el en el el en el el el en el uk es en es tr en en ru el el el el el el el el el el el el el el en el el el el el el el en el el eu eu eu eu eu eu eu eu el el el el el el el el el el el el el el el el el el el en el en en en en en el en el eu eu eu eu eu el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el es es tr en es ru en el el en el el el en el en en el el el el el el el el en el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el fr el el el en el el el el el el el el el el el el el el en de de el zh el el el el el el el el el en en de az el en el el en en el en el el en en el el el el el el en en el el
Στην γραμμή 1 φορτώνουμε το πακέτο random της python που μας χρειάζεται για να παίρνουμε ψευδοτυχαίους αριθμούς.
Στη γραμμή 3 ορίζουμε μία συνάρτηση με όνομα experiment που δε δέχεται κανένα όρισμα και αποσκοπούμε στο να προσομοιώνει τη διαδικασία διαδοχικών ρίψεων που παρουσιάσαμε παραπάνω.
Τέλος, στη γραμμή 11 εκτυπώνουμε το αποτέλεσμά μας στην οθόνη.
Αν πάμε να εκτελέσουμε το παραπάνω script μερικές φορές, θα πάρουμε αποτελέσματα παρόμοια με τα παρακάτω:
Μα καλά, γιατί δεν παίρνουμε κάτι κοντά στο 1/2; (ήτοι, στο 0.5) Τι πάει λάθος με το σκεπτικό μας;
Ας βάλουμε κάτω τις γνώσεις μας από τις πιθανότητες. Ας περιγράψουμε λίγο τις σειρές αποτελεσμάτων της διαδικασίας μας οι οποίες μας οδηγούν σε «κορώνα». Όπως είπαμε, για να αποφασίσουμε ότι φέραμε «κορώνα» πρέπει το τελευταίο αποτέλεσμα της σειρά μας να είναι κορώνα και το αμέσως προηγούμενο να είναι γράμματα. Τι πρέπει να είναι όμως το προ-προτελευταίο αποτέλεσμα της σειράς μας;
Χμμμ… Αν το καλοσκεφτούμε, θα πρέπει κι αυτό να είναι γράμματα, αφού, αν ήταν κορώνα και το επόμενό του (το προτελευταίο, δηλαδή) ήταν γράμματα όπως είπαμε, θα έπρεπε να σταματήσουμε σε αυτό, άρα το αποτέλεσμα της διαδικασίας μας θα ήταν «γράμματα» και όχι «κορώνα». Με παρόμοιο σκεπτικό βλέπουμε ότι, για να καταλήξουμε σε «κορώνα» πρέπει το τελευταίο αποτέλεσμα να είναι κορώνα και όλα τα προηγούμενα αποτελέσματα να είναι γράμματα. Έτσι, οι σειρές αποτελεσμάτων που μας δίνουν «κορώνα» έχουν τη μορφή:
Επομένως, η πιθανότητα η παραπάνω διαδικασία να μας δώσει «κορώνα» είναι ίση με:
Πρακτικά, αυτό που έχουμε να υπολογίσουμε είναι η πιθανότητα της παρακάτω ένωσης «απλούστερων» ενδεχομένων:
Αν τώρα παρατηρήσουμε καλύτερα θα δούμε ότι τα σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους, οπότε, η πιθανότητα της ένωσης θα είναι ίση με το «άθροισμα» των επιμέρους πιθανοτήτων, δηλαδή:
Ας υπολογίσουμε, τώρα, την πιθανότητα . Πρακτικά, η είναι η πιθανότητα να έχουμε συνεχόμενες φορές γράμματα και στην τελευταία ρίψη κορώνα. Εδώ, για να προχωρήσουμε ομαλά στους υπολογισμούς μας μπορούμε να κάνουμε την εξής υπόθεση: οι ρίψεις του «κάλπικου» νομίσματος είναι μεταξύ τους όλες στοχαστικά ανεξάρτητες. ανά δύο. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα μίας ρίψης δεν επηρεάζεται από αυτά των προηγούμενων ρίψεων και δεν επηρεάζει αυτά των επόμενων – κάτι που είναι εύλογο, μιας και το νόμισμά μας δε φαίνεται να έχει κάποια ιδιότητα «μνήμης» με βάση την οποία να καταγράφει κάπως τα προηγούμενα αποτελέσματά του.
Η παραπάνω υπόθεση – η στοχαστική ανεξαρτησία – μας επιτρέπει να αξιοποιήσουμε το γεγονός ότι η πιθανότητα να συμβούν δύο γεγονότα διαδοχικά είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους ή, πιο αυστηρά:
όπου είναι δύο στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους ενδεχόμενα. Έτσι, έχουμε:
Τώρα, αθροίζουμε τα παραπάνω οπότε παίρνουμε:
Χεχεχε… Από εκεί που είχαμε ένα νόμισμα που έφερνε κορώνα με πιθανότητα 0.9 και γράμματα με πιθανότητα 0.1 τώρα φτιάξαμε ένα «νόμισμα» που φέρνει «κορώνα» με πιθανότητα 0.1 και «γράμματα» με πιθανότητα 0.9. Μια τρύπα στο νερό, δηλαδή.
Πριν αφήσουμε αυτήν την προσπάθεια στο χρονοντούλαπο της ιστορίας, ας προσπαθήσουμε λίγο να ερμηνεύσουμε το αποτέλεσμά μας. Η ιδέα να κάνουμε πολλές διαδοχικές ρίψεις και να υιοθετούμε σαν «αποτέλεσμά» μας το τελευταίο αποτέλεσμα της ακολουθίας των αποτελεσμάτων με την προϋπόθεση ότι είναι το πρώτο που διαφοροποιείται από τα προηγούμενά του είχε σαν αποτέλεσμα να παίρνουμε «κορώνα» μόνο στις περιπτώσεις που είχαμε καταφέρει στην πρώτη μας ρίψη να φέρουμε γράμματα – αφού μετά, με την πρώτη κορώνα που θα έρθει σταματάμε. Όμως, το να φέρουμε γράμματα στην πρώτη ρίψη συμβαίνει με πιθανότητα ακριβώς 0.1, άρα και το να φέρουμε «κορώνα» θα συμβαίνει με πιθανότητα 0.1
Μία δεύτερη, πιο «εξεζητημένη» μέθοδος
Καλή ιδέα φαινόταν η πρώτη, αλλά δε δούλεψε, τελικά. Ίσως όμως η ιδέα να κάνουμε πολλές ρίψεις και να κρατάμε το τελικό αποτέλεσμα ως το αποτέλεσμα της «ρίψης» μας να μην είναι μία κακή ιδέα. Ας σκεφτούμε την παρακάτω παραλλαγή της πρώτης μας ιδέας:
Αρχικά, στρίβουμε δύο φορές το νόμισμά μας. Αν είναι διαφορετικές τότε λέμε ότι το τελευταίο εκ των δύο αποτελεσμάτων είναι το «αποτέλεσμά» μας.
Αν όμως είναι και τα δύο αποτελέσματα ίδια, τότε επαναλαμβάνουμε το πρώτο βήμα.
Η ουσιαστική διαφορά εδώ πέρα είναι ότι «ζευγαρώνουμε» τις ρίψεις μας και δεν τις εξετάζουμε μεμονωμένα. Αυτό ελπίζουμε να έχει σαν αποτέλεσμα, σε αντίθεση με την προηγούμενη απόπειρά μας, όχι μόνο να «ακυρώνουμε» τις πολλές ρίψεις που θα μας φέρουν κορώνα λόγω «καλπικοσύνης» του νομίσματός μας αλλά θα μας δώσουν και την ευκαιρία η διαδικασία μας να τερματίσει με «κορώνα» πιο συχνά από ότι με την πρώτη στρατηγική μας στην οποία, όποτε φέρναμε κορώνα στην πρώτη ρίψη ήταν σίγουρο ότι το τελικό μας αποτέλεσμα θα ήταν «γράμματα». Πάμε όμως να κάνουμε και κάποια πειράματα, για να δούμε τι γίνεται.
Ας ρίξουμε μία ματιά στο ακόλουθο python script:
import random def experiment(): previous = random.randint(0,9)//9 current = random.randint(0,9)//9 while (previous == current): previous = random.randint(0,9)//9 current = random.randint(0,9)//9 return current print(experiment())
Η δουλειά που κάνει η συνάρτηση experiment() είναι παρόμοια με αυτήν της προηγούμενης στρατηγικής μας – στρίβει δύο φορές το νόμισμα και, αν είναι ίδιες, ξαναστρίβει μέχρι να φτάσει σε δύο διαφορετικές, οπότε και επιστρέφει το τελευταίο αποτέλεσμα. Αν δοκιμάσουμε να τρέξουμε 5-6 φορές το παραπάνω script θα πάρουμε αποτελέσματα που μοιάζουν με τα παρακάτω:
Ενθαρρυντικό το πρώτο μας δείγμα. Ας φτιάξουμε τώρα κι ένα script που θα κάνει πολλά παρόμοια πειράματα για να εκτιμήσουμε την πιθανότητα να έρθει «κορώνα»:
import random def experiment(): previous = random.randint(0,9)//9 current = random.randint(0,9)//9 while (previous == current): previous = random.randint(0,9)//9 current = random.randint(0,9)//9 return current def many_experiments(n): heads_count = 0 for i in range(n): if (experiment() == 0): heads_count += 1 return heads_count/n print(many_experiments(1000))
Αν τρέξουμε λίγες φορές το παραπάνω script θα πάρουμε αποτελέσματα που θα μοιάζουν με τα παρακάτω:
Πολύ ενθαρρυντικό και το παραπάνω αποτέλεσμα – μάλλον είμαστε στον σωστό δρόμο. Μένει μόνο να δούμε αν και θεωρητικά επαληθεύεται αυτό που δείχνουν τα πειράματά μας. Όπως και πριν, θα υπολογίσουμε την πιθανότητα μίας ένωσης και, ειδικότερα, την:
όπου τα είναι ζεύγη ίδιων αποτελεσμάτων – είτε και τα δύο κορώνες είτε και τα δύο γράμματα. Τώρα, επειδή τα ενδεχόμενά μας είναι ξένα ανά δύο, μπορούμε να γράψουμε το εξής:
Πρέπει τώρα να υπολογίσουμε την πιθανότητα να έχουμε μία ακολουθία μήκους με τα εξής χαρακτηριστικά:
η ακολουθία μας να καταλήγει με το ζεύγος ΓΚ,
η ακολουθία μας να έχει ένα αρχικό μέρος μήκους το οποίο να αποτελείται από ζεύγη είτε της μορφής ΚΚ είτε της μορφής ΓΓ – με οποιαδήποτε σειρά ή αναλογία.
Ένα κόλπο που μπορούμε να κάνουμε εδώ είναι το εξής: Αντί να κοιτάμε κάθε ρίψη ξεχωριστά, να κοιτάμε τις ρίψεις ως δυάδες. Επομένως:
η ρίψη ΓΚ έρχεται με πιθανότητα – αξιοποιούμε εδώ τη στοχαστική ανεξαρτησία όπως και παραπάνω – ,
η ρίψη ΚΚ έρχεται με πιθανότητα ,
η ρίψη ΓΓ έρχεται με πιθανότητα .
Επομένως, μένει να δούμε πόσες διαφορετικές ακολουθίες μπορούμε να κατασκευάσουμε με μήκος που να αποτελούνται από ένα σταθερό ζευγάρι ΓΚ στο τέλος και ζεύγη είτε ΚΚ είτε ΓΓ. Για να κατασκευάσουμε μία τέτοια ακολουθία πρέπει πρώτα να αποφασίσουμε πόσα ζεύγη ΚΚ θα βάλουμε σε αυτήν – οπότε, έμμεσα, έχουμε καθορίσει και το πλήθος των ΓΓ που θα περιέχονται. Θέλουμε, επομένως, να επιλέξουμε κάποια, έστω ζεύγη από τα για να έρθουν κορώνα. Αυτό, από τη συνδυαστική που ξέρουμε, μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του διωνυμικού συντελεστή, ο οποίος μας δίνει ακριβώς το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε στοιχεία από ένα μεγαλύτερο σύνολο στοιχείων. Στην περίπτωσή μας, λοιπόν, έχουμε:
τρόπους για να επιλέξουμε ζεύγη που θα έχουν το αποτέλεσμα ΚΚ από τα συνολικά που έχουμε, για – σιωπηλά δεχόμαστε ότι ο διωνυμικός συντελεστής είναι 0 όταν (δηλαδή, δεν μπορούμε να διαλέξουμε με κανέναν τρόπο κάποια στοιχεία όταν έχουμε στα χέρια μας έχουμε ακριβώς 0 στοιχεία). Τώρα, αν έχουμε σταθεροποιήσει ένα , έχουμε ζεύγη ΚΚ με πιθανότητα 0.81 το καθένα και (τα υπόλοιπα) ζεύγη ΓΓ με πιθανότητα 0.01 το καθένα και το τελευταίο ζεύγος ΓΚ με πιθανότητα 0.09. Επειδή, όπως είπαμε, τα ενδεχόμενά μας είναι όλα ανά δύο στοχαστικά ανεξάρτητα, έπεται ότι η πιθανότητα να έχουμε μία ακολουθία ζευγών όπως τη θέλουμε είναι:
Τα παραπάνω αφορούν μία ακολουθία αποτελεσμάτων. Εμείς έχουμε , άρα, συνολικά θα έχουμε:
Μας μένει τώρα να αθροίσουμε τα παραπάνω και για κάθε , οπότε παίρνουμε την πιθανότητα να εμφανιστεί μία ακολουθία όπως τη θέλουμε με μήκος :
ενώ, ειδικά για έχουμε μόνο ένα ζεύγος ΓΚ, άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι .
Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα, δηλαδή την ταυτότητα:
για εκθέτη , και , οπότε θα πάρουμε:
για και . Μας μένει μόνο να αθροίσουμε όσα έχουμε βρει ως τώρα, συνεπώς:
όπου, όπως και παραπάνω, χρησιμοποιήσαμε τον τύπο μίας γεωμετρικής σειράς με λόγο :
Τελικά, λοιπόν, αποδείξαμε ότι, πράγματι, η διαδικασία που περιγράψαμε παραπάνω προσομοιώνει ένα «τίμιο» νόμισμα, υπό την έννοια ότι η πιθανότητα να έρθει «κορώνα» είναι ακριβώς 1/2, όπως θα συνέβαινε και με ένα τίμιο νόμισμα.
Τα παραπάνω είναι αποτελέσματα που γενικεύονται σχετικά εύκολα για οποιαδήποτε πιθανότητα με την οποία ένα νόμισμα φέρνει κορώνα. Με άλλα λόγια, οποιοδήποτε κάλπικο νόμισμα κι αν πάρουμε, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω διαδικασία για να καταφέρουμε να έχουμε δύο ισοπίθανα αποτελέσματα και, με αυτόν τον τρόπο, να έχουμε ένα τίμιο «νόμισμα» στα χέρια μας.
Η κεντρική ιδέα της ανάρτησης προήλθε από μία πολύ ωραία και κλασσική άσκηση πιθανοτήτων που μπορεί κανείς να βρει αν ανατρέξει στις Βασικές αρχές θεωρίας πιθανοτήτων του Sheldon Ross, (επιστημονική επιμέλει ελληνικής έκδοσης: Β. Φελουζής, Παν. Αιγαίου, εκδ. Κλειδάριθμος, σελ. 124, ασκ. 358).
Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Ο Ανεμόμυλος του Rembrandt.
Όπως, ίσως, θα έχετε παρατηρήσει, υπάρχει ένας παροξυσμός εδώ στο aftermaths με τον Rembrandt τον τελευταίο καιρό – αυτός ο πίνακας είναι ένας από τους αγαπημένους μου.
Καλό απόγευμα και χρόνια πολλά!
(Κι μία μικρή λειτουργία για να μπαίνουμε σιγά-σιγά σε κλίμα Πάσχα)
Μαθηματικός, μάλλον... Προβολή όλων των δημοσιεύσεων από Aftermaths
Previous Θέματα από το βιβλίο (3)
Next Διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
Ο/Η Τίποτα στην τύχη: Απλές ιδέες – Aftermaths λέει:
21 Φεβρουαρίου 2021 στο 19:46
[…] τροποποιήσεις, μπορεί να γίνει αρκετά καλή – το έχουμε ξαναδεί αυτό. Αυτό θα προσπαθήσουμε να κάνουμε και σε αυτήν την […]
Ο/Η Οι λύσεις του προηγούμενου διαγωνίσματος – Γ’ ΕΠΑΛ – Aftermaths λέει:
10 Μαΐου 2021 στο 10:44
[…] Διαβάστε επίσης: Κορώνα ή γράμματα για… ναυαγούς! […]
Γράψτε το σχόλιο σας εδώ....
Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:
Ηλ. διεύθυνση (απαιτείται) Δεν θα εμφανιστεί δημόσια.
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Ειδοποίηση μέσω mail για νέα σχόλια.
Να ειδοποιούμαι μέσω mail για νέα άρθρα.
Ακολούθησε το ιστολόγιο μέσω email
Μαζί με 513 ακόμα followers
Η καλή πράξη της ημέρας
Τεστάκι της Ημέρας #001 - Τι θυμόμαστε από το Γυμνάσιο;
Ασκήσεις στις Συναρτήσεις (Β' Λυκείου)
Ασκήσεις στα Σύνολα - Α' Λυκείου
Ασκήσεις στους κανόνες παραγώγισης
Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
10 Επαναληπτικά Θέματα - Γ' ΕΠΑΛ
Επανάληψη σε παραγοντοποίηση και ταυτότητες
Λύσεις του Επαναληπτικού Διαγωνίσματος VI
5 Επαναληπτικά διαγωνίσματα (Γ' ΕΠΑΛ)
Η υπερβατικότητα του π
Αξίωμα της πληρότητας (6)
Τίποτα στην τύχη (1)
Τεστάκι της ημέρας (176)
The Wumpus Project (1)
1-1 After-maths Collatz featured Fermat Horner Tikz Workshop Α' Γυμνασίου Α' Λυκείου ΑΕΠΠ Απόψεις Β' Λυκείου Γ' λυκείου Διδακτικό υλικό ΕΟΚ ΕΠΑΛ ΘΜΤ Μαθηματικά Φυσική άλγεβρα ακρότατα αλγόριθμοι αμπελοφιλοσοφία ανισότητες ανισώσεις αποδείξεις απόλυτη τιμή ασκήσεις γραφική παράσταση δευτεροβάθμιες διάμεσος διαγώνισμα διακύμανση διασπορά διαφάνειες δομή επανάληψης δομή επιλογής δυνάμεις εισαγωγή εκθετική εξισώσεις επανάληψη θεωρία λογαριθμική λυμένα παραδείγματα λύσεις μέση τιμή μαθηματικά μονοτονία ολοκλήρωμα πίνακες πανελλήνιες παράγωγος παραμετρικές παραστάσεις πιθανότητες πολυώνυμα πράξεις πραγματικοί αριθμοί προβλήματα πρωτοβάθμιες πρόοδοι ρίζες σημειώσεις στατιστική συνέχεια συναρτήσεις συστήματα συχνοτήτων σύνολα τεστ τριγωνομετρία φύλλο εργασίας όρια
Buy me a tea!
Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τα τέσσερα δάκτυλα του βιολιστή. Πάνε στα τυφλά και δε λαθεύουν ούτε χιλιοστό. Χυμούν σε γκρεμούς, παιχνιδιάρες στην ανηφοριά, ακροβάτες στην κατηφοριά, είναι καλλιτέχνες τσίρκου για το θεωρείο των βουνών. Οι οπλές του αγριόγιδου γαντζώνονται στον αέρα. Ο ρόζος τους, μικρό μαξιλαράκι, όποτε θέλει λειτουργεί σαν σιγαστήρας, διαφορετικά το χωρισμένο στα δυο νύχι είναι καστανιέτα για φλαμένκο. Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τέσσερις άσσοι σε τσέπες χαρτοκλέφτη. Μ' εκείνες η βαρύτητα είναι μια παραλλαγή σ' ένα θέμα, όχι ένας νόμος.