Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 24; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, \(A \cap B, A \cap \overline B\). b) So sánh n(A) và \(n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)\). Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right)\). c) So sánh \(P\left( {A \cap B} \right)\) và \(P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\); \(P\left( {A \cap \overline B } \right)\) và \(P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\). Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
a) \(A = \left\{ {3;\; 6;\; 9;\; 12;\; 15;\; 18;\; 21;\; 24} \right\}, B = \left\{ {4;\; 8;\; 12;\; 16;\; 20;\; 24} \right\}\), \(\Omega = \left\{ {1;2;3;...;24} \right\}\), \(A \cap B = \left\{ {12;24} \right\}, A \cap \overline B = \left\{ {3;6;9;15;18;21} \right\}\). b) Ta có: \(n\left( A \right) = 8, n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right) = 2 + 6 = 8\) nên \(n\left( A \right) = n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)\). \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} + \frac{{n\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right)\). c) Ta có: \(P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) = P\left( B \right).\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( {A \cap B} \right)\); \(P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( {\overline B } \right).\frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = P\left( {A \cap \overline B } \right)\). Vì \(A \cap B, A \cap \overline B \) là hai biến cố xung khắc nên \(\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap \overline B } \right) = A\), theo công thức xác suất ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).