Differentialgleichung - Wikipedia
Eine Differentialgleichung (auch Differenzialgleichung, oft durch DGL, DG, DGl. oder Dgl. abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte ...
partielle Ableitungen
Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab und treten in der Gleichung <anchor>partielle Ableitungen</anchor> nach mehr als einer Variable auf, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung. Partielle Differentialgleichungen sind ein großes Feld und die Theorie ist mathematisch nicht abgeschlossen, sondern Gegenstand der aktuellen Forschung in mehreren Gebieten.
Partielle Ableitung – Wikipedia
Partielle Ableitung – Wikipedia

# Partielle Ableitung

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In der [Differentialrechnung](/wiki/Differentialrechnung "Differentialrechnung") ist eine **partielle Ableitung** die Ableitung einer [Funktion](/wiki/Funktion_(Mathematik) "Funktion (Mathematik)") mit mehreren Argumenten nach _einem_ dieser Argumente (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten.

## Inhaltsverzeichnis

- [1Definition](#Definition)
  - [1.1Erster Ordnung](#Erster_Ordnung)
  - [1.2Höhere Ordnung](#Höhere_Ordnung)
  - [1.3Verallgemeinerung auf vektorwertige Funktionen](#Verallgemeinerung_auf_vektorwertige_Funktionen)
  - [1.4Verallgemeinerung auf Matrixfunktion](#Verallgemeinerung_auf_Matrixfunktion)
- [2Geometrische Deutung](#Geometrische_Deutung)
- [3Sätze und Eigenschaften](#Sätze_und_Eigenschaften)
  - [3.1Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit](#Zusammenhang_Ableitung,_partielle_Ableitung,_Stetigkeit)
  - [3.2Satz von Schwarz](#Satz_von_Schwarz)
- [4Verwendung](#Verwendung)
- [5Beispiele](#Beispiele)
  - [5.1Beispiel 1](#Beispiel_1)
  - [5.2Beispiel 2](#Beispiel_2)
  - [5.3Beispiel 3](#Beispiel_3)
  - [5.4Partielle und totale Ableitung nach der Zeit](#Partielle_und_totale_Ableitung_nach_der_Zeit)
- [6Verallgemeinerung: Richtungsableitung](#Verallgemeinerung:_Richtungsableitung)
- [7Literatur](#Literatur)
- [8Einzelnachweise](#Einzelnachweise)

## Definition

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=1 "Abschnitt bearbeiten: Definition") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=1 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition")\]

### Erster Ordnung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=2 "Abschnitt bearbeiten: Erster Ordnung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=2 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Erster Ordnung")\]

Sei U{\\displaystyle U}![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) eine [offene Teilmenge](/wiki/Offene_Menge "Offene Menge") des [euklidischen Raums](/wiki/Euklidischer_Raum "Euklidischer Raum")Rn{\\displaystyle \\mathbb {R} ^{n}}![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d) und f:U→R{\\displaystyle f\\colon U\\rightarrow \\mathbb {R} }![{\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700a78d9ef320ebe1ae78d6ebf163eb4d470e764) eine Funktion. Sei weiterhin ein Element a=(a1,…,an){\\displaystyle a=(a\_{1},\\dotsc ,a\_{n})}![{\displaystyle a=(a_{1},\dotsc ,a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5767a80248417fc37e45eeb9a08045f7e89b3f4f) in U{\\displaystyle U}![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) gegeben. Falls für die natürliche Zahl i{\\displaystyle i}![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20) mit 1≤i≤n{\\displaystyle 1\\leq i\\leq n}![{\displaystyle 1\leq i\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbe58b9b83f8b6ec0da570e2249323a8930ef1e) der Grenzwert

∂f∂xi(a):=limh→0f(a1,…,ai+h,…,an)−f(a1,…,ai,…,an)h=limh→0f(a+hei)−f(a)h{\\displaystyle {\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}(a):=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {f(a\_{1},\\dotsc ,a\_{i}+h,\\dotsc ,a\_{n})-f(a\_{1},\\dotsc ,a\_{i},\\dotsc ,a\_{n})}{h}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {f(a+he\_{i})-f(a)}{h}}}![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a):=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\dotsc ,a_{i}+h,\dotsc ,a_{n})-f(a_{1},\dotsc ,a_{i},\dotsc ,a_{n})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+he_{i})-f(a)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87cdb115b2af6e57a52d3831f5cf2c75a2794b7a)

existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) nach der i{\\displaystyle i}![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)-ten Variablen xi{\\displaystyle x\_{i}}![{\displaystyle x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158) im Punkt a{\\displaystyle a}![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc). Die Funktion f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) heißt dann im Punkt a{\\displaystyle a}![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc) partiell differenzierbar. Hierbei wurde [{ej,j=1,…,n}{\\displaystyle \\{e\_{j},\\,j=1,\\dots ,n\\}}![{\displaystyle \{e_{j},\,j=1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7e4bbc9f30fd90914865dc5ee011e5b3d9adc1)](/wiki/Standardbasis "Standardbasis") als [Standardbasis](/wiki/Standardbasis "Standardbasis") des Rn{\\displaystyle \\mathbb {R} ^{n}}![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d) verwendet.

Das Symbol [∂](/wiki/%E2%88%82 "∂") (es ähnelt dem [kursiven](/wiki/Kursivschrift "Kursivschrift") Schnitt der [kyrillischen](/wiki/Kyrillisches_Alphabet "Kyrillisches Alphabet") [Minuskel](/wiki/Minuskel "Minuskel") [д](/wiki/%D0%94 "Д")) wird als d{\\displaystyle d}![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab) oder zur Unterscheidung auch _[del](/wiki/%E2%88%82 "∂")_ ausgesprochen. Die Schreibweise ∂f∂xi{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4927b6be82f34ebc65ada0bf1c57d9b42ae2519) wurde durch Verwendung von [C. G. J. Jacobi](/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi "Carl Gustav Jacob Jacobi") bekannt.[\[1\]](#cite_note-1)

Oft wird auch die Notation ∂f∂xi\|a≡∂f∂xi\|x=a≡∂f∂xi(a){\\displaystyle \\left.{\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}\\right\|\_{a}\\equiv \\left.{\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}\\right\|\_{x=a}\\equiv {\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}(a)}![{\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|_{a}\equiv \left.{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|_{x=a}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd7f6501d43d388b5328e336e0ba14b4e5c1860) verwendet, um den Auswertungspunkt a{\\displaystyle a}![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc) zu kennzeichnen.

Dem gegenüber existiert in der [Technischen Mechanik](/wiki/Technische_Mechanik "Technische Mechanik") eine andere Schreibweise, bei der die Richtung der Funktion mit einem Komma im Index angezeigt wird, um von der Richtung des Arguments der Funktion zu unterscheiden: So ist die Ableitung der Verschiebung u1{\\displaystyle u\_{1}}![{\displaystyle u_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b0c788a124a32684f109737f7cfab7611d6a58) (also die Verschiebung in x1{\\displaystyle x\_{1}}![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308)-Richtung) folgendermaßen gleich ∂u1∂x1=u1,1{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial u\_{1}}{\\partial x\_{1}}}=u\_{1,1}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}=u_{1,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e07d65b0cc39d03d76bd0455fcaa5e81c4f97a). Analog dazu wäre ∂u2∂x3=u2,3{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial u\_{2}}{\\partial x\_{3}}}=u\_{2,3}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=u_{2,3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40311d2ed1a2eb522df55f8b50a90f33c6b317de) die Ableitung in x3{\\displaystyle x\_{3}}![{\displaystyle x_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766d09a498699be10e276ad49145c921f8cbe335)-Richtung einer Verschiebung in x2{\\displaystyle x\_{2}}![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766)-Richtung.[\[2\]](#cite_note-2)

### Höhere Ordnung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=3 "Abschnitt bearbeiten: Höhere Ordnung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=3 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Höhere Ordnung")\]

Die partielle Ableitung nach xi{\\displaystyle x\_{i}}![{\displaystyle x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158) ist selbst wieder eine Funktion von U{\\displaystyle U}![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) nach R{\\displaystyle \\mathbb {R} }![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc), falls f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) in ganz U{\\displaystyle U}![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) nach xi{\\displaystyle x\_{i}}![{\displaystyle x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158) partiell differenzierbar ist. Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen ∂f∂xi{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4927b6be82f34ebc65ada0bf1c57d9b42ae2519) ist auch oft ∂xif{\\displaystyle \\textstyle \\partial \_{x\_{i}}f}![{\displaystyle \textstyle \partial _{x_{i}}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f0bfcaad8c48a4aa4284b98f6ec982f244b348), ∂if{\\displaystyle \\textstyle \\partial \_{i}f}![{\displaystyle \textstyle \partial _{i}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4097231497cbbce0291a68c14e4ac89c9cf78f2e), fxi{\\displaystyle \\textstyle f\_{x\_{i}}}![{\displaystyle \textstyle f_{x_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653e6ea439d8cbd38dd0a2af1d2e83314c97ed51) oder Dif{\\displaystyle D\_{i}f}![{\displaystyle D_{i}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6595a62c7d45801da5db9fac4c9588afee8051fe) zu finden.

Ist die Funktion f:U→R{\\displaystyle f\\colon U\\to \\mathbb {R} }![{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71097bf5f00c4116453f42be6ed7f74e74b3be8) in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen

∂f∂xi:a↦∂f∂xi(a){\\displaystyle {\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}\\colon a\\mapsto {\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}(a)}![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\colon a\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f2b3cf5316039cb7381e9336538f11fcc9c7a4)

wieder Funktionen von U{\\displaystyle U}![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) nach R{\\displaystyle \\mathbb {R} }![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc), die ihrerseits auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen

∂2f∂xj∂xi=∂∂xj(∂f∂xi){\\displaystyle {\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{j}\\partial x\_{i}}}={\\frac {\\partial }{\\partial x\_{j}}}\\left({\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}\\right)}![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8aa8858fd2077077d3b4cc3247fe18254dc9a7)   und   ∂2f∂xi2=∂∂xi(∂f∂xi){\\displaystyle \\displaystyle {\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{i}^{2}}}={\\frac {\\partial }{\\partial x\_{i}}}\\left({\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}\\right)}![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae6ceff536031f86a1fadf8918c2cdef9aff6ba).

### Verallgemeinerung auf vektorwertige Funktionen

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=4 "Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerung auf vektorwertige Funktionen") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=4 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerung auf vektorwertige Funktionen")\]

Sei U⊂Rn{\\displaystyle U\\subset \\mathbb {R} ^{n}}![{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1caefb347c86337ea7cd0c354acd2294bd7d81d) offen und (X,\|\|⋅\|\|){\\displaystyle (X,\|\|\\cdot \|\|)}![{\displaystyle (X,||\cdot ||)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079d56f1ff87017a164788bd873989f84940f926) ein [normierter Raum](/wiki/Normierter_Raum "Normierter Raum") und f:U→X{\\displaystyle f\\colon U\\rightarrow X}![{\displaystyle f\colon U\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3568779ec4de95368a6a33f7ad21418ca9ce320) eine Funktion. Die partielle Ableitung von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) nach der i{\\displaystyle i}![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)-ten Variable xi{\\displaystyle x\_{i}}![{\displaystyle x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158) in a∈U{\\displaystyle a\\in U}![{\displaystyle a\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1991ea9cb2ab076462a5538242321f0d0ee991) ist dann (wie für X=R{\\displaystyle X=\\mathbb {R} }![{\displaystyle X=\mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2e2b6427cd2b517be352b378a1830c1540e3a9)) definiert als

∂f∂xi(a):=limh→0f(a+hei)−f(a)h,{\\displaystyle {\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{i}}}(a):=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {f(a+he\_{i})-f(a)}{h}},}![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a):=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+he_{i})-f(a)}{h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ecefb00ac2c8f2502284225dbfd1826765597a8)

falls dieser Grenzwert, der bzgl. der Norm \|\|⋅\|\|{\\displaystyle \|\|\\cdot \|\|}![{\displaystyle ||\cdot ||}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a8825e088ae7b4fff88ab0c551f54fa13b93d1) auf X{\\displaystyle X}![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) aufgefasst werden muss, existiert.

Ist dim⁡(X)<∞{\\displaystyle \\dim(X)<\\infty }![{\displaystyle \dim(X)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fdb29c5a18fcf45c50fe4c0ac85ae4d8273484) so ist die Wahl der Norm beliebig, da in endlich-dimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind. Vor allem die Fälle X=Kn{\\displaystyle X=\\mathbb {K} ^{n}}![{\displaystyle X=\mathbb {K} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde7a370c8c54c501c4c85e5c090b412c2c9d509) und X=Km×n{\\displaystyle X=\\mathbb {K} ^{m\\times n}}![{\displaystyle X=\mathbb {K} ^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32b055a54ddc23840f29186a08483d541156cd9) (versehen mit einer beliebigen Norm) sind von besonderem Interesse. Hierbei wurde die übliche Notation K=R{\\displaystyle \\mathbb {K} =\\mathbb {R} }![{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa0cac96c9853f0cba61605679cf8963983b5d9) oder K=C{\\displaystyle \\mathbb {K} =\\mathbb {C} }![{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1a8ee77fce00b8ddbd288a297dccae8eab7f8f) verwendet.

Auch höhere Ableitungen lassen sich komplett analog auf X{\\displaystyle X}![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) verallgemeinern.

### Verallgemeinerung auf Matrixfunktion

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=5 "Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerung auf Matrixfunktion") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=5 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerung auf Matrixfunktion")\]

Sei U⊂Rm×n{\\displaystyle U\\subset \\mathbb {R} ^{m\\times n}}![{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fc25f0fa88446ea8849c53c7e44d3dc3f63f01) offen und (X,\|\|⋅\|\|){\\displaystyle (X,\|\|\\cdot \|\|)}![{\displaystyle (X,||\cdot ||)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079d56f1ff87017a164788bd873989f84940f926) ein normierter Raum und f:U→X{\\displaystyle f\\colon U\\rightarrow X}![{\displaystyle f\colon U\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3568779ec4de95368a6a33f7ad21418ca9ce320) eine Funktion. Sei weiterhin ein Element A=(aij)∈U{\\displaystyle A=(a\_{ij})\\in U}![{\displaystyle A=(a_{ij})\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ae4093f7f7b4ac3771ac43617681d178cc8d0b) gegeben. Seien i,j∈N{\\displaystyle i,j\\in \\mathbb {N} }![{\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bce188cec0088adf12527c02b5f36d13dbe5502) mit 1≤i≤m{\\displaystyle 1\\leq i\\leq m}![{\displaystyle 1\leq i\leq m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7492673ec3919cb5774b3ba4bb81a7c2365c88) und 1≤j≤n{\\displaystyle 1\\leq j\\leq n}![{\displaystyle 1\leq j\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829066d1e818107baff629179da368c45fcb8883) dann nennt man den Grenzwert

∂f∂aij(A):=limh→0f(A+heiejT)−f(A)h=∂f(A+heiejT)∂h\|h=0{\\displaystyle {\\frac {\\partial f}{\\partial a\_{ij}}}(A):=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {f(A+he\_{i}e\_{j}^{T})-f(A)}{h}}=\\left.{\\frac {\\partial f(A+he\_{i}e\_{j}^{T})}{\\partial h}}\\right\|\_{h=0}}![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a_{ij}}}(A):=\lim _{h\to 0}{\frac {f(A+he_{i}e_{j}^{T})-f(A)}{h}}=\left.{\frac {\partial f(A+he_{i}e_{j}^{T})}{\partial h}}\right|_{h=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e79647b2feb31d779610cfe2e6d7dc7722abc9)

die partielle Ableitung von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) nach aij{\\displaystyle a\_{ij}}![{\displaystyle a_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917) im Punkt A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3), falls dieser in (X,\|\|⋅\|\|){\\displaystyle (X,\|\|\\cdot \|\|)}![{\displaystyle (X,||\cdot ||)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079d56f1ff87017a164788bd873989f84940f926) existiert. f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) heißt in diesem Fall partiell differenzierbar an der Stelle A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3). Hierbei werden die Basisvektoren ei∈Rm,ej∈Rn{\\displaystyle e\_{i}\\in \\mathbb {R} ^{m},e\_{j}\\in \\mathbb {R} ^{n}}![{\displaystyle e_{i}\in \mathbb {R} ^{m},e_{j}\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad583f763097e8ab6f1791c5c561935c0bdca9c) als Spaltenvektoren aufgefasst und entsprechend sind alle Koeffizienten der Matrix Hij:=eiejT∈Rm×n{\\displaystyle H\_{ij}:=e\_{i}e\_{j}^{T}\\in \\mathbb {R} ^{m\\times n}}![{\displaystyle H_{ij}:=e_{i}e_{j}^{T}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afac4cdaca563838e4712a1e41172fc8a20ca37f) gleich 0{\\displaystyle 0}![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) außer dem Koeffizient (Hij)ij=1{\\displaystyle \\left(H\_{ij}\\right)\_{ij}=1}![{\displaystyle \left(H_{ij}\right)_{ij}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6007b7a06ceed57cfb27342749c56c462d28372).

Identifiziert man die offenen Menge U⊂Rm×n{\\displaystyle U\\subset \\mathbb {R} ^{m\\times n}}![{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fc25f0fa88446ea8849c53c7e44d3dc3f63f01) mit einer offenen Menge U~⊂Rm⋅n{\\displaystyle {\\tilde {U}}\\subset \\mathbb {R} ^{m\\cdot n}}![{\displaystyle {\tilde {U}}\subset \mathbb {R} ^{m\cdot n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeeebc640edce73a16b1b26e58e62eb1256e46a1) und f:U→X{\\displaystyle f\\colon U\\rightarrow X}![{\displaystyle f\colon U\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3568779ec4de95368a6a33f7ad21418ca9ce320) durch eine Funktion f~:U~→X{\\displaystyle {\\tilde {f}}\\colon {\\tilde {U}}\\rightarrow X}![{\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\tilde {U}}\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/030ea1139d4262fc2556e8129e93f734e81d896b), so lassen sich alle Regeln für partielle Ableitungen von f~{\\displaystyle {\\tilde {f}}}![{\displaystyle {\tilde {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cb99679a4b79cb5ca3c242811bd91220c91f2e) auf f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) übertragen. So lassen sich auch hier beispielsweise höhere partielle Ableitungen bilden und es gelten die unten stehenden Sätze und Eigenschaften.

## Geometrische Deutung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=6 "Abschnitt bearbeiten: Geometrische Deutung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=6 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Geometrische Deutung")\]

In einem [dreidimensionalen](/wiki/Dreidimensional "Dreidimensional") [Koordinatensystem](/wiki/Koordinatensystem "Koordinatensystem") wird der [Funktionsgraph](/wiki/Funktionsgraph "Funktionsgraph") einer Funktion f:U→R{\\displaystyle f\\colon U\\rightarrow \\mathbb {R} }![{\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700a78d9ef320ebe1ae78d6ebf163eb4d470e764) betrachtet. Der [Definitionsbereich](/wiki/Definitionsbereich "Definitionsbereich")U{\\displaystyle U}![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) sei eine offene Teilmenge der [xy-Ebene](/wiki/Xy-Ebene "Xy-Ebene"). Ist f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine [Fläche](/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik) "Fläche (Mathematik)") über dem Definitionsbereich U{\\displaystyle U}![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025).

Für einen festen Wert von x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) ist dann f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) eine Funktion in y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d). Bei festem x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) ergeben die Punkte {(x,y)∈U:y∈R}{\\displaystyle \\{(x,y)\\in U:y\\in \\mathbb {R} \\}}![{\displaystyle \{(x,y)\in U:y\in \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd82d5eb41abff9997ec6d0f4a0dcc1fb7cc0517) eine [Strecke](/wiki/Strecke_(Geometrie) "Strecke (Geometrie)") parallel zur y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)-Achse. Diese Strecke wird von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) auf eine gekrümmte Linie auf dem Graphen von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) projiziert. Die partielle Ableitung von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) nach y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt (x,y,f(x,y)){\\displaystyle (x,y,f(x,y))}![{\displaystyle (x,y,f(x,y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e51139e10ed2cc56b90c242d444dccfc3f2f0f3).

## Sätze und Eigenschaften

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=7 "Abschnitt bearbeiten: Sätze und Eigenschaften") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=7 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Sätze und Eigenschaften")\]

### Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=8 "Abschnitt bearbeiten: Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=8 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit")\]

- [Total differenzierbare](/wiki/Totale_Differenzierbarkeit "Totale Differenzierbarkeit") Funktionen sind stetig.
- Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar.
- Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar.
- Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar.

### Satz von Schwarz

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=9 "Abschnitt bearbeiten: Satz von Schwarz") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=9 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Satz von Schwarz")\]

- Es gilt der [Satz von Schwarz](/wiki/Satz_von_Schwarz "Satz von Schwarz"): Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen:
∂2f∂xj∂xi=∂2f∂xi∂xj.{\\displaystyle {\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{j}\\partial x\_{i}}}={\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{i}\\partial x\_{j}}}\\,.}![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920cb9389514ac7f498b24e580a4ff54a2ea33bc)

## Verwendung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=10 "Abschnitt bearbeiten: Verwendung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=10 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verwendung")\]

- Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor anordnen, dem [Gradienten](/wiki/Gradient_(Mathematik) "Gradient (Mathematik)") von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61):

gradf=∇f:=(∂f∂x1,…,∂f∂xn)T{\\displaystyle {\\text{grad}}\\,f=\\nabla f:=\\left({\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{1}}},\\ldots ,{\\frac {\\partial f}{\\partial x\_{n}}}\\right)^{T}}![{\displaystyle {\text{grad}}\,f=\nabla f:=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8e983984665902e4ca1e2542d9f298aef28bb1)Hierbei ist ∇{\\displaystyle \\nabla }![{\displaystyle \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2) der [Nabla-Operator](/wiki/Nabla-Operator "Nabla-Operator").

- Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix anordnen, der [Hesse-Matrix](/wiki/Hesse-Matrix "Hesse-Matrix")Hf=(∂2f∂xi∂xj)=(∂2f∂x1∂x1…∂2f∂x1∂xn⋮⋱⋮∂2f∂xn∂x1…∂2f∂xn∂xn){\\displaystyle \\operatorname {H} \_{f}=\\left({\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{i}\\partial x\_{j}}}\\right)={\\begin{pmatrix}{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{1}\\partial x\_{1}}}&\\dots &{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{1}\\partial x\_{n}}}\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{n}\\partial x\_{1}}}&\\dots &{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x\_{n}\\partial x\_{n}}}\\end{pmatrix}}}![{\displaystyle \operatorname {H} _{f}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510fac702975065da964740d370889b94ba7eb13)
- Es gilt die [Taylorformel](/wiki/Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen "Taylor-Formel"): Wenn die Funktion f:U→R{\\displaystyle f\\colon U\\to \\mathbb {R} }![{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71097bf5f00c4116453f42be6ed7f74e74b3be8)k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)-mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes a=(a1,…,an)∈U{\\displaystyle a=(a\_{1},\\dots ,a\_{n})\\in U}![{\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f061d58e1e14decdd2958a2b0b7e90b61b995fe0) durch ihre Taylor-Polynome approximieren:

f(a+h)=∑s=0k∑j1+⋯+jn=s1j1!⋯jn!∂sf∂x1j1⋯∂xnjn(a)h1j1⋯hnjn+r(a,h){\\displaystyle f(a+h)=\\sum \_{s=0}^{k}\\,\\sum \_{j\_{1}+\\dots +j\_{n}=s}{\\frac {1}{j\_{1}!\\cdots j\_{n}!}}\\,{\\frac {\\partial ^{s}f}{\\partial x\_{1}^{j\_{1}}\\cdots \\partial x\_{n}^{j\_{n}}}}(a)\\,h\_{1}^{j\_{1}}\\cdots h\_{n}^{j\_{n}}+r(a,h)}![{\displaystyle f(a+h)=\sum _{s=0}^{k}\,\sum _{j_{1}+\dots +j_{n}=s}{\frac {1}{j_{1}!\cdots j_{n}!}}\,{\frac {\partial ^{s}f}{\partial x_{1}^{j_{1}}\cdots \partial x_{n}^{j_{n}}}}(a)\,h_{1}^{j_{1}}\cdots h_{n}^{j_{n}}+r(a,h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87dc5919097259a2183164599f32e4f2fef6179)mit h=(h1,…,hn){\\displaystyle h=(h\_{1},\\dots ,h\_{n})}![{\displaystyle h=(h_{1},\dots ,h_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3dacc44393677bb3d4be858d1da139b458f076), wobei das _Restglied_r(a,h){\\displaystyle r(a,h)}![{\displaystyle r(a,h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b00aa3decdada19a1481bf635653a774142c16) für \|h\|→0{\\displaystyle \|h\|\\to 0}![{\displaystyle |h|\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2eaf3ad4dfe76e00d40d729295551ec8f881f00) von höherer als k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)-ter Ordnung verschwindet, das heißt:
lim\|h\|→0\|r(a,h)\|\|h\|k=0.{\\displaystyle \\lim \_{\|h\|\\to 0}{\\frac {\|r(a,h)\|}{\|h\|^{k}}}=0.}![{\displaystyle \lim _{|h|\to 0}{\frac {|r(a,h)|}{|h|^{k}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9141fb36b1e51cc63e9bcddbb370809988e68a)Die Terme zu gegebenem k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) ergeben die „Taylorapproximation k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)-ter Ordnung“.

- Einfache Extremwertprobleme findet man in der [Analysis](/wiki/Analysis "Analysis") bei der Berechnung von [Maxima](/wiki/Extremwert "Extremwert") und [Minima](/wiki/Extremwert "Extremwert") einer Funktion einer [reellen](/wiki/Reelle_Zahl "Reelle Zahl") [Variablen](/wiki/Variable_(Logik) "Variable (Logik)") (vgl. hierzu den Artikel über [Differentialrechnung](/wiki/Differentialrechnung "Differentialrechnung")). Die Verallgemeinerung des [Differentialquotienten](/wiki/Differentialrechnung#Definition "Differentialrechnung") auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderlichen, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt.

- In der [Differentialgeometrie](/wiki/Differentialgeometrie "Differentialgeometrie") benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines [totalen Differentials](/wiki/Totales_Differential "Totales Differential"). Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der [Thermodynamik](/wiki/Thermodynamik "Thermodynamik").

- Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der [Vektoranalysis](/wiki/Vektoranalysis "Vektoranalysis"). Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des [Laplace-Operators](/wiki/Laplace-Operator "Laplace-Operator"), der [Divergenz](/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes "Divergenz eines Vektorfeldes") und der [Rotation](/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes "Rotation eines Vektorfeldes") in [Skalar-](/wiki/Skalarfeld "Skalarfeld") und [Vektorfeldern](/wiki/Vektorfeld "Vektorfeld"). Sie treten auch in der [Jacobi-Matrix](/wiki/Jacobi-Matrix "Jacobi-Matrix") auf.

## Beispiele

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=11 "Abschnitt bearbeiten: Beispiele") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=11 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele")\]

### Beispiel 1

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=12 "Abschnitt bearbeiten: Beispiel 1") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=12 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiel 1")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Graph_Paraboloid.gif/220px-Graph_Paraboloid.gif)](/wiki/Datei:Graph_Paraboloid.gif) Der Graph von f(x,y):=x2+y2−2{\\displaystyle f(x,y):=x^{2}+y^{2}-2}![{\displaystyle f(x,y):=x^{2}+y^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73adef5bf2ef1db5bf2267075ffea331b80822a1) ist ein [Paraboloid](/wiki/Paraboloid "Paraboloid") (Animation: GIF-Export [Geogebra](/wiki/Geogebra "Geogebra"))

Als Beispiel wird die Funktion f:R2→R{\\displaystyle f\\colon \\mathbb {R} ^{2}\\rightarrow \\mathbb {R} }![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b961d13254f42bc1abfd57c1ccb57f3066461ff) mit f(x,y):=x2+y2−2{\\displaystyle f(x,y):=x^{2}+y^{2}-2}![{\displaystyle f(x,y):=x^{2}+y^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73adef5bf2ef1db5bf2267075ffea331b80822a1) betrachtet, die von den beiden Variablen x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) und y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) abhängt.

Betrachtet man y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) als eine Konstante, z. B. y=3{\\displaystyle y=3}![{\displaystyle y=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6284ea4bb2d82b7a988082dd286adbb9dd095356), so hängt die Funktion g:R→R{\\displaystyle g\\colon \\mathbb {R} \\rightarrow \\mathbb {R} }![{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae6a1665073bd67dd6b4ef31d23fedad6c62c21) mit g(x)=f(x,3){\\displaystyle g(x)=f(x,3)}![{\displaystyle g(x)=f(x,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7096239301b204db20f1e157c97bc06f52b864a9) nur noch von der Variablen x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) ab:

f(x,3)=x2+7{\\displaystyle f(x,3)=x^{2}+7}![{\displaystyle f(x,3)=x^{2}+7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f02911e4f5ccae575f44d71c3ba7e20bffa85c7)

Für die neue Funktion gilt folglich g(x)=x2+7{\\displaystyle g(x)=x^{2}+7}![{\displaystyle g(x)=x^{2}+7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acac8553c1a8678a1fe5adbb386217d74815b3b) und man kann den Differenzialquotienten bilden

dg(x)dx=limh→0g(x+h)−g(x)h=g′(x)=2x{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} g(x)}{\\mathrm {d} x}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)=2x}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7881dace7b36cdebd36938e8292126257e1b8f5)

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) nach x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) bildet:

∂f(x,y)∂x=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h=limh→0(x+h)2+y2−2−x2−y2+2h=2x{\\displaystyle {\\frac {\\partial f(x,y)}{\\partial x}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {(x+h)^{2}+y^{2}-2-x^{2}-y^{2}+2}{h}}=2x}![{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}+y^{2}-2-x^{2}-y^{2}+2}{h}}=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db07baec3f43f7986d0086fdc7ebfc02a62251de)

Die partielle Ableitung von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) nach y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) lautet entsprechend:

∂f(x,y)∂y=limh→0f(x,y+h)−f(x,y)h=limh→0x2+(y+h)2−2−x2−y2+2h=2y{\\displaystyle {\\frac {\\partial f(x,y)}{\\partial y}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {x^{2}+(y+h)^{2}-2-x^{2}-y^{2}+2}{h}}=2y}![{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+(y+h)^{2}-2-x^{2}-y^{2}+2}{h}}=2y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6b99725cf8951477b4983e0aa742bae2504574)

Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt:

Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen.

### Beispiel 2

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=13 "Abschnitt bearbeiten: Beispiel 2") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=13 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiel 2")\]

Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle [Ableitungsregeln](/wiki/Ableitungsregel "Ableitungsregel") wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise

f(x,y)=x2sin⁡(xy){\\displaystyle f(x,y)=x^{2}\\sin(xy)}![{\displaystyle f(x,y)=x^{2}\sin(xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687b7db8847d27a97ebd66c814ddf11e5639eebe),

so folgt mit [Produkt-](/wiki/Produktregel "Produktregel") und [Kettenregel](/wiki/Kettenregel "Kettenregel"):

∂f(x,y)∂x=2xsin⁡(xy)+x2ycos⁡(xy){\\displaystyle {\\frac {\\partial f(x,y)}{\\partial x}}=2x\\sin(xy)+x^{2}y\\cos(xy)}![{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=2x\sin(xy)+x^{2}y\cos(xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0016f677c88bbb742e830f796ff21215c3b2dca6)   und∂f(x,y)∂y=x3cos⁡(xy){\\displaystyle {\\frac {\\partial f(x,y)}{\\partial y}}=x^{3}\\cos(xy)}![{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=x^{3}\cos(xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab82af884de716270c75ef4cfb21b9ca2e0f29b).

### Beispiel 3

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=14 "Abschnitt bearbeiten: Beispiel 3") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=14 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiel 3")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Sin_x_plus_cos_y_plot.gif/220px-Sin_x_plus_cos_y_plot.gif)](/wiki/Datei:Sin_x_plus_cos_y_plot.gif) Funktionsplot mit [Geogebra](/wiki/Geogebra "Geogebra")f(x,y):=cos⁡(x)+sin⁡(y){\\displaystyle f(x,y):=\\cos(x)+\\sin(y)}![{\displaystyle f(x,y):=\cos(x)+\sin(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ddb2396b99b398ddf2035ae3220dc99beeb428)

In der obigen Animation sieht man den Graphen der Funktion f(x,y)=cos⁡(x)+sin⁡(y){\\displaystyle f(x,y)=\\cos(x)+\\sin(y)}![{\displaystyle f(x,y)=\cos(x)+\sin(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2cbd64745964a1e8544605ffeaf232464d7f7c). Legt man einen Punkt (xo,yo)∈R2{\\displaystyle (x\_{o},y\_{o})\\in \\mathbb {R} ^{2}}![{\displaystyle (x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48949ea25267cdcce42f635f2e0bdcbc357b661) aus dem Definitionsbereich fest, so kann man den [Graphen](/wiki/Funktionsgraph "Funktionsgraph") der Funktion mit einer senkrechten Ebene in x-Richtung schneiden. Der Schnitt des Graphen mit der Ebene erzeugt einen klassischen Graphen aus der eindimensionalen Analysis. Partielle Ableitungen können so auch anschaulich auf die klassische eindimensionale Analysis zurückgeführt werden.

f(x,y)=cos⁡(x)+sin⁡(y){\\displaystyle f(x,y)=\\cos(x)+\\sin(y)}![{\displaystyle f(x,y)=\cos(x)+\sin(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2cbd64745964a1e8544605ffeaf232464d7f7c),∂f(x,y)∂x=−sin⁡(x){\\displaystyle {\\frac {\\partial f(x,y)}{\\partial x}}=-\\sin(x)}![{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68f9839759b0dc8e7d3d7ccc88c0aae5825c819)   und∂f(x,y)∂y=cos⁡(y){\\displaystyle {\\frac {\\partial f(x,y)}{\\partial y}}=\\cos(y)}![{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=\cos(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2e97834115174e253e14bbee942f14442b46fd).

### Partielle und totale Ableitung nach der Zeit

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=15 "Abschnitt bearbeiten: Partielle und totale Ableitung nach der Zeit") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=15 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Partielle und totale Ableitung nach der Zeit")\]

In der [Physik](/wiki/Physik "Physik") (vor allem in der [theoretischen Mechanik](/wiki/Theoretische_Mechanik "Theoretische Mechanik")) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) von den Ortskoordinaten x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4), y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d), z{\\displaystyle z}![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98) und von der Zeit t{\\displaystyle t}![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560) ab. Man kann also die partiellen Ableitungen ∂f∂x{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial f}{\\partial x}}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a60f0800dc5aab2ff5ad6df64b59974984a02f9), ∂f∂y{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial f}{\\partial y}}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a853eba9bcf174d9a0236743cbde8bfb2fdfee1b), ∂f∂z{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial f}{\\partial z}}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5da62c2bc5d74834941c48eeec3c589529b8e96) und ∂f∂t{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial f}{\\partial t}}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0081d2cb67b6b2524c39b2f3ae452eab34491da5) bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen x(t){\\displaystyle x(t)}![{\displaystyle x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c), y(t){\\displaystyle y(t)}![{\displaystyle y(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50) und z(t){\\displaystyle z(t)}![{\displaystyle z(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f9d8936c28d327f65c390886501cde7ff012a4) gegeben.
Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion

t↦f(x(t),y(t),z(t),t){\\displaystyle t\\mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)}![{\displaystyle t\mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0454c1d2ab2033b5469c55a6eac5acd5b155fecf)

beschrieben.
Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit t{\\displaystyle t}![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560), ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden.
Diese nennt man die _totale_ oder _vollständige Ableitung_ von f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) nach der Zeit t{\\displaystyle t}![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560) und schreibt dafür auch kurz dfdt{\\displaystyle {\\tfrac {\\mathrm {d} f}{\\mathrm {d} t}}}![{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874587545979d390df96ad5282bccc134b3da26b). Sie berechnet sich nach der [mehrdimensionalen Kettenregel](/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel "Mehrdimensionale Kettenregel") wie folgt:

dfdt=ddtf(x(t),y(t),z(t),t)=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt+∂f∂zdzdt+∂f∂t{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} f}{\\mathrm {d} t}}={\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}f(x(t),y(t),z(t),t)={\\frac {\\partial f}{\\partial x}}{\\frac {\\mathrm {d} x}{\\mathrm {d} t}}+{\\frac {\\partial f}{\\partial y}}{\\frac {\\mathrm {d} y}{\\mathrm {d} t}}+{\\frac {\\partial f}{\\partial z}}{\\frac {\\mathrm {d} z}{\\mathrm {d} t}}+{\\frac {\\partial f}{\\partial t}}}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(x(t),y(t),z(t),t)={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0721433f65c9dc0773b51dd9695ae1dafddcabe9)

Während bei der partiellen Ableitung ∂f∂t{\\displaystyle {\\tfrac {\\partial f}{\\partial t}}}![{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0081d2cb67b6b2524c39b2f3ae452eab34491da5) nach der Zeit nur die _explizite_ Abhängigkeit der Funktion f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) von t{\\displaystyle t}![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560) berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung dfdt{\\displaystyle {\\tfrac {\\mathrm {d} f}{\\mathrm {d} t}}}![{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874587545979d390df96ad5282bccc134b3da26b) auch die indirekte (oder _implizite_) Abhängigkeit von t{\\displaystyle t}![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560), die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen.

(Indem man also die _implizite_ Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von _„substantieller“_ Zeitableitung, bzw. im Jargon der [Strömungsmechanik](/wiki/Str%C3%B6mungsmechanik "Strömungsmechanik") von der _Euler-Ableitung_ im Gegensatz zur _Lagrange-Ableitung_.)

→ Für eine ausführlichere Darstellung siehe [totales Differential](/wiki/Totales_Differential#Einfacher_Fall "Totales Differential")

## Verallgemeinerung: Richtungsableitung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=16 "Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerung: Richtungsableitung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=16 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerung: Richtungsableitung")\]

Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die [Richtungsableitung](/wiki/Richtungsableitung "Richtungsableitung") dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen.

## Literatur

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=17 "Abschnitt bearbeiten: Literatur") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=17 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur")\]

- Kurt Endl; Wolfgang Luh: _Analysis II_, Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974
- Hans Grauert; Wolfgang Fischer: _Differential- und Integralrechnung II_, 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978

## Einzelnachweise

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&veaction=edit&section=18 "Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&action=edit&section=18 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise")\]

1. [↑](#cite_ref-1)Heuser verweist auf _J. f. reine u. angew. Math._, Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: _Lehrbuch der Analysis. Teil 2._ Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [\[1\]](https://jeff560.tripod.com/calculus.html).
2. [↑](#cite_ref-2)Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko: Ebene Flächentragwerke. Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Springer, Berlin Heidelberg 2016, [ISBN 978-3-662-47230-9](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662472309), S.25ff., [doi](/wiki/Digital_Object_Identifier "Digital Object Identifier"):[10.1007/978-3-662-47230-9](https://doi.org/10.1007/978-3-662-47230-9).

Abgerufen von „ [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Partielle\_Ableitung&oldid=248088405](https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Partielle_Ableitung&oldid=248088405)“

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