Differentialgleichung - Wikipedia
Eine Differentialgleichung (auch Differenzialgleichung, oft durch DGL, DG, DGl. oder Dgl. abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte ...
Randwerte
Differentialgleichungen sind im Allgemeinen nicht eindeutig lösbar, sondern benötigen dazu Anfangs- oder <anchor>Randwerte</anchor>. Im Bereich der partiellen Differentialgleichungen können auch sogenannte Anfangsrandwertprobleme auftreten.
Randwertproblem – Wikipedia
Randwertproblem – Wikipedia

# Randwertproblem

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

[Zur Navigation springen](#mw-head) [Zur Suche springen](#searchInput)

**Randwertprobleme** (kurz: **RWP**) auch **Randwertaufgabe** (kurz: **RWA**) oder [englisch](/wiki/Englische_Sprache "Englische Sprache") **Boundary value problem** (kurz: **BVP**) nennt man in der [Mathematik](/wiki/Mathematik "Mathematik") eine wichtige Klasse von Problemstellungen, bei denen zu einer vorgegebenen [Differentialgleichung](/wiki/Differentialgleichung "Differentialgleichung") (DGL) Lösungen gesucht werden, die auf dem Rand des Definitionsbereiches vorgegebene Funktionswerte ( [Randbedingungen](/wiki/Randbedingung "Randbedingung")) annehmen sollen. Das Gegenstück dazu ist das [Anfangswertproblem](/wiki/Anfangswertproblem "Anfangswertproblem"), bei dem die Lösung für einen beliebigen Punkt im Definitionsbereich vorgegeben wird.

## Inhaltsverzeichnis

- [1Gewöhnliche Differentialgleichung](#Gewöhnliche_Differentialgleichung)
  - [1.1Dirichlet-Problem](#Dirichlet-Problem)
  - [1.2Sturm-Liouville-RWP](#Sturm-Liouville-RWP)
  - [1.3Sturm-Liouville-EWP](#Sturm-Liouville-EWP)
- [2Partielle Differentialgleichungen](#Partielle_Differentialgleichungen)
  - [2.1Dirichlet-Problem](#Dirichlet-Problem_2)
  - [2.2Neumann-Problem](#Neumann-Problem)
  - [2.3Schiefe Randbedingung](#Schiefe_Randbedingung)
- [3Hilfsmittel](#Hilfsmittel)
- [4Naturwissenschaftliche Anwendung](#Naturwissenschaftliche_Anwendung)
- [5Literatur](#Literatur)

## Gewöhnliche Differentialgleichung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=1 "Abschnitt bearbeiten: Gewöhnliche Differentialgleichung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=1 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Gewöhnliche Differentialgleichung")\]

### Dirichlet-Problem

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=2 "Abschnitt bearbeiten: Dirichlet-Problem") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=2 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Dirichlet-Problem")\]

→ _Hauptartikel: [Dirichlet-Randbedingung](/wiki/Dirichlet-Randbedingung "Dirichlet-Randbedingung")_

Es seien α{\\displaystyle \\alpha }![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) und β{\\displaystyle \\beta }![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8) reelle Zahlen. Randdaten oder Randbedingungen einer Funktion u:\[a,b\]→R{\\displaystyle u\\colon \[a,b\]\\to \\mathbb {R} }![{\displaystyle u\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af01c2735999273d51bfa0ce5d24440da724e974) der Form

u(a)=αundu(b)=β{\\displaystyle u(a)=\\alpha \\quad {\\text{und}}\\quad u(b)=\\beta }![{\displaystyle u(a)=\alpha \quad {\text{und}}\quad u(b)=\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0b09bfb6fb7e8c638e3b4b642be17a180a47b5)

heißen Randbedingungen _erster Art_ oder _Dirichletsche_ Randbedingungen. Ist α=β=0{\\displaystyle \\alpha =\\beta =0}![{\displaystyle \alpha =\beta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7434b2c28160128e0a0c5a11c97635c26423c7c2) so sprechen wir von _homogenen_ Dirichletschen Randbedingungen. Ansonsten sprechen wir von _inhomogenen_ Randbedingungen.

Gesucht ist also eine Funktion u{\\displaystyle u}![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8), welche Lösung des folgenden Problems ist:

(N){f(x,u(x),u′(x),u″(x))=0,x∈(a,b)u(a)=α,u(b)=β.{\\displaystyle (N){\\begin{cases}f(x,u(x),u'(x),u''(x))=0,\\quad x\\in (a,b)&\\\u(a)=\\alpha ,~u(b)=\\beta .&\\end{cases}}}![{\displaystyle (N){\begin{cases}f(x,u(x),u'(x),u''(x))=0,\quad x\in (a,b)&\\u(a)=\alpha ,~u(b)=\beta .&\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebe9247454ecec368b16db8c7d4e8c4fc5a30ea)

Hierbei ist f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) eine vorgeschriebene Funktion und α,β{\\displaystyle \\alpha ,\\beta }![{\displaystyle \alpha ,\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b46b57cfa0011b643037751809904d915c1b48) sind die vorgeschriebenen Randbedingungen. Hinreichende Bedingungen zur Existenz (und Eindeutigkeit) von Lösungen von (N){\\displaystyle (N)}![{\displaystyle (N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef1affa0ad7069851b8f0f7cd33359ad049813a) findet man in dem Artikel [Dirichlet-Problem](/wiki/Dirichlet-Randbedingung "Dirichlet-Randbedingung").

### Sturm-Liouville-RWP

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=3 "Abschnitt bearbeiten: Sturm-Liouville-RWP") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=3 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Sturm-Liouville-RWP")\]

→ _Hauptartikel: [Sturm-Liouville-Problem](/wiki/Sturm-Liouville-Problem "Sturm-Liouville-Problem")_

Seien r,p,q∈C(\[a,b\],R){\\displaystyle r,p,q\\in {\\mathcal {C}}(\[a,b\],\\mathbb {R} )}![{\displaystyle r,p,q\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cb301f75364055206391cd2b9183da3875638a)

Lu:=(pu′)′+qu{\\displaystyle Lu:=(pu')'+qu}![{\displaystyle Lu:=(pu')'+qu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a5f8f42ea04273978b7c7a756a2ec9fee8de3e) sei ein [selbstadjungierter](/wiki/Selbstadjungierter_Operator "Selbstadjungierter Operator") [linearer](/wiki/Lineare_Abbildung "Lineare Abbildung") [Differentialoperator](/wiki/Differentialoperator "Differentialoperator") 2\. Ordnung

Randoperatoren mit α02+α12>0,β02+β12>0{\\displaystyle {\\alpha \_{0}}^{2}+{\\alpha \_{1}}^{2}>0,~{\\beta \_{0}}^{2}+{\\beta \_{1}}^{2}>0}![{\displaystyle {\alpha _{0}}^{2}+{\alpha _{1}}^{2}>0,~{\beta _{0}}^{2}+{\beta _{1}}^{2}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2740b6910ad4df262b77d08a432676b8af8c30ca) seien

Rau:=α0u(a)+α1p(a)u′(a){\\displaystyle R\_{a}u:=\\alpha \_{0}u(a)+\\alpha \_{1}p(a)u'(a)}![{\displaystyle R_{a}u:=\alpha _{0}u(a)+\alpha _{1}p(a)u'(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5ecd5dd9f5233492f8874cc53b35abae53b451)

Rbu:=β0u(b)+β1p(b)u′(b){\\displaystyle R\_{b}u:=\\beta \_{0}u(b)+\\beta \_{1}p(b)u'(b)}![{\displaystyle R_{b}u:=\beta _{0}u(b)+\beta _{1}p(b)u'(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5dedbaf047b5570cf2de92cf7429758e03cda1)

(∗){(Lu)(x)=r(x)Ru(a)=ηa,Ru(b)=ηb{\\displaystyle (\*){\\begin{cases}(Lu)(x)=r(x)&\\\R\_{u}(a)=\\eta \_{a},~R\_{u}(b)=\\eta \_{b}&\\end{cases}}}![{\displaystyle (*){\begin{cases}(Lu)(x)=r(x)&\\R_{u}(a)=\eta _{a},~R_{u}(b)=\eta _{b}&\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c8b17f6d71e35e21ac4fa91532a5997cbd9357)

heißt Sturm-Liouville-RWP.

### Sturm-Liouville-EWP

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=4 "Abschnitt bearbeiten: Sturm-Liouville-EWP") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=4 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Sturm-Liouville-EWP")\]

Siehe auch: [Eigenwertproblem](/wiki/Eigenwertproblem "Eigenwertproblem")

(Pλ){(Lu)(x)=λu(x)Ru(a)=Ru(b)=0{\\displaystyle (P\_{\\lambda }){\\begin{cases}(Lu)(x)=\\lambda u(x)&\\\R\_{u}(a)=R\_{u}(b)=0&\\end{cases}}}![{\displaystyle (P_{\lambda }){\begin{cases}(Lu)(x)=\lambda u(x)&\\R_{u}(a)=R_{u}(b)=0&\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b497223a1a232f6024e986093e1cfe586a04da3d)

Diejenigen λ∈R{\\displaystyle \\lambda \\in \\mathbb {R} }![{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87bc1622689bc998795834cd65eecdb4955a785), für die (Pλ){\\displaystyle (P\_{\\lambda })}![{\displaystyle (P_{\lambda })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807c76606993bf3c11e09ae43c1aeb143482d803) nicht eindeutig lösbar ist, heißen [Eigenwerte](/wiki/Eigenwert "Eigenwert"). Die zugehörigen Lösungen heißen Eigenfunktionen.

## Partielle Differentialgleichungen

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=5 "Abschnitt bearbeiten: Partielle Differentialgleichungen") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=5 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Partielle Differentialgleichungen")\]

Sei Ω⊂Rd{\\displaystyle \\Omega \\subset \\mathbb {R} ^{d}}![{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c7db73e088aeed5bf0eff7d31ea5e1731bdaad) offen und beschränkt, f{\\displaystyle f}![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) sei eine auf Ω{\\displaystyle \\Omega }![{\displaystyle \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)[Lebesgue-messbare](/wiki/Lebesgue-Ma%C3%9F "Lebesgue-Maß") Funktion, g{\\displaystyle g}![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77) beschreibe die Randvorgaben. Gesucht sind jeweils Lösungen u:Ω→Rn{\\displaystyle u\\colon \\Omega \\rightarrow \\mathbb {R} ^{n}}![{\displaystyle u\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705ebebe72e33235afee62d6ef4e6f1f5f1667af). Die [partielle Differentialgleichung](/wiki/Partielle_Differentialgleichung "Partielle Differentialgleichung") sei gegeben durch den [Differentialoperator](/wiki/Differentialoperator "Differentialoperator")L:u↦L(u){\\displaystyle L\\colon u\\mapsto L(u)}![{\displaystyle L\colon u\mapsto L(u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebcb19917cb8f6af8937bb46370f19459d7e016). Insbesondere führen [elliptische Differentialoperatoren](/wiki/Elliptischer_Differentialoperator "Elliptischer Differentialoperator") immer auf Randwertprobleme, etwa der [Laplace-Operator](/wiki/Laplace-Operator "Laplace-Operator") auf die [Poisson-Gleichung](/wiki/Poisson-Gleichung "Poisson-Gleichung").

### Dirichlet-Problem

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=6 "Abschnitt bearbeiten: Dirichlet-Problem") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=6 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Dirichlet-Problem")\]

Beim [Dirichlet-Problem](/wiki/Dirichlet-Randbedingung "Dirichlet-Randbedingung") werden Funktionswerte auf dem Rand vorgegeben.

L(u)(x)=f(x){\\displaystyle L(u)(x)=f(x)}![{\displaystyle L(u)(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8e490138d034ca0f075102b2ef8c07156379fd) für x∈Ω,{\\displaystyle x\\in \\Omega ,}![{\displaystyle x\in \Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf8e047fda02f08b13cae88d820143488bdc1b0)u(x)=g(x){\\displaystyle u(x)=g(x)}![{\displaystyle u(x)=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8751121003253a91fc54585a74259fd97be33e) für x∈∂Ω.{\\displaystyle x\\in \\partial \\Omega .}![{\displaystyle x\in \partial \Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17753857a1e8c0e82461a4a8432f58c90d499c65)

### Neumann-Problem

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=7 "Abschnitt bearbeiten: Neumann-Problem") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=7 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Neumann-Problem")\]

Anstatt Funktionswerten werden beim [Neumann-Problem](/wiki/Neumann-Randbedingung "Neumann-Randbedingung") Ableitungswerte vorgeschrieben.

L(u)(x)=f(x){\\displaystyle L(u)(x)=f(x)}![{\displaystyle L(u)(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8e490138d034ca0f075102b2ef8c07156379fd) für x∈Ω,{\\displaystyle x\\in \\Omega ,}![{\displaystyle x\in \Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf8e047fda02f08b13cae88d820143488bdc1b0)∂u∂n(x)=g(x){\\displaystyle {\\frac {\\partial u}{\\partial n}}(x)=g(x)}![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}(x)=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f6c8c15fc84b03764ade257cd5a320d6399a4a) für x∈∂Ω.{\\displaystyle x\\in \\partial \\Omega .}![{\displaystyle x\in \partial \Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17753857a1e8c0e82461a4a8432f58c90d499c65)

### Schiefe Randbedingung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=8 "Abschnitt bearbeiten: Schiefe Randbedingung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=8 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schiefe Randbedingung")\]

Die [schiefe Randbedingung](/w/index.php?title=Schiefe_Randbedingung&action=edit&redlink=1 "Schiefe Randbedingung (Seite nicht vorhanden)") stellt eine Kombination der beiden vorangehenden Probleme dar. Hierbei soll die gesuchte Funktion auf dem Rand gleich ihrer Normalenableitung auf dem Rand sein.

L(u)(x)=f(x){\\displaystyle L(u)(x)=f(x)}![{\displaystyle L(u)(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8e490138d034ca0f075102b2ef8c07156379fd) für x∈Ω,{\\displaystyle x\\in \\Omega ,}![{\displaystyle x\in \Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf8e047fda02f08b13cae88d820143488bdc1b0)u(x)=∂u∂n(x){\\displaystyle u(x)={\\frac {\\partial u}{\\partial n}}(x)}![{\displaystyle u(x)={\frac {\partial u}{\partial n}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035afbd0294117858b2cbda47d5eff94a69ef301) für x∈∂Ω.{\\displaystyle x\\in \\partial \\Omega .}![{\displaystyle x\in \partial \Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17753857a1e8c0e82461a4a8432f58c90d499c65)

## Hilfsmittel

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=9 "Abschnitt bearbeiten: Hilfsmittel") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=9 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Hilfsmittel")\]

Ein wichtiges theoretisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Randwertproblemen sind die [Greenschen Funktionen](/wiki/Greensche_Funktion "Greensche Funktion").

In der [Numerik](/wiki/Numerik "Numerik") werden als Verfahren zur näherungsweisen Lösung z. B. die [FDM](/wiki/Finite-Differenzen-Methode "Finite-Differenzen-Methode") ( _finite difference method_), die [FEM](/wiki/Finite-Elemente-Methode "Finite-Elemente-Methode") ( _finite element method_), das [Schießverfahren](/wiki/Schie%C3%9Fverfahren "Schießverfahren") und die [Mehrzielmethode](/wiki/Mehrzielmethode "Mehrzielmethode") eingesetzt.

## Naturwissenschaftliche Anwendung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=10 "Abschnitt bearbeiten: Naturwissenschaftliche Anwendung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=10 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Naturwissenschaftliche Anwendung")\]

Die [Modellierung](/wiki/Modellierung "Modellierung") vieler Vorgänge in [Natur](/wiki/Natur "Natur") und [Technik](/wiki/Technik "Technik") baut auf Differentialgleichungen auf. Typische einfache Beispiele für **RWP** sind

- schwingende Saite, die an ihren beiden Enden (=Rand) fest eingespannt ist
- Angeregte [Schwingungsmembran](/wiki/Schwingungsmembran "Schwingungsmembran") (der Rand ist hier ein Kreisring) wie bei einem [Trampolin](/wiki/Trampolin "Trampolin") oder einer [Trommel](/wiki/Trommel "Trommel")
- [Bewegungsgleichungen](/wiki/Bewegungsgleichung "Bewegungsgleichung") von Satelliten bei [Keplerbahnen](/wiki/Keplerbahn "Keplerbahn"), siehe auch [Bahnbestimmung](/wiki/Bahnbestimmung "Bahnbestimmung")
- die [Kettenlinie](/wiki/Kettenlinie_(Mathematik) "Kettenlinie (Mathematik)") einer zwischen zwei Punkten durchhängenden Kette
- die Ausformung der Radien der drei sich bildenden Lamellen, wenn sich zwei zuerst eigenständige Seifenblasen vereinigen
- die Annahme einer konstanten Temperatur in der Wärmeleitung
- die Annahme einer konstanten Wärmestromdichte an der Grenze zwischen zwei Medien (z. B. perfekte Isolation).

Umgekehrt können Versuche mit materiellen Modellen – aus Federnetzwerk, [Gummituch](/wiki/Gummituch "Gummituch"), Seifenblase – der Lösung mathematisch formulierter Aufgaben oder ihrer Veranschaulichung dienen:

- [Gravitationspotential](/wiki/Gravitation "Gravitation") dargestellt durch die mittige Eindellung eines am Rand waagrecht eingespannten Gummituchs, (elliptisch) umkreisende Bewegung durch eine rollende kleine Kugel
- [Spannungsoptik](/wiki/Spannungsoptik "Spannungsoptik")

## Literatur

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit&section=11 "Abschnitt bearbeiten: Literatur") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit&section=11 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur")\]

- [Harro Heuser](/wiki/Harro_Heuser "Harro Heuser"): _Gewöhnliche Differentialgleichungen_, Teubner, März 2004, [ISBN 3-519-32227-7](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3519322277)
- [Wolfgang Walter](/wiki/Wolfgang_Walter_(Mathematiker) "Wolfgang Walter (Mathematiker)"): _Gewöhnliche Differentialgleichungen_, Springer, 2000, [ISBN 3-540-67642-2](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540676422)

Abgerufen von „ [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Randwertproblem&oldid=246172039](https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Randwertproblem&oldid=246172039)“

[Kategorie](/wiki/Wikipedia:Kategorien "Wikipedia:Kategorien"):

- [Theorie der Differentialgleichungen](/wiki/Kategorie:Theorie_der_Differentialgleichungen "Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen")

## Navigationsmenü

### Meine Werkzeuge

- Nicht angemeldet
- [Diskussionsseite](/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite "Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]")
- [Beiträge](/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge "Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]")
- [Benutzerkonto erstellen](/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Randwertproblem "Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich.")
- [Anmelden](/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Randwertproblem "Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]")

### Namensräume

- [Artikel](/wiki/Randwertproblem "Seiteninhalt anzeigen [c]")
- [Diskussion](/wiki/Diskussion:Randwertproblem "Diskussion zum Seiteninhalt [t]")

Deutsch

### Ansichten

- [Lesen](/wiki/Randwertproblem)
- [Bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&veaction=edit "Diese Seite mit dem VisualEditor bearbeiten [v]")
- [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=edit "Den Quelltext dieser Seite bearbeiten [e]")
- [Versionsgeschichte](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=history "Frühere Versionen dieser Seite [h]")

Weitere

### Suche

[Hauptseite](/wiki/Wikipedia:Hauptseite "Hauptseite")

### Navigation

- [Hauptseite](/wiki/Wikipedia:Hauptseite "Hauptseite besuchen [z]")
- [Themenportale](/wiki/Portal:Wikipedia_nach_Themen)
- [Zufälliger Artikel](/wiki/Spezial:Zuf%C3%A4llige_Seite "Zufällige Seite aufrufen [x]")

### Mitmachen

- [Artikel verbessern](/wiki/Wikipedia:Beteiligen)
- [Neuen Artikel anlegen](/wiki/Hilfe:Neuen_Artikel_anlegen)
- [Autorenportal](/wiki/Wikipedia:Autorenportal "Info-Zentrum über Beteiligungsmöglichkeiten")
- [Hilfe](/wiki/Hilfe:%C3%9Cbersicht "Übersicht über Hilfeseiten")
- [Letzte Änderungen](/wiki/Spezial:Letzte_%C3%84nderungen "Liste der letzten Änderungen in Wikipedia [r]")
- [Kontakt](/wiki/Wikipedia:Kontakt "Kontaktmöglichkeiten")
- [Spenden](//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_de.wikipedia.org&uselang=de "Unterstütze uns")

### Werkzeuge

- [Links auf diese Seite](/wiki/Spezial:Linkliste/Randwertproblem "Liste aller Seiten, die hierher verlinken [j]")
- [Änderungen an verlinkten Seiten](/wiki/Spezial:%C3%84nderungen_an_verlinkten_Seiten/Randwertproblem "Letzte Änderungen an Seiten, die von hier verlinkt sind [k]")
- [Spezialseiten](/wiki/Spezial:Spezialseiten "Liste aller Spezialseiten [q]")
- [Permanenter Link](/w/index.php?title=Randwertproblem&oldid=246172039 "Dauerhafter Link zu dieser Seitenversion")
- [Seiten­­informationen](/w/index.php?title=Randwertproblem&action=info "Weitere Informationen über diese Seite")
- [Artikel zitieren](/w/index.php?title=Spezial:Zitierhilfe&page=Randwertproblem&id=246172039&wpFormIdentifier=titleform "Hinweise, wie diese Seite zitiert werden kann")
- [Kurzlink](/w/index.php?title=Spezial:URL-K%C3%BCrzung&url=https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FRandwertproblem)
- [QR-Code herunterladen](/w/index.php?title=Spezial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FRandwertproblem)
- [Wikidata-Datenobjekt](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1332643 "Link zum verbundenen Objekt im Datenrepositorium [g]")

### Drucken/​exportieren

- [Als PDF herunterladen](/w/index.php?title=Spezial:DownloadAsPdf&page=Randwertproblem&action=show-download-screen)
- [Druckversion](/w/index.php?title=Randwertproblem&printable=yes "Druckansicht dieser Seite [p]")

### In anderen Projekten

### In anderen Sprachen

- [العربية](https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A3%D9%84%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF%D9%8A%D8%A9 "مسألة القيمة الحدية – Arabisch")
- [Català](https://ca.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3_de_frontera "Condició de frontera – Katalanisch")
- [Čeština](https://cs.wikipedia.org/wiki/Okrajov%C3%A1_%C3%BAloha "Okrajová úloha – Tschechisch")
- [English](https://en.wikipedia.org/wiki/Boundary_value_problem "Boundary value problem – Englisch")
- [Español](https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera "Problema de condición de frontera – Spanisch")
- [فارسی](https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A6%D9%84%D9%87_%D9%85%D9%82%D8%AF%D8%A7%D8%B1_%D9%85%D8%B1%D8%B2%DB%8C "مسئله مقدار مرزی – Persisch")
- [Français](https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_aux_limites "Problème aux limites – Französisch")
- [Galego](https://gl.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3ns_de_fronteira "Condicións de fronteira – Galicisch")
- [עברית](https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%A0%D7%90%D7%99_%D7%A9%D7%A4%D7%94 "תנאי שפה – Hebräisch")
- [Magyar](https://hu.wikipedia.org/wiki/Perem%C3%A9rt%C3%A9k-probl%C3%A9ma "Peremérték-probléma – Ungarisch")
- [Bahasa Indonesia](https://id.wikipedia.org/wiki/Masalah_nilai_batas "Masalah nilai batas – Indonesisch")
- [日本語](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C "境界値問題 – Japanisch")
- [한국어](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B2%BD%EA%B3%84%EA%B0%92_%EB%AC%B8%EC%A0%9C "경계값 문제 – Koreanisch")
- [Norsk nynorsk](https://nn.wikipedia.org/wiki/Randverdi "Randverdi – Norwegisch (Nynorsk)")
- [Polski](https://pl.wikipedia.org/wiki/Zagadnienie_brzegowe "Zagadnienie brzegowe – Polnisch")
- [Português](https://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_sobre_o_contorno "Problema de valor sobre o contorno – Portugiesisch")
- [Русский](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0 "Краевая задача – Russisch")
- [Simple English](https://simple.wikipedia.org/wiki/Boundary_value_problem "Boundary value problem – einfaches Englisch")
- [Shqip](https://sq.wikipedia.org/wiki/Problemi_i_vler%C3%ABs_kufitare "Problemi i vlerës kufitare – Albanisch")
- [Svenska](https://sv.wikipedia.org/wiki/Randv%C3%A4rdesproblem "Randvärdesproblem – Schwedisch")
- [Türkçe](https://tr.wikipedia.org/wiki/S%C4%B1n%C4%B1r_de%C4%9Fer_problemi "Sınır değer problemi – Türkisch")
- [Українська](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%B9%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0 "Крайова задача – Ukrainisch")
- [中文](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BE%B9%E5%80%BC%E9%97%AE%E9%A2%98 "边值问题 – Chinesisch")

[Links bearbeiten](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1332643#sitelinks-wikipedia "Links auf Artikel in anderen Sprachen bearbeiten")

- Diese Seite wurde zuletzt am 24. Juni 2024 um 11:12 Uhr bearbeitet.
- [Abrufstatistik](https://pageviews.wmcloud.org/?pages=Randwertproblem&project=de.wikipedia.org) · [Autoren]( https://xtools.wmcloud.org/authorship/de.wikipedia.org/Randwertproblem?uselang=de)






  Der Text ist unter der Lizenz [„Creative-Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen“](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de) verfügbar; Informationen zu den Urhebern und zum Lizenzstatus eingebundener Mediendateien (etwa Bilder oder Videos) können im Regelfall durch Anklicken dieser abgerufen werden. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen. Durch die Nutzung dieser Website erklären Sie sich mit den [Nutzungsbedingungen](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/de) und der [Datenschutzrichtlinie](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Privacy_policy/de) einverstanden.


  Wikipedia® ist eine eingetragene Marke der Wikimedia Foundation Inc.


- [Datenschutz](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/de)
- [Über Wikipedia](/wiki/Wikipedia:%C3%9Cber_Wikipedia)
- [Impressum](/wiki/Wikipedia:Impressum)
- [Verhaltenskodex](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct)
- [Entwickler](https://developer.wikimedia.org)
- [Statistiken](https://stats.wikimedia.org/#/de.wikipedia.org)
- [Stellungnahme zu Cookies](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement)
- [Mobile Ansicht](//de.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Randwertproblem&mobileaction=toggle_view_mobile)

- [![Wikimedia Foundation](/static/images/footer/wikimedia-button.svg)](https://wikimediafoundation.org/)
- [![Powered by MediaWiki](/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg)](https://www.mediawiki.org/)