fr tr hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu ca hu ca hu hu pt hu hu hu hu hu hu hu hu en hu en hu en hu hu en en en hu en hu hu en hu en hu hu hu hu fr hu hu en hu hu fr hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu fr ru en en hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en nl am ar ar en az ku uz ru bg new bn hbs_lat ca it mzn hbs_lat vi cy da de el eo es et eu fa fi hbs_lat fr da de ja nds gd lt gu he hi hbs_lat tl it id es is it ja fr ka uz kk ta ko it lt lv en en ml be ms ne nl nb nb fr pa pl pms pt io ro ru jbo hbs_lat si en sk sl en et sq hbs_lat en sv hu ta te th tr ceb tr oc fy uz vi pl zh zh zh fr zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. augusztus 13.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Ez a szócikk a geometriai alakzatról szól. Hasonló címmel lásd még: A gömb (egyértelműsítő lap).
A gömb perspektivikus négyszög hálója
A gömb egy geometriai alakzat, mely jelenthet egy felületet (pontosabb megnevezése gömbhéj, esetleg üres gömb) és egy (tömör)testet egyaránt. A (héj)felület esetén egy adott ponttól a térben egyenlő (=) távolságra lévő pontok, míg test esetén a legfeljebb (≤) az adott távolságra lévő pontok halmazát értjük rajta.
A gömböt tekinthetjük a kör általánosított fogalmának is.
A Föld közel gömb alakú, egész pontosan geoid
Gömbnek nevezzük a térben azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól legfeljebb egy rögzített r távolságra vannak. Ekkor P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. A P ponttól pontosan r távolságra lévő pontokat együttesen a gömb felületének, vagy felszínének nevezzük. Ha r = 1, akkor egységgömbről beszélünk.
Az analitikus geometriában, az (x0, y0, z0) középpontú és r sugarú gömböt azok az (x, y, z) pontok alkotják, melyekre fennáll az alábbi egyenlőtlenség:
( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ≤ r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leq r^{2}\,}
Az egyenlőség a felületi pontokban teljesül:
( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}\,}
A belső pontokban szigorú egyenlőtlenség áll fenn:
( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 < r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}<r^{2}\,}
Az r sugarú gömb felületi pontjai paraméterezhetőek a gömbi koordináták segítségével is:
x = x 0 + r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \phi }
y = y 0 + r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ( 0 ≤ θ ≤ π ,  − π < ϕ ≤ π ) {\displaystyle y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \phi \qquad (0\leq \theta \leq \pi {\mbox{, }}-\pi <\phi \leq \pi )\,}
z = z 0 + r cos ⁡ θ {\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta \,}
Az origó középpontú, tetszőleges sugarú gömbfelület a következő differenciálegyenlettel írható le:
x d x + y d y + z d z = 0. {\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}
Az egyenlet jól visszatükrözi a tényt, hogy a gömbfelületen mozgó pont helyvektora és sebességvektora mindig merőleges egymásra.
A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}\,}
V = 4 π r 3 3 {\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}
A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal (izoperimetrikus egyenlőtlenség).
Egy adott gömb körülírt hengerének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének. Ezt már Arkhimédész is tudta.
Legyen V {\displaystyle V} egy (nem feltétlenül véges dimenziós) vektortér valamely ‖ . ‖ {\displaystyle \|.\|} normával. Ekkor a v ∈ V {\displaystyle v\in V} középpontú r {\displaystyle r} sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:
G := { u ∈ V : ‖ u − v ‖ = r } {\displaystyle G:=\{u\in V:\|u-v\|=r\}}
Észrevehető, hogy háromdimenziós esetben a klasszikus gömbfelülethez, kétdimenzióban a körhöz jutunk az euklideszi normával.
A gömb belső pontjainak halmaza, más szóval a v ∈ V {\displaystyle v\in V} pont r {\displaystyle r} sugarú környezete, szintén a háromdimenziós eset általánosításaként adható meg.
K r ( v ) := { u ∈ V : ‖ u − v ‖ < r } {\displaystyle K_{r}(v):=\{u\in V:\|u-v\|<r\}}
Legyen ( X , p ) {\displaystyle (X,\rho )} metrikus tér. Ekkor a x ∈ X {\displaystyle x\in X} középpontú r {\displaystyle r} sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:
G := { y ∈ X : p ( x , y ) = r } {\displaystyle G:=\{y\in X:\rho (x,y)=r\}}
A gömb belső pontjai pedig egyenlőtlenség segítségével:
K r ( x ) := { y ∈ X : p ( x , y ) < r } {\displaystyle K_{r}(x):=\{y\in X:\rho (x,y)<r\}}
Az ember által alkotott legtökéletesebb gömb, amint visszatükrözi Einstein képét. A gömb nem több, mint 40 atommal tér el a szabályostól. Úgy gondolják, hogy csak a neutroncsillagok simábbak
A gömb úgy is definiálható, hogy az a test, ami egy kört átmérője körül megforgatva keletkezik. Ha a kört ellipszissel helyettesítjük, akkor az eredmény forgásellipszoid lesz.
A gömb felületének pontjai is alkalmasak geometria bevezetésére, ezt gömbi geometriának nevezzük. Ennek a geometriának főleg a távolsági közlekedésben van szerepe, de sok elméleti alkalmazása is van. Ugyanakkor jó néhány meglepő vagy váratlan tulajdonsággal is rendelkezik, ez pedig a szemlélet fejlesztésére is alkalmassá teszi.
Egy egyenes, ami metszi a gömböt, legfeljebb két pontban metszi. Ha a gömb egy pontpárján átmenő egyenes tartalmazza a gömb középpontját, akkor a pontpár egyik eleme a másik átellenes vagy antipodális pontja. Egy kör a gömb főköre, ha teljes egészében rajta van a gömbön, és középpontja megegyezik a gömb középpontjával.
Bár a Föld nem pontosan gömb, vagy forgásellipszoid alakú, gömbök esetén gyakran alkalmazzuk a Földre és más csillagászati testekre megszokott terminológiát. Ha egy gömbi pontot Északi-sarknak nevezünk, akkor átellenes pontja a Déli-sark, az egyenlítő pedig a pontpár két tagjától egyenlő távolságra húzódó főkör. A két sarkot összekötő egyenesek a hosszúsági körök, vagy meridiánok. Az egyenlítővel párhuzamos körök a szélességi körök.
Az n-gömb olyan topologikus tér, ami homeomorf az n+1 dimenziós golyó határával. Magyarul, homeomorf az euklideszi n-gömbbel.
A 0-gömb pontpár a diszkrét topológiával
Az 1-gömb homeomorf a körrel; tehát minden csomó 1-gömb
A 2-gömb homeomorf a (közönséges) gömbbel. Így minden ellipszoid 2-gömb.
Az n-gömböt Sn-nel jelölik. Ez kompakt topologikus sokaság, aminek nincs határa. Nem feltétlenül differenciálható; ha mégis, akkor lehet, hogy nem diffeomorf az euklideszi gömbbel.
Az euklideszi n-gömb kompaktsága könnyen bizonyítható a Heine–Borel-tétellel:
A gömb egy egypontú halmaz ősképe az ||x|| folytonos függvényre nézve, ezért a gömb zárt. Sn nyilván korlátos is. Tehát korlátos és zárt, így kompakt.
További gömbábrázolások a Vidám Matek angol honlapról
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Gömb&oldid=25173835”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2022. augusztus 13., 05:06
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.