนิยามว่า
ทฤษฎีเกม
ในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเกม (อังกฤษ: game theory) เป็นการจำลองสถานการณ์ทากลยุทธ์ หรือเกมคณิตศาสตร์ ซึ่งความสำเร็จในการตัดสินใจของแต่ละบุคคลขึ้นอยู่กับทางเลือกของบุคคลอื่น แต่ละฝ่ายต่างก็พยายามแสวงหาผลตอบแทนให้ได้มากที่สุด ทฤษฎีเกมมีการใช้ในทางสังคมศาสตร์ (ที่โดดเด่นเช่น เศรษฐศาสตร์ การจัดการ การวิจัยปฏิบัติการ รัฐศาสตร์และจิตวิทยาสังคม) เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์รูปนัยอื่น ๆ (ตรรกะ วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และสถิติ) และชีววิทยา (โดยเฉพาะอย่างยิ่งชีววิทยาวิวัฒนาการและนิเวศวิทยา) แม้ว่าเดิมทฤษฎีเกมจะถูกพัฒนาขึ้นเพื่อวิเคราะห์การแข่งขันซึ่งบุคคลหนึ่งได้มากกว่าที่อีกฝ่ายหนึ่งเสีย แต่ก็ได้มีการขยายเพื่อให้ครอบคลุมถึงปฏิสัมพันธ์หลายรูปแบบ ซึ่งถูกจัดแบ่งประเภทตามเกณฑ์หลายแบบ 
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีเกมแต่เดิมนั้นจะจำกัดความและศึกษาถึงสมดุลในเกมเหล่านี้ ในสภาพสมดุลทางเศรษฐศาสตร์ ผู้เล่นเกมแต่ละคนจะปรับใช้กลยุทธ์ที่ไม่สามารถเพิ่มผลตอบแทนของผู้เล่นนั้นได้ โดยให้กลยุทธ์ของผู้เล่นอื่นด้วย แนวคิดสมดุลจำนวนมากถูกพัฒนาขึ้น (ที่มีชื่อเสียงที่สุด คือ จุดสมดุลของแนช) เพื่ออธิบายถึงลักษณะของสมดุลทางกลยุทธ์ แนวคิดสมดุลเหล่านี้มีแรงผลักดันแตกต่างกันขึ้นอยู่กับสาขาที่นำไปประยุกต์ ถึงแม้จะพบว่ามีความสอดคล้องกันบ่อยครั้งก็ตาม วิธีปฏิบัตินี้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์ และได้มีการโต้แย้งดำเนินต่อไปถึงความเหมาะสมของแนวคิดสมดุลหนึ่ง ๆ ความเหมาะสมของสมดุลทั้งหมดร่วมกัน และประโยชน์ของแบบจำลองคณิตศาสตร์ในทางสังคมศาสตร์
Representativeness heuristic
งานวิจัยปี ค.ศ. 1993 แสดงหลักฐานว่า ฮิวริสติกนี้อาจเป็นเหตุของเหตุผลวิบัติโดยประพจน์เลือก 
คือ นักวิจัยพบว่า ผู้ร่วมการทดลองประเมินว่า คนที่มีความเป็นตัวแทนของผู้มีสถิติศาสตร์เป็นวิชาเอก (เช่น ฉลาดมาก เข้าการแข่งขันคิดเลข) ระดับสูง มีโอกาสที่จะมีสถิติศาสตร์เป็นวิชาเอกมากกว่ามีสังคมศาสตร์เป็นวิชาเอก (ซึ่งรวมสถิติศาสตร์เข้าไว้ด้วย) แต่จะไม่คิดว่า คนนี้มีโอกาสที่จะมีภาษาฮีบรูเป็นวิชาเอก สูงกว่ามีมนุษย์ศาสตร์เป็นวิชาเอก (ซึ่งรวมภาษาฮีบรูไว้ด้วย)
ดังนั้น เมื่อบุคคลเป้าหมายมีความเป็นตัวแทนในระดับสูงกับประเภทนั้น ๆ เท่านั้น ที่ประเภทนั้นจะรับการประเมินว่า มีความน่าจะเป็นสูงกว่าประเภทใหญ่ที่รวมเอาประเภทนั้นเข้าไว้ด้วย
การประเมินที่ผิดผลาดเหล่านี้ ดำรงอยู่แม้ว่าผู้ร่วมการทดลองจะเสียเงินจริง ๆ เมื่อทายค่าความน่าจะเป็นผิดพลาด
การลดรูป (ความซับซ้อน)
การลดรูปทั้งสามแบบถูกจัดลำดับตามความรุนแรงของเงื่อนไขในการลดรูป (การลดรูปแบบเลวินมีเงื่อนไขที่รุนแรงที่สุด) แต่การลดรูปที่นักเรียนส่วนใหญ่ได้เรียนกันในชั้นเรียนคือ การลดรูปคุก และการลดรูปคาร์ป ซึ่งสามารถนำมาใช้ได้ง่ายกว่า และเพียงพอในการนำมาศึกษาเอ็นพีบริบูรณ์ นอกจากนี้ยังมีการลดรูปอีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมในหมู่ของ "นักทฤษฎีการคำนวณได้" (Computability Theorist) ก็คือ การลดรูปแบบตารางค่าความจริง (Truth table reduction or tt-reduction) ซึ่งมีระดับความรุนแรงของเงื่อนไขมากกว่าการลดรูปทัวริง แต่น้อยกว่าการลดรูปแบบเอ็ม แต่เราไม่ขอกล่าวถึงรายละเอียดในที่นี้
การวิเคราะห์ขั้นตอนวิธี
ในศาสตร์คอมพิวเตอร์ การวิเคราะห์ขั้นตอนวิธี เป็นการตัดสินเกี่ยวกับจำนวนทรัพยากร (เช่น เวลา หรือเนื้อที่หน่วยความจำ) ที่จำเป็นต้องใช้ประมวลผลมัน ขั้นตอนวิธีส่วนใหญ่ถูกออกแบบให้ทำงานกับอินพุตที่มีความยาวเท่าไรก็ได้ โดยปกติประสิทธิภาพ หรือเวลาการทำงานของขั้นตอนวิธีเขียนในรูปฟังก์ชันความสัมพันธ์ของความยาวอินพุตกับจำนวนขั้นตอนที่ต้องใช้ในการทำงานนั้น (ความซับซ้อนด้านเวลา) หรือตำแหน่งของเนื้อที่จัดเก็บ (ความซับซ้อนด้านเนื้อที่)
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ formula_69 เป็นเซตเปิดใน formula_70 และ formula_71 เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ formula_65 ใน formula_69 ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง formula_74 ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก
การลดรูป (ความซับซ้อน)
การลดรูปในเชิงของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณนั้นมีมากมายหลายรูปแบบ แต่ละแบบจะนำมาใช้ในแง่ที่แตกต่างกัน แล้วแต่ว่าเรากำลังสนใจปัญหาแบบใด เช่นถ้าเราสนใจปัญหาของการนับ เราจะบอกว่าการนับจำนวนในเซ็ต A ลดรูปไปเป็นการนับจำนวนในเซ็ต B รูปแบบของการลดรูปที่เรานำมาใช้ก็ควรเป็นการลดรูปที่ไม่ทำให้จำนวนนั้นเปลี่ยนไป การลดรูปแบบนี้เรียกว่า (parsimonious reduction) การลดรูปที่มักจะใช้กันบ่อยๆก็คือทั้งสามแบบที่กล่าวมานี้เป็นการลดรูปแบบใช้เวลาเป็นพหุนามกับขนาดของอินพุต และถูกสร้างขึ้นมาเพื่อใช้นิยามความยากของเอ็นพี การลดรูปคุกจะมีลักษณะเหมือนกับการลดรูปทัวริง (Turing reduction) ในเชิงของทฤษฎีการคำนวณได้ (ที่ไม่สนใจว่าเวลาในการทำงานที่ใช้เป็นเท่าไร แต่จะเน้นที่การคำนวณได้เท่านั้น) การลดรูปคาร์ปจะเหมือนกับการลดรูปแบบเอ็ม (m-reduction or many-to-one reduction)
พลศาสตร์ของไหลเชิงคณนา
พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (CFD ซี่งย่อมาจาก Computational Fluid Dynamics) คือสาขาหนึ่งในกลศาสตร์ของไหลที่ใช้กระบวนการเชิงตัวเลขและขั้นตอนวิธี (algorithm) ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการไหลของของไหล เพื่อการนี้ คอมพิวเตอร์จะถูกนำมาใช้เพื่อทำการคำนวณนับล้านๆครั้ง ก่อนที่จะสร้างแบบจำลองการทำปริกิริยาของของไหลและก๊าซต่อขอบผิวซึ่งกำหนดโดยสภาวะของขอบเขต แต่ทว่า ผลลัพธ์ที่ได้นั้นก็ยังเป็นเพียงการประมาณการณ์ที่ได้จากในหลายๆกรณีเท่านั้นถึงแม้ว่าจะใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ความเร็วสูงในการคำนวณก็ตาม อย่างไรก็ตาม การพัฒนาของโปรแกรมนี้ในปัจจุบัน ความแม่นยำและความเร็วในการคำนวณสถานะการณ์ที่ซับซ้อนนั้นได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นเรื่อยๆ เช่นการจำลองการไหลแบบ หรือ Transonic โปรแกรมนี้แต่เดิมถูกนำมาใช้กับการจำลองกังหันลม แต่ปัจจุบันถูกนำมาใช้ในการทดสอบการบินด้วย
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
กลุ่มความซับซ้อนของปัญหา เอ็นพี (NP) คือเซตของปัญหาการตัดสินใจที่สามารถแก้ปัญหาได้โดยใช้เครื่องจักรทัวริงเชิงไม่กำหนดในเวลาพหุนาม ปัญหาที่อยู่ในกลุ่มนี้หลายปัญหาเป็นปัญหาที่มนุษย์ต้องการเป็นอย่างมากที่จะแก้ให้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ตัวอย่างของปัญหาในกลุ่มนี้ก็คือ ปัญหาความสอดคล้องแบบบูล (Boolean satisfiability problem) ปัญหาเส้นทางของฮามิลตัน () และ ปัญหาจุดยอดปกคลุม () ปัญหาทุกปัญหาในกลุ่มนี้สามารถตรวจคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ
ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์
ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ () เป็นสาขาวิชาฟิสิกส์ที่ใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา โดยอาจแบ่งได้เป็น 2 ยุค คือยุคแรกหรือยุคคลาสสิก ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ได้รับการคิดค้นเพื่อใช้แก้ปัญหาทางกลศาสตร์ ทฤษฎีไฟฟ้าแม่เหล็ก และอุณหพลศาสตร์เป็นต้น และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ยุคหลังหรือยุคใหม่ได้รับการคิดค้นเพื่อแก้การปัญหาในส่วนกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีสัมพัทธภาพ รวมทั้งทฤษฎีสตริงและทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง นักคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียง ได้แก่ แบลซ ปัสกาล, ไอแซก นิวตัน, เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์, โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์, ฌ็อง เลอ รง ดาล็องแบร์, อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์, เจมส์ คลาร์ก แมกซ์เวลล์, ลอร์ด เคลวิน, โจซิอาห์ วิลลาร์ด กิบส์, ดาวิท ฮิลเบิร์ท, อ็องรี ปวงกาเร, สตีเฟน ฮอว์กิง เป็นต้น
สาขาของคณิตศาสตร์
สาขาของคณิตศาสตร์ แบ่งตาม 2000 Mathematics Subject Classification (MSC2000)
วิชาการบัญชี
วิชาการบัญชี เป็นวิชาศึกษาเรื่อง ทรัพย์สิน หนี้สิน ทุนของกิจการ รายรับ และ รายจ่าย โดยการศึกษานั้นจะอิงกับ GAAP พร้อมทั้งดูตัวกฎหมายและข้อบังคมในแต่ล่ะประเทศ ทั้งนี้ในวิชาการบัญชียังได้แตกแกเป็นหลายแขนง บัญชีการตรวจสอบ บัญชีธนาคาร บัญชีต้นทุน(บัญชีบริหาร) ฯลฯ ทั้งนี้ วิชาการบัญชีได้แบ่งได้อย่างเด่งชัดอยู่ 2 ประเภท คือ การทำบัญชี กับการตรวจสอบบัญชี
การเรียนรู้ของเครื่อง
การวิเคราะห์เชิงคำนวณของการเรียนรู้ของเครื่อง และการวัดประสิทธิภาพการเรียนรู้ เป็นอีกสาขาหนึ่งทางวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์สายทฤษฎีที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีการเรียนรู้เชิงคำนวณ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีก็ไม่สามารถรับประกันประสิทธิภาพของอัลกอริทึมได้เพราะข้อมูลนั้นมีจำกัดและอนาคตมีความไม่แน่นอน แต่ทฤษฎีก็สามารถบอกขอบเขตบนความน่าจะเป็นได้ว่า ประสิทธิภาพน่าจะอยู่ในช่วงใด นอกจากนี้ นักวิทยาศาสตร์ด้านนี้ยังได้ศึกษาดูต้นทุนทางเวลาและความเป็นไปได้ของการเรียนรู้ของเครื่องด้วย โดยการคำนวณที่ถือว่าเป็นไปได้ในการเรียนรู้นั้นจะต้องสามารถเรียนรู้ได้ในเวลาโพลิโนเมียล
ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ นั้นแนวคิดของความต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้มีความเหมาะสมกับคณิตศาสตร์แขนงนั้นๆ การดัดแปลงที่พบได้บ่อยที่สุดมีอยู่ในวิชาทอพอโลยี ซึ่งท่านสามารถหาข้อมูลเพิ่งเติมได้ในบทความเรื่อง ความต่อเนื่อง (ทอพอโลยี) อนึ่ง ในทฤษฎีลำดับโดยเฉพาะในทฤษฏีโดเมน นิยามของความต่อเนื่องที่ใช้คือความต่อเนื่องของสก็อตซึ่งเป็นนิยามที่สร้างขึ้นจากความต่อเนื่องที่ถูกอธิบายในบทความนี้อีกทีหนึ่ง
อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ
อันเดรย์ นิโคลาเยวิช คอลโมโกรอฟ (รัสเซีย: Андре́й Никола́евич Колмого́ров; อังกฤษ: Andrey Nikolaevich Kolmogorov), เกิดเมื่อวันที่ 25 เมษายน ค.ศ. 1903 เสียชีวิต 20 ตุลาคม ค.ศ. 1987, เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ยักษ์ใหญ่ในวงการคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยมีผลงานโดดเด่นมากในงาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นและทอพอโลยี. อันที่จริงแล้ว คอลโมโกรอฟมีผลงานในแทบทุกแขนงของคณิตศาสตร์ เช่น ตรรกศาสตร์, อนุกรมฟูรีเย, ความปั่นป่วน (turbulence), กลศาสตร์คลาสสิก นอกจากนี้ยังเป็นหนึ่งในผู้คิดค้น ความซับซ้อนแบบคอลโมโกรอฟ ร่วมกับ เกรโกรี ไชตัง และ เรย์ โซโลโมนอฟ ในช่วงช่วงปี ค.ศ. 1960 ถึง ค.ศ. 1970.
การยกกำลัง
โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า
การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้
พี (ความซับซ้อน)
หากเราสนใจกลุ่มความซับซ้อนพี แบบที่เป็น non-uniform เราจะได้นิยามของ P/poly ซึ่งเป็นกลุ่มความซับซ้อนที่ปัญหาภายในกลุ่มสามารถแก้ได้ด้วยกลุ่มของวงจร (family of circuit) ที่มีขนาดเป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต (แท้จริงแล้ว พี/โพลี สามารถนิยามได้อีกแบบหนึ่งด้วยการใช้เครื่องจักรทัวริงที่รับคำแนะนำได้ และนิยามทั้งสองแบบนี้พิสูจน์ได้ว่าเหมือนกัน)
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
กลุ่มความซับซ้อนของปัญหา พี (P) คือเซตของปัญหาการตัดสินใจที่สามารถหาคำตอบได้ ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามของขนาดข้อมูลป้อนเข้า ด้วยเครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนด (deterministic turing machine) นิยามนี้สอดคล้องกับแนวคิดของปัญหาที่สามารถหาคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ