Kvantová fyzika - Wikipedie
Základní rovnicí kvantové fyziky je rovnice E=h•f. E je energie, h je Planckova konstanta a f je frekvence.
komutují
Operátory odpovídající kompatibilním veličinám navzájem <anchor>komutují</anchor>, naopak nekomutující operátory reprezentují nekompatibilní (komplementární) pozorovatelné veličiny. Operátory také hrají zásadní roli při procesu kvantování (viz níže).
Komutativita – Wikipedie
Komutativita – Wikipedie[Přeskočit na obsah](#bodyContent)

Hlavní menu

Hlavní menu

přesunout do postranního paneluskrýt

Navigace


- [Hlavní strana](/wiki/Hlavn%C3%AD_strana "Navštívit Hlavní stranu [z]")
- [Nápověda](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:Obsah "Místo, kde najdete pomoc")
- [Potřebuji pomoc](/wiki/Wikipedie:Pot%C5%99ebuji_pomoc "Pokud si nevíte rady, zeptejte se ostatních")
- [Nejlepší články](/wiki/Wikipedie:Nejlep%C5%A1%C3%AD_%C4%8Dl%C3%A1nky "Přehled článků, které jsou považovány za nejlepší na české Wikipedii")
- [Náhodný článek](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:N%C3%A1hodn%C3%A1_str%C3%A1nka "Přejít na náhodně vybranou stránku [x]")
- [Poslední změny](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Posledn%C3%AD_zm%C4%9Bny "Seznam posledních změn na této wiki [r]")
- [Komunitní portál](/wiki/Wikipedie:Port%C3%A1l_Wikipedie "O projektu, jak můžete pomoci, kde hledat")
- [Pod lípou](/wiki/Wikipedie:Pod_l%C3%ADpou "Hlavní diskusní fórum")
- [Podpořte Wikipedii](//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_cs.wikipedia.org&uselang=cs "Podpořte nás")

[![](/static/images/icons/wikipedia.png)![Wikipedie](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-cs.svg)![Wikipedie: Otevřená encyklopedie](/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-cs.svg)](/wiki/Hlavn%C3%AD_strana)

[Hledání](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Hled%C3%A1n%C3%AD "Prohledat tuto wiki [f]")

Hledat

Vzhled

- [Vytvoření účtu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Vytvo%C5%99it_%C3%BA%C4%8Det&returnto=Komutativita "Doporučujeme vytvořit si účet a přihlásit se, ovšem není to povinné")
- [Přihlášení](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:P%C5%99ihl%C3%A1sit&returnto=Komutativita "Doporučujeme vám přihlásit se, ovšem není to povinné. [o]")

Osobní nástroje

- [Vytvoření účtu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Vytvo%C5%99it_%C3%BA%C4%8Det&returnto=Komutativita "Doporučujeme vytvořit si účet a přihlásit se, ovšem není to povinné")
- [Přihlášení](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:P%C5%99ihl%C3%A1sit&returnto=Komutativita "Doporučujeme vám přihlásit se, ovšem není to povinné. [o]")

Stránky pro odhlášené editory [dozvědět se více](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:%C3%9Avod)

- [Příspěvky](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Moje_p%C5%99%C3%ADsp%C4%9Bvky "Seznam editací provedených z této IP adresy [y]")
- [Diskuse](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Moje_diskuse "Diskuse o editacích provedených z této IP adresy [n]")

## Obsah

přesunout do postranního paneluskrýt

- (úvod)

- [1Definice](#Definice)
- [2Příklady komutativity](#Příklady_komutativity)
- [3Odkazy](#Odkazy)Přepnout podsekci Odkazy  - [3.1Související články](#Související_články)
  - [3.2Externí odkazy](#Externí_odkazy)

Přepnout obsah

# Komutativita

70 jazyků

- [Afrikaans](https://af.wikipedia.org/wiki/Kommutatiewe_bewerking "Kommutatiewe bewerking – afrikánština")
- [العربية](https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D9%85%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%AA%D8%A8%D8%AF%D9%8A%D9%84%D9%8A%D8%A9 "عملية تبديلية – arabština")
- [Asturianu](https://ast.wikipedia.org/wiki/Conmutativid%C3%A1 "Conmutatividá – asturština")
- [Azərbaycanca](https://az.wikipedia.org/wiki/Kommutativlik_xass%C9%99si "Kommutativlik xassəsi – ázerbájdžánština")
- [Башҡортса](https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D1%8B%D2%A1 "Коммутативлыҡ – baškirština")
- [Беларуская](https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8B%D1%9E%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%8B%D1%8F "Камутатыўная аперацыя – běloruština")
- [Български](https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82 "Комутативност – bulharština")
- [বাংলা](https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%A8%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%AF%E0%A6%BC_%E0%A6%AC%E0%A7%88%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B7%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A7%8D%E0%A6%AF "বিনিময় বৈশিষ্ট্য – bengálština")
- [Bosanski](https://bs.wikipedia.org/wiki/Komutativnost "Komutativnost – bosenština")
- [Català](https://ca.wikipedia.org/wiki/Propietat_commutativa "Propietat commutativa – katalánština")
- [کوردی](https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B3%DB%8C%DB%95%D8%AA%DB%8C_%D8%A6%D8%A7%DA%B5%D9%88%DA%AF%DB%86%DA%95 "خاسیەتی ئاڵوگۆڕ – kurdština (sorání)")
- [Чӑвашла](https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%C4%83_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8 "Коммутативлă операци – čuvaština")
- [Dansk](https://da.wikipedia.org/wiki/Kommutativitet "Kommutativitet – dánština")
- [Deutsch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kommutativgesetz "Kommutativgesetz – němčina")
- [Ελληνικά](https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1 "Αντιμεταθετική ιδιότητα – řečtina")
- [English](https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property "Commutative property – angličtina")
- [Esperanto](https://eo.wikipedia.org/wiki/Komuteco "Komuteco – esperanto")
- [Español](https://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad "Conmutatividad – španělština")
- [Eesti](https://et.wikipedia.org/wiki/Kommutatiivsus "Kommutatiivsus – estonština")
- [Euskara](https://eu.wikipedia.org/wiki/Trukakortasun "Trukakortasun – baskičtina")
- [فارسی](https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5%DB%8C%D8%AA_%D8%AC%D8%A7%D8%A8%D9%87%E2%80%8C%D8%AC%D8%A7%DB%8C%DB%8C "خاصیت جابه‌جایی – perština")
- [Suomi](https://fi.wikipedia.org/wiki/Vaihdannaisuus "Vaihdannaisuus – finština")
- [Français](https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_commutative "Loi commutative – francouzština")
- [Nordfriisk](https://frr.wikipedia.org/wiki/Komutatiifgesets "Komutatiifgesets – fríština (severní)")
- [Gaeilge](https://ga.wikipedia.org/wiki/Oibr%C3%ADocht_ch%C3%B3mhalartach "Oibríocht chómhalartach – irština")
- [Gàidhlig](https://gd.wikipedia.org/wiki/Co-iomlaideachd "Co-iomlaideachd – skotská gaelština")
- [Galego](https://gl.wikipedia.org/wiki/Conmutatividade "Conmutatividade – galicijština")
- [עברית](https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%A7%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%98%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA "פעולה קומוטטיבית – hebrejština")
- [हिन्दी](https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF%E0%A4%A4%E0%A4%BE "क्रमविनिमेयता – hindština")
- [Hrvatski](https://hr.wikipedia.org/wiki/Komutativnost "Komutativnost – chorvatština")
- [Magyar](https://hu.wikipedia.org/wiki/Kommutativit%C3%A1s "Kommutativitás – maďarština")
- [Հայերեն](https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8F%D5%A5%D5%B2%D5%A1%D6%83%D5%B8%D5%AD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6 "Տեղափոխականություն – arménština")
- [Interlingua](https://ia.wikipedia.org/wiki/Commutativitate "Commutativitate – interlingua")
- [Bahasa Indonesia](https://id.wikipedia.org/wiki/Sifat_komutatif "Sifat komutatif – indonéština")
- [Íslenska](https://is.wikipedia.org/wiki/V%C3%ADxlregla "Víxlregla – islandština")
- [Italiano](https://it.wikipedia.org/wiki/Commutativit%C3%A0 "Commutatività – italština")
- [日本語](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87 "交換法則 – japonština")
- [Қазақша](https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%83%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%8B%D0%BC%D0%B4%D1%8B%D0%BB%D1%8B%D2%9B "Ауыстырымдылық – kazaština")
- [한국어](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%90%ED%99%98%EB%B2%95%EC%B9%99 "교환법칙 – korejština")
- [Latina](https://la.wikipedia.org/wiki/Commutativitas_(mathematica) "Commutativitas (mathematica) – latina")
- [Lietuvių](https://lt.wikipedia.org/wiki/Komutatyvumas "Komutatyvumas – litevština")
- [Latviešu](https://lv.wikipedia.org/wiki/Komutativit%C4%81te "Komutativitāte – lotyština")
- [Македонски](https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82 "Комутативност – makedonština")
- [മലയാളം](https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%AE%E0%B4%A8%E0%B4%BF%E0%B4%AF%E0%B4%AE%E0%B4%82 "ക്രമനിയമം – malajálamština")
- [Bahasa Melayu](https://ms.wikipedia.org/wiki/Kalis_tukar_tertib "Kalis tukar tertib – malajština")
- [Nederlands](https://nl.wikipedia.org/wiki/Commutativiteit "Commutativiteit – nizozemština")
- [Norsk nynorsk](https://nn.wikipedia.org/wiki/Kommutativitet "Kommutativitet – norština (nynorsk)")
- [Norsk bokmål](https://no.wikipedia.org/wiki/Kommutativ_lov "Kommutativ lov – norština (bokmål)")
- [Polski](https://pl.wikipedia.org/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87 "Przemienność – polština")
- [Português](https://pt.wikipedia.org/wiki/Comutatividade "Comutatividade – portugalština")
- [Română](https://ro.wikipedia.org/wiki/Comutativitate "Comutativitate – rumunština")
- [Русский](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C "Коммутативность – ruština")
- [Srpskohrvatski / српскохрватски](https://sh.wikipedia.org/wiki/Komutativnost "Komutativnost – srbochorvatština")
- [සිංහල](https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B1%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B6%AF%E0%B7%9A%E0%B7%81%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA_%E0%B6%B1%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B6%BA "න්‍යාදේශ්‍ය න්‍යාය – sinhálština")
- [Simple English](https://simple.wikipedia.org/wiki/Commutative_property "Commutative property – Simple English")
- [Slovenčina](https://sk.wikipedia.org/wiki/Komutat%C3%ADvnos%C5%A5 "Komutatívnosť – slovenština")
- [Slovenščina](https://sl.wikipedia.org/wiki/Komutativnost "Komutativnost – slovinština")
- [Shqip](https://sq.wikipedia.org/wiki/Vetia_e_nd%C3%ABrrimit "Vetia e ndërrimit – albánština")
- [Српски / srpski](https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82 "Комутативност – srbština")
- [Svenska](https://sv.wikipedia.org/wiki/Kommutativitet "Kommutativitet – švédština")
- [தமிழ்](https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AE%B0%E0%AE%BF%E0%AE%AE%E0%AE%BE%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%A4%E0%AF%8D%E0%AE%A4%E0%AE%A9%E0%AF%8D%E0%AE%AE%E0%AF%88 "பரிமாற்றுத்தன்மை – tamilština")
- [ไทย](https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88 "สมบัติการสลับที่ – thajština")
- [Türkçe](https://tr.wikipedia.org/wiki/De%C4%9Fi%C5%9Fme_%C3%B6zelli%C4%9Fi "Değişme özelliği – turečtina")
- [Татарча / tatarça](https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D1%8B%D0%BA "Коммутативлык – tatarština")
- [Українська](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C "Комутативність – ukrajinština")
- [Vèneto](https://vec.wikipedia.org/wiki/Propiet%C3%A0_comutativa "Propietà comutativa – benátština")
- [Tiếng Việt](https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n "Tính giao hoán – vietnamština")
- [吴语](https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%BE%8B "交换律 – čínština (dialekty Wu)")
- [中文](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%BE%8B "交換律 – čínština")
- [粵語](https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%BE%8B "交換律 – kantonština")

[Upravit odkazy](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q165474#sitelinks-wikipedia "Editovat mezijazykové odkazy")

- [Článek](/wiki/Komutativita "Zobrazit obsahovou stránku [c]")
- [Diskuse](/wiki/Diskuse:Komutativita "Diskuse ke stránce [t]")

čeština

- [Číst](/wiki/Komutativita)
- [Editovat](/w/index.php?title=Komutativita&veaction=edit "Editovat tuto stránku [v]")
- [Editovat zdroj](/w/index.php?title=Komutativita&action=edit "Editovat zdrojový kód této stránky [e]")
- [Zobrazit historii](/w/index.php?title=Komutativita&action=history "Starší verze této stránky. [h]")

Nástroje

Nástroje

přesunout do postranního paneluskrýt

Akce


- [Číst](/wiki/Komutativita)
- [Editovat](/w/index.php?title=Komutativita&veaction=edit "Editovat tuto stránku [v]")
- [Editovat zdroj](/w/index.php?title=Komutativita&action=edit "Editovat zdrojový kód této stránky [e]")
- [Zobrazit historii](/w/index.php?title=Komutativita&action=history)

Obecné


- [Odkazuje sem](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Co_odkazuje_na/Komutativita "Seznam všech wikistránek, které sem odkazují [j]")
- [Související změny](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Souvisej%C3%ADc%C3%AD_zm%C4%9Bny/Komutativita "Nedávné změny stránek, na které je odkazováno [k]")
- [Načíst soubor](//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=cs "Nahrát obrázky či jiná multimédia [u]")
- [Speciální stránky](/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:Speci%C3%A1ln%C3%AD_str%C3%A1nky "Seznam všech speciálních stránek [q]")
- [Trvalý odkaz](/w/index.php?title=Komutativita&oldid=21224356 "Trvalý odkaz na současnou verzi této stránky")
- [Informace o stránce](/w/index.php?title=Komutativita&action=info "Více informací o této stránce")
- [Citovat stránku](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Citovat&page=Komutativita&id=21224356&wpFormIdentifier=titleform "Informace o tom, jak citovat tuto stránku")
- [Získat zkrácené URL](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fcs.wikipedia.org%2Fwiki%2FKomutativita)
- [Stáhnout QR kód](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:QrCode&url=https%3A%2F%2Fcs.wikipedia.org%2Fwiki%2FKomutativita)
- [Položka Wikidat](https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q165474 "Odkaz na propojenou položku datového úložiště [g]")

Tisk/export


- [Vytvořit knihu](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:Kniha&bookcmd=book_creator&referer=Komutativita)
- [Stáhnout jako PDF](/w/index.php?title=Speci%C3%A1ln%C3%AD:DownloadAsPdf&page=Komutativita&action=show-download-screen)
- [Verze k tisku](/w/index.php?title=Komutativita&printable=yes "Tato stránka v podobě vhodné k tisku [p]")

Na jiných projektech


- [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Commutativity)

Vzhled

přesunout do postranního paneluskrýt

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

**Komutativita** je v [matematice](/wiki/Matematika "Matematika"), zejména v [algebře](/wiki/Algebra "Algebra"), vlastnost [binární](/wiki/Bin%C3%A1rn%C3%AD_operace "Binární operace") [operace](/wiki/Operace_(matematika) "Operace (matematika)") spočívající v tom, že u ní nezávisí na pořadí jejích [operandů](/wiki/Operand "Operand").

## Definice

\[ [editovat](/w/index.php?title=Komutativita&veaction=edit&section=1 "Editace sekce: Definice") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Komutativita&action=edit&section=1 "Editovat zdrojový kód sekce Definice")\]

Budeme-li uvažovat [grupoid](/wiki/Grupoid "Grupoid")S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2), potom [binární operace](/wiki/Bin%C3%A1rn%C3%AD_operace "Binární operace")⋅{\\displaystyle \\cdot }![{\displaystyle \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba) definovaná na S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2) se nazývá komutativní, jestliže platí

x⋅y=y⋅x{\\displaystyle x\\cdot y=y\\cdot x}![{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310a59fb178014c0bafca46243fa280d7838a673)

pro všechna x,y∈S{\\displaystyle x,y\\in S}![{\displaystyle x,y\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b918edf804af5d8be1bfe7c904398f80d2c2152). Zároveň jestliže pro x,y∈S{\\displaystyle x,y\\in S}![{\displaystyle x,y\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b918edf804af5d8be1bfe7c904398f80d2c2152) platí x⋅y=y⋅x{\\displaystyle x\\cdot y=y\\cdot x}![{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310a59fb178014c0bafca46243fa280d7838a673), potom říkáme, že tyto dva prvky spolu komutují.

Je-li tato operace nad S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2) zároveň asociativní, tj. S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2) tvoří [pologrupu](/wiki/Pologrupa "Pologrupa"), potom tuto operaci většinou nazýváme násobením, které značíme xy{\\displaystyle xy}![{\displaystyle xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72eb345e496513fb8b2fa4aa8c4d89b855f9a01). Ve speciálním případě, kdy S{\\displaystyle S}![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2) vzhledem k této operaci tvoří komutativní [grupu](/wiki/Grupa "Grupa"), tuto operaci nazýváme sčítáním.

## Příklady komutativity

\[ [editovat](/w/index.php?title=Komutativita&veaction=edit&section=2 "Editace sekce: Příklady komutativity") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Komutativita&action=edit&section=2 "Editovat zdrojový kód sekce Příklady komutativity")\]

Nejznámější příklady komutativní binární operace jsou [sčítání](/wiki/S%C4%8D%C3%ADt%C3%A1n%C3%AD "Sčítání") (značíme +{\\displaystyle +}![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406)) a [násobení](/wiki/N%C3%A1soben%C3%AD "Násobení") (značíme ⋅{\\displaystyle \\cdot }![{\displaystyle \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba)) [přirozených čísel](/wiki/P%C5%99irozen%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo "Přirozené číslo").

2+3=3+2{\\displaystyle 2+3=3+2}![{\displaystyle 2+3=3+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e2b024271c0af51e86deba101092d20575b18e) (v obou případech je výsledek 5)7⋅3=3⋅7{\\displaystyle 7\\cdot 3=3\\cdot 7}![{\displaystyle 7\cdot 3=3\cdot 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c67b4d5c2d8fef579af0065abba152d4682e75b) (v obou případech je výsledek 21)

Další ukázky komutativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení [komplexních čísel](/wiki/Komplexn%C3%AD_%C4%8D%C3%ADslo "Komplexní číslo"), [průnik](/wiki/Pr%C5%AFnik "Průnik") a [sjednocení](/wiki/Sjednocen%C3%AD "Sjednocení") [množin](/wiki/Mno%C5%BEina "Množina") v [potenční množině](/wiki/Poten%C4%8Dn%C3%AD_mno%C5%BEina "Potenční množina")P(X){\\displaystyle {\\mathcal {P}}(X)}![{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ed5b6b7f1ad70cba0f7b3cf4603bf627321b5b), operace [maximum](/wiki/Maximum "Maximum") a [minimum](/wiki/Minimum "Minimum") na [uspořádaných množinách](/wiki/Uspo%C5%99%C3%A1dan%C3%A1_mno%C5%BEina "Uspořádaná množina").

Mezi binární operace, které nejsou komutativní, patří například [odčítání](/wiki/Od%C4%8D%C3%ADt%C3%A1n%C3%AD "Odčítání"), [dělení](/wiki/D%C4%9Blen%C3%AD "Dělení"), [umocňování](/wiki/Umoc%C5%88ov%C3%A1n%C3%AD "Umocňování"), tj. ab{\\displaystyle a^{b}}![{\displaystyle a^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921151d29231ebd65eea7632a88215273a32234c), nebo [vektorové násobení](/wiki/Vektorov%C3%BD_sou%C4%8Din "Vektorový součin"), které je [antikomutativní](/wiki/Antikomutativita "Antikomutativita"), tj. liší se pouze o znaménko.

Důležitým příkladem _nekomutativního násobení_ je [násobení](/wiki/N%C3%A1soben%C3%AD_matic "Násobení matic") [matic](/wiki/Matice "Matice") nad prostorem komplexních čtvercových matic Mn(C){\\displaystyle M^{n}(\\mathbb {C} )}![{\displaystyle M^{n}(\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830d579745a18412b798981d4c27a095bf8e0a2d). Jako jednoduchý protipříklad se nabízí

(100−1)(0110)=(01−10)≠(0−110)=(0110)(100−1){\\displaystyle {\\begin{pmatrix}1&0\\\0&-1\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}0&1\\\1&0\\end{pmatrix}}={\\begin{pmatrix}0&1\\\-1&0\\end{pmatrix}}\\neq {\\begin{pmatrix}0&-1\\\1&0\\end{pmatrix}}={\\begin{pmatrix}0&1\\\1&0\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}1&0\\\0&-1\\end{pmatrix}}}![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3b4145258af18cdb295da3c696fad2e66c0f18).

Tato vlastnost matic (a obecněji lineárních operátorů) je důležitá v [kvantové fyzice](/wiki/Kvantov%C3%A1_teorie "Kvantová teorie"), ve které jsou např. [poloha](/wiki/Poloha_t%C4%9Blesa "Poloha tělesa") a [hybnost](/wiki/Hybnost "Hybnost") částice popsané nekomutujícími [operátory](/wiki/Oper%C3%A1tor "Operátor") a nelze je proto určit zároveň s libovolnou přesností (viz [princip neurčitosti](/wiki/Princip_neur%C4%8Ditosti "Princip neurčitosti")). Měření těchto veličin je _nekomutativní_, což znamená, že záleží na tom, zda měříme první polohu či hybnost.

S pojmem komutativity úzce souvisí tzv. [komutátor](/wiki/Komut%C3%A1tor_(algebra) "Komutátor (algebra)"), který definujeme nad libovolným [okruhem](/wiki/Okruh_(algebra) "Okruh (algebra)")R{\\displaystyle R}![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33) ve tvaru

\[x,y\]=xy−yx{\\displaystyle \[x,y\]=xy-yx}![{\displaystyle [x,y]=xy-yx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b4220c8122ebd2a21c517ca80639581679cfa6).

Z definice komutátoru je zřejmé, že dva prvky spolu komutují, jestliže je jejich komutátor nulový, tudíž lze hrubě říci, že komutátor v určitém smyslu "měří" míru nekomutativity.

Komutátor je zajímavý především z toho důvodu, že libovolná [asociativní](/wiki/Asociativita "Asociativita") [algebra](/wiki/Algebra_(struktura) "Algebra (struktura)") vzhledem ke komutátoru tvoří [Lieovu algebru](/wiki/Lieova_algebra "Lieova algebra"), přičemž každou Lieovu algebru L{\\displaystyle L}![{\displaystyle L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8) lze vnořit do nějaké asociativní algebry, s čímž souvisí [univerzální obalová algebra](/w/index.php?title=Univerz%C3%A1ln%C3%AD_obalov%C3%A1_algebra&action=edit&redlink=1 "Univerzální obalová algebra (stránka neexistuje)")U(L){\\displaystyle U(L)}![{\displaystyle U(L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7475bc159bafd6edf4d8640e363417566404d5).

## Odkazy

\[ [editovat](/w/index.php?title=Komutativita&veaction=edit&section=3 "Editace sekce: Odkazy") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Komutativita&action=edit&section=3 "Editovat zdrojový kód sekce Odkazy")\]

### Související články

\[ [editovat](/w/index.php?title=Komutativita&veaction=edit&section=4 "Editace sekce: Související články") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Komutativita&action=edit&section=4 "Editovat zdrojový kód sekce Související články")\]

- [Algebraická struktura](/wiki/Algebraick%C3%A1_struktura "Algebraická struktura")
- [Aritmetika](/wiki/Aritmetika "Aritmetika")
- [Asociativita](/wiki/Asociativita "Asociativita")
- [Distributivita](/wiki/Distributivita "Distributivita")
- [Komutátor](/wiki/Komut%C3%A1tor_(algebra) "Komutátor (algebra)")

### Externí odkazy

\[ [editovat](/w/index.php?title=Komutativita&veaction=edit&section=5 "Editace sekce: Externí odkazy") \| [editovat zdroj](/w/index.php?title=Komutativita&action=edit&section=5 "Editovat zdrojový kód sekce Externí odkazy")\]

- [![Logo Wikimedia Commons](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png)](/wiki/Wikimedia_Commons "Wikimedia Commons")Obrázky, zvuky či videa k tématu [komutativita](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Commutativity "c:Category:Commutativity") na [Wikimedia Commons](/wiki/Wikimedia_Commons "Wikimedia Commons")
- [Komutativita](http://mathworld.wolfram.com/Commutative.html) v encyklopedii [MathWorld](/wiki/MathWorld "MathWorld") (anglicky)

[Portály](/wiki/Port%C3%A1l:Obsah "Portál:Obsah"): [Matematika](/wiki/Port%C3%A1l:Matematika "Portál:Matematika")

Citováno z „ [https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Komutativita&oldid=21224356](https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Komutativita&oldid=21224356)“

[Kategorie](/wiki/N%C3%A1pov%C4%9Bda:Kategorie "Nápověda:Kategorie"):

- [Algebra](/wiki/Kategorie:Algebra "Kategorie:Algebra")

Skrytá kategorie:

- [Monitoring:Autoritní kontrola s 0 identifikátory](/wiki/Kategorie:Monitoring:Autoritn%C3%AD_kontrola_s_0_identifik%C3%A1tory "Kategorie:Monitoring:Autoritní kontrola s 0 identifikátory")

- Stránka byla naposledy editována 6. 5. 2022 v 00:50.
- Text je dostupný pod [licencí Creative Commons Uveďte původ – Zachovejte licenci](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.cs), případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce [Podmínky užití](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/cs).

- [Ochrana osobních údajů](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy)
- [O Wikipedii](/wiki/Wikipedie)
- [Vyloučení odpovědnosti](/wiki/Wikipedie:Vylou%C4%8Den%C3%AD_odpov%C4%9Bdnosti)
- [Kontaktujte Wikipedii](//cs.wikipedia.org/wiki/Wikipedie:Kontakt)
- [Kodex chování](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct)
- [Vývojáři](https://developer.wikimedia.org)
- [Statistiky](https://stats.wikimedia.org/#/cs.wikipedia.org)
- [Prohlášení o cookies](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement)
- [Mobilní verze](//cs.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Komutativita&mobileaction=toggle_view_mobile)

- [![Wikimedia Foundation](/static/images/footer/wikimedia-button.svg)](https://wikimediafoundation.org/)
- [![Powered by MediaWiki](/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg)](https://www.mediawiki.org/)