hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu ca hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Hausdorff-dimenzió bevezetését az indokolja, hogy bizonyos alakzatok (a legismertebb példa a fraktálok sokasága), bár „topológiai” dimenziójuk egyszerűen mérhető, de dimenzióbeli mértékük (terület, térfogat, ...) mégis paradox értékeket ad. Például a Peano-görbe egy intuitíve egydimenziós görbe, amely azonban teljesen, egyszeresen és hézagtalanul lefed egy négyzetet (tehát bizonyos szempontból inkább kettő-, mintsem egydimenziós); a Sierpiński-szőnyeg viszont lefed - igaz, közel sem hézagtalanul - egy négyzetet, ellenben a területe 0, akárcsak az egydimenziós alakzatoké.
A Hausdorff-dimenzió meglehetősen egyszerű tapasztalaton alapul. Egy közönséges kétdimenziós alakzatot, mint pl. egy négyzetet, ha kétszeresére, háromszorosára ..., k {\displaystyle k} -szorosára nagyítunk, akkor az így keletkezett nagyobb alakzatot az eredeti alakzat négy, kilenc, ..., k 2 {\displaystyle k^{2}} példányával fedhetjük le teljes egészében, vagyis a terület a nagyításnak a dimenzióra (2) emelt kitevőjű hatványszorosára nő (nehezebben mérhető területű, de területtel azért rendelkező alakzatoknál hasonló a helyzet). Egy egyszerű háromdimenziós alakzatot, mondjuk kockát, ha kétszeresére, háromszorosára, ..., k {\displaystyle k} -szorosára nagyítunk, akkor az így keletkezett nagyobb alakzatot az eredeti alakzat nyolc, huszonhét, ..., k 3 {\displaystyle k^{3}} példányával fedhetjük le teljes egészében, vagyis a térfogat a nagyításnak a dimenzióra (3) emelt kitevőjű hatványszorosára nő (nehezebben mérhető térfogatú, de térfogattal azért rendelkező alakzatoknál is hasonlóképp van). Általában elmondható, hogy egy közönségesen d {\displaystyle d} dimenziós alakzatot ha k {\displaystyle k} -szorosára nagyítunk, akkor mértéke T ( k ) = k d {\displaystyle T(k)=k^{d}} -szeresére nő, tehát az alakzat dimenziója a T ( k ) {\displaystyle T(k)} k {\displaystyle k} alappal felírt hatványának kitevője, vagyis log k ⁡ ( T ( k ) ) {\displaystyle \log _{k}(T(k))} , melyre érvényes – tetszőleges egytől különböző pozitív valós alapú – logaritmust (pl. a tízest) választva:
d = log k ⁡ ( T ( k ) ) = log ⁡ ( T ( k ) ) log ⁡ ( k ) {\displaystyle d=\log _{k}\left(T(k)\right)={\frac {\log \left(T(k)\right)}{\log \left(k\right)}}} [1]
Nehezebben mérhető alakzatok esetében bonyolultabb gondolatmenet szükséges, de a végeredmény ugyanez. A fenti d {\displaystyle d} Hausdorff-dimenzió finomabban méri egy alakzat kiterjedését, mint a topológiai dimenzió és a Lebesgue-mértékek.
A fogalmat Felix Hausdorff német matematikus vezette be 1918-ban, kiszámításának egyes technikáit pedig Abram Samoilovitch Besicovitch dolgozta ki.
Ez a szócikk szaklektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja (extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek) részletezi. Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont!
Legyen A a vizsgált halmaz, és legyen { B 1 , B 2 , … } {\displaystyle \{B_{1},B_{2},\ldots \}}   gömbök egy olyan sorozata, amik együttesen lefedik A-t. Ha a gömbök sugara rendre r 1 , r 2 , … {\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }  , akkor a lefedőrendszer d rendű Hausdorff-mértéke ∑ i r i d {\displaystyle \sum _{i}r_{i}^{d}}  , magának A-nak a d rendű Hausdorff-mértéke pedig a lehetséges lefedőrendszerek d rendű Hausdorff-mértékeinek infimuma.
A Hausdorff-dimenziója azon d-k infimuma, amelyekre a d rendű Hausdorff-mérték nulla (vagy másképp, azon d-k szuprémuma, amelyekre végtelen).
A legismertebb fraktálok önhasonlóak: olyan részekből állnak össze, amelyek mindegyike nagyítással az egészbe vihető. Például a képen látható Sierpiński-háromszöget (amely úgy áll elő, hogy egy szabályos háromszögből kivesszük az oldalfelező pontok által meghatározott belső háromszöget, majd az így nyert háromszögekből is, és így tovább a végtelenségig) három kisebb háromszög alkotja, amelyek mindegyike feleakkora, mint az eredeti. Belátható, hogy ha egy fraktál k olyan alkotóelemből áll össze, amelyek mindegyikének r-szerese az eredeti, akkor a Hausdorff-dimenziója log ⁡ k / log ⁡ r {\displaystyle \log k/\log r}  . A Sierpinski-háromszögnek így log ⁡ 3 / log ⁡ 2 ≈ 1 , 59 {\displaystyle \log 3/\log 2\approx 1{,}59}   a Hausdorff-dimenziója. (Általánosabban, ha az egyes alkotóelemek r 1 , r 2 , … , r i {\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{i}}   arányban kisebbek az egésznél, akkor a Hausdorff-dimenzió az az s szám, amelyre ∑ i r i s = 1 {\displaystyle \sum _{i}r_{i}^{s}=1}   teljesül.)
az n dimenziós euklideszi tér és az n dimenziós hipergömb Hausdorff-dimenziója n.
megszámlálható ponthalmazok Hausdorff-dimenziója 0.
a Cantor-halmaz Hausdorff-dimenziója ln ⁡ 2 / ln ⁡ 3 ≈ 0 , 63 {\displaystyle \ln 2/\ln 3\approx 0{,}63}
a Sierpiński-szőnyeg Hausdorff-dimenziója ln ⁡ 8 / ln ⁡ 3 ≈ 1 , 89 {\displaystyle \ln 8/\ln 3\approx 1{,}89}
a Menger-szivacs Hausdorff-dimenziója ln ⁡ 20 / ln ⁡ 3 ≈ 2 , 73 {\displaystyle \ln 20/\ln 3\approx 2{,}73}
a Koch-hópehely Hausdorff-dimenziója ln ⁡ 4 / ln ⁡ 3 ≈ 1 , 26 {\displaystyle \ln 4/\ln 3\approx 1{,}26}
térkitöltő görbék (pl. a Peano-görbe vagy a Sierpinski-görbe) Hausdorff-dimenziója megegyezik annak az alakzatnak a dimenziójával, amit kitöltenek.
a (legalább kétdimenziós) Brown-mozgás pályájának Hausdorff-dimenziója majdnem biztosan 2.
↑ Mivel a logaritmusalap tetszőleges egytől különböző pozitív valós szám lehet, nem mindig szokás feltüntetni a képletben.
P. W. Thompson: What is Required to Understand Fractal Dimension? („Mi szükséges a fraktáldimenzió megértéséhez?”). TMEO, 11./1 (2000); beill. 2010. 09. 19.
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Hausdorff-dimenzió&oldid=23453348”
Utoljára szerkesztve 2021. január 15., 16:28-kor
A lap utolsó módosítása: 2021. január 15., 16:28
A lap szövege CC BY-SA 3.0 alatt érhető el, ha nincs külön jelölve.