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Podemos construir un filtro paso banda de muchas maneras, pero la mayoría se basan en el mismo concepto: un filtro paso alto + un filtro paso bajo. Si lo queremos hacer de primer orden, a parte de que no podremos tener amplificación, necesitaremos inductores, que suelen ser grandes, caros o con un poco de complejidad para construir. Sin embargo, si optamos por un filtro paso banda activo de segundo orden, solo necesitaremos un amplificador operacional, condensadores y resistencias. Existen varias tipologías de filtros paso banda activos, pero hay una en particular, con realimentación multiple que tiene la ventaja de conseguir factores de calidad Q relativamente altos (~25). Podéis revisar algunos conceptos básicos en la entrada de Filtros paso bajo.
La configuración del filtro paso banda con realimentación multiple es la siguiente:
Filtro paso banda activo con realimentación multiple
En el esquemático podemos identificar cuatro tensiones nodales \(v_{in}\), \(v_o\).
Haciendo el KCL en \(v_x\) obtenemos la ecuación:
\[\left( v_{in} – v_{x} \right) G_1 – \left( v_x – v_n \right) sC_2 – \left(v_x – v_o \right)sC_1 = 0\]
Dado que tenemos realimentación negativa podemos realizar la hipotesis de que \(V_n = V_p = 0\), por lo que la ecuación resultante es:
\[v_{in} G_1 – v_{x} G_1 -v_x sC_2 -v_x sC_1 +v_o sC_1 = 0\]
Del mismo modo, haciendo el KCL en \(v_n\):
\[\left( v_{x} – v_{n} \right) s C_2 – \left( v_{n} – v_{0} \right) G_2 = 0\] \[v_{x} s C_2 + v_{0} G_2 = 0\] \[v_x = \frac{-v_o G_2}{s C_2}\]
Con estas dos ecuaciones tenemos completamente definido el circuito. Podemos escribirlo en forma matricial como:
\[\begin{bmatrix} G_1 + sC_2 + sC_1 & -sC_1\\ sC_2 & G_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_x \\ v_o \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_{in}G_1\\ 0 \end{bmatrix}\]
Por lo que finalmente podemos calcular la función de transferencia, que tiene la siguiente expresión:
\[H(s) = \frac{v_o}{v_{in}} = \frac{- s \frac{1}{R_1 C_1}}{s^2 + s \left( \frac{1}{C_1 R_2} + \frac{1}{C_2 R_2} \right) + \frac{1}{C_1 C_2 R_1 R_2}}\]
de la que identificando con la expresión genérica podemos extraer los valores de \(f_0\), BW y Q:
\[T(s) = \frac{K s \omega_0}{s^2 +\underbrace{ 2 \zeta \omega_0}_{BW(rad/s)} + \omega_0^2}\] \[f_0(Hz) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}\] \[BW(Hz) = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{C_1 +C_2}{C_1 C_2 R_2} \right)\] \[Q = \frac{f_0}{BW}=\sqrt{\frac{C_1 C_2 R_2}{C_2}} \left( C_1 +C_2 \right)\]
Vamos a diseñar un filtro paso banda con una frecuencia central de 800 Hz y un ancho de banda 200 Hz. Para ello, fijamos los valores de los condensadores a un valor razonable \(R_2\). Para ello podemos hacerlo a mano o utilizar MATLAB:
% Calculo de R2 syms R2; C1 = 100E-9; C2 = 100E-9; eqn = 1/(2*pi) * ((C1+C2)/(C1*C2*R2)) == 200 solR2 = solve(eqn,R2) solR2 = 1.5915e+04 % Calculo de R1 f0 = 800; syms R1; eqn2 = 1/(2*pi * sqrt(R1 * R2 * C1 * C2)) == 800; solR1 = solve(eqn2, R1) solR1 = 248.6796
El valor calculado para \(R_1 = 248.67~\Omega\) y \(R_2 = 15~k\Omega\).
Vamos a comprobar que los valores escogidos son correctos. Para ello, podemos simular con MATLAB la función de transferencia y dibujar su diagrama de Bode o de una manera más rápida y sencilla, utilizar CircuitLab.
Si lo queremos hacer con MATLAB el procedimiento es el siguiente:
% Calculamos la función de transferencia T = tf([-1/(R1*C1) 0],[1 (1/(C1*R2)+1/(C2*R2)) 1/(C1*C2*R1*R2)]); % Generamos el eje de coordenadas w = logspace(0,5, 10000); % Mostramos el diagrama de Bode de la función de transferencia bodemag(T,w); grid;
El resultado es el siguiente:
Diagrama de Bode del filtro paso banda con realimentación multiple
(Al hacer la gráfica, tened en cuenta que por defecto el eje de coordenadas está en radianes/s)
Como vemos el pico de resonancia está alrededor de los 800 Hz y tiene un ancho de banda aproximado de 200 Hz. Los valores no se ajustan perfectamente porque he elegido las resistencias comerciales y no son los valores exactos que deberían ser, pero la aproximación es bastante buena.
Si lo queremos simular con CircuitLab, tiene la ventaja de que también tiene en cuenta efectos no previstos por la función de transferencia al contemplar las no idealidades del amplificador de instrumentación que elijamos. El efecto más notorio que se puede observar es que la ganancia no es tan alta como la predicha por la función de transferencia en MATLAB. Podéis acceder al circuito desde CircuitLab