hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu en hu hu hu hu hu hu uz hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu eo hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu cs sk hu hu hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en ar en ru bg bn hbs_lat ca mzn hbs_lat vi da de el eo es et eu fa fi fr gd lt he hbs_lat it id is it ja ko ku lv ms ml ms nl nb nb fr pl pms pt ro ru jbo hbs_lat en sk sl hbs_lat sv ta th ceb tr fy vi zh fa he zh zh zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. február 12.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A művelet a matematikában általában speciális függvényt jelent, mely esetében adott halmaz néhány eleméhez (azaz elemek rendezett véges sorozataihoz) rendelünk ugyanebbe a halmazba eső elemeket. Nemcsak a matematika, de az informatika és más tudományágak is építenek erre a fogalomra, a műveletfogalommal magával azonban a matematika algebra nevű ága foglalkozik, mely utóbbit úgy is meghatározhatnánk, mint a műveletek elméleti, matematikai vizsgálatát, tudományát.
Általában a „művelet” szóval rokon értelemben (néha azonban tágabb vagy részlegesebb fogalmat jelölve) használjuk az összekapcsolás és az operáció vagy operátor szavakat is.
2.2 Külső művelethez asszociált belső művelet
Amikor a hétköznapi életben matematikai műveletről beszélünk, általában ezt a fogalmat, a belső művelet fogalmát értjük alatta (különösen pedig a kétváltozós belső műveletét).
Definíció. Legyen adott az A halmaz. Az A halmazon értelmezett – avagy az A halmaz feletti – belső (vagy homogén) n-változós (vagy n-áris, n∈ℕ+) műveleten egy
u : A n → A {\displaystyle \mu :A^{n}\rightarrow A}
leképezést értünk; ahol   A n   :=     A × A × . . . × A ⏟   n-szer {\displaystyle {\mbox{ }}_{A^{n}\ :=\ {\begin{matrix}\underbrace {{\mbox{ }}_{A\times A\times ...\times A}} \\{\mbox{ }}_{\mbox{n-szer}}\end{matrix}}}} , vagyis az A halmaz önmagával vett n-szeres Descartes-szorzata.
A definícióba tehát beleértjük, hogy a művelet mint függvény értelmezési tartománya An (D(u) = An), azaz mindegyik x∈An elem-n-esre értelmezve kell hogy legyen a u(x) függvényérték.
A „belső” jelzőt azért kell alkalmazni, mert léteznek „külső” műveletek is. Ha félreértés veszélye nem fenyeget, „művelet”-en általában belső műveletet értünk, és a „belső” jelzőt elhagyjuk.
Legyen a1, a2, …, an∈A, ekkor a u(a1, a2, …, an) = an+1 esetén az a1, a2, …, an elemeket a u művelet argumentumainak vagy operandus(z)ainak (tényezők, tagok, koordináták) nevezzük; míg magát az an+1∈A elemet a u művelet ezen argumentumokon vett eredményének, vagy értékének.
A művelet neveként alkalmazott szimbólumot (itt: u) műveleti jelnek (vagy, inkább az informatikában, mint a matematikában) operátornak is nevezzük (az „operátor” szó a matematikában mást is jelenthet, ld. operátor (matematika)).
Az A halmazon értelmezett n-változós műveletek halmaza épp az A A n {\displaystyle A^{A^{n}}} hatványhalmaz.
Egyváltozós avagy unáris művelet egy A1 → A, tehát egy, az A-n értelmezett egyváltozós A → A függvény.
A hétköznapi élet és az elemi matematika köréből ismert legfontosabb példák és ellenpéldák:
Az ellentettképzés az egész számok között, vagyis amikor egy egész számból képezzük az ellentettjét, a számot -1-gyel szorozva. Ez egy e(z): ℤ → ℤ; e(z) := -z egyváltozós függvény.
Minden nem nulla t(∈ℚ\{0}) törtszám esetében képezni tudjuk a t reciprokát, azaz az 1/t számot. Tehát a r(t): ℚ\{0} → ℚ\{0}; r(t):=1/t előírással értelmezett reciprok-függvény egyváltozós művelet. Az s(t): ℚ → ℚ; s(t):=1/t előírással értelmezett függvény viszont nem egyváltozós művelet ℚ-n, mivel a 0-hoz nem tud semmit sem rendelni, 0-ra nincs értelmezve!
Invertálható mátrix invertálása. Az invertálás a reciprok-függvényhez hasonlóan a nem invertálható mátrixokra nincs értelmezve.
A „matematikai művelet” fogalmának leggyakrabban előforduló típusa a kétváltozós/bináris (avagy binér) belső művelet, röviden kétváltozós művelet.
Kétváltozós avagy bináris művelet egy A2 → A alakú függvény, azaz az A-n értelmezett kétváltozós A×A → A alakú függvény.
A hétköznapi élet és az elemi matematika köréből ismert legfontosabb példák és ellenpéldák:
az összeadás, a kivonás és a szorzás az egész számok között, vagyis amikor két egész számból képezzük az a+b összeget vagy az a-b különbséget. Ezek a +(z, y): ℤ×ℤ → ℤ; +(z,y) := z+y , illetve a -(z, y): ℤ×ℤ → ℤ; -(z,y) := z-y, illetve a ·(z, y): ℤ×ℤ → ℤ; ·(z,y) := z·y kétváltozós függvények.
Az osztás viszont nem művelet sem az egész, de még a racionális számok körében sem. A nem nulla racionális számok körében viszont művelet.
Háromváltozós avagy ternáris művelet egy A3 → A alakú függvény, azaz az A-n értelmezett háromváltozós A×A×A↦A alakú függvény. Ritkábban ugyan, de ezek is fontosak a matematikában.
Könnyű háromváltozós műveletet kétváltozós művelet segítségével definiálni, például +(a,b,c): ℤ×ℤ×ℤ↦ℤ; +(a,b,c) = (a+b)+c,
u(a,b,c): ℤ×ℤ×ℤ↦ℤ; u(a,b,c) = „az argumentumok közül a nem-szigorú értelemben véve legkisebb” (minimumképzés).
Ha a u: An → A n-változós művelet, értelmezhető hozzá a pu n+1-változós reláció a következőképp: ha a1, a2, …, an∈A, akkor legyen
pu(a1, a2, …, an, an+1) :⇔ u(a1, a2, …, an) = an+1
tehát ha u művelet az első n db. elemet a b = an+1∈A elemre képezi. Ez esetben p-t a u művelet asszociáltjának nevezzük; illetve fordítva is; összességében, a relációt és a műveletet is egymás asszociáltjának mondjuk és a következő jelöléseket alkalmazzuk:
p = ass(u)   u = ass(p)
Megjegyzés: halmazelméleti szempontból a művelet is függvény, tehát reláció. A relációfogalom halmazelméleti felépítését elfogadva, egy művelet és asszociált relációja teljességgel azonos, csupán ugyanannak a fogalomnak kétféle (egy „operatív” és egy „predikatív”) jelöléséről van szó.
Többféle megállapodás, hagyomány alakult ki a matematikában az idők során az n-változós belső műveletek jelölésére (a prefix, infix, index stb. írásmódok). Ezeket a műveleti jel szócikkben, illetve saját szócikkeikben tárgyaljuk.
Legyen adott két diszjunkt halmaz, az O (ún. operátortartomány) és az A (alaphalmaz); tehát O∩A = ∅. Az A halmazon értelmezett – avagy az A halmaz feletti – n-változós (vagy n-áris, n∈ℕ+) külső (vagy inhomogén) műveleten egy
leképezést értünk; ahol   O n   :=     O × O × . . . × O ⏟   n-szer {\displaystyle {\mbox{ }}_{O^{n}\ :=\ {\begin{matrix}\underbrace {{\mbox{ }}_{O\times O\times ...\times O}} \\{\mbox{ }}_{\mbox{n-szer}}\end{matrix}}}} .
Az O halmaz elemeit operátoroknak szokás nevezni.[1] Legyen w1, w2, …, wn∈O és a∈A, ekkor a b =u(w1, w2, …, wn,a)∈A elemet a u külső művelet eredményének nevezzük.
A „külső” jelzőt azért kell alkalmazni, mert léteznek belső műveletek is, sőt általában csak az utóbbiakat nevezzük egyszerűen „művelet”-nek. Az operátortartomány elemeit gyakran – hagyományosan – görög kisbetűkkel jelölik.
Az A halmazon értelmezett n-változós külső műveletek halmaza épp az A O n × A {\displaystyle A^{O^{n}\times A}} halmaz (ld. halmaz hatványa).
Nullváltozós avagy nulláris (külső) művelet egy u: O0×A↦A függvény. Mivel általában az B0 := ∅ és az ∅×B = B×∅ = B megállapodással szoktunk élni (tetszőleges B halmaz esetén), nulláris művelet egy ∅×A↦A, azaz egy A↦A egyváltozós függvény; ami semmi más, mint egy egyváltozós belső művelet. Ezt szokás egyetlen A-beli a elemmel azonosítani.
Egyváltozós avagy unáris külső művelet egy O1×A↦A, tehát egy, O×A↦A alakú függvény.
Ez a fogalom központi fontosságú a lineáris algebra felépítésében (ld. modulus, vektortér).
Legismertebb példa külső műveletre a vektorok szorzása skalárral. Legyen V az euklideszi tér sík- vagy a térvektorainak halmaza, ℝ pedig a valós számok halmaza. Értelmezhető az ismert módokon (ld. vektor) a vektorok számmal (skalárral) való szorzása, a v∈V vektor a∈ℝ skalárral való szorzatát („a-szorosra nyújtás”) av-vel jelöljük; így egy s: ℝ×V→V; s(a, v) = av V-feletti egyváltozós külső művelet, melynek operátortartománya a valós számok ℝ halmaza.
Külső művelethez asszociált belső művelet[szerkesztés]
Legyen adott a diszjunkt O operátortartomány és A alaphalmaz felett értelmezett u: (On×A)→A n-változós külső művelet. Ekkor tekintve a rögzített w = (o1, o2, …, on)∈On elemet, értelmezhető a következő egyváltozós művelet:
uw: A→A;   uw(x) = (o1, o2, … on, x)
Tehát minden w∈On és minden u külső művelet esetén értelmezhető egy belső művelet A-n, melynek eredménye ugyanaz, mint ha eme elem koordinátáival a külső műveletet hajtanánk végre.[2]
Egy adott A halmazon gyakran többféle művelet értelmezhető. A halmaz és a műveletek rendszere matematikai struktúrát alkot.
Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz
Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik
↑ Ahogy fentebb említettük, ezt a kifejezést a matematikában több másra is alkalmazzák, ld. operátor (matematika))
↑ Ennélfogva a külső művelet fogalma elvileg kiküszöbölhető lenne az algebrából. A gyakorlatban például azért nem szokott ez megtörténni, mivel az O operátortartomány és annak minden n-edik hatványa is, végtelen; a legfontosabb alkalmazásokban legalább kontinuum számosságú, tehát legalább kontinuum sok belső műveletet kellene számon tartani minden adott külső művelet helyett.
Maurer Gyula, Virág Imre. Bevezetés a struktúrák elméletébe. Kolozsvár: Dacia könyvkiadó (1976)
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Művelet&oldid=24677206”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2022. február 12., 17:14
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.