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Statistical Theory From a Marxist Perspective
Rank and trace are equal for a real symmetric idempotent matrix
Posted on 21 August, 202221 August, 2022 by isadorenabi in Estadística Matemática, Metamatemática, Matemática Pura y Matemática Aplicada
Proposition. Let $latex mathbf{X} in mathbb{R}^{n times n}$ be a matrix that is symmetric ($latex mathbf{X}^top = mathbf{X}$) and idempotent ($latex mathbf{X}^2 = mathbf{X}$). Then the rank of $latex mathbf{X}$ is equal to the trace of $latex mathbf{X}$. In fact, they are both equal to the sum of the eigenvalues of $latex mathbf{X}$.
The proof is relatively straightforward. Since $latex mathbf{X}$ is real and symmetric, it is orthogonally diagonalizable, i.e. there is an orthogonal matrix $latex mathbf{U}$ ($latex mathbf{U}^top mathbf{U} = mathbf{I}$) and a diagonal matrix $latex mathbf{D}$ such that $latex mathbf{D} = mathbf{UXU}^top$ (see here for proof).
Since $latex mathbf{X}$ is idempotent,
$latex begin{aligned} mathbf{X}^2 &= mathbf{X},
mathbf{U}^top mathbf{D}^2 mathbf{U} &= mathbf{U}^T mathbf{DU},
mathbf{D}^2 &= mathbf{D}. end{aligned}$
Since $latex mathbf{D}$ is a diagonal matrix, it implies that the entries on the diagonal must be zeros or ones. Thus, the number of ones on the diagonal (which is $latex text{rank}(mathbf{D})…
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Tagged Álgebra Lineal, Demostración, Estadística Matemática, Idempotent, Idempotente, Linear Algebera, Mathematical Statistics, matrix, matriz, Proof, Prueba, Range, Rango, Real, Simétrica, Symmetric, Trace, TrazaLeave a comment
Posted on 21 August, 202221 August, 2022 by isadorenabi in Estadística Matemática, Metamatemática, Matemática Pura y Matemática Aplicada
Imagen tomada de Lifeder.
Statistical Odds & Ends
In this previous post, I wrote about the asymptotic distribution of the Pearson $latex chi^2$ statistic. Did you know that the Pearson $latex chi^2$ statistic (and the related hypothesis test) is actually a special case of a general class of $latex chi^2$ tests? In this post we describe the general $latex chi^2$ test. The presentation follows that in Chapters 23 and 24 of Ferguson (1996) (Reference 1). I’m leaving out the proofs, which can be found in the reference.
(Warning: This post is going to be pretty abstract! Nevertheless, I think it’s worth a post since I don’t think the idea is well-known.)
Let’s define some quantities. Let $latex Z_1, Z_2, dots in mathbb{R}^d$ be a sequence of random vectors whose distribution depends on a $latex k$-dimensional parameter $latex theta$ which lies in a parameter space $latex Theta$. $latex Theta$ is assumed to be a non-empty open subset…
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Tagged Abierto, Analysis, Análisis, Asintótico, Asymptotic, Cerrado, Chi-Cuadrada, Chi-Square, Closed, Conjunto, Covariance, Covarianza, Demostración, Descriptive, Descriptivo, Distribución, Distribution, Ensemble, Estadísticas, Estadístico, Estadístico de Prueba, Inferencial, Inferential, matrix, matriz, Maximum, Máximo, Mínimo, Minimum, Open, Pearson, Proof, Prueba, Statistic, Statistics, Test, Test StatisticLeave a comment
DISQUISICIONES ELEMENTALES SOBRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO EN UNA VARIABLE (ENSAYO SOBRE FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS, 2015)
Posted on 7 June, 20217 June, 2021 by isadorenabi in Materialismo Dialéctico, Metamatemática, Matemática Pura y Matemática Aplicada
Tagged Conexidad, Conjunto, Conjunto Conexo, Conjunto Convexo, Conjuntos Conexos, Conjuntos Convexos, Continuidad, Correspondencia, Curva, Definición Épsilon Delta, Definición Formal de Límite, Demostración, Discontinuidad, Engels, Espacio Topológico, Filosofía, Filosofía de las Ciencias, Filosofía de las Matemáticas, Filosofía Marxiana, Filosofía Marxista, Formalidad, Inducción Matemática, Integración, Integral, Límite, Límites, Marx, Marxismo, Matemática Pura, Matemáticas, Monotonía, Norma, Partición, Primer Teorema Fundamental del Cálculo, Principio de Inducción, Propiedad, Propiedad Matemática, Propiedades, Punto, Sucesión Acotada, Sucesiones No Decrecientes, Suma Inferior, Suma Superior, Teoría Marxiana, Teoría Marxista, Teorema Bonnet Lagrange, Teorema de Rolle, Teorema del Cambio Neto, Teorema Fundamental del Cálculo, Teoremas Fundamentales del Cálculo, Uniforme1 Comment
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