0 (һан)
{{другие значения}}
{{Похожие буквы|O}}
{| class="infobox" style="width: 20em;"
|-
! colspan="2" align="center" style="font: 10em times; background:#ccc;" | 0
|-
| colspan="2" |<center> [[0 (һан)|0]] | [[1 (һан)|1]] | [[2 (һан)|2]] | [[3 (һан)|3]] | [[4 (һан)|4]] | [[5 (һан)|5]] | [[6 (һан)|6]] | [[7 (һан)|7]] | [[8 (һан)|8]] | [[9 (һан)|9]] </center> 
|-
| [[Һан]]
| 0 <br> Нуль
|-
|}
{{Врезка|
 |Ширина = 255px
 |Выравнивание = right
 |Содержание = 
* «''Ноль'' һәм ''нуль'' тигән ике формаһы бар. Терминологияла ғәҙәттә (бигерәк тә төп килештән башҡа) икенсе формаһы ҡулланыла, мәҫәлән: ''нулгә тигеҙ, температура нулдә тора''»<ref name=rosent>[[Розенталь, Дитмар Эльяшевич|''Д. Э. Розенталь'']]. [http://www.evartist.narod.ru/text1/31.htm Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных.] М.: ЧеРо, 1999.</ref>. 
* «…сығарылма сифат ғәҙәттә ''нуль'' формаһынан яһала , мәҫәлән: ''нуленсе меридиан, нуленсе билдә''»<ref name=rosent />.
}}

'''Ноль''' ('''0''', '''нуль''' {{lang-la|nullus}} — һис бер {{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}) — теләһә ниндәй һанға ҡушҡанда, йәки унан алғанда был һанды үҙгәртмәй торған<ref>{{книга |часть=Нуль |страницы=1082 |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |год=1982 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>, йәғни был һуңғы һанға тигеҙ булған һөҙөмтә биргән [[бөтөн һан]]; теләһә ниндәй һанды нулгә ҡабатлау нулде бирә<ref name="dict">{{книга|заглавие=Большой Энциклопедический словарь|часть=Нуль|год=2000|автор=|язык=ru}} // Большой Энциклопедический словарь. 2000.</ref>.

Ноль математикала һәм физикала үтә мөһим роль уйнай<ref>{{начало цитаты}}Иң мөһим цифра нуль. Был бик гениаль идея — һис бер нәмәнән нимәлер яһау, был нимәлергә исем биреү һәм уның өсөн символ уйлап табыу.{{Конец цитаты|источник=''[[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден Б. Л.]]'' Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.}}</ref>.

== Математикала ноль ==

=== Натураль һандарға инеүе ===
[[Натураль һан|Натураль һандарҙың]] билдәләмәһенә ике ҡараш бар— ҡайһы бер авторҙар нулде натураль һандарға индерә<ref>{{книга
|заглавие=The historical roots of elementary mathematics
|издательство=[[Dover Publications|Courier Dover Publications]]
|год=1976
|isbn=0-486-13968-9
|страницы=254—255
|ссылка=https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC
|язык=en
|автор=Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D.
}}, [https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA255 Extract of pages 254—255] </ref>, башҡалары былай эшләмәй. Математика буйынса Рәсәй мәктәп программаларында, был ҡайһы бер формулировкаларҙы ҡыйынлаштырһа ла, нулде натураль һандарға индереү ҡабул ителмәгән (мәҫәлән, [[ҡалдыҡлы бүлеү]] һәм [[теүәл бүлеү]] төшөнсәләрен айырып ҡарарға тура килә). Компромисс булараҡ ҡайһы бер сығанаҡтарҙа нулде индергән «киңәйтелгән натураль рәт» ҡарайҙар<ref name=POTAP9>{{книга |автор=Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. |заглавие=Алгебра и анализ элементарных функций |место={{М.}} |издательство=Наука |год=1981 |страниц=560 |страницы=9}}</ref>.

Натураль һандар күмәклеген <math>\mathbb{N}</math> символы менән тамғалау ҡабул ителгән. Халыҡ-ара стандарттар [[ISO 31-11]] (1992 йыл) һәм [[ISO 80000-2]] (2009 йыл) түбәндәге тамғалауҙарҙы булдырған<ref>{{cite web|title=International standard 80000-2:2009. Part 2|url=https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf|website=NCSU COE People|accessdate=2019-08-12}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190228003440/https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf |date=2019-02-28 }}</ref>:
* <math>\mathbb{N}</math> — нулде индергән натураль һандар: <math>\{0,1,2,3,4\dots\}</math>.
* <math>\mathbb{N^*}</math> — нулде индермәйенсә натураль һандар: <math>\{1,2,3,4\dots\}</math>.
Урыҫ сығанаҡтарында был стандарт әлегә күҙәтелмәй — уларҙа <math>\mathbb{N}</math> символы нуль инмәгән натураль һандарҙы аңлата, ә киңәйтелгән натураль рәт, мәҫәлән, <math>\mathbb{N}_0, \mathbb{Z}_+, \Z_{\geqslant 0}</math> һәм башҡа тип тамғалана<ref name=POTAP9/>

=== Ноль цифр булараҡ ===
Нуль төшөнсәһе тарихи һандарҙы [[позицион иҫәпләү системаһы]]нда яҙғанда айырым бер цифр символы булараҡ барлыҡҡа килгән. Был символ ярашлы разрядта ҡиммәттең булмауын күрһәткән һәм <math>4, 40, 400.</math> яҙыуҙарын бутамаҫҡа мөмкинлек биргән. [[Яңы осор]] башында яйлап нулгә тулы ҡиммәтле һан статусы бирелә.

=== Нулдең төп үҙсәнлектәре ===
* 0 — [[бөтөн һан]].
* [[Һанлы күсәр|Һанлы күсәрҙә]] 0 [[Ыңғай һан|ыңғай]] һәм [[тиҫкәре һан|тиҫкәре һандарҙы]] айырып тора .
[[Файл:Number-line.svg|715x715px|center|<center>[[Һанлы күсәр|Һанлы күсәрҙә]] тиҫкәре һандар (ҡыҙыл)</center>|border|frameless]]
* Ноль [[Йоп һәм таҡ һандар|йоп]] һан, сөнки 2-гә бүлгәндә [[бөтөн һан]] килеп сыға: <math>0/2 = 0</math>.
* Нулдең [[Тамға (математика)|тамғаһы]] юҡ. ''Шартлы рәүештә'' тиҫкәре һәм ыңғай сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдең тамғаланышы ҡулланылырға мөмкин: [[Тиҫкәре һәм ыңғай ноль|<math>-0</math>, <math>+0</math>]], әммә улар ғәҙәттәге мәғәнәләге ''һандар түгел''.
* Теләһә ниндәй [[һан]] нулгә [[Ҡушыу|ҡушҡанда]] үҙгәрмәй: <math>a + 0 = 0 + a = a.</math> Теләһә ниндәй [[һан]]дан нулде [[Алыу|алғанда]] шул уҡ һан килеп сыға<ref name=":0">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|ответственный=сост. А. П. Савин |издание= |место=М.|издательство=«Педагогика»|год=1989|страницы=219|страниц=|isbn=|isbn2=|ссылка часть=http://sernam.ru/book_e_math.php?id=90}}</ref>: <math>a - 0 = a</math>.
* Теләһә ниндәй [[һан]]ды нулгә [[ҡабатлау]] нулде бирә<ref name=":0" />:
:: <math>a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0.</math>
* Нулде теләһә ниндәй нулдән айырмалы һанға [[Бүлеү (математика)|бүлгәндә]] ноль килеп сыға:
:: <math>a \neq 0</math> булғанда, <math>0/a = 0</math>.

==== Нулгә бүлеү ====
* [[Ысын һандар|Ысын]] һәм [[Комплекслы һандар|комплекслы]] һандарҙы ла индереп, бер генә [[Ялан (математика)|яланда]] йәки [[Ҡулса (математика)|ҡулсала]]тла [[Нулгә бүлеү]] мөмкин түгел.
: <small>Ысынлап та, әгәр <math>\frac{a}{0} = b</math> тип тамғалағанда, бүлеүҙең билдәләмәһе буйынса <math>b \cdot 0 = a</math> булырға тейеш, ә <math>b</math>-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә <math>b \cdot 0</math> аңлатмаһы нулгә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, нуль өсөн бер яланда ла [[Кире һан|кире элемент]] юҡ.</small>
* Нулдән айырмалы комплекслы һанды [[Комплекслы яҫылыҡ#Киңәйтелгән комплекслы|киңәйтелгән комплекслы яҫылыҡта]] нулгә бүлергә мөмкин, уның һөҙөмтәһе — сикһеҙ йыраҡ нөктә.

==== Айырым функцияларҙың ҡиммәте ====
* Теләһә ниндәй һандың (нулдән башҡа) нуленсе дәрәжәһе бергә тигеҙ: <math>a^0 = 1</math>.
** <math>0^0</math> аңлатмаһының ([[ноль нуленсе дәрәжәлә]]) мәғәнәһе юҡ тип иҫәпләү ҡабул ителгән<ref>[http://math-prosto.ru/?page=pages/stepeni/stepeni1.php Что такое степень числа] // Школьная математика, интернет-ресурс.</ref><ref>[http://scienceland.info/algebra7/degree-zero Почему число в степени 0 равно 1?] // Науколандия, интернет-ресурс.</ref><ref>[http://enc-dic.com/enc_sovet/Stepennaja-funkcija-85229.html Степенная функция] // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.</ref>, то есть неопределённым.
:: Был шуның менән бәйле, ике үҙгәреүсәнле <math>x^y</math> функцияһының <math>\{0,0\}</math> нөктәһендә бөтөрөп булмай торған [[Өҙлөкһөҙ функция#Өҙөклөк нөктәләре|өҙөклөгө]] бар.
:: <small>Ысынлап та, <math>X</math> күсәренең ыңғай йүнәлешендә <math>y=0</math> булғанда ул бергә тигеҙ, <math>Y</math> күсәренең ыңғай йүнәлешендә <math>x=0</math> булғанда ул нулгә тигеҙ.</small> Ентекләберәк [[Ноль нуленсе дәрәжәлә]] мәҡәләһен ҡарағыҙ.
* Килешеү буйынса нуль [[факториал]] бергә тигеҙ тип ҡабул ителгән: <math>0! = 1</math>.

=== Геометрияла нуль ===
* [[Нөктә (геометрия)|Нөктәне]] [[Арауыҡ үлсәнеше|нуль үлсәмле объект]] кеүек ҡарап була.
* Яҫылыҡта бер координатаһы нуль булған нөктә ярашлы координаталар күсәрендә ята. Икеһе лә нуль булған координаталар [[координаталар башы]] тип аталған нөктәне бирә.
* Өс үлсәмле арауыҡтың бер координатаһы нуль булған нөктә ярашлы координаталар яҫылығында ята. Өс үлсәмле арауыҡтың бөтә координаталары ла нуль булған нөктә тағы ла координаталар башы тип атала.
* Шундай уҡ раҫлауҙар теләһә ниндәй [[Арауыҡ үлсәнеше|үлсәнешле]] арауыҡтар өсөн дөрөҫ.
* Әйләнәлә 0° һәм 360°-тың урындары тап килә.

=== Математик анализда нуль ===
* <math>(a/b)</math> сағыштырмаһының, бында <math>a \rightarrow 0</math> һәм <math>b \rightarrow 0</math>, [[Сикләнмә (математика)|сикләнмәһен]] иҫәпләгәндә шундай хәл килеп тыуа, туранан-тура алмаштырып ҡуйыу ҡиммәте билдәле булмаған <math>(0/0)</math> аңлатмаһын бирә. [[Билдәһеҙлекте асыу]] барышында шундай ете ситуация булырға мөмкин, һәм шуларҙың дүртәүһендә ноль бар: <math>\left ( \frac{0}{0} \right )</math>, <math>(0^0)</math>, <math>(\infty^0)</math>, <math>(0\cdot\infty)</math>.
<!-- <center>
{| class="wikitable"
|-align="center"
| width="70"  | <math>\left ( \frac{0}{0} \right )</math>
| width="70"  | <math>(0^0)</math>
| width="70"  | <math>(\infty^0)</math>
| width="70"  | <math>(0\cdot\infty)</math>
|}
</center>-->
* Шулай уҡ сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдең [[Бер яҡлы сикләнмә|бер яҡлы (уң йәки һул) сикләнмәһен]] ҡарағанда, тулыһынса аңлайышлы ситуация булырға мөмкин:
:* Уң сикләнмә: <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty</math> <span style="color:#ffffff">_</span> или <span style="color:#ffffff">_</span> <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{} +\infty</math>.
:* Һул сикләнмә: <math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty</math> <span style="color:#ffffff">_</span> или <span style="color:#ffffff">_</span> <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{} -\infty</math>.

=== Дөйөмләштереүҙәр (ноль дөйөм алгебрала) ===
Ҡушыу ғәмәле бирелгән теләһә ниндәй күмәклектә нулдең аналогы булырға мөмкин; [[дөйөм алгебра]]ла бындай элемент ҡайһы берҙә ''[[нейтраль элемент]]'' тип атала, ҡайһы берҙә — ''аддитив нуль'' тип, бөтәһенән йышыраҡ — ''ҡушыуға ҡарата нуль'' тип атала. Бындай элементҡа миҫалдар — [[нуль вектор]] һәм [[нуль матрица]]. (Әгәр күмәклектә ҡабатлау ғәмәле бирелһә, нулдең аналогы сифатында ''мультипликатив берҙе'', йәки ''ҡабатлауға ҡарата берәмекте'' ҡарайҙар — шундай булғанда.)

Ҡушыу, ҡабатлау бирелгән алгебраик структураларҙың шулай уҡ нуль аналогы булырға мөмкин. Нуль элементы теләһә ниндәй [[Ҡулса (математика)|ҡулсала]] һәм уның айырым осраҡтарында — [[Есем (математика)|есемдә]] һәм [[Ялан (математика)|яланда]] бар. Мәҫәлән, <math>n\times n</math> үлсәмле квадрат [[нуль матрица]] <math>M_n(R)</math> квадрат матрицалар ҡулсаһының нуль элементы булып тора. [[Күпбыуын]] дар ҡулсаһында ла шулай уҡ нуль элемент бар — коэффициенттары нулгә тигеҙ булған күпбыуын, йәки ''нуль күпбыуын'', <math>p(x)\equiv 0</math>.

== Нулде ҡулланыу тарихы ==

=== 0 цифрының тарихы ===
0 цифры позицион нумерация менән бер үк ваҡытта — Һиндостанда унарлы һәм Вавилонда алтмышарлы иҫәпләү системаларында барлыҡҡа килә.

==== Боронғо Көнсығыш ====
[[Вавилон математикаһы|Вавилон математиктары]] яҡынса беҙҙең эраға тиклем 300 йылдан башлап [[Алтмышарлы иҫәпләү системаһы|алтмышарлы]] нуль өсөн айырым шына яҙыулы тамға ҡулланғандар, ә уларҙың уҡытыусылары -[[шумерҙар]], ихтимал, быны алдараҡ эшләгәндәрҙер. Әммә вавилон ғалимдарының «икеләтә шына» символы бер ҡасан да «0 һанын» аңлатмаған<ref>{{Книга|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Особые числа других культур → 116|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии|ответственный=|издание=|место=|издательство=DeAgostini|год=2014|том=21|страницы=116|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}</ref>.

0 цифры һандарҙы тамғалауҙың рим, грек һәм ҡытай системаларында булмай. Ҡайһы бер символдарға эре һандарҙың ҡиммәтен биреп, был цифрһыҙ ҙа торғандар. Мәҫәлән, 100 һаны [[грек иҫәпләү системаһы]]нда Ρ хәрефе, [[Рим цифрҙары]]нда —C хәрефе, [[Ҡытай һандары]]нда —百иероглифы менән тамғаланған.

==== Майя һәм инктар ====
[[Файл:MAYA-g-num-0-inc-v1.svg|thumb|200px|Буш ҡабырсаҡ —майя иҫәпләү системаһында нуль тамғаһы]]
[[Майя цивилизацияһы||Майя]] үҙҙәренең Вигезималь иҫәпләү системаһы — егермешәрле — [[Майя цивилизацияһы|иҫәпләү системаһында]] нулде һиндостанлыларҙан мең йылға тиерлек алда ҡулланғандар. Майя календарының датаһы менән беренсе һаҡланып ҡалған стела 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль [[8 декабрь]] [[36 йыл б. э. т.|б. э. т. 36 йылғы.]] тип даталана.

Шуныһы ҡыҙыҡ, майя математиктары шул уҡ тамға менән [[сикһеҙлек]]те лә тамғалағандар, сөнки был тамға, һүҙҙе европалылар аңлауындағыса, нулде түгел, ә «башланғыс», «сәбәп» һүҙҙәрен аңлатҡан<ref>{{cite web|url=http://kuprienko.info/laura-laurencich-minelli-el-curioso-concepto-de-cero-concreto-mesoamericano-y-andino-y-la-logica-de-los-dioses-numeros-incas/|title=Лаура Лауренсич-Минелли. Любопытное понятие мезоамериканского и андского «нуля предметного» и логика инкских богов-чисел|archiveurl=https://archive.is/oLjC|archivedate=2012-07-23}}</ref>.
Майя календарында ай көндәрен һанау нуленсе көндән башлана, ул ''Ахау'' тип атала.

Тауантинсуйу инктар империяһында һанлы мәғлүмәтте яҙыу өсөн позицион унарлы иҫәпләү системаһына нигеҙләнгән төйөнлө система [[кипу]] ҡулланыла. 1 -ҙән 9-ға тиклем цифрҙар билдәле бер төрҙәге төйөндәр менән, ноль — кәрәкле позицияла төйөндө төшөрөп ҡалдырып тамғаланған. Хәҙерге [[Кечуа (тел)|кечуа]] нолде {{lang-qu|ch'usaq}} һүҙе менән (һүҙмә-һүҙ «булмаусы», «буш») тамғалана, ләкин, инктар тарафынан нулде тамғалау өсөн кипу уҡыуында ниндәй һүҙ ҡулланылған, әлегә билдәһеҙ, сөнки, мәҫәлән, тәүге кечуа-испан (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) һүҙлектәренең берәүҙәрендә һәм тәүге аймара-испан (Лудовико Бертонио, 1612) һүҙлегендә испан телендәге «cero» — «ноль» өсөн ярашлылыҡ булмай.

==== Һиндостан ====
Тәү башлап «ноль» цифры [[Һиндостан]]да барлыҡҡа килә, унда [[санскрит]] һүҙе «сунья» («бушлыҡ»; «булмаусы») менән атала, һәм шиғриәттә һәм изге текстарҙа киң ҡулланыла. Тикшеренеүҙәр күрһәтеүенсә, Бакхшали манускриптында, ихтимал, нулде иң боронғо телгә алыу осрай<ref>[http://polit.ru/article/2017/09/14/ps_zero/ Суета вокруг нуля] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170920044215/http://polit.ru/article/2017/09/14/ps_zero/ |date=2017-09-20 }}.</ref><ref>{{Cite web |url=https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol |title=Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol |date=2017-09-14 |publisher=[[The Guardian]] |accessdate=2017-09-19 |lang=en}}</ref>. Һиндостанда уйлап сығарылған һандарҙы унарлы [[Позицион иҫәпләү системаһы|позицион яҙыу]] нулһеҙ мөмкин булмаҫ ине. Нулдең беренсе коды б. э. т. 876 йылғы һинд яҙыуында табылған, ул беҙгә ғәҙәти булған түңәрәк күренешендә.
Һиндлыларҙан 0 цифрын «сифр» (ошонан «цифра» һәм {{lang-la|zero, ноль һүҙҙәре)}} тип атаған ғәрәптәр аша, ул Көнбайыш Европаға килеп эләгә<ref>{{Книга|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Особые числа других культур → 116|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии |место=|издательство=DeAgostini |год=2014|том=21|страницы=115|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}</ref>.

==== Европа ====
Венала, Константинополдә ([[Стамбул]]да) табылған [[XV быуат]]тың ҡулъяҙма арифметикаһы һаҡлана, унда грек һан тамғалары ҡулланыла, нулде нөктә менән тамғалағандар<ref>«Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.</ref>. [[XII быуат]] ғәрәп трактаттарының латин теленә тәржемәләрендә нуль тамғаһы — 0 түңәрәк тип атала — ''circulus''. Көнбайыш илдәрендә арифметиканы уҡытыуға ҙур йоғонто яһаған Сакробоскийҙың (Holywood, 1256 йылда вафат була) 1250 йылда яҙылған һәм бик күп илдәрҙә яңынан баҫтырылған ҡулланмаһында, ноль «''thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili''» — ''тэта'', йәки ''тека'', йәки ''түңәрәк'', йәки ''цифра'', йәки ''бер нимә лә'' тип аталған. ''Nulla figura'' термины — бер ниндәй ҙә тамғаһы —[[XII быуат]]тың ҡулдан яҙылған латин тәржемәләрендә һәм эшкәртелгән ғәрәп хеҙмәттәрендә күренә. ''Nulla'' термины Никола Шюкеның 1484 йылдағы ҡулъяҙмаһында һәм ''Тревизо арифметикаһы'' тип аталған (1478) (баҫылған урыны буйынса) беренсе баҫма китапта бар<ref>''Депман И. Я.'' История Арифметики. — изд. «Просвещение», Москва, 1965, стр. 89.</ref>.

[[XVI быуат]] башынан «ноль» һүҙе Германияла һәм башҡа илдәрҙә киң ҡулланыуға инә, тәүҙә ят һүҙ һымаҡ һәм латин грамматикаһы формаһында, ләкин яйлап ул бирелгән милли телгә хас форма ала.

==== Рәсәй ====
[[Магницкий Леонтий Филиппович|Леонтий Магницкий]] үҙенең «''Арифметикаһында''» 0 тамғаһын «цифра йәки бер ни» (текстың беренсе бите) тип атай; һәр цифрға исем бирелгән икенсе биттәге таблицала, 0 «'' Бер нисек тә ''» тип атала. XVIII быуат аҙағында X. Вольфтың ([[1791]]) икенсе урыҫ «''Сокращения первых оснований математики''» баҫмаһында нуль ''цифра'' тип атала. XVII быуаттың һинд цифрҙарын ҡулланыусы математик ҡулъяҙмаларында, ''о'' хәрефенә оҡшаш булыуы һөҙөмтәһендә, , 0 «''оном''» тип атала<ref>Депман И. Я. История Арифметики. — изд. «Просвещение», Москва, 1965, стр.90</ref>.

=== 0 һанының тарихы ===
[[Мысыр]] иҫәпләү системаһында 0 цифры булмаһа ла, [[Мысыр]] математиктары [[Урта батшалыҡ]]тан уҡ (б. э. т. II меңйыллыҡ башы) «нуль» һанын тамғалау өсөн нфр иероглифын («бик яҡшы») ҡулланғандар, ул шулай уҡ храмдар, пирамидалар һәм кәшәнәләр схемаларында иҫәпләү башын аңлатҡан<ref>{{книга |страницы=86 |заглавие=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition) |isbn=978-0-691-13526-7 |издательство=[[Princeton University Press]] |год=2011 |ref=Joseph |язык=en |автор=Joseph, George Gheverghese}}</ref>.
Ҡытайҙарҙың һан яҙылышында «нуль» цифры шулай уҡ юҡ, «нуль» һанын тамғалау өсөн 〇 тамғаһын — «императрица У Цзэтянь иероглифтарының» береһен ҡулланалар.

[[Боронғо Греция]]ла 0 һаны билдәле булмай. [[Клавдий Птолемей]]ҙың астрономик таблицаларында буш шаҡмаҡтар ο символы ([[омикрон]] хәрефе, {{lang-grc|οὐδέν}} — ''бер нимә лә'' һүҙенән) менән тамғаланғандар; был тамғалау «нуль» цифрының барлыҡҡа килеүенә йоғонто яһауы мөмкин, ләкин күпселек тарихсылар унарлы нулде [[Һиндостанда математика тарихы|һинд математиктары]] уйлап тапҡан тип таныйҙар.

Европала оҙаҡ ваҡыт 0 шартлы символ булып иҫәпләнә һәм һан тип танылмай; хатта [[XVII быуат]]та Валлис Джон былай тип яҙа: «Нуль һан түгел». Арифметик хеҙмәттәрҙә тиҫкәре һан бурыс, ә ноль — тулыһынса мөлкәтһеҙ ҡалыу ситуацияһы тип аңлатыла. Нулдең башҡа һандар менән хоҡуҡтарын тулыһынса тигеҙләүгә [[Эйлер Леонард|Леонард Эйлерҙың]] хеҙмәттәре булышлыҡ итә.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Тиҫкәре һәм ыңғай ноль|−0 һәм +0]] —[[Математик анализ|математик анализдағы]] төшөнсәләр.
* {{d-l|Тамғаһыҙ һан}}
* [[Делитель нуля]]
* [[Машинный ноль]]
* [[Чётность нуля]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{Книга|автор=Чарльз Сейфе|заглавие=[[Ноль. Биография опасной идеи]]|оригинал=Zero: The Biography of a Dangerous Idea|ответственный=|издание=|место=|издательство=Neoclassic, АСТ|год=2014|страницы=|страниц=288|isbn=978-5-17-083294-1}}
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Нуль |страницы = 219 |ref = Энциклопедический словарь юного математика}}
* {{Книга|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Первые  натуральные  числа  и  их  значение → 0 — двусмысленное  число|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии|ответственный=|издание=|место=|издательство=DeAgostini|год=2014|том=21|страницы=14—15|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}
* {{Книга|автор=David Wells|часть=0|заглавие=[[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]|ответственный=|издание=|место=|издательство=Penguin Books|год=1986|страницы=23—26|страниц=229|isbn=0-14-008029-5}}

== Һылтанмалар ==
{{Викисловарь|0}}
{{Викисловарь|ноль}}

* [http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-38973/ История нуля]
* [https://web.archive.org/web/20150402191234/http://www.vremia.ua/rubrics/khronograf/2902.php Почему нельзя делить на ноль?]
* [http://www.ytime.com.ua/ru/24/347/0 Символика чисел (нуль)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150402102121/http://www.ytime.com.ua/ru/24/347/0 |date=2015-04-02 }} /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
* [https://web.archive.org/web/20160304103634/http://library.mephi.ru/data/scientific-sessions/2003/6/046.html О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто»] Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
* [http://bikubik.com/ru/?c=000000 Свойства числа ноль]
* {{cite web
 |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html
 |title = A history of Zero
 |work = MacTutor History of Mathematics archive
 |author = J. J. O'Connor, E. F. Robertson
 |publisher = School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
 |date = 2000-11
}}


{{Числа}}


[[Категория:Бөтөн һандар|*03]]
[[Категория:Һандар]]
Ноль (0, нуль  — һис бер ) — теләһә ниндәй һанға ҡушҡанда, йәки унан алғанда был һанды үҙгәртмәй торған, йәғни был һуңғы һанға тигеҙ булған һөҙөмтә биргән бөтөн һан; теләһә ниндәй һанды нулгә ҡабатлау нулде бирә // Большой Энциклопедический словарь. 2000..

Ноль математикала һәм физикала үтә мөһим роль уйнайИң мөһим цифра нуль. Был бик гениаль идея — һис бер нәмәнән нимәлер яһау, был нимәлергә исем биреү һәм уның өсөн символ уйлап табыу..

 Математикала ноль 

 Натураль һандарға инеүе 
Натураль һандарҙың билдәләмәһенә ике ҡараш бар— ҡайһы бер авторҙар нулде натураль һандарға индерә, Extract of pages 254—255 , башҡалары былай эшләмәй. Математика буйынса Рәсәй мәктәп программаларында, был ҡайһы бер формулировкаларҙы ҡыйынлаштырһа ла, нулде натураль һандарға индереү ҡабул ителмәгән (мәҫәлән, ҡалдыҡлы бүлеү һәм теүәл бүлеү төшөнсәләрен айырып ҡарарға тура килә). Компромисс булараҡ ҡайһы бер сығанаҡтарҙа нулде индергән «киңәйтелгән натураль рәт» ҡарайҙар.

Натураль һандар күмәклеген  символы менән тамғалау ҡабул ителгән. Халыҡ-ара стандарттар ISO 31-11 (1992 йыл) һәм ISO 80000-2 (2009 йыл) түбәндәге тамғалауҙарҙы булдырған :
  — нулде индергән натураль һандар: .
  — нулде индермәйенсә натураль һандар: .
Урыҫ сығанаҡтарында был стандарт әлегә күҙәтелмәй — уларҙа  символы нуль инмәгән натураль һандарҙы аңлата, ә киңәйтелгән натураль рәт, мәҫәлән,  һәм башҡа тип тамғалана

 Ноль цифр булараҡ 
Нуль төшөнсәһе тарихи һандарҙы позицион иҫәпләү системаһында яҙғанда айырым бер цифр символы булараҡ барлыҡҡа килгән. Был символ ярашлы разрядта ҡиммәттең булмауын күрһәткән һәм  яҙыуҙарын бутамаҫҡа мөмкинлек биргән. Яңы осор башында яйлап нулгә тулы ҡиммәтле һан статусы бирелә.

 Нулдең төп үҙсәнлектәре 
 0 — бөтөн һан.
 Һанлы күсәрҙә 0 ыңғай һәм тиҫкәре һандарҙы айырып тора .
715x715px|center|Һанлы күсәрҙә тиҫкәре һандар (ҡыҙыл)|border|frameless
 Ноль йоп һан, сөнки 2-гә бүлгәндә бөтөн һан килеп сыға: .
 Нулдең тамғаһы юҡ. Шартлы рәүештә тиҫкәре һәм ыңғай сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдең тамғаланышы ҡулланылырға мөмкин: , , әммә улар ғәҙәттәге мәғәнәләге һандар түгел.
 Теләһә ниндәй һан нулгә ҡушҡанда үҙгәрмәй:  Теләһә ниндәй һандан нулде алғанда шул уҡ һан килеп сыға: .
 Теләһә ниндәй һанды нулгә ҡабатлау нулде бирә:
 
 Нулде теләһә ниндәй нулдән айырмалы һанға бүлгәндә ноль килеп сыға:
  булғанда, .

 Нулгә бүлеү 
 Ысын һәм комплекслы һандарҙы ла индереп, бер генә яланда йәки ҡулсалатла Нулгә бүлеү мөмкин түгел.
 Ысынлап та, әгәр  тип тамғалағанда, бүлеүҙең билдәләмәһе буйынса  булырға тейеш, ә -ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә  аңлатмаһы нулгә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, нуль өсөн бер яланда ла кире элемент юҡ.
 Нулдән айырмалы комплекслы һанды киңәйтелгән комплекслы яҫылыҡта нулгә бүлергә мөмкин, уның һөҙөмтәһе — сикһеҙ йыраҡ нөктә.

 Айырым функцияларҙың ҡиммәте 
 Теләһә ниндәй һандың (нулдән башҡа) нуленсе дәрәжәһе бергә тигеҙ: .
  аңлатмаһының (ноль нуленсе дәрәжәлә) мәғәнәһе юҡ тип иҫәпләү ҡабул ителгәнЧто такое степень числа // Школьная математика, интернет-ресурс.Почему число в степени 0 равно 1? // Науколандия, интернет-ресурс.Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978., то есть неопределённым.
 Был шуның менән бәйле, ике үҙгәреүсәнле  функцияһының  нөктәһендә бөтөрөп булмай торған өҙөклөгө бар.
 Ысынлап та,  күсәренең ыңғай йүнәлешендә  булғанда ул бергә тигеҙ,  күсәренең ыңғай йүнәлешендә  булғанда ул нулгә тигеҙ. Ентекләберәк Ноль нуленсе дәрәжәлә мәҡәләһен ҡарағыҙ.
 Килешеү буйынса нуль факториал бергә тигеҙ тип ҡабул ителгән: .

 Геометрияла нуль 
 Нөктәне нуль үлсәмле объект кеүек ҡарап була.
 Яҫылыҡта бер координатаһы нуль булған нөктә ярашлы координаталар күсәрендә ята. Икеһе лә нуль булған координаталар координаталар башы тип аталған нөктәне бирә.
 Өс үлсәмле арауыҡтың бер координатаһы нуль булған нөктә ярашлы координаталар яҫылығында ята. Өс үлсәмле арауыҡтың бөтә координаталары ла нуль булған нөктә тағы ла координаталар башы тип атала.
 Шундай уҡ раҫлауҙар теләһә ниндәй үлсәнешле арауыҡтар өсөн дөрөҫ.
 Әйләнәлә 0° һәм 360°-тың урындары тап килә.

 Математик анализда нуль 
  сағыштырмаһының, бында  һәм , сикләнмәһен иҫәпләгәндә шундай хәл килеп тыуа, туранан-тура алмаштырып ҡуйыу ҡиммәте билдәле булмаған  аңлатмаһын бирә. Билдәһеҙлекте асыу барышында шундай ете ситуация булырға мөмкин, һәм шуларҙың дүртәүһендә ноль бар: , , , .

 Шулай уҡ сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдең бер яҡлы (уң йәки һул) сикләнмәһен ҡарағанда, тулыһынса аңлайышлы ситуация булырға мөмкин:
 Уң сикләнмә:  _ или _ .
 Һул сикләнмә:  _ или _ .

 Дөйөмләштереүҙәр (ноль дөйөм алгебрала) 
Ҡушыу ғәмәле бирелгән теләһә ниндәй күмәклектә нулдең аналогы булырға мөмкин; дөйөм алгебрала бындай элемент ҡайһы берҙә нейтраль элемент тип атала, ҡайһы берҙә — аддитив нуль тип, бөтәһенән йышыраҡ — ҡушыуға ҡарата нуль тип атала. Бындай элементҡа миҫалдар — нуль вектор һәм нуль матрица. (Әгәр күмәклектә ҡабатлау ғәмәле бирелһә, нулдең аналогы сифатында мультипликатив берҙе, йәки ҡабатлауға ҡарата берәмекте ҡарайҙар — шундай булғанда.)

Ҡушыу, ҡабатлау бирелгән алгебраик структураларҙың шулай уҡ нуль аналогы булырға мөмкин. Нуль элементы теләһә ниндәй ҡулсала һәм уның айырым осраҡтарында — есемдә һәм яланда бар. Мәҫәлән,  үлсәмле квадрат нуль матрица  квадрат матрицалар ҡулсаһының нуль элементы булып тора. Күпбыуын дар ҡулсаһында ла шулай уҡ нуль элемент бар — коэффициенттары нулгә тигеҙ булған күпбыуын, йәки нуль күпбыуын, .

 Нулде ҡулланыу тарихы 

 0 цифрының тарихы 
0 цифры позицион нумерация менән бер үк ваҡытта — Һиндостанда унарлы һәм Вавилонда алтмышарлы иҫәпләү системаларында барлыҡҡа килә.

 Боронғо Көнсығыш 
Вавилон математиктары яҡынса беҙҙең эраға тиклем 300 йылдан башлап алтмышарлы нуль өсөн айырым шына яҙыулы тамға ҡулланғандар, ә уларҙың уҡытыусылары -шумерҙар, ихтимал, быны алдараҡ эшләгәндәрҙер. Әммә вавилон ғалимдарының «икеләтә шына» символы бер ҡасан да «0 һанын» аңлатмаған.

0 цифры һандарҙы тамғалауҙың рим, грек һәм ҡытай системаларында булмай. Ҡайһы бер символдарға эре һандарҙың ҡиммәтен биреп, был цифрһыҙ ҙа торғандар. Мәҫәлән, 100 һаны грек иҫәпләү системаһында Ρ хәрефе, Рим цифрҙарында —C хәрефе, Ҡытай һандарында —百иероглифы менән тамғаланған.

 Майя һәм инктар 
thumb|200px|Буш ҡабырсаҡ —майя иҫәпләү системаһында нуль тамғаһы
|Майя үҙҙәренең Вигезималь иҫәпләү системаһы — егермешәрле — иҫәпләү системаһында нулде һиндостанлыларҙан мең йылға тиерлек алда ҡулланғандар. Майя календарының датаһы менән беренсе һаҡланып ҡалған стела 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль 8 декабрь б. э. т. 36 йылғы. тип даталана.

Шуныһы ҡыҙыҡ, майя математиктары шул уҡ тамға менән сикһеҙлекте лә тамғалағандар, сөнки был тамға, һүҙҙе европалылар аңлауындағыса, нулде түгел, ә «башланғыс», «сәбәп» һүҙҙәрен аңлатҡан.
Майя календарында ай көндәрен һанау нуленсе көндән башлана, ул Ахау тип атала.

Тауантинсуйу инктар империяһында һанлы мәғлүмәтте яҙыу өсөн позицион унарлы иҫәпләү системаһына нигеҙләнгән төйөнлө система кипу ҡулланыла. 1 -ҙән 9-ға тиклем цифрҙар билдәле бер төрҙәге төйөндәр менән, ноль — кәрәкле позицияла төйөндө төшөрөп ҡалдырып тамғаланған. Хәҙерге кечуа нолде  һүҙе менән (һүҙмә-һүҙ «булмаусы», «буш») тамғалана, ләкин, инктар тарафынан нулде тамғалау өсөн кипу уҡыуында ниндәй һүҙ ҡулланылған, әлегә билдәһеҙ, сөнки, мәҫәлән, тәүге кечуа-испан (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) һүҙлектәренең берәүҙәрендә һәм тәүге аймара-испан (Лудовико Бертонио, 1612) һүҙлегендә испан телендәге «cero» — «ноль» өсөн ярашлылыҡ булмай.

 Һиндостан 
Тәү башлап «ноль» цифры Һиндостанда барлыҡҡа килә, унда санскрит һүҙе «сунья» («бушлыҡ»; «булмаусы») менән атала, һәм шиғриәттә һәм изге текстарҙа киң ҡулланыла. Тикшеренеүҙәр күрһәтеүенсә, Бакхшали манускриптында, ихтимал, нулде иң боронғо телгә алыу осрайСуета вокруг нуля .. Һиндостанда уйлап сығарылған һандарҙы унарлы позицион яҙыу нулһеҙ мөмкин булмаҫ ине. Нулдең беренсе коды б. э. т. 876 йылғы һинд яҙыуында табылған, ул беҙгә ғәҙәти булған түңәрәк күренешендә.
Һиндлыларҙан 0 цифрын «сифр» (ошонан «цифра» һәм  тип атаған ғәрәптәр аша, ул Көнбайыш Европаға килеп эләгә.

 Европа 
Венала, Константинополдә (Стамбулда) табылған XV быуаттың ҡулъяҙма арифметикаһы һаҡлана, унда грек һан тамғалары ҡулланыла, нулде нөктә менән тамғалағандар«Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.. XII быуат ғәрәп трактаттарының латин теленә тәржемәләрендә нуль тамғаһы — 0 түңәрәк тип атала — circulus. Көнбайыш илдәрендә арифметиканы уҡытыуға ҙур йоғонто яһаған Сакробоскийҙың (Holywood, 1256 йылда вафат була) 1250 йылда яҙылған һәм бик күп илдәрҙә яңынан баҫтырылған ҡулланмаһында, ноль «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, йәки тека, йәки түңәрәк, йәки цифра, йәки бер нимә лә тип аталған. Nulla figura термины — бер ниндәй ҙә тамғаһы —XII быуаттың ҡулдан яҙылған латин тәржемәләрендә һәм эшкәртелгән ғәрәп хеҙмәттәрендә күренә. Nulla термины Никола Шюкеның 1484 йылдағы ҡулъяҙмаһында һәм Тревизо арифметикаһы тип аталған (1478) (баҫылған урыны буйынса) беренсе баҫма китапта барДепман И. Я. История Арифметики. — изд. «Просвещение», Москва, 1965, стр. 89..

XVI быуат башынан «ноль» һүҙе Германияла һәм башҡа илдәрҙә киң ҡулланыуға инә, тәүҙә ят һүҙ һымаҡ һәм латин грамматикаһы формаһында, ләкин яйлап ул бирелгән милли телгә хас форма ала.

 Рәсәй 
Леонтий Магницкий үҙенең «Арифметикаһында» 0 тамғаһын «цифра йәки бер ни» (текстың беренсе бите) тип атай; һәр цифрға исем бирелгән икенсе биттәге таблицала, 0 « Бер нисек тә » тип атала. XVIII быуат аҙағында X. Вольфтың (1791) икенсе урыҫ «Сокращения первых оснований математики» баҫмаһында нуль цифра тип атала. XVII быуаттың һинд цифрҙарын ҡулланыусы математик ҡулъяҙмаларында, о хәрефенә оҡшаш булыуы һөҙөмтәһендә, , 0 «оном» тип аталаДепман И. Я. История Арифметики. — изд. «Просвещение», Москва, 1965, стр.90.

 0 һанының тарихы 
Мысыр иҫәпләү системаһында 0 цифры булмаһа ла, Мысыр математиктары Урта батшалыҡтан уҡ (б. э. т. II меңйыллыҡ башы) «нуль» һанын тамғалау өсөн нфр иероглифын («бик яҡшы») ҡулланғандар, ул шулай уҡ храмдар, пирамидалар һәм кәшәнәләр схемаларында иҫәпләү башын аңлатҡан.
Ҡытайҙарҙың һан яҙылышында «нуль» цифры шулай уҡ юҡ, «нуль» һанын тамғалау өсөн 〇 тамғаһын — «императрица У Цзэтянь иероглифтарының» береһен ҡулланалар.

Боронғо Грецияла 0 һаны билдәле булмай. Клавдий Птолемейҙың астрономик таблицаларында буш шаҡмаҡтар ο символы (омикрон хәрефе,  — бер нимә лә һүҙенән) менән тамғаланғандар; был тамғалау «нуль» цифрының барлыҡҡа килеүенә йоғонто яһауы мөмкин, ләкин күпселек тарихсылар унарлы нулде һинд математиктары уйлап тапҡан тип таныйҙар.

Европала оҙаҡ ваҡыт 0 шартлы символ булып иҫәпләнә һәм һан тип танылмай; хатта XVII быуатта Валлис Джон былай тип яҙа: «Нуль һан түгел». Арифметик хеҙмәттәрҙә тиҫкәре һан бурыс, ә ноль — тулыһынса мөлкәтһеҙ ҡалыу ситуацияһы тип аңлатыла. Нулдең башҡа һандар менән хоҡуҡтарын тулыһынса тигеҙләүгә Леонард Эйлерҙың хеҙмәттәре булышлыҡ итә.

 Шулай уҡ ҡарағыҙ 
 −0 һәм +0 —математик анализдағы төшөнсәләр.
 
 Делитель нуля
 Машинный ноль
 Чётность нуля

 Иҫкәрмәләр 

 Әҙәбиәт 
 
 
 
 

 Һылтанмалар 

 История нуля
 Почему нельзя делить на ноль?
 Символика чисел (нуль)  /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
 О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
 Свойства числа ноль
 

*03
Категория:Һандар