fr it hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hbs_lat hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en en hu en hu hu hu hu en en en en en en hu hu en en hu en en hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de en de en en en hu de de de de de hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en ar hbs_lat vi de eo es et fa fr he it id it ja ko nl pl pt ro ru jbo sk sl sv fy vi zh hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. május 7.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Az algebrában ferdetest a neve az olyan F {\displaystyle F} egységelemes gyűrűnek, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze, azaz minden x∈ F {\displaystyle F} , x≠0 elemhez van olyan x {\displaystyle x} −1∈ F {\displaystyle F} elem, hogy x {\displaystyle x} −1 x {\displaystyle x} = x x {\displaystyle xx} −1=1.[1]
A ferdetest tehát a test minden tulajdonságának megfelel, kivéve a szorzás kommutativitását. Nem kommutatív ferdetestre példa a kvaterniók ferdeteste.
A ferdetest centruma egy test, amely fölött a ferdetest a beágyazással algebrává válik. Egy adott K közös centrumú, K fölötti vektortérként véges dimenziójú ferdetestek halmaza K Brauer-csoportja.
A szintetikus geometriában ferdetesteket használnak az affin és a projektív geometriák koordinátázásához. A nem test feletti projektív és affin síkokat alternatív testekkel, kvázitestekkel és ternértestekkel koordinátázzák. Ezek a ferdetest fogalmát általánosítják: minden ferdetest alternatív test, minden alternatív test kvázitest, és minden kvázitest ternértest.
3 Tulajdonságok és kapcsolódó fogalmak
3.4 További rokon fogalmak és tulajdonságok
Sokszor ferdetestre gondolnak, amikor testről írnak, különösen a régebbi irodalomban. Német nyelvterületen néha még ma is felbukkan a Körper szó ebben a jelentésben. Az angolban általában a division ring kifejezést használják; a skew field gyakran csak arra az esetre vonatkozik, amikor kiemelik, hogy az adott struktúra nem kommutatív. Általában a field vonatkozik a kommutatív és a nem kommutatív esetre is. A francia corps is inkább a ferdetestre vonatkozik.
Az S halmaz ferdetest, ha el van látva a + és a ⋅ {\displaystyle \cdot } műveletekkel, és a 0 és 1 konstansokkal, hogy:
( S , + , 0 ) {\displaystyle (S,+,0)} Abel-csoport
( S ∖ { 0 } , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (S\setminus \{0\},{}\cdot {},1)} csoport
a szorzás mindkét oldalról disztributív az összeadásra, azaz S bármely három a, b és c elemére
a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c {\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c} balról disztributív
( b + c ) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a {\displaystyle (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a} jobbról disztributív
A mindkét oldali disztributivitásra azért van szükség, mert a szorzásnak nem kell kommutatívnak lennie.
Cohn ekvivalens definíciója a ferdetest multiplikatív félcsoportját helyezi előtérbe:[2]
Legyen ( G , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (G,\cdot ,1)} csoport, amit bővítünk egy 0 elemmel úgy, hogy x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 {\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0} . Legyen σ : G 0 → G 0 {\displaystyle \sigma :G_{0}\rightarrow G_{0}} olyan, hogy
∃ e ∈ G : σ ( e ) = 0 , {\displaystyle \exists e\in G:\sigma (e)=0,}
σ ( 0 ) = 1 {\displaystyle \sigma (0)=1}
σ ( a − 1 ⋅ b ⋅ a ) = a − 1 ⋅ σ ( b ) ⋅ a {\displaystyle \sigma (a^{-1}\cdot b\cdot a)=a^{-1}\cdot \sigma (b)\cdot a} minden a , b ∈ G {\displaystyle a,b\in G} -re,
σ ( σ ( b ⋅ a − 1 ) ⋅ a ) = ( σ ( σ ( b ) ⋅ a − 1 ) ⋅ a {\displaystyle \sigma (\sigma (b\cdot a^{-1})\cdot a)=(\sigma (\sigma (b)\cdot a^{-1})\cdot a} minden a ∈ G , b ∈ G 0 , {\displaystyle a\in G,b\in G_{0},} -ra
akkor ( G 0 , + , ⋅ , 0 , 1 ) {\displaystyle (G_{0},+,\cdot ,0,1)} ferdetest az
x + y = { σ ( x ⋅ y − 1 ) ⋅ y ( y ≠ 0 ) x ( y = 0 ) {\displaystyle x+y={\begin{cases}\sigma (x\cdot y^{-1})\cdot y\quad &(y\neq 0)\\x\quad &(y=0)\end{cases}}}
összeadással. Adott összeadással ellátott ferdetest esetén a σ {\displaystyle \sigma } leképezés σ ( a ) = a + 1 {\displaystyle \sigma (a)=a+1} alakban adható meg.
Günter Pickert ekvivalens definíciója nem követeli meg a disztributivitást:[3] Legyen ( S , + , ⋅ , 0 , 1 ) {\displaystyle (S,+,\cdot ,0,1)} halmaz a + és a ⋅ {\displaystyle \cdot } műveletekkel, és a 0 és 1 konstansokkal, továbbá
( S , + , 0 ) {\displaystyle (S,+,0)} Abel-csoport,
( S ∖ { 0 } , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (S\setminus \{0\},\cdot ,1)} csoport
és ( S ∖ { 1 } , ∘ , 0 ) {\displaystyle (S\setminus \{1\},\circ ,0)} szintén csoport a a ∘ b = a + b − a ⋅ b {\displaystyle a\circ b=a+b-a\cdot b} művelettel,
és 0 ⋅ 1 = 1 ⋅ 0 = 0 {\displaystyle 0\cdot 1=1\cdot 0=0} .
Ekkor ( S , + , ⋅ , 0 , 1 ) {\displaystyle (S,+,\cdot ,0,1)} ferdetest.
Tulajdonságok és kapcsolódó fogalmak[szerkesztés]
Hogyha S ferdetest, és D ⊆ S {\displaystyle D\subseteq S} részhalmaza S-nek úgy, hogy 0 , 1 ∈ D {\displaystyle 0,1\in D} , ( D , + ) {\displaystyle (D,+)} részcsoport ( S , + ) {\displaystyle (S,+)} -ban, és ( D ∖ { 0 } , ⋅ ) {\displaystyle (D\setminus \{0\},\cdot )} és ( S ∖ { 0 } , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (S\setminus \{0\},\cdot ,1)} , akkor D részteste S-nek. Jelölése: D ≤ S . {\displaystyle D\leq S.}
Ha az F {\displaystyle F} ferdetest elemei a fentieken kívül még kommutatívak is a szorzásra nézve, akkor F {\displaystyle F} -et testnek nevezzük. (Egyes szerzők a nemkommutatív ferdetesteket is testnek nevezik, a kommutatív ferdetestekre pedig a kommutatív test kifejezést használják.)
Az F {\displaystyle F} ferdetest centruma a Z {\displaystyle Z} ={z∈ F {\displaystyle F} :zx=xz ∀x∈ F {\displaystyle F} } halmaz. Egy ferdetest centruma mindig test; maga a ferdetest a centruma fölötti algebrát alkot.
Ha S {\displaystyle S} ferdetest, akkor a Z ( S ) = { x ∈ S | ∀ a ∈ S : x ⋅ a = a ⋅ x } {\displaystyle Z(S)=\lbrace x\in S\left|\;\forall a\in S:x\cdot a=a\cdot x\right.\rbrace } halmaz S centruma. Elemei a centrális elemek.
S centruma a multiplikatív csoport centruma, hozzávéve a nullelemet: Z ( S ) = Z ( S ∖ { 0 } , ⋅ ) ∪ { 0 } {\displaystyle Z(S)=Z(S\setminus \{0\},{}\cdot {})\cup \{0\}} . A centrum test.
Az A ⊆ S {\displaystyle A\subseteq S} részhalmaz C S ( A ) {\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}(A)} centralizátora nem más, mint C S ( A ) = { x ∈ S | ∀ a ∈ A : a ⋅ x = x ⋅ a } . {\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}(A)=\left\lbrace x\in S\left|\;\forall a\in A:a\cdot x=x\cdot a\right.\right\rbrace .} Minden centralizátor nem feltétlenül kommutatív részteste S-nek.
Az A részhalmaz centralizátorára teljesül, hogy Z ( S ) ≤ Z ( C S ( A ) ) ≤ C S ( A ) . {\displaystyle Z(S)\leq Z({\mathcal {C}}_{S}(A))\leq {\mathcal {C}}_{S}(A).}
A centralizátor képzése megfordítja a halmazelméleti tartalmazást: A ⊆ B ⇒ C S ( A ) ≥ C S ( B ) {\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow {\mathcal {C}}_{S}(A)\geq {\mathcal {C}}_{S}(B)} . Speciálisan, C S ( ∅ ) = C S ( Z ( S ) ) = S {\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}(\emptyset )={\mathcal {C}}_{S}(Z(S))=S} .
További rokon fogalmak és tulajdonságok[szerkesztés]
A divízióalgebrákban a szorzásnak nem kell asszociatívnak lennie. Minden ferdetest divízióalgebra a centruma felett. Megfordítva, egy K test feletti ( D , + , ⋅ , 0 , 1 ) {\displaystyle (D,+,\cdot ,0,1)} divízióalgebra pontosan akkor ferdetest, ha ( D ∖ { 0 } , ⋅ , 1 ) {\displaystyle (D\setminus \{0\},\cdot ,1)} asszociatív, és csoportot alkot. Ekkor K a centrumnak, mint testnek részteste, K ≤ Z ( D ) . {\displaystyle K\leq Z(D).}
Minden ferdetest majdnemtest, és megfordítva, egy majdnemtest pontosan akkor ferdetest, ha mindkét oldalról disztributív.
Majdnemtestet kapunk, ha Cohn definíciójából elhagyjuk a σ {\displaystyle \sigma } rákövetkező függvényt.
Minden ferdetest geometriai értelemben féltest, és alternatív test. Megfordítva, egy alternatív test akkor és csak akkor ferdetest, ha a szorzása asszociatív.
Egy egységelemes gyűrű akkor és csak akkor ferdetest, ha minden nullától különböző eleme jobbról és balról invertálható. A két inverz egyértelműsége és egyenlősége már a gyűrű definíciójából következik.
A Wedderburn-tétel szerint minden véges ferdetest kommutatív.[4]
Frobenius tétele azt mondja ki, hogy a valós számok teste fölött csak három olyan véges dimenziós asszociatív algebra van, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze: maga a valós számok teste, a komplex számok teste és a kvaterniók ferdeteste.
Valamennyi test egyben ferdetest is. A nemkommutatív ferdetestek közül talán a legismertebb a kvaterniók által alkotott ferdetest. Wedderburn tétele miatt minden ilyen ferdetest végtelen.
A kommutatív testek algebrai vagy transzcendens bővítésekkel előállnak prímtestükből. A ferdetestekre nem ismert hasonló kanonikus konstrukció. A legtöbb módszer egy alkalmas nullosztómentes gyűrűt ágyaz be a bal vagy a jobb hányadostestébe. Egy viszonylag egyszerű feltételt Øystein Ore talált az alkalmas gyűrűkre; ez az Ore-feltétel.
A végtelen dimenziós bővítések analóg módon építhetők a Hilbert által megadott ferdetestekre:[5]
Legyen K test, vagy egy ismert ferdetest
K ( u ) {\displaystyle K(u)} az u határozatlanú racionális függvénytest
Legyen K ( u ) {\displaystyle K(u)} -n a : f ( u ) ↦ f ( u 2 ) {\displaystyle \alpha :f(u)\mapsto f(u^{2})} egy gyűrűendomorfia
Egy új v határozatlannal képezzük a nem kommutatív K ( u ) [ v ; a ] {\displaystyle K(u)[v;\alpha ]} polinomgyűrűt, ahol az uv szorzatot a u ⋅ v = v ⋅ a ( u ) {\displaystyle u\cdot v=v\cdot \alpha (u)} felcserélési szabály határozza meg.
A K ( u ) [ v ; a ] {\displaystyle K(u)[v;\alpha ]} nullosztómentes Ore-gyűrű jobb hányadosteste H = K ( u ) ( v ; a ) {\displaystyle H=K(u)(v;\alpha )} , ami a tulajdonképpeni Hilbert-test.[5]
A C = Z ( K ) {\displaystyle C=Z(K)} centrum a Hilbert-testnek is centruma, továbbá [ H : C ] = d i m C ⁡ ( H ) = ∞ {\displaystyle [H:C]=\mathop {\mathrm {dim} } _{C}(H)=\infty } . Ha K formálisan valós test, akkor H rendezhető az algebrai műveletekkel összeegyeztethető módon.
A konstrukció általánosítása a fent definiált a {\displaystyle \alpha } helyett egy másik gyűrűendomorfiát is választhat.
1843-ban Sir William Rowan Hamilton konstruálta az első nemkommutatív ferdetestet, a kvaterniókat. A háromdimenziós tér vektorait próbálta ahhoz hasonlóan ábrázolni, ahogy a síkvektorokat ábrázolják a komplex számok. Az általa és követői által erre épített geometriai kalkulus hozzájárult a vektoranalízis kifejlődéséhez. A centrumuk fölött véges dimenziós C-vektortereket alkotó ferdetestek az 1920-as és az 1930-as évek kedvelt témái voltak. Az 1970-es években kiújult irántuk az érdeklődés.[6]
David Hilbert 1903-ban konstruálta az első olyan ferdetestet, amely végtelen dimenziós a centruma fölött. Keresett egy modellt, ami a formálisan valós testekkel analóg módon lehetővé teszi a műveletekkel összhangban levő rendezést a ferdetestekben. Egy ilyen ferdetest fölött sikerült neki definiálni egy affin geometriát, amely megfelelt az általa definiált euklideszi axiómarendszer néhány axiómájának.
1931-ben Øystein Ore a róla elnevezett és a cikkben tárgyalt konstrukciójával foglalkozott.
↑ Wolfram MathWorld: Skew Field
↑ Günter Pickert: In: Mathematische Zeitschrift. Nr. 71, 1959, 99–108.
↑ J.H.M. Wedderburn: 'A theorem on finite algebras', Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 349-352.
↑ a b Cohn (1995), 6.1
L. A. Skornyakov: Skew-field. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
P. M. Cohn, Gian-Carlo Rota (Hrsg.): Skew Fields. Theory of general division rings (= Encyclopedia of Mathematics and its applications. Vol. 57). 1. Auflage. Press Syndicate of the University of Cambridge, Cambridge 1995, ISBN 0-521-43217-0.
John Dauns, Karl H. Hofmann, Rudolf Wille (Hrsg.): A Concrete Approach to Division Rings (= Research and Education in Mathematics. Vol. 2). 1. Auflage. Heldermann Verlag, Berlin 1982, ISBN 3-88538-202-4 (Inhaltsverzeichnis, abgerufen am 23. März 2012).
Nathan Jacobson: Finite-dimensional division algebras over fields. 2. korrigierte Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-540-57029-5.
Günther Pickert: Einführung in die Höhere Algebra (= Studia mathematica. 7). 1. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1951.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Ferdetest&oldid=24909345”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2022. május 7., 00:05
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.