Gravitace - Wikipedie
Gravitace je přírodní jev, který se projevuje jako vzájemné přitažlivé působení (interakci) všech objektů, které mají hmotnost nebo energii.
úhel
Výsledná tíhová síla obecně nesměřuje do středu Země. Vzhledem k tomu, že <anchor>úhel</anchor> mezi gravitační a odstředivou silou závisí na zeměpisné šířce, závisí na ní také tíhová síla (a to jak její velikost, tak i její směr).
Úhel – Wikipedie
Úhel – Wikipedie[Přeskočit na obsah](#bodyContent)

Hlavní menu

Hlavní menu

přesunout do postranního paneluskrýt

Navigace


- [Hlavní strana](/wiki/Hlavn%C3%AD_strana "Navštívit Hlavní stranu [z]")
- [Nápověda](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:Obsah "Místo, kde najdete pomoc")
- [Potřebuji pomoc](/wiki/Wikipedie:Pot%C5%99ebuji_pomoc "Pokud si nevíte rady, zeptejte se ostatních")
- [Nejlepší články](/wiki/Wikipedie:Nejlep%C5%A1%C3%AD_%C4%8Dl%C3%A1nky "Přehled článků, které jsou považovány za nejlepší na české Wikipedii")
- [Náhodný článek](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:N%C3%A1hodn%C3%A1_str%C3%A1nka "Přejít na náhodně vybranou stránku [x]")
- [Poslední změny](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Posledn%C3%AD_zm%C4%9Bny "Seznam posledních změn na této wiki [r]")
- [Komunitní portál](/wiki/Wikipedie:Port%C3%A1l_Wikipedie "O projektu, jak můžete pomoci, kde hledat")
- [Pod lípou](/wiki/Wikipedie:Pod_l%C3%ADpou "Hlavní diskusní fórum")
- [Podpořte Wikipedii](//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_cs.wikipedia.org&uselang=cs "Podpořte nás")

[![](/static/images/icons/wikipedia.png)![Wikipedie](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-cs.svg)![Wikipedie: Otevřená encyklopedie](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-cs.svg)](/wiki/Hlavn%C3%AD_strana)

[Hledání](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Hled%C3%A1n%C3%AD "Prohledat tuto wiki [f]")

Hledat

Vzhled

- [Vytvoření účtu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Vytvo%C5%99it_%C3%BA%C4%8Det&returnto=%C3%9Ahel "Doporučujeme vytvořit si účet a přihlásit se, ovšem není to povinné")
- [Přihlášení](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:P%C5%99ihl%C3%A1sit&returnto=%C3%9Ahel "Doporučujeme vám přihlásit se, ovšem není to povinné. [o]")

Osobní nástroje

- [Vytvoření účtu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Vytvo%C5%99it_%C3%BA%C4%8Det&returnto=%C3%9Ahel "Doporučujeme vytvořit si účet a přihlásit se, ovšem není to povinné")
- [Přihlášení](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:P%C5%99ihl%C3%A1sit&returnto=%C3%9Ahel "Doporučujeme vám přihlásit se, ovšem není to povinné. [o]")

Stránky pro odhlášené editory [dozvědět se více](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:%C3%9Avod)

- [Příspěvky](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Moje_p%C5%99%C3%ADsp%C4%9Bvky "Seznam editací provedených z této IP adresy [y]")
- [Diskuse](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Moje_diskuse "Diskuse o editacích provedených z této IP adresy [n]")

## Obsah

přesunout do postranního paneluskrýt

- (úvod)

- [1Základní pojmy](#Základní_pojmy)
- [2Druhy úhlů](#Druhy_úhlů)Přepnout podsekci Druhy úhlů  - [2.1Označení používané v trigonometrii](#Označení_používané_v_trigonometrii)
- [3Dvojice úhlů](#Dvojice_úhlů)
- [4Úhly příslušné k oblouku kružnice](#Úhly_příslušné_k_oblouku_kružnice)
- [5Souměrnost](#Souměrnost)
- [6Orientovaný úhel](#Orientovaný_úhel)
- [7Velikost úhlu](#Velikost_úhlu)Přepnout podsekci Velikost úhlu  - [7.1Oblouková (radiánová) míra](#Oblouková_(radiánová)_míra)
  - [7.2Stupňová míra](#Stupňová_míra)
  - [7.3Setinná míra](#Setinná_míra)
  - [7.4Příklady](#Příklady)
  - [7.5Velikost orientovaného úhlu](#Velikost_orientovaného_úhlu)
  - [7.6Základní úhel](#Základní_úhel)
- [8Rovinný úhel jako fyzikální veličina](#Rovinný_úhel_jako_fyzikální_veličina)
- [9Operace s úhly](#Operace_s_úhly)Přepnout podsekci Operace s úhly  - [9.1Sčítání úhlů](#Sčítání_úhlů)
  - [9.2Operace s orientovanými úhly](#Operace_s_orientovanými_úhly)
  - [9.3Operace s úhly jakožto vektorovými veličinami](#Operace_s_úhly_jakožto_vektorovými_veličinami)    - [9.3.1Skládání (vektorový součet)](#Skládání_(vektorový_součet))
    - [9.3.2Násobení skalární veličinou](#Násobení_skalární_veličinou)
    - [9.3.3Skalární a vektorový součin s jinými vektorovými veličinami](#Skalární_a_vektorový_součin_s_jinými_vektorovými_veličinami)
- [10Měřicí přístroje](#Měřicí_přístroje)
- [11Poznámky](#Poznámky)
- [12Reference](#Reference)
- [13Související články](#Související_články)
- [14Externí odkazy](#Externí_odkazy)

Přepnout obsah

# Úhel

138 jazyků

- [Afrikaans](https://af.wikipedia.org/wiki/Hoek_(meetkunde) "Hoek (meetkunde) – afrikánština")
- [Alemannisch](https://als.wikipedia.org/wiki/Winkel_(Geometrie) "Winkel (Geometrie) – němčina (Švýcarsko)")
- [Aragonés](https://an.wikipedia.org/wiki/Anglo "Anglo – aragonština")
- [العربية](https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D8%A9_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D8%A9) "زاوية (هندسة) – arabština")
- [ܐܪܡܝܐ](https://arc.wikipedia.org/wiki/%DC%99%DC%98%DC%9D%DC%AC%DC%90_(%DC%A1%DC%9A%DC%AA%DC%98%DC%AC%DC%90) "ܙܘܝܬܐ (ܡܚܪܘܬܐ) – aramejština")
- [الدارجة](https://ary.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D8%A9 "زاوية – arabština (marocká)")
- [مصرى](https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D9%87_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87) "زاويه (هندسه) – arabština (egyptská)")
- [অসমীয়া](https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8B%E0%A6%A3 "কোণ – ásámština")
- [Asturianu](https://ast.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulu "Ángulu – asturština")
- [Aymar aru](https://ay.wikipedia.org/wiki/K%27uchu "K'uchu – ajmarština")
- [Azərbaycanca](https://az.wikipedia.org/wiki/Bucaq "Bucaq – ázerbájdžánština")
- [تۆرکجه](https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%A2%DA%86%DB%8C "آچی – South Azerbaijani")
- [Башҡортса](https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D3%A9%D0%B9%D3%A9%D1%88 "Мөйөш – baškirština")
- [Bikol Central](https://bcl.wikipedia.org/wiki/Anggulo "Anggulo – Central Bikol")
- [Беларуская](https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%83%D0%B3%D0%B0%D0%BB "Вугал – běloruština")
- [Беларуская (тарашкевіца)](https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%82 "Кут – Belarusian (Taraškievica orthography)")
- [Български](https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%AA%D0%B3%D1%8A%D0%BB "Ъгъл – bulharština")
- [বাংলা](https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8B%E0%A6%A3 "কোণ – bengálština")
- [Brezhoneg](https://br.wikipedia.org/wiki/Korn_(mentoniezh) "Korn (mentoniezh) – bretonština")
- [Bosanski](https://bs.wikipedia.org/wiki/Ugao "Ugao – bosenština")
- [Буряад](https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D2%AE%D0%BD%D1%81%D1%8D%D0%B3 "Үнсэг – Russia Buriat")
- [Català](https://ca.wikipedia.org/wiki/Angle "Angle – katalánština")
- [ᏣᎳᎩ](https://chr.wikipedia.org/wiki/%E1%8E%A4%E1%8F%9C%E1%8F%85%E1%8F%9B_%E1%8E%A4%E1%8F%9E%E1%8F%B4%E1%8F%8D%E1%8F%9B "ᎤᏜᏅᏛ ᎤᏞᏴᏍᏛ – čerokézština")
- [کوردی](https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%DB%86%D8%B4%DB%95 "گۆشە – kurdština (sorání)")
- [Qırımtatarca](https://crh.wikipedia.org/wiki/Muyu%C5%9F "Muyuş – tatarština (krymská)")
- [Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ](https://cu.wikipedia.org/wiki/%D1%AA%D0%B3%D1%8A%D0%BB%D1%8A "Ѫгълъ – staroslověnština")
- [Чӑвашла](https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%C4%95%D1%82%D0%B5%D1%81 "Кĕтес – čuvaština")
- [Cymraeg](https://cy.wikipedia.org/wiki/Ongl "Ongl – velština")
- [Dansk](https://da.wikipedia.org/wiki/Vinkel "Vinkel – dánština")
- [Deutsch](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkel "Winkel – němčina")
- [Ελληνικά](https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CF%89%CE%BD%CE%AF%CE%B1 "Γωνία – řečtina")
- [English](https://en.wikipedia.org/wiki/Angle "Angle – angličtina")
- [Esperanto](https://eo.wikipedia.org/wiki/Angulo "Angulo – esperanto")
- [Español](https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo "Ángulo – španělština")
- [Eesti](https://et.wikipedia.org/wiki/Nurk "Nurk – estonština")
- [Euskara](https://eu.wikipedia.org/wiki/Angelu_(geometria) "Angelu (geometria) – baskičtina")
- [فارسی](https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%87 "زاویه – perština")
- [Suomi](https://fi.wikipedia.org/wiki/Kulma "Kulma – finština")
- [Na Vosa Vakaviti](https://fj.wikipedia.org/wiki/Tutuni "Tutuni – fidžijština")
- [Français](https://fr.wikipedia.org/wiki/Angle "Angle – francouzština")
- [Nordfriisk](https://frr.wikipedia.org/wiki/Winkel "Winkel – fríština (severní)")
- [Gaeilge](https://ga.wikipedia.org/wiki/Uillinn_(matamaitic) "Uillinn (matamaitic) – irština")
- [贛語](https://gan.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92 "角 – čínština (dialekty Gan)")
- [Kriyòl gwiyannen](https://gcr.wikipedia.org/wiki/Ang "Ang – Guianan Creole")
- [Gàidhlig](https://gd.wikipedia.org/wiki/Ce%C3%A0rn_(Matamataig) "Ceàrn (Matamataig) – skotská gaelština")
- [Galego](https://gl.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo "Ángulo – galicijština")
- [Avañe'ẽ](https://gn.wikipedia.org/wiki/Takamby "Takamby – guaranština")
- [עברית](https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%96%D7%95%D7%95%D7%99%D7%AA "זווית – hebrejština")
- [हिन्दी](https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3 "कोण – hindština")
- [Fiji Hindi](https://hif.wikipedia.org/wiki/Angle "Angle – hindština (Fidži)")
- [Hrvatski](https://hr.wikipedia.org/wiki/Kut "Kut – chorvatština")
- [Kreyòl ayisyen](https://ht.wikipedia.org/wiki/Ang "Ang – haitština")
- [Magyar](https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%B6g "Szög – maďarština")
- [Հայերեն](https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%AF%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6 "Անկյուն – arménština")
- [Արեւմտահայերէն](https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%AF%D5%AB%D6%82%D5%B6 "Անկիւն – Western Armenian")
- [Interlingua](https://ia.wikipedia.org/wiki/Angulo "Angulo – interlingua")
- [Bahasa Indonesia](https://id.wikipedia.org/wiki/Sudut_(geometri) "Sudut (geometri) – indonéština")
- [Ilokano](https://ilo.wikipedia.org/wiki/Anggulo "Anggulo – ilokánština")
- [Ido](https://io.wikipedia.org/wiki/Angulo "Angulo – ido")
- [Íslenska](https://is.wikipedia.org/wiki/Horn_(r%C3%BAmfr%C3%A6%C3%B0i) "Horn (rúmfræði) – islandština")
- [Italiano](https://it.wikipedia.org/wiki/Angolo "Angolo – italština")
- [日本語](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6 "角度 – japonština")
- [Patois](https://jam.wikipedia.org/wiki/Hanggl "Hanggl – jamajská kreolština")
- [ქართული](https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%97%E1%83%AE%E1%83%94 "კუთხე – gruzínština")
- [Адыгэбзэ](https://kbd.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D3%80%D0%B0%D0%BD%D1%8D%D0%BF%D1%8D "ПлӀанэпэ – kabardinština")
- [Қазақша](https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D2%B1%D1%80%D1%8B%D1%88_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F) "Бұрыш (геометрия) – kazaština")
- [ភាសាខ្មែរ](https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%98%E1%9E%BB%E1%9F%86 "មុំ – khmérština")
- [ಕನ್ನಡ](https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%95%E0%B3%8B%E0%B2%A8 "ಕೋನ – kannadština")
- [한국어](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%81_(%EC%88%98%ED%95%99) "각 (수학) – korejština")
- [Kurdî](https://ku.wikipedia.org/wiki/Hoke "Hoke – kurdština")
- [Kernowek](https://kw.wikipedia.org/wiki/Angle "Angle – kornština")
- [Кыргызча](https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%83%D1%80%D1%87 "Бурч – kyrgyzština")
- [Latina](https://la.wikipedia.org/wiki/Angulus "Angulus – latina")
- [Limburgs](https://li.wikipedia.org/wiki/Hook "Hook – limburština")
- [Lombard](https://lmo.wikipedia.org/wiki/Angol "Angol – lombardština")
- [Lingála](https://ln.wikipedia.org/wiki/Lit%C3%BAmu "Litúmu – lingalština")
- [Lietuvių](https://lt.wikipedia.org/wiki/Kampas "Kampas – litevština")
- [Latviešu](https://lv.wikipedia.org/wiki/Le%C5%86%C4%B7is "Leņķis – lotyština")
- [Мокшень](https://mdf.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%8C "Ужесь – mokšanština")
- [Malagasy](https://mg.wikipedia.org/wiki/Zoro_(je%C3%B4metria) "Zoro (jeômetria) – malgaština")
- [Олык марий](https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%83%D0%BA "Лук – Eastern Mari")
- [Македонски](https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B3%D0%BE%D0%BB "Агол – makedonština")
- [മലയാളം](https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8B%E0%B5%BA "കോൺ – malajálamština")
- [Монгол](https://mn.wikipedia.org/wiki/%D3%A8%D0%BD%D1%86%D3%A9%D0%B3_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80) "Өнцөг (геометр) – mongolština")
- [मराठी](https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A8 "कोन – maráthština")
- [Bahasa Melayu](https://ms.wikipedia.org/wiki/Sudut "Sudut – malajština")
- [မြန်မာဘာသာ](https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%91%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B7%E1%80%BA "ထောင့် – barmština")
- [Эрзянь](https://myv.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B6%D0%BE "Ужо – erzjanština")
- [مازِرونی](https://mzn.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D9%88%DA%A9(%D9%87%D9%86%D9%91%D8%B3%D9%87) "سوک(هنّسه) – mázandaránština")
- [Plattdüütsch](https://nds.wikipedia.org/wiki/Winkel_(Geometrie) "Winkel (Geometrie) – dolnoněmčina")
- [नेपाली](https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3 "कोण – nepálština")
- [नेपाल भाषा](https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%81%E0%A4%82 "कुं – névárština")
- [Nederlands](https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoek_(meetkunde) "Hoek (meetkunde) – nizozemština")
- [Norsk nynorsk](https://nn.wikipedia.org/wiki/Vinkel "Vinkel – norština (nynorsk)")
- [Norsk bokmål](https://no.wikipedia.org/wiki/Vinkel "Vinkel – norština (bokmål)")
- [ߒߞߏ](https://nqo.wikipedia.org/wiki/%DF%9E%DF%8B%DF%B2%DF%9B%DF%90%DF%B2 "ߞߋ߲ߛߐ߲ – n’ko")
- [Occitan](https://oc.wikipedia.org/wiki/Angle "Angle – okcitánština")
- [ਪੰਜਾਬੀ](https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A9%8B%E0%A8%A8 "ਕੋਨ – paňdžábština")
- [Polski](https://pl.wikipedia.org/wiki/K%C4%85t "Kąt – polština")
- [پنجابی](https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%DB%81 "زاویہ – Western Punjabi")
- [پښتو](https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D9%87 "زاويه – paštština")
- [Português](https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo "Ângulo – portugalština")
- [Runa Simi](https://qu.wikipedia.org/wiki/Chhuka "Chhuka – kečuánština")
- [Română](https://ro.wikipedia.org/wiki/Unghi "Unghi – rumunština")
- [Русский](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%BE%D0%BB "Угол – ruština")
- [Саха тыла](https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BD%D0%BD%D1%83%D0%BA "Муннук – jakutština")
- [Sicilianu](https://scn.wikipedia.org/wiki/%C3%80nculu "Ànculu – sicilština")
- [Srpskohrvatski / српскохрватски](https://sh.wikipedia.org/wiki/Ugao "Ugao – srbochorvatština")
- [සිංහල](https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9A%E0%B7%9D%E0%B6%AB%E0%B6%BA "කෝණය – sinhálština")
- [Simple English](https://simple.wikipedia.org/wiki/Angle "Angle – Simple English")
- [Slovenčina](https://sk.wikipedia.org/wiki/Uhol "Uhol – slovenština")
- [Slovenščina](https://sl.wikipedia.org/wiki/Kot "Kot – slovinština")
- [ChiShona](https://sn.wikipedia.org/wiki/Gonyo "Gonyo – šonština")
- [Soomaaliga](https://so.wikipedia.org/wiki/Xagal "Xagal – somálština")
- [Shqip](https://sq.wikipedia.org/wiki/K%C3%ABndi "Këndi – albánština")
- [Српски / srpski](https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%B0%D0%BE "Угао – srbština")
- [Sunda](https://su.wikipedia.org/wiki/Juru_(%C3%A9lmu_ukur) "Juru (élmu ukur) – sundština")
- [Svenska](https://sv.wikipedia.org/wiki/Vinkel "Vinkel – švédština")
- [Kiswahili](https://sw.wikipedia.org/wiki/Pembe_(jiometria) "Pembe (jiometria) – svahilština")
- [தமிழ்](https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%A3%E0%AE%AE%E0%AF%8D "கோணம் – tamilština")
- [తెలుగు](https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%95%E0%B1%8B%E0%B0%A3%E0%B0%82 "కోణం – telugština")
- [ไทย](https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1 "มุม – thajština")
- [Tagalog](https://tl.wikipedia.org/wiki/Anggulo "Anggulo – tagalog")
- [Türkçe](https://tr.wikipedia.org/wiki/A%C3%A7%C4%B1 "Açı – turečtina")
- [Татарча / tatarça](https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%BC%D0%B0%D0%BA "Почмак – tatarština")
- [Українська](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%82 "Кут – ukrajinština")
- [اردو](https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%DB%81 "زاویہ – urdština")
- [Oʻzbekcha / ўзбекча](https://uz.wikipedia.org/wiki/Burchak "Burchak – uzbečtina")
- [Tiếng Việt](https://vi.wikipedia.org/wiki/G%C3%B3c "Góc – vietnamština")
- [Winaray](https://war.wikipedia.org/wiki/Anggulo "Anggulo – warajština")
- [吴语](https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92 "角 – čínština (dialekty Wu)")
- [მარგალური](https://xmf.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%9C%E1%83%97%E1%83%AE%E1%83%A3 "კუნთხუ – mingrelština")
- [ייִדיש](https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%95%D7%99%D7%A0%D7%A7%D7%9C "ווינקל – jidiš")
- [中文](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92 "角 – čínština")
- [文言](https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92 "角 – čínština (klasická)")
- [閩南語 / Bân-lâm-gú](https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Kak-t%C5%8D%CD%98 "Kak-tō͘ – čínština (dialekty Minnan)")
- [粵語](https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92_(%E5%B9%BE%E4%BD%95) "角 (幾何) – kantonština")
- [IsiZulu](https://zu.wikipedia.org/wiki/Ingoni "Ingoni – zuluština")

[Upravit odkazy](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11352#sitelinks-wikipedia "Editovat mezijazykové odkazy")

- [Článek](/wiki/%C3%9Ahel "Zobrazit obsahovou stránku [c]")
- [Diskuse](/wiki/Diskuse:%C3%9Ahel "Diskuse ke stránce [t]")

čeština

- [Číst](/wiki/%C3%9Ahel)
- [Editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit "Editovat tuto stránku [v]")
- [Editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit "Editovat zdrojový kód této stránky [e]")
- [Zobrazit historii](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=history "Starší verze této stránky. [h]")

Nástroje

Nástroje

přesunout do postranního paneluskrýt

Akce


- [Číst](/wiki/%C3%9Ahel)
- [Editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit "Editovat tuto stránku [v]")
- [Editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit "Editovat zdrojový kód této stránky [e]")
- [Zobrazit historii](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=history)

Obecné


- [Odkazuje sem](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Co_odkazuje_na/%C3%9Ahel "Seznam všech wikistránek, které sem odkazují [j]")
- [Související změny](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Souvisej%C3%ADc%C3%AD_zm%C4%9Bny/%C3%9Ahel "Nedávné změny stránek, na které je odkazováno [k]")
- [Načíst soubor](//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=cs "Nahrát obrázky či jiná multimédia [u]")
- [Speciální stránky](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Speci%C3%A1ln%C3%AD_str%C3%A1nky "Seznam všech speciálních stránek [q]")
- [Trvalý odkaz](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&oldid=23983162 "Trvalý odkaz na současnou verzi této stránky")
- [Informace o stránce](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=info "Více informací o této stránce")
- [Citovat stránku](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Citovat&page=%C3%9Ahel&id=23983162&wpFormIdentifier=titleform "Informace o tom, jak citovat tuto stránku")
- [Získat zkrácené URL](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fcs.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25C3%259Ahel)
- [Stáhnout QR kód](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:QrCode&url=https%3A%2F%2Fcs.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25C3%259Ahel)
- [Položka Wikidat](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11352 "Odkaz na propojenou položku datového úložiště [g]")

Tisk/export


- [Vytvořit knihu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Kniha&bookcmd=book_creator&referer=%C3%9Ahel)
- [Stáhnout jako PDF](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:DownloadAsPdf&page=%C3%9Ahel&action=show-download-screen)
- [Verze k tisku](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&printable=yes "Tato stránka v podobě vhodné k tisku [p]")

Na jiných projektech


- [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Angles_(geometry))

Vzhled

přesunout do postranního paneluskrýt

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

[![Dvě šikmé úsečky spojené v krajním bodě tvořící úhel.](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Angle.svg/220px-Angle.svg.png)](/wiki/Soubor:Angle.svg) Zeleně vyznačený úhel tvoří dvě červené [polopřímky](/wiki/Polop%C5%99%C3%ADmka "Polopřímka") vycházející ze stejného [bodu](/wiki/Bod "Bod") (tzv. ramena úhlu), jenž tvoří vrchol úhlu. Obrázek je v [kartézské soustavě souřadnic.](/wiki/Kart%C3%A9zsk%C3%A1_soustava_sou%C5%99adnic "Kartézská soustava souřadnic")

**Úhel** (přesněji **rovinný úhel**[\[pozn. 1\]](#cite_note-1)) může být definován jako:[\[1\]](#cite_note-2)

- (jakožto _rovinný útvar_) část [roviny](/wiki/Rovina "Rovina"), která je ohraničena dvěma [polopřímkami](/wiki/Polop%C5%99%C3%ADmka "Polopřímka") se společným počátkem,
- (jakožto obecná geometrická struktura v rovině nebo v prostoru) dvojice polopřímek se společným počátkem nebo dvojice přímek se společným bodem,
- (ve smyslu _orientovaný úhel_) [uspořádaná dvojice](/wiki/Uspo%C5%99%C3%A1dan%C3%A1_n-tice "Uspořádaná n-tice") dvou orientovaných přímek se společným bodem nebo dvou polopřímek se společným počátkem nebo veličina charakterizující polohový vztah mezi nimi.[\[2\]](#cite_note-3)

V prostoru se kromě rovinného úhlu definuje [prostorový úhel](/wiki/Prostorov%C3%BD_%C3%BAhel "Prostorový úhel") (jako útvar a jemu odpovídající veličina).

## Základní pojmy

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=1 "Editace sekce: Základní pojmy") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=1 "Editovat zdrojový kód sekce Základní pojmy")\]

[![Úhel](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Uhel.jpg/220px-Uhel.jpg)](/wiki/Soubor:Uhel.jpg)

- Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají _ramena úhlu_, společný počáteční bod polopřímek se nazývá _vrchol úhlu_.

- Do úhlu zahrnujeme i [body](/wiki/Bod "Bod") ležící na polopřímkách ramen úhlu.

- [Množina](/wiki/Mno%C5%BEina "Množina") všech bodů úhlu, které neleží na žádné z polopřímek, se nazývá _vnitřek úhlu_. Množina všech bodů roviny, které nepatří do úhlu, se nazývá _vnějšek úhlu_.

Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu. Zápis úhlu se provádí pomocí [řeckého písmene](/wiki/%C5%98eck%C3%A9_p%C3%ADsmo "Řecké písmo"), např. α{\\displaystyle \\alpha }![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) (alfa), nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí: pomocný bod na prvním rameně – vrchol – pomocný bod na druhém rameně, např. ∠AVB{\\displaystyle \\angle AVB}![{\displaystyle \angle AVB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fb19956aae83e7e94dade7234e58b1189f8445) (vrchol úhlu leží na středním bodu).

## Druhy úhlů

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=2 "Editace sekce: Druhy úhlů") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=2 "Editovat zdrojový kód sekce Druhy úhlů")\]

Název úhlu
Popis
Podmínky
**konvexní**konvexní úhel je [konvexní obrazec](/wiki/Konvexn%C3%AD_mno%C5%BEina "Konvexní množina"); velikost takového úhlu je menší nebo rovna 180° (πrad{\\textstyle \\pi \\,rad}![{\textstyle \pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94dd92ddac60c972550e12cdb2d94ea80fa73bcf)) nebo rovna 360° (2πrad{\\textstyle 2\\pi \\,rad}![{\textstyle 2\pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83f62f1658cf0ca0e341f817d63bcd50aea808d))
α ≤ 180°
**nulový**úhel tvořený dvěma rameny, která jsou shodná a leží tedy na sobě (splývají v jednu [polopřímku](/wiki/Polop%C5%99%C3%ADmka "Polopřímka")); jeho velikost je rovna 0° (0rad{\\textstyle 0\\,rad}![{\textstyle 0\,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51eb06f4e10effd0065675d556ed4723df61d400)) a má nulovou plochu (jde jen o jednorozměrný objekt)
α = 0°
**ostrý**úhel menší než [pravý úhel](/wiki/Prav%C3%BD_%C3%BAhel "Pravý úhel"); jeho velikost je větší než 0° (0rad{\\textstyle 0\\,rad}![{\textstyle 0\,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51eb06f4e10effd0065675d556ed4723df61d400)), ale menší než 90° (π2rad{\\textstyle {\\frac {\\pi }{2}}\\,rad}![{\textstyle {\frac {\pi }{2}}\,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3b58ab8332b3be47f14218cfff295c8816b0bb))
0° < α < 90°
**[pravý úhel](/wiki/Prav%C3%BD_%C3%BAhel "Pravý úhel")**je polovina přímého úhlu (označujeme ho tečkou v obloučku). Dvě přímky v pravém úhlu (tedy vzájemně [kolmé](/wiki/Ortogonalita "Ortogonalita")) dělí plochu na 4 shodné [kvadranty](/wiki/Kvadrant_(geometrie) "Kvadrant (geometrie)"); jeho velikost je 90° (π2rad{\\textstyle {\\frac {\\pi }{2}}\\,rad}![{\textstyle {\frac {\pi }{2}}\,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3b58ab8332b3be47f14218cfff295c8816b0bb))
α = 90°
**tupý**úhel větší než pravý úhel, ale menší než přímý úhel; jeho velikost je větší než 90° (π2rad{\\textstyle {\\frac {\\pi }{2}}\\,rad}![{\textstyle {\frac {\pi }{2}}\,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3b58ab8332b3be47f14218cfff295c8816b0bb)), ale menší než 180° (πrad{\\textstyle \\pi \\,rad}![{\textstyle \pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94dd92ddac60c972550e12cdb2d94ea80fa73bcf))
90° < α < 180°
**vypuklý**[\[3\]](#cite_note-Sekanina_1986-4)úhel, který je menší než přímý úhel; jeho velikost je menší než 180° (πrad{\\textstyle \\pi \\,rad}![{\textstyle \pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94dd92ddac60c972550e12cdb2d94ea80fa73bcf))
α < 180°
**kosý**[\[4\]](#cite_note-Pomykalová_1996-5)společný název pro ostrý, pravý a tupý úhel; jeho velikost je větší než 0° a menší než 180° (πrad{\\textstyle \\pi \\,rad}![{\textstyle \pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94dd92ddac60c972550e12cdb2d94ea80fa73bcf))
0° < α < 180°
**přímý**úhel, jehož ramena jsou [opačné polopřímky](/wiki/Polop%C5%99%C3%ADmka#Opačné_polopřímky "Polopřímka"); jeho velikost je 180° (πrad{\\textstyle \\pi \\,rad}![{\textstyle \pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94dd92ddac60c972550e12cdb2d94ea80fa73bcf)); de facto se tak jedná o [přímku](/wiki/P%C5%99%C3%ADmka "Přímka"), resp. [polorovinu](/wiki/Polorovina "Polorovina").
α = 180°
**konkávní** ( **dutý**)[\[3\]](#cite_note-Sekanina_1986-4)úhel, který je větší než přímý úhel, ale menší než plný úhel; úhel, který není konvexní; jeho velikost je větší než 180° (πrad{\\textstyle \\pi \\,rad}![{\textstyle \pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94dd92ddac60c972550e12cdb2d94ea80fa73bcf)), ale menší než 360° (2πrad{\\textstyle 2\\pi \\,rad}![{\textstyle 2\pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83f62f1658cf0ca0e341f817d63bcd50aea808d))
180° < α < 360°
**plný**úhel, jehož ramena leží na sobě (splývají v jednu polopřímku), svou plochou obsahuje celou [rovinu](/wiki/Rovina "Rovina"); jeho velikost je rovna 360° (2πrad{\\textstyle 2\\pi \\,rad}![{\textstyle 2\pi \,rad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83f62f1658cf0ca0e341f817d63bcd50aea808d))
α = 360°

[![Druhy úhlů](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/DruhyUhlu.jpg)](/wiki/Soubor:DruhyUhlu.jpg "Druhy úhlů")[![Konvexní úhel](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/96/KonvexniUhel.jpg)](/wiki/Soubor:KonvexniUhel.jpg "Konvexní úhel")

### Označení používané v [trigonometrii](/wiki/Trigonometrie "Trigonometrie")

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=3 "Editace sekce: Označení používané v trigonometrii") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=3 "Editovat zdrojový kód sekce Označení používané v trigonometrii")\]

- _výškový úhel_ – úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět ve výšce s vodorovnou rovinou[\[5\]](#cite_note-:0-6)
- _hloubkový úhel_ – úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět v hloubce s vodorovnou rovinou[\[5\]](#cite_note-:0-6)
- _zorný úhel_ – úhel, který spolu svírají směry, kterými pozorujeme dvě nejodlehlejší místa předmětu (nebo také úhel pod kterým vidíme předmět)[\[5\]](#cite_note-:0-6)

## Dvojice úhlů

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=4 "Editace sekce: Dvojice úhlů") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=4 "Editovat zdrojový kód sekce Dvojice úhlů")\]

V matematice jsou zvláštní _dvojice úhlů_ pojmenované jako: vrcholové, vedlejší, souhlasné a střídavé.[\[6\]](#cite_note-7)

- _Vrcholové úhly_ – dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. Vrcholové úhly mají společný vrchol.

[![Vrcholové úhly](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/VrcholoveUhly.jpg)](/wiki/Soubor:VrcholoveUhly.jpg "Vrcholové úhly")

- Vedlejší úhly – dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.

[![Vedlejší úhly](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/VedlejsiUhly.jpg)](/wiki/Soubor:VedlejsiUhly.jpg "Vedlejší úhly")

- Souhlasné úhly – dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou _shodné_.

[![Souhlasné úhly](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/SouhlasneUhly.jpg)](/wiki/Soubor:SouhlasneUhly.jpg "Souhlasné úhly")

- Střídavé úhly – dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou _shodné_.

[![Střídavé úhly](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/StridaveUhly.jpg)](/wiki/Soubor:StridaveUhly.jpg "Střídavé úhly")

## Úhly příslušné k oblouku kružnice

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=5 "Editace sekce: Úhly příslušné k oblouku kružnice") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=5 "Editovat zdrojový kód sekce Úhly příslušné k oblouku kružnice")\]

- _Středový úhel_ – úhel, jehož vrcholem je střed S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2), kružnice k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) a ramena procházejí krajními body oblouku AB{\\displaystyle AB}![{\displaystyle AB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd) kružnice k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) (α{\\displaystyle \\alpha }![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3), β{\\displaystyle \\beta }![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8) – středové úhly).

[![Středový úhel](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/StredovyUhel.jpg)](/wiki/Soubor:StredovyUhel.jpg "Středový úhel")

- _Obvodový úhel_ – každý úhel, jehož vrchol V{\\displaystyle V}![{\displaystyle V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845) leží na kružnici k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) a ramena procházejí krajními body oblouku AB{\\displaystyle AB}![{\displaystyle AB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd) kružnice k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) (V≠A{\\displaystyle V\\neq A}![{\displaystyle V\neq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cd9f2a7e68bcfea1b135bdc56ef8cf29cf8fe9), V≠B{\\displaystyle V\\neq B}![{\displaystyle V\neq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218b1e379865272a32f76e74d72f3122f2676d06)).

[![Obvodový úhel](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/ObvodovyUhel.jpg)](/wiki/Soubor:ObvodovyUhel.jpg "Obvodový úhel")

- Úsekový úhel – úhel, jenž svírá tětiva AB{\\displaystyle AB}![{\displaystyle AB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd) kružnice AB{\\displaystyle AB}![{\displaystyle AB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd) s tečnou t{\\displaystyle t}![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560) kružnice k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) v bodě A{\\displaystyle A}![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) (popř. bodě B{\\displaystyle B}![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)).

[![Úsekový úhel](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b5/UsekovyUhel.jpg)](/wiki/Soubor:UsekovyUhel.jpg "Úsekový úhel")

_Vztahy mezi velikostmi těchto úhlů popisuje následující obrázek:_

[![Úhly kružnice](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ab/StObUsUhly.jpg)](/wiki/Soubor:StObUsUhly.jpg "Úhly kružnice")

Související informace naleznete také v článku [Věta o obvodovém a středovém úhlu](/wiki/V%C4%9Bta_o_obvodov%C3%A9m_a_st%C5%99edov%C3%A9m_%C3%BAhlu "Věta o obvodovém a středovém úhlu").

## Souměrnost

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=6 "Editace sekce: Souměrnost") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=6 "Editovat zdrojový kód sekce Souměrnost")\]

Všechny úhly jsou [osově souměrné](/wiki/Osov%C3%A1_soum%C4%9Brnost "Osová souměrnost"), osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu).

[![Osa úhlu](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/OsaUhlu.jpg)](/wiki/Soubor:OsaUhlu.jpg "Osa úhlu")

## Orientovaný úhel

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=7 "Editace sekce: Orientovaný úhel") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=7 "Editovat zdrojový kód sekce Orientovaný úhel")\]

Orientovaným úhlem se nazývá [uspořádaná dvojice](/wiki/Uspo%C5%99%C3%A1dan%C3%A1_n-tice "Uspořádaná n-tice") polopřímek VA→{\\displaystyle {\\overrightarrow {VA}}}![{\displaystyle {\overrightarrow {VA}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f178ba02d5723e5b133cb6ba2e630223290afa3), VB→{\\displaystyle {\\overrightarrow {VB}}}![{\displaystyle {\overrightarrow {VB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605ce2a65e05c4379e83a87def15de80f0a420c8) se společným bodem V{\\displaystyle V}![{\displaystyle V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845), přičemž polopřímka VA→{\\displaystyle {\\overrightarrow {VA}}}![{\displaystyle {\overrightarrow {VA}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f178ba02d5723e5b133cb6ba2e630223290afa3) se nazvývá _počáteční rameno úhlu_ a polopřímka VB→{\\displaystyle {\\overrightarrow {VB}}}![{\displaystyle {\overrightarrow {VB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605ce2a65e05c4379e83a87def15de80f0a420c8)_koncové rameno úhlu_. Bod V{\\displaystyle V}![{\displaystyle V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845) je vrcholem orientovaného úhlu.

## Velikost úhlu

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=8 "Editace sekce: Velikost úhlu") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=8 "Editovat zdrojový kód sekce Velikost úhlu")\]

Velikost úhlu je nezáporné [číslo](/wiki/%C4%8C%C3%ADslo "Číslo"), které lze přiřadit každému úhlu. Platí přitom, že [shodné](/wiki/Shodnost "Shodnost") úhly mají stejnou velikost a také, že [součet](/wiki/Sou%C4%8Det "Součet") velikostí úhlů ∠AVX{\\displaystyle \\angle AVX}![{\displaystyle \angle AVX}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cbf7aac2affa96aaacef21a79bafbd56245a6d) a ∠XVB{\\displaystyle \\angle XVB}![{\displaystyle \angle XVB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8402c1271bffbd24d277f8b644ae68b3b7ecc5) je roven velikosti úhlu ∠AVB{\\displaystyle \\angle AVB}![{\displaystyle \angle AVB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fb19956aae83e7e94dade7234e58b1189f8445).

Číselná velikost úhlu je dána volbou nenulového úhlu, kterému přiřadíme velikost 1. V matematice i praxi se pro měření úhlu používá (viz níže): _oblouková míra_, _stupňová míra_, _setinná míra_, ale také například [hodinová pozice](/wiki/Hodinov%C3%A1_pozice "Hodinová pozice") pro vyjádření [azimutu](/wiki/Azimut "Azimut").

### Oblouková (radiánová) míra

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=9 "Editace sekce: Oblouková (radiánová) míra") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=9 "Editovat zdrojový kód sekce Oblouková (radiánová) míra")\]

Hodnota jednotkového úhlu v obloukové míře je zvolena tak, že úhel o velikosti 1 vymezuje na [kružnici](/wiki/Kru%C5%BEnice "Kružnice") se středem ve vrcholu úhlu [oblouk](/wiki/Kruhov%C3%BD_oblouk "Kruhový oblouk"), jehož délka je rovna [poloměru](/wiki/Polom%C4%9Br "Poloměr") dané kružnice. Hodnotu obloukové míry úhlu α{\\displaystyle \\alpha }![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) značíme arc⁡α{\\displaystyle \\operatorname {arc} \\alpha }![{\displaystyle \operatorname {arc} \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff68da407ac5136ef779bf361aaa048603d94b8).

Velikost libovolného úhlu je možné určit jako poměr délky oblouku vymezeného rameny na kružnici opsané kolem vrcholu k poloměru této kružnice, tzn.

α=sr{\\displaystyle \\alpha ={\\frac {s}{r}}}![{\displaystyle \alpha ={\frac {s}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b357d59c75795f0c34835df0b78c2e58c0e18ef),

kde s{\\displaystyle s}![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632) je délka kruhového oblouku mezi přímkami, které vymezují úhel, a r{\\displaystyle r}![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538) je poloměr kruhového oblouku. Velikost pravého úhlu je v obloukové míře rovna π2{\\displaystyle {\\frac {\\pi }{2}}}![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2).

Úhlová jednotka obloukové míry je [radiánech](/wiki/Radi%C3%A1n "Radián") (zkratka _rad_).

### Stupňová míra

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=10 "Editace sekce: Stupňová míra") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=10 "Editovat zdrojový kód sekce Stupňová míra")\]

Stupňová míra (devadesátinná, nonagesimální) je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 90 dílů, které se nazývají _[(úhlové) stupně](/wiki/%C3%9Ahlov%C3%BD_stupe%C5%88 "Úhlový stupeň")_. Vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou lze tedy zapsat jako

1∘=π180rad{\\displaystyle 1^{\\circ }={\\frac {\\pi }{180}}\\,\\mathrm {rad} }![{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}\,\mathrm {rad} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e5b6ddfe0cf7346e04b176445b6753f37729da)

Vyjádření úhlu v šedesátkové soustavě:
Úhlový stupeň se dělí na 60 _(úhlových) [minut](/wiki/Minuta_(%C3%BAhlov%C3%A1_jednotka) "Minuta (úhlová jednotka)")_, tzn. 1° = 60′. Pro úhlové minuty se používá také označení arcminute nebo arcmin. 60 arcmin = 60′ = 1°.

Každá úhlová minuta se dále dělí na 60 _(úhlových) [vteřin](/wiki/Vte%C5%99ina "Vteřina")_, tzn. 1′ = 60′′. Pro úhlové vteřiny se používá také označení arcsecond nebo arcsec. 3600 arcsec = 3600′′ = 60′ = 1°.

Vyjádření úhlu v desítkové soustavě: úhlový stupeň se dělí dekadicky, např. 22° 29′ 36′′ = 22,4933°.

### Setinná míra

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=11 "Editace sekce: Setinná míra") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=11 "Editovat zdrojový kód sekce Setinná míra")\]

Setinná míra je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 100 dílů, které nazýváme [gony (grady, setinné stupně](/wiki/Grad "Grad")). Vztah mezi setinnou a obloukovou mírou lze zapsat jako

1g=π200rad{\\displaystyle 1^{\\mathrm {g} }={\\frac {\\pi }{200}}\\mathrm {rad} }![{\displaystyle 1^{\mathrm {g} }={\frac {\pi }{200}}\mathrm {rad} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b1d0d2eafe2749565fe0feed1f991513ef8093)

Setinný stupeň se dělí na 100 _setinných minut_, tzn. 1g=100c{\\displaystyle 1^{\\mathrm {g} }=100^{\\mathrm {c} }}![{\displaystyle 1^{\mathrm {g} }=100^{\mathrm {c} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e65eec68bcb4ec99047f7e6a42d5c93d1c9121d), a každá setinná minuta se dělí na 100 _setinných vteřin_, tzn. 1c=100cc{\\displaystyle 1^{\\mathrm {c} }=100^{\\mathrm {cc} }}![{\displaystyle 1^{\mathrm {c} }=100^{\mathrm {cc} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a0f806bfccbc4105622b0d3fc3b9ea085293ac).

### Příklady

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=12 "Editace sekce: Příklady") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=12 "Editovat zdrojový kód sekce Příklady")\]

Jeden stupeň je 1/180 přímého úhlu, neboli přímý úhel má velikost 180°. Zlomky stupňů se vyjadřují buď v desítkové nebo v šedesátkové [soustavě](/wiki/%C4%8C%C3%ADseln%C3%A1_soustava "Číselná soustava"), viz následující příklady:

- půl stupně = 0,5° = 0° 30’ tj. 30 úhlových minut
- osmina stupně = 0,125° = 0° 7’ 30" tj. 7 úhlových minut a 30 vteřin.

Jeden radián je [1/π{\\displaystyle 1/\\pi }![{\displaystyle 1/\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295095b618f108f11bc4ac8f16c6d60ad192f221)](/wiki/P%C3%AD_(%C4%8D%C3%ADslo) "Pí (číslo)") přímého úhlu.

Stupně se používají především z historických důvodů a také pro relativně snadné provádění jednoduchých výpočtů. Radiány mají výhodu při složitějších výpočtech – zvláště při derivování či integraci není třeba počítat se speciálními konstantami. Radián je navíc relativně intuitivní jednotka. Vyjadřuje přímo délku oblouku, vytyčeného daným úhlem na jednotkové kružnici.

### Velikost orientovaného úhlu

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=13 "Editace sekce: Velikost orientovaného úhlu") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=13 "Editovat zdrojový kód sekce Velikost orientovaného úhlu")\]

Velikost orientovaného úhlu je (v obloukové míře) rovna α+k2π{\\displaystyle \\alpha +k2\\pi }![{\displaystyle \alpha +k2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac597643fd9300961b1612ddd8843b831f9dd53), kde α{\\displaystyle \\alpha }![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) je velikost stejného neorientovaného úhlu a k{\\displaystyle k}![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) je [celé číslo](/wiki/Cel%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo "Celé číslo"). Velikost orientovaného úhlu je úhel, kterým musí projít počáteční rameno při otočení do koncového ramene. Člen k2π{\\displaystyle k2\\pi }![{\displaystyle k2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714c5acd3d41e82dae540a68e19af91323555beb) představuje počet celých otoček kolem vrcholu úhlu.

### Základní úhel

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=14 "Editace sekce: Základní úhel") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=14 "Editovat zdrojový kód sekce Základní úhel")\]

_Základní úhel_ (resp. _základní velikost orientovaného úhlu_) je neorientovaná velikost úhlu, která spadá do [zleva uzavřeného intervalu](/wiki/Interval_(matematika) "Interval (matematika)")⟨0∘,360∘){\\displaystyle \\langle 0^{\\circ },360^{\\circ })}![{\displaystyle \langle 0^{\circ },360^{\circ })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d732effc6343264e047cc684208bebc05a2cb5bc) nebo v [obloukové míře](/wiki/Radi%C3%A1n "Radián")⟨0,2π){\\displaystyle \\langle 0,2\\pi )}![{\displaystyle \langle 0,2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ffc12ade8acc2613eae4ade9b45a68e1218c3d).[\[7\]](#cite_note-8) Při převodu velikosti úhlu na základní úhel ve stupních proto opakovaně odečítáme/přičítáme 360°, dokud není výsledek v požadovaném intervalu. Velikost 0° se neupravuje a naopak velikost 360° je 0°. Velikost 400° převedeme na 40° (protože 400 − 360 = 40), velikost 800° je pak 80° (800 − 360 − 360 = 80°), velikost −60° převedeme na 300° (protože −60 + 360 = 300).

## Rovinný úhel jako fyzikální veličina

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=15 "Editace sekce: Rovinný úhel jako fyzikální veličina") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=15 "Editovat zdrojový kód sekce Rovinný úhel jako fyzikální veličina")\]

[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Right-hand_grip_rule.svg/220px-Right-hand_grip_rule.svg.png)](/wiki/Soubor:Right-hand_grip_rule.svg) Pravidlo pravé ruky

Rovinný úhel je také [fyzikální veličina](/wiki/Fyzik%C3%A1ln%C3%AD_veli%C4%8Dina "Fyzikální veličina") užívaná k udávání polohy v prostoru ( [sférické souřadnice](/wiki/Sf%C3%A9rick%C3%A1_soustava_sou%C5%99adnic "Sférická soustava souřadnic"), [cylindrické souřadnice](/wiki/V%C3%A1lcov%C3%A1_soustava_sou%C5%99adnic "Válcová soustava souřadnic")) a k popisu [otáčivých pohybů](/wiki/Ot%C3%A1%C4%8Den%C3%AD "Otáčení") a jejich skládání (včetně otáčení s různoběžnými osami). Nejedná se tedy pouze o rovinné, ale i ryze prostorové problémy.

V [soustavě SI](/wiki/Soustava_SI "Soustava SI") je hlavní jednotkou rovinného úhlu jakožto fyzikální veličiny 1 [radián](/wiki/Radi%C3%A1n "Radián"),[\[8\]](#cite_note-9) normy připouštějí i jednotky (úhlový) [stupeň](/wiki/Stupe%C5%88_(%C3%BAhel) "Stupeň (úhel)"), (úhlová) [minuta](/wiki/Minuta_(%C3%BAhlov%C3%A1_jednotka) "Minuta (úhlová jednotka)") a (úhlová) [vteřina](/wiki/Vte%C5%99ina "Vteřina") (dříve tzv. vedlejší jednotky, dnes mimosoustavové jednotky přípustné k použití se SI).[\[9\]](#cite_note-10)

Pro vyjádření polohy roviny úhlu v prostoru a současně jeho orientace se původně skalární veličina zobecňuje na [axiální vektor](/wiki/Vektor#Pravý_a_axiální_vektor "Vektor"). Jeho směr leží v přímce kolmé k rovině úhlu procházející vrcholem úhlu. Orientace je konvencí stanovena tak, že při kolmém pohledu na rovinu úhlu s kladnou orientací (proti směru hodinových ručiček) směřuje vektor úhlu k pozorovateli. Jednoduše lze stanovit pravidlem pravé ruky: _Položíme-li dlaň pravé ruky malíčkovým hřbetem na rovinu úhlu tak, že zahnuté články prstů směřují ve směru od počátečního ke koncovému rameni (v kinematice je to směr otáčení), ukazuje palec směr vektoru úhlu_.

Toto prostorové zobecnění je oprávněné (neuvažujeme-li triviální případ úhlů v jedné rovině) pouze v případě velmi malých otočení; vektorová algebra platí pouze pro elementární (ve smyslu infinitezimální) úhly.[\[10\]](#cite_note-Trkal_1956-11) Lze pak bez problémů používat i pro veličiny vzniklé časovou derivací úhlu:
S využitím vektorového vyjádření úhlu φ{\\displaystyle {\\boldsymbol {\\varphi }}}![{\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7752483e980a2553cccf561050ff09ae628d5eda) pak lze jednoduše vektorově definovat i [úhlovou rychlost](/wiki/%C3%9Ahlov%C3%A1_rychlost "Úhlová rychlost")ω=dφdt{\\displaystyle {\\boldsymbol {\\omega }}={\\frac {\\mathrm {d} {\\boldsymbol {\\varphi }}}{\\mathrm {d} t}}}![{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}}{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f28ea8d2a1b1fd0a12ef2106e540661e1c23f8) a mnohé jiné veličiny.

Naopak pro obecné úhly je nutno volit jiný algebraický popis, aby byl konzistentní i pro skládání úhlů. Takové skládání totiž obecně není [komutativní](/wiki/Komutativn%C3%AD "Komutativní") (tedy záleží na pořadí skládaných úhlů otočení) a znázornění úhlu axiálním vektorem je proto nekorektní.[\[11\]](#cite_note-Brdička_1987-12) Pro analytický popis jsou například vhodné [kvaterniony](/wiki/Kvaternion "Kvaternion") rotace, v nichž vystupují čtveřice [Eulerových parametrů](/w/index.php?title=Eulerovy_parametry&action=edit&redlink=1 "Eulerovy parametry (stránka neexistuje)") (zpravidla značených _A_, _B_, _C_, _D_), nebo parametrické vyjádření lineárně lomenou transformací se čtveřicí [Cayleyových-Kleinových parametrů](/w/index.php?title=Cayleyovy-Kleinovy_parametry&action=edit&redlink=1 "Cayleyovy-Kleinovy parametry (stránka neexistuje)") (zpravidla _α_, _β_, _γ_, _δ_).[\[10\]](#cite_note-Trkal_1956-11)

## Operace s úhly

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=16 "Editace sekce: Operace s úhly") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=16 "Editovat zdrojový kód sekce Operace s úhly")\]

### Sčítání úhlů

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=17 "Editace sekce: Sčítání úhlů") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=17 "Editovat zdrojový kód sekce Sčítání úhlů")\]

Dva úhly se sečtou tak, že vezmete [kružítko](/wiki/Kru%C5%BE%C3%ADtko "Kružítko") a libovolně přejedete úhel který máte narýsován, kružítko zapíchnete na libovolné místo na dolní čáře a jedete čarou k čáře 2. Dole na úhlu od čáry kružítka zapíchnete kružítko do dolní čáry do místa, kde se protínají čáry úhlu a kružítka a druhý konec kružítka na druhou čáru, kde se protíná čára úhlu a kružítka a necháte v kružítku velikost, kterou jste si z úhlu vytáhli. Máte-li 2 úhly na sečtení nechte si ještě pořád velikost kružítka z úhlu prvního a na druhém libovolně zapíchněte kružítko s velikostí z minulého úhlu na čáru druhého úhlu a táhněte s ním na druhou čáru a velikost na kružítku si opět nechte. Narýsujte čáru s jedním bodem a kružítko s pořád stejnou velikostí zapíchněte do bodu (bod musí být na levé straně) a táhněte s kružítkem doleva. Na obou úhlech zanikly ramena. Tam, kde se protíná kružítko a úhel, zapíchněte kružítko a jeďte do druhého ramena. Nechte si velikost a zapíchněte kružítko na narýsovanou čáru a na bodě zapíchněte a jeďte do minulé čáry od kružítka, než se střetnou, a pak pravítkem narýsujte čáru do bodu a to samé s druhým úhlem a na obrázku vidíte výsledek.

[![Sčítání úhlů](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/ScitaniUhlu.jpg)](/wiki/Soubor:ScitaniUhlu.jpg "Sčítání úhlů")

**Odčítání úhlů.** Dva úhly se odečtou tak, že se jedním ramenem přiloží dovnitř sebe a výsledný úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí odečíst velikosti úhlů.

[![Odčítání úhlů](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/OdcitaniUhlu.jpg)](/wiki/Soubor:OdcitaniUhlu.jpg "Odčítání úhlů")

**Násobení úhlů přirozeným číslem.** Násobení úhlu [přirozeným číslem](/wiki/P%C5%99irozen%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo "Přirozené číslo") se převádí na opakované sčítání téhož úhlu tolikrát, kolik je dané přirozené číslo. Početně se vynásobí velikost úhlu daným přirozeným číslem.

**Dělení úhlů dvěma.** Úhel se dělí dvěma sestrojením [osy úhlu](#Souměrnost). Početně se vydělí velikost úhlu dvěma. Konstrukčně nelze provést přesné dělení obecného úhlu třemi, úloha je známa pod jménem [trisekce úhlu](/wiki/Trisekce_%C3%BAhlu "Trisekce úhlu").

### Operace s orientovanými úhly

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=18 "Editace sekce: Operace s orientovanými úhly") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=18 "Editovat zdrojový kód sekce Operace s orientovanými úhly")\]

Při operacích s orientovanými úhly je nutné zohlednit jejich znaménka.

Jestliže tedy k orientovanému úhlu α{\\displaystyle \\alpha }![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) přičítáme orientovaný úhel β{\\displaystyle \\beta }![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8), který však je opačně orientován, je výsledek stejný jako bychom od neorientovaného úhlu o stejné velikosti jako má úhel α{\\displaystyle \\alpha }![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) odčítali neorientovaný úhel o stejné velikosti jako má úhel β{\\displaystyle \\beta }![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8). Výsledkem takové operace je opět orientovaný úhel, který má stejnou orientaci jako α{\\displaystyle \\alpha }![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3), jestliže α>β{\\displaystyle \\alpha >\\beta }![{\displaystyle \alpha >\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878aa4ba937a08258b46361229c9c35d970672ff), nebo má orientaci jako úhel β{\\displaystyle \\beta }![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8), jestliže α<β{\\displaystyle \\alpha <\\beta }![{\displaystyle \alpha <\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4250c976810fd3abc5916c47ee4984a7e5882b).

### Operace s úhly jakožto vektorovými veličinami

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=19 "Editace sekce: Operace s úhly jakožto vektorovými veličinami") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=19 "Editovat zdrojový kód sekce Operace s úhly jakožto vektorovými veličinami")\]

#### Skládání (vektorový součet)

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=20 "Editace sekce: Skládání (vektorový součet)") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=20 "Editovat zdrojový kód sekce Skládání (vektorový součet)")\]

Lze-li koncové rameno jednoho rovinného úhlu v prostoru ztotožnit s počátečním ramenem druhého úhlu stejného axiálního směru (stejné roviny úhlu), je úhel mezi počátečním ramenem prvního úhlu a koncovým ramenem druhého úhlu dán jejich vektorovým součtem. Takto lze skládat otočení v prostoru kolem stejné osy. Pro elementární (ve smyslu infinitezimální) úhly otočení kolem společného bodu platí vektorové skládání i pro obecné směry obou vektorů (roviny úhlů resp. osy otočení mohou být různé).

#### Násobení skalární veličinou

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=21 "Editace sekce: Násobení skalární veličinou") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=21 "Editovat zdrojový kód sekce Násobení skalární veličinou")\]

Velikost a [rozměr](/wiki/Fyzik%C3%A1ln%C3%AD_rozm%C4%9Br_veli%C4%8Diny "Fyzikální rozměr veličiny") výsledku je dán součinem velikostí a rozměrů (v soustavě SI a většině dalších soustav jednotek je úhel [bezrozměrná veličina](/wiki/Bezrozm%C4%9Brn%C3%A1_veli%C4%8Dina "Bezrozměrná veličina"), má tedy rozměr 1)[\[pozn. 2\]](#cite_note-raddim-14), směr se nemění (je-li velikost záporná, znamená to opačnou orientaci ve stejné směrové přímce).

#### Skalární a vektorový součin s jinými vektorovými veličinami

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=22 "Editace sekce: Skalární a vektorový součin s jinými vektorovými veličinami") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=22 "Editovat zdrojový kód sekce Skalární a vektorový součin s jinými vektorovými veličinami")\]

S vektorově chápaným elementárním rovinným úhlem lze zacházet jako s jinými axiálními vektory. Proto rozměr součinu je součinem rozměrů a výsledkem jejich

- skalárního součinu
  - s pravým vektorem je pseudoskalár,
  - s axiálním vektorem je skalár,
  - obojí s velikostí danou součinem velikostí násobeným [kosinem](/wiki/Kosinus "Kosinus") úhlu sevřeným oběma vektory;
- vektorového součinu
  - s pravým vektorem je axiální vektor,
  - s axiálním vektorem je pravý vektor,
  - obojí s velikostí danou součinem velikostí násobeným [sinem](/wiki/Sinus "Sinus") úhlu sevřeným oběma vektory.

## Měřicí přístroje

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=23 "Editace sekce: Měřicí přístroje") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=23 "Editovat zdrojový kód sekce Měřicí přístroje")\]

Měření úhlů je v praxi velmi důležité. Využívá je [astronomie](/wiki/Astronomie "Astronomie"), [geodézie](/wiki/Geod%C3%A9zie "Geodézie") a mnoho dalších oborů. Proto se také vyvinula řada měřicích přístrojů. Úhloměr je i základem mnoha druhů [dálkoměrů](/wiki/D%C3%A1lkom%C4%9Br "Dálkoměr").

- [Úhloměr](/wiki/%C3%9Ahlom%C4%9Br "Úhloměr") – nejjednodušší měřidlo – jedná se o polokruhovou desku se stupnicí po obvodu. Složitější přístroje mají pohyblivé rameno.
- [Jakubova hůl](/wiki/Jakubova_h%C5%AFl "Jakubova hůl") – jednoduchý středověký astronomický přístroj měřící na principu porovnávání stran trojúhelníku.
- [Kvadrant](/wiki/Kvadrant_(p%C5%99%C3%ADstroj) "Kvadrant (přístroj)"), [sextant](/wiki/Sextant "Sextant"), [oktant](/w/index.php?title=Oktant_(astronomie)&action=edit&redlink=1 "Oktant (astronomie) (stránka neexistuje)") – používané v navigaci.

## Poznámky

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=24 "Editace sekce: Poznámky") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=24 "Editovat zdrojový kód sekce Poznámky")\]

1. [↑](#cite_ref-1)přesnější pojem je důležitý u prostorových aplikací, pokud nevyplývá z kontextu
2. [↑](#cite_ref-raddim_14-0)Do r. 1995 byl v SI radián tzv. doplňkovou jednotkou se zvláštním rozměrem. Rovinný úhel tak nebyl bezrozměrnou veličinou a radián [bezrozměrnou jednotkou](/wiki/Bezrozm%C4%9Brn%C3%A1_jednotka "Bezrozměrná jednotka"), což umožňovalo lépe vyjádřit úhlový charakter některých odvozených veličin, ale působilo to problémy ve vztazích s veličinami, které vystupovaly v některých situacích jako úhlové, v jiných jako úhlově nezávislé (obvodová rychlost otáčení a běžně chápaná rychlost). Proto se od samostatných rozměrů pro úhel (a také pro tzv. prostorový úhel) ustoupilo.[\[12\]](#cite_note-13)

## Reference

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=25 "Editace sekce: Reference") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=25 "Editovat zdrojový kód sekce Reference")\]

01. [↑](#cite_ref-2)BLAŽKOVÁ, Růžena. _Úhel a jeho velikost. Studijní materiály předmětu Didaktika matematiky 3_ \[online\]. Informační systém Masarykovy univerzity, 2010-10-22 \[cit. 2024-06-07\]. [Dostupné online](https://is.muni.cz/el/1441/podzim2010/MA2MP_PDM3/um/uhel.pdf).
02. [↑](#cite_ref-3)Geometrie: základy geometrie v rovině. Díl 1, Plzeň : Západočeská univerzita, 2002
03. ↑ [a](#cite_ref-Sekanina_1986_4-0) [b](#cite_ref-Sekanina_1986_4-1)SEKANINA, Milan; BOČEK, Leo; KOČANDRLE, Milan; ŠEDIVÝ, Jaroslav. _Geometrie I_. Redakce MAHLEROVÁ, Ilona. 1. vyd. Praha: SPN, 1986. 200 s. 14-462-86. Kapitola 1.10 Úhly, s. 79–82.
04. [↑](#cite_ref-Pomykalová_1996_5-0)POMYKALOVÁ, Eva. _Matematika pro gymnázia – Planimetrie_. Redakce NOVÁKOVÁ, Marie. 3. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 207 s. [ISBN](/wiki/International_Standard_Book_Number "International Standard Book Number") [80-7196-045-4](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Zdroje_knih/80-7196-045-4 "Speciální:Zdroje knih/80-7196-045-4"). Kapitola 1.2 Polorovina, úhel, dvojice úhlů, s. 15.
05. ↑ [a](#cite_ref-:0_6-0) [b](#cite_ref-:0_6-1) [c](#cite_ref-:0_6-2)KRYNICKÝ, Martin. _Trigonometrie v praxi_ \[online\]. Strakonice: 2022-12-01 \[cit. 2023-03-15\]. Kapitola 4.4.5, s. 3. [Dostupné online](http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%20Matematika%20S%C5%A0/04%20Goniometrie/04%20Trigonometrie/05%20Trigonometrie%20v%20praxi.pdf).
06. [↑](#cite_ref-7) Pojmy související s úhly – Procvičování online – Umíme matiku. _www.umimematiku.cz_ \[online\]. \[cit. 2022-06-17\]. [Dostupné online](https://www.umimematiku.cz/cviceni-pojmy-uhly).
07. [↑](#cite_ref-8)HAVRLANT, Lukáš. Orientovaný úhel. _Matematika polopatě_ \[online\]. \[cit. 2022-06-15\]. [Dostupné online](https://www.matweb.cz/orientovany-uhel/).
08. [↑](#cite_ref-9)Příručka SI: Tabulka 3 – Koherentní odvozené jednotky v SI se zvláštními názvy. BIPM/SI, 2014. [Dostupné online](http://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/table3.html) (anglicky)
09. [↑](#cite_ref-10)Příručka SI: Tabulka 6 - Mimosoustavové jednotky přípustné k použití se SI. BIPM/SI, 2014. [Dostupné online](http://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/table6.html) (anglicky)
10. ↑ [a](#cite_ref-Trkal_1956_11-0) [b](#cite_ref-Trkal_1956_11-1)[TRKAL, Viktor](/wiki/Viktor_Trkal "Viktor Trkal"). _Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa_. Redakce BRDIČKA, Miroslav. 1. vyd. Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1956. 656 s. (Úvod do theoretické fysiky; sv. I). Kapitola Přemístění konečné velikosti analytickou methodou, s. 446–462.
11. [↑](#cite_ref-Brdička_1987_12-0)BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. _Teoretická mechanika_. Redakce JULIŠ, Karel. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 1.3.2 Skládání translací a rotací, s. 39–40.
12. [↑](#cite_ref-13) Resolution 8 of the 20th CGPM (1995) – Elimination of the class of supplementary units in the SI. _BIPM_ \[online\]. 1995 \[cit. 2024-05-15\]. [Dostupné online](https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/20-1995/resolution-8). [DOI](/wiki/Digital_object_identifier "Digital object identifier") [10.59161/CGPM1995RES8E](https://dx.doi.org/10.59161%2FCGPM1995RES8E). (anglicky)

## Související články

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=26 "Editace sekce: Související články") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=26 "Editovat zdrojový kód sekce Související články")\]

- [Trisekce úhlu](/wiki/Trisekce_%C3%BAhlu "Trisekce úhlu")
- [Prostorový úhel](/wiki/Prostorov%C3%BD_%C3%BAhel "Prostorový úhel")
- [Hodinová pozice](/wiki/Hodinov%C3%A1_pozice "Hodinová pozice")
- [Azimut](/wiki/Azimut "Azimut")

## Externí odkazy

\[ [editovat](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&veaction=edit&section=27 "Editace sekce: Externí odkazy") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=%C3%9Ahel&action=edit&section=27 "Editovat zdrojový kód sekce Externí odkazy")\]

- ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Wiktionary-logo-cs.svg/16px-Wiktionary-logo-cs.svg.png)Slovníkové heslo [úhel](https://cs.wiktionary.org/wiki/%C3%BAhel "wikt:úhel") ve Wikislovníku
- [![Logo Wikimedia Commons](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png)](/wiki/Wikimedia_Commons "Wikimedia Commons")Obrázky, zvuky či videa k tématu [úhel](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Angles_(geometry) "c:Category:Angles (geometry)") na [Wikimedia Commons](/wiki/Wikimedia_Commons "Wikimedia Commons")

[Autoritní data](/wiki/Autoritn%C3%AD_kontrola "Autoritní kontrola")[![Editovat na Wikidatech](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png)](https://www.wikidata.org/wiki/Q11352#identifiers "Editovat na Wikidatech")

- [BNF](/wiki/Francouzsk%C3%A1_n%C3%A1rodn%C3%AD_knihovna "Francouzská národní knihovna"): [cb14519948f](https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb14519948f) [(data)](https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb14519948f)
- [GND](/wiki/Gemeinsame_Normdatei "Gemeinsame Normdatei"): [4189964-7](https://d-nb.info/gnd/4189964-7)
- [LCCN](/wiki/Library_of_Congress_Control_Number "Library of Congress Control Number"): [sh85005042](https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85005042)
- [NLI](/wiki/N%C3%A1rodn%C3%AD_knihovna_Izraele "Národní knihovna Izraele"): [987007294852305171](http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007294852305171)

[Portály](/wiki/Port%C3%A1l:Obsah "Portál:Obsah"): [Matematika](/wiki/Port%C3%A1l:Matematika "Portál:Matematika")

Citováno z „ [https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Úhel&oldid=23983162](https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Úhel&oldid=23983162)“

[Kategorie](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:Kategorie "Nápověda:Kategorie"):

- [Goniometrie](/wiki/Kategorie:Goniometrie "Kategorie:Goniometrie")
- [Geometrie](/wiki/Kategorie:Geometrie "Kategorie:Geometrie")
- [Geometrické útvary](/wiki/Kategorie:Geometrick%C3%A9_%C3%BAtvary "Kategorie:Geometrické útvary")
- [Rovinné geometrické útvary](/wiki/Kategorie:Rovinn%C3%A9_geometrick%C3%A9_%C3%BAtvary "Kategorie:Rovinné geometrické útvary")

Skryté kategorie:

- [Monitoring:Články s identifikátorem BNF](/wiki/Kategorie:Monitoring:%C4%8Cl%C3%A1nky_s_identifik%C3%A1torem_BNF "Kategorie:Monitoring:Články s identifikátorem BNF")
- [Monitoring:Články s identifikátorem GND](/wiki/Kategorie:Monitoring:%C4%8Cl%C3%A1nky_s_identifik%C3%A1torem_GND "Kategorie:Monitoring:Články s identifikátorem GND")
- [Monitoring:Články s identifikátorem LCCN](/wiki/Kategorie:Monitoring:%C4%8Cl%C3%A1nky_s_identifik%C3%A1torem_LCCN "Kategorie:Monitoring:Články s identifikátorem LCCN")
- [Monitoring:Články s identifikátorem NLI](/wiki/Kategorie:Monitoring:%C4%8Cl%C3%A1nky_s_identifik%C3%A1torem_NLI "Kategorie:Monitoring:Články s identifikátorem NLI")

- Stránka byla naposledy editována 7. 6. 2024 v 09:47.
- Text je dostupný pod [licencí Creative Commons Uveďte původ – Zachovejte licenci](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.cs), případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce [Podmínky užití](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/cs).

- [Ochrana osobních údajů](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy)
- [O Wikipedii](/wiki/Wikipedie)
- [Vyloučení odpovědnosti](/wiki/Wikipedie:Vylou%C4%8Den%C3%AD_odpov%C4%9Bdnosti)
- [Kontaktujte Wikipedii](//cs.wikipedia.org/wiki/Wikipedie:Kontakt)
- [Kodex chování](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct)
- [Vývojáři](https://developer.wikimedia.org)
- [Statistiky](https://stats.wikimedia.org/#/cs.wikipedia.org)
- [Prohlášení o cookies](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement)
- [Mobilní verze](//cs.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%9Ahel&mobileaction=toggle_view_mobile)

- [![Wikimedia Foundation](/static/images/footer/wikimedia-button.svg)](https://wikimediafoundation.org/)
- [![Powered by MediaWiki](/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg)](https://www.mediawiki.org/)