Giả sử có một loại bệnh mà tỷ lệ người mắc bệnh là 0,1%. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỷ lệ phản ứng dương tính giả là 5% (tức là trong số những người không bị bệnh có 5% số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên. b) Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả hàng phần trăm)?
a) Xét hai biến cố: K: “Người được chọn ra không mắc bệnh”. D: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”. Do tỷ lệ mắc bệnh là 0,1% = 0,001 nên \(P(K) = 1 - 0,001 = 0,999\). Trong số những người mắc bệnh có 5% số người có phản ứng dương tính nên \(P(D|K) = 5\% = 0,05\). Vì ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng phản ứng dương tính nên \(P(D|\overline{K}) = 1\). Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho. b) Ta thấy: Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính chính là \(P(\overline{K}|D)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có: \(P(\overline{K}|D) = \frac{P(\overline{K}).P(D|\overline{K})}{P(\overline{K}).P(D|\overline{K}) + P(K).P(D|K)} = \frac{0,001}{0,001 + 0,999.0,05} = 1,96\%\). Vậy xác suất mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là 1,96%.