Спор Ньютона и Лейбница о приоритете
Подход Ньютона к проблеме приоритета можно проиллюстрировать на примере открытия закона обратных квадратов применительно к динамике тел, движущихся под действием силы тяжести. На основании анализа законов Кеплера и собственных вычислений Роберт Гук сделал предположение, что движение в таких условиях должно происходить по орбитам, подобным эллиптическим. Не имея возможности строго доказать это утверждение, он сообщил о нём Ньютону. Не вступая в дальнейшем в переписку с Гуком, Ньютон решил эту задачу, а также обратную к ней, доказав, что из эллиптичности орбит следует закон обратных квадратов. Это открытие было изложено в его знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» без указания имени Гука. По настоянию астронома Эдмунда Галлея, которому рукопись была передана для редактирования и публикации, в текст была включена фраза о том, что о соответствии первого закона Кеплера закону обратных квадратов «утверждали независимо Рен, Гук и Галлей». В переписке с Галлеем Ньютон сформулировал своё видение этой ситуации:
Комета Галлея
Идея Аристотеля была опровергнута Тихо Браге, который показал отсутствие у кометы 1577 года параллакса (проведя измерения положения кометы в Дании и в Праге). При его точности измерений это означало, что она находится, по крайней мере, вчетверо дальше, чем Луна. Однако сохранялась неопределённость в вопросе о том, обращаются ли кометы вокруг Солнца или просто пролетают по прямым путям через Солнечную систему.
В 1680—1681 годах 24-летний Галлей наблюдал яркую комету (C/1680 V1, называемую часто кометой Ньютона), которая сначала приближалась к Солнцу, а потом удалялась от него, что противоречило представлению о прямолинейном движении. Исследуя этот вопрос, Галлей понял, что центростремительная сила, действующая на комету со стороны Солнца, должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния. В 1682, в год очередного появления кометы, названной впоследствии его именем, Галлей обратился к Роберту Гуку с вопросом — по какой кривой будет двигаться тело под действием такой силы, но не получил ответа, хотя Гук и намекнул, что ответ ему известен. Галлей отправился в Кембридж к Исааку Ньютону, который сразу же ответил, что, согласно его вычислениям, движение будет происходить по эллипсу. Ньютон продолжал работать над проблемой движения тел под действием сил тяготения, уточняя и развивая расчёты, и в конце 1684 года послал Галлею свой трактат «Движение тел по орбите» (). Восхищённый Галлей доложил о результатах Ньютона на заседании Лондонского королевского общества 10 декабря 1684 года и испросил у Ньютона разрешения напечатать трактат. Ньютон согласился и обещал прислать продолжение. В 1686 году по просьбе Галлея Ньютон переслал первые две части своего расширенного трактата, получившего название «Математические начала натуральной философии», в Лондонское королевское общество, где Гук вызвал скандал, заявив о своём приоритете, но не был поддержан коллегами. В 1687 году на деньги Галлея тиражом 120 экземпляров самый знаменитый трактат Ньютона был напечатан. Таким образом, интерес к кометам заложил основы современной математической физики. В своём классическом трактате Ньютон сформулировал законы гравитации и движения. Однако его работа над теорией движения комет ещё не была закончена. Хотя он подозревал, что две кометы, которые наблюдались в 1680 и 1681 годах (и которые вызвали интерес Галлея), были на самом деле одной кометой до и после прохождения вблизи Солнца, он не смог полностью описать её движение в рамках своей модели. Это удалось его другу и издателю Галлею, который в работе 1705 года «Обзор кометной астрономии» () использовал законы Ньютона для учёта гравитационного влияния на кометы Юпитера и Сатурна.
После изучения исторических записей Галлей составил первый каталог элементов орбит комет и обратил внимание на совпадение путей комет 1531 (наблюдавшаяся Апианом), 1607 (наблюдавшаяся Кеплером) и 1682 гг. (которую наблюдал он сам), и предположил, что это одна и та же комета, обращающаяся вокруг Солнца с периодом 75—76 лет. На основании обнаруженного периода и с учётом грубых приближений воздействия больших планет, он предсказал возвращение этой кометы в 1758 году.