nl en en de et en fr en de en nl en nl en nl nl et en fr nl ca nl en de nl it en nl nl nl nl nl en nl fr it nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl sv en nl sv nl nl nl nl nl it nl en fr en de en nl ca nl nl en en en de nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl de nl en nl sco sco fr ro vi de pt pt de pt pt nl nl en en en nl en nl sco sco fr vi vi de fr vi de ro nl nl nl nl en nl sco sco fr vi vi de fr ro fr de ro nl nl nl nl nl en nl en nl sco sco fr vi vi nl de fr de kk vi nl nl nl nl nl en nl sco sco fr vi vi nl de fr de ro nl nl en nl sco sco fr vi vi de fr ca nl de kk nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl en en fy nl nl nl nl
Een nieuw examenprogramma vereist niet alleen de opzet van een nieuwe leerlijn met nieuw materiaal en nieuwe boeken. Het vraagt ook om veranderingen in de organisatie van het vak op school. Voor het nieuwe programma wiskunde C houdt dit grotere veranderingen in dan we bij aanpassingen in het laatste decennium gewend zijn. In dit artikel informeren wij u daarover en geven we een overzicht van uitgangspunten en mogelijkheden.
Waarom is deze verandering fundamenteel anders?
Voorheen kenden we twee basisstromen in het wiskundeaanbod in het voortgezet onderwijs: enerzijds de wiskunde A met als lichtere basisvariant wiskunde C; anderzijds de wiskunde B, met wiskunde D als keuzevak voor verbreding en verdieping. De traditioneel zwakkere leerlingen konden daarmee examen doen in een selectie van de totale wiskunde A-stof, waarbij vooral de abstractere onderdelen, zoals de afgeleide functie, werden weggelaten.
Het nieuwe wiskundeprogramma dat in september 2015 van start is gegaan in havo 4 en vwo 4 kent – curieus genoeg – nog steeds dezelfde naamgeving, terwijl de veranderingen op sommige punten ingrijpend van aard zijn en de gevolgen verstrekkend. In het bijzonder is wiskunde C bijna compleet vernieuwd, zodat het beter past in het C&M profiel. En hierin schuilt het meest cruciale aspect: wiskunde C is niet meer een lichte variant van wiskunde A.
Dit heeft twee belangrijke gevolgen. Ten eerste is wiskunde C niet meer slechts een deel van het wiskunde A-programma waaruit onderdelen zijn weggelaten. Het vak kent nu haar eigen onderdelen, zoals ruimtemeetkunde in het onderdeel ‘vorm en ruimte’ en logica in het onderdeel ‘logisch redeneren’. Door deze kleinere overlap zijn de programma’s van wiskunde A en C inhoudelijk dus niet meer te combineren zoals we dat gewend waren.
Ten tweede is het nieuwe C-programma niet langer gemaakt voor de traditioneel zwakkere leerlingen. Er is getracht de contexten beter te laten aansluiten op het C&M profiel en haar meest voor de hand liggende vervolgopleidingen. Daarmee is het een op zichzelf staand, volledig wiskundecurriculum. Het vermoeden bestaat echter dat de zwakkere leerlingen wel voor wiskunde C zullen blijven kiezen.
Een flink aantal scholen heeft echter een klein aantal leerlingen die wiskunde C kiezen: vaak minder dan 10 per jaar en soms zelfs maar 1 of 2. Hoe gaan we om met die kleine aantallen leerlingen? Hoe kunnen we lesgroepen maken waarin zij tot hun recht komen en hun leerbehoeften kunnen worden opgepakt?
Om na te gaan of er in het land al is nagedacht over de organisatie van wiskunde C in het nieuwe programma, heeft de werkgroep Havo-Vwo van de NVvW een oproep gedaan in de WiskundE-brief. In deze oproep is gevraagd naar ideeën omtrent de praktische uitvoering en inroostering van wiskunde C. Er zijn zo’n twintig reacties gekomen op deze oproep en daarin wordt veelal aangegeven hoe de situatie nu is voor de wiskunde C leerlingen en hun docent in het oude programma. Een enkeling geeft aan wat de ideeën zijn voor het nieuwe programma.
Met de inbreng vanuit onze eigen werkgroep, de reacties op onze oproep en de ervaringen op de pilotscholen, hebben we een aantal mogelijkheden hoe wiskunde C aan te bieden op een rij gezet. We geven per mogelijkheid de voor- en nadelen aan, omdat deze modellen niet allemaal gelijkwaardig zijn.
Wis A – v6
Wis C – v6
Wis A – v5
Wis C – v5
Wis A – v4
Wis C – v4
In dit model zijn er aparte lesgroepen wiskunde C voor alle leerjaren. Dit model is geschikt voor scholen met voldoende grote aantallen leerlingen wiskunde C. Bij kleine aantallen leerlingen wordt het echter zeer kostbaar.
Om hoge kosten voor kleine lesgroepen te vermijden, zijn er een aantal opties:
Overlap met wiskunde A
Overlap over leerjaren heen
Overlap met wiskunde A
Bijna alle leerstof in het 4e leerjaar komt overeen. Er is – afhankelijke van de gebruikte wiskundemethode – waarschijnlijk één hoofdstuk anders.
In dit model zijn er aparte lesgroepen wiskunde C in leerjaar 5 en 6. In klas 4 zijn de lesgroepen A en C samengevoegd.
Nadelen: Voor de stof die niet hetzelfde is, zal de docent gedifferentieerd les moeten geven in de klas. Ook bij onderwerpen waar wel (gedeeltelijke) overeenkomsten zijn, zoals bijvoorbeeld lineaire en exponentiële functies, zullen tempoverschillen voor problemen zorgen. Als er maar weinig C-leerlingen in een klas zitten, kunnen ze makkelijk ondergesneeuwd raken bij deze constructie.
Voordelen: De clustering in leerjaar 4 levert een kostenbesparing op. Een ander voordeel bij dit model kan de uitgestelde keuze tussen wiskunde A en C zijn.
De overlap in klas 5 van wiskunde C en wiskunde A is veel minder dan in het oude programma. Daarom zijn wij van mening dat het samenvoegen van wiskunde C en A in klas 5 niet verantwoord is. Een gedeeltelijke overlap is wel mogelijk.
In dit model hebben de leerlingen wiskunde C (en wiskunde A) één lesuur gezamenlijk en twee lesuren apart in klas 5 (andersom is ook mogelijk). In de aparte lesuren kan bijvoorbeeld het accent op de theorie liggen en specifieke vragen, terwijl tijdens het gemeenschappelijke lesuur meer individueel of in groepen wordt gewerkt, waarbij de docent begeleidt. Hierdoor kan de docent zich beter richten op de leerlingen en krijgen de leerlingen de uitleg waar die ze bij wiskunde hard nodig hebben.
Voorwaarde: Dit model moet wel passen bij het binnen school/sectie gangbare didactische model en daarvoor verder worden uitgewerkt of aangepast.
Nadelen: De nadelen van model 2a worden in leerjaar 5 nog extra benadrukt.
Voordelen: Het gezamenlijke lesuur levert weer een kostenbesparing, terwijl de leerlingen ook in hun eigen groep aandacht kunnen krijgen. Ook is een eventueel noodzakelijke overstap (in de praktijk meestal van A naar C) van een leerling na klas 4 nog mogelijk.
Het is natuurlijk ook mogelijk om deze gedeeltelijke overlap ook in klas 4 aan te bieden.
Overlap over leerjaren heen
Het is ook mogelijk om leerlingen wiskunde C van verschillende leerjaren samen te nemen.
De C-leerlingen in leerjaar 5 en 6 krijgen samen les en krijgen ook zoveel als mogelijk dezelfde lesstof aangeboden. Het programma wisselt elk jaar zodat alle leerlingen in de twee carrouseljaren alle leerstof hebben doorgewerkt.
Voorwaarde: Dit model vraagt om een goede planning van de diverse leerstofonderdelen over de twee laatste eindexamenjaren, waar ook de voorbereidingen op schoolexamens en – voor v6-leerlingen – het centrale examen een plaats moet krijgen. In de periode vanaf het CE kan in leerjaar 5 leerstof worden geprogrammeerd die in elk cohort in leerjaar 5 wordt ingepland (bijv. statistiek).
Nadelen: Niet alle leerstof kan in carrouselvorm aangeboden worden, vanwege benodigde voorkennis en verschil in abstractie en wiskundige bekwaamheid. Ook is bekend dat wiskundestof relatief lange tijd nodig heeft om te bezinken, waardoor het niet wenselijk is om examenstof slechts één keer in twee jaar in korte tijd aan te bieden. Een eventueel noodzakelijke overstap van wiskunde A naar C is – eventueel afhankelijk van het jaar – mogelijk zeer lastig. Tenslotte legt het roosteren van gezamenlijke lesuren voor leerlingen uit klas 5 als klas 6 druk op het rooster en mag dit niet leiden tot beperkingen in keuze van het vakkenpakket.
Voordelen: Samenwerking van leerlingen uit verschillende leerjaren, ze kunnen elkaar als groep versterken. Het samenvoegen van twee lesgroepen levert een kostenbesparing op.
Het is mogelijk om bovenstaand model te combineren met model 2a, met gezamenlijk les in klas 4 en een carrouselvorm in klas 5 en 6.
Voor- en nadelen: de voor- en nadelen van beide modellen blijven onverminderd van kracht.
Een carrousel met leerjaren 4 en 5 is ook mogelijk, zodat de C-leerlingen in klas 6 als aparte groep lessen krijgen ter voorbereiding van hun examen.
Nadelen: dezelfde nadelen gelden als bij model 3a. Bovendien is een uitgestelde keuze (modellen 2 en 3b) niet mogelijk.
Voordelen: dezelfde voordelen gelden als bij model 3a. Bovendien krijgen de leerlingen in hun examenjaar apart les voor een optimale voorbereiding op het examen.
Een laatste optie is wiskunde C in drie leerjaren (4, 5 én 6) in carrouselvorm aan te bieden. Dit model lijkt ons echter niet verantwoord, omdat het leertempo van leerlingen in de verschillende jaren dan te groot wordt en het lastig wordt om een goed programma op te bouwen waarbij de voorkennis aanwezig is bij alle leerlingen en de opbouw in abstractie en wiskundige bekwaamheid moeilijk te waarborgen is.
Overwegingen en uitgangspunten voor een keuze
De precieze organisatie van het vak zal uiteraard afhangen van de school en haar onderwijskundige visie. Redenerend vanuit de twee grootste gevolgen van de veranderingen in het wiskunde C-programma, namelijk de beperktere overlap met wiskunde A en het hogere niveau, ligt de volgende insteek wel voor de hand:
Maak gebruik van de inhoudelijke overlap voor zover dat praktisch uitvoerbaar is. Dat biedt ook mogelijkheden voor een eventuele overstap
Gebruik de eventueel vrijgekomen ruimte om de begeleiding en ondersteuning van alle leerlingen zo goed mogelijk te waarborgen. Denk hierbij aan de juiste aandacht voor kleine aantallen C-leerlingen bij grotere groepen A-leerlingen, maar ook voor de traditioneel zwakkere leerlingen die een – t.o.v. vroeger – wat zwaarder wiskunde C kiezen.
Daarnaast hangt de keuze ook af van de hoeveelheid leerlingen die de keuze maken voor wiskunde C. Sommige modellen zijn geschikt voor hele kleine aantallen, andere zijn handig als je bijvoorbeeld twee lesgroepen kan combineren tot één. De organisatie van het vak gaat dan ook hand in hand met een goede voorlichting en schoolleidingen, decanen en mentoren zullen goed moeten worden geïnformeerd. Het nieuwe programma wiskunde C kan pas tot haar recht komen als vervolgopleidingen het expliciet als voorwaarde gaan opnemen en als leerlingen en hun begeleiders het vak niet blijven zien als de laagste afstroommogelijkheid.
We hopen dat de bovenstaande modellen een beeld geven van de verschillende mogelijkheden om wiskunde C aan te bieden op school, en dat deze voorbeelden het gesprek over de wijze van invoering gemakkelijker zal maken. Uiteindelijk is het van belang dat schoolleiding en vaksectie met elkaar in gesprek gaan, zodat op basis van de gedeelde expertise op organisatorisch, pedagogisch en didactisch gebied een voor alle leerlingen goed onderwijsaanbod wiskunde A, B, C en (misschien) D wordt gerealiseerd.