Spiegelteleskop - Wikipedia
Spiegelteleskope werden in der beobachtenden Astronomie eingesetzt – sowohl visuell als auch fotografisch oder für die Spektroskopie. Sie eignen sich neben ...
Parallelogramm
Der Serruier-Tubus besteht aus zwei Teilen, die vor und hinter der als Deklination-Pivot bezeichneten Neigungsachse angeordnet sind. Seitlich betrachtet bilden beide Teile jeweils ein <anchor>Parallelogramm</anchor>, bestehend aus Pivot-Rahmen, oberen und unteren Gitterrohren und Frontrahmen bzw. Primärspiegelhalterung. Mittels seitlicher Streben wird die Steifigkeit des vorderen und hinteren Teils so eingestellt, dass sie bei jeder Neigung unter dem Einfluss der Gewichtskraft gleich weit nachgeben und die optischen Komponenten auf einer gemeinsamen optischen Achse verbleiben und nur diese parallel verschoben wird.
Parallelogramm – Wikipedia
Parallelogramm – Wikipedia

# Parallelogramm

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[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/01-Parallelogramm.svg/350px-01-Parallelogramm.svg.png)](/wiki/Datei:01-Parallelogramm.svg)

Ein **Parallelogramm** (von [altgriechisch](/wiki/Altgriechische_Sprache "Altgriechische Sprache")παραλληλό-γραμμοςparalleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder **Rhomboid** (rautenähnlich) ist ein [konvexes](/wiki/Konvexe_Menge "Konvexe Menge") ebenes [Viereck](/wiki/Viereck "Viereck"), bei dem gegenüberliegende Seiten [parallel](/wiki/Parallel_(Geometrie) "Parallel (Geometrie)") sind.

Parallelogramme sind spezielle [Trapeze](/wiki/Trapez_(Geometrie) "Trapez (Geometrie)") und zweidimensionale [Parallelepipede](/wiki/Parallelepiped "Parallelepiped"). [Rechteck](/wiki/Rechteck "Rechteck"), [Raute](/wiki/Raute "Raute") (Rhombus) und [Quadrat](/wiki/Quadrat "Quadrat") sind Spezialfälle des Parallelogramms.

## Inhaltsverzeichnis

- [1Eigenschaften](#Eigenschaften)
- [2Formeln](#Formeln)
- [3Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm](#Beweis_der_Flächenformel_für_ein_Parallelogramm)
- [4Parallelogrammgitter](#Parallelogrammgitter)
- [5Konstruktion eines Parallelogramms](#Konstruktion_eines_Parallelogramms)
- [6Verallgemeinerungen](#Verallgemeinerungen)
- [7Satz von Varignon](#Satz_von_Varignon)
- [8Parallelogramme mit Quadraten](#Parallelogramme_mit_Quadraten)
- [9Verwendung in der Technik](#Verwendung_in_der_Technik)
- [10Siehe auch](#Siehe_auch)
- [11Literatur](#Literatur)
- [12Weblinks](#Weblinks)
- [13Einzelnachweise](#Einzelnachweise)

## Eigenschaften

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=1 "Abschnitt bearbeiten: Eigenschaften") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=1 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Eigenschaften")\]

Ein [Viereck](/wiki/Viereck "Viereck") ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes [Antiparallelogramm](/wiki/Antiparallelogramm "Antiparallelogramm")).
- Zwei gegenüberliegende Seiten sind [parallel](/wiki/Parallel_(Geometrie) "Parallel (Geometrie)") und gleich lang.
- Gegenüber liegende [Winkel](/wiki/Winkel "Winkel") sind gleich groß.
- Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
- Die [Diagonalen](/wiki/Diagonale_(Geometrie) "Diagonale (Geometrie)") halbieren einander.
- Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen ( [Parallelogrammgleichung](/wiki/Parallelogrammgleichung "Parallelogrammgleichung")).
- Es ist [punktsymmetrisch](/wiki/Punktsymmetrie "Punktsymmetrie") (zweizählig [drehsymmetrisch](/wiki/Drehsymmetrie "Drehsymmetrie")).

Für jedes Parallelogramm gilt:

- Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig [kongruente](/wiki/Kongruenz_(Geometrie) "Kongruenz (Geometrie)") [Dreiecke](/wiki/Dreieck "Dreieck").
- Sein [Symmetriezentrum](/wiki/Symmetriezentrum "Symmetriezentrum") ist der [Schnittpunkt](/wiki/Schnittpunkt "Schnittpunkt") der Diagonalen.
- Die Mittelpunkte der über seinen Seiten errichteten Quadrate bilden ein Quadrat ( [Satz von Thébault-Yaglom](/wiki/Satz_von_Th%C3%A9bault-Yaglom "Satz von Thébault-Yaglom")).

Alle Parallelogramme, die mindestens eine [Symmetrieachse](/wiki/Symmetrieachse "Symmetrieachse") besitzen, sind [Rechtecke](/wiki/Rechteck "Rechteck") oder [Rauten](/wiki/Raute "Raute").

## Formeln

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=2 "Abschnitt bearbeiten: Formeln") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=2 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formeln")\]

Mathematische Formeln zum Parallelogramm
**[Flächeninhalt](/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt "Flächeninhalt")**A=a⋅ha=b⋅hb=\|\|AB→×AD→\|\|{\\displaystyle A=a\\cdot h\_{a}=b\\cdot h\_{b}=\\left\|\\left\|{\\overrightarrow {AB}}\\times {\\overrightarrow {AD}}\\right\|\\right\|}![{\displaystyle A=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\left|\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}\right|\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49ab85e0a5acaec7ea4fef65097c23cf9c28ae8)

A=a⋅b⋅sin⁡(α)=a⋅b⋅sin⁡(β)=e⋅f⋅sin⁡(θ)2{\\displaystyle A=a\\cdot b\\cdot \\sin(\\alpha )=a\\cdot b\\cdot \\sin(\\beta )={\\frac {e\\cdot f\\cdot \\sin(\\theta )}{2}}}![{\displaystyle A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot b\cdot \sin(\beta )={\frac {e\cdot f\cdot \sin(\theta )}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec93a675967d22b0dff4156ba1e5ba87abca128)

Über [Transformation](/wiki/Koordinatentransformation "Koordinatentransformation") in ein [Rechteck](/wiki/Rechteck "Rechteck") mit der [Determinante](/wiki/Determinante "Determinante"):

A=det(axbxayby)=ax⋅by−bx⋅ay{\\displaystyle A=\\det {\\begin{pmatrix}a\_{x}&&b\_{x}\\\a\_{y}&&b\_{y}\\end{pmatrix}}=a\_{x}\\cdot b\_{y}-b\_{x}\\cdot a\_{y}}![{\displaystyle A=\det {\begin{pmatrix}a_{x}&&b_{x}\\a_{y}&&b_{y}\end{pmatrix}}=a_{x}\cdot b_{y}-b_{x}\cdot a_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189ff967fea163b3bf77255ceab33b7d66ecdfee)

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Parallelogram_measures.svg/330px-Parallelogram_measures.svg.png)](/wiki/Datei:Parallelogram_measures.svg)[**Umfang**](/wiki/Umfang_(Geometrie) "Umfang (Geometrie)")U=2⋅a+2⋅b=2⋅(a+b){\\displaystyle U=2\\cdot a+2\\cdot b=2\\cdot (a+b)}![{\displaystyle U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1248b66cb7c1e5c25b9bba49db87e6f1241ea73e)**[Innenwinkel](/wiki/Innenwinkel "Innenwinkel")**α=γ,β=δ,α+β=180∘{\\displaystyle \\alpha =\\gamma ,\\quad \\beta =\\delta ,\\quad \\alpha +\\beta =180^{\\circ }}![{\displaystyle \alpha =\gamma ,\quad \beta =\delta ,\quad \alpha +\beta =180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e00344b75e16cd2fd768b1c494c1a257dd1a4d)[**Höhe**](/wiki/H%C3%B6he_(Geometrie) "Höhe (Geometrie)")ha=b⋅sin⁡(α){\\displaystyle h\_{a}=b\\cdot \\sin(\\alpha )}![{\displaystyle h_{a}=b\cdot \sin(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9348cc46922c272fe81fba561177dbd629a09fe4)hb=a⋅sin⁡(β){\\displaystyle h\_{b}=a\\cdot \\sin(\\beta )}![{\displaystyle h_{b}=a\cdot \sin(\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b623acba398b108b653949d84a2733d1bbb042b7)Länge der [**Diagonalen**](/wiki/Diagonale_(Geometrie) "Diagonale (Geometrie)")

(siehe [Kosinussatz](/wiki/Kosinussatz "Kosinussatz"))

e=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos⁡(β)=a2+b2+2⋅a⋅b⋅cos⁡(α){\\displaystyle {\\begin{array}{ccl}e&={\\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\\cdot a\\cdot b\\cdot \\cos(\\beta )}}\\\&={\\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\\cdot a\\cdot b\\cdot \\cos(\\alpha )}}\\end{array}}}![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}e&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab71edffb5fd84955af7edc256f32a9662908a21)f=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos⁡(α)=a2+b2+2⋅a⋅b⋅cos⁡(β){\\displaystyle {\\begin{array}{ccl}f&={\\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\\cdot a\\cdot b\\cdot \\cos(\\alpha )}}\\\&={\\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\\cdot a\\cdot b\\cdot \\cos(\\beta )}}\\end{array}}}![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}f&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018e170026ea2d2a1af1ca424c0dc2d84f398ef6)**[Parallelogrammgleichung](/wiki/Parallelogrammgleichung "Parallelogrammgleichung")**e2+f2=2⋅(a2+b2){\\displaystyle e^{2}+f^{2}=2\\cdot (a^{2}+b^{2})}![{\displaystyle e^{2}+f^{2}=2\cdot (a^{2}+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a38fe49d1dc271c4262a0bffa1ae9d3a7626aa8)

## Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=3 "Abschnitt bearbeiten: Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=3 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Parallelogram_area_animated.gif/260px-Parallelogram_area_animated.gif)](/wiki/Datei:Parallelogram_area_animated.gif) Animation zur Berechnung des [Flächeninhalts](/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt "Flächeninhalt") eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der [Länge](/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik) "Länge (Mathematik)") einer Grundseite b{\\displaystyle b}![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3) mit der zugehörigen [Höhe](/wiki/H%C3%B6he_(Geometrie) "Höhe (Geometrie)")h{\\displaystyle h}![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a).

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Parallelogrammflaeche.svg/220px-Parallelogrammflaeche.svg.png)](/wiki/Datei:Parallelogrammflaeche.svg) Vom großen [Rechteck](/wiki/Rechteck "Rechteck") werden sechs Teilflächen abgezogen

Den [Flächeninhalt](/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt "Flächeninhalt")A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen [Rechtecks](/wiki/Rechteck "Rechteck") die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der [Multiplikation](/wiki/Multiplikation "Multiplikation") kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

A=(ax+bx)⋅(ay+by)−2⋅(ax⋅ay2+bx⋅ay+bx⋅by2)=ax⋅ay+ax⋅by+bx⋅ay+bx⋅by−ax⋅ay−2⋅bx⋅ay−bx⋅by=ax⋅by−bx⋅ay{\\displaystyle {\\begin{array}{cccl}A&=&&({\\color {YellowOrange}a\_{x}}+{\\color {ForestGreen}b\_{x}})\\cdot ({\\color {red}a\_{y}}+{\\color {blue}b\_{y}})\ -\ 2\\cdot ({\\frac {{\\color {YellowOrange}a\_{x}}\\cdot {\\color {red}a\_{y}}}{2}}+{\\color {ForestGreen}b\_{x}}\\cdot {\\color {red}a\_{y}}+{\\frac {{\\color {ForestGreen}b\_{x}}\\cdot {\\color {blue}b\_{y}}}{2}})\\\&=&&{\\color {YellowOrange}a\_{x}}\\cdot {\\color {red}a\_{y}}+{\\color {YellowOrange}a\_{x}}\\cdot {\\color {blue}b\_{y}}+{\\color {ForestGreen}b\_{x}}\\cdot {\\color {red}a\_{y}}+{\\color {ForestGreen}b\_{x}}\\cdot {\\color {blue}b\_{y}}\\\&&-&{\\color {YellowOrange}a\_{x}}\\cdot {\\color {red}a\_{y}}\\quad \\quad \\quad -2\\cdot {\\color {ForestGreen}b\_{x}}\\cdot {\\color {red}a\_{y}}-{\\color {ForestGreen}b\_{x}}\\cdot {\\color {blue}b\_{y}}\\\&=&&\\quad \\quad \\quad \\quad {\\color {YellowOrange}a\_{x}}\\cdot {\\color {blue}b\_{y}}-{\\color {ForestGreen}b\_{x}}\\cdot {\\color {red}a\_{y}}\\end{array}}}![{\displaystyle {\begin{array}{cccl}A&=&&({\color {YellowOrange}a_{x}}+{\color {ForestGreen}b_{x}})\cdot ({\color {red}a_{y}}+{\color {blue}b_{y}})\ -\ 2\cdot ({\frac {{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}}{2}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\frac {{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}}{2}})\\&=&&{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}\\&&-&{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}\quad \quad \quad -2\cdot {\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}-{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}\\&=&&\quad \quad \quad \quad {\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}-{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b17644e42becba8fef135a18462b457b2ba10d)

## Parallelogrammgitter

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=4 "Abschnitt bearbeiten: Parallelogrammgitter") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=4 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Parallelogrammgitter")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Oblique_Lattice.svg/220px-Oblique_Lattice.svg.png)](/wiki/Datei:Oblique_Lattice.svg) Parallelogrammgitter

Parallelogramme können ein [Gitter](/wiki/Gitter_(Geometrie) "Gitter (Geometrie)") in der [Ebene](/wiki/Ebene_(Mathematik) "Ebene (Mathematik)") bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die [Winkel](/wiki/Winkel "Winkel") [rechte Winkel](/wiki/Rechter_Winkel "Rechter Winkel") sind, ist die [Symmetrie](/wiki/Symmetrie_(Geometrie) "Symmetrie (Geometrie)") des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier [zweidimensionalen](/wiki/Zweidimensional "Zweidimensional") [Bravais-Gitter](/wiki/Bravais-Gitter "Bravais-Gitter").

[Geometrische Figur](/wiki/Geometrische_Figur "Geometrische Figur")[Quadrat](/wiki/Quadrat "Quadrat")[Rechteck](/wiki/Rechteck "Rechteck")[Raute](/wiki/Raute "Raute")Parallelogramm
[Bravais-Gitter](/wiki/Bravais-Gitter "Bravais-Gitter")quadratisches Bravais-Gitter
rechtwinkliges Bravais-Gitter
zentriert-rechtwinkliges Bravais-Gitter
schiefwinkliges Bravais-Gitter
[Kristallsystem](/wiki/Kristallsystem "Kristallsystem")[tetragonales Kristallsystem](/wiki/Tetragonales_Kristallsystem "Tetragonales Kristallsystem")[orthorhombisches Kristallsystem](/wiki/Orthorhombisches_Kristallsystem "Orthorhombisches Kristallsystem")[orthorhombisches Kristallsystem](/wiki/Orthorhombisches_Kristallsystem "Orthorhombisches Kristallsystem")[monoklines Kristallsystem](/wiki/Monoklines_Kristallsystem "Monoklines Kristallsystem")Bild
[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Lattice_of_squares.svg/160px-Lattice_of_squares.svg.png)](/wiki/Datei:Lattice_of_squares.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Lattice_of_rectangles.svg/160px-Lattice_of_rectangles.svg.png)](/wiki/Datei:Lattice_of_rectangles.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Lattice_of_rhombuses.svg/160px-Lattice_of_rhombuses.svg.png)](/wiki/Datei:Lattice_of_rhombuses.svg)[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/Lattice_of_rhomboids.svg/160px-Lattice_of_rhomboids.svg.png)](/wiki/Datei:Lattice_of_rhomboids.svg)

Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von [unendlich](/wiki/Unendlichkeit "Unendlichkeit") vielen [Punkten](/wiki/Punkt_(Geometrie) "Punkt (Geometrie)") in der [zweidimensionalen](/wiki/Zweidimensional "Zweidimensional") [euklidischen Ebene](/wiki/Euklidische_Ebene "Euklidische Ebene"). Diese Punktmenge kann formal als die [Menge](/wiki/Menge_(Mathematik) "Menge (Mathematik)")

{(t1⋅u→,t2⋅v→)∈R2∣u→,v→∈R2∧t1∈Z∧t2∈Z}{\\displaystyle \\left\\{(t\_{1}\\cdot {\\vec {u}},t\_{2}\\cdot {\\vec {v}})\\in \\mathbb {R} ^{2}\\mid {\\vec {u}},{\\vec {v}}\\in \\mathbb {R} ^{2}\ \\land \ t\_{1}\\in \\mathbb {Z} \ \\land \ t\_{2}\\in \\mathbb {Z} \\right\\}}![{\displaystyle \left\{(t_{1}\cdot {\vec {u}},t_{2}\cdot {\vec {v}})\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ t_{1}\in \mathbb {Z} \ \land \ t_{2}\in \mathbb {Z} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c73c0703859f7906ebd295f8425e204de2f5ace)

geschrieben werden, wobei die Vektoren u→{\\displaystyle {\\vec {u}}}![{\displaystyle {\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43), v→{\\displaystyle {\\vec {v}}}![{\displaystyle {\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753) die [Richtungsvektoren](/wiki/Richtungsvektor "Richtungsvektor") zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine [affine Abbildung](/wiki/Affine_Abbildung "Affine Abbildung") aus dem [Quadratgitter](/wiki/Quadratgitter "Quadratgitter").[\[1\]](#cite_note-1)

Das Parallelogrammgitter ist zweizählig [drehsymmetrisch](/wiki/Drehsymmetrie "Drehsymmetrie"), also [punktsymmetrisch](/wiki/Punktsymmetrie "Punktsymmetrie"). Außerdem ist es [translationsymmetrisch](/wiki/Translationssymmetrie "Translationssymmetrie") für alle [Vektoren](/wiki/Vektor "Vektor") im zweidimensionalen euklidischen [Vektorraum](/wiki/Vektorraum "Vektorraum").

## Konstruktion eines Parallelogramms

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=5 "Abschnitt bearbeiten: Konstruktion eines Parallelogramms") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=5 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Konstruktion eines Parallelogramms")\]

Ein Parallelogramm, bei dem die [Seitenlängen](/wiki/Seitenl%C3%A4nge "Seitenlänge")a{\\displaystyle a}![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc) und b{\\displaystyle b}![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3) sowie die [Höhe](/wiki/H%C3%B6he_(Geometrie) "Höhe (Geometrie)")ha{\\displaystyle h\_{a}}![{\displaystyle h_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00531874c3a9e751e1c78d4f84483fcec2e75eba) gegeben ist, ist mit [Zirkel und Lineal](/wiki/Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal "Konstruktion mit Zirkel und Lineal") [konstruierbar](/wiki/Konstruierbares_Polygon#Konstruierbarkeit "Konstruierbares Polygon").

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/01-Parallelogramm_Konstruktion.gif/350px-01-Parallelogramm_Konstruktion.gif)](/wiki/Datei:01-Parallelogramm_Konstruktion.gif) Parallelogramm mit den gegebenen [Seitenlängen](/wiki/Seitenl%C3%A4nge "Seitenlänge")a{\\displaystyle a}![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc) und b{\\displaystyle b}![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3) sowie der [Höhe](/wiki/H%C3%B6he_(Geometrie) "Höhe (Geometrie)")ha{\\displaystyle h\_{a}}![{\displaystyle h_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00531874c3a9e751e1c78d4f84483fcec2e75eba). Für die Konstruktion des [rechten Winkels](/wiki/Rechter_Winkel#Konstruktion_zeichnerisch "Rechter Winkel") ist der Punkt E{\\displaystyle E}![{\displaystyle E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b) frei wählbar. Animation mit einer Pause von 10 s am Ende.

## Verallgemeinerungen

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=6 "Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerungen") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=6 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerungen")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Parallelepiped-0.svg/220px-Parallelepiped-0.svg.png)](/wiki/Datei:Parallelepiped-0.svg) [Parallelepiped](/wiki/Parallelepiped "Parallelepiped")

Eine Verallgemeinerung auf n{\\displaystyle n}![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)[Dimensionen](/wiki/Dimension_(Mathematik) "Dimension (Mathematik)") ist das [Parallelotop](/wiki/Parallelotop "Parallelotop"), erklärt als die Menge {α1⋅p1+α2⋅p2+⋯+αn⋅pn∣0≤αi≤1}{\\displaystyle \\{\\alpha \_{1}\\cdot p\_{1}+\\alpha \_{2}\\cdot p\_{2}+\\dotsb +\\alpha \_{n}\\cdot p\_{n}\\mid 0\\leq \\alpha \_{i}\\leq 1\\}}![{\displaystyle \{\alpha _{1}\cdot p_{1}+\alpha _{2}\cdot p_{2}+\dotsb +\alpha _{n}\cdot p_{n}\mid 0\leq \alpha _{i}\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a036e1c0d95f8f992b366b7ad9b315697373eb5) sowie deren [Parallelverschiebungen](/wiki/Parallelverschiebung "Parallelverschiebung"). Die pi{\\displaystyle p\_{i}}![{\displaystyle p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2) sind dabei n{\\displaystyle n}![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)[linear unabhängige](/wiki/Linear_unabh%C3%A4ngig "Linear unabhängig") [Vektoren](/wiki/Vektor "Vektor"). Parallelotope sind [punktsymmetrisch](/wiki/Punktsymmetrisch "Punktsymmetrisch").

Das [dreidimensionale](/wiki/Dreidimensional "Dreidimensional") Parallelotop ist das [Parallelepiped](/wiki/Parallelepiped "Parallelepiped"). Seine [Seitenflächen](/wiki/Seitenfl%C3%A4che "Seitenfläche") sind sechs paarweise [kongruente](/wiki/Kongruenz_(Geometrie) "Kongruenz (Geometrie)") und in [parallelen](/wiki/Parallel_(Geometrie) "Parallel (Geometrie)") [Ebenen](/wiki/Ebene_(Mathematik) "Ebene (Mathematik)") liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht [Ecken](/wiki/Ecke "Ecke"), in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen [Winkeln](/wiki/Winkel "Winkel") zueinander zusammenlaufen.

## Satz von Varignon

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=7 "Abschnitt bearbeiten: Satz von Varignon") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=7 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Satz von Varignon")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Rectangle-varignon.svg/174px-Rectangle-varignon.svg.png)](/wiki/Datei:Rectangle-varignon.svg) Für jedes [Viereck](/wiki/Viereck "Viereck") ABCD ist das Mittenviereck EFGH ein Parallelogramm.

Nach dem [Satz von Varignon](/wiki/Satz_von_Varignon "Satz von Varignon") gilt: Wenn man die [Mittelpunkte](/wiki/Mittelpunkt "Mittelpunkt") benachbarter Seiten eines [Vierecks](/wiki/Viereck "Viereck") verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

_Beweis:_

Nach Definition gilt AE¯=EB¯,BF¯=FC¯,CG¯=GD¯,DH¯=HA¯{\\displaystyle {\\overline {AE}}={\\overline {EB}},{\\overline {BF}}={\\overline {FC}},{\\overline {CG}}={\\overline {GD}},{\\overline {DH}}={\\overline {HA}}}![{\displaystyle {\overline {AE}}={\overline {EB}},{\overline {BF}}={\overline {FC}},{\overline {CG}}={\overline {GD}},{\overline {DH}}={\overline {HA}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d93573e210f3ea1b7a5065127157fa3af0df0f).

Betrachte das [Dreieck](/wiki/Dreieck "Dreieck") ABC. Es ist [ähnlich](/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie) "Ähnlichkeit (Geometrie)") zum Dreieck EBF. Nimmt man den [Punkt](/wiki/Punkt_(Geometrie) "Punkt (Geometrie)") B als Zentrum einer [zentrischen Streckung](/wiki/Zentrische_Streckung "Zentrische Streckung"), werden A auf E und C auf F mit dem Faktor 12{\\displaystyle {\\tfrac {1}{2}}}![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edef8290613648790a8ac1a95c2fb7c3972aea2f) abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche [Strecke](/wiki/Strecke_(Geometrie) "Strecke (Geometrie)") [parallel](/wiki/Parallel_(Geometrie) "Parallel (Geometrie)"). Also ist AC∥EF{\\displaystyle AC\\parallel EF}![{\displaystyle AC\parallel EF}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0770de29bbb8c057d6df9eec537411f75683636f). Ebenso zeigt man, dass AC∥GH{\\displaystyle AC\\parallel GH}![{\displaystyle AC\parallel GH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901028e820485b84e13d7d17fbaa9a8f0d0c954c), BD∥FG{\\displaystyle BD\\parallel FG}![{\displaystyle BD\parallel FG}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f27ddc2a066876954ac4ad7641a56e904be0c2a), und BD∥HE{\\displaystyle BD\\parallel HE}![{\displaystyle BD\parallel HE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f807cddcabc60881ba431294f4ba99f10122aca). Die [Parallelität](/wiki/Parallelit%C3%A4t_(Geometrie) "Parallelität (Geometrie)") in der [euklidischen Ebene](/wiki/Euklidische_Ebene "Euklidische Ebene") ist eine [Äquivalenzrelation](/wiki/%C3%84quivalenzrelation "Äquivalenzrelation") und damit [transitiv](/wiki/Transitive_Relation "Transitive Relation"). Also ist EF∥GH{\\displaystyle EF\\parallel GH}![{\displaystyle EF\parallel GH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660d57fd4babcc7b79211031b1c50bd0d1bbc2a9) und FG∥HE{\\displaystyle FG\\parallel HE}![{\displaystyle FG\parallel HE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89649d18e22e650a3aa9db843296b612b5f2ca66).

Die gegenüber liegenden Seiten des [Vierecks](/wiki/Viereck "Viereck") EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Eine andere Möglichkeit ist, mit dem [Strahlensatz](/wiki/Strahlensatz "Strahlensatz") zu beweisen, dass EF=GH{\\displaystyle EF=GH}![{\displaystyle EF=GH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98352994f92ccb33b24d8d595583c6ea1e51f968) und FG=HE{\\displaystyle FG=HE}![{\displaystyle FG=HE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138406404ef75d60d27a6fd2f89e902122ad2e99) ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind.

Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der [Umfang](/wiki/Umfang_(Geometrie) "Umfang (Geometrie)") des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der [Diagonalenlängen](/wiki/Diagonale_(Geometrie) "Diagonale (Geometrie)") im Viereck ABCD. Die [Fläche](/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik) "Fläche (Mathematik)") des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.[\[2\]](#cite_note-2)

## Parallelogramme mit Quadraten

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=8 "Abschnitt bearbeiten: Parallelogramme mit Quadraten") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=8 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Parallelogramme mit Quadraten")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Quadrate_ueber_Parallelogrammseiten_Beweisfigur.svg/180px-Quadrate_ueber_Parallelogrammseiten_Beweisfigur.svg.png)](/wiki/Datei:Quadrate_ueber_Parallelogrammseiten_Beweisfigur.svg) _Figur 2_

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Quadrate_ueber_Parallelogrammseiten.svg/178px-Quadrate_ueber_Parallelogrammseiten.svg.png)](/wiki/Datei:Quadrate_ueber_Parallelogrammseiten.svg) _Figur 1_

Gegeben sei ein Parallelogramm ABCD{\\displaystyle ABCD}![{\displaystyle ABCD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412b7d8df4db6ca8093d971320c405598c49c339), über dessen Seiten Quadrate errichtet sind. Dann sind die Diagonalenschnittpunkte E{\\displaystyle E}![{\displaystyle E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b), F{\\displaystyle F}![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57), G{\\displaystyle G}![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) und H{\\displaystyle H}![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b) der Quadrate [Eckpunkte](/wiki/Eckpunkt "Eckpunkt") eines weiteren Quadrats. _(Figur 1)_

_Beweis:_

Die vier gelben Dreiecke AEH{\\displaystyle AEH}![{\displaystyle AEH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b79eef4331a483c2febac2fdd906005bc96619), EFB{\\displaystyle EFB}![{\displaystyle EFB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621a521081f934d6abb045328a334ce12c97de8e), GFC{\\displaystyle GFC}![{\displaystyle GFC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d41699a07e38594db3ecc16868b3c164522851b) und HDG{\\displaystyle HDG}![{\displaystyle HDG}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0c12b462f69ca92f3cde9e4b5c2735b88ed148) in _Figur 2_ stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen (gelben) Innenwinkel bei A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3), B{\\displaystyle B}![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a), C{\\displaystyle C}![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029) und D{\\displaystyle D}![{\displaystyle D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6) überein. Deshalb sind sie nach dem [Kongruenzsatz](/wiki/Kongruenzsatz "Kongruenzsatz") _SWS_ kongruent und damit alle Seiten des Vierecks EFGH{\\displaystyle EFGH}![{\displaystyle EFGH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb6bb9952c2c438b42bcfb4e9a79057d3cec779) gleich lang. Da die Diagonalen eines Quadrats [orthogonal](/wiki/Orthogonalit%C3%A4t "Orthogonalität") sind, ist ∠BEA{\\displaystyle \\angle BEA}![{\displaystyle \angle BEA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da30626c96644a3d942e2abed16ff271d2badd03) ein [rechter Winkel](/wiki/Rechter_Winkel "Rechter Winkel"). Da die beiden (gelben) Winkel ∠HEA{\\displaystyle \\angle HEA}![{\displaystyle \angle HEA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9360f288d18a4e49898d3602bdcaa297626f8b0f) und ∠FEB{\\displaystyle \\angle FEB}![{\displaystyle \angle FEB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e73d4b66af3b42462dfb91f9c8033f3802c13c) gleich groß sind, muss auch ∠FEH{\\displaystyle \\angle FEH}![{\displaystyle \angle FEH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef94173ab8cbdf5438fb751efbfc40615211e1ac) ein rechter Winkel sein. Somit ist das Viereck EFGH{\\displaystyle EFGH}![{\displaystyle EFGH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb6bb9952c2c438b42bcfb4e9a79057d3cec779) ein Quadrat.[\[3\]](#cite_note-Zeuge-3)

## Verwendung in der Technik

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=9 "Abschnitt bearbeiten: Verwendung in der Technik") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=9 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verwendung in der Technik")\]

Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte [Parallelogrammführung](/wiki/Parallelogrammf%C3%BChrung "Parallelogrammführung"). Beispiele:

- [![Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Kettenschaltung-einstellen-018.jpg/69px-Kettenschaltung-einstellen-018.jpg)](/wiki/Datei:Kettenschaltung-einstellen-018.jpg "Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung")

Schaltparallelogramm einer [Kettenschaltung](/wiki/Kettenschaltung "Kettenschaltung")

- [![Parallel-Scheibenwischer](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Scheibenwischer5.svg/120px-Scheibenwischer5.svg.png)](/wiki/Datei:Scheibenwischer5.svg "Parallel-Scheibenwischer")

Parallel- [Scheibenwischer](/wiki/Scheibenwischer "Scheibenwischer")

- [![Hubarbeitsbühne](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/JLG_450_AJ_2.jpg/90px-JLG_450_AJ_2.jpg)](/wiki/Datei:JLG_450_AJ_2.jpg "Hubarbeitsbühne")

[Hubarbeitsbühne](/wiki/Hubarbeitsb%C3%BChne "Hubarbeitsbühne")

- [![Pantograph](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Pantograph.jpg/78px-Pantograph.jpg)](/wiki/Datei:Pantograph.jpg "Pantograph")

[Pantograph](/wiki/Pantograph "Pantograph")


## Siehe auch

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=10 "Abschnitt bearbeiten: Siehe auch") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=10 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch")\]

- [Parallelepiped](/wiki/Parallelepiped "Parallelepiped")
- [Parallelotop](/wiki/Parallelotop "Parallelotop")
- [Antiparallelogramm](/wiki/Antiparallelogramm "Antiparallelogramm")

## Literatur

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=11 "Abschnitt bearbeiten: Literatur") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=11 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur")\]

- F. Wolff: _Lehrbuch der Geometrie._ Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 ( [Online-Kopie](https://books.google.de/books?id=51EoAAAAcAAJ)).
- P. Kall: _Lineare Algebra für Ökonomen._ Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, [ISBN 978-3-519-02356-2](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783519023562).
- Wilhelm Killing: _Lehrbuch Der Analytischen Geometrie._ Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, [ISBN 978-3-86403-540-1](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783864035401).

## Weblinks

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=12 "Abschnitt bearbeiten: Weblinks") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=12 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks")\]

![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png)

**[Commons: Parallelogramm](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Parallelograms?uselang=de)** – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png)**[Wiktionary: Parallelogramm](https://de.wiktionary.org/wiki/Parallelogramm "wikt:Parallelogramm")** – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png)**[Wiktionary: Rhomboid](https://de.wiktionary.org/wiki/Rhomboid "wikt:Rhomboid")** – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

- [Eric W. Weisstein](/wiki/Eric_Weisstein "Eric Weisstein"): [_Parallelogram_.](https://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html) In: _[MathWorld](/wiki/MathWorld "MathWorld")_ (englisch).
- [_Flächen- und Umfangsberechnung von allgemeinen und speziellen Parallelogrammen._](https://web.archive.org/web/20150111144544/http://de.bettermarks.com/mathe-portal/mathebuch/flaechen-und-umfangsberechnung-von-allgemeinen-und-speziellen-parallelogrammen.html) ( [Memento](/wiki/Web-Archivierung#Begrifflichkeiten "Web-Archivierung") vom 11. Januar 2015 im _[Internet Archive](/wiki/Internet_Archive "Internet Archive")_). Abgerufen am 18. November 2016.
- [_Einführung in das Thema Parallelogramm._](http://www.uni-regensburg.de/mathematik/didaktik-mathematik/medien/lehre-ws11-12/modschiedler/sem8_ws1112_51762_geo_referat_5.pdf) (PDF; 920 kB). Abgerufen am 18. November 2016.
- [_Parallelogramm und Raute._](https://web.archive.org/web/20161119063329/https://www.klett.de/web/uploads/assets/1f/1f19ba2c/742581_02.pdf) ( [Memento](/wiki/Web-Archivierung#Begrifflichkeiten "Web-Archivierung") vom 19. November 2016 im _[Internet Archive](/wiki/Internet_Archive "Internet Archive")_; PDF; 225 kB). Abgerufen am 18. November 2016.

## Einzelnachweise

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&veaction=edit&section=13 "Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Parallelogramm&action=edit&section=13 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise")\]

1. [↑](#cite_ref-1)Wolfram MathWorld: [Cubic Lattice](https://mathworld.wolfram.com/CubicLattice.html)
2. [↑](#cite_ref-2)Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg: [Varignon-Parallelogramm](http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/pdf/pv1.pdf)
3. [↑](#cite_ref-Zeuge_3-0)Wolfgang Zeuge: _Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie._ Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [Springer Spektrum](/wiki/Springer_Spektrum "Springer Spektrum"), Springer-Verlag GmbH, [Berlin](/wiki/Berlin "Berlin") 2021, [ISBN 978-3-662-63830-9](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662638309), S. 129/172

Abgerufen von „ [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Parallelogramm&oldid=247697323](https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Parallelogramm&oldid=247697323)“

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