gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu en gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu fr gu gu gu gu fr gu gu gu fr gu gu gu gu gu en en ca es es en en en en en en en es en gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu en en en en en en en en en en en en en en en en en nb en en en en en gu en en en gu gu en en en en fr en gu en en en en fr en en en en fi gu en en gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu en gu en gu en en gu en ceb ceb gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu en gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu gu en gu gu gu en en en en en en en
ReadGujarati.com: ગણિતવિહાર (ભાગ-2) – બંસીધર શુક્લ
પસંદ કરો પ્રથમ પાનું અનુક્રમણિકા – ટૂંકીવાર્તાઓ – નિબંધો – કાવ્યો અને પદ્ય – ગઝલો – અધ્યાત્મિક લેખો – હસો અને હસાવો – સાહિત્ય લેખો – બાળસાહિત્ય – અન્ય લેખો – પ્રકીર્ણ – ડાઉનલોડ – લેખ શોધો – મહિનાવાર લેખો – ગુજરાતીમાં લખો – ગુજરાતી કેલેન્ડર – આપનો લેખ મોકલાવો – આપનું યોગદાન સંપર્ક
[ ગણિત એ માત્ર અભ્યાસક્રમનો એક વિષય નથી. એને સાહિત્ય, રમૂજ તેમજ અન્ય તમામ કલાઓ સાથે જોડી શકાય છે. ‘ગણિતવિહાર’ નામનું આ પુસ્તક એ બાબતને વધારે સ્પષ્ટ કરે છે. આ પુસ્તકમાં પ્રમેય, ભૂમિતિ, બીજગણિત, સંખ્યાપદ્ધતિઓ, ત્રિકોણમિતિ જેવી ગણિતની પાયાની બાબતો તો સરળ રીતે સમજાવી જ છે પરંતુ એ સાથે ગણિતનો શબ્દકોશ, છેતરપિંડીનું ગણિત, ખગોળ ગણિત જેવા અવનવા વિષયોનો સમાવેશ પણ કર્યો છે. અગાઉ આપણે તેમાંથી એક લેખ (ભાગ-1) માણ્યો હતો. આજે થોડા વધુ પ્રકરણો જોઈએ. રીડગુજરાતીને આ પુસ્તક ભેટ મોકલવા માટે ‘ગૂર્જર પ્રકાશન’નો ખૂબ ખૂબ આભાર. પુસ્તક પ્રાપ્તિની વિગત લેખના અંતે આપવામાં આવી છે.]
ગણિતના આ કોયડામાં સસલા અને કાચબાની પરંપરાગત દોડમાં સિદ્ધાંત પ્રમાણે સસલું કદી કાચબાને આંબી શકે નહિ.
કોયડો : સસલાનો વેગ કાચબા કરતાં 10 ગણો છે. એટલે ન્યાય ખાતર દોડમાં કાચબાને એક કિલોમીટર આગળ રાખીને બંનેને એક સાથે દોડ ચાલુ કરવાનું કહેવામાં આવે છે. હવે કહો, સસલું કેટલા અંતરે કાચબાને વટાવી જશે ? સસલું કદી કાચબાને આંબી શકશે નહિ. તે દસગણું વેગીલું હોવા છતાં એક કિમી પાછળથી આરંભ કરે છે. હવે, ગમે તે ક્ષણે બેની સ્થિતિ જુઓ તો કાચબો સદા આગળ રહે છે :
સસલું 0 મીટરે…… કાચબો 1000 મીટર પર
સસલું 1000 મીટરે….. કાચબો 1100 મીટર પર
સસલું 1111 મીટરે……….. કાચબો 1111.1 મીટર પર
આમ, ગમે તે ક્ષણે કાચબો સસલા કરતાં આગળ રહે છે. વ્યવહારમાં આપણો અનુભવ ઊલટો છે. સાચી વાત શોધી શકશો ?
પ્રકૃતિમાં ઘણે સ્થળે ગણિતના નિયમો લાગુ પડતા જોવા મળે છે. કેટલેક સ્થળે તો એટલી સૂક્ષ્મતાથી પ્રવર્તતા દેખાય છે કે આપણે ચકિત થઈ જઈએ. 13મી સદીમાં ઈટાલીના લિયોનાર્ડો ફિબોનાચીએ આવું ઉદાહરણ નોંધ્યું. તે ઢળતા ભવનવાળા પિસાનો વાસી હતો. અરબ ગણિતશાસ્ત્રી પાસે હિંદુ ગણિત ભણ્યો હતો. હિંદુ અંકોના પ્રચાર માટે તેણે ઝુંબેશ ચલાવેલી. ફિબોનચીએ એક સમસ્યા નોંધી : એક માણસે એક બંધ વાડામાં સસલાની જોડ મૂકી. આવી જોડ બીજા મહિનાથી આરંભ કરીને દરેક મહિને એક નવી જોડ ઉત્પન્ન કરે છે, તો વર્ષને અંતે વાડામાં કેટલી જોડ થશે ?
ઉત્તર : બીજા મહિને એક જોડ, ત્રીજા મહિને એક જોડ, ચોથા મહિને બે જોડ, પાંચમે ત્રણ જોડ, છઠ્ઠે પાંચ… આ રીતે જે શ્રેણી રચાઈ તે ફિબોનાચીના નામે જાણીતી બની. તેને અંકોમાં લખતાં : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34….. એ પછીનો દરેક આંક તેની પહેલાંના બે આંકોનો સરવાળો છે, તે જુઓ. એક મહિનામાં જન્મતી જોડની સંખ્યા તેના આગલા બે મહિનાની જોડોના સરવાળા બરાબર થાય છે. વર્ષમાં તે 233 થાય છે. આ શ્રેણી પ્રકૃતિમાં અન્યત્ર પણ જોવા મળે છે. સૂર્યમુખી ફૂલના વચ્ચેના ‘સૂર્ય’નાં ઉપપુષ્પો તેનું ઉદાહરણ છે. આ ઉપપુષ્પો પરસ્પરવ્યાપ્ત બે સર્પિલોની આકૃતિ રચે છે. એક ઘંટીના કે ઘડિયાળના આંકડાના ક્રમે અને બીજા અવળા ક્રમે હોય છે. સવળામાં 21 અને અવળામાં 34 ઉપપુષ્પો હોય છે. આ બે અંકો ફિબોનાચી શ્રેણીના છે. દેવદાર જેવાં શંકુદ્રુમના શંકુમાં સર્પિલ જોવા મળે છે. તેમાં મોટે ભાગે આઠ સવળી અને પાંચ અવળી સર્પિલ રચનાઓ હોય છે. અહીં 5 અને 8 ફિબોનાચી અંકો છે. અનનાસ ફળમાં આ રચના બહારના ભાગે હોય છે. આઠ સર્પિલ એક દિશામાં, 13 અવળી દિશામાં.
શૂન્ય આંકડો છે ? જો એ આંકડો હોય, તો ભારે વિચિત્ર આંકડો છે. તેનું વર્તન બીજા અંકો કરતાં સાવ ભિન્ન છે. ગણતરીમાં તેનું કંઈ મૂલ્ય નથી. કોઈ પણ સંખ્યામાં 0 ઉમેરવાથી અથવા બાદ કરવાથી તે સંખ્યામાં કશો ફરક પડતો નથી. શૂન્ય જેવું કંઈ ‘છે’ કહેવું વિચિત્ર લાગે છે.
પણ, જો તેને કોઈ અંકના જમણા પડખે મૂકો તો ? તો તે અંકનું મૂલ્ય 10 ગણું થઈ જાય છે. શૂન્યને ભારે સંખ્યા વડે ગુણો. પરિણામ સદા 0 આવે છે. કેલ્ક્યુલેટરમાં 0 ને અથવા શૂન્ય વડે ભાગવાનો પ્રયત્ન કરતાં વિચિત્ર અનુભવ થાય છે. કેલ્ક્યુલેટર આવો ભાગાકાર કરવાની ના પાડે છે. તે ભૂલ દર્શાવે છે. મીંડું અથવા વર્તુળ સુપરિચિત આકૃતિ હોવાથી પ્રાચીન ઈજિપ્ત, ગ્રીસ, બબુલ, મય આદિ સંસ્કૃતિઓમાં તે જોવા તો મળે છે. પણ, તેનો 1 થી 9 અંકો સાથે વિશેષ અર્થમાં ઉપયોગ થઈ શકે છે, એ વાત કેવળ પ્રાચીન હિંદુ ગણિતશાસ્ત્રીઓના ધ્યાનમાં જ આવી. વિશ્વની છએક મહાન શોધોમાંની આ શોધ બ્રહ્મગુપ્તને ફાળે જાય છે. ભારતનું આ જ્ઞાન પ્રારંભિક સદીઓમાં હિંદુ વેપારીઓ દ્વારા પૂર્વ અને પશ્ચિમના દેશોમાં પહોંચ્યું. અરબોએ હિંદુ પદ્ધતિ અપનાવી લીધી. તેમણે યુરોપના ખૂણાઓ જીતી લઈ તે માર્ગે યુરોપમાં હિંદુ અંકો તથા શૂન્યનો પ્રચાર કર્યો. નવમી સદી પછી પ્રક્રિયામાં વેગ આવ્યો. ઘણા લોકો તેને ચમત્કારી અંક માની પૂજવા લાગ્યા. ગુપ્ત મંડળો સ્થપાયાં. શૂન્યના લૅટિન અને અરબ નામ સિફ્રાનો સંકેત રૂપે ઉપયોગ થવા લાગ્યો. આજે પણ ગણિતશાસ્ત્રીઓ શૂન્યનો પૂર્ણભેદ પામી શક્યા નથી. ઘણી વાર તે 1 થી 9ની જેમ જ સ્વાભાવિક અંક રૂપે વપરાય છે. છતાં, ઉદાહરણ : આ શ્રેણી…. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…. શૂન્યને મૂલ્ય નથી….. છતાં છે !
ચોરવાડના સાગરકાંઠાની રેતીમાં રહેલા કણની સંખ્યા શી છે ? અમદાવાદ નગર ઉપર વર્ષભરમાં વરસાદનાં કેટલાં ટીપાં વરસે છે ? ભાષાની ઉત્પત્તિ થઈ ત્યારથી આજ સુધીમાં સઘળા માણસો મળીને કેટલા શબ્દો બોલ્યા હશે ? ચપટીભર વાયુમાં રહેલા વીજાણુઓની સંખ્યા કેટલી થાય ?
આના ઉત્તરો ઘણી મોટી સંખ્યામાં આવે છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તે માટે વિરાટ સંખ્યાઓ સાથે કામ પાડવું પડે છે. ગણિતનું મૂળ પ્રાચીન ભારતમાં હોવાથી ઋષિઓએ વિરાટ સંખ્યાઓ રચી અને તેમનાં નામ પણ પાડ્યાં. યુરોપ અને અમેરિકામાં ગ્રીસ જ બધાં શાસ્ત્રોના પિતાઓનું ધામ હોવાથી તેમને મુશ્કેલી નડી. તેમની અંકપદ્ધતિ જ એવી હતી કે તે અંકો વડે લાંબી સંખ્યા લખતાં હાંફી જવાય. આ કષ્ટના નિવારણ અર્થે પશ્ચિમે હિંદુ દશાંક પદ્ધતિ અપનાવી. આ પદ્ધતિમાં પહેલી વાર એ લોકોને લાંબી મોટી સંખ્યાના અસ્તિત્વ વિશે જ્ઞાન થયું. 1955માં અવસાન પામેલા અમેરિકી સંખ્યાશાસ્ત્રીએ ગુગોલ નામે ત્યારની સૌથી મોટી ગણાતી સંખ્યા પ્રયોજી. ગુગોલ એટલે એકસો અબજ અથવા એકડા ઉપર 100 મીંડા જેટલી સંખ્યા.
આ સંખ્યાની વિરાટતા શી રીતે સમજાય ? ચોરવાડના સાગરકાંઠાના રેતીના કણોની સંખ્યા અનુમાને ગણતરી કરતાં 1 ઉપર 20 મીંડાં જેટલી થાય છે. તે ગુગોલ કરતાં ક્યાંય નાની છે. અમદાવાદ મહાનગર પર પડતા વરસાદનાં ટીપાંની સંખ્યા પણ ગુગોલ આગળ નજીવી છે. માણસજાતે બોલેલા શબ્દોની સંખ્યાનું અનુમાન 1 ઉપર 16 મીંડાથી થોડું વધારે હશે. તે પણ ગુગોલ આગળ નગણ્ય છે. વીજાણુ અતિ સૂક્ષ્મ કણ છે. 40 વોટના દીવાના ગોળાના તારમાં એક મિનિટમાં વહેતા વીજાણુઓની સંખ્યા નાયગરા ધોધના પ્રવાહમાં આખા વર્ષમાં વહેતા પાણીનાં ટીપાંની સંખ્યા કરતાં વધી જાય છે. ચપટી વાયુમાં રહેલા વીજાણુઓની સંખ્યા ગુગોલ આંકમાં દર્શાવવાનું શક્ય નથી. આઈનસ્ટાઈનના સંશોધન પ્રમાણે સકળ બ્રહ્માંડમાં રહેલા વીજાણુઓ જ 1 ઉપર 79 મીંડાં ( કે 87 મીંડાં) બરાબર થાય છે. એટલે, ભૌતિક કે રાસાયણિક વિજ્ઞાનોમાં આવતી મોટામાં મોટી સંખ્યા કરતાં ગુગોલ વધારે છે. અને હવે જ્યારે મીંડાં જ મૂકવાનાં છે, તો તેમાં કૃપણતા શા માટે ? હજુ મોટી સંખ્યા કેમ ના બનાવવી ? ગુગોલ પછી વધારે લાંબી ગુગોલપ્લેક્સ નામની સંખ્યા આવી. એક ગુગોલપ્લેક્સ એટલે 1 ઉપર અબજ અબજ મીંડાં. આ સંખ્યા પૂરેપૂરી લખવા માટે કેટલો લાંબો કાગળ જોઈએ ? ધારો કે અહીં ઘર આંગણેથી લખવા માંડીએ : 1,00000000000……… આમ લખ્યે જઈએ તો છેલ્લું મીંડું લખવા માટે અંતરિક્ષમાં દેખાતા તારાઓમાંના દૂરમાં દૂરના તારા સુધી લખતાં જવું પડે. અને, તોય…. તોય….. સંખ્યાનો છેડો આવે નહીં.
જોકે આપણે આગળ જોયું તેમ સૌથી વિરાટ સંખ્યા અંતે તો ભારતે જ પ્રયોજવી પડી છે. તેનું નામ છે ‘અસંખ્યેય’. તેના નામમાં જ તેની વિરાટતાનો પડઘો સંભળાય છે.
Share this on WhatsApp
Email This Article ·  Print This Article ·  Save article As PDF ·   Subscribe ReadGujarati
« Previous નોખું-અનોખું – સંકલિત
ધનુમાસીએ મત આપ્યો – કલ્પના દેસાઈ Next »
આ પ્રકારનું અન્ય સાહિત્ય:
સપ્તપદીનો મંત્રાર્થ – પલ્લવી આચાર્ય
સપ્તપદીના સાત મંત્ર વરની પ્રતિજ્ઞાના છે અને સાત મંત્ર કન્યાની પ્રતિજ્ઞાના છે એને વિગતે જોઈએ. ૐ એકમિષે વિષ્ણુસ્ત્વાનયતુ || હે વધૂ, સર્વ પુરુષાર્થના સાધનભૂત એવા આ મુખ્ય ભૂલોકમાં સઘળાં સૌભાગ્ય અને ઈચ્છિત ફળની પ્રાપ્તિ થાય એ માટે તથા મારા ઘરમાં અન્ન, વસ્ત્ર, દ્રવ્ય વગેરે વસ્તુની સંભાળ માટે તું મારા ઘરની અધિકારિણી થા. મિષે એટલે ઈચ્છિત કામના, વિષ્ણુ એટલે સાત શક્તિ માંહેની ... [વાંચો...]
પ્રાકૃતિક સ્થાપત્યનો ભીષ્મ પિતામહ : નરી ગાંધી – કનુભાઈ સૂચક
વાસ્તુશાસ્ત્રમાં આર્કિટેક્ટ માટે સ્થપતિ શબ્દનો ઉપયોગ થયો છે. સ્થપતિ શબ્દ સાથે અનેક અર્થવ્યંજના અભિપ્રેત છે. સર્વ શાસ્ત્રોના જ્ઞાતા, કલાવિદ, સ્થાપત્યશાસ્ત્રમાં કુશળ, કુશળ સલાટ, સારા શિક્ષક અને સમતાવાન પુરુષનાં લક્ષણો ધરાવતા બહુવિધ પ્રતિભા ધરાવનારને સ્થપતિ તરીકે ઓળખ મળતી. લોકો તેને બ્રહ્મા અથવા વિશ્વકર્માના નામે આદર આપતા. ભારતભરમાં આવા અનેક આદરણીય સ્થપતિઓનો ઈતિહાસ મળે છે. ગુજરાતમાં સોમપુરા અટક જ સ્થપતિનું પર્યાયવાચી નામ થઈ ... [વાંચો...]
સચીન તેંડુલકરના અંજલિ સાથે લગ્ન – જગદીશ શાહ
(‘ભારતરત્ન સચીન તેંડુલકર’ પુસ્તકમાંથી સાભાર. આ પુસ્તકમાં માસ્ટર બ્લાસ્ટર સચીન તેંડુલકરના બાળપણથી લઈને ક્રિકેટના તમામ રેકોર્ડનો સમાવેશ કરાયો છે. અહીં તેના લગ્નના એક પ્રકરણને પ્રસ્તુત કરાયો છે. રીડ ગુજરાતીને આ પુસ્તક ભેટ મોકલવા બદલ ગૂર્જર ગ્રંથરત્ન કાર્યાલયનો ખૂબ ખૂબ આભાર. પુસ્તક પ્રાપ્તિની વિગતો લેખના અંતે આપવામાં આવી છે.) ૧૯૯૦ના ઇંગ્લૅન્ડના સફળ પ્રવાસોથી પરત આવતાં મુંબઈ એરપૉર્ટ ઉપર પોતાના સામાનની પ્રતીક્ષા કરતા ... [વાંચો...]
8 પ્રતિભાવો : ગણિતવિહાર (ભાગ-2) – બંસીધર શુક્લ
October 5, 2012 at 10:51 am
October 5, 2012 at 11:24 am
Very much like it…it ecovers daily routine life Mathamatics..Excellent Bansindhar bhai & Mrugeshbhai.
Piyush S Shah says:
October 5, 2012 at 12:11 pm
Looking forward to read entire book.. Seems it is very interesting book!
October 7, 2012 at 10:51 pm
Excellent. Liked your explaination for the series.
October 25, 2012 at 12:58 pm
November 29, 2012 at 4:38 pm
July 18, 2013 at 5:00 pm
માફ કરશો, આ મારી ભૂલ હોઈ શકે પરંતુ મારા મત મુજબ સૌથી પહેલાં જેનું વર્ણન કરેલું છે તે અશક્ય કોયડા માં — જયારે સસલું ૧૨૦૦ મીટરે પહોંચશે ત્યારે કાચબો ૧૧૨૦ મીટરે હશે. આમ, કાચબો તો સસલાથી ક્યારનો પાછળ રહી ગયો.
ખુલાસો: સસલો કાચબા કરતાં દસ ગણો ઝડપી છે. તેથી સસલાને ૧૨૦૦ મીટર કાપતાં જેટલો સમય લાગે તેટલા સમયમાં કાચબો માત્ર ૧૨૦ મીટર જેટલું અંતર કાપી શકે. પણ કાચબો સસલાં કરતાં ૧૦૦૦ મીટર આગળ છે. તેથી સસલો જયારે ૧૨૦૦ મીટરે પહોંચશે ત્યારે કાચબો ૧૦૦૦+૧૨૦ = ૧૧૨૦ મીટરે હશે.
January 29, 2014 at 2:40 pm
Ashakya koyda ma tame race na niyam no bhang karyo 6…race ma samay niyamit rite aagal vadhe.. have tame jya points ma calculation karo etle samay ni ek sima thi tame aagal vadhta nathi..
Biju ke aa prakaare aniyamit calculation ne badle sidhi calculation karo to saslu 2000 miter par hoy tyare kachbo 1200 miter par hoy maate saslu finish line par vahelu pahoche
Click here to cancel reply.
Select language:   Gujarati   English   (Press F12 to change language) Show Keyboard
Notify me of follow-up comments by email.
Notify me of new posts by email.
Download Latest Issue NOW!!
Click Here to download
ત્રણ ગીત – કાંતિલાલ એમ. કામરિયા
માઈન્ડ યોર ઓન બિઝનેસ? – ગિરીશ ગણાત્રા
હાસ્યનો હોજ.. – સં. તરંગ હાથી
સરિતાની શરત – રમણ મેકવાન
છે(છો)ડ સખી સરગમ – સ્વાતિ મેઢ
શ્રદ્ધા સ્મૃતિમંદિર – ડૉ. ચંદ્રકાન્ત મહેતા
થોડાસા રુમાની હો જાયે.. – નમ્રતા દેસાઈ
ત્રણ પદ્યરચનાઓ – પ્રો. મનસુખ ટી. સાવલિયા
ઈમાનદારી – ડૉ. આઈ. કે. વીજળીવાળા
સૂરજ – નયના મહેતા
Anil Prajapati: Really heart touching story. Awesome.
Dinesh Parmar: એક સરસ ઉપદેશ કથા .પ્રત્યેક વ્યક્તિ એ...
Hemang Rami: Eye opener for thoss parents who Want their...
Sarla Sutaria: સાફ સુથરો હાસ્ય લેખ હસતાં હસતાં વાંચેીને...
Devraj kukadiya: good morning teaching mulyo
Raju: How can we say this is a short story.
Dushyant Pala: વાહ……માળા ના પંખી પિંજરા મા ના...
Arpit: sorry to say that but some part is good in concept...
રીડગુજરાતી પરના વિશેષ લેખો કે અન્ય અગત્યની માહિતી આપના ઈ-મેઈલ પર મેળવવા માટે અહીં આપનું ઈ-મેઈલ સરનામું લખીને જોડાઓ.(4500 થી વધુ વાચકો)
ત્રણ ગીત – કાંતિલાલ એમ. કામરિયા
માઈન્ડ યોર ઓન બિઝનેસ? – ગિરીશ ગણાત્રા
હાસ્યનો હોજ.. – સં. તરંગ હાથી
સરિતાની શરત – રમણ મેકવાન
છે(છો)ડ સખી સરગમ – સ્વાતિ મેઢ
રીડગુજરાતી વિશે : પ્રેસ વિભાગ
વેસ્ટવર્લ્ડ (ટી.વી. શ્રેણી) : કલ્પના અને હકીકત વચ્ચેનો પ્રદેશ – જીજ્ઞેશ અધ્યારૂ
ઉગ્રસેનની વાવડી : ફિલ્મોથી પુનર્જીવન પામેલો ઈતિહાસ
ખીચડી (વ્યંગ્ય લેખ) – સુરેન્દ્ર વર્મા, અનુ. હર્ષદ દવે
This site is dedicated to Shrimad Bhagvat Mahapuran
Back to top ↑
Send to Email Address Your Name Your Email Address Cancel
Post was not sent - check your email addresses!
Email check failed, please try again
Sorry, your blog cannot share posts by email.