hu it hu hu hu hu hu hu hu id hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu it fr hu cs hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu eo en cs de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu it ro hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu pt hu hu hu cs hu hu nds hu hu hu hu en hu hu hu fr en en en en eu hu hu sk it hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en nl de am an ar as en az ku uz lt en ru sv bg new en bn bo br hbs_lat uk ca it mzn it hbs_lat vi cy da de fr el ca eo es et eu ast fa fi et hbs_lat nn fr da de ja nds gd lt gn gu de ku he hi tl hbs_lat tl hy it id fr en es is it bn ja fr sv ka az uz sah en ko kk km ta ko ku pl cs it lb it es it en fr hu lo lt lv pl en ru en ml be my mr ms en es my ru nds ne ne nl nb nb es fr it or pa pl pms pnb ps pt io ro ru ru bxr jbo en sd hbs_lat si en sk sl en et sq hbs_lat nl en sv hu en ta te en th tr ceb tr en oc tyv fy ur uz fr vi pl zh xmf he zh zh fr zh zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. március 25.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.
Axiomatikus halmazelmélet ·  Matematikai logika
Elemi algebra ·  Lineáris algebra ·  Polinomok
Absztrakt algebra ·  Csoportelmélet ·  Gyűrűelmélet ·  Testelmélet
Valós analízis ·  Komplex analízis ·  Vektoranalízis
Euklideszi geometria ·  Nemeuklideszi geometria
Affin geometria ·  Projektív geometria
Differenciálgeometria ·  Algebrai geometria
Algebrai számelmélet ·  Analitikus számelmélet
Kombinatorika ·  Gráfelmélet ·  Játékelmélet
Algoritmusok ·  Formális nyelvek
Numerikus analízis ·  Valószínűségszámítás
Statisztika ·  Káoszelmélet ·  Matematikai fizika
Matematikai biológia ·  Gazdasági matematika
Geometria tanítása a középkori Franciaországban (1300-as évek eleje)
Geometria-tábla, 1728-ból a Cyclopaediában.
A geometria vagy mértan a matematika térbeli törvényszerűségek, összefüggések leírásából kialakult ága, melynek a tér mennyiségi viszonyainak leírása még ma is fontos alkalmazása.
Maga a geometria szó görögül eredetileg földmérést jelentett. Kialakulásában és több eredményének felfedezésében régészeti bizonyítékokkal alátámaszthatóan nagy szerepet játszott az ókori keleti kollektív munkára épült gazdasági rendszer. Innen ered a terület- és térfogatszámítás, és a szintén keleti eredetű, de a görögök által is művelt csillagászat is.[1] A geometria az i. e. 5. század körül azonban lassan-lassan elszakadt tapasztalati gyökereitől, az eleata filozófusok (leginkább Zénón) és olyan tudósok, mint Thalész hatására. A geometria az első tudományág, amit deduktív módon, vagyis axiómarendszer formájában építettek fel (ez elsősorban Euklidész nevéhez fűződik).
Az axiómákat a görög filozófusoktól eredeztethetően úgy szokás felfogni, mint a tér olyan egyszerű és nyilvánvaló empirikus vagy intuitív tapasztalatokból általánosított alapvető tulajdonságainak logikai leírását, matematikai megfogalmazását, melyekben épeszű ember nem kételkedik. Az axiómák segítségével a geometria által vizsgált dolgokkal, például a pontokkal, egyenesekkel, görbékkel, felületekkel és testekkel kapcsolatos logikus következtetések vonhatóak le. E felfogás, különösen a történeti fejlődést tekintve, nem alaptalan, de a matematika, illetve a matematikafilozófia sok művelője (kutatók, oktatók) - főképp a nemeuklideszi geometriák tudományos polgárjogra emelkedésére alapozva - mára túlhaladottnak tekinti. Sokkal inkább vagy legalább annyira jellemző a geometriára az, hogy axiomatikus, mint az, hogy a „fizikai” tér leírásával foglalkozna (bővebben ld. A geometria története). Arra a kérdésre, hogy mi tulajdonképp a geometria, manapság nagyon nehéz egy mondatban válaszolni anélkül, hogy az ne válna puszta felsorolássá, vagy a geometria számos ága közül valamelyik ki ne lógna a definíció alól.
Közvetlen, gyakorlati alkalmazása miatt a geometria a matematika elsőként kifejlődő ágai közt volt (az elemi algebra mellett), és az első ismeretterület volt, melyet sikerült, több próbálkozás után, axiomatikus elvekre építeni.
A görög tudománytörténet-írás által ránk hagyott hagyomány alapján úgy tűnik, a geometria bizonyos területeinek szakrális (vallásos) jellegű motivációi is lehettek, különösen az eukleidészi szerkesztések elméletének. Ezek körében olyan problémákat is sikerült megfogalmazniuk, melyekre csak több mint egy évezred múltán sikerül válaszolni.
A görög és hellenisztikus geometria nemcsak óriási és ma is használható ismeretanyagot hagyott az utókorra, de tárgyalásmódja, precizitása is olyan mintát jelentett az európai tudomány - és nem csak a matematika - számára, amelynek hatásai felbecsülhetetlenek, és csak a tizenkilencedik-huszadik században sikerült túlszárnyalni. A görögök eljutottak a szabályos testek elméletéig, tökélyre vitték a terület-és térfogatszámítást, képesek voltak a kúpszeletek értelmezésére és rendkívül egzakt vizsgálatára. Az - igaz, eléggé anekdotikus jellegű - hagyomány szerint legelméletibb eredményeiket is képesek voltak hatékonyan alkalmazni.
A következő igazán jelentős (paradigmaszerű változást okozó) lépésre csak a XVI. században, az analitikus geometria felfedezésével került sor, melyben megjelentek olyan fogalmak, mint a koordináta-rendszerek, és ahol a pontokat számpárokkal vagy számhármasokkal írták le. Ezen új nézőpont is segíthetett abban, hogy kifejlődjenek az euklideszitől eltérő geometriák is.
Mintegy kétezer éven át Eukleidész axiómarendszere uralkodónak számított, és nemcsak a geometria, de az összes tudomány bizonyos értelemben mintaképnek tekintette. Carl Friedrich Gauss, Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij, Bolyai János, Henri Poincaré, Bernhard Riemann, és mások munkáinak eredményeképp az 1800-as évek közepén megszülettek a nemeuklideszi geometriák.
A geometria legújabb ágai a tér folytonosságának vizsgálatát látszanak többé-kevésbé feladni: ide tartozik a véges geometria és a diszkrét geometria. A véges mértan tulajdonképp inkább a kombinatorika, mint a geometria ága, a diszkrét geometria azonban a valós életben is előforduló érdekes vagy fontos problémákkal (pakolási/lefedési problémák, térinformatikai, térképészeti eredetű kérdések) és azok megoldásával foglalkozik.
A geometria központi fogalma az illeszkedés. Az elemi geometriában az egybevágóság, hasonlóság és általában a transzformáció fogalmai alapvetőek. Két alakzat egybevágó, ha valamilyen mozgatással (szaknyelven egybevágósági transzformációval), például eltolással, tengely körüli forgatással, síkra való tükrözéssel* stb. egymásba vihetőek.
(* a síkra tükrözés valójában nem mozgatás, bár egybevágóság.)
A nemeuklideszi geometriák felfedezésével megkezdődött a geometria elszakadása tapasztalati gyökereitől. Ezeknek és a modern algebrai felfedezéseknek (elsősorban a csoportelmélet) köszönhetően a geometria egy új meghatározása és paradigmája született, az ún. erlangeni program. Az erlangeni program szerint a geometria ágai olyan transzformációk csoportjainak leírása, tanulmányozása (ld. transzformációcsoport), melyek mindegyikére igaz, hogy a transzformált elemek valamilyen, a geometria illető ágára nézve jellemző tulajdonságait helybenhagyja. Az egybevágósági geometria például a távolságot megtartó transzformációk csoportjának elmélete, a hasonlósági mértan a pontok osztóviszonyát, azaz távolságuk arányát nem változtató transzformációk csoportjának elmélete, a topológia az alakzatok folytonosságát meghagyó leképezések csoportját tanulmányozza stb. (ld. lentebb).
A geometria legújabb ágai a véges és diszkrét geometriák, melyekkel azonban inkább a kombinatorika foglalkozik.
A differenciálgeometria a topologikus sokaságokon megadható differenciálstruktúrával foglalkozik. A differenciálható sokaságok olyan terek, melyek bármely pontjuk környezetében egy vektortérrel diffeomorfak (azaz differenciálható struktúra szempontjából „egyformák”), azonban globálisan azoktól lényegesen különbözhetnek. Fontos részterület a (kvázi-) Riemann-mértan, mely a felületelmélet formájában a mérnöki tudományokban (héjszerkezetek tervezése), valamint az általános relativitáselméleten keresztül a modern fizikában nyer alkalmazást. A modern fizika mezőelméleteinek precíz matematikai megfogalmazása a nyalábok és konnexiók elméletét használja. Ezek az eszközök a legmodernebb fizikai elméleteknek (brane elmélet, szuperhúrok, szupergravitáció) is alapját képezik.
„hiper”-geometria (dim la. 3)
projektív euklideszi geometria (** ezek csak alfejezetek)
Nyalábok és konnexiók, mezőelmélet
↑ Sain Márton: Matematikatörténeti ABC. NTK - TypoTEX, Bp., 1993, VI. kiad. 132.-134. o. ISBN 963-7546-41-3 .
Johnston, Allman, George. Greek geometry from Thales to Euclid. Dublin: University Press
Bonola, Roberto. A nemeuklideszi geometria története
Ribnyikov, K.A.. A matematika története. Tankönyvkiadó (1968)
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometria&oldid=24797561”
Forrással nem rendelkező lapok
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2022. március 25., 09:10
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.