Teorema de Pitágoras - Wikipedia, la enciclopedia libre
En matemáticas, el teorema de Pitágoras es una relación en geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Afirma que el área del ...
tetraedro
En la geometría para calcular la altura de un triángulo equilátero en función del lado; para obtener la altura del <anchor>tetraedro</anchor> regular usando la arista. Para hallar el apotema de un triángulo equilátero y de un hexágono regular inscritos, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.[24]​
Tetraedro - Wikipedia, la enciclopedia libre
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- [4Tetraedro regular](#Tetraedro_regular)Alternar subsección Tetraedro regular  - [4.1Diversas medidas usando la arista](#Diversas_medidas_usando_la_arista)
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  - [4.4Propiedades particulares](#Propiedades_particulares)    - [4.4.1Simetría](#Simetría)
    - [4.4.2Conjugación](#Conjugación)
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# Tetraedro

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- [ไทย](https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B2 "ทรงสี่หน้า (tailandés)")
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- [Татарча / tatarça](https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80 "Тетраэдр (tártaro)")
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Tetraedro regular
Familia: [Sólidos platónicos](/wiki/S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos "Sólidos platónicos")[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Tetrahedron.svg/275px-Tetrahedron.svg.png)](/wiki/Archivo:Tetrahedron.svg)

Imagen del sólido

[Caras](/wiki/Cara_(geometr%C3%ADa) "Cara (geometría)")
4[Aristas](/wiki/Arista_(geometr%C3%ADa) "Arista (geometría)")
6[Vértices](/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa) "Vértice (geometría)")
4[Grupo de simetría](/wiki/Grupo_de_simetr%C3%ADa "Grupo de simetría")
Tetraédrico ( _T_ _d_)[Poliedro dual](/wiki/Poliedro_dual "Poliedro dual")
Tetraedro regular (autoconjugado)[Ángulo diedro](/wiki/%C3%81ngulo_diedro "Ángulo diedro")
cos-1(1/3) ≈ 70.52878°[Símbolo de Schläfli](/wiki/S%C3%ADmbolo_de_Schl%C3%A4fli "Símbolo de Schläfli")
{3, 3}[Símbolo de Wythoff](/wiki/S%C3%ADmbolo_de_Wythoff "Símbolo de Wythoff")
3 \| 2 3Propiedades[Poliedro regular](/wiki/Poliedro_regular "Poliedro regular") [convexo](/wiki/Poliedro_convexo "Poliedro convexo"), [deltaedro](/wiki/Deltaedro "Deltaedro")

\[ [editar datos en Wikidata](https://www.wikidata.org/wiki/Q160003 "d:Q160003")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Tetrahedron.stl/220px-Tetrahedron.stl.png)](/wiki/Archivo:Tetrahedron.stl)Modelo 3D de un tetraedro regular

Un **tetraedro** (del [griego](/wiki/Griego_antiguo "Griego antiguo") τέτταρες 'cuatro' y ἕδρα 'asiento, base de apoyo o cara') o **[pirámide](/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa) "Pirámide (geometría)") triangular** es un [poliedro](/wiki/Poliedro "Poliedro") con cuatro [caras](/wiki/Cara_(geometr%C3%ADa) "Cara (geometría)"), seis [aristas](/wiki/Arista_(geometr%C3%ADa) "Arista (geometría)") y cuatro [vértices](/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa) "Vértice (geometría)"). Las caras de un tetraedro son [triángulos](/wiki/Tri%C3%A1ngulo "Triángulo") y en cada vértice concurren tres caras; si las cuatro caras del tetraedro son [triángulos equiláteros](/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero "Triángulo equilátero"), iguales entre sí, el tetraedro se denomina _regular_. Además es un [sólido platónico](/wiki/S%C3%B3lido_plat%C3%B3nico "Sólido platónico"). De otra manera un tetraedro es una [pirámide](/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa) "Pirámide (geometría)") con base [triangular](/wiki/Tri%C3%A1ngulo "Triángulo").

El tetraedro es el más simple de todos los [poliedros convexos](/wiki/Politopo#Politopos_convexos "Politopo") ordinarios y el único que tiene menos de cinco caras.[\[1\]](#cite_note-MW-1)​

## Otros elementos

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=1 "Editar sección: Otros elementos")\]

Además de cara, vértice, arista y altura, se precisan otros elementos:

Esfera inscrita

Es la esfera cuyo centro es interior y la esfera es tangente a las cuatro caras. Su radio se suele denotar por _r_.\[ _[cita requerida](/wiki/Wikipedia:Verificabilidad "Wikipedia:Verificabilidad")_\]

Esfera circunscrita

Se llama así a la esfera tal que los vértices del tetraedro están en la superficie esférica y su centro es un punto interior. Su radio se suele denotar por _R_.\[ _[cita requerida](/wiki/Wikipedia:Verificabilidad "Wikipedia:Verificabilidad")_\]

Bimediana

Es el segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas; se denota por mi, i = 1,...,4. La de menor longitud se escribe _m_.[\[2\]](#cite_note-2)​

## Propiedades geométricas

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=2 "Editar sección: Propiedades geométricas")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Tetrahedron_%28PSF%29.svg/220px-Tetrahedron_%28PSF%29.svg.png)](/wiki/Archivo:Tetrahedron_(PSF).svg) Tetraedro no regular.

En todo tetraedro se verifican las siguientes propiedades:

- Los [segmentos](/wiki/Segmento "Segmento") que unen los puntos medios de las aristas opuestas (bimedianas) son concurrentes en un punto; este es el punto medio de dichos segmentos.
- Los segmentos que unen cada vértice con los puntos de intersección de las [medianas](/wiki/Mediana_(geometr%C3%ADa) "Mediana (geometría)") de su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los divide separando tres cuartas partes del lado del vértice respectivo ( [Teorema de Commandino](/wiki/Teorema_de_Commandino "Teorema de Commandino")).
- Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo punto, centro de la [esfera circunscrita](/wiki/Esfera_circunscrita "Esfera circunscrita") al tetraedro.
- Las rectas perpendiculares a las caras por su [circuncentro](/wiki/Circuncentro "Circuncentro") son concurrentes en un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.
- Los [planos bisectores](/wiki/Plano_bisector "Plano bisector") de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto equidistante (incentro) de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro.
- El plano que pasa por una arista y por el punto medio de la arista opuesta biseca el tetraedro regular en dos figuras congruentes. El volumen de cada parte es la mitad del volumen de la figura original.[\[3\]](#cite_note-3)​
- El tetraedro tiene [característica de Euler](/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Euler "Característica de Euler") 2.[\[4\]](#cite_note-4)​
- Las bimedianas se cortan en un punto interior llamado _centro de masas_, y se bisecan mutuamente.

## Propiedades métricas

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=3 "Editar sección: Propiedades métricas")\]

Véase también: _[Apotema](/wiki/Apotema "Apotema")_

### Volumen

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=4 "Editar sección: Volumen")\]

[![{{{Alt](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Triangle_GeometryArea.svg/600px-Triangle_GeometryArea.svg.png)](/wiki/Archivo:Triangle_GeometryArea.svg "Cálculo del área de un triángulo o área de una cara del tetraedro: '\"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`\"'")

[File:Triangle\_GeometryArea.svg](/wiki/Archivo:Triangle_GeometryArea.svg "Archivo:Triangle GeometryArea.svg")

Cálculo del área de un triángulo o área de una cara del tetraedro: A=b⋅h2{\\displaystyle A={\\tfrac {b\\cdot h}{2}}}![{\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4d00ca1155c1418f0f6dcef9bdc0c9e4bb6236)

El volumen de un tetraedro es

V = 13×B×h{\\displaystyle {\\frac {1}{3}}\\times B\\times h}![{\displaystyle {\frac {1}{3}}\times B\times h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b858c942ac202cfa87b3541165eb2b7a4d0b1121), siendo _B_ el área de una cara y _h_ la altura del tetraedro, o sea el segmento perpendicular al plano de la base desde el vértice opuesto.

El volumen de un tetraedro de altura h{\\displaystyle h}![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a) y base regular de lado L{\\displaystyle L}![{\displaystyle L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8) es[\[5\]](#cite_note-pye-5)​

V=h⋅L2⋅312{\\displaystyle V=h\\cdot L^{2}\\cdot {\\frac {\\sqrt {3}}{12}}}![{\displaystyle V=h\cdot L^{2}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47918125fed23b4c96d2d56ce5a4c4bc2949ea4)

#### Recurso de geometría analítica del espacio

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=5 "Editar sección: Recurso de geometría analítica del espacio")\]

Existe una fórmula general para calcular del volumen de un tetraedro **OABC**, donde **O** coincide con el origen de coordenadas, sea o no regular, en función de las coordenadas cartesianas _(x, y, z)_ de tres de sus vértices, **A**, **B**, **C**:

> V=16\|xAxBxCyAyByCzAzBzC\|{\\displaystyle V={\\frac {1}{6}}\\,{\\begin{vmatrix}x\_{A}&x\_{B}&x\_{C}\\\y\_{A}&y\_{B}&y\_{C}\\\z\_{A}&z\_{B}&z\_{C}\\end{vmatrix}}}![{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\,{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e20009eee1e3a8e49b4a755436ac50040a30701)

Esta fórmula también se puede escribir en términos de las coordenadas cartesianas de los cuatro vértices {(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x2,y2,z3)(x4,y4,z4)}{\\displaystyle \\scriptstyle \\{(x\_{1},y\_{1},z\_{1}),\ (x\_{2},y\_{2},z\_{2}),\ (x\_{2},y\_{2},z\_{3})\ (x\_{4},y\_{4},z\_{4})\\}}![{\displaystyle \scriptstyle \{(x_{1},y_{1},z_{1}),\ (x_{2},y_{2},z_{2}),\ (x_{2},y_{2},z_{3})\ (x_{4},y_{4},z_{4})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bf04bcb6ff8fa197d93c27128a5d62b7e38193); el volumen de un tetraedro (regular o no) viene dado por la siguiente fórmula:

> V=13!\|x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z41\|{\\displaystyle V={\\frac {1}{3!}}\\,{\\begin{vmatrix}x\_{1}&y\_{1}&z\_{1}&1\\\x\_{2}&y\_{2}&z\_{2}&1\\\x\_{3}&y\_{3}&z\_{3}&1\\\x\_{4}&y\_{4}&z\_{4}&1\\end{vmatrix}}}![{\displaystyle V={\frac {1}{3!}}\,{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab71e628827c446ffe92c55f76b383f67406154)

Otra fórmula, que puede obtenerse de la anterior, permite calcular el volumen de un tetraedro, regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas l1{\\displaystyle \ l\_{1}}![{\displaystyle \ l_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85883754ffb8a0a3def646e5e51e63f9f45c259d) y l2{\\displaystyle \ l\_{2}}![{\displaystyle \ l_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ed26420ef007baa7a642a0b0665d53109be92), la distanciah{\\displaystyle \ h}![{\displaystyle \ h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb515077d0b969895a7e62dfe0ae6a198e2426f) y el ángulo θ{\\displaystyle \\theta }![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af) entre ellas:

> V=16⋅l1⋅l2⋅h⋅sin⁡θ{\\displaystyle V={\\frac {1}{6}}\\cdot l\_{1}\\cdot l\_{2}\\cdot h\\cdot \\sin \\theta }![{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\cdot l_{1}\cdot l_{2}\cdot h\cdot \sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fa50fa7653b98e376fec7613452281bf231c56)

Esta fórmula es aplicable para calcular, de forma aproximada, el volumen de un terraplén, de una carretera o una presa de materiales sueltos, por ejemplo, a partir de la longitud de su coronación l1{\\displaystyle \ l\_{1}}![{\displaystyle \ l_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85883754ffb8a0a3def646e5e51e63f9f45c259d), la longitud en la base l2{\\displaystyle \ l\_{2}}![{\displaystyle \ l_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ed26420ef007baa7a642a0b0665d53109be92) y su alturah{\\displaystyle \ h}![{\displaystyle \ h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb515077d0b969895a7e62dfe0ae6a198e2426f).

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c8/Tetraedro_aristas.jpg)](/wiki/Archivo:Tetraedro_aristas.jpg)

La generalización de la **fórmula de Herón** permite calcular el volumen de un tetraedro a partir de la medida de sus aristas a, b, c, ab, ac y bc:

> V=16\|u⋅uu⋅vu⋅wv⋅uv⋅vv⋅ww⋅uw⋅vw⋅w\|=16\|a2a2+b2−ab22a2+c2−ac22a2+b2−ab22b2b2+c2−bc22a2+c2−ac22b2+c2−bc22c2\|{\\displaystyle V={\\frac {1}{6}}{\\sqrt {\\,{\\begin{vmatrix}u\\cdot u&u\\cdot v&u\\cdot w\\\v\\cdot u&v\\cdot v&v\\cdot w\\\w\\cdot u&w\\cdot v&w\\cdot w\\end{vmatrix}}}}={\\frac {1}{6}}{\\sqrt {\\,{\\begin{vmatrix}a^{2}&{\\frac {a^{2}+b^{2}-ab^{2}}{2}}&{\\frac {a^{2}+c^{2}-ac^{2}}{2}}\\\{\\frac {a^{2}+b^{2}-ab^{2}}{2}}&b^{2}&{\\frac {b^{2}+c^{2}-bc^{2}}{2}}\\\{\\frac {a^{2}+c^{2}-ac^{2}}{2}}&{\\frac {b^{2}+c^{2}-bc^{2}}{2}}&c^{2}\\end{vmatrix}}}}}![{\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\sqrt {\,{\begin{vmatrix}u\cdot u&u\cdot v&u\cdot w\\v\cdot u&v\cdot v&v\cdot w\\w\cdot u&w\cdot v&w\cdot w\end{vmatrix}}}}={\frac {1}{6}}{\sqrt {\,{\begin{vmatrix}a^{2}&{\frac {a^{2}+b^{2}-ab^{2}}{2}}&{\frac {a^{2}+c^{2}-ac^{2}}{2}}\\{\frac {a^{2}+b^{2}-ab^{2}}{2}}&b^{2}&{\frac {b^{2}+c^{2}-bc^{2}}{2}}\\{\frac {a^{2}+c^{2}-ac^{2}}{2}}&{\frac {b^{2}+c^{2}-bc^{2}}{2}}&c^{2}\end{vmatrix}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ee84fa57ece02d9a04fb3a2d9d301e6baf1c27)

u, v y w son los vectores determinados por las aristas a, b y c. Se tiene en cuenta la fórmula (u−v)⋅(u−v)=u⋅u+v⋅v−2u⋅v{\\displaystyle (u-v)\\cdot (u-v)=u\\cdot u+v\\cdot v-2u\\cdot v}![{\displaystyle (u-v)\cdot (u-v)=u\cdot u+v\cdot v-2u\cdot v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714187925942c1c59f950e8d60c70547f9bb9adf).

### Alturas del tetraedro

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=6 "Editar sección: Alturas del tetraedro")\]

Un tetraedro ( _no necesariamente regular_) se define en ℝ3 conociendo las coordenadas de sus cuatro vértices, por ejemplo V1=(x1,y1,z1),V2=(x2,y2,z2),V3=(x3,y3,z3),V4=(x4,y4,z4){\\displaystyle \\scriptstyle V\_{1}=(x\_{1},y\_{1},z\_{1}),V\_{2}=(x\_{2},y\_{2},z\_{2}),V\_{3}=(x\_{3},y\_{3},z\_{3}),V\_{4}=(x\_{4},y\_{4},z\_{4})}![{\displaystyle \scriptstyle V_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),V_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),V_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3}),V_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916978198b48f280a6c27ecb4037d7a6da51dc5e). Cualquiera de sus cuatro caras se define por el triángulo formado por los tres vértices de la misma, cada una de las caras define un plano ( _plano por tres puntos_) base de la altura que forma con el vértice opuesto, siendo dicho vértice opuesto el punto restante que no se usó al definir la cara.
Se puede imaginar un tetraedro pensando en que su base está definida por el triángulo formado por tres vértices cualquiera del mismo a los que llamaremos V2,V3{\\displaystyle \\scriptstyle V\_{2},V\_{3}}![{\displaystyle \scriptstyle V_{2},V_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7deb10d0673127882a8d3cbf7366bc59dbc75e) y V4{\\displaystyle \\scriptstyle V\_{4}}![{\displaystyle \scriptstyle V_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc2f1f37ef936a8e8004b7fc7b2485743edf31b) y que existe un vértice opuesto a esa base al que llamaremos V1{\\displaystyle \\scriptstyle V\_{1}}![{\displaystyle \scriptstyle V_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719f8352f3113a0803c51cd141dec3ba61b7ef3d) .

Para calcular la altura que forma un vértice opuesto cualquiera con su cara base solo hay que poner los valores de dicho vértice opuesto en V1=(x1,y1,z1){\\displaystyle \\scriptstyle V\_{1}=(x\_{1},y\_{1},z\_{1})}![{\displaystyle \scriptstyle V_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed4b26621f912850a641ac7d689d756cecdefe2) y después poner los valores de los tres vértices de la cara opuesta al mismo en V2=(x2,y2,z2),V3=(x3,y3,z3){\\displaystyle \\scriptstyle V\_{2}=(x\_{2},y\_{2},z\_{2}),V\_{3}=(x\_{3},y\_{3},z\_{3})}![{\displaystyle \scriptstyle V_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),V_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241bcab22b0104ab5894a266a21e3797303c80ed) y V4=(x4,y4,z4){\\displaystyle \\scriptstyle V\_{4}=(x\_{4},y\_{4},z\_{4})}![{\displaystyle \scriptstyle V_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bafb8c998c4d1eddedd7bd53a14123a8f9ae6be5) , luego aplicarlos en la fórmula siguiente:

> Altura=\|x1(y2(z3−z4)+y3(z4−z2)+y4(z2−z3))+y1(x2(z4−z3)+x3(z2−z4)+x4(z3−z2))+z1(x2(y3−y4)+x3(y4−y2)+x4(y2−y3))−x2y3z4+x2y4z3+x3y2z4−x3y4z2−x4y2z3+x4y3z2(−x2y3+x2y4+x3y2−x3y4−x4y2+x4y3)2+(−x2z3+x2z4+x3z2−x3z4−x4z2+x4z3)2+(−y2z3+y2z4+y3z2−y3z4−y4z2+y4z3)2\|.{\\displaystyle {\\text{Altura}}=\\left\|{\\frac {x\_{1}(y\_{2}(z\_{3}-z\_{4})+y\_{3}(z\_{4}-z\_{2})+y\_{4}(z\_{2}-z\_{3}))+{y\_{1}}(x\_{2}(z\_{4}-z\_{3})+x\_{3}(z\_{2}-z\_{4})+x\_{4}(z\_{3}-z\_{2}))+{z\_{1}}(x\_{2}(y\_{3}-y\_{4})+x\_{3}(y\_{4}-y\_{2})+x\_{4}(y\_{2}-y\_{3}))-x\_{2}y\_{3}z\_{4}+x\_{2}y\_{4}z\_{3}+x\_{3}y\_{2}z\_{4}-x\_{3}y\_{4}z\_{2}-x\_{4}y\_{2}z\_{3}+x\_{4}y\_{3}z\_{2}}{\\sqrt {(-x\_{2}y\_{3}+x\_{2}y\_{4}+x\_{3}y\_{2}-x\_{3}y\_{4}-x\_{4}y\_{2}+x\_{4}y\_{3})^{2}+(-x\_{2}z\_{3}+x\_{2}z\_{4}+x\_{3}z\_{2}-x\_{3}z\_{4}-x\_{4}z\_{2}+x\_{4}z\_{3})^{2}+(-y\_{2}z\_{3}+y\_{2}z\_{4}+y\_{3}z\_{2}-y\_{3}z\_{4}-y\_{4}z\_{2}+y\_{4}z\_{3})^{2}}}}\\right\|.}![{\displaystyle {\text{Altura}}=\left|{\frac {x_{1}(y_{2}(z_{3}-z_{4})+y_{3}(z_{4}-z_{2})+y_{4}(z_{2}-z_{3}))+{y_{1}}(x_{2}(z_{4}-z_{3})+x_{3}(z_{2}-z_{4})+x_{4}(z_{3}-z_{2}))+{z_{1}}(x_{2}(y_{3}-y_{4})+x_{3}(y_{4}-y_{2})+x_{4}(y_{2}-y_{3}))-x_{2}y_{3}z_{4}+x_{2}y_{4}z_{3}+x_{3}y_{2}z_{4}-x_{3}y_{4}z_{2}-x_{4}y_{2}z_{3}+x_{4}y_{3}z_{2}}{\sqrt {(-x_{2}y_{3}+x_{2}y_{4}+x_{3}y_{2}-x_{3}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{4}y_{3})^{2}+(-x_{2}z_{3}+x_{2}z_{4}+x_{3}z_{2}-x_{3}z_{4}-x_{4}z_{2}+x_{4}z_{3})^{2}+(-y_{2}z_{3}+y_{2}z_{4}+y_{3}z_{2}-y_{3}z_{4}-y_{4}z_{2}+y_{4}z_{3})^{2}}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5891b1ebbecf6ea96f8f4b19ae187d349c43f029)

Para conocer las cuatro alturas del tetraedro basta con ir rotando las coordenadas de sus vértices. Esta fórmula no requiere que el tetraedro sea regular, vale para cualquier tetraedro no degerado.

## Tetraedro regular

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=7 "Editar sección: Tetraedro regular")\]

Es un [poliedro](/wiki/Poliedro "Poliedro") formado por cuatro caras que son [triángulos equiláteros](/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero "Triángulo equilátero"), y cuatro vértices en cada uno de los cuales concurren tres caras. Es uno de los cinco poliedros _perfectos_ llamados [sólidos platónicos](/wiki/S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos "Sólidos platónicos"). Además es uno de los ocho poliedros convexos denominados [deltaedros](/wiki/Deltaedro "Deltaedro"). Aplicándole la nomenclatura estándar de los [sólidos de Johnson](/wiki/S%C3%B3lido_de_Johnson "Sólido de Johnson") podría ser denominado [pirámide](/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa) "Pirámide (geometría)") triangular.

es la expresión Geométrica que representa la cantidad de caras aristas y vértices que posee el tetraedro regular. Este posee en el superíndice izquierdo seis (6) aristas uniformes de categoría planas, el numeredro indica cuatro caras uniforme (4) y el polígono básico (3) indican que este poliedro posee  caras triangulares equiláteras congruentes entre sí. Cuando interpretamos los números colocados en el par poliédrico 4(3, 3) que simboliza al tetraedro, leemos que existen cuatro vértices uniformes y que cada vértices se unen tres triángulos equiláteros uniforme.

Para la escuela [pitagórica](/wiki/Pit%C3%A1goras "Pitágoras") el tetraedro representaba el elemento fuego, puesto que pensaban que las partículas (átomos) del fuego tenían esta forma.

### Diversas medidas usando la arista

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=8 "Editar sección: Diversas medidas usando la arista")\]

Exclusivamente a partir de la arista _a_ se pueden calcular el resto de las dimensiones fundamentales de un tetraedro regular. Así, para las esferas singulares del tetraedro:

- [Radio](/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa) "Radio (geometría)") **R** de la esfera circunscrita al tetraedro (la que contiene en su superficie los cuatro vértices del mismo):

R=64⋅a≈0,6124⋅a{\\displaystyle R={\\frac {\\sqrt {6}}{4}}\\cdot a\\approx 0,6124\\cdot a}![{\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\cdot a\approx 0,6124\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b9f97e39911d5579f03764bc4cfae7b393a0f2)

- Radio **r** de la esfera inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del tetraedro):

r=612⋅a≈0,2041⋅a{\\displaystyle r={\\frac {\\sqrt {6}}{12}}\\cdot a\\approx 0,2041\\cdot a}![{\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\cdot a\approx 0,2041\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db671fb345dcd6c4332b1a95cbeccf3e921bcb6b)

- Radio **ρ** de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro:

ρ=24⋅a≈0,3536⋅a{\\displaystyle \\rho ={\\frac {\\sqrt {2}}{4}}\\cdot a\\approx 0,3536\\cdot a}![{\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a\approx 0,3536\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c176c98300040de1ce9f1505ef7febe3f3e828b)

En un tetraedro regular cada pareja de aristas opuestas (las que no concurren en un mismo vértice) son ortogonales entre sí, siendo la mínima distancia entre ellas el segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio **ρ** de la esfera tangente a las aristas del tetraedro.

- La [altura](/wiki/Alto_dimensional "Alto dimensional") **H** del tetraedro regular (apoyado el tetraedro de manera estable sobre un plano horizontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al vértice opuesto):[\[6\]](#cite_note-mtf-6)​[\[7\]](#cite_note-7)​

H=63⋅a≈0,81649658909⋅a{\\displaystyle H={\\frac {\\sqrt {6}}{3}}\\cdot a\\approx 0,81649658909\\cdot a}![{\displaystyle H={\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a\approx 0,81649658909\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7deba687e36f82e56a763fa10e0dc6cdcf432417)

### Volumen, área y desarrollo

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=9 "Editar sección: Volumen, área y desarrollo")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Tetraedro_desarrollo.gif/100px-Tetraedro_desarrollo.gif)](/wiki/Archivo:Tetraedro_desarrollo.gif) Animación de uno de los desarrollos del tetraedro.

Dado un tetraedro regular de arista **a**, podemos calcular su [volumen](/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica) "Volumen (física)") **V** mediante la siguiente fórmula:[\[6\]](#cite_note-mtf-6)​[\[8\]](#cite_note-Cox-8)​

> V=212⋅a3≈0,1178511302⋅a3{\\displaystyle V={\\frac {\\sqrt {2}}{12}}\\cdot a^{3}\\approx 0,1178511302\\cdot a^{3}}![{\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot a^{3}\approx 0,1178511302\cdot a^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28647f974cb95282ec43170350af2808c169daa7)

Y el [área](/wiki/%C3%81rea "Área") total de sus caras **A** (que es 4 veces el área de una de ellas, **Ac**), mediante:[\[6\]](#cite_note-mtf-6)​[\[8\]](#cite_note-Cox-8)​

> A=4⋅Ac=4⋅34⋅a2=3⋅a2≈1,732050808⋅a2{\\displaystyle A=4\\cdot A\_{c}=4\\cdot {\\frac {\\sqrt {3}}{4}}\\cdot a^{2}={\\sqrt {3}}\\cdot a^{2}\\approx 1,732050808\\cdot a^{2}}![{\displaystyle A=4\cdot A_{c}=4\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}={\sqrt {3}}\cdot a^{2}\approx 1,732050808\cdot a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6cfa7ae768dfc9778ee7d2c1f6b7a7703f0566)

### Ángulos

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=10 "Editar sección: Ángulos")\]

Los [ángulos planos](/wiki/%C3%81ngulo_plano "Ángulo plano") que forman las aristas concurrentes son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales; y con un valor de 60° (π/3 [rad](/wiki/Radi%C3%A1n "Radián")), al constituir los ángulos interiores de un triángulo equilátero.

Los [ángulos diedros](/wiki/%C3%81ngulo_diedro "Ángulo diedro") que forman las caras son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden calcularse:

δ=2⋅arcsin⁡33≈1,23rad(70∘31′43,61″){\\displaystyle \\delta =2\\cdot \\arcsin {\\frac {\\sqrt {3}}{3}}\\approx 1,23\ {\\text{rad}}\ (70^{\\circ }31'43,61'')}![{\displaystyle \delta =2\cdot \arcsin {\frac {\sqrt {3}}{3}}\approx 1,23\ {\text{rad}}\ (70^{\circ }31'43,61'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e5200ce18594d6db29c43087c986ea31f953ca)

Los [ángulos sólidos](/wiki/%C3%81ngulo_s%C3%B3lido "Ángulo sólido") que forman los vértices son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden calcularse:

> ω=AcH2=34⋅a2(63⋅a)2=338sr≈0,650sr{\\displaystyle \\omega ={\\frac {A\_{c}}{H^{2}}}={\\frac {{\\frac {\\sqrt {3}}{4}}\\cdot a^{2}}{\\left({\\frac {\\sqrt {6}}{3}}\\cdot a\\right)^{2}}}={\\frac {3{\\sqrt {3}}}{8}}sr\\approx 0,650\ {\\text{sr}}}![{\displaystyle \omega ={\frac {A_{c}}{H^{2}}}={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}}{\left({\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a\right)^{2}}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}sr\approx 0,650\ {\text{sr}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c819c63ba9dcba9964742a19fa9f66c80da096)

### Propiedades particulares

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=11 "Editar sección: Propiedades particulares")\]

#### Simetría

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=12 "Editar sección: Simetría")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Tetraeder-Animation.gif)](/wiki/Archivo:Tetraeder-Animation.gif)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Symmetries_of_the_tetrahedron.svg/270px-Symmetries_of_the_tetrahedron.svg.png)](/wiki/Archivo:Symmetries_of_the_tetrahedron.svg) Rotaciones en torno a un eje y reflexión respecto a un plano de un tetraedro regular.

Un tetraedro regular tiene cuatro [ejes de simetría](/wiki/Eje_de_simetr%C3%ADa "Eje de simetría") de orden tres, las rectas perpendiculares a cada cara por el vértice opuesto de tetraedro; y seis [planos de simetría](/wiki/Plano_de_simetr%C3%ADa "Plano de simetría"), los formados por cada arista y el punto medio de la arista opuesta. Esto hace que este cuerpo tenga un [orden de simetría](/wiki/Orden_de_simetr%C3%ADa "Orden de simetría") total de 24: 2x(4x3).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría tetraédricos, el denominado **Td** según la [notación de Schläfli](/wiki/S%C3%ADmbolo_de_Schl%C3%A4fli "Símbolo de Schläfli").

El tetraedro tiene también tres ejes de simetría de orden dos: las rectas que pasan por el punto medio de una arista y por el de la arista opuesta.

- Un plano que pasa por una arista y el punto medio de la arista opuesta de un tetraedro regular es un plano de simetría del tetraedro regular.En total hay 6 planos de simetría.[\[9\]](#cite_note-9)​

#### Conjugación

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=13 "Editar sección: Conjugación")\]

El tetraedro regular es el único sólido platónico conjugado de sí mismo (se suele denominar autoconjugado), ya que el [poliedro conjugado](/wiki/Poliedro_conjugado "Poliedro conjugado") de un tetradro de arista **a** es otro tetraedro de arista **b**, tal que:

b=a3{\\displaystyle b={\\frac {a}{3}}}![{\displaystyle b={\frac {a}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28398e95b7d4cb9eea18d37303d00f277983dd9)

#### Proyecciones

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=14 "Editar sección: Proyecciones")\]

Las [proyecciones ortogonales](/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonal "Proyección ortogonal") de un tetraedro regular sobre un plano pueden ser:

- [Triángulos](/wiki/Tri%C3%A1ngulo "Triángulo");

  - En particular, si el plano de proyección es paralelo a una cara, la proyección del tetraedro es un [triángulo equilátero](/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero "Triángulo equilátero"), correspondiente a una cara en [verdadera magnitud](/w/index.php?title=Verdadera_magnitud&action=edit&redlink=1 "Verdadera magnitud (aún no redactado)").
- [Cuadriláteros](/wiki/Cuadril%C3%A1tero "Cuadrilátero");

  - En particular, si el plano de proyección es paralelo a dos aristas opuestas del tetraedro, la proyección es un [cuadrado](/wiki/Cuadrado "Cuadrado"), con un lado igual a la longitud de la arista del tetraedro dividida por la raíz cuadrada de dos.

#### Secciones

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=15 "Editar sección: Secciones")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/TetrahedronCrossSectionTriangle.png/200px-TetrahedronCrossSectionTriangle.png)](/wiki/Archivo:TetrahedronCrossSectionTriangle.png) Sección transversal.

Las infinitas [secciones](/wiki/Secci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa) "Sección (geometría)") que podemos tomar de un tetraedro regular pueden resultar:

- [Triángulos](/wiki/Tri%C3%A1ngulo "Triángulo");

  - En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a una de las caras del tetraedro es un [triángulo equilátero](/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero "Triángulo equilátero").
- [Cuadriláteros](/wiki/Cuadril%C3%A1tero "Cuadrilátero");

  - En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a dos aristas opuestas es un [rectángulo](/wiki/Rect%C3%A1ngulo "Rectángulo").
  - Si, además de ser paralelo a dos aristas opuestas, el plano de corte equidista de ambas, la sección resultante es un [cuadrado](/wiki/Cuadrado "Cuadrado") de lado mitad de la arista del tetraedro. Como existen tres pares de aristas opuestas, un tetraedro regular se puede seccionar de esta forma por tres planos diferentes.

#### Composición, descomposición y maclado

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=16 "Editar sección: Composición, descomposición y maclado")\]

Es posible incluir un tetraedro regular en un [cubo](/wiki/Cubo "Cubo") de tal forma que cada uno de los vértices del tetraedro coincida con un vértice del cubo, coincidiendo las aristas del tetraedro con diagonales de las caras del cubo. El volumen del cubo necesario para incluir un tetraedro en la forma descrita es el triple que el del tetraedro. Hay dos posiciones posibles para incluir los tetraedros en el cubo en esta forma;

- Las aristas de los tetraedros colocados en ambas posiciones son perpendiculares entre sí (son las diagonales cruzadas de las caras del cubo).

- Las tres secciones cuadradas de ambos tetraedros coinciden.

- El [sólido conjunto](/w/index.php?title=S%C3%B3lido_conjunto&action=edit&redlink=1 "Sólido conjunto (aún no redactado)") (o macla) de ambas es un [poliedro compuesto](/w/index.php?title=Poliedro_compuesto&action=edit&redlink=1 "Poliedro compuesto (aún no redactado)") denominado [estrella octángula de Kepler](/wiki/Estrella_oct%C3%A1ngula_de_Kepler "Estrella octángula de Kepler") ( _stella octangula_).

- El [sólido común](/w/index.php?title=S%C3%B3lido_com%C3%BAn&action=edit&redlink=1 "Sólido común (aún no redactado)") de ambos es un [octaedro](/wiki/Octaedro "Octaedro") regular de arista mitad que la de los tetraedros.

No es posible [rellenar el espacio](/w/index.php?title=Rellenar_el_espacio&action=edit&redlink=1 "Rellenar el espacio (aún no redactado)") únicamente con tetraedros regulares (aunque, parece ser, que [Aristóteles](/wiki/Arist%C3%B3teles "Aristóteles") así lo creía), pero sí es posible hacerlo con elementos formados por una combinación de un octaedro regular y dos tetraedros regulares.

De las infinitas formas de [truncar](/wiki/Tronco_(geometr%C3%ADa) "Tronco (geometría)") un tetraedro regular, hay dos que producen resultados singulares:

- Truncando el tetraedro con planos que pasen por el punto medio de sus aristas, obtenemos un [octaedro](/wiki/Octaedro "Octaedro") regular.

- Truncando el tetraedro con planos que pasen por la tercera parte de sus aristas, obtenemos un [sólido arquimediano](/wiki/S%C3%B3lidos_arquimedianos "Sólidos arquimedianos") que toma el nombre genérico de [tetraedro truncado](/wiki/Tetraedro_truncado "Tetraedro truncado").

Un tetraedro no puede ser [estrellado](/wiki/Poliedro_estrellado "Poliedro estrellado"), puesto que todas las intersecciones entre los planos de las caras del tetraedro son aristas del tetraedro.

## Tetraedros en la naturaleza y en la técnica

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=17 "Editar sección: Tetraedros en la naturaleza y en la técnica")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Methane_tetrahedral_lines.svg/150px-Methane_tetrahedral_lines.svg.png)](/wiki/Archivo:Methane_tetrahedral_lines.svg) Estructura tetraédrica del metano. Los enlaces C-H están dirigidos hacia los vértices de un tetraedro regular.

La forma tetraédrica aparece en la naturaleza en ciertas [moléculas](/wiki/Mol%C3%A9culas "Moléculas") de [enlace covalente](/wiki/Enlace_covalente "Enlace covalente"). La más común de ellas es la molécula de [metano](/wiki/Metano "Metano") (CH4), en la que los cuatro átomos de [hidrógeno](/wiki/Hidr%C3%B3geno "Hidrógeno") se sitúan aproximadamente en los cuatro vértices de un tetraedro regular del que el átomo de [carbono](/wiki/Carbono "Carbono") es el centro.

Existen también [estructuras cristalinas](/wiki/Estructura_cristalina "Estructura cristalina") naturales de forma tetraédrica.

A pesar de ser el tetraedro un poliedro de forma simple y totalmente regular no existen muchos objetos de uso común basados en su forma.

Como medio de almacenamiento es una forma desastrosa: no es posible rellenar el espacio con ella, que sería la forma de no desperdiciar volumen entre las piezas; tampoco resulta fácilmente apilable al no tener caras paralelas; y, además, es muy ineficaz: para contener un litro de producto son necesarios más de 7,2 dm² de «pared», mientras que utilizando un cubo con 6 dm² es suficiente. A pesar de todos estos inconvenientes, la empresa sueca [Tetra Pak](/wiki/Tetra_Pak "Tetra Pak") desarrolló un [envase](/wiki/Envase "Envase") de cartón metalizado en forma tetraédrica en la década de 1950, únicamente porque su fabricación resultaba singularmente sencilla: bastaba con enrollar una hoja de papel formando un cilindro, para después aplastar sus dos extremos, pero en direcciones perpendiculares, logrando con ello un tetraedro.

En cualquier posición que sea apoyado un tetraedro, uno de sus vértices queda vertical hacia arriba. Por este motivo se basa en su forma la fabricación de ciertos modelos de elementos móviles de [balizamiento de carreteras](/w/index.php?title=Balizamiento_de_carreteras&action=edit&redlink=1 "Balizamiento de carreteras (aún no redactado)") ya que, al ser indiferente la posición en la que se apoyen, su colocación es rápida y sencilla, y no pueden ser derribados por los vehículos.

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Wave_dissipating_blocks.jpg/150px-Wave_dissipating_blocks.jpg)](/wiki/Archivo:Wave_dissipating_blocks.jpg) Tetrápodos para escollera.

Es una forma sencilla con gran facilidad para trabarse y engancharse, puesto que sus vértices son muy agudos y dirigidos en las cuatro direcciones. Por este motivo se busca su forma en elementos cuya principal función sea engancharse, como las [anclas](/wiki/Ancla "Ancla") de barco (en esquema, un ancla está formada por las dos aristas opuestas de un tetraedro unidas por su perpendicular), o trabarse entre sí, como las [escolleras](/wiki/Escollera "Escollera") de hormigón armado para defensa contra el oleaje. Existen al menos tres modelos de uso frecuente basados en la forma de un tetraedro regular:

- Los [tetrápodos](/wiki/Tetr%C3%A1podo_(estructura) "Tetrápodo (estructura)"), formados por cuatro troncos de cono colocados según las alturas de un tetraedro regular, entre sus vértices y su centro.

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Dolos.jpg/100px-Dolos.jpg)](/wiki/Archivo:Dolos.jpg) Dolos para escollera.

- Los [doloses](/w/index.php?title=Dolos_(escollera)&action=edit&redlink=1 "Dolos (escollera) (aún no redactado)") _(plural de dolos)_, diseñados por el ingeniero [Eric M. Merrifield](/w/index.php?title=Eric_M._Merrifield&action=edit&redlink=1 "Eric M. Merrifield (aún no redactado)"), formados por tres piezas rectas, dos materializando las aristas opuestas de un tetraedro regular y una tercera uniéndolas por su perpendicular.
- Los [akmon](/w/index.php?title=Akmon&action=edit&redlink=1 "Akmon (aún no redactado)") _(yunque)_, desarrollados en el Laboratorio de Hidráulica de [Delf](/w/index.php?title=Delf&action=edit&redlink=1 "Delf (aún no redactado)") (Países Bajos), de forma similar a los doloses, pero más robusta.

A principios del siglo XX [Alexander Graham Bell](/wiki/Alexander_Graham_Bell "Alexander Graham Bell"), inventor del teléfono, experimentó intensamente con [cometas](/wiki/Cometa "Cometa"), con el fin de desarrollar el vuelo tripulado con vehículos más pesados que el aire, y llegó tras una serie de experimentos a esta forma.

Las cometas tetraédricas están compuestas de múltiples celdas con forma de tetraedro, en el que se materializan únicamente dos de sus caras. Llegó a construir cometas enormes, formadas por un gran número de estas celdas.

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/4-sided_dice_250.jpg/100px-4-sided_dice_250.jpg)](/wiki/Archivo:4-sided_dice_250.jpg) Dado para juego de rol.

En 1907 construyó una de 3.393 celdas que arrastró con un barco de vapor, siendo capaz de elevarla 50 m con un tripulante a bordo. Intentó después otras construcciones aún más grandes, y equipadas con motor, pero no dieron el resultado deseado. A los motores les faltaba potencia y las construcciones resultaban frágiles en exceso, por lo que abandonó el proyecto, dedicándose a otras actividades.

La sonda espacial [Mars Pathfinder](/wiki/Mars_Pathfinder "Mars Pathfinder") de la [NASA](/wiki/NASA "NASA") también tuvo forma de tetraedro, cuyas caras se abrieron como pétalos al amartizar, el 4 de julio de 1997, para permitir la salida del robot Sojourner que llevaba en su interior.

Otra aplicación práctica del tetraedro es la de dar forma al [dado](/wiki/Dados_de_rol "Dados de rol") de cuatro caras, cuya notación escrita es «d4»[\[10\]](#cite_note-10)​ y al que se utiliza sobre todo en numerosos [juegos de rol](/wiki/Juego_de_rol "Juego de rol"). Al no mostrar este dado una cara hacia arriba, suele llevar marcado el valor de la tirada en los vértices o en la base.

## Poliedros relacionados

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=18 "Editar sección: Poliedros relacionados")\]

[Pirámides](/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa) "Pirámide (geometría)")[Digonal](/wiki/Diedro "Diedro")Triangular[Cuadrada](/wiki/Pir%C3%A1mide_cuadrada "Pirámide cuadrada")[Pentagonal](/wiki/Pir%C3%A1mide_pentagonal "Pirámide pentagonal")[Hexagonal](/wiki/Pir%C3%A1mide_hexagonal "Pirámide hexagonal")Heptagonal
Octogonal
Eneagonal
Decagonal...
Impropia
Regular
Equilátera
Isósceles
[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Biangular_pyramid1.png/50px-Biangular_pyramid1.png)](/wiki/Archivo:Biangular_pyramid1.png)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Tetrahedron.svg/50px-Tetrahedron.svg.png)](/wiki/Archivo:Tetrahedron.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Square_pyramid.png/70px-Square_pyramid.png)](/wiki/Archivo:Square_pyramid.png)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Pentagonal_pyramid.png/70px-Pentagonal_pyramid.png)](/wiki/Archivo:Pentagonal_pyramid.png)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Hexagonal_pyramid.png/50px-Hexagonal_pyramid.png)](/wiki/Archivo:Hexagonal_pyramid.png)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Heptagonal_pyramid1.png/70px-Heptagonal_pyramid1.png)](/wiki/Archivo:Heptagonal_pyramid1.png)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Octagonal_pyramid1.png/70px-Octagonal_pyramid1.png)](/wiki/Archivo:Octagonal_pyramid1.png)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Enneagonal_pyramid1.png/70px-Enneagonal_pyramid1.png)](/wiki/Archivo:Enneagonal_pyramid1.png)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Decagonal_pyramid1.png/70px-Decagonal_pyramid1.png)](/wiki/Archivo:Decagonal_pyramid1.png)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Spherical_digonal_pyramid.svg/50px-Spherical_digonal_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_digonal_pyramid.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Spherical_trigonal_pyramid.svg/50px-Spherical_trigonal_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_trigonal_pyramid.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Spherical_square_pyramid.svg/50px-Spherical_square_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_square_pyramid.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Spherical_pentagonal_pyramid.svg/50px-Spherical_pentagonal_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_pentagonal_pyramid.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Spherical_hexagonal_pyramid.svg/50px-Spherical_hexagonal_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_hexagonal_pyramid.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Spherical_heptagonal_pyramid.svg/50px-Spherical_heptagonal_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_heptagonal_pyramid.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Spherical_octagonal_pyramid.svg/50px-Spherical_octagonal_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_octagonal_pyramid.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Spherical_enneagonal_pyramid.svg/50px-Spherical_enneagonal_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_enneagonal_pyramid.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Spherical_decagonal_pyramid.svg/50px-Spherical_decagonal_pyramid.svg.png)](/wiki/Archivo:Spherical_decagonal_pyramid.svg)

## Véase también

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=19 "Editar sección: Véase también")\]

- [Tetraedro de Reuleaux](/wiki/Tetraedro_de_Reuleaux "Tetraedro de Reuleaux")
- [Tetraedro trirrectangular](/wiki/Tetraedro_trirrectangular "Tetraedro trirrectangular")
- [Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas](/wiki/Anexo:Ecuaciones_de_figuras_geom%C3%A9tricas "Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas")

## Referencias

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=20 "Editar sección: Referencias")\]

01. [↑](#cite_ref-MW_1-0)[Weisstein, Eric W](/wiki/Eric_W._Weisstein "Eric W. Weisstein"). [«Tetrahedron»](http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html). En Weisstein, Eric W, ed. _[MathWorld](/wiki/MathWorld "MathWorld")_(en inglés). [Wolfram Research](/wiki/Wolfram_Research "Wolfram Research").
02. [↑](#cite_ref-2) S. V. Gashkov: _Desigualdades geométricas_, Editorial URSS, Moscú- 2015
03. [↑](#cite_ref-3)Elementos de Geometría de Bruño
04. [↑](#cite_ref-4) Shishkin: _Característica de Euler_
05. [↑](#cite_ref-pye_5-0)Sapiña, R. [«Área y volumen de un tetraedro»](https://www.problemasyecuaciones.com/geometria3D/volumen/piramide/tetraedro/calculadora-area-volumen-formulas.html). _[Problemas y ecuaciones](https://www.problemasyecuaciones.com/)_. [ISSN](/wiki/ISSN "ISSN") [2659-9899](//portal.issn.org/resource/issn/2659-9899). Consultado el 9 de julio de 2020.
06. ↑ [_**a**_](#cite_ref-mtf_6-0) [_**b**_](#cite_ref-mtf_6-1) [_**c**_](#cite_ref-mtf_6-2)Llopis, José L. [«Calcular área y volumen del tetraedro regular»](https://matesfacil.com/calculadoras/3D/poliedro/tetraedro/calcular-formula-area-volumen-altura.html). _[Matesfacil](https://www.matesfacil.com/)_. [ISSN](/wiki/ISSN "ISSN") [2659-8442](//portal.issn.org/resource/issn/2659-8442). Consultado el 6 de septiembre de 2020.
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### Bibliografía complementaria

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=21 "Editar sección: Bibliografía complementaria")\]

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- Claudi Alsina: _Las mil caras del poliedro_ 2014

## Enlaces externos

\[ [editar](/w/index.php?title=Tetraedro&action=edit&section=22 "Editar sección: Enlaces externos")\]

- ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png)[Wikimedia Commons](/wiki/Wikimedia_Commons "Wikimedia Commons") alberga una categoría multimedia sobre **[Tetraedro](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Tetrahedron "commons:Category:Tetrahedron")**.
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