hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu cs hu hu hu hu hu hu hu en hu en hu en hu en hu hu hu hu hu ceb hu hu hu hu en hu hu ko hu en hu hu hu en hu hu hu vi hu en hu hu hu hu hu hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en ar bg bn hbs_lat ca hbs_lat vi de eo es fa fi fr he hi hy id is it ja ko it nl nb pl pt ro ru sk hbs_lat sv ta th ceb tr fy vi zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2021. december 9.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Ezt a szócikket némileg át kellene dolgozni a wiki jelölőnyelv szabályainak figyelembevételével, hogy megfeleljen a Wikipédia alapvető stilisztikai és formai követelményeinek.
A szignumfüggvény vagy előjelfüggvény egy elemi egyváltozós valós függvény, értéke a független változó negatív értékei esetén -1, pozitív értékei esetén +1, nullában pedig nulla.
sgn ⁡ x = { − 1 , ha  x   0 {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&{\mbox{ha }}x 0\end{cases}}}
vagy, az Iverson-féle zárójeles jelölést használva:
sgn ⁡ x = − [ x   0 ] {\displaystyle \ \operatorname {sgn} x=-[x 0]} .
esetleg a H(x) Heaviside-függvényt felhasználva:
sgn ⁡ ( x ) = 2 H ( x ) − 1. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=2H(x)-1.}
illetve az alsó egészrész és az abszulútérték függvények használatával:
sgn ⁡ x = ⌊ x | x | + 1 ⌋ − ⌊ − x | − x | + 1 ⌋ {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\Bigg \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Bigg \rfloor }-{\Bigg \lfloor }{\frac {-x}{|-x|+1}}{\Bigg \rfloor }} .
A 0-t kivéve az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, 0-ban nem folytonos (nem megszüntethető szakadási hely) sem balról, sem jobbról.
Deriváltja az x = 0 kivételével mindenütt 0, tehát
sgn'(x) = 0, ha x≠0,
tehát a szignumfüggvény deriváltja a konstans 0 függvénynek az ℝ\{0} halmazra való leszűkítése.
Azonban ha úgy tekintjük, hogy a deriváltfüggvény értékei a kibővített valós számok halmazából (ℝ∪{±∞}) is vehetnek fel értéket, akkor a 0 helyen is létezik a derivált éspedig értéke +∞ (mivel e helyen a jobb és bal oldali derivált egyaránt +∞). Ezen kívül a differenciálhatóság hagyományos fogalmától eltérő értelemben szintén létezik a deriváltja. A derivált az úgy nevezett disztribúciók körében nem más mint a kétszeres Dirac-deltafüggvény, azaz a 2δ(x).
∫ 0 x sgn ⁡ ( x ) d x = | x | {\displaystyle \int _{0}^{x}\operatorname {sgn}(x)dx=|x|}
Alapvető tulajdonság, hogy bármely valós szám a szám abszolút értékének és előjelének a szorzata:
x = |x|·sgn(x) .
Ennélfogva, ha x ≠ 0, érvényes:
sgn ⁡ ( x ) = x | x | {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}} , ha x ≠ 0.
Ezt az egyenlőséget mint definíciót elfogadva, lehetőség van a függvény nem nulla komplex számokra való értelmezésének.
Multiplikatív („erős” értelemben), azaz tetszőleges x,y valós számokra:
sgn(x·y) = sgn(x)·sgn(y) .
Ha ugyanis x vagy y nulla, akkor és csak akkor sgn(x) vagy sgn(y) is nulla, s így sgn(xy) = sgn(0) = 0 = sgn(x)sgn(y). Egyébként sgn(xy) nem nulla, tehát 1 vagy -1. Akkor és csak akkor -1, ha xy negatív, azaz a tényezők előjele különbözik; azaz ha x>0 és y 0, és ekkor sgn(x)sgn(y) = (-1)·1 = -1 = sgn(xy). Hasonlóan, sgn(xy) akkor és csak akkor 1, ha xy>0, azaz ha x és y előjele megegyezik, és ez esetben vagy mindkettő helyen +1-et vesz fel a függvény és így sgn(x)sgn(y) = 1·1 = 1 = sgn(xy), vagy mindkettő helyen -1-et, s így szintén sgn(x)sgn(y) = (-1)·(-1) = 1 = sgn(xy) .
Az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga:
sgn(x)  = sgn(x)  ha  n>0 .
Teljes indukcióval látható ez be: n=1-re az elsőrendű iteráció definíciója szerint sgn (x) = sgn(x); n=2-re pedig
sgn (x) = sgn(sgn(x)) =  sgn(x)
teljesül, mert az x>0 esetben sgn(x)=1 és ekkor sgn(sgn(x))=sgn(1)=1=sgn(x); az x=0 esetben sgn(sgn(0))=sgn(0)=0=sgn(0), tehát most is sgn(sgn(x))=sgn(x); végül az x 1-re pedig ha igaz, hogy sgn (x) = sgn(x), akkor sgn (x) := sgn(sgn (x)) = sgn(sgn(x)=sgn(x), QED.
Weisstein, Eric W.: Sign (angol nyelven). Wolfram MathWorld
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Szignumfüggvény&oldid=24458395”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2021. december 9., 09:39
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.