Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1 600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) như sau: a) Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh; b) Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.
a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc M”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”. Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc M và khỏi bệnh”. Ta có: \(1600 + 1200 = 2800\) người khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 2800\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}\). Trong số những người khỏi bệnh, có 1 600 người uống thuốc M nên \(n\left( {AB} \right) = 1\;600\). Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1600}}{{2800}} = \frac{4}{7}\). b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc N”, B là biến cố “Người đó không khỏi bệnh”. Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc N và không khỏi bệnh”. Ta có: \(800 + 400 = 1200\) người không khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 1200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{1200}}{{4000}}\). Trong số những người không khỏi bệnh, có 400 người uống thuốc N nên \(n\left( {AB} \right) = 400\). Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{400}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{400}}{{1200}} = \frac{1}{3}\).