Teoria della relatività - Wikipedia
Principio di relatività: le leggi della fisica sono invarianti in tutti i sistemi di riferimento inerziali; · Invarianza della velocità luce: la luce si propaga ...
trasformazioni di Lorentz
È possibile verificare che le <anchor>trasformazioni di Lorentz</anchor> soddisfano il secondo postulato: se per un osservatore in un sistema di riferimento inerziale la velocità della luce è c, tale sarà per un qualunque altro osservatore in un altro sistema di riferimento inerziale in movimento rispetto al primo. I due postulati possono quindi essere sintetizzati come:
Trasformazione di Lorentz - Wikipedia
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# Trasformazione di Lorentz

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[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Hendrik_lorentz.jpg)](/wiki/File:Hendrik_lorentz.jpg) Hendrik Antoon Lorentz in un ritratto di Menso Kamerlingh Onnes[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/Animated_Lorentz_Transformation.gif)](/wiki/File:Animated_Lorentz_Transformation.gif) Una visualizzazione della trasformazione di Lorentz. Viene considerata solo una delle coordinate spaziali. Le linee sottili in grassetto che si incrociano con angoli retti indicano le coordinate di tempo e distanza di un osservatore a riposo rispetto a quel riferimento; le linee rette continue oblique indicano la griglia di coordinate di un osservatore in movimento rispetto allo stesso riferimento.

In [fisica](/wiki/Fisica "Fisica") le **trasformazioni di Lorentz**, formulate dal fisico [Hendrik Antoon Lorentz](/wiki/Hendrik_Lorentz "Hendrik Lorentz"), sono [trasformazioni lineari](/wiki/Trasformazione_lineare "Trasformazione lineare") di coordinate che permettono di descrivere come varia la misura del tempo e dello spazio tra due [sistemi di riferimento](/wiki/Sistema_di_riferimento "Sistema di riferimento") [inerziali](/wiki/Sistema_di_riferimento_inerziale "Sistema di riferimento inerziale"), cioè sistemi in cui l'oggetto della misura è in [moto rettilineo uniforme](/wiki/Moto_rettilineo "Moto rettilineo") rispetto all'osservatore.

[Albert Einstein](/wiki/Albert_Einstein "Albert Einstein") ricavò a sua volta le trasformazioni di Lorentz nell' [articolo sulla relatività ristretta](/wiki/Sull%27elettrodinamica_dei_corpi_in_movimento "Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento") del 1905 postulando la costanza della [velocità della luce](/wiki/Velocit%C3%A0_della_luce "Velocità della luce") in ogni sistema di riferimento e la validità della [relatività galileiana](/wiki/Relativit%C3%A0_galileiana "Relatività galileiana"). Il fatto che l' [equazione delle onde](/wiki/Equazione_delle_onde "Equazione delle onde") si conservi sotto trasformazione di Lorentz permette di scrivere le [equazioni di Maxwell](/wiki/Equazioni_di_Maxwell "Equazioni di Maxwell") dell' [elettromagnetismo](/wiki/Interazione_elettromagnetica "Interazione elettromagnetica") in una forma invariante nel passaggio tra due sistemi di riferimento in moto relativo tra loro. Questo ha rimosso le contraddizioni esistenti tra elettromagnetismo e [meccanica classica](/wiki/Meccanica_classica "Meccanica classica") e spiegato i risultati nulli dell' [esperimento di Michelson-Morley](/wiki/Esperimento_di_Michelson-Morley "Esperimento di Michelson-Morley").

Il [gruppo delle trasformazioni di Lorentz](/wiki/Gruppo_di_Lorentz "Gruppo di Lorentz"), pur comprendendo anche le classiche rotazioni degli assi spaziali, è caratterizzato dalla presenza dei **[boost](https://en.wiktionary.org/wiki/boost "wiktionary:boost")** (letteralmente in italiano "spinta"), cioè le trasformazioni fra due sistemi inerziali in moto relativo fra loro. Tali trasformazioni consistono essenzialmente in _rotazioni_ che coinvolgono anche l'orientamento dell'asse temporale.

## Indice

- [1Storia](#Storia)
- [2Trasformazioni tra sistemi in configurazione standard](#Trasformazioni_tra_sistemi_in_configurazione_standard)
  - [2.1Trasformazioni in direzione _x_](#Trasformazioni_in_direzione_x)
  - [2.2Rapidità](#Rapidità)
    - [2.2.1Espressioni iperboliche](#Espressioni_iperboliche)
  - [2.3Trasformazioni in direzione _y_ o _z_](#Trasformazioni_in_direzione_y_o_z)
- [3Trasformazioni in direzione generica](#Trasformazioni_in_direzione_generica)
  - [3.1Forma matriciale](#Forma_matriciale)
  - [3.2Relazione tra componenti parallele e perpendicolari](#Relazione_tra_componenti_parallele_e_perpendicolari)
  - [3.3Trasformazioni di Poincaré (generali non omogenee)](#Trasformazioni_di_Poincaré_(generali_non_omogenee))
- [4Composizione di due boost e rotazioni](#Composizione_di_due_boost_e_rotazioni)
- [5Limite galileiano](#Limite_galileiano)
- [6Note](#Note)
- [7Bibliografia](#Bibliografia)
- [8Voci correlate](#Voci_correlate)
- [9Altri progetti](#Altri_progetti)
- [10Collegamenti esterni](#Collegamenti_esterni)

## Storia

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=1 "Modifica la sezione Storia") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=1 "Edit section's source code: Storia")\]

Le trasformazioni di Lorentz furono scoperte e pubblicate per la prima volta da [Joseph Larmor](/wiki/Joseph_Larmor "Joseph Larmor") nel [1897](/wiki/1897 "1897").[\[1\]](#cite_note-1) Già dieci anni prima ( [1887](/wiki/1887 "1887")), però, [Woldemar Voigt](/w/index.php?title=Woldemar_Voigt&action=edit&redlink=1 "Woldemar Voigt (la pagina non esiste)") aveva pubblicato delle trasformazioni che differivano solo per un [fattore di Lorentz](/wiki/Fattore_di_Lorentz "Fattore di Lorentz"), ma che esibivano tutte le principali caratteristiche della relatività ristretta, con l'unico difetto di non formare un gruppo.[\[2\]](#cite_note-2)[\[3\]](#cite_note-3)[\[4\]](#cite_note-4) Nel [1905](/wiki/1905 "1905"), [Henri Poincaré](/wiki/Henri_Poincar%C3%A9 "Henri Poincaré"), il famoso matematico francese, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese [Hendrik Antoon Lorentz](/wiki/Hendrik_Lorentz "Hendrik Lorentz"), il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel [1904](/wiki/1904 "1904"). Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi.

Lorentz credeva nell'ipotesi dell' [etere luminifero](/wiki/Etere_luminifero "Etere luminifero"); solo [Albert Einstein](/wiki/Albert_Einstein "Albert Einstein"), sviluppando la [teoria della relatività ristretta](/wiki/Teoria_della_relativit%C3%A0_ristretta "Teoria della relatività ristretta"), diede un appropriato fondamento alla sua applicazione.

## Trasformazioni tra sistemi in configurazione standard

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=2 "Modifica la sezione Trasformazioni tra sistemi in configurazione standard") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=2 "Edit section's source code: Trasformazioni tra sistemi in configurazione standard")\]

Una trasformazione di Lorentz è una trasformazione lineare tale per cui, a partire dalle coordinate di un evento nello [spaziotempo](/wiki/Spaziotempo "Spaziotempo") nel [sistema di riferimento cartesiano](/wiki/Sistema_di_riferimento_cartesiano "Sistema di riferimento cartesiano") inerziale S(t,x,y,z){\\displaystyle S(t,x,y,z)}![{\displaystyle S(t,x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be3afcbd0470b45bfa383bad8d0c682bbb6989c), si ricavano le coordinate rispetto ad un analogo sistema di riferimento S′(t′,x′,y′,z′){\\displaystyle S'(t',x',y',z')}![{\displaystyle S'(t',x',y',z')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3842335015fd05a252d938276a81cf0c9f231aaa) che si muove di moto uniforme rispetto al primo.

L'insieme di tutte le trasformazioni di Lorentz forma un [gruppo](/wiki/Gruppo_(matematica) "Gruppo (matematica)"), il [gruppo di Lorentz](/wiki/Gruppo_di_Lorentz "Gruppo di Lorentz"), anche detto _gruppo di Lorentz omogeneo_. Si tratta di un sottogruppo del [gruppo di Poincaré](/wiki/Gruppo_di_Poincar%C3%A9 "Gruppo di Poincaré"). Dalle leggi di trasformazione di Lorentz è possibile dimostrare che l'intervallo:

ds2=c2dt2−dx2−dy2−dz2{\\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}![{\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf8c0aa20469abe4a86bacfb8ee642520e08fe8)

rimane invariato in seguito ad una trasformazione di Lorentz.[\[5\]](#cite_note-5) Una grandezza che si conserva in tal modo è detta _invariante di Lorentz_, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato ds2{\\displaystyle ds^{2}}![{\displaystyle ds^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbeadecfd3d657628269afa2f6a1d20b0bf1cce) è il gruppo di Lorentz.

Il gruppo di Poincaré, anche detto _gruppo di Lorentz non omogeneo_, corrisponde all'insieme di trasformazioni che lasciano invariato l'intervallo:

ds2(x,y)=(x0−y0)2−(x1−y1)2−(x2−y2)2−(x3−y3)2{\\displaystyle ds^{2}(x,y)=(x\_{0}-y\_{0})^{2}-(x\_{1}-y\_{1})^{2}-(x\_{2}-y\_{2})^{2}-(x\_{3}-y\_{3})^{2}}![{\displaystyle ds^{2}(x,y)=(x_{0}-y_{0})^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d8d51f07f37a359ef84c601ae9ee957c4f3066)

Le quantità che si conservano in seguito alle trasformazioni del gruppo di Lorentz sono dette _covarianti_. Le equazioni che descrivono i fenomeni naturali sono covarianti.[\[6\]](#cite_note-6)

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Reference_frame_and_observer.svg/220px-Reference_frame_and_observer.svg.png)](/wiki/File:Reference_frame_and_observer.svg) Un osservatore O situato nell'origine di un sistema di riferimento locale F utilizza le coordinate ( _x, y, z, t_) per descrivere un evento nello spaziotempo.

### Trasformazioni in direzione _x_

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=3 "Modifica la sezione Trasformazioni in direzione x") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=3 "Edit section's source code: Trasformazioni in direzione x")\]

Nella configurazione detta _configurazione standard_ si assume che S′{\\displaystyle S'}![{\displaystyle S'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9961844d1f539adee019e432dc18aa2a7ede59) abbia i tre assi spaziali paralleli a quelli di S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2), che il sistema S′{\\displaystyle S'}![{\displaystyle S'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9961844d1f539adee019e432dc18aa2a7ede59) si muova con velocità v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) lungo l'asse x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) di S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2) e che le origini dei due sistemi di riferimento coincidano per t′=t=0{\\displaystyle t'=t=0}![{\displaystyle t'=t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae2a35ea44e20976df6aea2c07de7245653ecba). In tale contesto le trasformazioni di Lorentz assumono la forma:[\[7\]](#cite_note-7)

{t′=γ(t−vc2x)x′=γ(x−vt)y′=yz′=z{\\displaystyle {\\begin{cases}t'=\\displaystyle \\gamma \\left(t-{\\frac {v}{c^{2}}}x\\right)\\\x'=\\gamma \\left(x-vt\\right)\\\y'=y\\\z'=z\\end{cases}}}![{\displaystyle {\begin{cases}t'=\displaystyle \gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\\x'=\gamma \left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24efb5f246593392d5a517f932cc26ca6012f6fd)

dove:

γ=11−v2c2{\\displaystyle \\gamma ={\\frac {1}{\\sqrt {1-{\\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}![{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abacf009fa4db767f015172584c8fc89e7725745)

è chiamato [fattore di Lorentz](/wiki/Fattore_di_Lorentz "Fattore di Lorentz"), mentre c{\\displaystyle c}![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455) è la velocità della luce nel vuoto. Introducendo il [quadrivettore](/wiki/Quadrivettore "Quadrivettore"):

xμ=\[ctxyz\]{\\displaystyle x^{\\mu }={\\begin{bmatrix}ct\\\x\\\y\\\z\\end{bmatrix}}}![{\displaystyle x^{\mu }={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e99d38899898eaaaafd502b4e3840dae3be3f44)

le quattro equazioni riportate sopra possono essere espresse attraverso una relazione matriciale:

x′ν=Λνμxμ{\\displaystyle x'^{\\nu }=\\Lambda ^{\\nu }{}\_{\\mu }x^{\\mu }}![{\displaystyle x'^{\nu }=\Lambda ^{\nu }{}_{\mu }x^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192da2ab40235b22d475b0fb261d39952f5b18f3)

dove Λ{\\displaystyle \\Lambda }![{\displaystyle \Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733) è la [matrice di trasformazione](/wiki/Matrice_di_trasformazione "Matrice di trasformazione") relativa alle trasformazioni in configurazione standard lungo x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4):

\[ct′x′y′z′\]=\[γ−βγ00−βγγ0000100001\]\[ctxyz\]β=vc{\\displaystyle {\\begin{bmatrix}ct'\\\x'\\\y'\\\z'\\end{bmatrix}}={\\begin{bmatrix}\\gamma &-\\beta \\gamma &0&0\\\-\\beta \\gamma &\\gamma &0&0\\\0&0&1&0\\\0&0&0&1\\\\\end{bmatrix}}{\\begin{bmatrix}ct\\\x\\\y\\\z\\end{bmatrix}}\\qquad \\mathbf {\\beta } ={\\frac {\\mathbf {v} }{c}}}![{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32f62df37154ccfc2234ad10cae9e39f5c6c99a)

dove v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) è in direzione x{\\displaystyle x}![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4).
Le trasformazioni Λ{\\displaystyle \\Lambda }![{\displaystyle \Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733) con det(Λab)=+1{\\displaystyle \\det(\\Lambda ^{a}{}\_{b})\\,=+1}![{\displaystyle \det(\Lambda ^{a}{}_{b})\,=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f214b51db74d9c79d7c522242c3eab41e1ede27d) appartengono al _gruppo proprio di Lorentz_, che è formato dai boost e dalle rotazioni spaziali, mentre quelle con det(Λab)=−1{\\displaystyle \\det(\\Lambda ^{a}{}\_{b})\\,=-1}![{\displaystyle \det(\Lambda ^{a}{}_{b})\,=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b51665aac82781e8dbf671850c343500ed72dc5) sono dette _trasformazioni improprie di Lorentz_, e non formano un gruppo. Queste ultime includono riflessioni spaziali e/o temporali tali da alterare la parità del sistema dei quattro assi di riferimento. Nel [programma di Erlangen](/wiki/Programma_di_Erlangen "Programma di Erlangen"), lo [spazio di Minkowski](/wiki/Spazio-tempo_di_Minkowski "Spazio-tempo di Minkowski") può essere visto come la geometria definita dal gruppo di Poincarè che combina le trasformazioni di Lorentz con le traslazioni.

### Rapidità

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=4 "Modifica la sezione Rapidità") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=4 "Edit section's source code: Rapidità")\]

Una trasformazione di Lorentz può essere esposta in una forma equivalente definendo il parametro ϕ{\\displaystyle \\phi }![{\displaystyle \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4), detto _rapidità_, tale che:

eϕ=γ(1+β)=γ(1+vc)=1+v/c1−v/c{\\displaystyle e^{\\phi }=\\gamma (1+\\beta )=\\gamma \\left(1+{\\frac {v}{c}}\\right)={\\sqrt {\\frac {1+v/c}{1-v/c}}}}![{\displaystyle e^{\phi }=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f308d36b6990e30c4b5fd4c87d9f0a646fef76f)

Si ha:

e−ϕ=γ(1−β)=γ(1−vc)=1−v/c1+v/c{\\displaystyle e^{-\\phi }=\\gamma (1-\\beta )=\\gamma \\left(1-{\\frac {v}{c}}\\right)={\\sqrt {\\frac {1-v/c}{1+v/c}}}}![{\displaystyle e^{-\phi }=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e155d8d912ef01187ae1c511b5018dc31064661)

e in modo equivalente:

ϕ=ln⁡\[γ(1+β)\]=−ln⁡\[γ(1−β)\]{\\displaystyle \\phi =\\ln \\left\[\\gamma (1+\\beta )\\right\]=-\\ln \\left\[\\gamma (1-\\beta )\\right\]}![{\displaystyle \phi =\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bbd908a121ae7ab67d65cab0708bbfc29c9550)

La trasformazione di Lorentz in configurazione standard diventa pertanto la seguente:

ct−x=e−ϕ(ct′−x′)ct+x=eϕ(ct′+x′)y=y′z=z′{\\displaystyle {\\begin{aligned}&ct-x=e^{-\\phi }(ct'-x')\\\&ct+x=e^{\\phi }(ct'+x')\\\&y=y'\\\&z=z'\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}&ct-x=e^{-\phi }(ct'-x')\\&ct+x=e^{\phi }(ct'+x')\\&y=y'\\&z=z'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d889a146e7b7a32618b702242c4bf25d3560dcf8)

o equivalentemente:

ct=12(eϕ(ct′+x′)+e−ϕ(ct′−x′))x=12(eϕ(ct′+x′)−e−ϕ(ct′−x′))y=y′z=z′{\\displaystyle {\\begin{aligned}&ct={1 \\over 2}(e^{\\phi }(ct'+x')+e^{-\\phi }(ct'-x'))\\\&x={1 \\over 2}(e^{\\phi }(ct'+x')-e^{-\\phi }(ct'-x'))\\\&y=y'\\\&z=z'\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}&ct={1 \over 2}(e^{\phi }(ct'+x')+e^{-\phi }(ct'-x'))\\&x={1 \over 2}(e^{\phi }(ct'+x')-e^{-\phi }(ct'-x'))\\&y=y'\\&z=z'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e5673cd0d9fa5a29b4540a1c31c1b4f74076bc)

#### Espressioni iperboliche

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=5 "Modifica la sezione Espressioni iperboliche") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=5 "Edit section's source code: Espressioni iperboliche")\]

Dalle espressioni di eϕ{\\displaystyle e^{\\phi }}![{\displaystyle e^{\phi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d499dab6168a270fc0d9b233da384617fc89551) ed e−ϕ{\\displaystyle e^{-\\phi }}![{\displaystyle e^{-\phi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44d0550d8b496e62b5f044409d095513fab83ae) si ha:

γ=cosh⁡ϕ=eϕ+e−ϕ2{\\displaystyle \\gamma =\\cosh \\phi ={e^{\\phi }+e^{-\\phi } \\over 2}}![{\displaystyle \gamma =\cosh \phi ={e^{\phi }+e^{-\phi } \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4110b87d873eaa1932a997c2642ac41cb470926a)βγ=sinh⁡ϕ=eϕ−e−ϕ2{\\displaystyle \\beta \\gamma =\\sinh \\phi ={e^{\\phi }-e^{-\\phi } \\over 2}}![{\displaystyle \beta \gamma =\sinh \phi ={e^{\phi }-e^{-\phi } \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee85e7299ab6447abfa39643a8b32adb2dca7160)

e quindi:

β=tanh⁡ϕ=eϕ−e−ϕeϕ+e−ϕ{\\displaystyle \\beta =\\tanh \\phi ={e^{\\phi }-e^{-\\phi } \\over e^{\\phi }+e^{-\\phi }}}![{\displaystyle \beta =\tanh \phi ={e^{\phi }-e^{-\phi } \over e^{\phi }+e^{-\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e06239528bf77f7ea68fba4ce7ca07e1ef7b6a)

Sostituendo nella forma matriciale della trasformazione:

\[ct′x′y′z′\]=\[cosh⁡ϕ−sinh⁡ϕ00−sinh⁡ϕcosh⁡ϕ0000100001\]\[ctxyz\]{\\displaystyle {\\begin{bmatrix}ct'\\\x'\\\y'\\\z'\\end{bmatrix}}={\\begin{bmatrix}\\cosh \\phi &-\\sinh \\phi &0&0\\\-\\sinh \\phi &\\cosh \\phi &0&0\\\0&0&1&0\\\0&0&0&1\\\\\end{bmatrix}}{\\begin{bmatrix}ct\\\x\\\y\\\z\\end{bmatrix}}}![{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f69d7c2625d486832124a52b8959d36def1e595)

Una trasformazione di Lorentz può essere pertanto vista come una [rotazione iperbolica](/w/index.php?title=Rotazione_iperbolica&action=edit&redlink=1 "Rotazione iperbolica (la pagina non esiste)") delle coordinate nello [spazio di Minkowski](/wiki/Spazio_di_Minkowski "Spazio di Minkowski"), in cui il parametro ϕ{\\displaystyle \\phi }![{\displaystyle \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4) rappresenta l'angolo iperbolico di rotazione.

### Trasformazioni in direzione _y_ o _z_

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=6 "Modifica la sezione Trasformazioni in direzione y o z") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=6 "Edit section's source code: Trasformazioni in direzione y o z")\]

Le trasformazioni tra due sistemi che traslano lungo gli assi y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) o z{\\displaystyle z}![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98) sono analoghe al caso standard. In direzione y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d):

t′=γ(t−vc2y)x′=xy′=γ(y−vt)z′=z{\\displaystyle {\\begin{aligned}t'&=\\gamma \\left(t-{\\tfrac {v}{c^{2}}}y\\right)\\\x'&=x\\\y'&=\\gamma \\left(y-vt\\right)\\\z'&=z\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}y\right)\\x'&=x\\y'&=\gamma \left(y-vt\right)\\z'&=z\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c471ded71eb23a448b313ddba37d78f37bd3e7)

che si può scrivere sinteticamente:

\[ct′x′y′z′\]=\[γ0−βγ00100−βγ0γ00001\]\[ctxyz\]β=vc{\\displaystyle {\\begin{bmatrix}ct'\\\x'\\\y'\\\z'\\end{bmatrix}}={\\begin{bmatrix}\\gamma &0&-\\beta \\gamma &0\\\0&1&0&0\\\-\\beta \\gamma &0&\\gamma &0\\\0&0&0&1\\\\\end{bmatrix}}{\\begin{bmatrix}c\\,t\\\x\\\y\\\z\\end{bmatrix}}\\qquad \\mathbf {\\beta } ={\\frac {\\mathbf {v} }{c}}}![{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&-\beta \gamma &0\\0&1&0&0\\-\beta \gamma &0&\gamma &0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca05dff7e8397d8d877557d3e70f20bfadb88064)

dove v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) è in direzione y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d). In direzione z{\\displaystyle z}![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98) si ha, analogamente:

t′=γ(t−vc2z)x′=xy′=yz′=γ(z−vt){\\displaystyle {\\begin{aligned}t'&=\\gamma \\left(t-{\\tfrac {v}{c^{2}}}z\\right)\\\x'&=x\\\y'&=y\\\z'&=\\gamma \\left(z-vt\\right)\\\\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}z\right)\\x'&=x\\y'&=y\\z'&=\gamma \left(z-vt\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeaadc068c7709b22f52baf816837a77a31deb9)

che si può scrivere sinteticamente:

\[ct′x′y′z′\]=\[γ00−βγ01000010−βγ00γ\]\[ctxyz\]{\\displaystyle {\\begin{bmatrix}ct'\\\x'\\\y'\\\z'\\end{bmatrix}}={\\begin{bmatrix}\\gamma &0&0&-\\beta \\gamma \\\0&1&0&0\\\0&0&1&0\\\-\\beta \\gamma &0&0&\\gamma \\\\\end{bmatrix}}{\\begin{bmatrix}c\\,t\\\x\\\y\\\z\\end{bmatrix}}}![{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&0&-\beta \gamma \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta \gamma &0&0&\gamma \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ede03610ae0609e41bd08dfeb19c3166033284a)

dove v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) e β{\\displaystyle \\mathbf {\\beta } }![{\displaystyle \mathbf {\beta } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aa99638e54aa8d94578d75aeb26380b9251e36) sono in direzione z{\\displaystyle z}![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98).

Le trasformazioni di Lorentz sono spesso denotate con Λ{\\displaystyle \\mathbf {\\Lambda } }![{\displaystyle \mathbf {\Lambda } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baacea0858757143db3b530f015a72d1224b44fa) e valgono per ogni generico quadrivettore X{\\displaystyle \\mathbf {X} }![{\displaystyle \mathbf {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f75966a2f9d5672136fa9401ee1e75008f95ffd):[\[8\]](#cite_note-Gravitation,_J.A._Wheeler_1973-8)

X′=Λ(v)X{\\displaystyle \\mathbf {X} '={\\boldsymbol {\\Lambda }}(v)\\mathbf {X} }![{\displaystyle \mathbf {X} '={\boldsymbol {\Lambda }}(v)\mathbf {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5abeae4f10155dc130292657c8e68d7d2559ed9)

## Trasformazioni in direzione generica

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=7 "Modifica la sezione Trasformazioni in direzione generica") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=7 "Edit section's source code: Trasformazioni in direzione generica")\]

Per una trasformazione in una direzione arbitraria tra due sistemi con assi paralleli ed origini coincidenti nello spaziotempo è conveniente scomporre il vettore spaziale r{\\displaystyle \\mathbf {r} }![{\displaystyle \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1) in due componenti, rispettivamente perpendicolari e parallele alla velocità v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6):

r=r⊥+r‖{\\displaystyle \\mathbf {r} =\\mathbf {r} \_{\\perp }+\\mathbf {r} \_{\\\|}}![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27915d4c7c2e1068fc0ed0c9e1c35d6f78a8a6dd)

Si osserva che solo la componente r‖{\\displaystyle \\mathbf {r} \_{\\\|}}![{\displaystyle \mathbf {r} _{\|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a9b6f6794e7b244f97c4dac1672623cf8b2ab1) nella direzione di v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) viene deformata dal fattore γ{\\displaystyle \\gamma }![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a):

{t′=γ(t−v⋅rc2)r′=r⊥+γ(r‖−vt){\\displaystyle {\\begin{cases}t'=\\gamma \\left(t-{\\frac {\\mathbf {v} \\cdot \\mathbf {r} }{c^{2}}}\\right)\\\\\mathbf {r'} =\\mathbf {r} \_{\\perp }+\\gamma (\\mathbf {r} \_{\\\|}-\\mathbf {v} t)\\end{cases}}}![{\displaystyle {\begin{cases}t'=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r'} =\mathbf {r} _{\perp }+\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f684091e9272cf191c3726be7ecfa761ec1c42c)

La seconda espressione può essere riscritta come:

r′=r+(γ−1v2(r⋅v)−γt)v{\\displaystyle \\mathbf {r'} =\\mathbf {r} +\\left({\\frac {\\gamma -1}{v^{2}}}(\\mathbf {r} \\cdot \\mathbf {v} )-\\gamma t\\right)\\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {r'} =\mathbf {r} +\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f252fb2c68cc0fe49ec545364cc0a54cb68c506)

Tale espressione non contempla la rotazione degli assi, e pertanto non identifica la trasformazione di Lorentz più generale.

### Forma matriciale

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=8 "Modifica la sezione Forma matriciale") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=8 "Edit section's source code: Forma matriciale")\]

Tale trasformazione può essere espressa utilizzando una [matrice a blocchi](/wiki/Matrice_a_blocchi "Matrice a blocchi"):

\[ct′r′\]=\[γ−γβT−γβI+(γ−1)ββT/β2\]\[ctr\]{\\displaystyle {\\begin{bmatrix}ct'\\\\\mathbf {r'} \\end{bmatrix}}={\\begin{bmatrix}\\gamma &-\\gamma {\\boldsymbol {\\beta }}^{\\mathrm {T} }\\\-\\gamma {\\boldsymbol {\\beta }}&\\mathbf {I} +(\\gamma -1){\\boldsymbol {\\beta }}{\\boldsymbol {\\beta }}^{\\mathrm {T} }/\\beta ^{2}\\\\\end{bmatrix}}{\\begin{bmatrix}ct\\\\\mathbf {r} \\end{bmatrix}}}![{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }\\-\gamma {\boldsymbol {\beta }}&\mathbf {I} +(\gamma -1){\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }/\beta ^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203e6b01a508fae8f7b82b9740322c37056a7f13)

dove I{\\displaystyle \\mathbf {I} }![{\displaystyle \mathbf {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a458c8aeb096ce732abf346ae8edf3e4f53a126) è la [matrice identica](/wiki/Matrice_identit%C3%A0 "Matrice identità"), β=vc{\\displaystyle \\mathbf {\\beta } ={\\frac {\\mathbf {v} }{c}}}![{\displaystyle \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8eb17983fa48976dfe4798d998c15ceacf1455) è la velocità relativa in unità di _c_ espressa come vettore colonna:

β=vc≡\[βxβyβz\]=1c\[vxvyvz\]≡\[β1β2β3\]=1c\[v1v2v3\]{\\displaystyle {\\boldsymbol {\\beta }}={\\frac {\\mathbf {v} }{c}}\\equiv {\\begin{bmatrix}\\beta \_{x}\\\\\beta \_{y}\\\\\beta \_{z}\\end{bmatrix}}={\\frac {1}{c}}{\\begin{bmatrix}v\_{x}\\\v\_{y}\\\v\_{z}\\end{bmatrix}}\\equiv {\\begin{bmatrix}\\beta \_{1}\\\\\beta \_{2}\\\\\beta \_{3}\\end{bmatrix}}={\\frac {1}{c}}{\\begin{bmatrix}v\_{1}\\\v\_{2}\\\v\_{3}\\end{bmatrix}}}![{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\\\beta _{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed234f20b8b2620ebd3fe86ed9d69c3e48042c14)

mentre βT=vTc{\\displaystyle \\mathbf {\\beta } ^{T}={\\frac {\\mathbf {v} ^{T}}{c}}}![{\displaystyle \mathbf {\beta } ^{T}={\frac {\mathbf {v} ^{T}}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9679d5146b086e3df32375ebb2a19fa17b3c6a2) è la sua [trasposta](/wiki/Matrice_trasposta "Matrice trasposta"), un vettore riga:

βT=vTc≡\[βxβyβz\]=1c\[vxvyvz\]≡\[β1β2β3\]=1c\[v1v2v3\]{\\displaystyle {\\boldsymbol {\\beta }}^{\\mathrm {T} }={\\frac {\\mathbf {v} ^{\\mathrm {T} }}{c}}\\equiv {\\begin{bmatrix}\\beta \_{x}&\\beta \_{y}&\\beta \_{z}\\end{bmatrix}}={\\frac {1}{c}}{\\begin{bmatrix}v\_{x}&v\_{y}&v\_{z}\\end{bmatrix}}\\equiv {\\begin{bmatrix}\\beta \_{1}&\\beta \_{2}&\\beta \_{3}\\end{bmatrix}}={\\frac {1}{c}}{\\begin{bmatrix}v\_{1}&v\_{2}&v\_{3}\\\\\end{bmatrix}}}![{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }={\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }}{c}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{x}&\beta _{y}&\beta _{z}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841bd89c20260ff51fb7e708b86b8a8f3e07f11f)

con β{\\displaystyle \\beta }![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8) il modulo di β{\\displaystyle \\mathbf {\\beta } }![{\displaystyle \mathbf {\beta } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aa99638e54aa8d94578d75aeb26380b9251e36):

β=\|β\|=βx2+βy2+βz2{\\displaystyle \\beta =\|{\\boldsymbol {\\beta }}\|={\\sqrt {\\beta \_{x}^{2}+\\beta \_{y}^{2}+\\beta \_{z}^{2}}}}![{\displaystyle \beta =|{\boldsymbol {\beta }}|={\sqrt {\beta _{x}^{2}+\beta _{y}^{2}+\beta _{z}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8582166c20a2c2bbc87197669118075c2ce36050)

Esplicitamente:

\[ct′x′y′z′\]=\[γ−γβx−γβy−γβz−γβx1+(γ−1)βx2β2(γ−1)βxβyβ2(γ−1)βxβzβ2−γβy(γ−1)βyβxβ21+(γ−1)βy2β2(γ−1)βyβzβ2−γβz(γ−1)βzβxβ2(γ−1)βzβyβ21+(γ−1)βz2β2\]\[ctxyz\]{\\displaystyle {\\begin{bmatrix}c\\,t'\\\x'\\\y'\\\z'\\end{bmatrix}}={\\begin{bmatrix}\\gamma &-\\gamma \\,\\beta \_{x}&-\\gamma \\,\\beta \_{y}&-\\gamma \\,\\beta \_{z}\\\-\\gamma \\,\\beta \_{x}&1+(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{x}^{2}}{\\beta ^{2}}}&(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{x}\\beta \_{y}}{\\beta ^{2}}}&(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{x}\\beta \_{z}}{\\beta ^{2}}}\\\-\\gamma \\,\\beta \_{y}&(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{y}\\beta \_{x}}{\\beta ^{2}}}&1+(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{y}^{2}}{\\beta ^{2}}}&(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{y}\\beta \_{z}}{\\beta ^{2}}}\\\-\\gamma \\,\\beta \_{z}&(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{z}\\beta \_{x}}{\\beta ^{2}}}&(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{z}\\beta \_{y}}{\\beta ^{2}}}&1+(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{z}^{2}}{\\beta ^{2}}}\\\\\end{bmatrix}}{\\begin{bmatrix}c\\,t\\\x\\\y\\\z\\end{bmatrix}}}![{\displaystyle {\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \,\beta _{x}&-\gamma \,\beta _{y}&-\gamma \,\beta _{z}\\-\gamma \,\beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \,\beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \,\beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707fe34c055efee86144ab62c71d6cacd3244ca9)

La trasformazione può essere scritta in modo analogo al precedente:

X′=Λ(v)X{\\displaystyle \\mathbf {X} '={\\boldsymbol {\\Lambda }}(\\mathbf {v} )\\mathbf {X} }![{\displaystyle \mathbf {X} '={\boldsymbol {\Lambda }}(\mathbf {v} )\mathbf {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a45e67a07711f74c3059edf78f426510fa21c9)

ed ha la seguente struttura matriciale:

\[ct′x′y′z′\]=\[Λ00Λ01Λ02Λ03Λ10Λ11Λ12Λ13Λ20Λ21Λ22Λ23Λ30Λ31Λ32Λ33\]\[ctxyz\]{\\displaystyle {\\begin{bmatrix}c\\,t'\\\x'\\\y'\\\z'\\end{bmatrix}}={\\begin{bmatrix}\\Lambda \_{00}&\\Lambda \_{01}&\\Lambda \_{02}&\\Lambda \_{03}\\\\\Lambda \_{10}&\\Lambda \_{11}&\\Lambda \_{12}&\\Lambda \_{13}\\\\\Lambda \_{20}&\\Lambda \_{21}&\\Lambda \_{22}&\\Lambda \_{23}\\\\\Lambda \_{30}&\\Lambda \_{31}&\\Lambda \_{32}&\\Lambda \_{33}\\\\\end{bmatrix}}{\\begin{bmatrix}c\\,t\\\x\\\y\\\z\\end{bmatrix}}}![{\displaystyle {\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Lambda _{00}&\Lambda _{01}&\Lambda _{02}&\Lambda _{03}\\\Lambda _{10}&\Lambda _{11}&\Lambda _{12}&\Lambda _{13}\\\Lambda _{20}&\Lambda _{21}&\Lambda _{22}&\Lambda _{23}\\\Lambda _{30}&\Lambda _{31}&\Lambda _{32}&\Lambda _{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b3826692fb61ea4909ca73df4f6b96bc462d58)

le cui componenti sono:

Λ00=γΛ0i=Λi0=−γβiΛij=Λji=(γ−1)βiβjβ2+δij=(γ−1)vivjv2+δij{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\Lambda \_{00}&=\\gamma \\\\\Lambda \_{0i}&=\\Lambda \_{i0}=-\\gamma \\beta \_{i}\\\\\Lambda \_{ij}&=\\Lambda \_{ji}=(\\gamma -1){\\dfrac {\\beta \_{i}\\beta \_{j}}{\\beta ^{2}}}+\\delta \_{ij}=(\\gamma -1){\\dfrac {v\_{i}v\_{j}}{v^{2}}}+\\delta \_{ij}\\\\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma \\\Lambda _{0i}&=\Lambda _{i0}=-\gamma \beta _{i}\\\Lambda _{ij}&=\Lambda _{ji}=(\gamma -1){\dfrac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\dfrac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a1ac2331fa41434beb999a5f50f27d21d649c2)

dove δij{\\displaystyle \\delta \_{ij}}![{\displaystyle \delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa75d04c11480d976e1396951e02cbb3c4f71568) è la [delta di Kronecker](/wiki/Delta_di_Kronecker "Delta di Kronecker").

### Relazione tra componenti parallele e perpendicolari

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=9 "Modifica la sezione Relazione tra componenti parallele e perpendicolari") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=9 "Edit section's source code: Relazione tra componenti parallele e perpendicolari")\]

Per mettere in relazione le componenti parallele e perpendicolari di r{\\displaystyle \\mathbf {r} }![{\displaystyle \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1) rispetto alla velocità di traslazione dei sistemi di riferimento, si considera la trasformazione per r{\\displaystyle \\mathbf {r} }![{\displaystyle \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1):

r′=r∥′+r⊥′=γ(r∥−vt)+r⊥{\\displaystyle \\mathbf {r} '=\\mathbf {r} \_{\\parallel }'+\\mathbf {r} \_{\\bot }'=\\gamma \\left(\\mathbf {r} \_{\\parallel }-\\mathbf {v} t\\right)+\\mathbf {r} \_{\\bot }}![{\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\parallel }'+\mathbf {r} _{\bot }'=\gamma \left(\mathbf {r} _{\parallel }-\mathbf {v} t\right)+\mathbf {r} _{\bot }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9315c35a160fa16d59e7ded9da9fef65313ed19e)

aggiungendo 0=γr⊥−γr⊥{\\displaystyle \\scriptstyle 0=\\gamma \\mathbf {r} \_{\\bot }-\\gamma \\mathbf {r} \_{\\bot }}![{\displaystyle \scriptstyle 0=\gamma \mathbf {r} _{\bot }-\gamma \mathbf {r} _{\bot }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9716280476006bea6f3488768c6129887f555bd4) per eliminare γr∥{\\displaystyle \\scriptstyle \\gamma \\mathbf {r} \_{\\parallel }}![{\displaystyle \scriptstyle \gamma \mathbf {r} _{\parallel }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3969ddd01986812f40a49e1c6625092e4c540f4) si ottiene:

r′=(γr∥+γr⊥)−γvt+r⊥−γr⊥=γr−γvt+(1−γ)r⊥{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathbf {r} '&=(\\gamma \\mathbf {r} \_{\\parallel }{\\color {Violet}+\\gamma \\mathbf {r} \_{\\bot }})-\\gamma \\mathbf {v} t+\\mathbf {r} \_{\\bot }{\\color {Violet}-\\gamma \\mathbf {r} \_{\\bot }}\\\&=\\gamma \\mathbf {r} -\\gamma \\mathbf {v} t+(1-\\gamma )\\mathbf {r} \_{\\bot }\\\\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} '&=(\gamma \mathbf {r} _{\parallel }{\color {Violet}+\gamma \mathbf {r} _{\bot }})-\gamma \mathbf {v} t+\mathbf {r} _{\bot }{\color {Violet}-\gamma \mathbf {r} _{\bot }}\\&=\gamma \mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+(1-\gamma )\mathbf {r} _{\bot }\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac58d4500e40693454fd22b7e5d61d5e7dc7a3f3)

Aggiungendo poi 0=(1−γ)r∥−(1−γ)r∥{\\displaystyle \\scriptstyle 0=(1-\\gamma )\\mathbf {r} \_{\\parallel }-(1-\\gamma )\\mathbf {r} \_{\\parallel }}![{\displaystyle \scriptstyle 0=(1-\gamma )\mathbf {r} _{\parallel }-(1-\gamma )\mathbf {r} _{\parallel }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7812cb2c7e393710bc0b35c1f349136d33e59f18) per eliminare (1−γ)r⊥{\\displaystyle \\scriptstyle (1-\\gamma )\\mathbf {r} \_{\\bot }}![{\displaystyle \scriptstyle (1-\gamma )\mathbf {r} _{\bot }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d019ea731c43438613aa5b4080136bd152100ae):

r′=γr−γvt+\[(1−γ)r⊥+(1−γ)r∥\]−(1−γ)r∥=γr−γvt+(1−γ)r+(γ−1)r∥{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathbf {r} '&=\\gamma \\mathbf {r} -\\gamma \\mathbf {v} t+\[(1-\\gamma )\\mathbf {r} \_{\\bot }{\\color {Violet}+(1-\\gamma )\\mathbf {r} \_{\\parallel }}\]{\\color {Violet}-(1-\\gamma )\\mathbf {r} \_{\\parallel }}\\\&=\\gamma \\mathbf {r} -\\gamma \\mathbf {v} t+(1-\\gamma )\\mathbf {r} +(\\gamma -1)\\mathbf {r} \_{\\parallel }\\\\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\gamma \mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+[(1-\gamma )\mathbf {r} _{\bot }{\color {Violet}+(1-\gamma )\mathbf {r} _{\parallel }}]{\color {Violet}-(1-\gamma )\mathbf {r} _{\parallel }}\\&=\gamma \mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+(1-\gamma )\mathbf {r} +(\gamma -1)\mathbf {r} _{\parallel }\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6777f57cf6f9d8e2233e67e9552115cad5562ea2)

e dal momento che r∥{\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbf {r} \_{\\parallel }}![{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} _{\parallel }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7dbdf39a6febad8b481a90d9b0ebe7176829387) e r{\\displaystyle \\mathbf {r} }![{\displaystyle \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1) sono parallele si ha:

r∥=r∥vv=(r⋅vv)vv{\\displaystyle \\mathbf {r} \_{\\parallel }=r\_{\\parallel }{\\dfrac {\\mathbf {v} }{v}}=\\left({\\dfrac {\\mathbf {r} \\cdot \\mathbf {v} }{v}}\\right){\\frac {\\mathbf {v} }{v}}}![{\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=r_{\parallel }{\dfrac {\mathbf {v} }{v}}=\left({\dfrac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{v}}\right){\frac {\mathbf {v} }{v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5d4039de5ebf696572ec95d4f16de1774e09af)

In tale relazione vv{\\displaystyle \\mathbf {v} \\over v}![{\displaystyle \mathbf {v}  \over v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23f0f70455371b6b3fcc69bc00a82c7b95e083f) è un vettore unitario adimensionale che ha la stessa direzione di r∥{\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbf {r} \_{\\parallel }}![{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} _{\parallel }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7dbdf39a6febad8b481a90d9b0ebe7176829387), e pertanto:

r′=r−γvt+(γ−1)r⋅vv2v=r+(γ−1v2r⋅v−γt)v{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathbf {r} '&=\\mathbf {r} -\\gamma \\mathbf {v} t+{\\frac {(\\gamma -1)\\mathbf {r} \\cdot \\mathbf {v} }{v^{2}}}\\mathbf {v} \\\&=\\mathbf {r} +\\left({\\frac {\\gamma -1}{v^{2}}}\\mathbf {r} \\cdot \\mathbf {v} -\\gamma t\\right)\\mathbf {v} \\\\\end{aligned}}}![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+{\frac {(\gamma -1)\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{v^{2}}}\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} +\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} -\gamma t\right)\mathbf {v} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81df297d6d60757de072d241469e8d81a31bba0)

Tale metodo è valido per qualsiasi trasformazione di Lorentz scritta in modo analogo.

### Trasformazioni di Poincaré (generali non omogenee)

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=10 "Modifica la sezione Trasformazioni di Poincaré (generali non omogenee)") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=10 "Edit section's source code: Trasformazioni di Poincaré (generali non omogenee)")\]

Infine, se imponiamo che gli assi non siano paralleli e che al tempo t=t′=0{\\displaystyle t=t'=0}![{\displaystyle t=t'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80fd67edc034373b5b453322ca454bc9e20e651) le origini dei due sistemi non siano coincidenti, otteniamo le più generali trasformazioni di Lorentz non omogenee (dette _trasformazioni di [Poincaré](/wiki/Henri_Poincar%C3%A9 "Henri Poincaré")_):

{r→′=Rr→+\[(γ−1)v→⋅Rr→v2−γt\]v→+r→0t′=γ(t−v→⋅Rr→c2)+t0{\\displaystyle {\\begin{cases}\\displaystyle {\\vec {r}}'=R{\\vec {r}}+\\left\[\\left(\\gamma -1\\right){\\frac {{\\vec {v}}\\cdot R{\\vec {r}}}{v^{2}}}-\\gamma t\\right\]{\\vec {v}}+{\\vec {r}}\_{0}\\\\\displaystyle t'=\\gamma \\left(t-{\\frac {{\\vec {v}}\\cdot R{\\vec {r}}}{c^{2}}}\\right)+t\_{0}\\end{cases}}}![{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\vec {r}}'=R{\vec {r}}+\left[\left(\gamma -1\right){\frac {{\vec {v}}\cdot R{\vec {r}}}{v^{2}}}-\gamma t\right]{\vec {v}}+{\vec {r}}_{0}\\\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot R{\vec {r}}}{c^{2}}}\right)+t_{0}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f091c343f6e0ca64000bf9ad19f897e80cd9cf6)

dove

R=(i^⋅i^′j^⋅i^′k^⋅i^′i^⋅j^′j^⋅j^′k^⋅j^′i^⋅k^′j^⋅k^′k^⋅k^′){\\displaystyle R={\\begin{pmatrix}{\\hat {i}}\\cdot {\\hat {i}}'&{\\hat {j}}\\cdot {\\hat {i}}'&{\\hat {k}}\\cdot {\\hat {i}}'\\\{\\hat {i}}\\cdot {\\hat {j}}'&{\\hat {j}}\\cdot {\\hat {j}}'&{\\hat {k}}\\cdot {\\hat {j}}'\\\{\\hat {i}}\\cdot {\\hat {k}}'&{\\hat {j}}\\cdot {\\hat {k}}'&{\\hat {k}}\\cdot {\\hat {k}}'\\end{pmatrix}}}![{\displaystyle R={\begin{pmatrix}{\hat {i}}\cdot {\hat {i}}'&{\hat {j}}\cdot {\hat {i}}'&{\hat {k}}\cdot {\hat {i}}'\\{\hat {i}}\cdot {\hat {j}}'&{\hat {j}}\cdot {\hat {j}}'&{\hat {k}}\cdot {\hat {j}}'\\{\hat {i}}\cdot {\hat {k}}'&{\hat {j}}\cdot {\hat {k}}'&{\hat {k}}\cdot {\hat {k}}'\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779457efd40625c3f2e281c8fcf24c2de492e848)

è la matrice della rotazione del sistema.

## Composizione di due boost e rotazioni

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=11 "Modifica la sezione Composizione di due boost e rotazioni") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=11 "Edit section's source code: Composizione di due boost e rotazioni")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Lorentz_transform_of_world_line.gif)](/wiki/File:Lorentz_transform_of_world_line.gif) Visione dello spazio tempo lungo la [world line](/wiki/Linea_di_universo "Linea di universo") di un osservatore che accelera rapidamente muovendosi in una dimensione. La direzione verticale è relativa all'asse temporale, quella orizzontale all'asse spaziale. La linea tratteggiata è la traiettoria (world line) seguita dall'osservatore, mentre i punti sono eventi nello spazio tempo.

La composizione di più boost, ovvero la composizione di due trasformazioni fra due sistemi inerziali in moto relativo uniforme, non produce soltanto un boost, ma anche una rotazione. La trasformazione di Lorentz più generale, pertanto, contiene la possibilità di una rotazione degli assi, detta _rotazione di Thomas_. Se una successione di boost consente all'origine di una successione di sistemi inerziali di ritornare al punto di partenza, allora l'insieme delle rotazioni di Thomas produce una rotazione complessiva detta [precessione di Thomas](/w/index.php?title=Precessione_di_Thomas&action=edit&redlink=1 "Precessione di Thomas (la pagina non esiste)").[\[9\]](#cite_note-9)

La composizione di due boost B(u){\\displaystyle B(\\mathbf {u} )}![{\displaystyle B(\mathbf {u} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b70013a73e8b49b3279140fa40838d2c74d3579) e B(v){\\displaystyle B(\\mathbf {v} )}![{\displaystyle B(\mathbf {v} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bff855ec39e43d3e81b4aac7a740547a096c4a7) rispettivamente caratterizzati dalle velocità u{\\displaystyle \\mathbf {u} }![{\displaystyle \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261e20fe101de02a771021d9d4466c0ad3e352d7) e v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6), è data da:[\[10\]](#cite_note-relcompara-10)[\[11\]](#cite_note-11)

B(u)B(v)=B(u⊕v)Gyr\[u,v\]=Gyr\[u,v\]B(v⊕u){\\displaystyle B(\\mathbf {u} )B(\\mathbf {v} )=B\\left(\\mathbf {u} \\oplus \\mathbf {v} \\right)\\mathrm {Gyr} \\left\[\\mathbf {u} ,\\mathbf {v} \\right\]=\\mathrm {Gyr} \\left\[\\mathbf {u} ,\\mathbf {v} \\right\]B\\left(\\mathbf {v} \\oplus \\mathbf {u} \\right)}![{\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B\left(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \right)\mathrm {Gyr} \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} \right]=\mathrm {Gyr} \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} \right]B\left(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da53c00afa6c8762037a5a27409eae309dc96ba)

dove u⊕v{\\displaystyle \\mathbf {u} \\oplus \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf673649c3799b9be1d29838f48841268eb3a2aa) è la [composizione delle velocità](/wiki/Composizione_delle_velocit%C3%A0 "Composizione delle velocità") e Gyr{\\displaystyle \\mathrm {Gyr} }![{\displaystyle \mathrm {Gyr} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c110b3c9e0c09902051b25063724297c35156c6) la rotazione derivante da tale composizione. Se Gyr{\\displaystyle \\mathrm {Gyr} }![{\displaystyle \mathrm {Gyr} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c110b3c9e0c09902051b25063724297c35156c6) è la matrice 3 × 3 associata alla rotazione delle coordinate spaziali, allora la matrice di rotazione per le quattro coordinate è data da:

Gyr\[u,v\]=(100gyr\[u,v\]){\\displaystyle \\mathrm {Gyr} \[\\mathbf {u} ,\\mathbf {v} \]={\\begin{pmatrix}1&0\\\0&\\mathrm {gyr} \[\\mathbf {u} ,\\mathbf {v} \]\\end{pmatrix}}}![{\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17c7dd5d8e34513049d42f37c1a3c0cded722ef)

La composizione di due trasformazioni di Lorentz generiche L(u,U){\\displaystyle L(\\mathbf {u} ,U)}![{\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba42ee5042cc4dbdd3775b949552ebc208ea7ab9) e L(u,V){\\displaystyle L(\\mathbf {u} ,V)}![{\displaystyle L(\mathbf {u} ,V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293eb3e9dd1df1e86b779cc2b7695f221bca49bd) che includa le rotazioni U{\\displaystyle U}![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) e V{\\displaystyle V}![{\displaystyle V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845) è data da:

L(u,U)L(u,V)=L(u⊕Uv,gyr\[u,Uv\]UV){\\displaystyle L(\\mathbf {u} ,U)L(\\mathbf {u} ,V)=L(\\mathbf {u} \\oplus U\\mathbf {v} ,\\mathrm {gyr} \[\\mathbf {u} ,U\\mathbf {v} \]UV)}![{\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {u} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f12a6f40c6d0c69a5e1ab011fcb61b8209a34e)

dove gyr{\\displaystyle \\mathrm {gyr} }![{\displaystyle \mathrm {gyr} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a6f12646a906648d0ed632562df9ba886ec0c1) è la _precessione di Thomas giroscopica_, definita come una operatore della velocità w{\\displaystyle \\mathbf {w} }![{\displaystyle \mathbf {w} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20795664b5b048744a2fd88977851104cc5816f8) nel seguente modo:

gyr\[u,v\]w=⊖(u⊕v)⊕(u⊕(v⊕w))∀w{\\displaystyle {\\text{gyr}}\[\\mathbf {u} ,\\mathbf {v} \]\\mathbf {w} =\\ominus (\\mathbf {u} \\oplus \\mathbf {v} )\\oplus (\\mathbf {u} \\oplus (\\mathbf {v} \\oplus \\mathbf {w} ))\\quad \\forall \\mathbf {w} }![{\displaystyle {\text{gyr}}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))\quad \forall \mathbf {w} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497c66690caef70430e1938e93cadaedcc33d129)

## Limite galileiano

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=12 "Modifica la sezione Limite galileiano") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=12 "Edit section's source code: Limite galileiano")\]

Nella teoria galileiana, come in quella newtoniana, la velocità della luce ha un valore infinito c=∞{\\displaystyle c=\\infty }![{\displaystyle c=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbeff78c272b7c13638f2b9e600934f7b455eab9) e tutte le interazioni avvengono in un tempo istantaneo. Per qualsiasi modulo di velocità di movimento relativo v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) tra riferimenti inerziali dunque il rapporto tra tale modulo e la velocità della luce è limc→∞vc=0∀v∈R+{\\displaystyle \\lim \_{c\\to \\infty }{\\frac {v}{c}}=0\ \ \\forall v\\in \\mathbb {R^{+}} }![{\displaystyle \lim _{c\to \infty }{\frac {v}{c}}=0\ \ \forall v\in \mathbb {R^{+}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f342b163719bd903b5ed8be1845711b1e0515d), e le trasformazioni si possono ricondurre a [quelle di Galileo](/wiki/Trasformazione_galileiana "Trasformazione galileiana"):

{t′=tx′=(x−vt)y′=yz′=z{\\displaystyle {\\begin{cases}t'=t\\\x'=\\left(x-vt\\right)\\\y'=y\\\z'=z\\end{cases}}}![{\displaystyle {\begin{cases}t'=t\\x'=\left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe01192ad3314f67f1c15894127671b372a449a)

Infatti se bastasse considerare velocità v≪c{\\displaystyle v\\ll c}![{\displaystyle v\ll c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeae20cf8308560968c220b5c0da3d2b6a48e8d6) allora potrei sviluppare γ∼1+12v2c2{\\displaystyle \\gamma \\sim 1+{\\frac {1}{2}}{\\frac {v^{2}}{c^{2}}}}![{\displaystyle \gamma \sim 1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf98e132b875665ae59a6d9eceafc99896b36a7), ragionamento valido nella teoria di Einstein. Invece nella teoria di Galileo le trasformazioni non sono approssimazioni ma forme esatte. Difatti nella teoria galileiana il tempo è **pantopico.**[\[12\]](#cite_note-12)

In questo senso la teoria galileiana rappresenta un caso particolare della teoria einsteniana. Questo spiega perché effetti relativistici significativi di dilatazione/contrazione dei tempi e degli spazi nella teoria galileiana non sono contemplati.

## Note

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=13 "Modifica la sezione Note") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=13 "Edit section's source code: Note")\]

01. [**^**](#cite_ref-1) Michael N. Macrossan, [A Note on Relativity Before Einstein](https://web.archive.org/web/20131029203003/http://espace.library.uq.edu.au/view.php?pid=UQ:9560), in Brit. Journal Philos. Science, vol. 37, 1986, pp. 232–34, [DOI](/wiki/Digital_object_identifier "Digital object identifier"): [10.1093/bjps/37.2.232](https://dx.doi.org/10.1093%2Fbjps%2F37.2.232). URL consultato l'8 marzo 2015(archiviato dall'url originale il 29 ottobre 2013).
02. [**^**](#cite_ref-2) [Voigt](#CITEREFVoigt).
03. [**^**](#cite_ref-3) Ricardo Heras, [_Voigt's transformations and the beginning of the relativistic revolution_](https://arxiv.org/pdf/1411.2559.pdf), 2014
04. [**^**](#cite_ref-4) A. Ernst e J.-P. Hsu, First proposal of the universal speed of light by Voigt 1887, in Chinese Journal of Physics, vol. 39, n. 3, 2001, pp. 211–230.
05. [**^**](#cite_ref-5) [Jackson](#CITEREFJackson), p. 527.
06. [**^**](#cite_ref-6) [Jackson](#CITEREFJackson), p. 540.
07. [**^**](#cite_ref-7) [Jackson](#CITEREFJackson), p. 525.
08. [**^**](#cite_ref-Gravitation,_J.A._Wheeler_1973_8-0) Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, [ISBN 0-7167-0344-0](/wiki/Speciale:RicercaISBN/0716703440)
09. [**^**](#cite_ref-9) [Relativistic velocity space, Wigner rotation and Thomas precession](https://arxiv.org/abs/gr-qc/0501070v1), John A. Rhodes, Mark D. Semon (2005)
10. [**^**](#cite_ref-relcompara_10-0) Ungar, A. A: [The relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation.](http://www.springerlink.com/content/g157304vh4434413/) Found. Phys. 19, 1385–1396 (1989)
11. [**^**](#cite_ref-11) [The relativistic composite-velocity reciprocity principle](http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.35.1131&rep=rep1&type=pdf), AA Ungar - Foundations of Physics, 2000 - Springer
12. [**^**](#cite_ref-12) C. Moller, [The theory of relativity.](https://archive.org/details/theoryofrelativi029229mbp), in Oxford university press., vol. 4, n. 3, 1972, pp. 170–170, [DOI](/wiki/Digital_object_identifier "Digital object identifier"): [10.1017/s001309150000300x](https://dx.doi.org/10.1017%2Fs001309150000300x). URL consultato il 3 agosto 2023.

## Bibliografia

\[ [modifica](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&veaction=edit&section=14 "Modifica la sezione Bibliografia") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Trasformazione_di_Lorentz&action=edit&section=14 "Edit section's source code: Bibliografia")\]

- (EN) [Albert Einstein](/wiki/Albert_Einstein "Albert Einstein"), [Relativity: The Special and the General Theory](https://www.marxists.org/reference/archive/einstein/works/1910s/relative/), New York, Three Rivers Press, 1995, [ISBN](/wiki/ISBN "ISBN") [0-517-88441-0](/wiki/Speciale:RicercaISBN/0-517-88441-0 "Speciale:RicercaISBN/0-517-88441-0").
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- [文言](https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E6%B4%9B%E5%80%AB%E8%8C%A8%E8%AE%8A%E6%8F%9B "洛倫茨變換 - cinese classico")

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