el en el el en el el el en el uk es en es tr en en ru el el el el el el el el el el el el el el el cs cs el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el mk el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el es en es el es es tr en es ru en el el en el el el en el en en el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el fr el el el en el el el el el el el el el el el el el el en de de el zh el el el el el el el el el en en de az el en el el en en el en el el en en el el el el el el en en el el
Είδαμε τις προηγούμενες εβδομάδες πολλά και διάφορα για το αν, τελικά, η έννοια του απίθανου συμπίπτει με αυτό που λέμε αδύνατο – δείτε εδώ, εδώ κι εδώ, αναλυτικότερα. Με λίγα λόγια, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι, πέρα από πεπερασμένα περιβάλλοντα, όπου το απίθανο και το αδύνατο είναι ένα και το αυτό, εν γένει δεν είναι το ίδιο. Για την ακρίβεια, σε άπειρους και αριθμήσιμους δειγματικούς χώρους βρήκαμε παραδείγματα ενδεχομένων τα οποία ενώ ήταν μη κενά – και άρα όχι αδύνατα – ήταν απίθανα – συνέβαιναν, δηλαδή, με πιθανότητα 0.
Το ίδιο κάναμε και με υπεραριθμήσιμους δειγματικούς χώρους, αλλά εκεί έχουμε αφήσει ακόμα κάποιες εκκρεμότητες. Για την ακρίβεια, την προηγούμενη εβδομάδα είχαμε ορίσει μία ενδιαφέρουσα σ-άλγεβρα, αυτή των Borel συνόλων που, για να θυμίσουμε πώς ορίζεται, είναι η ελάχιστη σ-άλγεβρα που περιέχει όλα τα διαστήματα πραγματικών αριθμών. Επίσης, είχαμε ορίσει ένα μέτρο, το οποίο το είχαμε ονομάσει μέτρο Lebesgue, και οριζόταν ως εξής:
όπου είναι η κλάση όλων των (ανοικτών) διαστημάτων πραγματικών αριθμών.
Όπως δείξαμε, υπάρχει ένα σύνολο, το οποίο το είχαμε ονομάσει το οποίο, με την υπόθεση ότι όλα τα παραπάνω είναι καλώς ορισμένα, είχαμε αποδείξει ότι δεν μπορεί να ανήκει στη σ-άλγεβρα των Borel υποσυνόλων του Με άλλα λόγια, έχουμε κατασκευάσει ένα σύνολο το οποίο δεν είναι ούτε πιθανό ούτε απίθανο, καθώς δεν μπορούμε με κάποιον τρόπο να αποτιμήσουμε την πιθανότητα αυτό να συμβεί.
…τίποτα δεν είναι τόσο εύκολο όταν έχουμε να κάνουμε με τους πραγματικούς αριθμούς. Η αλήθεια είναι ότι ιδρώσαμε για να κατασκευάσουμε το σύνολο – δείτε εδώ για περισσότερες λεπτομέρειες – αλλά το ότι εμείς κοπιάσαμε δε σημαίνει με κανένα τρόπο ότι άξιζε και τον κόπο. Την προηγούμενη εβδομάδα είχαμε αφήσει ανεπιβεβαίωτη μία ιδιότητα του μέτρου Lebesgue, με την υπόσχεση να προσπαθήσουμε να την αποδείξουμε αυτήν την εβδομάδα. Για την ακρίβεια, είχαμε αποδείξει ότι για κάθε ισχύει το εξής:
Αυτό που μας μένει να αποδείξουμε για να επιβεβαιώσουμε ότι το μέτρο Lebesgue είναι πράγματι ένα μέτρο πιθανότητας είναι η αντίστροφη ανισότητα. Για την ακρίβεια, δε χρειάζεται να την αποδείξουμε για κάθε επιλογή συνόλων παρά μόνο για αυτά που είναι ξένα ανά δύο μεταξύ τους.
Για να έχουν, λοιπόν, νόημα όσα λέμε, πρέπει να διευθετήσουμε αυτές τις δύο εκκρεμότητές μας. Σε αυτήν την κατεύθυνση θα μας βοηθήσει μία καινούργια έννοια – γιατί έτσι κάνουμε στα μαθηματικά, όποτε έχουμε πρόβλημα ορίζουμε κάτι νέο. Η έννοια αυτή θα αποτυπώνει μία ακόμα καλή ιδιότητα που θα θέλαμε να έχουν όσα σύνολα έχει νόημα να μπορούμε να αποτιμήσουμε την πιθανότητά τους να συμβούν – να είναι, δηλαδή, ενδεχόμενα.
Αν ένα σύνολο και θα λέγεται εξωτερικό μέτρο πιθανότητας στο αν:
Τώρα, αν εξαιρέσουμε τη δεύτερη ιδιότητα, το μέτρο Lebesgue ικανοποιεί τις άλλες δύο – το έχουμε αποδείξει αναλυτικά εδώ. Για τη δε μονοτονία δεν έχουμε να παρατηρήσουμε πως αν μπορούμε να καλύψουμε ένα σύνολο με τα διαστήματα τότε θα μπορούμε να καλύψουμε και κάθε επομένως πράγματι σε αυτήν την περίπτωση. Έτσι, το μέτρο Lebesgue όπως το έχουμε ορίσει ως τώρα, είναι ένα εξωτερικό μέτρο.
Επανερχόμαστε τώρα στην ερώτηση που θέσαμε παραπάνω:
Ποια σύνολα έχει νόημα να μετρήσουμε με το παραπάνω μέτρο έτσι ώστε αυτό, περιορισμένο σε αυτά τα σύνολα να είναι ένα μέτρο πιθανότητας;
Λοιπόν, για να είναι μέτρο πιθανότητας το θα θέλαμε να ισχύει η εξής ισότητα:
για κάθε ξένα ανά δύο. Ωστόσο, δεδομένης της ιδιότητας 3, αρκεί να γνωρίζουμε το εξής:
Τώρα, το παραπάνω είναι μία κάπως περίπλοκη σχέση, οπότε ίσως μας φανεί χρήσιμο να κάνουμε κάποιες σκέψεις πάνω σ’ αυτήν, έτσι ώστε να βρούμε κάτι κομψότερο.
Αρχικά, με δεδομένη την παραπάνω σχέση και την ιδιότητα 3 θα κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις. Ας πάρουμε δύο σύνολα Τότε, από τα παραπάνω, έχουμε ότι:
Επομένως, μία ιδιότητα που θα θέλαμε να έχουμε τα σύνολα που μετράει «καλά» ένα εξωτερικό μέτρο είναι η εξής:
για κάθε σύνολο Ας συμβολίσουμε αυτήν την κλάση συνόλων που έχουν την παραπάνω ιδιότητα με
Τώρα, ας παρατηρήσουμε, για αρχή, ότι το ίδιο το την έχει αυτήν την ιδιότητα, καθώς αν τότε έχουμε:
που είναι ακριβώς αυτό που θέλουμε. Ομοίως, και το κενό σύνολο έχει αυτήν την ιδιότητα, κατά τετριμμένο τρόπο. Αν τώρα και τότε παρατηρούμε ότι:
άρα και το συνεπώς η είναι κλειστή ως προς τα συμπληρώματα.
Ας πάρουμε τώρα δύο σύνολα κι ένα σύνολο Παρατηρούμε διαδοχικά ότι:
Αν αγνοήσουμε λίγο τα τεχνάσματα με τις πράξεις συνόλων που κάναμε παραπάνω, αυτό που έχουμε δείξει ως τώρα είναι ότι το κόβει επίσης καλά το και άρα Επομένως, η είναι μία άλγεβρα. Αν καταφέρουμε και αποδείξουμε ότι είναι επίσης και σ-άλγεβρα, τότε θα έχουμε βρει ένα αρκετά φυσιολογικό πεδίο ορισμού για το
Λοιπόν, αφού δείξαμε ότι η είναι άλγεβρα, θα μας φανεί χρήσιμο να αποδείξουμε ότι και το είναι (πεπερασμένα) προσθετικό σε αυτήν. Αυτό είναι σχετικά απλό, αφού αν είναι δύο ξένα σύνολα, τότε έχουμε:
δεδομένου ότι τα είναι ξένα μεταξύ τους και ότι μία άλγεβρα είναι κλειστή και ως προς τις πεπερασμένες ενώσεις.
Τώρα, με αυτό στα χέρια μας, θα θέλαμε να απποδείξουμε και ότι η είναι σ-άλγεβρα και, αντίστοιχα, ότι το είναι ένα σ-προσθετικό μέτρο σε αυτήν. Έστω, λοιπόν, κάποια σύνολα της που είναι ξένα ανά δύο κι έστω:
Αυτό που θα αποδείξουμε αρχικά είναι ότι Γι’ αυτόν τον σκοπό πρέπει να αποδείξουμε ότι για κάθε άλλο σύνολο ισχύει ότι:
Αρχικά, παρατηρούμε ότι ισχύει το εξής, δεδομένης της πεπερασμένης προσθετικότητας του :
Επίσης, και δύο σύνολα να πάρουμε, πάλι μπορούμε να αποδείξουμε το εξής:
Γενικότερα, δεδομένου ότι τα είναι ξένα ανά δύο, για κάθε μπορούμε εύκολα μέσω της πεπερασμένης προσθετικότητας του να αποδείξουμε το εξής:
Τώρα, δεδομένου ότι για κάθε έπεται άμεσα από τη μονοτονία του και ότι:
Παίρνοντας όριο καθώς το έχουμε άμεσα και το ακόλουθο:
Τώρα, από την υποπροσθετικότητα του μέτρου έχουμε και ότι:
καθώς επίσης και ότι:
Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε την ανισότητα:
η οποία μας οδηγεί στην ισότητα:
Από το παραπάνω έπεται άμεσα, αφενός, ότι και, αφετέρου, ότι:
αν επιλέξουμε για Συνεπώς, μ’ έναν σμπάρο δυο τρυγόνια, που λέμε, καθώς και δείξαμε ότι η είναι μία σ-άλγεβρα αλλά και ότι το είναι ένα σ-προσθετικό μέτρο όταν περιοριστεί σε αυτήν.
…τι γίνεται με τα σύνολα Borel; Καταφέραμε και βρήκαμε ένα «φυσιολογικό» πεδίο ορισμού για το μέτρο Lebesgue, ωστόσο, εξίσου «φυσιολογικά» είναι και τα σύνολα Borel σε ό,τι αφορά τις πιθανότητες και τα όσα συζητάμε. Όπως θα δούμε παρακάτω, η «φυσιολογικότητα» των συνόλων Borel είναι καθόλα συμβατή με τη «φυσιολογικότητα» των Lebesgue μετρήσιμων συνόλων, υπό την έννοια ότι [Spoiler alert] η σ-άλγεβρα των Borel συνόλων είναι υποσύνολο της Συνεπώς, όλα καλά, καθώς η αρχική μας διαίσθηση περί του πεδίου ορισμού του μέτρου Lebesgue και η «τελική» μας διαίσθηση συμβαδίζουν με τρόπο αρκετά ικανοποιητικό.
Ωστόσο, τα παραπάνω δεν είναι παρά λόγια του αέρα μέχρι να τα αποδείξουμε κιόλας. Επομένως, ας πάρουμε ένα σύνολο Borel κι ας δείξουμε ότι είναι και Lebesgue μετρήσιμο.
Ναι, αλλά πώς μοιάζουν τα σύνολα Borel; Δηλαδή, ποια ιδιότητά τους θα εκμεταλλευτούμε κατά την απόδειξή μας; Η αλήθεια είναι ότι αυτό μας έχει ξαναπροβληματίσει στο παρελθόν, αλλά εδώ δε θα χρειαστεί καθώς αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε κλειστό διάστημα είναι Lebesgue μετρήσιμο. Πράγματι, δεδομένου αυτού θα έχουμε ότι όλα τα κλειστά διαστήματα, και άρα όλα τα συμπληρώματα, οι τομές και οι ενώσεις τους, θα είναι επίσης μετρήσιμα – αφού η είναι σ-άλγεβρα. Συνεπώς, θα είναι και όλα τα Borel σύνολα Lebesgue μετρήσιμα, οπότε και θα έχουμε ξεμπερδέψει.
Ακόμα καλύτερα, κάνουμε αυτήν την εξαιρετική παρατήρηση:
συνεπώς μπορούμε να περιγράψουμε κάθε κλειστό διάστημα με διαστήματα της μορφής Έτσι, αρκεί να δείξουμε για αυτά μόνο ότι περιέχονται στην αφού έτσι θα περιέχονται και τα κλειστά διαστήματα και άρα και όλα τα σύνολα Borel. Τώρα, αφού απλοποιήσαμε αρκετά το πρόβλημά μας, πρέπει και να το λύσουμε. Έστω, λοιπόν, ένα σύνολο κι έστω κι ένα διάστημα για κάποιο Θέλουμε να δείξουμε ότι:
Όπως έχουμε πει, η ισχύει από την υποπροσθετικότητα του επομένως θέλουμε να αποδείξουμε την Θεωρούμε ένα οπότε υπάρχουν – από τον ορισμό του – διαστήματα έτσι ώστε:
Τώρα, θεωρούμε τα διαστήματα και τα διαστήματα και παρατηρούμε άμεσα ότι:
Επίσης, σαφώς άρα θα έχουμε και:
Τότε, από όλα τα παραπάνω έχουμε:
Συνεπώς, αφού το ήταν αυθαίρετο, έπεται ότι:
που ήταν και το ζητούμενο.
Έτσι, πράγματι, όλα τα Borel σύνολα είναι και μετρήσιμα και άρα μπορούμε να κοιμηθούμε ήσυχα.
Έχοντας καθορίσει ένα καλώς ορισμένο μέτρο πιθανότητας για τους πραγματικούς αριθμούς και έχοντας περιγράψει πλήρως τη σ-άλγεβρα στην οποία ορίζεται, επανερχόμαστε σε αυτό με το οποίο κλείσαμε την προηγούμενη σχετική ανάρτηση. Για να θυμηθούμε τι είχαμε κάνει, είχαμε ορίσει ένα σύνολο το οποίο δεν ήταν μετρήσιμο, με την έννοια που καθορίσαμε παραπάνω. Δηλαδή, δεν μπορούσαμε να αποτιμήσουμε το πόσο είναι ή όχι πιθανό να τραβήξουμε έναν αριθμό από αυτό το σύνολο. Κι εδώ, ερχόμαστε να συνοψίσουμε τα αποτελέσματα που έχουμε δει ως τώρα τις προηγούμενες εβδομάδες:
Όταν μιλάμε για πεπερασμένους δειγματικούς χώρους, μπορούμε σχετικά απλά να αποτυπώσουμε τη διαίσθησή μας σε αυστηρά μαθηματικά χωρίς να έχουμε «παρατράγουδα».
Όταν μιλάμε για άπειρους αλλά αριθμήσιμους δειγματικούς χώρους, έχουμε εγγενείς δυσκολίες στο να αποτυπώσουμε τη διαίσθησή μας με τρόπο που να μην οδηγεί σε πράγματα απίθανα κι όχι και αδύνατα.
Όταν μιλάμε για υπεραριθμήσιμους δειγματικούς χώρους, ο τρόπος που επιλέξαμε παραπάνω να αποτυπώσουμε τη διαίσθησή μας περί του τυχαίου είναι μεν συμβατός με τη διαίσθησή μας, γενικά, αλλά ο «χώρος» που μας δίνουν τα υπεραριθμήσιμα στο πλήθος στοιχεία που έχουμε στη διάθεσή μας είναι αρκετός για να κατασκευάσουμε όχι μόνο ενδεχόμενα που είναι απίθανα κι όχι αδύνατα, αλλά και ενδεχόμενα που δεν… ενδέχεται να τα μετρήσουμε με κάποιον τρόπο.
Συνεπώς, πέρα από τη διάκριση που κάνουμε ανάμεσα στο τι είναι απίθανο και το τι είναι αδύνατο, έχει νόημα να μιλήσουμε και για το τι είναι εύλογο να θεωρήσουμε ως πιθανό ή απίθανο. Το παραπάνω μας οδηγεί και στη ακόλουθη φυσιολογική ερώτηση: μήπως μπορούμε με κάποιον άλλο τρόπο να αποτυπώσουμε καλύτερα το τι θεωρούμε ως ενδεχόμενο σε αυτές τις περιπτώσεις έτσι ώστε να μην προκύπτουν τέτοια «παράδοξα» σύνολα; Αυτό ίσως το απαντήσουμε στο μέλλον…
Μέχρι τότε, καλό απόγευμα!
Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Νεκρή φύση με δοχείο μουστάρδας του Henri Fantin-Latour.
Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:
Μαθηματικός, μάλλον... Προβολή όλων των δημοσιεύσεων από Aftermaths
Previous Ανισότητες & Διαστήματα
Next Άλγεβρα, Α’ Λυκείου – Μάθημα 8ο
Γράψτε το σχόλιο σας εδώ....
Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:
Ηλ. διεύθυνση (απαιτείται) Δεν θα εμφανιστεί δημόσια.
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Ειδοποίηση μέσω mail για νέα σχόλια.
Να ειδοποιούμαι μέσω mail για νέα άρθρα.
Ακολούθησε το ιστολόγιο μέσω email
Μαζί με 513 ακόμα followers
Η καλή πράξη της ημέρας
Τεστάκι της Ημέρας #001 - Τι θυμόμαστε από το Γυμνάσιο;
Ασκήσεις στις Συναρτήσεις (Β' Λυκείου)
Ασκήσεις στα Σύνολα - Α' Λυκείου
Ασκήσεις στους κανόνες παραγώγισης
Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
10 Επαναληπτικά Θέματα - Γ' ΕΠΑΛ
Επανάληψη σε παραγοντοποίηση και ταυτότητες
Η υπερβατικότητα του π
5 Επαναληπτικά διαγωνίσματα (Γ' ΕΠΑΛ)
Ασκήσεις στη Σύνθεση (Λύσεις)
Αξίωμα της πληρότητας (6)
Τίποτα στην τύχη (1)
Τεστάκι της ημέρας (176)
The Wumpus Project (1)
1-1 After-maths Collatz featured Fermat Horner Tikz Workshop Α' Γυμνασίου Α' Λυκείου ΑΕΠΠ Απόψεις Β' Λυκείου Γ' λυκείου Διδακτικό υλικό ΕΟΚ ΕΠΑΛ ΘΜΤ Μαθηματικά Φυσική άλγεβρα ακρότατα αλγόριθμοι αμπελοφιλοσοφία ανισότητες ανισώσεις αποδείξεις απόλυτη τιμή ασκήσεις γραφική παράσταση δευτεροβάθμιες διάμεσος διαγώνισμα διακύμανση διασπορά διαφάνειες δομή επανάληψης δομή επιλογής δυνάμεις εισαγωγή εκθετική εξισώσεις επανάληψη θεωρία λογαριθμική λυμένα παραδείγματα λύσεις μέση τιμή μαθηματικά μονοτονία ολοκλήρωμα πίνακες πανελλήνιες παράγωγος παραμετρικές παραστάσεις πιθανότητες πολυώνυμα πράξεις πραγματικοί αριθμοί προβλήματα πρωτοβάθμιες πρόοδοι ρίζες σημειώσεις στατιστική συνέχεια συναρτήσεις συστήματα συχνοτήτων σύνολα τεστ τριγωνομετρία φύλλο εργασίας όρια
Buy me a tea!
Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τα τέσσερα δάκτυλα του βιολιστή. Πάνε στα τυφλά και δε λαθεύουν ούτε χιλιοστό. Χυμούν σε γκρεμούς, παιχνιδιάρες στην ανηφοριά, ακροβάτες στην κατηφοριά, είναι καλλιτέχνες τσίρκου για το θεωρείο των βουνών. Οι οπλές του αγριόγιδου γαντζώνονται στον αέρα. Ο ρόζος τους, μικρό μαξιλαράκι, όποτε θέλει λειτουργεί σαν σιγαστήρας, διαφορετικά το χωρισμένο στα δυο νύχι είναι καστανιέτα για φλαμένκο. Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τέσσερις άσσοι σε τσέπες χαρτοκλέφτη. Μ' εκείνες η βαρύτητα είναι μια παραλλαγή σ' ένα θέμα, όχι ένας νόμος.