Potencia de dos
[[Ficheru:Powers_of_two_cuboids.svg|miniaturadeimagen|Visualización de les potencies de dos dende 1 hasta 1024.]]
Una '''potencia de dos''' ye un [[númberu]] de la forma <math>2^n</math> onde ''n'' ye un [[númberu enteru]], esto ye, la resultancia de la [[potenciación]] col númberu [[dos]] como base y el númberu enteru ''n'' como [[Potenciación|esponente]].

Nun contestu nel que sólo consideranse a los [[Númberu enteru|númberos enteros]], ''n'' queda acutáu a los númberos non-negativos.<ref>Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill. p. 3. <nowiki>ISBN 0-07-037990-4</nowiki>.</ref> Así, quedannos los númberos [[Un|1]], [[Dos|2]] y 2 [[Multiplicación|multiplicáu]] por si mesmu un númberu concretu de vegaes.<ref>Sewell, Michael J. (1997). Mathematics Masterclasses. Oxford: Oxford University Press. p. 78. <nowiki>ISBN 0-19-851494-8</nowiki>.</ref>

Nun [[sistema binariu]], al ser 2 la base del mesmu, les potencies de dos son comúnes nel campu de la [[informática]]. Escritu en binariu, les potencies de dos siempre tien la forma de 100...000 o 0,000...001, lo mesmu q'ocurre coles potencies de diez nun [[Sistema de numberación decimal|sistema decimal]].

== Informática ==
Dos eleváu a ''n'', escritu como <math>2^n</math>, ye'l númberu de formes en que puen organizáse los [[Bit|bits]] d'una pallabra [[Sistema binariu|binaria]] de llargor ''n''. Una pallabra, interpretada como un [[Enteru (tipu de datu)|enteru]] ensin signu, puede representar valores de 0 (000 ... 0002) a 2n - 1 (111 ... 1112) inclusive. Los valores enteros con signu correspondientes pueden ser positivos, negativos y cero. Comoquier, unu menos qu'una potencia de dos ye de cutiu la llende cimera d'un númberu enteru nos ordenadores binarios. De resultes, los númberos d'esta forma apaecen con frecuencia nos programes informáticos. Por exemplu, un [[videoxuegu]] que s'executa nun sistema de 8 bits puede llindar la puntuación o la cantidá d'elementos que'l xugador puede retener a 255, la resultancia d'usar un [[byte]], que tien 8 bits de llargor, para almacenar el númberu, dando un valor máximu de 28 - 1 = 255. Por exemplu, nel ''[[The Legend of Zelda|Legend of Zelda]]'' orixinal, el personaxe principal taba llindáu a llevar 255 rupies (la moneda del xuegu) nun momentu dáu, y el videoxuegu ''[[Pac-Man]]'' ye famosu por terminar nel nivel 256.

Les potencies de dos utilícense de cutiu para midir la memoria del ordenador. Un byte agora considérase ocho bits (un octeto, lo que da como resultáu la posibilidá de 256 valores (2⁸). (El términu byte una vegada significó (y en dellos casos, inda significa) una [[Bit|colección de bits]], típicamente de 5 a 32 bits, en llugar de que solo una unidá de 8 bits). El prefixu quilu, xunto col byte, pue ser, y utilizóse tradicionalmente, para significar 1024 (2<sup>10</sup>). Sicasí, polo xeneral, el términu quilu utilizóse nel [[Sistema internacional d'unidaes|Sistema Internacional d'Unidaes]] para significar 1000 (10³). Los prefixos binarios hanse estandarizado, como kibi (Ki) que significa 1024. Casi tolos rexistros de procesador tienen tamaños que son potencies de dos, siendo bien común 32 o 64.

Los númberos que nun son potencies de dos asoceden en delles situaciones, como les resoluciones de video, pero de cutiu son la suma o'l productu de solu dos o trés potencies de dos, o potencies de dos menos unu. Por casu, 640 = 32 × 20 y 480 = 32 × 15. Dicho otra manera, tienen patrones de bits abondo regulares.

== Primos de Mersenne y Fermat ==
Un [[númberu primu]] que ye unu menos qu'una potencia de dos ye un [[Primos de Mersenne|primu de Mersenne]]. Esti ye'l casu del númberu 31, que ye ''2⁵ - 1'' (32-1). 

Si el númberu primu ye una unidá superior a una potencia de dos, dizse que ye un [[Primos de Fermat|primu de Fermat]].

== Tabla de valores ==
{| {{tablaguapa}} style="text-align:center"
!{{mvar|n}}
!{{math|2<sup>''n''}}
| rowspan="17" |
!{{mvar|n}}
!{{math|2<sup>''n''}}
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!{{mvar|n}}
!{{math|2<sup>''n''}}
| rowspan="17" |
!{{mvar|n}}
!{{math|2<sup>''n''}}
|-
|0
| align="right" |[[Un|1]]
|16
| align="right" |65,536
|32
| align="right" |4,294,967,296
|48
| align="right" |281,474,976,710,656
|-
|1
| align="right" |[[Dos|2]]
|17
| align="right" |131,072
|33
| align="right" |8,589,934,592
|49
| align="right" |562,949,953,421,312
|-
|2
| align="right" |[[Cuatro|4]]
|18
| align="right" |262,144
|34
| align="right" |17,179,869,184
|50
| align="right" |1,125,899,906,842,624
|-
|3
| align="right" |[[Ocho|8]]
|19
| align="right" |524,288
|35
| align="right" |34,359,738,368
|51
| align="right" |2,251,799,813,685,248
|-
|4
| align="right" |16
|20
| align="right" |1,048,576
|36
| align="right" |68,719,476,736
|52
| align="right" |4,503,599,627,370,496
|-
|5
| align="right" |32
|21
| align="right" |2,097,152
|37
| align="right" |137,438,953,472
|53
| align="right" |9,007,199,254,740,992
|-
|6
| align="right" |64
|22
| align="right" |4,194,304
|38
| align="right" |274,877,906,944
|54
| align="right" |18,014,398,509,481,984
|-
|7
| align="right" |128
|23
| align="right" |8,388,608
|39
| align="right" |549,755,813,888
|55
| align="right" |36,028,797,018,963,968
|-
|8
| align="right" |256
|24
| align="right" |16,777,216
|40
| align="right" |1,099,511,627,776
|56
| align="right" |72,057,594,037,927,936
|-
|9
| align="right" |512
|25
| align="right" |33,554,432
|41
| align="right" |2,199,023,255,552
|57
| align="right" |144,115,188,075,855,872
|-
|10
| align="right" |1,024
|26
| align="right" |67,108,864
|42
| align="right" |4,398,046,511,104
|58
| align="right" |288,230,376,151,711,744
|-
|11
| align="right" |2,048
|27
| align="right" |134,217,728
|43
| align="right" |8,796,093,022,208
|59
| align="right" |576,460,752,303,423,488
|-
|12
| align="right" |4,096
|28
| align="right" |268,435,456
|44
| align="right" |17,592,186,044,416
|60
| align="right" |1,152,921,504,606,846,976
|-
|13
| align="right" |8,192
|29
| align="right" |536,870,912
|45
| align="right" |35,184,372,088,832
|61
| align="right" |2,305,843,009,213,693,952
|-
|14
| align="right" |16,384
|30
| align="right" |1,073,741,824
|46
| align="right" |70,368,744,177,664
|62
| align="right" |4,611,686,018,427,387,904
|-
|15
| align="right" |32,768
|31
| align="right" |2,147,483,648
|47
| align="right" |140,737,488,355,328
|63
| align="right" |9,223,372,036,854,775,808
|}

== Potencies de 1024 ==
Les primeres potencies de 2<sup>10</sup> (1024) son un pocu más grandes que les mismes potencies de 1000 (10³):
{|
|2⁰
|=
| align="left" |1
|= 1000⁰
| align="right" |(0% esviación)
|-
|2<sup>10</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;024
|≈ 1000¹
| align="right" |(2.4% esviación)
|-
|2<sup>20</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;048&nbsp;576
|≈ 1000²
| align="right" |(4.9% esviación)
|-
|2<sup>30</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;073&nbsp;741&nbsp;824
|≈ 1000³
| align="right" |(7.4% esviación)
|-
|2<sup>40</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;099&nbsp;511&nbsp;627&nbsp;776
|≈ 1000⁴
| align="right" |(10.0% esviación)
|-
|2<sup>50</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;125&nbsp;899&nbsp;906&nbsp;842&nbsp;624
|≈ 1000⁵
| align="right" |(12.6% esviación)
|-
|2<sup>60</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;152&nbsp;921&nbsp;504&nbsp;606&nbsp;846&nbsp;976
|≈ 1000⁶
| align="right" |(15.3% esviación)
|-
|2<sup>70</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;180&nbsp;591&nbsp;620&nbsp;717&nbsp;411&nbsp;303&nbsp;424
|≈ 1000⁷
| align="right" |(18.1% esviación)
|-
|2<sup>80</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;208&nbsp;925&nbsp;819&nbsp;614&nbsp;629&nbsp;174&nbsp;706&nbsp;176
|≈ 1000⁸
| align="right" |(20.9% esviación)
|-
|2<sup>90</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;237&nbsp;940&nbsp;039&nbsp;285&nbsp;380&nbsp;274&nbsp;899&nbsp;124&nbsp;224
|≈ 1000⁹
| align="right" |(23.8% esviación)
|-
|2<sup>100</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;267&nbsp;650&nbsp;600&nbsp;228&nbsp;229&nbsp;401&nbsp;496&nbsp;703&nbsp;205&nbsp;376
|≈ 1000<sup>10</sup>
| align="right" |(26.8% esviación)
|-
|2<sup>110</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;298&nbsp;074&nbsp;214&nbsp;633&nbsp;706&nbsp;907&nbsp;132&nbsp;624&nbsp;082&nbsp;305&nbsp;024
|≈ 1000<sup>11</sup>
| align="right" |(29.8% esviación)
|-
|2<sup>120</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;329&nbsp;227&nbsp;995&nbsp;784&nbsp;915&nbsp;872&nbsp;903&nbsp;807&nbsp;060&nbsp;280&nbsp;344&nbsp;576
|≈ 1000<sup>12</sup>
| align="right" |(32.9% esviación)
|-
|2<sup>130</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;361&nbsp;129&nbsp;467&nbsp;683&nbsp;753&nbsp;853&nbsp;853&nbsp;498&nbsp;429&nbsp;727&nbsp;072&nbsp;845&nbsp;824
|≈ 1000<sup>13</sup>
| align="right" |(36.1% esviación)
|-
|2<sup>140</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;393&nbsp;796&nbsp;574&nbsp;908&nbsp;163&nbsp;946&nbsp;345&nbsp;982&nbsp;392&nbsp;040&nbsp;522&nbsp;594&nbsp;123&nbsp;776
|≈ 1000<sup>14</sup>
| align="right" |(39.4% esviación)
|-
|2<sup>150</sup>
|=
| align="left" |1&nbsp;427&nbsp;247&nbsp;692&nbsp;705&nbsp;959&nbsp;881&nbsp;058&nbsp;285&nbsp;969&nbsp;449&nbsp;495&nbsp;136&nbsp;382&nbsp;746&nbsp;624
|≈ 1000<sup>15</sup>
| align="right" |(42.7% esviación)
|}

== Potencies de dos cuyo esponente ye una potencia de dos ==
Debíu a que los datos (en particula, les enteros) y les direiciones de esos datos tan almacenaos nel mesmu [[Soporte físicu|''hardware'']] y dellos datos son almacenaos en octetos, les potencies de dos cuyo esponente ye una potencia son mui comúnes.

A veces, estos númberos son referíos cómo ''potencies de dos de [[Pierre de Fermat|Fermat]]''.

Los númberos de la forma <math>2^{2^{n}}</math>formen una secuencia irracional, esto ye, una [[Serie matemática|serie]] converxente a un [[númberu irracional]]. Para cada secuencia <math>x_i</math> de [[Númberu natural|númberos enteros positivos]], la [[Serie matemática|serie]]:

<math>\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^i} x_i} = \frac{1}{2x_0}+\frac{1}{4x_1}+\frac{1}{16x_2}+\cdots</math>

converxe a un [[númberu irracional]].<ref>Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, <nowiki>ISBN 0-387-20860-7</nowiki>, Zbl 1058.11001</ref> Amás, ye la serie irracional que más lento converxe de les que son conocíes.

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
{{commonscat}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Matemátiques]]
Una potencia de dos ye un númberu de la forma  onde n ye un númberu enteru, esto ye, la resultancia de la potenciación col númberu dos como base y el númberu enteru n como esponente.

Nun contestu nel que sólo consideranse a los númberos enteros, n queda acutáu a los númberos non-negativos.Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill. p. 3. ISBN 0-07-037990-4. Así, quedannos los númberos 1, 2 y 2 multiplicáu por si mesmu un númberu concretu de vegaes.Sewell, Michael J. (1997). Mathematics Masterclasses. Oxford: Oxford University Press. p. 78. ISBN 0-19-851494-8.

Nun sistema binariu, al ser 2 la base del mesmu, les potencies de dos son comúnes nel campu de la informática. Escritu en binariu, les potencies de dos siempre tien la forma de 100...000 o 0,000...001, lo mesmu q'ocurre coles potencies de diez nun sistema decimal.

 Informática 
Dos eleváu a n, escritu como , ye'l númberu de formes en que puen organizáse los bits d'una pallabra binaria de llargor n. Una pallabra, interpretada como un enteru ensin signu, puede representar valores de 0 (000 ... 0002) a 2n - 1 (111 ... 1112) inclusive. Los valores enteros con signu correspondientes pueden ser positivos, negativos y cero. Comoquier, unu menos qu'una potencia de dos ye de cutiu la llende cimera d'un númberu enteru nos ordenadores binarios. De resultes, los númberos d'esta forma apaecen con frecuencia nos programes informáticos. Por exemplu, un videoxuegu que s'executa nun sistema de 8 bits puede llindar la puntuación o la cantidá d'elementos que'l xugador puede retener a 255, la resultancia d'usar un byte, que tien 8 bits de llargor, para almacenar el númberu, dando un valor máximu de 28 - 1 = 255. Por exemplu, nel Legend of Zelda orixinal, el personaxe principal taba llindáu a llevar 255 rupies (la moneda del xuegu) nun momentu dáu, y el videoxuegu Pac-Man ye famosu por terminar nel nivel 256.

Les potencies de dos utilícense de cutiu para midir la memoria del ordenador. Un byte agora considérase ocho bits (un octeto, lo que da como resultáu la posibilidá de 256 valores (2⁸). (El términu byte una vegada significó (y en dellos casos, inda significa) una colección de bits, típicamente de 5 a 32 bits, en llugar de que solo una unidá de 8 bits). El prefixu quilu, xunto col byte, pue ser, y utilizóse tradicionalmente, para significar 1024 (210). Sicasí, polo xeneral, el términu quilu utilizóse nel Sistema Internacional d'Unidaes para significar 1000 (10³). Los prefixos binarios hanse estandarizado, como kibi (Ki) que significa 1024. Casi tolos rexistros de procesador tienen tamaños que son potencies de dos, siendo bien común 32 o 64.

Los númberos que nun son potencies de dos asoceden en delles situaciones, como les resoluciones de video, pero de cutiu son la suma o'l productu de solu dos o trés potencies de dos, o potencies de dos menos unu. Por casu, 640 = 32 × 20 y 480 = 32 × 15. Dicho otra manera, tienen patrones de bits abondo regulares.

 Primos de Mersenne y Fermat 
Un númberu primu que ye unu menos qu'una potencia de dos ye un primu de Mersenne. Esti ye'l casu del númberu 31, que ye 2⁵ - 1 (32-1). 

Si el númberu primu ye una unidá superior a una potencia de dos, dizse que ye un primu de Fermat.

 Tabla de valores 
011665,536324,294,967,29648281,474,976,710,6561217131,072338,589,934,59249562,949,953,421,3122418262,1443417,179,869,184501,125,899,906,842,6243819524,2883534,359,738,368512,251,799,813,685,248416201,048,5763668,719,476,736524,503,599,627,370,496532212,097,15237137,438,953,472539,007,199,254,740,992664224,194,30438274,877,906,9445418,014,398,509,481,9847128238,388,60839549,755,813,8885536,028,797,018,963,96882562416,777,216401,099,511,627,7765672,057,594,037,927,93695122533,554,432412,199,023,255,55257144,115,188,075,855,872101,0242667,108,864424,398,046,511,10458288,230,376,151,711,744112,04827134,217,728438,796,093,022,20859576,460,752,303,423,488124,09628268,435,4564417,592,186,044,416601,152,921,504,606,846,976138,19229536,870,9124535,184,372,088,832612,305,843,009,213,693,9521416,384301,073,741,8244670,368,744,177,664624,611,686,018,427,387,9041532,768312,147,483,64847140,737,488,355,328639,223,372,036,854,775,808

 Potencies de 1024 
Les primeres potencies de 210 (1024) son un pocu más grandes que les mismes potencies de 1000 (10³):
2⁰=1= 1000⁰(0% esviación)210=1 024≈ 1000¹(2.4% esviación)220=1 048 576≈ 1000²(4.9% esviación)230=1 073 741 824≈ 1000³(7.4% esviación)240=1 099 511 627 776≈ 1000⁴(10.0% esviación)250=1 125 899 906 842 624≈ 1000⁵(12.6% esviación)260=1 152 921 504 606 846 976≈ 1000⁶(15.3% esviación)270=1 180 591 620 717 411 303 424≈ 1000⁷(18.1% esviación)280=1 208 925 819 614 629 174 706 176≈ 1000⁸(20.9% esviación)290=1 237 940 039 285 380 274 899 124 224≈ 1000⁹(23.8% esviación)2100=1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376≈ 100010(26.8% esviación)2110=1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305 024≈ 100011(29.8% esviación)2120=1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576≈ 100012(32.9% esviación)2130=1 361 129 467 683 753 853 853 498 429 727 072 845 824≈ 100013(36.1% esviación)2140=1 393 796 574 908 163 946 345 982 392 040 522 594 123 776≈ 100014(39.4% esviación)2150=1 427 247 692 705 959 881 058 285 969 449 495 136 382 746 624≈ 100015(42.7% esviación)

 Potencies de dos cuyo esponente ye una potencia de dos 
Debíu a que los datos (en particula, les enteros) y les direiciones de esos datos tan almacenaos nel mesmu hardware y dellos datos son almacenaos en octetos, les potencies de dos cuyo esponente ye una potencia son mui comúnes.

A veces, estos númberos son referíos cómo potencies de dos de Fermat.

Los númberos de la forma formen una secuencia irracional, esto ye, una serie converxente a un númberu irracional. Para cada secuencia  de númberos enteros positivos, la serie:

converxe a un númberu irracional.Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001 Amás, ye la serie irracional que más lento converxe de les que son conocíes.

 Referencies 

 Enllaces esternos 

Categoría:Matemátiques