Require Import PolTac.
Require Import NAux.

Open Scope N_scope.

Theorem pols_test1: forall x y: N,  x < y ->  (x + x < y + x).
(* Goal: forall (x y : N) (_ : N.lt N0 x) (_ : N.le x (N.mul x y)), N.le (Npos xH) y *)
intros.
(* Goal: N.le (N.add y y) (N.mul (Npos (xO xH)) y) *)
pols.
(* Goal: N.le N0 N0 *)
auto.
Qed.

Theorem pols_test2: forall x y, y < 0 ->  (x + y < x).
(* Goal: forall (x y : N) (_ : N.lt N0 x) (_ : N.le x (N.mul x y)), N.le (Npos xH) y *)
intros.
(* Goal: N.le (N.add y y) (N.mul (Npos (xO xH)) y) *)
pols.
(* Goal: N.le N0 N0 *)
auto.
Qed.
 
Theorem pols_test4:
 forall x y,
 x * x  < y * y ->  ((x + y) * (x + y) < 2 * (x * y + y * y)).
(* Goal: forall (x y : N) (_ : N.lt N0 x) (_ : N.le x (N.mul x y)), N.le (Npos xH) y *)
intros.
(* Goal: N.le (N.add y y) (N.mul (Npos (xO xH)) y) *)
pols.
(* Goal: N.le N0 N0 *)
auto.
Qed.
 
Theorem pols_test5:
 forall x y z, x + y * (y + z) = 2 * z ->  2 * x + y * (y + z) = (x + z) + z.
(* Goal: forall (x y : N) (_ : N.lt N0 x) (_ : N.le x (N.mul x y)), N.le (Npos xH) y *)
intros.
(* Goal: N.le (N.add y y) (N.mul (Npos (xO xH)) y) *)
pols.
(* Goal: N.le N0 N0 *)
auto.
Qed.


Theorem polf_test1: forall x y, (1 <= y -> x  <= x  * y).
(* Goal: forall (x y : N) (_ : N.lt N0 x) (_ : N.le x (N.mul x y)), N.le (Npos xH) y *)
intros.
(* Goal: N.le x (N.mul x y) *)
polf.
Qed.

Theorem polf_test2: forall x y, 0 < x -> x  <= x  * y -> 1 <= y.
(* Goal: forall (x y : N) (_ : N.lt N0 x) (_ : N.le x (N.mul x y)), N.le (Npos xH) y *)
intros.
(* Goal: N.le (Npos xH) y *)
hyp_polf H0.
(* Goal: N.le N0 N0 *)
auto.
Qed.



Theorem polr_test1: forall x y z, (x + z) < y -> x + y + z < 2*y.
(* Goal: forall (x y z : N) (_ : N.lt (N.add x z) y), N.lt (N.add (N.add x y) z) (N.mul (Npos (xO xH)) y) *)
intros x y z H.
(* Goal: N.lt (N.add (N.add x y) z) (N.mul (Npos (xO xH)) y) *)
polr H.
(* Goal: N.le (N.add y y) (N.mul (Npos (xO xH)) y) *)
pols.
(* Goal: N.le N0 N0 *)
auto.
(* Goal: N.le (N.add y y) (N.mul (Npos (xO xH)) y) *)
pols.
(* Goal: N.le N0 N0 *)
auto.
Qed.
