Kvantová fyzika - Wikipedie
Základní rovnicí kvantové fyziky je rovnice E=h•f. E je energie, h je Planckova konstanta a f je frekvence.
pohybové rovnice
Klasická fyzika popisuje stav systému v daném čase pomocí sady hodnot vybraných měřitelných veličin (ty jsou v kvantové fyzice obvykle nazývány pozorovatelné). Například stav bodové částice (hmotného bodu) je úplně určen, zadáme-li jeho polohový vektor a vektor hybnosti; pak říkáme, že poloha a hybnost jsou úplným systémem pozorovatelných (ÚSP). (Alternativně lze udat místo hybnosti například směr pohybu a energii; výběr ÚSP použitých k popisu je víceméně libovolný a obvykle se volí sada pozorovatelných co nejlépe se hodící k výpočtům. Ostatní pozorovatelné jsou pak funkcí těch z ÚSP – energie je u volného hmotného bodu kvadrátem hybnosti a podobně.) Řešením <anchor>pohybové rovnice</anchor> pak principiálně můžeme spočíst, jaký bude stav systému v jiných časech.
Pohybová rovnice – Wikipedie
Pohybová rovnice – Wikipedie[Přeskočit na obsah](#bodyContent)

Hlavní menu

Hlavní menu

přesunout do postranního paneluskrýt

Navigace


- [Hlavní strana](/wiki/Hlavn%C3%AD_strana "Navštívit Hlavní stranu [z]")
- [Nápověda](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:Obsah "Místo, kde najdete pomoc")
- [Potřebuji pomoc](/wiki/Wikipedie:Pot%C5%99ebuji_pomoc "Pokud si nevíte rady, zeptejte se ostatních")
- [Nejlepší články](/wiki/Wikipedie:Nejlep%C5%A1%C3%AD_%C4%8Dl%C3%A1nky "Přehled článků, které jsou považovány za nejlepší na české Wikipedii")
- [Náhodný článek](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:N%C3%A1hodn%C3%A1_str%C3%A1nka "Přejít na náhodně vybranou stránku [x]")
- [Poslední změny](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Posledn%C3%AD_zm%C4%9Bny "Seznam posledních změn na této wiki [r]")
- [Komunitní portál](/wiki/Wikipedie:Port%C3%A1l_Wikipedie "O projektu, jak můžete pomoci, kde hledat")
- [Pod lípou](/wiki/Wikipedie:Pod_l%C3%ADpou "Hlavní diskusní fórum")
- [Podpořte Wikipedii](//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_cs.wikipedia.org&uselang=cs "Podpořte nás")

[![](/static/images/icons/wikipedia.png)![Wikipedie](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-cs.svg)![Wikipedie: Otevřená encyklopedie](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-cs.svg)](/wiki/Hlavn%C3%AD_strana)

[Hledání](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Hled%C3%A1n%C3%AD "Prohledat tuto wiki [f]")

Hledat

Vzhled

- [Vytvoření účtu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Vytvo%C5%99it_%C3%BA%C4%8Det&returnto=Pohybov%C3%A1+rovnice "Doporučujeme vytvořit si účet a přihlásit se, ovšem není to povinné")
- [Přihlášení](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:P%C5%99ihl%C3%A1sit&returnto=Pohybov%C3%A1+rovnice "Doporučujeme vám přihlásit se, ovšem není to povinné. [o]")

Osobní nástroje

- [Vytvoření účtu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Vytvo%C5%99it_%C3%BA%C4%8Det&returnto=Pohybov%C3%A1+rovnice "Doporučujeme vytvořit si účet a přihlásit se, ovšem není to povinné")
- [Přihlášení](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:P%C5%99ihl%C3%A1sit&returnto=Pohybov%C3%A1+rovnice "Doporučujeme vám přihlásit se, ovšem není to povinné. [o]")

Stránky pro odhlášené editory [dozvědět se více](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:%C3%9Avod)

- [Příspěvky](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Moje_p%C5%99%C3%ADsp%C4%9Bvky "Seznam editací provedených z této IP adresy [y]")
- [Diskuse](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Moje_diskuse "Diskuse o editacích provedených z této IP adresy [n]")

## Obsah

přesunout do postranního paneluskrýt

- (úvod)

- [1Tvar rovnice a počáteční podmínky](#Tvar_rovnice_a_počáteční_podmínky)
- [2Klasická mechanika](#Klasická_mechanika)Přepnout podsekci Klasická mechanika  - [2.1Pohybové rovnice při působení nulové síly](#Pohybové_rovnice_při_působení_nulové_síly)
  - [2.2Rovnoměrně zrychlený pohyb](#Rovnoměrně_zrychlený_pohyb)
  - [2.3Harmonický kmitavý pohyb](#Harmonický_kmitavý_pohyb)
  - [2.4Pohybové rovnice při křivočarém pohybu](#Pohybové_rovnice_při_křivočarém_pohybu)
- [3Pohybová rovnice kontinua](#Pohybová_rovnice_kontinua)
- [4Teorie relativity](#Teorie_relativity)Přepnout podsekci Teorie relativity  - [4.1Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v teorii relativity](#Rovnoměrně_zrychlený_přímočarý_pohyb_v_teorii_relativity)
  - [4.2Relativistický pohyb v homogenním magnetickém poli](#Relativistický_pohyb_v_homogenním_magnetickém_poli)
  - [4.3Čtyřrozměrná formulace pohybových rovnic](#Čtyřrozměrná_formulace_pohybových_rovnic)
- [5Kvantová mechanika](#Kvantová_mechanika)
- [6Relativistická kvantová mechanika](#Relativistická_kvantová_mechanika)
- [7Související články](#Související_články)

Přepnout obsah

# Pohybová rovnice

40 jazyků

- [Afrikaans](https://af.wikipedia.org/wiki/Bewegingsvergelykings "Bewegingsvergelykings – afrikánština")
- [العربية](https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%AD%D8%B1%D9%83%D8%A9 "معادلة حركة – arabština")
- [Asturianu](https://ast.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_movimientu "Ecuación de movimientu – asturština")
- [Български](https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 "Уравнения на движение – bulharština")
- [বাংলা](https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A6%A4%E0%A6%BF%E0%A6%B0_%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B9 "গতির সমীকরণসমূহ – bengálština")
- [Català](https://ca.wikipedia.org/wiki/Equaci%C3%B3_de_moviment "Equació de moviment – katalánština")
- [Cymraeg](https://cy.wikipedia.org/wiki/Hafaliadau_mudiant "Hafaliadau mudiant – velština")
- [Dansk](https://da.wikipedia.org/wiki/Bev%C3%A6gelsesligning "Bevægelsesligning – dánština")
- [Deutsch](https://de.wikipedia.org/wiki/Bewegungsgleichung "Bewegungsgleichung – němčina")
- [English](https://en.wikipedia.org/wiki/Equations_of_motion "Equations of motion – angličtina")
- [Español](https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_movimiento "Ecuación de movimiento – španělština")
- [Eesti](https://et.wikipedia.org/wiki/Liikumisv%C3%B5rrand "Liikumisvõrrand – estonština")
- [فارسی](https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%87_%D8%AD%D8%B1%DA%A9%D8%AA "معادله حرکت – perština")
- [Français](https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_mouvement "Équation du mouvement – francouzština")
- [עברית](https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%95%D7%AA_%D7%AA%D7%A0%D7%95%D7%A2%D7%94 "משוואות תנועה – hebrejština")
- [हिन्दी](https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A4%A4%E0%A4%BF_%E0%A4%95%E0%A5%87_%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3 "गति के समीकरण – hindština")
- [Hrvatski](https://hr.wikipedia.org/wiki/Jednad%C5%BEba_gibanja "Jednadžba gibanja – chorvatština")
- [Italiano](https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_del_moto "Equazione del moto – italština")
- [日本語](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F "運動方程式 – japonština")
- [Қазақша](https://kk.wikipedia.org/wiki/%D2%9A%D0%BE%D0%B7%D2%93%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D1%81_%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%83%D1%96 "Қозғалыс тендеуі – kazaština")
- [한국어](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9A%B4%EB%8F%99_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D "운동 방정식 – korejština")
- [Latina](https://la.wikipedia.org/wiki/Aequatio_motus "Aequatio motus – latina")
- [Lëtzebuergesch](https://lb.wikipedia.org/wiki/Beweegungsequatioun "Beweegungsequatioun – lucemburština")
- [Nederlands](https://nl.wikipedia.org/wiki/Bewegingsvergelijking "Bewegingsvergelijking – nizozemština")
- [Norsk nynorsk](https://nn.wikipedia.org/wiki/R%C3%B8rslelikningane "Rørslelikningane – norština (nynorsk)")
- [Norsk bokmål](https://no.wikipedia.org/wiki/Bevegelsesligning "Bevegelsesligning – norština (bokmål)")
- [Polski](https://pl.wikipedia.org/wiki/Kinematyczne_r%C3%B3wnanie_ruchu "Kinematyczne równanie ruchu – polština")
- [Português](https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_de_movimento "Equações de movimento – portugalština")
- [Română](https://ro.wikipedia.org/wiki/Ecua%C8%9Bii_de_mi%C8%99care "Ecuații de mișcare – rumunština")
- [Русский](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F "Уравнение движения – ruština")
- [Srpskohrvatski / српскохрватски](https://sh.wikipedia.org/wiki/Jednad%C5%BEba_gibanja "Jednadžba gibanja – srbochorvatština")
- [Shqip](https://sq.wikipedia.org/wiki/Ekuacionet_e_l%C3%ABvizjes "Ekuacionet e lëvizjes – albánština")
- [தமிழ்](https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%87%E0%AE%AF%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%9A%E0%AF%8D_%E0%AE%9A%E0%AE%AE%E0%AE%A9%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BE%E0%AE%9F%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AE%B3%E0%AF%8D "இயக்கச் சமன்பாடுகள் – tamilština")
- [Türkçe](https://tr.wikipedia.org/wiki/Hareket_denklemleri "Hareket denklemleri – turečtina")
- [Українська](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%80%D1%83%D1%85%D1%83 "Рівняння руху – ukrajinština")
- [Oʻzbekcha / ўзбекча](https://uz.wikipedia.org/wiki/Harakat_tenglamalari "Harakat tenglamalari – uzbečtina")
- [Tiếng Việt](https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_chuy%E1%BB%83n_%C4%91%E1%BB%99ng "Phương trình chuyển động – vietnamština")
- [中文](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%90%E5%8A%A8%E6%96%B9%E7%A8%8B "运动方程 – čínština")
- [文言](https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B "運動方程 – čínština (klasická)")
- [粵語](https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B "運動方程 – kantonština")

[Upravit odkazy](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q215007#sitelinks-wikipedia "Editovat mezijazykové odkazy")

- [Článek](/wiki/Pohybov%C3%A1_rovnice "Zobrazit obsahovou stránku [c]")
- [Diskuse](/wiki/Diskuse:Pohybov%C3%A1_rovnice "Diskuse ke stránce [t]")

čeština

- [Číst](/wiki/Pohybov%C3%A1_rovnice)
- [Editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit "Editovat tuto stránku [v]")
- [Editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit "Editovat zdrojový kód této stránky [e]")
- [Zobrazit historii](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=history "Starší verze této stránky. [h]")

Nástroje

Nástroje

přesunout do postranního paneluskrýt

Akce


- [Číst](/wiki/Pohybov%C3%A1_rovnice)
- [Editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit "Editovat tuto stránku [v]")
- [Editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit "Editovat zdrojový kód této stránky [e]")
- [Zobrazit historii](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=history)

Obecné


- [Odkazuje sem](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Co_odkazuje_na/Pohybov%C3%A1_rovnice "Seznam všech wikistránek, které sem odkazují [j]")
- [Související změny](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Souvisej%C3%ADc%C3%AD_zm%C4%9Bny/Pohybov%C3%A1_rovnice "Nedávné změny stránek, na které je odkazováno [k]")
- [Načíst soubor](//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=cs "Nahrát obrázky či jiná multimédia [u]")
- [Speciální stránky](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Speci%C3%A1ln%C3%AD_str%C3%A1nky "Seznam všech speciálních stránek [q]")
- [Trvalý odkaz](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&oldid=23600035 "Trvalý odkaz na současnou verzi této stránky")
- [Informace o stránce](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=info "Více informací o této stránce")
- [Citovat stránku](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Citovat&page=Pohybov%C3%A1_rovnice&id=23600035&wpFormIdentifier=titleform "Informace o tom, jak citovat tuto stránku")
- [Získat zkrácené URL](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fcs.wikipedia.org%2Fwiki%2FPohybov%25C3%25A1_rovnice)
- [Stáhnout QR kód](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:QrCode&url=https%3A%2F%2Fcs.wikipedia.org%2Fwiki%2FPohybov%25C3%25A1_rovnice)
- [Položka Wikidat](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q215007 "Odkaz na propojenou položku datového úložiště [g]")

Tisk/export


- [Vytvořit knihu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Kniha&bookcmd=book_creator&referer=Pohybov%C3%A1+rovnice)
- [Stáhnout jako PDF](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:DownloadAsPdf&page=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=show-download-screen)
- [Verze k tisku](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&printable=yes "Tato stránka v podobě vhodné k tisku [p]")

Na jiných projektech


Vzhled

přesunout do postranního paneluskrýt

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

**Pohybová rovnice** je [matematicky](/wiki/Matematika "Matematika") zapsaný [fyzikální](/wiki/Fyzika "Fyzika") vztah, který popisuje možné [pohyby](/wiki/Mechanick%C3%BD_pohyb "Mechanický pohyb") tělesa v daném prostředí. Tělesem se rozumí například klasické [tuhé těleso](/wiki/Tuh%C3%A9_t%C4%9Bleso "Tuhé těleso") nebo [testovací částice](/wiki/Testovac%C3%AD_%C4%8D%C3%A1stice "Testovací částice"), případně i soustava těles respektive [částic](/wiki/%C4%8C%C3%A1stice "Částice"). Prostředím se míní zejména [síly](/wiki/S%C3%ADla "Síla") a [silová pole](/wiki/Fyzik%C3%A1ln%C3%AD_pole "Fyzikální pole") působící na těleso a [mechanické vazby](/wiki/Mechanick%C3%A1_vazba "Mechanická vazba"), které jeho pohyb omezují.

Řešením pohybové rovnice je [poloha tělesa](/wiki/Poloha_t%C4%9Blesa "Poloha tělesa") v libovolném okamžiku. V [klasické mechanice](/wiki/Klasick%C3%A1_mechanika "Klasická mechanika") tedy řešení popisuje [trajektorii](/wiki/Trajektorie "Trajektorie") tělesa. V [kvantové mechanice](/wiki/Kvantov%C3%A1_mechanika "Kvantová mechanika"), která je [pravděpodobnostní](/wiki/Pravd%C4%9Bpodobnost "Pravděpodobnost") teorií, jde o poněkud obecnější problém, výsledkem je časově proměnná [vlnová funkce](/wiki/Vlnov%C3%A1_funkce "Vlnová funkce").

Řešení obvykle není jednoznačné, protože v daném prostředí se lze pohybovat více způsoby. Pohyb je určen jednoznačně teprve po stanovení tzv. [počátečních podmínek](/wiki/Po%C4%8D%C3%A1te%C4%8Dn%C3%AD_podm%C3%ADnky "Počáteční podmínky"), například počáteční [polohy](/wiki/Soustava_sou%C5%99adnic "Soustava souřadnic") a [rychlosti](/wiki/Rychlost "Rychlost") tělesa.

## Tvar rovnice a počáteční podmínky

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=1 "Editace sekce: Tvar rovnice a počáteční podmínky") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=1 "Editovat zdrojový kód sekce Tvar rovnice a počáteční podmínky")\]

Pohybová rovnice v nejobecnějším tvaru je obvykle [diferenciální rovnice](/wiki/Diferenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice "Diferenciální rovnice") druhého řádu, kde se [derivuje](/wiki/Derivace "Derivace") podle [času](/wiki/%C4%8Cas "Čas"). V konkrétních případech se ale může výrazně zjednodušit. Jejím řešením je [funkce](/wiki/Funkce_(matematika) "Funkce (matematika)") popisující polohu v závislosti na čase r=r(t){\\displaystyle \\mathbf {r} =\\mathbf {r} (t)}![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a8fdcb23819ac04dd491e370474f33cf4e90fc), což je vlastně parametrické vyjádření [trajektorie](/wiki/Trajektorie "Trajektorie").

Řád diferenciální rovnice určuje, jaké počáteční podmínky je třeba zadat, aby řešení bylo jednoznačné. Pro rovnici druhého řádu, je třeba zadat počáteční polohu a rychlost tělesa.

## Klasická mechanika

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=2 "Editace sekce: Klasická mechanika") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=2 "Editovat zdrojový kód sekce Klasická mechanika")\]

Vychází se z [Newtonových pohybových zákonů](/wiki/Newtonovy_pohybov%C3%A9_z%C3%A1kony "Newtonovy pohybové zákony"). [Zákon setrvačnosti](/wiki/Z%C3%A1kon_setrva%C4%8Dnosti "Zákon setrvačnosti") definuje [inerciální soustavu](/wiki/Inerci%C3%A1ln%C3%AD_vzta%C5%BEn%C3%A1_soustava "Inerciální vztažná soustava") za účelem eliminace vnějších vlivů. [Zákon síly](/wiki/Z%C3%A1kon_s%C3%ADly "Zákon síly") pak dává přímo pohybovou rovnici ve tvaru:

F=md2rdt2,{\\displaystyle \\mathbf {F} =m{\\frac {\\mathrm {d^{2}} \\mathbf {r} }{\\mathrm {d} t^{2}}}\\,,}![{\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ab749a11c175e99b5f8c7d37e5f1a822ef2b2e)

kde _m_ je [hmotnost](/wiki/Hmotnost "Hmotnost") tělesa násobená druhou časovou [derivací](/wiki/Derivace "Derivace") vektoru polohy r=r(t){\\displaystyle \\mathbf {r} =\\mathbf {r} (t)}![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a8fdcb23819ac04dd491e370474f33cf4e90fc), na levé straně je [vektor](/wiki/Vektor "Vektor") působící [síly](/wiki/S%C3%ADla "Síla"). Za sílu se přitom dosadí [funkce](/wiki/Funkce_(matematika) "Funkce (matematika)") [času](/wiki/%C4%8Cas "Čas"), [polohy](/wiki/Poloha_t%C4%9Blesa "Poloha tělesa") nebo i [rychlosti](/wiki/Rychlost "Rychlost"), podle konkrétní situace, tzn. F=F(r,v,t){\\displaystyle \\mathbf {F} =\\mathbf {F} (\\mathbf {r} ,\\mathbf {v} ,t)}![{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b1f2a9e186b5f0c315a4d9702ab080f3f7d24e). (Například v [gravitačním poli](/wiki/Gravitace "Gravitace") síla závisí na [vzdálenosti](/wiki/Vzd%C3%A1lenost "Vzdálenost") od centrálního tělesa. [Odporová síla](/wiki/Odpor_prost%C5%99ed%C3%AD "Odpor prostředí") [vzduchu](/wiki/Vzduch "Vzduch") závisí na rychlosti pohybu.) Přitom víme, že [rychlost](/wiki/Rychlost "Rychlost") je také časová derivace polohy v=(dr/dt){\\displaystyle \\mathbf {v} =(\\mathrm {d} \\mathbf {r} /\\mathrm {d} t)}![{\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {d} \mathbf {r} /\mathrm {d} t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dec769ed65e2e0d46b61a68467efedee363436).

### Pohybové rovnice při působení nulové síly

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=3 "Editace sekce: Pohybové rovnice při působení nulové síly") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=3 "Editovat zdrojový kód sekce Pohybové rovnice při působení nulové síly")\]

Pohybové rovnice můžeme v případě, že na těleso nepůsobí [síla](/wiki/S%C3%ADla "Síla"), tzn. F=0{\\displaystyle \\mathbf {F} =0}![{\displaystyle \mathbf {F} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ec97bade4834c8f45f78dfebd744d0edf6a192), vyjádřit pomocí [prvního pohybového zákona](/wiki/Prvn%C3%AD_Newton%C5%AFv_z%C3%A1kon "První Newtonův zákon").

Pro F=0{\\displaystyle \\mathbf {F} =0}![{\displaystyle \mathbf {F} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ec97bade4834c8f45f78dfebd744d0edf6a192) dostaneme pro [zrychlení](/wiki/Zrychlen%C3%AD "Zrychlení")a=0{\\displaystyle \\mathbf {a} =0}![{\displaystyle \mathbf {a} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291217e4034696ba497f1a0f4b0de6c1cd63d175), neboť těleso zůstává v [klidu](/wiki/Mechanick%C3%BD_pohyb "Mechanický pohyb") nebo [rovnoměrném přímočarém pohybu](/wiki/Rovnom%C4%9Brn%C3%BD_p%C5%99%C3%ADmo%C4%8Dar%C3%BD_pohyb "Rovnoměrný přímočarý pohyb") jen tehdy, pokud se nemění jeho [vektor](/wiki/Vektor "Vektor") [rychlosti](/wiki/Rychlost "Rychlost"). Pohybová rovnice má tedy tvar

a=d2rdt2=0{\\displaystyle \\mathbf {a} ={\\frac {\\mathrm {d} ^{2}\\mathbf {r} }{\\mathrm {d} t^{2}}}=0}![{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10f0d864be4740325f3443090b26168f538ebf5)

Ke stejné rovnici se dostaneme také v případě, že vyjdeme z pohybové rovnice a předpokládáme působení [nulové](/wiki/Nula "Nula") síly, tzn. F=0{\\displaystyle \\mathbf {F} =0}![{\displaystyle \mathbf {F} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ec97bade4834c8f45f78dfebd744d0edf6a192).

Poněvadž je zrychlení nulové, musí být rychlost [konstantní](/wiki/Konstanta "Konstanta"), tedy v=v0{\\displaystyle \\mathbf {v} =\\mathbf {v} \_{0}}![{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a34ed8a82f443da22ac07d0521620937e63af76), což vyhovuje prvnímu pohybovému zákonu.

Rychlost v0{\\displaystyle \\mathbf {v} \_{0}}![{\displaystyle \mathbf {v} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace1ee3c9fc209269fe95de85fb09c25823dd1e4) označuje konstantní vektor rychlosti, tzv. **počáteční rychlost**. Tato rychlost se bez působení síly v průběhu pohybu nemění.

### Rovnoměrně zrychlený pohyb

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=4 "Editace sekce: Rovnoměrně zrychlený pohyb") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=4 "Editovat zdrojový kód sekce Rovnoměrně zrychlený pohyb")\]

Jde o pohyb v [konstantním](/wiki/Konstanta "Konstanta") silovém poli, neboli všude a v každém okamžiku na těleso působí síla stejné velikosti, tedy F=konst{\\displaystyle \\mathbf {F} ={\\mbox{konst}}}![{\displaystyle \mathbf {F} ={\mbox{konst}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1f23b70560e9b91472f3896e0d315bea9af467), a má směr souhlasný se směrem pohybu, tzn. F∥v{\\displaystyle \\mathbf {F} \\parallel \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {F} \parallel \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53954b012fbdfd3570414134b62effe530c3dde). Vzhledem k tomu, že síla působí ve směru pohybu, má také zrychlení stejný směr jako rychlost, tzn. a∥v{\\displaystyle \\mathbf {a} \\parallel \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {a} \parallel \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190ec13f83b83468081de81db5cb44cd38b1f0ec). Například na [automobil](/wiki/Automobil "Automobil") působí tahová síla [motoru](/wiki/Motor "Motor"). Jsou-li tedy všechny uvažované [vektory](/wiki/Vektor "Vektor") [rovnoběžné](/wiki/Rovnob%C4%9B%C5%BEnost "Rovnoběžnost"), nemusíme uvažovat vektorový charakter veličin. Rovnice se zjednoduší na tvar

F=md2sdt2,{\\displaystyle F=m{\\frac {\\mathrm {d^{2}} s}{\\mathrm {d} t^{2}}}\\,,}![{\displaystyle F=m{\frac {\mathrm {d^{2}} s}{\mathrm {d} t^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206c8b5d097675686bfdc173903413c2a99ff6af)

kde s=s(t){\\displaystyle s=s(t)}![{\displaystyle s=s(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14acdab8bb33a0931f9679f477e7491010e1698a) je dráha v okamžiku _t_. Síla _F_ na levé straně v tomto případě na ničem nezávisí, je konstantní. Z matematiky [diferenciálních rovnic](/wiki/Diferenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice "Diferenciální rovnice") vyplývá, že všechna řešení této rovnice mají tvar

s=s0+v0t+12Fmt2,{\\displaystyle s=s\_{0}+v\_{0}t+{\\frac {1}{2}}{\\frac {F}{m}}t^{2}\\,,}![{\displaystyle s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}{\frac {F}{m}}t^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c828091539739cbaeea8919969f4430e2abd1e0)

kde _F/m_ má význam [zrychlení](/wiki/Zrychlen%C3%AD "Zrychlení"). Vidíme, že zrychlení nezávisí na čase, těleso při tomto silovém působení musí neustále [rovnoměrně zrychlovat](/wiki/Rovnom%C4%9Brn%C4%9B_zrychlen%C3%BD_pohyb "Rovnoměrně zrychlený pohyb"). Hodnoty s0{\\displaystyle s\_{0}}![{\displaystyle s_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c32f35eb134d23b3c45f1c878d59b0a112ede4) a v0{\\displaystyle v\_{0}}![{\displaystyle v_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60faad24775635f4722ccc438093dbbfe05f34ae) z rovnice nevyplývají, jde o počáteční podmínky: s0{\\displaystyle s\_{0}}![{\displaystyle s_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c32f35eb134d23b3c45f1c878d59b0a112ede4) má význam **počáteční polohy** a v0{\\displaystyle v\_{0}}![{\displaystyle v_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60faad24775635f4722ccc438093dbbfe05f34ae) je **počáteční rychlost**. Podmínky musí být dvě, jde o přímý důsledek faktu, že pohybová rovnice obsahuje druhou [derivaci](/wiki/Derivace "Derivace"). V tomto případě má počáteční rychlost stejný směr jako působící síla.

Příkladem takového pohybu je [volný pád](/wiki/Voln%C3%BD_p%C3%A1d "Volný pád").

Pokud je působící síla konstantní, tzn. F=konst{\\displaystyle \\mathbf {F} ={\\mbox{konst}}}![{\displaystyle \mathbf {F} ={\mbox{konst}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1f23b70560e9b91472f3896e0d315bea9af467), ale nepůsobí ve směru pohybu, tzn. F∦v{\\displaystyle \\mathbf {F} \\nparallel \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {F} \nparallel \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2282d6a731e21fa980a92b18d0ed1b0c0363e8c), pak lze pohybovou rovnici vyjádřit ve tvaru

d2rdt2=Fm{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} ^{2}\\mathbf {r} }{\\mathrm {d} t^{2}}}={\\frac {\\mathbf {F} }{m}}}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathbf {F} }{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba93fa97b7cd6f5e040b7bf28b50c10c904b074),

kde na pravé straně rovnice se nachází konstantní vektor a na levé straně zrychlení. Toto zrychlení je tedy také konstantní a má stejný směr jako působící síla, avšak na rozdíl od případu působení konstantní síly ve směru pohybu neleží toto zrychlení ve směru [dráhy](/wiki/Trajektorie "Trajektorie"). Vektor zrychlení a{\\displaystyle \\mathbf {a} }![{\displaystyle \mathbf {a} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d) má tedy v tomto případě jiný směr než vektor rychlosti v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6), tzn. a∦v{\\displaystyle \\mathbf {a} \\nparallel \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {a} \nparallel \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbadc6f91e69acfccbd20402c4042378469ecc17).

Těleso v tomto případě vykonává obecný [křivočarý pohyb](/wiki/K%C5%99ivo%C4%8Dar%C3%BD_pohyb "Křivočarý pohyb"). Při řešení se postupuje podobně jako v případě hledání sil při obecném křivočarém pohybu.

Příkladem takového pohybu je [šikmý vrh](/wiki/Vrh_%C5%A1ikm%C3%BD "Vrh šikmý").

### Harmonický kmitavý pohyb

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=5 "Editace sekce: Harmonický kmitavý pohyb") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=5 "Editovat zdrojový kód sekce Harmonický kmitavý pohyb")\]

Mějme takové prostředí, že síla působící na těleso je [přímo úměrná](/wiki/Troj%C4%8Dlenka "Trojčlenka") [vzdálenosti](/w/index.php?title=Vzd%C3%A1lenosti&action=edit&redlink=1 "Vzdálenosti (stránka neexistuje)") ( [výchylce](/wiki/Kmit%C3%A1n%C3%AD "Kmitání")) od [rovnovážné polohy](/wiki/Rovnov%C3%A1%C5%BEn%C3%A1_poloha "Rovnovážná poloha") a má směr k této poloze. Takový systém se označuje jako [harmonický oscilátor](/wiki/Line%C3%A1rn%C3%AD_harmonick%C3%BD_oscil%C3%A1tor "Lineární harmonický oscilátor"). Příkladem je [závaží](/wiki/Z%C3%A1va%C5%BE%C3%AD "Závaží") zavěšené na [pružině](/wiki/Pru%C5%BEina "Pružina") (viz [Hookův zákon](/wiki/Hooke%C5%AFv_z%C3%A1kon "Hookeův zákon")) anebo válcová [zkumavka](/wiki/Zkumavka "Zkumavka") se zatíženým dnem, která se pohupuje na [hladině](/w/index.php?title=Hladina&action=edit&redlink=1 "Hladina (stránka neexistuje)") [vody](/wiki/Voda "Voda") (viz [Archimédův zákon](/wiki/Archim%C3%A9d%C5%AFv_z%C3%A1kon "Archimédův zákon")). Pohybová rovnice pro tento případ má tvar

−ky=md2ydt2,{\\displaystyle -ky=m{\\frac {\\mathrm {d^{2}} y}{\\mathrm {d} t^{2}}}\\,,}![{\displaystyle -ky=m{\frac {\mathrm {d^{2}} y}{\mathrm {d} t^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99db3a4608c5967331e79d35ce63134e1ecd6b0)

kde y=y(t){\\displaystyle y=y(t)}![{\displaystyle y=y(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b87dc4cd066d2bdd5379752e0fd7133eb79c2f1) je výchylka z rovnovážné polohy, _m_ je hmotnost tělesa. V případě pružiny má konstanta _k_ význam [tuhosti](/wiki/Tuhost "Tuhost"). Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru

y=ymsin⁡(ωt+φ0),{\\displaystyle y=y\_{m}\\sin \\left(\\omega t+\\varphi \_{0}\\right)\\,,}![{\displaystyle y=y_{m}\sin \left(\omega t+\varphi _{0}\right)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fbcb62b5202e63fe3d05b860065df3883642a5)

kde ω=km{\\displaystyle \\omega ={\\sqrt {\\frac {k}{m}}}}![{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e901183c61a98d7f3f967c78f7ec02c0f0507be5) má význam úhlové rychlosti. Těleso tedy zákonitě musí vykonávat harmonický (sinusový) pohyb. Parametry ym{\\displaystyle y\_{m}}![{\displaystyle y_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae55839624d15fe5ad0ce7ed5b42443453a3fb6) a φ0{\\displaystyle \\varphi \_{0}}![{\displaystyle \varphi _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf63e8f16cefbe25d3d028fbb464a8c4a53cc7b) jsou (opět dvě) konstanty, které jsou určeny z počátečních podmínek ( tj. jsou určeny z polohy a rychlosti v počátečním čase), jejichž fyzikální význam je maximální výchylka a počáteční fáze pohybu. Pro ym=0{\\displaystyle y\_{m}=0}![{\displaystyle y_{m}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486e3f8b6003fa436c9117c97cc7c91e2f6cf5ef) dostáváme y(t)=0{\\displaystyle y(t)=0}![{\displaystyle y(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73da969df0f5becc02d8a13d8881aa384b0e5ffb), což znamená žádný pohyb. I to je možné řešení pohybové rovnice.

### Pohybové rovnice při křivočarém pohybu

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=6 "Editace sekce: Pohybové rovnice při křivočarém pohybu") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=6 "Editovat zdrojový kód sekce Pohybové rovnice při křivočarém pohybu")\]

Při obecném [křivočarém pohybu](/wiki/K%C5%99ivo%C4%8Dar%C3%BD_pohyb "Křivočarý pohyb") po zakřivené dráze nemá obecně [zrychlení](/wiki/Zrychlen%C3%AD "Zrychlení")a{\\displaystyle \\mathbf {a} }![{\displaystyle \mathbf {a} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d) směr [tečny](/wiki/Te%C4%8Dna "Tečna") ke [křivce](/wiki/K%C5%99ivka "Křivka") dráhy ( [trajektorii](/wiki/Trajektorie "Trajektorie")).

Rozložíme-li působící sílu F{\\displaystyle \\mathbf {F} }![{\displaystyle \mathbf {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256) na [tečnou](/wiki/Te%C4%8Dna "Tečna") složku Ft{\\displaystyle F\_{t}}![{\displaystyle F_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42cf9007bfa40c26216b648363be8f67e73d38cb) a [normálovou](/wiki/Norm%C3%A1la "Normála") složku Fn{\\displaystyle F\_{n}}![{\displaystyle F_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7) k trajektorii pohybu, získáme vztahy

Ft=mat=mdvdt{\\displaystyle F\_{t}=ma\_{t}=m{\\frac {\\mathrm {d} v}{\\mathrm {d} t}}}![{\displaystyle F_{t}=ma_{t}=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffcdf9446af7b6a01862c9dbb488159fe10908d)Fn=man=mv2ρ{\\displaystyle F\_{n}=ma\_{n}=m{\\frac {v^{2}}{\\rho }}}![{\displaystyle F_{n}=ma_{n}=m{\frac {v^{2}}{\rho }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f15d5d3ce84460fed8ce75911cad8eca4886904)

kde v{\\displaystyle v}![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) je [okamžitá rychlost](/wiki/Rychlost "Rychlost") a ρ{\\displaystyle \\rho }![{\displaystyle \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64) je [poloměr křivosti](/w/index.php?title=Polom%C4%9Br_k%C5%99ivosti&action=edit&redlink=1 "Poloměr křivosti (stránka neexistuje)") dráhy.

Tečná složka Ft{\\displaystyle F\_{t}}![{\displaystyle F_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42cf9007bfa40c26216b648363be8f67e73d38cb) mění velikost rychlosti tělesa, normálová složka Fn{\\displaystyle F\_{n}}![{\displaystyle F_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7) mění směr rychlosti. Normálová složky směřuje do středu křivosti dráhy, proto se nazývá [silou dostředivou (centripetální)](/wiki/Dost%C5%99ediv%C3%A1_s%C3%ADla "Dostředivá síla").

Při [rovnoměrném pohybu](/w/index.php?title=Rovnom%C4%9Brn%C3%BD_pohyb&action=edit&redlink=1 "Rovnoměrný pohyb (stránka neexistuje)") tělesa po zakřivené dráze (např. po [kružnici](/wiki/Kru%C5%BEnice "Kružnice")), tedy při pohybu, při němž má rychlost [konstantní](/wiki/Konstanta "Konstanta") velikost, platí pro tečnou sílu Ft=0{\\displaystyle F\_{t}=0}![{\displaystyle F_{t}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9fc253e79cc6b27c0c1fef88c58255c7a54b96). Na hmotný bod tak působí pouze dostředivá síla, která jej nutí pohybovat se po zakřivené dráze. Tato síla je obvykle zajištěna nějakým upevněním, které se nazývá [vazba](/wiki/Vazba "Vazba"). Pokud by dostředivá síla přestala na těleso působit, nenutilo by jej již nic ke křivočarému pohybu, a proto by se podle [prvního Newtonova zákona](/wiki/Prvn%C3%AD_Newton%C5%AFv_z%C3%A1kon "První Newtonův zákon") dále pohyboval [přímočaře](/wiki/P%C5%99%C3%ADmo%C4%8Dar%C3%BD_pohyb "Přímočarý pohyb") ve směru rychlosti, kterou měl v okamžiku, kdy dostředivá síla vymizela.

Dostředivá síla je tedy síla, kterou na pohybující se těleso působí vazba, čímž jej nutí ke křivočarému pohybu. Podle [třetího Newtonova zákona](/wiki/T%C5%99et%C3%AD_Newton%C5%AFv_z%C3%A1kon "Třetí Newtonův zákon") však působí těleso na vazbu stejně velkou silou opačného směru. Tato síla se nazývá [silou odstředivou (centrifugální)](/wiki/Odst%C5%99ediv%C3%A1_s%C3%ADla "Odstředivá síla"). Tato síla míří od středu křivosti.

Otáčí-li se např. [kámen](/wiki/Hornina "Hornina") upevněný na provázku, působí provázek na kámen silou dostředivou a nutí jej ke křivočarému pohybu, kámen naproti tomu působí na provázek silou odstředivou a napíná jej.

## Pohybová rovnice kontinua

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=7 "Editace sekce: Pohybová rovnice kontinua") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=7 "Editovat zdrojový kód sekce Pohybová rovnice kontinua")\]

V [mechanice kontinua](/w/index.php?title=Mechanika_kontinua&action=edit&redlink=1 "Mechanika kontinua (stránka neexistuje)") lze pohybovou rovnici vyjádřit [soustavou](/wiki/Soustava_rovnic "Soustava rovnic") [parciálních diferenciálních rovnic](/wiki/Parci%C3%A1ln%C3%AD_diferenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice "Parciální diferenciální rovnice") ve tvaru

∂σij∂xj+Gi=ρd2uidt2{\\displaystyle {\\frac {\\partial \\sigma \_{ij}}{\\partial x\_{j}}}+G\_{i}=\\rho {\\frac {\\mathrm {d} ^{2}u\_{i}}{\\mathrm {d} t^{2}}}}![{\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+G_{i}=\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7f1d3f103f2dd44015436f24ee60366e1a3545),

kde bylo použito [Einsteinovo sumační pravidlo](/wiki/Einsteinova_konvence "Einsteinova konvence") a σij{\\displaystyle \\sigma \_{ij}}![{\displaystyle \sigma _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43acbf52cc4d4f83f187ceaa49f045114b71772e) je [tenzor napětí](/wiki/Tenzor_nap%C4%9Bt%C3%AD "Tenzor napětí"), Gi{\\displaystyle G\_{i}}![{\displaystyle G_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd9fe8d455762608cc4e0a946b452492790ee5f) jsou složky [objemové síly](/wiki/Objemov%C3%A1_s%C3%ADla "Objemová síla"), ρ{\\displaystyle \\rho }![{\displaystyle \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64) je [hustota](/wiki/Hustota "Hustota") a ui{\\displaystyle u\_{i}}![{\displaystyle u_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f13cb025ff2e136dcbd2fc81ddf965b728e3d7) jsou složky [vektoru posunutí](/wiki/Deformace "Deformace").

Vhodnou úpravou lze získat rovnice použitelné pro určitou [látku](/wiki/L%C3%A1tka "Látka"). Např. pro [pohyb](/wiki/Proud%C4%9Bn%C3%AD "Proudění") viskózní tekutiny jsou pohybovými rovnicemi [Navierovy–Stokesovy rovnice](/wiki/Navierova%E2%80%93Stokesova_rovnice "Navierova–Stokesova rovnice").

## Teorie relativity

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=8 "Editace sekce: Teorie relativity") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=8 "Editovat zdrojový kód sekce Teorie relativity")\]

V [relativistické fyzice](/wiki/Teorie_relativity "Teorie relativity") má pohybová rovnice tvar

F=dpdt{\\displaystyle \\mathbf {F} ={\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {p} }{\\mathrm {d} t}}}![{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1738cbe14085332f1dc18499c2b47ac496cd09b4),

tzn. [síla](/wiki/S%C3%ADla "Síla")F{\\displaystyle \\mathbf {F} }![{\displaystyle \mathbf {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256) je rovna časové změně [hybnosti](/wiki/Hybnost "Hybnost")p{\\displaystyle \\mathbf {p} }![{\displaystyle \mathbf {p} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd73e3862cb92b016721b8c492eadb4e8a577527).

V relativistické fyzice je však třeba brát v úvahu také závislost [hmotnosti](/wiki/Relativistick%C3%A1_hmotnost "Relativistická hmotnost") na [rychlosti](/wiki/Rychlost "Rychlost"). Proto nelze v obecném relativistickém případě použít stejný výraz jako v klasické mechanice. Vyjádření pohybové rovnice ve stejném tvaru jako v klasické mechanice lze použít pouze v klidové soustavě daného tělesa. V klidové soustavě tedy platí zákony klasické mechaniky.

### Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v teorii relativity

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=9 "Editace sekce: Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v teorii relativity") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=9 "Editovat zdrojový kód sekce Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v teorii relativity")\]

Pokud předpokládáme, že na [pohybující](/wiki/Mechanick%C3%BD_pohyb "Mechanický pohyb") se [těleso](/wiki/T%C4%9Bleso "Těleso") působí [síla](/wiki/S%C3%ADla "Síla"), která má stejný směr jako pohybující se těleso, přičemž v okamžitě klidovém systému tělesa zůstává velikost této síly stejná, tzn. nemění se v čase. Pak (v této klidové soustavě) bude konstantní také [zrychlení](/wiki/Zrychlen%C3%AD "Zrychlení") vzhledem k okamžitě klidové soustavě, které je pro pozorovatele spojeného s tělesem mírou [neinerciálnosti](/wiki/Neinerci%C3%A1ln%C3%AD_vzta%C5%BEn%C3%A1_soustava "Neinerciální vztažná soustava") jeho pohybu. Pohyb lze tedy ve [speciální teorii relativity](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD_teorie_relativity "Speciální teorie relativity") považovat za [rovnoměrně zrychlený](/wiki/Rovnom%C4%9Brn%C4%9B_zrychlen%C3%BD_pohyb "Rovnoměrně zrychlený pohyb"), ačkoliv [zrychlení](/wiki/Zrychlen%C3%AD "Zrychlení") vzhledem k pevně danému [inerciálnímu systému](/wiki/Inerci%C3%A1ln%C3%AD_vzta%C5%BEn%C3%A1_soustava "Inerciální vztažná soustava") v něm konstantní není.

Nechť síla působí ve směru osy _x_ na těleso, které se v [čase](/wiki/%C4%8Cas "Čas")t=0{\\displaystyle t=0}![{\displaystyle t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c) nachází v bodě x=0{\\displaystyle x=0}![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) a má [nulovou](/wiki/Nula "Nula") [rychlost](/wiki/Rychlost "Rychlost"), tzn. v=0{\\displaystyle v=0}![{\displaystyle v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3d414a23bf4ecfa36cdd039241efc60a5bd9e0). Z relativistické pohybové rovnice bude platit

ddtv1−v2c2=g{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}{\\frac {v}{\\sqrt {1-{\\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=g}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bd66531c2576502e584084f419047e5243d625),

kde g=Fm0{\\displaystyle g={\\frac {F}{m\_{0}}}}![{\displaystyle g={\frac {F}{m_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc86196647b994c20f17ed9c0b4521997741f291) označuje klidové [zrychlení](/wiki/Zrychlen%C3%AD "Zrychlení").

[Integrací](/wiki/Integr%C3%A1l "Integrál") tohoto vztahu získáme pro rychlost výraz

v=dxdt=gt1+g2t2c2{\\displaystyle v={\\frac {\\mathrm {d} x}{\\mathrm {d} t}}={\\frac {gt}{\\sqrt {1+{\\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}}![{\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {gt}{\sqrt {1+{\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e4a84537f4df7255f05d8df016fcd92a054ffd)

a další integrací lze určit [polohu](/wiki/Poloha "Poloha") jako

x=c2g(1+g2t2c2−1){\\displaystyle x={\\frac {c^{2}}{g}}\\left({\\sqrt {1+{\\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1\\right)}![{\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f9db68ea2e64b88922b95a9af9711454845057)

Je-li (gt)2≪c2{\\displaystyle {(gt)}^{2}\\ll c^{2}}![{\displaystyle {(gt)}^{2}\ll c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46b6fb5d2d30f65c34fee5552fb798dd3c1daf4), lze výraz pro rychlost [aproximovat](/wiki/Aproximace "Aproximace") klasickým vztahem

v=gt{\\displaystyle v=gt}![{\displaystyle v=gt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f649247609d8bd7dbf7272b3599d6b585a029ea6)

Podobně lze polohu aproximovat klasickým vztahem

x=12gt2{\\displaystyle x={\\frac {1}{2}}gt^{2}}![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}gt^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f090d60cc8c282b3c1ee232ec0efddfcc0911023)

Avšak pro t→∞{\\displaystyle t\\to \\infty }![{\displaystyle t\to \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a34d7a61899d577d950881b4a44888d43f3fa93) vyplývá z vyjádření rychlosti, že v→c{\\displaystyle v\\to c}![{\displaystyle v\to c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2ad0883e50b8c27c1273713f6969d66e1c75f7). V [teorii relativity](/wiki/Teorie_relativity "Teorie relativity") se tedy rychlost tělesa bude blížit [rychlosti světla](/wiki/Rychlost_sv%C4%9Btla "Rychlost světla"), avšak nikdy ji nepřekoná. V tomto bodě se závěry teorie relativity odlišují od klasické mechaniky.

Pokud výraz pro polohu přepíšeme do tvaru

(x+c2g)2−c2t2=c4g2{\\displaystyle {\\left(x+{\\frac {c^{2}}{g}}\\right)}^{2}-c^{2}t^{2}={\\frac {c^{4}}{g^{2}}}}![{\displaystyle {\left(x+{\frac {c^{2}}{g}}\right)}^{2}-c^{2}t^{2}={\frac {c^{4}}{g^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb8d75c7fbc952f96f700c03e829547e503928b)

Tato [rovnice](/wiki/Rovnice "Rovnice") představuje rovnici [hyperboly](/wiki/Hyperbola "Hyperbola"). [Grafem](/wiki/Graf_funkce "Graf funkce") studovaného pohybu v [rovině](/wiki/Rovina "Rovina") _xt_ je tedy [hyperbola](/wiki/Hyperbola "Hyperbola") (na rozdíl od klasického případu, kdy se jedná o [parabolu](/wiki/Parabola_(matematika) "Parabola (matematika)")). V této souvislosti se také hovoří o **hyperbolickém pohybu**.

### Relativistický pohyb v homogenním magnetickém poli

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=10 "Editace sekce: Relativistický pohyb v homogenním magnetickém poli") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=10 "Editovat zdrojový kód sekce Relativistický pohyb v homogenním magnetickém poli")\]

Na těleso s [elektrickým nábojem](/wiki/Elektrick%C3%BD_n%C3%A1boj "Elektrický náboj")e{\\displaystyle e}![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467), které se pohybuje v [magnetickém poli](/wiki/Magnetick%C3%A9_pole "Magnetické pole") o [indukci](/wiki/Magnetick%C3%A1_indukce "Magnetická indukce")B{\\displaystyle \\mathbf {B} }![{\displaystyle \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafb0ef39b0f5ffa23c170aa7f7b4e718327c4d1)[rychlostí](/wiki/Rychlost "Rychlost")v{\\displaystyle \\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6) působí [síla](/wiki/S%C3%ADla "Síla")

F=ev×B{\\displaystyle \\mathbf {F} =e\\mathbf {v} \\times \\mathbf {B} }![{\displaystyle \mathbf {F} =e\mathbf {v} \times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa50abe81f54fefcfa964a504e0a17bdabd66db)

Tento vztah platí i v [teorii relativity](/wiki/Teorie_relativity "Teorie relativity").

Předpokládejme, že magnetické pole je [homogenní](/wiki/Homogenn%C3%AD_pole "Homogenní pole"), [časově neproměnné](/w/index.php?title=Statick%C3%A9_pole&action=edit&redlink=1 "Statické pole (stránka neexistuje)"), a [vektor](/wiki/Vektor "Vektor")B{\\displaystyle \\mathbf {B} }![{\displaystyle \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafb0ef39b0f5ffa23c170aa7f7b4e718327c4d1) má směr [osy](/wiki/Soustava_sou%C5%99adnic "Soustava souřadnic") _z_.

Omezíme-li se na popis pohybu v [rovině](/wiki/Rovina "Rovina") _xy_, dostaneme pohybové rovnice

dpxdt=evyB{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} p\_{x}}{\\mathrm {d} t}}=ev\_{y}B}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p_{x}}{\mathrm {d} t}}=ev_{y}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a8fc78c74b21d76e7c874a3ac69c0f63822b14)dpydt=−evxB{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} p\_{y}}{\\mathrm {d} t}}=-ev\_{x}B}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p_{y}}{\mathrm {d} t}}=-ev_{x}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fc151481e46b41e88097e640dc17006dd2045b)

V nerelativistické fyzice bychom do těchto rovnic dosadili p=m0v{\\displaystyle \\mathbf {p} =m\_{0}\\mathbf {v} }![{\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ad72b68dd31929ae44228a19617c83325b2305) a řešením by byl [pohyb po kružnici](/wiki/Pohyb_po_kru%C5%BEnici "Pohyb po kružnici") s [úhlovou rychlostí](/wiki/%C3%9Ahlov%C3%A1_rychlost "Úhlová rychlost")ω0=eBm0{\\displaystyle \\omega \_{0}={\\frac {eB}{m\_{0}}}}![{\displaystyle \omega _{0}={\frac {eB}{m_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eea18cd364d96ead7a2e10efaaa99d521b55298). V teorii relativity je však [hmotnost](/wiki/Relativistick%C3%A1_hmotnost "Relativistická hmotnost") závislá na rychlosti.

[Vynásobíme](/wiki/N%C3%A1soben%C3%AD "Násobení") první z rovnic vx{\\displaystyle v\_{x}}![{\displaystyle v_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704b7ad1ece77840fde455daa6d2e51e64282b5e) a druhou z rovnic vy{\\displaystyle v\_{y}}![{\displaystyle v_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922aa64dad09633a401e14be9b4389795835cd8c) a [sečteme](/wiki/S%C4%8D%C3%ADt%C3%A1n%C3%AD "Sčítání"), dostaneme

vxdpxdt+vydpydt=ddtm0c21−v2c2=0{\\displaystyle v\_{x}{\\frac {\\mathrm {d} p\_{x}}{\\mathrm {d} t}}+v\_{y}{\\frac {\\mathrm {d} p\_{y}}{\\mathrm {d} t}}={\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}{\\frac {m\_{0}c^{2}}{\\sqrt {1-{\\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=0}![{\displaystyle v_{x}{\frac {\mathrm {d} p_{x}}{\mathrm {d} t}}+v_{y}{\frac {\mathrm {d} p_{y}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3edf06541f8e5dcdd88fe665876f02009b2614)

[Integrací](/wiki/Integr%C3%A1l "Integrál") dostaneme [zákon zachování energie](/wiki/Z%C3%A1kon_zachov%C3%A1n%C3%AD_energie "Zákon zachování energie")

mc2=m0c21−v2c2=konst{\\displaystyle mc^{2}={\\frac {m\_{0}c^{2}}{\\sqrt {1-{\\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\\mbox{konst}}}![{\displaystyle mc^{2}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\mbox{konst}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe18d0439714032ec92341eceada8c615c64877)

Odsud plyne, že je možné považovat [hmotnost](/wiki/Hmotnost "Hmotnost")m{\\displaystyle m}![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc) za [konstantu](/wiki/Konstanta "Konstanta") a dostaneme obdobné řešení jako v nerelativistickém případě, tzn. pohyb probíhá po kružnici s úhlovou rychlostí

ω=eBm=eB1−v2c2m0{\\displaystyle \\omega ={\\frac {eB}{m}}={\\frac {eB{\\sqrt {1-{\\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{m\_{0}}}}![{\displaystyle \omega ={\frac {eB}{m}}={\frac {eB{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{m_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeac542b86e8a5e649b086de5e7b2c24f2c5001b)

Z tohoto výrazu plyne, že při relativistickém pohybu se úhlová rychlost zmenšuje s rostoucí rychlostí částice.

Je-li r{\\displaystyle r}![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)[poloměr](/wiki/Polom%C4%9Br "Poloměr") [kružnice](/wiki/Kru%C5%BEnice "Kružnice"), po které se těleso pohybuje, je rychlost pohybu po obvodu určena jako v=rω{\\displaystyle v=r\\omega }![{\displaystyle v=r\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b5b5c066f5be8dee84c4cb33dea2383de8b012), odkud s pomocí předchozích vztahů dostáváme

v=ω0r1−(ω0rc)2{\\displaystyle v={\\frac {\\omega \_{0}r}{\\sqrt {1-{\\left({\\frac {\\omega \_{0}r}{c}}\\right)}^{2}}}}}![{\displaystyle v={\frac {\omega _{0}r}{\sqrt {1-{\left({\frac {\omega _{0}r}{c}}\right)}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2d47b35e35bd2f79be98a561fa4f230d328820)

Pro r→∞{\\displaystyle r\\to \\infty }![{\displaystyle r\to \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd3a85ea2e3d6b4027434e502cace4177d7a3e8) pak platí v→c{\\displaystyle v\\to c}![{\displaystyle v\to c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2ad0883e50b8c27c1273713f6969d66e1c75f7), tzn. rychlost pohybu tělesa se blíží rychlosti světla, ale nedosáhne jí.

### Čtyřrozměrná formulace pohybových rovnic

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=11 "Editace sekce: Čtyřrozměrná formulace pohybových rovnic") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=11 "Editovat zdrojový kód sekce Čtyřrozměrná formulace pohybových rovnic")\]

V teorii relativity lze pohybové rovnice formulovat také pomocí [čtyřvektorů](/wiki/%C4%8Cty%C5%99vektor "Čtyřvektor").

Pokud předpokládáme, že [klidová hmotnost](/wiki/Klidov%C3%A1_hmotnost "Klidová hmotnost")m0{\\displaystyle m\_{0}}![{\displaystyle m_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6ff51ee949104fe6fae553cfbdfba29d5fac1e)[částice](/wiki/%C4%8C%C3%A1stice "Částice") je [konstantní](/wiki/Konstanta "Konstanta"), lze [derivovat](/wiki/Derivace "Derivace") její [čtyřhybnost](/wiki/%C4%8Cty%C5%99hybnost "Čtyřhybnost")Pι{\\displaystyle P^{\\iota }}![{\displaystyle P^{\iota }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6401331da7b077fde25acc269402b4da5e271613) podle intervalu [světočáry](/wiki/Sv%C4%9Bto%C4%8D%C3%A1ra "Světočára")s{\\displaystyle s}![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632), tzn.

dPιds=m0cdUιds=m0cAι{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} P^{\\iota }}{\\mathrm {d} s}}=m\_{0}c{\\frac {\\mathrm {d} U^{\\iota }}{\\mathrm {d} s}}=m\_{0}cA^{\\iota }}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P^{\iota }}{\mathrm {d} s}}=m_{0}c{\frac {\mathrm {d} U^{\iota }}{\mathrm {d} s}}=m_{0}cA^{\iota }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9574b033edfbb81ad9ae9d77cc5a59d5843e88b),

pro ι=0,1,2,3{\\displaystyle \\iota =0,1,2,3}![{\displaystyle \iota =0,1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3629fda36ea7e7005b4da1912238ce0ec31e7a), kde Uι{\\displaystyle U^{\\iota }}![{\displaystyle U^{\iota }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa5b8da1aab478f0a215baf9da2418830e9c8f1) je [čtyřrychlost](/wiki/%C4%8Cty%C5%99rychlost "Čtyřrychlost") a Aι=dUιds{\\displaystyle A^{\\iota }={\\frac {\\mathrm {d} U^{\\iota }}{\\mathrm {d} s}}}![{\displaystyle A^{\iota }={\frac {\mathrm {d} U^{\iota }}{\mathrm {d} s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76474f033d486f76f4c104d453162f98a9fecd17) je [vektor](/wiki/Vektor "Vektor") **čtyřzrychlení**.

Je-li obyčejné [zrychlení](/wiki/Zrychlen%C3%AD "Zrychlení") určeno vztahem a=dvdt{\\displaystyle \\mathbf {a} ={\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {v} }{\\mathrm {d} t}}}![{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3eaf62d6841285c693348900bc6ee721f36a4ac), pak platí

Aι=1cdγds(c,v)+γc2(0,γa)=γ2c2(γ2v⋅ac,a+γ2c2(v⋅a)⋅v){\\displaystyle A^{\\iota }={\\frac {1}{c}}{\\frac {\\mathrm {d} \\gamma }{\\mathrm {d} s}}(c,\\mathbf {v} )+{\\frac {\\gamma }{c^{2}}}(0,\\gamma \\mathbf {a} )={\\frac {\\gamma ^{2}}{c^{2}}}\\left({\\frac {\\gamma ^{2}\\mathbf {v} \\cdot \\mathbf {a} }{c}},\\mathbf {a} +{\\frac {\\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\\mathbf {v} \\cdot \\mathbf {a} )\\cdot \\mathbf {v} \\right)}![{\displaystyle A^{\iota }={\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} s}}(c,\mathbf {v} )+{\frac {\gamma }{c^{2}}}(0,\gamma \mathbf {a} )={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }{c}},\mathbf {a} +{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {v} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696a6bf79fa109d582f9ed2609a96cf6b3ca1d33),

kde γ{\\displaystyle \\gamma }![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a) je [Lorentzův faktor](/wiki/Lorentz%C5%AFv_faktor "Lorentzův faktor").

Volbou [vztažného systému](/wiki/Vzta%C5%BEn%C3%A1_soustava "Vztažná soustava") lze dosáhnout toho, aby časová složky čtyřzrychlení byla [nulová](/wiki/Nula "Nula"), z čehož plyne, že čtyřzrychlení je [prostorupodobný vektor](/w/index.php?title=Prostorupodobn%C3%BD_vektor&action=edit&redlink=1 "Prostorupodobný vektor (stránka neexistuje)").

Pohybové rovnice lze vyjádřit jako

dPιdτ=m0c2Aι=FMι{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} P^{\\iota }}{\\mathrm {d} \\tau }}=m\_{0}c^{2}A^{\\iota }=F\_{M}^{\\iota }}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P^{\iota }}{\mathrm {d} \tau }}=m_{0}c^{2}A^{\iota }=F_{M}^{\iota }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be284142be6b52afdf9585f7d195e55f6098c626),

kde τ{\\displaystyle \\tau }![{\displaystyle \tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c) je [vlastní čas](/wiki/Vlastn%C3%AD_%C4%8Das "Vlastní čas") a FMι{\\displaystyle F\_{M}^{\\iota }}![{\displaystyle F_{M}^{\iota }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422d9f93271271bae1c4390b56cb631f50fadfb5) je jsou složky [čtyřvektoru](/wiki/%C4%8Cty%C5%99vektor "Čtyřvektor") **Minkowskiho síly**. Minkowskiho **čtyřsíla** je s třírozměrnou [silou](/wiki/S%C3%ADla "Síla")f{\\displaystyle \\mathbf {f} }![{\displaystyle \mathbf {f} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6194e680a4e7c521f2178c50eea302843a852d) spojena vztahem

FMι=γ(1cdEdt,dpdt)=γ(f⋅vc,f){\\displaystyle F\_{M}^{\\iota }=\\gamma \\left({\\frac {1}{c}}{\\frac {\\mathrm {d} E}{\\mathrm {d} t}},{\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {p} }{\\mathrm {d} t}}\\right)=\\gamma \\left({\\frac {\\mathbf {f} \\cdot \\mathbf {v} }{c}},\\mathbf {f} \\right)}![{\displaystyle F_{M}^{\iota }=\gamma \left({\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\right)=\gamma \left({\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }{c}},\mathbf {f} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e29a4417ba56dfde496aad192b205fa886d14d)

Tato rovnice v sobě zahrnuje nejen relativistické pohybové rovnice, ale také vztah pro časovou změnu [energie](/wiki/Energie "Energie"), tzn.

dEdt=f⋅v{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} E}{\\mathrm {d} t}}=\\mathbf {f} \\cdot \\mathbf {v} }![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd9f29c5836ee8836d14a0d926c917037af4f3b)

Uvedené rovnice platí pouze za předpokladu konstantnosti klidové hmotnosti, tzn. dm0dτ=0{\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} m\_{0}}{\\mathrm {d} \\tau }}=0}![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m_{0}}{\mathrm {d} \tau }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a98fabdac9067d1cc4e2d8315b5f32b907dbdf). Tyto procesy jsou označovány jako _mechanické_. Dochází-li ke změně klidové energie (a tedy i změně klidové hmotnosti), jedná se o procesy nemechanické. Příkladem nemechanického procesu je např. ohřívání tělesa, tedy zvyšování jeho klidové energie.

U mechanických procesů platí

FM⋅U=ηικFMιUκ=0{\\displaystyle \\mathbf {F} \_{M}\\cdot \\mathbf {U} =\\eta \_{\\iota \\kappa }F\_{M}^{\\iota }U^{\\kappa }=0}![{\displaystyle \mathbf {F} _{M}\cdot \mathbf {U} =\eta _{\iota \kappa }F_{M}^{\iota }U^{\kappa }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b626836acc8b0439151df735e6ee83a46650eaf)

Podle tohoto vztahu je tedy za uvedených podmínek čtyřsíla [kolmá](/wiki/Ortogonalita "Ortogonalita") na čtyřrychlost.

## Kvantová mechanika

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=12 "Editace sekce: Kvantová mechanika") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=12 "Editovat zdrojový kód sekce Kvantová mechanika")\]

Pohyb v částicové [kvantové mechanice](/wiki/Kvantov%C3%A1_mechanika "Kvantová mechanika") je popsán časovým vývojem [komplexní](/wiki/Komplexn%C3%AD_%C4%8D%C3%ADslo "Komplexní číslo") [vlnové funkce](/wiki/Vlnov%C3%A1_funkce "Vlnová funkce"). Přesná poloha částice není určena, lze určit pouze pravděpodobnost výskytu v dané oblasti prostoru. Základní pohybovou rovnicí je [Schrödingerova rovnice](/wiki/Schr%C3%B6dingerova_rovnice "Schrödingerova rovnice"):

iℏ∂ψ∂t=(−ℏ22mΔ+V)ψ,{\\displaystyle i\\hbar {\\frac {\\partial \\psi }{\\partial t}}=\\left(-{\\frac {\\hbar ^{2}}{2m}}\\Delta +V\\right)\\psi \\,,}![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V\right)\psi \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a689410e3741407203f894668a6c5919a1a1c093)

kde i{\\displaystyle i}![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20) je [imaginární jednotka](/wiki/Imagin%C3%A1rn%C3%AD_jednotka "Imaginární jednotka"), ℏ{\\displaystyle \\hbar }![{\displaystyle \hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41) je [Planckova konstanta](/wiki/Planckova_konstanta "Planckova konstanta"), ψ=ψ(r,t){\\displaystyle \\psi =\\psi ({\\mathbf {r} },t)}![{\displaystyle \psi =\psi ({\mathbf {r} },t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352e207713c9509ef88e3b43ddde9b12be4b2875) je [vlnová funkce](/wiki/Vlnov%C3%A1_funkce "Vlnová funkce"), m{\\displaystyle m}![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc) je [hmotnost](/wiki/Hmotnost "Hmotnost") částice, Δ{\\displaystyle \\Delta }![{\displaystyle \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2) je [Laplaceův operátor](/wiki/Laplace%C5%AFv_oper%C3%A1tor "Laplaceův operátor"). Silové pole je popsáno nikoliv pomocí [intenzity pole](/w/index.php?title=Intenzita_pole&action=edit&redlink=1 "Intenzita pole (stránka neexistuje)") ale [potenciální energie](/wiki/Potenci%C3%A1ln%C3%AD_energie "Potenciální energie"), která závisí na poloze v prostoru a obecně i na čase: V=V(r,t){\\displaystyle V=V({\\mathbf {r} },t)}![{\displaystyle V=V({\mathbf {r} },t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783f3708eba87c0e1de11354a15f9130d5530b32). Závorka na pravé straně rovnice je [Hamiltonův operátor](/wiki/Hamilton%C5%AFv_oper%C3%A1tor "Hamiltonův operátor"). Ten vyjadřuje celkovou [energii](/wiki/Energie "Energie") částice jako součet [kinetické](/wiki/Kinetick%C3%A1_energie "Kinetická energie") a [potenciální](/wiki/Potenci%C3%A1ln%C3%AD_energie "Potenciální energie") energie. Výraz na levé straně odpovídá působení operátoru [energie](/wiki/Energie "Energie") na vlnovou funkci. Jde o parciální diferenciální rovnici nad komplexními čísly, protože vlnová funkce se tu [derivuje](/wiki/Derivace "Derivace") jak podle času tak i prostorových souřadnic.

Na levé straně rovnice vystupuje _první_ [parciální derivace](/wiki/Parci%C3%A1ln%C3%AD_derivace "Parciální derivace") vlnové funkce podle času, na pravé straně se derivuje _dvakrát_ podle prostorových souřadnic ( [Laplaceův operátor](/wiki/Laplace%C5%AFv_oper%C3%A1tor "Laplaceův operátor")). To naznačuje, že Schrödingerova rovnice není v souladu se [speciální teorií relativity](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD_teorie_relativity "Speciální teorie relativity"), protože není invariantní vůči [Lorentzově transformaci](/wiki/Lorentzova_transformace "Lorentzova transformace"). Musela by zacházet s prostorovými i časovými souřadnicemi stejně. Pro relativistické případy je tedy třeba použít jiné rovnice.

## Relativistická kvantová mechanika

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=13 "Editace sekce: Relativistická kvantová mechanika") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=13 "Editovat zdrojový kód sekce Relativistická kvantová mechanika")\]

- [Kleinova–Gordonova rovnice](/wiki/Kleinova%E2%80%93Gordonova_rovnice "Kleinova–Gordonova rovnice")
- [Diracova rovnice](/wiki/Diracova_rovnice "Diracova rovnice")

## Související články

\[ [editovat](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&veaction=edit&section=14 "Editace sekce: Související články") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&action=edit&section=14 "Editovat zdrojový kód sekce Související články")\]

- [Mechanický pohyb](/wiki/Mechanick%C3%BD_pohyb "Mechanický pohyb")
- [Integrál pohybu](/wiki/Integr%C3%A1l_pohybu "Integrál pohybu")

Citováno z „ [https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Pohybová\_rovnice&oldid=23600035](https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Pohybová_rovnice&oldid=23600035)“

[Kategorie](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:Kategorie "Nápověda:Kategorie"):

- [Mechanika](/wiki/Kategorie:Mechanika "Kategorie:Mechanika")

Skrytá kategorie:

- [Monitoring:Autoritní kontrola s 0 identifikátory](/wiki/Kategorie:Monitoring:Autoritn%C3%AD_kontrola_s_0_identifik%C3%A1tory "Kategorie:Monitoring:Autoritní kontrola s 0 identifikátory")

- Stránka byla naposledy editována 27. 1. 2024 v 22:12.
- Text je dostupný pod [licencí Creative Commons Uveďte původ – Zachovejte licenci](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.cs), případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce [Podmínky užití](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/cs).

- [Ochrana osobních údajů](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy)
- [O Wikipedii](/wiki/Wikipedie)
- [Vyloučení odpovědnosti](/wiki/Wikipedie:Vylou%C4%8Den%C3%AD_odpov%C4%9Bdnosti)
- [Kontaktujte Wikipedii](//cs.wikipedia.org/wiki/Wikipedie:Kontakt)
- [Kodex chování](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct)
- [Vývojáři](https://developer.wikimedia.org)
- [Statistiky](https://stats.wikimedia.org/#/cs.wikipedia.org)
- [Prohlášení o cookies](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement)
- [Mobilní verze](//cs.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Pohybov%C3%A1_rovnice&mobileaction=toggle_view_mobile)

- [![Wikimedia Foundation](/static/images/footer/wikimedia-button.svg)](https://wikimediafoundation.org/)
- [![Powered by MediaWiki](/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg)](https://www.mediawiki.org/)