ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบันใช่หรือไม่?
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง และนำไปสู่จำนวน "e" ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว
การแจกแจงเอกรูป (ต่อเนื่อง)
ตัวแปรเชิงสุ่ม formula_1 มีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งหรืออยู่ในเซตของช่วงใดช่วงหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันเสมอ ซึ่งอยู่ในช่วงของเลขจำนวนจริง 2 จำนวนคือ formula_2 และ formula_3 โดยที่ apdf ของ formula_1 คงที่จาก formula_2 ถึง formula_3 แล้ว formula_1 จะมีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นดังนี้
และมีค่าคาดหวังและค่าความแปรปรวนดังนี้
เศรษฐมิติ
ตัวอย่าง กฎของโอคุน (Okun's law) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างการเติบโตของ GDP และอัตราการว่างงาน ความสัมพันธ์นี้ถูกแทนที่ได้ด้วยการถดถอยเชิงเส้นซึ่งการเปลี่ยนแปลงของอัตราการว่างงาน (formula_1) เป็นฟังก์ชันของจุดตัดแกนตั้ง (formula_2) ค่าของอัตราการเติบโตของ GDP (Growth) คูณด้วยค่าสหสัมพันธ์ความชัน formula_3 และค่าความคลาดเคลื่อน formula_4 ดังนี้
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ "f"("x") ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้
ลำดับการดำเนินการ
เมื่อพบวงเล็บหรือเลขยกกำลังในนิพจน์ ให้ดำเนินการคำนวณนิพจน์ย่อยที่อยู่ในวงเล็บหรือคำนวณเลขยกกำลังก่อน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นสาทิสสัณฐาน (holomorphic) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวนยกเว้นค่า 0 สิ่งนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทเล็กของปิการ์ (Picard's little theorem) ซึ่งกล่าวว่า ฟังก์ชันทั่วที่ไม่เป็นค่าคงตัวใด ๆ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน โดยอาจยกเว้นค่าใดค่าหนึ่ง
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
ซึ่ง formula_56 เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต formula_57 แจกแจงให้ซับเซต formula_58 ซึ่งถูกแจกแจงโดย
ฟังก์ชันบ่งชี้
ฟังก์ชันบ่งชี้ () หรือบางครั้งเรียกว่า "ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ" คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต "X" ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย "A" ใน "X" หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต "A" หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต "A" แต่ยังคงอยู่ในเซต "X"
สัญกรณ์โอใหญ่
สัญกรณ์โอใหญ่ยังใช้เพื่อแสดงพจน์ของค่าคลาดเคลื่อนโดยประมาณในฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น
การยกกำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้
มี "x" เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง
การยกกำลัง
กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 2
ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและพิกัดของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ในบางกรณีคำว่า "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ "cb" เมื่อ "b" คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น "e" ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้
ตัวบ่งปริมาณ (บางตัว)
ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านซ้ายของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดเป็นจุดเชื่อมด้านขวา
การยกกำลัง
ลอการิทึมธรรมชาติ ln ("x") เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" ซึ่งนิยามไว้สำหรับ "b" > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข
ถ้า "b" ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า
สำหรับจำนวนจริง "x" แต่ละจำนวน
ผลรวม
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)
แฟกทอเรียล
เมื่อ "n" มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า "n"! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี "n" ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
สำหรับกรณีพิเศษเมื่อ "x" = "y" = 1 จะได้
ฟังก์ชันบ่งชี้
ถ้า "A" และ "B" ต่างก็เป็นเซตย่อยของ "X" จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)
การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
ถ้าจำนวน b บิตเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ 2 ตัวที่มีขนาดใกล้เคียงกันแล้ว จะไม่มีขั้นตอนวิธีใดๆ ที่สามารถแยกตัวประกอบมันได้ภายในเวลาแบบพหุนาม (polynomial time) กล่าวคือ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ภายใน O (b) เมื่อ k คือค่าคงที่ค่าหนึ่ง ปัจจุบันมีขั้นตอนวิธีหลายขั้นตอนที่เร็วกว่า O ((1+ε) ) เมื่อ ε คือจำนวนบวก กล่าวคือ มีประสิทธิภาพเชิงเวลาแบบใต้เลขชี้กำลัง (sub-exponential)
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
จะเป็นเท็จ หาก formula_61 ไม่ใช่ formula_48
ตัวบ่งปริมาณ (หนึ่งตัว)
ลดลงมาอีกจะได้
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี "x" โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น "x"/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+"x"/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+"x"/12) ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+"x"/365) และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้
นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์ สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์
การยกกำลัง
เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น "กำลัง" ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
เศษส่วนต่อเนื่องนัยทั่วไปของ "e" ต่อไปนี้ มีค่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว
การวิเคราะห์อภิมาน
การแจกแจงของขนาดผล (distribution of effect sizes) สามารถเห็นได้ด้วยการวาด funnel plot ซึ่งเป็นแผนภาพกระจายของขนาดตัวอย่าง (sample size) และขนาดผล (effect size)
คือจริง ๆ แล้ว ในขนาดผลบางอย่าง ตัวอย่างยิ่งมีน้อยเท่าใด ความน่าจะเป็นก็จะสูงขึ้นเท่านั้นในการพบขนาดผลนั้น
ในขณะเดียวกัน ขนาดผลยิ่งสูงขึ้นเท่าไร ความน่าจะเป็นที่งานที่มีตัวอย่างมากจะแสดงผลที่ระดับนั้นโดยสุ่มก็เป็นไปได้น้อยลงเท่านั้น
ถ้ามีงานที่แสดงผลเปล่าที่ไม่ได้พิมพ์เป็นจำนวนมาก งานที่แสดงผลบวกที่เหลือจะทำให้เกิด funnel plot ที่ขนาดผลจะมีลักษณะเป็นสัดส่วนผกผันกับขนาดตัวอย่าง
กล่าวโดยอีกนัยก็คือ ขนาดผลยิ่งสูงขึ้นเท่าไร ขนาดตัวอย่างก็น้อยลงเท่านั้น
ดังนั้นส่วนหนึ่งของผลที่แสดงนัยสำคัญนั้น จะเป็นค่าที่เกิดขึ้นโดยสุ่มและไม่มีความสมดุลใน plot เพราะงานวิจัยแสดงผลลบไม่ได้รับการพิมพ์
โดยเปรียบเทียบกัน ถ้างานวิจัยโดยมาก (ทั้งผลบวกผลลบผลเปล่า) ได้รับการพิมพ์ ขนาดผลที่แสดงจะไม่มีอิทธิพลจากขนาดตัวอย่าง และ funnel plot จะออกมาสมดุล
ดังนั้น ถ้าไม่มีความเอนเอียงในการตีพิมพ์ ก็จะไม่มีความสัมพันธ์กันระหว่างขนาดตัวอย่างและขนาดผล 
ดังนั้น ความสัมพันธ์เชิงลบระหว่างขนาดตัวอย่างและขนาดผลจึงบอกเป็นนัยว่า งานศึกษาที่พบนัยสำคัญในผล มีการตีพิมพ์มากกว่า
มีวิธีการหลายอย่างที่สามารถใช้แก้ปัญหาความเอนเอียงในการตีพิมพ์
เช่นการตัดข้อมูลออกแต่จะต้องเดาว่า ควรจะตัดออกที่จุดไหน
การยกกำลัง
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น
จำนวนจริง
ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันกำเนิด
ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันกำเนิด (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation)
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง และ ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ formula_1 และ formula_2 ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :
การยกกำลัง
การพิสูจน์อย่างสั้นว่า "e" ยกกำลังจำนวนเต็มบวก "k" เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" แสดงได้ดังนี้
แสดงให้เห็นว่า "e" สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ "x" และ "y" เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก
ลิมิตของฟังก์ชัน
ให้ "f"("x") เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)
การยกกำลัง
หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 0 ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร "x" ไม่มีลิมิตที่จุด (0, 0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
เว้นเสียแต่ว่าจะกำหนดให้ใช้เฉพาะ A กลับด้านเท่านั้น
การยกกำลัง
เลขยกกำลัง "a" อาจนิยามให้ "n" เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า "a" ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง "a" กับ "n" ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน "a" เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน "a" สามารถนิยามเลขชี้กำลัง "n" ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้
การก้าวหน้าเลขคณิต
ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต () หรือ ลำดับเลขคณิต () คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2
การยกกำลัง
กำลังของจำนวนจริงบวก "a" ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ "m"/"n" ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ
เมื่อ "m" เป็นจำนวนเต็มและ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
จำนวนจุดลอยตัว
การตระหนักถึงการสูญเสียเลขนัยสำคัญที่สามารถเกิดขึ้นก็มีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราบวกจำนวนขนาดใหญ่มากกับจำนวนขนาดเล็กมากเมื่อเปรียบเทียบกับผลบวก จะทำให้เกิดการสูญเสียเลขนัยสำคัญ การบวกโดยทั่วไปจะเป็นเหมือนเช่นนี้
ปัญหาวันเกิด
การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ค่าคงตัว e ≈ 2.718281828)
สามารถประมาณค่า "e" อันดับที่หนึ่งเมื่อ "x" ≪ 1 ดังนี้
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
เมื่อ formula_60 อยู่ในอิมเมจของ formula_61 ซึ่งอยู่ภายใต้ formula_62 ในทำนองเดียงกัน หากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด formula_63 เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต formula_57 แจกแจงให้ซับเซต formula_65 ซึ่งถูกแจกแจงโดย
ซิปเปอร์
การเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันเป็นการเขียนโปรแกรมที่ทำงานคล้ายกับฟังก์ชันของคณิตศาสตร์ โดยมีแนวคิดสำคัญว่าให้หลีกเลี่ยงการเกี่ยวข้องกับสถานะของโปรแกรม (state) และหลีกเลี่ยงการเปลี่ยนแปลงข้อมูลต่าง ๆ โดยคำสั่งหนึ่งที่ได้รับพารามิเตอร์เหมือนกันต้องให้คำตอบเดียวกัน อย่างเช่น ในคณิตศาสตร์ ถ้าให้ f(x) = x + 4 และ x = 4 จะได้ f(4) = 8 เสมอ แสดงว่าถ้าสร้างคำสั่ง foo(Object e) ขึ้นมา จะได้ว่าคำสั่ง foo มีการทำงานเหมือนเดิมตราบที่พารามิเตอร์คือ e ยังเป็นค่าเดิม ดังนั้นจะพบว่าการเขียนโปรแกรมแบบนี้จะมีตัวแปรอยู่ในโปรแกรมน้อยเพื่อเป็นการหลีกเลี่ยงการเปลี่ยนแปลงค่าในข้อมูลและสามารถมีฟังก์ชันประกอบ (Composite function) อยู่ในส่วนการทำงานของโปรแกรมได้มากมายความเร็วในการทำงานส่วนใหญ่จะเป็น O(1) ซึ่งเป็นเพราะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันซึ่งเปรียบเสมือนการใส่ข้อมูลตัวนั้นและที่อยู่ของมันที่อาจเป็นในลักษณะของฟังก์ชันประกอบ (Composite function) เพื่อให้โปรแกรมทำงานตามบริการที่เราต้องการ แต่ทั้งนี้ก็ขึ้นอยู่กับการออกแบบโครงสร้างข้อมูลของโปรแกรมเมอร์แต่ละคนด้วยว่าจะวางโครงสร้างไว้อย่างไร บางคำสั่งจึงไม่จำเป็นต้องมีการทำงานเป็น O(1) เสมอไป
ฟังก์ชันแกมมา
ฟังก์ชันแกมมา (, "G ตัวใหญ่") เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเชิงซ้อน หรือสามารถกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นการเติมเต็มฟังก์ชันแฟกทอเรียลของค่า "n" ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "z" ซึ่งส่วนจริงเป็นค่าบวก ได้นิยามไว้ว่า
นิยามดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์สามารถขยายไปได้ถึงระนาบจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มลบ สำหรับกรณีถ้า "z" มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้
ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแฟกทอเรียล
−1
การยกกำลังด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์สามารถขยายไปสู่จำนวนเต็มลบได้ เรากำหนดนิยามไว้ว่า "x" = 1/"x" หมายความว่า เรานิยามให้การยกกำลังจำนวนใดจำนวนหนึ่งด้วย −1 จะได้ผลอย่างเดียวกับการหาส่วนกลับของมัน นิยามนี้ก็ได้ขยายไปสู่จำนวนเต็มลบ ทำให้กฎ "x""x" = "x" ยังคงอยู่เมื่อ "a", "b" เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
อนุพันธ์
ซึ่ง เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น ใด ๆ
ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด
ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด () คือฟังก์ชันที่ให้ค่าจำนวนเต็มสำหรับจำนวนจริง "x" ใด ๆ เขียนสัญกรณ์แทนได้หลายอย่างเช่น ["x"] , ||"x"|| , ⌊"x"⌉, nint ("x"), หรือ round ("x") เป็นต้น และเพื่อไม่ให้เกิดความกำกวมเมื่อดำเนินการบนจำนวนเต็มครึ่ง (จำนวนเต็มที่บวก 0.5) ฟังก์ชันนี้จึงนิยามให้มีค่าไปยังจำนวนคู่ที่ใกล้เคียงที่สุด ตัวอย่างในกรณีนี้เช่น
อนุพันธ์
ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป
ฟังก์ชันบ่งชี้
สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น
ฟังก์ชันแกมมา
สัญกรณ์ Γ ("z") กำหนดขึ้นโดยอาเดรียง-มารี เลอช็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) ซึ่งใช้อักษรกรีก แกมมา ตัวใหญ่ (Γ) แทนชื่อฟังก์ชัน โดยนิยามไว้ว่า ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน "z" เป็นค่าบวก (ℜ{"z"} > 0) ดังนั้นปริพันธ์นี้
จะลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยการหาปริพันธ์เป็นส่วนจะสามารถแสดงได้ว่า
สมการเชิงฟังก์ชันนี้เป็นข้อสรุปทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ "n"! = "n" ("n" − 1) ! ของฟังก์ชันแฟกทอเรียล เราสามารถวิเคราะห์การประเมินค่าของ Γ (1) ได้ว่า
โดยการรวมความสัมพันธ์ข้างต้นสองประการ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลเป็นกรณีพิเศษอันหนึ่งของฟังก์ชันแกมมา ดังนี้
สำหรับทุกค่า "n" ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น Γ (5) = 4! เป็นต้น
ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถจัดเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนค่า "x" โดยมี "โพล" อยู่บน "x" = −"n" (เมื่อ "n" = 0, 1, 2, 3, ...) และมี "ส่วนตกค้าง" อยู่ที่ formula_7 ดังนั้นเราจะสามารถขยาย Γ ("z") ไปเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิกโดยนิยามให้มีค่าสำหรับทุกๆ ค่า "z" ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อ "z" = 0, −1, −2, −3, ... ตามการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ซึ่งส่วนขยายดังกล่าวมักเป็นการอ้างถึงฟังก์ชันแกมมาโดยปกติ
การยกกำลัง
ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 0 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น
จำนวนจุดลอยตัว
"ซิกนิฟิแคนด์" คูณด้วย "ฐาน" ที่ยกกำลังด้วย "เลขชี้กำลัง" จะเทียบเท่ากับการเลื่อนจุดฐานจากตำแหน่งสมมติ ไปเป็นจำนวนหลักเท่ากับค่าของเลขชี้กำลัง โดยเลื่อนไปทางขวาถ้าเลขชี้กำลังเป็นบวกหรือไปทางซ้ายถ้าเลขชี้กำลังเป็นลบ
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะเป็นคาบ (periodic) ซึ่งมีคาบบนจำนวนจินตภาพเป็น 2π"i" และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสูตร
เมื่อ "a" และ "b" เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
สังเกตว่าเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างสองเซต "X" และ "Y" มักจะแสดงด้วยเซตย่อยของ "X"×"Y" นิยามอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันนั้นระบุฟังก์ชัน "f" ด้วยกราฟของมันชนิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มักใช้กันเช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร พหุนาม เลขยกกำลัง ลอการิทึม ราก อัตราส่วน และตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่คำนี้จะมีความหมายต่างออกไปตามสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่เป็นพื้นฐาน (ฟังก์ชันพิเศษ) เช่น ฟังก์ชันเบสเซิล และฟังก์ชันแกมมา
ปริพันธ์
ปริพันธ์ของฟังก์ชันจำนวนจริงบวกที่ต่อเนื่อง และมีตัวแปร "x" อยู่ระหว่างจุด "a" กับจุด "b" ก็คือ พื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้น "x"="a", "x"="b", แกน "x" และเส้นโค้ง "f"("x") ดังรูป.
หรือจะกล่าวให้เป็นทางการขึ้นว่า ถ้าเราให้
แล้วปริพันธ์ของฟังก์ชัน "f" ระหว่าง "a" กับ "b" ก็คือการวัดขนาดของ "S" นั่นเอง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน
จากการใช้นิยามนี้ทำให้ง่ายต่อการแสดงว่า formula_15 ยังคงเป็นจริงบนระนาบเชิงซ้อน
ฟังก์ชันเครื่องหมาย
ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน "z" ใดๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้
ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ "z" มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ
โดยที่ arg "z" คืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ "z"
เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
การเขียนตัวเลขแบบมาตรฐาน "a" จะเลือกค่า "n" มาหนึ่งค่าที่ทำให้ค่าสัมบูรณ์ของ "a" มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 แต่ 10 (1 ≤ a < 10) นั่นคือ 350 จะสามารถเขียนได้เป็น 3.5 เพียงแบบเดียว รูปแบบนี้ช่วยให้สามารถเปรียบเทียบค่าระหว่างสองจำนวนใน "a" ที่เป็นบวกหรือลบเหมือนกัน และใช้เลขชี้กำลัง "n" เป็นตัวแทนของอันดับของขนาด (order of magnitude) ได้อย่างง่ายดาย ในสัญกรณ์แบบมาตรฐานนี้ เลขชี้กำลัง "n" จะมีค่าติดลบก็ต่อเมื่อจำนวนนั้นมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 (เช่น 0.5 เขียนแทนด้วย 5) ถ้าหากเลขชี้กำลังเป็น 0 มักจะไม่เขียนการคูณกับ
ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากพิกัดของระบบเก่าและโมเมนตัมของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต โดย "n" เป็นอนันต์ เนื่องจากลำดับของผลบวกย่อยไม่ลู่เข้าลิมิตจำกัดค่าหนึ่ง อนุกรมดังกล่าวจึงลู่ออก และไม่มีผลบวกในความหมายทั่วไป
การยกกำลัง
ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม "a" ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ "a" ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" และทำนองเดียวกัน "e" ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" ดังนั้น ln ("a") ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ "a" ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ "a" สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ "a")
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ formula_16 ส่วนแรก "e" จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม formula_17 ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้
การยกกำลัง
การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ
การยกกำลัง
ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น "n" สิ่งอันดับ ("n"-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น "S" จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก "N" ไปยัง "S" ในกรณีนี้
สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |"S"| = |"S"| เมื่อ |"X"| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ "X"; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2| = 2 เมื่อ 2 ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P ("X") คือเซตกำลังของ "X"; เซตย่อย "Y" แต่ละเซตของ "X" สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน "X" ที่ให้ค่า 1 สำหรับ "x" ∈ "Y" และค่า 0 สำหรับ "x" ∉ "Y"
ดัชนีเศรษฐกิจ
เป็นข้อมูลสะท้อนภาวะเศรษฐกิจในแต่ละช่วงเวลา ที่แสดงให้เห็นจุดสูงสุดและต่ำสุดของวัฏจักรในแต่ละรอบ ทั้งนี้ให้ดูอัตราการขยายตัวของดัชนี (six-month smoothed annualized growth rate) ของดัชนีฯ ถ้ามีค่าเป็นบวก มีความหมายว่า เศรษฐกิจขยายตัว แต่ถ้าอัตราการขยายตัวของดัชนีเป็นลบอย่างต่อเนื่องมีความหมายว่าเศรษฐกิจชะลอตัว
เป็นดัชนีการกระจาย (Diffusion Index) ซึ่งแสดงทิศทางของภาวะธุรกิจ (ดีขึ้น ไม่เปลี่ยนแปลง หรือเลวลง) ดัชนีจะมีค่าสูงสุดเท่ากับ 100 และต่ำสุด เท่ากับ 0
การอ่านค่าดัชนี ใช้ เส้นกึ่งกลาง หรือค่า 50 เป็นเกณฑ์ กล่าวคือ 
ตัวอย่างเช่น
Immiserizing growth
Immiserizing growth
เศรษฐกิจที่เจริญเติบโตจะส่งผลในทางที่เลวร้าย กว่าก่อนเกิดการเจริญเติบโต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
ถ้าการเจริญเป็นการส่งออกเพียงอย่างเดียว จะเป็นหนทางที่นำไปสู่ ความตกต่ำในอัตราการค้าของประเทศที่ส่งออก
ในบางโอกาสที่พอเหมาะพอเจาะ ซึ่งดีที่มันจะเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก
การตกต่ำของอัตราการค้า อาจจะใหญ่ยิ่งกว่าผลได้จากการค้าเสียด้วยซ้ำ สถานการณ์แบบนี้ จะยิ่งทำให้ประเทศแย่ลงกว่าก่อนที่จะมีการเติบโต
ผลลัพธ์นี้เกิดขึ้นกับประเทศที่กำลังเจริญเติบโต ซึ่งความสามารถต่างๆ ขึ้นอยู่กับอิทธิพลราคาของโลก
Harry G. Johnson, ได้ทำความเข้าใจกับเงื่อนไขนี้ และผลลัพธ์เกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1995 พบว่า มีความสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้งที่กระทบถึงกันอย่างดีระหว่าง
immeserizing growth กับ export of primary goods โดยเฉพาะอย่างยิ่งในประเทศกำลังพัฒนา
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ฟังก์ชันที่เราใช้ส่วนมักจะเป็น ฟังก์ชันหลายตัวแปร ค่าที่ได้จะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆกัน
จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ตัวแปรทั้งหมดต้องแสดงอย่างชัดแจ้งเพื่อที่จะเกิดความสัมพันธ์แบบฟังก์ชัน - ไม่มีปัจจัย "ซ่อนเร้น" อยู่
และเช่นกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่มีความแตกต่างเชิงคุณภาพระหว่างฟังก์ชันตัวแปรเดียวกับฟังก์ชันหลายตัวแปร
ฟังก์ชันสามตัวแปรจำนวนจริงนั้นก็คือฟังก์ชันของ "triple" (("x","y","z")) ของจำนวนจริง
อนุพันธ์
จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า "จุดเปลี่ยนเว้า" ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ ของฟังก์ชัน หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเว้าไปเป็นฟังก์ชันนูนหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า
การยกกำลัง
กำหนดให้ "a" เป็นจำนวนจริงบวก และ "z" เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง "a" นิยามโดย "e" เมื่อ "x" = ln ("a") เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ "e" = "a" ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น
สัญกรณ์โอใหญ่
อัตราการเติบโตของฟังก์ชันใดๆ มีค่าเป็นสัญกรณ์โอใหญ่ของอีกฟังก์ชันหนึ่งแล้ว แสดงว่าอัตราการเติบโตของฟังก์ชันใดๆนั้นจะ"โตน้อยกว่าหรือเท่ากับ"อัตราการเติบโตของฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นจึงอาจนิยามได้ว่า
อย่างไรก็ตาม นิยามนี้จำกัดเฉพาะกรณี formula_13 เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงพอต่อการอธิบายในกรณีที่ formula_19 ดังนั้นจึงอาจใช้นิยามในอีกรูปแบบ ในการขยายไปถึงสัญกรณ์โอใหญ่กณิกนันต์ ซึ่งเป็นพิจารณาอัตราการเติบโตของฟังกชันรอบ ๆ จุด a ใด ๆ
นิยามทั้งสองรูปแบบสามารถขยายไปหลายตัวแปรได้
หรือในอีกนิยามที่พิจารณาอัตราการเติบโตของฟังก์ชันรอบๆพิกัด formula_31 ใดๆว่า
การยกกำลัง
การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป "a" ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ "ฐาน" "a" และ "เลขชี้กำลัง" (หรือ "กำลัง") "n" การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ "a" คูณกันเป็นจำนวน "n" ตัว เมื่อ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน
การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย
การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย () เป็นวิธีการแทนจำนวนที่อาจติดลบได้ในหน่วยความจำ เพื่อให้สะดวกต่อการนำมาดำเนินการต่าง ๆ และมีประสิทธิภาพ วิธีการโดยทั่วไปคือแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วน โดยในส่วนแรกนั้นจะเป็นส่วนที่เรียกว่า Magnitude หรือค่าขนาดของบิตตัวเลข มีตำแหน่งอยู่ที่สามนับจากขวา และส่วนที่สองจะเรียกว่า Signed Bit หรือค่าขนาดหนึ่งบิตแทนเครื่องหมายบวกหรือลบ หรือเรียกสั้นๆ ว่าบิตเครื่องหมาย โดยที่บิตเครื่องหมายนี้จะมีค่าเป็นบิตสูงสุด มีตำแหน่งอยู่หน้าสุด ดังนั้นในตัวเลขดิจิตอลหนึ่งตัวสามารถที่จะแทนได้ทั้งค่าบวก และค่าลบ ซึ่งถ้าบิตเครื่องหมายเป็น 0 ค่าของบิตสูงสุดจะมีค่าเป็นบวก แต่ถ้าบิตเครื่องหมายเป็น 1 ค่าของบิตสูงสุดจะมีค่าเป็นลบ ไม่ว่าบิตเครื่องหมายจะเป็น 0 หรือ 1 ก็ตามค่าขนาดของบิตจะเหมือนเดิม ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จากตัวอย่างจะเป็นการแทนค่าตัวเลขดิจิตอลแบบ Sign-Magnitude System หลังจากที่ได้ดูตัวอย่างแล้วจะพบว่าความแตกต่างระหว่างบวกและลบ เช่น +12 และ -12 จะแตกต่างกันเพียงค่าของบิตเครื่องหมายเท่านั้น ส่วนค่าขนาดของบิตจะมีค่าเท่ากัน ถึงแม้ว่าระบบเลขดิจิตอลแบบนี้จะสามารถแทนค่าบวกและค่าลบได้ แต่ในการคำนวณของเครื่องคิดเลขจะไม่สามารถใช้คำนวณระบบนี้ได้
การยกกำลัง
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม
ขั้นตอนวิธีของเฟรย์วัลส์
สมมุติว่าต้องการทำขั้นตอนวิธีนี้ซ้ำกัน formula_32 ครั้ง พบว่าความน่าจะเป็นในการตอบผิดมีค่า ≤ formula_33 ซึ่งมีค่าลดลงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อเทียบกับค่า formula_32
การก้าวหน้าเลขคณิต
โดยที่สัญลักษณ์ formula_10 หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ formula_11 แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน
การก้าวหน้าเลขคณิต
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ "a" และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ "d" ดังนั้นพจน์ที่ "n" ของลำดับนี้คือ
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด
การยกกำลัง
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด "a" = "a"·"a" โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น "a" = "a"
การหาค่าเหมาะที่สุดแบบเฟ้นสุ่ม
จากสมการ ถ้า F (°) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x *
เห็นได้ชัดว่าหากมีความรู้ด้านการกระจายความน่าจะเป็นของความต้องการ D แล้วจะได้รูปสมการที่ง่ายขึ้น ซึ่งคล้ายกับ CDF ของ F (°) จะไม่สามารถประมาณค่าที่ดีที่สุดได้ แต่จะเป็นการแก้ปัญหาที่ดีที่สุด
ค่าอื่นๆที่ได้จากการแก้ปัญหาสมการที่ (4) ผู้จัดการฝ่ายพยายามที่จะหากำไรที่ดีที่สุดจากค่าเฉลี่ย อย่างไรก็ตามเมื่อคิดถึงผลกำไร G (x *, D) อาจจะแตกต่างจาก g (x *) ขึ้นอยู่กับส่วนที่เราสนใจของความต้องการ D กรณีนี้อาจเกิดขึ้นถ้า G (x *, D) ถูกมองว่าเป็นตัวแปรสุ่ม จะมีความแปรปรวนขนาดใหญ่ซึ่งอาจจะวัดได้จาก Var [G (x *, D)] ดังนั้นหากผู้จัดการต้องการที่จะควบคุมความแปรปรวน เขาจะต้องพิจารณาปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพดังต่อไปนี้
กราฟแสดงการเจริญเติบโต
ใน สถิติเชิงคณิตศาสตร์ กราฟแสดงการเจริญเติบโตมักใช้เป็นแบบจำลองสำหรับ continuous stochastic process เช่น sample paths ซึ่งใช้แก้สมการ stochastic differential equation
ตะแกรงกำลังสอง
จากดังกล่าวชัดเจนว่าเมื่อตัวเลขในเวกเตอร์ชี้กำลังของจำนวนๆหนึ่งนั้นเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมดนั่นคือจะได้ว่าจำนวนดังกล่าวสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของกำลังสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม ยกตัวอย่างเช่นเมื่อเรานำเวกเตอร์ (3,0,0,1) มาบวกกับเวกเตอร์ (1,2,0,1) ได้เป็นเวกเตอร์ (4,2,0,2) ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด โดยจะมีค่าเป็น (56) (126) ซึ่งเป็นค่ายกกำลังสองของจำนวนเต็ม นั่นคือการที่จะพิจารณาว่าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มรึเปล่านั้นสามารถพิจารณาได้ง่ายจากการพิจารณาความเป็นคู่/คี่ของเวกเตอร์ชี้กำลัง ซึ่งเราสามารถนำสมาชิกในแต่ละตัวของเวกเตอร์ชี้กำลังมาหารด้วยสองแล้วเปลี่ยนค่าสมาชิกก่อนที่จะนำเวกเตอร์ดังกล่าวมาบวก ซึ่งเมื่อพิจารณาจากผลลัพธ์ของการบวกเวกเตอร์ ในรูปแบบดังกล่าว แล้วนำเวกเตอร์ผลลัพธ์มาทำในทำนองเดียวกันจะพบว่าจะอยู่ในรูปกำลังสองสัมบูรณ์เมื่อเป็นเวกเตอร์ศูนย์นั่นเองตัวอย่างเช่นจากตัวอย่างที่แล้วเราสามารถทำได้ในรูปแบบดังกล่าวและบวกกันได้เป็น (1,0,0,1) + (1,0,0,1) = (0,0,0,0) ซึ่งในการบวก vector นั้นเราเพียงพอที่จะทำได้ง่ายโดยการนำมาทำการ XOR กันแบบบิตต่อบิตที่ดัชนีตรงกัน
การเคลื่อนลงตามความชัน
โดยค่า 𝛼 คือค่าการลู่เข้า ยิ่งมีค่ามากจะยิ่งลู่เข้าเร็ว แต่ถ้ามากเกินไป การอัพเดทครั้งถัดไปจะทำให้ค่า formula_4 มีค่ามากเกินไปจนลู่ออกไปถึงอนันต์ก็ได้
เครื่องหมายบวกและลบ
ในคณิตศาสตร์และภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ กฎลำดับการดำเนินการหมายความว่า −5 เท่ากับ −25 เลขชี้กำลังมีความสำคัญมากกว่าตัวดำเนินการลบแบบเอกภาค ที่สำคัญกว่าการคูณหรือการหาร อย่างไรก็ตามในภาษาโปรแกรมบางภาษาและไมโครซอฟท์ เอกซ์เซล ตัวดำเนินการเอกภาคสำคัญที่สุด ดังนั้น −5^2 คือ 25 แต่ 0−5^2 คือ −25
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป
สัมประสิทธิ์ของการขยายตัวจากความร้อน
ระลึกไว้ว่าสมการนี้ยังมีเทอมหลัก formula_13 อยู่ แต่ยังแสดงเทอมอันตับสองที่มีค่าเป็น formula_14 ซึ่งแสดงให้เห็นว่า การเปลี่ยนแปลงอย่างมากในอุณหภูมิสามารถข่มค่าเล็ก ๆ สำหรับสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวจากความร้อนเชิงเส้น ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวจากความร้อนเชิงเส้นจะเล็กทีเดียว แต่เมื่อรวมกับการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่ของอุณหภูมิ differential change ของความยาวสามารถโตพอจนต้องพิจารณา เทอมสุดท้าย formula_15 นั้นเล็กจนหายวับ และเกือบจะโยนทิ้ง
ในวัสดุแบบ anisotropic การขยายตัวเชิงปริมาตรลัพธ์จะกระจายตัวไปในสม่ำเสมอตามแกนทั้งสาม
ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
เป็นฟังก์ชันที่นำตัวเลข "x" และ "y" มาหาผลคูณ ดูเหมือนว่านี่ไม่ใช่ฟังก์ชันจริงๆดังที่เราได้อธิบายข้างต้น เพราะว่า "กฎ" ขึ้นอยู่กับสิ่งนำเข้า 2 สิ่ง อย่างไรก็ตาม ถ้าเราคิดว่าสิ่งนำเข้า 2 สิ่งนี้เป็น คู่อันดับ formula_3 1 คู่ เราก็จะสามารถแปลได้ว่า "g" เป็นฟังก์ชัน โดยที่อาร์กิวเมนต์คือคู่อันดับ formula_3 และค่าของฟังก์ชันคือ formula_5
ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันต่อเนื่อง () คือฟังก์ชันที่ถ้าตัวแปรต้นมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย ผลลัพธ์ก็จะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยด้วยเช่นกัน เราเรียกฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยของค่าของตัวแปรต้นทำให้เกิดการก้าวกระโดดของผลลัพธ์ของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discontinuous function)
ฟังก์ชันบ่งชี้
ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย "A" ของเซต "X" คือฟังก์ชัน
นิยามโดย
การแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น
ในการแปลงแบบเวลาต่อเนื่อง ฟังก์ชันที่จะทำการแปลงจะถูกคูณด้วยฟังก์ชันหน้าต่าง หรือ วินโดว์ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นศูนย์ในช่วงเวลาสั้น ๆ เท่านั้น ผลการแปลงฟูรีเย (1 มิติ) ของผลคูณนี้ ซึ่งเสมือนการเลื่อนหน้าต่างไปตามแกนเวลา จะได้ผลลัพธ์เป็นสัญญาณ 2 มิติ แสดงในรูปคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้ :
ภาษาซี
ภาษาซีรองรับการใช้งานตัวชี้ (pointer) ซึ่งเป็นชนิดข้อมูลสำหรับ[[การอ้างอิง (วิทยาการคอมพิวเตอร์)|การอ้างอิง]]อย่างง่ายชนิดหนึ่ง ที่เก็บบันทึกที่อยู่หรือตำแหน่งของวัตถุหรือฟังก์ชันในหน่วยความจำ ตัวชี้สามารถ "อ้างอิงกลับ" (dereference) เพื่อเข้าถึงข้อมูลที่บันทึกในตำแหน่งที่ถูกชี้อยู่ หรือเพื่อเรียกใช้ฟังก์ชันที่ถูกชี้อยู่ ตัวชี้สามารถจัดดำเนินการกำหนดค่าและ[[เลขคณิตของตัวชี้]]ได้ด้วย ค่าของตัวชี้ขณะโปรแกรมทำงาน มักจะเป็นตำแหน่งมูลฐานในหน่วยความจำ (ซึ่งอาจเสริมด้วยค่าออฟเซตในหน่วยเวิร์ด) แต่เนื่องจากตัวชี้มีการระบุชนิดตามข้อมูลที่ชี้ไป ตัวแปลโปรแกรมจึงสามารถตรวจสอบชนิดตัวแปรในนิพจน์ต่าง ๆ รวมทั้งตัวชี้ด้วยกันเองขณะแปลได้ เลขคณิตของตัวชี้จะแปรสัดส่วนของขนาดโดยอัตโนมัติตามชนิดข้อมูลที่ชี้ไป (ดูเพิ่มที่ส่วน[[#ความใช้แทนกันได้ระหว่างตัวชี้และแถวลำดับ|ความใช้แทนกันได้ระหว่างตัวชี้และแถวลำดับ]]) จุดประสงค์ของการใช้ตัวชี้มีหลากหลายในภาษาซีเช่น สายอักขระมักจัดดำเนินการโดยใช้ตัวชี้ไปยังแถวลำดับของตัวอักขระ [[การจัดสรรหน่วยความจำพลวัต]] (dynamic memory allocation) สามารถกระทำได้ด้วยตัวชี้ ชนิดข้อมูลชนิดอื่นเช่น [[ต้นไม้ (โครงสร้างข้อมูล)|ต้นไม้]] ปกติจะถูกพัฒนาขึ้นโดยการจัดสรรวัตถุ codice_19 โดยพลวัต ซึ่งเชื่อมโยงแต่ละหน่วยเข้ากันด้วยตัวชี้ ตัวชี้ของฟังก์ชันใช้เพื่อ[[การเรียกกลับ]] (callback) สำหรับชุดคำสั่งจัดการเหตุการณ์ เป็นต้น
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ฟังก์ชันนั้นเรียกชื่อตามเรนจ์ของมัน เช่น ฟังก์ชันจำนวนจริง หรือ ฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน
การก้าวหน้าเรขาคณิต
ส่วนเลขชี้กำลังของ "r" ที่มีแต่จำนวนคี่
จะได้สูตร
การยกกำลัง
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0 = 0; "n" > 0
ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
บิตเครื่องหมาย
เมื่อบวกจำนวน 8 บิตเข้ากับจำนวน 16 บิตโดยใช้เลขคณิตมีเครื่องหมาย หน่วยประมวลผลกลางจะถ่ายทอดบิตเครื่องหมายผ่านครึ่งอันดับสูงของเรจิสเตอร์ 16 บิตที่เก็บจำนวน 8 บิตอยู่นั้น กระบวนการดังกล่าวเรียกว่าการขยายเครื่องหมาย (sign extension) หรือการถ่ายทอดเครื่องหมาย (sign propagation) กระบวนการขยายเครื่องหมายจะนำมาใช้ เมื่อใดก็ตามที่ชนิดข้อมูลมีเครื่องหมายที่เล็กกว่าจำเป็นต้องแปลงเป็นชนิดข้อมูลมีเครื่องหมายที่ใหญ่กว่า ในขณะที่ยังคงค่าตัวเลขเดิมเอาไว้
การยกกำลัง
อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin"x" เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin "x") โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin"x" หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin "x" เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/ (sin "x") = (sin "x") ก็คือ csc "x" เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log"x" หมายถึง (log "x") ไม่ใช่ log log "x"
การแจกแจงแบบทวินาม
ตัวแปรเชิงสุ่ม X แทนจำนวนครั้งของความสำเร็จจากการทดลองแบบเบอร์นูลีซ้ำๆกัน n ครั้ง ภายใต้สภาวะเดียวกันและการทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน การทดลองแต่ละครั้งต้องแบ่งผลลัพธ์ออกได้ 2 ทาง คือความสำเร็จและความไม่สำเร็จ โดย p คือความน่าจะเป็นที่เกิดความสำเร็จ X จะมีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น ดังนี้
และมีค่าคาดหวังและค่าความแปรปรวนดังนี้
ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสมคือ
การยกกำลัง
ถ้า "b" เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ "a" จะไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ log "a" เพราะสอดคล้องกับนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะได้เทียบเท่ากันหลายวิธีการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามด้วยอนุกรมกำลังต่อไปนี้ 
การใช้นิยามวิธีอื่นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันเมื่อขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
กราฟของฟังก์ชัน "y" = "e" มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน "x" เสมอ แต่เมื่อ "x" เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน "x" ดังนั้นแกน "x" จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด "y" ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln("x") ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น "แอนติลอการิทึม" (antilogarithm)