hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu en hu en hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A szögfelező a szöget két egyenlő szögre osztja. A szögfelező minden pontja azonos távolságra van a szög száraitól és átmegy a szög csúcsán.
A szögfelező szerkesztése körzővel és vonalzóval
A konvex szögtartományban a két szögszártól azonos távolságra lévő pontok egy félegyenest alkotnak. A szögtartományon kívül e félegyenes meghosszabbítását szoktuk a szögfelezőnek tekinteni, de a félegyenesen kívül is vannak pontok, melyek a szögszáraktól, mint félegyenesektől azonos távolságra vannak.
Egyenesek által alkotott szögnél a két egyenestől azonos távolságra lévő pontok két egyenest alkotnak, melyek merőlegesek egymásra.
2.1 Belső szögfelezők és háromszög beírt köre
2.2 A szögfelezőtétel (Apollóniosz tétele)
2.3 Külső szögfelezők és a háromszög hozzáírt körei
Egy szög szögfelezőjét meg lehet szerkeszteni körzővel és vonalzóval a következő módon: olyan kört rajzolunk, melynek középpontja a szög csúcsa. A körvonal a szög mindkét szárát elmetszi. Rajzoljunk két azonos sugarú kört, melyeknek a középpontja a két metszéspont. A két kör két metszéspontja meghatározza a szöget felező egyenest.
A háromszög belső- (piros) és külső (zöld) szögfelezői, beírt köre (kék) és hozzáírt körei (sárga)
Belső szögfelezők és háromszög beírt köreSzerkesztés
A háromszög belső szögfelezői azok az egyenesek, melyek a háromszög belső szögeit elfelezik. Ezeknek az egyeneseknek minden pontja azonos távolságra van a háromszög két-két oldalegyenesétől, mivel szögfelezők.
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ezt beláthatjuk a következőképpen: Az A {\displaystyle A}   csúcson és a B {\displaystyle B}   csúcson átmenő szögfelezők metszéspontja egyenlő távol van a b {\displaystyle b}   és c {\displaystyle c}   oldalegyenestől (mivel az A {\displaystyle A}   csúcson átmenő szögfelező pontja) valamint a c {\displaystyle c}   és a {\displaystyle a}   oldalegyenesektől is (mivel a B {\displaystyle B}   csúcson átmenő szögfelezőnek is pontja). Tehát mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van, így a {\displaystyle a}  -tól és b {\displaystyle b}  -től is, ezért rajta van a C {\displaystyle C}  -n átmenő szögfelezőn.
A belső szögfelezők metszéspontja mindhárom oldaltól azonos távolságra van, ezért ez a pont a háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja. A kör sugara a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz.
A szögfelezőtétel (Apollóniosz tétele)Szerkesztés
Ábra a szögfelezőtétel bizonyításához
A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, vagyis x y = a c {\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {a}{c}}}  .
Meghosszabbítjuk a háromszög c {\displaystyle c}   oldalát B {\displaystyle B}  -n túl a {\displaystyle a}  -val, így kapjuk meg D {\displaystyle D}  -t. C B D {\displaystyle CBD}   egyenlő szárú háromszög, ennek a B {\displaystyle B}   csúcsnál lévő külső szöge B {\displaystyle \beta }  , az alapon fekvő szögei B 2 {\displaystyle {\frac {\beta }{2}}}   nagyságúak. Az A B C {\displaystyle ABC}   háromszög c {\displaystyle c}   oldala és a szögfelező által bezárt szög egyállású a C B D {\displaystyle CBD}   háromszög D {\displaystyle D}   csúcsnál levő szögével, mivel a két szög azonos nagyságú és az egyik száruk egy egyenesbe esik. Ezért a szögek másik szára – a szögfelező és a C D {\displaystyle CD}   oldal – is párhuzamosak egymással. Az A {\displaystyle A}   csúcsnál lévő szögre a párhuzamos szelők tételét alkalmazva kapjuk az x y = a c {\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {a}{c}}}   egyenlőséget.
Külső szögfelezők és a háromszög hozzáírt köreiSzerkesztés
A háromszög külső szögeit megfelezve a külső szögfelezőket kapjuk. A szögfelező minden pontja egyenlő távol van a háromszög két oldalegyenesétől. Két-két szögfelező egy pontban metszi egymást. A metszéspont a hozzáírható kör középpontja, mivel mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van.
A háromszög egy csúcsból húzott belső és külső szögfelezője merőleges egymásra.
Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 185, 206, 359. oldal.
Matematikai kisenciklopédia. Szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal.
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Szögfelező&oldid=24016407”
Utoljára szerkesztve 2021. július 6., 19:26-kor
A lap utolsó módosítása: 2021. július 6., 19:26
A lap szövege CC BY-SA 3.0 alatt érhető el, ha nincs külön jelölve.