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Si el número que aparece como referencia al referenciar un objeto (imagen, ecuación, tabla, etc.) mediante el comando \ref{} no coincide con el del elemento, es porque la sentencia \caption{} aparece después de la de \label{}.
Para ver los cambios puede que sea necesario recompilar un par de veces.
Fuente: Table numbering mismatch in caption and in text
5 noviembre 201628 enero 2017 rubensm
\[ \sum_{k=N_1}^{N_2} a r^k = a \frac{r^{N_1}-r^{N_2+1}}{1-r} \]
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a r^k = \frac{a}{1-r}\text{  para |r|<1} \]
Progresión aritmética de \(n\) términos:
\[ \sum_{k=1}^{M} k  = \frac{n \left(k_1 + k_M\right)}{2}\]
By Vincent Pantaloni – Own work, CC BY-SA 4.0, Link
13 octubre 201615 diciembre 2016 rubensm
\[ \cos{(a+b)} = \cos{a} \cos{b} – \sin{a}\sin{b} \]
\[ \sin{(a+b)} = \sin{a}\cos{b} + \sin{b}\cos{a} \]
\[ \cos{2a} = \cos^2{a} – \sin^2{a}\]
\[ \sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a}\]
\[ \sin{a} – \sin{b} = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}} \]
Forzar a una imagen aparecer en la sección correspondiente en LaTeX
2 septiembre 201612 junio 2020 rubensm
En LaTeX hay veces que al compilar el documento la imagen aparece en la página siguiente o incluso antes. Para evitar esta situación basta con utilizar unos modificadores en la definición de la figura que son [!h]
!: fuerza a sobreescribir cualquier configuración anterior ya descrita.
h: fuerza a aparecer en esa misma sección la imagen. h viene de here
\begin{figure}[!h] \includegraphics[width=\linewidth]{Impedancias_resonadores_Smith} \caption{Impedancia de entrada desde 285 MHz hasta 310 GHz para ambos resonadores representada en la carta de Smith} \label{fig_zin_smith} \end{figure}
2 septiembre 201616 septiembre 2016 rubensm
\(\binom{n}{i}\) es el número de subconjuntos de \(i\) elementos que se puede hacer con un conjunto \(n\) elementos.
\(n\): número total de elementos
\(i\): longitud de los subconjuntos
\[\binom{n}{i} = \frac{n!}{i! \left( n-k \right)! }\]
Esto nos sirve también para poder entender el ensayo de Bernoulli. Este nos dice que si el resultado de un experimento ocurre con probabilidad \(k\) veces es:
\[P_n \left( k \right) = \binom{n}{k} P_A^k \left( 1-P_A \right)^{n-k}\]
2 septiembre 201617 septiembre 2016 rubensm
Para la creación de vídeo, cada píxel se guarda con 8 bits (valores de 0-255). Si se guarda de manera diferencial, los valores pueden ir de -255 a 255. Por tanto, necesitamos 9 bits para codificar cada píxel. La codificación diferencial se utiliza en vídeo porque en muchos casos, las diferencias entre fotograma y fotograma son pequeñas. De esta manera, si se codifica de manera diferencial, es posible ahorra bits. Sin embargo, si las diferencias suelen ser grandes, como ocurre en un cambio de escena, este tipo de codificación no es rentable.
Como en vídeo sí se utiliza codificación diferencial, es necesario intercalar fotogramas codificados de manera absoluta (llamados keyframes) para evitar que un error en un fotograma se propague hasta el final del vídeo. En vídeos que no se supone que se tienen que editar se coloca un keyframe cada 100~200 fotogramas, en TDT se coloca un keyframe cada 0.5 segundos y en vídeos para edición un keyframe cada 2~3 fotogramas.
Además, la información no es diferencial bit a bit, sino que utiliza el movimiento de una zona. Para detectar si el contenido de un fotograma está en el siguiente, se divide la imagen en bloques y se busca el grupo de píxels entero. Si el tamaño de estos bloques fuese muy pequeño, habría que informar del movimiento de muchos bloques, por lo que consumiría muchos bits. Es por ello que los bloques tienen un tamaño de 16×16 y se les llama macrobloques (MB). Sin embargo, para buscar el movimiento los saltos del MB no son de 16 en 16 sino que son más pequeños.
En MPEG-2 se definen 3 tipos de imagen:
Intra (I): tiene su información guardada en el propio frame por lo que no se codifica diferencialmente. Un error en I se propaga hasta la siguiente I ya que todo el resto de tipos, depende de su información.
Predicción (P): tiene una codificación diferencial, y su información solo puede estar referida a imágenes anteriores intra o otras también predictivas.
Bidireccional (B): utiliza información de referencia frames futuros y pasados de imágenes I, P  o una imagen intermedia, pero nunca de otras B. Por tanto, un error en una imagen B no se propaga. La imagen intermedia es el calculo de la imagen media a partir de la referencia futura y la referencia pasada. Se guarda el menor error entre la media, la pasada y la futura. Para guardar la media, el codificador debe guardar los dos vectores de movimiento.
Por tanto, en la codificación y decodificación se necesita más memoria para almacenar las imágenes hasta que se satifagan las dependencias.
Polarización de una onda plana que no se propaga según los ejes
2 septiembre 201612 junio 2020 rubensm
Uno de los casos más complicados y que engloban todas las posibles dificultades en el cálculo de la polarización es en el caso de tener una onda plana que no se propaga según los ejes.
Primero vamos a comenzar por recordar cómo se pueden clasificar las diferentes polarizaciones de onda electromagnética.
Polarización lineal: la onda electromagnética se propaga variando su amplitud en una línea.
Polarización circular: la onda electromagnética dibuja una circunferencia.
Polarización elíptica: la onda electromagnética se propaga dibujando una elipse.
Para averiguar con qué polarización se propaga una onda electromagnética se tienen que satisfacer las siguientes condiciones:
Polarización lineal: se da cuando una de las dos componentes perpendiculares es nula o cuando el desfase entre ambas es múltiplo de \(\pi\) (\(0\), \(\pi\), \(2\pi\), …).
Polarización circular: la onda electromagnética tiene dos componentes de la misma amplitud y se encuentran desfasadas un multiplo entero de \(\frac{\pi}{2}\), por lo que la onda electromagnética. Si \(\phi_2 – \phi_1 > 0\) se trata de polarización circular a izquierdas (o levogira) mientras que si \(\phi_2 – \phi_1 < 0\) se trata de polarización circular a derechas (o dextrogira).
Polarización elíptica: no se satisfacen ninguno de los requisitos anteriores.
Algoritmo general de análisis de polarización
Definir vector unitario del sentido de propagación \(\hat{\mathbf{k}}\): es el vector que acompaña la exponencial compleja cambiado de signo.
Escoger una base unitaria en la que descomponer la amplitud \(\mathbf{e_1}\). Para calcular la polarización, hay que escribir la amplitud de la onda electromagnética en dos vectores perpendiculares al vector de propagación. Por tanto, podemos escoger cualquier vector que sepamos que sea perpendicular al vector \(\hat{\mathbf{k}}\).
Calcular la base perpendicular a \(\hat{\mathbf{k}}\) y \(\mathbf{e_1}\). Para ello hay que realizar el producto vectorial \(\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{e_1}\).
Descomponer la amplitud del campo en las bases \(\mathbf{e_1}\) y \(\mathbf{e_2}\) en forma compleja polar. Es tan sencillo como hacer el producto escalar de la amplitud por el vector unitario de ambas bases.
Dividir el módulo de \(E_{01}\) entre \(E_{02}\) y restar \(\phi_2 – \phi_1 \) y verificar a qué caso de polarización pertenece.
\[\mathbf{E} = \left[ 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right]e^{-j \pi \left(x + y +z \right)}\]
Vector unitario del sentido de propagación: \(\hat{\mathbf{k}} = \frac{\mathbf{x} + \mathbf{y} +\mathbf{z} }{\sqrt{3}}\)
Escoger base unitaria perpendicular a \(\hat{\mathbf{k}}\): \(\mathbf{e_1} = \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\sqrt{2}}\)
Calcular base unitaria perpendicular a \(\hat{\mathbf{k}}\) y \(\mathbf{e_1}\): \[\mathbf{e_2} = \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{e_1} = \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}} \begin{vmatrix}\mathbf{x} & \mathbf{y} & \mathbf{z} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}} \]
Reescribimos la onda original con las nuevas bases \(\mathbf{e_1}\) y \(\mathbf{e_2}\).\(E_{01}\) \(= \mathbf{E} \cdot \mathbf{e_1} \) \(= \left( 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right)\cdot \left( \frac{\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}}{\sqrt{2}} \right)\) \(= \sqrt{6} e^{-j \frac{\pi}{6}}\)\(E_{02}\) \(= \mathbf{E} \cdot \mathbf{e_2} \) \(= \left( 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right)\cdot \left(\frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}} \right)\) \(= \sqrt{42} e^{j 0.33}\)\(\mathbf{E}\) \(= \left[ \sqrt{6} e^{-j \frac{\pi}{6}} \frac{\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}}{\sqrt{2}} + \sqrt{42} e^{j 0.33} \frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}} \right]e^{-j \pi \left(x + y +z \right)}\)
Comprobar las condiciones: \(\frac{E_{02}}{E_{01}} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{6}} \approx 2.64\), \(\phi_2 – \phi_1 = 0.33 + \frac{\pi}{6} \approx 0.8565\) Como no se satisface ninguna de las condiciones para polarización lineal ni circular, se trata de una polarización elíptica a izquierdas (diferencia de fases positiva).
Parámetros fundamentales de las antenas en recepción
2 septiembre 201620 septiembre 2019 rubensm
La máxima potencia que puede transferir una antena cuya impedancia es \(R_a\) a una carga es
\[P_{radiada~max} = \frac{\left| V_a \right|^2}{4 R_a}\]
Sin embargo, en general si no hay adaptación, la potencia entregada por una antena de impedancia \(R_a + j X_a\) a la una carga con una impedancia \(R_L + j X_L\) es
\[P_{radiada} = \frac{\left|V_a\right|^2 R_L}{\left(R_L + R_a \right)^2 + \left( X_L + X_a \right)^2}\]
Por tanto, se puede definir un coeficiente de adaptación como la relación entre la potencia recibida y la potencia que se recibiría en caso de tener condiciones de máxima transferencia de potencia.
\[C_a = \frac{P_{radiada}}{P_{radiada~max}} = \frac{\frac{\left|V_a\right|^2 R_L}{\left(R_L + R_a \right)^2 + \left( X_L + X_a \right)^2}}{\frac{\left| V_a \right|^2}{4 R_a}}= \\ = \frac{4 R_a R_L}{\left( R_a + R_L \right)^2 + \left(X_a + X_L \right)^2}\]
Área y longitud efectivas
El área efectiva se define como la relación entre la potencia recibida y la densidad de potencia que capta la antena. La antena debe estar adaptada a la carga y la polarización de la onda.
La longitud efectiva se define como la relación entre la tensión inducidad en circuito abierto y el campo eléctrico incidente.
Repaso rápido al producto vectorial
2 septiembre 20162 mayo 2018 rubensm
En siguientes entradas vamos a hablar de la polarización de las ondas electromagnéticas radiadas por antenas. Es por ello que es útil tener presentes las propiedades del producto vectorial.
Nota: la notación \(\mathbf{a}\) significa vector.
Algunas de las propiedades más importantes son:
\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0 \) si \(\mathbf{a} = 0\) ó \(\mathbf{b} = 0\) ó \(\mathbf{a} \| \mathbf{b}\)
El producto vectorial es nulo si uno de los dos vectores es 0 o si por el contrario, ambos vectores son perpendiculares.
\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right| \cdot \left|\mathbf{b} \right| \cdot \sin{\theta}~ \hat{\mathbf n}\]
Para calcular el módulo del producto vectorial, se puede multiplicar el módulo de ambos vectores por el seno del menor ángulo entre ambos vectores.
\(\hat{\mathbf n}\) es el vector unitario perpendicular a \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\).
\[\hat{\mathbf n} = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|}\]
Para calcular el valor del producto vectorial:
\[\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i – \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k\]
«Producto Vectorial según el angulo entre vectores» por Jesus Castañeda Retiz – Trabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 4.0 vía Wikimedia Commons.
Si estamos tratando con coordenadas polares, como suele suceder en radiación, los vectores directores de \(\theta\), \(\phi\) y \(r\) son los que aparecen en la imagen. Una manera sencilla de recordar su dirección es la siguiente: dado un punto cualquiera del espacio, los vectores directores de \(\theta\), \(\phi\) y \(r\) apuntan en las direcciones en las que \(\theta\), \(\phi\) y \(r\)aumentan. Por lo tanto:
«Coordenadas esféricas figura» por Derivative work: Josemontero9Coordenadas_eséricas_figura.png by Romero Schmidtke – Coordenadas esféricas figura.png. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.
\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{\theta}} = \hat{\mathbf{\phi}}\]
\[\hat{\mathbf{\theta}} \times \hat{\mathbf{\phi}}= \hat{\mathbf{r}}\]
\[\hat{\mathbf{\phi}} \times \hat{\mathbf{r}} = \hat{\mathbf{\theta}}\]
Donde podríamos equiparar \(\hat{r}\) con \(\hat{x}\), \(\hat{\theta}\) con \(\hat{y}\) y \(\hat{\phi}\) con \(\hat{z}\)
el producto de izquierda a derecha, siempre da como resultado el siguiente valor de la derecha con signo dando la vuelta por los extremos de la tabla y en sentido contrario, el signo negativo.