hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu ca hu hu hu hu fr hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu da en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en en hu hu en hu hu hu hu en en hu en hu en en en hu hu hu hu hu en hu hu hu hu en en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en ar ca hbs_lat vi da de eo es et fa fi fr he hy it id it ja ko nl pl pms pt ru en sk sv fy zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. március 18.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
4 elemű halmaz osztályozásaiból képezett háló Hasse-diagramja.
A matematikában a hálónak két egymással ekvivalens definíciója létezik, az egyik rendezési relációkkal (ld. részbenrendezett halmazok) definiálja a háló fogalmát, a másik pedig (amely R. Dedekindtől ered, aki a német Dualgrouppe (duálcsoport, kettőscsoport) elnevezést találta rá ki[1]) kétváltozós műveletekkel, kétműveletes algebrai struktúraként. A részbenrendezett halmazok közül azokat nevezzük hálónak, amelyekre bármely kételemű részhalmazára teljesül, hogy az adott kételemű halmaznak van szuprémuma és infimuma. Ha egy részbenrendezett halmaz bármely részhalmazára (tehát nem csak a kételeműekre) teljesül az, hogy létezik szuprémuma és infimuma, akkor teljes hálóról beszélünk. Az algebrai struktúrák felől megközelítve a háló fogalmát azt mondhatjuk, hogy a hálók olyan struktúrák, amelyekben definiálva van két kétváltozós kommutatív, asszociatív művelet, amelyek eleget tesznek az ún. elnyelési azonosságoknak is.
1.1 Definíció részbenrendezett halmazok használatával
1.2 Definíció algebrai struktúrák használatával
A háló alábbi két definíciója ekvivalens:
Az ( A ; ≤ ) {\displaystyle (A;\leq )} részbenrendezett halmazt hálónak nevezzük, ha A {\displaystyle A} bármely kételemű részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.
Az ( A ; ∪ , ∩ ) {\displaystyle (A;\cup ,\cap )} kétműveletes algebrai struktúrát hálónak nevezzük, ha ∪ {\displaystyle \cup } , ∩ {\displaystyle \cap } kétváltozós műveletek A {\displaystyle A} -n, amelyekre tetszőleges a , b , c ∈ A {\displaystyle a,b,c\in A} elemekre teljesülnek a következők:
a ∪ b = b ∪ a {\displaystyle a\cup b=b\cup a} , a ∩ b = b ∩ a {\displaystyle a\cap b=b\cap a} (kommutativitás),
( a ∪ b ) ∪ c = a ∪ ( b ∪ c ) {\displaystyle (a\cup b)\cup c=a\cup (b\cup c)} , ( a ∩ b ) ∩ c = a ∩ ( b ∩ c ) {\displaystyle (a\cap b)\cap c=a\cap (b\cap c)} (asszociativitás),
a ∩ ( a ∪ b ) = a {\displaystyle a\cap (a\cup b)=a} , a ∪ ( a ∩ b ) = a {\displaystyle a\cup (a\cap b)=a} (elnyelési azonosságok).
Az ∪ {\displaystyle \cup } műveletet egyesítésnek, a ∩ {\displaystyle \cap } műveletet pedig metszetnek hívjuk.
Ha a két műveletet megcseréljük, akkor a duális hálót kapjuk.
Csoport részcsoportjai a generálás és a metszet művelettel hálót alkotnak. Részbenrendezés: tartalmazás. Létezik a normálosztók hálója is.
Gyűrű részgyűrűi a generálás és a metszet művelettel hálót alkotnak. Részbenrendezés: tartalmazás. Létezik az ideálok hálója is.
Vektortér alterei a generálás és a metszet művelettel hálót alkotnak. Részbenrendezés: tartalmazás.
A természetes számok halmazán két számhoz hozzárendelve azok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét két olyan műveletet definiálunk, amelyekkel együtt a természetes számok halmaza hálót alkot. Részbenrendezés: oszthatóság.
Nemüres halmaz részhalmazai hálót alkotnak a halmazelméleti unió és metszet műveletekkel. Részbenrendezés: tartalmazás.
A hálóaxiómákból következik, hogy a háló mindkét művelete idempotens, azaz
a ∪ a = a {\displaystyle a\cup a=a} ,
a ∩ a = a {\displaystyle a\cap a=a} .
az idempotencia következményeként a háló részben rendezhető, ahol a ≤ b {\displaystyle a\leq b} ekvivalens a ∪ b = b {\displaystyle a\cup b=b} . Erre a rendezésre minden kételemű halmaznak van legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.
A duális háló rendezése a háló rendezésének megfordítása.
b {\displaystyle b} fedi a {\displaystyle a} -t, ha a < b {\displaystyle a<b} , és nincs c {\displaystyle c} , a < c < b {\displaystyle a<c<b} .
A véges rendezett halmazok irányított gráfokkal ábrázolhatók, amiben az elemek a pontok, és egy a-b él akkor létezik, ha b fedi a-t. Ezeket a gráfokat Hasse-diagramoknak nevezzük. Az ilyen gráfok úgy is ábrázolhatók, hogy az összes él felfelé mutasson. Így is szokás ábrázolni őket, de irányítás nélkül.
Az L háló disztributív, ha mindkét művelet disztributív a másikra:
a ∪ ( b ∩ c ) = ( a ∪ b ) ∩ ( a ∪ c ) {\displaystyle a\cup (b\cap c)=(a\cup b)\cap (a\cup c)} minden a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} és
a ∩ ( b ∪ c ) = ( a ∩ b ) ∪ ( a ∩ c ) {\displaystyle a\cap (b\cup c)=(a\cap b)\cup (a\cap c)} minden a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} -re.
Az L háló moduláris, ha:
a ≤ c ⟹ a ∪ ( b ∩ c ) = ( a ∪ b ) ∩ c {\displaystyle a\leq c\Longrightarrow a\cup (b\cap c)=(a\cup b)\cap c} minden a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} -re.
Ez ekvivalens a következővel:
a ≥ c ⟹ a ∩ ( b ∪ c ) = ( a ∩ b ) ∪ c {\displaystyle a\geq c\Longrightarrow a\cap (b\cup c)=(a\cap b)\cup c} minden a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} -re.
a ∪ ( b ∩ ( a ∪ c ) ) = ( a ∪ b ) ∩ ( a ∪ c ) {\displaystyle a\cup (b\cap (a\cup c))=(a\cup b)\cap (a\cup c)} minden a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} -re.
a ∩ ( b ∪ ( a ∩ c ) ) = ( a ∩ b ) ∪ ( a ∩ c ) {\displaystyle a\cap (b\cup (a\cap c))=(a\cap b)\cup (a\cap c)} minden a , b , c ∈ L {\displaystyle a,b,c\in L} -re.
A disztributivitásból következik a modularitás, de fordítva nem.
Az L háló teljes, ha tetszőleges részhalmazának van legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja is. Ezt a tulajdonságot az egész hálóra alkalmazva kapjuk, hogy van legnagyobb és legkisebb eleme.
Ha az egyesítésnek van neutrális eleme, akkor ezt a háló nullelemének (0) nevezzük. Ha létezik, akkor egyértelmű, és a háló legkisebb eleme. Duálisan, ha a metszetnek van neutrális eleme, akkor az a háló egységeleme (1). Ez szintén egyértelmű, ha létezik, és a háló legnagyobb eleme.
Ha az L hálóban van 0 és 1, és valamely a elemhez van b elem, hogy
a ∩ b = 0 {\displaystyle a\cap b=0} és a ∪ b = 1 {\displaystyle a\cup b=1} ,
akkor b-t a komplementerének hívjuk. Ha L minden elemének van komplementere, és az egyértelmű, akkor az L háló komplementumos.
A komplementumos disztributív háló Boole-háló, más néven Boole-algebra.
Legyen ( L , ⊔ , ⊓ ) {\displaystyle (L,\sqcup ,\sqcap )} és ( M , ∪ , ∩ ) {\displaystyle (M,\cup ,\cap )} két háló. Ha az f : L → M {\displaystyle f:L\to M} függvényre teljesül, hogy
f ( a ⊔ b ) = f ( a ) ∪ f ( b ) {\displaystyle f(a\sqcup b)=f(a)\cup f(b)}
f ( a ⊓ b ) = f ( a ) ∩ f ( b ) {\displaystyle f(a\sqcap b)=f(a)\cap f(b)} ,
akkor f hálóhomomorfizmus. Ha f bijektív, akkor izomorfizmus.
A hálóhomomorfizmusok rendezéstartók, azaz monoton függvények: ha
a ≤ b, akkor f(a) ≤ f(b).
Ez az állítás nem fordítható meg, azaz nem minden monoton hálófüggvény homomorfizmus.
M részhálója L-nek, ha zárt az L-beli műveletekre nézve, azaz minden a és b elemére
a ∪ {\displaystyle \cup } b és a ∩ {\displaystyle \cap } b eleme M-nek.
M háló az L-beli műveletek M-re vett leszűkítésével.
↑ Dean, E. T.: Dedekind's treatment of Galois Theory in the Vorlesungen Archiválva 2014. május 11-i dátummal a Wayback Machine-ben. A Dietrich College of Humanities and Social Sciences Filozófiai Tanszékének közleményei, 109. sz., 2009; 3. oldal. Angol nyelven, PDF. Hozzáférés: 2012-04-27.
Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1959
Czédli Gábor: Boole-függvények, Polygon, Szeged, 1995
Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
A Wikimédia Commons tartalmaz Háló (matematika) témájú médiaállományokat.
Háló definíciója Archiválva 2006. szeptember 25-i dátummal a Wayback Machine-ben a PlanetMath oldalán
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Háló_(matematika)&oldid=24774652”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2022. március 18., 13:25
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.