13.7 Teoria grawitacji Einsteina - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1
W 1905 roku Albert Einstein (1879–1955) opublikował szczególną teorię względności (ang. Theory of Special Relativity). Teoria ta została omówiona szczeg...
Grawitacja przy powierzchni Ziemi
Gwiazdy krążące wokół samego centrum naszej galaktyki dostarczają silnych dowodów na to, że znajduje się tam czarna dziura, ale orbity gwiazd oddalonych od jej środka sugerują występowanie również innego, intrygującego zjawiska, obserwowanego pośrednio. Przypomnijmy sobie z podrozdziału <anchor>Grawitacja przy powierzchni Ziemi</anchor>, że w celu obliczenia siły grawitacji, wywieranej przez ciało sferycznie symetryczne na inne masy, przyjmujemy, iż cała jego masa znajduje się w centrum takiego ciała. Podobnie możemy potraktować całkowitą masę, która znajduje się wewnątrz obszaru ograniczonego orbitą dowolnej gwiazdy w naszej galaktyce. Zakładamy po prostu, że cała ta masa znajduje się w centrum dysku Drogi Mlecznej. Możemy oszacować tę masę sumując masy wszystkich widocznych gwiazd w tym obszarze, a następnie dodając do tego wyniku masę czarnej dziury w centrum.
13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1 | OpenStax
13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1 \| OpenStax

[Przejdź do treści](#main-content) [Przejdź do informacji o dostępności](https://openstax.org/accessibility-statement)Menu skrótów klawiszowych

[![Logo OpenStax](/rex/releases/v4/6d3f24e/static/media/logo.6064f4d8.svg)](/)

[Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1](https://openstax.pl/szczegoly-ksiazki?book=Fizyka_dla_szk%C3%B3%C5%82_wy%C5%BCszych_tom_1)

# 13.2Grawitacja przy powierzchni Ziemi

[Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1](https://openstax.pl/szczegoly-ksiazki?book=Fizyka_dla_szk%C3%B3%C5%82_wy%C5%BCszych_tom_1) 13.2Grawitacja przy powierzchni Ziemi

SzukajSzukaj

![](/rex/releases/v4/6d3f24e/static/media/text-size.3058fef1.svg)

* * *

Zamknij
Szukaj

![](/rex/releases/v4/6d3f24e/static/media/text-size.3058fef1.svg)

Spis treściSpis treści

Notatki

Drukuj

Spis treści

01. [Przedmowa](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/przedmowa)
02. Mechanika



01. 1Jednostki i miary



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep)
2. [1.1Zakres stosowalności praw fizyki](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-1-zakres-stosowalnosci-praw-fizyki)
3. [1.2Układy jednostek miar](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-2-uklady-jednostek-miar)
4. [1.3Konwersja jednostek](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-3-konwersja-jednostek)
5. [1.4Analiza wymiarowa](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-4-analiza-wymiarowa)
6. [1.5Szacowanie i pytania Fermiego](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-5-szacowanie-i-pytania-fermiego)
7. [1.6Cyfry znaczące](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-6-cyfry-znaczace)
8. [1.7Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-7-rozwiazywanie-zadan-z-zakresu-fizyki)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-zadania-trudniejsze)

02. 2Wektory



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-wstep)
2. [2.1Skalary i wektory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-1-skalary-i-wektory)
3. [2.2Układy współrzędnych i składowe wektora](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-2-uklady-wspolrzednych-i-skladowe-wektora)
4. [2.3Działania na wektorach](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-3-dzialania-na-wektorach)
5. [2.4Mnożenie wektorów](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-4-mnozenie-wektorow)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/2-zadania-trudniejsze)

03. 3Ruch prostoliniowy



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-wstep)
2. [3.1Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-1-polozenie-przemieszczenie-predkosc-srednia)
3. [3.2Prędkość chwilowa i szybkość średnia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-2-predkosc-chwilowa-i-szybkosc-srednia)
4. [3.3Przyspieszenie średnie i chwilowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-3-przyspieszenie-srednie-i-chwilowe)
5. [3.4Ruch ze stałym przyspieszeniem](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-4-ruch-ze-stalym-przyspieszeniem)
6. [3.5Spadek swobodny i rzut pionowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-5-spadek-swobodny-i-rzut-pionowy)
7. [3.6Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-6-wyznaczanie-rownan-ruchu-metoda-calkowania)
8. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/3-zadania-trudniejsze)

04. 4Ruch w dwóch i trzech wymiarach



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-wstep)
2. [4.1Przemieszczenie i prędkość](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-1-przemieszczenie-i-predkosc)
3. [4.2Przyspieszenie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-2-przyspieszenie)
4. [4.3Rzuty](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-3-rzuty)
5. [4.4Ruch po okręgu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-4-ruch-po-okregu)
6. [4.5Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-5-ruch-wzgledny-w-jednym-i-dwoch-wymiarach)
7. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-zadania-trudniejsze)

05. 5Zasady dynamiki Newtona



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-wstep)
2. [5.1Pojęcie siły](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-1-pojecie-sily)
3. [5.2Pierwsza zasada dynamiki Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-2-pierwsza-zasada-dynamiki-newtona)
4. [5.3Druga zasada dynamiki Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-3-druga-zasada-dynamiki-newtona)
5. [5.4Masa i ciężar ciała](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-4-masa-i-ciezar-ciala)
6. [5.5Trzecia zasada dynamiki Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-5-trzecia-zasada-dynamiki-newtona)
7. [5.6Rodzaje sił](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-6-rodzaje-sil)
8. [5.7Rozkłady sił działających na ciała](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-7-rozklady-sil-dzialajacych-na-ciala)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/5-zadania-trudniejsze)

06. 6Zastosowania zasad dynamiki Newtona



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-wstep)
2. [6.1Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-1-rozwiazywanie-zadan-zwiazanych-z-zasadami-dynamiki-newtona)
3. [6.2Tarcie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-2-tarcie)
4. [6.3Siła dośrodkowa](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-3-sila-dosrodkowa)
5. [6.4Siła oporu i prędkość graniczna](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-4-sila-oporu-i-predkosc-graniczna)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-zadania-trudniejsze)

07. 7Praca i energia kinetyczna



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-wstep)
2. [7.1Praca](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-1-praca)
3. [7.2Energia kinetyczna](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-2-energia-kinetyczna)
4. [7.3Zasada zachowania energii mechanicznej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-3-zasada-zachowania-energii-mechanicznej)
5. [7.4Moc](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-4-moc)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/7-zadania-trudniejsze)

08. 8Energia potencjalna i zasada zachowania energii



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-wstep)
2. [8.1Energia potencjalna układu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-1-energia-potencjalna-ukladu)
3. [8.2Siły zachowawcze i niezachowawcze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-2-sily-zachowawcze-i-niezachowawcze)
4. [8.3Zasada zachowania energii](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-3-zasada-zachowania-energii)
5. [8.4Wykresy energii potencjalnej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-4-wykresy-energii-potencjalnej)
6. [8.5Źródła energii](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-5-zrodla-energii)
7. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/8-zadania-dodatkowe)

09. 9Pęd i zderzenia



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-wstep)
2. [9.1Pęd](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-1-ped)
3. [9.2Popęd siły i zderzenia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-2-poped-sily-i-zderzenia)
4. [9.3Zasada zachowania pędu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-3-zasada-zachowania-pedu)
5. [9.4Rodzaje zderzeń](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-4-rodzaje-zderzen)
6. [9.5Zderzenia w wielu wymiarach](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-5-zderzenia-w-wielu-wymiarach)
7. [9.6Środek masy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-6-srodek-masy)
8. [9.7Napęd rakietowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-7-naped-rakietowy)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/9-zadania-trudniejsze)

10. 10Obroty wokół stałej osi



01. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-wstep)
02. [10.1Zmienne opisujące ruch obrotowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-1-zmienne-opisujace-ruch-obrotowy)
03. [10.2Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-2-obroty-ze-stalym-przyspieszeniem-katowym)
04. [10.3Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-3-zwiazek-miedzy-wielkosciami-w-ruchach-obrotowym-i-postepowym)
05. [10.4Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-4-moment-bezwladnosci-i-energia-kinetyczna-w-ruchu-obrotowym)
06. [10.5Obliczanie momentu bezwładności](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-5-obliczanie-momentu-bezwladnosci)
07. [10.6Moment siły](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-6-moment-sily)
08. [10.7Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-7-druga-zasada-dynamiki-dla-ruchu-obrotowego)
09. [10.8Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-8-praca-i-energia-kinetyczna-w-ruchu-obrotowym)
10. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/10-zadania-trudniejsze)

11. 11Moment pędu



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-wstep)
2. [11.1Toczenie się ciał](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-1-toczenie-sie-cial)
3. [11.2Moment pędu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-2-moment-pedu)
4. [11.3Zasada zachowania momentu pędu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-3-zasada-zachowania-momentu-pedu)
5. [11.4Precesja żyroskopu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-4-precesja-zyroskopu)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/11-zadania-trudniejsze)

12. 12Równowaga statyczna i sprężystość



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-wstep)
2. [12.1Warunki równowagi statycznej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-1-warunki-rownowagi-statycznej)
3. [12.2Przykłady równowagi statycznej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-2-przyklady-rownowagi-statycznej)
4. [12.3Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-3-naprezenie-odksztalcenie-i-modul-sprezystosci)
5. [12.4Sprężystość i plastyczność](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-4-sprezystosc-i-plastycznosc)
6. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/12-zadania-trudniejsze)

13. 13Grawitacja



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-wstep)
2. [13.1Prawo powszechnego ciążenia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia)
3. [13.2Grawitacja przy powierzchni Ziemi](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi)
4. [13.3Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-3-energia-potencjalna-i-calkowita-pola-grawitacyjnego)
5. [13.4Orbity satelitów i ich energia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-4-orbity-satelitow-i-ich-energia)
6. [13.5Prawa Keplera](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-5-prawa-keplera)
7. [13.6Siły pływowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-6-sily-plywowe)
8. [13.7Teoria grawitacji Einsteina](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-7-teoria-grawitacji-einsteina)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-zadania-trudniejsze)

14. 14Mechanika płynów



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-wstep)
2. [14.1Płyny, gęstość i ciśnienie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-1-plyny-gestosc-i-cisnienie)
3. [14.2Pomiar ciśnienia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-2-pomiar-cisnienia)
4. [14.3Prawo Pascala i układy hydrauliczne](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-3-prawo-pascala-i-uklady-hydrauliczne)
5. [14.4Prawo Archimedesa i siła wyporu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-4-prawo-archimedesa-i-sila-wyporu)
6. [14.5Dynamika płynów](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-5-dynamika-plynow)
7. [14.6Równanie Bernoulliego](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-6-rownanie-bernoulliego)
8. [14.7Lepkość i turbulencje](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-7-lepkosc-i-turbulencje)
9. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/14-zadania-trudniejsze)

03. Fale i akustyka



1. 15Drgania



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-wstep)
2. [15.1Ruch harmoniczny](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-1-ruch-harmoniczny)
3. [15.2Energia w ruchu harmonicznym](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-2-energia-w-ruchu-harmonicznym)
4. [15.3Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-3-porownanie-ruchu-harmonicznego-z-ruchem-jednostajnym-po-okregu)
5. [15.4Wahadła](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-4-wahadla)
6. [15.5Drgania tłumione](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-5-drgania-tlumione)
7. [15.6Drgania wymuszone](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-6-drgania-wymuszone)
8. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/15-zadania-trudniejsze)

2. 16Fale



1. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-wstep)
2. [16.1Fale biegnące](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-1-fale-biegnace)
3. [16.2Matematyczny opis fal](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-2-matematyczny-opis-fal)
4. [16.3Prędkość fali na naprężonej strunie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-3-predkosc-fali-na-naprezonej-strunie)
5. [16.4Energia i moc fali](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-4-energia-i-moc-fali)
6. [16.5Interferencja fal](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-5-interferencja-fal)
7. [16.6Fale stojące i rezonans](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-6-fale-stojace-i-rezonans)
8. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/16-zadania-trudniejsze)

3. 17Dźwięk



01. [Wstęp](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-wstep)
02. [17.1Fale dźwiękowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-1-fale-dzwiekowe)
03. [17.2Prędkość dźwięku](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-2-predkosc-dzwieku)
04. [17.3Natężenie dźwięku](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-3-natezenie-dzwieku)
05. [17.4Tryby drgań fali stojącej](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-4-tryby-drgan-fali-stojacej)
06. [17.5Źródła dźwięków muzycznych](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-5-zrodla-dzwiekow-muzycznych)
07. [17.6Dudnienia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-6-dudnienia)
08. [17.7Efekt Dopplera](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-7-efekt-dopplera)
09. [17.8Fale uderzeniowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-8-fale-uderzeniowe)
10. Podsumowanie rozdziału



1. [Kluczowe pojęcia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-kluczowe-pojecia)
2. [Najważniejsze wzory](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-najwazniejsze-wzory)
3. [Podsumowanie](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-podsumowanie)
4. [Pytania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-pytania)
5. [Zadania](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-zadania)
6. [Zadania dodatkowe](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-zadania-dodatkowe)
7. [Zadania trudniejsze](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/17-zadania-trudniejsze)

04. [AJednostki](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/a-jednostki)
05. [BPrzeliczanie jednostek](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/b-przeliczanie-jednostek)
06. [CNajważniejsze stałe fizyczne](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/c-najwazniejsze-stale-fizyczne)
07. [DDane astronomiczne](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/d-dane-astronomiczne)
08. [EWzory matematyczne](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/e-wzory-matematyczne)
09. [FUkład okresowy pierwiastków](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/f-uklad-okresowy-pierwiastkow)
10. [GAlfabet grecki](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/g-alfabet-grecki)
11. Rozwiązania zadań



01. [Rozdział 1](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-1)
02. [Rozdział 2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-2)
03. [Rozdział 3](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-3)
04. [Rozdział 4](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-4)
05. [Rozdział 5](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-5)
06. [Rozdział 6](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-6)
07. [Rozdział 7](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-7)
08. [Rozdział 8](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-8)
09. [Rozdział 9](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-9)
10. [Rozdział 10](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-10)
11. [Rozdział 11](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-11)
12. [Rozdział 12](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-12)
13. [Rozdział 13](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-13)
14. [Rozdział 14](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-14)
15. [Rozdział 15](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-15)
16. [Rozdział 16](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-16)
17. [Rozdział 17](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/rozdzial-17)

12. [Skorowidz nazwisk](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/skorowidz-nazwisk)
13. [Skorowidz rzeczowy](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/skorowidz-rzeczowy)
14. [Skorowidz terminów obcojęzycznych](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/skorowidz-terminow-obcojezycznych)

## Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

- wyjaśniać związki między stałymi GG i gg;
- wyznaczać masę ciał niebieskich na podstawie wartości przyspieszenia grawitacyjnego na ich powierzchni;
- opisywać, w jaki sposób wartość gg zmienia się w zależności od położenia i prędkości obrotowej Ziemi.

W tym podrozdziale pokażemy, w jaki sposób stosuje się prawo powszechnego ciążenia na powierzchni planety i jak łączy się ono z tym, czego dowiedzieliśmy się wcześniej o spadku swobodnym. Zbadamy także efekty grawitacyjne wewnątrz ciał kulistych.

## Ciężar ciała

Przypomnijmy, że przyspieszenie swobodnie spadających ciał przy powierzchni Ziemi wynosi około g=9,8m/s2g=9,8m/s2. Siła, która jest źródłem tego przyspieszenia, nazywana jest siłą ciężkości lub potocznie ciężarem ciała. Na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona ma ona wartość mgmg. Siła ta występuje niezależnie od tego, czy ciało spada swobodnie, czy nie. Teraz już wiemy, że ciężar jest to siła grawitacji działająca pomiędzy ciałem o masie mm
i Ziemią. Podstawiając mgmg
w miejsce wartości siły F→12F→12 w prawie powszechnego ciążenia, mm
za m1m1 oraz MZMZ za m2m2, otrzymujemy równanie:

mg=GmMZr2,mg=GmMZr2,

gdzie rr
jest odległością między środkiem masy Ziemi i danego ciała. Średni promień Ziemi wynosi około 6370 km. W związku z tym dla ciał znajdujących się kilka kilometrów nad powierzchnią Ziemi możemy przyjąć r=RZr=RZ ( [Ilustracja 13.7](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#CNX_UPhysics_13_02_RE)). Masa ciała mm
skraca się po obu stronach równania, dając:

g=GMZr2.g=GMZr2.

13.2

Równanie to tłumaczy, dlaczego wszystkie ciała spadają na Ziemię z tym samym przyspieszeniem, niezależnie od ich masy. Zignorowaliśmy fakt, że także Ziemia uzyskuje pewne przyspieszenie w kierunku spadającego na nią ciała, jednak uproszczenie to jest poprawne, jeśli tylko masa ciała jest zaniedbywalna w porównaniu z masą Ziemi.

Ilustracja 13.7Możemy przyjąć, że odległość między środkiem masy Ziemi i obiektem na jej powierzchni jest równa promieniowi Ziemi pod warunkiem, że rozmiar tego obiektu jest dużo mniejszy niż promień Ziemi.

## Przykład 13.3

### Masa Ziemi i Księżyca

Czy zastanawiałeś się kiedykolwiek, w jaki sposób wyznaczono masę Ziemi? Na pewno nie można jej po prostu położyć na wadze. Wartość przyspieszenia ziemskiego gg
oraz promień Ziemi zostały zmierzone dość precyzyjnie wieki temu.


1. Korzystając ze znanych wartości gg, RZRZ i [Równania 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317), wyznacz masę Ziemi.
2. Określ wartość przyspieszenia grawitacyjnego gg
    na Księżycu. Skorzystaj ze znanej długości promienia Księżyca równej 1700 km (wartość ta także została wyznaczona z dużą dokładnością wieki temu) i załóż, że Księżyc ma taką samą średnią gęstość jak Ziemia, wynoszącą 5500kg/m35500kg/m3.

### Strategia rozwiązania

Znając wartość przyspieszenia ziemskiego gg
i promień Ziemi RZRZ, możemy użyć [Równania 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317) do wyznaczenia masy Ziemi MZMZ. Aby wyznaczyć przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu musimy znać jego masę. Do wyznaczenia masy Księżyca wykorzystamy założenie o równej średniej gęstości Ziemi i Księżyca oraz związku między stosunkiem mas a stosunkiem promieni Ziemi i Księżyca.

### Rozwiązanie

1. Przekształcając [Równanie 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317), otrzymujemy:


MZ=gRZ2G=9,8m/s2⋅(6,37⋅106m)26,67⋅10−11N⋅m2/kg2=5,95⋅1024kg.MZ=gRZ2G=9,8m/s2⋅(6,37⋅106m)26,67⋅10−11N⋅m2/kg2=5,95⋅1024kg.

2. Objętość kuli jest proporcjonalna do sześcianu jej promienia, więc, korzystając z definicji gęstości, otrzymujemy proporcję:


MKMZ=RK3RZ2→MK=(1,7⋅106m)3(6,37⋅106m)3⋅5,95⋅1024kg=1,1⋅1023kg.MKMZ=RK3RZ2→MK=(1,7⋅106m)3(6,37⋅106m)3⋅5,95⋅1024kg=1,1⋅1023kg.


Następnie, używając [Równania 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317) =, możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu:


gK=GMKRK2=6,67⋅10−11N⋅m2kg2⋅1,1⋅1023kg(1,7⋅106m)2=2,5ms2.gK=GMKRK2=6,67⋅10−11N⋅m2kg2⋅1,1⋅1023kg(1,7⋅106m)2=2,5ms2.


### Znaczenie

Kiedy w 1798 roku Cavendish wyznaczył wartość stałej grawitacji GG, można było obliczyć masę Ziemi. (W rzeczywistości był to ostateczny cel eksperymentu Cavendisha). Wyznaczona powyżej wartość przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu jest nieprawidłowa. W rzeczywistości średnia gęstość Księżyca wynosi jedynie 3340kg/m33340kg/m3, a w związku z tym przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni ma wartość gK=1,6m/s2gK=1,6m/s2. Newton próbował zmierzyć masę Księżyca przez porównanie wpływu Słońca z wpływem Księżyca na pływy oceaniczne występujące na Ziemi. Otrzymana przez niego wartość była jednak dwukrotnie zaniżona. Najdokładniejsze wartości przyspieszenia grawitacyjnego i masy Księżyca pochodzą z obserwacji ruchu statków kosmicznych, które orbitowały wokół Księżyca. Masa Księżyca może jednak być określona precyzyjnie, bez konieczności podróży na niego. Ziemia i Księżyc poruszają się wokół wspólnego środka masy, a dokładne pomiary astronomiczne pozwalają określić jego lokalizację. Stosunek masy Księżyca do masy Ziemi jest równy stosunkowi odległości między ich wspólnym środkiem masy, a środkiem Księżyca do odległości między ich środkiem masy, a środkiem Ziemi.


W dalszej części rozdziału zobaczymy, że także masa innych ciał niebieskich może zostać wyznaczona na podstawie pomiaru okresu obiegających je satelitów. Jednak zanim Cavendish wyznaczył wartość stałej grawitacji GG, masy wszystkich ciał niebieskich były nieznane.

## Przykład 13.4

### Grawitacja ponad powierzchnią Ziemi

Ile wynosi wartość gg
na wysokości 400 km ponad powierzchnią Ziemi, na której orbituje Międzynarodowa Stacja Kosmiczna?


### Strategia rozwiązania

Na podstawie wartości MZMZ oraz podstawiając w tym wypadku r=RZ+400kmr=RZ+400km, użyjemy [Równania 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317), by obliczyć wartość gg.

Z [Równania 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317) otrzymujemy:

g=GMZr2=6,67⋅10−11N⋅m2kg2⋅5,96⋅1034kg(6,37⋅106m+400⋅103m)2=8,67ms2.g=GMZr2=6,67⋅10−11N⋅m2kg2⋅5,96⋅1034kg(6,37⋅106m+400⋅103m)2=8,67ms2.

### Znaczenie

Często możemy zobaczyć filmy, na których astronauci na stacji kosmicznej znajdują się pozornie w stanie nieważkości, chociaż oczywiście działa na nich siła grawitacji. Porównując obliczoną właśnie wartość gg
z wartością przyspieszenia ziemskiego na powierzchni Ziemi (9,8m/s29,8m/s2), zauważymy, że astronauci na Międzynarodowej Stacji Kosmicznej nadal mają 88% swojego ciężaru. Wydaje się jedynie, że znajdują się oni w stanie nieważkości, ponieważ w rzeczywistości spadają oni swobodnie. Powrócimy do tej kwestii w podrozdziale [Orbity satelitów i ich energia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-4-orbity-satelitow-i-ich-energia).

## Sprawdź, czy rozumiesz13.2

Jak zmieni się twój ciężar na ostatnim piętrze drapacza chmur w porównaniu do tego, jaki masz na jego pierwszym piętrze? Czy uważasz, że inżynierowie muszą brać pod uwagę zmianę wartości gg
podczas projektowania wysokich budynków?

## Pole grawitacyjne

[Równanie 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317) jest równaniem skalarnym, określającym zależność wartości przyspieszenia grawitacyjnego jako funkcję odległości od środka masy ciała, będącego źródłem tego przyspieszenia. Możemy jednak zachować postać wektorową siły grawitacji w [Równaniu 13.1](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia), i zapisać przyspieszenie w postaci wektorowej jako:

g→=GMr2r^.g→=GMr2r^.

Określamy wówczas pole wektorowe reprezentowane przez wektor g→g→ jako pole grawitacyjne (ang. gravitational field), którego źródłem jest masa MM. Możemy przedstawić to pole tak, jak pokazano na [Ilustracji 13.8](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#CNX_UPhysics_13_02_gfield). Linie na rysunku są skierowane wzdłuż promienia w kierunku źródła pola grawitacyjnego i są symetrycznie rozmieszczone wokół masy.

Ilustracja 13.8Trójwymiarowa reprezentacja pola grawitacyjnego wokół masy MM. Należy pamiętać, że linie są równomiernie rozłożone we wszystkich kierunkach. (Sześcian został dodany jedynie w celu ułatwienia wizualizacji.)

Podobnie jak w przypadku dowolnego pola wektorowego, kierunek wektora g→g→ w każdym punkcie jest równoległy do linii pola grawitacyjnego, a jego długość w każdym z punktów jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między tymi liniami. Inaczej mówiąc, wartość pola w każdym obszarze jest proporcjonalna do liczby linii pola, które przechodzą przez jednostkową powierzchnię, czyli do gęstości linii pola. Ponieważ linie te są równomiernie rozmieszczone we wszystkich kierunkach (jednorodne pole centralne), to ich liczba na jednostkę powierzchni w odległości rr
od ciała jest równa całkowitej liczbie linii sił pola, podzielonej przez pole powierzchni kuli o promieniu rr, które z kolei jest proporcjonalne do r2r2. Dlatego też powyższy rysunek doskonale obrazuje prawo odwrotności kwadratów, a dodatkowo wskazuje kierunek pola. Przedstawiając pole w taki sposób, mówimy, że masa mm
oddziałuje z polem grawitacyjnym, którego źródłem jest masa MM. Koncepcja pól będzie bardzo pomocna w późniejszych rozdziałach dotyczących elektromagnetyzmu.

## Ciężar pozorny: wykazanie ruchu obrotowego Ziemi

W podrozdziale [Zastosowania praw Newtona](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/6-wstep) dowiedzieliśmy się, że na ciała poruszające się ze stałą prędkością po okręgu działa przyspieszenie dośrodkowe, skierowane wzdłuż promienia w kierunku środka tego okręgu. Oznacza to, że musi istnieć wypadkowa siła skierowana do środka okręgu. Ponieważ wszystkie ciała na powierzchni Ziemi poruszają się po okręgu z okresem wynoszącym 24 godziny, to musi istnieć wypadkowa siła dośrodkowa, działająca na każde z nich skierowana w kierunku środka tego okręgu. O sile dośrodkowej, a nie odśrodkowej, mówimy tylko wtedy, gdy obserwator zewnętrzny, nie znajdujący się na Ziemi, stwierdza, że tą siłą dośrodkową jest w istocie realna siła grawitacji. O sile i przyspieszeniu odśrodkowym może mówić obserwator znajdujący się na Ziemi, czyli odczuwający siłę odśrodkową bezwładności.

Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy ciało o masie mm
znajduje się na równiku i jest zawieszone na wadze sprężynowej ( [Ilustracja 13.9](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#CNX_UPhysics_13_02_ApparentW)). Na ciało działa siła F→sF→s skierowana w górę od środka Ziemi. Waga sprężynowa wskazuje wartość tej siły, zwanej pozorną siłą ciężkości lub ciężarem pozornym ciała. Siła ciężkości (mgmg
) skierowana jest w kierunku środka Ziemi. Gdyby Ziemia się nie obracała, to przyspieszenie dośrodkowe byłoby równe zero i w konsekwencji także wypadkowa siła dośrodkowa byłaby równa zero, a w rezultacie otrzymalibyśmy Fs=mgFs=mg. Takie byłoby wówczas wskazanie wagi.

Ilustracja 13.9Na równiku przyspieszenie dośrodkowe adad ma ten sam kierunek co siła grawitacji. Na szerokości geograficznej φφ, kąt pomiędzy adad a siłą grawitacji jest równy φφ. Wartość adad maleje ze wzrostem szerokości geograficznej, jak funkcja cosφcosφ.

W przypadku obracającej się Ziemi, suma tych sił musi zapewnić występowanie przyspieszenia dośrodkowego adad. Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona, otrzymujemy:

∑F=Fs−mg=mad,gdziead=−v2r.∑F=Fs−mg=mad,gdziead=−v2r.

13.3

Należy zwrócić uwagę, że przyspieszenie odśrodkowe adad, odczuwane przez obserwatora na Ziemi, ma ten sam kierunek i przeciwny zwrot niż siła ciężkości. Prędkość liniowa w ruchu po okręgu vv
jest prędkością ciała na równiku, a wtedy rr
jest równe RZRZ. Prędkość tę możemy łatwo obliczyć, zauważając, że ciała na równiku pokonują odległość równą obwodowi Ziemi w czasie 24 godzin. Użyjmy w tym celu alternatywnego wyrażenia na adad z podrozdziału [Ruch w dwóch i trzech wymiarach](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/4-wstep). Przypomnijmy, że prędkość liniowa jest związana z prędkością kątową ωω zależnością v=rωv=rω. Stąd otrzymujemy ad=−rω2ad=−rω2. Przekształcając [Równanie 13.3](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327868441) i podstawiając w miejsce r=RZr=RZ, pozorna siła ciężkości na równiku wynosi:

Fs=m(g−RZω2).Fs=m(g−RZω2).

Prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi jest taka sama na całej jej powierzchni i wynosi:

ω=2πrad24⋅3600s=7,27⋅10−5rads.ω=2πrad24⋅3600s=7,27⋅10−5rads.

Podstawiając wartości w miejsce RZRZ oraz ωω, otrzymujemy wartość przyspieszenia odśrodkowego, odczuwanego przez obserwatora na Ziemi, która wynosi RZω2=0,0337m/s2RZω2=0,0337m/s2. Stanowi ono jedynie 0,34% wartości przyspieszenia grawitacyjnego, więc jest to naprawdę niewielka poprawka.

## Przykład 13.5

### Pozorna siła ciężkości równa zero

Jak szybko Ziemia musiałaby się kręcić, aby wartość pozornej siły ciężkości działającej na ciała na równiku była równa zero? Jak długo trwałby wówczas dzień?


### Strategia rozwiązania

Do [Równania 13.3](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327868441) podstawimy wartość ciężaru pozornego (FsFs) równą zero i wyznaczymy odpowiadającą temu wartość przyspieszenia odśrodkowego. Stąd wyznaczymy prędkość liniową, jaką miałyby wówczas ciała na ziemskim równiku. Następnie wyznaczymy długość dnia, wiedząc, że jest to czas potrzebny na jeden pełny obrót Ziemi.

### Rozwiązanie

Z [Równania 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317) mamy ∑F=Fs−mg=mad∑F=Fs−mg=mad, zakładając Fs=0Fs=0, otrzymujemy g=adg=ad. Używając wyrażenia na adad i podstawiając wartości promienia Ziemi i przyspieszenia ziemskiego dostajemy:

ad=v2r=gv=gr=9,80m/s2⋅6,37⋅106m=7,91⋅103ms.ad=v2r=gv=gr=9,80m/s2⋅6,37⋅106m=7,91⋅103ms.

Okres obrotu Ziemi TT
jest to czas potrzebny na jeden pełny obrót Ziemi. W związku z tym prędkość liniowa ciała na równiku jest równa obwodowi okręgu, po którym porusza się ciało, czyli w tym przypadku obwodowi Ziemi, podzielonemu przez TT. Dostajemy więc:

v=2πrTT=2πrv=2⋅3,14⋅6,37⋅106m7,91⋅103m/s=5,06⋅103s.v=2πrTT=2πrv=2⋅3,14⋅6,37⋅106m7,91⋅103m/s=5,06⋅103s.

Jest to czas około 84 minut.

### Znaczenie

W dalszej części rozdziału zobaczymy, że wyznaczona tu wartości pierwszej prędkości kosmicznej v=gr=GMZ/RZv=gr=GMZ/RZ jest równa prędkości orbitalnej (tzw. pierwszej prędkości kosmicznej). Z uwagi na obecność atmosfery ziemskiej, a tym samym opór powietrza, ruch satelitów nie jest możliwy w pobliżu powierzchni Ziemi. Z pewnością mogą się one jednak poruszać już na wysokości kilkuset kilometrów nad Ziemią.

## Przypadek większych szerokości geograficznych

Przy zbliżaniu się do biegunów ad→0ad→0 i na samych biegunach Fs=mgFs=mg, tak samo jak w przypadku braku ruchu obrotowego Ziemi. Dla każdej innej szerokości geograficznej φφ, sytuacja jest bardziej skomplikowana. Przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane w kierunku zaznaczonego na rysunku punktu PP, a wówczas promień okręgu r=RZcos⁡φr=RZcos⁡φ. Suma wektorowa siły ciężkości i ciężaru pozornego musi być skierowana do punktu
PP. Różnica ta jest mała i znacznie wyolbrzymiona na rysunku. W konsekwencji siła F→sF→s nie ma już kierunku wzdłuż promienia od środka Ziemi, lecz jest nieznacznie odchylona (niewidoczne na rysunku). Ciężarek zawieszony na linie będzie zawsze wyznaczał pion także wzdłuż tego odchylonego kierunku. Wszystkie budynki na Ziemi są ustawione także wzdłuż odchylonego kierunku, a nie wzdłuż promienia Ziemi. W przypadku najwyższych budynków odchylenie to na ich szczycie wynosi około 1 metra.

Warto również zauważyć, że Ziemia nie jest idealną sferą. Jej wnętrze jest częściowo ciekłe, a to zwiększa wybrzuszenie Ziemi na równiku z powodu ruchu obrotowego. Promień Ziemi jest około 30 km większy w kierunku równika w porównaniu z kierunkiem do biegunów. Jako ćwiczenie pozostawiamy porównanie siły grawitacji na biegunach i na równiku za pomocą [Równania 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317). Różnica wynikająca z innej długości promienia Ziemi jest porównywalna z różnicą wynikającą z ruchu obrotowego i ma taki sam znak. Wydaje się, że naprawdę można się „schudnąć” przenosząc się do tropików.

## Grawitacja z dala od powierzchni

Zaczęliśmy nasze rozważania bez podania dowodu na to, że prawo powszechnego ciążenia ma zastosowanie do sferycznie symetrycznych ciał, gdzie można przyjąć, że cała masa takiego ciała zlokalizowana jest w jego środku. Ponieważ [Równanie 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317) wywodzi się z [Równania 13.1](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia), jest ono także poprawne dla sferycznie symetrycznie rozłożonej masy, ale oba równania są poprawne tylko dla r≥RZr≥RZ. Jak widzieliśmy w [Przykładzie 13.4](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327872551), 400 km nad powierzchnią Ziemi, gdzie orbituje Międzynarodowa Stacja Kosmiczna, wartość gg
wynosi 8,67m/s28,67m/s2. (Dalej zobaczymy, że jest to także wartość przyspieszenia dośrodkowego stacji, czyli takiego, które rejestruje obserwator będący z dala od stacji. Astronauta na stacji odczuwa takie samo co do wartości przyspieszenie, jednak jest ono skierowane na zewnątrz orbity i nazywa się przyspieszeniem odśrodkowym).

Dla promienia r<RZr<RZ, [Równanie 13.1](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia) i [Równanie 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317) nie są poprawne. Jednak możemy wyznaczyć wartość gg
dla tych przypadków, korzystając z prawa Gaussa. Jest ono potężnym narzędziem matematycznym, które będziemy badać bardziej szczegółowo w dalszej części kursu. Konsekwencją zastosowania prawa Gaussa do grawitacji jest fakt, że tylko część masy ciała, znajdująca się _wewnątrz kuli o promieniu rr_, jest źródłem siły grawitacji. Podobnie jak poprzednio możemy przyjąć, że ta część masy ciała także znajduje się w jego środku. Efekt grawitacyjny części masy ciała, znajdującej się _na zewnątrz promienia rr_, znosi się.

Występują tu dwa bardzo ciekawe przypadki szczególne. W przypadku kulistych planet o stałej gęstości, część ich masy zlokalizowanej wewnątrz promienia rr
jest równa gęstości pomnożonej przez objętość kuli o promieniurr. Masę tę można traktować jako zlokalizowaną w środku planety. Gdy podstawimy w miejsce MZMZ tylko tę jej część, która znajduje się wewnątrz kuli o promieniurr, wtedy M=ρ⋅(objętość kuli)M=ρ⋅(objętość kuli) i w miejsce RZRZ podstawiamy rr, [Równanie 13.2](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#fs-id1168327935317) przybiera postać:

g=GMZRZ2=Gρ43πr3r2=43Gρπr.g=GMZRZ2=Gρ43πr3r2=43Gρπr.

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego gg, i w związku z tym także twój ciężar, malałyby liniowo w miarę zbiliżania się do środka dziury wydrążonej wydrążonej w kulistej planecie. Po dotarciu do jej środka byłbyś nieważki, ponieważ masa planety przyciągała by cię jednakowo we wszystkich kierunkach ku jej powierzchni. W rzeczywistości gęstość Ziemi nie jest stała, podobnie jak i cała Ziemia nie jest ciałem stałym. [Ilustracja 13.10](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi#CNX_UPhysics_13_02_Valueofg) pokazuje zależność gg
wynikającą z prawa Gaussa, przy założeniu stałej gęstości Ziemi, oraz bardziej rzeczywistą zależność opartą na szacunkach gęstości Ziemi, pochodzących z danych sejsmicznych.

Ilustracja 13.10Dla r<RZr<RZ, wartość przyspieszenia grawitacyjnego gg
w przypadku stałej gęstości przedstawiono za pomocą zielonej linii. Niebieska linia przedstawia profil gg
wyznaczony na podstawie sejsmologicznego modelu Ziemi, który jest bardziej zbliżony do rzeczywistego profilu przyspieszenia grawitacyjnego wewnątrz Ziemi.

Drugi ciekawy przypadek dotyczy życia na planecie zbudowanej w formie kulistej powłoki. Ten scenariusz został zaproponowany w wielu opowiadaniach science fiction. Pomijając istotne problemy inżynierskie, powłoka może być zbudowana z zadanym promieniem i masie całkowitej dobranych tak, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego gg
na powierzchni powłoki jest taka sama jak na Ziemi. Czy wiesz, co by się stało, gdybyś zjeżdżał w windzie do wnętrza powłoki, gdzie nie byłoby żadnej masy między tobą i jej środkiem? Jakie korzyści wynikałyby z tego faktu, w przypadku podróżowania na duże odległości pomiędzy dwoma punktami na powierzchni powłoki? Jaki efekt by się pojawił, jeśli planeta by się obracała?

[Poprzednia](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-1-prawo-powszechnego-ciazenia) [Następna](../../fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-3-energia-potencjalna-i-calkowita-pola-grawitacyjnego)

Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji
[Uznanie autorstwa (CC BY)](https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl), która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

**Cytowanie i udostępnienia**

- Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:


> Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep

- Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:


> Treści dostępne za darmo na [https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep](https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep)


**Cytowanie**

- Jeśli chcesz zacytować tę książkę, skorzystaj z dostępnych narzędzi do tworzenia wpisów bibliograficznych, jak np.:
[ten](https://www.lib.ncsu.edu/citationbuilder/#/default/default).
   - Autorzy: William Moebs, Samuel J. Ling, Jeff Sanny

  - Wydawca/strona internetowa: OpenStax Poland

  - Tytuł książki: Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

  - Data publikacji: 5 gru 2017

  - Miejscowość: Warszawa

  - URL książki: [https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep](https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep)
  - URL fragmentu: [https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi](https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/13-2-grawitacja-przy-powierzchni-ziemi)

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . **Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo**
**nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.**

## Naszą misją jest zapewnienie wszystkim dostępu do wiedzy i edukacji.

OpenStax jest częścią Rice University i fundacją non profit typu 501(c)(3). [Wpłać darowiznę](/give) i pomóż nam dotrzeć do większej liczby studentów.

### Pomoc

[Skontaktuj się z nami](/contact)
[Zespół wsparcia](https://help.openstax.org/s/)
[FAQ](/faq)

### OpenStax

[Dla prasy](/press)
[Newsletter](http://www2.openstax.org/l/218812/2016-10-04/lvk)
[Kariera](/careers)

### Zasady korzystania

[Informacja o dostępności](/accessibility-statement)
[Regulamin](/tos)
[Licencja](/license)
[Polityka prywatności](/privacy-policy)

© 1999-2024, Rice University. Jeśli nie zaznaczono inaczej, podręczniki na tej stronie zostały opublikowane na licencji
[Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0 Międzynarodowa](https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).


Advanced Placement® i AP® są znakami towarowymi zarejestrowanymi i/lub należącymi do fundacji College Board, która nie jest powiązana z tą stroną i jej nie wspiera.


[facebook](https://www.facebook.com/openstax)
[twitter](https://twitter.com/openstax)
[linkedin](https://www.linkedin.com/company/openstax)
[instagram](https://www.instagram.com/openstax/)
[![Logo Rice University](data:image/png;base64,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)](http://www.rice.edu)