el en el el en el el el en el uk es en es tr en en ru el el el el el el el en el el en el en el el en el el el el el en el en el en el el el el el el el el en el en el el el el el es en es el es es tr en es ru en el el en el el el uk en el uk el el el el el el el el el el el el el el el el el el fr el el el en el el el el el el el el el el el el el el en de de el zh el el el el el el el el el en en de az el en el el en en el en el el en en el el el el el el en en el en el en el el el el el
Την προηγούμενη εβδομάδα είδαμε κάποια ενδιαφέροντα σχήματα που είχαν να κάνουν με γνωστά μας εργαλεία αλλά με κάπως διαφορετικούς τρόπους να τα αξιοποιήσουμε. Αυτήν την εβδομάδα θα μείνουμε στο ίδιο κλίμα, βλέποντας, ως επί το πλείστον, εργαλεία που έχουμε ξαναδεί στο παρελθόν και το πώς μπορούν να μας βοηθήσουν σε διάφορες περιστάσεις.
Το πρώτο σχήμα μας ήταν το εξής:
Ο αντίστοιχος κώδικας είναι ο εξής:
Αυτό θυμίζει σε έναν ικανοποιητικό βαθμό ένα σχήμα που είχαμε δει την προηγούμενη εβδομάδα. Αρχικά, σχεδιάζουμε τρεις καμπύλες Bézier με τον γνωστό τρόπο. Όπως έχουμε πει, οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί τέτοιων καμπύλων είναι ιδιαίτερα εύκολοι, αφού ανάγονται στους αντίστοιχους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς των σημείων ελέγχου τους. Έτσι, στο παραπάνω, έχοντας σχεδιάσει τη μία από τις τρεις καμπύλες μας, μπορούμε εύκολα να πάρουμε τις άλλες δύο απλώς μετατοπίζοντας όλα τα σημεία ελέγχου κατά μία σταθερά προς τα πάνω ή προς τα κάτω, αντίστοιχα.
Πέρα από τις τρεις καμπύλες, χρησιμοποιούμε κι εδώ ένα τέχνασμα που είδαμε την προηγούμενη εβδομάδα για να σχεδιάσουμε εύκολα και δυναμικά τις κατακόρυφες γραμμές που φαίνονται στο σχήμα. Αρχικά, μέσα σε έναν επαναληπτικό βρόχο, σχεδιάζουμε κάποιες αόρατες κατακόρυφες γραμμές που φροντίζουμε να είναι αρκετά μεγάλες έτσι ώστε να τέμνουν τις τρεις καμπύλες μας:
\draw[draw=none, name path=line \i] (\i,-4) -- (\i,4);
\node[inner sep=0pt, outer sep=0pt, name intersections={of={curve 1 and line \i}}](A\i) at (intersection-1){}; \node[inner sep=0pt, outer sep=0pt, name intersections={of={curve 2 and line \i}}](B\i) at (intersection-1){}; \node[inner sep=0pt, outer sep=0pt, name intersections={of={curve 3 and line \i}}](C\i) at (intersection-1){};
Όπως έχουμε επισημάνει και στο παρελθόν, είναι σημαντικό όταν ένας κόμβος θέλουμε να είναι εκεί αλλά να μην… υπάρχει, πρέπει να θέσουμε τις τιμές των inner sep και outer sep στο 0, ειδάλλως κάθε γραμμή ή σχήμα που καταλήγει σε αυτούς θα απέχει λίγο από τη θέση του ίδιου του κόμβου. Εναλλακτικά, μπορούμε αντί για κόμβους να χρησιμοποιούμε coordinates που δεν έχουν αυτόν τον περιορισμό.
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους παραπάνω κόμβους σχεδιάζουμε με το στυλ που θέλουμε κάθε φορά τις ευθείες ανάμεσα στις καμπύλες μας:
\ifthenelse{\i=-3}{ \draw[orange,  ] (A\i) -- (B\i)node[pos=.5,left]{$c$}; \draw[orange,  ] (B\i) -- (C\i)node[pos=.5,left]{$c$}; } { \draw[orange,  ] (A\i) -- (B\i)node[pos=.5,right]{$c$}; \draw[orange,  ] (B\i) -- (C\i)node[pos=.5,right]{$c$}; }
Στο παραπάνω, χρειαστήκαμε μία δομή επιλογής \ifthenelse για να τοποθετήσουμε τις ετικέτες των δύο πιο αριστερών γραμμών μας από τα αριστερά και όχι από τα δεξιά τους – γιατί από τα δεξιά δεν φαίνονται τόσο ωραίες, μιας και επικαλύπτουν άλλα υπάρχοντα σχήματα.
Το επόμενο σχήμα μας ήταν αυτό:
Μία συνάρτηση και η αντίστροφή της
Ο αντίστοιχος κώδικας είναι ο εξής:
\documentclass[tikz, margin=5mm]{standalone} \usepackage{ifthen} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{intersections} \begin{document} \begin{tikzpicture} \draw[thick,->,name path=x axis] (-4,0) -- (4,0)node[pos=1,below]{$x$}; \draw[thick,->,name path=y axis] (0,-3.5) -- (0,3.8)node[pos=1,left]{$y$}; \node[left,yshift=-8pt](O) at (0,0){$O$}; \draw[thick, red!75!black, name path=inverse] (-2,3) .. controls (-2,.3) and (2.2,.2) ..(2.2,-3)node[right]{$f^{-1}$}; \draw[thick, blue!75!black, name path=curve] (-3,2.2) .. controls (.2,2.2) and (.3,-2) .. (3,-2)node[below]{$f$}; \draw[purple!75!black, name path=bisectrix] (-3,-3) -- (3,3)node[pos=1,above]{$y=x$}; \draw[draw=none, domain={-3}:{3}, name path=line] plot(\x,{.65-\x}); \node[circle, fill=green!40!black, inner sep=1pt, name intersections={of={curve and line}}, label={right,yshift=8pt}:{$\textcolor{blue!75!black}{(x,f(x))}$}](A) at (intersection-1){}; \node[circle, fill=green!40!black, inner sep=1pt, name intersections={of={inverse and line}}, label={left}:{$\textcolor{red!75!black}{(x,f^{-1}(x))}$}](B) at (intersection-1){}; \draw[orange, ] (A) -- (B); \draw[draw=none, name path=x] (A) -- ($(-4,4)!(A)!(4,4)$); \draw[draw=none, name path=y] (B) -- ($(4,-4)!(A)!(4,-4)$); \node[circle, fill=green!40!black, inner sep=1pt, name intersections={of={x and bisectrix}}, label={right}:{$\textcolor{purple!75!black}{(x,x)}$}](C) at (intersection-1){}; \draw[orange,->] (A) -- (C); \draw[orange,->] (C) -- (B); \end{tikzpicture} \end{document}
Και σε αυτήν την περίπτωση δε βλέπουμε πράγματα που δεν έχουμε ξαναδεί καθόλου. Σχεδιάζουμε δύο καμπύλες και με διάφορες πράξεις μεταξύ τους βρίσκουμε τα σημεία τομής τους και σχεδιάζουμε τις ευθείες που θέλουμε μεταξύ τους. Αυτό που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στο παραπάνω είναι πώς μπορούμε να πάρουμε τη συμμετρική μίας καμπύλης Bézier ως προς την διχοτόμο Ας πάρουμε πρώτα τις δύο εκφράσεις κι ας τις παρατηρήσουμε:
\draw[thick, blue!75!black, name path=curve] (-3,2.2) .. controls (.2,2.2) and (.3,-2) .. (3,-2)node[below]{$f$};
Η αντίστροφή της, όπως προδίδει και το παραπάνω σχήμα, είναι η εξής:
\draw[thick, red!75!black, name path=inverse] (-2,3) .. controls (-2,.3) and (2.2,.2) ..(2.2,-3)node[right]{$f^{-1}$};
Αν παρατηρήσετε προσεκτικά, θα δείτε ότι για να καθορίσουμε τα σημεία ελέγχου της συμμετρικής ως προς την μίας καμπύλης Bézier, αυτό που έχουμε να κάνουμε δεν είναι παρά να διαβάσουμε τα σημεία ελέγχου της εντελώς… ανάποδα. Πράγματι, αν ξεκινήσετε από το τελευταίο σημείο της πρώτης καμπύλης κι αρχίσετε να το διαβάζετε «αραβικά» θα δείτε ότι προκύπτουν ένα προς ένα όλα τα σημεία ελέγχου της συμμετρικής της. Αυτό είναι λογικό και αναμενόμενο για δύο λόγους:
αφενός, οι καμπύλες Bézier καθορίζονται από ένα παραλληλόγραμμο – ή, γενικότερα, κάποιο πολύγωνο – για το οποίο θα μιλήσουμε αναλυτικότερα στο μέλλον και,
αφετέρου, το συμμετρικό ενός σημείο ως προς τη διχοτόμο είναι το σημείο
Με βάση τα δύο παραπάνω, πράγματι, προκύπτει εύκολα ότι τα σημεία ελέγχου της «αντίστροφης» είναι αυτά της πρώτης καμπύλης αν διαβαστούν από τα δεξιά προς τα αριστερά.
Το τελευταίο σχήμα μας είναι το εξής:
Ο αντίστοιχος κώδικας είναι ο εξής:
\documentclass[tikz, margin=5mm]{standalone} \usepackage{ifthen} \usetikzlibrary{intersections} \begin{document} \begin{tikzpicture} \\draw[thick,->,name path=x axis] (-4,0) -- (4,0)node[pos=1,below]{$x$}; \draw[thick,->,name path=y axis] (0,-1) -- (0,6)node[pos=1,left]{$y$}; \node[above](A) at (-2,4) {$A$}; \node[above](B) at (2,4) {$B$}; \node[below] at (2,0) {$2$}; \node[below] at (-2,0) {$-2$}; \node[left,yshift=.5em] at (0,4) {$4$}; \draw[dashed] (0,0) rectangle (-2,4); \draw[dashed] (0,0) rectangle (2,4); \foreach \a in {0.9,1,1.2}{ \pgfmathsetmacro{\res}{\a+4-\a*cosh(2/\a)}; \draw[thick, domain=-2:2, samples=200] plot(\x,{\a*cosh(\x/\a)+4-\a*cosh(2/\a)}); \node[yshift=.8em,xshift=0em] at (0,\res) {\scalebox{.65}{$\hphantom{\a}a=\a\hphantom{a}$}}; } \end{tikzpicture} \end{document}
Στο παραπάνω δεν έχουμε κάτι το ιδιαίτερο, πέρα ίσως από το πώς έχουμε τοποθετήσει τις ετικέτες πάνω στις καμπύλες. Αρχικά, για να τις φέρουμε στο επιθυμητό μέγεθος έχουμε χρησιμοποιήσει την εντολή \scalebox η οποία, όπως προδίδει και το όνομά της, μετασχηματίζει ως προς την κλίμακα ένα σχήμα – βασικά, ένα «κουτί», πιο σωστά. Το γενικό συντακτικό είναι:
Σαν πρώτη παράμετρο δίνουμε έναν πραγματικό αριθμό – κατά προτίμηση θετικό – που καθορίζει το ποσοστό του αρχικού μεγέθους του σχήματος που θέλουμε να διατηρήσουμε, ενώ στο δεύτερο όρισμα δίνουμε ο,τιδήποτε θέλουμε να του αλλάξουμε το μέγεθος. Έτσι, αν στο πρώτο όρισμα δώσουμε 0,89 και στο δεύτερο ένα σχήμα σχεδιασμένο με το tikz τότε θα πάρουμε ένα σχήμα και πάλι, αλλά στο 89% του αρχικού του μεγέθους. Αντίστοιχα, αν ως πρώτο όρισμα δώσουμε 1,56 και ως δεύτερο μία παράγραφο, τότε αυτό που θα πάρουμε θα είναι η παράγραφος στο 156% του αρχικού της μεγέθους.
Αυτά ήταν τα σχήματά μας και γι’ αυτήν την εβδομάδα! Μέχρι την επόμενη, νά’ στε καλά!
Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Ένα βάζο λουλούδια και μία κούπα καφέ του Henri Fantin-Latour.
Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:
Μαθηματικός, μάλλον... Προβολή όλων των δημοσιεύσεων από Aftermaths
Previous Άλγεβρα, Α’ Λυκείου – Μάθημα 7ο
Next Άλγεβρα, Β’ Λυκείου – Μάθημα 7ο
Γράψτε το σχόλιο σας εδώ....
Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:
Ηλ. διεύθυνση (απαιτείται) Δεν θα εμφανιστεί δημόσια.
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Ειδοποίηση μέσω mail για νέα σχόλια.
Να ειδοποιούμαι μέσω mail για νέα άρθρα.
Ακολούθησε το ιστολόγιο μέσω email
Μαζί με 480 ακόμα followers
Η καλή πράξη της ημέρας
Ασκήσεις στις Συναρτήσεις (Β' Λυκείου)
Ασκήσεις στα Σύνολα - Α' Λυκείου
Ασκήσεις στους κανόνες παραγώγισης
Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
10 Επαναληπτικά Θέματα - Γ' ΕΠΑΛ
Επανάληψη σε παραγοντοποίηση και ταυτότητες
5 Επαναληπτικά διαγωνίσματα (Γ' ΕΠΑΛ)
Ασκήσεις στη Σύνθεση (Λύσεις)
Η υπερβατικότητα του π
Αξίωμα της πληρότητας (6)
Τίποτα στην τύχη (1)
Τεστάκι της ημέρας (175)
The Wumpus Project (1)
1-1 After-maths Collatz featured Fermat Horner Tikz Workshop Α' Γυμνασίου Α' Λυκείου ΑΕΠΠ Απόψεις Β' Λυκείου Γ' λυκείου Διδακτικό υλικό ΕΟΚ ΕΠΑΛ ΘΜΤ Μαθηματικά Φυσική άλγεβρα ακρότατα αλγόριθμοι αμπελοφιλοσοφία ανισότητες ανισώσεις αποδείξεις απόλυτη τιμή ασκήσεις γραφική παράσταση δευτεροβάθμιες διάμεσος διαγώνισμα διακύμανση διασπορά διαφάνειες δομή επανάληψης δομή επιλογής δυνάμεις εισαγωγή εκθετική εξισώσεις επανάληψη θεωρία λογαριθμική λυμένα παραδείγματα λύσεις μέση τιμή μαθηματικά μονοτονία ολοκλήρωμα πίνακες πανελλήνιες παράγωγος παραμετρικές παραστάσεις πιθανότητες πολυώνυμα πράξεις πραγματικοί αριθμοί προβλήματα πρωτοβάθμιες πρόοδοι ρίζες σημειώσεις στατιστική συνέχεια συναρτήσεις συστήματα συχνοτήτων σύνολα τεστ τριγωνομετρία φύλλο εργασίας όρια
Buy me a tea!
Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τα τέσσερα δάκτυλα του βιολιστή. Πάνε στα τυφλά και δε λαθεύουν ούτε χιλιοστό. Χυμούν σε γκρεμούς, παιχνιδιάρες στην ανηφοριά, ακροβάτες στην κατηφοριά, είναι καλλιτέχνες τσίρκου για το θεωρείο των βουνών. Οι οπλές του αγριόγιδου γαντζώνονται στον αέρα. Ο ρόζος τους, μικρό μαξιλαράκι, όποτε θέλει λειτουργεί σαν σιγαστήρας, διαφορετικά το χωρισμένο στα δυο νύχι είναι καστανιέτα για φλαμένκο. Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τέσσερις άσσοι σε τσέπες χαρτοκλέφτη. Μ' εκείνες η βαρύτητα είναι μια παραλλαγή σ' ένα θέμα, όχι ένας νόμος.