pt it hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu sk it hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en nl de am an ar arz as en az uz lt en ru sv bg bn br hbs_lat ca mzn it hbs_lat vi cy da de el ca eo es et eu ast fa fi et nn fr da de ja nds lt gu he hi hbs_lat hy it id en es is it ja fr sv ka az en kk km ko ku cs it it es it fr lo lt lv en ml mr ms my ne ne nl nb nb fr or pa pl pms pnb pt io ro ru ru jbo en hbs_lat en si en sk sl en et sq hbs_lat nl sv hu ta te en th tr ceb tr oc fy ur uz fr vi ceb pl zh xmf he da zh fr zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. szeptember 15.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A közönséges, gömbi és hiperbolikus szögfüggvények mind bevezethetők analitikus úton is. Vizsgálatukkal a geometriából eredeztethető trigonometria az analízis részévé válik.
Szögfüggvények értelmezése a derékszögű háromszögben
Szögfüggvények értelmezése az egységsugarú körben
3 A trigonometria korai története
Két derékszögű háromszög hasonlóságát teljesen meghatározza egyik hegyesszögük nagysága. Ha az egyik hegyesszög mindkét háromszögben egyenlő (ekkor a másik hegyesszögük is egyenlő egymással) , akkor hasonlóak, így oldalaik aránya megegyezik. Ha az egyik háromszögben bármelyik két oldalhosszt elosztjuk egymással, a hányados ugyanakkora, mint a másik háromszög megfelelő két oldalhosszának hányadosa. Ezeket az arányokat hagyományosan az ismert (például a szög) szögfüggvényeivel írják le:
A szinusz függvény (sin) az a szöggel szemben lévő a befogó és a c átfogó hányadosa,
A koszinusz függvény (cos) az a szög melletti b befogó és a c átfogó hányadosa,
A tangens függvény (tg, tan) az a szöggel szemben lévő a befogó és a szög melletti b befogó hányadosa.
Átfogó a derékszöggel szembeni oldal, befogó pedig a másik két oldal egy derékszögű háromszögben.
sin ⁡ a = a c , {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}},}    cos ⁡ a = b c , {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}},}    tan ⁡ a = a b = sin ⁡ a cos ⁡ a {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}
A függvények reciprokait koszekáns (csc), szekáns (sec), illetve kotangens (ctg) néven hívjuk. A koszekáns a szinusz, a szekáns a koszinusz, míg a kotangens a tangens reciproka. Az inverz trigonometrikus függvények: arkuszszinusz (arc sin), arkuszkoszinusz (arc cos) és arkusztangens (arc tg). Ezek között a függvények között fennálló összefüggések a trigonometriai összefüggések.
Ezekkel a függvényekkel egy három adatával meghatározott tetszőleges háromszög hiányzó méretei (oldalhosszúságai és szögei) kiszámíthatók a szinusztétel és a koszinusztétel segítségével. Ezek az összefüggések használhatók a geometria minden területén, mivel minden sokszög véges számú háromszögre bontható.
A fenti definíciók csak 0 és 90° között (0 és π/2 radián között) értelmezhetők. Az egységsugarú kört alkalmazva a definíció kiterjeszthető az összes pozitív és negatív argumentumra (l. trigonometrikus függvények). A trigonometrikus függvények periodikus függvények, 180° (π radián) vagy 360° (2π radián) periodicitással. Ez azt jelenti, hogy ismétlődnek a fenti értékekkel.
A trigonometrikus függvényekről az elsők között készültek matematikai táblázatok. Ilyen függvénytáblákat matematikai segédkönyvként használták a tanulók, akik megtanulták azt is, hogyan kell interpolációt használni a táblázatban elérhetőnél nagyobb pontosság elérésére. A logarléc szintén tartalmazott egy vagy több skálát a szögfüggvények használatához.
Manapság a tudományos zsebszámológépeken a megfelelő gomb lenyomásával érhetők el a szögfüggvények (sin, cos és tg) és inverz függvényeik. A függvények argumentuma akár fok, akár radián lehet. A legtöbb számítógépes programnyelv rendelkezik függvénykönyvtárakkal, melyek többek között szögfüggvényeket is tartalmaznak. Olyan interaktív számítógépes eszközök, mint például a Microsoft Excel, szintén támogatják a szögfüggvényeket. A személyi számítógépek mikroprocesszorának lebegőpontos egysége beépített utasításkészlettel rendelkezik szögfüggvények számításához.
A trigonometria korai története[szerkesztés]
A Plimpton 322 számú tábla a püthagoraszi számhármasokkal
A trigonometria táblája, Cyclopaedia, 1728.
A trigonometriát valószínűleg asztronómiai célokra találták fel. A trigonometria kezdeteit az ókori Egyiptom, Mezopotámia és az Indus-völgyi civilizációig lehet követni több, mint 4000 évvel ezelőttig. A fokokban, percekben és másodpercekben történő szögmérés a babiloni hatvanas számrendszerből ered. Edgar Banks még a 20. század elején talált egy táblát, ahol a püthagoraszi számhármasokat írták le. Ezt sokáig nem tudták értelmezni a történészek, de valószínűsíthetően alkalmazott geometriai feladatokat oldottak meg vele.[1]
A trigonometria szögfüggvényes alkalmazása a hellenizmus korában élt görög matematikustól, Hipparkhosztól származik kb. i. e. 150-ből, aki függvény táblát készített a szinuszfüggvényre háromszögek számításához. Ptolemaiosz továbbfejlesztette a trigonometriai számításokat i. sz. 100 körül.
Az Indiában írt Sulba Sutrák i. e. 800 és i. e. 500 között pontosan számolta ki a sin π/4 (45°) értékét, melyet 1/√2-ként adott meg.
Az ókori szingalézek, amikor víztározókat építettek Anuradhapura királyságban, trigonometriát használtak a vízáram gradiensének számításához.
Árjabhata indiai matematikus 499-ben szinusz- és koszinuszfüggvény-táblát készített. A szinuszt zyanak, a koszinuszt kotizyanak nevezte, és otkram zya volt az inverz szinusz neve, valamint bevezette az 1-cosa függvényt is.
Egy másik indiai matematikus, Brahmagupta 628-ban szinusz értékek számításához a később Newton-Stirling formula néven ismerthez hasonló interpolációt használt.
A 10. században Abul Wáfa perzsa matematikus és asztronómus bevezette a tangensfüggvényt és a szögfüggvénytáblázatok kiszámításához új módszert talált fel. Felállította a szögösszegezés képleteit, vagyis például sin (a + b)-t, és felfedezte a szinusztételt a gömbi geometriában:
sin ⁡ ( a ) sin ⁡ ( a ) = sin ⁡ ( B ) sin ⁡ ( b ) = sin ⁡ ( Y ) sin ⁡ ( c ) {\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(a)}}={\frac {\sin(\beta )}{\sin(b)}}={\frac {\sin(\gamma )}{\sin(c)}}}
A 10. század végén és a 11. század elején Ibn Yunus egyiptomi asztronómus több igen pontos trigonometriai számítást hajtott végre és bemutatta a cos ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = ( 1 / 2 ) [ cos ⁡ ( a + b ) + cos ⁡ ( a − b ) ] {\displaystyle \cos(a)\cos(b)=(1/2)[\cos(a+b)+\cos(a-b)]} összefüggést is.
Az indiai matematikusok élen jártak az algebra használatában a csillagászati számításoknál, beleértve a trigonometriát is. I. e. 1350-1200 körül Lagadha volt az első, aki geometriát és trigonometriát használt a csillagászatban a Vedanga Jyotisha művében. Omar Hajjám (1048-1131) perzsa matematikus és költő összekapcsolta a trigonometriát a közelítő számítások elméletével abból a célból, hogy geometriai problémákkal kapcsolatos algebrai egyenleteket oldjon meg.
Hajjám meghatározta a x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000 {\displaystyle x^{3}+200x=20x^{2}+2000} harmadfokú egyenlet pozitív gyökét úgy, hogy egy hiperbola és egy kör metszéspontját vizsgálta. A megoldáshoz közelítő numerikus eljárást használt, melynek során trigonometrikus táblázatban interpolált.
Az indiai Bhaskara 1150-ben részletes módszert közölt arra, hogyan kell szinusz táblázatot szerkeszteni bármely szögre és néhány összefüggést közölt szinusz- és koszinuszfüggvényre. Bhaskara a gömbi trigonometriát is továbbfejlesztette.
Valószínűleg Naszír ad-Dín Túszí perzsa matematikus volt az első a 13. században, aki a trigonometriát önálló matematikai diszciplínaként tárgyalta.
Bartholemaeus Pitiscus matematikus 1595-ben megjelent fontos munkájában használta először a "trigonometria" szót.
↑ A világ legrégebbi trigonometriai táblázatát találták meg
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Trigonometria&oldid=25273486”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2022. szeptember 15., 09:43
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.