el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el en el el el el el el el el en el el el el el el el el el el el el el el de pt pt de es en es oc sv pt de fr pl sk pl ru es en es en es en es tr fr de fr ca ru ru pl ru es en it en es en es id ca ca oc fr uk de ru ru es ru it en es ru es en ca fr fr ca fr it ru ru es ceb it en es ca es de oc fr oc oc ja de ru ru es en ro sv es en ca eu ca es fr oc it de pl ru es de pt nl es en ca en oc en fr oc de it pl ru es en es cy it en ca ru oc als ca ca fr de ru ru es en it es it en eu en oc fr th oc it it pl ru es ru de pt pt de es en es oc sv pt de fr cs sk pt en es en it de it ru ru nb eu en en en ru es it en it eu it en pl ca zh ceb ca ca en en cs hu el en el el sv fr de de fr fr el el el el el el el el el el el el fr fr de de vi en zh en en en it en en de fr fr oc fr en ca id en en sv en en de fr fr fr de ca fr fr fr tr ru it de fr fr fr en sv fr de fr ru oc oc oc oc sv de de sv sv fr fr de en fr fr fr fr en sv sv fr fr de de de de fr fr fr fr de fr fr fr fr ru fr fr ru sk fr ru ru de ru fr fr sv cs pl ru ru fa ru ru ru ru ru ru en en el el el el el el el el el el el el el el el el el de sv fr fr sv de en fr fr fr fr en uk sv ru fr sv uk lt de fr ru de lt lt ja sk fr ja lt en fr ru ru fr en lt sv sk sk sv lt ja fr fr sv fr ja uk de fr sk de en lt fr pl fr en pt lt ja ru fr ja uk lt ja ru ru fr lt lt ja uk cs ja lt ja en ru uk en lt ja sv cs pl sv lt de es ru ru de ja de ja ru ru ja ja de fr ru ru es de fr de ru ru de de zh en ru cs en de ja ja ru ru en de ja sv ru ru ca de en ja ru ru ja fr ja de ru ru de zh ja ja it ru ja ja zh fr eo ru fr ja ja ja ru ru ja en en it ru ru de ja ja en ru ru en ja en de ru it en zh lt sv ru nl sv ja en en ru ru en en en ja ru ru de zh en ja ru tt ja es en ja ru ru ja ja el el el el el en de el es en el es en el es en el el el el it en es en ru es el es en el el en en el fr en el el en el el es el el el el el el el el el el el el el el el el el
Το δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι θεσιακό σύστημα αρίθμησης το οποίο χρησιμοποιεί το 12 ως την αριθμητική βάση του.
2.1 Αντιστοιχία δωδεκαδικών με δεκαδικούς αριθμούς
Οι φάλαγγες (οριζόντιες αρθρώσεις) των δαχτύλων χρησιμοποιούνται σε κάποιους πολιτισμούς για τη μέτρηση έως το 12 με τη χρήση του ενός χεριού
Ο αριθμός 12 είναι εξαιρετικά υψηλός σύνθετος αριθμός καθώς διαθέτει μεγάλο αριθμό διαιρετών με 6 διαιρέτες (1 2 3 4 6 12) σε σχέση με την αριθμητική του θέση. Οι παράγοντες του (2 και 3) είναι πρώτοι αριθμοί κάτι που σημαίνει πως οι αντίστροφοι όλων των αριθμών που πραγματοποιούνται με το 3 δεν δημιουργούν άρρητους αριθμούς όταν διαιρούνται. Έτσι αποτελεί βολικό σύστημα για τον υπολογισμό συχνά χρησιμοποιούμενων κλασμάτων όπως  1⁄2,   1⁄3,   2⁄3,   1⁄4 και 3⁄4 καθώς δίνει αποτελέσματα χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία.
Η προέλευση του πιθανώς πηγάζει από τους 12 σεληνιακούς κύκλους του έτους, καθώς και από το γεγονός ότι υπάρχει 12 φάλαγγες (αρθρώσεις, οι οριζόντιες γραμμές των δαχτύλων) στα 4 δάχτυλα του χεριού εκτός του αντίχειρα. Σε κάποιες περιοχές της Ασίας η μέτρηση με το ένα χέρι γίνεται έως το 12 με την καταμέτρηση των φαλαγγών των δαχτύλων και τον αντίχειρα να χρησιμοποιείται ως δείκτης της καταμέτρησης, κάτι που εξηγεί την προέλευση του δωδεκαδικού συστήματος καθώς και των πολλαπλάσιων της αριθμητικής βάσης του 12 όπως π.χ. το εξηνταδικό σύστημα.[1][2][3]Επιπλέον, το δωδεκαδικό σύστημα είναι ενσωματωμένο σε διάφορα αριθμητικά συστήματα γλωσσών, όπως διάφορες γλώσσες της Νιγηρίας (Τζάντζι, Γκμπίρι-Νιράγκου, Πίτι, Γκουαντάρα),[4] τη γλώσσα Τσεπάνγκ στο Νεπάλ,[5] και τη γλώσσα Ντιβέχι στις Μαλδίβες και περιοχές της Ινδίας.
Ιστορικά, οι μονάδες μέτρησης χρόνου σε πολλούς πολιτισμούς υπήρξαν δωδεκαδικές, κάτι που καταδεικνύεται από το γεγονός ότι υπάρχουν 12 μήνες και ζωδιακά σύμβολα σε ένα έτος, ενώ οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν 12 ώρες εντός της ημέρας και αργότερα μετατράπηκε σε 24 όπως και στη σύγχρονη εποχή. Στο παραδοσιακό κινεζικό ημερολόγιο τα ωρολόγια και οι πυξίδες βασίζονται επίσης στο δωδεκαδικό σύστημα.
Σε ότι αφορά τη μέτρηση χώρου και διαστάσεων, το σύστημα κλασμάτων των Ρωμαίων βασίζονταν στο 12, και από εκεί προέκυψε η ουγγιά. Στο βρετανικό αυτοκρατορικό σύστημα μέτρησης το αυτοκρατορικό πόδι απαρτίζεται από 12 ίντσες, μια λίβρα τρόυ αποτελείται από 12 ουγγιές τρόυ, ένα βρετανικό σελίνι απαρτίζεται από 12 παλαιές βρετανικές πένες, ενώ στο νομισματικό σύστημα υπήρχαν διάφορες επιπλέον υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσια (π.χ. 240 πένες = 20 σελίνια). Το δεκαδικό σύστημα με τη μορφή του μετρικού συστήματος αντικατέστησε σε μεγάλο βαθμό το δωδεκαδικό με προέλευση τη Γαλλία, καθώς ιδιαίτερα μετά τη γαλλική επανάσταση οι Γάλλοι επαναστάτες υπήρξαν ακραία υπέρ του δεκαδικού συστήματος αντικαθιστώντας το δωδεκαδικό παντού και φτάνοντας έως το σημείο να ορίσουν εβδομάδες 10 ημερών (γαλλικό δημοκρατικό ημερολόγιο) και ώρες των 100 λεπτών.
Στη χρωματική κλίμακα, υπάρχουν 12 τονικά ύψη σε χαμηλές και υψηλές νότες, κάτι που πηγάζει από την αρχική μουσική κλίμακα των Πυθαγορείων.
Εναλλακτική μορφή αναπαράστασης του έντεκα στο δωδεκαδικό σύστημα με τη μορφή του ανεστραμμένου 3
Σε κάποιες μορφές του δωδεκαδικού συστήματος, ο αριθμός δέκα γράφεται με τη μορφή καθέτως ανεστραμμένου 2, ενώ ο αριθμός έντεκα ως καθέτως ανεστραμμένο 3. Η χρήση των συμβόλων αυτών είναι βρετανικής προέλευσης,[6] και τα σύμβολα αυτά διαθέτουν τη δική τους καταχώρηση στο πρότυπο Unicode από τον Ιούνιο του 2015 (↊ με κωδικό 218A, και ↋ με κωδικό 218B).[7][8]Μια παλαιότερη μορφή αναπαραστάσεων αμερικανικής προέλευσης αποτελούν τα σύμβολα X και ℰ.[9] Γενικά οι παραστάσεις αυτές προέρχονται από συλλόγους δωδεκαδιστών οι οποίοι δραστηριοποιούνται στην προώθηση και εκμάθηση του δωδεκαδικού συστήματος αρίθμησης με απώτατο στόχο την αντικατάσταση του δεκαδικού συστήματος με το δωδεκαδικό.[10][11]
Κατά τη σύμβαση με τις υπόλοιπες αναπαραστάσεων ψηφίων αριθμητικών βάσεων μεγαλύτερων του 10, εναλλακτικά χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, έτσι το δέκα αναπαριστάται ως A και το έντεκα ως B.
Υπάρχουν διάφορες άλλες αναπαραστάσεις, και σε κάποιες από αυτές τις περιπτώσεις χρησιμοποιείται το ελληνικό γράμμα δέλτα (δ) για το δέκα, και το ταυ (τ) ή έψιλον (ε) για το έντεκα.[12]
Αντιστοιχία δωδεκαδικών με δεκαδικούς αριθμούςΕπεξεργασία
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 5
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από τη βάση: 3
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από τη βάση: 11
Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 3
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από τη βάση: A
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από τη βάση: 11
Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή
√2 (το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου 1x1)
√3 (το μήκος της διαγωνίου του κύβου, ή το διπλάσιο του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου)
√5 (το μήκος της διαγωνίου σε ορθογώνιο 1×2)
φ (η χρυσή τομή = 1 + 5 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}  )
π (αναλογία της περιφέρειας προς τη διάμετρο)
e (η βάση του φυσικού λογάριθμου)
↑ Nishikawa, Yoshiaki (2002). «ヒマラヤの満月と十二進法 (The Full Moon in the Himalayas and the Duodecimal System)». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 29 Μαρτίου 2008. Ανακτήθηκε στις 24 Μαρτίου 2008.
↑ Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-39340-1. . Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk.
↑ Macey, Samuel L. (1989). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press. σελ. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8.
↑ Matsushita, Shuji (1998). «Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration». 2nd Meeting of the AFLANG, October 1998, Tokyo. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2008-10-05. https://web.archive.org/web/20081005230737/http://www3.aa.tufs.ac.jp/~P_aflang/TEXTS/oct98/decimal.html. Ανακτήθηκε στις 2011-05-29.
↑ Mazaudon, Martine (2002). «Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes». Στο: François, Jacques. La Pluralité (PDF). Leuven: Peeters. σελίδες 91–119. ISBN 90-429-1295-2.
↑ Pitman, Isaac (ed.): A triple (twelve gross) Gems of Wisdom. London 1860
↑ «Unicode 8.0.0». Unicode Consortium. Ανακτήθηκε στις 30 Μαΐου 2016.
↑ «The Unicode Standard 8.0» (PDF). Ανακτήθηκε στις 18 Ιουλίου 2014.
↑ Andrews, Frank Emerson (1935). New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal (12) Base Would Simplify Mathematics. σελ. 52.
↑ «The Dozenal Society of America | Promoting base twelve and alternative base mathematics». www.dozenal.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2017.
↑ «DSGB». www.dozenalsociety.org.uk. Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2017.
↑ De Vlieger, Michael (2010). «Symbology Overview». The Duodecimal Bulletin 4X [59] (2). http://www.dozenal.org/drupal/sites_bck/default/files/DuodecimalBulletinIssue4a2_0.pdf.