hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
Az algebrában a két kétváltozós művelettel rendelkező R {\displaystyle R} struktúrákat gyűrűnek nevezünk – jelölésben: ( R ; + , ⋅ ) {\displaystyle (R;+,\cdot )} –, ha
( R ; + ) {\displaystyle (R;+)\,\!} Abel-csoport,
( R ; ⋅ ) {\displaystyle (R;\cdot )} félcsoport és
a tetszőleges a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in R} elemekre fennállnak a következő disztributivitási szabályok:
a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) {\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)} , és
( b + c ) ⋅ a = ( b ⋅ a ) + ( c ⋅ a ) {\displaystyle (b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)} .
A + jellel jelölt műveletre általában összeadásként, a ⋅ {\displaystyle \cdot } jellel jelölt műveletre pedig szorzásként hivatkozunk, ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyűrű elemei számok, illetve hogy ezek a műveletek csak a szokásos, számokon értelmezett összeadás és szorzás műveletek lehetnének, hiszen ezt a fenti definícióban nem követeltük meg. Szokás ezért a gyűrű Abel-csoportját additív csoportnak, a félcsoportját pedig multiplikatív csoportnak is nevezni. Általában nem írjuk ki a szorzópontot, tehát a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} helyett a b {\displaystyle ab} szerepel.
Ha ( R ; ⋅ ) {\displaystyle (R;\cdot )} kommutatív, akkor kommutatív gyűrűről beszélünk, ha pedig ( R ; ⋅ ) {\displaystyle (R;\cdot )} egységelemes, egységelemes gyűrűről.
Ha nullától különböző elemek szorzata ismét nullától különböző, akkor zérusosztómentes gyűrűről beszélünk. A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.
3 Példák részgyűrűkre és ideálokra
Az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műveletekkel egységelemes, kommutatív gyűrűt alkot.
Az n×n-es mátrixok, ha n > 1 {\displaystyle n>1}  , egységelemes, de nem kommutatív gyűrűt alkotnak.
Bármely gyűrű, melyben érvényes az xn=x azonosság az összes n>1 egész kitevőre, Nathan Jacobson egy eredménye szerint kommutatív.[1]
Egy R {\displaystyle R}   gyűrű tartóhalmazának egy részhalmazát R {\displaystyle R}   egy részgyűrűjének hívjuk, ha az adott részhalmaz is gyűrűt alkot az R {\displaystyle R}  -beli összeadás és szorzás megszorítására. Ellenőrzésként a legfontosabb, hogy az adott művelet ne vezessen ki a gyűrűből.
Egy R {\displaystyle R}   gyűrű tartóhalmazának egy I {\displaystyle I}   részhalmazát R {\displaystyle R}   egy balideáljának nevezzük, ha bármely két I {\displaystyle I}  -beli elem különbsége (azaz az összeadás inverzét elvégezve) is I {\displaystyle I}  -beli, valamint egy tetszőleges R {\displaystyle R}   elem megszorozva egy tetszőleges I {\displaystyle I}  -beli elemmel balról, az eredmény szintén I {\displaystyle I}  -ben lesz. Röviden kifejezve komplexusműveletekkel: I − I ⊆ I {\displaystyle I-I\subseteq I}   és R I ⊆ I {\displaystyle RI\subseteq I}  . Egy részhalmazt jobbideálnak nevezünk, ha a szorzás azonossága jobbról igaz, azaz I R ⊆ I {\displaystyle IR\subseteq I}  . Amennyiben egy részhalmaz bal- és jobbideál egyszerre, akkor ideálnak nevezzük. Kommutatív gyűrűben nyilván minden bal- és jobbideál egyben ideál is, hiszen a szorzás ekkor felcserélhető. Az ideáloknak fontos szerepük van testbővítéseknél, ekkor egy irreducibilis polinom által generált ideál szerinti faktorgyűrűt vizsgálunk, ami test lesz, hiszen a szóban forgó ideál maximális. (Ezek viszonylag egyszerűen következnek a definíciókból).
Példák részgyűrűkre és ideálokraSzerkesztés
Az egész számok körében a páros számok részgyűrűt alkotnak, hiszen bármely két páros szám összege és szorzata is páros. Ezzel szemben a páratlan számok nem alkotnak részgyűrűt, hiszen két páratlan szám összege már páros, azaz az összeadás már kivezet a páratlan számok köréből.
Az egész számok körében egy adott szám többszörösei ideált alkotnak. Tekintsük például a 8 többszöröseit, ekkor az ideálban lesznek -24, -16, -8, 0, 8, 16, 24, stb. Nyilván két ilyen szám különbsége is 8-nak a többszöröse, tehát eleme az ideálnak, valamint akármelyik egész számot szorozva 8-cal, 8-nak ismét egy többszörösét kapjuk, tehát ez is eleme az ideálnak. Természetesen akármelyik másik egész számra végigkövethető ugyanez.
↑ Maurer I. Gyula - Szigeti J.: On Rings Satysfiing Certain Polinomial Identities. (pdf, angol). Mathematica Pannonica I./2. (1990), 40-45. Hozzáférés: 2012.04.22.
Alice és Bob - 14. rész: Alice és Bob gyűrűje
Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest
Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Gyűrű_(matematika)&oldid=25206615”
Utoljára szerkesztve 2022. augusztus 24., 14:57-kor
A lap utolsó módosítása: 2022. augusztus 24., 14:57
A lap szövege CC BY-SA 3.0 alatt érhető el, ha nincs külön jelölve.