el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el en ko el el el el el el el el el el el el el el el el el el en el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el tr ceb tr vi be en el el el el el el en el tr ceb ceb vi el el en el tr ceb ceb ko el el el en el ja el en el el el en el de en el el el el el el el el el el el el
Στα μαθηματικά, οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση ("υπάρχουν έξι νομίσματα στο τραπέζι") και για τη σύγκριση ("υπάρχουν περισσότερες καρέκλες από τους πίνακες"). Μια μεταγενέστερη έννοια είναι εκείνη ενός ονομαστικού αριθμού, ο οποίος χρησιμοποιείται μόνο για την ονομασία.
Οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μετρήσεις (ένα μήλο, δύο μήλα, τρία μήλα, ...)
Δεν υπάρχει καθολική συμφωνία για το αν θα συμπεριλαμβάνεται το μηδέν στο σύνολο των φυσικών αριθμών: μερικοί ορίζουν τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι θετικοί ακέραιοι 1, 2, 3,... ενώ για άλλους ο όρος προσδιορίζει τους μη-αρνητικούς ακέραιους 0, 1, 2, 3, .... Ο πρώτος ορισμός είναι ο παραδοσιακός, με τον τελευταίο ορισμό να εμφανίζεται για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο φυσικό αριθμό αποκλείοντας το 0 και ακέραιο αριθμό για να το συμπεριλάβουν. Άλλοι χρησιμοποιούν τον όρο ακέραιο αριθμό κατά τρόπο που να περιλαμβάνει τόσο το μηδέν όσο και τους αρνητικούς ακέραιους, δηλαδή ως ισοδύναμο του ακεραίου όρου. Ιδιότητες των φυσικών αριθμών που σχετίζονται με τη διαιρετότητα, όπως η κατανομή των πρώτων αριθμών, μελετούνται στη θεωρία αριθμών. Προβλήματα σχετικά με την καταμέτρηση και την παραγγελία, όπως η κατάτμηση απαρίθμηση, μελετούνται στη Συνδυαστική.
1 Ιστορία των φυσικών αριθμών και το καθεστώς του μηδενός
6.2 Κατασκευές βασισμένες στη θεωρία των συνόλων
Οι φυσικοί αριθμοί είχαν τις ρίζες τους στις λέξεις που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν τα πράγματα[εκκρεμεί παραπομπή],ξεκινώντας με τον αριθμό 1.
Η πιο πρωτόγονη μέθοδος που αντιπροσωπεύει ένα φυσικό αριθμό είναι να βάλεις κάτω μια κουκκίδα για κάθε αντικείμενο. Αργότερα, μια σειρά από αντικείμενα που μπορούσαν να ελέγχονται για την ισότητα, το πλεόνασμα ή το έλλειμμα, διαγράφοντας μια τελεία για κάθε αντικείμενο στο σύνολο.
Το πρώτο μεγάλο βήμα προς την αφαίρεση ήταν η χρήση των συστημάτων αρίθμησης για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς. Αυτό επέτρεψε να αναπτυχθούν συστήματα για την καταγραφή μεγάλων αριθμών. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ανέπτυξαν ένα ισχυρό σύστημα αρίθμησης με διάφορα ιερογλυφικά για το 1, 10, αλλά και για όλες τις δυνάμεις του 10 έως και πάνω από 1 εκατομμύριο. Μια πέτρα λιθοτεχνίας από Καρνάκ , που χρονολογείται γύρω στο 1500 π.Χ. και τώρα βρίσκεται στο μουσείο του Λούβρου στο Παρίσι, απεικονίζει το 276 ως 2 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, και 6, και ομοίως για τον αριθμό 4.622. Οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα αξιόλογο σύστημα αρίθμησης που βασιζόταν κυρίως στους αριθμούς 1 και 10.[εκκρεμεί παραπομπή]
Ένα μεταγενέστερο βήμα ήταν η ανάπτυξη της ιδέας ότι το 0 μπορεί να θεωρηθεί ως ένας αριθμός, με το δικό του ψηφίο. Η χρήση του ψηφίου 0 με αξιολογικό συμβολισμό (μέσα σε άλλους αριθμούς) χρονολογείται ήδη από το 700 π.Χ. από τους Βαβυλώνιους, αλλά παραλείπεται ένα τέτοιο ψηφίο όταν θα ήταν το τελευταίο σύμβολο στον αριθμό. Οι πολιτισμοί των Olmec και των Maya χρησιμοποίησαν το 0 ως ξεχωριστό αριθμό ήδη από τον 1ο αιώνα π.Χ. , αλλά η χρήση αυτή δεν είχε εξαπλωθεί πέρα από την Κεντρική Αμερική.[εκκρεμεί παραπομπή] Η χρήση του ψηφίου 0 στη σύγχρονη εποχή ξεκίνησε από την Ινδό μαθηματικό Brahmagupta το 628. Ωστόσο, το 0 είχε χρησιμοποιηθεί ως ένας αριθμός στα μεσαιωνικά (για τον υπολογισμό της ημερομηνίας του Πάσχα), αρχίζοντας από τον Dionysius Exiguus το 525, χωρίς να συμβολίζεται από ένα ψηφίο (σύμφωνα με τους Λατινικούς αριθμούς δεν υπήρχε ένα σύμβολο για το 0) αντί του συμβόλου χρησιμοποιήθηκε το nulla ή τοnullae, γενική της nullus, η λατινική λέξη "τίποτα", χρησιμοποιήθηκε για να υποδηλώσει μια τιμή 0. [1]
Ανεξάρτητες μελέτες, επίσης, εμφανίστηκαν περίπου την ίδια ώρα στην Ινδία, Κίνα, και στην Κεντρική Αμερική.[εκκρεμεί παραπομπή]
Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν N ή N {\displaystyle \mathbb {N} }   (Ένα N στο μαυροπίνακα, εμφανίζεται ως ℕ σε Unicode) για να αναφερθούν στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Αυτό το σύνολο είναι αριθμητικά άπειρο: είναι άπειρο αλλά μετρήσιμο εξ ορισμού. Αυτό εκφράζεται επίσης λέγοντας ότι ο απόλυτος αριθμός του συνόλου είναι aleph-null ( ℵ 0 ) {\displaystyle (\aleph _{0})}  .[4]
Για να είμαστε σαφείς για το αν το 0 περιλαμβάνεται ή όχι, μερικές φορές ένα ευρετήριο (ή εκθέτης) προστίθεται στο "0", στην πρώτη περίπτωση, ένας εκθέτης " ∗ {\displaystyle *}  " στη δεύτερη περίπτωση προστίθεται ο δείκτης " 1 {\displaystyle 1}  "
N 0 = N 0 = { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}}
Μερικοί συγγραφείς που αποκλείουν το 0 από τους φυσικούς μπορεί να διακρίνουν το σύνολο των θετικών ακέραιων παραπέμποντας στους τελευταίους, σαν φυσικούς αριθμούς με το μηδέν, ακέραιους αριθμούς, ή αριθμούς μέτρησης, συμβολίζοντάς τους με W. Άλλοι χρησιμοποιούν το P συμβολισμό για τους θετικούς ακέραιους αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης αυτού με τους πρώτους αριθμούς. } Σε αυτή την περίπτωση, μια δημοφιλής σημειογραφία είναι να χρησιμοποιήσετε ένα P για θετικούς ακέραιους (το οποίο εκτείνεται στη χρήση του N για αρνητικούς ακεραίους, και το Z για το 0.
Βασικοί θεωρητικοί δηλώνουν συχνά το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών συμπεριλαμβανομένου του 0 με το πεζό ελληνικό γράμμα ω. Αυτό απορρέει από την αναγνώριση ενός τακτικού αριθμού από το σύνολο των τακτικών αριθμών.
Η πρόσθεση (+) και ο πολλαπλασιασμός (×) για τους φυσικούς αριθμούς έχουν αρκετές αλγεβρικές ιδιότητες:
Είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και πολλαπλασιασμό: για όλους τους φυσικούς αριθμούς a και b, και τα δύο a + b και a × b είναι φυσικοί αριθμοί.
Προσεταιριστικότητα: : για όλους τους φυσικούς αριθμούς a, b, και c, a + (b + c) = (a + b) + c και a × (b × c) = (a × b) × c.
Αντιμεταθετικότητα: για όλους τους φυσικούς αριθμούς a και b, a + b = b + a και a × b = b × a.
Ύπαρξη του μοναδιαίου στοιχείου για κάθε φυσικό αριθμό a, που στην πράξη της πρόσθεσης είναι το 0 έτσι ώστε a + 0 = a και στον πολλαπλασιασμό το 1 έτσι ώστε a × 1 = a.
Επιμεριστικότητατου πολλαπλασιασμού πάνω προσθήκη για όλους τους φυσικούς αριθμούς a, b, καιc, a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Χωρίς μηδενικούς διαιρέτες: Εάν a και b είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a × b = 0, τότε a = 0 ή b = 0 ή a = b = 0.
Κάποιος μπορεί να καθορίσει αναδρομικά μια πρόσθεση για τους φυσικούς αριθμούς θέτοντας a + 0 = a και a + S(b) = S(a + b) για όλα τα a, b. Εδώ τοS πρέπει να διαβαστεί ως "διάδοχος". Αυτό μετατρέπει τους φυσικούς αριθμούς (N, +) σε ένα αντιμεταθετικό μονοειδές με ουδέτερο στοιχείο το 0, το λεγόμενο ελεύθερο μονοειδές ικανοποιεί την ιδιότητα ακύρωσης και μπορεί να ενσωματωθεί σε μια ομάδα (με τη μαθηματική έννοια της ομάδας λέξης ). Η μικρότερη ομάδα που περιέχει τους φυσικούς αριθμούς είναι οι ακέραιοι.
Εάν το 1 ορίζεται ως S(0), στη συνέχεια b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). Δηλαδή, b + 1είναι απλώς αμέσως επόμενο του b.
Αναλόγως, δεδομένου ότι η προσθήκη έχει οριστεί, ένας πολλαπλασιασμός × μπορεί να οριστεί μέσω a × 0 = 0 καιa × S(b) = (a × b) + a. Αυτό μετατρέπεται (N*, ×) σε ένα ελεύθερο αντιμεταθετικό μονοειδές με ουδέτερο στοιχείο το 1. Μια γεννήτρια για αυτό το μονοειδές είναι το σύνολο των πρώτων αριθμών. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι συμβατές πράξεις, οι οποίες εκφράζονται στην επιμεριστική ιδιότητα: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Αυτές οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού κάνουν τους φυσικούς αριθμούς ένα στιγμιότυπο του commutative semiring. Τα Semirings είναι μια αλγεβρική γενίκευση των φυσικών αριθμών όπου ο πολλαπλασιασμός δεν είναι απαραίτητα ευμετάβλητος. Η έλλειψη από αντίστροφες προσθέσεις, κάτι το οποίο είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι το N δεν είναι κλειστό υπό αφαίρεση, σημαίνει ότι το N δεν είναι δακτύλιος; αλλά είναι μια semiring.
Εάν οι φυσικοί αριθμοί λαμβάνονται ως "εκτός του 0", και "ξεκινώντας από το 1", οι ορισμοί των + και × είναι όπως παραπάνω,εκτός του ότι αρχίζουν με a + 1 = S(a) καιa × 1 = a.
Για το υπόλοιπο του άρθρου, παρατιθέμενες μεταβλητές όπως η ab αναφέρουν το γινόμενο a × b.
Η απόλυτη σειρά για τους φυσικούς αριθμούς ορίζεται αφήνοντας a ≤ b αν και μόνο αν υπάρχει ένας άλλος φυσικός αριθμός c με a + c = b. Η σειρά αυτή είναι συμβατή με τις αριθμητικές πράξεις με την εξής έννοια: αν a, b και c a είναι φυσικοί αριθμοί και a ≤ b, τότε a + c ≤ b + c και ac ≤ bc. Μια σημαντική ιδιότητα των φυσικών αριθμών είναι ότι είναι καλά οργανωμένοι: κάθε μη-κενό σύνολο των φυσικών αριθμών έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο. Η κατάταξη μεταξύ των καλά διατεταγμένων συνόλων εκφράζεται από έναν τακτικό αριθμό; για τους φυσικούς αριθμούς αυτό εκφράζεται ωςω.
Ενώ δεν είναι σε γενικές γραμμές δυνατόν να διαιρέσει κανείς ένα φυσικό αριθμό με έναν άλλο και να πάρει ένα φυσικό αριθμό ως αποτέλεσμα, η διαδικασία της διαίρεσης με το υπόλοιπο για κάθε δύο φυσικούς αριθμούς a και b με b ≠ 0 υπάρχουν φυσικοί αριθμοί q και r τέτοιοι ώστε
a = bq + r and r < b.
Ο αριθμός q ονομάζεται το πηλίκο και r ονομάζεται το υπόλοιπο της διαίρεσης του a από το b. Οι αριθμοί q και r προσδιορίζονται μονοσήμαντα από a και b. Η Ευκλείδεια διαίρεση είναι το κλειδί για πολλές άλλες ιδιότητες της (διαιρετότητας), αλγόριθμους (όπως ο αλγόριθμος του Ευκλείδη), και ιδέες σε αριθμητικές θεωρίες.
Δύο γενικεύσεις των φυσικών αριθμών προκύπτουν από τις δύο χρήσεις:
Ένας φυσικός αριθμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει το μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου: Γενικότερα ένας απόλυτος αριθμός είναι ένα μέτρο για το μέγεθος ενός συνόλου επίσης κατάλληλο για άπειρα σύνολα: αυτό αναφέρεται σε μια έννοια του "μεγέθους" τέτοια όπως, εάν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σε δύο σύνολα που έχουν το ίδιο μέγεθος. Το σύνολο των φυσικών αριθμών και σε οποιαδήποτε άλλο αριθμήσιμο άπειρο σύνολο έχει πληθάριθμο aleph-null ( ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}  ).
Γλωσσικοί τακτικοί αριθμοί "πρώτοι", "δεύτεροι", "τρίτοι" μπορούν να αποδοθούν στα στοιχεία ενός πλήρως διατεταγμένου πεπερασμένου συνόλου, αλλά και στα στοιχεία από τις καλά οργανωμένες μετρήσιμες άπειρες σειρές, όπως το σύνολο των φυσικών αριθμών. Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε τακτικούς αριθμούς που περιγράφουν την θέση ενός στοιχείου σε ένα καλά οργανωμένο σύνολο γενικά. Ένας τακτικός αριθμός χρησιμοποιείται επίσης για να περιγράψει το "μέγεθος" ενός καλά οργανωμένου συνόλου, κατά μία έννοια διαφορετική από cardinality: αν υπάρχει ένας ισομορφισμός ανάμεσα σε δύο καλά ορισμένα σύνολα τότε έχουν τον ίδιο τακτικό αριθμό. Ο πρώτος τακτικός αριθμός που δεν είναι φυσικός αριθμός εκφράζεται ως ω {\displaystyle \omega }  ; Αυτός είναι επίσης ο τακτικός αριθμός του συνόλου των φυσικών αριθμών.
Για πεπερασμένα καλά διατεταγμένα σύνολα, υπάρχει ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ τακτικών και καρδινάλιων αριθμών:ως εκ τούτου μπορούν και οι δύο να εκφράζονται από το ίδιο φυσικό αριθμό, το πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Αυτός ο αριθμός μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει τη θέση ενός στοιχείου σε μία μεγαλύτερη πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία.
Οι υπερφυσικοί αριθμοί είναι μέρος ενός μη καθιερωμένου μοντέλου της αριθμητικής λόγω του Skolem.
Άλλες γενικεύσεις συζητούνται στο άρθρο σχετικά με τους αριθμούς.
Ιστορικά, ο ακριβής μαθηματικός ορισμός των φυσικών αριθμών αναπτύχθηκε με κάποια δυσκολία. Τα αξιώματα Peano έχουν τις προϋποθέσεις που αναφέρεται ότι οποιοσδήποτε επιτυχής ορισμός πρέπει να πληροί. Ορισμένες κατασκευές δείχνουν ότι, με δεδομένη τη θεωρία των συνόλων, τα μοντέλα του Peano αξιώματα πρέπει να υπάρχει.
Τα αξιώματα Πεάνο δίνουν μια τυπική θεωρία των φυσικών αριθμών. Τα αξιώματα είναι:
Υπάρχει ένας φυσικός αριθμός 0
Κάθε φυσικός αριθμός α έχει ένα φυσικό διάδοχο αριθμό, που συμβολίζεται με S(a). Διαισθητικά, S(a) είναι ένα a + 1.
Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός διάδοχος του οποίου είναι το 0.
Το S είναι injective, δηλαδή οι διακριτοί φυσικοί αριθμοί έχουν διακριτούς διαδόχους: αν a ≠ b, τότε S(a) ≠ S(b).
Εάν ένα ακίνητο κατέχεται από 0 και από τον διάδοχο του κάθε φυσικού αριθμού που διαθέτει, τότε διακατέχεται από όλους τους φυσικούς αριθμούς. (Αυτό το αξίωμα διασφαλίζει ότι η απόδειξη τεχνικής της μαθηματικής επαγωγής είναι έγκυρη.)
Το "0" στον παραπάνω ορισμό δεν χρειάζεται να αντιστοιχεί στον αριθμό μηδέν. "0" σημαίνει απλά κάποιο αντικείμενο που όταν συνδυάζεται με την κατάλληλη συνάρτηση διαδοχής, ικανοποιεί τα αξιώματα Peano. Όλα τα συστήματα που ικανοποιούν αυτά τα αξιώματα είναι στοιχειωδώς ισοδύναμα σε λογική πρώτης τάξης, όμως, υπάρχουν μοντέλα για τα αξιώματα του Peano που είναι μη μετρήσιμα. Αυτά ονομάζονται μη τυποποιημένα πρότυπα για την αριθμητική και είναι εγγυημένα από το Upward Löwenheim-Skolem θεώρημα. Το όνομα "0" χρησιμοποιείται εδώ για το πρώτο στοιχείο (ο όρος "στοιχείο μηδενικής» έχει προταθεί να αφήσει σαν "πρώτο στοιχείο" το "1", "δεύτερο στοιχείο" το "2", κλπ.), το οποίο είναι το μόνο στοιχείο που δεν είναι διάδοχος. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί που αρχίζουν με 1 πληρούν επίσης τα αξιώματα, εάν το σύμβολο 0 ερμηνεύεται ως ο φυσικός αριθμός 1, το σύμβολο S(0) σαν τον αριθμό 2, κλπ. Στην πραγματικότητα, στην αρχική σύνθεση του Peano, ο πρώτος φυσικός αριθμός ήταν το 1.
Κατασκευές βασισμένες στη θεωρία των συνόλωνΕπεξεργασία
Μια τυπική κατασκευή στη θεωρία των συνόλων,μια ειδική περίπτωση της von Neumann ordinal τακτικής κατασκευής, είναι να καθορίσει τους φυσικούς αριθμούς ως εξής:
Ορισμός 0 := { }, το κενό σύνολο,
και να καθορίσει S(a) = a ∪ {a} για κάθε σύνολο a. S(a) είναι ο διάδοχος του a, και S ονομάζεται η λειτουργία διαδόχου.
Με το αξίωμα του απείρου, το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών υπάρχει και είναι η τομή όλων των συνόλων που περιέχουν το 0, τα οποία είναι κλειστά κάτω από αυτή τη λειτουργία διαδόχου. Αυτό ικανοποιεί τότε τα αξιώματα Πεάνο.
Κάθε φυσικός αριθμός είναι τότε ίσος με το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών λιγότερο από αυτό, έτσι ώστε
0 = { },
1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}, ...
n = {0, 1, 2, ..., n−2, n−1} = {0, 1, 2, ..., n−2,} ∪ {n−1} = {n−1} ∪ (n−1) = S(n−1)
και ούτω καθεξής. Όταν ένας φυσικός αριθμός χρησιμοποιείται ως ένα σύνολο, αυτό είναι συνήθως αυτό που εννοείται. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, υπάρχουν ακριβώς n στοιχεία (σε αφελή έννοια) στο σύνολο n και n ≤ m (σε αφελή έννοια) αν και μόνο αν n είναι ένα υποσύνολο του m.
Επίσης, με τον ορισμό αυτό, διάφορες πιθανές ερμηνείες των συμβολισμών όπως Rn (n- έναντι αντιστοιχίσεις του n σε R) συμπίπτουν.
Ακόμα και αν κάποιος δεν αποδέχεται το αξίωμα του απείρου και ως εκ τούτου δεν μπορεί να δεχθεί ότι το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών υπάρχει, είναι δυνατόν να ορίσουμε τι σημαίνει να είναι ένα από αυτά τα σύνολα. Ένα σύνολο n είναι ένας φυσικός αριθμός που σημαίνει ότι είναι είτε 0 (κενό) ή ένα διάδοχο, και το καθένα από τα στοιχεία του είναι είτε 0 είτε ο διάδοχος του άλλου από τα στοιχεία του.
Παρόλο που η τυπική κατασκευή είναι χρήσιμη, δεν είναι η μόνη δυνατή κατασκευή. Για παράδειγμα:
θα μπορούσε κανείς να ορίσει 0 = { }
0 = { },
1 = {0} = {{ }},
2 = {1} = {{{ }}},
n = {n−1} = {{{…}}}, κ.λ.π.
Κάθε φυσικός αριθμός είναι τότε ίσος με το σύνολο του φυσικού αριθμού που προηγείται.
Είναι επίσης δυνατόν να καθοριστεί 0 = {{ }}
καιS(a) = a ∪ {a}
0 = { },
1 = {0} = {{ }},
2 = {1} = {{{ }}},
n = {n−1} = {{{…}}},κ.λ.π.
Ο παλαιότερος και πιο «κλασικός» συνολικός θεωρητικός ορισμός των φυσικών αριθμών είναι ο ορισμός που συνήθως αποδίδεται στον Γκότλομπ Φρέγκε και στον Μπέρτραντ Ράσελ του οποίου κάθε συγκεκριμένος φυσικός αριθμός n ορίζεται ως το σύνολο όλων των συνόλων με n στοιχεία..[5][6] Αυτό μπορεί να εμφανίζεται κυκλικό, αλλά μπορεί να γίνει με προσοχή αυστηρό. Ορίστε 0 ως {{ }} (προφανώς το σύνολο όλων των συνόλων με μηδενικά στοιχεία) και να καθορίσει S(A) (για κάθε σύνολο Α), όπως {x ∪ {y} | x ∈ A ∧ y ∉ x}.Το 0 τότε θα είναι το σύνολο όλων των συνόλων με μηδενικά στοιχεία, 1 = S(0)θα είναι το σύνολο όλων των συνόλων με ένα στοιχείο, 2 = S(1) είναι το σύνολο όλων των συνόλων με δύο στοιχεία, και ούτω καθεξής . Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών μπορεί να οριστεί ως η τομή όλων των συνόλων που περιέχουν 0 ως ένα στοιχείο και να κλείσει κάτω απόS (δηλαδή, εάν το σύνολο περιέχει ένα στοιχείο n, περιέχει επίσης S(n)). Κάποιος θα μπορούσε επίσης να καθορίσει "πεπερασμένο" ανεξάρτητα από την έννοια του «φυσικού αριθμού", και στη συνέχεια να ορίσει τους φυσικούς αριθμούς ως κλάσεις ισοδυναμίας των πεπερασμένων συνόλων σύμφωνα με την σχέση ισοδυναμίας της equipollence. Ο ορισμός αυτός δεν λειτουργεί στα συνήθη συστήματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων , επειδή οι συλλογές που συμμετέχουν είναι πολύ μεγάλες (δεν θα λειτουργήσει σε οποιαδήποτε θεωρία των συνόλων με το αξίωμα του διαχωρισμού );αλλά κάνει δουλειά σε Νέα Ιδρύματα (και σχετίζονται με τα συστήματα που είναι γνωστό ότι είναι σχετικά συνεπή), και σε κάποια συστήματα της θεωρίας τύπου.
Ο Βίτγκενσταϊν στο Tractatus Logico-Philosophicus (1921) έγραφε «ο αριθμός είναι ο εκθέτης μιας πράξης», δίνοντας έτσι ένα ριζικά διαφορετικό νόημα στους φυσικούς αριθμούς: ο αριθμός δεν είναι σύνολο κάποιων στοιχείων αλλά επανάληψη κάποιας πράξης, δηλαδή κάποιας συνάρτησης. Ο Τσερτς (Church) το 1933 αναδιατυπώνει την ιδέα αυτή, στα πλαίσια του λαμδαλογισμού, ορίζοντας τους φυσικούς αριθμούς μέσα από τα αριθμιακά Τσερτς (Church numerals) ως εξής:
n ¯ := λ f x .   f ( n ) ( x ) {\displaystyle {\bar {n}}:=\lambda fx.\ f^{(n)}(x)}
Έτσι, το αριθμιακό n ¯ {\displaystyle {\bar {n}}}  , δηλαδή ο φυσικός αριθμός n {\displaystyle n}  , εκφράζεται μέσα από τις n {\displaystyle n}   διαδοχικές εφαρμογές μιας πράξης f {\displaystyle f}   σε ένα όρισμα x. Μια απλή και εύχρηστη εκδοχή αυτής της ιδέας είναι ο επαγωγικός ορισμός των φυσικών αριθμών με χρήση αποκλειστικά του μηδέν 0 {\displaystyle 0}   και της συνάρτησης διαδοχής S {\displaystyle S}  :
0 ∈ N ,     n ∈ N ⇒ S ( n ) ∈ N {\displaystyle 0\in \mathbb {N} ,\ \ n\in \mathbb {N} \Rightarrow S(n)\in \mathbb {N} }
Δηλαδή, ο φυσικός αριθμός n {\displaystyle n}   βλέπεται εδώ ως η εφαρμογή της συνάρτησης διαδοχής S {\displaystyle S}   στο μηδέν, n {\displaystyle n}   διαδοχικές φορές:
n := S ( S ( ⋯ ( S ⏟ n ( 0 ) ) ) ) = S n ( 0 ) {\displaystyle n:=\underbrace {S(S(\cdots (S} _{n}(0))))=S^{n}(0)}
↑ Michael L. Gorodetsky (25 Αυγούστου 2003). «Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius». Hbar.phys.msu.ru. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 26 Δεκεμβρίου 2016. Ανακτήθηκε στις 13 Φεβρουαρίου 2012.
↑ Στοιχεία του Ευκλείδη[1].
↑ This is common in texts about Real analysis. See, for example, Carothers (2000) p.3 or Thomson, Bruckner and Bruckner (2000), p.2.
↑ Weisstein, Eric W., "Cardinal Number" από το MathWorld.
↑ Die Grundlagen der Arithmetik: Αρχειοθετήθηκε 2007-09-26 στο Wayback Machine. eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (1884). Breslau.
↑ Whitehead, Alfred North, and Bertrand Russell. Principia Mathematica, 3 vols, Cambridge University Press, 1910, 1912, and 1913. Second edition, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Abridged as Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1962.