en en en fi en en fi en en zh fi fi en fi en en ja en en en en en fi fr de en en en fi en de en en en en en tr uk es en en fi en en en de en en fi en en fi en en en en en fi en en en en en en en en en en en en en en en en fa en en en en fi en en en en en en en en en en en en en en
JYX - Asymptotical behavior of volume preserving mean curvature flow and stationary sets of forced mean curvature flow
University of Jyväskylä | JYX Digital Repository
English  | Give feedback |
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
Show download detailsHide download details
The main subject of this dissertation is mean curvature type of flows, in particular the volume preserving mean curvature flow. A classical flow in this context is seen as a smooth time evolution of n-dimensional sets. An important question is when a given mean curvature type of flow exists at all times, and thus does not form singularities. A singularity of a flow is a time where one cannot continue the flow, and usually the evolving set experiences topological changes. The work consists of three articles. In the first article [A], the focus lies on a behavior of a volume preserving mean curvature flow starting nearby a so-called strictly stable set in a three- or four-dimensional flat torus. The contribution of the first article is to show that if the previous flow starts sufficiently close to the strictly stable set in the H3-sense, then the flow exists at all times and converges, up to a small translation, to the set at an exponential rate. In particular, such a flow does not experience singularities. The second article [B] and the third article [C] concern generalizations of mean curvature type of flows, so-called flat flows, obtained via the minimizing movement method. Advantages of such a generalization are that it is defined at all times and requires less regularity for a given initial set compared to a mean curvature type of flow. In [B], it is shown that a flat flow of volume preserving mean curvature flow, starting from a bounded set of finite perimeter, has a shape of a finite union of equisized balls with mutually disjoint interiors in the asymptotical sense. The previous result relies on a new quantitative Alexandrov’s theorem, also proven in [B]. This theorem says that if a bounded C2-regular set, with a fixed upper bound on perimeter and a fixed lower bound on volume in an n-dimensional Euclidean space, has a boundary mean curvature close to a constant value in the Ln−1-sense, then the set is close to a finite union of equisized balls, with mutually disjoint interiors, in the Hausdorff-sense. In [C], it is shown that finite unions of n-dimensional tangent balls are not invariant under flat flows of any mean curvature flow with a bounded forcing. This is already proven in the two-dimensional case, so the third article generalizes this result to the higher dimensions. ...
Tämän väitöksen pääaiheena ovat keskikaarevuustyyppiset virtaukset, erityisesti tilavuuden säilyttävä keskikaarevuusvirtaus. Klassinen virtaus nähdään tässä kontekstissa sileänä n-ulotteisten joukkojen aikaevoluutiona. Tärkeä kysymys on, milloin annettu keskikaarevuustyyppinen virtaus on olemassa kaikkina ajanhetkinä ja ei täten muodosta singulariteetteja. Virtauksen singulariteetti on ajanhetki, josta kyseistä virtausta ei voida jatkaa, ja tavallisesti kehittyvä joukko muuttuu topologisesti. Työ koostuu kolmesta artikkelista. Ensimmäisessä artikkelissa [A] tarkastelun kohteena on tilavuuden säilyttävän keskikaarevuusvirtauksen käytös ns. ehdottomasti vakaan joukon lähellä kolmi- tai neliulotteisessa litteässä toruksessa. Ensimmäisen artikkelin panos on osoittaa, että jos edellinen virtaus alkaa tarpeeksi läheltä kyseistä joukkoa H3-mielessä, niin virtaus on olemassa kaiken aikaa ja pientä siirtoa lukuunottamatta lähestyy eksponentiaalisella vauhdilla kohti samaa joukkoa. Erityisesti tällainen virtaus ei muodosta singulariteetteja. Toinen ja kolmas artikkeli käsittelevät keskikaarevuustyyppisten virtausten yleistyksiä, ns. litteitä virtauksia, jotka saadaan liikkeiden-minimointi-menetelmällä. Tällaisen yleistyksen etuina ovat, että se on määritelty kaikkina ajanhetkinä ja vaatii vähemmän säännöllisyyttä lähtöjoukolta verrattuna keskikaarevuustyyppiseen virtaukseen. Artikkelissa [B] osoitetaan, että litteä virtaus tilavuuden säilyttävälle keskikaarevuusvirtaukselle alkaen rajoitetusta äärellisen perimetrin joukosta muistuttaa asymptoottisesti äärellisen monen samankokoisen pallon yhdistettä siten, että pallojen sisukset ovat pistevieraat. Edellinen tulos nojaa uuteen kvantitatiiviseen Alexandrovin lauseeseen, joka myöskin todistetaan artikkelissa [B]. Tämä lause sanoo, että jos C2-säännöllisellä joukolla, jolle perimetrillä on kiinnitetty yläraja ja tilavuudelle kiinnitetty alaraja n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, reunan keskikaarevuus on Ln−1-mielessä lähellä vakiota, niin joukko on Hausdorff-mielessä lähellä äärellisen monen samankokoisen pallon yhdistettä siten, että pallojen sisukset ovat pistevieraat. Artikkelissa [C] osoitetaan, että äärellisen monen toisiaan sivuavan n-ulotteisen pallon yhdiste ei ole invariantti minkään pakotetun keskikaarevuusvirtauksen litteän virtauksen suhteen. Tämä on jo valmiiksi todistettu kaksiulotteisessa tapauksessa, joten kolmas artikkeli yleistää tämän tuloksen korkeampiin ulottuvuuksiin. ...
Artikkeli I: Niinikoski, J. (2021). Volume preserving mean curvature flows near strictly stable sets in flat torus. Journal of Differential Equations, 276, 149-186. DOI: 10.1016/j.jde.2020.12.010. Preprint
Artikkeli II: Julin, V. and Niinikoski, J. (2020). Quantitative Alexandrov theorem and asymptotic behavior of the volume preserving mean curvature flow. To appear in Anal. PDE. Preprint
Artikkeli III: Julin, V., & Niinikoski, J. (2021). Stationary sets of the mean curvature flow with a forcing term. Advances in Calculus of Variations. DOI: 10.1515/acv-2021-0019. JYX: jyx.jyu.fi/handle/123456789/77405
Show full item record
Showing items with similar title or keywords.
Stationary sets of the mean curvature flow with a forcing term
Julin, Vesa; Niinikoski, Joonas (Walter de Gruyter GmbH, 2021)
We consider the flat flow solution to the mean curvature equation with forcing in ℝn. Our main resultstates that tangential balls in ℝn under a flat flow with a bounded forcing term will experience fattening, which generalizes ...
A more efficient second order blind identification method for separation of uncorrelated stationary time series
Taskinen, Sara; Miettinen, Jari; Nordhausen, Klaus (Elsevier BV, 2016)
The classical second order source separation methods use approximate joint diagonalization of autocovariance matrices with several lags to estimate the unmixing matrix. Based on recent asymptotic results, we propose a novel ...
Volume preserving mean curvature flows near strictly stable sets in flat torus
Niinikoski, Joonas (Elsevier BV, 2021)
In this paper we establish a new stability result for smooth volume preserving mean curvature flows in flat torus T-n in dimensions n = 3, 4. The result says roughly that if an initial set is near to a strictly stable set ...
Asymptotic behaviors of solutions to quasilinear elliptic equations with hardy potential
He, Cheng-Jun; Xiang, Changlin (Academic Press, 2016)
Optimal estimates on asymptotic behaviors of weak solutions both at the  origin and at the infinity are obtained to the following quasilinear elliptic equations  −Apu − u  |x|  p |u|  p−2  u + m|u|  p−2  u = f(u), x ∈ RN ...
Peer-to-peer cooperative GNSS-based localization for stationary reference nodes in wireless sensor networks
Hakala, Ismo; Luomala, Jari (IEEE, 2017)
Most localization algorithms in wireless sensor networks  rely on a few reference nodes with known locations  to estimate the locations of unknown nodes. The locations of  reference nodes can be either manually configured ...
Tunes and musical notes
All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline
How to publish in JYX?
Publish Your Thesis Online
Open Science at the JYU
Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.