Ginnastica artistica - Wikipedia
La ginnastica artistica è uno sport e una disciplina olimpica. Appartiene alla macro-area della ginnastica e si divide nella sezione maschile e femminile.
energia cinetica
La sbarra (in inglese " horizontal bar", abbreviato in HB) è un attrezzo simile alle parallele asimmetriche femminili, costituito da un solo staggio, L'esercizio è eseguito dal ginnasta senza mai scendere dall'attrezzo. L'elemento principale che il ginnasta utilizza per eseguire i vari elementi è chiamato granvolta, un movimento circolare attorno alla sbarra che può essere eseguito di petto o di dorso. Durante la granvolta il ginnasta accumula <anchor>energia cinetica</anchor> e, sfruttando anche l' elasticità "Elasticità (meccanica)") della sbarra, attua dei salti al di sopra o alla stessa altezza dell'attrezzo (come il kovacs o il Cassina). L'esercizio inizia con un'entrata e termina con un'uscita, nella quale il ginnasta si stacca definitivamente dallo staggio ed atterra sul materasso.
Energia cinetica - Wikipedia
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# Energia cinetica

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[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Wooden_roller_coaster_txgi.jpg/220px-Wooden_roller_coaster_txgi.jpg)](/wiki/File:Wooden_roller_coaster_txgi.jpg) I vagoni di una montagna russa raggiungono la loro massima energia cinetica quando si trovano in fondo al percorso. Quando cominciano a salire, l'energia cinetica comincia ad essere convertita in energia potenziale gravitazionale. La somma dell'energia cinetica e potenziale nel sistema rimane costante, ignorando le perdite per attrito.

L' **energia cinetica** è l' [energia](/wiki/Energia "Energia") che un [corpo](/wiki/Corpo_(fisica) "Corpo (fisica)") possiede a causa del proprio [moto](/wiki/Moto_(fisica) "Moto (fisica)"). Per il [teorema dell'energia cinetica](/wiki/Teorema_dell%27energia_cinetica "Teorema dell'energia cinetica"), l'energia cinetica di un corpo equivale al [lavoro](/wiki/Lavoro_(fisica) "Lavoro (fisica)") necessario ad accelerare il corpo da una [velocità](/wiki/Velocit%C3%A0 "Velocità") nulla alla sua velocità ed è pari al lavoro necessario a rallentare il corpo dalla stessa velocità ad una velocità nulla.

La formula generica dell'energia cinetica è la seguente: K=12mv2{\\displaystyle K={\\frac {1}{2}}mv^{2}}![{\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7286d898c6f7fd4585999f40e19c64e3641eeccc), dove m{\\displaystyle m}![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc) sta per la massa del corpo, espressa in [chilogrammi](/wiki/Chilogrammo "Chilogrammo"), e v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) per la sua velocità, espressa in [m/s](/wiki/Metro_al_secondo "Metro al secondo") (metri al secondo). L' [unità di misura](/wiki/Unit%C3%A0_di_misura "Unità di misura") dell'energia cinetica nel [sistema internazionale](/wiki/Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura "Sistema internazionale di unità di misura") è il [joule](/wiki/Joule "Joule").

## Indice

- [1Descrizione](#Descrizione)
- [2Espressione in coordinate generalizzate](#Espressione_in_coordinate_generalizzate)
- [3Meccanica relativistica](#Meccanica_relativistica)
- [4Note](#Note)
- [5Bibliografia](#Bibliografia)
- [6Voci correlate](#Voci_correlate)
- [7Altri progetti](#Altri_progetti)
- [8Collegamenti esterni](#Collegamenti_esterni)

## Descrizione

\[ [modifica](/w/index.php?title=Energia_cinetica&veaction=edit&section=1 "Modifica la sezione Descrizione") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Energia_cinetica&action=edit&section=1 "Edit section's source code: Descrizione")\]

Nella [meccanica newtoniana](/wiki/Meccanica_newtoniana "Meccanica newtoniana"), valutiamo l'energia cinetica Ec{\\displaystyle E\_{\\rm {c}}}![{\displaystyle E_{\rm {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78720cd5b19e2e9058034423cbab7cff54cc1281) di una particella di massa m{\\displaystyle m}![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc) che, in un caso semplice, si muove su una retta secondo la legge oraria x=x(t){\\displaystyle x=x(t)}![{\displaystyle x=x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae1e02df253e3adc6e5d080f37a40a5bc805320), con velocità v=v(t)=dx/dt{\\displaystyle v=v(t)={\\mathrm {d} }x/{\\mathrm {d} }t}![{\displaystyle v=v(t)={\mathrm {d} }x/{\mathrm {d} }t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74013a807774da5651dc5f66cac807393882698a). Ec{\\displaystyle E\_{\\rm {c}}}![{\displaystyle E_{\rm {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78720cd5b19e2e9058034423cbab7cff54cc1281) sarà definita nel modo seguente:

Ec=∫x0xF(x)dx{\\displaystyle E\_{\\rm {c}}=\\int \_{x\_{0}}^{x}F(x){\\mathrm {d} }x}![{\displaystyle E_{\rm {c}}=\int _{x_{0}}^{x}F(x){\mathrm {d} }x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5859644612a99f6fe5845ffbfeb962ac5d2ca22d)

dove x0{\\displaystyle x\_{0}}![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf) denota il punto in cui la particella ha velocità pari a zero, ad un certo istante t0{\\displaystyle t\_{0}}![{\displaystyle t_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a), x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) il punto in cui la particella ha velocità v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597), all'istante t{\\displaystyle t}![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560), e F(x)dx{\\displaystyle F(x){\\mathrm {d} }x}![{\displaystyle F(x){\mathrm {d} }x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fe6ed76b51a278df6716789d2aa86246f36cd1) rappresenta il lavoro elementare fatto dalla forza F{\\displaystyle F}![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57) nello spostare la particella di dx{\\displaystyle {\\mathrm {d} }x}![{\displaystyle {\mathrm {d} }x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee12198ece782ac1da9c4b83b858278a6a2300ab), dal punto x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) al punto x+dx{\\displaystyle x+{\\mathrm {d} }x}![{\displaystyle x+{\mathrm {d} }x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231e83b3775f6f3a736a5085b35b124babe2ff9a).

Per il II principio della dinamica, si ha dp/dt=F{\\displaystyle {\\mathrm {d} }p/{\\mathrm {d} }t=F}![{\displaystyle {\mathrm {d} }p/{\mathrm {d} }t=F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3992f5235fef812c2d04ed468d5d11b7eed3b7dc), dove p=mv{\\displaystyle p=mv}![{\displaystyle p=mv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acbe7154884d4dbe30b9a0b399e43cefd8654c7) è la quantità di moto della particella.

Ne segue:

Ec=∫x0xF(x)dx=∫x0x(dpdt)dx=∫x0xm(dvdt)dx=m∫0vdv(dxdt)=m∫0vvdv=12mv2{\\displaystyle {\\begin{aligned}E\_{\\rm {c}}&=\\int \_{x\_{0}}^{x}F(x)\\mathrm {d} x=\\int \_{x\_{0}}^{x}\\left({\\frac {{\\mathrm {d} }p}{{\\mathrm {d} }t}}\\right){\\mathrm {d} }x\\\&=\\int \_{x\_{0}}^{x}m\\left({\\frac {\\mathrm {d} v}{\\mathrm {d} t}}\\right){\\mathrm {d} }x=m\\int \_{0}^{v}{\\mathrm {d} }v\\left({\\frac {\\mathrm {d} x}{\\mathrm {d} t}}\\right)\\\&=m\\int \_{0}^{v}v{\\,}{\\mathrm {d} }v={\\frac {1}{2}}mv^{2}\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rm {c}}&=\int _{x_{0}}^{x}F(x)\mathrm {d} x=\int _{x_{0}}^{x}\left({\frac {{\mathrm {d} }p}{{\mathrm {d} }t}}\right){\mathrm {d} }x\\&=\int _{x_{0}}^{x}m\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right){\mathrm {d} }x=m\int _{0}^{v}{\mathrm {d} }v\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)\\&=m\int _{0}^{v}v{\,}{\mathrm {d} }v={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dfbe961b0123fcca17e3a3959af254a7c77830)

Per un [punto materiale](/wiki/Punto_materiale "Punto materiale"), l'energia cinetica può sempre essere espressa nella sua totalità dal semiprodotto della sua [massa](/wiki/Massa_(fisica) "Massa (fisica)") per il quadrato del modulo della sua [velocità](/wiki/Velocit%C3%A0 "Velocità");[\[1\]](#cite_note-1) nel caso più generale di un moto in tre dimensioni, e utilizzando un sistema di [coordinate cartesiane](/wiki/Sistema_di_riferimento_cartesiano "Sistema di riferimento cartesiano"), l'energia cinetica si esprime come:

Ec=12mv2=12m(vx2+vy2+vz2){\\displaystyle E\_{\\rm {c}}={\\frac {1}{2}}mv^{2}={\\frac {1}{2}}m(v\_{x}^{2}+v\_{y}^{2}+v\_{z}^{2})}![{\displaystyle E_{\rm {c}}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b18bce22fedf7c839f2cce987b75ef34643d95)

L'energia cinetica di un [corpo rigido](/wiki/Corpo_rigido "Corpo rigido") a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare ω{\\displaystyle \\omega }![{\displaystyle \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8) e che trasla nello spazio con velocità v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) (velocità del [centro di massa](/wiki/Centro_di_massa "Centro di massa")) è data dalla somma dell'energia cinetica traslazionale, precedentemente definita, e dell'energia cinetica rotazionale:

Ec=12mv2+12Iω2{\\displaystyle E\_{\\rm {c}}={\\frac {1}{2}}mv^{2}+{\\frac {1}{2}}I\\omega ^{2}}![{\displaystyle E_{\rm {c}}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00041d47d6cd81e469ce9f00029eb9f0730ed717)

dove m{\\displaystyle m}![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc) è la massa totale del corpo e I{\\displaystyle I}![{\displaystyle I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f) il [momento d'inerzia](/wiki/Momento_d%27inerzia "Momento d'inerzia") rispetto all'asse di rotazione.

Il valore dell'energia cinetica di un corpo dipende dal [sistema di riferimento inerziale](/wiki/Sistema_di_riferimento_inerziale "Sistema di riferimento inerziale") in cui esso viene calcolato. Per il [teorema delle velocità relative](/w/index.php?title=Teorema_delle_velocit%C3%A0_relative&action=edit&redlink=1 "Teorema delle velocità relative (la pagina non esiste)") Ponendo un sistema di riferimento fisso ed un punto con velocità v rispetto al sistema fisso, lo stesso punto avrà una velocità diversa rispetto ad un altro sistema di riferimento in movimento, quindi anche il valore dell'energia cinetica cambierà.

Una utile relazione tra l'energia cinetica Ec{\\displaystyle E\_{\\rm {c}}}![{\displaystyle E_{\rm {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78720cd5b19e2e9058034423cbab7cff54cc1281) e il modulo della [quantità di moto](/wiki/Quantit%C3%A0_di_moto "Quantità di moto")p=px2+py2+pz2{\\displaystyle p={\\sqrt {p\_{x}^{2}+p\_{y}^{2}+p\_{z}^{2}}}}![{\displaystyle p={\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55e5720a648011cf618834f5accae3bb0b8b220) è data dalla seguente relazione:

Ec=p22m⇒p=2mEc{\\displaystyle E\_{\\rm {c}}={\\frac {p^{2}}{2m}}\\quad \\Rightarrow \\quad p={\\sqrt {2mE\_{\\rm {c}}}}}![{\displaystyle E_{\rm {c}}={\frac {p^{2}}{2m}}\quad \Rightarrow \quad p={\sqrt {2mE_{\rm {c}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79c56ff4117a7ef694f121e26505fff98b0d935)

In determinati casi può essere utile definire un' _energia cinetica specifica_ϵc{\\displaystyle \\epsilon \_{\\rm {c}}}![{\displaystyle \epsilon _{\rm {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d7ce9768c5a584f84c73968c9b0801fe8314dd), definita come energia cinetica per unità di volume:

ϵc=dEcdV=12dmdVv2=12ρv2{\\displaystyle \\epsilon \_{\\rm {c}}={\\frac {{\\mathrm {d} }E\_{\\rm {c}}}{{\\mathrm {d} }V}}={\\frac {1}{2}}{\\frac {{\\mathrm {d} }m}{{\\mathrm {d} }V}}v^{2}={\\frac {1}{2}}\\rho v^{2}}![{\displaystyle \epsilon _{\rm {c}}={\frac {{\mathrm {d} }E_{\rm {c}}}{{\mathrm {d} }V}}={\frac {1}{2}}{\frac {{\mathrm {d} }m}{{\mathrm {d} }V}}v^{2}={\frac {1}{2}}\rho v^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c4fa50f9e6263126eca4293094837a4651a28b)

## Espressione in coordinate generalizzate

\[ [modifica](/w/index.php?title=Energia_cinetica&veaction=edit&section=2 "Modifica la sezione Espressione in coordinate generalizzate") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Energia_cinetica&action=edit&section=2 "Edit section's source code: Espressione in coordinate generalizzate")\]

![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)Lo stesso argomento in dettaglio: **[Coordinate generalizzate](/wiki/Coordinate_generalizzate "Coordinate generalizzate")**.

In [meccanica analitica](/wiki/Meccanica_analitica "Meccanica analitica") (non relativistica) è possibile estendere il concetto di energia cinetica, mantenendo al contempo inalterato il suo peculiare aspetto di [funzione](/wiki/Funzione_(matematica) "Funzione (matematica)") dipendente dal modulo quadrato della [velocità](/wiki/Velocit%C3%A0 "Velocità").

Per fare questo, è necessario passare dalle consuete [coordinate cartesiane](/wiki/Coordinate_cartesiane "Coordinate cartesiane") a un sistema generico di coordinate: siano dunque

q(t)=(q1(t),q2(t),...,qn(t)){\\displaystyle \\mathbf {q} (t)=(q\_{1}(t),q\_{2}(t),...,q\_{n}(t))}![{\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),q_{2}(t),...,q_{n}(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e78a60622e845cce6a9fb4d54043eaafa814468)

le [coordinate generalizzate](/wiki/Coordinate_generalizzate "Coordinate generalizzate"), tutte dipendenti dal [tempo](/wiki/Tempo "Tempo"). Queste coordinate individuano la posizione di un [punto materiale](/wiki/Punto_materiale "Punto materiale") in uno spazio n{\\displaystyle n}![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)-dimensionale detto [spazio delle configurazioni](/wiki/Spazio_delle_configurazioni "Spazio delle configurazioni"). Formalizzando il concetto, si definisce la funzione

q:R→C,{\\displaystyle \\mathbf {q} :\\mathbb {R} \\to {\\mathcal {C}}\\,,}![{\displaystyle \mathbf {q} :\mathbb {R} \to {\mathcal {C}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c70fdee16024993642640411bc6c482b5b6a72)

che cioè manda un [numero reale](/wiki/Numero_reale "Numero reale") nello spazio delle configurazioni e che descrive le traiettoria della particella in tale spazio. È bene notare che non si sta parlando di traiettorie della particella nello spazio-tempo, bensì nello spazio delle configurazioni. Un cambiamento di coordinate è allora una funzione

x:C×R→C,x=x(q(t),t){\\displaystyle \\mathbf {x} :{\\mathcal {C}}\\times \\mathbb {R} \\to {\\mathcal {C}}\\,,\\qquad \\mathbf {x} =\\mathbf {x} (\\mathbf {q} (t),t)}![{\displaystyle \mathbf {x} :{\mathcal {C}}\times \mathbb {R} \to {\mathcal {C}}\,,\qquad \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {q} (t),t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2d279d1d9e2e85260c1ff56cc3658087b08a75)

in generale dipendente sia dal [vettore](/wiki/Vettore_(matematica) "Vettore (matematica)") posizione sia dal tempo, con particolari caratteristiche (un [diffeomorfismo](/wiki/Diffeomorfismo "Diffeomorfismo")), che esprime la relazione esistente tra le vecchie coordinate e le nuove.

Introduciamo l'energia cinetica

Ec(v2)=m2v2{\\displaystyle E\_{\\mathrm {c} }(v^{2})={\\frac {m}{2}}v^{2}}![{\displaystyle E_{\mathrm {c} }(v^{2})={\frac {m}{2}}v^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8485ca564c19af4344c8845cdc3012e132e599f3)

che a questo punto ha una forma diversa rispetto a quella solitamente usata: la differenza discende dalla nuova forma che assume la velocità, che sebbene sia come al solito definita da

v=dxdt,{\\displaystyle \\mathbf {v} ={\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {x} }{\\mathrm {d} t}},}![{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae015b1f77e3d1c34181300433456c1f62da29ed)

stavolta è una funzione composta, dunque

v(q(t),t)=d⁡xd⁡t(q(t),t)=∑i=1n∂x∂qi(q(t),t)⋅q˙i(t)+∂x∂t(q(t),t).{\\displaystyle \\mathbf {v} (\\mathbf {q} (t),t)={\\frac {\\operatorname {d} \\mathbf {x} }{\\operatorname {d} t}}(\\mathbf {q} (t),t)=\\sum \_{i=1}^{n}{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{i}}}(\\mathbf {q} (t),t)\\cdot {\\dot {q}}\_{i}(t)+{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial t}}(\\mathbf {q} (t),t)\\,.}![{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {q} (t),t)={\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}(\mathbf {q} (t),t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}(\mathbf {q} (t),t)\cdot {\dot {q}}_{i}(t)+{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}(\mathbf {q} (t),t)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a50f3302b50092bf5cc033a6407ffda63d96c73)

Calcolando esplicitamente l'energia cinetica grazie alle proprietà di linearità e simmetria del [prodotto scalare](/wiki/Prodotto_scalare "Prodotto scalare") standard, si ha

(Ec)=m2⟨v,v⟩==m2{⟨∑i=1n∂x∂qi⋅q˙i,∑j=1n∂x∂qj⋅q˙j⟩+2⟨∑i=1n∂x∂qi⋅q˙i,∂x∂t⟩+⟨∂x∂t,∂x∂t⟩}==m2{∑i=1n∑j=1nq˙i⟨∂x∂qi,∂x∂qj⟩q˙j+2∑i=1n⟨∂x∂qi,∂x∂t⟩q˙i+‖∂x∂t‖2}==∑i=1n∑j=1nq˙iHij(Ec)(0)q˙j+∑i=1n∇i(Ec)(0)q˙i+(Ec)(0).{\\displaystyle {\\begin{aligned}(E\_{\\mathrm {c} })&={\\frac {m}{2}}\\langle \\mathbf {v} \\,,\\mathbf {v} \\rangle =\\\&={\\frac {m}{2}}\\left\\{\\left\\langle \\sum \_{i=1}^{n}{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{i}}}\\cdot {\\dot {q}}\_{i}\\,,\\sum \_{j=1}^{n}{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{j}}}\\cdot {\\dot {q}}\_{j}\\right\\rangle +2\\left\\langle \\sum \_{i=1}^{n}{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{i}}}\\cdot {\\dot {q}}\_{i}\\,,{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial t}}\\right\\rangle +\\left\\langle {\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial t}},{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial t}}\\right\\rangle \\right\\}=\\\&={\\frac {m}{2}}\\left\\{\\sum \_{i=1}^{n}\\sum \_{j=1}^{n}{\\dot {q}}\_{i}\\left\\langle {\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{i}}},{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{j}}}\\right\\rangle {\\dot {q}}\_{j}+2\\sum \_{i=1}^{n}\\left\\langle {\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{i}}},{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial t}}\\right\\rangle {\\dot {q}}\_{i}+\\left\\\|{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial t}}\\right\\\|^{2}\\right\\}=\\\&=\\sum \_{i=1}^{n}\\sum \_{j=1}^{n}{\\dot {q}}\_{i}\\,H\_{ij}(E\_{c})\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{j}+\\,\\sum \_{i=1}^{n}\\nabla \_{i}(E\_{c})\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{i}+(E\_{c})\_{(0)}\\,.\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}(E_{\mathrm {c} })&={\frac {m}{2}}\langle \mathbf {v} \,,\mathbf {v} \rangle =\\&={\frac {m}{2}}\left\{\left\langle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\cdot {\dot {q}}_{i}\,,\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\cdot {\dot {q}}_{j}\right\rangle +2\left\langle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\cdot {\dot {q}}_{i}\,,{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle \right\}=\\&={\frac {m}{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\right\rangle {\dot {q}}_{j}+2\sum _{i=1}^{n}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle {\dot {q}}_{i}+\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|^{2}\right\}=\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{c})_{(0)}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a70d60ae4bbfc00d740d6d595a4dc01928895bb)

Abbiamo così ottenuto una [forma quadratica](/wiki/Forma_quadratica "Forma quadratica") operando le sostituzioni

Hij(Ec)(0)=m2⟨∂x∂qi,∂x∂qj⟩,∇i(Ec)(0)=m⟨∂x∂qi,∂x∂t⟩,(Ec)(0)=m2‖∂x∂t‖2.{\\displaystyle H\_{ij}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}={\\frac {m}{2}}\\left\\langle {\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{i}}},{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{j}}}\\right\\rangle \\,,\\nabla \_{i}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}=m\\left\\langle {\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{i}}},{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial t}}\\right\\rangle \\,,\\quad (E\_{c})\_{(0)}={\\frac {m}{2}}\\left\\\|{\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial t}}\\right\\\|^{2}\\,.}![{\displaystyle H_{ij}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}={\frac {m}{2}}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\right\rangle \,,\nabla _{i}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}=m\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle \,,\quad (E_{c})_{(0)}={\frac {m}{2}}\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825262179a5b48496fc7457b2df6a0e3cfe12b17)

Il risultato è davvero notevole se si pensa alla generalità da cui si è partiti nella trattazione: è bastato fornire alcune condizioni di regolarità (di norma verificate nel caso di condizioni fisiche) per ottenere una formula che amplia quella di uso comune. Nel caso in cui si tratti di [particella libera](/wiki/Particella_libera "Particella libera"), perciò, possiamo scrivere immediatamente la [lagrangiana](/wiki/Lagrangiana "Lagrangiana"):

(F=∇U=0→U(qi)=U){\\displaystyle (\\mathbf {F} =\\nabla U=0\\rightarrow U(q\_{i})=U)}![{\displaystyle (\mathbf {F} =\nabla U=0\rightarrow U(q_{i})=U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200b5a253f938e993ef17b2b635e8224d8bf7ffe)

L=∑i=1n∑j=1nq˙iHij(Ec)(0)q˙j+∑i=1n∇i(Ec)(0)q˙i+((Ec)(0)−U)=∑i=1n∑j=1nq˙iHij(Ec)(0)q˙j+∑i=1n∇i(Ec)(0)q˙i+(Ec)(0){\\displaystyle {\\mathcal {L}}=\\sum \_{i=1}^{n}\\sum \_{j=1}^{n}{\\dot {q}}\_{i}\\,H\_{ij}(E\_{c})\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{j}+\\,\\sum \_{i=1}^{n}\\nabla \_{i}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{i}+((E\_{c})\_{(0)}-U)\\,=\\sum \_{i=1}^{n}\\sum \_{j=1}^{n}{\\dot {q}}\_{i}\\,H\_{ij}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{j}+\\,\\sum \_{i=1}^{n}\\nabla \_{i}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{i}+(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}\\,}![{\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+((E_{c})_{(0)}-U)\,=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{\mathrm {c} })_{(0)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be7f30f15a529b1d8c156eb1b88f8702d84182c)

mentre l'eventuale presenza di [energia potenziale](/wiki/Energia_potenziale "Energia potenziale")U(qi){\\displaystyle U(q\_{i})}![{\displaystyle U(q_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579761d57f814fa5d2c35a236e70004684e6e59f) dipendente dalla sola posizione, non fa altro che aggiungere un termine:

L=∑i=1n∑j=1nq˙iHij(Ec)(0)q˙j+∑i=1n∇i(Ec)(0)q˙i+(Ec)(0)−U(qi).{\\displaystyle {\\mathcal {L}}=\\sum \_{i=1}^{n}\\sum \_{j=1}^{n}{\\dot {q}}\_{i}\\,H\_{ij}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{j}+\\,\\sum \_{i=1}^{n}\\nabla \_{i}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{i}+(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}-U(q\_{i})\\,.}![{\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{\mathrm {c} })_{(0)}-U(q_{i})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fc24f7f94391f1aafd89bb3a9709c94e96347c)

Un'altra caratteristica interessante discende dal considerare cambiamenti di coordinate indipendenti dal tempo: in questi casi l'energia cinetica diventa semplicemente un caso particolare di quella già trovata sopra

T=∑i=1n∑j=1nq˙iHij(Ec)(0)q˙j,{\\displaystyle T=\\sum \_{i=1}^{n}\\sum \_{j=1}^{n}{\\dot {q}}\_{i}\\,H\_{ij}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}\\,{\\dot {q}}\_{j}\\,,}![{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29722177f6e6d45ca1c5670370a348b333d83809)

ma dato che i [versori coordinati](/wiki/Versore "Versore") dello spazio delle configurazioni sono per definizione

ei=∂x∂qi,∀i=1,2,…,n,{\\displaystyle \\mathbf {e} \_{i}={\\frac {\\partial \\mathbf {x} }{\\partial q\_{i}}}\\,,\\;\\forall \\,i=1,2,\\ldots ,n\\,,}![{\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\,,\;\forall \,i=1,2,\ldots ,n\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aba22a6c0f0461c458ebdc3eca1f086e8db1095)

i coefficienti Hij(Ec)(0){\\displaystyle H\_{ij}(E\_{\\mathrm {c} })\_{(0)}}![{\displaystyle H_{ij}(E_{\mathrm {c} })_{(0)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e843fae0cbf40337c79eea3d51fbf0db5bf510fb) costituiscono una [matrice quadrata](/wiki/Matrice "Matrice") che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla [base coordinata](/wiki/Base_(algebra_lineare) "Base (algebra lineare)") scelta.

La naturale estensione a un sistema costituito da più punti viene eseguita assegnando a ognuno di essi un vettore velocità e un vettore posizione: quindi per k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) particelle libere vengono prodotti 2k{\\displaystyle 2k}![{\displaystyle 2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab358eb7defb4d2b0fc1f9e8a4e2d189fe600eb6) vettori, ciascuno di n{\\displaystyle n}![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) coordinate e poi si procede come si è fatto per la particella singola, ottenendo il risultato che l'energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche delle singole particelle:

T=∑i=1k(Ec)i.{\\displaystyle T=\\sum \_{i=1}^{k}(E\_{\\mathrm {c} })\_{i}\\,.}![{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}(E_{\mathrm {c} })_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0568694760f79b99990df2045ef74e2632f6678e)

## Meccanica relativistica

\[ [modifica](/w/index.php?title=Energia_cinetica&veaction=edit&section=3 "Modifica la sezione Meccanica relativistica") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Energia_cinetica&action=edit&section=3 "Edit section's source code: Meccanica relativistica")\]

Nella meccanica relativistica di Einstein (impiegata particolarmente nelle velocità prossime alla [velocità della luce](/wiki/Velocit%C3%A0_della_luce "Velocità della luce")) la massa è sempre costante, ma il lavoro necessario a portare a una velocità _v_ una particella di massa (propria) _m_ inizialmente in quiete non dipende dal quadrato della velocità come nel caso classico, anzi diverge per v→c{\\displaystyle v\\rightarrow c}![{\displaystyle v\rightarrow c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d81909a690860670a97362efa20b2ce132a59369). Posti:

- v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) il modulo della velocità del corpo, c{\\displaystyle c}![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455) la velocità della luce nel vuoto,

- m{\\displaystyle m}![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc) la massa invariante del corpo,

- mc2{\\displaystyle mc^{2}}![{\displaystyle mc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e4e95f7216bad6eab483ef0072d531a965962b) l'energia del corpo in quiete e γmc2{\\displaystyle \\gamma mc^{2}}![{\displaystyle \gamma mc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eece8fc9c1e7af917b2c97f24ad92647cd1f6d3c) l'energia del corpo in movimento

il [lavoro](/wiki/Lavoro_(fisica) "Lavoro (fisica)") _W_ necessario per accelerare una particella di massa _m_ inizialmente in quiete fino a una velocità _v_ è pari a:

W=ΔEc=γmc2−mc2=(γ−1)mc2{\\displaystyle W=\\Delta E\_{c}=\\gamma mc^{2}-mc^{2}=(\\gamma -1)mc^{2}}![{\displaystyle W=\Delta E_{c}=\gamma mc^{2}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fbe32e35de3319f2444967191ca9e4a408fd78)

in cui γ{\\displaystyle \\gamma }![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a) è il [fattore di Lorentz](/wiki/Fattore_di_Lorentz "Fattore di Lorentz"):

γ=11−(vc)2{\\displaystyle \\gamma ={\\frac {1}{\\sqrt {1-\\left({\\frac {v}{c}}\\right)^{2}}}}}![{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f863e0ac3de3e63dea6601487501cfb1c009fc0)

Espandendo in [serie di Taylor](/wiki/Serie_di_Taylor "Serie di Taylor") per piccoli vc{\\textstyle {\\frac {v}{c}}}![{\textstyle {\frac {v}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54050a56f7e95743d1e3f34de4d59a4794fa8307):

W=(γ−1)mc2=(11−v2c2−1)mc2=(1+12v2c2+38v4c4+⋯−1)mc2=12mv2+38mv4c2+⋯{\\displaystyle {\\begin{aligned}W&=(\\gamma -1)mc^{2}\\\&=\\left({\\frac {1}{\\sqrt {1-{\\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\\right)mc^{2}\\\&=\\left(1+{\\frac {1}{2}}{\\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\\frac {3}{8}}{\\frac {v^{4}}{c^{4}}}+\\cdots -1\\right)mc^{2}\\\&={\\frac {1}{2}}mv^{2}+{\\frac {3}{8}}m{\\frac {v^{4}}{c^{2}}}+\\cdots \\\\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}W&=(\gamma -1)mc^{2}\\&=\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)mc^{2}\\&=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}+\cdots -1\right)mc^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+\cdots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e394fbad8e45dc6a07ba669bba0fc01b7164559)

Lo sviluppo in serie rende evidente che per valori piccoli della velocità v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) tutti i termini superiori al primo sono trascurabili e la serie assume il valore

W=12mv2{\\displaystyle W={\\frac {1}{2}}mv^{2}}![{\displaystyle W={\frac {1}{2}}mv^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2684c85eda51369d4974c1640a88f3c5bd74929d)

che, tenendo conto della velocità iniziale nulla, è proprio l'espressione del [teorema dell'energia cinetica](/wiki/Teorema_dell%27energia_cinetica "Teorema dell'energia cinetica") in [meccanica classica](/wiki/Meccanica_classica "Meccanica classica"). La formula di Einstein generalizza quindi l'energia cinetica alle alte velocità.

È immediato dallo sviluppo in serie notare che quando v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) tende a 0 il rapporto tra l'energia cinetica relativistica e quella newtoniana data da mv2/2{\\displaystyle mv^{2}/2}![{\displaystyle mv^{2}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26e5302531653b0271f8bfeb3dc99123030856d) si approssima a 1:

limv→0(γ−1)mc212mv2=limv→012mv2+O(v4)12mv2=1{\\displaystyle \\lim \_{v\\rightarrow 0}{\\frac {\\left(\\gamma -1\\right)mc^{2}}{{\\frac {1}{2}}mv^{2}}}=\\lim \_{v\\rightarrow 0}{\\frac {{\\frac {1}{2}}mv^{2}+{\\mathcal {O}}\\left(v^{4}\\right)}{{\\frac {1}{2}}mv^{2}}}=1}![{\displaystyle \lim _{v\rightarrow 0}{\frac {\left(\gamma -1\right)mc^{2}}{{\frac {1}{2}}mv^{2}}}=\lim _{v\rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}+{\mathcal {O}}\left(v^{4}\right)}{{\frac {1}{2}}mv^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfac1e937fad8054ab807ffbd671144cd31a188)

La teoria della relatività afferma che l'energia cinetica di un oggetto tende all'infinito per velocità che si avvicinano alla velocità della luce, e diventa pertanto impossibile accelerare il corpo fino a raggiungere tale velocità. In altri termini la velocità della luce non può essere raggiunta da alcun corpo materiale mediante accelerazione.

## Note

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1. [**^**](#cite_ref-1)(EN) [IUPAC Gold Book, "kinetic energy"](http://goldbook.iupac.org/K03402.html)

## Bibliografia

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- C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica I (Meccanica e Termodinamica), 3ª ed., Liguori Editore, 1996, [ISBN](/wiki/ISBN "ISBN") [88-207-1493-0](/wiki/Speciale:RicercaISBN/88-207-1493-0 "Speciale:RicercaISBN/88-207-1493-0").
- Herbert Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, 2005.
- Robert Resnick, Introduzione alla relatività ristretta, Casa Editrice Ambrosiana, 2006 \[1979\].

## Voci correlate

\[ [modifica](/w/index.php?title=Energia_cinetica&veaction=edit&section=6 "Modifica la sezione Voci correlate") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Energia_cinetica&action=edit&section=6 "Edit section's source code: Voci correlate")\]

- [Teoria della relatività](/wiki/Teoria_della_relativit%C3%A0 "Teoria della relatività")
- [Kerma](/wiki/Kerma "Kerma")

## Altri progetti

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Altri progetti

- [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Kinetic_energy?uselang=it)

- [![Collabora a Wikimedia Commons](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png)](https://commons.wikimedia.org/wiki/?uselang=it "Collabora a Wikimedia Commons")[Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/?uselang=it) contiene immagini o altri file su **[energia cinetica](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Kinetic_energy?uselang=it)**

## Collegamenti esterni

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- (EN) [kinetic energy](https://www.britannica.com/science/kinetic-energy), su [Enciclopedia Britannica](/wiki/Enciclopedia_Britannica "Enciclopedia Britannica"), Encyclopædia Britannica, Inc.[![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)](https://www.wikidata.org/wiki/Q46276#P1417 "Modifica su Wikidata")

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