Quantenmechanik - Physikalische Grundlagen einfach erklärt!
Quantenmechanik einfach erklärt ✓ Viele Physikalische Grundlagen-Themen ✓ Üben für Quantenmechanik mit Videos, interaktiven Übungen & Lösungen.
Differenzialgleichung
Auch wenn die Diskussion um die korrekte Interpretation der Quantenmechanik immer noch nicht abgeschlossen ist, gibt die sog. Kopenhagener Deutung ein gutes Arbeitsverständnis für alle, die nicht in erster Linie an naturphilosophischem Hochleistungssport interessiert sind: Quantenteilchen wie -felder werden durch eine Wellenfunktion beschrieben, aus denen sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Quantenobjekts berechnen lässt. Wie diese Wellenfunktion im konkreten Einzelfall aussieht, beschreibt eine <anchor>Differenzialgleichung</anchor>, die man Schrödinger-Gleichung nennt. Eine wichtige Rolle spielt dabei der Messprozess: Bis eine Größe gemessen wird, lässt sich für ihren Wert nur eine Wahrscheinlichkeit angeben – im Moment der Messung dagegen „kollabiert“ die Wahrscheinlichkeitswelle und die Größe hat den gemessenen Wert.
Differenzialgleichung - Differenzialrechnung einfach erklärt
Differenzialgleichung - Differenzialrechnung einfach erklärt![Direkt zum Inhalt](#main-content)

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Julia

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Lukas

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Joana

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#### Klasse 5

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- [Summary schreiben](/englisch/summary-schreiben "Summary schreiben")
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Ryan

Dein Tutor in Englisch
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### Die wichtigsten Themen je Klassenstufe

#### Lernjahr 1

- [Verneinung mit ne...pas und ne...plus](/franzoesisch/verneinung-mit-ne-pas-und-ne-plus "Verneinung mit ne ... pas und ne ... plus")
- [Fragen mit est-ce que](/franzoesisch/fragen-mit-est-ce-que "Fragen mit est-ce que")
- [Bestimmter und unbestimmter Artikel](/franzoesisch/bestimmter-und-unbestimmter-artikel "Der unbestimmte Artikel")

#### Lernjahr 2

- [Imparfait oder passé composé](/franzoesisch/imparfait-oder-passe-compose "Imparfait oder passé composé")
- [Passé composé lernen](/franzoesisch/passe-compose-lernen "Passé composé lernen")
- [Pour mit Infinitiv](/franzoesisch/pour-mit-infinitiv "Pour mit Infinitiv")

#### Lernjahr 3

- [Inversionsfrage](/franzoesisch/inversionsfrage "Inversionsfrage")
- [Futur simple lernen](/franzoesisch/futur-simple-lernen "Futur simple lernen")
- [Reflexive Verben im passé composé](/franzoesisch/reflexive-verben-im-passe-compose "Reflexive Verben im passé composé")

#### Lernjahr 4

- [Passiv bilden](/franzoesisch/passiv-bilden "Passiv bilden")
- [Plus-que-parfait lernen](https://learnattack.de/franzoesisch/plus-que-parfait-lernen)
- [Conditionnel lernen](/franzoesisch/conditionnel-present-und-passe "Conditionnel présent und passé")

### Fragen und Antworten

- [Wann benutzt man welche Zeit im Französischen?](/franzoesisch/zeiten)
- [Welche W-Fragen gibt es?](/franzoesisch/fragen)
- [Was sind regelmäßige Adjektive?](/franzoesisch/adjektive)

Simjon

Dein Tutor in Französisch
![Tutor Simjon](data:image/png;base64,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)

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- [Aufgaben und Übungen](/geschichte/aufgaben)
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- [Schülerlexikon](/schuelerlexikon/geschichte)

### Die wichtigsten Themen je Klassenstufe

#### Klasse 5

- [Die Entwicklung der Stadtstaaten Athen und Sparta](/geschichte/die-entwicklung-der-stadtstaaten-athen-und-sparta "Die Entwicklung der Stadtstaaten Athen und Sparta")
- [Die Gründung Roms](/geschichte/die-gruendung-roms "Die Gründung Roms")
- [Altsteinzeit, Jungsteinzeit, Metallzeit](/geschichte/altsteinzeit-jungsteinzeit-metallzeit "Altsteinzeit, Jungsteinzeit, Metallzeit ")

#### Klasse 6

- [Die Herrschaft der Kaiser und Könige](/geschichte/die-herrschaft-der-kaiser-und-koenige "Nach dem Römischen Reich: wie ging es weiter? ")
- [Die Stände im Mittelalter](/geschichte/die-staende-im-mittelalter "Die Stände im Mittelalter")
- [Herrschaft und Religion in Ägypten](/geschichte/herrschaft-und-religion-in-aegypten "Herrschaft und Religion in Ägypten")

#### Klasse 7

- [Frankreich im Absolutismus](/geschichte/frankreich-im-absolutismus "Frankreich im Absolutismus")
- [Frankreich in der Krise](/geschichte/frankreich-in-der-krise "Frankreich in der Krise")
- [Reformation und Bauernkriege](/geschichte/reformation-und-bauernkriege "Reformation und Bauernkriege")

#### Klasse 8

- [Vom Ende des Ersten Weltkrieges zur Gründung der Republik](/geschichte/vom-ende-des-ersten-weltkrieges-zur-gruendung-der-republik "Vom Ende des Ersten Weltkrieges zur Gründung der Republik")
- [Gründung des deutschen Kaiserreichs](/geschichte/gruendung-des-deutschen-kaiserreichs "Gründung des Deutschen Reichs 1871")
- [Wiener Kongress und Deutscher Bund](/geschichte/wiener-kongress-und-deutscher-bund "Wiener Kongress und Deutscher Bund")

### Fragen und Antworten

- [Warum begann die Industrialisierung in England?](/geschichte/die-industrialisierung-in-england)
- [Wie kam es zum Dreißigjährigen Krieg?](/geschichte/der-dreissigjaehrige-krieg)
- [Wer hat Amerika entdeckt?](/geschichte/die-entdeckung-amerikas)

Noemi

Dein Tutor in Geschichte
![Tutorin Noemi](data:image/png;base64,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)

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### Die wichtigsten Themen je Klassenstufe

#### Lernjahr 1

- [Maskulinum, Femininum, Neutrum](/latein/maskulinum-femininum-neutrum "Maskulinum, Femininum, Neutrum")
- [Verben einer Konjugationsklasse zuordnen](/latein/verben-einer-konjugationsklasse-zuordnen "Verben einer Konjugationsklasse zuordnen")
- [Adjektive der o- und a-Deklination](/latein/adjektive-der-o-und-a-deklination "Adjektive der o- und a-Deklination")

#### Lernjahr 2

- [Partizip Präsens Aktiv (PPA)](/latein/partizip-praesens-aktiv-ppa "Partizip Präsens Aktiv (PPA)")
- [Substantive der e- und u-Deklination](/latein/substantive-der-e-und-u-deklination "Substantive der e- und u-Deklination")
- [Adjektive der konsonantischen Deklination](/latein/adjektive-der-konsonantischen-deklination "Adjektive der konsonantischen Deklination")

#### Lernjahr 3

- [Gerundium und Gerundivum](/latein/gerundium-und-gerundivum "Gerundium und Gerundivum")
- [Deponentien](/latein/deponentien "Deponentien")
- [Adjektive und Adverbien steigern](/latein/adjektive-und-adverbien-steigern "Adjektive und Adverbien steigern")

#### Lernjahr 4

- [Ablativus Absolutus (Abl. Abs.)](/latein/ablativus-absolutus-abl-abs "Ablativus absolutus (Abl. abs.)")
- [Befehle](/latein/befehle "Befehle")
- [Hauptsätze im Konjunktiv](/latein/hauptsaetze-im-konjunktiv "Hauptsätze im Konjunktiv")

### Fragen und Antworten

- [Was ist ein AcI?](/latein/satzwertige-konstruktionen)
- [Welche Deklinationen gibt es?](/latein/deklination)
- [Wie übersetze ich einen Text?](/latein/saetze-uebersetzen)

Ulrike

Dein Tutor in Latein
![Tutor Ulrike](data:image/png;base64,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)

### Was interessiert dich?

- [Aufgaben und Übungen](/mathematik/aufgaben)
- [Lernvideos](/mathematik/lernvideos)
- [Klassenarbeiten / Lösungen](/mathematik/klassenarbeiten)
- [Schülerlexikon](/schuelerlexikon/mathematik)

### Die wichtigsten Themen je Klassenstufe

#### Klasse 5

- [Symmetrie](/mathematik/symmetrie "Symmetrie")
- [Flächen und Flächeneinheiten](/mathematik/flaechen-und-flaecheneinheiten "Flächen und Flächeneinheiten")
- [Primfaktorzerlegung](/mathematik/primfaktorzerlegung "Primfaktorzerlegung")

#### Klasse 6

- [Brüche multiplizieren und dividieren](/mathematik/brueche-multiplizieren-und-dividieren "Brüche multiplizieren und dividieren")
- [Brüche addieren und subtrahieren](/mathematik/brueche-addieren-und-subtrahieren "Brüche addieren und subtrahieren")
- [Bruchteile](/mathematik/bruchteile "Bruchteile")

#### Klasse 7

- [Ausklammern (faktorisieren)](/mathematik/ausklammern-faktorisieren "Ausklammern (faktorisieren)")
- [Gleichungen aufstellen und lösen](/mathematik/gleichungen-aufstellen-und-loesen "Gleichungen aufstellen und lösen")
- [Rechnen mit Prozenten](/mathematik/mit-prozenten-rechnen "Mit Prozenten rechnen")

#### Klasse 8

- [Proportionale und antiproportionale Zuordnungen](/mathematik/proportionale-und-antiproportionale-zuordnungen "Proportionale und antiproportionale Zuordnungen")
- [Rechenregeln](/mathematik/rechengesetze-mit-rationalen-zahlen "Rechengesetze mit rationalen Zahlen")
- [Parabeln](/mathematik/parabeln "Parabeln")

### Fragen und Antworten

- [Was sind die Grundlagen der Analysis?](/mathematik/analysis)
- [Was ist Kombinatorik?](/mathematik/kombinatorik)
- [Welche Gleichungen gibt es?](/mathematik/gleichungen)

Monica

Dein Tutor in Mathematik
![Tutor Monica](data:image/png;base64,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)

### Was interessiert dich?

- [Aufgaben und Übungen](/physik/aufgaben)
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- [Klassenarbeiten / Lösungen](/physik/klassenarbeiten)
- [Schülerlexikon](/schuelerlexikon/physik)

### Die wichtigsten Themen je Klassenstufe

#### Klasse 5

- [Lichtstrahlen](/physik/lichtstrahlen " Lichtstrahlen")
- [Magnete](/physik/magnete "Magnete")
- [Schallausbreitung](/physik/schallausbreitung "Schallausbreitung")

#### Klasse 6

- [Musik in der Physik](/physik/musik-in-der-physik "Musik in der Physik")
- [Spektrum des Lichts](/physik/spektrum-des-lichts "Spektrum des Lichts")
- [Zusammenhang Farbe und Wellenlänge](/physik/zusammenhang-farbe-und-wellenlaenge "Zusammenhang Farbe und Wellenlänge")

#### Klasse 7

- [Schaltkreise](/physik/schaltkreise "Schaltkreise")
- [Lichtbrechung](/physik/lichtbrechung "Lichtbrechung")
- [Bewegungsenergie](/physik/bewegungsenergie "Bewegungsenergie")

#### Klasse 8

- [Ohmscher Widerstand](/physik/ohmscher-widerstand "Ohmscher Widerstand")
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### Fragen und Antworten

- [Was sind Stromkreise?](/physik/stromkreise)
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Tobi

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Mathematik
5\. Klasse
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Abitur


# Differenzialgleichung

Eine **Differenzialgleichung** ist eine Gleichung, in der sowohl eine [**Funktion**](/schuelerlexikon/mathematik/funktionen "Funktionen") als auch ihre [**Ableitung(en)**](/schuelerlexikon/mathematik/ableitung "Ableitung") vorkommen. Sie stellt also nicht eine Anforderung an eine bestimmte Zahl dar, welche die Lösung einer „normalen“ Gleichung ist, sondern an eine _Funktion_, für die eine bestimmte Beziehung zwischen ihr und ihrer Ableitung gelten soll. Deshalb sind die Lösungen von Differenzialgleichung immer Funktionen.

Der allgemeine Fall einer Differenzialgleichung ist normalerweise kein Schulstoff (und wirklich kompliziert!). Es gibt aber, vor allem in der Physik, einfache Beispiele, an denen man zumindest sehen kann, worum es eigentlich geht:

- **Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung beim freien Fall:**

Beim freien Fall ist die Beschleunigung konstant gleich der Erdbeschleunigung _g_ = 9,81 m/s2, deshalb nimmt die Momentangeschwindigkeit nach unten, \\(v(t)\\), linear mit der Zeit _t_ zu:

\\(v(t) = g \\cdot t \\)

Weiterhin ist die Momentangeschwindigkeit die zeitliche Ableitung des zurückgelegten Wegs _s_( _t_), für den man die Differenzialgleichung

\\(\\dfrac {\\text d s(t)}{\\text d t} = v(t) = g \\cdot t\\)

Dies kann man formal umstellen und dann [**integrieren**](/schuelerlexikon/mathematik/unbestimmtes-integral "Unbestimmtes Integral"):

\\(\\dfrac {\\text d s}{\\text d t} = g \\cdot t \ \ \\Rightarrow \ \ \\text d s = g \\cdot t\\, {\\text d t}\\)

\\(\\displaystyle s(t) = \\int \\text d s = g\\, \\int t\\,{\\text d t} = \\frac g 2\\cdot t^2 +s\_0\\)

Eine Weg-Funktion, deren zeitliche Ableitung proportional zur verstrichenen Zeit ist, muss also (bis auf eine etwaige Integrationskonstante, die für die Startposition steht) proportional zum Quadrat der Zeit sein.

- **Radioaktiver Zerfall:**

Beim radioaktiven Zerfall ist der Zahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome, also die zeitliche Abnahme der Zahl der „heilen“ Atome, proportional zur momentanen Anzahl an heilen Atomen:

\\(\\dfrac {\\text d N(t)}{\\text d t} = -c \\cdot N(t)\\)

Es gibt nur eine Funktion, die gleich bzw. proportional zu ihrer eigenen Ableitung ist, nämlich die **e-Funktion** ( [**Exponentialfunktion**](/schuelerlexikon/mathematik/exponentialfunktionen "Exponentialfunktionen") zur Basis e), also hängt die Zahl der noch vorhandenen heilen Atomen wie

\\(N(t) = N\_0 \\cdot \\text e^{-c \\, \\cdot \\,t}\\)

von der Zeit _t_ ab.

* * *

#### Schlagworte

- #Differenzialrechnung
- #Funktionen

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#### Lernjahr 3

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#### Lernjahr 4

- [Passiv bilden](/franzoesisch/passiv-bilden "Passiv bilden")
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- [Conditionnel lernen](/franzoesisch/conditionnel-present-und-passe "Conditionnel présent und passé")

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- [Welche W-Fragen gibt es?](/franzoesisch/fragen)
- [Was sind regelmäßige Adjektive?](/franzoesisch/adjektive)

  - Geschichte



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### Die wichtigsten Themen je Klassenstufe

#### Klasse 5

- [Die Entwicklung der Stadtstaaten Athen und Sparta](/geschichte/die-entwicklung-der-stadtstaaten-athen-und-sparta "Die Entwicklung der Stadtstaaten Athen und Sparta")
- [Die Gründung Roms](/geschichte/die-gruendung-roms "Die Gründung Roms")
- [Altsteinzeit, Jungsteinzeit, Metallzeit](/geschichte/altsteinzeit-jungsteinzeit-metallzeit "Altsteinzeit, Jungsteinzeit, Metallzeit ")

#### Klasse 6

- [Die Herrschaft der Kaiser und Könige](/geschichte/die-herrschaft-der-kaiser-und-koenige "Nach dem Römischen Reich: wie ging es weiter? ")
- [Die Stände im Mittelalter](/geschichte/die-staende-im-mittelalter "Die Stände im Mittelalter")
- [Herrschaft und Religion in Ägypten](/geschichte/herrschaft-und-religion-in-aegypten "Herrschaft und Religion in Ägypten")

#### Klasse 7

- [Frankreich im Absolutismus](/geschichte/frankreich-im-absolutismus "Frankreich im Absolutismus")
- [Frankreich in der Krise](/geschichte/frankreich-in-der-krise "Frankreich in der Krise")
- [Reformation und Bauernkriege](/geschichte/reformation-und-bauernkriege "Reformation und Bauernkriege")

#### Klasse 8

- [Vom Ende des Ersten Weltkrieges zur Gründung der Republik](/geschichte/vom-ende-des-ersten-weltkrieges-zur-gruendung-der-republik "Vom Ende des Ersten Weltkrieges zur Gründung der Republik")
- [Gründung des deutschen Kaiserreichs](/geschichte/gruendung-des-deutschen-kaiserreichs "Gründung des Deutschen Reichs 1871")
- [Wiener Kongress und Deutscher Bund](/geschichte/wiener-kongress-und-deutscher-bund "Wiener Kongress und Deutscher Bund")

### Fragen und Antworten

- [Warum begann die Industrialisierung in England?](/geschichte/die-industrialisierung-in-england)
- [Wie kam es zum Dreißigjährigen Krieg?](/geschichte/der-dreissigjaehrige-krieg)
- [Wer hat Amerika entdeckt?](/geschichte/die-entdeckung-amerikas)

  - Latein



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### Die wichtigsten Themen je Klassenstufe

#### Lernjahr 1

- [Maskulinum, Femininum, Neutrum](/latein/maskulinum-femininum-neutrum "Maskulinum, Femininum, Neutrum")
- [Verben einer Konjugationsklasse zuordnen](/latein/verben-einer-konjugationsklasse-zuordnen "Verben einer Konjugationsklasse zuordnen")
- [Adjektive der o- und a-Deklination](/latein/adjektive-der-o-und-a-deklination "Adjektive der o- und a-Deklination")

#### Lernjahr 2

- [Partizip Präsens Aktiv (PPA)](/latein/partizip-praesens-aktiv-ppa "Partizip Präsens Aktiv (PPA)")
- [Substantive der e- und u-Deklination](/latein/substantive-der-e-und-u-deklination "Substantive der e- und u-Deklination")
- [Adjektive der konsonantischen Deklination](/latein/adjektive-der-konsonantischen-deklination "Adjektive der konsonantischen Deklination")

#### Lernjahr 3

- [Gerundium und Gerundivum](/latein/gerundium-und-gerundivum "Gerundium und Gerundivum")
- [Deponentien](/latein/deponentien "Deponentien")
- [Adjektive und Adverbien steigern](/latein/adjektive-und-adverbien-steigern "Adjektive und Adverbien steigern")

#### Lernjahr 4

- [Ablativus Absolutus (Abl. Abs.)](/latein/ablativus-absolutus-abl-abs "Ablativus absolutus (Abl. abs.)")
- [Befehle](/latein/befehle "Befehle")
- [Hauptsätze im Konjunktiv](/latein/hauptsaetze-im-konjunktiv "Hauptsätze im Konjunktiv")

### Fragen und Antworten

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- [Welche Deklinationen gibt es?](/latein/deklination)
- [Wie übersetze ich einen Text?](/latein/saetze-uebersetzen)

  - Mathematik



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### Die wichtigsten Themen je Klassenstufe

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#### Klasse 6

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