el el el el el el el el el el el el el el el el el en el el el el el el el el el el el el el el en el el en el el en el el en el el en el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el en el el en el el el el el en el el el el el el el el nb el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el en en en en en el el el el el el el el el el el el el
Στα μαθηματικά, το ουδέτερο στοιχείο ή ταυτοτικό στοιχείο μιας δυαδικής πράξης ενός συνόλου, είναι ένα στοιχείο του συνόλου που αφήνει απαράλλακτο κάθε στοιχείο του συνόλου μετά την εφαρμογή της εν λόγω πράξης.[1][2] Συν τοις άλλοις, η έννοια αυτή βρίσκει εφαρμογή σε αλγεβρικές δομές όπως οι ομάδες και οι δακτύλιοι.
0 (σύμφωνα με τους περισσότερους ορισμούς του ΜΚΔ)
Όλες οι συναρτήσεις που αναχωρούν από ένα σύνολο, M, με άφιξη στον εαυτό του
Όλες οι κατανομές σε μια ομάδα , G
Υποσύνολα ενός συνόλου M
M (ήτοι το ίδιο το σύνολο)
Κενή συμβολοσειρά, κενή πλειάδα
∧ (Λογικό «και», σύζευξη)
∨ (Λογικό «ή», διάζευξη)
⊕ (Αποκλειστικό «ή», αποκλειστική διάζευξη)
Ομογενείς σχέσεις σε ένα σύνολο Χ
Σύνολο δύο στοιχείων {e, f}
e ∗ e = f ∗ e = e & {\displaystyle \And }   f ∗ f = e ∗ f = f
Αμφότερα τα e και f είναι εξ αριστερών ουδέτερα στοιχεία,
αλλά δεν υπάρχει εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο, ούτε αμφίπλευρο ουδέτερο στοιχείο
Στο παράδειγμα S = {e,f} με τις ισότητες που δίνονται παραπάνω, το S συνιστά μια ημιομάδα. Με το παράδειγμα αυτό καταδεικνύεται η πιθανότητα το (S, ∗) να έχει πολλά εξ αριστερών ουδέτερα στοιχεία. Μάλιστα, κάθε στοιχείο μπορεί να είναι εξ αριστερών ουδέτερο στοιχείο. Σε ένα αντίστοιχο παράδειγμα, μπορούν να υπάρχουν πολλά εκ δεξιών ουδέτερα στοιχεία. Αν όμως συμβαίνει να υπάρχουν και εξ αριστερών και εκ δεξιών ουδέτερα στοιχεία, τότε πρέπει να είναι ίσα, οπότε προκύπτει ένα αμφίπλευρο ουδέτερο στοιχείο. Για να καταστεί αυτό εμφανές, έστωσαν l εξ αριστερών ουδέτερο στοιχείο και r εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο· τότε ισχύει ότι l = l ∗ r = r. Στην υπό εξέταση περίπτωση δεν μπορούν να υπάρξουν περισσότερα από ένα αμφίπλευρα ουδέτερα στοιχεία, καθώς για δύο τέτοια στοιχεία, e και f, η πράξη e ∗ f θα ισούταν με αμφότερα τα e και f.
Είναι, επίσης, πιθανόν το (S, ∗) να μην έχει ουδέτερο στοιχείο,[12] όπως συμβαίνει με τον πολλαπλασιασμό στους άρτιους ακεραίους.[9] Ένα, ακόμα, παράδειγμα είναι το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, όπου η απουσία του ουδέτερου στοιχείου οφείλεται στο ότι η κατεύθυνση οποιουδήποτε μη μηδενικού διανυσματικού γινομένου είναι πάντοτε κάθετη στα πολλαπλασιαζόμενα στοιχεία· συνεπώς, δεν είναι εφικτό να προκύψει ένα μη μηδενικό διάνυσμα στην ίδια κατεύθυνση με το αρχικό (όπως θα συνέβαινε αν το αρχικό διάνυσμα είχε πολλαπλασιαστεί με το ουδέτερο στοιχείο της πράξης). Ακόμα ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η προσθετική ημιομάδα των θετικών φυσικών αριθμών.
↑ Weisstein, Eric W. «Identity Element». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2022.
↑ «Definition of IDENTITY ELEMENT». www.merriam-webster.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2022.
↑ Fraleigh 1976, σελ. 21.
↑ Beauregard & Fraleigh 1973, σελ. 96.
↑ Fraleigh 1976, σελ. 18.
↑ Herstein 1964, σελ. 26.
↑ McCoy 1973, σελ. 17.
↑ «Identity Element | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2022.
↑ 9,0 9,1 «Identity Element». www.encyclopedia.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2022.
↑ Beauregard & Fraleigh 1973, σελ. 135.
↑ Fraleigh 1976, σελ. 198.
↑ 12,0 12,1 McCoy 1973, σελ. 22.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon
M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, (ISBN 3-11-015248-7), p. 14–15
Α. Kαλογεροπούλου, Μ. Γκίκας, Δ. Καραγιαννάκης, Μ. Λάμπρου. «Αγγλοελληνικό λεξικό μαθηματικών όρων», Εκδόσεις Τροχαλία, 1992, λήμματα «identity» (σελ 68), «additive» (σελ. 14)