el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el en el el en el el en el el el el el el en el el el el en el el en ja el en el el el el ru el el el el el el el el el el el el en en en en el el el el en el el en el el el el el el en el el en el el en el el en el el el el en el el en el el el el el el el el en it sv fr en en la en it hu sq it nl el el el en el el en el el el en el en en el en el el el el el en el el el en el el en el en el el en el el el el el en el el el el el fr en en el en fr el en el en el el el en el en el el el el en el el en en el en en en en en el el el el en el en el el el el el el el el el el el el el el el hu el el el el el el el el en el el el el el el el el el en el el en el el el fr el el en el el el el el el en el en en el en en el el el el el el el en en en el el en el en el en en el el en el el el el el el el el el el el el el el el
Αυτό το λήμμα έχει μεταφραστεί από άλλη γλώσσα και χρειάζεται επιμέλεια από κάποιον με καλή γνώση της γλώσσας.
Παρακαλούμε βοηθήστε στην βελτίωση της μετάφρασής του.
Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε: Πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.
Για χιλιάδες χρόνια, μαθηματικοί προσπάθησαν να επεκτείνουν την κατανόησή τους πάνω στο π, κάποιες φορές με τον υπολογισμό της τιμής του με υψηλό βαθμό ακρίβειας. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Αρχιμήδης και ο Liu Hui χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασιζόμενες σε πολύγωνα, για να υπολογίσουν την αξία του π. Περί τον 15ο αιώνα νέοι αλγόριθμοι βασιζόμενοι σε άπειρες σειρές υπολογίζουν τον αριθμό π με μεγαλύτερη ακρίβεια και χρησιμοποιούνται από μαθηματικούς όπως ο Madhava της Sangamagrama, ο Ισαάκ Νιούτον, ο Λέοναρντ Όιλερ, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, και ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν.
Τον 20ό και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί ανακάλυψαν νέες προσεγγίσεις που, όταν συνδυάζονται με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ, επεκτείνουν τη δεκαδική απεικόνιση του π πάνω από 10 τρισεκατομμύρια (1013) ψηφία (2011). Οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν γενικά περισσότερα από 40 ψηφία του π και έτσι το πρωταρχικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η ανθρώπινη επιθυμία να σπάει ρεκόρ. Οι πολύπλοκοι υπολογισμοί που εμπλέκονται στον υπολογισμό των ψηφίων του π έχουν χρησιμοποιηθεί για τη δοκιμή υπερυπολογιστών, καθώς και αλγορίθμων πολλαπλασιασμού υψηλής ακρίβειας.
2.6 Εποχή υπολογιστών και επαναληπτικοί αλγόριθμοι
2.7 Κίνητρα για υπολογισμό του π
Η περιφέρεια του κύκλου είναι ελαφρώς περισσότερη από τρεις φορές όσο η διάμετρός του. Η ακριβής αναλογία ονομάζεται π.
Ως π συχνά ορίζεται το πηλίκο της περιφέρειας C {\displaystyle C}   ενός κύκλου προς την διάμετρό του d {\displaystyle d}  :[1]
π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}
Ο λόγος C d {\displaystyle {\frac {C}{d}}}   είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου. Για παράδειγμα, αν ένας κύκλος έχει διπλάσια διάμετρο, αυτός θα έχει και διπλάσια περιφέρεια, διατηρώντας το λόγο C d {\displaystyle {\frac {C}{d}}}   σταθερό. Αυτός ο ορισμός του π είναι έγκυρος μόνο σε επίπεδη (Ευκλείδεια) Γεωμετρία, ενώ αν επεκταθεί σε κυρτές (Μη-Ευκλείδειες) Γεωμετρίες ο λόγος δεν παραμένει σταθερός.[1] Υπάρχουν άλλοι ορισμοί του π με βάση τον απειροστικό λογισμό ή την Τριγωνομετρία που δεν βασίζονται σε κύκλο. Ένας τέτοιος ορισμός είναι: Το π είναι το διπλάσιο του μικρότερο θετικού x {\displaystyle x}   για συν(x) ισούται με 0.[1][2]
Ο Λέοναρντ Όιλερ διέδωσε τη χρήση του ελληνικού γράμματος π στα έργα που δημοσίευσε το 1736 και το 1748
Το π είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι αυτός δεν μπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο ακεραίων, όπως 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}}   ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγισή του.[7] Δεδομένου ότι το π είναι άρρητος, έχει έναν άπειρο αριθμό ψηφίων σε δεκαδική αναπαράσταση, και αυτό δεν τελειώνει με μια απείρως επαναλαμβανόμενη σειρά ψηφίων. Υπάρχουν αρκετές αποδείξεις ότι το π είναι άρρητος οι οποίες γενικά απαιτούν λογισμό και επικαλούνται την εις άτοπον απαγωγή. Ο βαθμός στον οποίο μπορεί το π να είναι προσεγγιστικά ρητός αριθμός (που ονομάζεται το μέτρο της αρρητότητας) δεν είναι ακριβώς γνωστό· εκτιμήσεις καθόρισαν ότι το μέτρο της αρρητότητας είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του e {\displaystyle e}   ή ln(2), αλλά μικρότερο από το μέτρο των αριθμών του Liouville.[8]
Επειδή ο π είναι υπερβατικός αριθμός, ο Τετραγωνισμός του κύκλου δεν είναι δυνατός σε ένα πεπερασμένο πλήθος βημάτων χρησιμοποιώντας τα κλασικά εργαλεία του κανόνα και διαβήτη.
Ο π είναι ένας υπερβατικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει πως δεν είναι λύση κάποιου μη-σταθερού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές, όπως x 5 120 − x 3 6 + x = 0. {\displaystyle \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}\,-\,{\frac {x^{3}}{6}}\,+\,x\,=\,0.}  [9][10]Η υπέρβαση του π έχει δύο σημαντικές επιπτώσεις: Πρώτον, ο π δεν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε συνδυασμό ρητών και τετραγωνικών αριθμών ή ν-ιοστων ριζών όπως 31 3 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}}}   ή 10 2 . {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}.}   Δεύτερον, δεδομένου ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί κάποιος υπερβατικός με κανόνα και διαβήτη, δεν είναι δυνατόν να "τετραγωνιστεί ο κύκλος". Με άλλα λόγια, είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο του οποίου η περιοχή είναι ίση προς την έκταση ενός δεδομένου κύκλου.[11] Ο τετραγωνισμός του κύκλου ήταν ένα από τα σημαντικότερα γεωμετρικά προβλήματα της κλασικής αρχαιότητας.[12] Ερασιτέχνες μαθηματικοί στη σύγχρονη εποχή μερικές φορές προσπάθησαν να τετραγωνίσουν τον κύκλο, και μερικές φορές ισχυρίζονταν επιτυχία, παρά το γεγονός ότι είναι αδύνατο.[13]
Τα ψηφία του π δεν έχουν κάποιο προφανές πρότυπο και δεν έχουν περάσει εξετάσεις για στατιστική τυχαιότητα περιλαμβανομένων δοκιμών για ομαλότητα· ένας αριθμός απείρου μήκους ονομάζεται κανονικός όταν όλες οι πιθανές ακολουθίες των ψηφίων (από κάθε συγκεκριμένο μήκος) εμφανίζονται εξίσου συχνά.[14] Αυτή η υπόθεση ότι το π είναι κανονικός δεν έχει αποδειχθεί ή διαψευσθεί .[14] Μετά την έλευση των υπολογιστών, ένα μεγάλος αριθμός ψηφίων του π ήταν διαθέσιμος για να εκτελέσουμε στατιστικές αναλύσεις. Ο Yasumasa Kanada έχει εκτελέσει λεπτομερειακώς στατιστικές αναλύσεις για τα δεκαδικά ψηφία του π· για παράδειγμα, η συχνότητα των δέκα ψηφίων 0 έως 9 υποβλήθηκαν σε στατιστική σημασία δοκιμές, και δεν βρέθηκε κάποια απόδειξη για ένα μοτίβο.[15] Παρά το γεγονός ότι τα ψηφία του π πέρασαν από στατιστικούς ελέγχους για την τυχαιότητα, ο π περιέχει ορισμένες ακολουθίες ψηφίων που ενδέχεται να εμφανιστούν μη-τυχαία στους μη-μαθηματικούς, όπως το σημείο Feynman, που ξεκινά από το 762ο δεκαδικό ψηφίο της δεκαδικής απεικόνισης του π.[16]
Η σταθερά π αντιπροσωπεύεται σε αυτό το μωσαϊκό έξω από το μαθηματικό κτίριο στο Technische Universität Berlin.
Όπως όλους τους άρρητους αριθμούς, ο π δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως απλό κλάσμα. Αλλά κάθε άρρητος αριθμός, συμπεριλαμβανομένου του π, μπορεί να εκπροσωπηθεί από μια άπειρη σειρά ένθετων κλασμάτων, που ονομάζεται συνεχόμενο κλάσμα:
π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
Η περικοπή του συνεχόμενου κλάσματος σε οποιοδήποτε σημείο δημιουργεί ένα κλάσμα, που παρέχει μια προσέγγιση για την π· δύο τέτοια κλάσματα ( 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}}   και 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}}  ) έχουν χρησιμοποιηθεί ιστορικά για την προσέγγιση της σταθεράς. Κάθε προσέγγιση με αυτό τον τρόπο είναι πιο ορθολογική προσέγγιση·δηλαδή, κάθε μια είναι πιο κοντά στην π από οποιοδήποτε άλλο κλάσμα με το ίδιο ή με ένα μικρότερο παρονομαστή.[17] Αν και το απλό το συνεχιζόμενο κλάσμα για π (φαίνεται παραπάνω) δεν εμφανίζουν ένα μοτίβο,[18] οι μαθηματικοί έχουν ανακαλύψει αρκετές γενικεύσεις συνεχιζόμενων κλασμάτων που κάνουν , όπως:[19]
π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + 9 2 2 + ⋱ = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + 9 2 6 + ⋱ = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + ⋱ {\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
Περιλαμβάνει ορισμένες προσεγγίσεις του π:
Κλάσματα: Κατά προσέγγιση κλάσματα επαλαμβανόμενου (κατά προσέγγιση αυξανόμενης ακρίβειας) 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}}  , 333 106 {\displaystyle {\frac {333}{106}}}  , 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}}  , 52163 16604 {\displaystyle {\frac {52163}{16604}}}  , και 103993 33102 {\displaystyle {\frac {103993}{33102}}}  .[17]
Δεκαεξαδικό: Μια βάση προσέγγισης από 16 έως 20 ψηφία είναι 3.243 F , 6 A 88 , 85 A 3 , 08 D 3 , 1319.... {\displaystyle 3.243F,6A88,85A3,08D3,1319....}  [21]
Εξηκονταδικό: Μια βάση 60 προσέγγιση είναι 3:8:29:44:1
Η Μεγάλη Πυραμίδα στην Γκίζα, κατασκευασμένη το 2589–2566 π.Χ., χτίστηκε με περίμετρο περίπου 1760 πήχεις και ύψος περίπου 280 πήχεις· η αναλογία 1760 280 ≈ 6.2857 {\displaystyle {\frac {1760}{280}}\approx 6.2857}   είναι περίπου ίση με 2 π ≈ 6.2832 {\displaystyle 2\pi \approx 6.2832}  . Με βάση αυτή την αναλογία, κάποιοι Αιγυπτιολόγοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας είχαν γνώση του π και σκόπιμα σχεδίασαν την πυραμίδα για να ενσωματώσουν τις αναλογίες του κύκλου.[22] Άλλοι ισχυρίζονται πως η προτεινόμενη πρόταση του π είναι απλώς μια σύμπτωση, επειδή δεν υπάρχει κάποια απόδειξη ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας γνώριζαν το π, και επειδή οι διαστάσεις της πυραμίδας βασίζονται σε άλλους παράγοντες.[23]
Δύο στίχοι της Εβραϊκής Βίβλου (γράφτηκε περίπου στον 8ο και 3ο αιώνα π.Χ.) περιγράφει μια τελετουργική λεκάνη στο Ναό του Σολομώντα με διάμετρο δέκα πήχεις και η περίμετρός του τριάκοντα πήχεις· Οι στίχοι υποδηλώνουν ότι ο π είναι περίπου τρία αν η λεκάνη είναι κυκλική.[27][28] Ο Rabbi Nehemiah εξήγησε τη διαφορά ως λόγω του πάχους του σκάφους. Το πρώιμο έργο της γεωμετρίας, Mishnat ha-Middot, γράφτηκε γύρω στο 150 μ.Χ. και παίρνει την τιμή του π για να είναι τρία και ένα έβδομο.[29]
Αεί (ο) Θεός (ο μέγας) γεωμετρεί
Ο Πλούταρχος αναφέρει στο έργο του Ερωτήσεις "Πῶς Πλάτων ἔλεγε τὸν θεὸν ἀεὶ γεωμετρεῖν."[30] Από αυτή τη φράση προκύπτει ο μνημονικός κανόνας "Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί" όπου ο αριθμός των γραμμάτων δείχνει το αντίστοιχο ψηφίο του αριθμού π, με προσέγγιση 5 δεκαδικών ψηφίων (3,14159).
Το π μπορεί να υπολογιστεί με τον υπολογισμό της περιμέτρου του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου πολυγώνου.
Ο πρώτος καταγεγραμμένος αλγόριθμος για τον αυστηρό υπολογισμό της αξίας του π ήταν μια γεωμετρική προσέγγιση χρησιμοποιώντας πολύγωνα, επεξεργάσθηκε γύρω στο 250 π.Χ. ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης.[31] Αυτός ο πολυγωνικός αλγόριθμος κυριαρχείται για πάνω από 1,000 χρόνια, και ως εκ τούτου το π μερικές φορές αναφέρεται ως «Σταθερά του Αρχιμήδη».[32] Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τα ανώτερα και κατώτερα όρια του π με σχέδιο σε κανονικό εξάγωνο μέσα και έξω από ένα κύκλο και διαδοχικά διπλασιασμού του αριθμού των πλευρών,ώσπου έφτασε στην 96-όψη κανονικού πολυγώνου. Με τον υπολογισμό των μέτρων αυτών των πολυγώνων, απέδειξε ότι 223 71 {\displaystyle {\frac {223}{71}}}   < π <  22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}}   (3.1408 < π < 3.1429).[33] Το άνω όριο του Αρχιμήδη, το 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}}   μπορεί να οδήγησε σε μια ευρέως διαδεδομένη δημοφιλή πεποίθηση ότι το π είναι ίσο με 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}}  .[34] Περίπου το 150 μ.Χ., ο έλληνας-ρωμαίος επιστήμονας Πτολεμαίος, στην Αλμαγέστη, έδωσε μια τιμή για το π το 3.1416, που αυτή μπορεί να αποκτηθεί από τον Απολλώνιο του Περγαίου.[35] Οι μαθηματικές χρήσεις των πολυγωνικών αλγορίθμων φτάνουν τα 39 ψηφία του π το 1630, ένα ρεκόρ που έσπασε μόνο το 1699 όταν άπειρες σειρές χρησιμοποιήθηκαν για την επίτευξη 71 ψηφίων.[36]
Ο Αρχιμήδης έδωσε μια πολυγωνική προσέγγιση για την τιμή του π.
Στην Αρχαία Κίνα, οι τιμές για το π περιλαμβάνονται 3.1547 (γύρω στο 1 μ.Χ.), 10 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}}   (100 μ.Χ, περίπου 3.1623), και 142 45 {\displaystyle {\frac {142}{45}}}   (3ο αιώνα, περίπου 3.1556).[37] Περίπου το 265 μ.Χ., στο Δυτικό Βασίλειο ο μαθηματικός Liu Hui δημιούργησε ένα πολύγωνο με βάση τον επαναληπτικό αλγόριθμο και το χρησιμοποίησε με ένα πολύγωνο 3,072-διπλής όψης, για να πάρει μια τιμή του π την 3.1416.[38][39]Αργότερα ο Liu ανακάλυψε μια ταχύτερη μέθοδο υπολογισμού του π και λαμβάνεται η τιμή 3.14 με ένα πολύγωνο 96-διπλής όψης, αξιοποιώντας το γεγονός ότι οι διάφορες τιμές στην περιοχή των διαδοχικών πολυγώνων αποτελούν μια γεωμετρική σειρά με συντελεστή  4.[38] Ο Κινέζος μαθηματικός Zu Chongzhi, γύρω στο 480 μ.Χ., υπολόγισε ότι π ≈ 355/113 (ένα κλάσμα που πηγαίνει από το όνομα Milü στα Κινέζικα), χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Liu Hui εφαρμόζεται σε ένα πολύγωνο 12,288-πλευρών. Με μια σωστή τιμή για τα επτά πρώτα δεκαδικά ψηφία,αυτή η τιμή 3.141592920... παραμένει η πιο ακριβής προσέγγιση του π διαθέσιμη για τα επόμενα 800 χρόνια.[40]
Ο Ινδός αστρονόμος Aryabhata χρησιμοποίησε την τιμή 3.1416 σε Āryabhaṭīya (499 μ.Χ.).[41] Ο Fibonacci το  1220 υπολόγισε 3.1418 χρησιμοποιώντας μια πολυγωνική μέθοδο, ανεξάρτητη του Αρχιμήδη.[42] Ο Ιταλός συγγραφέας Dante ασχολήθηκε όπως φαίνεται με την αξία 3 + 2 10 ≈ 3.14142 {\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}  .[42]
Ο Πέρσης αστρονόμος Jamshīd al-Kāshī παρήγαγε 16 ψηφία το 1424 χρησιμοποιώντας ένα πολύγωνο με 3×228 πλευρές,[43][44] το οποίο αντιπροσωπεύει για 180 περίπου χρόνια παγκόσμιο ρεκορ.[45] Ο Γάλλος μαθηματικός François Viète το 1579 κατόρθωσε(να παράγει) 9 ψηφία με ένα πολύγωνο με 3×217 πλευρές.[45] Ο Φλαμανδός μαθηματικός Adriaan van Roomen έφτασε στα 15 δεκαδικά ψηφία το 1593.[45] Το 1596, ο Ολλανδός μαθηματικός Ludolph van Ceulen έφτασε τα 20 ψηφία, ένα ρεκορ που αργότερα αυξήθηκε στα 35 ψηφία (ως εκ τούτου, το π ονομαζόταν "αριθμός Ludolphian" στη Γερμανία μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα).[46] Ο Ολλανδός μαθηματικός Willebrord Snellius έφτασε τα 34 ψηφία το 1621,[47] και ο Αυστριακός μαθηματικός Christoph Grienberger έφτασε τα 38 ψηφία το 1630,[48] τα οποία παραμένουν η ακριβέστερη προσέγγιση με μη αυτόματο τρόπο να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τον πολυγωνικό αλγόριθμο.[47]
Η ανάπτυξη τεχνικών των απειροσειρών έφεραν επανάσταση στον υπολογισμό του π, τον 16ο και 17ο αιώνα. Μια άπειρη σειρά είναι το άθροισμα των όρων της άπειρης ακολουθίας sequence.[49] Μια άπειρη σειρά επιτρέπει στους μαθηματικούς να υπολογίσουν το π με μεγαλύτερη ακρίβεια από τον Αρχιμήδη και άλλους που χρησιμοποίησαν μαθηματικές τεχνικές.[49] Αν και άπειρες σειρές εκμεταλλεύτηκαν για τον π κυρίως Ευρωπαίοι μαθηματικοί, όπως ο James Gregory και Gottfried Wilhelm Leibniz, η προσέγγιση πρώτα ανακαλύφθηκε στην Ινδία κάποια στιγμή μεταξύ 1400 και 1500 AD.[50] Η πρώτη γραπτή περιγραφή μιας άπειρης σειράς που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του π τέθηκε σε σανσκριτικό στίχο από τον Ινδό αστρονόμο Nilakantha Somayaji στο Tantrasamgraha, γύρω στο 1500 μ.Χ.[51] Οι σειρές παρουσιάζονται χωρίς απόδειξη, αλλά οι αποδείξεις παρουσιάζονται σε μεταγενέστερο ινδικό μυθιστόρημα, Yuktibhāṣā, από το 1530μ.Χ. περίπου.Ο Nilakantha αποδίδει τη σειρά σε έναν προηγούμενο μαθηματικό Ινδό,τον Madhava της Sangamagrama, που έζησε το  1350 –  1425.[51] Πολλές σειρές που περιγράφονται, συμπεριλαμβανομένων τη σειρά για το ημίτονο, εφαπτομένη, και συνημίτονο, που τώρα αναφέρονται ως Madhava σειρά ή Gregory–Leibniz σειρά.[51] Ο Madhava χρησιμοποίησε άπειρη σειρά για να εκτιμήσει τον π στα 11 δεκαδικά περίπου το 1400, αλλά αυτή την εγγραφή νίκησε γύρω στο 1430 ο Πέρσης μαθηματικός Jamshīd al-Kāshī, χρησιμοποιώντας έναν πολυγωνικό αλγόριθμο.[52]
Ο Νεύτων χρησιμοποίησε την άπειρη σειρά για τον υπολογισμό του π στα 15 ψηφία, αργότερα έγραψε «Ντρέπομαι να σου πω πόσα στοιχεία έφερα με αυτούς τους υπολογισμούς».[53]
Η πρώτη άπειρη ακολουθία που ανακάλυψαν στην Ευρώπη ήταν ένα άπειρο προϊόν (και όχι τόσο ένα άπειρο ποσό, το οποίο χρησιμοποιείται πιο τυπικά στους υπολογισμούς του π) βρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό François VièteFrançois Viète το 1593:[54]
2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋯ {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }     A060294
Τη δεύτερη άπειρη ακολουθία που βρέθηκε στην Ευρώπη, από τον John Wallis το 1655, ήταν επίσης ένα άπειρο προϊόν.[54] Η ανακάλυψη του λογισμού, από τον Άγγλο επιστήμονα Isaac Newton και τον Γερμανό μαθηματικό Gottfried Wilhelm Leibniz το 1660, οδήγησε στην ανάπτυξη πολλών άπειρων σειρών για την προσέγγιση του π.Ο ίδιος ο Newton χρησιμοποιεί μια σειρά arcsin για τον υπολογισμό 15 ψηφίων του π το 1665 ή 1666, αργότερα έγραψε "Ντρέπομαι να σου πω πόσα στοιχεία έφερα με αυτούς τους υπολογισμούς, αφού καμία άλλη χρήση δεν έχουν αυτή την στιγμή."[53]
Στην Ευρώπη, ο τύπος του Madhava ανακαλύφθηκε από τον Σκοτσέζο μαθηματικό James Gregory το 1671, και από τον Leibniz το 1674:[55][56]
arctan ⁡ z = z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ {\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }
Αυτός ο τύπος, σειρά του Gregory–Leibniz, ισούται με π / 4 {\displaystyle \scriptstyle \pi /4}   όταν αξιολογηθεί με z = 1 {\displaystyle z=1}  .[56] Το 1699, ο Άγγλος μαθηματικός Abraham Sharp χρησιμοποίησε τη σειρά Gregory–Leibniz για τον υπολογισμό του π σε 71 ψηφία, σπάζοντας το προηγούμενο ρεκορ των 39 ψηφίων, που ορίστηκε με έναν πολυγωνικό αλγόριθμο.[57] Η σειρά Gregory–Leibniz είναι απλή, αλλά συγκλίνει πολύ αργά (δηλαδή πλησιάζει την απάντηση σταδιακά), έτσι δεν χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς της σύγχρονης π.[58]
Το 1706 ο John Machin χρησιμοποίησε τη σειρά Gregory–Leibniz για την παραγωγή ενός αλγορίθμου που συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα:[59]
π 4 = 4 arctan ⁡ 1 5 − arctan ⁡ 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
Ο Machin έφτασε τα 100 ψηφία του π με αυτό τον τύπο.[60] Άλλοι μαθηματικοί δημιούργησαν παραλλαγές, όπως το γέννημα του τύπου Machin, που χρησιμοποιήθηκαν για να καθορίζουν πολλά διαδοχικά ρεκορ των ψηφίων του π.[60] Ο τύπος Machin-παρέμεινε ως γέννημα η πιο γνωστή μέθοδος υπολογισμού του π στην εποχή της πληροφορικής, και χρησιμοποιήθηκαν για να ορίσουν τις εγγραφές για 250 χρόνια, με αποκορύφωμα μια των 620-ψηφίων προσέγγιση του 1946 από τον Daniel Ferguson – την καλύτερη προσέγγιση που επιτεύχθηκε χωρίς τη βοήθεια της υπολογιστικής διάταξης.[61]
Αξιόλογο ρεκορ ορίστηκε από τον υπολογισμό θαύμα του Zacharias Dase, ο οποίος το 1844 απασχολήθηκε με ένα τύπο γεννήματος Machin-όπως τύπο για τον υπολογισμό 200 δεκαδικών ψηφίων του π στο κεφάλι του ,μετά από εντολή του Γερμανού μαθηματικού Carl Friedrich Gauss.[62] Ο Βρετανός μαθηματικός William Shanks περίφημα πήρε 15 χρόνια για τον υπολογισμό π με 707 ψηφία, αλλά έκανε ένα λάθος στο 528ο ψηφίο του, καθιστώντας όλα τα επόμενα ψηφία λανθασμένα.[62]
Κάποιες άπειρες σειρές για π συγκλίνουν γρηγορότερα από άλλες. Με δεδομένη την επιλογή των δύο σειρών για το π, οι μαθηματικοί θα χρησιμοποιούν γενικά αυτό που συγκλίνει πιο γρήγορα επειδή η ταχύτητα σύγκλισης μειώνει την ποσότητα του υπολογισμού που απαιτούνται για τον υπολογισμό του π οποιαδήποτε δεδομένη ακρίβεια.[63] Μια απλή άπειρη σειρά για π είναι η σειρά Gregory–Leibniz :[64]
π = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 − ⋯ {\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }
Καθώς οι επιμέρους όροι αυτής της άπειρης σειράς προστίθενται στο σύνολο, το σύμολο σταδιακά πλησιάζει στον π, και – με επαρκή αριθμό όρων – μπορεί να πλησιάσει περισσότερο στον π όπως επιθυμείται. Συγκλίνει αρκετά αργά, αν και – μετά από 500,000 όρους, παράγει μόνο πέντε σωστά δεκαδικά ψηφία του π.[65]
Μια άπειρη σειρά για το π (δημοσιεύθηκε από τον Nilakantha τον 15ο αιώνα) που συγκλίνει πιο γρήγορα από τη σειρά του Gregory–Leibniz είναι:[66]
π = 3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 − 4 8 × 9 × 10 + ⋯ {\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }
Ο ακόλουθως πίνακας συγκρίνει τα ποσοστά σύγκλισης από αυτές τις δύο σειρές:
Άπειρη σειρά για π
Μετά τον 1ο όρο
Μετά τον 2ο όρο
Μετά τον 3ο όρο
Μετά τον 4ο όρο
Μετά τον 5ο όρο
π = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 ⋯ . {\displaystyle \scriptstyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots .}
π = 3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 ⋯ . {\displaystyle \scriptstyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots .}
Μετά από πέντε όρους, το άθροισμα της σειράς του Gregory–Leibniz είναι εντός 0.2 της σωστής τιμής του π, ενώ το ποσό της σειράς του Nilakantha είναι εντός 0.002 της σωστής τιμής του π.Η σειρά του Nilakantha συγκλίνει γρηγορότερα και είναι πιο χρήσιμη για τον υπολογισμό των ψηφίων του π. Μια σειρά που συγκλίνει ακόμη πιο γρήγορα περιλαμβάνει τη σειρά σειρά Machin και σειρά Chudnovsky, που αργότερα παρήγαγε 14 σωστά δεκαδικά ψηφία ανά όρο.[63]
Δεν στόχευαν όλες οι μαθηματικές πρόοδοι που αφορούν τον π στην αύξηση της ακρίβειας των προσεγγίσεων. Όταν ο Όιλερ έλυσε το πρόβλημα της Βασιλείας το 1735, βρίσκοντας την ακριβή τιμή του αθροίσματος των αμφότερων τετραγώνων, καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ του π και των πρώτων αριθμών που αργότερα συνέβαλαν στην ανάπτυξη και τη μελέτη της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν:[67]
π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots .}
Ο Ελβετός επιστήμονας Λάμπερτ το 1761 απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος, που σημαίνει ότι δεν είναι ίσος με το πηλίκο δύο ακεραίων αριθμών.[7] Η απόδειξη του Λάμπερτ εκμεταλλεύτηκε μια αναπαράσταση συνεχών κλασμάτων της συνάρτησης εφαπτομένης.[68] Ο Γάλλος μαθηματικός Λεζάντρ απέδειξε το 1794 ότι ο π2 είναι επίσης άρρητος. Το 1882, ο Γερμανός μαθηματικός φον Λίντεμαν απέδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός, επιβεβαιώνοντας την εικασία που έκαναν αμφότεροι ο Λεζάντρ και ο Όιλερ.[69]
Εποχή υπολογιστών και επαναληπτικοί αλγόριθμοιΕπεξεργασία
Ο Τζον φον Νόιμαν ήταν μέλος της ομάδας που πρώτη χρησιμοποίησε ψηφιακό υπολογιστή, τον ENIAC, για να υπολογίσει το π.
Ο επαναληπτικός αλγόριθμος Gauss–Legendre :
a 0 = 1 b 0 = 1 2 t 0 = 1 4 p 0 = 1 {\displaystyle \scriptstyle a_{0}=1\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad p_{0}=1}
a n + 1 = a n + b n 2 b n + 1 = a n b n {\displaystyle \scriptstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}
t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 p n + 1 = 2 p n {\displaystyle \scriptstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}}
Στη συνέχεια μια εκτίμηση για το π δίνεται από
π ≈ ( a n + b n ) 2 4 t n {\displaystyle \scriptstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}}
Η ανακάλυψη των υπολογιστών στα μέσα του 20ού αιώνα αναζωπύρωσαν το κυνήγι για τα ψηφία του π. Οι Αμερικανοί μαθηματικοί Τζων Ρεντς και Levi Smith έφτασαν τα 1.120 ψηφία το 1949 χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή γραφείου.[70] Χρησιμοποιώντας μια άπειρη σειρά της αντίστροφης εφαπτομένης (arctan), μια ομάδα με επικεφαλής τους George Reitwiesner και John von Neumann την ίδια χρονιά ανακάλυψαν 2.037 ψηφία με τον υπολογισμό που έκανε ο υπολογιστής ENIAC σε 70 ώρες του χρόνου του υπολογιστή.[71] Την ιστορία του, επικαλείται πάντα μια σειρά arctan, που έσπαγε επανειλλημένα τα προηγούμενα ρεκορ(7.480 ψηφία το 1957, 10.000 ψηφία το 1958, 100.000 ψηφία το 1961) μέχρι 1 εκατομμύριο ψηφία το 1973.[72]
Δύο επιπλέον εξελίξεις γύρω στο 1980 επιτάχυναν εκ νέου τη δυνατότητα υπολογισμού του π. Πρώτον, η ανακάλυψη νέων επαναληπτικών αλγορίθμων για τον υπολογισμό του π, που ήταν πολύ πιο γρήγοροι από την άπειρη σειρά, και δεύτερον, η εφεύρεση γρήγορου πολλαπλασιασμού αλγορίθμων που θα μπορούσε να πολλαπλασιάσει μεγάλους αριθμούς πολύ γρήγορα .[73] Τέτοιοι αλγόριθμοι είναι ιδιαίτερα σημαντικοί στους σύγχρονους υπολογισμούς του π , επειδή το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου του υπολογιστή είναι αφιερωμένο στον πολλαπλασιασμό.[74] Περιλαμβάνουν τον αλγόριθμο Karatsuba, τον πολλαπλασιασμό Toom–Cook και μεθόδους του μετασχηματισμού Fourier.[75]
Οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι δημοσιεύθηκαν ανεξάρτητα το 1975–1976 από τον Αμερικάνο φυσικό Eugene Salamin και Αυστραλιανό επιστήμονα Richard Brent.[76] Αυτοί απέφευγαν την εξάρτηση από τις άπειρες σειρές. Ένας επαναληπτικός αλγόριθμος επαναλαμβάνει έναν ειδικό υπολογσμό,κάθε επανάληψη με εισροές,τις εκροές από προηγούμενα βήματα, και παράγει ένα αποτέλεσμα με κάθε βήμα που συγκλίνει στην επιθυμητή τιμή. Η προσέγγιση ανακαλύφθηκε στην πραγματικότητα πάνω από 160 χρόνια νωρίτερα από τον Carl Friedrich Gauss, σε αυτό που αποκαλείται τώρα αριθμητική-γεωμετρική σημασιακή μέθοδος (AGM μέθοδος) ή αλγόριθμος Gauss–Legendre.[76] Καθώς τροποποιήθηκε από τους Salamin και Brent, αυτό επίσης αναφέρεται και ως αλγόριθμος Brent-Salamin.
Οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν ευρέως μετά το 1980, επειδή είναι πιο γρήγοροι από τις άπειρες σειρές αλγορίθμων: ενώ οι άπειρες σειρές συνήθως αυξάνουν τον αριθμό των σωστών ψηφίων αθροιστικά σε διαδοχικούς όρους, οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι γενικά πολλαπλασιάζουν τον αριθμό των σωστών ψηφίων σε κάθε βήμα. Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος Brent-Salamin διπλασιάζει τον αριθμό των ψηφίων σε κάθε επανάληψη. Το 1984, τα Καναδά αδέρφια John και Peter Borwein παρήγαγαν έναν επαναληπτικό αλγόριθμο που τετραπλασιάζει τον αριθμό των ψηφίων σε κάθε βήμα; και το 1987, ένας που αυξάνει τον αριθμό των ψηφίων πέντε φορές σε κάθε βήμα.[77] Επαναληπτικές μέθοδοι χρησιμοποιήθηκαν από τον Ιάπωνα μαθηματικό Yasumasa Kanada για να καθορίσουν πολλά ρεκορ για τον υπολογισμό του π μετάξυ 1995 και 2002.[78] Αυτή η ταχεία σύγκλιση έρχεται σε μια τιμή: οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι απαιτούν σημαντικά περισσότερη μνήμη από τις άπειρες σειρές.[78]
Κίνητρα για υπολογισμό του πΕπεξεργασία
Καθώς οι μαθηματικοί ανακάλυψαν νέους αλγόριθμους, και οι υπολογιστές έγιναν διαθέσιμοι, ο αριθμός των γνωστών δεκαδικών ψηφίων του π αυξήθηκαν δραματικά.
Για τους περισσότερους αριθμητικούς υπολογισμούς που αφορούν τον π, μια χούφτα των ψηφίων του παρέχουν επαρκή ακρίβεια. Σύμφωνα με τους Jörg Arndt και Christoph Haenel, τριάντα εννέα ψηφία είναι επαρκή να εκτελέσουν τους περισσότερους κοσμολογικούς υπολογισμούς, γιατί αυτή η ακρίβεια είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό του όγκου του γνωστού σύμπαντος με ακρίβεια ενός ατόμου.[79] Παρά το γεγονός αυτό, οι άνθρωποι έχουν εργαστεί έντονα για τον υπολογισμό του π σε χιλιάδες και χιλιάδες ψηφία.[80] Αυτή η προσπάθεια μπορεί να αποδωθεί εν μέρει με τον ανθρώπινο εξαναγκασμό να σπάσει ρεκορ, και τέτοια επιτεύγματα με τον π συχνά κάνουν πρωτοσέλιδα σε όλο τον κόσμο.[81][82] Έχουν επίσης πρακτικά οφέλη, όπως σε δοκιμές υπερυπολογιστών, δοκιμή αριθμητικής ανάλυσης αλγορίθμων (συμπεριλαμβανομένων της υψηλής ακρίβειας υπολογισμού του πολλαπλασιασμού αλγορίθμων); και εντός των καθαρών μαθηματικών, παρέχουν στοιχεία για την αξιολόγηση της τυχαιότητας των ψηφίων του π.[83]
Ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν, εργαζόμενος μόνος του στην Ινδία, παρήγαγε πολλές καινοτόμες σειρές για την πληροφορική του π.
Οι σύγχρονες αριθμομηχανές π δεν χρησιμοποιούν αποκλειστικά τους επαναληπτικούς αλγόριθμους. Νέες άπειρες σειρές ανακαλύφθηκαν στη δεκαετία του 1980 και 1990 που είναι τόσο γρήγορες όσο οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι, όμως είναι απλούστερες και απαιτούν λιγότερη εντατική μνήμη.[78] Οι γρήγοροι επαναληπτικοί αλγόριθμοι αναμενόταν να συμβούν το 1914, όταν ο Ινδός μαθηματικός Srinivasa Ramanujan δημοσίευσε δεκάδες καινοτόμες μορφές εφαρμογών του π, αξιοπρόσεκτα για την κομψότητά τους, το μαθηματικό βάθος, και την ταχεία σύγκλιση.[84] Ένας από τους τύπους, που βασίζεται σε σπονδυλωτές εξισώσεις είναι:
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}
Αυτή η σειρά συγκλίνει γρηγορότερα από τη σειρά arctan, συμπεριλαμβανομένου του τύπου Machin.[85] Ο Bill Gosper ήταν ο πρώτος που την χρησιμοποίησε για τις εξελίξεις στον υπολογισμό του π, θέτοντας ένα ρεκόρ των 17 εκατομμυρίων ψηφίων το 1985.[86] Ο τύπος του Ramanujan αναμένει τους σύγχρονους αλγορίθμους που αναπτύχθηκαν από τους αδερφούς Borwein και τους αδερφούς Chudnovsky.[87] Ο τύπος των Chudnovsky που αναπτύχθηκε το 1987 είναι
426880 10005 π = ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640320 ) 3 k {\displaystyle {\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}
Παράγει περίπου 14 ψηφία του π ανά όρο,[88] και έχει χρησιμοποιηθεί για πολλούς υπολογισμούς π ρεκόρ, συμπεριλαμβανομένου του πρώτου να ξεπεράσει (109) ψηφία το 1989 από τα αδέλφια Chudnovsky, 2.7 τρισεκατομμύρια (2.7×1012) ψηφία από τον Fabrice Bellard το 2009, και 10 τρισεκατομμύρια (1013) ψηφία το 2011 από τους Alexander Yee και Shigeru Kondo.[89][90]
Το 2006, ο Καναδός μαθηματικός Simon Plouffe χρησιμοποίησε την αλγοριθμική σχέση ακέραιος PSLQ [91] για να παράγει αρκετές νέες μορφές εφαρμογών του π, σύμφωνα με το ακόλουθο πρότυπο:
π k = ∑ n = 1 ∞ 1 n k ( a q n − 1 + b q 2 n − 1 + c q 4 n − 1 ) {\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}
όπου q {\displaystyle {\mathit {q}}}   είναι το e π {\displaystyle e^{\pi }}   (σταθερά του Gelfond), k {\displaystyle {\mathit {k}}}   είναι ένας μονός αριθμός, και a , b , c {\displaystyle {\mathit {a,b,c}}}   είναι ορισμένοι λογικοί αριθμοί που υπολόγισε ο Plouffe .[92]
Δύο αλγόριθμοι που επινοήθηκαν το 1995 άνοιξαν νέους δρόμους στην έρευνα του π. Καλούνται αλγόριθμοι βρύσης (tap) επειδή, όπως το νερό που στάζει από μια βρύση, παράγουν μονά ψηφία του π που δεν ξαναχρησιμοποιούνται όταν αυτά υπολογιστούν.[93][94] Αυτό είναι σε αντίθεση με τις άπειρες σειρές ή τους επαναληπτικούς αλγόριθμους, που θα διατηρήσουν και θα χρησιμοποιήσουν όλα τα ενδιάμεσα ψηφία μέχρι να παραχθεί το τελικό αποτέλεσμα.[93]
Οι Αμερικανοί μαθηματικοί Stan Wagon και Stanley Rabinowitz παρήγαγαν ένα τάπα αλγόριθμο το 1995.[94][95][96] Η ταχύτητά του συγκρίνεται με αλγόριθμους arctan, αλλά δεν είναι τόσο γρήγορος όσο ο επαναληπτικός αλγόριθμος.[95]
Άλλος αλγόριθμος τάπα, ο BBP αλγόριθμος εξόρυξης ψηφίων, ανακαλύφθηκε το 1995 από τον Simon Plouffe:[97][98]
π = ∑ i = 0 ∞ 1 16 i ( 4 8 i + 1 − 2 8 i + 4 − 1 8 i + 5 − 1 8 i + 6 ) {\displaystyle \pi =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4}{8i+1}}-{\frac {2}{8i+4}}-{\frac {1}{8i+5}}-{\frac {1}{8i+6}}\right)}
Αυτός ο τύπος, σε αντίθεση με άλλους προγενέστερους από αυτόν, μπορεί να παράγει κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο του π χωρίς τον υπολογισμό όλων των προηγούμενων ψηφίων του.[97] Κάθε οκταδικό ή δυαδικό ψηφίο μπορεί να εξορυχθεί-προκύψει από ένα δεκαεξαδικό ψηφίο. Παραλλαγές του αλγορίθμου που έχουν ανακαλυφθεί, αλλά δεν έχει ακόμα ανακαλυφθεί ο αλγόριθμος εξόρυξης ψηφίων που θα παράγει γρήγορα τα δεκαδικά ψηφία .[99] Μια σημαντική εφαρμογή των αλγορίθμων εξόρυξης ψηφίων είναι να επικυρώσει τις νέες απαιτήσεις των υπολογιστικών ρεκόρ π : μετά από μια νέα εγγραφή που ζητήθηκε, το δεκαδικό αποτέλεσμα μετατρέπεται σε δεκαεξαδικό, και στη συνέχεια ένας αλγόριθμος εξόρυξης ψηφίων χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό αρκετών τυχαίων δεκαδικών ψηφίων κοντά στο τέλος; Αν ταιριάζουν, αυτό παρέχει ένα μέτρο της εμπιστοσύνης ότι ολόκληρος ο υπολογισμός είναι σωστός.[90]
Ανάμεσα στο 1998 και 2000, τα κατανεμημένα υπολογιστικά έργα PiHex χρησιμοποιούν τον τύπο Bellard (μια τροποποίηση του αλγορίθμου BBP) για τον υπολογισμό του πρώτου τετράκις εκατομμυριοστού (1015ο) δυαδικού ψηφίου του π, το οποίο αποδείχτηκε ότι ήταν 0.[100] Το Σεπτέμβριο του 2010, ένας υπάλληλος του Yahoo! χρησιμοποίησε τις συστοιχίες της εταιρείας Hadoop σε χίλιους υπολογιστές για διάστημα πάνω από 23 μέρες για τον υπολογισμό 256 δυαδικών ψηφίων του π με το δεύτερο τετράκις εκατομμυριοστό (2×1015ο) δυαδικό ψηφίο, το οποίο επίσης συμβαίνει να είναι μηδέν.[101]
↑ 1,0 1,1 1,2 Arndt Haenel, 2006, p.8
↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. , σελ. 183.
↑ Holton, David; Mackridge, Peter (2004). Greek: an Essential Grammar of the Modern Language. Routledge. ISBN 0-415-23210-4. , p. xi.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 165. A facsimile of Jones' text is in Berggren, Borwein & Borwein 1997, σελίδες 108–109
↑ See Schepler 1950, σελ. 220: William Oughtred used the letter π to represent the periphery (i.e., circumference) of a circle.
↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 Arndt & Haenel 2006, σελ. 166
↑ 7,0 7,1 Arndt & Haenel 2006, σελ. 5
↑ Salikhov, V. (2008). «On the Irrationality Measure of pi». Russian Mathematical Survey 53 (3): 570. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. Bibcode: 2008RuMaS..63..570S.
↑ Mayer, Steve. «The Transcendence of π». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 29 Σεπτεμβρίου 2000. Ανακτήθηκε στις 4 Νοεμβρίου 2007.
↑ The polynomial shown is the first few terms of the Taylor series expansion of the sine function.
↑ Posamentier & Lehmann 2004, σελ. 25
↑ Eymard & Lafon 1999, σελ. 129
↑ Beckmann 1989, σελ. 37
Schlager, Neil· Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. ISBN 0-7876-3933-8. , p 185.
↑ 14,0 14,1 Arndt & Haenel 2006, σελίδες 22–23
Preuss, Paul (23 July 2001). «Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key». Lawrence Berkeley National Laboratory. http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html. Ανακτήθηκε στις 10 November 2007.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 22, 28–30
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 3
↑ 17,0 17,1 Eymard & Lafon 1999, σελ. 78
↑ Πρότυπο:SloanesRef Retrieved 12 April 2012.
↑ Lange, L. J. (May 1999). «An Elegant Continued Fraction for π». The American Mathematical Monthly 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/456.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 240
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 242
↑ "We can conclude that although the ancient Egyptians could not precisely define the value of π, in practice they used it". Verner, M. (2003). The Pyramids: Their Archaeology and History. https://archive.org/details/pyramidstheirarc0000vern. , p. 70.
Petrie (1940). Wisdom of the Egyptians. https://archive.org/details/wisdomofegyptian0000petr. , p. 30.
See also Legon, J. A. R. (1991). «On Pyramid Dimensions and Proportions». Discussions in Egyptology 20: 25–34. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2011-07-18. https://web.archive.org/web/20110718144356/http://www.legon.demon.co.uk/pyrprop/propde.htm. Ανακτήθηκε στις 2013-05-31. .
See also Petrie, W. M. F. (1925). «Surveys of the Great Pyramids». Nature Journal 116 (2930): 942–942. doi:10.1038/116942a0. Bibcode: 1925Natur.116..942P.
↑ Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 9780521829540.
Skeptics: Shermer, Michael, The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN 9781576076538.
See also Fagan, Garrett G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 9780415305938.
For a list of explanations for the shape that do not involve π, see Roger Herz-Fischler (2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. σελίδες 67–77, 165–166. ISBN 9780889203242.
↑ 24,0 24,1 Arndt & Haenel 2006, σελ. 167
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 168–169
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 169
↑ The verses are 1 Kings 7:23 and 2 Chronicles 4:2; see Arndt & Haenel 2006, σελ. 169, Schepler 1950, σελ. 165, and Beckmann 1989, σελίδες 14–16.
↑ Suggestions that the pool had a hexagonal shape or an outward curving rim have been offered to explain the disparity. See Borwein, Jonathan M.· Bailey, David H. (2008). Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century (revised 2nd έκδοση). A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-442-1. , pp. 103, 136, 137.
↑ James A. Arieti, Patrick A. Wilson (2003). The Scientific & the Divine. Rowman & Littlefield. σελίδες 9–10. ISBN 9780742513976.
↑ Plutarch, Quaestiones Convivales, βοοκ 8, Πῶς Πλάτων ἔλεγε τὸν θεὸν ἀεὶ γεωμετρεῖν
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 170
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 175, 205
↑ «The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central». Mathworks.com. Ανακτήθηκε στις 12 Μαρτίου 2013.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 171
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 176
Boyer & Merzbach 1991, σελ. 168
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 15–16, 175, 184–186, 205. Grienberger achieved 39 digits in 1630; Sharp 71 digits in 1699.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 176–177
↑ 38,0 38,1 Boyer & Merzbach 1991, σελ. 202
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 177
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 178
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 179
↑ 42,0 42,1 Arndt & Haenel 2006, σελίδες 180
↑ Azarian, Mohammad K. (2010). [[1][νεκρός σύνδεσμος] «al-Risāla al-muhītīyya: A Summary»] (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 64–85. [2][νεκρός σύνδεσμος]. [νεκρός σύνδεσμος]
↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). «Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi». MacTutor History of Mathematics archive. Ανακτήθηκε στις 11 Αυγούστου 2012.
↑ 45,0 45,1 45,2 Arndt & Haenel 2006, σελ. 182
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 182–183
↑ 47,0 47,1 Arndt & Haenel 2006, σελ. 183
↑ Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (στα Latin). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 1 Φεβρουαρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 31 Μαΐου 2013.  His evaluation was 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
↑ 49,0 49,1 Arndt & Haenel 2006, σελίδες 185–191
↑ Roy 1990, σελίδες 101–102
Arndt & Haenel 2006, σελίδες 185–186
↑ 51,0 51,1 51,2 Roy 1990, σελίδες 101–102
↑ Joseph 1991, σελ. 264
↑ 53,0 53,1 Arndt & Haenel 2006, σελ. 188. Newton quoted by Arndt.
↑ 54,0 54,1 Arndt & Haenel 2006, σελ. 187
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 188–189
↑ 56,0 56,1 Eymard & Lafon 1999, σελίδες 53–54
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 189
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 156
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 192–193
↑ 60,0 60,1 Arndt & Haenel 2006, σελίδες 72–74
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 192–196, 205
↑ 62,0 62,1 Arndt & Haenel 2006, σελίδες 194–196
↑ 63,0 63,1 Borwein, J. M.; Borwein, P. B. (1988). «Ramanujan and Pi». Scientific American 256 (2): 112–117. doi:10.1038/scientificamerican0288-112. Bibcode: 1988SciAm.258b.112B.
Arndt & Haenel 2006, σελίδες 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 69–72
↑ Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Dilcher, K. (1989). «Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions». American Mathematical Monthly 96 (8): 681–687. doi:10.2307/2324715. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1989-10_96_8/page/681.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 223, (formula 16.10). Note that (n − 1)n(n + 1) = n3 − n.
Wells, David (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (revised έκδοση). Penguin. σελ. 35. ISBN 978-0-140-26149-3.
↑ Posamentier & Lehmann 2004, σελίδες 284
↑ Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", ανατύπωση στο Berggren, Borwein & Borwein 1997, σελίδες 129–140
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 196
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 205
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 197. See also Reitwiesner 1950.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 197
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 15–17
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 131
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 132, 140
↑ 76,0 76,1 Arndt & Haenel 2006, σελ. 87
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 111 (5 times); pp. 113–114 (4 times).
See Borwein & Borwein 1987 for details of algorithms.
↑ 78,0 78,1 78,2 Bailey, David H. (16 Μαΐου 2003). «Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation» (PDF). Ανακτήθηκε στις 12 Απριλίου 2012.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 17. "39 digits of π are sufficient to calculate the volume of the universe to the nearest atom."
Accounting for additional digits needed to compensate for computational round-off errors, Arndt concludes that a few hundred digits would suffice for any scientific application.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 17–19
↑ Schudel, Matt (25 March 2009). «John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi». The Washington Post: σελ. B5.
↑ «The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?». The Independent. 8 January 2010. http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html. Ανακτήθηκε στις 14 April 2012.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 18
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 103–104
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 104
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 104, 206
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 110–111
↑ Eymard & Lafon 1999, σελ. 254
↑ Arndt & Haenel 2006, σελίδες 110–111, 206
Bellard, Fabrice, "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer", 11 Feb 2010.
↑ 90,0 90,1 "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.
↑ PSLQ means Partial Sum of Least Squares.
↑ Plouffe, Simon (Απριλίου 2006). «Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)» (PDF). Ανακτήθηκε στις 10 Απριλίου 2009.
↑ 93,0 93,1 Arndt & Haenel 2006, σελίδες 77–84
↑ 94,0 94,1 Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.
↑ 95,0 95,1 Arndt & Haenel 2006, σελ. 77
↑ Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (March 1995). «A spigot algorithm for the digits of Pi». American Mathematical Monthly 102 (3): 195–203. doi:10.2307/2975006.  A computer program has been created that implements Wagon's spigot algorithm in only 120 characters of software.
↑ 97,0 97,1 Arndt & Haenel 2006, σελίδες 117, 126–128
↑ Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; and Plouffe, Simon (April 1997). «On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants» (PDF). Mathematics of Computation 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 128. Plouffe did create a decimal digit extraction algorithm, but it is slower than full, direct computation of all preceding digits.
↑ Arndt & Haenel 2006, σελ. 20
Bellards formula in: Bellard, Fabrice. «A new formula to compute the nth binary digit of pi». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Σεπτεμβρίου 2007. Ανακτήθηκε στις 27 Οκτωβρίου 2007.
↑ Palmer, Jason (16 September 2010). «Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit». BBC News. http://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194. Ανακτήθηκε στις 26 March 2011.