Ogólna teoria względności – Wikipedia, wolna encyklopedia
Ogólna teoria względności (OTW) – teoria ciążenia autorstwa Alberta Einsteina, ogłoszona w 1915 roku. Jest to współczesny paradygmat opisu grawitacji ...
prędkość
Podstawową ideą teorii względności jest to, że nie możemy mówić o wielkościach fizycznych takich jak <anchor>prędkość</anchor> czy przyspieszenie, nie określając wcześniej układu odniesienia, oraz że układ odniesienia definiuje się poprzez wybór pewnego punktu w czasoprzestrzeni, z którym jest on związany. Oznacza to, że wszelki ruch określa się i mierzy względem innych określonych układów odniesienia. W ramach tej teorii, inaczej niż w szczególnej teorii względności, która podawała opis ruchu w inercjalnych (nieprzyspieszających) układach odniesienia, opis ruchu prowadzony jest w dowolnych układach odniesienia, inercjalnych lub nieinercjalnych. Podstawowym założeniem jest takie sformułowanie praw fizycznych i opisu ruchu, aby miały one identyczną postać matematyczną bez względu na używany do opisu układ odniesienia, stąd konieczność zastosowania rachunku tensorowego. Jednym z postulatów ogólnej teorii względności jest zasada równoważności, mówiąca, że nie można (lokalnie) rozróżnić spadku swobodnego w polu grawitacyjnym od ruchu w układzie inercjalnym. Z postulatu tego wynika, że masa bezwładna i grawitacyjna są sobie równoważne. Dokładniej równość mas: grawitacyjnej i bezwładnej określana jest mianem słabej zasady równoważności (WEP), natomiast pełna zasada równoważności Einsteina głosi, że wynik dowolnego, lokalnego doświadczenia niegrawitacyjnego jest niezależny od prędkości swobodnie spadającego układu odniesienia i jest zgodny z przewidywaniami STW (tzw. lokalna niezmienniczość lorentzowska) i wynik ten jest niezależny od miejsca i czasu (tzw. lokalna niezmienniczość na położenie). W badaniach wykazano, że ogólna teoria względności jest sprzeczna z zasadą Macha.
Prędkość – Wikipedia, wolna encyklopedia
Prędkość – Wikipedia, wolna encyklopedia[Przejdź do zawartości](#bodyContent)

Menu główne

Menu główne

przypnijukryj

Nawigacja


- [Strona główna](/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna "Przejdź na stronę główną [z]")
- [Losuj artykuł](/wiki/Specjalna:Losowa_strona "Załaduj losową stronę [x]")
- [Kategorie artykułów](/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne)
- [Najlepsze artykuły](/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii)
- [Częste pytania (FAQ)](/wiki/Pomoc:FAQ)

Dla czytelników


- [O Wikipedii](/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii)
- [Kontakt](/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami)
- [Wspomóż Wikipedię](//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl "Pomóż nam")

Dla wikipedystów


- [Pierwsze kroki](/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki)
- [Portal wikipedystów](/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w "O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje")
- [Ogłoszenia](/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84)
- [Zasady](/wiki/Wikipedia:Zasady)
- [Pomoc](/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci)
- [Ostatnie zmiany](/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany "Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]")

[![](/static/images/icons/wikipedia.png)![Wikipedia](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg)![wolna encyklopedia](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg)](/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna)

[Szukaj](/wiki/Specjalna:Szukaj "Przeszukaj Wikipedię [f]")

Szukaj

Wygląd

- [Utwórz konto](/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe.")
- [Zaloguj się](/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]")

Narzędzia osobiste

- [Utwórz konto](/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe.")
- [Zaloguj się](/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]")

Strony dla anonimowych edytorów [dowiedz się więcej](/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki)

- [Edycje](/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad "Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]")
- [Dyskusja](/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja "Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]")

## Spis treści

przypnijukryj

- Początek

- [1Definicje prędkości](#Definicje_prędkości)Przełącz podsekcję Definicje prędkości  - [1.1Prędkość w ruchu prostoliniowym](#Prędkość_w_ruchu_prostoliniowym)
  - [1.2Prędkość wektorowa](#Prędkość_wektorowa)
  - [1.3Prędkość jako wielkość niewektorowa](#Prędkość_jako_wielkość_niewektorowa)
- [2Prędkość w różnych układach współrzędnych](#Prędkość_w_różnych_układach_współrzędnych)Przełącz podsekcję Prędkość w różnych układach współrzędnych  - [2.1Układ współrzędnych kartezjańskich](#Układ_współrzędnych_kartezjańskich)
  - [2.2Układ współrzędnych biegunowych](#Układ_współrzędnych_biegunowych)
  - [2.3Układ współrzędnych walcowych](#Układ_współrzędnych_walcowych)
  - [2.4Układ współrzędnych sferycznych](#Układ_współrzędnych_sferycznych)
  - [2.5Dowolne współrzędne krzywoliniowe](#Dowolne_współrzędne_krzywoliniowe)
- [3Związek z przyspieszeniem](#Związek_z_przyspieszeniem)
- [4Prędkość kątowa](#Prędkość_kątowa)
- [5Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów](#Przykłady_prędkości_w_różnych_rodzajach_ruchów)Przełącz podsekcję Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów  - [5.1Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym](#Prędkość_liniowa_w_ruchu_jednostajnym_prostoliniowym)
  - [5.2Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym](#Prędkość_liniowa_w_ruchu_jednostajnie_przyspieszonym)
  - [5.3Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)](#Ruch_jednostajny_po_okręgu_(prędkość_kątowa))
- [6Zobacz też](#Zobacz_też)
- [7Przypisy](#Przypisy)
- [8Bibliografia](#Bibliografia)

Przełącz stan spisu treści

# Prędkość

130 języków

- [Afrikaans](https://af.wikipedia.org/wiki/Snelheid "Snelheid – afrikaans")
- [Alemannisch](https://als.wikipedia.org/wiki/Geschwindigkeit "Geschwindigkeit – szwajcarski niemiecki")
- [አማርኛ](https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8D%8D%E1%8C%A5%E1%8A%90%E1%89%B5 "ፍጥነት – amharski")
- [Anarâškielâ](https://smn.wikipedia.org/wiki/Li%C3%A4htu "Liähtu – inari")
- [अंगिका](https://anp.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97 "वेग – angika")
- [العربية](https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%B1%D8%B9%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87%D8%A9 "سرعة متجهة – arabski")
- [Aragonés](https://an.wikipedia.org/wiki/Velocidat "Velocidat – aragoński")
- [অসমীয়া](https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97 "বেগ – asamski")
- [Asturianu](https://ast.wikipedia.org/wiki/Velocid%C3%A1 "Velocidá – asturyjski")
- [تۆرکجه](https://azb.wikipedia.org/wiki/%DB%8C%D8%A4%D9%86%D8%A6%DB%8C%D9%84%DB%8C_%D8%B3%D9%88%D8%B1%D8%B9%D8%AA "یؤنئیلی سورعت – South Azerbaijani")
- [বাংলা](https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A6%A4%E0%A6%BF%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97 "গতিবেগ – bengalski")
- [閩南語 / Bân-lâm-gú](https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Sok-t%C5%8D%CD%98 "Sok-tō͘ – minnański")
- [Башҡортса](https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B8%D2%99%D0%BB%D0%B5%D0%BA "Тиҙлек – baszkirski")
- [Беларуская](https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%86%D1%8C "Скорасць – białoruski")
- [Беларуская (тарашкевіца)](https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%83%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%81%D1%8C%D1%86%D1%8C "Хуткасьць – Belarusian (Taraškievica orthography)")
- [भोजपुरी](https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97 "वेग – Bhojpuri")
- [Bikol Central](https://bcl.wikipedia.org/wiki/Belosidad "Belosidad – Central Bikol")
- [Български](https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82 "Скорост – bułgarski")
- [Boarisch](https://bar.wikipedia.org/wiki/Gschwindigkeit "Gschwindigkeit – bawarski")
- [Bosanski](https://bs.wikipedia.org/wiki/Brzina "Brzina – bośniacki")
- [Буряад](https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%83%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD "Хурдан – Russia Buriat")
- [Català](https://ca.wikipedia.org/wiki/Velocitat "Velocitat – kataloński")
- [Чӑвашла](https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%C4%83%D0%B2%C4%83%D1%80%D1%82%D0%BB%C4%83%D1%85 "Хăвăртлăх – czuwaski")
- [Cebuano](https://ceb.wikipedia.org/wiki/Tulin_(pisika) "Tulin (pisika) – cebuański")
- [Čeština](https://cs.wikipedia.org/wiki/Rychlost "Rychlost – czeski")
- [ChiShona](https://sn.wikipedia.org/wiki/Muchacha "Muchacha – shona")
- [Cymraeg](https://cy.wikipedia.org/wiki/Cyflymder "Cyflymder – walijski")
- [Dansk](https://da.wikipedia.org/wiki/Hastighed "Hastighed – duński")
- [Deutsch](https://de.wikipedia.org/wiki/Geschwindigkeit "Geschwindigkeit – niemiecki")
- [Eesti](https://et.wikipedia.org/wiki/Kiirus "Kiirus – estoński")
- [Ελληνικά](https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CE%B1%CF%87%CF%8D%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1 "Ταχύτητα – grecki")
- [English](https://en.wikipedia.org/wiki/Velocity "Velocity – angielski")
- [Эрзянь](https://myv.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D1%81 "Молевкс – erzja")
- [Español](https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad "Velocidad – hiszpański")
- [Esperanto](https://eo.wikipedia.org/wiki/Vektora_rapido "Vektora rapido – esperanto")
- [Estremeñu](https://ext.wikipedia.org/wiki/Velocid%C3%A1 "Velocidá – estremadurski")
- [Euskara](https://eu.wikipedia.org/wiki/Abiadura "Abiadura – baskijski")
- [فارسی](https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%B1%D8%B9%D8%AA_%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C "سرعت برداری – perski")
- [Fiji Hindi](https://hif.wikipedia.org/wiki/Raftaar "Raftaar – hindi fidżyjskie")
- [Français](https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_vitesse "Vecteur vitesse – francuski")
- [Frysk](https://fy.wikipedia.org/wiki/Faasje "Faasje – zachodniofryzyjski")
- [Gaeilge](https://ga.wikipedia.org/wiki/Treoluas "Treoluas – irlandzki")
- [Gaelg](https://gv.wikipedia.org/wiki/Bieauid-jeerit "Bieauid-jeerit – manx")
- [Galego](https://gl.wikipedia.org/wiki/Velocidade "Velocidade – galicyjski")
- [한국어](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8D%EB%8F%84 "속도 – koreański")
- [Հայերեն](https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D6%80%D5%A1%D5%A3%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6 "Արագություն – ormiański")
- [हिन्दी](https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97 "वेग – hindi")
- [Hrvatski](https://hr.wikipedia.org/wiki/Brzina "Brzina – chorwacki")
- [Bahasa Indonesia](https://id.wikipedia.org/wiki/Kecepatan "Kecepatan – indonezyjski")
- [Interlingua](https://ia.wikipedia.org/wiki/Velocitate "Velocitate – interlingua")
- [Interlingue](https://ie.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A1 "Velocitá – interlingue")
- [IsiXhosa](https://xh.wikipedia.org/wiki/I-velocity "I-velocity – khosa")
- [Íslenska](https://is.wikipedia.org/wiki/Hra%C3%B0i "Hraði – islandzki")
- [Italiano](https://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0 "Velocità – włoski")
- [עברית](https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%94%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%AA "מהירות – hebrajski")
- [Jawa](https://jv.wikipedia.org/wiki/Kacepetan "Kacepetan – jawajski")
- [ಕನ್ನಡ](https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B5%E0%B3%87%E0%B2%97 "ವೇಗ – kannada")
- [ქართული](https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A1%E1%83%98%E1%83%A9%E1%83%A5%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%94 "სიჩქარე – gruziński")
- [कॉशुर / کٲشُر](https://ks.wikipedia.org/wiki/%D9%88%DB%8C%D9%96%DA%AF "ویٖگ – kaszmirski")
- [Қазақша](https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%96%D1%8B%D0%BB%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B4%D1%8B%D2%9B "Жылдамдық – kazachski")
- [Kernowek](https://kw.wikipedia.org/wiki/Uskitter "Uskitter – kornijski")
- [Kiswahili](https://sw.wikipedia.org/wiki/Kasimwelekeo "Kasimwelekeo – suahili")
- [Kreyòl ayisyen](https://ht.wikipedia.org/wiki/Velosite "Velosite – kreolski haitański")
- [Latina](https://la.wikipedia.org/wiki/Velocitas "Velocitas – łaciński")
- [Latviešu](https://lv.wikipedia.org/wiki/%C4%80trums "Ātrums – łotewski")
- [Lietuvių](https://lt.wikipedia.org/wiki/Vektorinis_greitis "Vektorinis greitis – litewski")
- [Limburgs](https://li.wikipedia.org/wiki/Snelheid "Snelheid – limburski")
- [Lingua Franca Nova](https://lfn.wikipedia.org/wiki/Rapidia_vetoral "Rapidia vetoral – Lingua Franca Nova")
- [Lombard](https://lmo.wikipedia.org/wiki/Velocitaa "Velocitaa – lombardzki")
- [Magyar](https://hu.wikipedia.org/wiki/Sebess%C3%A9g "Sebesség – węgierski")
- [Македонски](https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B7%D0%B8%D0%BD%D0%B0 "Брзина – macedoński")
- [Malagasy](https://mg.wikipedia.org/wiki/Hafainganam-pandeha "Hafainganam-pandeha – malgaski")
- [മലയാളം](https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%B5%E0%B5%87%E0%B4%97%E0%B4%82 "പ്രവേഗം – malajalam")
- [मराठी](https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97 "वेग – marathi")
- [Bahasa Melayu](https://ms.wikipedia.org/wiki/Halaju "Halaju – malajski")
- [Minangkabau](https://min.wikipedia.org/wiki/Laju "Laju – minangkabu")
- [閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄](https://cdo.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3k-d%C3%B4 "Sók-dô – Mindong")
- [Монгол](https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%83%D1%80%D0%B4 "Хурд – mongolski")
- [မြန်မာဘာသာ](https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%9C%E1%80%BB%E1%80%84%E1%80%BA "အလျင် – birmański")
- [Nederlands](https://nl.wikipedia.org/wiki/Snelheid "Snelheid – niderlandzki")
- [नेपाली](https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A4%A4%E0%A4%BF "गति – nepalski")
- [日本語](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6 "速度 – japoński")
- [Нохчийн](https://ce.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B0 "Сихалла – czeczeński")
- [Nordfriisk](https://frr.wikipedia.org/wiki/Faard "Faard – północnofryzyjski")
- [Norsk bokmål](https://no.wikipedia.org/wiki/Hastighet "Hastighet – norweski (bokmål)")
- [Norsk nynorsk](https://nn.wikipedia.org/wiki/Hastigheit "Hastigheit – norweski (nynorsk)")
- [Occitan](https://oc.wikipedia.org/wiki/Velocitat "Velocitat – oksytański")
- [Oromoo](https://om.wikipedia.org/wiki/Ariitii "Ariitii – oromo")
- [Oʻzbekcha / ўзбекча](https://uz.wikipedia.org/wiki/Tezlik "Tezlik – uzbecki")
- [ਪੰਜਾਬੀ](https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B5%E0%A9%87%E0%A8%97 "ਵੇਗ – pendżabski")
- [پنجابی](https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%88%D9%84%D8%A7%D8%B3%D9%B9%DB%8C "ولاسٹی – Western Punjabi")
- [ភាសាខ្មែរ](https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%9B%E1%9F%92%E1%9E%94%E1%9E%BF%E1%9E%93 "ល្បឿន – khmerski")
- [Piemontèis](https://pms.wikipedia.org/wiki/Andi "Andi – piemoncki")
- [Plattdüütsch](https://nds.wikipedia.org/wiki/Snelligkeid "Snelligkeid – dolnoniemiecki")
- [Português](https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade "Velocidade – portugalski")
- [Română](https://ro.wikipedia.org/wiki/Vitez%C4%83 "Viteză – rumuński")
- [Runa Simi](https://qu.wikipedia.org/wiki/Utqa_kay "Utqa kay – keczua")
- [Русиньскый](https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B2%D1%8B%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C "Швыдкость – rusiński")
- [Русский](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C "Скорость – rosyjski")
- [Sardu](https://sc.wikipedia.org/wiki/Velotzidade "Velotzidade – sardyński")
- [Shqip](https://sq.wikipedia.org/wiki/Shpejt%C3%ABsia_(fizik%C3%AB) "Shpejtësia (fizikë) – albański")
- [සිංහල](https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B4%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B7%80%E0%B7%9A%E0%B6%9C%E0%B6%BA "ප්‍රවේගය – syngaleski")
- [Simple English](https://simple.wikipedia.org/wiki/Velocity "Velocity – Simple English")
- [سنڌي](https://sd.wikipedia.org/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%84%D8%A7%D8%B3%D9%BD%D9%8A "ويلاسٽي – sindhi")
- [Slovenčina](https://sk.wikipedia.org/wiki/R%C3%BDchlos%C5%A5_(fyzik%C3%A1lna_veli%C4%8Dina) "Rýchlosť (fyzikálna veličina) – słowacki")
- [Slovenščina](https://sl.wikipedia.org/wiki/Hitrost "Hitrost – słoweński")
- [کوردی](https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%DB%8E%D8%B1%D8%A7%DB%8C%DB%8C_(%D9%81%DB%8C%D8%B2%DB%8C%DA%A9) "خێرایی (فیزیک) – sorani")
- [Српски / srpski](https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B7%D0%B8%D0%BD%D0%B0 "Брзина – serbski")
- [Srpskohrvatski / српскохрватски](https://sh.wikipedia.org/wiki/Brzina "Brzina – serbsko-chorwacki")
- [Suomi](https://fi.wikipedia.org/wiki/Nopeus "Nopeus – fiński")
- [Svenska](https://sv.wikipedia.org/wiki/Hastighet "Hastighet – szwedzki")
- [Tagalog](https://tl.wikipedia.org/wiki/Tulin "Tulin – tagalski")
- [தமிழ்](https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AE%BF%E0%AE%9A%E0%AF%88%E0%AE%B5%E0%AF%87%E0%AE%95%E0%AE%AE%E0%AF%8D "திசைவேகம் – tamilski")
- [Taqbaylit](https://kab.wikipedia.org/wiki/Arured_amaway "Arured amaway – kabylski")
- [Татарча / tatarça](https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B8%D0%B7%D0%BB%D0%B5%D0%BA "Тизлек – tatarski")
- [తెలుగు](https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%B5%E0%B1%87%E0%B0%97%E0%B0%82 "వేగం – telugu")
- [ไทย](https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B9%87%E0%B8%A7 "ความเร็ว – tajski")
- [Тоҷикӣ](https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D1%80%D1%8A%D0%B0%D1%82 "Суръат – tadżycki")
- [Türkçe](https://tr.wikipedia.org/wiki/H%C4%B1z "Hız – turecki")
- [Українська](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C "Швидкість – ukraiński")
- [اردو](https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%88%D9%84%D8%A7%D8%B3%D9%B9%DB%8C "ولاسٹی – urdu")
- [Vepsän kel’](https://vep.wikipedia.org/wiki/Piguz "Piguz – wepski")
- [Tiếng Việt](https://vi.wikipedia.org/wiki/V%E1%BA%ADn_t%E1%BB%91c "Vận tốc – wietnamski")
- [Võro](https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Kib%C3%B5husvektor "Kibõhusvektor – võro")
- [文言](https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6 "速度 – chiński klasyczny")
- [Winaray](https://war.wikipedia.org/wiki/Belosidad "Belosidad – waraj")
- [吴语](https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6 "速度 – wu")
- [ייִדיש](https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%99%D7%9B%D7%A7%D7%99%D7%99%D7%98 "גיכקייט – jidysz")
- [粵語](https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6 "速度 – kantoński")
- [中文](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6 "速度 – chiński")

[Edytuj linki](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11465#sitelinks-wikipedia "Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi")

- [Artykuł](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Zobacz stronę treści [c]")
- [Dyskusja](/wiki/Dyskusja:Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Dyskusja o zawartości tej strony [t]")

polski

- [Czytaj](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87)
- [Edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit "Edytuj tę stronę [v]")
- [Edytuj kod źródłowy](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit "Edycja kodu źródłowego strony [e]")
- [Wyświetl historię](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=history "Starsze wersje tej strony [h]")

Narzędzia

Narzędzia

przypnijukryj

Działania


- [Czytaj](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87)
- [Edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit "Edytuj tę stronę [v]")
- [Edytuj kod źródłowy](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit "Edycja kodu źródłowego strony [e]")
- [Wyświetl historię](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=history)

Ogólne


- [Linkujące](/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]")
- [Zmiany w linkowanych](/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]")
- [Prześlij plik](//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik "Prześlij pliki [u]")
- [Strony specjalne](/wiki/Specjalna:Strony_specjalne "Lista wszystkich stron specjalnych [q]")
- [Link do tej wersji](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&oldid=73166512 "Stały link do tej wersji tej strony")
- [Informacje o tej stronie](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=info "Więcej informacji na temat tej strony")
- [Cytowanie tego artykułu](/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&id=73166512&wpFormIdentifier=titleform "Informacja o tym jak należy cytować tę stronę")
- [Zobacz skrócony adres URL](/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FPr%25C4%2599dko%25C5%259B%25C4%2587)
- [Pobierz kod QR](/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FPr%25C4%2599dko%25C5%259B%25C4%2587)
- [Element Wikidanych](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11465 "Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]")

Drukuj lub eksportuj


- [Utwórz książkę](/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87)
- [Pobierz jako PDF](/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=show-download-screen)
- [Wersja do druku](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&printable=yes "Wersja do wydruku [p]")

W innych projektach


- [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Velocity)
- [Wikicytaty](https://pl.wikiquote.org/wiki/Szybko%C5%9B%C4%87)

Wygląd

przypnijukryj

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png)](/wiki/Wikipedia:Strona_ujednoznaczniaj%C4%85ca "Inne znaczenia")Ten artykuł dotyczy definicji prędkości w kinematyce punktu materialnego . Zobacz też: [inne znaczenia](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_(ujednoznacznienie) "Prędkość (ujednoznacznienie)").

Prędkość

Rodzaj wielkości

[wektorowa](/wiki/Wektor "Wektor") lub [skalarna](/wiki/Skalar_(fizyka) "Skalar (fizyka)")

Symbol

v→,{\\displaystyle {\\vec {v}},}![{\displaystyle {\vec {v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daed28269ba38a9fccf0f713362611a0a302b649)v,{\\displaystyle \\mathbf {v} ,}![{\displaystyle \mathbf {v} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318283f74792ba256f538baccee13e1c75213d1b)v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597)

[Jednostka SI](/wiki/Uk%C5%82ad_SI "Układ SI")

[m/s](/wiki/Metr_na_sekund%C4%99 "Metr na sekundę")

W [podstawowych jednostkach SI](/wiki/Jednostka_podstawowa_uk%C5%82adu_SI "Jednostka podstawowa układu SI")

ms{\\displaystyle \\mathrm {\\frac {m}{s}} }![{\displaystyle \mathrm {\frac {m}{s}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5db9343573039dcdc3ed1144dd242fe00055cd2)

Inne jednostki

[km/h](/wiki/Kilometr_na_godzin%C4%99 "Kilometr na godzinę"), [mph](/wiki/Mila_na_godzin%C4%99 "Mila na godzinę"), [ft/s](/w/index.php?title=Stopa_na_sekund%C4%99&action=edit&redlink=1 "Stopa na sekundę (strona nie istnieje)")

[Wymiar](/wiki/Wymiar_wielko%C5%9Bci_fizycznej "Wymiar wielkości fizycznej")

LT{\\displaystyle \\mathrm {\\frac {L}{T}} }![{\displaystyle \mathrm {\frac {L}{T}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73954dcac1c710a94f03375c6375bebb8137a530)

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/28px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png)](https://pl.wiktionary.org/wiki/pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Wikisłownik")[Hasło w Wikisłowniku](https://pl.wiktionary.org/wiki/pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "wikt:prędkość")

**Prędkość** – wielkość fizyczna opisująca szybkość zmiany położenia ciała względem [układu odniesienia](/wiki/Uk%C5%82ad_odniesienia "Układ odniesienia"). Prędkość jest podstawową koncepcją [kinematyki](/wiki/Kinematyka "Kinematyka"), gałęzi [mechaniki klasycznej](/wiki/Mechanika_klasyczna "Mechanika klasyczna") opisującej [ruch](/wiki/Ruch "Ruch") ciał.

Prędkość może określać:

- [wektorową](/wiki/Wektor "Wektor") [wielkość fizyczną](/wiki/Wielko%C5%9B%C4%87_fizyczna "Wielkość fizyczna") wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce [czasu](/wiki/Czas "Czas"),
- [skalarną](/wiki/Skalar_(fizyka) "Skalar (fizyka)") wielkość oznaczającą przebytą drogę w jednostce czasu zwaną [szybkością](/wiki/Szybko%C5%9B%C4%87 "Szybkość").

Jednostką prędkości w [układzie SI](/wiki/Uk%C5%82ad_SI "Układ SI") jest [metr na sekundę (m/s)](/wiki/Metr_na_sekund%C4%99 "Metr na sekundę").

## Definicje prędkości

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=1 "Edytuj sekcję: Definicje prędkości") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=1 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicje prędkości")\]

### Prędkość w ruchu prostoliniowym

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=2 "Edytuj sekcję: Prędkość w ruchu prostoliniowym") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=2 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Prędkość w ruchu prostoliniowym")\]

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną przesunięcia po czasie[\[1\]](#cite_note-epwn-1), czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu:

v=dxdt=limΔt→0ΔxΔt.{\\displaystyle v={\\frac {\\mathrm {d} x}{\\mathrm {d} t}}=\\lim \_{\\Delta t\\to 0}{\\frac {\\Delta x}{\\Delta t}}.}![{\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef307b342cc7379532359eebdec7956fe22256c)

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

### Prędkość wektorowa

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=3 "Edytuj sekcję: Prędkość wektorowa") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=3 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Prędkość wektorowa")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Vector_snelheid-Plain.svg/220px-Vector_snelheid-Plain.svg.png)](/wiki/Plik:Vector_snelheid-Plain.svg) Zmiana wektora położenia i tor ruchu[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Kinematics.svg/220px-Kinematics.svg.png)](/wiki/Plik:Kinematics.svg) Zależności między wielkościami kinematycznymi

Prędkość wektorowa średnia określana jest jako iloraz zmiany wektora położenia do czasu, w jakim ta zmiana nastąpiła, co można określić wzorem[\[2\]](#cite_note-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484-2):

Δr→=r→B−r→A,{\\displaystyle \\Delta {\\vec {r}}={\\vec {r}}\_{B}-{\\vec {r}}\_{A},}![{\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e461ea7dbe044fcb3a8242c669db6bd022ed81e)v→s=Δr→Δt.{\\displaystyle {\\vec {v}}\_{s}={\\frac {\\Delta {\\vec {r}}}{\\Delta t}}.}![{\displaystyle {\vec {v}}_{s}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd304068ad2ec65e9ecb1d73fd42e1f82ebc3df7)

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

Δr→=v→s⋅Δt.{\\displaystyle \\Delta {\\vec {r}}={\\vec {v}}\_{s}\\cdot \\Delta t.}![{\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {v}}_{s}\cdot \Delta t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aba4d210a32cef156b141a04709aa3707e1b160)

Gdy odstęp czasu, w którym wyznacza się prędkość średnią, zmniejsza się, iloraz wektora zmiany położenia do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dąży do pewnego wektora granicznego zwanego **prędkością ciała w danym punkcie** lub **prędkością chwilową**. Definicję tę można wyrazić wzorem[\[2\]](#cite_note-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484-2):

v→=limΔt→0Δr→Δt=drdt.{\\displaystyle {\\vec {v}}=\\lim \_{\\Delta t\\to 0}{\\frac {\\Delta {\\vec {r}}}{\\Delta t}}={\\frac {d{\\boldsymbol {r}}}{dt}}.}![{\displaystyle {\vec {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fc1409b972561400fd8a36c7c3cad38ff505c9)

Prędkość jest pochodną wektora położenia względem czasu i jest [wielkością wektorową](/wiki/Wektor "Wektor"), może być rozłożona na składowe, mające kierunek osi współrzędnych, podobnie wektor elementarnej zmiany położenia może być rozłożony na współrzędne[\[2\]](#cite_note-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484-2)

v→=v→x+v→y+v→z=dx→dt+dy→dt+dz→dt.{\\displaystyle {\\vec {v}}={\\vec {v}}\_{x}+{\\vec {v}}\_{y}+{\\vec {v}}\_{z}={\\frac {d{\\vec {x}}}{dt}}+{\\frac {d{\\vec {y}}}{dt}}+{\\frac {d{\\vec {z}}}{dt}}.}![{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{x}+{\vec {v}}_{y}+{\vec {v}}_{z}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {y}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {z}}}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f194c82142682a7bf296e3a6b7ad01d9f5de804c)

Wektor prędkości chwilowej jest równoległy do wektora zmiany położenia, przez co wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru ruchu ciała[\[2\]](#cite_note-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484-2).

### Prędkość jako wielkość niewektorowa

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=4 "Edytuj sekcję: Prędkość jako wielkość niewektorowa") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=4 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Prędkość jako wielkość niewektorowa")\]

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek [drogi](/wiki/Droga_(fizyka) "Droga (fizyka)") do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych[\[2\]](#cite_note-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484-2)

vs=ΔsΔt.{\\displaystyle v\_{s}={\\frac {\\Delta s}{\\Delta t}}.}![{\displaystyle v_{s}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eeb63564b55bfd269eddb492577029bc45463fe)

Przy czym droga s{\\displaystyle s}![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632) jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu. Jeżeli prędkość zmienia się, to droga jest równa sumie małych odcinków drogi, na których uznaje się, że prędkość jest stała i jest określana jako **prędkość chwilowa**[\[3\]](#cite_note-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484–86-3):

v=limΔt→0ΔsΔt=dsdt.{\\displaystyle v=\\lim \_{\\Delta t\\to 0}{\\frac {\\Delta s}{\\Delta t}}={\\frac {ds}{dt}}.}![{\displaystyle v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {ds}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedfade906813517c1e61da85612414451ef5965)

Droga przebyta w niewielkim odcinku czasu, w którym prędkość nie zmienia się, jest proporcjonalna do prędkości i czasu. Droga przebyta gdy zmienia się prędkość może być obliczona jako suma, a w granicy jako całka, dróg na odcinkach, na których prędkość nie zmienia się:

S=∫t0t1ds(t).{\\displaystyle S=\\int \\limits \_{t\_{0}}^{t\_{1}}\\;ds(t).}![{\displaystyle S=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\;ds(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20eba79c5f48590b2fca8239283b308f8bc088b7)

Stąd też prędkość średnia:

vs=St2−t1=∫t0t1ds(t)t1−t0.{\\displaystyle v\_{s}={\\frac {S}{t\_{2}-t\_{1}}}={\\frac {\\int \\limits \_{t\_{0}}^{t\_{1}}\\;ds(t)}{t\_{1}-t\_{0}}}.}![{\displaystyle v_{s}={\frac {S}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\;ds(t)}{t_{1}-t_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62888ab70360cf955472f3f7c4d6011e9ce81b4)

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej[\[3\]](#cite_note-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484–86-3)

v=\|v→\|.{\\displaystyle v=\|{\\vec {v}}\|.}![{\displaystyle v=|{\vec {v}}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8f97722be3eca44d0031ffdda76548128a2bc6)

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy tor jest prostoliniowy

vs=st⩾\|v→s\|.{\\displaystyle v\_{s}={\\frac {s}{t}}\\geqslant \|{\\vec {v}}\_{s}\|.}![{\displaystyle v_{s}={\frac {s}{t}}\geqslant |{\vec {v}}_{s}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8edfe86b4e583c50faf15db08060e98b01557acf)

## Prędkość w różnych układach współrzędnych

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=5 "Edytuj sekcję: Prędkość w różnych układach współrzędnych") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=5 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Prędkość w różnych układach współrzędnych")\]

### Układ współrzędnych kartezjańskich

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=6 "Edytuj sekcję: Układ współrzędnych kartezjańskich") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=6 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Układ współrzędnych kartezjańskich")\]

W [układzie współrzędnych kartezjańskich](/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich "Układ współrzędnych kartezjańskich") trzy składowe prędkości (w przestrzeni) albo dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi:

vx=dxdtvy=dydtvz=dzdt.{\\displaystyle v\_{x}={\\frac {dx}{dt}}\\qquad v\_{y}={\\frac {dy}{dt}}\\qquad v\_{z}={\\frac {dz}{dt}}.}![{\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}\qquad v_{y}={\frac {dy}{dt}}\qquad v_{z}={\frac {dz}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5b756ada80bfe31cd316dec53b51e7ecc16480)

Prędkość można zapisać jako współrzędne wektora

v→=\[vx,vy,vz\]{\\displaystyle {\\vec {v}}=\[v\_{x},v\_{y},v\_{z}\]}![{\displaystyle {\vec {v}}=[v_{x},v_{y},v_{z}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a883d17ef466cf0b4aaf2cc755f690d54f6f42)

lub z użyciem wersorów osi

v→=vx⋅i→x+vy⋅i→y+vz⋅i→z.{\\displaystyle {\\vec {v}}=v\_{x}\\cdot {\\vec {i}}\_{x}+v\_{y}\\cdot {\\vec {i}}\_{y}+v\_{z}\\cdot {\\vec {i}}\_{z}.}![{\displaystyle {\vec {v}}=v_{x}\cdot {\vec {i}}_{x}+v_{y}\cdot {\vec {i}}_{y}+v_{z}\cdot {\vec {i}}_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc2f959fd1cf44e26b3614f8e0b90c25b452b23)

Wartość prędkości dana jest wzorem:

v=vx2+vy2+vz2.{\\displaystyle v={\\sqrt {v\_{x}^{2}+v\_{y}^{2}+v\_{z}^{2}}}.}![{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23c03b49014c664903c98b7bb4d9a571eb41275)

### Układ współrzędnych biegunowych

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=7 "Edytuj sekcję: Układ współrzędnych biegunowych") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=7 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Układ współrzędnych biegunowych")\]

[Układ współrzędnych biegunowych](/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_biegunowych "Układ współrzędnych biegunowych") na płaszczyźnie są dwie współrzędne, promień wodzący (r){\\displaystyle (r)}![{\displaystyle (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea900ec1d4b315ecd4708f5b29e76ef092f3af09) i amplituda punktu (φ),{\\displaystyle (\\varphi ),}![{\displaystyle (\varphi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa916c0912d869bc929ccf44f8908da72e66ba49) będąca kątem między wybranym kierunkiem a danym.

W układzie tym prędkość można określić poprzez transformację do kartezjańskiego układu współrzędnych o początku będącym początkiem układu biegunowego i zorientowanego względem zerowej amplitudy albo przez wyznaczenie kartezjańskiego układu współrzędnych o kierunku zgodnym z promieniem wodzącym. Transformacje określają wzory[\[4\]](#cite_note-kwela-4):

- **prędkość radialna** – prędkość zmiany długości promienia wodzącego

vr=drdt,{\\displaystyle v\_{r}={\\frac {dr}{dt}},}![{\displaystyle v_{r}={\frac {dr}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e075dfacfc99f2b914c327b4a898b221abaec5)

- **prędkość transwersalna** – prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego

vφ=rdφdt,{\\displaystyle v\_{\\varphi }=r{\\frac {d\\varphi }{dt}},}![{\displaystyle v_{\varphi }=r{\frac {d\varphi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4eddecdee0124310cae80b5142d9a89e2b9df36)

Co można wyrazić przez [prędkość kątową](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_k%C4%85towa "Prędkość kątowa")

ω=dφdt,{\\displaystyle \\omega ={\\frac {d\\varphi }{dt}},}![{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cf3cf28f97c1ef2398d3f95a65c9ff3dfb9310)vφ=rω,{\\displaystyle v\_{\\varphi }=r\\omega ,}![{\displaystyle v_{\varphi }=r\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820325c91bcd0c61b632a4aa69e69c3e8f5b381f)

gdzie φ{\\displaystyle \\varphi }![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e) jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita:

v→=vr⋅i→r+vφ⋅i→φ.{\\displaystyle {\\vec {v}}=v\_{r}\\cdot {\\vec {i}}\_{r}+v\_{\\varphi }\\cdot {\\vec {i}}\_{\\varphi }.}![{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\varphi }\cdot {\vec {i}}_{\varphi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1faf6a3ecf83e6c64fc44723d0fc44bea90ce6ad)

Wartość prędkości całkowitej[\[4\]](#cite_note-kwela-4):

v=vr2+vφ2=vr2+(rω)2.{\\displaystyle v={\\sqrt {v\_{r}^{2}+v\_{\\varphi }^{2}}}={\\sqrt {v\_{r}^{2}+(r\\omega )^{2}}}.}![{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}}}={\sqrt {v_{r}^{2}+(r\omega )^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373d5cbfa3e4a85cdf5340fd56ec1cfef65597d1)

### Układ współrzędnych walcowych

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=8 "Edytuj sekcję: Układ współrzędnych walcowych") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=8 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Układ współrzędnych walcowych")\]

[Układ współrzędnych walcowych](/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_walcowych "Układ współrzędnych walcowych"), jest uogólnieniem układu biegunowego na przestrzeń trójwymiarową poprzez dodanie do współrzędnych biegunowych współrzędnej w kierunku osi z. Współrzędna z jest liniowa, odpowiadająca jej składowa prędkości jest równa:

vz=dzdt.{\\displaystyle v\_{z}={\\frac {dz}{dt}}.}![{\displaystyle v_{z}={\frac {dz}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47846db1ac342469726f48ba1ea88b776b40081)

Transformacja do kartezjańskich współrzędnych prędkości określa wzór:

v→=vr⋅i→r+vφ⋅i→φ+vz⋅i→z.{\\displaystyle {\\vec {v}}=v\_{r}\\cdot {\\vec {i}}\_{r}+v\_{\\varphi }\\cdot {\\vec {i}}\_{\\varphi }+v\_{z}\\cdot {\\vec {i}}\_{z}.}![{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\varphi }\cdot {\vec {i}}_{\varphi }+v_{z}\cdot {\vec {i}}_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa4fa720aee3414dbe4ac42a92668e1caee26c4)

Wartość prędkości:

v=vr2+vφ2+vz2.{\\displaystyle v={\\sqrt {v\_{r}^{2}+v\_{\\varphi }^{2}+v\_{z}^{2}}}.}![{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}+v_{z}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5eddd38f83d6c022924f3b4e80662adbaa1e4a1)

### Układ współrzędnych sferycznych

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=9 "Edytuj sekcję: Układ współrzędnych sferycznych") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=9 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Układ współrzędnych sferycznych")\]

W [układzie współrzędnych sferycznych](/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_sferycznych "Układ współrzędnych sferycznych") położenie w przestrzeni opisane jest przez współrzędne: promień wodzący, długość azymutalna i odległość zenitalna (r,ϕ,θ).{\\displaystyle (r,\\phi ,\\theta ).}![{\displaystyle (r,\phi ,\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba94e92b44d1df0c1013c79298624c8e2f72668) Wprowadzając układ kartezjański o kierunkach osi zgodnych ze zmianami współrzędnych sferycznych, transformacja współrzędnych prędkości wyraża się wzorami:

vr=drdt,{\\displaystyle v\_{r}={\\frac {dr}{dt}},}![{\displaystyle v_{r}={\frac {dr}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e075dfacfc99f2b914c327b4a898b221abaec5)vφ=rdφdt,{\\displaystyle v\_{\\varphi }=r{\\frac {d\\varphi }{dt}},}![{\displaystyle v_{\varphi }=r{\frac {d\varphi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4eddecdee0124310cae80b5142d9a89e2b9df36)vθ=rsin⁡φ⋅dθdt,{\\displaystyle v\_{\\theta }=r\\sin \\varphi \\cdot {\\frac {d\\theta }{dt}},}![{\displaystyle v_{\theta }=r\sin \varphi \cdot {\frac {d\theta }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcc6678aee430a0ce716480cc06fa68fe05821c)

gdzie:

φ{\\displaystyle \\varphi }![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e) jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku, np. od osi (OZ),θ{\\displaystyle \\theta }![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af) jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (OZ). Tym kierunkiem może być oś OX.

Współrzędne prędkości w wyżej opisanym kartezjańskim układzie współrzędnych:

v→=vr⋅i→r+vφ⋅i→φ+vθ⋅i→θ.{\\displaystyle {\\vec {v}}=v\_{r}\\cdot {\\vec {i}}\_{r}+v\_{\\varphi }\\cdot {\\vec {i}}\_{\\varphi }+v\_{\\theta }\\cdot {\\vec {i}}\_{\\theta }.}![{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\varphi }\cdot {\vec {i}}_{\varphi }+v_{\theta }\cdot {\vec {i}}_{\theta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11412c28e24aa0306b291e82f664a661c2e3f34)

Moduł (wartość) prędkości:

v=vr2+vφ2+vθ2.{\\displaystyle v={\\sqrt {v\_{r}^{2}+v\_{\\varphi }^{2}+v\_{\\theta }^{2}}}.}![{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}+v_{\theta }^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d251629bc4e5dd16b3067618575b8bbeaf55c027)

### Dowolne współrzędne krzywoliniowe

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=10 "Edytuj sekcję: Dowolne współrzędne krzywoliniowe") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=10 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Dowolne współrzędne krzywoliniowe")\]

Z definicji prędkość v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) jest równa pochodnej promienia wodzącego r{\\displaystyle \\mathbf {r} }![{\displaystyle \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1) względem czasu: v=r˙.{\\displaystyle \\mathbf {v} ={\\dot {\\mathbf {r} }}.}![{\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac8f91b01721b700db5dcb230df1b4c523df7ab) Aby wyrazić prędkość we współrzędnych krzywoliniowych, obliczamy tę pochodną według reguły różniczkowania funkcji złożonej, mając na uwadze, że promień wodzący r{\\displaystyle \\mathbf {r} }![{\displaystyle \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1) poruszającego się punktu można uważać za funkcję współrzędnych krzywoliniowych q1,q2,q3{\\displaystyle q\_{1},q\_{2},q\_{3}}![{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d51603caf72232fc224a22f52a1a86739593b6f) tego punktu, które z kolei są pewnymi funkcjami czasu t[\[5\]](#cite_note-Sus-5):

r=r(q1,q2,q3),q1=q1(t),q2=q2(t),q3=q3(t).{\\displaystyle \\mathbf {r} =\\mathbf {r} (q\_{1},q\_{2},q\_{3}),\\quad q\_{1}=q\_{1}(t),\\quad q\_{2}=q\_{2}(t),\\quad q\_{3}=q\_{3}(t).}![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},q_{2},q_{3}),\quad q_{1}=q_{1}(t),\quad q_{2}=q_{2}(t),\quad q_{3}=q_{3}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe418a32ce103ba92491b8cf197fe014334bdd3c)

(1)

Stąd

v=drdt=∂r∂q1q˙1+∂r∂q2q˙2+∂r∂q3q˙3{\\displaystyle \\mathbf {v} ={\\frac {d\\mathbf {r} }{dt}}={\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{1}}}{\\dot {q}}\_{1}+{\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{2}}}{\\dot {q}}\_{2}+{\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{3}}}{\\dot {q}}\_{3}}![{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d2808cfe21921e64e35da41644357a99674d0f)

(2)

oraz

v2=∑σ,ρ=13∂r∂qσ∂r∂qρq˙σq˙ρ,{\\displaystyle v^{2}=\\sum \_{\\sigma ,\\,\\rho =1}^{3}{\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\sigma }}}{\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\rho }}}{\\dot {q}}\_{\\sigma }{\\dot {q}}\_{\\rho },}![{\displaystyle v^{2}=\sum _{\sigma ,\,\rho =1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\rho }}}{\dot {q}}_{\sigma }{\dot {q}}_{\rho },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9173cf07d3edbe881987043eba19f915f5df248)

(3)

gdzie wskaźniki σ{\\displaystyle \\sigma }![{\displaystyle \sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36) i ρ{\\displaystyle \\rho }![{\displaystyle \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64) przebiegają niezależnie od siebie wszystkie wartości od 1 do 3. W przypadku układu ortogonalnego jest[\[5\]](#cite_note-Sus-5)

∂r∂qσ∂r∂qρ=0{\\displaystyle {\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\sigma }}}{\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\rho }}}=0}![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\rho }}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd75cfe468e0db0bb41413b02393b850e2b6f37f) dla qσ≠qρ{\\displaystyle q\_{\\sigma }\\neq q\_{\\rho }}![{\displaystyle q_{\sigma }\neq q_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94689cdc7b7d56e48c6d59045ea4cbc12969f21c)

i dzięki temu

v2=∑σ=13(∂r∂qσ)2q˙σ2.{\\displaystyle v^{2}=\\sum \_{\\sigma =1}^{3}\\left({\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\sigma }}}\\right)^{2}{\\dot {q}}\_{\\sigma }^{2}.}![{\displaystyle v^{2}=\sum _{\sigma =1}^{3}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}{\dot {q}}_{\sigma }^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b4f7fa6e800a9154d5935381860fa9b72fccd6)

(4)

Jeżeli promień wodzący r{\\displaystyle \\mathbf {r} }![{\displaystyle \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1) przedstawiony jest jako funkcja zmiennych x,y,z,{\\displaystyle x,\\,y,\\,z,}![{\displaystyle x,\,y,\,z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a954a4e524cf8dc15d97377d697c223922ddbb9) to wzory na prędkość v2{\\displaystyle v^{2}}![{\displaystyle v^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faa98a21ac8133ab466999288849492be28b3d1) przybiorą postać[\[5\]](#cite_note-Sus-5)

v2=∑σ,ρ=13(∂x∂qσ∂x∂qρ+∂y∂qσ∂y∂qρ+∂z∂qσ∂z∂qρ)q˙σq˙ρ,{\\displaystyle v^{2}=\\sum \_{\\sigma ,\\,\\rho =1}^{3}\\left({\\frac {\\partial x}{\\partial q\_{\\sigma }}}{\\frac {\\partial x}{\\partial q\_{\\rho }}}+{\\frac {\\partial y}{\\partial q\_{\\sigma }}}{\\frac {\\partial y}{\\partial q\_{\\rho }}}+{\\frac {\\partial z}{\\partial q\_{\\sigma }}}{\\frac {\\partial z}{\\partial q\_{\\rho }}}\\right){\\dot {q}}\_{\\sigma }{\\dot {q}}\_{\\rho },}![{\displaystyle v^{2}=\sum _{\sigma ,\,\rho =1}^{3}\left({\frac {\partial x}{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial x}{\partial q_{\rho }}}+{\frac {\partial y}{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial y}{\partial q_{\rho }}}+{\frac {\partial z}{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial z}{\partial q_{\rho }}}\right){\dot {q}}_{\sigma }{\dot {q}}_{\rho },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca982ae6bcca9f7c605d861c0428b8d35dc9538b)

(5)

v2=∑σ=13\[(∂x∂qσ)2+(∂y∂qσ)2+(∂z∂qσ)2\]q˙σ2.{\\displaystyle v^{2}=\\sum \_{\\sigma =1}^{3}\\left\[\\left({\\frac {\\partial x}{\\partial q\_{\\sigma }}}\\right)^{2}+\\left({\\frac {\\partial y}{\\partial q\_{\\sigma }}}\\right)^{2}+\\left({\\frac {\\partial z}{\\partial q\_{\\sigma }}}\\right)^{2}\\right\]{\\dot {q}}\_{\\sigma }^{2}.}![{\displaystyle v^{2}=\sum _{\sigma =1}^{3}\left[\left({\frac {\partial x}{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}\right]{\dot {q}}_{\sigma }^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39c491575a8e9e04954d1568ce57105870cb816)

(6)

Definicja wersorów: e1,e2,e3{\\displaystyle \\mathbf {e} \_{1},\\mathbf {e} \_{2},\\mathbf {e} \_{3}}![{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b830763a1f552a9c87e7a97e3fb34924c92f3ba) osi q1,q2,q3{\\displaystyle q\_{1},q\_{2},q\_{3}}![{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d51603caf72232fc224a22f52a1a86739593b6f) wzorem

∂r∂qσ=\|∂r∂qσ\|eσ,σ=1,2,3.{\\displaystyle {\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\sigma }}}=\\left\|{\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\sigma }}}\\right\|\\mathbf {e} \_{\\sigma },\\quad \\sigma =1,2,3.}![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}\right|\mathbf {e} _{\sigma },\quad \sigma =1,2,3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13f611b36340ff128cc5e68078f5b30d778252a)

(7)

Prędkość można teraz zapisać w postaci

v=∑σ=13\|∂r∂qσ\|q˙σeσ,{\\displaystyle \\mathbf {v} =\\sum \_{\\sigma =1}^{3}\\left\|{\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\sigma }}}\\right\|{\\dot {q}}\_{\\sigma }\\mathbf {e} \_{\\sigma },}![{\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{\sigma =1}^{3}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}\right|{\dot {q}}_{\sigma }\mathbf {e} _{\sigma },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa748829a664f923108e97e6df6f10ecc080c11)

(8)

w której \|∂r/∂qσ\|q˙σ{\\displaystyle \|\\partial \\mathbf {r} /\\partial q\_{\\sigma }\|{\\dot {q}}\_{\\sigma }}![{\displaystyle |\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|{\dot {q}}_{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503685b3b8a1ff9807510a5bd535841eb3a58177) jest składową prędkości v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) wzdłuż osi qσ.{\\displaystyle q\_{\\sigma }.}![{\displaystyle q_{\sigma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f054aaa6d4a6436be7c955af27deeb56f46262)

Prostopadły rzut prędkości v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) na oś qσ{\\displaystyle q\_{\\sigma }}![{\displaystyle q_{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131b06ce5e46fc3a8b47360a1ccefd262736a473) jest równy

vqσort=veσ=v∂r/∂qσ\|∂r/∂qσ\|.{\\displaystyle v\_{q\_{\\sigma }}^{ort}=\\mathbf {v} \\mathbf {e} \_{\\sigma }=\\mathbf {v} {\\frac {\\partial \\mathbf {r} /\\partial q\_{\\sigma }}{\|\\partial \\mathbf {r} /\\partial q\_{\\sigma }\|}}.}![{\displaystyle v_{q_{\sigma }}^{ort}=\mathbf {v} \mathbf {e} _{\sigma }=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8dd894d56d12eb013c5cb571ac8f699af6a5a52)

(8)

Ze wzoru (3) wynika równość

∂r∂qσ=∂v∂q˙σ,{\\displaystyle {\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\sigma }}}={\\frac {\\partial \\mathbf {v} }{\\partial {\\dot {q}}\_{\\sigma }}},}![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28a10303dbc964c836b03972f3f646f69cf42c8)

skąd wynika, że

v∂r∂qσ=v∂v∂q˙σ=∂(v2/2)∂q˙σ.{\\displaystyle \\mathbf {v} {\\frac {\\partial \\mathbf {r} }{\\partial q\_{\\sigma }}}=\\mathbf {v} {\\frac {\\partial \\mathbf {v} }{\\partial {\\dot {q}}\_{\\sigma }}}={\\frac {\\partial (v^{2}/2)}{\\partial {\\dot {q}}\_{\\sigma }}}.}![{\displaystyle \mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1961e9ed5eb17677c930ceaa2041ab019cae88)

Rzut prostopadły prędkości określa wzór[\[5\]](#cite_note-Sus-5)

vqσort=∂(v2/2)∂q˙σ\|∂r/∂qσ\|,σ=1,2,3.{\\displaystyle v\_{q\_{\\sigma }}^{ort}={\\frac {\\frac {\\partial (v^{2}/2)}{\\partial {\\dot {q}}\_{\\sigma }}}{\|\\partial \\mathbf {r} /\\partial q\_{\\sigma }\|}},\\quad \\sigma =1,2,3.}![{\displaystyle v_{q_{\sigma }}^{ort}={\frac {\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|}},\quad \sigma =1,2,3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf5cb8dd73c0694d495f33b801276a1126ca548)

(9)

## Związek z przyspieszeniem

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=11 "Edytuj sekcję: Związek z przyspieszeniem") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=11 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Związek z przyspieszeniem")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Velocity_vs_time_graph.svg/260px-Velocity_vs_time_graph.svg.png)](/wiki/Plik:Velocity_vs_time_graph.svg) Graficzna interpretacja zależności drogi i przyspieszenia od prędkości na wykresie prędkości od czasu.

Szybkość zmiany prędkości to [przyspieszenie](/wiki/Przyspieszenie "Przyspieszenie"):

a=dvdt{\\displaystyle {\\boldsymbol {a}}={\\frac {d{\\boldsymbol {v}}}{dt}}}![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fb6dd5e71cefb80f9723476b064238df152bdb)

Z zależności tej wynika wyrażenie na prędkość w zależności od przyspieszenia:

v=v0+∫adt{\\displaystyle {\\boldsymbol {v}}={\\boldsymbol {v\_{0}}}+\\int {\\boldsymbol {a}}\ dt}![{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v_{0}}}+\int {\boldsymbol {a}}\ dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcaf45c3d3559fc3e3eb30b952d8a7b0c596fb1)

W ruchu prostoliniowym:

v=v0+∫t0t1a(t)dt{\\displaystyle v=v\_{0}+\\int \\limits \_{t\_{0}}^{t\_{1}}a(t)dt}![{\displaystyle v=v_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}a(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75dee4a6ec9a6ce110d4fc8da83d63a28f80880)

Na wykresie zależności prędkości od czasu chwilowe przyspieszenie ciała w danym momencie jest równe [nachyleniu](/wiki/Nachylenie "Nachylenie") [linii stycznej](/wiki/Styczna "Styczna") do krzywej w tym punkcie.

## Prędkość kątowa

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=12 "Edytuj sekcję: Prędkość kątowa") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=12 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Prędkość kątowa")\]

![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png)_Osobny artykuł: [Prędkość kątowa](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_k%C4%85towa "Prędkość kątowa")._

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

ω=dφdt,{\\displaystyle \\omega ={\\frac {d\\varphi }{dt}},}![{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cf3cf28f97c1ef2398d3f95a65c9ff3dfb9310)

gdzie φ{\\displaystyle \\varphi }![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e) jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując φ{\\displaystyle \\varphi }![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e) jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

ω→=dφ→dt.{\\displaystyle {\\vec {\\omega }}={\\frac {d{\\vec {\\varphi }}}{dt}}.}![{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {d{\vec {\varphi }}}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09e8c724f9930cbcfafdd50c84813ab387681b0)

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest [pseudowektorem](/wiki/Pseudowektor "Pseudowektor"). Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

v→φ=ω→×r→.{\\displaystyle {\\vec {v}}\_{\\varphi }={\\vec {\\omega }}\\times {\\vec {r}}.}![{\displaystyle {\vec {v}}_{\varphi }={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c329a42447e91dc9eb5d8f3b806980e01981de)

## Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=13 "Edytuj sekcję: Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=13 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów")\]

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

### Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=14 "Edytuj sekcję: Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=14 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym")\]

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x.{\\displaystyle x.}![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a) Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty układu współrzędnych, sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

v→=Δr→Δt=x(T)−x(0)Ti→x,{\\displaystyle {\\vec {v}}={\\frac {\\Delta {\\vec {r}}}{\\Delta t}}={\\frac {x(T)-x(0)}{T}}{\\vec {i}}\_{x},}![{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {x(T)-x(0)}{T}}{\vec {i}}_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee13253d2533004be0dfbfec66b037d96a76b18)\|v→\|=x(T)−x(0)T=ST=const,{\\displaystyle \|{\\vec {v}}\|={\\frac {x(T)-x(0)}{T}}={\\frac {S}{T}}={\\textrm {const}},}![{\displaystyle |{\vec {v}}|={\frac {x(T)-x(0)}{T}}={\frac {S}{T}}={\textrm {const}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ccf76629f76696588c1efb3b2cdafcbd7295e9)

gdzie:

r→(t){\\displaystyle {\\vec {r}}(t)}![{\displaystyle {\vec {r}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d16f17fe8740127a7628ce98b69dc7fb8f4f9df) – wektor położenia jako funkcja czasu t,{\\displaystyle t,}![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2) – przebyta [droga](/wiki/Droga_(fizyka) "Droga (fizyka)"),T{\\displaystyle T}![{\displaystyle T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0) – czas trwania ruchu,x(t){\\displaystyle x(t)}![{\displaystyle x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c) – funkcja położenia (skalar) od czasu.

### Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=15 "Edytuj sekcję: Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=15 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym")\]

[Przyspieszenie](/wiki/Przyspieszenie "Przyspieszenie")a→{\\displaystyle {\\vec {a}}}![{\displaystyle {\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16) jest stałe i niezerowe, więc prędkość v→{\\displaystyle {\\vec {v}}}![{\displaystyle {\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753) zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

a→=Δv→Δt→Δv→=a→Δt,{\\displaystyle {\\vec {a}}={\\frac {\\Delta {\\vec {v}}}{\\Delta t}}\\quad \\to \\quad \\Delta {\\vec {v}}={\\vec {a}}\\Delta t,}![{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}\quad \to \quad \Delta {\vec {v}}={\vec {a}}\Delta t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08da0a0bfd406d79dfce3f7dd88bd3aecf0705cc)v→(T)−v→(0)=a→T→v→(T)=v→(0)+a→T,{\\displaystyle {\\vec {v}}(T)-{\\vec {v}}(0)={\\vec {a}}T\\quad \\to \\quad {\\vec {v}}(T)={\\vec {v}}(0)+{\\vec {a}}T,}![{\displaystyle {\vec {v}}(T)-{\vec {v}}(0)={\vec {a}}T\quad \to \quad {\vec {v}}(T)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}T,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c481ddf36cda3d080d5fb2bceffa5fe2c07a5fe2)

gdzie:

T{\\displaystyle T}![{\displaystyle T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0) – całkowity czas ruchu,v→(t){\\displaystyle {\\vec {v}}(t)}![{\displaystyle {\vec {v}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4550679b673f2c3ce8d8041e6b6e17a85a69ec3a) – wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasem (zazwyczaj z powodów [dydaktycznych](/wiki/Dydaktyka "Dydaktyka")) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego – ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia a→{\\displaystyle {\\vec {a}}}![{\displaystyle {\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16) jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości v→(t).{\\displaystyle {\\vec {v}}(t).}![{\displaystyle {\vec {v}}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3603995d0390fc278db5845abc54c32a3f8281)

### Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=16 "Edytuj sekcję: Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=16 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)")\]

W tym ruchu wektor [prędkości kątowej](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_k%C4%85towa "Prędkość kątowa")ω→{\\displaystyle {\\vec {\\omega }}}![{\displaystyle {\vec {\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074) jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

ω=Δϕt.{\\displaystyle \\omega ={\\frac {\\Delta \\phi }{t}}.}![{\displaystyle \omega ={\frac {\Delta \phi }{t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3b59eee95edcd393ccfe7a90cecbab7f10a3c8)

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

v=ωr.{\\displaystyle v=\\omega r.}![{\displaystyle v=\omega r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ea3685a9b94b448033fd532fa489598f20a0bc)

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

x(t)=rcos⁡ωt,{\\displaystyle x(t)=r\\cos \\omega t,}![{\displaystyle x(t)=r\cos \omega t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16098e219ee9bf9dd04dc40e1135230684f2e92)y(t)=rsin⁡ωt.{\\displaystyle y(t)=r\\sin \\omega t.}![{\displaystyle y(t)=r\sin \omega t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95a1407b0a8f446928a216a4ec61f297bad4e81)

## Zobacz też

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=17 "Edytuj sekcję: Zobacz też") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=17 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też")\]

- [prędkość dźwięku](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_d%C5%BAwi%C4%99ku "Prędkość dźwięku")
- [prędkość kosmiczna](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_kosmiczna "Prędkość kosmiczna")
- [prędkość maksymalna](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_maksymalna "Prędkość maksymalna")
- [prędkość światła](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_%C5%9Bwiat%C5%82a "Prędkość światła")
- [prędkość ucieczki](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_ucieczki "Prędkość ucieczki")

## Przypisy

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=18 "Edytuj sekcję: Przypisy") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=18 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy")\]

1. [↑](#cite_ref-epwn_1-0)[_prędkość_](https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3962193), \[w:\] _[Encyklopedia PWN](/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa) "Encyklopedia PWN (internetowa)")_ \[online\], Wydawnictwo Naukowe PWN \[dostęp 2024-03-17\].
2. ↑ [a](#cite_ref-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484_2-0)[b](#cite_ref-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484_2-1)[c](#cite_ref-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484_2-2)[d](#cite_ref-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484_2-3)[e](#cite_ref-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484_2-4)[Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓](#CITEREFWróblewskiZakrzewski1984), s. 84.
3. ↑ [a](#cite_ref-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484–86_3-0)[b](#cite_ref-CITEREFWróblewskiZakrzewski198484–86_3-1)[Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓](#CITEREFWróblewskiZakrzewski1984), s. 84–86.
4. ↑ [a](#cite_ref-kwela_4-0)[b](#cite_ref-kwela_4-1)JerzyJ.KwelaJerzyJ., [_Mechanika klasyczna i relatywistyczna_](https://web.archive.org/web/20190819135011/https://inf.ug.edu.pl/kierunkizamawiane/materialy.fizyka/mechklas.pdf), Gdańsk: Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, 2010, [ISBN 978-83-7326-703-9](/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788373267039 "Specjalna:Książki/9788373267039") \[dostęp 2019-08-19\] \[zarchiwizowane z [adresu](https://inf.ug.edu.pl/kierunkizamawiane/materialy.fizyka/mechklas.pdf) 2019-08-19\]. Brak numerów stron w książce
5. ↑ [a](#cite_ref-Sus_5-0)[b](#cite_ref-Sus_5-1)[c](#cite_ref-Sus_5-2)[d](#cite_ref-Sus_5-3)G.K. Susłow, _Mechanika teoretyczna_, PWN, Warszawa 1960.

## Bibliografia

\[ [edytuj](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=19 "Edytuj sekcję: Bibliografia") \| [edytuj kod](/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&action=edit&section=19 "Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia")\]

- [Andrzej Kajetan Wróblewski](/wiki/Andrzej_Kajetan_Wr%C3%B3blewski "Andrzej Kajetan Wróblewski"), [Janusz A. Zakrzewski](/wiki/Janusz_Zakrzewski "Janusz Zakrzewski"): _Wstęp do fizyki_. Warszawa: [Państwowe Wydawnictwo Naukowe](/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN "Wydawnictwo Naukowe PWN"), 1984\. [ISBN 83-01-01359-1](/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8301013591 "Specjalna:Książki/8301013591").

- [p](/wiki/Szablon:Kinematyka "Szablon:Kinematyka")
- [d](/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Kinematyka&action=edit&redlink=1 "Dyskusja szablonu:Kinematyka (strona nie istnieje)")
- [e](https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Kinematyka&action=edit)

[Kinematyka](/wiki/Kinematyka "Kinematyka")

pojęcia

podstawowe

- [przestrzeń](/wiki/Przestrze%C5%84_(fizyka) "Przestrzeń (fizyka)")
- [czas](/wiki/Czas "Czas")
- [ruch](/wiki/Ruch_(fizyka) "Ruch (fizyka)")
  - [tor ruchu](/wiki/Tor_ruchu "Tor ruchu")
  - [równania ruchu](/wiki/Kinematyczne_r%C3%B3wnanie_ruchu "Kinematyczne równanie ruchu")
- [punkt materialny](/wiki/Punkt_materialny "Punkt materialny")
- [bryła sztywna](/wiki/Bry%C5%82a_sztywna "Bryła sztywna")

[wielkości](/wiki/Wielko%C5%9B%C4%87_fizyczna "Wielkość fizyczna")[postępowe](/wiki/Ruch_post%C4%99powy "Ruch postępowy")

- [położenie](/wiki/Po%C5%82o%C5%BCenie "Położenie")
  - [przemieszczenie](/wiki/Przemieszczenie_(fizyka) "Przemieszczenie (fizyka)")
  - [odległość](/wiki/Odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87 "Odległość")
  - [długość](/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_fizyczna "Długość fizyczna")
  - [droga](/wiki/Droga_(fizyka) "Droga (fizyka)")
- prędkość
  - [średnia](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_%C5%9Brednia "Prędkość średnia")
  - [radialna](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_radialna "Prędkość radialna")
  - [transwersalna](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_transwersalna "Prędkość transwersalna")
  - [tangencjalna](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_tangencjalna "Prędkość tangencjalna")
  - [polowa](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_polowa "Prędkość polowa")
  - [szybkość](/wiki/Szybko%C5%9B%C4%87 "Szybkość")
- [przyspieszenie](/wiki/Przyspieszenie "Przyspieszenie")
  - [dośrodkowe](/wiki/Przyspieszenie_do%C5%9Brodkowe "Przyspieszenie dośrodkowe")
- [zryw](/wiki/Zryw "Zryw")
- [udar](/wiki/Udar_(fizyka) "Udar (fizyka)")
- [okres](/wiki/Okres_(fizyka) "Okres (fizyka)")
  - [częstotliwość](/wiki/Cz%C4%99stotliwo%C5%9B%C4%87 "Częstotliwość")
  - [pulsacja](/wiki/Pulsacja "Pulsacja")

[obrotowe](/wiki/Ruch_obrotowy "Ruch obrotowy")

- [miara kąta](/wiki/Miara_k%C4%85ta "Miara kąta")
- [okres obrotu](/wiki/Okres_obrotu "Okres obrotu")
- [prędkość kątowa](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_k%C4%85towa "Prędkość kątowa")
  - [prędkość obrotowa](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_obrotowa "Prędkość obrotowa")
- [przyspieszenie kątowe](/wiki/Przyspieszenie_k%C4%85towe "Przyspieszenie kątowe")

[przyrządy\
\
pomiarowe](/wiki/Przyrz%C4%85d_pomiarowy "Przyrząd pomiarowy")[drogi](/wiki/Droga_(fizyka) "Droga (fizyka)")

- [drogomierz](/wiki/Drogomierz "Drogomierz")
  - [taksometr](/wiki/Taksometr "Taksometr")
- [krokomierz](/wiki/Krokomierz "Krokomierz")

prędkości

[ciał stałych](/wiki/Cia%C5%82o_sta%C5%82e "Ciało stałe")

- [fotoradar](/wiki/Fotoradar "Fotoradar")
- [log](/wiki/Log_(przyrz%C4%85d_pomiarowy) "Log (przyrząd pomiarowy)")
  - [burtowy](/wiki/Log_burtowy "Log burtowy")
- prędkościomierze
  - [motoryzacyjne](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9Bciomierz_(motoryzacja) "Prędkościomierz (motoryzacja)")
  - [lotnicze](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9Bciomierz_(lotnictwo) "Prędkościomierz (lotnictwo)")
  - [machomierz](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9Bciomierz_(lotnictwo) "Prędkościomierz (lotnictwo)")
- [odcinkowy pomiar prędkości](/wiki/Odcinkowy_pomiar_pr%C4%99dko%C5%9Bci "Odcinkowy pomiar prędkości")
- [tachometr](/wiki/Tachometr "Tachometr")
  - [obrotomierz](/wiki/Tachometr "Tachometr")
- [wahadło balistyczne](/wiki/Wahad%C5%82o_balistyczne "Wahadło balistyczne")
- [wariometr](/wiki/Wariometr "Wariometr")

prędkości [płynów](/wiki/P%C5%82yn "Płyn")

- [anemometr](/wiki/Anemometr "Anemometr")
  - [wiatromierz](/wiki/Anemometr "Anemometr")
- [anemoskop](/wiki/Wiatrowskaz "Wiatrowskaz")
  - [wiatrowskaz](/wiki/Wiatrowskaz "Wiatrowskaz")
- [młynek hydrometryczny](/wiki/M%C5%82ynek_hydrometryczny "Młynek hydrometryczny")
- [rurka Prandtla](/wiki/Rurka_Prandtla "Rurka Prandtla")

inne

- [przyspieszeniomierz](/wiki/Przyspieszeniomierz "Przyspieszeniomierz")
- [licznik rowerowy](/wiki/Licznik_rowerowy "Licznik rowerowy")

rodzaje ruchu[postępowy](/wiki/Ruch_post%C4%99powy "Ruch postępowy")

- [prostoliniowy](/wiki/Ruch_prostoliniowy "Ruch prostoliniowy")
- [krzywoliniowy](/w/index.php?title=Ruch_krzywoliniowy&action=edit&redlink=1 "Ruch krzywoliniowy (strona nie istnieje)")
- [bryły sztywnej](/wiki/Ruch_post%C4%99powy_bry%C5%82y_sztywnej "Ruch postępowy bryły sztywnej")

[obrotowy](/wiki/Ruch_obrotowy "Ruch obrotowy")

- [precesja](/wiki/Precesja "Precesja")
- [nutacja](/wiki/Nutacja "Nutacja")

[jednostajny](/wiki/Ruch_jednostajny "Ruch jednostajny")

- [prostoliniowy](/wiki/Ruch_jednostajny_prostoliniowy "Ruch jednostajny prostoliniowy")
- [po okręgu](/wiki/Ruch_jednostajny_po_okr%C4%99gu "Ruch jednostajny po okręgu")

[zmienny](/wiki/Ruch_zmienny "Ruch zmienny")

- [przyspieszony](/wiki/Przyspieszenie "Przyspieszenie")
  - [jednostajnie przyspieszony](/wiki/Ruch_jednostajnie_przyspieszony "Ruch jednostajnie przyspieszony")
- [opóźniony](/wiki/Ruch_op%C3%B3%C5%BAniony "Ruch opóźniony")
- [jednostajnie zmienny](/wiki/Ruch_jednostajnie_zmienny "Ruch jednostajnie zmienny")
  - [jednostajnie przyspieszony](/wiki/Ruch_jednostajnie_przyspieszony "Ruch jednostajnie przyspieszony")
- [zmienny po okręgu](/wiki/Ruch_zmienny_po_okr%C4%99gu "Ruch zmienny po okręgu")
- [posuwisto-zwrotny](/wiki/Ruch_posuwisto-zwrotny "Ruch posuwisto-zwrotny")
- [drgający](/wiki/Drgania "Drgania")
  - [harmoniczny](/wiki/Ruch_harmoniczny "Ruch harmoniczny")
  - [wibracje](/wiki/Wibracje "Wibracje")

[rzut ukośny](/wiki/Rzut_uko%C5%9Bny_(fizyka) "Rzut ukośny (fizyka)")

- [rzut poziomy](/wiki/Rzut_poziomy_(fizyka) "Rzut poziomy (fizyka)")
- [rzut pionowy w górę](/wiki/Rzut_pionowy_w_g%C3%B3r%C4%99 "Rzut pionowy w górę")
- [spadek swobodny](/wiki/Spadek_swobodny "Spadek swobodny")

przykłady

- [krzywa balistyczna](/wiki/Krzywa_balistyczna "Krzywa balistyczna")
- [obrót Ziemi](/wiki/Ruch_obrotowy_Ziemi "Ruch obrotowy Ziemi")
- [ruch obiegowy Ziemi](/wiki/Ruch_obiegowy_Ziemi "Ruch obiegowy Ziemi")
  - [heliocentryzm](/wiki/Heliocentryzm "Heliocentryzm")
  - [prawa Keplera](/wiki/Prawa_Keplera "Prawa Keplera")
- [orbita](/wiki/Orbita "Orbita")
- [oscylator](/wiki/Oscylator "Oscylator")
  - [klasyczny](/wiki/Klasyczny_oscylator_harmoniczny "Klasyczny oscylator harmoniczny")
  - [wahadło](/wiki/Wahad%C5%82o "Wahadło")

pojęcia

[matematyczne](/wiki/Matematyka "Matematyka")ogólne

- [funkcja](/wiki/Funkcja "Funkcja")
  - [rzeczywista](/wiki/Funkcja_rzeczywista "Funkcja rzeczywista")
  - [wektorowa](/wiki/Funkcja_wektorowa "Funkcja wektorowa")
- [iloraz różnicowy](/wiki/Iloraz_r%C3%B3%C5%BCnicowy "Iloraz różnicowy")

[geometryczne](/wiki/Geometria "Geometria")

- [prosta](/wiki/Prosta "Prosta")
- [krzywa](/wiki/Krzywa "Krzywa")
- [długość krzywej](/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_krzywej "Długość krzywej")
- [wektor](/wiki/Wektor "Wektor")
- [hodograf](/wiki/Hodograf "Hodograf")
- [obrót](/wiki/Obr%C3%B3t "Obrót")
  - [oś obrotu](/wiki/O%C5%9B_obrotu "Oś obrotu")

[analityczne](/wiki/Analiza_matematyczna "Analiza matematyczna")

- [funkcja ciągła](/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a "Funkcja ciągła")
- [pochodna funkcji](/wiki/Pochodna_funkcji "Pochodna funkcji")
- [całka](/wiki/Ca%C5%82ka "Całka")
  - [nieoznaczona](/wiki/Ca%C5%82ka_nieoznaczona "Całka nieoznaczona")
  - [oznaczona](/wiki/Ca%C5%82ka_oznaczona "Całka oznaczona")
- [równanie różniczkowe zwyczajne](/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_zwyczajne "Równanie różniczkowe zwyczajne")
- [warunki początkowe](/wiki/Warunki_pocz%C4%85tkowe "Warunki początkowe")

powiązane

obszary

[kultury](/wiki/Kultura "Kultura")[fizyka klasyczna](/wiki/Fizyka_klasyczna "Fizyka klasyczna")

- [mechanika klasyczna](/wiki/Mechanika_klasyczna "Mechanika klasyczna")
  - [kinematyka płynów](/wiki/Kinematyka_p%C5%82yn%C3%B3w "Kinematyka płynów")
- [teoria względności](/wiki/Teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Teoria względności")
  - [szczególna](/wiki/Szczeg%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Szczególna teoria względności")
  - [ogólna](/wiki/Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Ogólna teoria względności")

[analiza matematyczna](/wiki/Analiza_matematyczna "Analiza matematyczna")

- [analiza rzeczywista](/wiki/Analiza_rzeczywista "Analiza rzeczywista")
  - [rachunek różniczkowy i całkowy](/w/index.php?title=Rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy_i_ca%C5%82kowy&action=edit&redlink=1 "Rachunek różniczkowy i całkowy (strona nie istnieje)")
- [analiza numeryczna](/wiki/Analiza_numeryczna "Analiza numeryczna")

[astronomia](/wiki/Astronomia "Astronomia")

- [astrometria](/wiki/Astrometria "Astrometria")
- [mechanika nieba](/wiki/Mechanika_nieba "Mechanika nieba")

[inżynieria](/wiki/In%C5%BCynieria "Inżynieria")

- [balistyka](/wiki/Balistyka "Balistyka")
- [inżynieria mechaniczna](/wiki/In%C5%BCynieria_mechaniczna "Inżynieria mechaniczna")
- [transport](/wiki/Transport "Transport")

[sport](/wiki/Sport "Sport")

- [lekkoatletyka](/wiki/Lekkoatletyka "Lekkoatletyka")
- [wyścigi](/wiki/Wy%C5%9Bcig "Wyścig")

- [p](/wiki/Szablon:Mechanika_klasyczna "Szablon:Mechanika klasyczna")
- [d](/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Mechanika_klasyczna&action=edit&redlink=1 "Dyskusja szablonu:Mechanika klasyczna (strona nie istnieje)")
- [e](https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Mechanika_klasyczna&action=edit)

[Mechanika klasyczna](/wiki/Mechanika_klasyczna "Mechanika klasyczna")

działy

- [dynamika](/wiki/Dynamika_(fizyka) "Dynamika (fizyka)")
- [kinematyka](/wiki/Kinematyka "Kinematyka")
- [mechanika nieba](/wiki/Mechanika_nieba "Mechanika nieba")
- [mechanika ośrodków ciągłych](/wiki/Mechanika_o%C5%9Brodk%C3%B3w_ci%C4%85g%C5%82ych "Mechanika ośrodków ciągłych")
- [dynamika bryły sztywnej](/w/index.php?title=Dynamika_bry%C5%82y_sztywnej&action=edit&redlink=1 "Dynamika bryły sztywnej (strona nie istnieje)")
- [mechanika statystyczna](/wiki/Mechanika_statystyczna "Mechanika statystyczna")
- [mechanika stosowana](/w/index.php?title=Mechanika_stosowana&action=edit&redlink=1 "Mechanika stosowana (strona nie istnieje)")
- [statyka](/wiki/Statyka "Statyka")

formalizmy

- [Newtona](/wiki/Zasady_dynamiki_Newtona "Zasady dynamiki Newtona")
- [Lagrange’a](/wiki/Mechanika_Lagrange%E2%80%99a "Mechanika Lagrange’a")
- [Hamiltona](/wiki/Mechanika_Hamiltona "Mechanika Hamiltona")

[wielkości](/wiki/Wielko%C5%9B%C4%87_fizyczna "Wielkość fizyczna")kinematyczne

- [czas](/wiki/Czas "Czas")
- [przyspieszenie](/wiki/Przyspieszenie "Przyspieszenie")
- prędkość
- [szybkość](/wiki/Szybko%C5%9B%C4%87 "Szybkość")
- [przemieszczenie](/wiki/Przemieszczenie_(fizyka) "Przemieszczenie (fizyka)")
- [przyspieszenie kątowe](/wiki/Przyspieszenie_k%C4%85towe "Przyspieszenie kątowe")
- [prędkość kątowa](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_k%C4%85towa "Prędkość kątowa")
- [prędkość obrotowa](/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_obrotowa "Prędkość obrotowa")
- [pulsacja](/wiki/Pulsacja "Pulsacja")

dynamiczne

- [energia](/wiki/Energia "Energia")
  - [energia kinetyczna](/wiki/Energia_kinetyczna "Energia kinetyczna")
  - [energia potencjalna](/wiki/Energia_potencjalna "Energia potencjalna")
- [masa](/wiki/Masa_(fizyka) "Masa (fizyka)")
- [moc](/wiki/Moc "Moc")
- [moment bezwładności](/wiki/Moment_bezw%C5%82adno%C5%9Bci "Moment bezwładności")
- [moment pędu](/wiki/Moment_p%C4%99du "Moment pędu")
- [moment siły](/wiki/Moment_si%C5%82y "Moment siły") / [moment](/wiki/Moment_(fizyka) "Moment (fizyka)")
- [popęd](/wiki/Pop%C4%99d_(fizyka) "Popęd (fizyka)")
- [praca](/wiki/Praca_(fizyka) "Praca (fizyka)")
- [praca wirtualna](/wiki/Zasada_Lagrange%E2%80%99a "Zasada Lagrange’a")
- [pęd](/wiki/P%C4%99d_(fizyka) "Pęd (fizyka)")
- [siła](/wiki/Si%C5%82a "Siła")

rodzaje [ruchu](/wiki/Ruch_(fizyka) "Ruch (fizyka)")

- [jednostajny prostoliniowy](/wiki/Ruch_jednostajny_prostoliniowy "Ruch jednostajny prostoliniowy")
- [harmoniczny](/wiki/Ruch_harmoniczny "Ruch harmoniczny")
  - [oscylator harmoniczny](/wiki/Klasyczny_oscylator_harmoniczny "Klasyczny oscylator harmoniczny")
- [obrotowy](/wiki/Ruch_obrotowy "Ruch obrotowy")
- [wahadło](/wiki/Wahad%C5%82o "Wahadło")
- [wibracje](/wiki/Wibracje "Wibracje")

[zjawiska](/wiki/Zjawisko "Zjawisko")

- [bezwładność](/wiki/Bezw%C5%82adno%C5%9B%C4%87 "Bezwładność")
- [grawitacja](/wiki/Grawitacja "Grawitacja")
- [siła dośrodkowa](/wiki/Si%C5%82a_do%C5%9Brodkowa "Siła dośrodkowa")
- [siła bezwładności](/wiki/Si%C5%82a_bezw%C5%82adno%C5%9Bci "Siła bezwładności")
  - [siła odśrodkowa](/wiki/Si%C5%82a_od%C5%9Brodkowa "Siła odśrodkowa")
  - [siła Coriolisa](/wiki/Efekt_Coriolisa "Efekt Coriolisa")
- [tarcie](/wiki/Tarcie_(fizyka) "Tarcie (fizyka)")
- [tłumienie](/wiki/T%C5%82umienie "Tłumienie")

inne pojęcia

- [bryła sztywna](/wiki/Bry%C5%82a_sztywna "Bryła sztywna")
- [kinematyczne równanie ruchu](/wiki/Kinematyczne_r%C3%B3wnanie_ruchu "Kinematyczne równanie ruchu")
- [oś obrotu](/wiki/O%C5%9B_obrotu "Oś obrotu")
- [para sił](/wiki/Para_si%C5%82 "Para sił")
- [przestrzeń](/wiki/Przestrze%C5%84_(fizyka) "Przestrzeń (fizyka)")
- [punkt materialny](/wiki/Punkt_materialny "Punkt materialny")
- [układ odniesienia](/wiki/Uk%C5%82ad_odniesienia "Układ odniesienia")
  - [inercjalny](/wiki/Uk%C5%82ad_inercjalny "Układ inercjalny")
  - [nieinercjalny](/wiki/Uk%C5%82ad_nieinercjalny "Układ nieinercjalny")

[prawa](/wiki/Prawa_fizyki "Prawa fizyki")

- [zasady dynamiki Newtona](/wiki/Zasady_dynamiki_Newtona "Zasady dynamiki Newtona")
- [zasada d’Alemberta](/wiki/Zasada_d%E2%80%99Alemberta "Zasada d’Alemberta")
- [równania Eulera (dynamika bryły sztywnej)](/w/index.php?title=R%C3%B3wnania_Eulera_(dynamika_bry%C5%82y_sztywnej)&action=edit&redlink=1 "Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) (strona nie istnieje)")
- [prawo powszechnego ciążenia](/wiki/Prawo_powszechnego_ci%C4%85%C5%BCenia "Prawo powszechnego ciążenia")

[uogólnienia](/wiki/Uog%C3%B3lnienie "Uogólnienie")

- [szczególna teoria względności](/wiki/Szczeg%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci "Szczególna teoria względności")
- [mechanika kwantowa](/wiki/Mechanika_kwantowa "Mechanika kwantowa")
  - [relatywistyczna mechanika kwantowa](/wiki/Relatywistyczna_mechanika_kwantowa "Relatywistyczna mechanika kwantowa")
- [kwantowa teoria pola](/wiki/Kwantowa_teoria_pola "Kwantowa teoria pola")

[uczeni](/wiki/Naukowiec "Naukowiec") według

daty narodzin[XVI wiek](/wiki/XVI_wiek "XVI wiek")

- [Galileusz](/wiki/Galileusz "Galileusz")
- [Kartezjusz](/wiki/Kartezjusz "Kartezjusz")

[XVII wiek](/wiki/XVII_wiek "XVII wiek")

- [Jeremiah Horrocks](/wiki/Jeremiah_Horrocks "Jeremiah Horrocks")
- [Isaac Newton](/wiki/Isaac_Newton "Isaac Newton")
- [Pierre Louis Maupertuis](/wiki/Pierre_Louis_Maupertuis "Pierre Louis Maupertuis")

[XVIII wiek](/wiki/XVIII_wiek "XVIII wiek")

- [Leonhard Euler](/wiki/Leonhard_Euler "Leonhard Euler")
- [Alexis Clairaut](/wiki/Alexis_Clairaut "Alexis Clairaut")
- [Jean le Rond d’Alembert](/wiki/Jean_le_Rond_d%E2%80%99Alembert "Jean le Rond d’Alembert")
- [Joseph Louis Lagrange](/wiki/Joseph_Louis_Lagrange "Joseph Louis Lagrange")
- [Pierre Simon de Laplace](/wiki/Pierre_Simon_de_Laplace "Pierre Simon de Laplace")
- [Siméon Denis Poisson](/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson "Siméon Denis Poisson")

[XIX wiek](/wiki/XIX_wiek "XIX wiek")

- [William Rowan Hamilton](/wiki/William_Rowan_Hamilton "William Rowan Hamilton")
- [Henri Poincaré](/wiki/Henri_Poincar%C3%A9 "Henri Poincaré")

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Rownia_tarcie.svg/120px-Rownia_tarcie.svg.png)](/wiki/Plik:Rownia_tarcie.svg)

[Kontrola autorytatywna](/wiki/Kontrola_autorytatywna "Kontrola autorytatywna") (wielkość wektorowa):

- [LCCN](/wiki/Library_of_Congress_Control_Number "Library of Congress Control Number"): [sh85126486](http://lccn.loc.gov/sh85126486)
- [GND](/wiki/Gemeinsame_Normdatei "Gemeinsame Normdatei"): [4020574-5](http://d-nb.info/gnd/4020574-5)
- [BnF](/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale "Bibliothèque nationale"): [119762787](http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119762787)
- [BNCF](/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji "Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji"): [12335](http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=12335)
- [NKC](/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej "Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej"): [ph872791](http://aut.nkp.cz/ph872791)
- [J9U](/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela "Biblioteka Narodowa Izraela"): [987007565830505171](http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007565830505171)

[Encyklopedie internetowe](/wiki/Encyklopedia_internetowa "Encyklopedia internetowa"):

- [Britannica](/wiki/Encyklopedia_Britannica "Encyklopedia Britannica"): [science/velocity](https://www.britannica.com/science/velocity), [science/average-velocity](https://www.britannica.com/science/average-velocity), [science/instantaneous-velocity](https://www.britannica.com/science/instantaneous-velocity)
- [Treccani](/wiki/Enciclopedia_Treccani "Enciclopedia Treccani"): [velocita](https://www.treccani.it/enciclopedia/velocita)
- [SNL](/wiki/Store_norske_leksikon "Store norske leksikon"): [hastighet](https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=hastighet)
- [Catalana](https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1296 "d:Property:P1296"): [0269741](https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0269741.xml)
- [DSDE](/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di "Den Store Danske Encyklopædi"): [hastighed](https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://denstoredanske.lex.dk/&id=hastighed)

Źródło: „ [https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Prędkość&oldid=73166512](https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Prędkość&oldid=73166512)”

[Kategoria](/wiki/Specjalna:Kategorie "Specjalna:Kategorie"):

- [Prędkość](/wiki/Kategoria:Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87 "Kategoria:Prędkość")

Ukryta kategoria:

- [Uniwersalny szablon cytowania – brak strony](/wiki/Kategoria:Uniwersalny_szablon_cytowania_%E2%80%93_brak_strony "Kategoria:Uniwersalny szablon cytowania – brak strony")

- Tę stronę ostatnio edytowano 17 mar 2024, 20:59.
- Tekst udostępniany na [licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl), z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Zobacz szczegółowe informacje o [warunkach korzystania](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl).

- [Polityka prywatności](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy)
- [O Wikipedii](/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii)
- [Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność](/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87)
- [Powszechne Zasady Postępowania](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct)
- [Dla deweloperów](https://developer.wikimedia.org)
- [Statystyki](https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org)
- [Komunikat na temat ciasteczek](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement)
- [Wersja mobilna](//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87&mobileaction=toggle_view_mobile)

- [![Wikimedia Foundation](/static/images/footer/wikimedia-button.svg)](https://wikimediafoundation.org/)
- [![Powered by MediaWiki](/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg)](https://www.mediawiki.org/)