el en el el en el el el en el uk es en es tr en en ru el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el en el el el el el el el el el el el el es en es el es es tr en es ru en el el en el el el en de el en de en el el el el el el el el el el el el el el el el el el el fr el el el en el el el el el el el el el el el el el el en de de el zh el el el el el el el el el en en de az el en el el en en el en el el en en el el el el el el en en el en el en el el el el el
Την προηγούμενη εβδομάδα ασχοληθήκαμε αρκετά με μία εναλλακτική προσέγγιση της εικασίας Collatz, η οποία βασίζεται σε μία επαγωγική ιδέα. Για την ακρίβεια, είπαμε ότι αν καταφέρουμε και αποδείξουμε ότι από όποιον αριθμό κι αν ξεκινήσουμε, μετά από πεπερασμένο πλήθος βημάτων καταλήγουμε σε έναν αριθμό μικρότερο από τον αρχικό μας όρο, τότε η εικασία Collatz είναι αληθής. Έτσι, αντί να μελετούμε αν τελικά μία ακολουθία καταλήγει στο 1, αρκεί να εξετάζουμε αν όλες οι ακολουθίες Collatz καταλήγουν σε έναν όρο μικρότερο από τον αρχικό τους.
Το σημαντικό στο παραπάνω είναι ότι πρέπει αυτή η ιδιότητα να ισχύει για όλες τις ακολουθίες Collatz έτσι ώστε να συμπεράνουμε ότι αληθεύει η εικασία. Ειδάλλως, αν υπάρχει έστω κι ένας αριθμός από τον οποίον αν ξεκινήσουμε δεν μπορούμε με κάποιον τρόπο να αποδείξουμε ότι καταλήγουμε σε έναν όρο μικρότερο από τον αρχικό – ανεξάρτητα από το αν αυτό συμβαίνει ή όχι – τότε όλη η παραπάνω απόπειρα απόδειξης είναι άχρηστη.
Ξεκινώντας από πιο ήπιους στόχους, αρχικά θα ασχοληθούμε με τους αριθμούς της μορφής καθώς, όπως έχουμε δει, αυτοί οι αριθμοί δεν οδηγούν με κάποιον προφανή τρόπο σε κάποιον αριθμό μικρότερο από αυτούς. Για την ακρίβεια, τα πρώτα βήματα κάθε ακολουθίας Collatz που ξεκινάει από έναν τέτοιον αριθμό είναι τα εξής:
Αυτά μας οδηγούν, τελικά, στον αριθμό ο οποίος είναι περίπου φορές μεγαλύτερος από τον αρχικό – και άρα έχουμε δουλειά να κάνουμε…
Με αφορμή τα παραπάνω, αποφασίσαμε να σχεδιάσουμε για κάθε τέτοιον αριθμό την ακολουθία των πράξεων που κάνουμε μέχρι να καταλήξουμε σε έναν αριθμό μικρότερο από τον αρχικό όρο. Έτσι, πήραμε ένα σχήμα σαν το ακόλουθο:
Για παράδειγμα, αν σχεδιάσουμε 200 τέτοιες περιπτώσεις αντί για 100, τότε μπορούμε να εντοπίσουμε πιο εύκολα και άλλα μοτίβα σε μεγαλύτερες στήλες:
Τώρα, αυτή είναι μία συμπαθητική σχέση ανάμεσα σε δύο εκθετικές συναρτήσεις. Υψώνοντας στην – δηλαδή, παίρνοντας οστές ρίζες – παίρνουμε το εξής:
Τώρα, αν ανοίξουμε μία αριθμομηχανή δε θα βρούμε εύκολα λογαρίθμους με βάση 3, ωστόσο, γνωρίζουμε τον αγαπητό μας τύπο αλλαγής βάσης:
Συνεπώς, από τα παραπάνω συμπεράναμε ότι, για να καταφέρουμε μία ακολουθία να καταλήξει σε όρο μικρότερο από τον αρχικό της, θέλουμε ο λόγος των τριπλασιασμών προ τους υποδιπλασιασμούς να είναι περίπου 0,6309.
Σαφώς, το παραπάνω δεν μπορούμε κάπως να το υπολογίσουμε, αλλά μπορούμε σίγουρα να δοκιμάσουμε διάφορες περιπτώσεις. Αντί, όμως, να δοκιμάσουμε για κάθε αριθμό ξεχωριστά θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε κατά «μέσο όρο» τι συμβαίνει. Με τον συμβολισμό των παραπάνω μπλε-κόκκινων σχημάτων, αυτό που θέλουμε είναι οι μπλε κουκκίδες να είναι περίπου το 63,09% των κόκκινων. Έτσι, με τη βοήθεια του ακόλουθου script, υπολογίζουμε για διάφορα τέτοια σχήματα τον παραπάνω λόγο και τον σχεδιάζουμε, συναρτήσει του πλήθους των αριθμών που αφορά το σχήμα:
def blue_red_ratio(n): blue = 0 red = 0 for i in range(n): k = 4 * i + 3 (next, op) = next_collatz(k) while next >= k: if op == 0: red += 1 else: blue += 1 (next, op) = next_collatz(next) return blue / red def plot_blue_red_ratio(n): ratios = [] for i in range(1, n + 1): ratios.append(blue_red_ratio(i)) plt.plot([x for x in range(1, n + 1)], ratios, 'b-', label="blue/red ratio") plt.xlabel('# of numbers of the form $4k-1$ checked') plt.ylabel('blue/red ratio') plt.grid() plt.plot([1, n], [0.6309, 0.6309], 'r-', label='y=0.6309') plt.legend() plt.show() if __name__ == '__main__': n = 20 plot_blue_red_ratio(n)
Με τη βοήθεια του παραπάνω, σχεδιάζουμε το ακόλουθο σχήμα:
Αλλά, τι να μας κάνουν μόνο 20 περιπτώσεις. Ας δούμε πώς πάει η κατάσταση όταν έχουμε μέχρι και 1000 αριθμούς:
Η αλήθεια είναι ότι δεν παρατηρούμε ο λόγος των «τριπλασιασμών» προς τους υποδιπλασιασμούς να συγκλίνει προς τα εκεί που θα θέλαμε. Αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητα αποθαρρυντικό καθώς όλοι οι παραπάνω υπολογισμοί, ανεξάρτητα από το φαινομενικά «ακριβές» αποτέλεσμα 0,6309, έγινα στο «περίπου». Αυτό που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι ότι πράγματι, ο λόγος των «τριπλασιασμών» προς τους υποδιπλασιασμούς που χρειαζόμαστε στη δύσκολη περίπτωση των αριθμών δείχνει, τελικά, να σταθεροποιείται σε κάποια τιμή σχετικά κοντά (ας πούμε) σε αυτήν που θα θέλαμε – περίπου.
Ίσως, πριν προχωρήσουμε στο να εξετάζουμε ένα-ένα τα μοτίβα που παρατηρήσαμε παραπάνω να έχει νόημα να θέσουμε το εξής ερώτημα – αφού βάλαμε και ασυμπτωτικές συμπεριφορές στο παιχνίδι:
Με τι πιθανότητα, ξεκινώντας από έναν αριθμό, καταλήγουμε με «βήματα Collatz» σε έναν μικρότερο αριθμό;
Με αυτό το ερώτημα θα κλείσουμε τις σκέψεις μας αυτήν την εβδομάδα. Για περισσότερα, αναμείνατε την επόμενη ανάρτηση της σειράς!
Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Στο τραπέζι του Henri Fantin-Latour.
Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:
Μαθηματικός, μάλλον... Προβολή όλων των δημοσιεύσεων από Aftermaths
Previous Ασκήσεις στα Σύνολα – Α’ Λυκείου
Next Άλγεβρα, Α’ Λυκείου – Μάθημα 7ο
Γράψτε το σχόλιο σας εδώ....
Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:
Ηλ. διεύθυνση (απαιτείται) Δεν θα εμφανιστεί δημόσια.
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Ειδοποίηση μέσω mail για νέα σχόλια.
Να ειδοποιούμαι μέσω mail για νέα άρθρα.
Ακολούθησε το ιστολόγιο μέσω email
Μαζί με 513 ακόμα followers
Η καλή πράξη της ημέρας
Ασκήσεις στις Συναρτήσεις (Β' Λυκείου)
Ασκήσεις στα Σύνολα - Α' Λυκείου
Τεστάκι της Ημέρας #001 - Τι θυμόμαστε από το Γυμνάσιο;
Ασκήσεις στους κανόνες παραγώγισης
Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
10 Επαναληπτικά Θέματα - Γ' ΕΠΑΛ
Επανάληψη σε παραγοντοποίηση και ταυτότητες
5 Επαναληπτικά διαγωνίσματα (Γ' ΕΠΑΛ)
Η υπερβατικότητα του π
Ασκήσεις στη Σύνθεση (Λύσεις)
Αξίωμα της πληρότητας (6)
Τίποτα στην τύχη (1)
Τεστάκι της ημέρας (176)
The Wumpus Project (1)
1-1 After-maths Collatz featured Fermat Horner Tikz Workshop Α' Γυμνασίου Α' Λυκείου ΑΕΠΠ Απόψεις Β' Λυκείου Γ' λυκείου Διδακτικό υλικό ΕΟΚ ΕΠΑΛ ΘΜΤ Μαθηματικά Φυσική άλγεβρα ακρότατα αλγόριθμοι αμπελοφιλοσοφία ανισότητες ανισώσεις αποδείξεις απόλυτη τιμή ασκήσεις γραφική παράσταση δευτεροβάθμιες διάμεσος διαγώνισμα διακύμανση διασπορά διαφάνειες δομή επανάληψης δομή επιλογής δυνάμεις εισαγωγή εκθετική εξισώσεις επανάληψη θεωρία λογαριθμική λυμένα παραδείγματα λύσεις μέση τιμή μαθηματικά μονοτονία ολοκλήρωμα πίνακες πανελλήνιες παράγωγος παραμετρικές παραστάσεις πιθανότητες πολυώνυμα πράξεις πραγματικοί αριθμοί προβλήματα πρωτοβάθμιες πρόοδοι ρίζες σημειώσεις στατιστική συνέχεια συναρτήσεις συστήματα συχνοτήτων σύνολα τεστ τριγωνομετρία φύλλο εργασίας όρια
Buy me a tea!
Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τα τέσσερα δάκτυλα του βιολιστή. Πάνε στα τυφλά και δε λαθεύουν ούτε χιλιοστό. Χυμούν σε γκρεμούς, παιχνιδιάρες στην ανηφοριά, ακροβάτες στην κατηφοριά, είναι καλλιτέχνες τσίρκου για το θεωρείο των βουνών. Οι οπλές του αγριόγιδου γαντζώνονται στον αέρα. Ο ρόζος τους, μικρό μαξιλαράκι, όποτε θέλει λειτουργεί σαν σιγαστήρας, διαφορετικά το χωρισμένο στα δυο νύχι είναι καστανιέτα για φλαμένκο. Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τέσσερις άσσοι σε τσέπες χαρτοκλέφτη. Μ' εκείνες η βαρύτητα είναι μια παραλλαγή σ' ένα θέμα, όχι ένας νόμος.