Operación binaria
{{Ficha xenérica}}
[[Ficheru:Operación binaria 1.svg|miniaturadeimagen|Esquema d'una operación binaria.]]
Defínese como '''operación binaria''' (o llei de composición)​ aquella [[operación matemática]], que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor.<ref>Brainard Braimah. Definitions of Some Mathematical Terms for 11-18 Year Olds. Xulon Press, novembre 2007, p. 23–. <nowiki>ISBN 978-1-60477-357-6</nowiki>.</ref><ref>''A Text Book of Mathematics XII Vol. 1''. Rastogi Publications, p. 3–. <nowiki>ISBN 978-81-7133-897-9</nowiki>.</ref>

Formalmente, daos trés conxuntos ''A'', ''B'' y ''C'' una operación binaria [[Multiplicación|productu]], representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores ''a'' de ''A'' y ''b'' de ''B'' un solu valor ''c'' de ''C'', que podemos representar:

<math>
 \begin{array}{rccl}
 \circ : & A \times B & \longrightarrow & C \\
 & (a,b) & \longmapsto & c
 \end{array}
</math>

En particular, ''A'', ''B'' y ''C'' podríen ser el mesmu [[conxuntu]], que denotamos ''A''. Polo tanto, una operación binaria nel conxuntu ''A'' ye una [[Función matemática|aplicación]] d'elementos del [[productu cartesianu]] ''A×A'' na ''A''.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

== Notación ==
Una operación binaria ∘ ente dos elementos, ''a'' y ''b'', de dos conxuntos, ''A'' y ''B'', puede denotase por:

<math>
 a \circ b = c
 \; , \quad
 \circ (a, b) = c
 \; , \quad
 (a, b) \xrightarrow{\circ} c
</math>

siendo la primera la más común.

== Exemplu d'operación binaria ==
La [[Adición (matemática)|suma]] (+) de [[Númberu natural|númberos naturales]] ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto <math>
 
 N
</math>.

<math>
 \begin{array}{rccl}
 + : & N \times N & \longrightarrow & N \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a + b
 \end{array}
</math>

y tenemos que:

<math>
 2 + 3 = 5
 \; , \quad
 +(2,3) = 5
 \; , \quad
 (2, 3) \xrightarrow{+} 5
</math>

== Tipos ==
Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denomínase [[Llei de Composición]] a un subtipo d'operación binaria.
[[Ficheru:AL Operación binaria.svg|miniaturadeimagen|centro|Esquema de les tipos d'operaciones binaries en castellanu|495x495px]]

=== Operación binaria interna ===
Si a cada par de valores ('''a''', '''b''') de <math> A </math> la operación correspuéndelu a un valor '''c''' de ''A'':

: <math>
 \begin{array}{rccl}
 \circledast : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a , b) & \longmapsto & c = a \circledast b
 \end{array}
</math>

dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama '''llei de composición interna'''.

=== Operación binaria esterna ===
Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

* Si a cada par de valores '''a''' de '''A''' y '''b''' de '''B''', asígnase-y un valor '''c''' de '''A''',

<math>
 \begin{array}{rccl}
 \star : & A \times B & \longrightarrow & A \\
 &(a,b) & \longmapsto & c = a \star b
 \end{array}
</math>

a esta operación tamién se denomina '''llei de composición esterna'''.

* Si la operación ye de la forma:

<math>
 \begin{array}{rccl}
 \star : & A \times A & \longrightarrow & B \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \star b
 \end{array}
</math>

na qu'a cada par de valores '''a''', '''b''' de '''A''' asígnase-y un '''c''' de '''B''', esta operación nun se denomina llei de composición.

* Si la operación asigna a cada par de valores '''a''' de '''A''' y '''b''' de '''B''' un '''c''' de '''C''', siendo '''A''', '''B''' y '''C''' conxuntos distintos:

<math>
 \begin{array}{rccl}
 \star : & A \times B & \longrightarrow & C \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \star b
 \end{array}
</math>

ye'l casu más xeneral, y tampoco se denomina llei de composición.

== Propiedaes d'una operación binaria ==
Dáu un conxuntu '''A''' non vacíu y definida una aplicación de <math> A \times A </math> sobre '''A''', onde a cada par ordenáu '''(a,b)''' asígnase-y un valor '''c''' de '''A''', que representamos: <math> (A, \odot) </math>

: <math>
 \begin{array}{rccl}
 \odot : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \odot b
 \end{array} 
</math>

Puede tener les siguientes propiedaes:

=== Conmutatividá ===
{{AP|Conmutatividá}}
Dizse que <math> \odot </math> tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:

: <math>
 \forall a,b \in A
 \; : \quad
 a \odot b = b \odot a
</math>

Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna <math> \odot </math>, '''nun ye conmutativa''' na A si:

: <math>
 \exists a,b \in A
 \; : \quad
 a \odot b \neq b \odot a
</math>

Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

==== Anticonmutatividá ====
La operación <math> \odot </math> en '''A''' ye anticonmutativa si:

: <math>
 \forall a, b \in A \; : \quad a \odot b = -(b \odot a)
</math>

Para tou a, b de A, cúmplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

=== Asociatividá ===
{{AP|Propiedá asociativa}}
Dizse que <math> (A,\odot) </math> ye asociativa si, solu si:

: <math>
 \forall a, b, c \in A
 \; : \quad
 ( a \odot b ) \odot c =
 a \odot( b \odot c)
</math>

Para tou ''a, b, c'' de A cumplese qu'operando ''a'' con ''b'' y la resultancia con ''c'' ye igual a operar ''a'' cola resultancia d'operar ''b'' con ''c''.

Tamién puede dicise que la operación <math> \odot </math> nun ye asociativa si cumplese:

: <math>
 \exists a,b , c \in A
 \; : \quad
 (a \odot b) \odot c \neq a \odot (b \odot c)
</math>

Esisten ''a, b, c'' na A que cumplen qu'operando ''a'' con ''b'' y la resultancia con ''c'' ye distintu d'operar ''a'' cola resultancia d'operar ''b'' con ''c.''

== Propiedaes de dos operaciones binaries ==
Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación <math> \odot </math> un valor c de A y con la operación <math> \circledcirc </math> el valor d de A que representamos: <math> (A, \odot, \circledcirc) </math>.

: <math>
 \begin{array}{rccl}
 \odot : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \odot b
 \end{array} 
 \quad \quad
 \begin{array}{rccl}
 \circledcirc : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a,b) & \longmapsto & d = a \circledcirc b
 \end{array} 
</math>

Pueden tener les siguientes propiedaes:

=== Distributividá ===
{{AP|Distributividá}}
Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pela esquierda y pela derecha.

==== Distributividá pela esquierda ====
Dizse que la operación <math> \odot </math> ye distributiva pela esquierda de <math> \circledcirc </math> si cumplese:

: <math>
 \forall a, b, c \in A
 \; : \quad
 a \odot (b \circledcirc c) = (a \odot b) \circledcirc (a \odot c)
</math>

==== Distributividá pela derecha ====
Dizse que la operación <math> \odot </math> ye distributiva pela derecha de <math> \circ </math> si cumplse:

: <math>
 \forall a, b, c \in A
 \; : \quad
 (a \circledcirc b) \odot c = (a \odot c) \circledcirc (b \odot c)
</math>

== Elementos distinguidos ==

=== Elementu neutru ===
{{AP|Elementu neutru}}
Un elemento '''e''' ye elementu neutru en <math> (A, \odot) </math> si ye elementu neutru pela derecha y pela esquierda.

: <math>
 \forall a \in A
 \; , \quad
 \exists e \in A
 \; : \quad
 e \odot a = a \odot e = a
</math>

==== Elementu neutru pela derecha ====
Vamos dicir que l'elementu '''e''', ye l'elementu neutru pela derecha si:

: <math>
 \forall a \in A
 \; , \quad
 \exists e \in A
 \; : \quad
 e \odot a = a
</math>

==== Elementu neutru pela esquierda ====
Vamos dicir que l'elementu '''e''', ye l'elementu neutru pela esquierda si:

<math>
 \forall a \in A
 \; , \quad
 \exists e \in A
 \; : \quad
 a \odot e = a
</math>

==== Unicidá del elementu neutru ====
El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'. 

* Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que e<math> \odot </math>a=a.
* Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e'<math> \odot </math>a=a.

Polo tanto, e<math> \odot </math>a=e'<math> \odot </math>a y ye claru que e=e'.

=== Elementu simétricu ===
{{AP|Elementu simétricu}}
Dizse que <math> \overline{a} </math> ye simétricu de <math> a </math> si:

: <math>
 \overline{a} \odot a = a \odot \overline{a} = e
</math>

onde e ye l'elementu neutru.

=== Elementu involutivu ===
Dizse que <math> d \in A </math> ye elementu involutivu si:

: <math>
 d \odot d = d 
</math>

=== Elementu absorbente ===
{{AP|Elementu absorbente}}
Dizse que <math> s \in A </math> ye elementu absorbente si:

: <math>
 \forall a \in A
 \; : \quad
 s \odot a = a \odot s = s
</math>

== Operación inversa ==
Sía A un conxuntu con una operación binaria <math> (a,\odot) </math>:

: <math>
 \begin{array}{rccl}
 \odot : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \odot b
 \end{array} 
</math>

polo que quepe la ecuación:

: <math>
 \forall a, b \in A
 \, , \;
 \exists c \in A
 \; : \quad
 a \odot b = c
</math>

Si:

: <math>
 a \odot b = c
</math>

Si A almite elementos simétricos, defínese:

: <math>
 a \odot b \odot \overline{b} = c \odot \overline{b}
</math>

Arrexuntando:

: <math>
 a \odot ( b \odot \overline{b} ) = c \odot \overline{b}
</math>

onde e ye l'elementu neutru:

: <math>
 a \odot e = c \odot \overline{b}
</math>

simplificando:

: <math>
 a = c \odot \overline{b}
</math>

La operación inversa seria <math> \overline{\odot} </math>

: <math>
 a = c \, \overline{\odot}\, b
</math>

== Otres propiedaes ==

=== Simplificación o cancelativa ===
Sía A cola operación  si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pela esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pela derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de '''simplificación o cancelación'''.

=== Divisores del cero ===
Sía'l conxuntu A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son '''divisores del 0'''.

== Ver tamién ==
* Otres operaciones:
** [[Operación nularia]]
** [[Operación unaria]]
** [[Operación ternaria]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
* [http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Operaciones/operaciones/node1.html Operaciones binarias] por Jose Ignacio Farran Martin ([[Universidá de Valladolid]])
* [https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/20a.-ESTRUCTURAS-ALGEBRAICAS-21-pp.pdf Estructuras Algebraicas] por Aldo Jiménez Arteaga (Universidá Veracruzana)

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Álxebra elemental]]
[[Categoría:Álxebra astrauta]]
Defínese como operación binaria (o llei de composición)​ aquella operación matemática, que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor.Brainard Braimah. Definitions of Some Mathematical Terms for 11-18 Year Olds. Xulon Press, novembre 2007, p. 23–. ISBN 978-1-60477-357-6.A Text Book of Mathematics XII Vol. 1. Rastogi Publications, p. 3–. ISBN 978-81-7133-897-9.

Formalmente, daos trés conxuntos A, B y C una operación binaria productu, representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores a de A y b de B un solu valor c de C, que podemos representar:

En particular, A, B y C podríen ser el mesmu conxuntu, que denotamos A. Polo tanto, una operación binaria nel conxuntu A ye una aplicación d'elementos del productu cartesianu A×A na A.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

 Notación 
Una operación binaria ∘ ente dos elementos, a y b, de dos conxuntos, A y B, puede denotase por:

siendo la primera la más común.

 Exemplu d'operación binaria 
La suma (+) de númberos naturales ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto .

y tenemos que:

 Tipos 
Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denomínase Llei de Composición a un subtipo d'operación binaria.
miniaturadeimagen|centro|Esquema de les tipos d'operaciones binaries en castellanu|495x495px

 Operación binaria interna 
Si a cada par de valores (a, b) de  la operación correspuéndelu a un valor c de A:

 

dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama llei de composición interna.

 Operación binaria esterna 
Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

 Si a cada par de valores a de A y b de B, asígnase-y un valor c de A,

a esta operación tamién se denomina llei de composición esterna.

 Si la operación ye de la forma:

na qu'a cada par de valores a, b de A asígnase-y un c de B, esta operación nun se denomina llei de composición.

 Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conxuntos distintos:

ye'l casu más xeneral, y tampoco se denomina llei de composición.

 Propiedaes d'una operación binaria 
Dáu un conxuntu A non vacíu y definida una aplicación de  sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y un valor c de A, que representamos: 

 

Puede tener les siguientes propiedaes:

 Conmutatividá 

Dizse que  tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:

 

Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna , nun ye conmutativa na A si:

 

Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

 Anticonmutatividá 
La operación  en A ye anticonmutativa si:

 

Para tou a, b de A, cúmplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

 Asociatividá 

Dizse que  ye asociativa si, solu si:

 

Para tou a, b, c de A cumplese qu'operando a con b y la resultancia con c ye igual a operar a cola resultancia d'operar b con c.

Tamién puede dicise que la operación  nun ye asociativa si cumplese:

 

Esisten a, b, c na A que cumplen qu'operando a con b y la resultancia con c ye distintu d'operar a cola resultancia d'operar b con c.

 Propiedaes de dos operaciones binaries 
Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación  un valor c de A y con la operación  el valor d de A que representamos: .

 

Pueden tener les siguientes propiedaes:

 Distributividá 

Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pela esquierda y pela derecha.

 Distributividá pela esquierda 
Dizse que la operación  ye distributiva pela esquierda de  si cumplese:

 

 Distributividá pela derecha 
Dizse que la operación  ye distributiva pela derecha de  si cumplse:

 

 Elementos distinguidos 

 Elementu neutru 

Un elemento e ye elementu neutru en  si ye elementu neutru pela derecha y pela esquierda.

 

 Elementu neutru pela derecha 
Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela derecha si:

 

 Elementu neutru pela esquierda 
Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela esquierda si:

 Unicidá del elementu neutru 
El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'. 

 Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que ea=a.
 Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e'a=a.

Polo tanto, ea=e'a y ye claru que e=e'.

 Elementu simétricu 

Dizse que  ye simétricu de  si:

 

onde e ye l'elementu neutru.

 Elementu involutivu 
Dizse que  ye elementu involutivu si:

 

 Elementu absorbente 

Dizse que  ye elementu absorbente si:

 

 Operación inversa 
Sía A un conxuntu con una operación binaria :

 

polo que quepe la ecuación:

 

Si:

 

Si A almite elementos simétricos, defínese:

 

Arrexuntando:

 

onde e ye l'elementu neutru:

 

simplificando:

 

La operación inversa seria 

 

 Otres propiedaes 

 Simplificación o cancelativa 
Sía A cola operación  si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pela esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pela derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de simplificación o cancelación.

 Divisores del cero 
Sía'l conxuntu A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son divisores del 0.

 Ver tamién 
 Otres operaciones:
 Operación nularia
 Operación unaria
 Operación ternaria

 Referencies 

 Enllaces esternos 
 Operaciones binarias por Jose Ignacio Farran Martin (Universidá de Valladolid)
 Estructuras Algebraicas por Aldo Jiménez Arteaga (Universidá Veracruzana)

Categoría:Álxebra elemental
Categoría:Álxebra astrauta