hu hu hu hu hu hu hu id hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu it fr hu cs hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu eo en cs de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu pl hu fr en en en en sv hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en ar az bg bn ca hbs_lat cy de eo es fa fi fr de lt he hi hy id it ja ko cs nl nb nb pl pms pt ro ru sk sl sv en fy zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2020. november 12.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Axiomatikus halmazelmélet ·  Matematikai logika
Elemi algebra ·  Lineáris algebra ·  Polinomok
Absztrakt algebra ·  Csoportelmélet ·  Gyűrűelmélet ·  Testelmélet
Valós analízis ·  Komplex analízis ·  Vektoranalízis
Euklideszi geometria ·  Nemeuklideszi geometria
Affin geometria ·  Projektív geometria
Differenciálgeometria ·  Algebrai geometria
Algebrai számelmélet ·  Analitikus számelmélet
Kombinatorika ·  Gráfelmélet ·  Játékelmélet
Algoritmusok ·  Formális nyelvek
Numerikus analízis ·  Valószínűségszámítás
Statisztika ·  Káoszelmélet ·  Matematikai fizika
Matematikai biológia ·  Gazdasági matematika
A projektív geometria a következőket jelentheti:
1. A matematikának, azon belül a geometriának az a területe, ami az alakzatoknak a centrális vetítés közben változatlan jellemzőivel foglalkozik.
2. A nemeuklideszi geometriai rendszerek egyike, ami az euklideszi párhuzamosságot a síkban „minden egyenespár metsző” axiómával helyettesíti.
A két értelmezés hagyományosan két különböző tárgyalásmódot, de formális szempontból azonos tárgykört és tételeket jelent.
A projektív geometria a matematikának olyan fejezete, amelynek kidolgozásához a képzőművészettől kapta az indítást, de mérnöki, főleg építészeti igény is inspirálta.
A képalkotás geometriai alapjaival már Eukleidész is foglalkozott Optika c. művében. Néhány projektív geometriai tétel (Papposz-tétel) már az ókorban is ismeretes volt, s jó néhányat fedeztek fel a 17. századtól kezdve (Gérard Desargues, Blaise Pascal).
A térábrázolást a gyakorlatban is művelő festők-építészek tollából igen sok tanulmány és amolyan receptúra jelent meg. Különösen felgyorsult ez a tevékenység az olasz reneszánszban. Filippo Brunelleschi (Firenze, 1377–1446), a reneszánsz első nagy építésze, a perspektíva matematikai, geometriai elméletét kezdte vizsgálni. Az elméletnek tanítványa Leon Battista Alberti (1404–1472) adta a végleges formát (1442), majd az elmélet és az alkalmazás fejlesztéséhez a korszak szinte minden nevezetes művésze hozzájárult: Piero della Francesca (1420?–1492); Jean Pèlerin (1445?–1524). Különösen Leonardo da Vinci (1452–1519) és Albrecht Dürer (1471–1528) munkája volt jelentős.
A téma rendszeres matematikai tanulmányozása a 18. század végén kezdődött. Jean-Victor Poncelet (1788–1867) – a Napóleon oroszországi hadjárata során fogságba esett francia tiszt, az École Politechnique egykori hallgatója, Gaspard Monge tanítványa – 1813-ban írta, 1822-ben publikálta a projektív geometriát megalapozó munkáját: Traité des propiétés projectives des figures (Értekezés az alakzatok projektív tulajdonságairól). A kérdéskör kifejtésében részt vevő további nevek: Jacob Steiner (1796–1863); Karl Georg Christian von Staudt (1798–1867); Michel Chasles (1793–1880).
A perspektíva geometriája mellett a műszaki ábrázolás igényeit kielégítő „egyszerű” ábrázoló geometria a Monge-féle kétképsíkos ábrázolással az ipari szervezettség szintjére emelkedett.
A párhuzamosság jelentései különféle rendszerekben
Nem sokkal a perspektíva törvényeinek felfedezése után született meg az ideális pont fogalma. Nem is egy, hanem két forrást is ismerünk. Az egyik a csillagász Johannes Kepler (1571–1630), aki a parabola másik fókuszáról mondja, hogy végtelen távolságban van (szemben az ellipszis és a hiperbola végesben fekvő fókuszaival). A másik a francia építész Gérard Desargues (1591–1661), aki a párhuzamosok végtelen távoli közös végéről ír.
Az euklideszi térelemeket az ideális térelemekkel (pontok, egyenesek, sík) kiegészítve olyan szerkezetű tér absztrakt modelljét kapjuk, amelyben az euklideszi- és a Bolyai–Lobacsevszkij-féle párhuzamossági axiómák egyike sem teljesül. A projektív síkban két egyenes mindig metsző, az euklideszi párhuzamosok közös pontja ideális pont. A projektív térben két sík közönséges vagy ideális egyenesben metszik egymást.
Az ábrázolás és a vele kapcsolatos problémák végső szintézise 1872-ben született meg. Ekkor hangzott el Felix Klein (1849–1925) német matematikus nevezetes előadása, amelyre a matematika története az erlangeni program néven utal. Klein hívta fel a figyelmet arra, hogy a geometriai transzformációkat osztályozhatjuk aszerint, hogy egyes alakzatoknak milyen tulajdonságait örökítik, melyik tulajdonság invariáns a transzformáció során. E rendszerezés szerint a projektív transzformációk osztályát az jellemzi, hogy a folytonosság, az illeszkedés invarianciáján kívül az egyenesek képe egyenes és a pontsorok, sugársorok négyeseinek kettősviszonya megmarad. A projekció tehát a szabad leképezés és a merev egybevágóság között helyezkedik el.
Alice és Bob - 27. rész: Alice és Bob jövője
A Wikimédia Commons tartalmaz Projektív geometria témájú médiaállományokat.
Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria (Tankönyvkiadó, 1957)
Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, 1960, 1971) ISBN 963 18 31736
Gulyás Dénes: A térábrázolás (A képzőművészet iskolája) (Képzőművészeti Alap, 1977)
Coxeter, H.S.M.: Projektív geometria (Gondolat, 1986)
Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai (ELTE, 2002)
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Projektív_geometria&oldid=23162961”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2020. október 21., 10:08
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.