eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo pt eo eo pl eo eo es eo eo eo eo eo pt eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo it eo eo pt eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo pl eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo ceb eo eo eo eo eo eo eo eo eo en en en en en en en eo eo hu sk id eo eo eo tr eo it eo eo en eo eo pl eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo es eo es eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo lt lt eo eo en es en eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo en eo eo eo eo eo eo eo en eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo de eo en eo en es en eo eo eo eo en eo eo eo eo eo eo eo eo de eo eo eo eo en eo eo eo eo eo eo fr eo eo eo eo eo eo eo eo eo en en de de en en de eo en es fr de eo eo eo eo en fr eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo en eo eo en en en eo eo en eo en eo eo en en eo en eo eo eo eo de eo eo eo eo eo en en en eo eo eo eo eo es eo eo en eo cs cs eo eo it eo eu eo eu eo eo eo en eo en en eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo en eo eo eo es eo eo eo en eo eo eo en en en eo eo eo eo en es pt eo eo eo eo eo eo eo eo en eo eo eo lt eo eo eo eo de es eo eo eo eo eo sv ur eo eo eo eo es eo eo eo eo eo eo eo eo tr nl eo eo it eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo eo am ar as bg bn ca ckb hbs_lat da de el en es eu fa fi fr he hi hu hy id it ja kk ko lt ml ms my nl nb es pl pt ro ru sd si en sl sq hbs_lat la sv te ceb tr fy ur vi zh eo eo eo eo eo eo eo eo eo
Historio de matematiko - Vikipedio
El Vikipedio, la libera enciklopedio
Vidu la artikolon templinio de matematiko por templinio de eventoj en matematiko. Vidu Listo de matematikistoj por listo de apartaj biografioj de matematikistoj.
The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing (La Enhavega Libro pri Kalkulado per Plenigo kaj Balancado)
Historio de matematiko nomiĝas areo de studado, kiu estas unuavice esploro pri la fonto de novaj malkovroj en matematiko, kaj je malplia grado esploro pri la normaj matematikaj metodoj kaj notacioj de la pasinteco. Historio de matematiko tuŝas ĝis praepoko.
La vorto "matematiko" venas el la greka uάθnua (máthema), kiu signifas "scienco, scio, aŭ lerno"; uaθnuatιkός (mathematikós) signifas "ŝata lernado". Hodiaŭ, la termino nomas specifan korpon de scio — la dedukta studo de kvanto, strukturo, spaco, kaj ŝanĝo.
Antaŭ la moderna erao kaj la tutmonda disvastiĝo de scio, skribitaj ekzemploj de novaj matematikaj evoluoj sin montris nur en kelkaj lokoj. La plej antikvaj matematikaj tekstoj haveblaj estas de antikva Mezopotamio ĉ. 1800 a.K. (Plimpton 322), antikva egipta civilizo en la periodo Meza Regno ĉ. 1300-1200 a.K. (Berlino 6619), kaj antikva Barato de ĉ. 1500-500 a.K. (Rigvedo - Sulba Sutroj). Ĉiuj ĉi tiuj tekstoj koncernas la tiel-nomitan teoremon de Pitagoro, kiu ŝajnas esti la plej antikva kaj vaste konata matematika evoluaĵo post baza aritmetiko kaj geometrio.
Unu frapanta trajto de la historio de antikva kaj mezepoka matematiko estas, ke ekfloroj de matematika evoluo estis ofte sekvataj de jarcentoj da stagnado.
Grandan evoluon matematiko trapasis en antikva Grekio, kiam precipe geometrio atingis karakterizajn sukcesojn. La antikva greka kontribuo al matematiko, ĝenerale konsiderata kiel unu el la plej gravaj, grande ampleksigis, kaj la metodon, kaj la terenon de matematiko. [1]
Plua etapo de abrupta evoluo de la matematiko estis renesanco, en kiu estis donitaj bazoj de matematika analizo. Komence en renesanca Italio en la 16-a jarcento, novaj matematikaj evoluaĵoj, interagante kun novaj sciencaj malkovroj, okazis je ĉiam pligrandiĝanta ritmo, kaj tio daŭras ĝis tra la nuna tago.
Entute lasta signifa periodo de la historio de matematiko estis interŝanĝo de la 19-a jarcento kaj la 20-a jarcento, kiam estiĝis teorio de aroj kaj matematika logiko.
2.2 Antikva Babilona matematiko (ĉ. 1800—550 a.K.)
2.3 Antikva egipta matematiko (ĉ. 1850—600 a.K.)
2.5 Antikva hindia matematiko (ĉ. 1500 a.K.— 200 p.K.)
2.7 Greka kaj helenisma matematiko (ĉ. 550 a.K.—300 p.K.)
4 Klasika kaj mezepoka matematiko
4.1 Klasika Ĉinia matematiko (ĉ. 400—1300)
4.2 Klasika Hinda matematiko (ĉ. 400—1600)
4.3 Araba kaj islama matematiko (ĉ. 700—1600)
4.4 Mezepoka Eŭropa matematiko (ĉ. 300—1400)
4.4.1 La Frua Mezepoko (ĉ. 300—1100)
4.4.2 La Renaskiĝo de Matematiko en Eŭropo (1100—1400)
5.1 Frua Moderna Eŭropa matematiko (ĉ. 1400—1600)
6.1 Kubaj kaj bikvadrataj ekvacioj
6.2 La estiĝo de la matematika analizo
8 La nuntempo kaj estonteco de matematiko
La unuaj matematikaj nocioj estis necesa rimedo faciliganta komprenon de kelkaj komunikilfaktoj, ili esprimis nombrojn de diversaj objektoj kaj ilian komparon, diversajn formojn kaj iom pli poste ili ebligis mezuri kvanton de homa laboro kaj ties profitojn. Longan tempon la kalkulado de objektoj limiĝis al kvanto de du ĝis tri, pli poste de kvar ĝis kvin pecoj. Pluaj numeraloj signifantaj unue nedifinite multe, estiĝadis malrapide. Dum la kalkulado oni eluzis reciproke unusignifan alvicigado de du kvantoj. La unua ŝanĝa komerco okazis per interŝanĝo de ekvivalentoj per reciproke unusignifa alvicigo (ekz. unu tribo proponis por ŝanĝi tri peltojn kontraŭ du pecoj de fajroŝtono).
Longe antaŭ la plej fruaj skribitaj registraĵoj, estis desegnaĵoj kiuj indikas scion de matematiko kaj de tempomezurado bazita sur la steloj. Ekzemple, paleontologoj estas malkovrintaj okrajn rokojn en kaverno en Sud-Afriko ornamitajn per gratitaj geometriaj ŝablonoj datiĝantajn de ĉ. 70 000 a.K..[2] Ankaŭ prahistoriaj artefaritaĵoj malkovritaj en Afriko kaj Francio, datiĝantaj de inter 35 000 a.K. kaj la 20 000 a.K.,[3] indikas fruajn provojn kvantigi tempon.[4]
Indikaĵo ekzistas, ke frua kalkulado koncernis virinojn kiuj tenis registraĵojn de siaj monataj biologiaj cikloj; ekzemple, dudek ok, dudek naŭ, aŭ tridek grataĵoj sur osto aŭ ŝtono, sekvitaj per distinga grataĵo sur la osto aŭ ŝtono. Ankaŭ, ĉasistoj havis la konceptojn unu, du, kaj multaj, kaj aldone la ideon neniu aŭ nulo, kiam konsiderantaj arojn da brutoj.[5][6]
La Ishang-a Osto, trovita en fonta baseno de la rivero Nilo (nordorienta Kongo), datiĝas de jam ĉirkaŭ 20 000 a.K.. Unu komuna interpretado estas, ke la osto estas la plej frua konata esprimaĵo[7] de serioj de primoj, kaj de antikva egipta multipliko. Antaŭdinastiaj egiptoj de la 5-a jarmilo a.K. bilde prezentis geometriajn spacajn desegnaĵojn. Iuj pretendis, ke megalitaj monumentoj en Anglio kaj Skotlando de la 3-a jarmilo a.K., enkorpigas geometriajn ideajn kiaj cirkloj, elipsoj, kaj Pitagoraj triopoj en sia dizajno.[8]
La pla frua konata matematiko en antikva Barato datiĝas de ĉirkaŭ 3000-2600 a.K. en la Induso-civilizo (Harapana civilizo) de Norda Barato kaj Pakistano, kiu ellaboris sistemon de normaj pezoj kaj mezuroj, kiu uzis la dekuman sistemon, surprize evoluigitan teĥnologion de la briko, kiu utiligis kvocientojn, stratojn konstruitajn laŭ perfektaj ortoj, kaj nombron da geometriaj formoj kaj desegnaĵoj, inkluzivantaj kvadrojn, barelojn, konusojn, cilindrojn, kaj desegnaĵojn de samcentraj kaj sekcantaj cirkloj kaj trianguloj.
Matematikaj instrumentoj malkovritaj inkluzivas precizan dekuman rektilon kun malgrandaj kaj precizaj subdividoj, ŝelan instrumenton, kiu servis kiel cirkelo por mezuri angulojn sur ebenaj surfacoj aŭ en la horizonto laŭ obloj 40–360 gradaj, ŝelan instrumenton uzita por mezuri 8–12 tutajn sekciojn de la horizonto kaj ĉielo, kaj instrumenton por mezuri la poziciojn de steloj por navigaj celoj. La Indusa skribsistemo ankoraŭ ne estas deĉifrita; do tre malmulte estas sciata pri la skribitaj formoj de Harapa matematiko (3300 - 1500 a.K.). Arĥeologia indikaĵo gvidis iujn historiistojn kredi, ke tiu civilizo uzis la numeralo-sistemon bazo 8, kaj posedis scion de la kvociento de la longo de la cirkonferenco de la cirklo al ties diametro, do valoron de π.[9]
La komenca periodo, en kiu kreiĝis kvantaj kaj geometriaj rilatoj kaj operacioj inter ili, daŭris tre longe. Ĝis la 6-a jarcento a.K. temis plejparte pri amasigo de aritmetikaj nocioj, geometriaj faktoj kaj bazaj operacioj. Matematikaj konoj estis registrataj sole per diversaj sistemoj de ciferoj kaj per kutima lingvo, kio bremsis pli rapidan evoluon. Ĝis la 3-a jarcento a.K. mankas al la matemartiko kia ajn speciala simboliko.
El Mezopotamio devenas la unuaj skribmemorigaĵoj en la historio de homaro kaj el periodo de 2200 ĝis 1800 a. K. konserviĝis granda kvanto de matematikaj tabeloj, kiuj montras progresintan gradon de evoluo de la mezopotamia algebro kaj geometrio kaj ankaŭ tio, ke la matematiko havas vere longan historion. Tiutempe estis malkovritaj gravaj algoritmoj por solvi diversmanierajn taskojn. La matematiko kapablis respondi ĉiujn postulojn de tiama civilizo. Por ties plua evoluo evidente mankis pli fortaj iniciatoj. El plua periodo preskaŭ konserviĝis neniaj matematikaj tabeloj, kaj do ne eblas prijuĝi pli postan evoluon de la matematiko. Por multipliki ili uzis inĝeniajn kompletojn de tabeloj. Dividon ili transgvidis al multipliko per turnigita valoro, la turnadon de valoro ebligis al ili denove tabeloj. Por solvi la taskojn ili laboris per naturaj nombroj kaj per pozitivaj sesdekonaj frakcioj. Ili ne kalkulis per nombroj neracionalaj kaj negativaj. Ili serĉis la solvon sole en fako de la naturaj nombroj kaj la pozitivaj sesdekonaj frakcioj. En algebro kalkulistoj solvis taskojn, kiuj hodiaŭ kondukas al ekvacioj linearaj, kvadrataj, kubaj kaj bikvadrataj kaj ties sistemoj. Aperis eĉ taskoj kondukanataj al ekvacioj de la oka grado, kiuj havas nenian prudentan aplikon en tiama teknika praktiko. Estis verŝajne difinitaj por ekzercado de kalkulumoj. La nekonataj magnitudoj estis markataj kiel longo kaj larĝo, iliaj produtoj kiel areo. Sed iam la terminoj estis transprenitaj eĉ el tereno de aritmetikaj operacioj (dividato kaj dividanto, multiplikato kaj multiplikanto ktp.). La memstara ĉapitro estas astronomiaj tabeloj de ĥaldejaj kalkulistoj, kiuj atestas pri iliaj nekutimaj kalkulaj konoj kaj kapabloj. Ili ĝis hodiaŭ lasis al la mondo sesdekuman sistemon (tempo, anguloj), dividon de cirklo en 360 gradojn, de tago en 24 horojn, de horo en 60 minutojn kaj de minuto en 60 sekundojn.
Antikva Babilona matematiko (ĉ. 1800—550 a.K.)[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Babilona matematiko.
La Babilona matematika tabulo Plimpton 322, datiĝe de 1800 a.K.
Babilona matematiko inkluzivas ĉian matematikon de la popoloj de Mezopotamio (aktuala Irako) de la tagoj de la fruaj sumeroj ĝis la komenco de la helenisma periodo. Ĝi estas nomita Babilona matematiko pro la centra rolo de Babilono kiel studloko, kiu ĉesis ekzisti dum la helenisma periodo. De tiam, babilona matematiko kunfandiĝis kun greka kaj egipta matematiko elkovante helenisman matematikon.
Kontraste al la malmulteco de fontoj en egipta matematiko, nia scio pri babilona matematiko devenas de pli ol 400 argilaj tabuletoj elterigitaj ekde la 1850-oj. Skribitaj en kojnoskribo, la tabuletoj estis enskribitaj dum la argilo estis humida, kaj poste bakitaj duraj aŭ en forno aŭ per la varmo suna. Iuj el tiuj ŝajnas markitaj hejmtaskoj.
La plej frua evidento de skribita matematiko datiĝas de la antikvaj sumeroj, kiuj konstruis la plej fruan civilizon en Mezopotamio. Ili evoluigis kompleksan sistemon de mezurado ekde 3000 a.K. Plue de ĉirkaŭ 2500 a.K. la sumeroj skribis matematikajn baremojn sur argilajn tabuletojn kaj traktis geometriajn ekzercojn kaj dividajn problemojn. Ankaŭ la plej fruaj restaĵoj de babilonaj numeraloj datiĝas de tiu periodo.[10]
La plejmulto de la retrovitaj argilaj tabuletoj datiĝas de 1800 ĝis 1600 a.K., kaj kovras temojn kiuj inkluzivas frakciojn, algebron, kvadratajn kaj kubajn ekvaciojn, kaj la kalkuladon de pitagoraj triopoj (vidu Plimpton 322).[11] La tabuletoj ankaŭ inkluzivas multiplikajn baremojn, trigonometriajn baremojn kaj metodojn solvi linearajn kaj kvadratajn ekvaciojn. La babilona tabuleto YBC 7289 donas proksimuman kalkuladon al √2 preciza je kvin dekumaj lokoj.
Babilona matematiko estis skribita per uzo de sesdekumaj (bazo-60) numeraloj. De tio devenas la hodiaŭa uzado de 60 sekundoj en minuto, 60 minutoj en horo, kaj 360 (60 x 6) gradoj en cirklo. Babilonajn progresaĵojn en matematiko faciligis la fakto, ke 60 havas multajn divizorojn. Ankaŭ, malkiel la egiptanoj, grekoj, kaj romianoj, la babilonianoj havis veran loko-valoran sistemon, kie ciferoj skribitaj en la maldekstra kolumno prezentis pli grandajn valorojn, tre simile al en la dekuma sistemo. Ili malhavis, tamen, ekvivalenton de la dekuma signo, kaj do la loka valoro de simbolo ofte devis esti divenata el la ĉirkaŭteksto.
Antikva egipta matematiko (ĉ. 1850—600 a.K.)[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Egipta matematiko.
Bildo de Problemo 14 el la Moskva Matematika Papiruso. La problemo entenas diagramon indikantan la dimensiojn de la ŝtumpigita piramido.
Egipta matematiko inkluzivas matematikon skribitan en la egipta lingvo. En la helenisma periodo, la greka anstataŭis la egiptan kiel la skribita lingvo de egiptaj erudiciuloj, kaj de tiam egipta matematiko kunfandiĝis kun greka kaj babilona matematiko elkovante helenisman matematikon. Matematika studado en Egiptio poste daŭris sub la islama kaliflando kiel parto de islama matematiko, kiam la araba iĝis la skribita lingvo de egiptaj erudiciuloj.
La plej malnova matematika teksto ĝis nun malkovrita estas la moskva papiruso, kiu estas papiruso de la egipta Meza Regno datiĝanta de ĉ. 2000—1800 a.K.[mankas fonto] Simile al multaj antikvaj matematikaj tekstoj, ĝi konsistas el kio estas hodiaŭ nomita "vortaj problemoj" aŭ "rakontaj problemoj", kies celo verŝajne estis esti distraĵoj. Unu problemo estas konsiderata aparte grava, ĉar ĝi donas metodon trovi la volumenon de trunko (frustrumo): "Se vi estas aldirita: Senpintigita piramido de 6 por la vertikala alto per 4 sur la bazo per 2 sur la supro. Vi kvadratigu ĉi tiun 4, rezulto 16. Vi duobligu 4, rezulto 8. Vi kvadratigu 2, rezulto 4. Vi adiciu la 16, la 8, kaj la 4, rezulto 28. Vi prenu unu trionon de 6, rezulto 2. Vi prenu 28 dufoje, rezulto 56. Vidu, ĝi estas 56. Vi trovos ĝin ĝusta."
La Rhind-a papiruso (ĉ. 1650 a.K. [1]) estas alia grava Egipta matematika teksto, instrua manlibro pri aritmetiko kaj geometrio. Krom doni formulojn por areo kaj metodojn por multiplikado, dividado kaj laborado je entjeraj frakcioj, ĝi ankaŭ enhavas indikaĵon de alia matematika scio,[12] inkluzive de faktorigeblaj nombroj kaj primoj; aritmetika, geometria kaj meznombroj; kaj simplecaj interrilatoj de, kaj la Kribrilo de Eratosteno, kaj la teorio de perfektaj nombroj (nome, tiu de la nombro 6). Ĝi ankaŭ montras kiel solvi unuaordajn linearajn ekvaciojn.[13]
Tri geometriaj elementoj en la Rhind-a papiruso sugestas la plej simplajn fundamentojn de analitika geometrio: (1) unuavice, kiel kalkuli aproksimon de π {\displaystyle \pi } precizan je malpli ol unu centono; (2) due, antikva provo kvadratigi la cirklon; kaj (3) trie, la plaj frua konata uzo de speco de kotangento.
Fine, la Berlina papiruso (ĉ. 1300 a.K. [2] [3]) montras, ke antikvaj Egiptanoj povis solvi duaordojn algebrajn ekvaciojn [4].
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Matematiko de antikva Egiptio.
La matematiko de antikva Egiptio evoluis komune kun la evoluo de la egiptia civilizo ekde la 4-a jarcento a.K. Ĝi servis sole al praktikaj celoj, kiel abstrakta scienco ĝi ankoraŭ ne estis evoluinta. Egiptoj kapablis adicii, subtrahi, dividi, kalkuli per frakcioj kaj solvi kelkajn pli komplikajn aritmetikajn kaj geometriajn problemojn. Aperas konsideroj pri kalkuloj de areo de ebenaj figuroj (ortangulo, triangulo kaj cirklo).
Antikva hindia matematiko (ĉ. 1500 a.K.— 200 p.K.)[redakti | redakti fonton]
La ciferoj uzataj en la Bakhshali manuskripto, datiĝanta inter la 2-a jarcento a.K. kaj la 2-a jarcento p.K.
Brahmaj ciferoj (suba vico) en Hindio en la 1-a jarcento p.K.
La temposkalo de Hindia matematiko ampleksas de la Indusa-Vala civilizo (3300-1500 a.K.) kaj Veda civilizo (1500-500 a.K.) tra moderna Barato (21-a jarcento).
La plej frua indikaĵo de la uzo de matematiko en Hindio estas de la Indusa civilizo, kiu datiĝas de ĉirkaŭ 3300 a.K.. Elfosoj ĉe Harappa, Mohenĝo-daro kaj la ĉirkaŭa areo de la Induso, malkovris multan evidenton de la uzo de baza matematiko. La geometrio en veda matematiko estis uzata por kompleksa konstruado de religiaj kaj astronomiaj situoj. Multaj aspektoj de praktika matematiko estas trovitaj en veda matematiko.[14]
La Shatapatha Brahmana (ĉ. 9-a jarcento a.K.) aproksimas la valoron de π ĝis 2 dekumaj lokoj.[15] La Sulbaj Sutroj (ĉ. 800-500 a.K.) estis geometriaj tekstoj, kiuj uzis neracionalajn nombrojn, primojn, la regulon de tri kaj kubajn radikojn; komputis la kvadratan radikon de 2 ĝis kvin dekumaj lokoj; donis la metodon kvadratigi la cirklon; solvis linearajn ekvaciojn kaj kvadratajn ekvaciojn; ellaboris pitagorajn triopojn algebre, kaj asertis kaj donis ciferecan pruvon de la Teoremo de Pitagoro.
Pāṇini (ĉ. 5-a jarcento a.K.) formulis la gramatikajn regulojn por la sanskrita lingvo. Lia notacio estis simila al moderna matematika skribmaniero, kaj uzis metaregulojn, transformojn, kaj rekursiojn kun tia rafineco, ke lia gramatiko havas la komputivon ekvivalentan al Maŝino de Turing. La verko de Panini ankaŭ estas la antaŭulo al la moderna teorio de formalaj gramatikoj (grava en komputiko), dum la Panini-Backus formo uzata de plej modernaj programlingvoj estas ankaŭ grave simila al la gramatikaj reguloj de Panini.
Pingala (krude 3-a-1-a jarcentoj a.K.) en lia traktato de prozodio uzas ilon respektivan al la duuma sistemo. Lia diskuto pri la kombinatoriko de metroj, respektivas al la duterma teoremo. La verko de Pingala ankaŭ enhavas la bazajn ideojn de Fibonacci nombroj (nomitaj mātrāmeru).
La skribsistemo Brāhmī estis ellaborita almenaŭ jam de la Maurya dinastio en la 4-a jarcento a.K.; ĵusa arĥeologia indikaĵo ŝajnas retroigi tiun daton ĝis ĉirkaŭ 600 a.K.. La Brahmi numeraloj datiĝas de la 3-a jarcento a.K..
Inter -400 kaj 200 p.K., Jainaj matematikistoj komencis studi matematikon por la nura celo de matematiko. Ili estis la unuaj kiuj ellaboris transfiniajn nombrojn, aroteorion, logaritmojn, fundamentajn leĝojn de eksponentoj, kubajn ekvaciojn, kvartaj, do kvaragradajn ekvaciojn, sekvencojn kaj progresiojn, permutojn kaj kombinaĵojn, kvadratigadon kaj ekstraktadon de kvadrataj radikoj, kaj finiajn kaj malfiniojn potencojn.
La Bakshali-a Manuskripto verkita inter 200 a.K. kaj 200 p.K. inkluzivas solvojn de linearaj ekvacioj kun ĝis kvin nekonatoj, la solvon de la kvadrata ekvacio, aritmetikajn kaj geometriajn progresiojn, kombinaĵan serion, kvargradajn nedetermineblajn ekvaciojn, samtempajn ekvaciojn, kaj la uzon de nulo kaj negativaj nombroj. Precizaj kalkuladoj por neracionalaj nombroj (neracionaloj) troviĝis, kio inkluzivas komputadon de kvadrataj radikoj de nombroj tiel grandaj kiel miliono ĝis almenaŭ 11 dekumaj lokoj.
La barata matematiko estis siatempe preskaŭ admirinde evoluinta. Kaj ĝi kaŭzis grandan rompon en la evoluo de matematiko. Ĝi alportis al la mondo precipe pozician sistemon. Ekzistis simboloj por la unuaj naŭ ciferoj. La dekuma karaktero estis tre evoluinta. Ĉio ĉi prezentas favorajn kondiĉojn por krei la pozician sistemon kun la bazo 10. La grandega malkovro fare de la barataj matematikistoj fariĝis nulo 0. La plej malnova skribdokumento esprimanta enskribon kun nulo estas el la 9-a jarcento a.K. Supozo por kalkulado en la pozicia sistemo estas operacioj per nuloj. La ecojn de nulo kiel nombro formulis la barataj matematikistoj jene:
a + 0 = a {\displaystyle a+0=a}
a − 0 = a {\displaystyle a-0=a}
0 + a = a {\displaystyle 0+a=a}
a − a = 0 {\displaystyle a-a=0}
a ∗ 0 = 0 {\displaystyle a*0=0}
0 ∗ a = 0 {\displaystyle 0*a=0}
0 / a = 0 {\displaystyle 0/a=0}
Dividadon de nenula nombro per nulo ili konsideris de komence kiel neeble, pli poste ili venis al ideo, ke la rezulto estos senfineco.
1 - ékah, eká, ékam
2 - dvau, dvi, dvé
3 - trajah, tisrah, tríni
4 - ĉatvarah, ĉatasrak, ĉatvári
Frakcioj estis en la antikva Barato bone konataj
Ĉe nomigo de dekoj kaj centoj estas uzata adicia principo:
Krom tio ili brile priregis kalkuladon per frakcioj. Ilia formo preskaŭ kongruis kun la nuntempa: ili skribis la numeratoron super la denominatoro, sed ili ne uzis strekon. Dum la operacioj per la entjeroj kaj per frakcioj ili esprimis la entjerojn kiel frakciojn kun denominatoro 1. Ili konis potencon per du kaj tri, ili konis kaj uzis regulon de tri kaj multajn aliajn.
Antikva ĉinia matematiko (c. 1300 a.K.— 200 p.K.)[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Ĉinia matematiko.
Datiĝante de la Ŝanga periodo (1600—1046 a.K.), la plaj frua ankoraŭ ekzistanta ĉina matematiko konsistas el nombroj gratitaj sur testuda ŝelo.[16] Ĉi tiuj nombroj uzas dekuman sistemon, tiel ke la nombro 123 estis skribata (de supro al fundo) kiel la simbolo por 1 sekvata de la simbolo por cent, tiam la simbolo por 2 sekvata de la simbolo por dek, tiam la simbolo por 3. Ĉi tio estis la plej progresinta nombrosistemo en la mondo en la tempo kaj ebligis faradon de kalkuloj per la sŭan-pajno aŭ Ĉinia abako. La dato de la invento de la suanpano estas ne certa, sed la plej frua skribita referenco estas de 190 p.K. en la Suplementaj Notoj pri la Arto de Ciferoj verkita de Xu Yue. La sŭan-pajno estis plej verŝajne uzata jam pli frue ol tiu dato.
En Ĉinio, en -212, la Imperiestro Ying Zheng (Shi Huang-ti) ordonis, ke ĉiuj libroj estu bruligitaj. Kvankam tiu ordono estis ne tute obeita de ĉiuj, sekve de ĝi malmulte estas sciata kun certeco pri antikva Ĉinia matematiko.
De la Okcidenta Dinastio Zhou (de 1046 a.K.), la plej malnova matematika verko kiu travivis la libro-bruligadon estas la I Ching, kiu uzas la 64 duumajn 6-opojn por filozofiaj aŭ mistikaj celoj. La opoj estas prezentitaj kiel heksagramoj faritaj el rompitaj kaj solidaj linioj, prezentantaj yin kaj yang.
Post la libro-bruligado, la dinastio Han (-206 a.K.—221 p.K.) produktis verkojn de matematiko kiuj supozeble sin elvolvis sur verkoj, kiuj estas nun perditaj. La plej grava el ĉi tiuj estas La Naŭ Ĉapitroj pri la Matematika Arto. Ĝi konsistas el 246 vortaj problemoj, engaĝante agrikulturon, negocon kaj inĝenieradon, kaj inkluzivante materialon pri ortaj trianguloj kaj π.
Ĉinio estis ĝis la 14-a jarcento en tereno de matematiko la plej evoluinta lando de la mondo. Ekz. teoremo de Pitagoro estis enskribita en ĉinia matematika libro el la 2-a jarcento a.K. En plua ĉinia matematika libro el la 1-a jarcento a.K. kiel la unua en la mondo estis klarigita nocio pri negativa nombro kaj principoj de adicio, subtraho, la ĉinia matematikisto Zu Chongzhi en la 5-a jarcento difinis kun granda precizeco valoron de pi. Li venis al numero 3,141 592 6 (π = 3,141 592 7). Ne estas konate, kian metodon li precize uzis. Homoj en Ĉinio jam antaŭ longa tempo antaŭ tio ekkonis el la praktiko, ke perimetro de rado estas pli ol tri obloj de ties diametro.
Greka kaj helenisma matematiko (ĉ. 550 a.K.—300 p.K.)[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Greka matematiko.
Greka matematiko signas matematikon skribitan en la greka inter ĉ. 600 a.K. kaj 450 p.K. [17]. Grekaj matematikistoj loĝis en urboj dise tra la tuta orienta Mediteraneo, de Italio al Nord-Afriko, sed estis unuigitaj de kulturo kaj lingvo. Greka matematiko estas fojfoje nomata helenisma matematiko.
Greka matematiko estis multe pli malnaiva ol la matematiko kiun ellaboris pli fruaj kulturoj. Ĉiuj travivintaj skribaĵoj de antaŭ-greka matematiko montras la uzon de induktiva logiko, tio estas, ripetitaj observaĵoj uzata por konstati regulojn praktikajn. Grekaj matematikistoj, kontraste, uzis deduktivan rezonadon. La grekoj uzis logikon por derivi konkludojn el difinoj kaj aksiomoj. [18]
Greka matematiko komenciĝis laŭ ĝenerala opinio per Taleso (ĉ. 624—ĉ. 546 a.K.) kaj Pitagoro (ĉ. 582—ĉ. 507 a.K.). Kvankam la amplekso de la influo estas disputata, ili estis verŝajne kuraĝigitaj de la ideoj de Egiptio, Mezopotamio kaj eble Barato. Laŭ legendo, Pitagoro vojaĝis al Egiptio por lerni matematikon, geometrion, kaj astronomion de egiptaj pastroj.
Taleso uzis geometrion por solvi problemojn kiaj kiel kalkuli la alton de piramido kaj la distancon de ŝipo de la bordo. Oni atribuas al Pitagoro la unuan pruvon de la Teoremo de Pitagoro, kvankam la diro de la teoremo havas longan historion. En sia komentaro pri Eŭklido, Prokluso diras, ke Pitagoro esprimis la teoremon, kiu portas lian nomon kaj konstruis pitagorajn triopojn algebre anstataŭ geometrie. La Akademio de Platono havis la devizon "neniu nesperta pri geometrio envenu ĉi tien".
La pitagoranoj malkovris la ekziston de neracionaloj (neracionalaj nombroj). Eŭdokso de Knido (408 —ĉ.355 a.K.) inventis la metodon de elĉerpo, antaŭulo de moderna kalkulo. Aristotelo (384—ĉ.322 a.K.) unue surpaperigis la leĝojn de logiko. Eŭklido (ĉ. 300 a.K.) estas la plej frua ekzemplo de la formato ankoraŭ uzata en matematiko hodiaŭ: difino, aksiomo, teoremo, pruvo. Li ankaŭ studis konikojn. Lia libro, Elementoj, estis familiara al ĉiuj kleraj homoj en la Okcidento ĝis la mezo de la 20-a jarcento. [19]. Aldone al la familiaraj teoremoj de geometrio, kiaj la Teoremo de Pitagoro, Elementoj inkluzivas pruvojn, ke la kvadrata radiko de du estas neracionala, kaj ke estas malfinie multaj primoj. La Kribrilo de Eratosteno (ĉ. -230) estis uzita por malkovri primojn.
Iuj diras ke la plej granda el la Grekaj matematikistoj, se ne el ĉiuj tempoj, estis Arĥimedo (287—212 a.K.) de Sirakuso en Sicilio. Laŭ Plutarko, je la aĝo 75, dum li desegnis matematikajn ekvaciojn en la polvo, trapikis lin per lanco romia soldato. Arĥimedo famas ankaŭ pro siaj inventaĵoj, kiaj la dentrado, kaj la pulio.
Antikva Romio postlasis malmultan indikaĵon de iu ajn intereso pri pura matematiko.
La lulilo de eŭropa kulturo kaj klereco estis la antikva Grekio. En la novaj sociaj kondiĉoj de greka sklavisma demokratio komencis evolui logika pripensado, kio ebligis estiĝon de aksioma-deduktiva konstruo de matematikaj teorioj kun logika maniero de pruvado de valideco de unuopaj teoremoj. La plej fama libro verkita sur tiu ĉi bazo, fariĝis Elementoj de Eŭklido, en la originalo Stoicheia' el la 3-a jarcento a.K. Estiĝas matematika pruvo, en Grekio en konekso kun geometrio. Por la estiĝo de la matematikaj nocioj kaj la operacioj influis praktikaj iniciatoj (komerco, monafero, geodezio, marnavigacioj, astronomio ...), dum por krei la matematikan teorion, por krei sistemon de interpretado de la matematiko gvidis klopodo por aranĝo de la matematikaj ekkonoj, bezono de pruvado de iliaj valideco kaj deduktebleco el la jam pruvitaj faktoj.
Pitagoro[redakti | redakti fonton]
Teoremo de Pitagoro; ne estas certe, ĉu la aŭtoro estas Pitagoro mem aŭ lernantoj de lia lernejo
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Pitagoro.
Tre interesa staturo fariĝis Pitagoro, kiu asertis, ke ĉion eblas transgvidi al nombra principo kaj li alvicigis al la nombroj diversajn ecojn. Kiel la bazon li konsideris numeron, punkton (punkton kiel elementon de la plej minimuma limigeco - unu punkto estas punkto, du punktoj estas segmento, tri punktoj kreas triangulon, kvar punktoj spaca korpo kaj sumon de tiuj ĉi nombroj donas numero dek, kiun li konsideris kiel magian konstruon de kosmo kaj laŭ tiu ĉi bazo li kaj liaj sekvantoj poste serĉis interrilatojn inter la objektoj). Pitagoro naskiĝis en Malgranda Azio sur insulo Samoso. Post invado de persanoj li ekloĝis en la sudo de Italio kaj tie li fondis lernejon, kiu estis alirebla por la viroj kaj la virinoj kaj diskriminacia konduto estis malpermesita. En la lernejo li havis senliman aŭtoritatecon. Li dediĉis grandan atentemon al geometrio - teoremo de Pitagoro: La sumo de grandecoj de enhavoj de du kvadratoj super lateroj de ortangulo egalas al la enhavo de kvadrato super ĝia hipotenuzo. Sed ne estas klare, ĉu ties aŭtoro estas Pitagoro mem aŭ liaj lernantoj. Samideanoj de lia filozofio nomiĝas pitagoridoj, temis pri grekaj filozofoj, loĝantaj en grekaj vilaĝoj sur la sudo de Italio kaj anoj de la lernejo de Pitagoro.
Eŭklido[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Eŭklido.
Eŭklido devenis el Megaro. Li apartenis inter samideanojn de Sokrato. Li fondis propran lernejon, kiu agadis ĝis la 3-a jarcento kaj koncentriĝis precipe al logiko, paradoksoj kaj trompaj konkludoj. Paradokso de mensoganto: "Se mi diros, ke mi mensogas, ĉu mi diras veron?" El la lernejo ekestis la tuta vico de logikuloj. Sed Eŭklido estas pli konata kiel geometro. Li verkis dektripartajn verkojn Elemetojn (Stoicheia) kulminantaj per sistemo de centraj aksiomoj de geometrio.
la 1-a libro: traktado pri trianguloj kaj paralelogramoj, pruvo pri teoremo de Pitagoro
la 2-a libro: traktado pri planimetrio
la 3-a kaj la 4-a libro: traktado pri tanĝantaj kaj tangentaj pluredroj kaj cirklo
la 5-a libro: traktado pri rilato
la 6-a libro: traktado pri geometria simileco
pluaj libroj: interpretado de teorio de nombroj, primo, pruvo pri nekalkuleblaj aroj de primoj, teorio de neracionalaj nombroj
la 11-a, la 12-a kaj la 13-a libroj: stereometrio
Arkimedo[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Arkimedo.
Arkimedo devenis el Sirakuso kaj li estas unu el plej signifaj kleruloj de antikvo. Li malkovris multe da leĝoj de matematiko kaj fiziko. En geometrio li enpraktikigis negeometriajn nociojn kiel masocentro, mediano. Li dediĉis sin al metodoj de kalkulo de areoj (precipe de cirklo, elipso kaj parabola segmento kaj volumenoj de figuroj (precipe de cilindro, konuso, globo, elipsoido, paraboloido). Li difinis volumenon de rotacia paraboloido, elipsoido kaj hiperboloido en la praktiko per maniero, kiu estas hodiaŭ uzata en integrala nombro. Ĉirkaŭ la jaro 225 a. K. Arkimedo konstatis, ke volumeno de parto de parabolo respondas al 4/3 de volumeno de triangulo kun la sama bazo kaj alteco. Arkimedo konstruis senfinan sukcedon de trianguloj komencante de triangulo kun areo A kaj pluaj pli malgrandaj trianguloj plenigantaj iom post iom la spacon, kiu estis difinita de la parabolo. Li ricevis senfinan sukcedon de volumenoj:
A , A + A 4 , A + A 4 + A 16 , A + A 4 + A 16 + A 64 {\displaystyle A,A+{\frac {A}{4}},A+{\frac {A}{4}}+{\frac {A}{16}},A+{\frac {A}{4}}+{\frac {A}{16}}+{\frac {A}{64}}} ,...
La volumeno de parto de parabolo do egalas al:
A [ 1 + 1 4 + ( 1 4 ) 2 + ( 1 4 ) 3 + . . . ] = ( 4 3 ) A {\displaystyle A[1+{\frac {1}{4}}+({\frac {1}{4}})^{2}+({\frac {1}{4}})^{3}+...]=({\frac {4}{3}})A}
Tiu ĉi rezulto estas la unua konata ekzemplo de sumo de nefinia serio.
Li resumis siajn esplorojn en verko De mechanicis propositionubis ad Eratosthenes methodus, malkovrita nur en la 20-a jarcento, en la jaro 1906. Arkimedo kiel matematikisto derivis perimetron kaj volumenon de cirklo (per difino de proksima valoro de pi). Lia plej bona takso estis 3,1418 (eraro sole 0,0002). Necesas konscii, ke Arkimedo ne povis uzi avantaĝojn de algebra kaj trigonometrian enskribon de nombroj de dekuma sistemo. Tial la kalkulo devis estis tre komplika. Tamen Arkimedo mem el propraj matematikaj malkovroj plej multe estimis malkovron de rilato inter surfaco kaj volumeno de globo kaj al ĝi skribita cilindro (temas pri rilato 2:3) - tiu ĉi malkovro estas poste en grafika aspekto formigita sur la tombŝtono de Arkimedo.
La islama mondo[redakti | redakti fonton]
La araba matematiko estis plej multe influita de la matematiko mezopotamia, greka kaj barata. El la barata matematiko ĝi transprenis enskribon de nombroj kaj algoritmojn por skriba kalkulado, el la greka matematiko abstraktan geometrion kaj ideon de la aksioma konstruo de matematiko, el la mezopotamia kaj la egiptia mondo ĝi transprenis tradicion de numerike pretendemaj kalkuloj kaj precipe emfazon por uzo de la matematiko en la praktika vivo. La dekuma pozicia sistemo enpenetris malrapide al Proksima Oriento kaj ĝi estis uzata apud hejmaj sistemoj. La islama mondo komencis interkonatiĝi kun la t.n. barata sistemo pere de traduko de verko Sinhásitas de al Fazárí en la araban. Oni komencis uzi ciferojn el Barato. Ĉar en Eŭropon ili venis pere de araboj, ili estas hodiaŭ konataj kiel arabaj ciferoj. En la historio kaj en la nuntempo de matematiko kaj informatiko rolis kaj rolas gravan rolon preceptoj por solvi taskojn, ekz. preceptoj por kvar bazaj aritmetikaj operacioj kun naturaj nombroj enskribitaj en la dekuma sistemo. Per la preceptoj de tiu ĉi karaktero okupiĝis komence de la 9-a jarcento la araba matematiksito Abdalláh Muhammad ibn Músa, al-Chwárizmí (aŭ al-Chorezmí) al-Maĝúsí, latina misprononco de parto de lia nomo enpraktikigis en la eŭropajn lingvojn vorton algoritmo. Al-Chwárizmí kapablis ekzemple geometrie solvi kvadratajn ekvaciojn kaj li elpensis ankaŭ simplan algoritmon por multipliko de ducifera nombro per unucifera nombro. En la jaro 800 kaj 825 li verkis du verkojn, el kiuj unu estis kalkulolibro, kiu en la latina traduko komenciĝas per vortoj Algoritmi dicit (Tiel diras Al-Chwárízmí). Ŝajna intermikso de la nomoj estiĝis verŝajne pro misprononco dum la tradukado el la araba en la latinan. La alia verko estis kalkulolibro de algebro Al-ĝabr wa-l-maqabala (Aranĝo), kiu enhavis sciencon pri solvado de ekvacioj. Laŭ la aŭtoro la ekvacio estas aranĝita, se ĉiuj ties membroj estas pozitivaj. Ĉiuj ekvacioj estis transigataj al tiu ĉi formo, per kio la aŭtoro difinis permesitajn operaciojn per ekvacioj. Li ne konis algebron de ĝeneralaj nombroj.
Mezepoko[redakti | redakti fonton]
En la periodo de mezepoko la matematiko, same kiel ceteraj sciencoj malevoluas (ĉefe en Eŭropo). Kelkaj pensantoj kaj ekleziaj matematikistoj venis ankaŭ al certa gravaj rezultoj. Mikolao Oresme (la dua duono de la 14-a jarcento) studis ŝatokupe potencigojn kun rompitaj eksponentoj, sed ĉefe li verkis verkon, en kiu li okupiĝas per dependeco inter magnitudoj. Li alportas depende variablon (latitudo) rilate al sendependa variablo (longitudo), kiun eblas mezuri. Estas en tio speco de transiro ekde koordinato al astra aŭ tera sferoj (kiujn oni konis jam en antikvo) al modernaj geometriaj koordinatoj. Lia verko pri tio estis kelkfoje presita en la jaroj 1482 ĝis 1515 kaj verŝajne ĝi influis renesancajn matematikistojn inkluzive de Descartes. Ĝis la komenco de la 16-a jarcento estis farita nenia principa paŝo por superi nivelon de la araba kaj la antikva matematikoj. La unuaj vere novaj kaj originaj ideoj alportas la italaj matematikistoj komence de la 16-a jarcento, laborantaj en tereno de solvado de ekvacioj.
Klasika kaj mezepoka matematiko[redakti | redakti fonton]
Klasika Ĉinia matematiko (ĉ. 400—1300)[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Ĉinia matematiko.
La Naŭ Ĉapitroj pri Mathematika Arto, unu el la plej fruaj supervivintaj matematikaj tekstoj el Ĉinio (2-a jarcento p.K.)
Zu Chongzhi (5-a jarcento) de la Suda kaj Norda Dinastioj komputis la valoron de π ĝis sep dekumaj lokoj, kiu restis la plej preciza valoro de π por preskaŭ 1000 jaroj.
En la mil jaroj sekvantaj la dinastion Han, komenciĝantaj en la dinastio Tang kaj finiĝantaj en la dinastio Song, ĉina matematiko prosperis en tempo dum kiu eŭropa matematiko ne ekzistis. Evoluaĵoj unue faritaj en Ĉinio, kaj nur multe pli poste sciataj en la Okcidento, inkluzivas negativajn nombrojn, la duterman teoremon, matricajn manierojn por solvi sistemojn de linearaj ekvacioj kaj la ĉinan restan teoremon. La ĉinoj ankaŭ ellaboris la paskalan triangulon kaj la regulon de tri longe antaŭ ĝi estis sciata en Eŭropo.
Eĉ post kiam eŭropa matematiko komencis flori dum la Renesanco, eŭropa kaj ĉinia matematiko estis apartaj tradicioj, kun grava ĉina matematika eligado malkreskante, ĝis kiam la jezuitaj misiistoj portis matematikajn ideojn tien kaj reen inter la du kulturoj dum la 16-a tra la 18-a jarcentoj.
Klasika Hinda matematiko (ĉ. 400—1600)[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Hinda matematiko.
La Surya Siddhanta (c. 400) prezentis la trigonometriajn funkciojn sinuson, kosinuson, kaj inversan sinuson, kaj starigis regulojn por determini la verajn moviĝojn de la lumaĵoj, kiuj konformas al ties realaj pozicioj en la ĉielo. La kosmologiaj tempaj cikloj eksplikitaj en la teksto, kiuj estis kopiitaj de pli frua verko, korespondas al averaĝa sidera jaro el 365.2563627 tagoj, kiu estas nur 1.4 sekundojn pli longa ol la moderna valoro, 365.25636305 tagoj. Ĉi tiu laboro estis tradukita en la araban kaj latinan lingvojn dum la Mezepoko.
Aryabhata en 499 prezentis la versinusan funkcion, produktis la unuajn trigonometriajn baremojn de sinuso, ellaboris teĥnikojn kaj algoritmojn de algebro, infinitezimojn, diferencialajn ekvaciojn, kaj ekhavis tutajn nombrajn solvojn al linearaj ekvacioj per metodo ekvivalenta al la moderna metodo, kune kun precizaj astronomiaj kalkuloj bazitaj sur heliocentra sistemo de gravito. Araba traduko de lia Aryabhatiya estis havebla de la 8-a jarcento, sekvote de latina traduko en la 13-a jarcento. Li ankaŭ komputis la valoron de π ĝis la kvara dekuma loko kiel 3.1416. Madhava poste en la 14-a jarcento komputis la valoron de π ĝis la dek-unua dekuma loko kiel 3.14159265359.
En la 7-a jarcento, Brahmagupta identigis la Brahmaguptan teoremon, la Brahmaguptan identon kaj la Brahmaguptan formulon, kaj unuafoje, en Brahmao-sphuta-siddhanta, li lumige eksplikis la uzon de nulo kiel kaj ŝtopaĵo kaj decimala cifero kaj eksplikis la Hind-araban numeral-sistemon. Estis per traduko de ĉi tiu Hinda teksto pri matematiko (ĉirkaŭ 770), ke islamaj matematikistoj estis prezentitaj al tiu numeralsistemo, kiun ili adaptis kiel tion kio nun nomiĝas Eŭropaj ciferoj. Islamaj erudiciuloj portis scion de ĉi tiu nombrosistemo al Eŭropo jam la 12-an jarcenton, kaj ĝi nun jam arkaikigis ĉiujn pli malnovajn nombrosistemojn ĉie en la mondo. En la 10-a jarcento, la komentaro de Halayudha pri la verko de Pingala enhavis studojn pri la nombroj de Fibonaĉi kaj la Paskala triangulo, kaj priskribis la formigon de matrico.
En la 12-a jarcento, Bhaskara unue koncipis diferencialan kalkulon, kune kun la konceptoj de la derivaĵo, diferenciala koeficiento kaj diferencialado. Li ankaŭ pruvis la teoremon de Rolle (speciala kazo de la teoremo de la meznombra valoro), studis la ekvacion de Pell, kaj esploris la derivaĵon de la sinusa funkcio. De la 14-a jarcento, Madhava kaj aliaj kerala-skolaj matematikistoj, plue ellaboris liajn ideojn. Ili ellaboris la konceptojn de analitiko kaj de flos-punktaj numeraloj, kaj konceptojn fundamentajn al la tuta evoluo de kalkulo, inkluzivante la teoremon de la meznombra valoro, termo-post-terman integraladon, la interrilaton de areo sub kurbo kaj ĝian malderivaĵon aŭ integralon, testojn de konverĝo, ripetajn metodojn por solvi ne-linearajn ekvaciojn, kaj pluron da malfiniaj serioj, potencoserioj, seriojn de Taylor kaj trigonometriaj serioj. En la 16-a jarcento, Jyeshtadeva unuigis multajn el la kerala-skolaj evoluaĵoj kaj teoremoj en la Yuktibhasa, la de la mondo unua diferenciala kalkula teksto, kiu ankaŭ prezentis konceptojn de integrala kalkulo.
Matematika progreso en Barato iĝis stagna de la malfrua 16-a jarcento plu pro la sekvinta politika maltrankvilo.
Araba kaj islama matematiko (ĉ. 700—1600)[redakti | redakti fonton]
Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Islama matematiko.
Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī
La islama araba imperio establita tra la Mezoriento, Mez-Azio, Nord-Afriko, Iberio, kaj en partoj de Barato en la 8-a jarcento faris gravajn kontribuojn al matematiko.
Kvankam plejo da islamaj tekstoj pri matematiko estis verkitaj arabe, ili estis ne ĉiuj verkitaj far araboj, ĉar multkiel la statuso de la greka en la helenisma mondo, la araba estis uzata kiel la skriba lingvo de ne-arabaj erudiciuloj ĉie en la islama mondo dum tiu tempo. Iuj el la plej gravaj islamaj matematikistoj estis persoj.
Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, 9-a-jarcenta persa matematikisto kaj astronomo al la Kalifo de Bagdado, verkis kelkajn gravajn librojn pri la hind-arabaj ciferoj kaj pri metodoj solvi ekvaciojn. Lia libro Pri la Kalkulo per Hindaj Numeraloj, verkita ĉ. 825, kune kun la verko de la araba matematikisto Al-Kindi, ilis la disvastigon de hinda matematiko kaj hindaj numeraloj al la Okcidento. La vorto algoritmo estas derivita de la latinigo de lia nomo, Algoritmi, kaj la vorto algebro de la titolo de unu el liaj verkoj, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (~ La Enhavega Libro pri Kalkulo per Plenigo kaj Bilancado). Al-Khwarizmi estas ofte nomita la "patro de algebro", pro lia konservado de antikvaj algebraj metodoj kaj pro liaj originalaj kontribuoj al la kampo. [20]
Pluaj evoluoj en algebro estis faritaj de Abu Bakr al-Karaji (953—1029) en lia traktato al-Fakhri, kie li etendas la metodaron al entjeraj potencoj kaj entjeraj radikoj de nekonataj kvantoj. En la 10-a jarcento, Abul Wafa tradukis la verkojn de Diofanto de Aleksandrio en la araban kaj ellaboris la funkcion tangento.
Omar Ĥajam, la 12a-jarcenta poeto, estis ankaŭ matematikisto, kaj verkis Diskutoj pri la Malfacilaĵoj en Eŭklido, libro pri malperfektaĵoj en Elementoj de Eŭklido. Li donis geometrian solvon al kubaj ekvacioj, unu el la plej originalaj evoluaĵoj en islama matematiko. Li estis ankaŭ tre influa en kalendara reformo. La Persa matematikisto Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) en la 13-a jarcento faris antaŭenigojn en sfera trigonometrio. Li ankaŭ verkis influan verkaĵon pri la paralela postulato de Eŭklido.
En la 15-a jarcento, Ghiyath al-Kaŝi komputis la valoron de π ĝis la 16-a dekuma loko. Kashi ankaŭ havis algoritmon por kalkuli n−ajn radikojn, kiu estis speciala kazo de la metodoj donitaj multajn jarcentojn poste far Ruffini kaj Horner. Aliaj rimarkindaj islamaj matematikistoj estas al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil kaj Abu Sahl al-Kuhi.
Dum la tempo de la Otomana imperio (de la 15-a jarcento) la evoluo de islama matematiko iĝis stagna. Ĉi tio paralelas la stagnadon de matematiko post la romiana konkero de la helenisma mondo.
John J. O'Connor kaj Edmund F. Robertson skribis en la arĥivo de la MacTutor History of Mathematics:
"Ĵusa esploro pentras novan bildon de la ŝuldo kiun ni ŝuldas al la islama matematiko. Certe pri multaj el la ideoj kiuj estis antaŭe pensataj esti brilaj novaj komprenaĵoj ŝuldataj al eŭropaj matematikistoj de la dek-sesa, dek-sepa kaj dek-oka jarcentoj, ni nun scias ke ili estis ellaboritaj far arabaj-islamaj matematikistoj kvar jarcentojn pli frue. En multaj manieroj, la matematiko studata hodiaŭ estas multe pli proksima en stilo al tiu de islama matematiko ol al tiu de helenisma matematiko."
Mezepoka Eŭropa matematiko (ĉ. 300—1400)[redakti | redakti fonton]
Mezepokan eŭropan interesiĝon pri matematiko spronis koncernoj sufiĉe malsamaj de tiuj de modernaj matematikistoj. Iu pela elemento estis la kredo, ke matematiko provizas la ŝlosilon al la kompreno de la kreita ordo de naturo, ofte pravigita per Timaeus de Platono, kaj la biblia tekstaĵo, ke Dio "ordigis ĉiujn aĵojn mezure, kaj nombre, kaj peze" (Saĝeco 11:21).
La Frua Mezepoko (ĉ. 300—1100)[redakti | redakti fonton]
Boethius provizis lokon por matematiko en la studprogramo kiam li inventis la terminon "quadrivium" por priskribi la studon de aritmetiko, geometrio, astronomio, kaj muziko. Li verkis De institutione arithmetica, libera traduko el la greka Enkonduko al Aritmetiko de Nikomaĥo Nicomachus; De institutione musica, ankaŭ derivitan de grekaj fontoj; kaj serion de ĉerpaĵoj el Elementoj de Geometrio de Eŭklido . Lia verkoj estis teoriaj, prefere al praktikaj, kaj estis la bazo de matematikaj studoj ĝis la retrovo de greka kaj araba matematikaj verkoj.[21][22]
La Renaskiĝo de Matematiko en Eŭropo (1100—1400)[redakti | redakti fonton]
En la 12-a jarcento, Eŭropaj erudiciuloj vojaĝis al Hispanio kaj Sicilio serĉante arabajn sciencajn tekstojn; inter ili estis Al-Jabr wa-al-Muqabilah de Al-Ĥorazmi, tradukita en la latinan far Robert de Chester kaj la kompleta teksto de la Geometrio de Eŭklido, tradukita en diversaj versioj far Adelard de Bath, Herman de Karintio, kaj Gerard de Cremona.[23][24]
Ĉi tiuj novaj fontoj fajreris renovigon de matematiko. Fibonacci, en la frua 13-a jarcento, produktis la unuan gravan matematikon en Eŭropo ekde la tempo de Eratosteno, post breĉo de pli ol mil jaroj. La dek-kvara jarcento vidis la evoluon de nova matematikaj konceptoj por esplori larĝan gamon da problemoj.[25] Unu grava areo, kiu kontribuis al la evoluo de matematiko koncernis la analitikon de loka moviĝo. Fibonacci vojaĝis en Sirio, Egipto, Sicilio kaj Provenco. Li renkontis matematikistojn kaj revenigis el tie kelkajn konaĵojn. Ekzemplo estas la fama fibonaĉi-nombro, kiun oni trovas en lia Liber abaci (Libro de kalkuloj).
Thomas Bradwardine proponis, ke rapido (V) pligrandiĝas en aritmetika proporcio kiel la kvociento de forto (F) al rezisto (R) pligrandiĝas en geometria proporcio. Bradwardine esprimis ĉi tion per serio de specifaj ekzemploj, sed kvankam la logaritmo ankoraŭ ne estis inventita, ni povas esprimi lian konkludon anakronisme skribante: V = log(F/R).[26] La analizo de Bradwardine estas ekzemplo de transigo de matematika teĥniko uzita de al-Kindi kaj de Arnald de Villanova por kvantigi la naturon de kombinitaj medikamentoj al malsama fizika problemo.[27]
Iu el la 14a-jarcenta oksfordaj kalkulistoj, William Heytesbury, malhavante diferencialan kalkulon kaj la koncepton limeso, proponis mezuri sendaŭran rapidon "per la vojo kiun devus priskribi [korpo] se ... ĝi estus movata unuforme je tiu sama grado de rapido laŭ kiu ĝi estas movata en tiu donita sendaŭra momento".[28]
Heytesbury kaj aliaj matematike determinis la distancon kovritan de korpo spertanta unuforme akcelatan moviĝon (kion ni nun solvas per simpla integralado), dirante, ke moviĝanta korpo unuforme akiranta aŭ perdanta tiun ŝanĝeron [de rapido] trairos en iu donita tempo [distanco]n plene egalan al tiu, kiun ĝi devus trairi se ĝi estus moviĝanta kontinue tra la sama tempo laŭ la meznombra grado [de rapido]".[29]
Nicole Oresme ĉe la Universitato de Parizo kaj la italo Giovanni di Casali sendepende provizis grafikajn montrojn de ĉi tiu interrilato, asertante, ke la areo sub la linio prezentanta la konstantan akcelon, prezentas la tutan distancon vojaĝitan.[30] En posta matematika komentaro pri la Geometrio de Eŭklido, Oresme faris pli detalan ĝeneralan analizon en kiu li montris, ke korpo akiras en ĉiu sekva pliiĝo de tempo pliiĝon de iu ajn kvalito kiu pligrandiĝas kiel la neparaj nombroj. Eŭklido montris, ke la sumo de la neparaj nombroj estas la kvadrataj nombroj, do la tuta kvalito akirita de la korpo pliiĝas kiel la kvadrato de la tempo.[31]
Moderna matematiko[redakti | redakti fonton]
Frua Moderna Eŭropa matematiko (ĉ. 1400—1600)[redakti | redakti fonton]
En Eŭropo je la krepusko de la Renaskiĝo, matematiko estis ankoraŭ limigita de la plumpa notacio uzanta romiajn ciferojn kaj esprimanta interrilatojn uzante vortojn, prefere al simboloj: ne estis plusa signo, nek egala signo, nek uzo de x kiel nekonato.
En la 16-a jarcento eŭropaj matematikistoj komencis fari antaŭenigojn sen precedencoj ie ajn en la mondo, ĝis kiom estas sciate hodiaŭ. La unua el ĉi tiuj estis la ĝenerala solvo de kubaj ekvacioj, ĝenerale kreditita al Scipione del Ferro ĉ. 1510, sed unue publikigita de Johannes Petreius en Nurenbergo en Ars magna de Gerolamo Cardano, kiu ankaŭ inkluzivis la solvon de la ĝenerala kvaragrada ekvacio fare de studento de Cardano, Lodovico Ferrari .
De tiam plue, matematikaj evoluaĵoj venis rapide, kontribuante al, kaj profitante de, moderna progresaĵoj en la fizikaj sciencoj. Ĉi tiu progreso estis grande helpata de antaŭenigoj en presado. La plej fruaj matematikaj libroj presitaj estis Theoricae nova planetarum de Peurbach en 1472 sekvota de libro pri komerca aritmetiko, la anonima Arte dell'Abbaco (Trevisa Aritmetiko) en 1478, kaj tiam la unua reala matematika libro, Elementoj de Eŭklido presita kaj eldonita de Ratdolt en 1482
Spronite de la postuloj de navigado kaj la kreskanta bezono por precizaj mapoj de grandaj areoj, trigonometrio kreskis estiĝante grava branĉo de matematiko. Bartholomaeus Pitiscus estis la unua kiu uzis tiun vorton, publikigante sian Trigonometria en 1595. La baremo de sinusoj kaj kosinusoj far Regiomontanus estis publikigita en 1533.[32]
Jam je la jarcenta fino, danke al Regiomontanus (1436—1476) kaj François Viète (1540—1603), inter aliaj, matematiko estis skribata uzante Hind-eŭropajn ciferojn, kaj en formo ne tre malsama de la notacio uzata hodiaŭ.
Renesanco[redakti | redakti fonton]
Komence de la 16-a jarcento la eŭropa matematiko transpaŝis kadron de konoj, kiuj estis kreitaj en la antikva Grekio kaj fare de la nacioj de Oriento. Ĝis la interŝanĝo dfe la 16-a kaj la 17-a jarcento la matematiko havis kiel objekton de sia esplorado ĉefe kvantajn magnitudojn kaj neŝanĝemajn geometriajn formaciojn. Scipio Del Ferro kaj liaj lernantoj en universitato en Bologna kreis teorion, kiu kondukis al ĝenerala solvo de kubaj ekvacioj. En la 15-a jarcento la italaj kalkulistoj (praktikantoj) priregis fidinde aritmetikajn kalkulojn inkluzive de kalkulado per neracionalaj nombroj kaj italaj pentristoj estis bonaj geometroj. Vasari en libro La vivo de pentristoj emfazas apartan intereson de multaj renesancaj artistoj pri la spaca geometrio. Ŝanĝo de sociaj kondiĉoj alportas ankaŭ novajn problemojn, kiujn la matematiko devas solvi. Multe da iniciatoj ĝi ricevas el fizika tereno. La matematiko sentas necesecon trovi rimedojn por pli rapida prilaborado de la akiritaj indikoj. Por kalkuloj estis uzataj diversaj kalkuliloj, komence de la 17-a jarcento fariĝis la grava helpiloj de logaritmoj (Napier, Bürgi, Briggs). En frunton de interesoj de la matematikistoj venas movo. Oni komencas studi variablajn magnitudojn kaj geometrian transformadon. Galileo Galilei venas kun malkovro, ke balistika kurblinio estas parabolo, René Descartes en la jaro 1637 montras metodon, per kiu eblas dum certaj kondiĉoj priskribi analitike vojon, sur kiu moviĝas punkto. Lia analitika geometrio fariĝas supozo por tio, por ke la matematiko respondu la demandon, kiel moviĝas punkto sur sia vojo (konstante aŭ nekonstante) kaj solvon de tiuj ĉi problemoj de mekaniko alportas sendepende de si en la dua duono de la 17-a jarcento novaj matematikaj rimedoj de Leibniz kaj Isaac Newton per infinitezima kvanto. Pli poste ĝi estas aplikata ankaŭ en geometrio (Gaspard Monge). Veno de nobelaro kaj socia evoluo en italaj, francaj, nederlandaj kaj anglaj urboj kun veno de renesanco kontribuis al klopodoj alproksimigi la matematikajn konojn al pli vastaj tavoloj de la socio, kaj nome en la naciaj lingvoj. Tiutempe aperas ankaŭ la unuaj ĉeĥaj kalkulolibroj, el kiuj la unuaj estas eldonitaj en la jaro 1530.
Kubaj kaj bikvadrataj ekvacioj[redakti | redakti fonton]
Luca Pacioli, pentraĵo tradicie atribuata al Jacopo de' Barbari, 1495, (Museo di Capodimonte).
La itala matematikisto Luca Pacioli konstatis, ke la ekvacion x 4 = a + b x 2 {\displaystyle x^{4}=a+bx^{2}} eblas solvi per kvadrata metodo, sed la ekvaciojn x 4 + a x 2 = b {\displaystyle x^{4}+ax^{2}=b} aŭ x 4 + a = b x 2 {\displaystyle x^{4}+a=bx^{2}} li ne kapablis solvi. Scipione Del Ferro okupis, same kiel Pacioli, postenon en katedro de aritmetiko kaj geometrio en Universitato de Bologna. Del Ferro okupiĝis per algebra solvado de ekvacioj. Del Ferro ne kapablis solvi la ekvacion de formo x3 + mx = n. Nur post lia morto Nicolo el Brescia, konata sub nomo Tartaglia, malkovris ĝeneralan metodon por solvi ĉiujn kubajn ekvaciojn. Girolamo preparis en Milano al Cardan por eldoni sian verkon "Practica Arithmeticae". Li invitis Tartaglion, por ke li malkaŝu al li sekreton de la solvado de kuba ekvacio. Tartaglia postulis, por ke Cardan konservu la sekreton ĝis la tempo, antaŭ ol li mem publikos la solvon. Sed Cardan rompis la promeson. En la jaro 1545 li publikigis verkon "Ars Magna", la unua latina traktado pri algebro. La solvado de ekvacio x 3 + m x = n {\displaystyle x^{3}+mx=n} de Cardan estis la jena.
Cardan eliris el rilato:
( a − b ) 3 + 3 a b ( a − b ) = a 3 − b 3 {\displaystyle (a-b)^{3}+3ab(a-b)=a^{3}-b^{3}}
Se a, b plenuma la rilatojn
3 a b = m {\displaystyle 3ab=m} a 3 − b 3 = n {\displaystyle a^{3}-b^{3}=n}
poste ( a − b ) {\displaystyle (a-b)} estas la solvo de la ekvacio x 3 + m x = n {\displaystyle x^{3}+mx=n} . Sed nun estas
b = m / 3 a {\displaystyle b=m/3a} , a 3 − m 3 / 27 a 3 = n {\displaystyle a^{3}-m^{3}/27a^{3}=n} ,
a 6 − n a 3 − m 3 / 27 = 0 {\displaystyle a^{6}-na^{3}-m^{3}/27=0} .
La lasta rilato estas kvadrata ekvacio de variablo a 3 {\displaystyle a^{3}} , do ĝi estas solvata kiel kutima kvadrata ekvacio.
La verko de Cardan Ars Magna inspiris vicon da matematikistoj, por ke ili okupiĝu per solvado de la kubaj kaj bikvadrataj ekvacioj. Siajn metodojn derivis Viète, Harriot, Euler, kaj Descartes.
La estiĝo de la matematika analizo[redakti | redakti fonton]
Plua evoluo de la matematika analizo (la infinitezimala kvanto) ekde la komencoj de Arkimedo okazis nur en la 16-a jarcento, kiam mekaniko alkondukis matematikistojn por solvi problemojn, kiel estis fokuso de gravito. Johannes Kepler en sia verko pri movo de planedoj kalkulis volumenon de partoj de elipso. Li fondis sian metodon laŭ imago de areo kiel sumo de segmentoj, kiu principe estis metodo de integralo. Pierre Fermat ankaŭ studis maksimumojn kaj minimumojn. Li konstatis, ke funkcio atingas sian maksimumon aŭ minimumon, se tangento de kurblinio de tiu ĉi funkcio estas paralela kun akso x. Li priskribis sian metodon al Descartes tiel, kiel ni komprenas ĝin hodiaŭ: loka maksimumo aŭ minimumo de la funkcio troviĝas en punktoj, kie derivaĵo de la funkcio egalas al nulo. Gottfried Wilhelm Leibniz havas meriton en ĝis nun uzata enskribo de integraloj. Leibniz enpraktikigis simbolon de integralo kaj en la jaro 1675 li uzis enskribon:
∫ y d x = y 2 2 {\displaystyle \int y\mathrm {d} x={\frac {y^{2}}{2}}}
Jacob Bernoulli enpraktikigis en la jaro 1690 terminon integrala kvanto.
Novepoko[redakti | redakti fonton]
En scienca revolucio de la 17-a jarcento la matematiko larĝe ekkreskis kaj kiam poste fine de la 18-a jarcento la industria revolucio alportis grandan kvanton de teknikaj problemoj, la matematiko komune kun la fiziko estis preparita por solvi ilin. Sed aperis ankaŭ kelkaj konfliktoj. Komplikaj funkcioj, aperantaj ekz. dum esplorado de gvidado de varmo en diversaj materialoj, devigis por si pliprecizigon de la nocio funkcio, limeso, derivaĵo ks. La unuaj paŝoj en tiu ĉi direkto entreprenis Bolzano kaj Cauchy. Senĉesaj malsukcesoj dum logika esprimado de teorio de paraleloj postulis verkontroladon de bazoj de eŭklida geometrio per alia maniero. Per logika neo de la kvina postulato de Eŭklido pri paraleloj ĉe Lobaĉevskij kaj Bolyai aperis neeŭklida geometrio kiel matematike tute ĝusta, el siaj aksiomoj derivebla kaj en rondo de sia valideco sendisputebla teorio. La malsukceso de klopodoj pri rekta solvo de ĝeneralaj algebraj ekvacioj de pli alta ol la kvara grado kondukis al demando, ĉu tia solvo estas entute ebla. Galois, Ruffini kaj Abel montris, ke tia solvo ekzistas kaj konstruis la algebron (ĝis tiu tempo nur scienco pri solvado de ekvacioj) al tute alian bazon - teorio de grupoj. En la matematiko tiel komencis el la internaj problemoj de ilia konstruado kreiĝi teorioj, kiuj estis logike ĝustaj kaj dum tio ili respondis al nenia konata situacio el la reala mondo. Komenciĝis la nova etapo de la evoluo de matematiko, kiam objekto de esplorado fariĝis abstraktaj kvantitaj rilatoj kaj geometriaj objektoj, kiuj atendis kaj multaj atendas sian praktikan validigon.
17-a jarcento[redakti | redakti fonton]
La 17-a jarcento vidis senprecedencan eksplodon de matematikaj kaj sciencaj ideoj tra Eŭropo. Galileo, italo, observis la lunojn de Jupitero en orbito ĉirkaŭ tiu planedo, uzante teleskopon bazitan sur ludilo importita de Nederlando. Tycho Brahe, dano, estis kolektinta enorman kvanton de matematikaj datumoj priskribantaj la poziciojn de la planedoj en la ĉielo. Lia studento, Keplero, germano, komencis labori je ĉi tiuj datumoj. Parte ĉar li deziris helpi Kepleron en ties kalkuloj, John Napier, en Skotlando, estis la unua kiu esploris naturajn logaritmojn. Keplero sukcesis formuli matematikajn leĝojn de planeda moviĝo. La analitika geometrio ellaborita de René Descartes (1596-1650), franca matematikisto kaj filozofo, ebligis grafikan prezentadon per grafikaĵo de tiuj orbitoj, en Karteziaj koordinatoj. Konstruante sur pli frua laboro far multaj matematikistoj, Isaac Newton, anglo, esploris la leĝojn de fiziko eksplikantajn la Keplerajn Leĝojn, kaj kunigis la konceptojn nun nomatajn kalkulo. Sendepende, Gottfried Wilhelm Leibniz, en Germanio, ellaboris kalkulon kaj multon el la notacio de kalkulo ankoraŭ uzata hodiaŭ. Scienco kaj matematiko iĝis internacia entrepreno, baldaŭ disvastiĝonta tra la tuta mondo. [33]
Aldone al la apliko de matematiko al la studoj de la ĉielo, aplika matematiko komencis elvolvi en novajn areojn, kun la korespondado de Pierre de Fermat kaj Blaise Pascal. Paskalo kaj Fermat metis la fundamentaĵon por la ekzamenoj de la teorio de probabloj kaj la respektivaj reguloj de kombinatoriko en siaj diskutoj super hazardludo. Paskalo kun sia veto, provis uzi la nove ellaboratan teorion de probabloj por argumenti por vivo dediĉita al religio, sur la bazo, ke eĉ se la probablo de sukceso estas malgranda, la rekompenco estas malfinia. En ia senco ĉi tiu antaŭombris la postan evoluon de utileco-teorio en dum 18-a kaj 19-a jarcentoj.
18-a jarcento[redakti | redakti fonton]
Leonhard Euler far Emanuel Handmann.
Kiel ni vidis, scio pri la naturaj nombroj, 1, 2, 3,..., kiel konservita en monolitaj_ strukturoj, estas pli malnova ol iu ajn travivinta skribita teksto. La plaj fruaj civilizoj -- en Mezopotamio, Egiptio, Barato kaj Ĉinio -- sciis aritmetikon.
Maniero vidi la evoluon de la diversaj nombrosistemoj de moderna matematiko estas rigardi novajn nombrojn studatajn kaj esploratajn por respondi demandojn pri aritmetiko faritajn super pli malnovaj nombroj. En pratempoj, frakcioj respondis la demandon: kiu nombro obligita per 3, donas la respondon 1. En Barato kaj Ĉinio, kaj multe poste en Germanio, negativaj nombroj estis ellaboritaj por respondi la demandon: kio doniĝas kiam vi subtrahas pli grandan nombron de pli malgranda? La invento de la nulo eble sekvis de simila demando: kio doniĝas kiam vi subtrahas nombron de si?
Alia natura demando estas: kia nombro estas la kvadrata radiko de du? La grekoj sciis, ke ĝi estis ne frakcio, kaj ĉi tiu demando eble ludis rolon en la evoluo de ĉenfrakcioj. Sed pli bona respondo venis kun la invento de dekumaj frakcioj ellaboritaj de John Napier (1550 - 1617) kaj perfektigitaj poste de Simon Stevin. Uzante dekumajn frakciojn, kaj ideon, kiu anticipis la koncepton de la limeso, Nepero ankaŭ studis novan konstanton, kiun Leonhard Euler (1707 - 1783) nomis e.
Eŭlero estis tre influa en la normigo de aliaj matematikaj terminoj kaj notacioj. Li nomis la kvadratan radikon de minus 1 per la simbolo i. Li ankaŭ popularigis la uzon de la grekoj literoj π {\displaystyle \pi } por signi la kvocienton de cirkonferenco de ciklo al ties diametro. Li tiam derivis iun el la plej rimarkindaj identoj en la tuta matematiko:
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}
(vidu la artikolon Eŭlera idento.)
19-a jarcento[redakti | redakti fonton]
Konduto de linioj kun komuna perpendikularo en ĉiu el la tri specoj de geometrio
Tute tra la 19-a jarcento matematiko iĝis pli-kaj-pli abstrakta. En tiu jarcento vivis iu el la plej grandaj matematikistoj de ĉiam, Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). Flanken lasante liajn multajn kontribuojn al scienco, en pura matematika li faris revolucian laboron super funkcioj de kompleksaj variabloj, en geometrio, kaj super la konverĝo de serioj. Li donis la unuajn kontentigajn pruvojn de la fundamenta teoremo de algebro kaj de la kvadrata reciprokeca leĝo.
Neŭtona (ruĝa) orbito kompare al Ejnstejna orbito (blua) de sola planedo orbitanta ĉirkaŭ astron kun la relativeca efiko kaŭzanta precesion de la apsidoj
Tiu jarcento vidis la evoluon de la du formoj de neeŭklida geometrio, kie la paralela postulato de eŭklida geometrio ne plu tenas. En eŭklida geometrio, donite linion kaj punkton ne sur tiu linio, estas nur unu paralelo al la donita linio tra la donita punkto. La rusa matematikisto Nikolaj Ivanoviĉ Lobaĉevskij kaj lia rivalo, la hungara matematikisto Janos Bolyai, sendepende esploris hiperbolan geometrion, kie unikeco de paraleloj ne plu tenas. En tiu geometrio la sumo de anguloj en triangulo adiciiĝas al malpli ol 180°. Elipsa geometrio estis ellaborita poste en la 19-a jarcento far la germana matematikisto Bernhard Riemann; ĉi tie neniu paralelo povas troviĝi kaj la anguloj en triangulo adiciiĝas al pli ol 180°. Reimmann ankaŭ ellaboris rimanan geometrion, kiu interligas la tri specojn de geometrio, kaj li difinis la koncepton de dukto, kiu ĝeneraligas la ideojn de kurboj kaj surfacoj. Tiuj konceptoj pruviĝis gravaj en la Teorio de Relativeco de Albert Einstein.
Diagramo de Florence Nightingale.
Meze de la jarcento praktika apliko de matematiko montriĝis ĉe Florence Nightingale, famiĝinta brita flegistino. Ŝi uzis diagramon (evoluigitan de William Playfair en 1801) por kvante kaj kvalite priskribi la kaŭzojn de morto de soldatoj inter 1854 kaj 1856 en malsanulejo, kiun ŝi administris. Tamen, matematiko estis malpermesata al virinoj en ĉi tiu epoko. Sed malgraŭ tio, danke al ŝiaj diagramoj, praktike aplikata matematiko evoluigis la flegadon. Ĝi ebligis kompletan statistikan studadon de la kampanjo pri higieno en Barato, kiu multe kontribuis al la plibonigo de flegado kaj publikaj sanservoj tiulandaj.
Ankaŭ dum la dek-naŭa jarcento William Rowan Hamilton ellaboris nekomutan algebron.
Aldone al novaj direktoj en matematiko, pli malnova matematiko ricevis pli fortan logikan fundamenton, aparte en la kazo de kalkulo, per laboro per Augustin-Ludovika Koŝio kaj Karl Weierstrass.
Nova formo de algebro estis ellaborita en la dek-naŭa jarcento nomita bulea algebro, inventita de la brita matematikisto George Boole. Ĝi estis sistemo en kiu la nuraj nombroj estis 0 kaj 1, sistemo kiu hodiaŭ havas gravajn aplikojn en komputiko.
Ankaŭ, por la unua fojo, la limigoj de matematiko estis esploritaj. Niels Henrik Abel, norvego, kaj Évariste Galois, franco, pruvis, ke estas neniu ĝenerala algebra maniero solvi polinomajn ekvaciojn de grado pli granda ol kvar. Aliaj 19a-jarcentaj matematikistoj ekspluatis ĉi tion en siaj pruvoj, ke liniilo kaj cirkelo solaj estas ne sufiĉaj por trionigi (en:"trisect") ajnan angulon, por konstrui la flankon de kubo duoble volumena ol donita kubo, nek por konstrui kvadraton egalan en areo al donita cirklo. Matematikistoj jam vane provadis solvi ĉiujn ĉi tiuj problemoj ekde la tempo de la antikvaj grekoj.
La esploroj de Abel kaj Galois en la solvoj de diversaj polinomaj ekvacioj faris la fundamentojn por pluaj evoluaĵoj de grupa teorio, kaj la asociitaj kampoj de abstrakta algebro. En la 20-a jarcento fizikistoj kaj aliaj sciencistoj estas vidintaj grupan teorion kiel la ideala vojo por studi simetrion.
La 19-a jarcento ankaŭ vidis la establadon de la unuaj matematikaj asocioj: la Londona Matematika Socio en 1865, la Société Mathématique de Francio en 1872, la Circolo Mathematico di Palermo en 1884, la Edinburga Matematika Socio en 1864, kaj la Amerika Matematika Socio en 1888.
Antaŭ la 20-a jarcento, estis tre malmultaj kreivaj matematikistoj en la mondo en iu ajn tempo. Grandaparte, matematikistoj estis ĉu naskiĝintaj riĉaj, kiel Nepier, aŭ subtenataj de riĉaj mecenatoj, kiel Gaŭso. Estis malmultaj kiuj trovis magran vivtenadon instruante ĉe universitato, kiel Fourier. Niels Henrik Abel, neebla ricevi postenon, mortis malriĉa de malbonnutrado kaj tuberkulozo je la aĝo dudek-ses.
Portretoj[redakti | redakti fonton]
20-a jarcento[redakti | redakti fonton]
Fragmento de fraktalo Phoenix
En periodo de la dua mondmilito estas en atentocentro kriptografio (scienco pri ĉifrado), kunigita kun germana ĉifra maŝino enigma. Aliancanoj sukcesis trabati kodon kaj tio mallongigis la militon preskaŭ je du jaroj. La plene evoluinta kapitalismo alportis ŝtorman evoluon de ekonomio, kiu eluzas la matematikon. La matematiko plu enpenetris en multajn sciencojn kaj fariĝis ilia nedisigema parto. John Forbes Nash venas kun sia teorio de ludoj (ĝi validiĝis en ekonomio). Grandan rompon alportas rapide evoluanta komputiltekniko, kiu grandege plirapidigas kalkulojn. En tereno de geometrio aperas fraktaloj (geometriaj objektoj similaj al si, kiuj havas je unua ekvido tre komplikan formon, sed ili estas generitaj per ripetata uzo de simplaj reguloj). La nocion fraktalo unuafoje uzis Benoît Mandelbrot en la jaro 1975, sed tiaj ĉi objektoj estis konataj jam antaŭe. Temas pri la plej komplikaj geometriaj objektoj esplorataj per la hodiaŭa geometrio. Ili validiĝas en komputila grafiko. La matematiko daŭrigas en abstrakto ĝis tiaj operacioj kiel estas teorio de ĥaoso, kvanta ĥaoso ktp.
Portretoj[redakti | redakti fonton]
La nuntempo kaj estonteco de matematiko[redakti | redakti fonton]
Danke al senĉese perfektigantaj integraj cirkvitoj plialtiĝas efikemo de komputiltekniko kaj per tio ankaŭ rapideco de kalkuloj.
La granda abstrakteco de la hodiaŭa matematiko kreas supozojn por ties validiĝo ne nur kiel tradicie en la fiziko kaj koneksantaj teknikaj sciencoj, sed ankaŭ en la tuta vico de natursciencoj kaj sociaj sciencoj. Senĉese disvastiĝas amplekso de la terenoj de matematiko. Tio ne estas nur klasikaj terenoj - algebro, analizo, geometrio, teorio de nombroj, statistiko kaj teorio de probablo. Granda emfazo estas metata al matematika logiko, filozofia klarigo (metamatematiko) kaj kunigo de la plej modernaj teorioj kun la praktiko. La matematiko estiĝis el praktika bezono de la homaro kaj iom post iom ĝi transŝoviĝis ĝis abstrakto kaj ĝi senĉese atendas multajn teoriojn. Tiuj teorioj, kiuj hodiaŭ ŝajnas neimageble malproksimaj al hodiaŭa kutima praktiko, povas en estonteco montriĝi kiel tre utilaj.
Mapo ilustranta la Kvar-koloran teoremon
La profesio de matematikisto iĝis multa pli grava en la 20-a jarcento. Ĉiujare, centoj da novaj PH.D.-oj en matematiko estas aljuĝataj, kaj postenoj estas haveblaj, kaj en instruado, kaj en industrio. Matematika evoluo kreskis je eksponenta rapido, kun tro multaj novaj evoluoj por ke superrigardo eĉ menciu mallonge ajnajn krom kelkajn el la plej profundaj.
En 1900, David Hilbert prezentis liston de 23 nesolvitaj problemoj en matematiko ĉe la Internacia Kongreso de Matematikistoj. Ĉi tiuj problemoj tragamis multajn areojn de matematiko kaj formis centran fokuson por multe de 20-jarcenta matematiko. Hodiaŭ dek jam estas solvitaj, sep estas parte solvitaj, kaj du problemoj restas ankoraŭ malfermaj. La ceteraj kvar estas tro lozaj por ke oni diru ĉu ili estas solvitaj, ĉu ne.
En la 1910-aj jaroj, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) ellaboris pli ol 3000 teoremojn, inkluzivantajn propraĵojn de maksimume divideblaj nombroj, la dispartigan funkcion kaj ties asimptotojn, kaj mokajn θ-funkciojn. Li ankaŭ faris gravajn breĉojn kaj malkovrojn en la areoj de Y-funkcioj, modulaj formoj, malkonverĝaj serioj, hipergeometriaj serioj kaj la teorio de primoj.
Famaj konjektoj de la pasinteco cedis al novaj kaj pli povaj teĥnikoj. Wolfgang Haken kaj Kenneth Appel uzis komputilon por pruvi la kvar-koloran teoremon en 1976. Andreo Wiles, laborante sola en sia oficejo por jaroj, pruvis la lastan teoremon de Fermat en 1995.
Tutaj novaj areoj de matematiko kiaj matematika logiko, topologio, kompliko-teorio, kaj ludo-teorio ŝanĝis la specojn de demandoj kiuj povas esti respondataj per matematikaj metodoj.
La franca Bourbakia Grupo provis kunigi la tutan matematikon en koheran rigoran tuton, publikigante sub la pseŭdonimo Nicolas Bourbaki. Ilia (mult)ampleksa laboro havis disputatan influon sur matematikan klerigadon.[34]
Estis ankaŭ novaj esploroj pri limigoj al matematiko. Kurt Gödel pruvis, ke en iu ajn matematika sistemo kiu inkluzivas la entjerojn, estas veraj propozicioj kiuj estas nepruveblaj. Paul Cohen pruvis la sendependecon de la kontinuaĵa hipotezo disde la normaj aksiomoj de aroteorio.
Jam je la fino de la jarcento, matematiko eĉ trovis sin penetranta arton, ĉar fraktala geometrio produktis belajn geometriajn formojn neniam antaŭe viditajn.
21-a jarcento[redakti | redakti fonton]
En la krepusko de la 21-a jarcento, multaj edukistoj esprimis zorgojn pri nova subklaso, la matematike kaj science analfabetaj (malkleraj).[35] Samtempe, matematiko, scienco, inĝenierado, kaj teĥnologio kune kreadis scion, komunikadon, kaj prosperon nerevitajn de antikvaj filozofoj.
Ĉi-jarcente kalkuloj estas faritaj per kompleksaj komputiloj. En mez-marto, 2007, teamo de sciencaj esploristoj trae tra Nordameriko kaj Eŭropo uzis retojn de komputiloj por mapi E8-on.[36] Kvankam estas ankoraŭ ne sciate ĝuste kiel ĉi tiu kompreno de E8 povas esti aplikota, la malkovro estis granda signo kaj de teama laboro kaj de komputa teĥnologio en moderna matematiko.
Referencoj[redakti | redakti fonton]
↑ Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, "Kaze de matematiko, estas la greka kontribuo kiu plej sciendas, ĉar estis la grekoj kiuj la unuaj faris matematikon scienco."
↑ . Science Updates. The National Health Museum - La Nacia Sana Muzeo. Alirita 2006-05-06.
↑ Malnova matematika objekto
↑ Matematiko en centra Afriko antaŭ koloniado
↑ . Ethnomathematics. Tacoma Community College - Tacoma Komunuma Kolegio. Alirita 2006-05-06.
↑ . MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department - SUNY (Buffalo) matematika departemento. Alirita 2006-05-06.
↑ . MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department - SUNY (Buffalo) matematika departemento. Alirita 2006-05-06.
↑ Thom, Aleksander kaj Archie Thom, The metrology and geometry of Megalithic Man (~"La mezuriko kaj geometrio de megalita homo," pp 132-151 en C.L.N. Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom (`"Rigestraĵoj en Ŝtono: Paperoj en memoro de Aleksander Thom"), (Kembriĝo (Britio): Cambridge Univ. Pr., 1988) ISBN 0-521-33381-4
↑ . Hinda Matematiko: Redressing la balance. School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews - Lernejo de Matematika kaj Komputa Scienca Universitato de Sankt-Andreo. Alirita 2006-05-06.
↑ Duncan J. Melville (2003). Ĥronologio de la Tra Jarmilo, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
↑ AABOE, Asger. (1998) Episodes from the Early History of Mathematics - Epizodoj de la Frua Historio de Matematiko. (Novjorko, Nov-Jorkio): Random House, p. 30–31.
↑ Egiptaj papirusoj, aldone al aritmetikaj kaj geometriaj serioj. Artithmetic & Geometric series
↑ Mathematical Expeditions: Chronicles by the Explorers. (~Matematikaj Ekspedicioj: Kronikoj de la Esploristoj) far David Pengelley, Reinhard C. Laubenbacher
↑ (angle) Mathematics in the service of religion: I. Vedas and Vedangas
↑ (angle) Development of Mathematics in Ancient China
(angle & ĉine) Chinaculture.org, 中国文化 ?
↑ Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics (~"Enkonduko al la Historio de Matematiko"), Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0
↑ Martin Bernal, Animadversions on the Origins of Western Science (~"Kritikaĵoj pri la Fontoj de Okcidenta Scienco", pp. 72-83 en Mikaelo H. Trunko, red., The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages (~"La Scienca Entrepreno en Antikveco kaj la Mezepoko"), (Ĉikago: Univ. de Chicago Pr.) 2000, pri matematikaj pruvoj vidu p. 75.
↑ Howard Eves, An Enkonduko al la Historio de Matematiko, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141 "Neniu verko, escepte de La Biblio, estas pli multhome uzita... ."
↑ (angle) historio de algebro
↑ Caldwell, Johano (1981) "La De Institutione Arithmetica kaj la De Institutione Musica", pp. 135-154 en Margareta Gibson, red., Boethius: Lia Vivo, Penso, kaj Influo, (Oksfordo: Bazilio Blackwell).
↑ Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).
↑ Marie-Thérèse d'Alverny, "Tradukoj kaj Tradukistoj," pp. 421-462 en Robert L. Benson kaj Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century (~Renaskiĝo kaj Renovigo en la Dek-dua Jarcento), (Kembriĝo (Britio): Harvard Univ. Pr., 1982)
↑ Ulo Beaujouan, La Transformo de la Quadrivium," pp. 463-487 en Robert L. Benson kaj Giles Constable, Renaskiĝo kaj Renovigo en la Dek-dua Jarcento, (Kembriĝo (Britio): Harvard Univ. Pr., 1982)
↑ Grant, Eduardo kaj John E. Murdoch (1987), red-oj., Matematiko kaj ĝiaj aplikoj al scienco kaj natura filozofio en la Mezepoko, (Kembriĝo (Britio): Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X.
↑ Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages (~La Scienco de Mekaniko en la Mezepoko), (Madison: Univ. de Viskonsino Pr.), pp. 421-440.
↑ Murdoch, John E. (1969) "Mathesita en Philosophiam Scholasticam Introducta: La Pligrandiĝo kaj Evoluo de la Apliko de Matematiko en Dek-kvara-Jarcenta Filozofio kaj Teologio," pp. 215-254 en Artoj libéraŭ et philosophie au Moyen Âge (Montréal: Institut d'Études Médiévales), ĉe pp. 224-227.
↑ Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (~La Scienco de Mekaniko en la Mezepoko), (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 210, 214-15, 236.
↑ Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. de Wisconsin Pr.), p. 284.
↑ Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 332-45, 382-91.
↑ Nicole Oresme, "Questions on the Geometry of Euclid" (~"Demandoj pri la Geometrio de Eŭklido") Q. 14, pp. 560-5 en Marshall Clagett, red., Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, (~Nicole Oresme kaj la Mezepoka Geometrio de Kvalitoj kaj Moviĝoj,) (Madison: Univ. of Wisconsin Pr., 1968).
↑ GRATTAN-GUINNESS, Ivor. (1997) 'The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences - La Ĉielarko de Matematiko: Historio de la Matematikaj Sciencoj'. W.W. Norton. ISBN 0-393-32030-8.
↑ Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics ~ Enkonduko al la Historio de Matematiko, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, p. 379, "...la konceptoj de kalkulo...(estas) tiel vastatingaj kaj praktikis tian influon sur la moderna mondo, ke eble estas ĝuste diri, ke sen ia scio de ili persono hodiaŭ apenaŭ povas pretendi bonan klerecon."
↑ Maurice Mashaal, Bourbaki: Sekreta Socio de Matematikistoj, Amerika Matematika Socio, 2006, ISBN 0-8218-3967-5, ISBN13 978-0821839676.
↑ Estela A. Gavosto, Steven G. Krantz, William McCallum, redaktintoj, Modernaj Eldonoj en Matematika Klerigado, Kembriĝo (Britio) University Press, 1999, ISBN 0-521-65471-8
↑ Elizabeto A. Thompson, MIT Nova Oficejo, Math esplori teamo mapas E8 http://www.huliq.com/15695/mathematicians-map-e8
Literaturo[redakti | redakti fonton]
Angle[redakti | redakti fonton]
Nicolas Bourbaki: Elements of the History of Mathematics. [s.l.]: Springer-Verlag, 1998. ISBN 3-540-64767-8.
Ĉeĥe[redakti | redakti fonton]
Petr Vopěnka: Rozpravy s geometrií. Praha: Panorama, 1989.
Petr Vopěnka: Vyprávění o kráse novobarokní matematiky. Praha: Práh, 2004. ISBN 80-7252-103-9.
Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]
Plua legado[redakti | redakti fonton]
AABOE, Asger. (1964) Episodes from the Early History of Mathematics - Epizodoj de la Frua Historio de Matematiko. Novjorko, NY): Random House.
Boyer, C. B., A History of Mathematics ~ A Historio de Matematiko, 2nd red. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics ~ An Enkonduko al la Historio de Matematiko, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0,
Hoffman, Paul, The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth ~ La Viro Kiu Amis Nur Nombroj: La Etaĝo de Paŭlo Erdős kaj la Serĉo por Matematika Vero. New York: Hyperion, 1998 ISBN 0-7868-6362-5.
van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations ~ Geometrio kaj Algebro en Antikvaj Civilizoj, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.
O'Connor, John J. kaj Robertson, Edmund F. The MacTutor History of Mathematics Archive. (vidu ankaŭ MacTutor History of Mathematics archive.) Ĉi tiu retejo enhavas biografiojn, templiniojn, kaj historiajn artikolojn pri matematikaj konceptoj; ĉe la Lernejo de Matematiko kaj Statistiko, University of St. Andrews, Scotland. (Or see the alphabetical list of history topics.)
STIGLER, Stephen M.. (1990) The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900 - La Historio de Statistiko: La Mezuro de Necerteco antaŭ 1900. Belknap Press. ISBN 0-674-40341-X.
BELL, E.T.. (1937) Men of Mathematics - Viroj de Matematiko. Simon and Schuster.
GILLINGS, Richard J.. (1972) Mathematics in the time of the pharaohs - Matematiko en la tempo de la faraonoj. Cambridge (Britio), MA: M.I.T. Press.
HEATH, Sir Thomas. (1981) A History of Greek Mathematics - Historio de Greka Matematiko. Dover. ISBN 0-486-24073-8.
MENNINGER, Karl W.. (1969) Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers - Nombraj Vortoj kaj Nombro-Simboloj: Kultura Historio de Nombroj. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8.
Burton, Davido M. The History of Mathematics: An Introduction ~ La Historio de Matematiko: An Enkonduko. McGraw Hill: 1997.
Katz, Venkinto J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition. ~ A Historio de Matematiko: An Enkonduko, 2-a Redakcio. Addison-Wesley: 1998.
Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]
MacTutor History of Mathematics archive (John J. O'Connor kaj Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). Premiita retejo enhavanta detalajn biografiojn pri multaj historiaj kaj modernaj matematikistoj, kaj ankaŭ informon pri famaj kurboj kaj diversaj temoj en la historio de matematiko.
History of Mathematics Home Page (David E. Joyce; Clark University). Artikoloj pri diversaj temoj en la historio de matematiko kun (mult)ampleksa bibliografio.
La Historio de Matematiko (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin) Kolegio, Dublino). Kolektoj de materialo pri la matematiko inter la 17-a kaj 19-a jarcento.
Historio de Matematiko (Simon Fraser Universitato).
Mathematics Pages (Jeff Miller). Enhavas informo sur la plaj fruaj sciataj uzoj de simboloj kaj terminoj uzataj en matematiko kaj ankaŭ kolekto de poŝtmarkoj prezentantaj matematikistojn.
Biografioj de Virinaj Matematikistoj (Larry Riddle; Agnes Scott College).
Matematikistoj de la Afrikana Diasporo (Scott W. Williams; University at Buffalo).
Fred Rickey's History of Mathematics Page
Bibliografio de Kolektitaj Verkoj kaj Korespondado de Matematikistoj (Steven W. Rockey; Cornell University Library).
Ligiloj al TTT-retejoj pri la Historio de Matematiko (The British Society for the History of Mathematics)
Historio de Matematiko Math Archives (University of Tennessee, Knoxville)
History/Biography The Math Forum (Drexel University)
Historio de Matematiko (Courtright Memorial Library).
Historio de Matematiko - Retejoj (David Calvis; Baldwin-Wallace College)
Scienco: Matematiko: Historio (DMOZ)
Uzante Historion en Matematika Klaso
Matematikaj Rimedoj: Historio de Matematiko (Bruno Kevius)
Historia de las Matemáticas (Universidad de La Laguna)
História da Matemática (Universidade de Coimbra)
La evoluo de matematiko kaj fiziko ekde la komenco ĝis la hodiaŭo
Tiu ĉi artikolo estis artikolo de la semajno en la 19-a semajno de la jaro 2012.
Pages using ISBN magic links
Artikoloj kun senfontaj asertoj
Artikoloj kun senfontaj asertoj ekde nekonata dato
Artikoloj de la semajno en 2012
Informoj pri la paĝo
Citi ĉi tiun artikolon
Ĉi tiu paĝo estis lastafoje redaktita je 19:52, 15 jan. 2016.
La teksto disponeblas laŭ la permesilo Krea Komunaĵo Atribuite-Samkondiĉe 3.0 Neadaptita; eble aldonaj kondiĉoj aplikeblas. Vidu la uzkondiĉojn por detaloj.
Regularo pri respekto de la privateco
Vidigo por porteblaj aparatoj