el el el el el el el el el el el el el el el el el el en el el el el el el el el el el el el el el en el en el en el en el en el el el en el en el el en el el el ko el en el en el el ko el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. Βοηθήστε συνδέοντας το κείμενο με τις πηγές χρησιμοποιώντας παραπομπές, ώστε να είναι επαληθεύσιμο.
Το πρότυπο τοποθετήθηκε χωρίς ημερομηνία. Για τη σημερινή ημερομηνία χρησιμοποιήστε: {{χωρίς παραπομπές|5|10|2022}}
K = K μ + K π = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2 {\displaystyle K=K_{\mu }+K_{\pi }={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}
Όπου m η μάζα σώματος και v η ταχύτητά του.
Συνεπώς κινητική ενέργεια έχουν τα σώματα που εκτελούν κίνηση ή περιστροφή ή ταλάντωση. Για παράδειγμα το βλήμα ή ο πύραυλος που εκτοξεύεται έχει κινητική ενέργεια λόγω της ταχύτητάς του. Όταν ένα όχημα επιβραδύνεται χάνει σταδιακά την κινητική του ενέργεια.
Για να αποκτήσει ένα σώμα ταχύτητα από την ηρεμία πρέπει να του ασκηθεί κάποια δύναμη, έστω F αυτή. Για σχετικά μικρές ταχύτητες σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός ισχύει με πολύ καλή προσέγγιση ότι
F = m d v d t {\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}
Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το διαφορικό dr,
F ⋅ d r = m d v d t ⋅ d r ⇔ F ⋅ d r = m ( d v ⋅ d r d t ) {\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot d\mathbf {r} \Leftrightarrow \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =m\left(d\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)}
όπου η παράγωγος dv/dt της ταχύτητας χειρίσθηκε ως κλάσμα. Η ποσότητα dr/dt όμως είναι (εξ ορισμού) η ταχύτητα του σώματος. Συνεπώς,
F ⋅ d r = m v ⋅ d v {\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =m\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} }
Η (μεταφορική) κινητική ενέργεια ορίζεται ως το έργο που απαιτείται για να μεταφέρουμε ένα σώμα από αρχική ταχύτητα 0 (σε θέση r0) σε τελική ταχύτητα v (σε θέση r), συνεπώς
K μ = ∫ r 0 r F ⋅ d r ′ = m ∫ 0 v v ′ ⋅ d v ′ = m [ 1 2 v ′ 2 ] 0 v = 1 2 m v 2 {\displaystyle K_{\mu }=\int _{\mathbf {r_{0}} }^{\mathbf {r} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} '=m\int _{0}^{\mathbf {v} }\mathbf {v} '\cdot d\mathbf {v} '=m\left[{\frac {1}{2}}v'^{2}\right]_{0}^{v}={\frac {1}{2}}mv^{2}}
Η φυσική σημασία της παραπάνω εξίσωσης είναι ότι το έργο που απαιτείται για να αποκτήσει ένα σώμα μάζας m ταχύτητα v ξεκινώντας από την ηρεμία ισούται με (1/2)mv2. Εξ' ορισμού λοιπόν η μεταφορική κινητική ενέργεια ενός σώματος στη Κλασική Μηχανική ισούται με:
K μ = 1 2 m v 2 {\displaystyle K_{\mu }={\frac {1}{2}}mv^{2}}
Η κινητική ενέργεια, όπως υπολογίζεται, έχει σχέση με το σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιούμε, γιατί από αυτό εξαρτάται η ταχύτητα.
Στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, η κινητική ενέργεια υπόκειται σε ορισμένες διορθώσεις στην περίπτωση που ένα σώμα (ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς) κινείται με ταχύτητα κοντά σε εκείνη του φωτός. Συγκεκριμένα, στη σχετικότητα η μάζα εξαρτάται από τη ταχύτητα βάσει της σχέσης m=γm0 (όπου γ ο παράγοντας του Λόρεντς και m0 η μάζα ηρεμίας του σώματος), συνεπώς από τον ορισμό της κινητικής ενέργειας —όπως και στη κλασική περίπτωση— ως έργο που απαιτείται για να φέρουμε ένα σώμα από μια κατάσταση ηρεμίας (μηδενική ταχύτητα) σε ταχύτητα v ισχύει ότι:
K = ∫ 0 r d p d t ⋅ d r ′ = ∫ 0 p d p ⋅ v ′ = ∫ 0 γ m 0 v v ′ ⋅ d ( γ m 0 v ′ ) = [ γ m 0 v ′ 2 ] 0 v − m 0 ∫ 0 v γ v ′ d v ′ = γ m 0 v 2 − m 0 ∫ 0 v v ′ d v ′ 1 − ( v ′ / c ) 2 {\displaystyle K=\int _{0}^{\mathbf {r} }{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot d\mathbf {r} '=\int _{0}^{\mathbf {p} }d\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} '=\int _{0}^{\gamma m_{0}\mathbf {v} }\mathbf {v} '\cdot d(\gamma m_{0}\mathbf {v} ')=\left[\gamma m_{0}v'^{2}\right]_{0}^{v}-m_{0}\int _{0}^{v}\gamma v'dv'=\gamma m_{0}v^{2}-m_{0}\int _{0}^{v}{\frac {v'dv'}{\sqrt {1-(v'/c)^{2}}}}}
Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται αναλυτικά και το τελικό αποτέλεσμα είναι ότι:
K = m 0 v 2 1 − ( v / c ) 2 + m 0 c 2 1 − ( v / c ) 2 − m 0 c 2 = m 0 c 2 1 − ( v / c ) 2 − m 0 c 2 = ( m − m 0 ) c 2 {\displaystyle K={\frac {m_{0}v^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}-m_{0}c^{2}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-m_{0}c^{2}=(m-m_{0})c^{2}}
Η κινητική ενέργεια ενός σώματος στη Σχετικότητα εξαρτάται λοιπόν από τη σχετική διαφορά (m-m0) μεταξύ της σχετικιστικής μάζας και της μάζας ηρεμίας του. Είναι προφανές από τη προηγούμενη σχέση ότι στο όριο v→c, Κ→∞. Η φυσική σημασία αυτής της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς είναι ότι το έργο που απαιτείται για να φέρουμε ένα σώμα μη μηδενικής μάζας από ταχύτητα v=0 σε v=c είναι άπειρο.
Αντίθετα, στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων (v/c<<1), θα περίμενε κανείς να βρει την κλασική έκφραση της κινητικής ενέργειας σύμφωνα με τον Νεύτωνα. Πράγματι, αφού για μικρές τιμές του x η συνάρτηση (1-x2)-1/2 προσεγγίζεται πολύ καλά από την έκφραση 1+(1/2)x2, τότε για x=v/c η σχετικιστική έκφραση της κινητικής ενέργειας θα προσεγγίζεται πολύ καλά από τη σχέση
K ≈ m 0 c 2 [ 1 + 1 2 ( v / c ) 2 ] − m 0 c 2 = m 0 c 2 + 1 2 m 0 v 2 − m 0 c 2 = 1 2 m 0 v 2 {\displaystyle K\approx m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}(v/c)^{2}\right]-m_{0}c^{2}=m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}}
που ταυτίζεται απόλυτα με τον κλασικό τύπο της κινητικής ενέργειας. Η αναπαραγωγή των κλασικών αποτελεσμάτων στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων είναι ένα γενικότερο χαρακτηριστικό της Σχετικιστικής Μηχανικής.
Στην Κβαντομηχανική, η κινητική ενέργεια (όπως και όλες οι μετρούμενες φυσικές ποσότητες) περιγράφεται από έναν ερμιτιανό τελεστή. Στη μη-σχετικιστική κβαντομηχανική, ο τελεστής της κινητικής ενέργειας ισούται με
K ^ = p ^ 2 2 m {\displaystyle {\hat {K}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}}
Ο τελεστής της κινητικής ενέργειας με τον τελεστή της ορμής μετατίθενται για ένα ελεύθερα κινούμενο σωμάτιο ([K,p]=0), το οποίο σημαίνει πως οι δύο τελεστές έχουν τις ίδιες ιδιοσυναρτήσεις. Επίσης, στον χώρο των θέσεων η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει ένα σωματίδιο απόλυτα εντοπισμένης ορμής p (για ευκολία θα θεωρήσουμε κίνηση σε μία διάσταση) είναι η
ψ p ( x ) = 1 2 π ℏ   e i p x / ℏ {\displaystyle \psi _{p}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{ipx/\hbar }}
Η μεταθετικότητα των τελεστών K και p σημαίνει ότι ένα σωματίδιο με απόλυτα καθορισμένη κινητική ενέργεια p2/2m θα περιγράφεται επίσης από την ίδια ιδιοσυνάρτηση:
ψ K ( x ) = 1 2 π ℏ   e i p x / ℏ {\displaystyle \psi _{K}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{ipx/\hbar }}
Μια τέτοια κυματοσυνάρτηση, αν και αποτελεί λύση της εξίσωσης Σρέντιγκερ, περιγράφει μία αφύσικη κατάσταση με απολύτως εντοπισμένη ορμή (Δp=0) και άπειρη αβεβαιότητα στη θέση του (Δx=∞).
Το ίδιο επιχείρημα μπορεί να γενικευθεί και στον τρισδιάστατο χώρο, μόνο που οι τελεστές ορμής και κινητικής ενέργειας θα δίνονται πλέον από τους τύπους
p ^ = − i ℏ ∇ ,       K ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m ∇ 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }},\ \ \ {\hat {K}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}
όπου ∇ ο τελεστής ανάδελτα και ∇2 ο Τελεστής Λαπλάς.
↑ Beiser, Arthur (2001). Σύγχρονη Φυσική (στα Αγγλικά). Μεταφραστές: Αθηνά Πάκου, Νικόλαος Νικολής. Αθήνα: Τυπωθήτω. ISBN 978-960-8041-52-3.
↑ Φυσική Β' Γυμνασίου. Αθήνα: ΟΕΔΒ. 2004. σελ. 95, 96. ISBN 978-960-06-2731-2.
Beiser, A. (2002). Σύγχρονη Φυσική. Ελληνική μετάφραση. Εκδόσεις τυπωθήτω, Αθήνα.
Τραχανάς, Σ. (2009). Κβαντομηχανική Ι. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.
Αντωνίου Ν., Δημητριάδης Π., Καμπούρης Κ., Παπαμιχάλης Κ., Παπατσίμπα Λ. (2004). Φυσική Β' Γυμνασίου. Εκδόσεις ΟΕΔΒ, Αθήνα.