hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu en hu en hu hu en hu en hu hu hu hu hu hu hu fi hu hu hu hu hu en hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en hu hu hu en hu hu hu hu hu cs hu hu hu hu en en hu hu sk hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu de hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu en vi de et fr hy cs lt lv ru hbs_lat fy hu hu hu hu hu hu hu hu hu hu
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. június 5.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szöveg helyesírását és nyelvhelyességét, a tulajdonnevek átírását. Esetleges további megjegyzések a vitalapon.
A matematikában, ezen belül az analízis területén, az antiderivált vagy primitív függvény, vagy más néven határozatlan integrál, az integrálszámítás nevű részterület egyik legfontosabb fogalma. Egy f függvény antideriváltja az az F függvény, melynek deriváltja egyenlő f függvénnyel, azaz F ′ = f. A primitív függvény, ha létezik, mint függvény, sosem egyértelmű (ezért a „határozatlan” integrál elnevezés); egyes szerzők az antideriváltat így függvények egy bizonyos halmazának tekintik.
Magyar nyelvterületen sokkal használatosabb a „primitív függvény” elnevezés („primitív” = eredeti, megelőző).[1][2]
Azt az eljárást (a konkrét számítási módszertől eltekintve), amikor kiszámítjuk egy függvény antideriváltját, határozatlan integrálásnak is hívják (ez néha csak közelítő módszerek alkalmazásával lehetséges).
A határozatlan integrálás (antiderivált) szorosan kapcsolódik a határozott integrálhoz a Newton–Leibniz-tételen keresztül (amelyet néha az integrálszámítás alaptételének is neveznek): Egy intervallumban egy függvény határozott integrálja egyenlő a primitív függvényeknek (antideriváltaknak) az intervallum végpontjain felvett értékeinek különbségével.
4 Nem folytonos függvények antideriváltjai
Fizikában, a gyorsulás integrálása adja a sebességet, plusz egy konstanst. A konstans a kezdeti érték, mely elveszik, ha deriváljuk a sebességet, mert egy konstans deriváltja zéró. Hasonló séma érvényes további integrálás esetén és a mozgás deriválásánál (helyzet, sebesség, gyorsulás, stb.)
Az antideriváltak fontosak, mert a határozott integrálok számításánál jól felhasználhatók, alkalmazva a Newton–Leibniz-tételt: ha F egy integrálható f függvény antideriváltja, akkor:
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}
Ezért az adott f függvény végtelenül sok antideriváltját néha f "általános integráljának", vagy “végtelen integráljának" is hívják, és határok nélküli integrál jellel jelölik:
∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)\,dx.}
Ha F, az f egy intervallumon definiált függvény egy antideriváltja, akkor f bármely G antideriváltja F-től csupán egy konstansban különbözik. Így létezik egy C úgy, hogy: G(x) = F(x) + C. C az integrálás során indifferens, így az integrál Newton–Leibniz-formulával való kiszámításakor bármely primitív függvényt használhatjuk, vagyis C értéke tetszőleges lehet. Ha F tartománya kettő vagy több intervallum diszjunkt uniója, akkor különböző konstansok választhatók minden egyes intervallumra. Például:
F ( x ) = { − 1 x + C 1 x   0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+C_{1}\quad x 0\end{cases}}}
A fenti függvények, f ( x ) = 1 / x 2 {\displaystyle f(x)=1/x^{2}} antideriváltja a ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )} természetes tartományában.
Minden f folytonos függvénynek van antideriváltja; egy F antiderivált meghatározható f egy határozott integráljával, változtatható felső határral:
F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t . {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.}
Az alsó határ változtatásával további antideriváltat kapunk (de nem szükségszerűen az összeset). Ez egy másik formája a Newton–Leibniz-tételnek. Számos antiderivált létezik, melyeket nem lehet kifejezni elemi függvényként (mint polinomok, exponenciális polinomok, logaritmusok, trigonometrikus függvények és ezek kombinációi). Például:
∫ e − x 2 d x , ∫ sin ⁡ ( x 2 ) d x , ∫ sin ⁡ ( x ) x d x , ∫ 1 ln ⁡ x d x , ∫ x x d x . {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin(x^{2})\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.}
További részletes tárgyalás a differenciális Galois-elméletnél található.
Elemi függvények antideriváltjainak megtalálása nehezebb feladat, mint a deriváltjai megtalálása (kiszámítása). Néhány elemi függvény esetén lehetetlen megtalálni más elemi függvények segítségével az antideriváltjait. Néhány módszer rendelkezésre áll:
Az integrálás linearitása lehetővé teszi komplikált integrálok feldarabolását egyszerűbb részekre
Integrálás behelyettesítéssel, ezek gyakran a trigonometrikus azonosságokkal és a természetes logaritmussal kombinálhatók
Részenkénti integrálás, függvények szorzatainak integrálására
Az inverz lánc-szabály módszer, mely a behelyettesítés speciális esete
Felhasználható segédletként az integrálok listája
Többszörös integrálás esetén használhatók bizonyos járulékos technikák: dupla integrál, polárkoordináta-rendszer, Jacobi-mátrix és a Stokes-tétel
Komputeralgebra rendszerek, automatizálja a komplex és hosszadalmas műveleteket
Ha egy függvénynek nincs elemi antideriváltja (például: exp(-x2)), akkor a határozott integrál numerikus integrálási módszerekkel közelíthető
f , {\displaystyle f,} függvény ismétlődő antideriváltjának a kiszámításához a Cauchy-féle ismétlődő integrálást lehet alkalmazni:
∫ x 0 x ∫ x 0 x 1 … ∫ x 0 x n − 1 f ( x n ) d x n … d x 2 d x 1 = ∫ x 0 x f ( t ) ( x − t ) n − 1 ( n − 1 ) ! d t . {\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\dots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\dots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.}
Nem folytonos függvények antideriváltjai[szerkesztés]
Nem folytonos függvényeknek is lehetnek antideriváltjaik. Miközben vannak még nyílt kérdések ezen a területen, azt tudjuk, hogy:
néhány ‘patológiás’ függvénynek, kiterjedt nem folytonos tartománnyal, sosem lehet antideriváltja.
néhány esetben, a‘patológiás’ függvényeknek is meg lehet találni az antideriváltjait a Riemann-integrál segítségével.
Tegyük fel, hogy a függvények tartományai nyílt intervallumok:
szükséges, de nem elégséges feltétel, hogy egy függvénynek antideriváltja legyen, az, hogy legyen ‘köztes érték tulajdonsága’. Azaz, ha f függvény tartományának [a, b] egy rész intervalluma, és d bármely valós szám f(a) és f(b) között, akkor f(c) = d egy c-re a és b között.
Ahhoz, hogy ezt lássuk, legyen f antideriváltja F, és tekintsük a folytonos g(x) = F(x) – dx függvényt egy zárt [a, b] intervallumban. Ekkor g-nek vagy maximumnak kell lennie, vagy minimum c a nyílt (a, b) intervallumban, és így 0 = g′(c) = f(c) – d.
f diszkontinuitásának egy Meagre tartománynak kell lennie. Ennek a tartománynak egy F-Sigma tartománynak is lennie kell (mivel bármely függvény diszkontinuitási állományának ez a típusa). Továbbá, bármely Meager F-Sigma állományra előállítható egy f függvény antideriváltja.
Ha f-nek van antideriváltja, mely a tartománynak egy zárt véges altartományában korlátos, és a Lebesgue mérték egy diszkontinuitásának tartománya 0, akkor az antiderivált integrálással megtalálható.
Ha f-nek egy antideriváltja F, egy zárt [a,b] intervallumon, akkor bármely partíció a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b} , ha kiválasztunk egy minta pontot, x i ∗ ∈ [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]} , melyet Lagrange-féle középértéktétel specifikál, akkor, a megfelelő Riemann szumma teleszkópol a F(b) – F(a) értékhez.
∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) ( x i − x i − 1 ) = ∑ i = 1 n [ F ( x i ) − F ( x i − 1 ) ] = F ( x n ) − F ( x 0 ) = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}
Azonban, ha f nem korlátos, vagy f korlátos, de az f diszkontinuitásainak van pozitív Lebesgue mértéke, az x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}} minta pontok egy különböző választéka, szignifikánsan más értéket adhat a Riemann szummára, függetlenül attól, milyen finom a partíció.
Karl R. Stromberg: Introduction to Classical Real Analysis. (hely nélkül): Wadsworth. 1981.
Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-547-16702-4
Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009
Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883
↑ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5
↑ Calculus, 9th, Brooks/Cole (2009). ISBN 0-547-16702-4
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Határozatlan_integrál&oldid=24991357”
Hivatkozás erre a változatra
Hogyan hivatkozz erre a lapra?
A lap utolsó módosítása: 2022. június 5., 21:46
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.