fi en en fi en en fi en en zh fi fi en fi en fi en fi en en zh en en fr ru fi eo fi en fi jbo ru fi en fr en en es en fi jbo en et en et en fi pl fi uk it war hbs_lat jbo war en es fi fi jbo fi en es es fi jbo es en es fi en es fi fi jbo fi fi jbo fi en es en en en en jbo fi de en et en fi en et en en en pt en ja id de en en fr en en en fi en fi fi en en en fi en fi fi fi fi en en en en en en en en en en en en en en en fa en en en en fi en en en en en en en en en en en en en en
JYX - Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin (full record)
University of Jyväskylä | JYX Digital Repository
English  | Give feedback |
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
Fraktaaliderivaatta on derivaatta, jonka kertaluku on reaali- tai kompleksiluku. Fraktaaliderivaatta voidaan määritellä usealla eri tavalla, mutta mikään määritelmä ei ole selkeästi muita parempi. Koska fraktaaliderivaatan ominaisuudet riippuvat valitusta määritelmästä, ominaisuuksia ei voida suoraan yleistää kaikille fraktaaliderivaatoille. Tämän tutkielman tarkoitus on antaa lukijalle perustiedot reaalilukukertaisista fraktaaliderivaatoista ja niiden määritelmäsidonnaisista ominaisuuksista. Tutkielmassa esitellään kolme yleisimmin viitattua määritelmää: Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville ja Caputo. Grünwald-Letnikovin määritelmä yleistää klassisen derivaatan määritelmän suoraan reaali- ja kompleksiluvuille, minkä vuoksi se on helpoiten ymmärrettävissä analyysin perustietojen pohjalta. Riemann-Liouvillen määritelmä yhdistää fraktaaliderivaatan ja fraktaali-integraalin käsitteet. Caputon fraktaaliderivaatta on taas kehitetty sovellusten näkökulmasta. Vaikka fraktaaliderivaatan ominaisuudet riippuvat valitusta määritelmästä, joitakin ominaisuuksia voidaan yleistää. Ensiksi, fraktaaliderivaatta on yhtäpitävä klassisen derivaatan kanssa, kun sen kertaluku on kokonaisluku. Toiseksi, fraktaalinen differintegraalioperaattori (engl. fractional differintegral operator) on lineaarinen. Määritelmästä riippuvia ominaisuuksia ovat esimerkiksi Riemann-Liouvillen fraktaali-integraalien vaihdannaisuus sekä Riemann-Liouvillen / Caputon fraktaaliderivaatan additiivisuus klassisen derivaatan kanssa. Riemann-Liouvillen ja Caputon määritelmien välillä on kuitenkin se ero, että additiivisuus pätee toiselle päinvastaisessa järjestyksessä. Siten fraktaaliderivaatat eivät kommutoi. Riemann-Liouvillen differintegraalioperaattorin tärkeä ominaisuus on myös se, että derivointioperaattori on samaa kertalukua olevan integrointioperaattorin vasen käänteisoperaatio. Määritettäessä funktioiden fraktaaliderivaatan lausekkeita Riemann-Liouvillen ja Grünwald-Letnikovin määritelmät antavat samat tulokset. Caputon määritelmä ei kuitenkaan ole yhtäpitävä edellisten määritelmien kanssa muulloin kuin erikoistapauksissa. Merkittävin ero näiden määritelmien välillä on, että vakion Grünwald-Letnikovin ja Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatat eivät ole nollia, kun taas Caputon fraktaaliderivaatta on nolla. Fraktaaliderivaatan sovelluksia ovat erilaiset fraktaalidifferentiaaliyhtälöt. Fraktaalidifferentiaaliyhtälö saadaan, kun klassisen differentiaaliyhtälön derivaatta korvataan fraktaaliderivaatalla. Alkuarvotehtävissä Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatan käyttö on kuitenkin ongelmallista, sillä se tuottaa alkuehdoiksi reaalilukukertaisia derivaattoja, joille ei ole keksitty fysikaalista tulkintaa. Caputon fraktaaliderivaattaa käytettäessä vastaavaa ongelmaa ei ole. Fraktaalidifferentiaaliyhtälöt ovat nykyään tärkeä tutkimuskohde muun muassa fysiikassa. Tässä tutkielmassa esitellään yksi esimerkki fysiikan sovelluksesta: fraktaalivärähtelijän differentiaaliyhtälö. Numeerisin menetelmin on havaittu, että fraktaalivärähtelijällä on sisäinen vaimenemismekanismi, joten se ei voi muodostaa lainkaan eristettyä systeemiä. Toistaiseksi on kuitenkin epäselvää, mistä fraktaalivärähtelijän sisäinen vaimenemismekanismi johtuu.
1 verkkoaineisto (52 sivua)
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Department of Mathematics and Statistics
Files in this item
This item appears in the following Collection(s)
Pro gradu -tutkielmat [24086]
Show simple item record
Showing items with similar title or keywords.
Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat
On Limits at Infinity of Weighted Sobolev Functions
Eriksson-Bique, Sylvester; Koskela, Pekka; Nguyen, Khanh (Elsevier, 2022)
We study necessary and sufficient conditions for a Muckenhoupt weight w∈Lloc1(Rd) that yield almost sure existence of radial, and vertical, limits at infinity for Sobolev functions u∈Wloc1,p(Rd,w) with a p-integrable ...
Maaston proseduraalisen generoinnin menetelmät videopeleissä ja niiden kontrolloitavuus
Pelimaailmojen proseduraalinen luonti vähentää sisällön tuottamiseen kuluvia kustannuksia. Tutkielmassa käydään läpi videopeleissä käytettyjä proseduraalisia maastonluontimenetelmiä ja arvioidaan niiden kontrolloitavuutta. ...
Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset
Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ...
Tunes and musical notes
All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline
How to publish in JYX?
Publish Your Thesis Online
Open Science at the JYU
Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.