el en el el en el el el en el uk es en es tr en en ru el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el ceb el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el es en es el es es tr en es ru en el el en el el el en el el en en it el el el el el el el el el el el el el el el el el el el el fr el el el en el el el el el el el el el el el el el el en de de el zh el el el el el el el el el en en de az el en el el en en el en el el en en el el el el el el en en el en el en el el el el el
Ωστόσο, με την ολοκλήρωση – τη νύχτα – τα πράγματα δεν είναι τόσο εύκολα. Για να μην πολυλογούμε, όμως, θα αφήσουμε ένα εύστοχο σχόλιο του Randall από το XKCD να τα πει όλα:
Ίσως το πιο ενδιαφέρον από αυτά – σίγουρα ένα από τα πιο ενδιαφέροντα – είναι το θεώρημα του Frullani, το οποίο και παραθέτουμε ευθύς αμέσως:
Για μία συνεχή συνάρτηση με ισχύει ότι: για κάθε .
Σε μία πιο απλή μορφή, αν και τότε παίρνουμε:
για κάθε συνεχή και κατάλληλα ορισμένη συνάρτηση . Για παράδειγμα, μία τέτοια συνάρτηση είναι η ενώ μία άλλη είναι η . Για την ακρίβεια, οι συναρτήσεις για ικανοποιούν όλες τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος, επομένως, για κάθε ισχύει ότι:
Εποπτικά, μιας και , αν πάρουμε κάποια σταθερά , για παράδειγμα και τότε το παραπάνω μας λέει ότι τα παρακάτω εμβαδά είναι όλα τους ίσα με – τα εμβαδά αυτά αντιστοιχούν στις συναρτήσεις .
Όλα τα παραπάνω εμβαδά είναι ίσα
Εντυπωσιακό, ομολογουμένως. Ίσως, ακόμα πιο εντυπωσιακό να είναι το γεγονός ότι όλα αυτά τα ολοκληρώματα έχουν μία τόσο συγκεκριμένη μορφή που σχετίζεται με τον φυσικό λογάριθμο. Προτού, λοιπόν, αποδείξουμε το παραπάνω θεώρημα, ίσως είναι χρήσιμο να εξερευνήσουμε τη διαίσθηση πίσω από το παραπάνω αποτέλεσμα.
Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την απλή περίπτωση που αναφέραμε παραπάνω όπου και , οπότε, όπως είπαμε παραπάνω, θα ισχύει:
Αν έχουμε κάποια εμπειρία με τα ολοκληρώματα, εύκολα αναγνωρίζουμε ένα γνωστό μας ολοκλήρωμα:
Ωστόσο, αυτό το ολοκλήρωμα είναι ένα απλό ορισμένο ολοκλήρωμα, ορισμένο πάνω σε ένα κλειστό διάστημα, ενώ το ολοκλήρωμα για το οποίο γίνεται λόγος στο θεώρημα Frullani είναι ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα – ορισμένο σε ανοικτό μη φραγμένο διάστημα. Οπότε ίσως να μη βρίσκεται σε αυτήν την κατεύθυνση, τουλάχιστον όχι άμεσα, η ερμηνεία του παραπάνω αποτελέσματος.
Δεδομένου ότι μέσα στο ολοκλήρωμα εμφανίζονται οι ποσότητες , ίσως μας φανεί χρήσιμο να μελετήσουμε τη μορφή της για διάφορες τιμές του . Ας πάρουμε, λοιπόν, μία συνάρτηση με την παρακάτω γραφική παράσταση – ικανοποιεί τις δύο επιπρόσθετες υποθέσεις που έχουμε θέσει, αν και όσα θα πούμε ισχύουν γενικότερα για κάθε συνάρτηση :
Τώρα, αν τότε σαφώς οπότε δεν έχουμε να πούμε κάτι το ιδιαίτερο. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση . Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της για διάφορες τιμές :
Ίσως το παρακάτω σχήμα που δείχνει τη γραφική παράσταση της για διάφορες τιμές του να είναι πιο διαφωτιστικό – κυρίως λόγω των ταλαντώσεων της γραφικής παράστασης του ημιτόνου.
Η αύξηση της συχνότητας «ταλάντωσης» και το πώς επηρεάζει τη γραφική παράσταση.
Ωραία όλα αυτά που είπαμε παραπάνω για τη γραφική παράσταση της σε σχέση με αυτήν της , αλλά τώρα πρέπει να δούμε από λίγο πιο κοντά και το ολοκλήρωμα του θεωρήματος. Όπως είπαμε, αρχικά θα ασχοληθούμε με μία απλούστερη μορφή του θεωρήματος, για να εστιάσουμε περισσότερο στα ουσιώδη σημεία του. Έστω, λοιπόν, μία συνάρτηση , συνεχής και για την οποία ισχύει ότι και:
Ας υποθέσουμε, επίσης, ότι το ζητούμενο ολοκλήρωμα υπάρχει – για να μπορέσουμε να παίξουμε λίγο μαζί του. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι το παρακάτω είναι ένας πραγματικός αριθμός για κάθε και μάλιστα:
Τώρα, πριν συνεχίσουμε, ας κάνουμε κάποιες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. Επειδή καθώς , θα έχουμε άμεσα και ότι καθώς και καθώς . Αυτό μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι, πέρα από το , υπάρχουν και τα ολοκληρώματα:
Πράγματι, για – δηλαδή, «πολύ μεγάλο» – έχουμε οπότε . Αναλόγως, αν θα έχουμε και άρα , επομένως τα υπάρχουν.
Παρατηρήστε πώς τα παραπάνω συνιστούν μία κομψή απόδειξη, αν αντί για θεωρήσουμε τον ως έναν άπειρο αριθμό – περισσότερα για τα απειροστά μπορείτε να βρείτε εδώ.
Για τα παραπάνω ολοκληρώματα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να τα «σουλουπώσουμε» λίγο και να κρύψουμε – περίπου – τα . Για την ακρίβεια, με την αλλαγή μεταβλητής έχουμε:
Ανάλογα, μπορούμε να δείξουμε και ότι:
Είναι σαφές ότι κάτι κάναμε λάθος μόλις τώρα και είναι ευκαιρία να το συζητήσουμε. Ενώ μπορούμε σχεδόν χωρίς φόβο να κάνουμε αλλαγή μεταβλητής στα τυπικά ορισμένα ολοκληρώματα, όπου ολοκληρώνουμε συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σε κλειστά – άρα και φραγμένα – διαστήματα, όταν έχουμε ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα τα πράγματα δεν είναι και τόσο ωραία. Εν γένει, δεν πάμε να κάνουμε αλλαγή μεταβλητής και αντικατάσταση με την ίδια «άνεση», καθώς μπορεί να καταλήξουμε σε εσφαλμένα αποτελέσματα όπως το παραπάνω.
Αντιθέτως, μπορούμε αντί για τα καταχρηστικά ολοκληρώματα παραπάνω, να εργαστούμε με τα εξής ορισμένα ολοκληρώματα:
όπου τα είναι δύο αριθμοί έτσι ώστε και , οπότε και, όπως φαντάζεστε, και . Τώρα, αν στο πρώτο κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής έχουμε:
Τώρα, με βάση τα όσα έχουμε πει παραπάνω, έχουμε – σιωπηλά και χωρίς να ξυπνήσουμε τη γενικότητα δεχόμαστε ότι :
Επιτέλους, μετά από τόσες πράξεις και αλχημείες, φτάσαμε σε κάτι που μπορεί εύκολα να χωνέψει η διαίσθησή μας. Η παραπάνω «ψευδο»-ισότητα μας λέει ότι πρακτικά το αποτελείται από δύο μέρη:
ένα «κοντά» στο μηδέν, το που είναι η «κύρια μάζα» του και,
ένα «κοντά» στο άπειρο, το , το οποίο αφαιρούμε από την παραπάνω μάζα.
Αυτό τώρα, μπορεί να πάει ένα βήμα παρακάτω. Για την ακρίβεια, ξεκινώντας από το δεύτερο ολοκλήρωμα, παρατηρούμε ότι, αφού , έπεται ότι και το , άρα , οπότε και:
Τώρα, αναλόγως για το πρώτο ολοκλήρωμα, επειδή , έχουμε και άρα – από τη συνέχεια της – επομένως:
Αυτό είναι ακριβώς αυτό που θέλαμε και η διαίσθηση πίσω από τα παραπάνω είναι άκρως διαφωτιστική. Ουσιαστικά, αυτό που μας λέει είναι ότι η κύρια «μάζα» του ολοκληρώματός μας βρίσκεται σε μία περιοχή κοντά στο μηδέν – εν προκειμένω, στο για «αρκετά μικρό» – όπου και η συνάρτησή μας είναι σχεδόν η ίδια με την , οπότε και έχουμε το ζητούμενο. Προς επιβεβαίωση των παραπάνω, ας πάρουμε τη συνάρτηση που έχει όλες τις καλές ιδιότητες που θέλουμε. Τότε, για και , βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα ττη γραφική παράσταση της . Όπως θα παρατηρήσετε, ο κύριος όγκος βρίσκεται σε μία περιοχή αρκετά κοντά στο μηδέν, ενώ καθώς προχωράμε προς τα δεξιά το εμβαδόν κάτω και από τη γραφική παράσταση γίνεται αμελητέα μικρό.
Ε, της φέρνει της
Ας κάνουμε τώρα όλα τα παραπάνω πιο τυπικά. Θα αποδείξουμε πρώτα την απλή περίπτωση, όπου . Έπειτα, εύκολα θα μπορούμε να δείξουμε και τη γενική περίπτωση – το θα το αφήσουμε «ελεύθερο», καθώς, όπως θα δούμε, δε θα μας εμποδίσει ιδιαίτερα το αν είναι ίσο με 1 ή όχι. Λοιπόν, εμείς θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα:
Έστω, λοιπόν, κι έστω:
Όπως είδαμε παραπάνω, με την αλλαγή μεταβλητής έχουμε άμεσα:
Τα παραπάνω ισχύουν, σαφώς, για κάθε , επομένως, όταν «έρθει η ώρα» θα τα επιλέξουμε εμείς όπως μας εξυπηρετεί. Πάμε τώρα να υπολογίσουμε το καθένα από τα εν λόγω ολοκληρώματα ξεχωριστά.
Πριν προχωρήσουμε υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι και παρατηρούμε ότι για κάθε έχουμε:
Για το πρώτο, έστω , οπότε, από τη συνέχεια της στο υπάρχει ένα έτσι ώστε για κάθε να ισχύει όπου . Επιλέγουμε τώρα , οπότε για κάθε και άρα έχουμε:
Συνεπώς, εξ ορισμού, έχουμε:
Περνάμε τώρα στο δεύτερο ολοκλήρωμα, οπότε σταθεροποιούμε κι εδώ ένα . Εδώ παρατηρούμε ότι, αφού η καθώς , έπεται ότι υπάρχει ένας τέτοιος ώστε για κάθε να ισχύει , όπου . Τώρα, παρατηρούμε ότι για , όπου έχουμε και επίσης:
Συνεπώς, αφού το ήταν αυθαίρετο έπεται ότι:
Καταφέραμε, επομένως, να αποδείξουμε αυτό που θέλαμε. Στην περίπτωση, τώρα, που καθώς τότε θεωρούμε τη συνάρτηση , οπότε καθώς και άρα, από τα παραπάνω, έπεται ότι:
Ας παίξουμε και λίγο…
Έχουμε ένα καινούργιο θεώρημα στα χέρια μας, ευκαιρία να υπολογίσουμε και κάποια ολοκληρώματα με αυτό. Πρώτο στη λίστα μας θα είναι το:
διότι και καθώς .
Επόμενο στη λίστα μας θα είναι το ακόλουθο ολοκήρωμα:
Πράγματι, θεωρούμε τη συνάρτηση:
για την οποία έχουμε , η είναι συνεχής και , οπότε:
Συνεπώς, από το θεώρημα του Frullani έχουμε:
Με αφορμή το προηγούμενο ολοκλήρωμα, φαίνεται δελεαστικό να υπολογίσουμε και το:
Εδώ θα θεωρούσαμε φυσιολογικά την η οποία είναι συνεχής, με και το όριό της στο άπειρο… δεν υπάρχει. Πράγματι, αν ρίξουμε μία ματιά στη γραφική παράσταση της αυτό είναι σαφές:
Η γραφική παράσταση του ημιτόνου ταλαντώνεται συνεχώς.
Ε, εντάξει, δεν μπορεί να μας τα λύσει κι όλα τα προβλήματα ένα θεώρημα, ας αφήσουμε κάτι και για τα άλλα.
Περισσότερα για το θεώρημα Frullani και διάφορες παραλλαγές του θα δούμε στο επόμενο μέρος της σειράς. Μέχρι τότε, καλό απόγευμα!
Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Η παραλία στη Vilerville του Eugène Boudin.
Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:
Μαθηματικός, μάλλον... Προβολή όλων των δημοσιεύσεων από Aftermaths
Previous Τεστάκι της ημέρας LXVI – Λύσεις
Next Τεστάκι της ημέρας LXVII (Γ’ ΕΠΑΛ)
Γράψτε το σχόλιο σας εδώ....
Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:
Ηλ. διεύθυνση (απαιτείται) Δεν θα εμφανιστεί δημόσια.
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )
Ειδοποίηση μέσω mail για νέα σχόλια.
Να ειδοποιούμαι μέσω mail για νέα άρθρα.
Ακολούθησε το ιστολόγιο μέσω email
Μαζί με 513 ακόμα followers
Η καλή πράξη της ημέρας
Τεστάκι της Ημέρας #001 - Τι θυμόμαστε από το Γυμνάσιο;
Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
Λύσεις του Επαναληπτικού Διαγωνίσματος VI
Ασκήσεις στα Σύνολα - Α' Λυκείου
Επαναληπτικό διαγώνισμα εφ' όλης της ύλης VI
Ασκήσεις στις Συναρτήσεις (Β' Λυκείου)
Ασκήσεις στις απόλυτες τιμές
Ασκήσεις στη Σύνθεση (Λύσεις)
Ασκήσεις στους κανόνες παραγώγισης
Μονοτονία συναρτήσεων (Γ' ΕΠΑΛ)
Αξίωμα της πληρότητας (6)
Τίποτα στην τύχη (1)
Τεστάκι της ημέρας (176)
The Wumpus Project (1)
1-1 After-maths Collatz featured Fermat Horner Tikz Workshop Α' Γυμνασίου Α' Λυκείου ΑΕΠΠ Απόψεις Β' Λυκείου Γ' λυκείου Διδακτικό υλικό ΕΟΚ ΕΠΑΛ ΘΜΤ Μαθηματικά Φυσική άλγεβρα ακρότατα αλγόριθμοι αμπελοφιλοσοφία ανισότητες ανισώσεις αποδείξεις απόλυτη τιμή ασκήσεις γραφική παράσταση δευτεροβάθμιες διάμεσος διαγώνισμα διακύμανση διασπορά διαφάνειες δομή επανάληψης δομή επιλογής δυνάμεις εισαγωγή εκθετική εξισώσεις επανάληψη θεωρία λογαριθμική λυμένα παραδείγματα λύσεις μέση τιμή μαθηματικά μονοτονία ολοκλήρωμα πίνακες πανελλήνιες παράγωγος παραμετρικές παραστάσεις πιθανότητες πολυώνυμα πράξεις πραγματικοί αριθμοί προβλήματα πρωτοβάθμιες πρόοδοι ρίζες σημειώσεις στατιστική συνέχεια συναρτήσεις συστήματα συχνοτήτων σύνολα τεστ τριγωνομετρία φύλλο εργασίας όρια
Buy me a tea!
Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τα τέσσερα δάκτυλα του βιολιστή. Πάνε στα τυφλά και δε λαθεύουν ούτε χιλιοστό. Χυμούν σε γκρεμούς, παιχνιδιάρες στην ανηφοριά, ακροβάτες στην κατηφοριά, είναι καλλιτέχνες τσίρκου για το θεωρείο των βουνών. Οι οπλές του αγριόγιδου γαντζώνονται στον αέρα. Ο ρόζος τους, μικρό μαξιλαράκι, όποτε θέλει λειτουργεί σαν σιγαστήρας, διαφορετικά το χωρισμένο στα δυο νύχι είναι καστανιέτα για φλαμένκο. Οι οπλές του αγριόγιδου είναι τέσσερις άσσοι σε τσέπες χαρτοκλέφτη. Μ' εκείνες η βαρύτητα είναι μια παραλλαγή σ' ένα θέμα, όχι ένας νόμος.