Ogólna teoria względności – Wikipedia, wolna encyklopedia
OTW Einsteina. Podstawową ideą teorii względności jest to, że nie możemy mówić o wielkościach fizycznych takich jak prędkość czy przyspieszenie, nie określając ...
geodezyjnymi
OTW mówi, że z daną dokładnością można definiować jedynie lokalne układy odniesienia, dla skończonych przedziałów czasu i ograniczonych obszarów w przestrzeni. Jest to analogia z rysowaniem map fragmentów powierzchni Ziemi – nie można sporządzić mapy obejmującej całą powierzchnię Ziemi bez deformacji. Zasady dynamiki Newtona są w ogólnej teorii względności zachowane w lokalnych układach odniesienia. W szczególności cząstki, na które nie działa żadna siła, poruszają się po liniach prostych w lokalnych inercjalnych układach odniesienia. Jednak jeżeli linie te się przedłuży, to nie otrzymujemy linii prostych, lecz krzywe zwane <anchor>geodezyjnymi</anchor>. Dlatego też pierwsza zasada dynamiki Newtona zostaje zastąpiona przez zasadę poruszania się po geodezyjnej.
Linia geodezyjna – Wikipedia, wolna encyklopedia
Linia geodezyjna – Wikipedia, wolna encyklopedia[Przejdź do zawartości](#bodyContent)

Menu główne

Menu główne

przypnijukryj

Nawigacja


- [Strona główna](/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna "Przejdź na stronę główną [z]")
- [Losuj artykuł](/wiki/Specjalna:Losowa_strona "Załaduj losową stronę [x]")
- [Kategorie artykułów](/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne)
- [Najlepsze artykuły](/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii)
- [Częste pytania (FAQ)](/wiki/Pomoc:FAQ)

Dla czytelników


- [O Wikipedii](/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii)
- [Kontakt](/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami)
- [Wspomóż Wikipedię](//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl "Pomóż nam")

Dla wikipedystów


- [Pierwsze kroki](/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki)
- [Portal wikipedystów](/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w "O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje")
- [Ogłoszenia](/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84)
- [Zasady](/wiki/Wikipedia:Zasady)
- [Pomoc](/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci)
- [Ostatnie zmiany](/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany "Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]")

[![](/static/images/icons/wikipedia.png)![Wikipedia](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg)![wolna encyklopedia](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg)](/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna)

[Szukaj](/wiki/Specjalna:Szukaj "Przeszukaj Wikipedię [f]")

Szukaj

Wygląd

- [Utwórz konto](/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Linia+geodezyjna "Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe.")
- [Zaloguj się](/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Linia+geodezyjna "Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]")

Narzędzia osobiste

- [Utwórz konto](/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Linia+geodezyjna "Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe.")
- [Zaloguj się](/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Linia+geodezyjna "Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]")

Strony dla anonimowych edytorów [dowiedz się więcej](/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki)

- [Edycje](/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad "Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]")
- [Dyskusja](/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja "Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]")

## Spis treści

przypnijukryj

- Początek

- [1Geodezyjne na rozmaitościach riemannowskich](#Geodezyjne_na_rozmaitościach_riemannowskich)Przełącz podsekcję Geodezyjne na rozmaitościach riemannowskich  - [1.1Krzywizna](#Krzywizna)
  - [1.2Własności linii geodezyjnych](#Własności_linii_geodezyjnych)
- [2Czasoprzestrzeń](#Czasoprzestrzeń)
- [3Geodezyjne w czasoprzestrzeni](#Geodezyjne_w_czasoprzestrzeni)Przełącz podsekcję Geodezyjne w czasoprzestrzeni  - [3.1Równanie geodezyjnej](#Równanie_geodezyjnej)
  - [3.2Wyprowadzenie równania](#Wyprowadzenie_równania)
  - [3.3Ruch po geodezyjnych jako ruch swobodny z czasoprzestrzeni](#Ruch_po_geodezyjnych_jako_ruch_swobodny_z_czasoprzestrzeni)
- [4Przykład: Czasoprzestrzeń płaska](#Przykład:_Czasoprzestrzeń_płaska)
- [5Przykład: Sfera – obliczenia tensora metrycznego](#Przykład:_Sfera_–_obliczenia_tensora_metrycznego)
- [6Czasoprzestrzeń wokół masywnego ciała](#Czasoprzestrzeń_wokół_masywnego_ciała)
- [7Zobacz też](#Zobacz_też)
- [8Uwagi](#Uwagi)
- [9Przypisy](#Przypisy)
- [10Bibliografia](#Bibliografia)
- [11Linki zewnętrzne](#Linki_zewnętrzne)

Przełącz stan spisu treści

# Linia geodezyjna

42 języki

- [العربية](https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AC%D9%8A%D9%88%D8%AF%D9%8A%D8%B3%D9%8A "جيوديسي – arabski")
- [বাংলা](https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AD%E0%A7%82%E0%A6%AE%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%AC%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%96%E0%A6%BE "ভূমিতিক বক্ররেখা – bengalski")
- [Català](https://ca.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A8sica "Geodèsica – kataloński")
- [Чӑвашла](https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B5_%D0%B9%C4%95%D1%80 "Геодезилле йĕр – czuwaski")
- [Čeština](https://cs.wikipedia.org/wiki/Geodetika "Geodetika – czeski")
- [Deutsch](https://de.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A4te "Geodäte – niemiecki")
- [Eesti](https://et.wikipedia.org/wiki/Geodeetiline_joon "Geodeetiline joon – estoński")
- [Ελληνικά](https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CE%B5%CF%89%CE%B4%CE%B1%CE%B9%CF%83%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CE%AE "Γεωδαισιακή – grecki")
- [English](https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic "Geodesic – angielski")
- [Español](https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_geod%C3%A9sica "Línea geodésica – hiszpański")
- [Esperanto](https://eo.wikipedia.org/wiki/Geodezia_linio "Geodezia linio – esperanto")
- [فارسی](https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D8%A6%D9%88%D8%AF%D8%B2%DB%8C%DA%A9 "ژئودزیک – perski")
- [Français](https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sique "Géodésique – francuski")
- [Gaeilge](https://ga.wikipedia.org/wiki/Geodasach "Geodasach – irlandzki")
- [Galego](https://gl.wikipedia.org/wiki/Xeod%C3%A9sica "Xeodésica – galicyjski")
- [한국어](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B8%A1%EC%A7%80%EC%84%A0 "측지선 – koreański")
- [Հայերեն](https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B3%D5%A5%D5%B8%D5%A4%D5%A5%D5%A6%D5%AB%D5%AF_%D5%A3%D5%AE%D5%A5%D6%80 "Գեոդեզիկ գծեր – ormiański")
- [Bahasa Indonesia](https://id.wikipedia.org/wiki/Geodesik "Geodesik – indonezyjski")
- [Italiano](https://it.wikipedia.org/wiki/Geodetica "Geodetica – włoski")
- [עברית](https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%99%D7%9C%D7%94_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%93%D7%96%D7%99%D7%AA "מסילה גאודזית – hebrajski")
- [Қазақша](https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%8F%D0%BB%D1%8B%D2%9B_%D1%81%D1%8B%D0%B7%D1%8B%D2%9B%D1%82%D0%B0%D1%80 "Геодезиялық сызықтар – kazachski")
- [Lëtzebuergesch](https://lb.wikipedia.org/wiki/Geodetesch_Linn "Geodetesch Linn – luksemburski")
- [Lietuvių](https://lt.wikipedia.org/wiki/Geodezin%C4%97_kreiv%C4%97 "Geodezinė kreivė – litewski")
- [Magyar](https://hu.wikipedia.org/wiki/Geodetikus_vonalak "Geodetikus vonalak – węgierski")
- [Nederlands](https://nl.wikipedia.org/wiki/Geodeet_(wiskunde) "Geodeet (wiskunde) – niderlandzki")
- [日本語](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%9C%B0%E7%B7%9A "測地線 – japoński")
- [Norsk bokmål](https://no.wikipedia.org/wiki/Geodetisk_kurve "Geodetisk kurve – norweski (bokmål)")
- [Norsk nynorsk](https://nn.wikipedia.org/wiki/Geodetisk_kurve "Geodetisk kurve – norweski (nynorsk)")
- [Oʻzbekcha / ўзбекча](https://uz.wikipedia.org/wiki/Geodezik_chiziq "Geodezik chiziq – uzbecki")
- [Português](https://pt.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A9sica "Geodésica – portugalski")
- [Română](https://ro.wikipedia.org/wiki/Geodezic%C4%83 "Geodezică – rumuński")
- [Русский](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F "Геодезическая – rosyjski")
- [Simple English](https://simple.wikipedia.org/wiki/Geodesic "Geodesic – Simple English")
- [Slovenščina](https://sl.wikipedia.org/wiki/Geodetka "Geodetka – słoweński")
- [Српски / srpski](https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%98%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%98%D0%B0 "Геодезијска линија – serbski")
- [Srpskohrvatski / српскохрватски](https://sh.wikipedia.org/wiki/Geodezijska_linija "Geodezijska linija – serbsko-chorwacki")
- [Suomi](https://fi.wikipedia.org/wiki/Geodeesi "Geodeesi – fiński")
- [Türkçe](https://tr.wikipedia.org/wiki/Jeodezik "Jeodezik – turecki")
- [Українська](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D1%8F "Геодезична лінія – ukraiński")
- [Tiếng Việt](https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_tr%E1%BA%AFc_%C4%91%E1%BB%8Ba "Đường trắc địa – wietnamski")
- [文言](https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%9C%B0%E7%B7%9A "測地線 – chiński klasyczny")
- [中文](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%8B%E5%9C%B0%E7%BA%BF "测地线 – chiński")

[Edytuj linki](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q213488#sitelinks-wikipedia "Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi")

- [Artykuł](/wiki/Linia_geodezyjna "Zobacz stronę treści [c]")
- [Dyskusja](/wiki/Dyskusja:Linia_geodezyjna "Dyskusja o zawartości tej strony [t]")

polski

- [Czytaj](/wiki/Linia_geodezyjna)
- [Edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit "Edytuj tę stronę [v]")
- [Edytuj kod źródłowy](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit "Edycja kodu źródłowego strony [e]")
- [Wyświetl historię](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=history "Starsze wersje tej strony [h]")

Narzędzia

Narzędzia

przypnijukryj

Działania


- [Czytaj](/wiki/Linia_geodezyjna)
- [Edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit "Edytuj tę stronę [v]")
- [Edytuj kod źródłowy](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit "Edycja kodu źródłowego strony [e]")
- [Wyświetl historię](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=history)

Ogólne


- [Linkujące](/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Linia_geodezyjna "Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]")
- [Zmiany w linkowanych](/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Linia_geodezyjna "Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]")
- [Prześlij plik](//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik "Prześlij pliki [u]")
- [Strony specjalne](/wiki/Specjalna:Strony_specjalne "Lista wszystkich stron specjalnych [q]")
- [Link do tej wersji](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&oldid=73538955 "Stały link do tej wersji tej strony")
- [Informacje o tej stronie](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=info "Więcej informacji na temat tej strony")
- [Cytowanie tego artykułu](/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Linia_geodezyjna&id=73538955&wpFormIdentifier=titleform "Informacja o tym jak należy cytować tę stronę")
- [Zobacz skrócony adres URL](/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FLinia_geodezyjna)
- [Pobierz kod QR](/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FLinia_geodezyjna)
- [Element Wikidanych](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q213488 "Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]")

Drukuj lub eksportuj


- [Utwórz książkę](/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Linia+geodezyjna)
- [Pobierz jako PDF](/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Linia_geodezyjna&action=show-download-screen)
- [Wersja do druku](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&printable=yes "Wersja do wydruku [p]")

W innych projektach


- [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Geodesic_(mathematics))

Wygląd

przypnijukryj

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

[![Wikipedia:Weryfikowalność](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png)](/wiki/Wikipedia:Weryfikowalno%C5%9B%C4%87 "Wikipedia:Weryfikowalność")

**Ten artykuł od 2018-03 wymaga [zweryfikowania](/wiki/Wikipedia:Weryfikowalno%C5%9B%C4%87 "Wikipedia:Weryfikowalność") podanych informacji.**

Należy podać wiarygodne źródła w formie [przypisów bibliograficznych](/wiki/Pomoc:Przypisy "Pomoc:Przypisy").

Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.

_Sprawdź w źródłach:_[Encyklopedia PWN](https://encyklopedia.pwn.pl/szukaj/Linia+geodezyjna.html) • [Google Books](http://books.google.com/books?as_brr=0&as_pub=-icon&q=%22Linia+geodezyjna%22) • [Google Scholar](http://scholar.google.com/scholar?q=%22Linia+geodezyjna%22) • [Federacja Bibliotek Cyfrowych](https://fbc.pionier.net.pl/search#fq={!tag=dcterms_accessRights}dcterms_accessRights%3A%22Dost%C4%99p%20otwarty%22&q=%22Linia+geodezyjna%22) • [BazHum](https://bazhum.muzhp.pl/artykul/lista/?generalQuery=%22Linia+geodezyjna%22) • [BazTech](https://yadda.icm.edu.pl/baztech/search/page.action?qt=SEARCH&q=c_0language_0eq.all*sc.article*c_0keywords_0eq.Linia+geodezyjna*l_0*c_0fulltext_0eq.all) • [RCIN](https://rcin.org.pl/dlibra/results?q=%22Linia+geodezyjna%22&action=SimpleSearchAction&type=-6&p=0) • Internet Archive ( [texts](https://archive.org/details/texts?query=%22Linia+geodezyjna%22) / [inlibrary](https://archive.org/details/inlibrary?query=%22Linia+geodezyjna%22))

Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w [dyskusji tego artykułu](/wiki/Dyskusja:Linia_geodezyjna "Dyskusja:Linia geodezyjna").

Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon [{{Dopracować}}](/wiki/Szablon:Dopracowa%C4%87 "Szablon:Dopracować") z tego artykułu.

**Linia geodezyjna** (krótko nazywana **geodezyjną**) – [krzywa](/wiki/Krzywa "Krzywa") w [przestrzeni metrycznej](/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna "Przestrzeń metryczna") (ściślej: w [G-przestrzeni](/wiki/G-przestrze%C5%84 "G-przestrzeń")), stanowiąca najkrótszą drogę pomiędzy dwoma punktami dostatecznie bliskimi[\[a\]](#cite_note-1). W sposób równoważny linie geodezyjne definiuje się jako krzywe o zerowej [krzywiznie geodezyjnej](/w/index.php?title=Krzywizna_geodezyjna&action=edit&redlink=1 "Krzywizna geodezyjna (strona nie istnieje)"). Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi [prostymi](/wiki/Prosta "Prosta")[\[1\]](#cite_note-2).

## Geodezyjne na [rozmaitościach riemannowskich](/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87_riemannowska "Rozmaitość riemannowska")

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=1 "Edytuj sekcję: Geodezyjne na rozmaitościach riemannowskich") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=1 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Geodezyjne na rozmaitościach riemannowskich")\]

### Krzywizna

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=2 "Edytuj sekcję: Krzywizna") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=2 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Krzywizna")\]

Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny tutaj używane:

1. **Krzywizna (zewnętrzna) rozmaitości** – jest to krzywizna rozmaitości obliczona z punktu widzenia przestrzeni, w której rozmaitość jest [zanurzona](/wiki/Zanurzenie_(matematyka) "Zanurzenie (matematyka)"). Np. krzywizna [sfery](/wiki/Sfera "Sfera") zanurzonej w przestrzeni euklidesowej.
2. **[Krzywizna geodezyjna](/w/index.php?title=Krzywizna_geodezyjna&action=edit&redlink=1 "Krzywizna geodezyjna (strona nie istnieje)")** **krzywej** leżącej w rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia **geometrii wewnętrznej**, tj. obowiązującej na tej rozmaitości (zwykle jest to geometria nieeuklidesowa). Np. [koła wielkie](/wiki/Ko%C5%82o_wielkie "Koło wielkie") sfery (jak równik czy południki) mają zerową krzywiznę geodezyjną.
3. **Krzywizna (zewnętrzna) krzywej** leżącej w rozmaitości, ale rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. koła wielkie sfery mają niezerową [krzywiznę](/wiki/Krzywizna_krzywej "Krzywizna krzywej") w [przestrzeni euklidesowej](/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa "Przestrzeń euklidesowa"), w której sfera jest zanurzona.

### Własności linii geodezyjnych

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=3 "Edytuj sekcję: Własności linii geodezyjnych") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=3 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności linii geodezyjnych")\]

W ogólnym przypadku [rozmaitości riemannowskich](/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87_riemannowska "Rozmaitość riemannowska") własności geometryczne mogące zmieniać się nawet przy niewielkim przemieszczeniu z jednego punktu do innego. Linia geodezyjna jest zdefiniowana jako [krzywa](/wiki/Krzywa "Krzywa") dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa [zeru](/wiki/0 "0").

Dowodzi się, że ze wszystkich [krzywych](/wiki/Krzywa "Krzywa") leżących na rozmaitości topologicznej i mających wspólną [styczną](/wiki/Styczna "Styczna") w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3).

W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi niebędącymi prostymi (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na [sferze](/wiki/Sfera "Sfera") są to okręgi [kół wielkich](/wiki/Ko%C5%82o_wielkie "Koło wielkie"). Na powierzchni bocznej [walca](/wiki/Walec_(bry%C5%82a) "Walec (bryła)") geodezyjnymi są [linie śrubowe](/wiki/Linia_%C5%9Brubowa "Linia śrubowa") oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

Z punktu widzenia obowiązującej w danej rozmaitości [geometrii absolutnej](/wiki/Geometria_absolutna "Geometria absolutna") (na ogół [geometrii nieeuklidesowej](/wiki/Geometria_nieeuklidesowa "Geometria nieeuklidesowa")) krzywe geodezyjne są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w [geometrii euklidesowej](/wiki/Geometria_euklidesowa "Geometria euklidesowa") z wyjątkiem [postulatu równoległości](/wiki/Postulat_Euklidesa "Postulat Euklidesa") Euklidesa.

## Czasoprzestrzeń

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=4 "Edytuj sekcję: Czasoprzestrzeń") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=4 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Czasoprzestrzeń")\]

(1) [Czasoprzestrzeń](/wiki/Czasoprzestrze%C5%84 "Czasoprzestrzeń") opisywana przez [Ogólną Teorię Względności](/wiki/Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Ogólna teoria względności") (OTW) jest rozmaitością [pseudoriemannowską](/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87_pseudoriemannowska "Rozmaitość pseudoriemannowska").

(2) Punkt x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) czasoprzestrzeni jest [czterowektorem](/wiki/Czterowektor "Czterowektor") mającym 4 współrzędne:

- czasową x0=ct{\\displaystyle x^{0}=c\\,t}![{\displaystyle x^{0}=c\,t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d390842f68c37452e8a789ee6030ea29ed1dfc) (gdzie c{\\displaystyle c}![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455) – prędkość światła, t{\\displaystyle t}![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560) – czas)
- współrzędne przestrzenne x1,x2,x3,{\\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3},}![{\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad477b35f3d6f2af7efc89be8e6f9879430c4e6)

czyli x=(x0,x1,x2,x3).{\\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}).}![{\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c1862858ae9da9437028565dbf56a2b4364b43)

W skrócie współrzędne punktu oznacza się symbolem xμ,{\\displaystyle x^{\\mu },}![{\displaystyle x^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7497db34920121d3695ad49a72649426cf1be95) gdzie domyślnie μ=0,1,2{\\displaystyle \\mu =0,1,2}![{\displaystyle \mu =0,1,2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3070f4ad4dccd7b45a13d2a31f5c135e0b9ef8c2) lub 3.{\\displaystyle 3.}![{\displaystyle 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75e17f7e7094c457fa7c8f743c3d8622eebd8ef)

(3) W zapisie równań OTW można wybrać dowolny układ współrzędnych, dlatego symbole x1,x2,x3{\\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}![{\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad25cb1aca46f91bad6d2aa8b81f07c8aa49e934) mają różne znaczenie w zależności od tego wyboru. Np.

- w układzie kartezjańskim x1=x,x2=y,x3=z,{\\displaystyle x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z,}![{\displaystyle x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4117fe09c519b73621ef560d55fa690d76c2edd9)
- w układzie sferycznym x1=r,x2=ϕ,x3=θ.{\\displaystyle x^{1}=r,x^{2}=\\phi ,x^{3}=\\theta .}![{\displaystyle x^{1}=r,x^{2}=\phi ,x^{3}=\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fa0a107bc8120d9621d0346f4f216988974f44)

(4) Dowolną linię można zapisać w postaci układu równań parametrycznych xμ(s),{\\displaystyle x^{\\mu }(s),}![{\displaystyle x^{\mu }(s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b852f875eb490498d1888f87c9738b1ab2f223) gdzie s{\\displaystyle s}![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632) jest parametrem. Rolę parametru może pełnić np. czas t.{\\displaystyle t.}![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07) Np. równania:

x0(t)=ct,{\\displaystyle x^{0}(t)=c\\,t,}![{\displaystyle x^{0}(t)=c\,t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d1fb5408adb9cf2230c530c75dd84c58d4c671)x1(t)=v1t,{\\displaystyle x^{1}(t)=v^{1}\\,t,}![{\displaystyle x^{1}(t)=v^{1}\,t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6513241db2a628048bfd9ebd7fdb15b5ae2ef5)x2(t)=v2t,{\\displaystyle x^{2}(t)=v^{2}\\,t,}![{\displaystyle x^{2}(t)=v^{2}\,t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293f470d580545d04653c0f046e1bf372854b7a6)x3(t)=v3t,{\\displaystyle x^{3}(t)=v^{3}\\,t,}![{\displaystyle x^{3}(t)=v^{3}\,t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b85dabe4f69728c6c84ed95d19098b223da4fe9)

opisują ruch wzdłuż prostej w czasoprzestrzeni z prędkością

v=(v1,v2,v3).{\\displaystyle v=(v^{1},v^{2},v^{3}).}![{\displaystyle v=(v^{1},v^{2},v^{3}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5a1e5b2ff142594e673981a2c936c417b5b3d6)

## Geodezyjne w czasoprzestrzeni

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=5 "Edytuj sekcję: Geodezyjne w czasoprzestrzeni") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=5 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Geodezyjne w czasoprzestrzeni")\]

### Równanie geodezyjnej

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=6 "Edytuj sekcję: Równanie geodezyjnej") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=6 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Równanie geodezyjnej")\]

Linie geodezyjne xλ(s){\\displaystyle x^{\\lambda }(s)}![{\displaystyle x^{\lambda }(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9618a70f6dce7ff5f8a438ac00a0858697acd3fb) łączące dwa punkty czasoprzestrzeni xA{\\displaystyle x\_{A}}![{\displaystyle x_{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131920dc49fade5cd528c48af190e33e3c7e0a6e) oraz xB{\\displaystyle x\_{B}}![{\displaystyle x_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed50607e708536bb045122a43bcdfd426578f98) w [czasoprzestrzeni](/wiki/Czasoprzestrze%C5%84 "Czasoprzestrzeń") spełniają 4 równania różniczkowe:

d2xλds2+Γμνλdxμdsdxνds=0,{\\displaystyle {\\frac {d^{2}x^{\\lambda }}{ds^{2}}}+\\Gamma \_{\\mu \\nu }^{\\lambda }{\\frac {dx^{\\mu }}{ds}}{\\frac {dx^{\\nu }}{ds}}=0,\\quad {}}![{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0,\quad {}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1253ea2efab08195eba6ee117d714d81ddd7f372)λ=0,1,2,3{\\displaystyle \\lambda =0,1,2,3}![{\displaystyle \lambda =0,1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3920081d8b04954f1577dfd7991a0b04c5804826)

gdzie:

- Γμνλ{\\displaystyle \\Gamma \_{\\mu \\nu }^{\\lambda }}![{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ed711a5120b51b00a8bb4bdd696b6f38655ee2) – [symbole Christoffela](/wiki/Symbole_Christoffela "Symbole Christoffela"): Γμνλ=12gλρ(∂μgρν+∂νgρμ−∂ρgμν).{\\displaystyle \\Gamma \_{\\mu \\nu }^{\\lambda }={\\frac {1}{2}}g^{\\lambda \\rho }(\\partial \_{\\mu }g\_{\\rho \\nu }+\\partial \_{\\nu }g\_{\\rho \\mu }-\\partial \_{\\rho }g\_{\\mu \\nu }).}![{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }(\partial _{\mu }g_{\rho \nu }+\partial _{\nu }g_{\rho \mu }-\partial _{\rho }g_{\mu \nu }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3208a29f645c4f3fbfde7611356666059cb7ff77)

### Wyprowadzenie równania

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=7 "Edytuj sekcję: Wyprowadzenie równania") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=7 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Wyprowadzenie równania")\]

Równanie geodezyjnej można wyprowadzić kilkoma sposobami, np. z warunku, by krzywa nadawała wartość ekstremalną [funkcjonałowi](/wiki/Rachunek_wariacyjny "Rachunek wariacyjny")

S\[x(s)\]=−mc∫xAxBds=−mc∫xAxBgμνdxμdsdxνds,{\\displaystyle S\[x(s)\]=-mc\\int \_{x\_{A}}^{x\_{B}}\\!\\!ds=-mc\\int \_{x\_{A}}^{x\_{B}}\\!\\!{\\sqrt {g\_{\\mu \\nu }{\\frac {dx^{\\mu }}{ds}}{\\frac {dx^{\\nu }}{ds}}}},}![{\displaystyle S[x(s)]=-mc\int _{x_{A}}^{x_{B}}\!\!ds=-mc\int _{x_{A}}^{x_{B}}\!\!{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20884665d0a039a4abb0dc765cb7af3526d0b82)

tzn. żąda się, by spośród wszystkich krzywych, łączących dane punkty czasoprzestrzeni długość krzywej ∫xAxBds{\\displaystyle \\int \_{x\_{A}}^{x\_{B}}\\!\\!ds}![{\displaystyle \int _{x_{A}}^{x_{B}}\!\!ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa2a46be6eb864d83a71a638da6bb15e19048f5) była ekstremalna (co dla punktów odpowiednio blisko leżących oznacza minimum).

Powyższy układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie dla danego punktu startowego xλ(s=s1){\\displaystyle x^{\\lambda }(s=s\_{1})}![{\displaystyle x^{\lambda }(s=s_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a74a8157fc0a8a9d2c077ed3fda6e9bd4a439d3) oraz prędkości początkowej x˙λ(s=s1){\\displaystyle {\\dot {x}}^{\\lambda }(s=s\_{1})}![{\displaystyle {\dot {x}}^{\lambda }(s=s_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e566f765b60ce58156751a841e3d78b49af4fd) w tym punkcie.

### Ruch po geodezyjnych jako ruch swobodny z czasoprzestrzeni

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=8 "Edytuj sekcję: Ruch po geodezyjnych jako ruch swobodny z czasoprzestrzeni") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=8 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Ruch po geodezyjnych jako ruch swobodny z czasoprzestrzeni")\]

Z punktu widzenia mechaniki geodezyjne można traktować jako krzywe, po których poruszają się ciała w rozmaitości, nie poddane działaniu sił. Równanie geodezyjnej oznacza bowiem, że wektor przyspieszenia krzywej nie ma składowych w kierunkach stycznych do powierzchni – i dlatego wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w każdym punkcie krzywej. Dlatego ruch jest całkowicie określony przez zakrzywienie powierzchni. Ogólna Teoria Względności zakłada, że ciała poruszają się po geodezyjnych czasoprzestrzeni, przy czym jej zakrzywienie jest przejawem grawitacji.

## Przykład: Czasoprzestrzeń płaska

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=9 "Edytuj sekcję: Przykład: Czasoprzestrzeń płaska") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=9 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład: Czasoprzestrzeń płaska")\]

Czasoprzestrzeń płaska – to [przestrzeń Minkowskiego](/wiki/Czasoprzestrze%C5%84_Minkowskiego "Czasoprzestrzeń Minkowskiego") mająca diagonalny tensor metryczny

gμν=diag(1,−1,−1,−1).{\\displaystyle g\_{\\mu \\nu }={\\mbox{diag}}(1,-1,-1,-1).}![{\displaystyle g_{\mu \nu }={\mbox{diag}}(1,-1,-1,-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35a329b895446e3a1204dfba6d75bde142a30c3)

Ogólne równanie linii geodezyjnej redukuje się tu do postaci

d2xλds2=0,{\\displaystyle {\\frac {d^{2}x^{\\lambda }}{ds^{2}}}=0,}![{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e0e10825cc08948026b2d7beb074c745dd4ee7)

co oznacza, że przyspieszenie ciała jest zerowe. Rozwiązanie tego równania przedstawia prostą euklidesową. Wynika stąd, że w płaskiej przestrzeni ciała, na które nie działają żadne siły, poruszają się po prostej euklidesowej.

## Przykład: Sfera – obliczenia tensora metrycznego

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=10 "Edytuj sekcję: Przykład: Sfera – obliczenia tensora metrycznego") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=10 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład: Sfera – obliczenia tensora metrycznego")\]

Na 2{\\displaystyle 2}![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)-wymiarowej sferze S2{\\displaystyle S^{2}}![{\displaystyle S^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6401d5d0155afb1406770d1eb80badce4e08ce) o równaniu (y1)2+(y2)2+(y3)2=r2{\\displaystyle (y^{1})^{2}+(y^{2})^{2}+(y^{3})^{2}=r^{2}}![{\displaystyle (y^{1})^{2}+(y^{2})^{2}+(y^{3})^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f8e74d5140a7346cca8162b7d50d3a079850cd) (gdzie y1,y2,y3{\\displaystyle y^{1},y^{2},y^{3}}![{\displaystyle y^{1},y^{2},y^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c469ecfa121ecd01428a7f4d8b39bff1af2efcf) oznaczają [współrzędne kartezjańskie](/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich "Układ współrzędnych kartezjańskich")), wygodnie jest wprowadzić [współrzędne sferyczne](/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_sferycznych "Układ współrzędnych sferycznych")x1=θ,{\\displaystyle x^{1}=\\theta ,}![{\displaystyle x^{1}=\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a34f7e285df7c3b74b4106b91038930adf1be0b)x2=ϕ,{\\displaystyle x^{2}=\\phi ,}![{\displaystyle x^{2}=\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63bdb847e98f1500c6919e4e34930339ee49e5) tak że zachodzą związki:

y1=rsin⁡(θ)sin⁡(ϕ),{\\displaystyle y^{1}=r\\sin(\\theta )\\sin(\\phi ),}![{\displaystyle y^{1}=r\sin(\theta )\sin(\phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce445415c8838a8d139856c19059ac708d640b1)y2=rsin⁡(θ)cos⁡(ϕ),{\\displaystyle y^{2}=r\\sin(\\theta )\\cos(\\phi ),}![{\displaystyle y^{2}=r\sin(\theta )\cos(\phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a06cc9ef0ddc00d69b1dc51c82380d2a8f4f7f6)y3=rcos⁡(θ).{\\displaystyle y^{3}=r\\cos(\\theta ).}![{\displaystyle y^{3}=r\cos(\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee00aba024b8fe7867e0bc9220eb5f73cdb9b063)

Element długości wyraża się przez różniczki:

ds2=(dy1)2+(dy2)2+(dy3)2.{\\displaystyle ds^{2}=(dy^{1})^{2}+(dy^{2})^{2}+(dy^{3})^{2}.}![{\displaystyle ds^{2}=(dy^{1})^{2}+(dy^{2})^{2}+(dy^{3})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad787bfa3a8beb43ef6d69343408a9d3973f58f)

Obliczając różniczki dy1,dy2,dy3{\\displaystyle dy^{1},dy^{2},dy^{3}}![{\displaystyle dy^{1},dy^{2},dy^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f981dce090235e64408eeeb8842bb71f6086abfb) otrzymamy (przy tym przy obliczeniach zakładamy, że współrzędna r{\\displaystyle r}![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538) jest wielkością stałą, równą promieniowi sfery):

dy1=rcos⁡(θ)dθsin⁡(ϕ)+rsin⁡(θ)cos⁡(ϕ)dϕ,{\\displaystyle dy^{1}=r\\cos(\\theta )d\\theta \\sin(\\phi )+r\\sin(\\theta )\\cos(\\phi )d\\phi ,}![{\displaystyle dy^{1}=r\cos(\theta )d\theta \sin(\phi )+r\sin(\theta )\cos(\phi )d\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01487a0c6a95aa269d55f9ff3af3409e8815c1c2)dy2=rcos⁡(θ)dθcos⁡(ϕ)−rsin⁡(θ)sin⁡(ϕ)dϕ,{\\displaystyle dy^{2}=r\\cos(\\theta )d\\theta \\cos(\\phi )-r\\sin(\\theta )\\sin(\\phi )d\\phi ,}![{\displaystyle dy^{2}=r\cos(\theta )d\theta \cos(\phi )-r\sin(\theta )\sin(\phi )d\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f823770dc4c9562566eeb2cfaeba02637771d1b1)dy3=−rsin⁡(θ)dθ.{\\displaystyle dy^{3}=-r\\sin(\\theta )d\\theta .}![{\displaystyle dy^{3}=-r\sin(\theta )d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0fb7e3c1bb7ce5094204b7dcc5b9c50e62a9f6)

Dokonując podstawienia tych różniczek do wzoru na ds2{\\displaystyle ds^{2}}![{\displaystyle ds^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbeadecfd3d657628269afa2f6a1d20b0bf1cce) otrzyma się:

ds2=r2dθ2+r2sin2⁡(θ)dϕ2.{\\displaystyle ds^{2}=r^{2}d\\theta ^{2}+r^{2}\\sin ^{2}(\\theta )d\\phi ^{2}.}![{\displaystyle ds^{2}=r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbac9702f0ecf23c2145a4ea93150e55e98b6194)

Porównując powyższy wynik z postacią różniczki odległości we współrzędnych krzywoliniowych

ds2=gi,jdxidxj,{\\displaystyle ds^{2}=g\_{i,j}dx^{i}dx^{j},}![{\displaystyle ds^{2}=g_{i,j}dx^{i}dx^{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fbb3df4c381d4c7cf55aec8cb9a703d34dfebe)

gdzie gi,j{\\displaystyle g\_{i,j}}![{\displaystyle g_{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2fe270b32fba161f2f6faf9e14938ece246ce7) – współczynniki [tensora metrycznego](/wiki/Tensor_metryczny "Tensor metryczny") otrzyma się g1,1=r2,{\\displaystyle g\_{1,1}=r^{2},}![{\displaystyle g_{1,1}=r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfde0ff091d981f5f5abff965bfe9196833d9d7)g1,2=0,{\\displaystyle g\_{1,2}=0,}![{\displaystyle g_{1,2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a9e0bbc2c557fee4690f7e7250a01328365a5c)g2,1=0,{\\displaystyle g\_{2,1}=0,}![{\displaystyle g_{2,1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7fce4fbe3c6381b32fef3cb72f9869df10e818)g1,1=r2sin2θ,{\\displaystyle g\_{1,1}=r^{2}sin^{2}\\theta ,}![{\displaystyle g_{1,1}=r^{2}sin^{2}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e9634ce564288d27792994709b1fb55ec45527) czyli tensor metryczny zapisany w postaci tablicy ma postać:

gi,j=(r200r2sin2⁡θ).{\\displaystyle g\_{i,j}={\\begin{pmatrix}r^{2}&0\\\0&r^{2}\\sin ^{2}\\theta \\end{pmatrix}}.}![{\displaystyle g_{i,j}={\begin{pmatrix}r^{2}&0\\0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8609ea652f251775b611cdd3816483cb791bb54c)

Aby dostać równanie różniczkowe geodezyjnej należy obliczyć wszystkie symbole Christoffela i wstawić je do ogólnego równania. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

## Czasoprzestrzeń wokół masywnego ciała

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=11 "Edytuj sekcję: Czasoprzestrzeń wokół masywnego ciała") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=11 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Czasoprzestrzeń wokół masywnego ciała")\]

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny – zapisany w układzie współrzędnych sferycznych – ma postać

gμν=(eν(r)0000−eλ(r)0000−r20000−r2sin2⁡(θ)).{\\displaystyle g\_{\\mu \\nu }={\\begin{pmatrix}e^{\\nu (r)}&0&0&0\\\0&-e^{\\lambda (r)}&0&0\\\0&0&-r^{2}&0\\\0&0&0&-r^{2}\\sin ^{2}(\\theta )\\end{pmatrix}}.}![{\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}e^{\nu (r)}&0&0&0\\0&-e^{\lambda (r)}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc91a568e3c220509674e8ec64aacb7c2a9f842)

Elementy tensora gμν{\\displaystyle g\_{\\mu \\nu }}![{\displaystyle g_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bf4140993a891f5782167dc8a0c236dc7667b8) nie zależą od współrzędnej ϕ.{\\displaystyle \\phi .}![{\displaystyle \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b065a61a08fe84742ade270b4dbd8c087510e6)

Z metryki tej oblicza się symbole Christoffela. Np. otrzymamy

Γ001=12dνdreν−λ.{\\displaystyle \\Gamma \_{00}^{1}={\\frac {1}{2}}{\\frac {d\\nu }{dr}}e^{\\nu -\\lambda }.}![{\displaystyle \Gamma _{00}^{1}={\frac {1}{2}}{\frac {d\nu }{dr}}e^{\nu -\lambda }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00026580ddcff4a547038fe8eb0afb05093b1ac2)

Element g00{\\displaystyle g\_{00}}![{\displaystyle g_{00}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ce4002e24997343de6fafde582f95a54753741) tensora w rozpatrywanym polu wokół ciała wyraża się przez potencjał grawitacyjny φ(r):{\\displaystyle \\varphi (r){:}}![{\displaystyle \varphi (r){:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048ef09587da98389a11253ee0b96224491602af)

g00=eν(r)=1+2φ(r)c2,{\\displaystyle g\_{00}=e^{\\nu (r)}=1+{\\frac {2\\varphi (r)}{c^{2}}},}![{\displaystyle g_{00}=e^{\nu (r)}=1+{\frac {2\varphi (r)}{c^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43afd17a3fa07f6928cce15a278622394fef963)

przy czym w rozwiązaniu podanym przez [Karla Schwarzschilda](/wiki/Karl_Schwarzschild "Karl Schwarzschild") dla zagadnienia pola grawitacyjnego w pobliżu [czarnej dziury](/wiki/Czarna_dziura "Czarna dziura") mamy

φ(r)=−GMr,{\\displaystyle \\varphi (r)=-G{\\frac {M}{r}},}![{\displaystyle \varphi (r)=-G{\frac {M}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f840fc99c51d1c1ebaddfe393d8fe2713867938)

gdzie G{\\displaystyle G}![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) – uniwersalna [stała grawitacyjna](/wiki/Sta%C5%82a_grawitacji "Stała grawitacji"), M{\\displaystyle M}![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd) – masa czarnej dziury.

Interwał czasoprzestrzenny ds{\\displaystyle ds}![{\displaystyle ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0fb36e4308227d3e4a1f809c2571ec02527100) definiuje [czas własny](/wiki/Czas_w%C5%82asny "Czas własny")ds=cdτ.{\\displaystyle ds=cd\\tau .}![{\displaystyle ds=cd\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd25efc984d210c67a65732d4545079c0e8ab43b)

W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, wtedy dτ=dt{\\displaystyle d\\tau =dt}![{\displaystyle d\tau =dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a3b69f047b39ef46b20dbb466ef63845217edb) i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona cząstki w polu grawitacyjnym

md2xidt2=−m∂iφ(r).{\\displaystyle m{\\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-m\\partial \_{i}\\varphi (r).}![{\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-m\partial _{i}\varphi (r).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace24d63c2b564207721e77c5416c4e9c97cb849)

W opisie ruchu ciał za pomocą wyżej przedstawionych równań ruchu przyspieszenie cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni. Jest to słuszne, gdy źródło pola grawitacyjnego jest na tyle masywne, że ruch innych ciał nie wpływa na zmianę położenia źródła pola.

## Zobacz też

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=12 "Edytuj sekcję: Zobacz też") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=12 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też")\]

- [G-przestrzeń](/wiki/G-przestrze%C5%84 "G-przestrzeń")
- [pochodna kowariantna](/wiki/Pochodna_kowariantna "Pochodna kowariantna")
- [symbole Christoffela](/wiki/Symbole_Christoffela "Symbole Christoffela")
- [tensor metryczny](/wiki/Tensor_metryczny "Tensor metryczny")
- [wektor styczny do krzywej](/wiki/Wektor_styczny "Wektor styczny")
- [współrzędne krzywoliniowe](/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne_krzywoliniowe "Współrzędne krzywoliniowe")

## Uwagi

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=13 "Edytuj sekcję: Uwagi") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=13 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi")\]

1. [↑](#cite_ref-1)Nie musi zawierać najkrótszej drogi pomiędzy dowolnymi dwoma swoimi punktami. Na przykład [helisa](/wiki/Linia_%C5%9Brubowa "Linia śrubowa") na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie zawiera najkrótszej drogi pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca.

## Przypisy

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=14 "Edytuj sekcję: Przypisy") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=14 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy")\]

1. [↑](#cite_ref-2)[_Geodezyjna_](https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3904883), \[w:\] _[Encyklopedia PWN](/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa) "Encyklopedia PWN (internetowa)")_ \[online\], Wydawnictwo Naukowe PWN \[dostęp 2021-07-30\].

## Bibliografia

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=15 "Edytuj sekcję: Bibliografia") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=15 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia")\]

- E. Kącki, L. Siewierski, _Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami_, Warszawa: [Państwowe Wydawnictwo Naukowe](/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN "Wydawnictwo Naukowe PWN"), 1975.
- G.A. Korn, T.M. Korn, _Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów_, cz. 2, PWN, Warszawa 1983.
- [L.D. Landau](/wiki/Lew_Landau "Lew Landau"), J.M. Lifszyc, _Teoria pola_, PWN, Warszawa 2009.

## Linki zewnętrzne

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&veaction=edit&section=16 "Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&action=edit&section=16 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne")\]

- MichałM.MiśkiewiczMichałM., [_Ktoś w Internecie się myli! czyli o twierdzeniu Clairaut_](http://www.deltami.edu.pl/2022a/07/2022-07-delta-art-05-miskiewicz.pdf), \[w:\] pismo „ [Delta](/wiki/Delta_(miesi%C4%99cznik) "Delta (miesięcznik)")”, deltami.edu.pl, lipiec 2022, [ISSN](/wiki/International_Standard_Serial_Number "International Standard Serial Number") [0137-3005](http://worldcat.org/issn/0137-3005) \[dostęp 2022-07-02\](pol.).
- Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W., [_Geodesic_](http://mathworld.wolfram.com/Geodesic.html), \[w:\] [MathWorld](/wiki/MathWorld "MathWorld"), Wolfram Research(ang.). \[dostęp 2024-04-11\].

- [p](/wiki/Szablon:Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Szablon:Ogólna teoria względności")
- [d](/wiki/Dyskusja_szablonu:Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Dyskusja szablonu:Ogólna teoria względności")
- [e](https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci&action=edit)

[Ogólna teoria względności](/wiki/Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Ogólna teoria względności")

- [Wstęp](/w/index.php?title=Wprowadzenie_do_og%C3%B3lnej_teorii_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci&action=edit&redlink=1 "Wprowadzenie do ogólnej teorii względności (strona nie istnieje)")
- [Aparat matematyczny](/w/index.php?title=Aparat_matematyczny_og%C3%B3lnej_teorii_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci&action=edit&redlink=1 "Aparat matematyczny ogólnej teorii względności (strona nie istnieje)")
- [Równanie Einsteina](/wiki/R%C3%B3wnanie_Einsteina "Równanie Einsteina")
- [Testy doświadczalne](/wiki/Testy_do%C5%9Bwiadczalne_og%C3%B3lnej_teorii_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Testy doświadczalne ogólnej teorii względności")

Podstawowe koncepcje

- [geometria Riemanna](/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87_riemannowska "Rozmaitość riemannowska")
- [linia świata](/wiki/Linia_%C5%9Bwiata "Linia świata")
- [szczególna teoria względności](/wiki/Szczeg%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Szczególna teoria względności")
- [zasada równoważności](/wiki/Zasada_r%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9Bci "Zasada równoważności")

Zjawiska

- [czarna dziura](/wiki/Czarna_dziura "Czarna dziura")
- [efekt geodezyjny](/w/index.php?title=Efekt_geodezyjny&action=edit&redlink=1 "Efekt geodezyjny (strona nie istnieje)")
- [efekt Lensego-Thirringa](/wiki/Efekt_Lensego-Thirringa "Efekt Lensego-Thirringa")
- [fala grawitacyjna](/wiki/Fala_grawitacyjna "Fala grawitacyjna")
- [horyzont zdarzeń](/wiki/Horyzont_zdarze%C5%84 "Horyzont zdarzeń")
- [osobliwość grawitacyjna](/wiki/Osobliwo%C5%9B%C4%87_(astronomia) "Osobliwość (astronomia)")
- [problem Keplera](/w/index.php?title=Zagadnienie_dw%C3%B3ch_cia%C5%82_w_og%C3%B3lnej_teorii_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci&action=edit&redlink=1 "Zagadnienie dwóch ciał w ogólnej teorii względności (strona nie istnieje)")
- [soczewkowanie grawitacyjne](/wiki/Soczewkowanie_grawitacyjne "Soczewkowanie grawitacyjne")

Równania

- [równanie Einsteina](/wiki/R%C3%B3wnanie_Einsteina "Równanie Einsteina")
- [grawitacyjna całka działania](/wiki/Grawitacyjna_ca%C5%82ka_dzia%C5%82ania "Grawitacyjna całka działania")
- [zlinearyzowana grawitacja](/w/index.php?title=Zlinearyzowana_grawitacja&action=edit&redlink=1 "Zlinearyzowana grawitacja (strona nie istnieje)")
- [równania Friedmana](/wiki/R%C3%B3wnania_Friedmana "Równania Friedmana")

Formalizm

- [ADM](/w/index.php?title=Formalizm_ADM&action=edit&redlink=1 "Formalizm ADM (strona nie istnieje)")
- [BSSN](/w/index.php?title=BSSN&action=edit&redlink=1 "BSSN (strona nie istnieje)")
- [postnewtonowski](/w/index.php?title=Formalizm_postnewtonowski&action=edit&redlink=1 "Formalizm postnewtonowski (strona nie istnieje)")

Rozwiązania

- [Schwarzschilda](/wiki/Metryka_Schwarzschilda "Metryka Schwarzschilda")
- [Reissnera–Nordströma](/w/index.php?title=Metryka_Reissnera%E2%80%93Nordstr%C3%B6ma&action=edit&redlink=1 "Metryka Reissnera–Nordströma (strona nie istnieje)")
- [Kerra](/wiki/Metryka_Kerra "Metryka Kerra")
- [Kerra-Newmana](/w/index.php?title=Metryka_Kerra-Newmana&action=edit&redlink=1 "Metryka Kerra-Newmana (strona nie istnieje)")
- [Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera](/wiki/Metryka_Friedmana-Lema%C3%AEtre%E2%80%99a-Robertsona-Walkera "Metryka Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera")
- [Gödla](/wiki/Metryka_G%C3%B6dla "Metryka Gödla")
- [Model Milne'a](/w/index.php?title=Model_Milne%27a&action=edit&redlink=1 "Model Milne'a (strona nie istnieje)")
- [Kasnera](/w/index.php?title=Metryka_Kasnera&action=edit&redlink=1 "Metryka Kasnera (strona nie istnieje)")
- [Lemaître'a–Tolmana](/w/index.php?title=Metryka_Lema%C3%AEtre%27a%E2%80%93Tolmana&action=edit&redlink=1 "Metryka Lemaître'a–Tolmana (strona nie istnieje)")
- [Taub–NUT](/w/index.php?title=Metryka_Taub%E2%80%93NUT&action=edit&redlink=1 "Metryka Taub–NUT (strona nie istnieje)")
- [fale pp](/w/index.php?title=Fale_pp&action=edit&redlink=1 "Fale pp (strona nie istnieje)")
- [van Stockuma](/w/index.php?title=Py%C5%82_van_Stockuma&action=edit&redlink=1 "Pył van Stockuma (strona nie istnieje)")
- [Weyl–Lewis–Papapetrou](/w/index.php?title=Wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne_Weyla%E2%80%93Lewisa%E2%80%93Papapetrousa&action=edit&redlink=1 "Współrzędne Weyla–Lewisa–Papapetrousa (strona nie istnieje)")

Uczeni

- [Einstein](/wiki/Albert_Einstein "Albert Einstein")
- [Lorentz](/wiki/Hendrik_Lorentz "Hendrik Lorentz")
- [Minkowski](/wiki/Hermann_Minkowski "Hermann Minkowski")
- [Poincaré](/wiki/Henri_Poincar%C3%A9 "Henri Poincaré")
- [Infeld](/wiki/Leopold_Infeld "Leopold Infeld")
- [Schwarzschild](/wiki/Karl_Schwarzschild "Karl Schwarzschild")
- [Eddington](/wiki/Arthur_Stanley_Eddington "Arthur Stanley Eddington")
- [Friedman](/wiki/Aleksandr_Friedman "Aleksandr Friedman")
- [Robertson](/w/index.php?title=Howard_Percy_Robertson&action=edit&redlink=1 "Howard Percy Robertson (strona nie istnieje)")
- [Lemaître](/wiki/Georges_Lema%C3%AEtre "Georges Lemaître")
- [Plebański](/wiki/Jerzy_Pleba%C5%84ski "Jerzy Plebański")
- [Chandrasekhar](/wiki/Subrahmanyan_Chandrasekhar "Subrahmanyan Chandrasekhar")
- [Hawking](/wiki/Stephen_Hawking "Stephen Hawking")
- [Kerr](/wiki/Roy_P._Kerr "Roy P. Kerr")
- [Trautman](/wiki/Andrzej_Trautman "Andrzej Trautman")
- [Thorne](/wiki/Kip_Thorne "Kip Thorne")
- [Penrose](/wiki/Roger_Penrose "Roger Penrose")
- [Bardeen](/w/index.php?title=James_M._Bardeen&action=edit&redlink=1 "James M. Bardeen (strona nie istnieje)")
- [Wheeler](/wiki/John_Archibald_Wheeler "John Archibald Wheeler")
- [inni](https://en.wikipedia.org/wiki/List%20of%20contributors%20to%20general%20relativity)

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Spacetime_curvature.png/120px-Spacetime_curvature.png)](/wiki/Plik:Spacetime_curvature.png)

Gμν+Λgμν=8πGc4Tμν{\\displaystyle G\_{\\mu \\nu }+\\Lambda g\_{\\mu \\nu }={\\frac {8\\pi G}{c^{4}}}T\_{\\mu \\nu }}![{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aaaefcd08410d58661d5318fddfc0b33ee1d9fd)

[Kontrola autorytatywna](/wiki/Kontrola_autorytatywna "Kontrola autorytatywna") ([krzywa](/wiki/Krzywa "Krzywa")):

- [LCCN](/wiki/Library_of_Congress_Control_Number "Library of Congress Control Number"): [sh85053967](http://lccn.loc.gov/sh85053967)
- [GND](/wiki/Gemeinsame_Normdatei "Gemeinsame Normdatei"): [4156669-5](http://d-nb.info/gnd/4156669-5)
- [J9U](/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela "Biblioteka Narodowa Izraela"): [987007562985805171](http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007562985805171)

[Encyklopedie internetowe](/wiki/Encyklopedia_internetowa "Encyklopedia internetowa"):

- [PWN](/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa) "Encyklopedia PWN (internetowa)"): [3904883](https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3904883.html)
- [Britannica](/wiki/Encyklopedia_Britannica "Encyklopedia Britannica"): [topic/geodesic](https://www.britannica.com/topic/geodesic)
- [SNL](/wiki/Store_norske_leksikon "Store norske leksikon"): [geodetisk\_kurve](https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=geodetisk_kurve)
- [Catalana](https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1296 "d:Property:P1296"): [0185980](https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0185980.xml)

Źródło: „ [https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Linia\_geodezyjna&oldid=73538955](https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&oldid=73538955)”

[Kategorie](/wiki/Specjalna:Kategorie "Specjalna:Kategorie"):

- [Rodzaje krzywych](/wiki/Kategoria:Rodzaje_krzywych "Kategoria:Rodzaje krzywych")
- [Geometria metryczna](/wiki/Kategoria:Geometria_metryczna "Kategoria:Geometria metryczna")
- [Ogólna teoria względności](/wiki/Kategoria:Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Kategoria:Ogólna teoria względności")
- [Rachunek wariacyjny](/wiki/Kategoria:Rachunek_wariacyjny "Kategoria:Rachunek wariacyjny")

Ukryta kategoria:

- [Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2018-03](/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_wymagaj%C4%85ce_uzupe%C5%82nienia_%C5%BAr%C3%B3de%C5%82_od_2018-03 "Kategoria:Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2018-03")

- Tę stronę ostatnio edytowano 18 kwi 2024, 00:28.
- Tekst udostępniany na [licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl), z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Zobacz szczegółowe informacje o [warunkach korzystania](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl).

- [Polityka prywatności](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy)
- [O Wikipedii](/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii)
- [Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność](/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87)
- [Powszechne Zasady Postępowania](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct)
- [Dla deweloperów](https://developer.wikimedia.org)
- [Statystyki](https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org)
- [Komunikat na temat ciasteczek](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement)
- [Wersja mobilna](//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Linia_geodezyjna&mobileaction=toggle_view_mobile)

- [![Wikimedia Foundation](/static/images/footer/wikimedia-button.svg)](https://wikimediafoundation.org/)
- [![Powered by MediaWiki](/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg)](https://www.mediawiki.org/)