Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là 9000, trong số đó có 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 7500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 76% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Mặt khác, trong 7500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 7% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính khi kiểm tra. a) Chọn số thích hợp cho (?) trong bảng (đơn vị: người). So sánh số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm với số người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. b) Chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm dương tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). c) Nhà sản xuất khẳng định dung cụ cho kết quả dương tính với hơn 90% số trường hợp có kết quả dương tính. Khẳng định đó có đúng không?
a) Trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: 76%.1500 = 1140 (người). Trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là: 1500 − 1140 = 360 (người). Trong 7500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: 7%.7500 = 525 (người). Do đó, số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là: 7500 – 525 = 6975 (người). Từ đó, bảng được hoàn thiện. Từ bảng ta thấy số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm là 525 + 1140 = 1665 > 1500. b) Xét các biến cố sau: A: "Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết"; B: "Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm cho kết quả dương tính (khi kiểm tra)". Từ các dữ liệu thống kê ở bảng, ta có: \(P(B) = \frac{{1665}}{{9000}} = \frac{{37}}{{200}}\); \(P(A \cap B) = \frac{{1140}}{{9000}} = \frac{{19}}{{150}}\). Vậy \(P(A|B) = \frac{{19}}{{150}}:\frac{{37}}{{200}} = \frac{{76}}{{111}} \approx 68,5\% \). c) Do 68,5% < 90% nên khẳng định của nhà sản xuất là không đúng.