13.7 Teoria grawitacji Einsteina - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1
W 1905 roku Albert Einstein (1879–1955) opublikował szczególną teorię względności (ang. Theory of Special Relativity). Teoria ta została omówiona szczeg...
Równanie 13.1
W prawie powszechnego ciążenia ( <anchor>Równanie 13.1</anchor>) pojawia się również drugie założenie. Zakłada się, że masy występujące w tym prawie są dokładnie takie same, jak te stosowane w drugiej zasadzie dynamiki Newtona F→=ma→F→=ma→. Poczyniliśmy to założenie w wielu naszych wyprowadzeniach w tym rozdziale. Ponownie, nie ma żadnej podstawowej zasady stwierdzającej, że tak musi być, ale wyniki doświadczalne są zgodne z tym założeniem. W kolejnej (1916 r.) ogólnej teorii względności (ang. Theory of General Relativity) Einstein, rozwiązał oba te problemy. Jego teoria opisuje geometrię czasoprzestrzeni (ang. space-time geometry) oraz to, jak masa (i przyspieszenie) oddziałują z czasoprzestrzenią i jak ją zakłócają. Nie jest to na pewno teoria sił grawitacyjnych. Matematyka stosowana w ogólnej teorii względności wykracza poza zakres tego kursu, ale możemy zapoznać się z kilkoma podstawowymi zasadami wynikającymi z tej teorii oraz ich konsekwencjami.
13.1 Prawo powszechnego ciążenia - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1 | OpenStax
13.1 Prawo powszechnego ciążenia - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1 \| OpenStax

[Przejdź do treści](#main-content) [Przejdź do informacji o dostępności](https://openstax.org/accessibility-statement)Menu skrótów klawiszowych

[![Logo OpenStax](/rex/releases/v4/6d3f24e/static/media/logo.6064f4d8.svg)](/)

[Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1](https://openstax.pl/szczegoly-ksiazki?book=Fizyka_dla_szk%C3%B3%C5%82_wy%C5%BCszych_tom_1)

# 13.1Prawo powszechnego ciążenia

[Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1](https://openstax.pl/szczegoly-ksiazki?book=Fizyka_dla_szk%C3%B3%C5%82_wy%C5%BCszych_tom_1) 13.1Prawo powszechnego ciążenia

SzukajSzukaj

![](/rex/releases/v4/6d3f24e/static/media/text-size.3058fef1.svg)

* * *

Zamknij
Szukaj

![](/rex/releases/v4/6d3f24e/static/media/text-size.3058fef1.svg)

Spis treściSpis treści

Notatki

Drukuj

Spis treści

01. [Przedmowa](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/przedmowa)
02. Mechanika



01. 1Jednostki i miary



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep)
2. [1.1Zakres stosowalności praw fizyki](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-1-zakres-stosowalnosci-praw-fizyki)
3. [1.2Układy jednostek miar](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-2-uklady-jednostek-miar)
4. [1.3Konwersja jednostek](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-3-konwersja-jednostek)
5. [1.4Analiza wymiarowa](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-4-analiza-wymiarowa)
6. [1.5Szacowanie i pytania Fermiego](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-5-szacowanie-i-pytania-fermiego)
7. [1.6Cyfry znaczące](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-6-cyfry-znaczace)
8. [1.7Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-7-rozwiazywanie-zadan-z-zakresu-fizyki)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-zadania-trudniejsze)

02. 2Wektory



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-wstep)
2. [2.1Skalary i wektory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-1-skalary-i-wektory)
3. [2.2Układy współrzędnych i składowe wektora](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-2-uklady-wspolrzednych-i-skladowe-wektora)
4. [2.3Działania na wektorach](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-3-dzialania-na-wektorach)
5. [2.4Mnożenie wektorów](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-4-mnozenie-wektorow)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-zadania-trudniejsze)

03. 3Ruch prostoliniowy



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-wstep)
2. [3.1Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-1-polozenie-przemieszczenie-predkosc-srednia)
3. [3.2Prędkość chwilowa i szybkość średnia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-2-predkosc-chwilowa-i-szybkosc-srednia)
4. [3.3Przyspieszenie średnie i chwilowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-3-przyspieszenie-srednie-i-chwilowe)
5. [3.4Ruch ze stałym przyspieszeniem](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-4-ruch-ze-stalym-przyspieszeniem)
6. [3.5Spadek swobodny i rzut pionowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-5-spadek-swobodny-i-rzut-pionowy)
7. [3.6Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-6-wyznaczanie-rownan-ruchu-metoda-calkowania)
8. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-zadania-trudniejsze)

04. 4Ruch w dwóch i trzech wymiarach



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-wstep)
2. [4.1Przemieszczenie i prędkość](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-1-przemieszczenie-i-predkosc)
3. [4.2Przyspieszenie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-2-przyspieszenie)
4. [4.3Rzuty](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-3-rzuty)
5. [4.4Ruch po okręgu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-4-ruch-po-okregu)
6. [4.5Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-5-ruch-wzgledny-w-jednym-i-dwoch-wymiarach)
7. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-zadania-trudniejsze)

05. 5Zasady dynamiki Newtona



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-wstep)
2. [5.1Pojęcie siły](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-1-pojecie-sily)
3. [5.2Pierwsza zasada dynamiki Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-2-pierwsza-zasada-dynamiki-newtona)
4. [5.3Druga zasada dynamiki Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-3-druga-zasada-dynamiki-newtona)
5. [5.4Masa i ciężar ciała](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-4-masa-i-ciezar-ciala)
6. [5.5Trzecia zasada dynamiki Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-5-trzecia-zasada-dynamiki-newtona)
7. [5.6Rodzaje sił](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-6-rodzaje-sil)
8. [5.7Rozkłady sił działających na ciała](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-7-rozklady-sil-dzialajacych-na-ciala)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-zadania-trudniejsze)

06. 6Zastosowania zasad dynamiki Newtona



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-wstep)
2. [6.1Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-1-rozwiazywanie-zadan-zwiazanych-z-zasadami-dynamiki-newtona)
3. [6.2Tarcie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-2-tarcie)
4. [6.3Siła dośrodkowa](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-3-sila-dosrodkowa)
5. [6.4Siła oporu i prędkość graniczna](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-4-sila-oporu-i-predkosc-graniczna)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-zadania-trudniejsze)

07. 7Praca i energia kinetyczna



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-wstep)
2. [7.1Praca](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-1-praca)
3. [7.2Energia kinetyczna](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-2-energia-kinetyczna)
4. [7.3Zasada zachowania energii mechanicznej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-3-zasada-zachowania-energii-mechanicznej)
5. [7.4Moc](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-4-moc)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-zadania-trudniejsze)

08. 8Energia potencjalna i zasada zachowania energii



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-wstep)
2. [8.1Energia potencjalna układu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-1-energia-potencjalna-ukladu)
3. [8.2Siły zachowawcze i niezachowawcze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-2-sily-zachowawcze-i-niezachowawcze)
4. [8.3Zasada zachowania energii](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-3-zasada-zachowania-energii)
5. [8.4Wykresy energii potencjalnej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-4-wykresy-energii-potencjalnej)
6. [8.5Źródła energii](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-5-zrodla-energii)
7. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-zadania-dodatkowe)

09. 9Pęd i zderzenia



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-wstep)
2. [9.1Pęd](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-1-ped)
3. [9.2Popęd siły i zderzenia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-2-poped-sily-i-zderzenia)
4. [9.3Zasada zachowania pędu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-3-zasada-zachowania-pedu)
5. [9.4Rodzaje zderzeń](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-4-rodzaje-zderzen)
6. [9.5Zderzenia w wielu wymiarach](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-5-zderzenia-w-wielu-wymiarach)
7. [9.6Środek masy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-6-srodek-masy)
8. [9.7Napęd rakietowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-7-naped-rakietowy)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-zadania-trudniejsze)

10. 10Obroty wokół stałej osi



01. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-wstep)
02. [10.1Zmienne opisujące ruch obrotowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-1-zmienne-opisujace-ruch-obrotowy)
03. [10.2Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-2-obroty-ze-stalym-przyspieszeniem-katowym)
04. [10.3Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-3-zwiazek-miedzy-wielkosciami-w-ruchach-obrotowym-i-postepowym)
05. [10.4Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-4-moment-bezwladnosci-i-energia-kinetyczna-w-ruchu-obrotowym)
06. [10.5Obliczanie momentu bezwładności](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-5-obliczanie-momentu-bezwladnosci)
07. [10.6Moment siły](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-6-moment-sily)
08. [10.7Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-7-druga-zasada-dynamiki-dla-ruchu-obrotowego)
09. [10.8Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-8-praca-i-energia-kinetyczna-w-ruchu-obrotowym)
10. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-zadania-trudniejsze)

11. 11Moment pędu



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-wstep)
2. [11.1Toczenie się ciał](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-1-toczenie-sie-cial)
3. [11.2Moment pędu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-2-moment-pedu)
4. [11.3Zasada zachowania momentu pędu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-3-zasada-zachowania-momentu-pedu)
5. [11.4Precesja żyroskopu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-4-precesja-zyroskopu)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-zadania-trudniejsze)

12. 12Równowaga statyczna i sprężystość



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-wstep)
2. [12.1Warunki równowagi statycznej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-1-warunki-rownowagi-statycznej)
3. [12.2Przykłady równowagi statycznej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-2-przyklady-rownowagi-statycznej)
4. [12.3Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-3-naprezenie-odksztalcenie-i-modul-sprezystosci)
5. [12.4Sprężystość i plastyczność](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-4-sprezystosc-i-plastycznosc)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-zadania-trudniejsze)

13. 13Grawitacja



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-wstep)
2. [13.1Prawo powszechnego ciążenia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia)
3. [13.2Grawitacja przy powierzchni Ziemi](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi)
4. [13.3Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-3-energia-potencjalna-i-calkowita-pola-grawitacyjnego)
5. [13.4Orbity satelitów i ich energia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-4-orbity-satelitow-i-ich-energia)
6. [13.5Prawa Keplera](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-5-prawa-keplera)
7. [13.6Siły pływowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-6-sily-plywowe)
8. [13.7Teoria grawitacji Einsteina](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-7-teoria-grawitacji-einsteina)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-zadania-trudniejsze)

14. 14Mechanika płynów



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-wstep)
2. [14.1Płyny, gęstość i ciśnienie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-1-plyny-gestosc-i-cisnienie)
3. [14.2Pomiar ciśnienia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-2-pomiar-cisnienia)
4. [14.3Prawo Pascala i układy hydrauliczne](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-3-prawo-pascala-i-uklady-hydrauliczne)
5. [14.4Prawo Archimedesa i siła wyporu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-4-prawo-archimedesa-i-sila-wyporu)
6. [14.5Dynamika płynów](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-5-dynamika-plynow)
7. [14.6Równanie Bernoulliego](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-6-rownanie-bernoulliego)
8. [14.7Lepkość i turbulencje](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-7-lepkosc-i-turbulencje)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-zadania-trudniejsze)

03. Fale i akustyka



1. 15Drgania



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-wstep)
2. [15.1Ruch harmoniczny](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-1-ruch-harmoniczny)
3. [15.2Energia w ruchu harmonicznym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-2-energia-w-ruchu-harmonicznym)
4. [15.3Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-3-porownanie-ruchu-harmonicznego-z-ruchem-jednostajnym-po-okregu)
5. [15.4Wahadła](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-4-wahadla)
6. [15.5Drgania tłumione](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-5-drgania-tlumione)
7. [15.6Drgania wymuszone](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-6-drgania-wymuszone)
8. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-zadania-trudniejsze)

2. 16Fale



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-wstep)
2. [16.1Fale biegnące](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-1-fale-biegnace)
3. [16.2Matematyczny opis fal](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-2-matematyczny-opis-fal)
4. [16.3Prędkość fali na naprężonej strunie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-3-predkosc-fali-na-naprezonej-strunie)
5. [16.4Energia i moc fali](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-4-energia-i-moc-fali)
6. [16.5Interferencja fal](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-5-interferencja-fal)
7. [16.6Fale stojące i rezonans](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-6-fale-stojace-i-rezonans)
8. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-zadania-trudniejsze)

3. 17Dźwięk



01. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-wstep)
02. [17.1Fale dźwiękowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-1-fale-dzwiekowe)
03. [17.2Prędkość dźwięku](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-2-predkosc-dzwieku)
04. [17.3Natężenie dźwięku](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-3-natezenie-dzwieku)
05. [17.4Tryby drgań fali stojącej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-4-tryby-drgan-fali-stojacej)
06. [17.5Źródła dźwięków muzycznych](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-5-zrodla-dzwiekow-muzycznych)
07. [17.6Dudnienia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-6-dudnienia)
08. [17.7Efekt Dopplera](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-7-efekt-dopplera)
09. [17.8Fale uderzeniowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-8-fale-uderzeniowe)
10. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-zadania-trudniejsze)

04. [AJednostki](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/a-jednostki)
05. [BPrzeliczanie jednostek](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/b-przeliczanie-jednostek)
06. [CNajważniejsze stałe fizyczne](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/c-najwazniejsze-stale-fizyczne)
07. [DDane astronomiczne](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/d-dane-astronomiczne)
08. [EWzory matematyczne](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/e-wzory-matematyczne)
09. [FUkład okresowy pierwiastków](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/f-uklad-okresowy-pierwiastkow)
10. [GAlfabet grecki](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/g-alfabet-grecki)
11. Rozwiązania zadań



01. [Rozdział 1](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-1)
02. [Rozdział 2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-2)
03. [Rozdział 3](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-3)
04. [Rozdział 4](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-4)
05. [Rozdział 5](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-5)
06. [Rozdział 6](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-6)
07. [Rozdział 7](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-7)
08. [Rozdział 8](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-8)
09. [Rozdział 9](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-9)
10. [Rozdział 10](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-10)
11. [Rozdział 11](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-11)
12. [Rozdział 12](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-12)
13. [Rozdział 13](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-13)
14. [Rozdział 14](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-14)
15. [Rozdział 15](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-15)
16. [Rozdział 16](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-16)
17. [Rozdział 17](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-17)

12. [Skorowidz nazwisk](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/skorowidz-nazwisk)
13. [Skorowidz rzeczowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/skorowidz-rzeczowy)
14. [Skorowidz terminów obcojęzycznych](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/skorowidz-terminow-obcojezycznych)

## Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

- wymieniać przełomowe momenty w historii powstawania teorii grawitacji;
- wyznaczać siłę grawitacji między dwiema masami punktowymi;
- szacować siłę grawitacji między grupą obiektów posiadających masę.

Na początku przyjrzymy się historii badań nad grawitacją, uwzględniając szczególnie te zjawiska, które przez tysiące lat inspirowały filozofów i naukowców do poszukiwania ich wyjaśnień. Następnie przeanalizujemy najprostszą formę prawa powszechnego ciążenia i pokażemy, jak należy je stosować.

## Historia teorii grawitacji

Pierwsi filozofowie zastanawiali się, dlaczego ciała mają naturalną tendencję do spadania na ziemię. Arystoteles (384–322 p.n.e.) wierzył, że z natury skała szuka Ziemi, a ogień z natury szuka niebios. Brahmagupta (598~665) postulował, że Ziemia jest kulą i wszystkie ciała pozostają do niej w naturalnym powinowactwie, spadając w kierunku jej środka niezależnie od tego, gdzie się znajdują.

Ruch Słońca, Księżyca i planet także był badany przez tysiące lat. Ruchy te z zadziwiającą dokładnością zostały opisane przez Ptolemeusza (100~170), którego teoria geocentryczna (wszystkie ciała niebieskie krążą wokół Ziemi) przedstawiała trajektorię planet, jako punktów krążących po mniejszych okręgach (epicyklach), których środki z kolei krążą po większych okręgach (deferentach) wokół Ziemi. Aż do XVII wieku brak było jednak jasnych wywodów, w których ktokolwiek powiązałby ruch ciał niebieskich z ruchem ciał spadających na Ziemię.

Mikołaj Kopernik (1473–1543) jest powszechnie uznawany za pierwszą osobę, która sprzeciwiła się geocentrycznemu systemowi Ptolemeusza, sugerując system heliocentryczny, w którym to Słońce jest w centrum Układu Słonecznego. Idea ta została poparta przez niesamowicie precyzyjne pomiary ruchu planet dokonane gołym okiem przez Tychona Brahe (1546–1601) oraz ich analizę przeprowadzoną przez Johannesa Keplera (1571–1630) i Galileusza (1564–1642). Kepler pokazał, że planety poruszają się po elipsach (pierwsze z jego praw omawiane w podrozdziale [Prawa Keplera](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-5-prawa-keplera)), a Robert Hooke (1635–1703) (ten sam, który sformułował prawo Hooke’a dotyczące sprężystości) intuicyjnie zasugerował, że ruchy te wynikają z przyciągania planet przez Słońce. Jednak to Isaac Newton (1642–1727) powiązał przyspieszenie ciał w pobliżu powierzchni Ziemi z przyspieszeniem dośrodkowym Księżyca na orbicie okołoziemskiej.

Na koniec w podrozdziale [Teoria grawitacji Einsteina](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-7-teoria-grawitacji-einsteina), przyjrzymy się teorii względności zaproponowanej przez Alberta Einsteina (1879–1955) w 1916 roku. Jego teoria wywodzi się z zupełnie innego podejścia, w którym grawitacja wynika z faktu, że masa zakrzywia czas i przestrzeń. W konsekwencji jego teoria dała początek wielu niezwykłym przewidywaniom, z których zasadniczo wszystkie zostały potwierdzone w ciągu wielu dziesięcioleci po jej opublikowaniu (jednym z tych przewidywań jest także detekcja fal grawitacyjnych, pochodzących z połączenia się dwóch czarnych dziur w roku 2015).

## Prawo powszechnego ciążenia

Newton zauważył, że ciała przy powierzchni Ziemi (znajdujące się w odległości RZRZ od środka Ziemi) spadają swobodnie z przyspieszeniem gg a przyspieszenie dośrodkowe Księżyca, znajdującego się w odległości około 60RZ60RZ, jest około 602602 razy mniejsze niż gg. Mógł to wyjaśnić zakładając, że pomiędzy dowolnymi dwoma ciałami istnieje siła, której wartość jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał, podzielonego przez kwadrat odległości między nimi. Dzisiaj wiemy, że odwrotna proporcjonalność do kwadratu odległości jest powszechna w przyrodzie dla źródeł punktowych. Siła, pochodząca od dowolnego źródła punktowego, rozkłada się równomiernie na powierzchni kuli o promieniu rr, której środek znajduje się w punkcie, w którym zlokalizowane jest źródło. Powierzchnia tej kuli jest proporcjonalna do r2r2. W późniejszych rozdziałach zobaczymy tę samą zależność od odległości dla elektrostatycznej siły kulombowskiej.

## Prawo powszechnego ciążenia

Prawo powszechnego ciążenia (ang. Newton’s law of universal gravitation) można wyrazić jako

F→12=Gm1m2r2r^12,F→12=Gm1m2r2r^12,

13.1

gdzie F→12F→12 jest siłą działająca na ciało 1 ze strony ciała 2, GG jest stałą grawitacji, m1m1 jest masą ciała 1, m2m2 jest masą ciała 2, rr jest odległością między tymi ciałami, a r^12r^12 jest wektorem jednostkowym o zwrocie skierowanym od ciała 1 do ciała 2.

Jak widać na [Ilustracji 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia#CNX_UPhysics_13_01_NewtonLofG), wektor F→12F→12 jest skierowany od ciała 1 do ciała 2 i reprezentuje siłę przyciągania między ciałami. Równy co do wartości, ale o przeciwnym zwrocie, wektor F→21F→21 reprezentuje siłę grawitacji wywieraną na ciało 2 przez ciało 1.

Ilustracja 13.2Siła grawitacji działająca wzdłuż prostej łączącej środki mas dwóch ciał.

Te dwie równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane siły odzwierciedlają trzecią zasadę dynamiki Newtona, która była omawiana wcześniej. Należy zwrócić uwagę, że ściślej rzecz ujmując, [Równanie 13.1](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia#fs-id1168327894017) odnosi się do mas punktowych — cała masa zlokalizowana jest w jednym punkcie. Jednak wzór ten można zastosować także do dowolnych ciał o symetrii sferycznej, gdzie rr
jest odległością między środkami mas tych ciał. W wielu przypadkach równanie to można zastosować także dla niesymetrycznych ciał, jeśli tylko odległość między nimi jest wystarczająco duża w porównaniu do ich rozmiarów. Wówczas można przyjąć, że rr
jest odległością między środkami mas tych ciał. W takim przypadku ciała te możemy traktować jak obiekty punktowe.

## Doświadczenie Cavendisha

Prawie wiek później, po tym jak Newton ogłosił prawo powszechnego ciążenia, Henry Cavendish (1731–1810) wyznaczył stałą proporcjonalności GG, przeprowadzając żmudny eksperyment. Skonstruował on urządzenie podobne do przedstawionego na [Ilustracji 13.3](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia#CNX_UPhysics_13_01_Cavendish). W stanie równowagi, dwie sztywno zamocowane duże masy umieszczone są symetrycznie w pobliżu dwóch mniejszych mas zawieszonych na skrętnej nici. Przyciąganie grawitacyjne między masami powoduje skręcenie nici, którego wartość można zmierzyć.

Stała GG
nazywana jest uniwersalną stałą grawitacji (ang. universal gravitational constant), a jej wartość wyznaczona przez Cavendisha wynosi G=6,67⋅10−11N⋅m2/kg2G=6,67⋅10−11N⋅m2/kg2. Określenie „uniwersalna” bierze się stąd, że naukowcy uważają, iż stała ta odnosi się do wszystkich mas niezależnie od ich składu oraz że ma ona tę samą wartość w całym Wszechświecie. Wartość stałej GG
jest niezwykle mała, co świadczy o tym, że siła grawitacji jest bardzo słaba. Siła przyciągania między ciałami o masie tak małej jak nasze ciała, czy nawet budynki, jest nieprawdopodobnie mała. Na przykład dwa ciała o masie 1 kg oddalone od siebie o 1 metr oddziałują na siebie siłą 6,7⋅10−11N6,7⋅10−11N. Jest to ciężar typowego ziarnka pyłku kwiatowego.

Ilustracja 13.3Cavendish wykorzystywał urządzenie podobne do przedstawionego na rysunku, aby zmierzyć przyciąganie grawitacyjne między dwiema kulami (mm), powieszonymi na skrętnej nici i dwiema nieruchomymi kulami (MM). Jest to typowy eksperyment przeprowadzany w laboratoriach studenckich. Wbrew pozorom jest on jednak dość wymagający. Pojazdy przejeżdżające na zewnątrz laboratorium mogą powodować wibracje, które skutecznie zakłócą pomiar siły grawitacji.

Pomimo że grawitacja jest najsłabszą z czterech podstawowych sił przyrody, jej działanie utrzymuje nas na Ziemi, powoduje ruch planet po orbitach wokół Słońca, ruch Słońca wokół środka masy naszej galaktyki oraz łączy od kilku milionów galaktyk w gromady galaktyk. Grawitacja jest siłą formującą Wszechświat.

## Strategia rozwiązywania zadań

### Strategia rozwiązywania zadań: prawo powszechnego ciążenia

Aby określić ruch powodowany przez siłę grawitacji, wykonaj następujące kroki:

1. Określ dwie masy, pomiędzy którymi chcesz znaleźć siłę grawitacji.
2. Narysuj rysunek, zaznaczając siły działające na każde z ciał i oznacz odległość między ich środkami mas.
3. Zastosuj drugą zasadę dynamiki Newtona do każdej z mas, aby wyznaczyć, w jaki sposób będą się one poruszać.

## Przykład 13.1

### Zderzenie na orbicie

Rozważmy przypadek dwóch prawie sferycznych pojazdów kosmicznych znajdujących się na pewnej orbicie wokół Ziemi, każdy o masie 9000 kg i średnicy 4 m. Początkowo znajdują się one w spoczynku względem siebie, a odległość między ich środkami mas wynosi 10 m. (Jak zobaczymy w podrozdziale [Prawa Keplera](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-5-prawa-keplera), oba pojazdy orbitują wokół Ziemi z tą samą prędkością i oddziałują ze sobą prawie tak samo, jakby znajdowały się w przestrzeni kosmicznej). Wyznacz siłę grawitacji działającą między nimi i ich przyspieszenie początkowe. Oszacuj przez jaki czas będą one dryfować razem, i jak szybko będą poruszać się w momencie zderzenia.


### Strategia rozwiązania

Skorzystamy z prawa powszechnego ciążenia, by wyznaczyć siłę działającą między nimi, a następnie użyjemy drugiej zasady dynamiki Newtona, by znaleźć przyspieszenie każdego z pojazdów. Do oszacowania założymy, że ich przyspieszenie jest stałe i użyjemy równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego z rozdziału [Ruch prostoliniowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-wstep), aby znaleźć czas trwania ruchu i ich prędkość w momencie kolizji.

### Rozwiązanie

Wartość siły grawitacji między pojazdami wynosi:


\|F→12\|=F12=Gm1m2r2=6,67⋅10−11N⋅m2kg⋅9000kg⋅9000kg(10m)2=5,4⋅10−5N.\|F→12\|=F12=Gm1m2r2=6,67⋅10−11N⋅m2kg⋅9000kg⋅9000kg(10m)2=5,4⋅10−5N.

Przyspieszenie początkowe każdego z pojazdów wynosi:

a=Fm=5,4⋅10−5N9000kg=6⋅10−9ms2.a=Fm=5,4⋅10−5N9000kg=6⋅10−9ms2.

Średnica pojazdów wynosi 4 m, więc pojazdy przemieszczają się od odległości 10 m do 4 m ku sobie, czyli każdy z nich przebywa dystans 3 m. Analogiczne obliczenia do przeprowadzonych powyżej, gdy pojazdy oddalone są od siebie o 4 m, dają wartość przyspieszenia wynoszącą 3,8⋅10−8m/s23,8⋅10−8m/s2, a więc średnia tych dwóch wartości wynosi 2,2⋅10−8m/s22,2⋅10−8m/s2. Zakładając stałe przyspieszenie o takiej wartości oraz przyjmując prędkość początkową pojazdów względem siebie równą zero, to pojazdy zderzą się z prędkością daną równaniem:

v2=v02+2a(x−x0),gdziev0=0m/s,v2=v02+2a(x−x0),gdziev0=0m/s,

więc:

v=2⋅2,2⋅10−8ms2⋅3m=3,6⋅10−4ms.v=2⋅2,2⋅10−8ms2⋅3m=3,6⋅10−4ms.

Następnie, korzystając z równania v=v0+atv=v0+at, znajdujemy t=v/a=1,63⋅104st=v/a=1,63⋅104s, czyli około 4,6 godziny.

### Znaczenie

Powyższe obliczenia, włączając wyznaczoną na początku siłę grawitacji, mają charakter jedynie szacunkowy, gdyż pojazdy tylko w przybliżeniu są sferycznie symetryczne. Uwidaczniają one jednak fakt, że siła ta jest niewiarygodnie mała. Astronauci podczas prac w przestrzeni kosmicznej, nawet na obiekcie tak masywnym jak Międzynarodowa Stacja Kosmiczna (ang. International Space Station (ISS)), muszą być z nią stale połączeni, jak pokazuje [Ilustracja 13.4](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia#CNX_UPhysics_13_01_Spacewalk). Przyciąganie grawitacyjne nie mogłoby uchronić astronauty przed odlotem w otwartą przestrzeń kosmiczną, nawet przy najmniejszym, przypadkowym odepchnięciu się od stacji.


Ilustracja 13.4Zdjęcie pokazuje Edwarda White’a przywiązanego do wahadłowca podczas spaceru kosmicznego. (Źródło: NASA)

## Sprawdź, czy rozumiesz13.1

Co dzieje się z siłą grawitacji i przyspieszeniem w trakcie, gdy pojazdy spadają na siebie? Czy oszacowana przez nas prędkość w momencie kolizji będzie większa czy mniejsza? Co się stanie, jeśli masy pojazdów nie będą identyczne? Czy wówczas siły grawitacji działające między pojazdami będą takie same czy różne? A ich przyspieszenie – będzie takie samo czy inne?

Oddziaływanie grawitacyjne między dwoma ciałami o masach porównywalnych z masą pojazdów kosmicznych jest naprawdę niewielkie. Jednak wpływ grawitacji, jaki Ziemia wywiera na ciebie, jest na tyle istotny, że upadek na ziemię nawet z wysokości tylko kilku metrów może być niebezpieczny. W następnym podrozdziale przyjrzymy się sile grawitacji przy powierzchni Ziemi.

## Przykład 13.2

### Przyciąganie grawitacyjne pomiędzy galaktykami

Wyznacz przyspieszenie naszej galaktyki, Drogi Mlecznej, wynikające z obecności najbliższej nam galaktyki o podobnych rozmiarach, galaktyki Andromedy ( [Ilustracja 13.5](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia#CNX_UPhysics_13_01_Androm)). Przybliżona masa każdej z galaktyk wynosi 800 miliardów mas Słońca, a odległość między nimi wynosi 2,5 miliona lat świetlnych. (Zauważ, że masa galaktyki Andromedy nie jest tak dobrze znana. Uważa się, że jej masa jest nieco większa niż masa naszej galaktyki.) Każda z tych galaktyk ma średnicę wynoszącą w przybliżeniu 100 000 lat świetlnych (1rok świetlny=9,5⋅1015m)(1rok świetlny=9,5⋅1015m).


Ilustracja 13.5Galaktyki oddziałują grawitacyjnie na ogromnych odległościach. Galaktyka Andromedy jest galaktyką spiralną położoną najbliżej Drogi Mlecznej. Galaktyki te zbliżają się do siebie i w przyszłości dojdzie do ich zderzenia. (Źródło: Boris Štromar)

### Strategia rozwiązania

Podobnie jak w poprzednim przykładzie skorzystamy z prawa powszechnego ciążenia, aby wyznaczyć siłę przyciągania grawitacyjnego między tymi galaktykami, a następnie wykorzystamy drugą zasadę dynamiki Newtona, aby obliczyć przyspieszenie Drogi Mlecznej. Obie galaktyki możemy traktować jako masy punktowe, gdyż odległość miedzy nimi jest 25 razy większa niż ich rozmiary. Masa Słońca (patrz [Dodatek D](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/d-dane-astronomiczne)) wynosi 2⋅1030kg2⋅1030kg. Rok świetlny to jednostka odległości stosowana w astronomii równa odległości, jaką światło pokonuje w próżni w czasie jednego roku, wynosząca 9,5⋅1015m9,5⋅1015m.


### Rozwiązanie

Wartość siły grawitacji wynosi:


F12=Gm1m2r2=6,67⋅10−11N⋅m2kg2⋅(800⋅109⋅2⋅1030kg)2(2,5⋅106⋅9,5⋅1015m)2=3⋅1029N.F12=Gm1m2r2=6,67⋅10−11N⋅m2kg2⋅(800⋅109⋅2⋅1030kg)2(2,5⋅106⋅9,5⋅1015m)2=3⋅1029N.

Przyspieszenie Drogi Mlecznej jest równe:

a=Fm=3⋅1029N800⋅109⋅2⋅1030kg=1,9⋅10−13ms2.a=Fm=3⋅1029N800⋅109⋅2⋅1030kg=1,9⋅10−13ms2.

### Znaczenie

Czy ta wartość przyspieszenia nie wydaje ci się zadziwiająco mała? Jeśli początkowo galaktyki były względem siebie w spoczynku, to będą przyspieszały bezpośrednio w swoim kierunku, w punkcie odpowiadającym środkowi masy galaktyk. Oszacujmy czas, po jakim dojdzie do zderzenia. Początkowe przyspieszenie jest rzędu ~10−13m/s2~10−13m/s2 stąd na podstawie wzoru v=atv=at możemy zobaczyć, że każda z galaktyk potrzebuje ~1013s~1013s, aby osiągnąć prędkość 1 m/s1 m/s, a wówczas zbliżą się one do siebie tylko o −0,5⋅1013m−0,5⋅1013m. Jest to odległość o dziewięć rzędów mniejsza niż początkowa odległość między nimi. W rzeczywistości takie ruchy galaktyk są bardziej złożone. Wymienione dwie galaktyki, wraz z około 50 innymi mniejszymi galaktykami, są związane grawitacyjnie w lokalną gromadę galaktyk. Nasza lokalna gromada galaktyk jest związana grawitacyjnie z innymi gromadami galaktyk, tworząc tzw. supergromadę galaktyk. Wszystko to jest częścią wielkiego kosmicznego tańca, który pokazano na [Ilustracji 13.6](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia#CNX_UPhysics_13_01_Collide), a jego przyczyną jest grawitacja.

Ilustracja 13.6Według obliczeń wykonanych w przykładzie oraz na podstawie obserwacji Wszechświata prowadzonych przez astronomów, nasza galaktyka zderzy się z galaktyką Andromedy za około 4 miliardy lat. (Źródło: NASA)

[Poprzednia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-wstep) [Następna](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi)

Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji
[Uznanie autorstwa (CC BY)](https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl), która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

**Cytowanie i udostępnienia**

- Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:


> Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep

- Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:


> Treści dostępne za darmo na [https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep](https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep)


**Cytowanie**

- Jeśli chcesz zacytować tę książkę, skorzystaj z dostępnych narzędzi do tworzenia wpisów bibliograficznych, jak np.:
[ten](https://www.lib.ncsu.edu/citationbuilder/#/default/default).
   - Autorzy: William Moebs, Samuel J. Ling, Jeff Sanny

  - Wydawca/strona internetowa: OpenStax Poland

  - Tytuł książki: Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

  - Data publikacji: 5 gru 2017

  - Miejscowość: Warszawa

  - URL książki: [https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep](https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep)
  - URL fragmentu: [https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia](https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia)

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . **Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo**
**nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.**

## Naszą misją jest zapewnienie wszystkim dostępu do wiedzy i edukacji.

OpenStax jest częścią Rice University i fundacją non profit typu 501(c)(3). [Wpłać darowiznę](/give) i pomóż nam dotrzeć do większej liczby studentów.

### Pomoc

[Skontaktuj się z nami](/contact)
[Zespół wsparcia](https://help.openstax.org/s/)
[FAQ](/faq)

### OpenStax

[Dla prasy](/press)
[Newsletter](http://www2.openstax.org/l/218812/2016-10-04/lvk)
[Kariera](/careers)

### Zasady korzystania

[Informacja o dostępności](/accessibility-statement)
[Regulamin](/tos)
[Licencja](/license)
[Polityka prywatności](/privacy-policy)

© 1999-2024, Rice University. Jeśli nie zaznaczono inaczej, podręczniki na tej stronie zostały opublikowane na licencji
[Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0 Międzynarodowa](https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).


Advanced Placement® i AP® są znakami towarowymi zarejestrowanymi i/lub należącymi do fundacji College Board, która nie jest powiązana z tą stroną i jej nie wspiera.


[facebook](https://www.facebook.com/openstax)
[twitter](https://twitter.com/openstax)
[linkedin](https://www.linkedin.com/company/openstax)
[instagram](https://www.instagram.com/openstax/)
[![Logo Rice University](data:image/png;base64,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)](http://www.rice.edu)