nl en en de et en fr en de en nl en nl en nl nl et en fr nl ca nl en de nl it en nl nl nl nl nl en nl fr it nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl sv en nl sv nl nl nl nl nl it nl en fr en de en nl ca nl nl en en en de en nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl en en fy nl nl nl nl
De derde klas (vwo) is bezig geweest met gelijkvormigheid. Voor ze de stap maken naar de echt ingewikkelde opgaven, wil ik van een aantal dingen zeker zijn:
Het opstellen van een verhoudingstabel en daarin rekenen met kruisproducten moet geen probleem meer zijn;
Het correct opschrijven van de juiste stappen om te komen tot die verhoudingstabel moet bij iedereen vanzelfsprekend zijn
Met name het tweede doel is de focus van deze opdracht.
Wat leerlingen leren bij het aantonen en rekenen met gelijkvormigheid in de meetkunde (in dit geval driehoeken) is: redeneren, verbanden leggen, conclusies trekken, bewijs leveren en dat alles zodanig dat de hele bewijsvoering en redenatie stap voor stap te volgen zijn voor de lezer.
Ik heb de klas daarom de volgende opgave in de laatste vijftien minuten van een les laten maken:
(opgave komt uit Getal & Ruimte, 12 editie)
Zie het als een soort van exit ticket. Omdat de leerlingen tabellen moeten maken en bij hun notaties ook diverse wiskunde symbolen en notaties moeten gebruiken, heb ik er voor gekozen om de opdracht op papier uit te reiken en in te nemen. Het zou ook digitaal kunnen, maar er gaat dan teveel tijd verloren met de technische kant van het typen van die symbolen en notaties. Dat leidt te veel af.
Na de les heb ik door de gemaakte opgaven heen gebladerd, op zoek naar uitwerkingen van verschillende kwaliteit. Ik heb vooral gekeken naar de volledigheid en juistheid van het opschrijven van de uitwerking.  Van de negen geselecteerde uitwerkingen ben ik terug gegaan naar vijf in de stijl zoals je doet bij de werkvorm ‘My favoriete No’.
Deze vijf heb ik in een google slide gezet in willekeurige volgorde met drie opdrachten erbij.
De slides heb ik via Google Classroom met ze gedeeld (voor iedere leerling een eigen exemplaar).
De drie opdrachten die ik daarbij gegeven heb zijn:
Sorteer deze opgaven (versleep de slides) van beste naar slechtste uitwerking
Schrijf op waar een goede uitwerking aan moet voldoen
Geef van één van de uitwerkingen aan hoe die verbeterd kan worden
In de volgende les zijn leerlingen in groepjes met elkaar in gesprek gegaan over wat zij goed vinden en wat niet of wat ontbreekt. Over wat ze duidelijk vinden, wat niet en waarom ze dat wel of niet duidelijk vinden. Zo zijn ze allemaal tot een volgorde gekomen en hebben ze beschreven wat er nodig is bij een goede uitwerking. Ze hebben daarna verbetertips opgeschreven voor één van de uitwerkingen.
Om te voorkomen dat de leerlingen nauwelijks verbeteringen hoeven te geven of misschien niet weten waar ze moeten beginnen met verbeteringen noemen als er nog erg veel moet verbeteren, kies ik ervoor om ze een uitwerking te laten verbeteren waar wel wat mee mis is, maar waar ook al veel goeds te zien is. Dat zorgt er voor dat ze echt op zoeken moeten gaan en de verbeteringen heel gericht moeten geven.
Leerlingen hebben zo een concreet en praktisch beeld van de succescriteria die horen bij een goede, volledige en navolgbare uitwerking. Gaandeweg het hoofdstuk hebben ze daar natuurlijk al mee gewerkt, maar deze opdracht pakt alles nog eens samen.
Nadat de leerlingen met de opdracht klaar waren, hebben we de door hen geformuleerd succescriteria nog samen besproken. Ik heb daardoor ook nog die succescriteria kunnen aanscherpen en de belangrijkste elementen ervan kunnen benadrukken.
Daarna heb ik ieder zijn of haar eigen uitwerking teruggegeven. Wat er gebeurde was erg mooi om te zien: zonder verder een opdracht te geven ging iedereen gelijk het eigen werk naast de succescriteria leggen en dat bespreken met de klasgenoot naast hem/haar.  Ze zaten zo in een focus van kritisch kijken naar ‘verbeteren’ dat de leergierigheid er vanaf spatte.
Nadat de leerlingen in de les zelfstandig gewerkt hadden aan verdere opgaven heb ik als laatste, vlak voor het afsluiten van de les, de leerlingen nog gevraagd te kijken naar wat ze deze les opgeschreven hebben en hoe ze dat opgeschreven hebben, om ze te laten  controleren of dat voldoet aan de eisen. Willekeurig heb ik een aantal leerlingen bevraagd: wat doe jij al goed en waar moet je nog op letten.
Tijdens de les heb ik waardevolle en leerzame gesprekken gehoord, met mooi (of soms nog zoekend) wiskunde taalgebruik.
Tijdens de les heb ik waardevolle en leerzame gesprekken gehoord, met mooi (of soms nog zoekend) wiskunde taalgebruik. Tijdens de afsluiting wist iedere leerling die ik sprak concreet te benoemen wat er goed gaat in het eigen werk en waar op gelet moet worden.  Na de les heb ik de slides snel vluchtig bekeken om te zien of er bijzondere dingen opvielen. Wat me in ieder geval opviel is dat niet alle leerlingen een volledige beschrijving hadden gegeven van waar een goede uitwerking aan moet voldoen. Vanuit de klassikale bespreking die we hadden na de uitvoering van de opdracht had ik wellicht nog de leerlingen de uiteindelijke versie van succescriteria in hun schrift kunnen laten schrijven. Daarmee gaat iedere leerling dan naar huis met de juiste versie daarvan.
Inmiddels heb ik de toets nagekeken, waarbij ik slechts bij één leerling constateer dat de notatie niet op orde is. Ik zie wel dat de juiste structuur en juiste stappen er staan, maar het is niet de formele wiskunde taal. Eén andere leerling heeft een aantal keer conclusies getrokken zonder aan te tonen hoe hij/zij daar aan gekomen is.
Al met al een mooie combinatie van comparative judgement, succescriteria opstellen, exit tickets, (peer)feedback en reflectie. Het exit ticket maken kostte mij 6 minuten. Printen en kopiëren: 1 minuut.  De uitwerkingen filteren, vijf stuks fotograferen en in een slide zetten: 12 minuten. De slide klaar zetten in classroom: 1 minuut. Al met al dus 20 minuten. Voor een les van 60 minuten.