hu hu hu hu hu hu hu id hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu it fr hu cs hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu eo en cs de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu en hu hu en hu en hu en hu hu hu hu en hu en hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu es hu hu hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en ar en uz ru bg ca mzn hbs_lat vi cy da de el eo es et fa fi fr lt he hi id is it ja ka ko fr en nl nb ta pl pt ro ru en si en sk sq hbs_lat sv th tr fy vi zh zh zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. szeptember 2.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Axiomatikus halmazelmélet ·  Matematikai logika
Elemi algebra ·  Lineáris algebra ·  Polinomok
Absztrakt algebra ·  Csoportelmélet ·  Gyűrűelmélet ·  Testelmélet
Valós analízis ·  Komplex analízis ·  Vektoranalízis
Euklideszi geometria ·  Nemeuklideszi geometria
Affin geometria ·  Projektív geometria
Differenciálgeometria ·  Algebrai geometria
Algebrai számelmélet ·  Analitikus számelmélet
Kombinatorika ·  Gráfelmélet ·  Játékelmélet
Algoritmusok ·  Formális nyelvek
Numerikus analízis ·  Valószínűségszámítás
Statisztika ·  Káoszelmélet ·  Matematikai fizika
Matematikai biológia ·  Gazdasági matematika
A komplex analízis vagy komplexfüggvény-tan a matematika azon ága, amely a komplex változós komplex értékű függvényekkel foglalkozik. Alkalmazzák kétdimenziós fizikai problémák modellezésében és a számelméletben is.
A komplex analízisben központi szerep jut a függvények differenciálhatóságának, s konkrétan a holomorf illetve a meromorf függvények vizsgálatának.
2.2 A Cauchy–Riemann egyenletek
2.3 Minden differenciálható komplex függvény analitikus
Komplex függvény alatt olyan függvényeket értünk, melyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza.
Valamely f ∈ C → C {\displaystyle f\in \mathbb {C} \to \mathbb {C} } függvény deriváltja a z helyen a valós esethez hasonlóan értelmezhető. Ha az alábbi határérték létezik, akkor f a z helyen differenciálható, s a határértéket az f függvény z pontban vett deriváltjának nevezzük:
f ′ ( z ) = lim h → 0 f ( z + h ) − f ( z ) h {\displaystyle f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,}
Ha egy f függvény valamely Ω halmaz minden pontján differenciálható, akkor definiálható a derivált függvény is:
f ′ : Ω → C {\displaystyle f':\Omega \to \mathbb {C} }
A komplex függvények differenciálhatóságra adnak ekvivalens feltételt a Cauchy–Riemann egyenletek.[1] Ezek mögött az van, hogy a határértéknek az adott pontban a komplex sík minden irányából közelítve azonosnak kell lennie. Mivel a komplex sík izomorf a kétdimenziós valós vektortérrel, f {\displaystyle f} komplex változós függvény felírható ekvivalens módon f : R 2 → R 2 {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} alakban a következőképpen:
f ( x , y ) = [ f 1 ( x , y ) f 2 ( x , y ) ] {\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}}
Pontosan akkor differenciálható f {\displaystyle f} valamely z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} pontban, ha teljesülnek az úgynevezett Cauchy–Riemann egyenletek:
∂ 1 f 1 ( x , y ) = ∂ 2 f 2 ( x , y ) ∂ 1 f 2 ( x , y ) = − ∂ 2 f 1 ( x , y ) {\displaystyle \partial _{1}f_{1}(x,y)=\partial _{2}f_{2}(x,y)\qquad \partial _{1}f_{2}(x,y)=-\partial _{2}f_{1}(x,y)}
Ekkor a derivált értéke a következő:
f ′ ( z ) = ∂ 1 f 1 ( x , y ) + ∂ 1 f 2 ( x , y ) i {\displaystyle f'(z)=\partial _{1}f_{1}(x,y)+\partial _{1}f_{2}(x,y)i}
Minden differenciálható komplex függvény analitikus[szerkesztés]
Megmutatható, hogy minden differenciálható komplex függvény analitikus, azaz az adott pont egy környezetében a függvény Taylor-sora létezik és előállítja a függvényt.
Mivel mind a változónak, mind a függvény értékének lehet valós és képzetes része is, az integrálás a vektorfüggvényekéhez hasonló. Legelterjedtebb a komplex síkon végigfutó görbe menti vonalintegrál. Cauchy alaptétel: bármely analitikus függvényt egy zárt görbén integrálva az eredmény nulla.
∮ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint f(z)dz=0}
A vonalintegrált sokszor akkor is tudjuk értelmezni, ha a függvény nem analitikus, azaz a a görbén belül szakadása, pólusa van. Példaként az f ( z ) = 1 / z {\displaystyle f(z)=1/z} függvényt az origó körüli körön integrálva (kihasználva, hogy z = | z | e i ϕ ) {\displaystyle z=|z|e^{i\phi })}
∮ 1 z d z = i ∫ 0 2 π d ϕ = 2 π i {\displaystyle \oint {\frac {1}{z}}dz=i\int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi i}
Ebből megkapható, hogy egy f ( z ) z − z ∘ {\displaystyle {\frac {f(z)}{z-z_{\circ }}}} alakú függvény, ahol f ( z ) {\displaystyle f(z)} tetszőleges, analitkus függvény, z ∘ {\displaystyle z_{\circ }} pólust tartalmazó zárt görbére vett integrálja az analitikus függvény z ∘ {\displaystyle z_{\circ }} pont-beli értékét adja.
∮ f ( z ) z − z ∘ d z = f ( z ∘ ) 2 π i {\displaystyle \oint {\frac {f(z)}{z-z_{\circ }}}dz=f(z_{\circ })2\pi i}
A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt holomorfnak nevezzük, ha differenciálható.
A terminológia az ógörög holos (ὅλoς) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.
A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt meromorfnak nevezzük, ha legfeljebb izolált pontokban nem differenciálható.
A szó az ógörög meros (uέpoς) szóból ered, mely azt jelenti rész, utalva arra, hogy a függvény csak az értelmezési tartományának egy részén differenciálható.
↑ Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 105. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8
Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007
Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004
Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Komplex_analízis&oldid=25231061”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2022. szeptember 2., 07:12
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.