Relatività generale - Wikipedia
Essa descrive l'interazione gravitazionale non più come azione a distanza fra corpi massivi, come nella teoria newtoniana, ma come effetto di una legge fisica ...
geometria differenziale
Ancora una volta è da notare la curvatura di cui si parla riguarda non solo le tre dimensioni spaziali, ma anche quella temporale; strutture geometriche con queste proprietà, pertanto, non possono essere visualizzate e devono essere descritte e studiate usando il linguaggio e i metodi propri della <anchor>geometria differenziale</anchor>.[5]
Geometria differenziale - Wikipedia
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# Geometria differenziale

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[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/End_of_universe.jpg/310px-End_of_universe.jpg)](/wiki/File:End_of_universe.jpg) La geometria differenziale definisce e studia la nozione di "spazio curvo". Qui sono mostrati i tre tipi di curvature più importanti: ellittica, iperbolica, piatta.

In [matematica](/wiki/Matematica "Matematica"), la **geometria differenziale** è lo studio di oggetti geometrici come [curve](/wiki/Curva_(matematica) "Curva (matematica)"), [superfici](/wiki/Superficie_(matematica) "Superficie (matematica)") e più in generale [varietà differenziabili](/wiki/Variet%C3%A0_differenziabile "Varietà differenziabile"), tramite l' [analisi matematica](/wiki/Analisi_matematica "Analisi matematica"). Tramite il [calcolo infinitesimale](/wiki/Calcolo_infinitesimale "Calcolo infinitesimale") e la nozione di [derivata](/wiki/Derivata "Derivata"), è quindi possibile introdurre e studiare nozioni di fondamentale importanza, quali quelle di [campo vettoriale](/wiki/Campo_vettoriale "Campo vettoriale"), [forma differenziale](/wiki/Forma_differenziale "Forma differenziale"), [geodetica](/wiki/Geodetica "Geodetica"), [curvatura](/wiki/Curvatura "Curvatura"). L'applicazione più notevole della geometria differenziale è la formulazione della [relatività generale](/wiki/Relativit%C3%A0_generale "Relatività generale"), a cui fornisce gli strumenti per [modellizzare](/wiki/Modellizzazione "Modellizzazione") lo [spaziotempo](/wiki/Spaziotempo "Spaziotempo").

## Indice

- [1Le varietà differenziabili](#Le_varietà_differenziabili)
  - [1.1Sottoinsieme dello spazio euclideo](#Sottoinsieme_dello_spazio_euclideo)
  - [1.2Oggetto intrinseco](#Oggetto_intrinseco)
- [2Curve e superfici nello spazio](#Curve_e_superfici_nello_spazio)
- [3Tensori e curvatura](#Tensori_e_curvatura)
- [4Bibliografia](#Bibliografia)
- [5Voci correlate](#Voci_correlate)
- [6Altri progetti](#Altri_progetti)
- [7Collegamenti esterni](#Collegamenti_esterni)

## Le varietà differenziabili

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=1 "Modifica la sezione Le varietà differenziabili") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=1 "Edit section's source code: Le varietà differenziabili")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/220px-Tangent_to_a_curve.svg.png)](/wiki/File:Tangent_to_a_curve.svg) Una curva nel piano. Con il [calcolo infinitesimale](/wiki/Calcolo_infinitesimale "Calcolo infinitesimale") si definisce la sua [tangente](/wiki/Tangente_(geometria) "Tangente (geometria)") in un punto.

### Sottoinsieme dello spazio euclideo

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=2 "Modifica la sezione Sottoinsieme dello spazio euclideo") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=2 "Edit section's source code: Sottoinsieme dello spazio euclideo")\]

Alla base della geometria differenziale vi è la nozione di [varietà differenziabile](/wiki/Variet%C3%A0_differenziabile "Varietà differenziabile"). Questa nozione generalizza quella di [curva](/wiki/Curva_(matematica) "Curva (matematica)") e [superficie](/wiki/Superficie "Superficie"), modellizzando uno "spazio curvo" di dimensione qualsiasi. Curve e superfici sono quindi varietà di dimensione 1 e 2.

Fino alla metà del [XIX secolo](/wiki/XIX_secolo "XIX secolo"), una varietà differenziabile era definita come un oggetto contenuto nello [spazio euclideo](/wiki/Spazio_euclideo "Spazio euclideo"), che avesse localmente l'aspetto di un "sottospazio incurvato" di una certa dimensione. Si parlava quindi ad esempio di curve nel piano o nello spazio, e di superfici nello spazio. Questi oggetti sono generalmente definiti (almeno localmente) come [luogo di zeri](/wiki/Radice_(matematica) "Radice (matematica)") o [immagine](/wiki/Immagine_(matematica) "Immagine (matematica)") di una [funzione differenziabile](/wiki/Funzione_differenziabile "Funzione differenziabile").

### Oggetto intrinseco

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=3 "Modifica la sezione Oggetto intrinseco") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=3 "Edit section's source code: Oggetto intrinseco")\]

I lavori di [Bernhard Riemann](/wiki/Bernhard_Riemann "Bernhard Riemann") hanno introdotto una definizione più _intrinseca_ di varietà. Una varietà può essere definita oggi come oggetto intrinseco, non necessariamente contenuto in uno spazio euclideo: questo risultato è il frutto di un percorso di astrazione che ha coinvolto molti enti geometrici nel [XX secolo](/wiki/XX_secolo "XX secolo"), come le [varietà algebriche](/wiki/Variet%C3%A0_algebrica "Varietà algebrica") e gli [spazi topologici](/wiki/Spazio_topologico "Spazio topologico").

La rappresentazione "intrinseca" descrive le proprietà geometriche della varietà "dall'interno": non c'è bisogno di "uscire" dalla varietà per parlare di [geodetiche](/wiki/Geodetica "Geodetica"), [distanza](/wiki/Distanza_(matematica) "Distanza (matematica)"), [curvatura](/wiki/Curvatura "Curvatura"). Questa astrazione è molto utile ad esempio in [relatività generale](/wiki/Relativit%C3%A0_generale "Relatività generale"), perché permette di descrivere l'universo dall'interno, senza la creazione artificiale di un "contenitore più grande".

La rappresentazione intrinseca descrive le proprietà della varietà che non dipendono dall'ambiente in cui questa è raffigurata. Si definiscono varietà più complesse come la [bottiglia di Klein](/wiki/Bottiglia_di_Klein "Bottiglia di Klein") (una superficie, cioè una varietà di dimensione 2) senza l'ausilio di uno spazio che le contenga.

## Curve e superfici nello spazio

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=4 "Modifica la sezione Curve e superfici nello spazio") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=4 "Edit section's source code: Curve e superfici nello spazio")\]

![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)Lo stesso argomento in dettaglio: **[Geometria differenziale delle curve](/wiki/Geometria_differenziale_delle_curve "Geometria differenziale delle curve")**.

![Abbozzo matematica](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)**Questa sezione sull'argomento matematica è solo un [abbozzo](/wiki/Aiuto:Abbozzo "Aiuto:Abbozzo")**. [Contribuisci](https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit) a migliorarla secondo le [convenzioni di Wikipedia](/wiki/Aiuto:Manuale_di_stile "Aiuto:Manuale di stile"). Segui i suggerimenti del [progetto di riferimento](/wiki/Progetto:Matematica "Progetto:Matematica").

Lo studio delle curve e superfici nello spazio tridimensionale ha avuto una posizione predominante nella geometria differenziale fino a tutto il [XIX secolo](/wiki/XIX_secolo "XIX secolo"). Il comportamento di una curva nello spazio (e più generalmente in uno [spazio euclideo](/wiki/Spazio_euclideo "Spazio euclideo") con un qualsiasi numero di dimensioni) è descritto dal [sistema di Frenet](/wiki/Geometria_differenziale_delle_curve#Sistema_di_Frenet "Geometria differenziale delle curve"): un [sistema di riferimento](/wiki/Sistema_di_riferimento "Sistema di riferimento") che si muove lungo la traiettoria. Le quantità che caratterizzano il modo in cui la curva cambia traiettoria sono le _curvature_: in 3 dimensioni le curvature sono due, chiamate semplicemente _curvatura_ e _torsione_.

## Tensori e curvatura

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=5 "Modifica la sezione Tensori e curvatura") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=5 "Edit section's source code: Tensori e curvatura")\]

![Abbozzo matematica](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)**Questa sezione sull'argomento matematica è solo un [abbozzo](/wiki/Aiuto:Abbozzo "Aiuto:Abbozzo")**. [Contribuisci](https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit) a migliorarla secondo le [convenzioni di Wikipedia](/wiki/Aiuto:Manuale_di_stile "Aiuto:Manuale di stile"). Segui i suggerimenti del [progetto di riferimento](/wiki/Progetto:Matematica "Progetto:Matematica").

La [curvatura](/wiki/Curvatura "Curvatura") di una varietà differenziale è codificata tramite un oggetto matematico molto complesso, il [tensore](/wiki/Tensore "Tensore"). Un tensore è un oggetto che generalizza la [matrice](/wiki/Matrice "Matrice") da 2 a più dimensioni, molto utile per definire una struttura su una varietà. Il tensore che definisce la curvatura della varietà è il [tensore di Riemann](/wiki/Tensore_di_Riemann "Tensore di Riemann"). Una versione semplificata di questo è il [tensore di curvatura di Ricci](/wiki/Tensore_di_curvatura_di_Ricci "Tensore di curvatura di Ricci"). Il [calcolo tensoriale](/wiki/Calcolo_tensoriale "Calcolo tensoriale") fornisce numerosi strumenti per manipolare i tensori.

## Bibliografia

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=6 "Modifica la sezione Bibliografia") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=6 "Edit section's source code: Bibliografia")\]

- M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, [ISBN](/wiki/ISBN "ISBN") [978-88-470-1919-5](/wiki/Speciale:RicercaISBN/978-88-470-1919-5 "Speciale:RicercaISBN/978-88-470-1919-5").
- G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, [ISBN](/wiki/ISBN "ISBN") [978-88-339-5556-8](/wiki/Speciale:RicercaISBN/978-88-339-5556-8 "Speciale:RicercaISBN/978-88-339-5556-8").
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, [ISBN](/wiki/ISBN "ISBN") [978-88-339-5548-3](/wiki/Speciale:RicercaISBN/978-88-339-5548-3 "Speciale:RicercaISBN/978-88-339-5548-3").
- Luigi Bianchi, [Lezioni di geometria differenziale](https://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=%28%28dc.creator%20all%20%22Luigi%20Bianchi%22%20or%20dc.contributor%20all%20%22Luigi%20Bianchi%22%20%29%20and%20dc.title%20all%20%22Lezioni%20di%20geometria%20differenziale%22%20%29%20and%20dc.relation%20all%20%22cb37265259b%22#resultat-id-3), 3 vol., Pisa, Enrico Spoerri, 1903-1922. URL consultato il 22 novembre 2021.
- Arrigo Amadori (2009): Il viaggio perfetto - come diventare esploratori di superfici, _[\[1\]](https://web.archive.org/web/20151208135921/http://www.arrigoamadori.com/lezioni/libro3.htm)_
- (EN) George Salmon, [A treatise on the analytic geometry of three dimensions](https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99673v?rk=21459;2), Dublin, Hodges-Smith, 1862. URL consultato il 22 novembre 2021.
- (EN) Luther Pfahler Eisenhart _[A treatise on the differential geometry of curves and surfaces](https://www.archive.org/details/treatonthediffer00eiserich)_ (Boston: Ginn & co., 1909)
- (EN) Barrett O'Neill (1997): _Elementary differential Geometry_, 2nd edition, Academic Press, [ISBN 0-12-526745-2](/wiki/Speciale:RicercaISBN/0125267452)
- (EN) Peter Petersen (1997): _Riemannian Geometry_, Springer, [ISBN 0-387-98212-4](/wiki/Speciale:RicercaISBN/0387982124)
- (EN) Richard W. Sharpe (1997): _Differential geometry. Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program_, Springer, [ISBN 0-387-94732-9](/wiki/Speciale:RicercaISBN/0387947329)
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- (FR) Gaston Darboux _[Cours de Géometrie](http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF35580680)\[ _[collegamento interrotto](/wiki/Aiuto:Collegamenti_interrotti "Aiuto:Collegamenti interrotti")_\]_ (Parigi: Gauthier-Villars, 1894-1917)
- (FR) Gaston Darboux _[Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal (4 vols.)](https://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&collapsing=disabled&rk=21459;2&query=%28%28dc.creator%20all%20%22Gaston%20Darboux%22%20or%20dc.contributor%20all%20%22Gaston%20Darboux%22%20%29%20and%20dc.title%20all%20%22Le%C3%A7ons%20sur%20la%20th%C3%A9orie%20g%C3%A9n%C3%A9rale%20des%20surfaces%20et%20les%20applications%20g%C3%A9om%C3%A9triques%20du%20calcul%20infinit%C3%A9simal%22%20%29%20and%20dc.relation%20all%20%22cb303000199%22#resultat-id-2)_ (Paris: Gauthier-Villars, 1887-1896)

## Voci correlate

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=7 "Modifica la sezione Voci correlate") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=7 "Edit section's source code: Voci correlate")\]

- [Varietà (geometria)](/wiki/Variet%C3%A0_(geometria) "Varietà (geometria)")
- [Varietà differenziabile](/wiki/Variet%C3%A0_differenziabile "Varietà differenziabile")
- [Topologia differenziale](/wiki/Topologia_differenziale "Topologia differenziale")
- [Geometria algebrica](/wiki/Geometria_algebrica "Geometria algebrica")
- [Geometria complessa](/wiki/Geometria_complessa "Geometria complessa")
- [Luigi Bianchi](/wiki/Luigi_Bianchi "Luigi Bianchi")
- [Tullio Levi-Civita](/wiki/Tullio_Levi-Civita "Tullio Levi-Civita")
- [Gregorio Ricci Curbastro](/wiki/Gregorio_Ricci_Curbastro "Gregorio Ricci Curbastro")

## Altri progetti

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=8 "Modifica la sezione Altri progetti") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=8 "Edit section's source code: Altri progetti")\]

Altri progetti

- [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Differential_geometry?uselang=it)

- [![Collabora a Wikimedia Commons](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png)](https://commons.wikimedia.org/wiki/?uselang=it "Collabora a Wikimedia Commons")[Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/?uselang=it) contiene immagini o altri file sulla **[geometria differenziale](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Differential_geometry?uselang=it)**

## Collegamenti esterni

\[ [modifica](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&veaction=edit&section=9 "Modifica la sezione Collegamenti esterni") \| [modifica wikitesto](/w/index.php?title=Geometria_differenziale&action=edit&section=9 "Edit section's source code: Collegamenti esterni")\]

- Jeremy Gray, [La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Geometria differenziale](https://www.treccani.it/enciclopedia/la-seconda-rivoluzione-scientifica-matematica-e-logica-geometria-differenziale_(Storia-della-Scienza)), su Treccani.it – Enciclopedie on line, [Istituto dell'Enciclopedia Italiana](/wiki/Istituto_dell%27Enciclopedia_Italiana "Istituto dell'Enciclopedia Italiana"), 2004.[![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)](https://www.wikidata.org/wiki/Q188444#P3365 "Modifica su Wikidata")
- Shoshichi Kobayashi, [Geometria differenziale](https://www.treccani.it/enciclopedia/geometria-differenziale_res-8c74fc66-87f0-11dc-8e9d-0016357eee51_(Enciclopedia-del-Novecento)/), in Enciclopedia del Novecento, [Istituto dell'Enciclopedia Italiana](/wiki/Istituto_dell%27Enciclopedia_Italiana "Istituto dell'Enciclopedia Italiana"), 1975-2004.[![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)](https://www.wikidata.org/wiki/Q188444#P10556 "Modifica su Wikidata")
- (EN) David W. Henderson, [differential geometry](https://www.britannica.com/topic/differential-geometry), su [Enciclopedia Britannica](/wiki/Enciclopedia_Britannica "Enciclopedia Britannica"), Encyclopædia Britannica, Inc.[![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)](https://www.wikidata.org/wiki/Q188444#P1417 "Modifica su Wikidata")
- (EN) Eric W. Weisstein, [Geometria differenziale](http://mathworld.wolfram.com/DifferentialGeometry.html), su [MathWorld](/wiki/MathWorld "MathWorld"), Wolfram Research.[![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)](https://www.wikidata.org/wiki/Q188444#P2812 "Modifica su Wikidata")
- (EN) [Geometria differenziale](https://encyclopediaofmath.org/wiki/Differential_geometry), su [Encyclopaedia of Mathematics](/wiki/Encyclopaedia_of_Mathematics "Encyclopaedia of Mathematics"), Springer e European Mathematical Society.[![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)](https://www.wikidata.org/wiki/Q188444#P7554 "Modifica su Wikidata")

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[![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)](/wiki/File:Crystal128-kmplot.svg "Matematica")**[Portale Matematica](/wiki/Portale:Matematica "Portale:Matematica")**: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

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