ro kk ru ru kk ru de kk ru ru kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk ru ru ru ru ru
ТАСПАДАҒЫ ДИФРАКЦИЯ ЕСЕБІ ҮШІН ФАКТОРИЗАЦИЯ ӘДІСІМЕН АЛЫНҒАН ТЕҢДЕУЛЕР МЕН АРНАЙЫ ЭНЕРГИЯҮНЕМДЕУ ФУНКЦИЯЛАРЫН MATHCAD БАҒДАРЛАМАСЫНДА ЗЕРТТЕУ
Егер Максвелл теңдеуін және қарапайым шекті шарттарды бастапқы мәлімет ретінде қабылдайтын болсақ, онда электромагнитті толқынның сәулеленуінің дифракциясы қатаң түрде анықталатын шекті математикалық есепке алып келеді. Сол бепті бұл бөлімде [6] еңбегінде келтірілген және таспа бетіндегі электрлік-магниттік толқынның есебі үшін бастама және жалпылама әдіснама ретінде пайдалануға болатын жарты-жазықтықтағы дифракция есебін қарастырып өтеміз.
Дифракцияға ұшырайтын дененің белгілі бір диэлектрлік өтімділігі және өткізгіштігі болған жағдайлар теориялық тұрғыда зерттелген, мұндай зерттеулердің алғашқыларының бірі – 1908 жылы Ми жасаған сферадағы дифракция зерттеуі металдағы оптика құбылысына арналған. Жалпылай айтқанда, өткізгіштің мәнінің шекті болуы математикалық жолмен есептеуге үлкен қиындықтар туғызады, сол себепті көптеген жағдайда идеалды өткізгіш концепциясын қабылдаған ыңғайлы. Әрине мұндай шартты қабылдау идеализация болып есептелгенімен электрлік-магниттік теория қағидаларымен сәйкес келеді.Сонымен қатар көптеген металдардың өткізгіштігі өте үлкен болғандықтан мұндай апроксимация өте үлкен жиіліктер болмаған жағдайда жақсы қызмет жасайды. Алайда мұндай апроксимация оптикалық есептер үшін нақты нәтиже бермейді. Сонымен көптеген ғылыми еңбектер осындай бөгеттің шексіз өткізгіштігіне негізделген жеңілдетуші апроксимацияға сүйеніп шығарылады. Төменде келтірілетін есептер сондай есептер қатарын толықтыруда [1].
Бұл жұмыстың негізгі мақсаты алдында келтірілген теңдеулер негізінде алынған шешімдер мен арнайы функциялардың дәлділігін анықтау үшін Mathcad бағдарламасында зерттеу жүргізу және ассимптотикалық шешімдерін алып салыстыру. Ескерте кететін жағдай Mathcad бағдарламасына есептерді енгізіп зерттеу барысында шексіздік, полюс болмау керек. Сол себепті алдыңғы бөлімде алынған шешімдер түрлендіріліп ықшамды моделдеуге жарамды түрге келтірілген. Есептеу қателігі де таспадағы дифракция есебін шығару таспа бетінде пайда болатын токтардың фурье образдарына алып келетіні алдыңғы бөлімнен анық болды. Жоғарыда біз негізгі есепті шығару үшін төмендегі эталонды интегралды шешу мақсатын қойдық:
Бұл интегралды Зоммерфельд контуры бойынша деформациялап, Ханкель функциясы және арнайы функцияға негізделе отырып төмендегідей жалпы шешімін алдық:
Бұл жалпы шешімдегі арнайы функциясының жалпы шешімі:
Арнайы функцияны түрлендіру үшін [2] келесі формуланы қолданамыз:
әрі қарай екенін ескере отырып және функцияның аргументін айнымалысынан айнымалысына көшіріп арнайы функциясы келесідей жазылады:
Осы функцияны Mathcad бағдарламасына енгізіп функцияның нақты және жорамал бөлігі үшін сипаттаушы графиктер алуға болады (сурет 1)
Сурет 1– функциясының нақты және жорамал бөліктері
функциясы үшін алынған графиктің дұрыстығын анықтау мақсатында [2] негізінде оның асимптотикалық мәнін қарастырайық. Ол үшін келесі теңдік негізгі теңдікті ескереміз:
Осы теңдік негізінде асимптотиканы деп белгілеп келесі мәнге қол жеткіземіз:
функциясы эталонды интегралдың шешімін анықтауда тірек функция болғандықтан оның нақтылығы мұнда келтірілген ассимптотикалыр негізінде және тағы басқа қосымша есептеулер арықылы тексерілді. мәнінің нақытылығы төменде ассимптотикасының графигі арқылы тексеріліп көзімінді есептің жоғарынақтылығына жеткіземіз.
Енді осы асимптотка негізінде сурет 2 графикті аламыз.
Сурет 2 – ассимптотикалық функцияның және жорамал бөліктері
Шекті есеп шекаралық шарттарға негізделе отырып, сингулярлы интегралдық теңдеулер жүйесіне әрі қарай Вайнштейннің жұптық теңдеулеріне келтіріледі. Нәтижесінде Фредгольмнің екінші текті интегралды теңдеулерін аламыз. Ол өз кезегінде асып түсу әдісі, өзгеше айтқанда стационарлы фаза әдісі арқылы сызықты алгебралық теңдеулер жүйесіне келтіріліп шешіледі.
Сәйкесінше арнайы функцияның нақты және асимптотикалық мәндерін салыстыру үшін екеуін біріктіреміз (сурет 3).
Сурет 3 – арнайы функция үшін нақты және асимптотикалық мәндердің графиктері
Сурет 3 көріп отырғанымыздай және функцияларының жорамал және нақты бөліктері толығымен дерлік сәйкес келеді. Тек ерекше көзге түсетіні асимптотикадағы үзілісті нүкте компенсациясы жасалмағандықтан 1 мәніне жақындағанда мәнінде үзіліс байқалады. асимптотика болғандықтан оны ескермеуге болады [3].
Эталонды интегралдың құрамындағы негізгі арнайы функцияның мәнінің нақтылығы дәлелденгендіктен эталонды функцияның графиктік сипаттамысын алуға көшейік.
Эталонды интегралдың жалпы шешіміне арнайы функцияның мәнін қоя отырып, екенін ескеріп функцияның аргументін мәніне одан мәніне өте отырып келесідей функцияны және оның графигін аламыз (сурет 4):
Эталонды интеграл және айналып өту әдісі арқылы алынған шешім негізіндегі таспадағы резонанс процесі қарастырылды. Бірінші және екінші ретті жуықтаудағы нақтылық бағаланып резонанс жиіліктері анықталды.
Сурет 4 – Эталонды интегралдың негізгі шешімі - функциясының нақты және жорамал бөліктерінің графиктері
Эталонды интегралды гамма функциясының асимптотикасымен есептегенде мәні функциясының мәнінің үзілісті табиғатына сәйкес тең екенін байқаймыз.
Сол себепті мәнін тексеру үшін оның келесідей мәнін қарастырамыз:
мұндағы мүшесі таңбасы бойынша қиындық туғызбау үшін келесідей түрде функция ретінде алып қатарға жіктейміз:
және оның қатарға жіктелуі:
Ендігі мақсат бағытталу диаграммасын сипаттап жазу үшін қолданылатын төмендегі арнайы функцияны зерттеу:
Бұл функцияның төменгі шегіндегі шексіздіктен құтылу үшін интегралды екі интеграл қосындысы ретінде жазамыз:
Бұл интегралдардың біріншісін интеграл айнымалысын алмастыра отырып және Френель интегралына келтіріп келесідей шешім аламыз:
Функцияның графигін алу үшін ондағы арақашықтықты көрсететін мәнін шартты түрде 50 метр деп аламыз(сурет 5).
Сурет 5 – арнайы функциясының нақты және жорамал бөліктерінің графигі
Енді арнайы функциясының асимптотикалық мәнін есептейік. [4] анықтамасындағы төмендегідей қатарға жіктеу формулаларын қолданыламыз:
нәтижесінде асимптотикасын ретінде белгілеп келесідей мән аламыз:
Алынған асимптотикалық мәнді көрсетілгендей дәл жоғарғыдағы арнайы функциясындағыдай мәнін шартты түрде 50 метрге теңестіреміз (сурет 6).
Сурет 6 – арнайы функциясының асимптотикасының нақты және жорамал бөліктерінің графигі
Қорытындылай келе біздің негізгі нәтижеміз түрлі жиілікте, сәйкесінше түрлі толқын ұзындығы үшін кез-келген бұрыш мәнінде таспалы құрымдар үшін есептеулер жүргізу үшін инженерлер қолданылуына болады. Есептің негізгі жетістігі күрделі есепті жоғары нақтылықпен шығару үшін сингулярлы теңдеулерден Фредгольмнің екінші текті, полюстер мен шексіздік шарттарынан бос интегралдық теңдеулер жүйесіне келтіріп арнайы функциялар негізінде өрісті сипаттап жазуында [5].
1 Агранович З.С., Марченко В.А., Шестопалов В.П., Дифракция электромагнитных волн на плоских металлических решетках // ЖТФ. – 1962. Т.32, – № 4. – С. 381-384.
2 Алексеева Л.А. Динамические аналоги формул Грина, Гаусса для решений волнового уравнения R"x t // Дифференциальные уравнения. – 1995. – Т. 31, №11.-С. 1920-1921.
3 Алексеева Л.A., Саутбеков С. С. Метод обобщенных функций при решении стационарных краевых задач для уравнений Максвелла // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2000. – №4. – С. 611-622.
4 Фиалковский А. Т. Дифракция плоских электромагнитных волн на щели и ленте.// Радиотехника и электроника 11 – 1966. – №2. – С .1 78-186.
5 Кюркчан А. Г., Демин Д. Б. Моделирование характеристик рассеяния волн телами с поглощающим покрытием и черными телами.// ЖТФ. 74,– 2004. – № 2. – С. 24-31.