Teorema de Pitágoras - Wikipedia, la enciclopedia libre
En matemáticas, el teorema de Pitágoras es una relación en geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Afirma que el área del ...
apotema
En la geometría para calcular la altura de un triángulo equilátero en función del lado; para obtener la altura del tetraedro regular usando la arista. Para hallar el <anchor>apotema</anchor> de un triángulo equilátero y de un hexágono regular inscritos, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.[24]​
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  - [1.2Fórmulas](#Fórmulas)
  - [1.3Arco de una circunferencia](#Arco_de_una_circunferencia)
- [2Cálculo de la apotema y de la sagita en diferentes polígonos regulares](#Cálculo_de_la_apotema_y_de_la_sagita_en_diferentes_polígonos_regulares)Alternar subsección Cálculo de la apotema y de la sagita en diferentes polígonos regulares  - [2.1Caso particular](#Caso_particular)
  - [2.2Ejercicio](#Ejercicio)    - [2.2.1Disquisiciones](#Disquisiciones)
  - [2.3Polígono regular de tres lados (triángulo) inscrito](#Polígono_regular_de_tres_lados_(triángulo)_inscrito)
  - [2.4Polígono regular de cuatro lados (cuadrilátero) inscrito](#Polígono_regular_de_cuatro_lados_(cuadrilátero)_inscrito)
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  - [2.6Polígono regular de siete lados (heptágono) inscrito](#Polígono_regular_de_siete_lados_(heptágono)_inscrito)
  - [2.7Polígono regular de ocho lados (octógono) inscrito](#Polígono_regular_de_ocho_lados_(octógono)_inscrito)
  - [2.8Polígono regular de 360 lados inscrito](#Polígono_regular_de_360_lados_inscrito)
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**Este artículo o sección necesita [referencias](/wiki/Wikipedia:VER "Wikipedia:VER") que aparezcan en una [publicación acreditada](/wiki/Wikipedia:FF "Wikipedia:FF").**

_Busca fuentes:_[«Apotema»](http://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&q=%22Apotema%22&num=50) – [noticias](https://www.google.com/search?tbm=nws&&as_src=-newswire+-wire+-presswire+-PR+-press+-release+-wikipedia&q=%22Apotema%22) · [libros](http://books.google.com/books?as_brr=0&as_pub=-icon&q=%22Apotema%22) · [académico](http://scholar.google.com/scholar?q=%22Apotema%22) · [imágenes](http://images.google.com/images?safe=off&as_rights=(cc_publicdomain%7ccc_attribute%7ccc_sharealike%7ccc_noncommercial%7ccc_nonderived)&q=%22Apotema%22)

Este aviso fue puesto el 15 de noviembre de 2016.

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Apothem_of_hexagon.svg/220px-Apothem_of_hexagon.svg.png)](/wiki/Archivo:Apothem_of_hexagon.svg) Apotema de un [hexágono](/wiki/Hex%C3%A1gono "Hexágono").

La **apotema**[\[1\]](#cite_note-1)​ en la figura bidimensional de un [polígono regular](/wiki/Pol%C3%ADgono_regular "Polígono regular") es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un [segmento](/wiki/Segmento "Segmento") cuyos extremos son el centro de un [polígono](/wiki/Pol%C3%ADgono "Polígono") regular y el punto medio de cualquiera de sus lados, y siempre es [perpendicular](/wiki/Perpendicularidad "Perpendicularidad") a dicho lado.[\[2\]](#cite_note-AHQNC-2)​

En la figura tridimensional de una [pirámide](/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa) "Pirámide (geometría)") regular, también se denomina apotema o apotema piramidal al segmento trazado desde el vértice al centro de cualquier lado del polígono que conforma la base; coincide con la altura de cada cara triangular de la pirámide regular.[\[3\]](#cite_note-MBSMCSJMGC-3)​

## Apotema y sagita

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=1 "Editar sección: Apotema y sagita")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Apotema_y_Sagita.svg/250px-Apotema_y_Sagita.svg.png)](/wiki/Archivo:Apotema_y_Sagita.svg) Apotema y sagita en un [cuadrado](/wiki/Cuadrado "Cuadrado") inscrito

Dado un [polígono inscrito](/wiki/Pol%C3%ADgono_inscrito "Polígono inscrito"), el [radio](/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa) "Radio (geometría)") se divide en dos segmentos: la apotema y la [sagita](/wiki/Sagita_(geometr%C3%ADa) "Sagita (geometría)"), así que son complementarias.

El diccionario Larousse define **sagita** como la parte del radio comprendida entre el punto medio de un [arco](/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa) "Arco (geometría)") de [circunferencia](/wiki/Circunferencia "Circunferencia") y el de su [cuerda](/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa) "Cuerda (geometría)").

### Principales medidas asociadas a la apotema y a la sagita

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=2 "Editar sección: Principales medidas asociadas a la apotema y a la sagita")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Apotema.svg/450px-Apotema.svg.png)](/wiki/Archivo:Apotema.svg) Fórmulas de la apotema y de la [sagita](/wiki/Sagita_(geometr%C3%ADa) "Sagita (geometría)")

Sea C{\\displaystyle C}![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029) una circunferencia de centro O{\\displaystyle O}![{\displaystyle O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc), y radio r=OQ¯{\\displaystyle r={\\overline {OQ}}}![{\displaystyle r={\overline {OQ}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96263ade900cb6cd8552ce0e34210f5809956e57) .

Y sea l=FM¯{\\displaystyle l={\\overline {FM}}}![{\displaystyle l={\overline {FM}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8722948c31a6ae6f581390552bf4930b8d65086e) uno de los lados del polígono regular inscrito

con n{\\displaystyle n}![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) lados,con apotema a=OK¯{\\displaystyle a={\\overline {OK}}}![{\displaystyle a={\overline {OK}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36becf23e1aa15f128b833e2d8b91cb0f55d89cc) ,y con sagita s=KQ¯{\\displaystyle s={\\overline {KQ}}}![{\displaystyle s={\overline {KQ}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dee2f9bf0b8f1043661bf739f862ef7598380e) .

Entonces

el perímetro del polígono es P=n⋅l{\\displaystyle P=n\\cdot l}![{\displaystyle P=n\cdot l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ecf53a056f2d833657afba27f95018c26bd06d) ,y su área es A=P⋅a2{\\displaystyle A={\\frac {P\\cdot a}{2}}}![{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed4d064a9620b03a2819bdea777cf563a6bffb4) .

### Fórmulas

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=3 "Editar sección: Fórmulas")\]

La apotema se calcula como a=r2−(l2)2{\\displaystyle a={\\sqrt {r^{2}-\\left({\\frac {l}{2}}\\right)^{2}}}}![{\displaystyle a={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3af88d5d59e814271b5db5543a3bee2efe6cb00) .

Una vez calculada la apotema, la sagita se obtiene como s=r−a{\\displaystyle s=r-a}![{\displaystyle s=r-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad1125e2a9cc278b9db644fe4f3acb46311613a) .

Por su parte, el lado del polígono regular inscrito puede calcularse como l=2s2+2⋅a⋅s{\\displaystyle l=2{\\sqrt {s^{2}+2\\cdot a\\cdot s}}}![{\displaystyle l=2{\sqrt {s^{2}+2\cdot a\cdot s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d677b861cb2f35c0453b69e18feba4516c9a5c2) .

Si se desconocen las longitudes de apotema y sagita, entonces la longitud del lado puede calcularse como:

θ=360∘n{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{n}}}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28604a808e3b66c188dd317c2c7feae893f9d5c6)l=2⋅r⋅sen⁡(θ/2){\\displaystyle l=2\\cdot r\\cdot \\operatorname {sen}(\\theta /2)}![{\displaystyle l=2\cdot r\cdot \operatorname {sen}(\theta /2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c4b9a0763af7f94cb952737448abd3a7ce6d18)

### Arco de una circunferencia

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=4 "Editar sección: Arco de una circunferencia")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Trazo_de_circulo2.svg/350px-Trazo_de_circulo2.svg.png)](/wiki/Archivo:Trazo_de_circulo2.svg) Determinando el radio a partir de una cuerda y un arco

Es posible determinar el radio de un [arco](/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa) "Arco (geometría)") de circunferencia si se conoce la longitud L{\\displaystyle L}![{\displaystyle L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8) de una cuerda y, a la vez, la distancia d{\\displaystyle d}![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab) entre el punto medio de la cuerda y el punto medio del arco determinado por la cuerda. Con la fórmula

r=(L/2)2+d22⋅d{\\displaystyle r={\\frac {(L/2)^{2}+d^{2}}{2\\cdot d}}}![{\displaystyle r={\frac {(L/2)^{2}+d^{2}}{2\cdot d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c974a5bf5b5bb0856cff3a94ee84010ad7812b5) ,

o con la ecuación trigonométrica

r=L2sen⁡(180∘−2arctan⁡L2⋅d){\\displaystyle r={\\frac {L}{2\\operatorname {sen} \\left(180^{\\circ }-2\\arctan {\\frac {L}{2\\cdot d}}\\right)}}}![{\displaystyle r={\frac {L}{2\operatorname {sen} \left(180^{\circ }-2\arctan {\frac {L}{2\cdot d}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8cbe0be24af474bb3e14e80a904ff753f703b1e) .

Donde (véase imagen)

un lado l{\\displaystyle l}![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac) del polígono es igual a la longitud L{\\displaystyle L}![{\displaystyle L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8) de la cuerda,y la sagita s{\\displaystyle s}![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632) es igual a la distancia d{\\displaystyle d}![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab).

## Cálculo de la apotema y de la sagita en diferentes polígonos regulares

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=5 "Editar sección: Cálculo de la apotema y de la sagita en diferentes polígonos regulares")\]

Un [polígono](/wiki/Pol%C3%ADgono "Polígono") cuyos lados tienen la misma [longitud](/wiki/Longitud "Longitud") y todos sus [ángulos](/wiki/%C3%81ngulo "Ángulo") internos son iguales se llama [polígono regular](/wiki/Pol%C3%ADgono_regular "Polígono regular"), lo cual implica que la apotema del _polígono rectangular_ subsiguiente no es un valor continuo, sino discreto o «a saltos».

### Caso particular

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=6 "Editar sección: Caso particular")\]

Si consideramos que:

- Todo triángulo tiene tres lados y tres vértices.
- En la [geometría euclidiana](/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana "Geometría euclidiana"), la suma de los tres [ángulos internos](/wiki/%C3%81ngulo_interno "Ángulo interno") de un triángulo es 180°.
- Existen ángulos tanto de 0° como de 90°.

Entonces, podemos hacer el [experimento mental](/wiki/Experimento_mental "Experimento mental") donde uno de los ángulos internos del triángulo mida 0°, y los dos restantes midan 90° cada uno. En este caso, uno de los lados del triángulo medirá 0, y los dos restantes medirán el diámetro de la circunferencia. Visualizaremos dos de los lados del triángulo traslapados. Con ello no violamos ninguno de los postulados precedentes.

El [segundo teorema de Tales](/wiki/Teorema_de_Tales#Segundo_teorema "Teorema de Tales") confirma lo anterior: « **todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto**».

Sea Cx{\\displaystyle C\_{x}}![{\displaystyle C_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c7c57eb7d5bafc9dbb07668033f00118f5e48e) un punto cualquiera de la circunferencia de diámetro AB¯{\\displaystyle {\\overline {AB}}}![{\displaystyle {\overline {AB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110), igual o distinto de los puntos A y de B. Entonces, △ABCx{\\displaystyle \\triangle ABC\_{x}}![{\displaystyle \triangle ABC_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31450f95e7a3a0c020e2ee071974cc5c31491a0f) siempre será un [triángulo rectángulo](/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo "Triángulo rectángulo").[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/ES-Teorema_de_Tales_de_Mileto.svg/300px-ES-Teorema_de_Tales_de_Mileto.svg.png)](/wiki/Archivo:ES-Teorema_de_Tales_de_Mileto.svg)En otras palabras, el [teorema de Tales](/wiki/Circunferencia#Otras_propiedades "Circunferencia") dice que, si los tres vértices de un triángulo están sobre una [circunferencia](/wiki/Circunferencia "Circunferencia") dada, donde uno de sus lados siempre es el [diámetro](/wiki/Di%C3%A1metro "Diámetro") de la circunferencia, entonces el ángulo opuesto a este lado es un [ángulo recto](/wiki/%C3%81ngulo_recto "Ángulo recto").

- El segmento AB¯{\\displaystyle {\\overline {AB}}}![{\displaystyle {\overline {AB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110) es el [diámetro](/wiki/Di%C3%A1metro "Diámetro") de la [circunferencia](/wiki/Circunferencia "Circunferencia"). Diámetros que, para el triángulo rectángulo inscrito △ABCx{\\displaystyle \\triangle ABC\_{x}}![{\displaystyle \triangle ABC_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31450f95e7a3a0c020e2ee071974cc5c31491a0f), será la [hipotenusa](/wiki/Hipotenusa "Hipotenusa") con carácter [invariante](/wiki/Invariante "Invariante").
- Asimismo existe otra constante, según ya lo señalamos, dado que los [fasores](/wiki/Fasor_(f%C3%ADsica) "Fasor (física)") en el punto Cx{\\displaystyle C\_{x}}![{\displaystyle C_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c7c57eb7d5bafc9dbb07668033f00118f5e48e) siempre tienen 90∘{\\displaystyle 90^{\\circ }}![{\displaystyle 90^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c326d317eddef3ad3e6625e018a708e290a039f6), debemos aplicar la [ley de los cosenos](/wiki/Ley_de_los_cosenos "Ley de los cosenos"), donde ΔX{\\displaystyle {\_{\\Delta }X}}![{\displaystyle {_{\Delta }X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bc89616ae20c79102d88930bbc441a90e9bb8e) y ΔZ{\\displaystyle {\_{\\Delta }Z}}![{\displaystyle {_{\Delta }Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce496a10fc764ca7dde7bfa501dac21dc2a62c6) son los fasores (véase [arco capaz](/wiki/Arco_capaz "Arco capaz")) y H{\\displaystyle H}![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b) es la hipotenusa:

H=ΔX2−2⋅ΔX⋅ΔZ⋅cos⁡90∘+ΔZ2{\\displaystyle H={\\sqrt {{\_{\\Delta }X^{2}}-2\\cdot {\_{\\Delta }X}\\cdot {\_{\\Delta }Z}\\cdot \\cos 90^{\\circ }+{\_{\\Delta }Z^{2}}}}}![{\displaystyle H={\sqrt {{_{\Delta }X^{2}}-2\cdot {_{\Delta }X}\cdot {_{\Delta }Z}\cdot \cos 90^{\circ }+{_{\Delta }Z^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9423c20e4d5b61057cde22fba942f8be4cc3cc)

Considerando que cos⁡90∘=0{\\displaystyle \\cos 90^{\\circ }=0}![{\displaystyle \cos 90^{\circ }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4282c3ff0ada7f2d9fce6581bc9dddd92e187337), podemos eliminar de la [ecuación](/wiki/Ecuaci%C3%B3n "Ecuación") la parte −2⋅ΔX⋅ΔZ⋅cos⁡90∘{\\displaystyle -2\\cdot {\_{\\Delta }X}\\cdot {\_{\\Delta }Z}\\cdot \\cos 90^{\\circ }}![{\displaystyle -2\cdot {_{\Delta }X}\cdot {_{\Delta }Z}\cdot \cos 90^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86680261bde18468e6b22350d4d941196f7e52cf):

H=ΔX2+ΔZ2{\\displaystyle H={\\sqrt {{\_{\\Delta }X^{2}}+{\_{\\Delta }Z^{2}}}}}![{\displaystyle H={\sqrt {{_{\Delta }X^{2}}+{_{\Delta }Z^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c52a644f3664356c0c8052d71fd5507b187aa5)

Nota: la longitud de la hipotenusa, para este caso, siempre será igual al diámetro de la circunferencia, y a la vez cos⁡90∘=0{\\displaystyle \\cos 90^{\\circ }=0}![{\displaystyle \cos 90^{\circ }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4282c3ff0ada7f2d9fce6581bc9dddd92e187337), de manera que la longitud variable de los fasores ΔX{\\displaystyle {\_{\\Delta }X}}![{\displaystyle {_{\Delta }X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bc89616ae20c79102d88930bbc441a90e9bb8e) y ΔZ{\\displaystyle {\_{\\Delta }Z}}![{\displaystyle {_{\Delta }Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce496a10fc764ca7dde7bfa501dac21dc2a62c6) es calculable para cualquiera que sea la ubicación del punto Cx{\\displaystyle C\_{x}}![{\displaystyle C_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c7c57eb7d5bafc9dbb07668033f00118f5e48e), ya sea con las fórmulas [trigonometricas](/wiki/Trigonometr%C3%ADa "Trigonometría") o a través del [teorema de Pitágoras](/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras "Teorema de Pitágoras"):

ΔX=H2−ΔZ2{\\displaystyle {\_{\\Delta }X}={\\sqrt {H^{2}-{\_{\\Delta }Z^{2}}}}}![{\displaystyle {_{\Delta }X}={\sqrt {H^{2}-{_{\Delta }Z^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb058d66b71a83592c99a46ad26ac61742bd4ab6)ΔZ=H2−ΔX2{\\displaystyle {\_{\\Delta }Z}={\\sqrt {H^{2}-{\_{\\Delta }X^{2}}}}}![{\displaystyle {_{\Delta }Z}={\sqrt {H^{2}-{_{\Delta }X^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4f39baf9649772eda08059dc427e36b954c27c)

- Véanse mayores antecedentes en [dilatación del tiempo y contracción de la longitud](/wiki/Dilataci%C3%B3n_del_tiempo_y_contracci%C3%B3n_de_la_longitud "Dilatación del tiempo y contracción de la longitud").
- Los puntos A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3), B{\\displaystyle B}![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a) y Cx{\\displaystyle C\_{x}}![{\displaystyle C_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c7c57eb7d5bafc9dbb07668033f00118f5e48e) al ser traslapados por el [perímetro](/wiki/Per%C3%ADmetro "Perímetro") de la circunferencia, son [puntos cocíclicos](/wiki/Puntos_coc%C3%ADclicos "Puntos cocíclicos").
- Si un nodo es un punto que permanece fijo para un determinado marco de referencia, entonces los puntos A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) y B{\\displaystyle B}![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a) son nodos equidistantes entre sí, que además dividen la circunferencia en dos semicírculos.
- El punto Cx{\\displaystyle C\_{x}}![{\displaystyle C_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c7c57eb7d5bafc9dbb07668033f00118f5e48e) puede estar en cualquier lugar del perímetro de cualquiera de ambos [semicírculo](/wiki/C%C3%ADrculo#Semic.C3.ADrculo "Círculo"), incluso traslapando al punto A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) o al punto B{\\displaystyle B}![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a).
- La [longitud](/wiki/Longitud "Longitud") de un [cateto](/wiki/Cateto "Cateto") tiende a cero cuando su [ángulo adyacente](/wiki/%C3%81ngulo_adyacente "Ángulo adyacente") tiende a cero. Y en contrapartida, la longitud del otro cateto tiende a igualarse a la longitud de la [hipotenusa](/wiki/Hipotenusa "Hipotenusa").

### Ejercicio

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=7 "Editar sección: Ejercicio")\]

Lo expuesto anteriormente permite calcular la **apotema** y **sagita** en este caso particular, aplicando las [fórmulas](#Fórmulas) y teniendo en cuenta que el radio de la circunferencia es r=10cm{\\displaystyle r=10~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle r=10~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1ac7fb3f0822cf0c5b39e3e3eb9154f8859ab5) para todos los ejercicios:

θ=360∘2=180∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{2}}=180^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{2}}=180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6df1dc1424020abbd0fe4d051e88ebb849ace66)Longitud de cada lado traslapado l=2⋅10⋅sen⁡(180∘/2)=20cm{\\displaystyle l=2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(180^{\\circ }\\!/2)=20~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l=2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(180^{\circ }\!/2)=20~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2694f47aa6814ed26e209c3dce46f0571c202a3)Apotema a=102−(202)2=0cm{\\displaystyle a={\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {20}{2}}\\right)^{2}}}=0~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {20}{2}}\right)^{2}}}=0~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9729afd1c7b0cc02aa500419bf835469ea73d4)Sagita s=10−0=10cm{\\displaystyle s=10-0=10~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s=10-0=10~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459e75608340fab872771b13d86fe7ea9a08ef1e)

Este caso particular encierra una [paradoja](/wiki/Paradoja "Paradoja"), puesto que **no se está en presencia de un [polígono regular](/wiki/Pol%C3%ADgono_regular "Polígono regular") inscrito** y, a pesar de su inexistencia, se pudo calcular sin dificultad la sagita y la apotema. ¿La apotema y la sagita serán ajenas a los polígonos regulares inscritos?

Visualícense qué propiedades del polígono regular inscrito se han cumplido y cuáles no:

1. Todos los [vértices](/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa) "Vértice (geometría)") del polígono regular inscrito son [puntos cocíclicos](/wiki/Puntos_coc%C3%ADclicos "Puntos cocíclicos"): **se cumple** esta propiedad, ya que el perímetro de la circunferencia toca los puntos A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3), B{\\displaystyle B}![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a) y Cx{\\displaystyle C\_{x}}![{\displaystyle C_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c7c57eb7d5bafc9dbb07668033f00118f5e48e).
2. El **centro** de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono: También **se cumple** esta propiedad, porque el centro del polígono traslapa el centro de la circunferencia que lo inscribe.
3. Todos los [puntos cocíclicos](/wiki/Puntos_coc%C3%ADclicos "Puntos cocíclicos") del polígono regular inscrito son equidistantes, y dividen, el perímetro de la circunferencia, en partes iguales: ¿se cumple o no esta propiedad?, el punto Cx{\\displaystyle C\_{x}}![{\displaystyle C_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c7c57eb7d5bafc9dbb07668033f00118f5e48e) traslapa al punto A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3), tienen la misma ubicación, por lo que son equidistantes entre sí; ambos puntos están, entre sí, a una distancia cero, pero la distancia al punto B{\\displaystyle B}![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a) es diferente a cero. Los puntos A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3), B{\\displaystyle B}![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a) y Cx{\\displaystyle C\_{x}}![{\displaystyle C_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c7c57eb7d5bafc9dbb07668033f00118f5e48e) dividen el perímetro de la circunferencia en dos partes iguales, cuando en el hecho tres puntos la debieran dividir en tres porciones.
4. Los polígonos regulares son **equiláteros**; todos sus lados tienen la misma longitud: **no se cumple**, dado que uno de los lados del polígono tiene una longitud de 0, y los dos restante tienen por longitud el diámetro de la circunferencia.
5. Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes: **no se cumple**, porque uno tiene 0° y los dos restantes 90°.

#### Disquisiciones

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=8 "Editar sección: Disquisiciones")\]

Para calcular la apotema y sagita, parece suficiente con considerar la cantidad de [puntos cocíclicos](/wiki/Puntos_coc%C3%ADclicos "Puntos cocíclicos"), los cuales pueden ir desde uno hasta infinito. En efecto, n{\\displaystyle n}![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) será la cantidad de puntos cocíclicos.

Para el caso de tener un solo punto cocíclico:

θ=360∘1=360∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{1}}=360^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{1}}=360^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f916b129acb1899df4367995c135db25983985)La longitud, en línea recta, que separa cada punto cocíclico es l=2⋅10⋅sen⁡(360∘/2)=0cm{\\displaystyle l=2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(360^{\\circ }\\!/2)=0~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l=2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(360^{\circ }\!/2)=0~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4340652e67ed39e973c88aff2b6b9fbbcfc3ce8a) debido a no tener otros puntos.Apotema a=102−(02)2=10cm{\\displaystyle a={\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {0}{2}}\\right)^{2}}}=10~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {0}{2}}\right)^{2}}}=10~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc094d5948b8a711614bace3f916e96c6dbeaccf)Sagita s=10−10=0cm{\\displaystyle s=10-10=0~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s=10-10=0~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154ff980212d7099392c40e17d391859555a96c3)

### Polígono regular de tres lados ( [triángulo](/wiki/Tri%C3%A1ngulo "Triángulo")) inscrito

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=9 "Editar sección: Polígono regular de tres lados (triángulo) inscrito")\]

θ=360∘3=120∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{3}}=120^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{3}}=120^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a719b648f8785537b81e876e21490c6488579955)Longitud de cada lado l=2⋅10⋅sen⁡(120∘/2)≈17,3205cm{\\displaystyle l=2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(120^{\\circ }\\!/2)\\approx 17{,}3205~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l=2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(120^{\circ }\!/2)\approx 17{,}3205~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5888cbbd1ef3a6f30032db20fc0abd904dc363c4)Apotema a≈102−(17,32052)2=5cm{\\displaystyle a\\approx {\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {17{,}3205}{2}}\\right)^{2}}}=5~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a\approx {\sqrt {10^{2}-\left({\frac {17{,}3205}{2}}\right)^{2}}}=5~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbeb5216509fe9bf37a46d48eb9f4e32226af3d2)Sagita s=10−5=5cm{\\displaystyle s=10-5=5~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s=10-5=5~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5f47839e66cc2ac344d19c6cc3d82e940b6caf)

### Polígono regular de cuatro lados ( [cuadrilátero](/wiki/Cuadril%C3%A1tero "Cuadrilátero")) inscrito

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=10 "Editar sección: Polígono regular de cuatro lados (cuadrilátero) inscrito")\]

θ=360∘4=90∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{4}}=90^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{4}}=90^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cb721c5be1bd00b0f1174357f7d63cd607895d)Longitud de cada lado l=2⋅10⋅sen⁡(90∘/2)≈14,1421cm{\\displaystyle l=2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(90^{\\circ }\\!/2)\\approx 14{,}1421~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l=2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(90^{\circ }\!/2)\approx 14{,}1421~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b11b0d140608693e9760c94fc8b8058f8a88e2)Apotema a≈102−(14,14212)2≈7,07107cm{\\displaystyle a\\approx {\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {14{,}1421}{2}}\\right)^{2}}}\\approx 7{,}07107~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a\approx {\sqrt {10^{2}-\left({\frac {14{,}1421}{2}}\right)^{2}}}\approx 7{,}07107~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010c25977dbec00878a103c64491f39b56c57947)Sagita s≈10−7,07107≈2,92893cm{\\displaystyle s\\approx 10-7{,}07107\\approx 2{,}92893~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s\approx 10-7{,}07107\approx 2{,}92893~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355648d635414ee53b407472a7c6d5f825f0a097)

### Polígono regular de seis lados ( [hexágono](/wiki/Hex%C3%A1gono "Hexágono")) inscrito

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=11 "Editar sección: Polígono regular de seis lados (hexágono) inscrito")\]

θ=360∘6=60∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{6}}=60^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{6}}=60^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2514e69ecb36fd68983c1bb9ba77cf3c1bc2d7)Longitud de cada lado l=2⋅10⋅sen⁡(60∘/2)=10cm{\\displaystyle l=2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(60^{\\circ }\\!/2)=10~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l=2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(60^{\circ }\!/2)=10~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22736ad4383c9c12c4f8741aa2549ef406e0ad69)Apotema a=102−(102)2≈8,66025cm{\\displaystyle a={\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {10}{2}}\\right)^{2}}}\\approx 8{,}66025~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}}}\approx 8{,}66025~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905813492a980ee50e79db84383f8fa93d15f99e)Sagita s≈10−8,66025≈1,33975cm{\\displaystyle s\\approx 10-8{,}66025\\approx 1{,}33975~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s\approx 10-8{,}66025\approx 1{,}33975~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb738762e015b624dcdeb3baf78c1921eb48e54)

### Polígono regular de siete lados ( [heptágono](/wiki/Hept%C3%A1gono "Heptágono")) inscrito

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=12 "Editar sección: Polígono regular de siete lados (heptágono) inscrito")\]

θ=360∘7≈51,4286∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{7}}\\approx 51{,}4286^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{7}}\approx 51{,}4286^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55371d1b994cf4f03ae8c9738f45737c173f8904)Longitud de cada lado l≈2⋅10⋅sen⁡(51,4286∘/2)≈8,67767cm{\\displaystyle l\\approx 2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(51{,}4286^{\\circ }\\!/2)\\approx 8{,}67767~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l\approx 2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(51{,}4286^{\circ }\!/2)\approx 8{,}67767~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46eab7ee41f489d583536026ba8a0b1c5c431981)Apotema a≈102−(8,677672)2≈9,00969cm{\\displaystyle a\\approx {\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {8{,}67767}{2}}\\right)^{2}}}\\approx 9{,}00969~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a\approx {\sqrt {10^{2}-\left({\frac {8{,}67767}{2}}\right)^{2}}}\approx 9{,}00969~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65290750242d889ce7271fe86ed928e131e8d88b)Sagita s≈10−9,00969≈0,990311cm{\\displaystyle s\\approx 10-9{,}00969\\approx 0{,}990311~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s\approx 10-9{,}00969\approx 0{,}990311~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50eccf95d04b2e4840e3b3ac29a06b1f597c67e)

### Polígono regular de ocho lados ( [octógono](/wiki/Oct%C3%B3gono "Octógono")) inscrito

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=13 "Editar sección: Polígono regular de ocho lados (octógono) inscrito")\]

θ=360∘8=45∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{8}}=45^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bba4f81e2f910dfa579769734a35363532ede25)Longitud de cada lado l=2⋅10⋅sen⁡(45∘/2)≈7,65367cm{\\displaystyle l=2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(45^{\\circ }\\!/2)\\approx 7{,}65367~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l=2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(45^{\circ }\!/2)\approx 7{,}65367~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3f50444813bf53e7384a89e60cb6cd009908ee)Apotema a≈102−(7,653672)2≈9,23880cm{\\displaystyle a\\approx {\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {7{,}65367}{2}}\\right)^{2}}}\\approx 9{,}23880~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a\approx {\sqrt {10^{2}-\left({\frac {7{,}65367}{2}}\right)^{2}}}\approx 9{,}23880~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccccd427f91496f154e71ef170316c7975e54cd)Sagita s≈10−9,23880≈0,761205cm{\\displaystyle s\\approx 10-9{,}23880\\approx 0{,}761205~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s\approx 10-9{,}23880\approx 0{,}761205~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22b1e62df6a949353d9035513270f42ac33c687)

### Polígono regular de 360 lados inscrito

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=14 "Editar sección: Polígono regular de 360 lados inscrito")\]

θ=360∘360=1∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{360}}=1^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{360}}=1^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a87c7ae3cc4cd210b7da07acb7fa635b1480040)Longitud de cada lado l=2⋅10⋅sen⁡(1∘/2)≈0,174531cm{\\displaystyle l=2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(1^{\\circ }\\!/2)\\approx 0{,}174531~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l=2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(1^{\circ }\!/2)\approx 0{,}174531~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2229bfc744eb7c9e115def1165c86d1ac2e0459)Apotema a≈102−(0,1745312)2≈9,99962cm{\\displaystyle a\\approx {\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {0{,}174531}{2}}\\right)^{2}}}\\approx 9{,}99962~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a\approx {\sqrt {10^{2}-\left({\frac {0{,}174531}{2}}\right)^{2}}}\approx 9{,}99962~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df72d3252ac53b6468560077f10fbcdf01085276)Sagita s≈10−9,99962≈0,000380769cm{\\displaystyle s\\approx 10-9{,}99962\\approx 0{,}000380769~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s\approx 10-9{,}99962\approx 0{,}000380769~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56f934b413c42b6aa17bef28610fbbad03b3a48)

### [Gugólgono](/wiki/G%C3%BAgol "Gúgol") inscrito

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=15 "Editar sección: Gugólgono inscrito")\]

Gugol=10100{\\displaystyle {\\mathit {Gugol}}=10^{100}}![{\displaystyle {\mathit {Gugol}}=10^{100}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48604740c3d8081ee5455b64a8b0001c53778503)

En este caso, la gran cantidad de lados del [polígono regular](/wiki/Pol%C3%ADgono_regular "Polígono regular") tiende a infinito, y se asemeja más a una circunferencia, por lo que la **sagita** tiende a cero y la **apotema** tiende a la longitud del **radio**.

θ=360∘10100=3,6∘×10−98≈0∘{\\displaystyle \\theta ={\\frac {360^{\\circ }}{10^{100}}}=3{,}6^{\\circ }\\times 10^{-98}\\approx 0^{\\circ }}![{\displaystyle \theta ={\frac {360^{\circ }}{10^{100}}}=3{,}6^{\circ }\times 10^{-98}\approx 0^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20d702b0055248e0ef9069e3a3573a731027972)Longitud de cada lado l≈2⋅10⋅sen⁡(0∘/2)≈0cm{\\displaystyle l\\approx 2\\cdot 10\\cdot \\operatorname {sen}(0^{\\circ }\\!/2)\\approx 0~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle l\approx 2\cdot 10\cdot \operatorname {sen}(0^{\circ }\!/2)\approx 0~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144df18a23950428e9488749fe592c2deae61d2c)Apotema a≈102−(02)2≈10cm{\\displaystyle a\\approx {\\sqrt {10^{2}-\\left({\\frac {0}{2}}\\right)^{2}}}\\approx 10~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle a\approx {\sqrt {10^{2}-\left({\frac {0}{2}}\right)^{2}}}\approx 10~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2097b80ad7293e9fbac61b94571e0f69e56c3e)Sagita s≈10−10≈0cm{\\displaystyle s\\approx 10-10\\approx 0~\\mathrm {cm} }![{\displaystyle s\approx 10-10\approx 0~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a0d62b880cbf2bcbcaebd6fa9a72213a14c7f5)

## Referencias

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=16 "Editar sección: Referencias")\]

1. [↑](#cite_ref-1)Real Academia Española. [«Apotema»](https://dle.rae.es/Apotema). _Diccionario de la lengua española_ (23.ª edición). **apotema.** ‘Perpendicular que va desde el centro de un polígono regular a uno cualquiera de los lados’ y ‘altura de las caras triangulares de una pirámide regular’. Es de género femenino
2. [↑](#cite_ref-AHQNC_2-0)Ana Helvia Quintero, Nancy Costas (1994). [_Geometría_](https://books.google.es/books?id=1cQZ-pvFoDsC&pg=PA251#v=onepage&q&f=false). La Editorial, UPR. pp. 251 de 512. [ISBN](/wiki/ISBN "ISBN") [9780847723454](/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9780847723454 "Especial:FuentesDeLibros/9780847723454"). Consultado el 12 de enero de 2022.
3. [↑](#cite_ref-MBSMCSJMGC_3-0)Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez, José Ma González Clouté (1997). [_Programa de diversificación curricular. Área científico-tecnológica_](https://books.google.es/books?id=ICOmEDmY6gYC&pg=PA82#v=onepage&q&f=false). Ediciones de la Torre. pp. 82 de 220. [ISBN](/wiki/ISBN "ISBN") [9788479601867](/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788479601867 "Especial:FuentesDeLibros/9788479601867"). Consultado el 12 de enero de 2022.

## Enlaces externos

\[ [editar](/w/index.php?title=Apotema&action=edit&section=17 "Editar sección: Enlaces externos")\]

- Ed Pegg, Jr. [«Sagitta, Apothem, and Chord»](http://demonstrations.wolfram.com/SagittaApothemAndChord/). _[The Wolfram Demonstrations Project](/wiki/Wolfram_Demonstrations_Project "Wolfram Demonstrations Project")_(en inglés). [Wolfram Research](/wiki/Wolfram_Research "Wolfram Research").
- [Diccionario Matemático](http://www.allmathwords.org/es/a/apothem.html)
- [6.- Figuras circulares:](https://web.archive.org/web/20100901005738/http://www.telefonica.net/web2/marodgar/trigonometriaotrostriangulos.htm)
- [Apotema](https://www.youtube.com/watch?v=dL8NXY1AvuU)

[Control de autoridades](/wiki/Control_de_autoridades "Control de autoridades")

- **Proyectos Wikimedia**
- [![Wd](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png)](/wiki/Wikidata "Wikidata") Datos:[Q508490](https://www.wikidata.org/wiki/Q508490 "wikidata:Q508490")
- [![Commonscat](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png)](/wiki/Wikimedia_Commons "Commonscat") Multimedia:[Apothems of polygons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Apothems_of_polygons) / [Q508490](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q508490%22)

* * *

- [![Wd](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png)](/wiki/Wikidata "Wikidata") Datos:[Q508490](https://www.wikidata.org/wiki/Q508490 "wikidata:Q508490")
- [![Commonscat](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png)](/wiki/Wikimedia_Commons "Commonscat") Multimedia:[Apothems of polygons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Apothems_of_polygons) / [Q508490](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q508490%22)

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- [Polígonos](/wiki/Categor%C3%ADa:Pol%C3%ADgonos "Categoría:Polígonos")

Categorías ocultas:

- [Wikipedia:Artículos que necesitan referencias](/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_que_necesitan_referencias "Categoría:Wikipedia:Artículos que necesitan referencias")
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