el en el el en el el el en el uk es en es tr en en ru el el el el el el el el en el el el el el el en el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el es en es el es es tr en es ru en el el en el el el en de el en de en el el el el el el en el el el el el el el el el el el el el el el el el el fr el el el en el el el el el el el el el el el el el el en de de el zh el el el el el el el el el en en de az el en el el en en el en el el en en el el el el el el en en el en el en el el el el el
Την προηγούμενη εβδομάδα είδαμε διάφορα ωραία και ενδιαφέροντα σε σχέση με την εικασία Collatz και το πώς αυτή σχετίζεται με άλλα δύσκολα προβλήματα που αφορούν τους αριθμούς και την ανάλυσή τους σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Για την ακρίβεια είδαμε ότι η εικασία που έχουμε αγαπήσει να μισούμε λύνεται πολύ εύκολα αν μπορούμε να προσδιορίσουμε το ανάπτυγμα σε γινόμενο πρώτων ενός θετικού ακεραίου αριθμού από τον προηγούμενο ή τον επόμενό του. Ωστόσο, αυτό από μόνο του είναι ιδιαίτερα δύσκολο – και ακόμα αναπάντητο.
Αν θέλετε να θυμηθείτε περισσότερα από όσα έχουμε πει δείτε εδώ και εδώ.
Επομένως, αντί να κοιτάμε ολόκληρες ακολουθίες Collatz, ασχολούμαστε απλά και μόνο με το αν κάποτε οδηγούν σε κάποιον μικρότερο όρο – με την ελπίδα ότι αυτή η απλοποίηση που κάναμε θα μας οδηγήσει πιο εύκολα σε αποτελέσματα. Έτσι, αμέσως-αμέσως παρατηρούμε ότι δεν χρειάζεται προς το παρόν να ασχοληθούμε με κανέναν άρτιο αριθμό, καθώς αυτοί στο πρώτο βήμα οδηγούν σε υποδιπλασιασμό – δεν ισχυριζόμαστε ότι όλοι οι άρτιοι δίνουν ακολουθίες Collatz που τερματίζουν στο 1, αλλά απλά ότι δε θα μας απασχολήσουν προς στιγμή.
Έπειτα, σχεδιάσαμε το ακόλουθο script σε python το οποίο σχεδιάζει το πόσους υποδιπλασιασμούς μπορούμε να κάνουμε ξεκινώντας από έναν δεδομένο περιττό αριθμό αφού πρώτα τον τριπλασιάσουμε και προσθέσουμε μία μονάδα:
Ένα σχήμα που είχαμε πάρει την προηγούμενη εβδομάδα είναι το ακόλουθο:
Πόσες δυνάμεις του 2 χωράνε;
Συνεπώς, έχοντας περιοριστεί στους αριθμούς θέτουμε το εξής ερώτημα:
Πόσα βήματα χρειάζεται να κάνουμε ξεκινώντας από έναν τέτοιον αριθμό μέχρι να φτάσουμε σε έναν μικρότερο όρο της ακολουθίας Collatz;
Όπως φαντάζεστε, πριν προσπαθήσουμε να αποδείξουμε το ο,τιδήποτε, θα προσπαθήσουμε να αποκτήσουμε λίγη διαίσθηση κάνοντας κάποιες δοκιμές. Σε αυτές τις δοκιμές θα μας βοηθήσει το ακόλουθο script:
Το παραπάνω script μας βοηθάει να σχεδιάσουμε ένα σχήμα σαν το παρακάτω:
Αυτό που βλέπουμε παραπάνω είναι τα βήματα που χρειάζονται, ξεκινώντας από έναν αριθμό της μορφής – κάθετος άξονας – έτσι ώστε να φτάσουμε σε έναν όρο μικρότερο από τον αρχικό. Επιπρόσθετα, κάθε βήμα (κυκλάκι) είναι χρωματισμένο είτε κόκκινο είτε μπλε, με το κόκκινο να σημαίνει ότι σε εκείνο το βήμα έγινε υποδιπλασιασμός ενώ το μπλε σημαίνει ότι έγινε «τριπλασιασμός».
Παρατηρώντας το παραπάνω σχήμα βλέπουμε, αρχικά, ότι για κάθε αριθμό έχουμε ένα αρχικό μοτίβο που το περιμέναμε: «τριπλασιασμός» – υποδιπλασιασμός – «τριπλασιασμός» – υποδιπλασιασμός. Έπειτα από αυτά τα τέσσερα πρώτα βήματα, που είναι υποχρεωτικά τα ίδια για κάθε αριθμό της μορφής δε φαίνεται να έχουμε κάτι σαφέστερο – τουλάχιστον όχι με μία πρώτη ματιά. Ας δούμε, όμως, τι είδους αριθμός είναι ένας αριθμός που προκύπτει από τον εφαρμόζοντας τα παραπάνω 4 βήματα:
Αρχικά, «τριπλασιάζουμε» παίρνοντας τον
Έπειτα, υποδιπλασιάζουμε παίρνοντας τον
Έπειτα, «τριπλασιάζουμε» παίρνοντας τον
Έπειτα, υποδιπλασιάζουμε παίρνοντας τον
Τώρα, οι αριθμοί της μορφής είναι σαφώς μεγαλύτεροι από τους για ίδιες τιμές του οπότε και έχουμε δουλειά μπροστά μας να κάνουμε.
Πώς όμως μπορούμε να δούμε αν από έναν αριθμό της μορφής μπορούμε με πεπερασμένο πλήθος εφαρμογών των βασικών πράξεων που μας έχει καθορίσει ο κύριος Collatz να καταλήξουμε σε έναν αριθμό μικρότερο από τον Από το παραπάνω σχήμα δε φαίνεται, μετά τα 4 πρώτα βήματα, να υπάρχει κάποιο μοτίβο. Ίσως ένα μεγαλύτερο σχήμα να μας βοηθήσει:
Χμμμ, κάτι αρχίζει να αχνοφαίνεται…
Εδώ, αν παρατηρήσετε, πέρα από τα τέσσερα πρώτα βήματα που είναι ίδια – μπλε, κόκκινο, μπλε, κόκκινο – έχουμε και μετά ένα ωραίο μοτίβο. Φαίνεται το πέμπτο βήμα να είναι εναλλάξ είτε μπλε είτε κόκκινο. Δηλαδή, ξεκινώντας από έναν αριθμό της μορφής φαίνεται μετά να έχουμε δύο επιλογές:
για περιττές τιμές του φαίνεται να μπορούμε να υποδιπλασιάσουμε (τουλάχιστον μία φορά) ενώ,
για περιττές τιμές του φαίνεται να μην μπορούμε να υποδιπλασιάσουμε.
Αλγεβρικά, αυτό επιβεβαιώνεται εύκολα, αφού αν τότε ο είναι άρτιος – ως διαφορά περιττών – και άρα μπορούμε να τον υποδιπλασιάσουμε. Γράφοντας για έχουμε:
Στην περίπτωση που δεν μπορούμε να υποδιπλασιάσουμε, άρα από τον περνάμε στον – που είναι ακόμα μεγαλύτερος. Τώρα, για τον μπορούμε να παρατηρήσουμε πως στην (υπο-υπο-)περίπτωση που ο είναι περιττός, είναι άρτιος – και πάλι ως διαφορά περιττών. Επομένως, μπορούμε να ξανα-υποδιπλασιάσουμε και να βρούμε τον ακόλουθο αριθμό – υποθέτουμε ότι
Τώρα, ας παρατηρήσουμε ότι στην υπο-υπο-περίπτωση που βρισκόμαστε έχουμε και άρα έχουμε ξεκινήσει από τον αριθμό:
ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον για κάθε αφού:
που ισχύει ακριβώς για κάθε Επομένως, για τους αριθμούς της μορφής για ισχύει αυτό που θέλαμε: κάποια στιγμή (μετά από 6 βήματα) θα καταλήξουμε σε έναν αριθμό μικρότερο από αυτόν που ξεκινήσαμε.
Όλα αυτά τα συμπεράναμε από αυτό το μικρό μοτίβο της πέμπτης «στήλης» του παραπάνω σχήματος. Ωστόσο, αν παρατηρήσετε και τις διπλανές στήλες, φαίνεται κι αυτές να έχουν κάποιο μοτίβο στο πώς χρωματίζονται; Μπορούμε, άραγε, να συστηματοποιήσουμε κάπως τον τρόπο με τον οποίο περιγράφονται αυτά τα μοτίβα; Κι αν ναι, πού θα μας βοηθήσει αυτό;
Γι’ αυτά και άλλα πολλά θα μιλήσουμε την ερχόμενη εβδομάδα.
Μέχρι τότε, καλή συνέχεια!
Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Δανάη του Henri Fantin-Latour.
Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:
Μαθηματικός, μάλλον... Προβολή όλων των δημοσιεύσεων από Aftermaths
Previous 20 ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Next Αδύνατο vs Απίθανο – Μέρος Γ’
Ο/Η Η εικασία Collatz (8) – aftermaths.gr λέει:
22 Οκτωβρίου 2021 στο 23:55
[…] ασχοληθούμε με τους αριθμούς της μορφής καθώς, όπως έχουμε δει, αυτοί οι αριθμοί δεν οδηγούν με κάποιον προφανή τρόπο […]
Γράψτε το σχόλιο σας εδώ....
Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:
Ηλ. διεύθυνση (απαιτείται) Δεν θα εμφανιστεί δημόσια.
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Ειδοποίηση μέσω mail για νέα σχόλια.
Να ειδοποιούμαι μέσω mail για νέα άρθρα.
Ακολούθησε το ιστολόγιο μέσω email
Μαζί με 513 ακόμα followers
Η καλή πράξη της ημέρας
Τεστάκι της Ημέρας #001 - Τι θυμόμαστε από το Γυμνάσιο;
Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
Λύσεις του Επαναληπτικού Διαγωνίσματος VI
Ασκήσεις στα Σύνολα - Α' Λυκείου
Επαναληπτικό διαγώνισμα εφ' όλης της ύλης VI
Ασκήσεις στις Συναρτήσεις (Β' Λυκείου)
Ασκήσεις στις απόλυτες τιμές
Ασκήσεις στη Σύνθεση (Λύσεις)
Ασκήσεις στους κανόνες παραγώγισης
Μονοτονία συναρτήσεων (Γ' ΕΠΑΛ)
Αξίωμα της πληρότητας (6)
Τίποτα στην τύχη (1)
Τεστάκι της ημέρας (176)
The Wumpus Project (1)
1-1 After-maths Collatz featured Fermat Horner Tikz Workshop Α' Γυμνασίου Α' Λυκείου ΑΕΠΠ Απόψεις Β' Λυκείου Γ' λυκείου Διδακτικό υλικό ΕΟΚ ΕΠΑΛ ΘΜΤ Μαθηματικά Φυσική άλγεβρα ακρότατα αλγόριθμοι αμπελοφιλοσοφία ανισότητες ανισώσεις αποδείξεις απόλυτη τιμή ασκήσεις γραφική παράσταση δευτεροβάθμιες διάμεσος διαγώνισμα διακύμανση διασπορά διαφάνειες δομή επανάληψης δομή επιλογής δυνάμεις εισαγωγή εκθετική εξισώσεις επανάληψη θεωρία λογαριθμική λυμένα παραδείγματα λύσεις μέση τιμή μαθηματικά μονοτονία ολοκλήρωμα πίνακες πανελλήνιες παράγωγος παραμετρικές παραστάσεις πιθανότητες πολυώνυμα πράξεις πραγματικοί αριθμοί προβλήματα πρωτοβάθμιες πρόοδοι ρίζες σημειώσεις στατιστική συνέχεια συναρτήσεις συστήματα συχνοτήτων σύνολα τεστ τριγωνομετρία φύλλο εργασίας όρια
Buy me a tea!
Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τα τέσσερα δάκτυλα του βιολιστή. Πάνε στα τυφλά και δε λαθεύουν ούτε χιλιοστό. Χυμούν σε γκρεμούς, παιχνιδιάρες στην ανηφοριά, ακροβάτες στην κατηφοριά, είναι καλλιτέχνες τσίρκου για το θεωρείο των βουνών. Οι οπλές του αγριόγιδου γαντζώνονται στον αέρα. Ο ρόζος τους, μικρό μαξιλαράκι, όποτε θέλει λειτουργεί σαν σιγαστήρας, διαφορετικά το χωρισμένο στα δυο νύχι είναι καστανιέτα για φλαμένκο. Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τέσσερις άσσοι σε τσέπες χαρτοκλέφτη. Μ' εκείνες η βαρύτητα είναι μια παραλλαγή σ' ένα θέμα, όχι ένας νόμος.