Anh Châu tham gia quảng cáo cho một loại sản phẩm. Xác suất 1 lần quảng cáo thành công (tức là bán được sản phẩm sau lần quảng cáo đó) của anh Châu là \(\frac{1}{3}.\) Anh Châu thực hiện 12 lần quảng cáo liên tiếp một cách độc lập. Gọi \(X\) là số lần quảng cáo thành công trong 12 lần quảng cáo đó. b) Tính số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất. Tính xác suất lớn nhất đó.
Gọi \(k\) là số lần quảng cáo thành công. \(P(X = k) = C_{12}^k.\left( \frac{1}{3} \right)^k.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - k} = \frac{C_{12}^k.2^{12 - k}}{3^{12}}\) \(P(X = 0) = C_{12}^0.\left( \frac{1}{3} \right)^0.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 0} = 0,0077\) \(P(X = 1) = C_{12}^1.\left( \frac{1}{3} \right)^1.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 1} \approx 0,046\) \(P(X = 2) = C_{12}^2.\left( \frac{1}{3} \right)^2.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 2} \approx 0,127\) \(P(X = 3) = C_{12}^3.\left( \frac{1}{3} \right)^3.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 3} \approx 0,212\) \(P(X = 4) = C_{12}^4.\left( \frac{1}{3} \right)^4.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 4} \approx 0,238\) \(P(X = 5) = C_{12}^5.\left( \frac{1}{3} \right)^5.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 5} \approx 0,191\) \(P(X = 6) = C_{12}^6.\left( \frac{1}{3} \right)^6.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 6} \approx 0,111\) \(P(X = 7) = C_{12}^7.\left( \frac{1}{3} \right)^7.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 7} \approx 0,048\) \(P(X = 8) = C_{12}^8.\left( \frac{1}{3} \right)^8.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 8} \approx 0,015\) \(P(X = 9) = C_{12}^9.\left( \frac{1}{3} \right)^9.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 9} \approx 0,0033\) \(P(X = 10) = C_{12}^{10}.\left( \frac{1}{3} \right)^{10}.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 10} \approx 0,0005\) \(P(X = 11) = C_{12}^{11}.\left( \frac{1}{3} \right)^{11}.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 11} \approx 0,000045\) \(P(X = 12) = C_{12}^{12}.\left( \frac{1}{3} \right)^{12}.\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^{12 - 12} \approx 0,000002\) Vậy 4 lần quảng cáo thành công sẽ có xác suất lớn nhất là 0,238.