hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu ca hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu en en en hu en hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy f függvény folytonossága az x helyen azt jelenti, hogy x kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az f(x) is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság).[1]
A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (Vö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.
Némileg bonyolultabb, illetve szerteágazóbb probléma a görbék ill. más geometriai alakzatok folytonosságának kérdése általában. Ezzel a topológia foglalkozik. A probléma részben visszavezethető a valós-valós függvények folytonosságának és határértékeinek vizsgálatára, de ettől függetlenül és jóval általánosabb keretek között, pl. v. mely topológiai axiómerendszer vagy struktúra segítségével is tárgyalható.
Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: A → R függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, és ezt f ∈ C ( u ) {\displaystyle f\in C(u)}  -val jelöljük, ha minden e pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan x ∈ A számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték e-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz
Magyarázat. a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi e hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ, u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – e-nál – kisebb mértékben térnek el f(u)-tól.
Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen u ∈ A. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy
u az A-nak vagy izolált pontja, vagy
u az A-nak torlódási pontja és létezik az f(u)-val egyenlő lim x → u f ( x ) {\displaystyle \lim \limits _{x\to u}f(x)}   határérték.
u torlódási pontja A-nak, ha bármely pozitív e-hoz létezik A-nak olyan u-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága u-tól kisebb, mint e. A-nak izolált pontja u, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív e, melyre A-nak nincs más eleme az (u-e , u+e) nyílt intervallumban, csak u.
Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.
Az f valós számok halmazának egy A részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az u ∈ A pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén a függvényértékek (f(xn)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart, azaz
∀ ( x n ) : N → A ( lim n → ∞ x n = u ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = f ( u ) ) {\displaystyle \forall (x_{n}):\mathbb {N} \to A\quad (\;\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=u\;\Rightarrow \;\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(u))}
Azt mondjuk, hogy egy f függvény folytonos az értelmezési tartományának egy H részhalmazán, és ezt f ∈ C ( H ) {\displaystyle f\in C(H)}  -val jelöljük, ha f folytonos a H halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy f folytonos, és ezt f ∈ C {\displaystyle f\in C}  -vel jelöljük, ha f folytonos az értelmezési tartományán.
Lásd: Intervallumon értelmezett függvények
Ha X {\displaystyle X}   és Y {\displaystyle Y}   a valós számok részhalmazai, akkor az f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}   függvény uniform folytonos, ha bármely ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}  -ra létezik δ > 0 {\displaystyle \delta >0}  , úgy, hogy bármely x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X}  , | x − y | < δ {\displaystyle |x-y|<\delta }   teljesül, hogy | f ( x ) − f ( y ) | < ϵ {\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }  . A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetén a δ {\displaystyle \delta }   értéke csak ϵ {\displaystyle \epsilon }  -tól függ, magától az a {\displaystyle a}   ponttól nem.
Legyen I {\displaystyle I}   a valós számok egy intervalluma. Az f : I → R {\displaystyle f:I\to R}   függvény abszolút folytonos az I {\displaystyle I}   halmazon, ha bármely pozitív ϵ {\displaystyle \epsilon }  -hoz létezik egy pozitív δ {\displaystyle \delta }  , úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt ( x k , y k ) {\displaystyle (x_{k},y_{k})}   részintervallumoknak teljesül, hogy:[2]
∑ k | y k − x k | < δ {\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }  -ra igaz : ∑ k | f ( y k ) − f ( x k ) | < ϵ . {\displaystyle \displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\epsilon .}  .
Az alábbi állítások a valós f {\displaystyle f}   függvényre vonatkozóan az [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}   kompakt intervallumon ekvivalensek:[3]
f {\displaystyle f}   abszolút folytonos;
f {\displaystyle f}  -nek majdnem mindenhol létezik egy f ′ {\displaystyle f'}   deriváltja, amely Lebesgue-integrálható és f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x f ′ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}   bármely x {\displaystyle x}  -re az [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}   intervallumon;
létezik egy g {\displaystyle g}   Lebesgue-integrálható függvény [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}   intervallumon, úgy, hogy f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x g ( t ) d t {\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}   bármely x {\displaystyle x}  -re az [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}   intervallumon.
Ha a fentiek teljesülnek, akkor majdnem mindenhol g = f ′ {\displaystyle g=f'}  . Az első és harmadik pont ekvivalenciáját a Lebesgue-integrálás alaptételének nevezik.[4]
A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az D f ⊂ ℜ {\displaystyle D_{f}\subset \Re }   halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő f ( x ) {\displaystyle f(x)}   helyettesítési érték.
Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.
Ha egy v ∈ ℜ {\displaystyle v\in \Re }   hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a f ( v ) := lim [ f ( x ) ] {\displaystyle f(v):=\lim[f(x)]}   előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.
Egy v ∈ D f {\displaystyle v\in D_{f}}   hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel.
Ha a függvénynek a v {\displaystyle v}   helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az f ( v ) {\displaystyle f(v)}   helyettesítési értékkel, a szakadás elsőfajú. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)
Minden egyéb esetben, például, ha a jobb és bal oldali határértékek különbözőek (végesek), és egyik sem egyezik meg az f ( v ) {\displaystyle f(v)}   helyettesítési értékkel, a szakadás másodfajú és nem megszüntethető.
↑ Kezdetben a folytonosságnak egy sokkal pontatlanabb, ugyanakkor igen szemléletes intuitív képe is élt: nevezetesen, a folytonos függvények görbéje (ill. a görbe ábrázolt darabja) megrajzolható az íróeszköz „felemelése” nélkül. A tizennyolcadik század második felétől kezdve a számtalan „topológiailag elfajult” függvénygörbe (ide tartoznak például a fraktálszerű görbék, mint pl. a Poincaré-görbe) felfedezése meglehetősen tarthatatlanná tette ezt a képet.
↑ Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval I is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
↑ Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
↑ Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.
A Wikimédia Commons tartalmaz Folytonos függvény témájú médiaállományokat.
PlanetMath: continuous Archiválva 2006. szeptember 25-i dátummal a Wayback Machine-ben
Encyclopaedia of Mathematics: Continuous function
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Folytonos_függvény&oldid=25141680”
Utoljára szerkesztve 2022. augusztus 1., 16:24-kor
A lap utolsó módosítása: 2022. augusztus 1., 16:24
A lap szövege CC BY-SA 3.0 alatt érhető el, ha nincs külön jelölve.