el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el en el en el el el el el el el el el el en el el en el el el el en el el el el el en el el el en el pl el en el el el el en el el el el el el el el en el en el el el el el el ko el el en el en el en el el el el el el el el el el el el el en el en en el en el el en en el el fr el el el el el el fr fr en en de de de de el el en en en en fr fr en en en en en de el el el el en en en el el el el el el el el el el el el
Αυτό το λήμμα αφορά σχετικό θεώρημα της άλγεβρας. Για το θεώρημα της αριθμητικής, δείτε: Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.
Το Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (ή Θεώρημα ντ' Αλαμπέρ-Γκάους) είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα στα μαθηματικά. Σύμφωνα με αυτό, όλα τα πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές έχουν τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα.
Ο τυπικός ορισμός του θεωρήματος είναι:
Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής, μη μηδενικού βαθμού και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών.
Το θεώρημα διατυπώνεται και ως εξής: Κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο μίας μεταβλητής και βαθμού n με μιγαδικούς συντελεστές έχει, συμπεριλαμβανομένων των πολλαπλοτήτων, ακριβώς n ρίζες. Η ισοτιμία των δύο προτάσεων μπορεί να αποδειχθεί με τη χρήση διαδοχικών πολυωνυμικών διαιρέσεων.
Στην ορολογία της θεωρίας σωμάτων, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό.
Παρόλο το όνομά του, δεν υπάρχει αμιγώς αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος, καθώς κάθε απόδειξη πρέπει να χρησιμοποιεί την πληρότητα των πραγματικών (ή κάποια ισοδύναμη σύνθεση), η οποία δεν είναι αλγεβρική έννοια. Επιπλέον δεν είναι θεμελιώδης για την σημερινή άλγεβρα΄ έλαβε το όνομά του σε μία εποχή όπου η μελέτη της άλγεβρας αφορούσε κυρίως την επίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων με πραγματικούς και μιγαδικούς συντελεστές.
4 Όρια των ριζών του πολυωνύμου
Η πρώτη αναφορά στην ουσία του θεωρήματος έγινε από τον Peter Rothe (Petrus Roth) στο βιβλίο του Arithmetica Philosophica (1608), όπου σημείωνε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n (με πραγματικούς συντελεστές) μπορεί να έχει n λύσεις. Έπειτα, ο Albert Girard, στο βιβλίο του L'invention nouvelle en l'Algèbre του 1629, ισχυρίστηκε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n έχει n λύσεις, χωρίς όμως να δηλώνει ότι χρειάζεται να είναι πραγματικοί αριθμοί. Επιπλέον, πρόσθεσε ότι ο ισχυρισμός του ισχύει "εκτός αν η εξίσωση είναι ατελής", με το οποίο εννοούσε ότι κανένας συντελεστής δεν ισούται με το μηδέν. Ωστόσο, όταν εξηγεί λεπτομερώς τί εννοεί, είναι σαφές ότι ο ίδιος πιστεύει ότι ο ισχυρισμός του είναι πάντα αληθής' για παράδειγμα δείχνει ότι η εξίσωση x4 = 4x − 3, ενώ ατελής, έχει τέσσερις λύσεις (συμπεριλαμβανομένων και των πολλαπλοτήτων): 1 (διπλή), −1 + i√2, και −1 − i√2.
Από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας προκύπτει ότι κάθε μη σταθερό πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί σαν προϊόν πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές των οποίων ο βαθμός είναι είτε 1 είτε 2. Ωστόσο, το 1702 ο Λάιμπνιτς είπε ότι κανένα πολυώνυμο του τύπου x4 + a4 (όπου a πραγματικός και διάφορος του μηδενός) μπορεί να γραφεί με τέτοιο τρόπο. Αργότερα, ο Nikolaus I Bernoulli έκανε τον ίδιο ισχυρισμό όσον αφορά το πολυώνυμο x4 −  4x3 + 2x2 + 4x + 4, αλλά έλαβε ένα γράμμα από τον Όιλερ το 1742[1], το οποίο εξηγούσε ότι το πολυώνυμό του τύχαινε να είναι ίσο με:
( x 2 − ( 2 + α ) x + 1 + 7 + α ) ( x 2 − ( 2 − α ) x + 1 + 7 − α ) , {\displaystyle (x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha )(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha ),}
όπου α η τετραγωνική ρίζα του 4 + 2√7. Επίσης ο Όιλερ ανέφερε ότι:
x 4 + a 4 = ( x 2 + a 2 ⋅ x + a 2 ) ( x 2 − a 2 ⋅ x + a 2 ) . {\displaystyle x^{4}+a^{4}=(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2})(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}).\,}
Η πρώτη απόπειρα απόδειξης του θεωρήματος έγινε από το Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ το 1746, αλλά η απόδειξη του ήταν ατελής. Για παράδειγμα, προαπαιτούσε την ισχύ ενός θεωρήματος (που είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα του Puiseux), το οποίο όμως αποδείχτηκε μόλις έναν αιώνα μετά και μάλιστα η απόδειξη του βασιζόταν στο θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Άλλες προσπάθειες για την απόδειξη του θεωρήματος έγιναν και από άλλους μαθηματικούς, όπως οι Όιλερ (1749), de Foncenex (1759), Λαγκράνζ (1772), και Λαπλάς (1795). Όλες αυτές οι προσπάθειες βασιζόντουσαν ουσιαστικά στον ισχυρισμό του Girard. Για την ακρίβεια, δεχόντουσαν την ύπαρξη αυτών των λύσεων οπότε το μόνο που έμενε να αποδειχθεί ήταν ότι οι λύσεις είχαν τη μορφή a + bi για κάποιους πραγματικούς a και b. Με τους σημερινούς όρους οι Όιλερ, de Foncenex, Λαγκράνζ και Λαπλάς υπέθεταν την ύπαρξη ενός σώματος διάσπασης του πολυωνύμου p(z).
Στα τέλη του 18ου αιώνα δημοσιεύτηκαν δύο νέες και καλύτερες απόπειρες απόδειξης του θεωρήματος, οι οποίες δεν υπέθεταν την ύπαρξη ριζών. Η πρώτη ήταν του James Wood, δημοσιεύθηκε το 1798 και ήταν κυρίως αλγεβρική, αλλά αγνοήθηκε εντελώς μιας και είχε αλγεβρικά κενά[2]. Πιο γνωστή έγινε η δεύτερη απόπειρα απόδειξης, που ήταν κυρίως γεωμετρική και δημοσιεύθηκε ένα χρόνο αργότερα, το 1799, από το Γερμανό μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Και πάλι, όμως, η απόδειξη δεν ήταν πλήρης, αφού είχε ένα τοπολογικό κενό. Αυτά ήρθε να γεμίσει ο Alexander Ostrowski το 1920, όπως συζητήθηκε και με τον Smale το 1981 (ο Smale γράφει: ... θα ήθελα να τονίσω το τεράστιο κενό που περιείχε η απόδειξη του Γκάους. Είναι ένα λεπτό σημείο ακόμα και σήμερα το ότι μια πραγματική αλγεβρική καμπύλη του επίπεδου δεν μπορεί να μπει σε ένα δίσκο χωρίς να φύγει. Στην πραγματικότητα, ακόμη και αν ο Γκάους επαναδιατύπωσε την απόδειξη 50 χρόνια μετά, το κενό παρέμεινε. Ήταν το 1920 όταν η απόδειξη του Γκάους ολοκληρώθηκε.Στην παραπομπή Γκάους, ο A. Ostrowski έχει μία εργασία η οποία κάνει αυτό και δίνει μία εξαιρετική συζήτηση του προβλήματος επίσης...). Μια αυστηρή απόδειξη δημοσιεύτηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Ζαν-Ρομπέρ Αργκάν  το 1806 και για πρώτη φορά το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας διατυπώθηκε για πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές αντί για μόνο πραγματικούς συντελεστές. Ο Γκάους παρήγαγε δύο ακόμη αποδείξεις το 1816 και μία ακόμη εκδοχή της πρωτότυπης απόδειξης το 1849.
Το πρώτο εγχειρίδιο που είχε μία απόδειξη του θεωρήματος ήταν το Cauchy's Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). Περιείχε την απόδειξη του Αργκάνf, αν και δεν του δόθηκε πίστωση για αυτό.
Καμία από τις αποδείξεις που έχουν αναφερθεί έως τώρα είναι εποικοδομητική. Ήταν ο Weierstrass ο οποίος έθεσε για πρώτη φορά, στα μισά του 19ου αιώνα, το πρόβλημα της εύρεσης μίας εποικοδομητικής απόδειξης του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας. Παρουσίασε την απόδειξή του , η οποία ανέρχεται με τους σημερινούς όρους σε έναν συνδυασμό της μεθόδου Durand–Kerner με την αρχή της συνέχισης της ομοτοπίας, το 1891. Άλλη μία απόδειξη αυτού του είδους βρήκε ο Χέλμουτ Κνέζερ (Hellmuth Kneser) το 1940 και απλοποίησε ο γιος του, Μάρτιν Κνέζερ, το 1981.
Χωρίς να χρησιμοποιήσουμε μετρήσιμη επιλογή, δεν είναι δυνατό να αποδείξουμε εποικοδομητικά το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας για μιγαδικούς αριθμούς βασιζόμενοι στους πραγματικούς αριθμούς Dedekind(?) (οι οποίοι δεν είναι εποικοδομητικά  ισοδύναμοι με τα πραγματικά νούμερα Cauchy χωρίς μετρήσιμη επιλογή[3]). Ωστόσο, ο Fred Richman απέδειξε μία αναδιατυπωμένη εκδοχή του θεωρήματος η οποία λειτουργεί[4].
Αυτό το λήμμα χρειάζεται μορφοποίηση ώστε να ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές μορφοποίησης της Βικιπαίδειας. Αυτό μπορεί να σημαίνει την δημιουργία εσωτερικών συνδέσμων, επικεφαλίδων, παραγράφων κλπ.
Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τις σελίδες Πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και Βικιπαίδεια:Οδηγός μορφοποίησης άρθρων.
'Όλες οι αποδείξεις παρακάτω περιέχουν κάποια ανάλυση ή τουλάχιστον την τοπολογική έννοια της συνέχειας των πραγματικών αριθμών ή μιγαδικών συναρτήσεων. Μερικές χρησιμοποιούν επίσης διαφορικές ή ακόμα και αναλυτικές συναρτήσεις. Αυτό έχει οδηγήσει μερικούς στην παρατήρηση ότι το Θεμελιώδης Θεώρημα της Άλγεβρας δεν είναι ούτε θεμελιώδης ούτε θεώρημα της Άλγεβρας.
Μερικές αποδείξεις του θεωρήματος αποδεικνύουν μόνο ότι κάθε μη σταθερό πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές έχει κάποια μιγαδική ρίζα. Αυτό είναι αρκετό για να καθοριστεί το θεώρημα στη γενική περίπτωση, διότι, δεδομένου ενός πολυωνύμου μη σταθερού p(z) με μιγαδικούς συντελεστές, το πολυώνυμο
q ( z ) = p ( z ) p ( z ¯ ) ¯ {\displaystyle q(z)=p(z){\overline {p({\overline {z}})}}}
έχει μόνο πραγματικούς συντελεστές και, εάν το Ζ είναι μηδέν του p(z), τότε είτε το z ή το συζυγές του είναι μια ρίζα της p(z).
Ένας μεγάλος αριθμός αποδείξεων του θεωρήματος χρησιμοποιούν το δεδομένο (μερικές φορές αποκαλούνται "αναπτυγμένα λήμματα") ότι μία νιοστού βαθμού πολυωνυμική συνάρτηση p(z) του οποίου ο κυρίαρχος συντελεστής είναι 1 συμπεριφέρεται ως zn όταν το |z| είναι αρκετά μεγάλο. Μια πιο ακριβής δήλωση είναι: υπάρχει κάποια θετικός πραγματικός αριθμός R τέτοιος ώστε:
1 2 | z n | < | p ( z ) | < 3 2 | z n | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|}
όταν |z| > R.
Βρείτε ένα κλειστό δίσκο D της ακτίνας r και κέντρο στην αρχή των αξόνων έτσι ώστε | p (z) |> | p (0) | όταν | z | ≥ r. Το ελάχιστο της | p (z) | στο D, το οποίο πρέπει να υπάρχει αφού το D είναι συμπαγής, επιτυγχάνεται, επομένως, σε ορισμένες z0 σημείο στο εσωτερικό του ϋ, αλλά όχι σε οποιοδήποτε σημείο του ορίου του. Αρχής της μέγιστης συντελεστή (εφαρμόζεται σε 1 / Ρ (ζ)), τότε συνεπάγεται ότι p (cj) = 0. Με άλλα λόγια cj είναι μηδέν ρ (ζ).
Μία παραλλαγή αυτής της απόδειξης δεν απαιτεί τη χρήση της αρχής της μέγιστης συντελεστή (στην πραγματικότητα, το ίδιο επιχείρημα με μικρές αλλαγές δίνει επίσης μια απόδειξη της αρχής της μέγιστης συντελεστή για ολομορφικές λειτουργίες). Αν υποθέσουμε από την αντίφαση ότι: p = (cj) ≠ 0, τότε, επέκταση p (z) στις δυνάμεις του z - cj μπορούμε να γράψουμε
p ( z ) = a + c k ( z − z 0 ) k + c k + 1 ( z − z 0 ) k + 1 + … + c n ( z − z 0 ) n . {\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\ldots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}
Εδώ, οι cj είναι απλά οι συντελεστές του πολυωνύμου z → p (cj), και αφήνουμε k είναι ο δείκτης του πρώτου συντελεστή μετά από τον σταθερό όρο που είναι μη μηδενική. Αλλά τώρα βλέπουμε ότι για z αρκετά κοντά στο cj αυτό έχει ασυμπτωτικά συμπεριφορά παρόμοια με την απλούστερη πολυώνυμο q ( z ) = a + c k ( z − z 0 ) k {\displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}}   , με την έννοια ότι (όπως είναι εύκολο να ελεγχθεί) η συνάρτηση | p ( z ) − q ( z ) ( z − z 0 ) k + 1 | {\displaystyle \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|}   οριοθετείται από κάποια θετική σταθερά M σε κάποια γειτονιά του cj. Ως εκ τούτου, αν ορίσουμε θ 0 = ( arg ⁡ ( a ) + π − arg ⁡ ( c k ) ) / k {\displaystyle \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}   και αφήσετε z = z 0 + r e i θ 0 {\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}   τότε για κάθε επαρκώς μικρό θετικό αριθμό r (έτσι ώστε η δεσμευμένη Μ αναφέρθηκε παραπάνω κατέχει), χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα βλέπουμε ότι | p ( z ) | < | q ( z ) | + r k + 1 | p ( z ) − q ( z ) r k + 1 | ≤ | a + ( − 1 ) c k r k e i ( arg ⁡ ( a ) − arg ⁡ ( c k ) ) | + M r k + 1 = | a | − | c k | r k + M r k + 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&<|q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[.2em]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[.5em]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}.\end{aligned}}}
Όταν το r είναι αρκετά κοντά στο 0 αυτό το άνω φράγμα για | p (z) | είναι αυστηρά μικρότερο από | ένα |, σε αντίθεση με τον ορισμό του cj. (Γεωμετρικά, έχουμε βρει μια σαφή κατεύθυνση θ0, έτσι ώστε αν κάποιος πλησιάζει cj από αυτή την κατεύθυνση μπορεί κανείς να αποκτήσει τιμές p (z) και μικρότερες σε απόλυτη τιμή από | p (cj) |.)
Μια άλλη αναλυτική απόδειξη μπορεί να επιτευχθεί κατά μήκος αυτής της γραμμής σκέψης παρατηρώντας ότι, δεδομένου ότι | p (z) |> | p (0) | εκτός D, το ελάχιστο | p (z) | για να επιτευχθεί το όλο συγκρότημα αεροπλάνο στο z0. Αν | p (z0) |> 0, τότε το 1 / ρ είναι μια φραγμένη holomorphic λειτουργία σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, δεδομένου ότι, για κάθε μιγαδικό αριθμό z, | 1 / p (z) | ≤ | 1 / p (z0) |. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Liouville, η οποία αναφέρει ότι ένα φραγμένο σύνολο της λειτουργίας πρέπει να είναι σταθερή, αυτό θα σήμαινε ότι το 1 / ρ είναι σταθερή και, συνεπώς, ότι η p είναι σταθερό. Αυτό δίνει μια αντίφαση, και ως εκ τούτου, p (z0) = 0.
Ακόμα μια αναλυτική απόδειξη χρησιμοποιεί το επιχείρημα της αρχής. Έστω R ένας θετικός πραγματικός αριθμός είναι αρκετά μεγάλο έτσι ώστε κάθε ρίζα του p (z) έχει απόλυτη αξία μικρότερη από R: ένας τέτοιος αριθμός πρέπει να υπάρχει γιατί κάθε πολυώνυμο μη σταθερή συνάρτηση του βαθμού n έχει το πολύ n μηδενικά. Για κάθε r> R, σκεφτείτε τον αριθμό : 1 2 π i ∫ c ( r ) p ′ ( z ) p ( z ) d z , {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,}
όπου c (r) είναι ο κύκλος με κέντρο 0 με ακτίνα r προσανατολίζεται αριστερόστροφα: τότε η αρχή επιχείρημα λέει ότι αυτός ο αριθμός είναι ο αριθμός Ν των μηδενικών ρ (ζ) στην ανοικτή μπάλα με κέντρο 0 με ακτίνα R, η οποία, δεδομένου ότι r> R, είναι ο συνολικός αριθμός των μηδενικών ρ (ζ). Από την άλλη πλευρά, το ολοκλήρωμα της Ν / z κατά μήκος C (R) διαιρούμενο με 2πi είναι ίσο με n. Αλλά η διαφορά μεταξύ των δύο αριθμών είναι:
1 2 π i ∫ c ( r ) ( p ′ ( z ) p ( z ) − n z ) d z = 1 2 π i ∫ c ( r ) z p ′ ( z ) − n p ( z ) z p ( z ) d z . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.}
Ο αριθμητής της ορθολογικής έκφρασης ενσωματώνονται έχει βαθμό το πολύ n - 1 και ο βαθμός του παρονομαστή είναι n + 1 Ως εκ τούτου, η παραπάνω αριθμός τείνει στο 0 καθώς r → + ∞.. Αλλά ο αριθμός είναι επίσης ίσο προς Ν - N και έτσι Ν = Ν.
Ακόμα ένα άλλο συγκρότημα-αναλυτική απόδειξη μπορεί να δοθεί από το συνδυασμό γραμμική άλγεβρα με το θεώρημα του Cauchy. Για να αποδείξουν ότι κάθε συγκρότημα πολυώνυμο βαθμού n> 0 έχει μηδενική, αρκεί να δείξουμε ότι κάθε τετράγωνο του πίνακα μεγέθους n> 0 έχει μια (σύνθετη) ιδιοτιμή. [5] Η απόδειξη της τελευταίας δήλωσης είναι από την αντίφαση.
Έστω A να είναι μια πολύπλοκη τετραγωνική μήτρα μεγέθους n> 0 και αφήστε Στην αποτελεί τη μονάδα μήτρα του ίδιου μεγέθους. Έστω Α δεν έχει ιδιοτιμές. Εξετάστε τη λειτουργία resolvent
∫ c ( r ) R ( z ) d z = 0. {\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=0.}
Από την άλλη πλευρά, το R (z) επεκτάθηκε ως μία γεωμετρική σειρά δίδει:
R ( z ) = z − 1 ( I n − z − 1 A ) − 1 = z − 1 ∑ k = 0 ∞ 1 z k A k ⋅ {\displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot }  >
Ο τύπος αυτός ισχύει έξω από την κλειστή δίσκο ακτίνας | | A | | (ο κανόνας του χειριστή Α). Έστω r> | | A | |. τότε
∫ c ( r ) R ( z ) d z = ∑ k = 0 ∞ ∫ c ( r ) d z z k + 1 A k = 2 π i I n {\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}}
του οποίου μόνο το summand k = 0 έχει ένα μη μηδενικό ολοκλήρωμα). Αυτό είναι μια αντίφαση, και έτσι το Α έχει ιδιοτιμή.
Τέλος, θεώρημα Rouche δίνει ίσως την πιο σύντομη απόδειξη του θεωρήματος.
Ας z0 ∈ C είναι τέτοια ώστε το ελάχιστο | p (z) | για να επιτευχθεί το όλο συγκρότημα αεροπλάνο στο z0? θεωρήθηκε στην απόδειξη που χρησιμοποιεί το θεώρημα Liouville ότι ένας τέτοιος αριθμός πρέπει να υπάρχει. Μπορούμε να γράψουμε p (z) ένα πολυώνυμο z - z0: υπάρχει κάποιο φυσικό αριθμό k και υπάρχουν κάποιες μιγαδικών αριθμών, το CK + 1, ..., cn, έτσι ώστε ck ≠ 0 και ότι
p ( z ) = p ( z 0 ) + c k ( z − z 0 ) k + c k + 1 ( z − z 0 ) k + 1 + ⋯ + c n ( z − z 0 ) n . {\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}
Σε περίπτωση που η p (z0) είναι μη μηδενική, προκύπτει ότι αν το α είναι μια ρίζα k-p-(z0) / ck και αν t είναι θετική και αρκετά μικρό, τότε | p (z0 + ta) | <| p (z0) |, το οποίο είναι αδύνατο, δεδομένου ότι | p (z0) | είναι το ελάχιστο | p | σχετικά D.
Για άλλη μια τοπολογική απόδειξη με αντίφαση, ας υποθέσουμε ότι p (z) δεν έχει μηδενικά. Επιλέξτε ένα μεγάλο θετικό αριθμό R τέτοια ώστε, για | z | = R, η κορυφαία όρος zn του p (z) κυριαρχεί σε όλους τους άλλους όρους σε συνδυασμό; Με άλλα λόγια, τέτοια ώστε | z | ν> | an-1zn-1 + · · · + a0 |. Ως Ζ διασχίζει τον κύκλο δίνεται από την εξίσωση | z | = R άπαξ αριστερόστροφα, p (z), όπως Ζη, άνεμοι η φορές αριστερόστροφα γύρω 0 Στο άλλο άκρο, με το |. Z | = 0, η "καμπύλη "p (z) είναι απλά η ενιαία (μη μηδενικό) σημείο p (0), των οποίων ο αριθμός είναι περιέλιξης σαφώς 0. Εάν ο βρόχος που ακολουθείται από το Ζ είναι συνεχώς παραμορφώνεται μεταξύ αυτών των άκρων, η διαδρομή του ρ (z) παραμορφώνεται επίσης συνεχώς. Μπορούμε να γράψουμε ρητά μια τέτοια παραμόρφωση ως Η (Reiθ, t) = p ((1 - t) Reiθ), όπου 0 ≤ t ≤ 1 Εάν κάποιος θεωρεί τη μεταβλητή t ως χρόνος, τότε σε χρόνο μηδέν η καμπύλη είναι ρ (. z) και τη χρονική στιγμή ένα η καμπύλη είναι p (0). Σαφώς σε κάθε σημείο t, p (z) δεν μπορεί να είναι μηδέν με την αρχική υπόθεση, ως εκ τούτου, κατά τη διάρκεια της παραμόρφωσης, η καμπύλη δεν διασχίζει μηδέν. Ως εκ τούτου, η περιέλιξη αριθμό της καμπύλης γύρω από το μηδέν δεν πρέπει ποτέ να αλλάξει. Ωστόσο, δεδομένου ότι ο αριθμός περιέλιξης ξεκίνησε ως n και έληξε 0, αυτό είναι παράλογο. Ως εκ τούτου, p (z) έχει τουλάχιστον ένα μηδέν.
Οι αποδείξεις αυτές χρησιμοποιούν δύο θεωρήματα σχετικά με τους πραγματικούς αριθμούς που απαιτούν στοιχειώδεις γνώσεις Ανάλυσης (ακριβέστερα, το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής):
Κάθε πολυώνυμο με βαθμό ≥ 1 {\displaystyle \geq 1}   και πραγματικούς συντελεστές έχει κάποια πραγματική ρίζα.
Κάθε μη αρνητικός πραγματικός αριθμός έχει μια τετραγωνική ρίζα.
Δεύτερον, μαζί με τον τετραγωνικό τύπο, συνεπάγεται το θεώρημα για τα τετραγωνικά πολυώνυμα. Με άλλα λόγια, οι αλγεβρικές αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος δείχνουν στην πραγματικότητα ότι αν το R {\displaystyle R}   είναι οποιοσδήποτε κλειστό υποσύνολο των πραγματικών, τότε επέκτασή του C = R ( − 1 ) {\displaystyle C=R({\sqrt {-1}})}   είναι αλγεβρικά κλειστό σύνολο.
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, αρκεί να ελέγχει η πρόταση: «Κάθε μη σταθερό πολυώνυμο p ( z ) {\displaystyle p(z)}   με πραγματικούς συντελεστές έχει μια μιγαδική ρίζα". Η πρόταση αυτή μπορεί να αποδειχθεί με επαγωγή στον μεγαλύτερο μη αρνητικό ακέραιο k {\displaystyle k}  έτσι ώστε το 2 k {\displaystyle 2k}   να χωρίζει το βαθμό n {\displaystyle n}   του p ( z ) {\displaystyle p(z)}  . Έστω d e g ( z n ) = 1 {\displaystyle deg(z^{n})=1}   και έστω F {\displaystyle F}   είναι ένα σώμα διάσπασης του p ( z ) {\displaystyle p(z)}   στο C {\displaystyle \mathbb {C} }  . Αυτό σημαίνει: F ∈ C {\displaystyle F\in \mathbb {C} }   και υπάρχουν στοιχεία z 1 , z 2 , . . . , z n ∈ F {\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}\in F}   τέτοια ώστε
: p ( z ) = a ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) ⋯ ( z − z n ) . {\displaystyle p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).}  .
Αν k = 0, τότε το n είναι περιττός, και ως εκ τούτου, p(z) έχει μια πραγματική ρίζα. Τώρα, ας υποθέσουμε ότι το n = 2km (με m περιττός και k> 0) και ότι το θεώρημα έχει ήδη αποδειχθεί όταν ο βαθμός του πολυωνύμου έχει τη μορφή 2k − 1m, με m περιττός. Για ένα πραγματικό αριθμό t, ορίζουν:
q t ( z ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( z − z i − z j − t z i z j ) . {\displaystyle q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).\,}
Στη συνέχεια, οι συντελεστές της qt(z) είναι συμμετρικά πολυώνυμα των zi με πραγματικούς συντελεστές. Ως εκ τούτου, μπορούν να εκφράζονται ως πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές στα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα, δηλαδή, σε −a1, a2, ..., (−1)nan . Έτσι, qt(z) έχει στην πραγματικότητα πραγματικούς συντελεστές. Επιπλέον, ο βαθμός qt(z) είναι n (n - 1) / 2 = 2k-1m (n - 1) και m (n - 1) είναι ένας περιττός αριθμός. Έτσι, χρησιμοποιώντας την υπόθεση επαγωγής, qt έχει τουλάχιστον ένα σύμπλοκο ρίζα? Με άλλα λόγια, zi + zj + tzizj είναι πολύπλοκη για δύο διακριτά στοιχεία i και j από {1, ..., n}. Δεδομένου ότι υπάρχουν περισσότερα πραγματικοί αριθμοί από ζεύγη (i, j), μπορεί κανείς να βρει διακριτές πραγματικούς αριθμούς t και s ώστε zi + zj + tzizj και zi + zj + szizj είναι σύνθετα (για το ίδιο i και j). Έτσι, οι δύο zi + zj και zizj είναι μιγαδικών αριθμών. Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι κάθε μιγαδικό αριθμό έχει μια σύνθετη τετραγωνική ρίζα, έτσι κάθε συγκρότημα πολυώνυμο βαθμού 2 έχει μια σύνθετη ρίζα από τον τετραγωνικό τύπο. Συνάγεται ότι zi και zj είναι μιγαδικών αριθμών, δεδομένου ότι είναι οι ρίζες του πολυωνύμου τετραγωνική z2 −  (zi + zj)z + zizj.
Ο J. Shipman έδειξε το 2007 ότι η υπόθεση ότι η υπόθεση ότι τα πολυώνυμα είναι περιττού βαθμού και ότι έχουν ρίζες είναι ισχυρότερη από την πρόταση ό, τι είναι απαραίτητο? ότι οποιοδήποτε πεδίο στο οποίο πολυώνυμα, που είναι πρωταρχικού βαθμού, έχουν τις ρίζες είναι αλγεβρικά κλειστό (έτσι «περιττό» μπορεί να αντικατασταθεί από το "περιττό και πρωταρχικό" και, επιπλέον, αυτό ισχύει για τα πεδία όλων των χαρακτηριστικών). Για axiomatization της αλγεβρικά κλειστά πεδία, αυτή είναι η καλύτερη δυνατή, καθώς υπάρχουν αντιπαραδείγματα αν ένα μόνο πρωταρχικό αποκλείεται. Ωστόσο, αυτά τα αντιπαραδείγματα βασίζονται σε -1 έχει τετραγωνική ρίζα. Αν πάρουμε ένα πεδίο όπου -1 δεν έχει τετραγωνική ρίζα, και κάθε πολυώνυμο βαθμού n ∈ I έχει μια ρίζα, όπου είναι οποιοδήποτε σταθερό άπειρο σύνολο των μονών αριθμών, τότε κάθε πολυώνυμο f (x) των περίεργο βαθμό έχει ρίζα (δεδομένου ότι (x2 + 1)KF (x) έχει μία ρίζα, όπου επιλέγεται k, έτσι ώστε deg (f) + 2k ∈ Ι).
Μια άλλη αλγεβρική απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τη θεωρία Galois. Αρκεί να δείξουμε ότι η C δεν έχει την κατάλληλη πεπερασμένη επέκταση τομέα. [5] Ας είναι K / C μια πεπερασμένη επέκταση. Δεδομένου ότι η κανονική κλείσιμο του K στον R εξακολουθεί να έχει ένα πεπερασμένο βαθμό πάνω από C (ή R), μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι το Κ είναι μια φυσιολογική επέκταση του R (γι 'αυτό και είναι επέκταση του Galois, όπως κάθε αλγεβρική επέκταση του συνόλου, χαρακτηριστικής τάξης 0, είναι διαχωρίσιμο). Έστω G η ομάδα Galois της επέκτασης αυτής, και θεωρήστε ότι Η είναι μια Sylow 2-υποομάδα της G, έτσι ώστε η σειρά του Η είναι μια δύναμη του 2, και ο δείκτης της Η στην G είναι περιττός. Με το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois, υπάρχει επέταση του L στο K / R τέτοια ώστε Gal (K / L) = Η. Όπως [L: R] = [G: H] είναι περιττός, και δεν υπάρχουν μη γραμμικά ανάγωγα πολυώνυμα, με πραγματικούς συντελεστές, περιττού βαθμού, πρέπει να έχουμε L = R, έτσι [K: R] και [K: C] είναι δυνάμεις του 2. Υποθέτοντας μέσω της διάψευσης, ότι [K: C].> 1, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η 2-ομάδα gal (K / C) περιέχει μία υποομάδα με δείκτη 2, οπότε υπάρχει μια επέκταση Μ του C βαθμού 2. Ωστόσο, C δεν έχει καμία επέκταση βαθμού 2, επειδή κάθε τετραγωνικό πολυώνυμο έχει μια σύνθετη ρίζα, όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Αυτό δείχνει ότι το [Κ:C] = 1, και ως εκ τούτου, K = C, πράγμα που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Υπάρχει ακόμα ένας άλλος τρόπος για να προσεγγίσουμε το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, λόγω JM Almira και A. Romero: από Riemannian Γεωμετρική επιχειρήματα. Η βασική ιδέα εδώ είναι να αποδείξει ότι η ύπαρξη ενός πολυωνύμου μη σταθερή P (Z), χωρίς μηδενικά συνεπάγεται την ύπαρξη μιας επίπεδης Riemannian μετρικό πάνω από την σφαίρα S2 . Αυτό οδηγεί σε μια αντίφαση, δεδομένου ότι η σφαίρα δεν είναι επίπεδη.
Υπενθυμίζεται ότι ένας Riemannian επιφάνεια (M, g) λέγεται ότι είναι επίπεδη, αν Gaussian καμπυλότητα της, την οποία συμβολίζουμε με Kg, είναι πανομοιότυπα null. Τώρα, Gauss-Bonnet θεώρημα, όταν εφαρμόζεται στη σφαίρα S2 , ισχυρίζεται ότι
∫ S 2 K g = 4 π {\displaystyle \int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi }  ,
πράγμα που αποδεικνύει ότι η σφαίρα δεν είναι επίπεδη.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι n> 0 και p(z) = a0 + a1z + ⋅⋅⋅ + anzn ≠ 0 για κάθε μιγαδικό αριθμό z. Ας ορίσει p*(z) = znp(1/z) = a0zn + a1zn−1 + ⋅⋅⋅ + an. Προφανώς, p*(z) ≠ 0 για όλα τα z στο C. Εξετάστε το πολυώνυμο f(z) = p(z)p*(z). Τότε f(z) ≠ 0 για κάθε z στο C. Επιπλέον,
f ( 1 w ) = p ( 1 w ) p ∗ ( 1 w ) = w − 2 n p ∗ ( w ) p ( w ) = w − 2 n f ( w ) {\displaystyle f({\tfrac {1}{w}})=p({\tfrac {1}{w}})p^{*}({\tfrac {1}{w}})=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w)}  .
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη λειτουργική εξίσωση για να αποδείξει ότι η g, δίνεται από
g = 1 | f ( w ) | 2 n | d w | 2 {\displaystyle g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}}
για w σε C, και
g = 1 | f ( 1 / w ) | 2 n | d ( 1 / w ) | 2 {\displaystyle g={\frac {1}{|f(1/w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|d(1/w)|^{2}}
για w ∈ S2\{0}, είναι μια καλά καθορισμένη Riemannian μετρικό ολόκληρη τη σφαίρα S2 (το οποίο ταυτιζόμαστε με το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο C ∪ {∞}).
Τώρα, ένας απλός υπολογισμός δείχνει ότι
∀ w ∈ C : 1 | f ( w ) | 1 n K g = 1 n Δ log ⁡ | f ( w ) | = 1 n Δ Re ( log ⁡ f ( w ) ) = 0 {\displaystyle \forall w\in \mathbf {C} :{\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}\,K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0}  , δεδομένου ότι το πραγματικό μέρος μιας αναλυτικής λειτουργία είναι αρμονική. Αυτό αποδεικνύει ότι Kg = 0.
Δεδομένου ότι το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας μπορεί να θεωρηθεί ως η διαπίστωση ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό, προκύπτει ότι κάθε θεώρημα σχετικά με σώματα αλγεβρικά κλειστά παραπέμπει στον τομέα των μιγαδικών αριθμών. Εδώ είναι μερικές ακόμα συνέπειες του θεωρήματος, οι οποίες είναι είτε σχετικές με το σώμα των πραγματικών αριθμών ή για τη σχέση μεταξύ του σώματος των πραγματικών αριθμών και του σώματος των μιγαδικών αριθμών:
Το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι το αλγεβρική θήκη του σώματος των πραγματικών αριθμών.
Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής z {\displaystyle z}   με μιγαδικούς συντελεστές είναι το προϊόν ενός μιγαδικού σταθερού πολυώνυμου της μορφής z + a ,   a ∈ C {\displaystyle z+a,\ a\in \mathbb {C} }  .
Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής x {\displaystyle x}  , με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο ως προϊόν ενός σταθερού πολυώνυμου της μορφής x + a με ένα πραγματικό και ενός πολυώνυμου της μορφής x2 + ax + b με τα a και b να ανήκουν στους πραγματικούς αριθμούς και a2 − 4b < 0
Κάθε λογική συνάρτηση μιας μεταβλητής x, με πραγματικούς συντελεστές, μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα μιας πολυωνυμικής συνάρτησης με την ορθολογική συνάρτηση της μορφής a/(x − b)n (όπου η είναι ένας φυσικός αριθμός, και a και b είναι πραγματικοί αριθμών), και της ορθολογικής συνάρτησης (ax + b)/(x2 + cx + d)n (όπου ο n είναι ένας φυσικός αριθμός και a,b,c,d είναι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει ότι c2 − 4d < 0.Απόρροια αυτού είναι ότι κάθε ρητή συνάρτηση μιας μεταβλητής και πραγματικούς συντελεστές έχει μια στοιχειώδη πρωτoγένεια.
Κάθε αλγεβρική επέκταση του R {\displaystyle \mathbb {R} }   είναι ισόμορφη είτε με το R {\displaystyle \mathbb {R} }   ή με το C {\displaystyle \mathbb {C} }  .
Όρια των ριζών του πολυωνύμουΕπεξεργασία
Κύριο λήμμα: Ιδιότητες ριζών πολυωνύμου
Ενώ το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ορίζει ένα γενικό αποτέλεσμα ύπαρξης, είναι ενδιαφέρον, τόσο από θεωρητική όσο και από πρακτική άποψη, να υπάρχουν πληροφορίες για την ύπαρξη των ριζών ενός δεδομένου πολυωνύμου. Το απλούστερο αποτέλεσμα προς αυτή την κατεύθυνση αυτή είναι ένα όριο για το μέτρο: όλες οι ρίζες z ενός μονικού πολυωνύμου z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\displaystyle \scriptstyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}   να ικανοποιούν την ανισότητα |ζ| ≤ R∞ όπου,
R ∞ := 1 + max { | a 0 | , ⋯ , | a n − 1 | } . {\displaystyle R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\cdots ,|a_{n-1}|\}.}
Παρατηρείστε ότι, όπως αναφέρθηκε, αυτό δεν είναι ακόμη ένα αποτέλεσμα ύπαρξης αλλά μάλλον ένα παράδειγμα του τί ονομάζεται μια εκ των προτέρων βέβαιο: αυτή λέει ότι αν υπάρχουν λύσεις, τότε βρίσκονται στο εσωτερικό του κλειστού δίσκου του κέντρου η προέλευση και η ακτίνα R ∞.Ωστόσο, τη στιγμή που σε συνδυασμό με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας λέει ότι ο δίσκος περιέχει στην πραγματικότητα, τουλάχιστον μία λύση. Γενικότερα, ένα δεσμευμένο μπορεί να δοθεί απ 'ευθείας από την άποψη του κάθε p-νόρμα του κ-διάνυσμα των συντελεστών ( 1 , ‖ a ‖ p ) {\displaystyle \scriptstyle (1,\|a\|_{p})}   ,ότι είναι | ζ | ≤ Rp, όπου Rp είναι ακριβώς το q-νόρμα του 2-διάνυσμα \ scriptstyle (1, \ | α \ | _P), q είναι ο συζυγής εκθέτης του p, 1 / p + 1 / q = 1, για κάθε 1 ≤ p ≤ ∞. Έτσι, ο συντελεστής της οποιασδήποτε λύσης είναι επίσης οριοθετείται από
R 1 := max { 1 , ∑ 0 ≤ k < n | a k | } , {\displaystyle R_{1}:=\max {\Bigl \{}1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|{\Bigr \}},}
R p := [ 1 + ( ∑ 0 ≤ k < n | a k | p ) q p ] 1 q , {\displaystyle R_{p}:={\biggl [}1+{\Bigl (}\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}{\Bigr )}^{\frac {q}{p}}{\biggr ]}^{\frac {1}{q}},}
για 1 <ρ <∞, και ιδίως
R 2 := ∑ 0 ≤ k ≤ n | a k | 2 {\displaystyle R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}}
(όπου ορίζουμε ένα να σημαίνει 1, το οποίο είναι λογικό, δεδομένου ότι 1 είναι πράγματι η Ν-ου συντελεστή πολυωνύμου μας). Η περ'ιπτωση ενός γενικού πολυωνύμου ν-βαθμού P ( z ) := a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\displaystyle \scriptstyle P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}   φυσικά μειώνεται σε περίπτωση ενός μονικού, διαιρώντας όλους τους συντελεστές με έναν ≠ 0. Επίσης σε περίπτωση που το 0 δέν είναι ρίζα δηλαδή a0 ≠ 0., φράγματα από κάτω στις ρίζες ζ ακολουθεί αμέσως ως φράγματα από παραπάνω 1 ζ {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\zeta }}}   ,που είναι οι ρίζες του a 0 z n + a 1 z n − 1 + ⋯ + a n − 1 z + a n {\displaystyle \scriptstyle a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}   . Τέλος η απόσταση ζ 0 {\displaystyle \zeta _{0}}   από τις ρίζες z ως κάποιο σημείο ζ − ζ 0 {\displaystyle \zeta -\zeta _{0}}   μπορεί να υπολογισθεί από πάνω και απο κάτω βλέποντας το  \zeta-\zeta_0 ως ρίζες του πολυωνύμου P ( z + ζ 0 ) {\displaystyle P(z+\zeta _{0})}   του οποίου οι παράγοντες είναι το ανάπτυγμα Taylor του P(z) για z = ζ 0 . {\displaystyle z=\zeta _{0}.}   .
Αναφέρουμε εδώ την απόδειξη των ανωτέρω ορίων, η οποία είναι μικρή και στοιχειώδη. Αν ζ είναι μια ρίζα του πολυωνύμου z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\displaystyle \scriptstyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}   προκειμένου να αποδείξει την ανισότητα | ζ | ≤ Rp μπορούμε να υποθέσουμε, βέβαια, | ζ |> 1 Γράφοντας την εξίσωση ως − ζ n = a n − 1 ζ n − 1 + ⋯ + a 1 ζ + a 0 {\displaystyle \scriptstyle -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0}}   , και χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Hölder, διαπιστώνουμε − ζ n = a n − 1 ζ n − 1 + ⋯ + a 1 ζ + a 0 {\displaystyle \scriptstyle -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0}}   .Τώρα, εάν ρ = 1, αυτό είναι | ζ | n ≤ ‖ a ‖ 1 max { | ζ | n − 1 , ⋯ , | ζ | , 1 } = ‖ a ‖ 1 | ζ | n − 1 {\displaystyle \scriptstyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max\{|\zeta |^{n-1},\cdots ,|\zeta |,1\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1}}   ενώ, | ζ | ≤ max { 1 , ‖ a ‖ 1 } {\displaystyle \scriptstyle |\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}}  . Στην περίπτωση 1 <ρ ≤ ∞, λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο άθροισης για μια γεωμετρική πρόοδο, έχουμε
| ζ | n ≤ ‖ a ‖ p ( | ζ | q ( n − 1 ) + ⋯ + | ζ | q + 1 ) 1 / q = ‖ a ‖ p ( | ζ | q n − 1 | ζ | q − 1 ) 1 / q ≤ ‖ a ‖ p ( | ζ | q n | ζ | q − 1 ) 1 / q , {\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{1/q}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{1/q}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{1/q},}
έτσι, | ζ | n q ≤ ‖ a ‖ p q | ζ | q n | ζ | q − 1 {\displaystyle \scriptstyle |\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}}   και απλοποιώντας | ζ | q ≤ 1 + ‖ a ‖ p q {\displaystyle \scriptstyle |\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}}   .Συνεπώς | ζ | ≤ ‖ ( 1 , ‖ a ‖ p ) ‖ q = R p {\displaystyle \scriptstyle |\zeta |\leq \|(1,\|a\|_{p})\|_{q}=R_{p}}
ισχύει, για όλα τα 1 ≤ p ≤ ∞.
↑ Βλέπε Le rôle d'Euler in C. Gilain's article Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral.
↑ Σχετικά με την απόδειξη του Wood δες το άρθρο A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra, του Frank Smithies.
↑ Για το ελάχιστο και απαραίτητο ώστε να αποδειχθεί η ισοτιμία τους, βλέπε Bridges, Schuster, and Richman (1998) A weak countable choice principle' διαθέσιμο από [1] Αρχειοθετήθηκε 2009-02-04 στο Wayback Machine..
↑ βλέπε Fred Richman (1998) The fundamental theorem of algebra: a constructive development without choice' διαθέσιμο από [2] Αρχειοθετήθηκε 2009-02-04 στο Wayback Machine..
↑ Μια άλλη απόδεξη του θεωρήματος αυτού υπάρχει εδώ.
Κωσύ, Ωγκυστέν-Λουί (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1ère partie: Analyse Algébrique, Paris: Éditions Jacques Gabay (δημοσιεύθηκε 1992), ISBN 2-87647-053-5, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29058v  (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
Όιλερ, Λέοναρντ (1751), «Recherches sur les racines imaginaires des équations», Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Berlin) 5: 222–288, http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist/1749&seite:int=228, ανακτήθηκε στις 2020-05-09 . English translation: Όιλερ, Λέοναρντ (1751), «Investigations on the Imaginary Roots of Equations», Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Berlin) 5: 222–288, http://www.mathsym.org/euler/e170.pdf, ανακτήθηκε στις 2014-06-30
Γκάους, Καρλ Φρίντριχ (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstedt: C. G. Fleckeisen  (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree).
Γκάους, Καρλ Φρίντριχ (1815), “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”
Kneser, Hellmuth (1940), «Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus», Mathematische Zeitschrift 46: 287–302, doi:10.1007/BF01181442, ISSN 0025-5874, http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0046  (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
Kneser, Martin (1981), «Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra», Mathematische Zeitschrift 177 (2): 285–287, doi:10.1007/BF01214206, ISSN 0025-5874, http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0177  (tr. An extension of a work of Hellmuth Kneser on the Fundamental Theorem of Algebra).
Ostrowski, Alexander (1920), «Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra», Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236019856&DMDID=dmdlog53  (tr. On the first and fourth Gaussian proofs of the Fundamental Theorem of Algebra).
Weierstraß, Karl (1891). «Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen». Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pp. 1085–1101. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2013-11-02. https://web.archive.org/web/20131102093616/http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige?band=10-sitz%2F1891-2&seite%3Aint=00000565. Ανακτήθηκε στις 2020-05-09.  (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).
Fine, Benjamin; Rosenber, Gerhard (2001), Το Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας, Πανεπιστημιακά Μαθηματικά Κείμενα, Αθήνα: Leader Books, ISBN 9789607901200
Almira, J.M.; Romero, A. (2007), «Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere», Bulletin of the Belgian Mathematical Society 14: 341–342, http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?handle=euclid.bbms/1179839226&view=body&content-type=pdf_1
Almira, J.M.; Romero, A. (2012), «Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra», Differential Geometry - Dynamical Systems 14: 1–4, http://www.mathem.pub.ro/dgds/v14/D14-al.pdf
Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3
Gersten, S.M.; Stallings, John R. (1988), «On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra», Proceedings of the AMS 103 (1): 331–332, doi:10.2307/2047574, ISSN 0002-9939
Gilain, Christian (1991), «Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral», Archive for History of Exact Sciences 42 (2): 91–136, doi:10.1007/BF00496870, ISSN 0003-9519  (tr. On the history of the fundamental theorem of algebra: theory of equations and integral calculus.)
Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), «Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental», στο: Meyer, François; Molk, Jules, επιμ., Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, Éditions Jacques Gabay, 1992, ISBN 2-87647-101-9  (tr. The rational functions §80–88: the fundamental theorem).
Remmert, Reinhold (1991), «The Fundamental Theorem of Algebra», στο: Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich, επιμ., Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2
Shipman, Joseph (2007), «Improving the Fundamental Theorem of Algebra», Mathematical Intelligencer 29 (4): 9–14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993
Smale, Steve (1981), «The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory», Bulletin (new series) of the American Mathematical Society 4 (1)  [3]
Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 0-486-64690-4
Smithies, Frank (2000), «A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra», Notes & Records of the Royal Society 54 (3): 333–341, doi:10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN 0035-9149
Van Der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, I (7th έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 0-387-40624-7
Το Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας — μια συλλογή αποδείξεων (στα Αγγλικά).
Το Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας — μάθημα (στα Αγγλικά) από τον John H. Mathews
Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας — Βιβλιογραφία από τον John H. Mathews (στα Αγγλικά).
Algebra, Fundamental theorem of — Encyclopaedia of Mathematics
From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path
D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach, PDF (unpublished paper) Αρχειοθετήθηκε 2016-06-16 στο Wayback Machine., visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs